A. Manzino progetto - POLITECNICO DI TORINO - … · ii ESERCIZIO 8 45 ESERCIZIO 9 46

progettodidattica in rete

prog

etto

dida

ttica

in re

teDipartimento di Georisorse e TerritorioPolitecnico di Torino, dicembre 2000

Lezioni di Topografia

Esercitazioni

otto editore

A. Manzino

DISPENSE DI TOPOGRAFIA

ESERCITAZIONI

A. MANZINO

Otto Editore P.zza Vittorio Veneto 14 – 10123 Torinowww.otto.to.it

i

INDICE

1. CONCETTI GEOMETRICI GENERALI .............................................................1

1.1 UNITÀ DI MISURA ANGOLARI E CONVERSIONI.............................................................1

ESERCIZIO 1.......................................................................................................................... 4

1.2 GRANDEZZE ANGOLARI IN TOPOGRAFIA....................................................................6

ESERCIZIO 2.......................................................................................................................... 8

1.3 LA COMPENSAZIONE EMPIRICA DI UNA POLIGONALE ................................................11

ESERCIZIO 3........................................................................................................................ 14

LISTATO DEL PROGRAMMA DI ELABORAZIONE STARNET .......................................19

1.4 LA SOLUZIONE DI UNA EQUAZIONE NON LINEARE.....................................................22

ESERCIZIO 4........................................................................................................................ 23

1.5 LA SOLUZIONE DI SISTEMI DI EQUAZIONI NON LINEARI .............................................24

1.6 LINEARIZZAZIONE DELLE EQUAZIONI DI MISURE DI UNA RETE PLANIMETRICA............26

ESERCIZIO 5........................................................................................................................ 31

ESERCIZIO 6........................................................................................................................ 33

1.7 SISTEMI DI RIFERIMENTO .......................................................................................36

ESERCIZIO 7........................................................................................................................ 39

2. GEODESIA .............................................................................................. 45

ii

ESERCIZIO 8........................................................................................................................ 45

ESERCIZIO 9........................................................................................................................ 46

ESERCIZIO 10...................................................................................................................... 47

ESERCIZIO 11...................................................................................................................... 49

ESERCIZIO 12...................................................................................................................... 50

ESERCIZIO 13...................................................................................................................... 50

ESERCIZIO 14...................................................................................................................... 52

ESERCIZIO 15...................................................................................................................... 54

ESERCIZIO 16...................................................................................................................... 55

3. CARTOGRAFIA ....................................................................................... 59

ESERCIZIO 17...................................................................................................................... 59

ESERCIZIO 18...................................................................................................................... 60

GERENZANO ....................................................................................................................... 61

OPERA................................................................................................................................ 62

MELZO............................................................................................................................... 63

4. STATISTICA............................................................................................ 77

ESERCIZIO 19...................................................................................................................... 77

ESERCIZIO 20...................................................................................................................... 78

ESERCIZIO 21...................................................................................................................... 79

ESERCIZIO 22...................................................................................................................... 80

ESERCIZIO 23...................................................................................................................... 82

ESERCIZIO 24...................................................................................................................... 84

ESERCIZIO 25...................................................................................................................... 86

5. IL PROGRAMMA DI COMPENSAZIONE CALGE .......................................... 93

6. MINI-SERIE DI ISTRUZIONI PER L’USO DI CALGE AL LAIB DI VERCELLI ....... 99

iii

7. GPSEDIT & TURB TOPAS: MINI-ISTRUZIONI DI AVVIO.............................. 103

8. ISTRUZIONI OPERATIVE PER L’USO DI STARNET AL LAIB ......................... 105

ESERCIZIO 26.................................................................................................................... 113

9. ESERCITAZIONI CON CALGE: POLIGONALE RILEVATA ESTERNAMENTE .... 123

OUTPUT DELLA COMPENSAZIONE CALGE............................................................................... 127

10. ESERCIZI DI TOPOGRAFIA .................................................................... 131

11. APPENDICE A...................................................................................... 141

1

1. CONCETTI GEOMETRICI GENERALI

Uno degli scopi della topografia è la rappresentazione, cioè la costituzione di un elaborato cartografico che rappresenti tridimensionalmente in modo metricamente corretto l'oggetto da esaminare (in genere il territorio), su di un supporto cartaceo o in forma numerica, ad una scala conveniente.

Per assolvere a questo compito è necessario:

− fissare sistemi di riferimento opportuni a cui riferire le misure e la rappresentazione

− misurare in questi sistemi la posizione di punti significativi per la rappresentazione

Attualmente non esistono strumenti che possano assolvere alla determinazione della posizione di punti in maniera diretta. Si procede quindi al rilievo di grandezze funzionali della posizione, grandezze legate cioè al dato di posizione da relazioni matematiche.

Queste grandezze sono in pratica quelle che possono essere rilevate sul territorio e cioè:

− angoli

− distanze

− dislivelli

Verranno nel seguito trattate le procedure strumentali e teoriche che portano alla loro determinazione, unitamente a concetti di trattamento dei dati, unità di misura e sistemi di riferimento impiegati nelle scienze topografiche.

1.1. UNITÀ DI MISURA ANGOLARI E CONVERSIONI

Con angolo si intende una porzione di piano delimitata da due semirette: l'ampiezza dell'angolo è rappresentata dalla rotazione intorno all'origine di una semiretta fino a sovrapporsi alla seconda semiretta. L'ampiezza di un angolo può essere espressa in diverse unità di misura. Particolarmente rilevanti per gli scopi topografici risultano essere i sistemi:

− matematico

− centesimale

CONCETTI GEOMETRICI GENERALI

2

− sessagesimale

− sessadecimale

Sistema matematico

L'unità di misura angolare è il radiante [rad] (unità SI) definito come angolo sotteso da un arco di lunghezza pari al raggio. Dalla definizione ne consegue che l'angolo αr è espresso in radianti come rapporto:

αr = l / R

dove:

l = lunghezza dell'arco sotteso

R = raggio circonferenza

Valori notevoli:

2π rad = angolo giro

π rad = angolo piatto

π/2 rad= angolo retto

Sottomultipli:

mrad = 10-3 rad

µrad = 10-6 rad

Questo sistema viene utilizzato in matematica e nel linguaggio dei calcolatori.

Sistema centesimale

L'unità di misura angolare è il grado centesimale [gon] (unità non ammessa nel SI) definito come:

1 gon = π / 200 rad

Valori notevoli:

400 gon = angolo giro

200 gon = angolo piatto

100 gon = angolo retto

Sottomultipli:

cgon = 10-2 gon


3

mgon = 10-3 gon

Questo sistema viene adottato nella maggior parte degli strumenti topografici e nella fase di calcolo.

Sistema sessagesimale

L'unità di misura angolare è il grado sessagesimale [°] (unità non SI ammessa) definito come:

1° = π / 180 rad

Valori notevoli:

360° = angolo giro

180° = angolo piatto

90° = angolo retto

Sottomultipli:

1' = 1° / 60 (un primo)

1" = 1' / 60 (un secondo)

I sottomultipli del secondo vengono espressi in forma decimale.

Non essendo decimale, è sconsigliabile l'uso di questo sistema nella condotta dei calcoli. È impiegato tradizionalmente per esprimere le coordinate geografiche «latitudine» e «longitudine».

Sistema sessadecimale

L'unità di misura angolare è il grado sessagesimale [°] (unità non SI ammessa). Differisce dal precedente sistema sessagesimale in quanto i sottomultipli del grado sono espressi in forma decimale. È utilizzato per la condotta dei calcoli al posto di quello sessagesimale.

Conversioni angolari

Da sessagesimali a sessadecimali (GRA° PRI' SEC" → GRA°.XXXX)

GRA°.XXXX = GRA° + PRI'/60 + SEC"/3600

Da sessadecimali a sessagesimali (GRA°.XXXX → GRA° PRI' SEC")

PRI' = INTERO[(GRA°.XXXX - GRA°)*60]

SEC" = {[(GRA°.XXXX - GRA°)*60 - PRI]}*60


4

Le successive conversioni partono dal presupposto di aver già trasformato gli angoli dal sistema sessagesimale a quello sessadecimale e possono essere risolte impostando una semplice proporzione.

Da sessadecimali a centesimali e viceversa

200180

gonα=°α

Da centesimali a radianti e viceversa

πα=α radgon

200

Da radianti a sessadecimali e viceversa

180

°α=π

α rad

In generale risulta essere:

200180

gonrad α=°α=π

α

1. Verificare le seguenti conversioni:

57° 23' 18" sessadecimali (57,3883°)

35°,2234 sessagesimali (35° 13' 24,2)

25°,1321 centesimali (27,9245 gon)

42° 27' 45" centesimali (47,1805 gon)

32°,2935 radianti (0,5636279 rad)

143,2396 gon radianti (2,2500024 rad)

0,2345 rad sessagesimali (13° 26' 8,52")

0°,7413 centesimali (0,8237 gon)

Si noti come per ottenere la stessa approssimazione dei gradi centesimali o sessagesimali, occorra nel sistema matematico lavorare con più cifre significative (almeno 3) rispetto agli altri sistemi.


5

Risulta infatti:

1" = 0,0003 gon = 0,0000048 rad

1' = 0,018 gon = 0,00029 rad

1° = 1,11 gon = 0,017 rad

Viceversa risulta:

1r = 57°,2958 = 3438' = 206265"

1r = 63,6620gon


6

AVBˆ

BVA ˆ

1.2. GRANDEZZE ANGOLARI IN TOPOGRAFIA

In topografia vengono utilizzate convenzioni angolari che si differenziano da quelle adottate in matematica, infatti lo zero si trova sull’asse Y delle ordinate, il verso positivo è orario e quindi il I quadrante sarà compreso tra 0° e π/2, il II quadrante sarà compreso tra π/2 e π, ecc. Si consideri un punto di origine (V) e due semirette uscenti da questo passanti per i punti A e B. Si stabilisca convenzionalmente quali dei due punti rappresenti il Punto avanti (PA) e quale il Punto indietro (PI). Definiamo angolo la rotazione oraria che deve compiere la direzione corrispondente al punto indietro per sovrapporsi a quella del punto avanti. Ne risulta che l'angolo viene dato dalla differenza di due direzioni angolari (θ) e precisamente quelle corrispondenti ai punti avanti e indietro:

α = θPA - θPI

se:

(PA)= B e (PI) = A ⇒ α = AVB

viceversa se:

(PA) = A e (PI) = B ⇒ α = BVA

Fig. 1 – Notazione angolare.

Angolo di direzione

Si consideri un riferimento ortonormale R(O,X,Y) nel quale siano noti i punti P e Q tramite le loro coordinate. Definiamo Angolo di direzione di Q rispetto a P (ϑPQ o (PQ)), l'angolo di cui la parallela all'asse Y del riferimento passante per P, deve ruotare in senso orario per sovrapporsi alla direzione PQ.


P

POPO

YY

XX

−−

=ϑO

arctan

Ne consegue che tra ϑPQ e il suo reciproco ϑQP sussiste la relazione:

ϑPQ = ϑQP ± π ( + se ϑQP < π) ( - se ϑQP > π)

Fig. 2 – Angolo di direzione.

Sebbene diverse calcolatrici tascabili riescano a calcolarlo direttamente, risulta interessante (cfr. tab.1) analizzare il comportamento dell'angolo di direzione nei vari quadranti in funzione delle coordinate dei punti P e Q. Come è noto la maggior parte dei calcolatori esegue infatti una riduzione a valori di ϑ compresi tra -π/2 e π/2. Per eseguire il calcolo dell’angolo di direzione occorre

capire in quale quadrante è posto il versore PQ

PQ.

quadrante n°

segno di ϑ segno di (XQ - XP)

segno di (YQ - YP)

valore di (PQ)

1 + + + ϑ 2 - + - ϑ + π 3 + - - ϑ + π 4 - - + ϑ + 2π

Tab. 1 – Riduzione dell'angolo di direzione ai vari quadranti.

7


Nella tabella sopra non sono però contemplati i seguenti casi particolari:

0/0 angolo indeterminato

+/0 ϑ = π/2

-/0 ϑ = 3π/2

0/+ ϑ = 0

0/- ϑ = π

2. Verificare i seguenti angoli di direzione calcolati rispetto al punto P di coordinate:

XP = 123,49 m; YP = 144,35 m

considerando i seguenti punti di coordinate:

1. X = 103,41 m; Y = 182,52 m (4° quadrante ϑ = 369,1695 gon)




Trasporto dell'angolo di direzione e delle coordinate lungo una spezzata

È un caso che spesso si presenta in topografia quando si misurano lunghezze di lati di una spezzata e angoli tra loro compresi. Nello schema di fig.3, si sono misurati angoli orari tra i lati della spezzata rappresentata nonché le lunghezze di tali lati. Per assegnare il sistema di riferimento devono ancora essere note per lo meno le coordinate di un punto (per esempio quello di inizio XO, YO) e un angolo di direzione (per esempio quello del primo lato O1).

1

2

3

4

(12)

(21)

Fig.3 – Trasporto dell'angolo di direzione.

8


9

Per determinare le coordinate di tutti i punti è necessario trovare l'angolo di direzione di tutti i lati della spezzata con la convenzione stabilita risulta:

(21) = (12) ± π (calcolo dell'angolo di direzione reciproco)

(23) = (21) + α - 2π (se supera 2π)

(23)= (12) + α # π

In generale risulta:

ϑi, i-1 = ϑi-1, i ± π (calcolo dell'angolo di direzione reciproco)

ϑi, i+1 = ϑi, i-1 + αi

Se ϑ23 eccede l'angolo giro è necessario sottrarre 2π

ϑi, i+1 = ϑ i-1,i + αi # π

Le coordinate dei vertici della spezzata vengono immediatamente ottenute dalle:

X1 = XO + lO1 sen ϑO1

Y1 = YO + lO1 cos ϑO1

In generale risulta:

Xi = Xi-1 + li-1, i sen ϑi-1, i

Y1 = Yi-1+ li-1, i cos ϑi-1, i

Esempio

In una spezzata di 5 vertici con senso di percorrenza secondo la numerazione crescente, sono state misurate le lunghezze dei lati:

l12 = 80,43 m

l23 = 69,19 m

l34 = 57,82 m

l45 = 95,42 m

e le rotazioni orarie che deve compiere il lato precedente per sovrapporsi al successivo:


10

α2 = 272,71 gon

α3 = 143,56 gon

α4 = 301,54 gon

Il sistema di riferimento è stato scelto con origine nel punto 1 e in maniera che il lato 12 formi un angolo con l'asse Y pari a:

ϑ12 = 47,35 gon

Determinare le coordinate di tutti i vertici.

Calcolo degli angoli di direzione:

ϑ12 = 47,35 gon

ϑ23 =120,06 gon

ϑ34 = 63,62 gon

ϑ45 =165,16 gon

Calcolo delle coordinate:

1 (0; 0)

2 (54,46; 59,19)

3 (120,18; 37,77)

4 (168,81; 69,04)

5 (218,46; -12,43)


11

1.3. LA COMPENSAZIONE EMPIRICA DI UNA POLIGONALE

La determinazione di una misura comporta la presenza (in essa) di un errore accidentale.

Quando si sviluppa una poligonale (fig.4) si parte da un punto A di coordinate note e si arriva ad uno B anch’esso di coordinate note, il che permette di effettuare un controllo sulle misure effettuate e sulla propagazione degli errori.

Tutti gli errori di misura si propagano, questo fa sì che probabilmente il punto B calcolato non coinciderà con il punto B reale, per questo motivo si limiterà il più possibile il numero di punti della poligonale (4, 5 punti sono ottimali prima di richiudersi su B).

Indipendentemente dal numero di lati della poligonale si possono effettuare 3 controlli, infatti, note le coordinate di A e di B si potranno calcolare le coordinate XB, YB di B e l’angolo di direzione (B6) che potranno essere confrontate con i valori noti di XB, YB e (B6). Lo schema visto avrà ridondanza 3.

− XB calcolata ≠ XB nota

− YB calcolata ≠ YB nota

− (B6) calcolata ≠ (B6) nota

Come conseguenza del controllo effettuato si individueranno degli Errori di Chiusura.

− εα = (B6) nota - (B6) calcolata

− εx = XB nota - XB calcolata

− εy = YB nota - YB calcolata

Calcolati tali errori occorrerà dapprima verificare che questi siano minori di una determinata tolleranza, successivamente si provvederà a compensarli.

La verifica sulla tolleranza è di tipo angolare e di tipo lineare:

<ε+ε

<ε αα

lyx t

t

22

nella quale, in mancanza di norme di capitolato si usa porre:

misura) di strumento dallo (dipende lineare

lineari misure di numero

angolare àsensibilit 3

angolari misure di numero 3

à sensibilits

n

snst

nnst

l

l

lll

====

==

α

αααα


Per questo schema di rilievo è di solito sufficiente eseguire una compensazione empirica; infatti, essendo il numero di misure in eccesso, rispetto alle necessarie, assai esiguo, il risultato ottenuto con tale metodo è paragonabile a quello che si ottiene con una compensazione rigorosa (molto più complessa)1.

Nella compensazione empirica occorre ridistribuire tali errori di chiusura sulle misure. Sia 1 il punto di coordinate note, il che implica che l’angolo di direzione (01) è privo di errore; sia α1 l’angolo misurato; avremo allora:

(12)= (01) + α1 - π α1 essendo misurato non è libero da errori

(23) = (12) + α2 - π = (01) + α1 - π + α2 - π =

= (01) + α1 + α2 - 2π π−α+=+ ∑ n)1 0()1n n(

Distribuire uniformemente l’errore vorrà dire calcolare:

n

n

n

ncorretto

n

corretto

corretto

α

α

α

ε+α=α

ε+α=α

ε+α=α

22

11

Volendo si potrà agire direttamente sugli angoli di direzione:

1 Il disegno porta l’esempio di una rete planimetrica in cui supponiamo note le coordinate del

punto 1 e la coordinata y del punto 2 (y2=0). Allora si avrà:

Misure: 8 angoli, 6 distanze m = 14 Coordinate punti incogniti: n = 5 Ridondanza: r = 14-5 = 9

1 2

3 4

X

Y

12


13

nn1)n n(1)n n(

n23) 2(3) 2(

n2) 1(2) 1(

corretto

corretto

corretto

α

α

α

ε++=+

ε+=

ε+=

Successivamente occorrerà eseguire una ridistribuzione degli errori sulle distanze in questo modo:

Una operazione analoga andrà eseguita sulle ordinate.

∑∑

∑

∑

=ε+=

+ε+=

ε+=

i

n

ii

Ycalcolato

ncorretto

n

iY

calcolatocorretto

iY

calcolatocorretto

l

lYY

l

llYY

l

lYY

1

2122

111

...

∑∑

∑

∑

=ε+=

+ε+=

ε+=

i

n

ii

xcalcolaton

corretton

ix

calcolatocorretto

ix

calcolatocorretto

l

lXX

l

llXX

l

lXX

1

2122

111

...


3. Note le coordinate dei punti A, 1, 6, B e le distanze di, misurati gli angoli αi, determinare le coordinate di tutti i punti interni.

$

%

α6

α5

α4

α3

α2

α1

�

Fig.4 – Poligonale aperta.

14

I punti noti sono:

1 ≡ (91,40; 38,90) m; A ≡ (-61,10; 89,05) m

6 ≡ (602,30; -6,20) m; B ≡ (1591,61; 633,54) m

Le distanze sono:

d1 = 50,50 m; d4 = 78,30 m

d2 = 135,40 m; d5 = 168,60 m

d3 = 110,30 m

Gli angoli misurati sono:

α1 = 142° 22’ 08”; α2 = 218° 30’ 20”

α3 = 136° 45’ 10”; α4 = 234° 35’ 50”

α5 = 157° 30’ 30”; α6 = 139° 11’ 10”

σd = ± 3 cm; σα = ± 7”


15

Calcolo degli angoli di direzione (A1) e (B6)

''13'12108180arctg)1()1(1

1

1

1 °=°+

−−=⇒

−−=

A

A

A

A

yy

xxA

yy

xxAtg

''40'0657arctg)6()6(6

6

6

6 °=

−−=⇒

−−=

yy

xxB

yy

xxBtg

B

B

B

B

Calcolo dei restanti angoli di direzione

(12) = (A1)+α1-180° = 70°34’21’’

(23) = (12)+α2-180° = 109°04’41’’

(34) = (23)+α3-180° = 65°49’51’’

(45) = (34)+α4-180° = 120°25’41’’

(56) = (45)+α5-180° = 97°56’11’’

(6B) = (56)+α6-180° = 57°07’21’’

Determinazione dell’errore εα

εα=(6B)-(6B)calcolato=-0°00’41’’

αα

ααα

<ε⇒

°=⋅⋅=σ⋅=

t.B.N

'''''nt

510006733

Calcolo degli angoli di direzione compensati

''14'3470)12()12()12( °=ε

+==α

α

nccompensato

''27'041092)23()23()23( °=ε+==α

α

nccompensato

''31'49653)34()34()34( °=ε

+==α

α

nccompensato

''14'251204)45()45()45( °=ε

+==α

α

nccompensato

''37'55975)56()56()56( °=ε

+==α

α

nccompensato


16

calcolatoccompensato Bn

BBB )6(''40'06576)6()6()6( °=ε

+==α

α

Calcolo delle coordinate dei punti

=+==+=

=m55,70cos(12)

m139,02sin(12)2

112

112

dyy

dxx

=+==+=

=m11,45)23cos(

m266,99)23sin(3

223

223

dyy

dxx

=+==+=

=m56,62)34cos(

m367,62)34sin(4

334

334

dyy

dxx

=+==+=

=m16,97)45cos(

m435,14)45sin(5

445

445

dyy

dxx

−=+==+=

=m6,28)56cos(

m602,13)56sin(6

556

556

dyy

dxx

Determinazione degli errori εx , εy

εx= x6-x6 calcolato= + 0,17 m

εy= y6-y6 calcolato= + 0,08 m

m0,187922 =ε+ε yx

∑ = m543,10d

dyx

ddd

tBN

nt

<ε+ε⇒

=σ⋅=22 ..

0,2013


17

Calcolo delle coordinate compensate

=ε+==

=ε+==

=

∑

∑m55,71

m139,04

21

222

1222

d

dyyy

d

dxxx

yccorretto

xccorretto

( )

( )

=+ε+==

=+

ε+==

=

∑

∑m11,48

m267,05

321

333

21333

d

ddyyy

d

ddxxx

yccorretto

xccorretto

( )

( )

=++

ε+==

=++

ε+==

=

∑

∑m56,66

m367,71

4321

444

321444

d

dddyyy

d

dddxxx

yccorretto

xccorretto

( )

( )

=+++

ε+==

=+++

ε+==

=

∑

∑m17,03

m435,26

54321

555

4321525

d

ddddyyy

d

ddddxxx

yccorretto

xccorretto

−=ε+==

=ε+===

m6,20

m602,306

222

222

yccorretto

xccorretto

yyy

xxx


18

La stessa poligonale può essere risolta in modo rigoroso con il metodo dei minimi quadrati.

Riportiamo qui il risultato grafico ed il listato del programma di elaborazione.

Nel listato, che si raccomanda di riprendere dopo lo studio del metodo dei minimi quadrati, evidenziamo con una cornice:

− le ipotesi di precisione;

− le coordinate compensate;

− gli errori di chiusura;

− gli sqm (Est e Nord) delle coordinate compensate.

Figura 4.b – La poligonale risolta con metodo rigoroso: si notino le ellissi d’errore sui punti 2, 3, 4 e 5.

A

B

1 6 2

3 4

5


LISTATO DEL PROGRAMMA DI ELABORAZIONE STARNET

Project Option Settings Run Mode : Adjust with Error Propagation Type of Adjustment : 2D Project Units : Meters Coordinate System : LOCAL Input/Output Coordinate Order : East-North Angle Data Station Order : At-From-To Convergence Limit; Max Iterations : 0.0100; 10
Instrument Standard Error Sets
Project Default Instrument Distances (Constant): 0.03000 Meters Distances (PPM): 0.00000 Angles: 7.00000 Seconds Direction: 7.00000 Seconds Azimuths & Bearings: 7.00000 Seconds Summary of Unadjusted Input Observations ========================================

19

Number of Entered Stations (Meters) = 4 Fixed Stations E N Description A -61.1000 89.0500 B 1591.6100 633.5400 1 91.4000 38.9000 6 602.3000 -6.2000 Number of Angle Observations (DMS) = 6 At From To Angle StdErr 1 A 2 142-22-08.00 7.00 2 1 3 218-30-20.00 7.00 3 2 4 136-45-10.00 7.00 4 3 5 234-35-50.00 7.00 5 4 6 157-30-30.00 7.00 6 5 B 139-11-10.00 7.00 Number of Distance Observations (Meters) = 5 From To Distance StdErr 1 2 50.5000 0.0300 2 3 135.4000 0.0300 3 4 110.3000 0.0300 4 5 78.3000 0.0300 5 6 168.6000 0.0300 Adjustment Statistical Summary ============================== Convergence Iterations = 3 Number of Stations = 8 Number of Observations = 11 Number of Unknowns = 8 Number of Redundant Obs = 3 Observation Count Sum Squares Error of StdRes Factor Angles 6 8.17 2.23 Distances 5 14.02 3.21 Total 11 22.18 2.72 Adjustment Failed the Chi Square Test at 5% Level


Adjusted Coordinates (Meters) ============================= Station E N Description A -61.1000 89.0500 B 1591.6100 633.5400 1 91.4000 38.9000 6 602.3000 -6.2000 2 139.0923 55.7241 3 267.0703 11.4794 4 367.7663 56.6877 5 435.2802 17.0497 Adjusted Observations and Residuals
Adjusted Angle Observations (DMS) At From To Angle Residual StdErr StdRes 1 A 2 142-21-55.46 -0-00-12.54 7.00 1.8 2 1 3 218-30-08.46 -0-00-11.54 7.00 1.6 3 2 4 136-45-02.17 -0-00-07.83 7.00 1.1 4 3 5 234-35-44.16 -0-00-05.84 7.00 0.8 5 4 6 157-30-26.31 -0-00-03.69 7.00 0.5 6 5 B 139-11-10.75 0-00-00.75 7.00 0.1 Adjusted Distance Observations (Meters) From To Distance Residual StdErr StdRes 1 2 50.5728 0.0728 0.0300 2.4 2 3 135.4104 0.0104 0.0300 0.3 3 4 110.3787 0.0787 0.0300 2.6 4 5 78.2898 -0.0102 0.0300 0.3 5 6 168.6303 0.0303 0.0300 1.0 Adjusted Bearings (DMS) and Horizontal Distances (Meters) (Relative Confidence of Bearing is in Seconds) From To Bearing Distance 95% RelConfidence Brg Dist PPM 1 2 N70-34-08.34E 50.5728 40.61 0.1598 3160.5482 1 A N71-47-47.12W 160.5343 0.00 0.0000 0.0059 2 3 S70-55-43.20E 135.4104 48.78 0.1671 1234.1236 3 4 N65-49-18.96E 110.3787 51.08 0.1526 1382.8088 4 5 S59-34-56.88E 78.2898 48.78 0.1518 1939.3118 5 6 S82-04-30.57E 168.6303 39.39 0.1745 1034.5825 6 B N57-06-40.18E 1178.1348 0.00 0.0000 0.0008
Traverse Closures of Unadjusted Observations (Beginning and Ending on Adjusted Stations) TRAVERSE 1 Error Angular = 40.70 Sec, 6 Angles, 6.78 Sec/Angle Error Linear = 0.0771 S, 0.1736 W Horiz Precision = 0.1899 Error in 543.1000, 1:2859, 349.72 PPM From To Unadj Bearing Unadj Dist 1 A N71-47-47.12W BS

20

1 2 N70-34-14.10E 50.5000 2 3 S70-55-32.69E 135.4000 3 4 N65-49-30.53E 110.3000 4 5 S59-34-46.25E 78.3000 5 6 S82-04-23.04E 168.6000 6 B N57-06-40.18E FS Error Propagation =================


Station Coordinate Standard Deviations (Meters) NOTE - Adjustment Failed the Chi-Square Test Standard Deviations are Scaled by Total Error Factor Station E N A 0.00000 0.00000 B 0.00000 0.00000 1 0.00000 0.00000 6 0.00000 0.00000 2 0.06181 0.02146 3 0.08327 0.03246 4 0.07241 0.02856 5 0.07068 0.01603 Station Coordinate Error Ellipses (Meters) NOTE - Adjustment Failed the Chi-Square Test

21

Error Ellipses are Scaled by Total Error Factor Confidence Region = 95% Station Semi-Major Semi-Minor Azimuth of Axis Axis Major Axis A 0.00000 0.00000 0-00 B 0.00000 0.00000 0-00 1 0.00000 0.00000 0-00 6 0.00000 0.00000 0-00 2 0.15985 0.00983 71-08 3 0.20388 0.07930 91-28 4 0.18072 0.06035 101-57 5 0.17447 0.03218 97-32


22

1.4. LA SOLUZIONE DI UNA EQUAZIONE NON LINEARE

Molte volte in Topografia ci si trova ad operare con funzioni non lineari, quali ad esempio la distanza tra due punti aventi coordinate note.

22 )()( ABABAB YYXXd −+−=

Per trovare la soluzione di un'equazione non lineare conviene linearizzarla troncando lo sviluppo di Taylor al primo membro procedendo poi in modo iterativo.

Sia f(x)=0 l’equazione non lineare, ipotizzando di conoscere un valore approssimato x0 della soluzione si ha:

0...)()(')()( 000 =+−⋅+= xxxfxfxf

e, trascurando i termini non lineari, si ha:

0)()(')( 0)( 000 =−⋅+⇒= xxxfxfxf

da cui:

)('

)()(

0

00

xf

xfxx −=−

Calcolato (x-x0) si aggiorna x0 e si itera sino a raggiungere la convergenza, sino cioè a quando (x- x0) è piccolo a piacere.


23

4. Determinare la soluzione della radice: x=3 7 . Tale equazione può essere vista

come 073 =−x . Sia x0 = 1 il punto di partenza, allora si avrà:

9635,1x 9635,1296,0

296,03

7

26,2x 26,274,0

74,03

7

3x 32

23

6

3

7

323

2

3

212

2

3

101

2

3

=⇒=−=

−=−−=∆

=⇒=−=

−=−−=∆

=⇒=+=

==−−=∆

xxx

xx

xxx

xx

xxx

xx


1.5. LA SOLUZIONE DI SISTEMI DI EQUAZIONI NON LINEARI

Nel caso di misure topografiche (salvo il caso di reti di livellazione e pochi altri casi) le equazioni:

=−

=−

0

0

021

0

1211

mnm

n

y)x,...,x,x(f

...

y)x,...,x,x(f

1

24

sono del tipo trascendente, mentre normalmente è possibile trovare soluzione unica solo nel caso in cui le equazioni f siano lineari.

Si esce da questa fase di stallo facendo l’ipotesi che, in un piccolo intorno della soluzione che si cerca, cioè nell’intorno delle stime dei parametri ( � , � ,... � )x x xn1 2 , la funzione trascendente sia praticamente lineare (rispetto a quanto può fluttuare in funzione della precisione delle misure y).

In questo caso possiamo linearizzare, senza sensibili errori, le funzioni fj nell’intorno di valori approssimati ( , ,... )x x xn1

020 0 utilizzando lo sviluppo di

Taylor e trascurare il resto dal secondo ordine in poi (ipotizzando che R<v).

=−+δ∂∂++δ

∂∂+δ

∂∂+

=−+δ∂∂++δ

∂∂+δ

∂∂+

0...),...,,(

...

0...),...,,(

22

11

002

01

0

111

22

11

1

1002

01

01

nmnn

mmmnm

nn

n

yRxx

fx

x

fx

x

fxxxf

yRxx

fx

x

fx

x

fxxxf

2

Trascurando dunque i resti R avremo:

f x x xf

xx

f

xx

f

xx y

f x x xf

xx

f

xx

f

xx y

nn

n

m nm m m

nn n

10

10

20 0 1

11

1

22

11

010

20 0

11

22

0

0

( , ,..., ) ...

...

( , , ..., ) ...

+ + + + − =

+ + + + − =

∂∂

δ∂∂

δ∂∂

δ

∂∂

δ∂∂

δ∂∂

δ

che in forma matriciale sarà:

0

1

11

21

1

2

1

1

1

002

01

0

002

01

01

=

=

δ

δ

⋅

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

nnn

mmm

n

nm

n

y

...

...

...

y

x

...

...

...

x

x

f...

x

f

x

f

...

x

f...

x

f

x

f

)x,...,x,x(f

..

..

)x,...,x,x(f


25

Definita la matrice delle derivate parziali (matrice Jacobiana) Matrice Disegno [A], la relazione anzi vista diverrà in notazione matriciale:

[ ] 0yxA0

==δ⋅+f

Infine la soluzione del sistema sarà:

[ ]0

1Ax f⋅=δ −


26

1.6. LINEARIZZAZIONE DELLE EQUAZIONI DI MISURE DI UNA RETE PLANIMETRICA

In una rete planimetrica prendiamo in considerazione quattro tipi di misure:

− distanze dij tra due punti i e j

− direzioni azimutali t ij misurate dalla stazione i verso il punto j

− azimut ϑ ij misurati dalla stazione i sul punto j

− angoli azimutali α j i k, , misurati sulla stazione i tra il punto indietro j ed il punto avanti k.

Tutte queste equazioni non sono lineari nelle incognite coordinate dei punti (di stazione ed osservati). Scriviamo dunque le equazioni generatrici di queste misure e vediamo come si linearizzano per poter calcolare la matrice disegno

∂∂=x

fA che serve a progettare la rete e a calcolare la soluzione ai minimi

quadrati.

DISTANZA dij

La distanza tra i punti i e j si esprime con il teorema di Pitagora:

( ) ( )d x x y yij j i j i= − + −2 2

3

o, nella forma 1:

( ) ( )x x y y dj i j i ij− + − − =2 2

0 4

L’equazione si linearizza attorno ai quattro valori approssimati dei parametri x0: (xi)0; (yi)0; (xj)0; (yj)0, vale a dire le derivate vanno calcolate utilizzando tali valori approssimati.

Nelle formule che seguono i pedici zero (0) indicano questo.

∂∂

f

x

x x

di

j i

ij

= −−

0

; 0

−−=

∂∂

ij

ij

i d

yy

y

f 5


∂∂

f

x

x x

dj

j i

ij

=−

0

; ∂∂

f

y

y y

dj

j i

ij

=−

0

6

il termine noto:

( ) ( )l d x x y yij j i j i= − − + −

2 2

0

7

AZIMUT ϑij

L'azimut è l’angolo azimutale misurato in Pi tra la direzione del nord (geografico o cartografico a seconda dei casi) ed il punto Pj.

L’azimut tra i punti i e j si esprime, secondo la forma 1 con:

0atn =−−−

ijij

ij

yy

xxϑ 8

L’equazione si linearizza attorno ai quattro valori approssimati dei parametri (delle coordinate). I parametri possono essere tutti incogniti o solo in parte.

0

2

0

2;

−−=

−+=

ij

ij

iij

ij

i d

xx

y

f

d

yy

x

f

∂∂

∂∂

9

0

2

0

2;

−+=

∂∂

−−=

∂∂

ij

ij

jij

ij

j d

xx

y

f

d

yy

x

f 10

27


il termine noto, calcolato anch’esso nei valori approssimati, vale:

0

atn

−−

−=ij

ijij

yy

xxl ϑ 11

Si può obiettare che l’equazione 8 o la 11 valgono solo nel primo quadrante. Ciò è vero, ed il termine noto 11 va corretto di π nel II e III quadrante e di 2π nel IV quadrante2, come mostra il grafico. Le derivate tuttavia non cambiano, dunque le 9 e 10 sono sempre corrette.

2 N.B. Le equazioni angolari saranno espresse in seguito in radianti. 200 gon

esprime l’angolo piatto π.

28


29

DIREZIONI AZIMUTALI tij

La direzione azimutale è l’angolo azimutale misurato in Pi tra la direzione dello zero del cerchio del teodolite ed il punto Pj.

La direzione azimutale differisce dall'azimut tra i punti i e j dell’angolo δ i detto correzione d’orientamento.

Si esprime, secondo la forma 1 con:

( ) 0atn =δ+−−−

iij

ij

ijt

yy

xx 12

L’equazione si linearizza attorno ai valori approssimati x0: ( ijjii yxyx δ,,,, )0.

Come si vede l’equazione coinvolge cinque parametri, che possono essere tutti od in parte incogniti.

∂∂

f

x

y y

di

j i

ij

= −−

2

0

;0

2ij

ij

i d

xx

y

f

−=

∂∂ 13

∂∂δ

f

i

= −1 14

∂∂

f

x

y y

dj

j i

ij

=−

2

0

;∂∂

f

y

x x

dj

j i

ij

= −−

2

0

15


0

0 atn

−−

−δ+=ij

ijiij

yy

xxtl 16

Pi

Pj t ij

0

ϑ ij

δ i

Y

X


30

ANGOLI AZIMUTALI αijk

L’angolo azimutale misurato in Pj tra il punto indietro i ed il punto avanti k , si ottiene come differenza tra le direzioni azimutali:

α ijk jk jit t= − 17

(È positivo cioè se misurato in senso orario).

L’equazione 17 ha il vantaggio di essere indipendente dalla direzione dello zero del cerchio, ma ha il noto svantaggio di essere una quantità correlata con gli altri angoli azimutali misurati dalla stessa stazione.

Perciò (a meno che sia l’unico angolo misurabile da Pj) si evita di usare queste equazioni generatrici e si preferisce usare le equazioni delle direzioni azimutali.

Si esprime, secondo la forma 1 con:

0atnatn =α−−−

−−−

ijkji

ji

jk

jk

yy

xx

yy

xx 18

L’equazione si linearizza attorno ai valori approssimati x0: ( kkjjii yxyxyx ,,,,, )0. Come si vede l’equazione coinvolge sei parametri, che

possono essere tutti od in parte incogniti.

0

2

−−=

∂∂

ij

ji

i d

yy

x

f;

0

2

−=

∂∂

ij

ji

i d

xx

y

f 19

0

2

0

2

−−

−=

∂∂

kj

jk

ij

ji

j d

yy

d

yy

x

f;

0

2

0

2

−−

−=

∂∂

ij

ji

kj

jk

j d

xx

d

xx

y

f 20


0

2

0

2

−−

−=

∂∂

ij

ji

kj

jk

j d

xx

d

xx

y

f;

0

2

−−=

∂∂

kj

jk

k d

xx

y

f 21


00

atnatn

−−

+

−−

−α=ji

ji

jk

jkijk

yy

xx

yy

xxl 22

5. Note le coordinate dei punti 1, 2 e misurate le distanze 1P, 2P, determinare la posizione del punto P sapendo il valore approssimato delle coordinate XP, YP.

P

1 = (1; 0)

2 = (8; 2)

d1 = 1P = 6,5 m

d2 = 2P = 7,8 m

P ≅ (2; 6)

L’equazione che lega la distanza tra i punti 1, 2, P e le rispettive coordinate è la seguente3:

222 )()( iPiPi yyxxd −+−=

tale relazione può essere linearizzata mediante lo sviluppo di Taylor fermato al primo ordine:

3 N.B. La formula della distanza deve essere linearizzata in genere non come segue ma con la

3, in quanto in tal modo l’equazione è lineare nella misura d ed è più consona al trattamento automatico delle equazioni secondo il metodo dei minimi quadrati.

31


32

xx

fff ∆

δδ

+= 0

che in forma matriciale può essere vista come:

∆∆

⋅

+

P

P

y

x

aa

aa

f

f22

12

21

11

20

10

nella quale la matrice disegno è composta dai seguenti termini:

555,0832,0

987,0 164,0

2

212

22

2212

1

1121

1

1111

=−=∂∂=−=−=

∂∂=

=−=∂∂==−=

∂∂=

d

yy

y

fa

d

xx

x

fa

d

yy

y

fa

d

xx

x

fa

P

P

P

P

P

P

P

P

d1, d2 rappresentano le distanze tra i punti 1, 2 e la posizione approssimata del punto P:

( ) ( )( ) ( ) m 21,7

m 08,6

22

222

21

211

=−+−=

=−+−=

yyxxd

yyxxd

PP

PP

e 20

10 , ff rappresentano la differenza tra la distanza calcolata e quella reale:

mddf

mddfdatocalcolato

datocalcolato

59,0

42,0

222

0

111

0

−=−=

−=−=

Lo sviluppo di Taylor in forma matriciale può essere scritto come:

[ ] ( )iP fAx 0

1)( ⋅=∆ −

−

=

−−

⋅

−=

∆

∆489,0

383,0

59,0

42,0

0,180 0,912

1,0820,608

y

x

P

P

si arriva così a determinare:

xp = 1,617 m; yp = 6,489 m


33

6. Note le coordinate dei punti A1, A2, A3, misurati gli angoli α1, α2 determinare la posizione del punto P sapendo il valore approssimato delle coordinate XP, YP.

α1

α2

X

Y

Le coordinate dei punti noti valgono:

A1 = (-1876,56; 4262,18)

A2 = (-2814,93; 2931,65)

A3 = (-2623,68; 2139,28)

Le quantità misurate valgono:

α1 = 33,8511 gon

α2 = 21,0723 gon

I termini dellla matrice di disegno valgono:

22

2322

2

22

2321

2

21

2212

1

21

2211

1

P 2P 3~

P 2P 3~

P 1P 2~

P 1P 2~

PP

P

PP

P

PP

P

PP

P

XXXX

Y

fa

YYYY

X

fa

XXXX

Y

fa

YYYY

X

fa

−−

−=

∂∂

=

−+

−−=

∂∂

=

−−

−=

∂∂

=

−+

−−=

∂∂

=


34

Il valore approssimato delle coordinate è:

m )3265;4618(~

−≡P

Con tali coordinate determiniamo dapprima gli angoli azimutali:

rad2,0846758arctg3) (

rad,75361121arctg2) (

rad,2219311arctg1) (

3

3

2

2

1

1

=+=

=+=

==

π

π

P

P

P

P

P

P

-YY

-XXP

-YY

-XXP

-YY

-XXP

Gli angoli α1, α2 possono essere determinati per differenza tra gli angoli azimutali:

rad0,33106462) (-3) (

rad0,5316802 1) (-2) (

2

1

==α==α

PP

PP

Otteniamo così il seguente sistema di equazioni:

=−−−−−+

−−

→

=−−−

−+−−

→

0arctgarctg

0arctgarctg

22

2

3

32

11

1

2

21

.�

YY

XX�

YY

XXf

.

YY

XX�

YY

XXf

P

P

P

P

P

P

P

P

che linearizzato diverrà:

=∆∂∂+∆

∂∂+α

=∆∂∂+∆

∂∂+α

0~~),~

,~

(

0~~),~

,~

(

2212

1111

P

P

P

P

PP

P

P

P

P

PP

YY

fX

X

fYXf

YY

fX

X

fYXf

Procediamo ora al calcolo delle derivate parziali, dove i termini a denominatore 22

P 2,P 1 , ecc., indicano il quadrato della distanza tra i punti 1P, 2P,…

2..222

2..222

2..222

m 557,7812445)()(P 3

m 183,6483623)()(P 2

m 861,2265098)()(P 1

=−+−=

=−+−=

=−+−=

PP

PP

PP

YYXX

YYXX

YYXX

33

22

11


35

Sostituendo i valori nelle espressioni precedenti si avrà:

105601,1 101549,1

101413,2 101631,242

241

2

421

411

−−

−−

⋅−=⋅=

⋅=⋅=aa

aa

Una volta determinato il valore delle funzioni f1, f2, il sistema di equazioni linearizzato in forma matriciale sarà:

−

=

∆∆

⋅⋅−

⋅

−

=

∆∆

=

∆∆

⋅

⋅−⋅⋅⋅

+

⋅⋅−

=

∆∆

⋅

+

−

−

−−

−−

−

−

33253,0

08875,0

10162,6

10158,5

66,372921,1991

90,369183,2689

105601,1101549,1

101413,2 101631,2

10162,6

10158,5

5

5

44

44

5

5

22

12

21

11

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

aa

aa

f

f

0

0

Le coordinate compensate risulteranno quindi:

( )3265,333 4618.089;−=P m


36

1.7. SISTEMI DI RIFERIMENTO

La rappresentazione analitica della misura dipende dal sistema di riferimento; una sua scelta oculata può mettere in luce alcune peculiarità o particolari proprietà della grandezza che si studia.

Sistemi di riferimento piani

I sistemi di riferimento piani si possono dividere in:

Sistema Cartesiano ortogonale

È costituito da una coppia di rette orientate ortogonali fra loro sulle quali è fissata un'origine. Un punto è individuato nel riferimento R(O,X,Y) con le coordinate cartesiane cioè le lunghezze con segno delle proiezioni ortogonali OP1 e OP2. Viene spesso utilizzato nella fase di restituzione cartografica o nella fase di calcolo più raramente queste coordinate sono oggetto di misura diretta.

Sistema Polare

È costituito da un polo e da una semiretta orientata con origine nel polo, sulla quale è fissata un'unità di misura. Un punto P è individuato in un riferimento R(O,ρ,ϑ) tramite la distanza ρ (lunghezza del tratto OP) e l'angolo di direzione ϑ. Per come sono costruiti alcuni strumenti topografici, viene spesso usato come naturale riferimento nelle operazioni di misura.

0

Fig.5 – Sistemi di riferimento.

Il passaggio tra i due sistemi si effettua mediante semplici relazioni trigonometriche e geometriche.


37

Da Polare a Cartesiano

XP = ρ sen ϑ

YP = ρ cos ϑ

Da cartesiano a Polare

P

P

PP

Y

X

YX

arctan

22

=ϑ

+=ρ

Le operazioni di misura e quelle di calcolo e restituzione dell'elaborato cartografico normalmente non sono eseguite negli stessi sistemi di riferimento, occorre quindi eseguire le trasformazioni dirette e inverse tra questi. I problemi della trasformazione tra sistemi nascono anche in quanto molto spesso è necessario riferire l'elaborato, rappresentato in un riferimento puramente locale, in un sistema globale (quale ad esempio il sistema di coordinate nazionale). Esaminiamo allora alcuni problemi geometrici di trasformazione, rimandando ai capitoli successivi le trasformazioni che fanno uso di sistemi geografici e cartografici.

Si analizzano in particolare i seguenti casi:

− rototraslazione senza variazione di scala (trasformazione congruente)

− rototraslazione con variazione di scala isotropa (trasformazione affine particolare)

Rototraslazione senza variazione di scala

Supponiamo di voler eseguire la trasformazione da un sistema locale (O, X, Y) ad uno globale (O, E, N) e che gli assi di detti sistemi siano tra loro ruotati e traslati. La trasformazione si può effettuare noti 3 parametri: la rotazione α e le due traslazioni (E0, N0) dell'origine del sistema locale. Con riferimento alla figura 6 le trasformazioni possono essere espresse mediante le formule:

αα−αα

+

=

P

P

P

p

Y

X

Y

X

Y

X

'

'

cossen

sencos

'

'

0

0

o quelle inverse:

−−

ααα−α

=

0

0

'

'

'

'

cossen

sencos

YY

XX

Y

X

P

P

P

p


‘

Fig.6 – Rototraslazione piana.

38

Rototraslazione con variazione di scala isotropa

La trasformazione è analoga a quella precedente ma contempla il caso che i due sistemi di riferimento siano in una scala diversa. Per effettuare questa trasformazione è allora necessario conoscere 4 parametri e, precisamente, i tre precedenti più un fattore di scala λ. In notazione matriciale la trasformazione da sistema locale a globale si può esprimere come:

αα−αα

λ+

=

P

P

P

p

Y

X

Y

X

Y

X

'

'

cossen

sencos

'

'

0

0

e quella inversa (da sistema globale a quello locale):

−−

ααα−α

λ=

−

0

01

'

'

'

'

cossen

sencos

YY

XX

Y

X

P

P

P

p

Molto spesso il fattore di scala risulta essere dovuto a deformazioni indotte nell'elaborato cartografico dal tipo di rappresentazione, o da stiramenti del supporto cartaceo o ancora dalla propagazione degli errori nelle misure. In alcuni casi, è utile invece stimare i parametri della trasformazione, con una procedura a ritroso, a partire da un numero sufficiente di punti noti nei due sistemi di riferimento. Il sistema può essere riscritto:

0cos'sen'

0sen'cos'

0

0

=−+−=−++

PPP

PPP

YYXY

XYXX

αλαλαλαλ


39

Il sistema non è lineare nelle quattro incognite X0, Y0, λ e α, ma può essere linearizzato con la sostituzione:

a = λ cosα

b = λ senα

In tale modo i quattro parametri incogniti sono X0, Y0, a, b:

0''

0''

0

0

=−−+=−++

PPP

PPP

YbXaYY

XbYaXX

È necessario disporre di almeno 4 equazioni, derivanti dalla conoscenza di almeno due punti di coordinate note nei due sistemi di riferimento. Ricavati i 4 parametri si può risalire all'angolo α e al fattore di scala λ mediante le:

a

b

ba

arctg

22

=α

+=λ

I modelli di trasformazione possono essere ulteriormente ampliati, introducendo ulteriori parametri che modellizzano effetti più complessi di cambio di sistema di riferimento e deformazioni eventuali. Non vengono in questa sede affrontate le trasformazioni affini (a 5 e 6 parametri) e omografiche (a 7 e 8 parametri).

7. Siano date le coordinate di 4 punti espresse in un sistema di riferimento locale:

X1= 120,37 m; X2 = 215,51 m; X3 = 150,14 m; X4 = 392,12 m

Y1= 85,95 m; Y2 = 321,07 m; Y3 = 412,30 m; Y4 = 49,75 m

Le coordinate dei punti 1 e 2 sono pure note in un sistema di riferimento globale:

E1 = 1214,17 m; E2 = 1338,59 m

N1 = 1417,61 m; N2 = 1638,56 m

Si vogliono ricavare i parametri della trasformazione da sistema locale a globale e le coordinate dei punti 3, 4 nel sistema globale.

Possiamo portarci in un sistema di riferimento baricentrico sia per le coordinate (X, Y) che per le coordinate (E, N); per fare ciò è sufficiente sottrarre a queste coordinate le costanti (X

G, Y

G), (E

G, N

G), dove:

XG

= (X1+ X

2 )/2; Y

G = (Y

1+ Y

2 )/2; E

G = (E

1+ E

2 )/2; N

G = (N

1+ N

2 )/2


40

Indicheremo queste coordinate baricentriche con (x, y) e con (e, n).

Nell’esempio si ha:

XG

= 167,94; YG

= 203,51; EG

= 1276,38; NG

= 1528,085

Il sistema può essere scritto in coordinate baricentriche nella forma:

0

0

0

0

=−+−=−++

naybxn

ebyaxe

Con i due punti noti in entrambi i sistemi si può scrivere il sistema di quattro equazioni in quattro incognite:

=

−−

2

1

2

1

0

0

22

11

22

11

10

10

01

01

n

n

e

e

n

e

b

a

xy

xy

yx

yx

Ora osserviamo la prima e la seconda equazione, la terza e la quarta: nel sistema baricentrico:

x1 = - x

2; y

1= - y

2; e

1= - e

2; n

1= - n

2

La somma delle prime due equazioni e quella delle ultime due ci forniscono:

e0 = n

0 = 0

Il sistema di quattro equazioni si è ridotto ad un sistema di due equazioni in due incognite. Possiamo sfruttare le sole due equazioni indipendenti, ad esempio la prima e la terza o la prima e la quarta:

=

− 2

1

22

11

n

e

b

a

xy

yx

e numericamente:

−=

−−−

475,110

21,62

57,4756,117

56,11757,47

b

a

Si può risolvere il sistema o invertire la matrice dei coefficienti e moltiplicarla per il vettore dei termini noti. In ogni caso si ricavano i valori:

a = 0,99151367; b = 0,1279661

da cui si ricavano:

λ = 0,9997373; α = 8,17113 gon


41

Le coordinate dei punti 3 e 4 nel sistema globale sono ricavabili dalle:

0

0

0

0

=−+−=−++

naybxn

ebyaxe

−

=

y

x

ab

ba

n

e

da questa si ricava:

−−

−

+

=

G

G

G

G

YY

XX

ab

ba

N

E

N

E

ed, inserendo i valori numerici:

E3 = 150,14 m; N3 = 412,30 m

E4 = 1478,98 m; N4 = 1346,94 m

N.B. Tale modo di risolvere il problema NON è più valido nel caso in cui il numero di misure superi il numero di incognite, quando si hanno a disposizione ad esempio tre o più punti di coordinate note in entrambi i sistemi. In tal caso occorre seguire la tecnica statistica di risoluzione, basata sull’applicazione del metodo dei minimi quadrati. Vedremo tuttavia che anche in quel caso sarà comodo riferirsi ad un sistema baricentrico.

Sistemi di riferimento spaziali

I sistemi di riferimento spaziali si possono dividere in (fig. 7):

Cartesiano ortogonale spaziale

È analogo a quello trattato nel caso piano con la sola aggiunta della terza coordinata Z. Un punto è individuato nel sistema di riferimento R mediante le tre coordinate R(X, Y, Z).

Cilindrico

È analogo a quello polare piano. La terza dimensione viene rappresentata dalla coordinata Z analogamente a quanto avviene nel riferimento cartesiano ortogonale spaziale. Un punto è individuato nel sistema di riferimento R mediante i parametri R(O, ρ0, ϑ, Z). Può essere utilizzato in sede di misura qualora si desideri separare nel rilievo la parte altimetrica da quella planimetrica (esempio: rilievo planimetrico condotto per coordinate polari e altimetria misurata direttamente con livellazione geometrica).


Polare spaziale

In questo riferimento un punto viene individuato mediante un angolo di direzione λ, una distanza spaziale σ ed un angolo ϕ, di cui deve ruotare in senso orario l'asse Z per sovrapporsi alla direzione OP. Come detto precedentemente, se l'asse Z coincide con la verticale, l'angolo ϕ è anche detto angolo zenitale. Alternativamente è possibile usare il complementare angolo α dell'angolo ϕ (se l'asse Z coincide con la verticale l'angolo α viene detto angolo di altezza). Un punto viene determinato nel sistema di riferimento R mediante i parametri R(O, σ, ϑ, ϕ). Esistono strumenti topografici (strumenti integrati e stazioni totali) che possono misurare sia angoli (azimutali e zenitali) che distanze. Il sistema polare spaziale risulta il loro naturale riferimento.

λ

σ

Fig.7 – Sistemi di riferimento spaziali.

42

Analogamente ai sistemi piani le trasformazioni possono essere espresse con semplici relazioni trigonometriche e geometriche:


43

Da polare a cartesiano e viceversa

ϕσ=λϕσ=λϕσ=

senZ

senY

X

cos

coscos

σ=ϕ

=λ

++=σ

ZX

YZYX

arccos

arctan

222

Da polare a cilindrico e viceversa

ϕσ=

ϕσ=ρ

cos

0

Z

sen

+ρ=σ

ρ=ϕ

220

0

Zarctan

Z

Da cartesiano a cilindrico e viceversa

ϑρ=

ϑρ=

cos0

0

Y

senX

=ϑ

+=σ

Y

X

YX

arctan

22

45

2. GEODESIA

8. Superga ha coordinate geodetiche:

( ) ( )m764,310 ;307,"03'414 ;308,"48'0445, , °−°=hωϕ

ricavare r, RN, (x, y, z) nel sistema di Hayford.

093,"05'467307,"03'414400,"08'2712 °=°−°=λω+λ=λ MM

Nel sistema di Hayford si hanno le seguenti costanti:

a = 6378388,00m; α=1/297

00672267,01

m 946,9113566)1( 1

2

22 =−=

=−=⇒−=

a

ce

aca

c αα

Sapendo che valgono le seguenti relazioni, otteniamo:

m 17,1653896cos

m 791,5025114sin1

cos

..

..

22

=ϕ

=

=ϕ−

ϕ=

rR

e

ar

N

Infine possiamo determinare (x, y, z):

=+−⋅==+=

=+=

m219,9384934sin h sin)1(

m712,820609 sin cos)(

m469,3194704 cos cos)(

2 ϕϕλϕ

λϕ

eRZ

hRY

hRX

NS

NS

NS

GEODESIA

46

9. Date le coordinate di un punto P = (ϕ ; λ ; h ) sull’ellissoide GRS 80:

( ) ( )m764,310 ;6046,"40'397 ;1186,"48'0345, , °°=λϕ h

− passare da (ϕ ; λ ; h ) ⇒ (X, Y, Z ) ⇒ (ψ ; λ ; σ )

− passare da (ψ ; λ ; σ )⇒ (X, Y, Z ) ⇒ (ϕ ; λ ; h )

Determiniamo le coordinate (X , Y , Z ).

180066943805,01

m 312,7523566

)-(1c 1 2572,298

1 m 00,1373786

2

22 =−=

=

⋅=⇒−===

a

ce

c

aa

ca ααα

=+−⋅==+=

=+=

=−

=

m117,5454924sin h sin)1(

m185,634601 sin cos)(

m489,5444724 cos cos)(

m 021,8623886sin1

2

22

ϕϕλϕ

λϕϕ

eRZ

hRY

hRX

e

aR

NP

NP

NP

N

Determiniamo le coordinate (ψ ; λ ; σ ) utilizzando le relazioni:

253

m 655 776, 367 6

4,15" 52' 44 arcsen

6046,40" 39' 7 arctg

222

222

=++=

°=++

=

°==

PPPP

PPP

PP

P

pP

ZYX

ZYX

ZX

Y

σ

ψ

λ

Determiniamo ora le coordinate (XP, Yp, Zp ) partendo dalle coordinate (ψ; λ;σ)

======

m117,5454924 sin

m185,634601 sin cos

m489,5444724 cos cos

ψσλψσλψσ

P

P

P

Z

Y

X

Ricaviamo ora le coordinate (ϕ; λ; h) utilizzando il metodo perturbativo:

GEODESIA

47

87095,44arctg tg1

m 148,828 512 4cos)(

661279,7arctg

2

22

°==⇒

+

−=

=+=+=

°==

r

Z

hR

Re

r

Z

hRYXr

X

Y

N

N

N

ϕϕ

ϕ

λ

avendo trascurato in prima approssimazione il secondo termine in parentesi. Si procede quindi con il calcolo di RN utilizzando il ϕ appena calcolato:

m96,789 388 6sen1 22

=ϕ−

=e

aRN

e quindi a partire dalla relazione ϕcos)( hRr N += ricavo:

m31,013 21cos

−=−ϕ

= NRr

h

e così procedo con successive iterazioni sino alla convergenza dei risultati:

==

=ϕ°

==

=ϕ°

==

=ϕ°

==

=ϕ°

°

°

°

°

m764,310

m021,862 388 6

0634,45

.4

m765,310

m021,862 388 6

0634,45

.3

m522,310

m020,862 388 6

0634,45

.2

m778,382

m263,862 388 6

0640,45

.1

h

Riteraz

h

Riteraz

h

Riteraz

h

Riteraz

N

N

N

N

10. Date le coordinate di un punto P = (ϕ ; λ ; h ) sull’ellissoide GRS 80:

( ) ( )m 005 ;01 ;45, , °°=λϕ h ,

determinare il valore della gravità normale γ e stimare il potenziale di gravità W(P).

Le costanti dell’ellissoide GRS 80 sono:

GEODESIA

48

( )

15

239.

..

22

2

22

s rad 1029215,7

sm 105,600398

m 3,8383886sin1

00669438,01

313,63567521 1

257224,298

1 00,6378137

−−

−+

⋅=ω⋅=

=ϕ−

=

=−=

=⋅α−=−=α

=α=

GM

e

aR

a

ce

aca

c

a

N

mediante le quali otteniamo le coordinate geocentriche:

=+−⋅==+=

=+=

m9,7014874sinh sin)1(

m8,532784sin cos)(

m7,3064494cos cos)(

..2

.

..

ϕϕλϕ

λϕ

eRZ

hRY

hRX

NP

NP

NP

passiamo alle coordinate polari utilizzando le relazioni:

=++=σ

°=++

=ψ

°==λ

m 989,540 367 6

33,27" 48' 44 arcsen

10 arctg

222

222

PPPP

PPP

PP

P

pP

ZYX

ZYX

ZX

Y

Si può ora procedere con il calcolo di γ e di W (in realtà il potenziale normale U è la sola parte stimabile) dopo aver calcolato k:

210232

m104042072,43

2

2⋅=

ω−α= a

GM

ak

20

252

22620

ms 80465712,9

ms 00154275,010)sen00142,01(30877,0

ms 80619988,9)2sen108,5sen0053024,01(780327,9

−

−−

−−

=γ+γ=γ

−=∆⋅⋅ϕ⋅−⋅−=γ

=ϕ⋅⋅−ϕ⋅+⋅=γ

h

h h

( ) 2232

22

ms 038 632 62cos

sen312

1 −=

ψσω+ψ−σ

+σ

=GM

kGMU

GEODESIA

49

11. Il vertice IGM del 1° ordine Superga (asse cupola) ha le seguenti coordinate geografiche (riferite all’ellissoide internazionale):

ϕ = 45°04’48,308”; λ = -4°41’03,307”; h = 310,764 m

Calcolare:

1. i raggi principali di curvatura ed il raggio della sfera locale;

2. il raggio di curvatura di una sezione obliqua di azimut α = 45° ed inclinata di β = 30° rispetto alla normale n’;

3. il raggio del parallelo.

L' ellissoide internazionale di Hayford è caratterizzato dalle seguenti costanti:

a = 6378388 m

e2 = 0,006722670022

Il raggio minimo di curvatura ρ sarà:

( )( ) m651,6763676

sin1

12/322

2

e

ea =ϕ−

−⋅=ρ

Il raggio massimo di curvatura RN sarà:

( ) m170,165 389 6sin1 22

=ϕ−

=e

aRN

Il raggio della sfera locale sarà:

m861,411 378 6=⋅ρ= NRR

Di seguito calcoleremo il raggio di curvatura della sezione obliqua.

Mediante le formule di Eulero si verrà ad avere:

m812,402 378 6

sincos1 22

=

α+ρ

α=

a

Na

R

RR

Il raggio di curvatura della sezione obliqua sarà:

m346,179 533 5cos =β⋅= αRr

Il raggio del parallelo vale:

m791,502 511 4cos =ϕ⋅= NRr

GEODESIA

50

12. Si considera la geodetica uscente con azimut α = 40° da un punto di latitudine ϕ = 44° , λ = 9°.

Calcolare l’azimut della geodetica in P’ e P” di latitudine ϕ’ = 45° e ϕ” = 46° con i parametri dell’ ellissoide di Hayford.

a = 6378388,00 m; α = 1/297

00672267,01

m 946,9113566)1( 1

2

22

..

=−=

=⋅α−=⇒−=α

a

ce

aca

c

Si utilizza la relazione di Clairaut:

=⋅ αsinr cost =K

Si avrà:

( ) ( ) 737,2954051sin1

cossen

sin1

cos2222

=ϕ−ϕ⋅α⋅=⇒

ϕ−ϕ⋅=

e

aK

e

ar

Da cui si otterranno le seguenti relazioni:

( )

( )

=α⋅ϕ−

ϕ⋅

=α⋅ϕ−

ϕ⋅

Ke

a

Ke

a

"

"22

"

'

'22

'

sensin1

cos

sensin1

cos

Mediante le quali si avrà:

( )

( )

°=

⋅

ϕ⋅ϕ−

=α

°=

⋅

ϕ⋅ϕ−

=α

72436,41cos

sen1arcsen

83398,40cos

sen1arcsen

''

''22"

'

'22'

Ka

e

Ka

e

13. Verificare i teoremi della geodesia operativa.

A partire dal vertice IGM di Superga considerare una geodetica uscente avente azimut α=100° e una lunghezza di 100, 500, 1000, 10000, 20000 km.

GEODESIA

51

L' ellissoide internazionale è caratterizzato dalle seguenti costanti:

a = 6378388 m

e2 = 0,006722670022

Le coordinate di Superga sono:

=°−=λ°=ϕ

m764,310

307,"03'414

308,"48'0445

h

Viene di seguito determinato l'errore ε:

ϕα⋅

−

⋅⋅

⋅=−=εα

422

2

22

4

'

'

cos2sen1360

1

e

e

RR

s

s

ss

N

I raggi di curvatura massimo e minimo saranno:

( ) m170,6389165sin1 22

=ϕ−

=e

aRN ;

( )( ) 65,6367676

sin1

12/322

2

=ϕ⋅−

−⋅=ρe

ea m

da cui si avrà:

622

10156530897,0sencos1 −⋅=+=

NRR

αρ

αα

ϕαααα

22

22

cos2112

sene

e

RR

sAz

N

−

=−=∆

Di seguito viene proposta una tabella riassuntiva con i risultati.

s 0 . ¨. 100 km 3,28165· 10-14 100° -2,3564· 10-8

500 km 2,0510· 10-11 100° -5,891· 10-7

1000 km 3,28165· 10-10 100° -2,3564· 10-6

10000 km 3,28165· 10-6 100° -2,3564· 10-4

20000 km 5,2506· 10-5 100° -9,4256· 10-4

GEODESIA

52

14. Del punto P di coordinate ellissoidiche (ellissoide GRS80): latitudine = 45°15’, longitudine = 9°, h = 200 m; deviazione della verticale ξ = 30”, η = -20”, ondulazione N = 42,2 m, calcolare le coordinate naturali.

Calcolare inoltre le coordinate di un secondo punto Q che nel riferimento cartesiano locale con origine in P dista x=1000 m , y=-500 m, z=-0,5 m.

L’ellissoide GRS80 è caratterizzato dalle seguenti costanti:

( )

1-5

2-39

22

2

22

srad 1029215,7

sm 105,600398

m 913,9313886sin1

00669438,01

313,75235661 1

2572,298

1 00,1373786

−

−

⋅=⋅=

=−

=

=−=

=⋅−=−=

==

ω

ϕ

αα

α

GM

e

aR

a

ce

aca

c

a

N

A20=1082,63· 10-6

Le relazioni che legano le coordinate (ϕ, λ, h) alle coordinate naturali (Φ,Λ,H) sono le seguenti:

( )

+=−Λ=−Φ=

NHh

ϕληϕξ

cos

da cui si ottiene:

8,1572002,42

59,''31'5989'1545cos

''20

cos

''30'1545'1545''30

=+−=−=

°=°+°

−=λ+ϕ

η=Λ

°=ξ+°+=ϕ=φ

NhH

GEODESIA

53

Calcolo delle coordinate XP, YP, ZP in funzione delle coordinate naturali (φ��H)

=Η+−⋅=

=ΛΗ+==ΛΗ+=

m46,093 507 4sinsin)1(

m94,648 703sincos)(

m57,664 442 4coscos)(

2 φφφφ

eRZ

RY

RX

NP

NP

NP

si procede ora con il calcolo delle coordinate XQ, YQ, ZQ.

−

−−

⋅

ΛΛΛ−Λ−

ΛΛ−=

PQ

PQ

PQ

ZZ

YY

XX

z

y

x

φφφφφφ

sinsincoscoscos

cossinsincossin

0cossin

m102,741 506 4

m124,692 704

m510,858 442 4

=

=

=

Q

Q

Q

Z

Y

X

Con il metodo perturbativo si calcolano le coordinate del punto Q:

0531,45arctg tg1

m 796,973 984 4

012737,9arctg

2

22

°==φ⇒φ

+

−=

=+=

°==Λ

r

Z

hR

Re

r

Z

YXr

X

Y

Q

N

N

QQ

Q

Q

avendo trascurato in prima approssimazione il secondo termine in parentesi. Si procede quindi con il calcolo di RN utilizzando il valore di φ appena calcolato:

m171,588 388 6sen1 22

=φ−

=e

aRN

e quindi a partire dalla relazione φ+= cos)( hRr N si ricava:

m60,6572 21cos

−=−φ

= NRr

h

e così si procede con successive iterazioni sino alla convergenza dei risultati:

GEODESIA

54

==

=°

==

=°

°

°

m601,199

m30,2289 388 6

2455,45

.4

iterazioni altre dopo e,

m539,272

m30,4729 388 6

2462,45

.1

�

Riteraz

�

Riteraz

N

N

φ

φ

15. Dal punto P di coordinate ellissoidiche (GRS80): latitudine = 45°15', longitudine = 9°, h = 200 m; si misurano azimut e distanza ad un secondo punto Q: azimut = 60°15'20'' distanza = 12135,3 m. Si desiderano ricavare le coordinate geografiche di Q.

Si desiderano le coordinate geografiche rettangolari di Q.

Si desiderano i due raggi di curvatura in P e Q.

L'ellissoide (GRS80) è caratterizzato dalle seguenti costanti geometriche:

a = 6378137 m

32

22 10694380517,61

996647189,011

2572,298

1

−⋅=−=

=α−=⇒−=α

=α

a

ce

a

c

a

c

Essendo s = 12135,3m < 100 km, allora si può risolvere direttamente il problema sulla superficie dell'ellissoide a mezzo degli sviluppi di Legendre.

( )( )

639,"03089sin32cos2sin

cos6cos2

sin2sin

cos

sin

741,"141845316

cossin

sin1

coscos3

cos

sin

2

sincos

'2

2

3

22

2

'2

3

23

22

2222

°

°

=

α⋅ϕ+

ρα⋅α

⋅

⋅ϕ⋅

+ϕ⋅

ϕ⋅α⋅+

ϕ⋅α⋅

+λ=λ

=ϕ+ρ

α⋅α⋅−

+

ϕ−ρα⋅ϕ⋅

+ϕ⋅

α⋅

ρϕ⋅

−ρ

α⋅+ϕ=ϕ

P

PPP

P

N

PP

P

PP

PNPN

PP

PN

PPQ

P

P

PP

PP

PP

PN

P

P

P

P

PPQ

R

tg

R

s

R

s

R

s

tgs

e

e

R

ss

GEODESIA

55

Dove ρP e RNP sono stati calcolati dalle seguenti relazioni:

( )( )

( ) m913,931 388 6998310372,0

6378137

sin1

m744,661 367 6994939678,0

324,635439

sin1

1

2/122

2/322

2

==ϕ⋅−

=

==ϕ⋅−

−⋅=ρ

P

N

P

P

e

aR

e

ea

P

Si determinano ora le coordinate geografiche rettangolari di Q.�

0536,000 2

cossin3

2

'''R

s

PNP

PP °=⇒⋅⋅⋅⋅= ε

ρααε

Calcolo delle coordinate del punto Q rispetto al polo P

( )( )

=ε−α⋅=

=ε−α⋅=

m720,020 62cos

m435,536 10sen

PQ

PQ

sY

sX

I raggi di curvatura in Q saranno:

( )( )

( ) m170,952 388 6sin1

m315,722 367 6sin1

1

2/122

2/322

2

=ϕ⋅−

=

=ϕ⋅−

−⋅=ρ

Q

N

Q

Q

e

aR

e

ea

Q

16. Due punti P e Q hanno coordinate ellissoidiche (GRS80):

P: ϕ = 45°15’, λ = 9°, h = 200 m;

Q: ϕ = 45°35’, λ= 9° 15’, h = 400 m

Si desiderano ricavare le coordinate polari di Q rispetto a P (azimut e lunghezza della geodetica).


Si calcolino i due raggi di curvatura in P e Q.

Per il triangolo rettangolo che ha ipotenusa PQ si calcolino gli angoli sull’ellissoide e sul piano con l’uso del Teorema di Legendre.

L' ellissoide (GRS80) è caratterizzato dai seguenti parametri:

a = 6 378 137 m

GEODESIA

56

32

22 10694380517,61

996647189,011

2572,298

1

−⋅=−=

=α−=⇒−=α

=α

a

ce

a

c

a

c

Si determinano ora i raggi di curvatura in P:

( )( )

( )

=ϕ⋅−

=

=ϕ⋅−

−⋅=ρ

m913,931 388 6sin1

m743,661 367 6sin1

1

2/122

2/322

2

P

N

P

P

e

aR

e

ea

P

E in Q:

( )( )

( )

=ϕ⋅−

=

=ϕ⋅−

−⋅=ρ

m737,056 389 6sin1

m976,034 368 6sin1

1

2/122

2/322

2

Q

N

Q

Q

e

aR

e

ea

Q

Si calcolano ora XQ e YQ:

( )( ) m129,780 37

m671,510 19cos

3

,

=ϕ−ϕ⋅ρ=

=λ−λϕ⋅=

PmQ

PQQQNQ

Y

RX

dove:

( )

ρ⋅

ϕ⋅ϕ⋅⋅λ−λ+ϕ=ϕ

Q

QQNPQ

QQ

R

2

cossen2

3

e

( )( )

( )2

con

sin1

1

3

2/322

2

Pm

m

me

ea

ϕ+ϕ=ϕ

ϕ⋅−

−⋅=ρ

GEODESIA

57

Si determina ora l' eccesso sferico ε

834,"01'0002

3 °=⋅ρ⋅⋅

=εNmediomedio

QQ

R

YX

dove il raggio medioρ e NmedioR sono stati calcolati utilizzando

33ϕ+ϕ+ϕ

=ϕ QP

medio

Verranno successivamente calcolati αP ed s

( ) ( ) m087,898 412

482,"13'45272

arctg

22 =⋅ε−+⋅ε+=

°=

⋅ε−⋅ε+

=α

QQQQ

QQ

QQP

XYYXs

XY

YX

Sull'ellisoide si avranno:

°=α−ε⋅+°=γ°=β

°=α=α

352,"48'1462390

90

482,"13'4527

.

.

.

Pelliss

elliss

Pelliss

e sul piano:

°=+−°=°=−°=

°=−=

741,"47'1462290

389,"59'598990

870,"12'4527

εαγεβεαα

Ppiano

piano

Ppiano

59

3. CARTOGRAFIA

17. Siano date le coordinate geografiche di un punto P, nel sistema Roma 40:

ϕ = 45°26’32,243”; λ ’ = -4°39’13,491”

Determinare le coordinate cartografiche Gauss-Boaga. Eseguire poi il passaggio inverso.

La longitudine riferita a Greenwich si ottiene dalla λ = λ’ + λ0, dove λ0 è la longitudine del meridiano origine.

I coefficienti delle formule dirette e inverse di Hirvonen, calcolati in funzione dell’ellissoide di Hayford e WGS84 valgono:

WGS84 Hayford WGS84 Hayford

A1= 0,998324298453 0,998317208078 B1= 0,00251882658434 0,00252950691487

A2= 0,002514607060 0,002525251575 B2= 0,00000370094904 0,00000373240109 A3= 0,000002639047 0,000002661455 B3= 0,00000000744781 0,00000000754296 A4= 0,000000003418 0,000000003462 B4= 0,00000000001704 0,00000000001733

WGS84 Hayford c= 6356752,314 6356911,946 ε2= 0,006739496742 0,006768170197 e1= 0,001679220386 0,001686340641

CARTOGRAFIA

60

Sistema geodetico-cartografico nazionale

Sistema geodetico-cartografico internazionale

UTM

Sistema geodetico-cartografico

UTM WGS84 Parametri ellissoide

Hayford: semiasse equatoriale a = 6378388 m Eccentricità quadratica e2 = 0,006722670022

WGS84: a=6378137 m e2 = 0,006694379990

DATUM Roma 1940 ED50 WGS84

Origini longitud. λ Roma Monte Mario (MM) Greenwich (GW)

Ampiezza fusi 6° per tutti i fusi

Denomina-zione fuso Ovest Est 32 33 32 33

Meridiano centrale λ0

-3°27’08,40” Est di MM

2°32’51,60” Est di MM

9° Est di GW

15° Est diGW

9° Est di GW

15° Est

diGW Falsa origine x0 1.500 km 2.520 km 500 km per tutti i fusi

Falsa origine y0 0 km

0 km per l’emisfero Nord 10000 km per l’emisfero Sud

Modulo contraz. CR 0,9996 per tutti i fusi

Tab. 1 – Convenzioni dei sistemi geodetici e cartografici, nazionale e internazionale.

Per il punto richiesto si ha:

v= 1,0016645351017 z= 0,7932278572047 v1= 1,0016641625634

Trasformazione diretta Trasformazione inversa λ'= -0,02096863 rad x= -94000,365 m x= -94000,365 m y= 5034895,365 m y= 5034895,366 m ϑ= 0,790698579 rad

Est= 1406037,235 m ξ= 0,793227857 rad Nord= 5032881,407 m λ'= -0,020968633 rad

ϕ= 45°26’32,243” λ= -4°39’13,491”

18. Prendere in considerazione tre particolari naturali indicati alla mappa di cui si possa misurare la quota su un foglio di cartografia 1:100000 (1:50000 / 1:25000). Tali punti (vertici trigonometrici, cime di monti, incroci, ecc.) siano disposti grossomodo a triangolo equilatero e abbraccino buona parte del foglio.

Determinare (ϕ, λ, H) di ciascun punto nel sistema Roma 40.

Determinare le coordinate (E,N)GAUSS BOAGA di ogni punto scelto.

Determinare le coordinate (E,N)UTM di ogni punto scelto.

Il modulo di deformazione nei punti A (mA), B (mB), C (mC), e il modulo di deformazione lineare nei tratti AB (mAB), BC (mBC), AC (mAC).

L’azimut α da A verso B, da B verso C e da C verso A.

CARTOGRAFIA

61

Le variazioni ∆E e ∆N delle coordinate UTM nel passaggio a coordinate Gauss-Boaga.

La distanza AB sull’ellissoide (de) e la distanza AB inclinata (di).

Gli angoli BAC, CBA, ACB sull’ellissoide.

Cartografia utilizzata:

− FOGLIO 45 (MILANO) scala 1:100 000

− ∆E = 999945m

− ∆N = 178m

Punti scelti:

− GERENZANO

− OPERA

− MELZO

Calcolo le coordinate geografiche, Gauss-Boaga e UTM nei punti A, B, C.

GERENZANO

Ricavo dalla carta, mediante semplici proporzioni le coordinate geografiche:

39,45" 59' 8 ''32 '72 3 40,08" '72 21

'23' 27' 3- ''37 '2 '30 3-

'21' 38' 45 ''39 '1 '40 45

m226

A

°=°−°=°=+°=°=−°=

=

A

A

�

λωϕ

Utilizzando le coordinate Gauss-Boaga dei vertici della carta riportate sulla carta stessa, ricavo mediante semplici proporzioni le coordinate E, N nel sistema Gauss-Boaga:

m958 053 5100 3058 057 5

m869 499 1500 3369 496 1

=−=

=+=GBA

GBA

N

E

Utilizzando ora il reticolato chilometrico riportato sulla carta, ricavo sempre con le stesse proporzioni le coordinate E, N nel sistema UTM:

m501 054 5150 4000 050 5

m009 499 100000 005

=+=

=−=UTMA

UTMA

N

E

Note le costanti per il passaggio dalle coordinate Gauss-Boaga alle coordinate UTM del foglio 45 è possibile valutare lo scarto con cui abbiamo determinato le coordinate UTM sulla carta:

CARTOGRAFIA

62

m41 m136 054 5178589 053 5

m24 m429 499 999945869 499 1

=∆=+=

=∆=−=

NUTMA

EUTMA

N

E

Si riporta a fine capitolo la tabella fornita dall’IGM che permette il passaggio al metro tra le coordinate Gauss Boaga e le coordinate UTM all’interno di un foglio in scala 1:100000.

OPERA

Utilizzando lo stesso procedimento si ricavano le coordinate geografiche di Opera (punto B):

12,26" 12' 9 ,272"4 '41 3 40,08" '72 21

27,42" 14' 3- ,272"4 '41 '00 3-

08,55" 22' 45 ,085"5 '2 '20 45

B

°=°−°=λ°=+°=ω°=+°=ϕ

B

B

Si stima inoltre H = 101m.

Le coordinate E, N nel sistema Gauss-Boaga lette graficamente sono:

m862 025 5160 5+261 020 5

m982 165 1022 19185 355 1

==

=−=GB

B

GB

B

N

E

Le coordinate E, N nel sistema UTM:

m504 025 5550 4000 030 5

m203 165 680 3000 205

=−=

=−=UTM

B

UTM

B

N

E

Le coordinate E, N di Opera nel sistema UTM, calcolate a partire da quella Gauss Boaga, valgono:

m41 m644 025 5178862 025 5

m33 m533 165 999945928 516 1

=∆=+=

=∆=−=UTMB

UTMB

N

E

CARTOGRAFIA

63

MELZO

Utilizzando lo stesso procedimento si ricavano le coordinate geografiche di Melzo (punto C):

m711

54,24" 25' 9 85,"43 '1 3 40,08" '72 21

85,43" 1' 3- ,853"4 '1 '00 3-

89,51" 29' 45 ,8912"5 '9 '20 45

C

=°=°−°=

°=−°=°=+°=

�

C

C

λωϕ

Le coordinate E, N nel sistema Gauss-Boaga valgono:

m356 038 5023 18+261 020 5

m816 335 1350 2185 355 1

==

=−=GBC

GBC

N

E

Le coordinate E, N nel sistema UTM:

m505 038 5450 1000 040 5

m002 335 002 3000 305

=−=

=+=UTMC

UTMC

N

E

Le coordinate E, N di Melzo nel sistema UTM, calcolate da quelle di Gauss Boaga, sono:

m61 m345 038 5178563 038 5

m32 m232 335 999945168 533 1

=∆=+=

=∆=−=UTMC

UTMC

N

E

Calcolo del modulo di deformazione nei punti A, B, C

Si utilizzerà come ellissoide di riferimento quello di Hayford avente come costanti:

a = 6378388,00 m; α = 1/297

220067226700,01

m 946,9113566)1( 1

2

22

..

=−=

=⋅α−=⇒−=α

a

ce

aca

c

Calcolo del modulo di deformazione nel punto A

12

12

=ρ

+=N

AA

R

xm

CARTOGRAFIA

64

dove:

m429,375 389 6)sen1(

m327,305 368 6)sen1(

)1(

9996,0

m052,131

2/122

2/322

2

0

=ϕ−

=

=ϕ−

−⋅=ρ

=

−=−

=

A

N

A

GBA

A

e

aR

e

ea

CRCR

EEx

Analogamente per il punto B:

000003267,12

12

=ρ

+=N

BB

R

xm

dove:

m705,782 389 6)sen1(

m117,160 368 6)sen1(

)1(

9996,0

m522,304 16

2/122

2/322

2

0

=ϕ−

=

=ϕ−

−⋅=ρ

=

=−

=

B

N

B

GBB

B

e

aR

e

ea

CRCR

EEx

e per il punto C:

00001353,12

12

=+=N

CC

R

xm

ρ

dove:

m248,322 389 6)sen1(

m310,461 368 6)sen1(

)1(

9996,0

m272,181 33

2/122

2/322

2

0

=ϕ−

=

=ϕ−

−⋅=ρ

=

=−

=

C

N

C

GBC

C

e

aR

e

ea

CRCR

EEx

CARTOGRAFIA

65

Calcolo del modulo di deformazione lineare lungo i tratti AB, BC, AC

Per il tratto AB avremo:

00000108,16

122

=++

+=N

BBAAAB

R

xxxxm

ρ

99960108,0=⋅= CRmABABµ

dove:

04,3830452

m069,327 389 6)1(

m725,601 368 6)1(

)1(

m522,304 16

m052,131

2/122

2/322

2

0

0

'''

sene

aR

sene

ea

CR

EEx

CR

EEx

BA

N

GBB

B

GBA

A

°=+=

=−

=

=−

−⋅=

=−=

−=−=

ϕϕϕ

ϕ

ϕρ

Per il tratto BC avremo:

000007815,16

122

=++

+=N

CCBBBC

R

xxxxm

ρ

999607812,0=⋅= CRmBCBCµ

dove:

m273,181 33

m522,304 16

0

0

=−

=

=−

=

CR

EEx

CR

EEx

GBC

C

GBB

B

48,2326452

m477,300 389 6)sen1(

m81,2140 368 6)sen1(

)1(

2/122

2/322

2

'''

e

aR

e

ea

CB

N

°=+=

=−

=

=−

−⋅=

ϕϕϕ

ϕ

ϕρ

CARTOGRAFIA

66

Per il tratto AC avremo:

000004492,16

122

=++

+=N

CCAAAC

R

xxxxm

ρ

99960449,0=⋅= CRmACACµ

dove:

44,0634452

m839,348 389 6)sen1(

m25,8192 368 6)sen1(

)1(

9996,0

m81,2731 33

m052,131

2/122

2/322

2

0

0

'''

e

aR

e

ea

CRCR

EEx

CR

EEx

CA

N

GBC

C

GBA

A

°=+=

=−

=

=−

−⋅=

=

=−=

−=−=

ϕϕϕ

ϕ

ϕρ

Calcolo delle distanze AB BC e CA sull’ellissoide (de) e le stesse distanze inclinate (di)

Noto il modulo di deformazione lineare è possibile ricavare la distanza sull’ellissoide:

m581,058 33 ==µ

=⇒=µ ABe

AB

cartaABellissoide

ABellissoideAB

cartaAB

AB ds

ss

s

dove:

m357,045 33)()(

m357,045 33)()(

22

22

=−+−=

=−+−=UTMB

UTMA

UTMB

UTMA

cartaAB

GBB

GBA

GBB

GBA

cartaAB

NNEEs

NNEEs

e quindi la distanza inclinata:

m664,059 3322 2

2

=

∆+⋅

∆+⋅+=R

Q

d

Q

R

Qddd AB

e

ABBABe

ABe

ABi

CARTOGRAFIA

67

Nello stesso modo si procede per la distanza BC:

m49,1543 21==µ

= BCe

BC

cartaBCellissoide

BC ds

s

dove:

m40,6143 21)()(

m40,6143 21)()(

22

22

=−+−=

=−+−=UTMC

UTMB

UTMC

UTMB

cartaBC

GBC

GBB

GBC

GBB

cartaBC

NNEEs

NNEEs

e quindi la distanza inclinata vale:

m524,943 2122 2

2

=

∆+

⋅∆

+⋅+=R

Q

d

Q

R

Qddd BC

e

BCCBCe

BCe

BCi

E in ultimo la distanza AC vale:

m87,6107 36==µ

= ACe

AC

cartaACellissoide

AC ds

s

dove:

m895,727 36)()(

m895,727 36)()(

22

22

=−+−=

=−+−=UTMC

UTMA

UTMC

UTMA

cartaAC

GBC

GBA

GBC

GBA

cartaAC

NNEEs

NNEEs

e quindi la distanza inclinata:

m761,887 3622 2

2

=

∆+

⋅∆

+⋅+=R

Q

d

Q

R

Qddd AC

e

ACCACe

ACe

ACi

Calcolo dell’azimut α da A verso B, da B verso C e da C verso A

84,''09'11150' °=ε−ϑ+γ=α ABABAAB

dove:

CARTOGRAFIA

68

( )( )39,''0'00

6

2

55,''14'11150arctg

33,''04'00cos3

1tgarctg

'

22

2

°=⋅ρ⋅

+−=ε

°=

−−

=ϑ

°−=

ϕ⋅⋅+⋅ϕ⋅=γ

AB

AA

NAB

BABAAB

AB

ABAB

AN

AA

N

AA

R

xxyy

NN

EE

R

x

R

x

16,''54'2252' °=ε−ϑ+γ=α BCBCBBC

dove:

( )( )73,''0'00

6

2

01,''00'1452arctg

42,''53'080cos3

1tgarctg

'

22

2

°−=⋅ρ⋅

+−=ε

°=

−−

=ϑ

°=

ϕ⋅⋅+⋅ϕ⋅=γ

BC

BB

NBC

CBCBBC

BC

BCBC

BN

BB

N

BB

R

xxyy

NN

EE

R

x

R

x

17,''29'24295' °=ε−ϑ+γ=α CACACCA

dove:

( )( )87,''0'00

6

2

33,''18'06295arctg

97,''09'180cos3

1tgarctg

'

22

2

°−=⋅ρ⋅

+−=ε

°=

−−

=ϑ

°=

ϕ⋅⋅+⋅ϕ⋅=γ

CA

CC

NCA

ACACCA

CA

CACA

CN

CC

N

CC

R

xxyy

NN

EE

R

x

R

x

Calcolo degli angoli ACB C,BA B,AC sull’ellissoide

11,''20'5262ˆ

39,''45'02822ˆ

27,''56'0435ˆ

''

''

''

°=ε+ε−ϑ−ϑ==

°=ε+ε−π+ϑ−ϑ==

°=ε+ε−ϑ−ϑ==

CBCACBCA

BABCBABC

ACABACAB

CACB

BCBA

ABAC

CARTOGRAFIA

69

dove gli angoli mancanti sono stati calcolati con le relazioni:

( )( )43,''0'00

6

2

33,''18'06115arctg'

°=⋅ρ⋅

+−=ε

°=

−−

=ϑ

CANCA

CACAAC

AC

ACAC

R

xxyy

NN

EE

( )( )79,''0'00

6

2

55,''14'11330arctg'

°−=⋅ρ⋅

+−=ε

°=

−−

=ϑ

ABNAB

ABABBA

BA

BABA

R

xxyy

NN

EE

( )( )91,''0'00

6

2

01,''0'14232arctg'

°=⋅ρ⋅

+−=ε

°=

−−

=ϑ

BCNBC

BCBCCB

CB

CBCB

R

xxyy

NN

EE

Si ha che l’eccesso sferico 3ε vale:

"76,13 =ε−ε+ε+ε+ε−ε=ε BCBACACBABAC

come è anche verificabile sulla sfera locale con il teorema di Legendre:

23

R

S=ε

D’altra parte, ciò che compare al numeratore della sommatoria delle correzioni angolari alle corde delle trasformate, non è nient’altro che tre volte la superficie del triangolo espressa con la formula di camminamento di Gauss.

CARTOGRAFIA

70

Tab.3.1 – Correzioni in metri da aggiungere alle coordinate dei puntinella rappresentazione Gauss-Boaga (Roma 1940), per ottenere lecoordinate degli stessi punti nel sistema UTM ED50.

FOGLIO N° COORDINATA NORD COORDINATA EST

FUSO 32 FUSO 33 FUSO 32 FUSO 331 +171 -9999481A 171 +167 949 -20199362 175 9453 174 9464 173 9474A 173 9484B 172 168 949 9364C 168 9365 179 9445A 179 9446 178 9457 177 9458 176 9459 175 94610 175 94711 174 94812 174 169 948 93513 169 93514 169 93414A 168 9343269 167 93315 179 94416 179 94417 178 94418 177 94519 177 94620 176 94621 175 94722 175 94823 175 170 948 93524 170 93425 170 93426 169 93326A 168 93327 181 94528 181 94529 180 94530 179 94531 179 94532 178 94533 178 94534 177 94635 177 94636 176 94737 176 94838 176 171 948 93539 171 93540 170 934 (continua)

CARTOGRAFIA

71


FUSO 32 FUSO 33 FUSO 32 FUSO 3340A 169 -201993440B 169 93441 +181 -99994642 180 94643 179 94544 179 94545 178 94546 178 94547 178 94648 177 94749 177 94750 177 94851 176 +172 948 93552 171 93553 171 93553A 170 93553B 170 93553C 170 93554 182 94755 181 94656 180 94657 180 94558 180 94559 179 94560 179 94661 179 94662 178 94763 178 94764 178 94865 177 173 949 93665A 172 93665B 171 93666 182 94767 182 94668 181 94669 181 94570 181 94571 180 946

72 180 94673 180 94674 180 94775 179 94776 179 94877 179 175 948 93677A 174 93677B 173 93678 183 94779 182 947(continua)

CARTOGRAFIA

72

Tab.3.1


FUSO 32 FUSO 33 FUSO 32 FUSO 33

80 181 -999946

81 181 94682 181 946

83 181 946

84 +181 946

85 181 946

86 181 947

87 181 948

88 180 948

89 180 +176 949 -201993690 182 94791 182 94792 181 94693 181 94694 181 94695 181 94696 181 94697 181 94698 181 94799 181 948100 181 177 949 936101 177 936102 182 947103 181 947104 182 947105 182 948106 182 948107 182 948108 182 177 949 936109 178 936110 177 937111 183 948112 184 949113 183 949114 183 949115 183 178 949 936116 178 936117 178 937118 178 938119 184 948120 184 949121 184 948122 184 179 949 936123 179 936124 180 938125 180 939126 184 948127 184 948128 184 948129 184 948 (continua)

CARTOGRAFIA

73


FUSO 32 FUSO 33 FUSO 32 FUSO 33130 185 180 -999949 -2019936

131 181 936132 181 937133 181 938

134 182 940135 185 948136 185 948137 185 181 949 936138 +181 936139 182 937140 182 938141 183 940142 +186 948143 186 182 949 936144 182 937145 183 938146 183 938147 184 940148 184 940149 187 183 949 936150 183 937151 184 938152 184 938153 185 939154 185 940155 185 941156 185 940157 185 940158 184 937159 185 938161 185 939162 185 940163 185 941164 185 941165 186 941166 n.d. n.d.167 n.d. n.d.168 n.d. n.d.169 n.d. n.d.

170 186 938171 186 938172 186 939

173 186 940174 186 940175 186 941176 186 941177 186 942178 187 942179 n.d. n.d.180 n.d. n.d.(continua)

CARTOGRAFIA

74

Tab.3.1


FUSO 32 FUSO 33 FUSO 32 FUSO 33181 n.d. n.d.182 n.d. n.d.183 187 -2019938184 186 939185 186 940186 186 941187 186 941188 186 941189 187 942190 187 942191 188 941192 n.d. n.d.193 n.d. n.d.194 n.d. n.d.195 n.d. n.d.196 187 939197 187 940198 187 942199 186 942200 186 942201 186 942202 187 941203 188 941204 +189 940205 n.d. n.d.206 n.d. n.d.207 n.d. n.d.208 n.d. n.d.209 187 942210 187 943211 186 942212 186 943213 188 940214 189 940215 190 939216 n.d. n.d.217 n.d. n.d.218 n.d. n.d.219 n.d. n.d.220 186 943221 186 943222 186 943223 186 943224 n.d. n.d.225 n.d. n.d.226 n.d. n.d.227 n.d. n.d.228 186 943229 186 943230 186 944 (continua)

CARTOGRAFIA

75


FUSO 32 FUSO 33 FUSO 32 FUSO 33

231 185 -2019944232 n.d. n.d.

233 n.d. n.d.234 n.d. n.d.

235 n.d. n.d.236 187 944

237 186 945

238 186 945

239 n.d. n.d.240 n.d. n.d.

241 188 945242 187 945

243 186 946244 190 942

245 189 945246 188 946247 188 946248 195 935

249 195 937

250 +195 938

251 194 940252 193 942253 191 944254 190 946

255 190 946256 197 934

257 197 935258 196 937

259 195 939260 195 941

261 194 942262 193 944

263 191 946

264 191 946

265 198 936266 197 938267 196 940268 195 941

269 195 942270 195 942271 196 940272 195 942273 195 943

274 194 943275 195 943276 195 943277 194 943

77

4. STATISTICA

19. Della variabile statistica non ordinata rappresentata dai valori: (3 3 2 4 5 6 4 5 3 4 3 5 6 4 2 5 ) calcolarne media, sqm, radici cubiche e quarte dei momenti del terzo e quarto ordine della variabile scarto.

Viene di seguito riportata una tabella in cui sono indicati i valori ordinati con accanto le relative frequenze.

xi Ni fi 2 2 1/8 3 4 1/4 4 4 1/4 5 4 1/4 6 2 1/8

Verranno ora calcolate la media e lo scarto quadratico medio.

[ ] 48

16

4

15

4

14

4

13

8

12 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅== ∑ ii fxxMm

( )xSsqm 2=

dove:

( ) ( ) ( ) 5,116625444342216

11 22222222 =−⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅=−⋅⋅= ∑ mxNN

xS ii

( ) 225,15,12 === xSsqm

Sono ora determinate le radici cubiche e quarte dei momenti del terzo e quarto ordine della variabile scarto:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0

16

462454434422 33333 =−⋅+−⋅+−⋅+−⋅=− mxM

STATISTICA

78

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )5,4

16

462454434422 44444 =−⋅+−⋅+−⋅+−⋅=− mxM

e quindi la radice cubica del momento del III ordine è pari a zero mentre quella di quarto risulta pari a:

( )[ ]( ) 4565,14 /mxM 4 =− n

20. Calcolare la media e lo scarto quadratico medio della variabile continua f(x)=e-x definita nel semiasse positivo dei reali, scrivere la variabile z standardizzata e verificare il teorema di Tchebycheff per λ=2 e λ=3.

Per definizione la media vale:

[ ] ( )dxxfxxM x ∫+∞

⋅==0

µ

[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ] 1011lim

1limlim

lim

0

00

00

=−−−−−=

=−−=−⋅−=

=⋅=⋅=

−+∞→

−+∞→

−−+∞→

−+∞→

+∞ − ∫∫

eae

xeeex

dxexdxex

aa

axa

axxa

ax

ax

xµ

Verrà di seguito calcolato lo scarto quadratico medio

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) 1

12121lim1lim

1

2

02

2

0

2

0

2

0

2

0

2

±=σ=σ

=−−−−−=−=

=−=µ−=⋅µ−=σ

−−−+∞→

−+∞→

−+∞−+∞+∞

∫

∫∫∫

x

eexexdxex

dxexdxexdxxfxx

axxxa

xa

a

xxxx

La variabile standardizzata z vale:

−−

σ

µ−−

== 1

1xx

eez x

x

Verifichiamo in ultimo il teorema di Tchebycheff per λ=2 e λ=3:

Questo teorema afferma che ( ) 2

11

��1�xP xx −≥≤− e quindi per λ=2 si ha:

31 22

22 2

≤≤−⇒µ+σ≤≤σ−µ⇒σ≤µ−≤σ−⇒σ≤µ−

xx

xx

xxxx

xxxxx

STATISTICA

79

ovvero deve essere:

2

11)31(

λ−≥≤≤− xP

poiché f(x) è definita nel semiasse positivo, la probabilità P sarà:

[ ] 1)( 33

0

3

0

+−=−== −−−∫ eedxexP xx

e quindi la condizione di verifica dovrà essere:

75,095,0 4

11

11

3≥⇒−≥−

e teorema verificato

analogamente per λ=3 si avrà:

88,098,0 9

11

11

4≥⇒−≥−

e teorema verificato

21. Sia data una variabile statistica i cui valori sono raggruppati in classi:

18,020,040,018,0

5030302020151512

04,0

1210 −−−−

−

Si riportino in una tabella le ampiezze degli intervalli, le densità di frequenza e le frequenze cumulate.

Si disegnino l’istogramma e la funzione cumulativa di frequenza.

Si calcolino valore medio e scarto quadratico medio.

Si calcoli il momento del terzo ordine rispetto ad m.

Xi fi fi cumulate

10-12 0,04 0,04 12-15 0,18 0,22 15-20 0,40 0,62 20-30 0,20 0,82 30-50 0,18 1,00

Verrà di seguito determinato l'istogramma.

02,02

04,01 ==h ; 06,0

3

18,02 ==h ; 08,0

5

40,03 ==h

STATISTICA

80

02,010

20,04 ==h ; 009,0

20

18,05 ==h

Il diagramma riportato è qualitativo.

Verranno ora calcolate la media e lo scarto quadratico medio

[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] 07,2218,02/30502,02/2030

4,02/201518,02/121504,02/1210

=⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅+=⋅== ∑ ii fxxMm

( ) 277,92 ±==σ xS

dove:

( )[ ] [ ]( ) ii fxMxmxMxS ⋅−=−= ∑ 222 )(

( ) ( ) ( ) ( )0601,8618,022,07)-(402,0

07,22254,007,225,1718,007,225,1304,007,2211)(2

22222

=⋅+⋅⋅−+⋅−+⋅−+⋅−=xS

Calcoliamo infine il momento del terzo ordine rispetto ad m:

( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) 85,83607,224018,007,222520,

07,225,174,007,225,1318,007,221104,033

3333

=−⋅+−⋅+

+−⋅+−⋅+−⋅=− mxM

22. Considerando il fenomeno che ai tempi t = 1,2,3....10 vale:

x = 2,4,5,7,8,9,12,10,14,17

ed il fenomeno che per gli stessi tempi vale:

y = -4,-2,-1,-1,0,1,2,4,4,6

10 12 15 20 30 50

0.02

0.08

0.02 0.009

0.06

STATISTICA

81

si chiede di calcolare l’indice di correlazione lineare.

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 2 4 5 7 8 9 12 10 14 17 y -4 -2 -1 -1 0 1 2 4 4 6

Per verificare se fra i due fenomeni esiste correlazione lineare bisogna calcolare l’indice di correlazione lineare ricordando che se tale indice assume un valore uguale a zero i due fenomeni sono incorrelati mentre se assume valore ± 1, i due fenomeni si dicono perfettamente correlati linearmente.

L’indice di correlazione lineare è definito dalla seguente formula:

yx

xyxy σ⋅σ

σ=ρ

Si calcolano allora in primo luogo le medie delle due variabili:

8,810

171410129875421 =+++++++++==µ∑

=

n

xn

ii

x

9,010

64421011241 =++++++−−−−==µ∑

=

n

yn

ii

y

Successivamente si calcolano le varianze e quindi gli scarti quadratici medi delle rispettive variabili.

Volendo costruire la tabella che descrive la variabile doppia occorre considerare che fij = 0 per i diverso da j.

.0001

010/1001

0010/102

00010/14

.542

ecc

eccyx

−−−−

Per i =j si ha fij = 1/n.

( ) 4,191

1

22 =−⋅= ∑=

n

ixix y

nµσ 4,4 2 ==⇒ xx σσ

( ) 69,81

1

22 =µ−⋅=σ ∑=

n

iyiy y

n

STATISTICA

82

2,9482 == yy σσ

Infine si calcola la covarianza fra le due variabili con la formula:

( )( ) 38,121

1

=µ−µ−⋅=σ ∑=

n

iyixixy yx

n

Dai singoli passaggi si sono ottenuti i valori riporatati in tabella:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tot.

(x-Mx)^2 46,24 23,04 14,44 3,24 0,64 0,04 10,24 1,44 27,04 67,24 193,6

(y-My)^2 24,01 8,41 3,61 3,61 0,81 0,01 1,21 9,61 9,61 26,01 86,9

(x-Mx)· (y-My) 33,32 13,92 7,22 3,42 0,72 0,02 3,52 3,72 16,12 41,82 123,8

Infine:

954461,0=σ⋅σ

σ=ρ

yx

xyxy

Dal risultato ottenuto si può dedurre che i due fenomeni sono fortemente correlati poichè il valore assunto dall’indice di correlazione è prossimo ad 1.

23. Di un appezzamento triangolare si misurano le coordinate con un digimetro: le coordinate in metri valgono A(-3, 2); B(-3, 4); C(6, -2).

Sapendo che entrambe le coordinate (e per tutti i punti) lo scarto quadratico medio di acquisizione e’ di ± 0,05 m: valutare con la formula di Gauss la superficie media dell’appezzamento;

valutare lo scarto quadratico medio della superficie;

ricavare l’espressione dello scarto quadratico medio di una qualunque superficie misurabile attraverso le coordinate dei suoi vertici.

B

A

C

Y

X

STATISTICA

83

Numerando i vertici dell’appezzamento e percorrendoli in senso orario la formula del camminamento di Gauss è la seguente:

2

3

111

m9))36(4)33(2)63(2(2

1

))()()((2

1

)(2

1

=+⋅++−⋅−−−⋅=

−⋅+−⋅+−⋅=

−= ∑=

+−

S

xxyxxyxxyS

xxyS

ACBBACCBA

iiii

Si valuta ora lo scarto quadratico medio della superficie:

CCBBAA y

C

x

C

y

B

x

B

y

A

x

A

sy

S

x

S

y

S

x

S

y

S

x

S 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 σ

∂∂+σ

∂∂+σ

∂∂+σ

∂∂+σ

∂∂+σ

∂∂=σ

4

2

2

222222

m13625,0

)(

)()()()()(

4

1

=

⋅

−+

+−+−+−+−+−= σσ

BA

ABACCACBBCS

xx

yyxxyyxxyy

2

2

m)37,00,9(

m37,0

±=

±=

S

Sσ

Prendiamo ora una figura chiusa qualsiasi, la superficie, secondo la formula del camminamento, vale:

Le derivate parziali secondo yi valgono:

∑=

+− −=n

iiii xxyS

111 )(

2

1

Y

X

1

2 3

6 5

4

STATISTICA

84

( ) xxxy

Sii

i

∆−=−=∂∂

+−2

1

2

111

Con un poco più di attenzione è facile ricavare le derivate rispetto alle variabili xi che valgono:

( ) yyyx

Sii

i

∆=−=∂∂

−+2

1

2

111

La varianza della superficie si ricava dalla formula di propagazione:

σσσσσσ ==

∆+

∆= ∑∑

==yx

n

iy

n

ixS yx ma

4

1

4

1

1

22

1

222

∆+∆= ∑

=

2

1

22

2

4yx

n

iS

σσ

cioè:

∑σ=σ 2

2 iS l

cioè:

∑σ=σ 2

2 iS l

avendo chiamato li le lunghezze dei lati del perimetro del poligono.

24. Di un campo triangolare si sono misurati con una bindella metrica (nastro d’acciaio) i tre lati. Questi valgono: a = 29,52m; b = 39,64m; c = 49,77m; tutte le misure hanno sqm di ± 1 cm.

Ricavare il valore della superficie media del campo.

Ricavare lo sqm della superficie precedentemente ricavata.

a

c

b

STATISTICA

85

La formula di Erone per l’area di un triangolo qualunque dati i tre lati può essere scritta:

S= ))()(( cpbpapp −−−

dove:

p=2

cba ++

Applicando la formula ai valori medi, per il teorema della media si ha:

S = 585,0236 m2

L’espressione di Erone può anche essere scritta:

S=2

)2(

2

)2(

2

)2(

2

)( ccbabcbaacbacba −++−++−++++

S=( ) ( ) ( ) ( )a b c b c a a c b a b c+ + + − + − + −

2 2 2 2

S=

16

)(

16

)(

222

222

bcbabcacbcacaba

accbcabbcbaacab

+−−−++−+⋅

⋅−++−++−+

S=16

)2)(2( 222222 bccbabccab +−−++−

S=16

222 444222222 cbacbcaba −−−++

S=1

4444222222 cbacb2ca2ba2 −−−++

Ponendo:

A = ( 444222222 222 cbacbcaba −−−++ )

derivando si ottiene:

0382,20)444(1

2

1

4

1 322 =−+⋅⋅⋅=∂∂

aacabAa

S

STATISTICA

86

0518,15)444(1

2

1

4

1 322 =−+⋅⋅⋅=∂∂

bbcbaAb

S

3647,0)444(1

2

1

4

1 322 −=−+⋅⋅⋅=∂∂

ccbcaAc

S

e quindi:

422

22

22

2 m06282,0=σ

∂∂+σ

∂∂+σ

∂∂=σ cbaS

c

S

b

S

a

S

2m25065,0±=σS

Il valore della misura S si scrive in questo modo:

( ) 2m25,00,585 ±=S

25. Di un triangolo ABC si conoscono:

i vertici A ≡ (4, 5) e B ≡ (11, 2);

gli angoli corrispondenti a questi vertici α = 90 gon ± 0,1 gon e β = 40 gon ± 0,1 gon.

Tracciare il grafico del triangolo e ricavare:

1. le coordinate del vertice C;

2. la matrice di varianza covarianza delle coordinate del punto C;

3. lo scarto quadratico medio delle due coordinate di C;

4. i semiassi principali dell'ellisse d'errore sul punto C;

5. lo scarto quadratico medio della superficie del triangolo ABC.

Punto 1

Per calcolare le coordinate del punto C sono necessari alcuni dati facilmente ricavabili tramite delle osservazioni sulla figura. In modo particolare valutiamo l’ampiezza dell’angolo δ: soltanto dopo aver ricavato l’equazione della retta passante per i punti A e B tramite la nota formula:

y YY Y

X Xx XA

B A

B AA− = −

−−( )

dalla quale appunto si ricava che:

( )( )

( )( ) 7

47

7

354

411

52

411

52+−=+⋅

−

−−

−

−= xxy

A questo punto, noto il coefficiente angolare di questa retta, risulta semplice calcolare l’angolo cercato:

STATISTICA

87

gon77621,257

3arctg −=

−=δ

Per calcolare la lunghezza del segmento AB è invece sufficiente applicare il teorema di Pitagora per cui:

58)()( 22 =−+−= ABAB YYXXAB

Infine si ricorda che:

)(200 gggg βαγ +−=

Ora, prendendo in considerazione il triangolo ABC ed applicando il teorema dei seni, si ha che:

β=

γ sensen

ACAB

da cui:

ββ+α−

=βγ

= sen)](200[sen

sensen g

ABABAC

e per note proprietà dei seni:

ββ+α

= sen)(sen

ABAC

Riferendoci ora al triangolo AHC si osserva che:

( ) ( ) 68,6cossen)(sen

cos =δ−αββ+α

+=δ−α+= ABXACXX AAC

Analogamente per calcolare l’ordinata del punto C:

25,9)(sensen)(sen

)(sen =δ−αββ+α

+=δ−α+= ABYACYY AAC

Per i calcoli che dovremo fare in seguito è utile esprimere le stesse relazioni nel seguente modo:

Ricordando inoltre che:

α+βδ+αδ

⋅+=αδ+δαα+βα

+=cotcot

sencotcos)sensencos(cos

coscotsenABX

ABXX AAC

α+βαδ−δ

⋅+=αδ−δαα+βα

+=cotcot

cotsencos)cossencossen(

coscotsenABY

ABYY AAC

avendo utilizzato le relazioni:

STATISTICA

88

cos( | |) cos cos| | sen sen| |α δ α δ α δ− = +

sen( ) sen cos sen cosα β α β β α+ = +

sen( | |) sen cos| | sen| |cosα δ α δ δ α− = −

N.B. Per avere una conferma dei risultati trovati si può procedere per un’altra via, utilizzando le equazioni cartesiane delle rette.

Per quanto riguarda la retta passante per i punti A e C consideriamo la sua espressione generale nella forma: y mx q= +

Il coefficiente angolare m è facilmente ricavabile dopo aver calcolato l’angolo δ; si ha infatti:

59,1|)|tan( =δ−α=m

che, sostituito nell’espressione generale sopra riportata, fornisce il parametro q:

q+= 4)59,1(5 da cui 35,1−=q

Si ha dunque che l’equazione della retta passante per i punti A e C è:

35,1)59,1( −= xy

Analogamente per la retta passante per i punti B e C si ha l’espressione generale:

'' qxmy +=

e seguendo lo stesso procedimento poc’anzi descritto si ha che:

68,1|)]|(200tan[' −=δ+β−= gm

'11)68,1(2 q+−= da cui 45,20'=q

Si ha perciò che l’equazione della retta passante per i punti B e C è:

45,20)68,1( +−= xy

A questo punto le coordinate del punto C sono facilmente ricavabili tramite l’intersezione delle rette appena trovate:

+−=−=

45,20)68,1(

35,1)59,1(

xy

xy

+−=−−=

45,20)68,1(35,1)59,1(

35,1)59,1(

xx

xy

STATISTICA

89

==

25,9

68,6

C

C

Y

X

Punto 2

Per semplicità si definiscono con fX(α,β) e fY(α,β) le funzioni in α e β che danno rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del punto C, le cui espressioni sono state ricavate al punto precedente. Inoltre noto che σα

2 = σβ2 = σ2 = 0,01gon2 =

1,57 ⋅ 10-4rad2, definisco:

ε =

X

YC

C

; µαβ

=

con ε µ= g ( ) , dove la funzione g è rappresentata dalle espressioni delle coordinate XC ed YC precedentemente trovate.

Essendo α e β statisticamente indipendenti avremo che la loro covarianza è nulla, mentre la matrice di varianza covarianza sarà:

C µµσ

σ=

2

2

0

0

Per potere calcolare la matrice di varianza covarianza delle coordinate del punto C definisco la matrice disegno:

Ag

f f

f f

X X

Y Y

=

=

∂∂µ

∂ α β∂α

∂ α β∂β

∂ α β∂α

∂ α β∂β

( , ) ( , )

( , ) ( , )

dove:

=+

+++−= 2

22

)cot(cot

1|)|cot||(cos)cot(cot

||cos),(

βαα

δαδβααδ

∂αβα∂ sen

sensenAB

f X

89,2)cot(cotsen

)cot||cos||sen(22 −=

+−

=βαα

βδδAB

=+

+−= 2

2

)cot(cot

1|)|cot||(cos

),(

βαβ

δαδ

∂ββα∂ sen

senAB

f X

05,5)cot(cotsen

|)|sencot||(cos22 −=

++

−=βαβ

δαδAB

STATISTICA

90

=+

−++= 2

22

)cot(cot

1)cot||||(cos)cot(cot

||),(

βαα

αδδβααδ

∂αβα∂ sen

sensen

sen

ABfY

84,4)cot(cotsen

|)|coscot||sen(22 =

++

=βαα

δβδAB

=+

−−= 2

2

)cot(cot

1)cot||||(cos

),(

βαβ

αδδ

∂ββα∂ sen

senAB

fY

02,8)cot(cotsen

)cot||sen||(cos22 −=

+−

−=βαβ

αδδAB

Si ha pertanto che la matrice di varianza covarianza delle coordinate del punto C è data da:

=

−−

−

σ

σ

−−−

== µµεε 02,805,5

84,489,2

0

0

02,884,4

05,589,22

2TACAC

=

−−

−

σ−σσ−σ−

=02,805,5

84,489,2

02,884,4

05,589,222

22

σ−+σσ−−+σ−

σ−−+σ−σ−+σ−=

222222

222222

)02,8()84,4()02,8)(05,5()84,4)(89,2(

)02,8)(05,5()84,4)(89,2()05,5()89,2(

In definitiva si ha che:

⋅⋅⋅⋅

=−−

−−

εε 33

33

1078,131016,4

1016,41032,5C

Punto 3

Per calcolare lo scarto quadratico medio delle coordinate del punto C si può usare la matrice di varianza covarianza appena ricavata.

Le varianze delle coordinate x ed y sono riportate nella diagonale principale. Basta eseguirne la radice quadrata.

m1029.7 2−⋅±=σCX ; m1074,11 2−⋅±=σ

CY

Per calcolare lo scarto quadratico medio delle coordinate del punto C era anche sufficiente applicare la formula:

σ ∂∂

σ ∂∂

∂∂

σyi

xi i j

xji

f

x

f

x

f

xi ij

2

2

2 22=

+∑ ∑∑

STATISTICA

91

Essendo nel nostro caso, come già affermato in precedenza, statisticamente indipendenti le variabili α e β, il secondo addendo risulta nullo.

L’espressione per trovare la varianza dell’ascissa del punto C risulta perciò:

σ ∂ α β∂α

σ ∂ α β∂β

σXX X

C

f f22

2

2

2=

+

( , ) ( , )

Quella per trovare la varianza dell’ordinata del punto C invece è:

σ ∂ α β∂α

σ ∂ α β∂β

σYY Y

C

f f22

2

2

2=

+

( , ) ( , )

Le derivate parziali all’interno di queste due espressioni sono già state risolte al punto 2 e quindi è possibile ricavare:

( ) ( ) 342422 1032,5)101,57(05,5)101,57(89,2 −−− ⋅=⋅−+⋅−=σCX

da cui:

21029,7 −⋅±=σCX

( ) ( ) 342422 1078,13)101,57(02,8)101,57(84,4 −−− ⋅=⋅−+⋅=σCY

da cui:

21074,11 −⋅±=σCY

Punto 4

Una volta note le varianze e la covarianza delle coordinate del punto C, per calcolare i semiassi d’ellisse di errore riferito a questo punto è sufficiente applicare le seguenti formule:

( ) 32222222 1048,154)(2

1 −⋅=σ+σ−σ+σ+σ= XYXYYX CCCCa

( ) 32222222 1023,74)(2

1 −⋅=σ+σ−σ−σ+σ= XYXYYX CCCCb

dove σXY è la covarianza delle coordinate del punto C.

STATISTICA

92

Punto 5

Per calcolare l’area del triangolo ABC, dati due angoli e un lato si utilizza:

AAB

ABC =+

| | sen sen

sen( )

2

2α β

α β

Indicando con Ψ(α,β) la funzione appena trovata e ricordando ancora che le variabili α e β sono statisticamente indipendenti, la varianza della superficie del triangolo ABC si può ricavare applicando la formula:

2

2

22

2 ),(),( σ

∂β

βαΨ∂+σ

∂αβαΨ∂=σA

Calcolate le derivate parziali ed inserendole all’interno di questa espressione si ottiene:

( )[ ]{ ++−++

=

=

+

+−++

+

+

+−+=

24

24

2

2

2

22

2

2

2

222

)cos(sen)(sencossen)(sen4

||

)(sen4

)cos()sensen|(|2)(sencossen||2

)(sen4

)cos()sensen|(|2)(sensencos||2

βααβααββα

σ

σβα

βαβαβαβα

σβα

βαβαβαβασ

AB

ABAB

ABABA

( )[ ] }( )[ ] ( )[ ]{ }

( )βαβα

σ

βαβαβααββα

σβαββαβα

444

24

224

24

2

)(4

||

)()()(4

||

)cos()(cos

sensensen

AB

sensensensensen

AB

sensensen

++

=

=−−−+−−−+

=

=+−++

Sostituendo i valori noti di |AB|, α, β e σ2 si ottiene che:

22,02 =σA da cui 47,0±=σA m2

93

5. IL PROGRAMMA DI COMPENSAZIONE CALGE

C A L G E

− simula una rete e consente di valutare a priori la precisione ottenibile con un dato schema di misure

− compensa a «minimi quadrati» la più generale rete topografica (planimetrica, altimetrica, plano – altimetrica e fotogrammetrica)

fra le misure topografiche elaborabili troviamo:

− direzioni azimutali

− azimut

− distanze inclinate o ridotte

− distanze zenitali

− dislivelli

L’ambito di applicazione del programma è il «campo topografico» perchè si assume come superficie di riferimento:

� il piano tangente per la planimetria

� la sfera locale per l’altimetria

Descrizione dei dati di INPUT

L’Input del programma CALGE è costituito dai seguenti files:

� file nomefile. U01 contiene le misure topografiche

� file nomefile. U02 contiene i valori approssimati delle incognite

� file nomefile. U05 contiene i parametri generali

IL PROGRAMMA DI COMPENSAZIONE

nomefile.U01-misure topografiche

Ogni record è formato da 132 caratteri e contiene in sequenza:

variabile unità di misura significato

nI nII nomi dei punti a cui si riferisce la misura (devono essere numeri interi)

θI gon direzione azimutale misurata con stazione in nI

σθI cc s.q.m. della misura θI

θII gon direzione azimutale misurata con stazione in nII

σθII cc s.q.m. della misura θII

dI m distanza misurata dalla stazione nI

σdI mm, mm/km costanti del distanziometro ad onde

dII m distanza misurata dalla stazione nII

σdII mm, mm/km costanti del distanziometro ad onde

ζI gon distanza zenitale misurata in nI

σζ I cc s.q.m. della distanza zenitale ζI

ζII gon distanza zenitale misurata in nII

σζ II cc s.q.m. della distanza zenitale ζII

hI m altezza strumentale misurata in nI

hII m altezza strumentale misurata in nII

aI m altezza del segnale collimato da nI

aII m altezza del segnale collimato da nII

T opzione (spiegata oltre) può valere: : = misura di un azimut * = distanza da ridurre con ζ + = dist. da ridurre con ∆q # = altro = = altro

V opzione può valere: A = vincolo di un azimut B = vincolo di una base (distanza piana) C = A + B D = vincolo di un dislivello

94


95

Esempio

Tipo di variabile e colonne impegnate da ciascuna variabile

nI nII θI σθI dI σdI [mm]

σdI

[mm/km] T V

1 – 5 all. DX

6 – 10 all. DX

11 – 20 (.)=col. 15

21 – 25 (.)=col. 24

41 – 50 (.)=col. 46

51 – 55 (.)=col. 54

56 – 60 (.)=col. 59

131 132

1 2 252,4670 2,0

1 3 331,4213 2,0

1 4 356,2752 2,0

3 7 6373,596 5,0 1,0

5 8 9276,155 5,0 1,0

5 6 8472,386 5,0 1,0

Per le livellazioni geometriche:

variabile

unità di misura

significato

nI nII nomi dei punti a cui si riferisce la misura (devono essere numeri interi)

∆q’ m dislivello misurato da nI a nII σ∆q’ mm s.q.m. chilometrico di ∆q’ ∆q’’ m dislivello misurato da nII a nI σ∆q’’ mm s.q.m. chilometrico di ∆q’’

d km sviluppo lineare del tratto nI nII V opzione (spiegata oltre) può valere : ‘ ‘ o ‘D’

Esempio


nI nII ∆q’ σ∆q’ ∆q’’ σ∆q’’ d

1 – 5 all. DX

6–10 all. DX

11 – 25 (.)=col. 20

26 – 30 31 - 45 46 - 50 51 – 60 (.)=col. 57

1 2 3,2550 1,0 0,5 2 3 -2,1430 1,0 1,0 3 1 -1,1150 1,0 1,0


nomefile.U02-valori approssimati delle incognite

variabile

unità di misura

significato

nome nome del punto

vincolo 0 = da compensare 1 = fisso in quota 2 = fisso in planimetria

X m valore approssimato della coordinata X

σX mm se specificato è lo s.q.m. di X

Y m valore approssimato della coordinata Y

σY mm se specificato è lo s.q.m. di Y

Z m valore approssimato della coordinata Z

σZ mm se specificato è lo s.q.m. di Z

∆ gon valore approssimato dell’orientamento della stazione

96

Eempio


nome vincolo X σX Y σY Z σZ ∆

1 – 5 all. DX

6 11 – 25 (.)=col. 21

26-35 (.)=col. 34

36 – 50 (.)=col. 46

51-60 (.)=col. 59

61 – 75 (.)=col. 70

76 – 85 (.)=c.83

86 – 95 (.)=c. 90

1 0 24310. 4994590. 0,00

2 0 19620. 4990270. 335,00

3 2 16159. 4999013. 265,00

4 0 18960. 5001160. 30,00

5 0 13450. 5005145. 365,00

6 0 17550. 5010520. 60,00


nomefile.U05-parametri generali

Contiene 6 record da 80 caratteri n° record variabile valore descrizione

1 TITOLO stringa di intestazione del lavoro 2 ISCRI = 0 stampa standard = 1 stampa anche i dati di input IFILE = 1 salva i risultati nei files .U11 .U12 .U13 .U14 .U15 .U16 = 0 non salva IMATR = 0 input/output standard = 1 legge dall’unità 10 = 2 scrive sull’unità 10 ISIMU = 0 compensazione standard = 1 calcolo di simulazione

3 ITIPO = 1 rete topografica = 2 blocco fotogrammetrico = 3 ITOPO = 1 rete altimetrica = 2 rete planimetrica = 3 rete plano - altimetrica IFOTO = 0 blocco a modelli indipendenti = 1 blocco a stelle proiettive ISOLU = 0 calcolo della soluzione con Cholesky = 1 calcolo con gradiente coniugato

4 C0 sigma zero a priori della compensazione in [cc o mm/√km] C1 s.q.m. a priori delle direzioni azimutali in [cc] C2 parte fissa dello s.q.m. delle distanze in [mm] C3 parte proporzionale alla distanza (C3 * D ) in [mm/km] C4 s.q.m. a priori delle distanze zenitali in [cc] C5 s.q.m. a priori dei dislivelli in [mm/√km] C6 s.q.m. a priori delle misure fotogrammetriche in [µmm] C7 s.q.m. a priori delle coordinate dei punti in altri sistemi di rif.

5 RA raggio terrestre RF indice di rifrazione

6 K0 origine della numerazione dei vertici LS passo di numerazione

97

I dati di questo file sono IN FORMATO LIBERO.

Esempio

RETE DEL FREJUS - RILIEVO 0 1 0 0 1 2 0 0 10 1 5 1 10 10 1 999 6374972.867 0.14 0 1

6. MINI-SERIE DI ISTRUZIONI PER L'USO DI CALGE AL LAIB DI VERCELLI

All'ingresso del LAIB il calcolatore dovrebbe essere già acceso ed impostato sul disco W:\>; se ciò non fosse occorre accendere l'interruttore e seguire le richieste che appaiono sul video; in seguito battere W: (comparirà W:\>).

1. Creare la directory TOPOCIV con il comando MD TOPOCIV (ogni comando presuppone di battere INVIO).

2. Inserirsi nella directory precedente con il comando CD\TOPOCIV.

3. Spostarsi sull'area di lavoro E:\topo con i comandi:

E:

cd\topo

4. Copiare in W: alcuni files con i comandi:

W:

COPY E:CALGE.EXE

COPY E:RUN386.EXE

Anche se non direttamente necessari sono ultili altri files da copiare con i comandi:

COPY E:LIST.* COPY E:CALGE2XF.EXE COPY E:*.EER

5. Crearsi il file di nome CALGE.INI che contiene il «luogo di lavoro» con l'editor di sistema e cioè con:

EDIT CALGE.INI

In questo file deve essere presente la linea: W:\TOPOCIV\ Per uscire battere ALT F, E, SI, INVIO.

Un suggerimento è copiare tale file dal disco E: e poi modificarlo (COPY E:CALGE.INI).

99

6. Crearsi il file di nome NOMELAV con l'editor del sistema, cioè con:

EDIT NOMELAV

In questo file deve essere presente il nome dei files di estensione U01, U02, U05 dati al lavoro.

MINISERIE DI ISTRUZIONI PER L’USO DI CALGE AL LAIB DI VERCELLI

100

Se si è deciso ad esempio di chiamare il lavoro «COSENZAE»; deve essere presente la linea:

COSENZAE

Uscire dal file come al punto 5.

1. Se i files di lavoro di estensione U01, U02 e U05 non sono stati creati prima (misure, coordinate e parametri) occorre usare come canovaccio i files COSENZAE.UO* i quali possono essere copiati battendo: COPY E:\topo\dati\COSENZAE.u0* (ad esempio per il lavoro COSENZAE). Se il nome del lavoro è, ad esempio «PIPPO», battere REN COSENZAE.* PIPPO.*; modificare poi i files di estensione U01, U02 e U05 per inserire le misure, le coordinate e le costanti corrette. Alla fine di ogni file accertarsi che esista una riga vuota (bianca).

7a. Se si desidera lavorare in ambiente Windows battere WIN e poi entrare in finestra DOS (DOS prompt). In tal caso occorre ritornare nella directory W:\TOPOCIV. Questa scelta ha il vantaggio di permettere l’esecuzione più rapida di CALGE e, nel caso non esista AUTOCAD in versione DOS, si è già nell’ambiente di lavoro successivo alla compensazione o al progetto della rete.

2. Battere CALGE, o, eventualmente, nell'esempio citato al punto 6 CALGE>COSENZAE.U06.

In tal modo si ridirige l'output di CALGE sul file COSENZAE.u06.

Per visualizzare l'output nel caso di ridirezione si può usare l'editor di sistema o il comando LIST.

PER CREARE IL FILE GRAFICO PER IL DISEGNO DELLA RETE

1. Battere W:CALGE2XF

2. Inserire il nome del lavoro (ad esempio COSENZAE)

3. Opzione 4: battere W:\TOPOCIV\

battere W:\ TOPOCIV \

alle due domande del programma

4. Opzione 2: battere ad esempio 0,1 (1m=0,1mm di sqm per ellissi)

5. Opzione 3: battere ad esempio 1, cioè le altezze delle scritte sono 1m in scala

6. Opzione 1, cioè esegui il programma.

PER VISUALIZZARE E STAMPARE IL DISEGNO CON AUTOCAD

Se esiste Autocad versione MSDOS:

1dos. Battere ACAD e tre volte INVIO

MINISERIE DI ISTRUZIONI PER L’USO DI CALGE AL LAIB DI VERCELLI

101

2dos. Battere 1 (creazione di un nuovo disegno) ed, alla richiesta del nome, battere ciò che si era inserito in «NOMELAV», cioè ad esempio W:\TOPOCIV\COSENZAE

3dos. Battere DXFIN e, alla richiesta del nome del file, scegliere quello che il programma propone di default battendo INVIO.

4dos. Per stampare sulla stampante laser battere PLOT PLOTTER e 2 volte INVIO

− N.B. NON verrà stampato direttamente, ma solo dopo l'uscita da Autocad.

5dos. Dare i vari comandi di Autocad e, alla fine, battere END (INVIO) e 0 (zero) (INVIO) per finire.

6dos. Per tornare in TOPOCIV battere:

CD\TOPOCIV

7dos. Per stampare battere il comando:

COPY/B NOMELAV.PLT LPT3: (NOMELAV è la variabile di cui ai punti precedenti)

Se esiste Autocad versione Windows

1win. Cercare l’icona di Autocad (LT o meno) e dare la partenza ad Autocad.

2win. Nel menu FILE, APRI (creazione di un nuovo disegno), selezionare il file *.DXF (alla richiesta del nome battere ciò che si era inserito in «NOMELAV», cioè ad esempio W:\TOPOCIV\COSENZAE).

3win. Per stampare sulla stampante si useranno i comandi di Autocad.

4win. Dare i vari comandi di Autocad e, alla fine, battere END (INVIO) e 0 (zero) (INVIO) per finire.

5win. Per tornare in TOPOCIV rientrare in finestra MSDOS e battere CD\TOPOCIV.

PER SALVARE I LAVORI

In W: battere: Copy NOMELAV.* A:

103

7. GPSEDIT & TURBO TOPAS: MINI-ISTRUZIONI DI AVVIO

Per fare funzionare al LAIB GPS-EDIT e TURBOTOPAS:

Parte preparatoria

Assicurarsi che nel path ci sia la directory c:\windows\command

In ogni caso sarebbe bene dare il comando:

path=c:\windows\command

oppure:

path=%path%+c:\windows\command;

spostarsi sulla radice del disco W:

cd w:\

Crearsi una directory di nome tt con il comando MD tt

Spostarsi su questa directory con il comando CD \tt

Copiare le directory presenti sul disco E: nella directory tt xcopy e:\topo\tt\*.*/s

TOPAS

Funziona in finestra DOS di Windows 95.

Occorre spostarsi nella directory w:\tt\ e modificare topas.bat con il comando: Edit Topas.bat

Nella prima linea la directory di lavoro diventa: set topas=W:\TT

Uscire dall’editor salvando il file.

Battere TOPAS

Per il planning può essere recuperata una stazione di nome VERCELLI.STA

GPSEDIT & TURBO TOPAS: MINI ISTRUZIONI DI AVVIO

104

GPS-EDIT

Eseguire la parte preparatoria.

Il programma funziona in DOS VERO e quindi occorre battere i bottoni:

Avvio/Chiudi sessione/Riavvia in modalità MS-DOS

Spostarsi in w:\tt con i comandi: cd w:

cd tt

Occorre inserire prima il driver del mouse con il comando:

MOUSE.EXE

Alcune volte potrebbe essere necessario comunicare il tipo di display. In tal caso occorre battere:

SET FG_DISPLAY=29H (oppure ad esempio 6AH. I valori si ricavano battendo: fgmodes)

Nella directory w:\tt battere: GPS-EDIT

Selezionare con il mouse Project e due volte il nome della subdirectory con i dati.

Battere Project ed Exit per uscire.

105

8. ISTRUZIONI OPERATIVE PER L’USO DI STARNET AL LAIB

All'ingresso del LAIB il calcolatore dovrebbe essere già acceso. Per lanciare il programma di compensazione di rete topografica STARNET (o di rete di livellazione STARLEV) selezionare dalla barra degli strumenti di WINDOWS:

Programmi > Starnet Demo (oppure Programmi > Starlev per programma compensazione rete livellazione).

Viene copiato il programma sul PC locale: il programma si trova ora nella dir:

f:\starnet\

e i dati nella dir:

f:\starnet\starexample\

1. Crearsi il file delle misure e delle coordinate con un nome appropriato. L’estensione del file deve essere «DAT».

Ciò può essere fatto con l'editor del sistema; in una finestra DOS battere i comandi :

EDIT FREJUS.DAT

In questo file inserire tutto ciò che serve secondo le istruzioni che seguono. Per uscire dall’editor di DOS (EDIT), occorre battere ALT F, E, SI, INVIO.

2. Occorre selezionare le icone: File > New Project ed inserire un nome identico al file .DAT creato, ad esempio, FREJUS.

3. Occorre selezionare l’editor con File > Set Editor. Di solito si sceglie Notepad di Windows.

4. Selezionare Input > data file > selezionare FREJUS.DAT ed eventualmente editarlo se si devono effettuare delle modifiche.

ISTRUZIONI OPERATIVE PER L’USO DI STARNET AL LAIB

106

1. Selezionare le opzioni di progetto (vedi figura seguente) con Option >project: 2D, le unità metriche e quelle angolari, il sistema locale di coordinate.

2. Selezionare con Options > General, (vedi figura seguente) l’ordine (Est prima e Nord poi) con cui vengono lette le coordinate.

3. Selezionare con Options > Instruments, (vedi figura precedente) le costanti di precisione degli strumenti: le due costanti del distanziometro, gli sqm degli angoli, delle direzioni e degli azimut. È anche possibile inserire un errore di centramento della stazione e della mira.


107

4. Sempre con Options > Listing file, (vedi figura seguente) è possibile selezionare l’insieme degli elementi che si possono ottenere in fase di stampa.

5. Alla fine occorre con Run > Adjust Network, (vedi figura seguente) compensare la rete o, in alternativa, simularla con Preanalysis.

6. L’output alfanumerico è visibile con Output >Listing. Questo output può essere stampato su una qualunque stampante di sistema o di rete.

7. Il grafo della rete è visibile con Output >Plot. Le dimensioni delle ellissi e le altre opzioni sono selezionabili agendo sul tasto destro del mouse.

8. Per esportare il grafo in formato DXF occorre selezionare: Tools > DXF exporter e, dopo aver scelto le dimensioni dei simboli e la scala delle ellissi, battere Export!.


108

Il programma STARNET è in grado di:

− simulare il rilievo di una rete e di valutare a priori la precisione ottenibile secondo lo schema delle misure previste

− compensare a «minimi quadrati» la più generale rete topografica (planimetrica, plano – altimetrica o GPS)

Fra le misure topografiche elaborabili troviamo:

− direzioni azimutali

− azimut

− distanze inclinate o ridotte

− distanze zenitali

− basi GPS

Per le reti planimetriche l’ambito di applicazione del programma è il «campo topografico» perché si assume come superficie di riferimento:

− il piano tangente per la planimetria

− la sfera locale per l’altimetria

Descrizione dei dati di INPUT

L’Input del programma STARNET è costituito da un solo file di estensione .DAT che contiene le misure topografiche e le coordinate (almeno dei punti noti) della rete.

I record sono a formato libero, vale a dire non importa come i dati siano incolonnati e non importa neppure che le misure precedano le coordinate o viceversa.

Prendiamo come esempio una rete eseguita per il traforo del Frejus visibile nella figura seguente.

�

� ��

�

�


A questa rete fa riferimento il file dei dati sottostante (FREJUS.DAT).

La colonna numerica di sinistra non deve essere presente nel file. Qui è stata riportata solo per facilitarne la comprensione.
1 C 1 24310. 4994590. 2 C 2 19620. 4990270. ' Imbocco 3 C 3 16159. 4999013. ! ! 4 C 4 18960. 5001160. 0.02 0.02 5 C 5 13450. 5005145. 6 C 6 17550. 5010520. 7 B 3-4 193.1883 ! 8 DB 1 # questo comando indica che iniziano le direzioni 9 DN 2 252.4670 2.0 10 DN 3 331.4213 2.0 11 DN 4 356.2752 2.0 12 DE 13 DB 2 14 DN 3 40.7686 2.0 15 DN 4 60.9461 2.0 16 DN 1 117.4699 2.0
109

17 DE 18 DB 3 19 DN 5 108.1541 2.0 20 DN 6 142.1903 2.0 21 # riga di misura tolta DN 4 193.1883 2.0 22 DN 1 266.4275 2.0 23 DN 2 310.7721 2.0 24 DE 25 DB 4 26 DN 1 126.2719 2.0 27 DN 2 165.9408 2.0 28 DN 3 228.1789 2.0 29 DN 5 309.6164 2.0 30 DN 6 359.9843 2.0 31 DE 32 DB 5 33 DN 6 76.0532 2.0 34 DN 4 174.6229 2.0 35 DN 3 208.1509 2.0 36 DE 37 DB 6 38 DN 4 129.9963 2.0 39 DN 3 147.1932 2.0 40 DN 5 181.0585 2.0 41 DE 42 D 1-2 6373.596 0.005 43 D 1-3 9276.155 0.005 44 D 1-4 8472.386 0.005 45 D 2-3 9396.078 0.005 46 D 2-4 10902.251 0.005 47 D 4-3 3531.752 0.010 48 D 6-5 6760.670 0.010


110

Coordinate

Nelle righe che vanno da 1 a 6 sono presenti le coordinate dei punti della rete: coordinate approssimate per tutti i punti tranne che per il punto 3.

Non è necessario che le coordinate precedano le misure: queste e quelle possono essere sparse in qualunque ordine. Per evitare errori grossolani è opportuno però che siano riunite in un unico gruppo.

La codifica che descrive una coordinata è la lettera C a cui seguono le coordinate X (EST) e Y (NORD) e gli eventuali s.q.m. X e Y espressi nelle stesse unità di misura (si veda ad esempio la riga 4).

Come si vede dall’esempio non è richiesto alcun incolonnamento tranne che per la lettera C che va editata in prima colonna.

Un punto fisso dovrà essere indicato con due punti esclamativi (!) dopo le coordinate.

I punti possono avere nome numerico o alfanumerico. Nell’esempio è solo un caso che tutti abbiano nome numerico. Se si vuole inserire un commento da riportare sul disegno a fianco del nome del punto, si può inserire tale commento dopo le coordinate preceduto da un apice (‘) come a riga 2.

Non è necessario in compensazione inserire le coordinate approssimate dei punti in quanto il programma stesso è in grado di calcolarle.

Tali coordinate sono invece necessarie in fase di simulazione (il programma la chiama preanalisi) in quanto, senza misure, non sarebbe in grado di calcolarle.

In questo esempio le righe 1, 2, 4, 5 e 6 non sarebbero necessarie.

Se si desidera commentare una riga o si desidera togliere una misura o un punto è sufficiente usare il tasto cancelletto (#) come è visibile in riga 21 o in riga 8.

Misure

Le misure planimetriche possono essere: angoli, distanze, azimut, direzioni azimutali.

Sono inserite attraverso un codice di inserimento (A, D, B, DB/DN/DE) seguito dal nome delle stazioni coinvolte, dalla misura e dal relativo eventuale s.q.m..

Se tutti i gruppi di misure hanno la stessa precisione è possibile tralasciare il valore di s.q.m. per ciascuna misura ma inserirlo, una volta per tutte, nelle opzioni del lavoro.

Se la maggioranza delle misure ha la stessa precisione, sarà conveniente imporla nelle opzioni e per le poche misure con precisione diversa si farà seguire alla misura stessa il valore particolare dello s.q.m..

Quando si vuole imporre una misura, cioè si vuole fare in modo che venga rispettata senza scarto, occorre inserire il carattere punto esclamativo (!) dopo la misura.


111

Quando si desidera che venga calcolato solo lo scarto, ma non venga utilizzata nel calcolo di compensazione, occorre far seguire alla misura il carattere e commerciale (&).

Azimut (B)

Il codice degli azimut è la lettera B seguita dai nomi dei due punti separati dal carattere meno (-) e dal valore dell’angolo.

Se l’azimut ha un suo s.q.m. segue il valore in dmgon (oppure in secondi sessagesimali). Se l’azimut è da imporre come una condizione rigorosa da rispettare, deve seguire il carattere punto esclamativo (!) come è visibile in riga 7. Ciò avviene quando si vuole stabilire un datum (sistema di riferimento) per una rete planimetrica di angoli e distanze a minimi vincoli. In questo caso si fissano un punto e un azimut come nell’esempio illustrato.

Direzioni azimutali (DB DN DE)

Le righe 9, 10, 11 e 12 riportano un esempio.

Tutte le direzioni iniziano con DB, seguite dal nome della stazione su cui si misurano le direzioni azimutali.

Seguono le righe che iniziano con DN seguite dal nome del punto collimato, la direzione azimutale ed eventualmente il valore dell’s.q.m. della misura o il vincolo (! oppure &).

Al termine delle direzioni misurate dalla stessa stazione segue il comando DE senza altri parametri.

Distanze (D)

Il codice delle distanze è la lettera D a cui seguono i due nomi delle stazioni coinvolte separate dal carattere meno (-), il valore della misura ed eventualmente lo s.q.m. e il tipo di vincolo imposto.

Angoli (A)

Conviene utilizzare questo codice quando da un vertice si misura un solo angolo azimutale.

Il codice degli angoli è A a cui seguono i tre punti coinvolti separati dal carattere meno (-), il valore della misura ed eventualmente il valore dello s.q.m. e il vincolo imposto.

La convenzione angolare di percorrenza può essere scelta nelle opzioni nelle seguenti forme:

At, From, To (Su, Da, Verso) cioè: punto di stazione punto indietro e punto avanti

From, At, To (Da, Su, Verso) cioè: punto indietro, punto al centro e punto avanti


112

Esempio di dati predisposti per la simulazione (preanalysis) C 1 24310. 4994590. C 2 19620. 4990270. Imbocco Come si vede il file contiene le C 3 16159. 4999013. ! ! coordinate di tutti i punti. C 4 18960. 5001160. In questo caso sono obbligatorie C 5 13450. 5005145. C 6 17550. 5010520. B 3-4 58.3660 ! La riga qui a sinistra può servire DB 1 per fissare il datum ma non è DN 2 affatto obbligatoria DN 3 DN 4 Seguono le misure che si

intendono DE eseguire SENZA la misura stessa. DB 2 La precisione dei gruppi di

misure DN 3 si presuppone che sia stata data DN 4 nelle opzioni DN 1 DE DB 3 DN 5 DN 6 DN 4 DN 1 DN 2 DE DB 4 1 5.0 Nel caso in cui la precisione

della DN 1 1 5.0 misura sia diversa da quella DN 2 1 5.0 indicata nelle opzioni, bisognerà DN 3 1 5.0 inserire una misura fasulla (1) e

a DN 5 1 5.0 fianco il valore dello s.q.m. DN 6 1 5.0 DE DB 5 DN 6 DN 4 DN 3 DE DB 6 DN 4 DN 3 DN 5 DE D 1-2 D 1-3 D 1-4 D 2-3 D 2-4 D 4-3 D 6-5

ISTRUZIONI PER L’USO DI STARNET AL LAIB

113

26. Compensazione di una intersezione mista di distanze e direzioni azimutali

Sono note le coordinate (x,y) dei punti:

2 ≡ (690,60; 300,50) m

3 ≡ (200,10; 160,20) m

Dalla stazione 1 verso questi punti sono state misurate le distanze:

d12 = 519,15m ±1cm;

d13 = 650,20m ±1cm;

Inoltre, orientando il teodolite verso il punto 2, si sono misurati:

t1 = α213 = 55,7956 gon ±7⋅10-4 gon;

t12 = 0 gon ±7⋅10-4 gon;

Date le coordinate approssimate del punto 1 ricavate per via grafica: 1≡(450,0; 760,6) m, si desidera ricavare la stima delle coordinate del punto 1 e la loro precisione.

In questo caso, essendo l’angolo α213 l’unico angolo misurato dal punto 1, è equivalente risolvere il problema con l’equazione dell’angolo azimutale, senza correlazioni oppure con le due equazioni alle direzioni.

ASSE X

Y

Y0= 100

1

2

3

X0= 100

t13

12t

δ


114

Si noti anche che nel primo caso si deve scrivere un sistema di tre equazioni (due distanze ed un angolo) nelle due coordinate incognite (x1, y1). Nel secondo caso un sistema di quattro equazioni (due distanze e due direzioni azimutali) nelle tre incognite: le coordinate del punto 1 e la correzione d’orientamento δ.

In entrambi i casi la ridondanza globale vale r = m-n = 1, così che il metodo dei minimi quadrati è applicabile con profitto.

I programmi di calcolo e compensazione più evoluti scelgono in questo caso, per generalità, il metodo delle direzioni.

Le equazioni angolari nella forma si scrivono:

11313

13atn vtyy

xx=δ−−

π+

−−

21212

12atn vtyy

xx =δ−−

π+

−−

Le equazioni nelle distanze sono:

3132

132

13 )()( vdyyxx =−−+−

( ) ( )x x y y d v2 12

2 12

12 4− + − − =

Si noti che, essendo le direzioni verso 2 e 3 nel secondo e terzo quadrante, si è sommato ad entrambe le equazioni il valore π.

Per calcolare i termini noti ci manca un valore approssimato della correzione δ. Essendo il cerchio azimutale orientato a zero sul punto 2, la correzione è il valore dell’angolo di direzione (12), che è possibile misurare graficamente. Si ha δ =170 gon (=2,670354 rad).

I termini noti l1, l2, l3 ed l4 valgono:

)rad(010784,03,600

9,249atn670354,2876435,01 =−−

−+= πl

)rad(010584,00,460

6,240atn670354,20,02 =−

−−+= πl

m1308,03,6009,24920,650 223 −=+−=l

m0613,04606,24015,519 224 −=+−=l

Formiamo ora la matrice disegno A. Sarà di quattro righe (m=4) e di tre colonne (n=3), quante sono le incognite δx1, δy1, δ(δ). La prima riga esprime le


115

derivate rispetto alla prima misura, la seconda le derivate rispetto alla seconda ecc.

Prima riga:

213

13

1

111

d

yy

x

fa

−−=

∂∂= ; a

f

y

x x

d12 1

1

3 1

132= =

−∂∂

; af

13 1 1= = −

∂∂δ

Sostituendo i valori si ottiene:

211 238,650

3,600=a ; 2

21 238,650

9,249−=a ; a13 1= −

per la seconda riga (e misura) si ha:

2212

12

1

212 123,519

0,460=−−=∂∂=

d

yy

x

fa ;

2212

12

1

222 123,519

6,240=−=∂∂=

d

xx

y

fa ; a2

3 1= −

per la terza misura:

238,650

9,249

13

13

1

313 =

−−=

∂∂

=d

xx

x

fa ;

238,650

3,600

13

13

1

323 =

−−=

∂∂

=d

yy

y

fa ; a3

3 0=

per la quarta ed ultima misura:

123,519

6,240

12

12

1

414

−=−−=∂∂=

d

xx

x

fa ;

123,519

0,460

12

12

1

424 =−−=

∂∂=

d

yy

y

fa ; a4

3 0=

in definitiva:

−

−⋅⋅−⋅−⋅

=−−

−−

088611,046347,0

092320,038432,0

11089280,01070694,1

11059105,01041979,133

33

A

Occorre ora pesare ciascuna equazione in proporzione inversa alla varianza di ogni misura. Ricordando la forma della matrice dei pesi e assumendo σ0

2 1=

p jj

=1

2σ;

2422

21 6620,63

107

⋅=σ=σ−

; ( )224

23 m01,0=σ=σ


116

e si ottiene così:

⋅⋅

⋅⋅

=

4

4

9

9

101

101

1027,8

1027,8

P

Calcoliamo ora la matrice normale N come: N A PAT=

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅

=10

64

734

106542,1

104959,2105857,2

105682,2101052,5104397,4

Simmetrica

N

e la sua inversa N-1

⋅⋅−⋅

⋅⋅−⋅=

−

−−

−−−

−

10

85

754

1

108086,6

102878,1109816,3

109809,3102080,1105580,2

Simmetrica

N

Il termine noto normale vale:

⋅−⋅⋅

==8

4

5

107673,1

103676,2

107581,2

PlAb T

ed infine, la soluzione è:

−−−

==

δδδδ

=δ −

rad01083,0

m0113,0

m0807,0

)(

ˆ 11

1

bNy

x

x

I valori compensati delle coordinate del punto 1 e della correzione d’orientamento sono:

1≡(449,919; 760,489) m; δ=(170-0,01083*63,6620) gon =169,3105 gon

Ricaviamo ora il vettore degli scarti �v dopo la compensazione, secondo la

−−

⋅⋅−

=−δ=−

−

m0015,0

m0046,0

rad105108,4

rad105108,4

ˆˆ6

6

lxAv


117

Ed ora, secondo la 19, calcoliamo la stima �σ02

5677,0ˆˆ

ˆ

ˆ 1

2

20 =

−=

−=σ

∑=

nm

vPv

nm

vpT

m

jjj

(è adimensionale)

Si noti che �σ σ02

02< fissato a priori =1.

Ora ricaviamo la matrice di varianza covarianza delle coordinate:

C Nxx�� ;= −σ0

2 1

⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅

=

σσσσσσ

=−

−−

−−−

δ

δ

δ

10

95

764

2

2

2

108497,3

102813,7102513,2

102509,2108301,6104464,1

SimmetricaSimmetrica

C yy

xxyx

xx

e, in definitiva

m0121,0±=σ x ; m0048,0±=σ y ; gon1052,12 4−δ ⋅±=σ

Si può infine valutare a posteriori la precisione delle misure dopo la compensazione, o meglio, la stima della precisione degli scarti dopo la compensazione, attraverso le 22 che esprime la matrice di varianza covarianza degli scarti:

[ ]C P AN AT� �

�

vv = −− −σ02 1 1

⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅

⋅⋅⋅−⋅

=

−

−−

−−−

−−−−

6

65

9811

981111

ˆˆ

101862,2

107496,6100915,2

106556,610054,210034,2

106556,610054,210026,210034,2

Simmetrica

C vv

ricavando così:

gon1086,2 421

−⋅±=σ=σ vv

;mm48,1

;mm56,4

4

3

±=±=

v

v

σσ

Si noti che gli sqm angolari sono migliori (più piccoli) degli sqm delle misure angolari ipotizzate a priori di ±7· 10-4 gon ed anche gli sqm degli scarti delle due distanze sono diversi fra loro e più piccoli degli sqm a priori delle distanze ipotizzati di ±10 mm.


118

Infine ricaviamo la matrice di ridondanza, definita dalle relazioni:

∑=

+− −=n

iiii xxyS

111 )(

2

1

vvCPR 20

ˆ1

σ=

TAPANIR 1−−=

Evitando i complessi conti matriciali si può ricavare:

rp

ii i vi=

σσ

2

02

�

;

2965,022

11 == rr ;

367,033 =r ;

040,044 =r .

Si verifica che r r r r11

22

33

44 1+ + + = , che è la ridondanza globale r (r=1 in

questo esempio). Questi valori indicano il contributo di ogni misura alla rigidità complessiva della rete.

Come si nota dalla forma 23b questi valori possono essere calcolati senza bisogno delle misure l.

Nel nostro caso possiamo affermare che la quarta misura ha pochissima influenza sulla rigidità della rete. Ciò era progettabile in anticipo, prima di eseguire le misure. In questo caso d’altra parte non possiamo permetterci il lusso di progettare reti con ridondanza nulla e quindi senza controllo interno alcuno. In altre circostanze, da un progetto preliminare di una rete, se una misura risulta avere bassa ridondanza locale, si decide di solito di non eseguirla.

Qui di seguito è riportato il listato dell’uscita di un programma automatico di calcolo e progettazione di reti, denominato CALGE (del Politecnico di Milano), eseguito con i dati di questa piccola rete di esempio.


119

Esempio eseguito con CALGE: UNITÀ DI MISURA: MISURE ANGOLARI in gon MISURE LINEARI in m CORREZIONI E PARAMETRI ANGOLARI gon CORREZIONI E COORDINATE LINEARI m RESIDUI E SQM ANGOLARI dmgon RESIDUI E SQM LINEARI mm PRECISIONE A PRIORI DELLA RETE TOPOGRAFICA SIGMA ZERO (CC) 100. SQM DELLE OSSERVAZIONI TOPOGRAFICHE: ANGOLI AZIMUTALI dmgon 10. DISTANZE (mm) 10.+10.*D (km) DISLIVELLI (mm) 1.*SQRT(D) (km) PRECISIONE A PRIORI DELLE COORDINATE DI PUNTI DATE IN ALTRI SISTEMI DI RIFERIMENTO: RETE TOPOGRAFICA

MISURE DI ANGOLI E DISTANZE N. PUNTI DIREZIONI AZIMUTALI DISTANZE INCLINATE IND. AV. I-A A-I I-A A-I (gon) (gon) (m) (m) 1 1 2 0.0000 2 1 3 55.7956 3 1 2 519.150 4 1 3 650.200

LATI 4 LATI RIGIDI 0 PUNTI E COORDINATE APPROSSIMATE N. PUNTO FIX COORD.X COORD.Y (m) (m) 1 1 0 450.000 760.600 2 2 2 690.600 300.500 3 3 2 200.100 160.200 PUNTI 3 PUNTI FISSI 2 LATI 4 VERTICI 3 LATI RIGIDI 0 VERTICI FISSI 2


120

TERMINI NOTI ED SQM DELLE EQUAZIONI AGLI ANGOLI E ALLE DISTANZE N. PUNTI DIREZIONI AZIMUTALI DISTANZE IND. AV. I-A SQM A-I SQM I-A (cc) (cc) (cc) (cc) (mm) 1 1 2 -6737.9 7.0 2 1 3 -6865.1 7.0 3 1 2 61.3 4 1 3 130.8 SQM T. NOTO = 79339.5 ITERAZIONE N. 1 SIGMA ZERO = 58.0 ITERAZIONE N. 2 SIGMA ZERO = 57.9 ITERAZIONE N. 3 SIGMA ZERO = 57.9 CORREZIONI COORDINATE COMPENSATE E SQM

N. PUNTO FIX COORD. COMPENSATA X COORD. COMPENSATA Y CORREZ. VALORE SQM CORREZ. VALORE SQM (m) (m) (mm) (m) (m) (mm) 1 1 0 -0.0833 449.9167 14.0 -0.1150 760.4850 4.8 2 2 2 0.0000 690.6000 0.0 0.0000 300.5000 0.0 3 3 2 0.0000 200.1000 0.0 0.0000 160.2000 0.0 CORREZIONI ORIENTAMENTI DELLE STAZIONI E SQM N. PUNTO CORREZ. VALORE SQM (gon) (gon) (CC) 1 1 -0.68954 169.31046 14.1

N. MEDIA SQM RMS MAX (VAL) (SQM) 3 -27.8 48.1 8.1 14.0 COORD. X 3 -38.3 66.4 2.8 4.8 COORD. Y 1 -6895.4 0.0 14.1 14.1 ORIENTAMENTO


121

SCARTI-RESIDUI DELLE EQUAZIONI ALLE MISURE DI ANGOLI E DISTANZE N. PUNTI DIREZIONI AZIMUTALI DISTANZE IND. AV. I-A SQM A-I SQM I-A SQM (CC) (CC) (CC) (CC) (mm) (mm) 1 1 2 1.7 1.7 2 1 3 -1.7 1.7 3 1 2 -2.0 2.0 4 1 3 -7.4 7.4 N. MEDIA SQM RMS MAX (VAL) (SQM) 2 0.0 2.4 1.7 1.7 DIREZIONI AZIMUTALI 2 -4.7 3.8 5.4 7.4 DISTANZE SIGMA ZERO 57.9129 90.9694 (ANG. E LIN. A 1 KM) EQUAZIONI 4 INCOGNITE 7 VINCOLO SISTEMA DI RIFERIMENTO: VINCOLI DOVUTI A LATI RIGIDI 0 VINCOLI DOVUTI A PUNTI FISSI 4 RIDONDANZA 1 ITERAZIONI 2 Fine esecuzione di Calge

123

9. ESERCITAZIONI CON CALGE: POLIGONALE RILEVATA ESTERNAMENTE

POLIGONALE ESEGUITA IL 27/04/2000

Le tabelle che seguono riportano i valori misurati in campagna. I simboli adottati hanno il seguente significato:

C=Cerchio Destra o Sinistra (D/S) Pr=prisma Nikon o Leica (N/L) T=Treppiede/Palina

Dridotta= distanza orizzontale NB: ai prismi Nikon occorre aggiungere 3 mm

Stazione 1 Hs= 1,628

Punti C H T Azimut Zenit D ridotte Pr Note 2 S 1,491 T 212,9395 97,6320 77,213 N D 12,9395 302,6400 6 S 1,533 T 309,4600 100,2565 30,373 L D 109,4550 299,7445 101 S 1,600 P 196,2550 100,0720 35,892 L GPS

D 396,2515 299,9295 35,888 L


Punti C H T Azimut Zenit D ridotte Pr 1 S 1,625 T 125,3380 102,6440 77,214 N D 325,3355 297,3585 3 S 1,600 P 390,2075 100,1095 61,437 L D 190,2045 299,8905 101 S 1,600 P 139,0325 104,7390 43,560 L D 339,0315 295,2625 43,558 L 102 S 1,600 P 372,6200 99,9665 101,500 L D 172,6220 300,0260 101,500 L 103 S ND x 249,3890 96,5355 ND Palo luce

D 49,3870 303,4665

ESERCITAZIONI CON CALGE: POLIGONALE RILEVATA ESTERNAMENTE

124

Tabella delle misure


Punti C H T Azimut Zenit D ridotte Pr 4 S 1,654 T 232,8150 104,5525 42,608 L D 32,8120 295,4475 42,608 L 2 S 1,510 T 378,1125 99,7630 61,431 N D 178,1135 300,2365 61,431 N 102 S 1,600 P 136,5715 99,6405 45,588 L D 336,5700 300,3585 45,591 L 103 S ND x 5,2860 98,0790 ND Palo luce

D 205,2870 301,9240


Punti C H T Azimut Zenit D ridotte Pr 5 S 1,544 T 278,1155 100,1145 49,854 L D 78,1160 299,8855 3 S 1,491 T 323,3235 95,4075 42,604 N D 123,3215 304,5930


Punti C H T Azimut Zenit D ridotte Pr

6 S 1,534 T 362,4645 99,9320 77,174 L D 162,4665 300,0710 4 S 1,622 T 222,9115 99,8495 49,849 N

D 22,9070 300,1485


Punti C H T Azimut Zenit D ridotte Pr Note 5 S 1,510 T 189,2335 100,0485 77,170 N D 389,2320 299,9530 1 S 1,659 T 71,8500 99,6205 30,373 L D 271,8485 300,3795 104 S 1,600 P 231,7945 100,1380 38,305 L GPS

D 31,7925 299,8670 38,312 L


125


126

Files dei dati di CALGE:

Misure del giovedì 24/4/2000: file GIOVE.U01 1 2 212.94025 1 6 309.4575 1 101 196.25325 2 1 125.33675 2 3 390.2060 A 2 101 139.0320 15.0 2 102 372.62100 2 103 249.38800 3 4 232.81350 3 2 378.1130 3 102 136.57075 3 103 5.28650 4 5 278.11575 4 3 323.32250 5 6 362.46550 5 4 222.90925 6 5 189.23275 6 1 71.84925 6 104 231.79350 1 2 77.216 3.0 2.0 1 6 30.373 3.0 2.0 1 101 35.890 3.0 2.0 2 1 77.217 3.0 2.0 2 3 61.437 3.0 2.0 2 101 43.559 3.0 2.0 2 102 101.500 3.0 2.0 3 4 42.608 3.0 2.0 3 2 61.434 3.0 2.0 3 102 45.5895 3.0 2.0 4 5 49.854 3.0 2.0 4 3 42.607 3.0 2.0 5 6 77.174 3.0 2.0 5 4 49.852 3.0 2.0 6 5 77.173 3.0 2.0 6 1 30.373 3.0 2.0 6 104 38.3081 3.0 2.0

Coordinate approssimate relative alle misure del giovedì 24/4/2000: file GIOVE.U02 1 0 6.5977 167.4010 -37.80 2 2 36.0000 96.0000 -150.2060 3 0 -0.1097 46.2993 61.88 4 0 -42.5694 42.7553 171.30 5 0 -7.6010 78.2872 26.58 6 0 -20.8146 154.3206 -0.19 101 0 28.3948 138.8894 102 0 0.9952 0.7249 103 0 88.7766 96.6782 104 0 -39.0615 120.6374

Parametri comuni alla rete relativa alle misure del giovedì 24/4/2000: file GIOVE.U05 Rete planimetrica "POLIGONALE 2000" 1 , 1 , 0 , 0 1 , 2 , 0 , 0 10 ,15 , 3 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 6374972.867,0.14 0,1


127

OUTPUT DELLA COMPENSAZIONE CALGE Dati del file w:\topociv\GIOVE.U05 Rete planimetrica "POLIGONALE 2000" UNITA DI MISURA MISURE ANGOLARI GRAD MISURE LINEARI M MISURE MODELLI O FOTOGRAMMI MICRON CORREZIONI E PARAMETRI ANGOLARI GRAD CORREZIONI E COORDINATE LINEARI M RESIDUI E SQM ANGOLARI CC RESIDUI E SQM LINEARI MM RESIDUI E SQM MODELLI O FOTOGRAMMI MICRON PRECISIONE A PRIORI DELLA RETE TOPOGRAFICA SIGMA ZERO (CC) 10. SQM DELLE OSSERVAZIONI TOPOGRAFICHE: ANGOLI AZIMUTALI (CC) 15. DISTANZE (MM) 3.+ 2.*D (KM) ANGOLI ZENITALI (CC) 0. DISLIVELLI (MM) 0.*SQRT(D) (KM) PESO DEI VINCOLI0.1000E+09 RETE TOPOGRAFICA MISURE DI ANGOLI E DISTANZE N. PUNTI DIREZ. AZIMUTALI DIST. INCLINATE ANG. ZENITALI H STRUMENTI H SEGNALI TIPO VINCOLO IND. AV. I-A A-I I-A A-I I-A A-I IND. AV. IND. AV. (GRAD) (GRAD) (M) (M) (GRAD) (GRAD) (M) (M) (M) (M) 1 1 2 212.94025 2 1 6 309.4575 3 1 101 196.25325 4 2 1 125.33675 5 2 3 390.2060 (in colonna 132:) A 6 2 101 139.0320 7 2 102 372.62100 8 2 103 249.38800 9 3 4 232.81350 10 3 2 378.1130 11 3 102 136.57075 12 3 103 5.28650 13 4 5 278.11575 14 4 3 323.32250 15 5 6 362.46550 16 5 4 222.90925 17 6 5 189.23275 18 6 1 71.84925 19 6 104 231.79350 20 1 2 77.216 21 1 6 30.373 22 1 101 35.890 23 2 1 77.217 24 2 3 61.437 25 2 101 43.559 26 2 102 101.500 27 3 4 42.608 28 3 2 61.434 29 3 102 45.5895 30 4 5 49.854 31 4 3 42.607 32 5 6 77.174 33 5 4 49.852 34 6 5 77.173 35 6 1 30.373 36 6 104 38.3081 LATI 36 LATI RIGIDI 1


128

PUNTI E COORDINATE APPROSSIMATE N. PUNTO FIX COORD.X SQM X COORD.Y SQM Y COORD.Z SQM Z ORIENTAMENTO STAZIONE (M) (MM) (M) (MM) (M) (MM) (GRAD) 1 1 0 6.5977 167.4010 -37.80 2 2 2 36.0000 96.0000 -150.2060 3 3 0 -0.1097 46.2993 61.88 4 4 0 -42.5694 42.7553 171.30 5 5 0 -7.6010 78.2872 26.58 6 6 0 -20.8146 154.3206 -0.19 7 101 0 28.3948 138.8894 8 102 0 0.9952 0.7249 9 103 0 88.7766 96.6782 10 104 0 -39.0615 120.6374 PUNTI 10 PUNTI FISSI 1 RIORDINO DELLA NUMERAZIONE LATI 36 VERTICI 10 LATI RIGIDI 1 VERTICI FISSI 1 INDIETRO AVANTI BANDA 7 BANDA 3 PROFILO 42 35 FATTORE DI (MAX) 3 (MED) 2 27 29 RISPARMIO 1: 1 (PRIMA E DOPO IL RIORDINO DELLA NUMERAZIONE) TERMINI NOTI ED SQM DELLE EQUAZIONI AGLI ANGOLI E ALLE DISTANZE N. PUNTI DIREZIONI AZIMUTALI DISTANZE INCLINATE ANGOLI ZENITALI IND. AV. I-A SQM A-I SQM I-A SQM A-I SQM I-A SQM A-I SQM (CC) (CC) (CC) (CC) (MM) (MM) (MM) (MM) (CC) (CC) (CC) (CC) 1 1 2 -85.1 2 1 6 -10.6 3 1 101 -64.6 4 2 1 9.9 5 2 3 0.2 6 2 101 15.1 15.0 7 2 102 2.4 8 2 103 -0.4 9 3 4 50.9 10 3 2 70.2 11 3 102 61.4 12 3 103 72.1 13 4 5 754.2 14 4 3 760.9 15 5 6 2.9 16 5 4 19.2 17 6 5 30.4 18 6 1 -28.1 19 6 104 24.3 20 1 2 1.9 3.2 21 1 6 0.2 3.1 22 1 101 -0.9 3.1 23 2 1 0.9 3.2 24 2 3 -3.5 3.1 25 2 101 -0.5 3.1 26 2 102 2.1 3.2 27 3 4 -0.7 3.1 28 3 2 -0.5 3.1 29 3 102 -1.7 3.1 30 4 5 -1.2 3.1 31 4 3 0.3 3.1 32 5 6 -1.0 3.2 33 5 4 0.8 3.1 34 6 5 0.0 3.2 35 6 1 0.2 3.1 36 6 104 0.0 3.1 SQM T. NOTO = 122.4 OCCUPAZIONE DI MEMORIA PIENA COMPATTA FATTORE DI RIEMPIMENTO MATRICE DISEGNO 936 197 1: 5 MATRICE NORMALE 351 177 1: 2 (M. NORMALE A PROFILO = M. FATTORIZZATA A PROFILO = PROFILO M. INVERSA) ITERAZIONE N. 1 SIGMA ZERO = 12.7 ITERAZIONE N. 2 SIGMA ZERO = 12.7 NUMERO DI CONDIZIONE ( CHI = MAX(ABS(C) / MAX(ABS(C**-1)) ) 4.6E+02 NUMERO DI RIGA CORRISPONDENTE DELLA MATRICE INVERSA 1


129

RETE TOPOGRAFICA CORREZIONI COORDINATE COMPENSATE E SQM N. PUNTO FIX COORD. COMPENSATA X COORD. COMPENSATA Y COORD. COMPENSATA Z CORREZ. VALORE SQM CORREZ. VALORE SQM CORREZ. VALORE SQM (M) (M) (MM) (M) (M) (MM) (M) (M) (MM) 1 1 0 0.0015 6.5992 2.5 0.0010 167.4020 2.1 2 2 2 0.0000 36.0000 0.0 0.0000 96.0000 0.0 3 3 0 -0.0003 -0.1100 1.3 -0.0004 46.2989 1.8 4 4 0 0.0014 -42.5680 2.7 -0.0001 42.7552 2.3 5 5 0 0.0020 -7.5990 2.6 0.0010 78.2882 2.4 6 6 0 0.0004 -20.8142 3.1 0.0003 154.3209 2.6 7 101 0 0.0000 28.3948 1.6 0.0004 138.8898 2.6 8 102 0 -0.0005 0.9947 2.1 0.0002 0.7251 3.0 9 103 0 -0.0045 88.7721 9.0 -0.0011 96.6771 2.0 10 104 0 0.0021 -39.0594 3.4 -0.0007 120.6367 4.5 CORREZIONI ORIENTAMENTI DELLE STAZIONI E SQM N. PUNTO CORREZ. VALORE SQM (GRAD) (GRAD) (CC) 1 1 -0.00404 -37.80404 24.9 2 2 0.00118 -150.20482 14.4 3 3 0.00626 61.88626 17.3 4 4 0.07570 171.37570 24.9 5 5 0.00021 26.58021 24.2 6 6 -0.00074 -0.19074 25.4 N. MEDIA SQM RMS MAX (VAL) (SQM) 10 0.2 1.9 3.6 9.0 COORDINATA X 10 0.0 0.7 2.6 4.5 COORDINATA Y 6 131.0 308.5 22.3 25.4 ORIENTAMENTO STAZIONI SCARTI-RESIDUI DELLE EQUAZIONI ALLE MISURE DI ANGOLI E DISTANZE N. PUNTI DIREZIONI AZIMUTALI DISTANZE INCLINATE ANGOLI ZENITALI IND. AV. I-A SQM A-I SQM I-A SQM A-I SQM I-A SQM A-I SQM (CC) (CC) (CC) (CC) (MM) (MM) (MM) (MM) (CC) (CC) (CC) (CC) 1 1 2 -30.0 11.1 2 1 6 26.7 8.4 3 1 101 3.3 7.6 4 2 1 12.9 11.3 5 2 3 -11.6 12.6 6 2 101 4.6 9.2 7 2 102 -5.9 12.2 8 2 103 0.0 0.0 9 3 4 -8.9 7.2 10 3 2 7.6 8.1 11 3 102 1.2 5.4 12 3 103 0.0 0.0 13 4 5 -6.7 8.6 14 4 3 6.7 8.6 15 5 6 -13.2 6.0 16 5 4 13.2 6.0 17 6 5 23.8 7.5 18 6 1 -23.8 7.5 19 6 104 0.0 0.0 20 1 2 2.2 3.4 21 1 6 1.5 3.0 22 1 101 -1.4 2.8 23 2 1 1.2 3.4 24 2 3 -3.0 3.3 25 2 101 -0.1 2.9 26 2 102 2.1 2.8 27 3 4 -2.4 3.0 28 3 2 0.0 3.3 29 3 102 -2.4 2.6 30 4 5 0.0 3.1 31 4 3 -1.4 3.0 32 5 6 -1.4 3.2 33 5 4 2.0 3.1 34 6 5 -0.4 3.2 35 6 1 1.5 3.0 36 6 104 0.0 0.0 N. MEDIA SQM RMS MAX (VAL) (SQM) 19 0.0 14.3 8.1 12.6 DIREZIONI AZIMUTALI 17 -0.1 1.7 3.0 3.4 DISTANZE SIGMA ZERO 12.7282 19.9934 (ANG. E LIN. A 1 KM) EQUAZIONI 36 INCOGNITE 26 VINCOLO SISTEMA DI RIFERIMENTO: VINCOLI DOVUTI A LATI RIGIDI 1 VINCOLI DOVUTI A PUNTI FISSI 2 RIDONDANZA 13 ITERAZIONI

131

10. ESERCIZI DI TOPOGRAFIA

1.

Sull’ellissoide GRS80 calcolare il valore della gravità normale per un punto di coordinate:

latitudine=45° 20’ 30”; altezza ortometrica=150m; ondulazione geoidica=45 m.

Calcolare le coordinate cartesiane geocentriche se il punto ha longitudine= 8° 05’.

Calcolare le coordinate polari geocentriche.

Calcolare il valore del potenziale sulla superficie dello sferoide.

2.

Del punto P di coordinate ellissoidiche (ellissoide GRS80):

latitudine=45°15’; longitudine=9°; h=200 m; deviazione della verticale ξ=30”; η =-20”; ondulazione N=42,2 m;

calcolare le coordinate naturali.

Calcolare le coordinate geografiche di un secondo punto Q che nel riferimento cartesiano locale con origine in P dista Dx=1000 m; Dy=-500 m; dZ =-0,5 m.

3.

Dal punto P di coordinate ellissoidiche (GRS80):

latitudine=45°15’; longitudine=9°; h=200 m;

si misurano azimut e distanza ad un secondo punto Q: azimut= 60° 15’ 20”; distanza=12135,3 m.

Si desiderano ricavare le coordinate geografiche di Q.



ESERCIZI DI TOPOGRAFIA

132

4.

Da due punti A e B si osserva un punto C misurando gli angoli α=60,26134 gon e β=69,75132 gon nei vertici A e B. I punti hanno coordinate:

A(ϕ=45°28’38,36”; λ=9° 13’ 39,57”); B(ϕ=45°38’2,86”; λ=9° 40’ 40,02”).

Calcolare le coordinate geografiche e cartografiche di C.

5.

Intersezione inversa distanziometrica. Si conoscono le coordinate di tre punti 1(0,0); 2(3,4); 3(9,4). Con un nastro centimetrato dal punto 4 si misurano le distanze:

a=1-4=5,0 m; b=2-4=5,1 m; c=3-4=4,98 m.

Tutte le distanze hanno ugual precisione.

Calcolare le coordinate del punto 4, la matrice di varianza covarianza delle cordinate, i semiassi principali dell’ellisse d’errore.

6.

Rototraslazione piana con e senza variazione di scala: di tre punti A, B e C.

Sono note le coordinate in un sistema intrinseco [I] e nel sistema cartografico [C]. Tali coordinate valgono:

Sistema I: (X, Y) C: (E, N) A (8082,82; 7562,26) (8082,82; 7562,26) B (5201,36; 3310,61) (5201,01; 3310,14) C (3296,16; 8339,53) (3297,96; 8339,62)

Si sono ricavate nel sistema interno le coordinate dei punti D(6051,21; 9121,69); E(5850,18; 6600,10); F(2713,02; 5700,99).

Ricavare i parametri di rototraslazione con variazione di scala nel caso dell’uso di sei parametri (due traslazioni, due rotazioni, due fattori di scala, come nell’esempio delle dispense).

Ricavare i quattro parametri di rototraslazione con variazione di scala (scala, due traslazioni ed una rotazione).

Con i risultati precedenti ricavare le coordinate nel sistema cartografico di tutti i punti: A, B, C, D, E, F.

Ricavare con i risultati precedenti gli scarti sulle coordinate del sistema cartografico.

Ricavare le coordinate dei punti A, B e C nel caso in cui si imponga un fattore di scala λ=1.

7.

Di un appezzamento rettangolare si conoscono le dimensioni: a=30 m ±0,01 m; b=40m ±0,01 m.

Si vogliono determinare la superficie media e lo scarto quadratico medio della superficie.


133

8.

Della rete planimetrica compensata con CALGE alle esecitazioni:

− riordinare il libretto delle misure;

− ricavare per ogni strato per le direzioni azimutali la direzione media e lo sqm della direzione.

Applicando queste misure e questi sqm compensare la rete con CALGE.

Eseguire la simulazione della stessa rete.

Commentare i risultati (tabulati e grafici).

9.

Dato un punto P di coordinate geodetiche:

ϕ= 45”; λ=10°; h=500 m

ricavare il potenziale normale in P e la gravità normale.

10.

Del punto P di coordinate ellissoidiche (ellissoide GRS80):

latitudine= 45°15’; longitudine= 9°; h=200 m; deviazione della verticale ξ=30”; η=-20”; ondulazione N=42,2 m;

calcolare le coordinate naturali.

Calcolare le coordinate geografiche di un secondo punto Q che nel riferimento cartesiano locale con origine in P dista Dx=1000 m; Dy=-500 m; dZ=-0,5 m.

11.

Due punti P e Q hanno di coordinate ellissoidiche (GRS80):

P: ϕ= 45°15’; λ= 9°; h=200 m;

Q: ϕ= 45°35’; λ= 9° 15’; h=400 m

Si desiderano ricavare le coordinate polari di Q rispetto a P (azimut e lunghezza della geodetica).



Per il triangolo rettangolo che ha ipotenusa PQ si calcolino gli angoli sull’ellissoide e sul piano con l’uso del teorema di Legendre.

12.

Il vertice IGM del 1° ordine Superga (asse cupola) ha le seguenti coordinate geografiche (riferite all’ellissoide internazionale):

ϕ=45°04’48,308”; λ=-4° 41’ 03,307”; h=310,764 m.

Calcolare:


134

− i raggi principali di curvatura ed il raggio della sfera locale;

− il raggio di curvatura di una sezione normale di azimut α=45° e di una obliqua inclinata di β=30° rispetto alla normale n’;

− il raggio del parallelo.

13.

Si consideri la geodetica uscente con un azimut α=40° da un punto di latitudine ϕ=44°; λ=9°.

Calcolare l’azimut della geodetica in P’ e P” di latitudine ϕ’=45° e ϕ”=46° con i parametri dell’ellissoide di Hayford.

14.

Verificare i teoremi della geodesia operativa.

A partire dal vertice IGM di Superga considerare una geodetica uscente avente azimut α=100° e una lunghezza di 100, 500, 1000, 10000, 20000 km.

15.

Sia dato:

P: ϕ= 45°15’18”; λ= 9° 20’ 30”; sull’ellissoide di Hayford.

Determinarne le coordinate Gauss Boaga nel sistema Italiano RM 40.

Determinare il modulo di deformazione lineare puntuale.

Di un secondo punto: Q : ϕ= 45°10’15”; λ= 9° 10’ 30” determinare distanza cartografica e distanza ellissoidica passando attraverso le coordinate cartografiche.

Determinare la distanza ellissoidica come problema geodetico.

Di un punto di coordinate cartografiche Gauss Boaga (E=1424458,59; N=4982934,37) determinare le coordinate geografiche.

16.

Siano dati:

P: ϕ= 45°15’18”; λ= 9° 20’ 30”;

e un secondo punto:

Q : ϕ= 45°10’15”; λ= 9° 10’ 30” sull’ellissoide di Hayford.

Determinarne le coordinate Gauss Boaga nel sistema Italiano RM 40.

Determinare l’angolo di convergenza delle trasformate in P.

Determinare l’angolo alla trasformata della corda.


135

17.

Date le coordinate di Monte Bracco nella cartografia Italiana:

ϕ= 44°40’49,072”; λ=-5° 06’ 47,543”; longitudine riferita a Monte Mario,

calcolare le coordinate cartografiche ed il modulo di deformazione lineare.

Date le coordinate di Monte Pagliano:

ϕ= 44°32’21,594”; λ=-5° 0’ 11,276”;

calcolare il modulo di deformazione lineare per elementi finiti e la distanza sull’ellissoide fra i due punti.

Data l’altezza h=1306,56 m di Monte Pagliano e h=988,77 m di Monte Pagliano, calcolare la distanza reale fra i punti.

Calcolare l’azimut di Monte Pagliano rispetto a Monte Bracco.

18.

Della variabile statistica non ordinata rappresentata dai valori:

(3 3 2 4 5 6 4 5 3 4 3 5 6 4 2 5)

calcolarne media, sqm, le radici cubiche e quarte dei momenti del terzo e quarto ordine della variabile scarto.

19.

Calcolare la media e lo sqm della variabile continua y e x= − definita nel semiasse positivo dei reali e verificarne il teorema di Tchebycheff.

20.

Esiste correlazione lineare tra il fenomeno che ai tempi t =1,2,3...10 vale:

x= 2, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 10, 14, 17

ed il fenomeno che per gli stessi tempi vale

y= -4, -2, -1, -1, 0, 1, 2, 4, 4, 6?

Qual è l’indice di correlazione lineare?

21.

Calcolo e compensazione empirica di una poligonale chiusa. Sono misurati gli angoli (gon) e le distanze: 9 0 1 = 8,5128 9-0 = 5173,35 m

0 1 2 = 209,9230 0-1 = 659,09 m

1 2 3 = 267,3784 1-2 = 937,85 m

2 3 4 = 146,7091 2-3 = 779,45 m

3 4 5 = 179,2646 3-4 = 1234,80 m


136

4 5 6 = 173,8187 4-5 = 1119,23 m

5 6 7 = 163,4011 5-6 = 869,47 m

6 7 8 = 160,8309 6-7 = 672,22 m

7 8 9 = 166,5637 7-8 = 820,91 m

8 9 0 = 123,5993 8-9 = 468,5 3m

Si fissi l’origine nel punto 9 e l’asse X diretto verso il punto 0.

Si compensi rigorosamente con CALGE la stessa poligonale.

22.

Siano date le coordinate di quattro punti in un sistema locale:

1(120,37; 85,95); 2(215,51; 321,07); 3(150,14; 412,30); 4(392,12; 49,75).

Dei punti 1 e 2 sono note le coordinate nel sistema cartografico:

1’(1214,17; 1417,61); 2’(1638,56; 1338,59).

Si vogliono trovare i parametri della rototraslazione con variazione di scala (quattro parametri) fra i due sistemi.

Si vogliono trovare le coordinate dei punti 3 e 4 nel sistema cartografico.

Fissato, (imposto cioè) un fattore di scala λ=1 determinare le coordinate dei punti 1, 2, 3 e 4 nel sistema cartografico.

23.

Sia data una variabile statistica i cui valori sono raggruppati in classi:

0,180,200,400,180,04

50303020201515121210 −−−−−

Si riportino in una tabella le ampiezze degli intervalli, le densità di frequenza e le frequenze cumulate.

Si disegnino l’istogramma e la funzione cumulativa di frequenza.

Si calcolino valore medio e scarto quadratico medio.

24.

Sia data la variabile doppia:

1,0004

1,01,003

02,01,02

1,02,01,01

954

====

===

x

x

x

x

yyy


137

ricavare le frequenze marginali, i valori medi, gli scarti quadratici medi, la covarianza e l’indice di correlazione lineare.

25.

Di un triangolo ABC si conoscono:

A(4; 5); B(11; 2); α= 90 gon ±0,1 gon e β=40 gon ±0,1 gon.

Ricavare le coordinate del punto C.

Ricavare la matrice di varianza covarianza delle coordinate del punto C.

Ricavare lo scarto quadratico medio delle due coordinate di C.

Ricavare i semiassi principali dell’ellisse d’errore sul punto C.

Ricavare lo scarto quadratico medio della superficie del triangolo ABC.

26.

Su un punto di coordinate:

ϕ= 45”; λ=10°; h=500 m (ellissoide di riferimento: Hayford)

si sono misurati distanza inclinata l=1000 m e distanza zenitale z=60 gon.

Calcolare la distanza ridotta alla superficie di riferimento.

Calcolare la distanza sulla cartografia italiana in una carta in scala 1:2000.

27.

Si faccia l’ipotesi che per tre punti A(0; 1), B(2; 2) e C(4; 3,1) passi una retta di equazione y=ax+b.

Ricavare i parametri a e b.

Ricavare gli sqm di questi parametri.

Ricavare la covarianza e l’indice di correlazione lineare tra a e b.

28.

Fra quattro punti: 1, 2, 3 e 4, si misurano sei dislivelli, tutti con la stessa precisione. Le misure sono:

∆12=2,01 m; ∆23=1,01 m; ∆34=0,99 m; ∆41=-3,01 m; ∆13=3,00 m; ∆24=2,00 m.

Fissata la quota del punto 1: Q1=0 m,

calcolare le quote dei punti 2, 3 e 4;

calcolare gli sqm di queste quote;

calcolare gli sqm degli scarti;

calcolare le ridondanze locali.


138

29.

Si sono eseguite cinque misure angolari con tre strumenti diversi, che hanno sqm intrinseco ±10 cc; ±15 cc; ±12cc. Si vuole conoscere il valore più probabile dell’angolo misurato ed il suo sqm.

Le misure sono: 70,0010 ± 15 cc; 70,0000 ± 10 cc; 69,9990 ± 12 cc; 70,0003 ± 15 cc; 70,0004 ± 12 cc.

Ricavare il valore più probabile dell’angolo per un qualsiasi numero di misure yi che abbiano sqm σi.

Ricavare il valore dello sqm angolare nel generico caso precedente.

30.

Fra i punti A e B, la cui distanza sull’ellissoide è di 3472,12 m, è stata eseguita una livellazione trigonometrica reciproca con osservazioni contemporanee, impiegando un teodolite.

Collimando i punti a terra si sono misurati gli angoli zenitali:

ϕ1= 90,4118 gon e ϕ2= 102,0173 gon.

Assumendo R=6377 m, calcolare la quota del punto B, sapendo che la quota di A è 356,96 m.

Assumendo sqm angolare di ± 15 cc e sqm della distanza di ± 0,15 m, calcolare la precisione del dislivello.

31.

Facendo stazione con un teodolite di altezza strumentale h=1,49 m su un punto A su di una collina, si è collimata, con visuale tangente, la superficie libera del mare (l’orizzonte marino), effettuando le letture zenitali: φs=100,4148 gon e φd= 300,5150 gon. Ponendo il coefficiente di rifrazione K=0,15 e R=6378 km

− calcolare la quota del punto osservante, assumendo che la quota dell’orizzonte sia uguale a zero

Assumendo sqm angolare di ± 15cc e sqm del coefficiente K=± 0,01,

calcolare la precisione della quota di A.

32.

Di un appezzamento triangolare si misurano le coordinate con un digimetro. Le coordinate in metri valgono: A(-3, 2); B(-3, 4); C(6, -2). Sapendo che entrambe le coordinate e per tutti i punti lo scarto quadratico medio di acquisizione è di ± 0,05 m;

− valutare con la formula di Gauss la superficie media dell’appezzamento triangolare;

− valutare lo scarto quadratico medio della superficie;

− ricavare l’espressione dello scarto quadratico medio di una qualunque superficie misurabile attraverso le coordinate dei suoi vertici.


139

33.

Di un campo triangolare si sono misurati con una bindella metrica (nastro d’acciaio) i tre lati. Questi valgono: a=29,52 m; b=39,64 m; c=49,77 m; tutte le misure hanno sqm di ± 1 cm:

− ricavare il valore della superficie media del campo;

− ricavare lo sqm della superficie precedentemente ricavata.

34.

Livellazione geometrica di precisione (pag. 45 eserciziario Monti Sansò). Si sono misurati i dislivelli (espressi in mm):

Brera-P.Venezia 177,4 mm 1,74 km P.Venezia P. Ticinese 5584,8 mm 4,40 km P. Ticinese Brera -5763,3 mm 3,25 km P. Ticinese Baracca -4953,5 mm 2,43 km Baracca Brera -809,4 mm 2,49 km Baracca P. Venezia -634,4 mm 4,65 km

Fissata la quota di Brera=-768,0 mm, ricavare le quote compensate di tutti i vertici utilizzando CALGE.

Simulare la rete compensata in precedenza.

Descrivere il diverso risultato di compensazione e simulazione.

Calcolare l’errore quadratico medio chilometrico.

35.

Intersezione multipla diretta (pag. 50 eserciziario Monti Sansò).

Si sono misurati da quattro vertici 1, 2, 3 e 4, in direzione di un punto P, gli angoli

α1=[P 1 2]=114,35957 gon; α2 =[P 2 3]= 58,87423 gon; α3=[P 3 4]= 51,36738 gon; α4=[3 4 P] =110,95636 gon.

Le coordinate dei vertici sono:

1(830,71; 1098,48); 2(1486,24; -46,09); 3(665,24; -282,45); 4(0; 0).

Ricavare le coordinate di P e la matrice di varianza covarianza delle coordinate.

Eseguire la simulazione e la compensazione con CALGE e descriverne i risultati.

Visualizzare le ellissi d’errore con CALGE2xf e Autocad.

36.

Risolvere il problema di intersezione in avanti semplice delle esercitazioni strumentali.

Trascrivere in pulito il libretto delle misure.

Ricavare le coordinate dei punti collimati.

Visualizzare in scala opportuna tali coordinate.

Commentare i risultati ottenuti.


140

37.

Intersezione multipla inversa (pag 61 eserciziario Monti Sansò).

Siano note le coordinate di quattro punti collimati con un teodolite da un quinto punto

P: 1(1512118,23; 5056867,02); 2(1511264,84; 5055271,79);

3(1510182,23; 5055934,36); 4(1510154,65; 5057244,30).

Le letture azimutali al teodolite valgono:

L1=0; L2=146,6244; L3=200,1318; L4=252,6461.

Nell’ipotesi che tutte le letture abbiano medesima precisione: σ=± 0,001 gon:

− ricavare le coordinate di P e la matrice di varianza covarianza delle coordinate.

Eseguire la simulazione e la compensazione con CALGE e descriverne i risultati.

Visualizzare le ellissi d’errore con CALGE2xf e Autocad.

38.

Intersezione inversa distanziometrica.

Si conoscono le coordinate di tre punti 1(0, 0), 2(3, 4), 3(9, 4).

Con un nastro centimetrato dal punto 4 si misurano le distanze:

a=1-4=5,0m; b=2-4=5,1m; c=3-4=4,98m.

Tutte le distanze hanno ugual precisione.

Calcolare le coordinate del punto 4, la matrice di varianza covarianza delle cordinate, i semiassi principali dell’ellisse d’errore.

APPENDICE A

La relazione tra l'ellissoide di errore e la matrice di varianza covarianza

Partiamo da un esempio bidimensionale. Data la matrice di varianza covarianza:

σσ−σ−σ

=2

2

xxy

xyyxy nN A1

Il determinante di C è una costante che vale c x y xy= −σ σ σ2 2 2

N C N n cxy xy xy= = =− −1 1; det( ) A2

σσ−σ−σ

= 2

2

xxy

xyyxy nN A3

Fissato ∆χ2=1, l'equazione: A4

1),( 1 =

−

y

xCyx xy A5

esprime l'equazione di una ellisse di «equiprobabilità». Svolgendo infatti i prodotti si ha:

Essendo n≠0, dividendo per n si ottiene l'equazione della conica:

σ σ σ σy xy xy xx xy xy y c2 2 2 2 0− − + − = A7

( ) 012

2

=−

σσ−σ−σ

yx

yxnyx

xxy

xyy A6

141

Si può dimostrare facilmente che questa conica è una ellisse.

Cerchiamo la proiezione della 7 sull'asse delle x, cioè cerchiamo la tangente dell'ellisse con la retta x = cost = u

σ σ σy xy xu uy y c2 2 2 22 0− + − = A8

APPENDICE A

142

La soluzione in y deve essere unica, in quanto la retta che si cerca deve essere tangente e non secante, deve cioè annullarsi il discriminante ∆=b2-4ac (oppure (b/2)2-ac) rispetto alla variabile y.

In questo caso:

cucuba yxyx −σ=σ−=σ= 22 ;2;

0222222 =σ+σσ−σ cuu xxyxy A9

22222 )( xxyxy cu σ=σ−σσ A10

Notiamo che il termine in parentesi quadra rappresenta il determinante c di Cxy ; dividendo allora entrambi i membri per c ed eseguendo la radice quadrata si ottiene:

xu σ±= A11

Allo stesso modo si dimostra che la proiezione sull'asse y vale yv σ±= .

Esempio numerico bidimensionale

Data:

−

−==

=

31

12

5

1 ; 5det =c

21

13xyxyxy NCC

Scomponendo in valori singolari si trova:

Txy RRC Λ=

=Λ

−=

382,10

0618,3

8507,05257,0

5257,08507,0R

176,1;382,1;902,1;618,3 22 ±=σ=σ±=σ=σ IIIIII

Si nota la proprietà che la traccia tr(Cxy)=5 per qualunque rotazione, infatti tr(Cxy)=d2 =cost dove:

22222IIIyxd σ+σ=σ+σ=

Essendo σx la proiezione dell'ellisse sull'asse x e σy la proiezione dell'ellisse sull'asse y. Questa proprietà esprime geometricamente che è costante la lunghezza della diagonale di qualunque rettangolo che circoscrive l'ellisse:

5)3()2( 222 =+=d

APPENDICE A

d

x

y

Si noti ancora che 5168,32 ≠=σ I , che la direzione del semiasse principale σI vale arcos(0,8507) = 31°,712 mentre la direzione della diagonale vale:

232,39)3

2(arctang °=

Si noti che l'intersezione dell'ellisse con gli assi y=0 e x=0 vale:

21,292 e 3 1,581 ≠±≠±

Matrice di varianza covarianza tridimensionale (3D)

Per brevità indichiamo con jiσ i termini della matrice di varianza covarianza:

σσσσσσσσσ

=33

33

31

32

22

21

31

21

11

xyzC A12

143

con δ=xyx C det . Definita Nxyz la sua matrice inversa:

== −

33

32

31

32

22

21

31

21

11

1

nnn

nnn

nnn

CN xyzxyz ; ∆==δ1

det N A13

L'equazione dell'ellissoide di «equiprobabilità», con 12 =χ∆ si può scrivere:

APPENDICE A

01- ) ( 1 =

⋅⋅ −

z

y

x

Czyx xyz cioè 01- ) ( =

⋅⋅

z

y

x

Nzyx xyz A14

e sviluppando i prodotti si ottiene:

01222 31

32

21

233

222

211 =−+++++ xznyznxynznynxn A15

Cerchiamo la proiezione nel piano xy, cioè cerchiamo il luogo dei punti su (x,y) per cui l'ellissoide è tangente ad una retta parallela all'asse z: x=u=cost; y=v=cost è l'equazione della retta che cerchiamo. Si avrà:

0)12()(2 21

222

211

31

32

233 =−+++++ uvnvnununvnzzn A16

La soluzione in z deve essere unica, in quanto la retta deve essere tangente e

non secante l'ellissoide, perciò si deve annullare il discriminante acb −2)2(

rispetto a z.

)12(= );(2= ; 21

222

211

31

32

33 −+++= uvnvnuncunvnbna

0)12()( 0 21

222

221

33

231

32 =−++−+⇒=∆ uvnvnunnunvn A17

Sostituendo ancora per comodità ad u→ x ed a v→ y e sviluppando

022)()( 33

33

21

222

33

211

33

31

32

2231

2232 =+−−−++ nxynnynnxnnxynnxnyn A18

012)()(

33

31

21

32

31

33

33

22

2322

33

33

11

2312 =−

−+

−+

−n

nnnnxy

n

nnny

n

nnnx A19

La 19 è l'equazione di una ellisse. Ritorniamo ora all'equazione A7 riscritta così:

[ ] [ ] [ ] 0)det(2 21

11

222

2 =−σ−+σ+σ xyCxyyx A20

21 j

144

cCxy (def.))det( = , cerchiamo di invertire N xyz per ricavare ... 11 iσσσ

)(( 32

32

33

22

11 nnnn −⋅δ=σ A21

))(( 231

33

31

22 nnn −⋅δ=σ A22

)( 33

21

32

31

21 nnnn −⋅δ=σ A23

Sostituendo A21 A22 e A23 nella A19 si ha )/1( ∆=δ :

01233

21

33

112

33

222 =+

∆σ+

∆σ−+

∆σ−n

xyn

yn

x A24

che va confrontata con la 20:

APPENDICE A

145

01221

112

222 =+

σ+

σ−+

σ−c

xyc

yc

x A25

Entrambe sono equazioni di una ellisse ma differiscono di una costante di scala che vale:

⋅∆c

n33

A26

Dimostriamo che tale costante vale 1, cioè:

δ=∆= c

cn33 A27

Basta invertire la matrice 12 per il solo elemento 33σ ; il suo inverso 3

3n vale

infatti:

[ ] C.V.D. )(1 22

122

11

33 δ

=σ−σσδ

= cn

Nella A25 la costante c definita dopo la A20 vale c=n-1 , dunque la proiezione di Cxyz sul piano xy individua una ellisse di equazione identica alla A6:

( ) 0111

21

21

22 =−

−

−y

xnyx

σσσσ

A28

Naturalmente a pari probabilità le ellissi (a due dimensioni) estratte da Cxyz non hanno la stessa scala, come pure σx ad una dimensione e a due dimensioni non si equivalgono. Prendendo ad esempio una probabilità p=99% si ha:

3,11

21,9

63,6

2)3(

2)2(

2)1(

=χ∆

=χ∆

=χ∆

Partendo da una matrice tridimensionale Cxyz ed estraendo da questa solo σz

oppure (σx , σy) occorrerà moltiplicare questi valori per 3,11 . Allo stesso

modo, partendo da una matrice bidimensionale Cxy ed estraendo da questa solo

σx o σy occorrerà moltiplicare questi valori per 21,9 , mentre è noto che, ad

una dimensione, l'area sottesa dalla normale standard z vale erf(z)=0,99 per

63,6±=z .

APPENDICE A

146

Esempio numerico tridimensionale

29 tr 16;==det

14106

1092

626

=

= xyzxyz CCC δ

0625,0=16

1=

1=det

125,33125,2

332

125,22625,11

δNNC

−−−−

−==−

29cos+ + ; 133,0 ; 0442,5 ; 832,23 222222 ==σσσ=σ=σ=σ tIIIIIIIIIIII

−

−==

=

12,004,0

04,018,050det

92

26NCC xyxy

15=xyCtr

155

10

4472,08944,0

8944,04472,0 2

2

2

=σ+σ

=σ

=σ

−= III

II

IR

σ σ

σ σ

α σ

x y

I I I

( , , ( , ,

( , , ( , ,

,

9 9 % ) 1 1 3 8 2 3 9 9 % ) 1 1 3 1 0 0 8

9 9 % ) 1 1 3 1 0 6 3 9 9 % ) 1 1 3 7 5 2

3, 6 4 3 5 1 4 1 2 5 8

= ⋅ = ± = ⋅ = ±

= ⋅ = ± = ⋅ = ±

= − ± ⋅ = ±

6 9

1 0 5

° = 1 1 , 3 z

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