A Matemática e o Malabarismo

A Matematica e o Malabarismo

Antonio MachiaveloDepartamento de Matematica da Faculdade de Ciencias do Porto

Centro de Matematica da Universidade do Porto

Seminario Diagonal

29/11/2012

Antonio Machiavelo A Matematica e o Malabarismo

Antigo Egipto

Fragmento do papiro de Rhind (ca. 1650 A.E.C).


Antigo Egipto

Pintura egıpcia (1994 a 1781 A.E.C).


Antigo Egipto

A mais antiga representacao conhecida mostrando malabaristas(1994 a 1781 A.E.C).


Matematicos

Ronald Graham (1935) foi um dos prin-cipais arquitectos do desenvolvimento damatematica discreta no seculo XX.

Presidente da Sociedade Americana daMatematica de 1993 a 1994, ganhou opremio Polya em 1972, a medalha Eulerem 1994, o premio Lester R. Ford em1991 e o premio de carreira Steele em2003; publicou mais de 300 artigos e 5livros.

Foi investigador principal dos labo-ratorios Bell durante muitos anos,tendo-os tornado um centro de pesquisade topo, a nıvel mundial, em matematicadiscreta e ciencia de computadores.


Ronald Graham

Ronald Graham foi presidente da International Jugglers’ Association em 1972.


Ronald Graham

Durante a licenciatura, Ronald Graham fez parte de um numero de circointitulado The Bouncing Bears. Actuou com o Cirque du Soleil.


Claude Shannon

Claude Shannon (1916–2001) e um dosfundadores da era das comunicacoeselectronicas e o fundador da teoria dainformacao.

Trabalhou nos Bell Labs em problemasmatematicos relacionados com comu-nicacoes e criptografia. Foi professor einvestigador no MIT de 1956 a 1978.

Shannon hobbies incluiam: clarinete, xa-drez, monociclo e malabarismo.


David Eisenbud

David Eisenbud (1947) e professor em Berkeley e foi director doMathematical Sciences Research Institute (MSRI) de 1997 a 2007.

Foi presidente da Sociedade Americana de Matematica de 2003 a 2005.

Foi galardoado com o premio Steele em 2010.

Eisenbud hobbies: musica e malabarismo.


Allen Knutson

Allen Knutson (1969) e doutoradoem Matematica pelo MIT, e e profes-sor na Universidade de Cornell desde2009.

Foi galardoado com o premio LeviL. Conant em 2005, juntamente comTerence Tao, pelo artigo expositivo:Honeycombs and Sums of HermitianMatrices, Notices of the AMS 48(2001) 175–186.

Foi detentor do recorde mundial de12 bolas em malabarismo envolvendoduas pessoas, de 1990 a 1995 (o ac-tual recorde e 13).


A notacao transposicional (site-swap)

Como descrever/comunicar truques de malabarismo?

Notacao “site-swap”:

(1981) Paul Klimek, Universidade da California em Santa Cruz;

(1985) Bruce Tiemann e Bengt Magnusson, Instituto de Tecnologia daCalifornia;

(1985) Mike Day, Colin Wright e Adam Chalcraft, Cambridge, Inglaterra.

(Vanilla) Site-Swap:

Bolas lancadas alternadamente pela mao direita e pela maoesquerda, de uma forma periodica.

No maximo uma bola e lancada a cada momento.


Padroes

0 1 2 4 63 5 8 107 9 11

Mão direitaMão esquerda

tempo

0 1 2 4 63 5 8 107 9 11


tempo


Padroes

0 1 2 4 63 5 8 107 9 11


tempo


Site-swap

3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 4 3 3 3 32


Site-swap

m n

m-1n+1


Resultados

Assim:

· · ·mn · · · ! · · · (n + 1)(m − 1) · · ·

Exemplo: 56612! 56252! 56234! 53534! 44444

O numero de bolas de um padrao malabare igual a media aritmetica dos respectivos numeros.

Exemplo: 6734 ← 14 (6 + 7 + 3 + 4) = 5.


Resultados

Sera que 5412 e um padrao malabar? E 5124? E 5134?

Uma sequencia de p numeros, n1, n2, . . . , np, e um padrao malabar(simples) se e so se os restos dos numeros i + ni , quando divididos

por p, forem todos os numeros de 0 a p − 1.

Exemplos:5412 + 0123 = 5535 1131

5124 + 0123 = 5247 1203

12345 + 01234 = 13579 13024

Podemos inverter isto para arranjar sequencias malabares:

41203← 46758, 46758− 01234 = 45524


Resultados

O numero de sequencias malabares simples com b bolas e deperıodo p e dado por

1

p

∑d |p

µ(pd

)((b + 1)d − bd

),

onde µ e a funcao de Mobius.

µ(n) =

−1, se n for o produto de um numero ımpar de primos distintos,

0, se na factorizacao de n em primos houver repeticoes,

1, se n for o produto de um numero par de primos distintos.

Ha 12 padroes malabares (simples), com b = 3 e p = 3:

423, 441, 504, 522, 531, 621, 603, 630, 711, 720, 801, 900.


Grafos de estados

10011 10110

11001 01101

00111 01011

11100 11010

01110 10101

50

1

2

5

0

3

5

5

4

3

3

5

0

0

4

4

2

1

15

2

Grafo de estados com b = 3 e h = 5.


Grafos de estados

10011 10110

11001 01101

00111 01011

11100 11010

01110 10101

50

1

2

5

0

3

5

5

4

3

3

5

0

0

4

4

2

1

15

2

Grafo de estados com b = 3 e h = 5.


A eterna questao

Para que e que serve?


Claude Shannon

“Sempre segui os meus inte-resses sem grande consideracaopor valores financeiros ou va-lor para o mundo. Gasteimuito tempo em coisas comple-tamente inuteis.”


Clavelina moluccensis


Aplicacao a Geometria Algebrica


Schiller

Apenas os que tem a paciencia defazer as coisas simples com perfeicao

adquirem a capacidade de fazercoisas difıceis com facilidade.

Friedrich von Schiller (1759–1805)


Para saber mais

Peter J. Beck, Arthur Lewbel, The Science of Juggling, ScientificAmerican, November 1995, pp. 92–97.

Joe Buhler, David Eisenbud, Ron Graham, Colin Wright, Juggling Dropsand Descents, Amer. Math. Monthly 101 (1994), pp. 507–519.

Steve Butler, Ron Graham, Enumerating (multiplex) juggling sequences,Ann. Comb. 13 (2010), no. 4, 413–424.

Allen Knutson, Thomas Lam, David Speyer, Positroid Varieties: Jugglingand Geometry, arXiv:1111.3660 (15 Nov 2011).

Burkard Polster, The Mathematics of Juggling, Springer 2003.

A. Machiavelo, Algumas Observacoes sobre a Matematica Recreativa,Boletim da SPM 58 (2008), pp. 65–87.

A. Machiavelo, Matematica e Malabarismo, Gazeta de Matematica 168(2012), pp. 22–24.

Claude Shannon, Scientific Aspects of Juggling, manuscript fromca. 1980, published in Claude Elwood Shannon, Collected Papers (Wiley1993), 850–864.

Daniel Wolpert, The Real Reason for Brains, TED talk, 2011.


arXiv:1111.3660

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