A matematika története 1

A matematika története

al-Hvárizmi perzsa matematikus híres műve:Al-Kitáb al-muhtaszar fi hiszáb al-dzsabr va

l-mukábala („A kiegészítés és egyensúlyozás általiszámolás rövid könyve”)

A matematika története avagy matematikatörténet tudományágaelsősorban a matematikában történt új felfedezések eredetét éstörténetét kutatja, kisebb mértékben pedig a múltbeli standardmatematikai módszereket és fogalmakat.

A matematika szó maga a görög μάθημα (mathéma) szóból származik,amely a „tudomány, tudás, tanulás” jelentésekkel bír. A μαθηματικός(mathématikosz) jelentése: „tanulni szerető”. Ma a szó jelentése ettőlkissé eltérő tudományterületre utal – a mennyiség, szerkezet, tér és aváltozás deduktív tudományára.

A legújabb kor előtt a világban összegyűlt tudást és az új matematikaifejlemények írásos levezetéseit néhány kiváltságos helyen lehetett csaktanulmányozni. A legkorábbi ókori matematikai szövegekMezopotámiából (Plimpton 322 i. e. 1900 körül), az ókori Egyiptomból(Rhind-papirusz i. e. 1800 körül), a Középbirodalom idejéről (Berlinipapirusz i. e. 1300 – i. e. 1200 körül) és az ókori Indiából (Sulbaszútrák i. e. 800 körül) kerültek elő. Ezen szövegek mindegyike aPitagorasz-tétellel foglalkozik, amely a jelek szerint az egyiklegkorábbi és legelterjedtebb matematikai jelenség volt az alapvetőaritmetika és geometria után.

Az ókori görögök matematikai munkáit sokan a legfontosabbak közésorolják, mert azok nagyban bővítették a matematika módszereit éstárgykörét is.[1]

Egy érdekes jelenség az ókori és középkori matematikatörténetben, hogy a fejlődésbeni fellángolásokat gyakortatöbb évszázadon át tartó stagnálás követte. Az itáliai reneszánsszal kezdődően (16. század) az újabb fejlődések amatematikán belül – melyek kölcsönösen hatottak más természettudományok fejlődésére is – egyre nagyobbütemben követték egymást és ez a jelenség ma is megfigyelhető.

Korai matematikaA korai vagy empirikus matematika (Kr. e. 300 000? – Kr. e. 6. század) kialakulása a kőkorszakra tehető. Azemberré válás kora (Kr.e. 500 000 – Kr.e. 10 000) a pattintott kőkorszak (paleolitikum, Kr. e. 2,4 millió – Kr. e.11 500) idejére esik, amely nemcsak a tűzhasználat és az első vallásos jellegű kultuszok megjelenésének ideje, de aszám és alak fogalmának és az időmérésnek a vélhető kialakulásáé is. Erről a korszakról írott szövegek nincsenek, akultúrtörténeti (etnográfiai, kulturális antropológiai) vizsgálatokat végző tudósok azonban megpróbálnak az alábbiközvetett bizonyítékokra építve képet adni róla:1.1. régészeti leletek;2. a tizenkilencedik-huszonegyedik században is fellelhető, de a civilizált területektől való elzártság vagy távolság

miatt kőkorszaki szinten élő (régebben „primitívnek” nevezett) népcsoportok vizsgálata;3. gyermekek vizsgálata (az egyed- és törzsfejlődés összefüggése, ld. Haeckel-törvény);4. etimológiai vizsgálatok a szám- és mennyiség vonatkozású szavakkal és más nyelvi elemekkel kapcsolatban.[2]

A bizonyítékok közvetett volta miatt az e korról kialakult általános kép sok eleme csak feltételezés jellegű(spekulatív), különösen, ami a szám- és műveletfogalom kialakulását illeti.

A matematika története 2

A mennyiség megjelenéseA számfogalom csak fokozatosan formálódott meg, és együtt, párhuzamosan fejlődött a matematikai műveletekre ésviszonyokra vonatkozó képességekkel. Kezdetben csak az egy, kettő és kettőnél több („sok”) megkülönböztetésealakult ki. Ennek nyomait megtaláljuk a holt és a ma is élő nyelvekben (mint pl. az óegyiptomi, ógörög, az archaikuslatin, vagy az arab nyelvekben az egyes, kettes és többes szám használata egyes névszók ill. igék ragozásánál).Mungo Park angol utazó, aki a Niger folyó feltérképezésével foglalkozott, említ olyan afrikai törzseket, melyektagjai „valósággal könnyeztek a megerőltetéstől, ha azt akarták elmondani, valaminek a száma több kettőnél”.[3]

2004-es kutatások is találtak Brazíliában ilyen népcsoportokat, pl. a pirahák (amazóniai indiánok).[4] Hasonlóhelyzetben van a bolíviai csikito törzs (egyetlen „számnevük” van: etema, vagyis „egyedül”), ugyanitt a Tacamatörzsről kimutatható, hogy számneveik mind idegen (spanyol, vagy aymara) eredetűek, sok amerikai és ausztráltörzset és nyelvi dialektust leírtak továbbá, akiknek valamivel több, de szintén kevés számnevük van (encabellada,chaco/guaycuru, puri, botocudo, yucaburra stb.).[5]

A számábrázolás és számolás megjelenéseAz elvont számfogalom és a nagy számok hiánya azonban nem jelenti azt, hogy a korabeli emberek nem tudták anagyobb tárgysokaságokat kezelni. Ebben az ujjakon való számlálás, és hasonló módszerek (pálcikák, rovásokhasználata) segítettek.Az ujjszámlálás mellett a rovások megjelenése egy újabb lépés volt az elvontság felé, az enaktív (mozgásos, konkrét)reprezentálás mellett megjelent az ikonikus (szemléltető) reprezentálás - és mindkettő egész máig tovább él.Számrovásos leleteket jóval a nagyobb számokat megnevező számnevek feltételezhető megjelenése előttről isismerünk, ilyen például a 30 000 évesre becsült vestonicei farkaslábszárcsont, a jelenleg legrégebbinek ismertszámrovásos emlék, amelyen 55 számrovás van, ötös csoportokban felvésve, a 25. és 26. rovás között egy nagyelválasztó rovással,[6] vagy a 20 000 évesre becsült ishangoi csont, mely utóbbi rovásai közt sokan már összeadást isfelfedezni vélnek (bár mások primitív holdnaptárnak tartják).[7][8][9] A sokáig csak ujjak segítségével számláló vagyrovásokat rovó ember a korszak végére észrevehette, hogy azokban a sokaságokban, melyek megszámlálása azonosszámú ujjat követel, van valami közös: a sokaság számossága, azaz az a tulajdonság, hogy hány tagja, eleme van. Ígylassan megjelent a szám elvont fogalma, és az összeadás összeszámlálásként, azaz konkrét, „szenzomotoros”műveletként való végrehajtása.Ez sokkal előbb következhetett be, mint a számnevek és a nagy számok fogalmi megjelenése, mely feltételezést anéprajz közvetett módon is alátámasztja: ismerünk „primitív” törzseket, melyek nem képesek nagyobb számokmegnevezésére, azonban pálcikák, vagy hasonló módszerek segítségével számon tudják tartani állatcsordáikat(illetve, egy ceyloni törzs esetében, kókuszdióikat), és ezek számbeli nagyságviszonyainak összehasonlítására isképesek. A valódi számnevek, majd a valódi számrendszerek, illetve a szám fogalma és az ezt jelölő szó, az újkőkor(neolitikum, kb. Kr.e 11 500 – kb. Kr.e. 5000) legvégén és az ókorban jelentek meg.Az etimológusok szerint számnevek kezdetben hasonlatok lehettek. Például az ötelemű sokaságokra a késő neolitember azt mondhatta, „olyan, mint a kéz” vagy „annyi, mint a „kéz”. Az ilyesfajta fordulatok aztán állandósultak, és alegtöbb nyelvben elvesztették eredeti jelentésüket, de a nyelvi vizsgálatok ennek ellenére kimutathatják a számnevekés tárgynevek közös eredetét. Pl. az ósumérban az 1 szám megnevezésére ugyanaz a szó szolgál, mint a férfiéra, akettő megnevezésére pedig ugyanaz, mint a nőére. Az is jellemző, és a fenti hipotézis mellett szól, hogy sok törzsmás tárgysokaságokra másféle számneveket használ (a Fidzsi-szigeteken például a tíz: bola (csónakokra) vagy koro(kókuszdiókra) – ez a jelenség egyébként a magyarban is megvan kis számok esetén, pl. két ló, pár cipő,ikergyerekek). Nem egy nyelvben kimutatták a számnevek és a testrészek neveinek közös etimológiai eredetét (pl. azÚj-Hebridák szigetcsoport egyik törzsénél, az apiknál öt = kéz, tíz = két kéz stb.).

A matematika története 3

Tárgyi leletek a kőkorszakbólJóval a legkorábbi írott dokumentumok előtti időkből is találhatunk rajzokat, melyek matematikai tudásra vagycsillagok mozgásán alapuló időmérésre utalnak. A paleontológusok például i. e. 70 000 körülre datálhatóokkerkövekre vésett geometriai alakzatokat találtak egy dél-afrikai barlangban.I. e. 35 000 és i. e. 20 000[10] közötti időre datálható történelem előtti tárgyakat találtak Afrikában ésFranciaországban is, melyek az idő számszerű mérésére utalnak.[11]

Tárgyi bizonyítékot találtak arra is, hogy az ősi időmérésben a nők havi ciklusának napjait számlálták: például 28, 29és 30 vonás csontokon és köveken, melyet egy a többitől eltérő vonás követ. Ezen kívül a vadászok már ismerték az1, 2 és a „sok” valamint a 0 vagy semmi fogalmát is, amely állatcsordáik számolásánál volt szükséges.Az Ishango csontot a Nílus forrásának környékén találták a Kongói Demokratikus Köztársaságban. Ez i. e. 20 000környékéről származik. Egy gyakori értelmezés szerint ez a kő az egyik legkorábbról ismert példája a prímszámoksorozatának és az ókori egyiptomi szorzásnak.

Az ókor

A számrendszerek, számírások és számológépek megjelenése

Ősi mordvin számírás: ez egy ötös minimális csomószámon alapuló nem-helyiértékes,ezen belül hieroglifikus számábrázolásmód, elvi szinten hasonló a római számíráshoz

Hasonló elvű, kvino-decimális hieroglifikus számírásmód a magyar számírás

Az ókor két nagyon fontos,maradandónak bizonyuló matematikaitalálmánya a számrendszeres vagyhelyiértékes számábrázolás, és aszámírás.

Már az őskorban a legkülönfélébbalap- ill. csomószámokat használtákmind a helyiértékes, mind anem-helyiértékes számábrázolásimódokban, és ez az ókorra is jellemzőmaradt: a kettestől (bakairi,Dél-Amerika, gumulgal, bushman,Ausztrália) a hármason (kamilaroi éspigmeus,[12] Ausztrália), a négyesen(Dél-Afrikai törzsek, csumas indiánok)át egészen az ötös csomószámig,amelyet nemcsak a Nyugat-Afrikaifula és wolof nyelvcsoportban és azóceániai kanak nyelvben[13]

találhatunk meg, hanem régészetileletek szerint írásban általánosanhasználhatták Közép-Európában abronzkor végén (urnamezős kultúra,Kr.e 1200 - Kr. e. 800),[14] de jelenvolt az etruszk és római számírásbanis; mely utóbbi Európa számírása voltegészen az 1200-as évekig; a tiszta

helyiértékes ötös számrendszer tartós használatára azonban meglepő módon elég kevés példa van (Iuo stádium, Dél-Afrika, joruba stádium, Nigéria, mindkét esetben a 20. század elejéig, ezen kívül csak Dél-Amerikában

A matematika története 4

ismerünk törzsi példákat), de folytathatjuk a sort a hatoson (finnugorok ősi stádium és Észak-Afrika), a hetesen(ugorok, magyar stádium, héber, berber), a nyolcason (yuki, Kalifornia; pamenan, Mexikó[15]) és kilencesen átnemcsak a tízesig (magyar stádium, hindu és általában a népek többsége), illetve a tízes csomószámúnem-helyiértékes írásig (óegyiptomi számírás), és még tovább is a tizenkettesen (óangol) keresztül a tizenhármasig(yasgua, Nigéria[16]), de a húszas (gael, Északnyugat-Európa, archaikus francia, olmék, maja), sőt a harminckettes(Dél-Afrika) hatvanas (babiloni, Ázsia) csomószám is előfordul, sőt az sem volt ritka, hogy a csomószámokkeveredtek (gael, babiloniak, Észak-Afrika, api (Új-hebridák lakói), monumbo), az alapszám a nép története sorántöbbször is változott (magyar), vagy hogy különböző tárgyak számlálásakor különböző csomószámot használnak.A számnevek és a bakairikéhoz hasonló primitív kváziszámrendszerek együttes kialakulása lehetővé tette ahelyiértékes számábrázolás létrejöttét. Az ókorra ezek sok helyütt megjelentek, bár nem mindenhol (pl. a latinok,birodalomalapító voltuk ellenére, sosem ismerték), másféle számábrázolási módszerek is kialakultak. Sok helyütt(mint pl. Ausztrália) pedig még ilyen alternatív számábrázolásmódok sem jöttek létre, megmaradt a kőkorszakiállapot.A különféle számábrázolási elvek mellett az ókor másik alapvető találmánya a számírás. Az emberi memória korlátaimiatt a matematika elmélyült művelése írást igényel. Nagy számokkal számolni, vagy hosszadalmas és bonyolultszámolásokat végezni, pontos geometriai ábrákat rajzolni a puszta homokba, hosszabb távon meglehetősenkényelmetlen, esetenként lehetetlen; ehhez íróeszközök szükségesek. Arról nem is beszélve, hogy a gazdaságiszámításokat legalább egy ideig meg kell őrizni, a csillagászati feljegyzéseket pedig hosszabb távon kell vezetni,hogy induktív értékkel bírjanak.

Arab telefonbillentyűzet, az euro-atlanti kultúrkörbenhasznált „arab számjegyekkel” és a megfelelő arab

számjegyekkel

Denise Schmandt-Besserat 1992-ben közzétett, igen ötleteselmélete a következőképp magyarázza a számírás létrejöttét: Aneolit korban felélénkült a cserekereskedelem. Hogy a csereárukdarabszámával kapcsolatos vitákat megoldják, kialakult az aszokás, hogy az árut zárt agyagedényekbe csomagolják, majdlezárják. A nagyobb áruk esetén (pl. állatok) a számukkal azonosszámú kis dolgot helyeztek egy agyagedénybe. Maradtak fennrégészeti leletek is, amelyekről nagyon úgy tűnik, mintha ilyenanyagnyilvántartók lennének. Ennek hátránya az volt, hogy ha azárumennyiséget fel kellett mérni, azt csak a tárolóedényekösszetörésével lehetett megvalósítani. Ezért hamar rájöttek, hogyha a tárolóedény oldalába belekarcolják a benne tárolt árudarabszámát vagy mennyiségét, akkor nem kell folyton összetörnia tárolóedényeket. Eleinte hieroglifaszerű jeleket használtak: pl. 30birka átvétele esetén az anyagnyilvántartó edény külsejére egy 30birkát ábrázoló ábrát nyomtak rá. Kezdetben tehát a számírás éppúgy tükrözte a megszámlálandó dolog minőségét és mennyiségét is, mint maguk a számnevek; ez jó magyarázata ahieroglifikus számírások kialakulásának. A számírás önállósodása akkor kezdődött, amikor rájöttek, hogy az egészfolyamatban az agyagedény és annak tartalma valójában fölösleges, teljesen elegendő az oldalán szereplő„bélyegzés”.[17]

A számrendszereket és számírásokat azonban elsősorban tudományos és nemzetgazdasági célokra használták. Aközemberek továbbra is az ujjukon adtak össze, illetve megjelentek az első professzionális számológépek,(abakuszok, szorobánok) primitív (huzalok nélküli), de egyre tökéletesedő formái.

A matematika története 5

Az ókori matematika leleteiAz i. e. 5. évezred predinasztikus egyiptomi korszakában már megfigyelhetjük geometriai térformák képszerűábrázolásait. Egyesek szerint az Angliában és Skóciában található megalit építmények (az i. e 3. évezredből)tervezésénél is használtak már köröket, ellipsziseket, és Pitagoraszi számhármasokat.[18]

Az Indus-völgyi civilizáció kiterjedése

A legkorábbról ismert matematikusokat az ókoriIndiából ismerjük az i. e. 3000 és 2600 közöttiindus-völgyi civilizációból (Harappai civilizáció), amai Észak-India és Pakisztán területéről. Ittkifejlesztettek egy olyan mértékrendszert, amely mártízes számrendszert használt és téglagyártásukmeglepően fejlett volt, mivel arányokat használt és azutcákat is derékszögűnek tervezték. Sok geometriaialakot ismertek már, köztük a kockát, a hengert, akúpot és rajzaikon találunk koncentrikus valamintegymást metsző köröket és háromszögeket is.

A felfedezett matematikai eszközök közé tartozik egypontos tízes beosztású vonalzó, melyen apró és precízbeosztás látszik; egy kagyló-műszer, melyet iránytűnekhasználtak és síkon tudtak vele szöget mérni vagy ahorizonton a 40–360 °-ok többszöröseit. Egy másik kagyló-eszközzel 8–12 részre osztották a horizontot és azégboltot és egy harmadik műszerrel a csillagok helyzetét tudták mérni navigációs célból.

Mivel az indus írást egyelőre nem sikerült megfejteni, alig tudunk valami biztosat az írásos harappai matematikáról.Régészeti leletek alapján egyes történészek úgy vélik, hogy 8-as számrendszert használtak, és ismerték a π-t vagyis akör kerületének és átmérőjének arányát.A kínai matematika legkorábbi példája a Sang-korból maradt ránk (i. e. 1600–i. e. 1046), ahol egy teknőcpáncélrakarcoltak számokat találtak [19] [20]. Ezek a számok is tízes számrendszert használnak: a 123-as számot felülrőllefelé írták, oly módon, hogy az 1-es jelet egy százasjel, a 2-es jelet egy tízesjel majd egy 3-as jel követ.Ez volt a világ legfejlettebb rendszere abban az időben és lehetővé tette, hogy számításokat végezzenek a kínaiabakuszon (suan pan). Az abakusz feltalálásának pontos időpontja nem ismert, de a rá való első írásos hivatkozástXu Yue Kiegészítő jegyzetek a számok művészetéhez című írásában találjuk.

A matematika története 6

Ókori Közel-Kelet (i. e. 1800 – i. e. 500)

Mezopotámia

Babiloni agyagtáblaAz átlón lévő felirat 2 négyzetgyökét ábrázolja négy60-as számrendszerű számjeggyel, amely kb. 6 tízes

számrendszerű számjegynek felel meg.1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1,414212963 (a pontos

érték 1,414213562)

Babilóniai matematika alatt azt a rendszert értjük, melyetMezopotámiában (mai Irak területe) használtak a korai sumerektőla hellenisztikus kor kezdetéig. Azért nevezik babilóniaimatematikának, mert Babilonnak, mint tudományos központnakközponti szerepe volt benne. Ezt a szerepét a hellenisztikus korbanelvesztette. Ekkortól kezdve a babilóniai matematika egyesült agörög és egyiptomi rendszerekkel, amely a hellenisztikusmatematika kialakulásához vezetett. Később az arab birodalomuralma alatt Mezopotámia, különösképpen Bagdad ismét fontosszerepet kapott, mint a muzulmán matematika tudományosközpontja.

Az egyiptomi matematikával szemben – ahonnan ma kevés forrásáll rendelkezésre – a babiloni matematikával kapcsolatostudásunkat arról a 400 agyagtábláról szereztük, amelyet az 1850-esévek óta fedeztek fel. Ezeket ékírással írták nedves agyagtáblákra,majd kiégették őket kemencében vagy a napon.

Babiloni számok ékírással

A legkorábbi fennmaradt írott matematikaiemlék az ókori sumerektől származik, akikaz első mezopotámiai civilizáció létrehozóivoltak. Összetett mérési rendszerük volt mári. e. 3000-ben is. A sumerek már i. e.2500-tól kezdődően szorzótáblákat írtakagyagtáblákra, valamint geometriai ésosztási problémákon dolgoztak. A babiloniszámok legkorábbi nyomai is ebből a korbólszármaznak.[21]

A feltárt agyagtáblák többsége az i. e. 1800és i. e. 1600 közötti időszakból származik,és olyan témákat érint, mint a törtek, azalgebra, a másodfokú és harmadfokúegyenletek és a Pitagoraszi számhármasok számítása (lásd Plimpton 322). A táblák között találunk szorzótáblákat,trigonometriai táblákat valamint első- és másodfokú egyenletek megoldási módszereit is. Az YBC 7289 babilonitábla a √2 értékét öt tizedes pontossággal közelíti meg.

A babiloni matematika a tízes és a 60-as számrendszer keverékét használja. Innen ered a mai időmérés percenként 60másodperce, az óra 60 perce és a kör 360°-a (6×60°) is. Az egyiptomiak, a görögök és a rómaiak szokásától eltérőena babiloniak valódi helyiértékes rendszert használtak, ahol a bal oszlopba írt számjegyek nagyobb értéket képviseltek– a tízes számrendszerhez hasonlóan. Nem használták még azonban a tizedesvessző megfelelőjét, ezért aszimbólumok helyiértékét gyakran a szövegből kellett kikövetkeztetni.A 60-as alapszám használatának oka pontosan nem ismert. Akadnak, akik matematikai magyarázatot keresnek, és azt mondják, a 60 választása előnyös volt tudományos szempontból, mert sok osztója van, de ehhez képest nem elképzelhetetlenül nagy. Mások csillagászati, naptárkészítési okokat keresnek. Megint mások szerint a tízes és

A matematika története 7

hatvanas számrendszer keverése gazdasági okok miatt volt célszerű, amikor a sumer és akkád államszervezetetegyesítették. A sumer pénzegység, a mina ugyanis hatvanszor annyit ért, mint az akkádok sékele.[22]

Egyiptom

Részletek a Rhind-papiruszról

Az egyiptomi matematika alatt azt a matematikát értjük, melyetóegyiptomi nyelven írtak.

A hellenisztikus korban az egyiptomi nyelvet a görög váltotta fel azegyiptomi tudósok körében, ezért ettől kezdve az egyiptomi, a babiloniés a görög matematika egyesült és belőlük alakult ki a hellenisztikusmatematika. A matematika tudományának művelését Egyiptombankésőbb az arabok folytatták a muzulmán matematika részeként, ekkoraz arab lett az egyiptomi tudósok nyelve.A máig felfedezett legrégebbi matematikai szöveg – a Moszkvaipapirusz – egy óegyiptomi (középbirodalomból származó i. e. 2000 –i. e. 1800) papirusz. Ez a legtöbb ókori matematikai szöveghezhasonlóan „szöveges feladatokat” tartalmaz, melyeket látszólagszórakoztatási célból írtak.

Az egyik feladatot különösen nagy jelentőségűnek tartják, mivelmegad egy módszert a csonka testek (frustum) térfogatánakszámítására.

„Ha azt mondják neked: Egy csonka gúla, melynek 6 a magassága, 4 az alapja és 2 a csúcsa. Emeld négyzetre a 4-et,az eredmény: 16. Duplázd a 4-et, az eredmény: 8. Emeld négyzetre a 2-t, az eredmény: 4. Add össze a 16-ot, a 8-atés a 4-et, az eredmény: 28. Vedd a 6 harmadát: 2. Vedd 2-szer a 28-at, az eredmény: 56. Látod: 56. Helyesnektalálod majd.”

A Rhind-papirusz (i. e. 1650 [23]) egy másik fontos óegyiptomi matematikai szöveg, egy útmutató kézikönyv azaritmetikához és a geometriához.A terület-képletek, szorzási, osztási módszerek és törtműveletek ismertetésén kívül még más ismeretek meglétére isbizonyítékul szolgál, többek között az összetett számok, a prímszámok ismeretére valamint a számtani, a geometriaiés a harmonikus közép számítására. Egyszerűsítve leírja Eratoszthenész szitáját és a tökéletes szám elméletét is(nevezetesen a 6-ét). Azt is megmutatja, hogyan oldhatunk meg lineáris egyenleteket, [24] valamint számtani ésmértani sorozatokat. [25].A Rhind-papiruszon szereplő három mértani alakzat arra utal, hogy ismertek volt számukra az analitikus geometriaalapelvei: (1) hogy határozzuk meg a értékét egy százalékon belüli hibahatárral, (2) a kör négyzetesítésére valókorai próbálkozás, (3) a kotangens legkorábbi használata.[forrás?]

Végül a Berlini papirusz (i. e. 1300 [26] [27]) azt bizonyítja, hogy az ókori egyiptomiak számára ismert volt amásodrendű algebrai egyenletek megoldása is. [28]

Ókori indiai matematika (i. e. 900 – i. sz. 200)A védikus matematika a korai vaskorban indult fejlődésnek és az első fennmaradt írás a Satapatha-brahmana (i. e. 8.sz. - i. e. 3. sz.), melyben 2 tizedesjegy pontossággal megközelítik a π értékét.[29]A Sulba szútrák (i. e. 8. sz. – i. sz. 2. sz.) mértani szövegek, melyekben irracionális számokat, prímszámokat, ahármasszabályt, és köbgyököt is használtak már, kiszámították a 2 négyzetgyökét 5 tizedesjegy pontossággal ésmódszereket mutattak be a kör négyszögesítésére, az első- és másodfokú egyenletek megoldására, algebrailaglevezették a pitagoraszi számhármasokat, valamint numerikus módszerekkel bebizonyították a Pithagorasz-tételt.

A matematika története 8

Pánini (kb. i. e. 5. század) lefektette a szanszkrit nyelv nyelvtani szabályait. Jelölési rendszere hasonlít a modernmatematikai jelöléshez, a metaszabályokat, a transzformációkat és a rekurziókat olyan kifinomultan használta, hogynyelvtana a Turing-gépével ekvivalens számítási erővel rendelkezett. Pánini műve a modern formális nyelvtanokelméletének előfutára is, a legtöbb mai programozási nyelv által használt Pánini-Backus forma szintén jelentőshasonlóságokat mutat Pánini nyelvtani szabályaival.Pingala (i. e. 4. század – i. e. 1. század között) prozódiáról, versmértékekről írt, Csandahszútra c. értekezésében arövid és hosszú szótagok különféle kombinációjakor a kettes számrendszerhez hasonló eszközt használ. A metrikakombinatorikájáról szóló tételeiben a binomiális tételnek megfelelő állítások szerepelnek. Pingala fő műve aFibonacci-számokról is tartalmaz alapvető tételeket, melyeket szanszkritul mátrámérunak nevez.A bráhmi írást már legalább a Maurja-dinasztia korától kezdődően alkalmazták (i. e. 4. század), de a legújabbrégészeti leletek szerint a kialakulás dátuma inkább az i. e. 600 körüli időszakra tehető. A bráhmi számokról márAsóka király i. e. 3. századbeli, buddhizmust hirdető feliratai is tanúskodnak.I. e. 400 és i. e. 200 között a dzsaina matematikusok elkezdték a matematikát önmagáért tanulmányozni. Ők vezettékbe elsőként a transzfinit számok, a halmazelmélet, a logaritmus és az indexek alaptörvényeit, a harmad- ésnegyedfokú egyenletek, szekvenciák és progressziók permutációk és kombinációk, négyzetre emelés ésnégyzetgyökvonás, valamint a véges és végtelen hatványok fogalmát.Találtak pontos számításokat irracionális számokról is, köztük milliós nagyságrendű számok 11 számjegyű számoknégyzetgyökének számításait legalább 11 számjegynyi pontossággal.

Görög és hellén matematika (i. e. 550 – i. sz. 300)A görög matematika alatt azt a matematikát értjük, melyet görög nyelven írtak i. e. 600 és i. sz. 450 között.[30] Agörög matematikusok a Földközi-tenger térségének keleti részében elszórt városokban éltek Itáliától egészenÉszak-Afrikáig, de mégis egységet alkottak közös kultúrájuk és nyelvük miatt. A kései görög matematikusokathelleniszikus matematikusoknak is nevezik.A görög matematika sokkalta kifinomultabb volt, mint bármely korábbi kultúra matematikája. A görögök előttiidőkből fennmaradt matematikai emlékekben mindenütt az induktív érvelés módszerét használták, azaz ismételtmegfigyelések alapján állították fel szabályaikat. A görög matematikusok ezzel szemben a deduktív érvelésmódszerét használták. A görögök a logika segítségével vezették le a következtetéseket a definíciókból és azaxiómákból.[31]

Milétoszi Thalész

A görög matematika kezdeteit Thalész (i. e. 624 – i. e. 546 körül) ésPüthagorasz (i. e. 582 – i. e. 507 körül) fellépésétől számítják.Feltehetőleg nagy hatással voltak rájuk az egyiptomi, babiloni és –talán – az indiai matematikusok, bár a hatás nagyságát vitatják.Legendák szerint Pitagorasz ezért utazott Egyiptomba, hogy az ottanipapoktól matematikát, geometriát és csillagászatot tanuljon. Thalész ageometria segítségével oldott meg olyan feladatokat, mint a piramisokmagasságának és a hajók parttól való távolságának kiszámítása. APitagorasz-tétel első bizonyítását Pitagorasz nevéhez fűzik, az elmélettörténete azonban ennél jóval korábbi időkre nyúlik vissza.Euklidészről írott kommentárjában Proklusz azt írja, hogy Pithagorasza róla elnevezett Pitagoraszi számhármasok elméletét algebrai és nemmértani módszerrel állította fel. Platón akadémiájának a következő volta mottója: „senki ne lépjen be ide, aki nem képzett a geometriában”.

A matematika története 9

A pithagoreusok fedezték fel az irracionális számokat. Eudoxosz (i. e. 408 – i. e. 355) vezette be a sokszöges ún.kimerítési módszert, amely a mai integrálás elődjének tekinthető. Arisztotelész (i. e. 384 – i. e. 322) írta le elsőként alogika törvényeit.Euklidesz (i. e. 300) használta elsőként a matematika ma is elterjedt módszerét, vagyis a definíciókat, axiómákat,tételeket és a bizonyításokat. Ő volt a történelem során az első ismert tudós, aki definíciót adott a természetesszámokra.[32] Ezen kívül a kúpszeleteket is tanulmányozta. Könyvét, melynek az Elemek címet adta, jól ismerték anyugati világ műveltebb köreiben egészen a huszadik század közepéig.[33] A geometriából ismerős tételek mellett,(mint a Pithagorasz-tétel) az Elemek már tartalmaz bizonyításokat arra, hogy 2 négyzetgyöke irracionális és hogy aprímszámok száma végtelen. A prímszámok felfedezésénél az Eratoszthenész szitája (i. e. 230) elnevezést kapottmódszert használták.Egyesek szerint a görögök (ha nem minden idők) legnagyobb matematikusa a szürakuszai Arkhimédész volt (i. e.287 – i. e. 212). Plutarkhosz szerint 75 éves volt, amikor egy római katona lándzsájával leszúrta, amint éppenmatematikai képleteket rajzolt a homokba. A rómaiak kevés érdeklődést mutattak a tiszta matematika iránt.

Klasszikus kínai matematika (i. e. 200 – i. sz. 1300)

Kilenc fejezet a matematika művészetéről.

Kínában i. e. 212-ben Qin Shi Huangdi császár megparancsolta,hogy minden könyvet égessenek el. Bár a parancsot nemmindenhol hajtották végre, következményeként nem sokbizonyosat tudunk az ókori kínai matematikáról.

A nyugati Zhou dinasztia idejéről (i. e. 1046-ből) maradt fenn alegkorábbi matematikai könyv, amely túlélte a könyvégetést, ezpedig a Ji King (Változások könyve) volt. Ebben 64 bináris hatosegységet írnak le filózófiai vagy misztikus célból. Az egységekethexagrammákkal ábrázolják, melyek törött vagy folytonosvonalakból állnak és a jint és a jangot jelképezik.

A könyvégetés után a Han-dinasztia (i. e. 202–i. sz. 220) idejénmegjelent néhány matematikai témájú könyv, melyek feltehetőlega korábban elveszett könyek tudásán alapultak. Ezek közül alegfontosabb – amely a Kilenc fejezet a matematika művészetérőlcímet viselte – teljes egészében csak i. sz. 179-ben látottnapvilágot, de a benne foglaltak más címmel már korábban ismegjelentek. 246 szöveges feladatot tartalmaz, melyek felölelik amezőgazdaság, a munkaadás, a geometria tárgykörétől kezdve akínai pagodák toronymagasságának és hosszának arányait, a mérnöki tudományokat, a statisztikai adatgyűjtésterületét és a derékszögű háromszögekről és a π-ről is tartalmaz anyagot. Használják benne a Cavalieri-elvet is többmint ezer évvel azelőtt, hogy Cavalieri színre lépett volna a nyugati világban. Matematikailag bizonyítja aPithagorasz-tételt és képletet tartalmaz a Gauss-eliminációhoz is. A műhöz Liu Hui írt magyarázatot az i. sz. 3.században.

Zhang Heng korábban élt (i. sz. 78 – i. sz. 139) csillagász és feltaláló matematikai munkáiban is találunk képletet aPi kiszámítására, de ez eltér a Liu Hui-féle számítástól. Zhang Heng Pí-képletével gömbök térfogatát határozta meg.A kínaiak használták a mágikus négyzet elnevezésű kombinatorikai ábrát is, amelyet már igen régen leírtak és YangHui (i. sz. 1238 – 1398) tökéletesített.Zu Chongzhi (5. század, a déli és északi dinasztiák kora) hét tizedesjegy pontosságig számolta ki a Pí értékét; ez volta legpontosabb érték majdnem 1000 éven keresztül.

A matematika története 10

A Han-dinasztia korát követő 1000 évben, amely a Tang-dinasztia-val kezdődött és a Szung-dinasztia-val zárult, akínai matematika virágkorát élte, míg Európában alig foglalkoztak vele akkoriban. Ebben az időszakban számos újismeretet fedeztek fel, melyek közül sok csak jóval később vált ismertté a nyugati világ számára, köztük a negatívszámok, a binomiális tétel elsőfokú egyenletek mátrix-módszerekkel való megoldása és a kínai maradéktétel. Akínaiak az európaiaknál sokkal korábban felfedezték a Pascal-háromszöget és a hármasszabályt. Zu Chongzhi mellettebben a korban számos fontos matematikus működött Kínában, köztük: Yi Xing, Shen Kuo, Ch'in Chiu-Shao, ZhuShijie, és mások. Shen Kuo a differenciál- és integrálszámítás, a trigonometria, a metrológia és a permutációkmódszereit is használta már a problémamegoldásoknál és egy alkalommal kiszámította mekkora földterületre lehetszükség bizonyos harci alakzatokban a katonák számára, valamint a lehető leghosszabb hadjárat idejét, adottélelemszállítási kapacitás mellett.Bár a reneszánsz korában az európai matematika ismét virágzásnak indult, az európai és kínai matamatikaihagyományok külön ágon futottak, egészen a jezsuita misszionáriusok megjelenéséig (16.-18. század), akikközvetíteni kezdték a matematikai elméleteket a két kultúra között.

Klasszikus indiai matematika (400 – 1600)

Árjabhata

A jelenleg ismert legrégebbi dél-ázsiai matematikai kézirat a maiPakisztán területéről származó Bakhsálí kézirat, melyet egy kb. i. sz.3-7. századra tehető mű 8-12. századi másolataként tartanak számon. Akézirat alapvető aritmetikai témákkal (pl. nulla, törtek, műveletek)foglalkozik, és már megjelenik a tízes alapú helyi értékesszámábrázolás, ahol a nullát külön elnevezéssel (súnjaszthána) és egypont jelöléssel illetik.[34] A mű továbbá tárgyalja az elsőfokú egyenletmegoldását 5 ismeretlennel, a másodfokú egyenletet, a számtani ésmértani sorozatokat, összetett sorozatokat, másodfokú határozatlanegyenleteket, és egyenletrendszereket.

A Szúrjasziddhánta című mű (i. sz. 400 körül) bevezette atrigonometrikus függvények közül a szinuszt, a koszinuszt és az inverzszinuszt és lefektette az égitestek valódi mozgásának szabályait, amelymegfelel az égbolton való aktuális helyzetüknek. A szövegben leírtkozmológiai időciklus meghatározását egy korábbi műből másolták ésmegfelel az átlagos csillagászati évnek (365,2563627 nap), amely csak1,4 másodperccel hosszabb a modern értéknél (365,25636305 nap). Ezta művet a középkorban arab és latin nyelvre is lefordították.

A nulla számot tízes számrendszerben használó legrégebbi, pontosan datálható (i. sz. 458) indiai alkotás egy dzsainakozmológiai mű, a Lókavibhága. A műben az 1..9 számjegyek mellett a nulla számos szanszkrit megnevezése isfeltűnik (súnja, gaganam, ambaram, stb.). A Lokavibhága több pontján a helyi értékes elv tudatosítására gyakranbukkannak fel olyan szanszkrit kifejezések, melyek egységesen a számjegyek 10-es "helyi érték szerint vett"számítását hangsúlyozzák.[35]

Árjabhata 499-ben saját magáról elnevezett fő művében, az Árjabhatíjában napközpontú gravitációs rendszerenalapuló pontos csillagászati számításokat végzett, bevezette a sinus versus függvényt és elkészítette az elsőszinusztáblázatokat. Ezen kívül fejlesztette az algebrai algoritmusokat (négyzet- és köbgyökszámítás,sorozatösszegek), az infinitezimális számításokat, a differenciálegyenleteket és egész számú megoldásokat találtelsőfokú egyenletekre a ma is használt módszerrel. A π értékét négy tizedesjegy pontossággal 3,1416-nek találta,melynek értékét Mádhava a 14. században már 11 tizedesjegy pontossággal 3,14159265359-ben határozott meg.

A matematika története 11

Árjabhata a fentebb említett művében egy saját fejlesztésű, a szanszkrit ABC betűire épülő számábrázolást alkalmaz.A kódolás segítségével igen nagy (akár 1018 nagyságrendű) számok leírhatók, ahol a magánhangzók tízes helyiértékű megfeleltetése már a tízes helyi értékes rendszer körvonalaira utal. A mű egyik tételében felsorolja a 10egymást követő hatványainak szanszkrit terminusait és megadja a nekik megfelelő helyi értékek közt fennállószabályt: ez a tétel és egyéb gyökvonó algoritmusok mind a tízes helyi értékes rendszer ismeretét és tudatosalkalmazását erősítik. Árjabhata számábrázolásában a számokat megformáló szövegrészletek erős kódhatásuk miatt aklasszikus szanszkrit nyelv szépen csengő hangzásvilágával szemben nehezen voltak memorizálhatóak, így arendszert a szerzőt követően nem használták.[36]

A mű arab fordítása a 8. században jelent meg, melyet a 13. században latin fordítás követett.

Brahmagupta tétele: ha egy körbeírható négyszögátlói merőlegesek egymásra, akkor az átlókmetszéspontjából az egyik oldalra húzott

merőleges felezi a szemközti oldalt

A 7. században Brahmagupta bevezette a Brahmagupta tételt, aBrahmagupta-azonosságot és a Brahmagupta-képletet. Az i. sz.628-ben keletkezett Bráhmaszphutasziddhánta című művében leírta anulla helyi értékként és a tízes számrendszer számjegyeként valóhasználatát, illetve számos példát mutat a tízes helyi értékesszámrendszer használatára. Munkájának fényét emeli, hogy a nullávalkapcsolatos aritmetikáról, a negatív és pozitív számokat is érintveolyan átfogó szabályrendszert közöl, amely - néhány korai tévedésétőleltekintve - további évszázadokig lefektette a nullával való számolásalapjait. A nullával való osztás koncepciójának tökéletesítéséhez (anulla és végtelen matematikai kapcsolata, határérték fogalma) egészena 11. századi Srípati és a 12. századi Bhászkara munkáira kellettvárni.[37] A mű többek között ismertet még algoritmusokat a négyzet-és köbszámításra, négyzet- és köbgyökvonásra, foglalkozik számtani ésgeometria sorozatokkal is.

A muzulmán tudósok 770 körül ismerték meg az indiai tízes helyi értékes számrendszert egy indiai matematikaiszöveg fordításából és hamarosan átvették azt. A muzulmán tudósok közvetítése révén a 12. században ez aszámrendszer Európába is eljutott – ahol arab számok néven vált ismertté – innen mára már világszerte elterjedt ésminden korábban használt számrendszert felváltott.

A mai Karnátaka környékén elsősorban dzsaina szerzők gazdagították az indiai matematika kincsestárát. Közülük a9. századi Víraszéna a Satkhandágamához írt Dhavalá c. kommentárjában világítja meg a logaritmusok alapjait,Mahávíra Ganitaszáraszamgraha c. alkotása (Kr. u. 850) pedig Brahmagupta fő művének kiterjesztéseként foghatófel. Kelet-Indiában közel ebben a korban, Kr. u. 850 és 950 között munkálkodott a bengáli Srídhara, nevét két fontosalkotása, a Pátíganita és annak rövidebb kivonata, a Trisatiká vagy más nevén Pátíganitaszára fémjelzi.A Kr. u. 10-11. században elsősorban Srídhara hatása figyelhető meg: Árjabhata II Mahásziddhánta és SrípatiGanitatilaka c. műve is Srídhara munkáin alapszik. Halájudha a 10. században Mritaszandzsívaní címen írtkommentárt a kb. i. e. 4 - 1. sz. között élt Pingala Csandahszútra művéhez, amely a különböző versmértékeket, így arövid és hosszú szótagok (mint 2 állapotú bináris számok) különféle kombinációját elemzi és ismerteti az ezekhezkötődő algoritmusokat, ezzel a bináris aritmetika és a kombinatorika néhány fő elvét. Halájudha az eredetileg nagyontömör 8.34-35 szútrához egészen hihető útmutatást ad, melynek keretében az ind vallásos világkép szent hegyének, aMéru hegynek a "felépítését" mutatja be. A bináris számokból így megalkotott struktúra a 17. századi francia tudósután Pascal-háromszögként vált közismertté, holott az indiaik évszázadokkal ezelőtt ismerték az elvet.[38] Akommentár továbbá bemutatja a Fibonacci-sorozatot és leírja a mátrixok képzésének módját is.A 12. században Bhászkara az akkori nagy indiai kutatóközpont, Uddzsajiní városának vezető matematikusává nőtte ki magát, az utókor kiemelt becsben tartja Sziddhántasirómani, Lílávatí és Bídzsaganita című műveit. Bhászkara fedezte fel a differenciálszámítást, valamint bevezette a differenciálhányados, a differenciálegyüttható és a differenciálás fogalmakat. Bebizonyította a Rolle-tételt (amely a középértéktétel speciális esete), tanulmányozta a

A matematika története 12

Pell-egyenletet, és foglalkozott a szinuszfüggvény deriváltjával is.A 14. századtól Mádhava és a keralai iskola többi matematikusa továbbfejlesztették ezeket az elméleteket. Őkvezették be a matematikai analízis és a lebegőpontos számok fogalmait, ezen kívül még számos olyan fogalmat,melyek alapvető fontosságúak voltak a differenciálszámítás fejlődése szempontjából, például középértéktétel,tagonkénti integrálás, a görbe alatti terület és a görbe integráljának viszonya, integrálkritérium, hatványsor,Taylor-sor és a trigonometriai sorok fogalmait.A 16. században Dzsjésthadéva a Juktibhásá című műben rögzítette a keralai matematikai iskola felfedezéseit éstételeit. Ez volt a világ első differenciálszámításról írott műve és tartalmazott fogalmakat az integrálszámításterületéről is. A 16. század végétől kezdődően a matematika fejlődése Indiában stagnálni kezd az akkor kialakultpolitikai zűrzavar miatt.

Muszlim matematika (800 – 1500)

Muhammad ibn Músza l-Hvárizmi

A muszlim vallású Arab Birodalom – amely a 8. századra azIbériai-félszigettől Észak-Afrikán és a Közel-Keleten keresztülKözép-Ázsiáig és India nyugati részéig terjedt – jelentősen hozzájárulta matematika fejlődéséhez. A legtöbb muzulmán tudós arab nyelven írta matematikáról, mivel ebben a korban az arab nyelv összekötőszerepet (lingua franca) töltött be a muszlim világ nem arab nyelvűtudósai körében, hasonlóan a görög nyelv hellén világban betöltöttszerepéhez. A legfontosabb muzulmán tudósok között sok perzsa isvolt.

Muhammad ibn Músza l-Hvárizmi 9. századi perzsa matematikus, abagdadi kalifa udvari csillagásza számos könyvet írt a hindu-arabszámokról és az egyenletmegoldás módszereiről. A hindu számokkalvaló műveletekről című könyve, melyet 852-ben írt valamint Al-Kindiarab matematikus művei kulcsszerepet játszottak az indiai matematikaés az indiai (arab) számok nyugati világban való elterjedésében. Azalgoritmus szó al-Hvárizmi nevének latinosított változatából(Algoritmi) ered, az algebra szó pedig egyik művének címéből: Hiszábal-dzsabr va l-mukábala (szó szerint „A kiegészítés és egyensúlyozás általi számolás”). Hvárizmit gyakran nevezikaz algebra atyjának, mivel az ősi módszereket megtartva sok eredeti ismerettel bővítette ezt a tudományágat.[39]

Az algebra Abu Bakr al-Karadzsi (953–1029) al-Fahri című értekezésével tovább fejlődött, ahol úgy bővíti ki amódszertant, hogy használható legyen ismeretlen mennyiségek egész számú hatványainál és egész számú gyökeinélis. Az első matematikai indukció módszerével végzett bizonyítás Karadzsi egy könyvében jelent meg i. sz. 1000körül, aki a binomiális tételt, a Pascal-háromszöget és a kockák integrálösszegét bizonyította ezzel a módszerrel.[40]

F. Woepcke matematikatörténész szerint[41] Karadzsi használt először algebrai jelölést a számításoknál.Ibn al-Hajszam (latinos neve Alhazen, meghalt 1038-ban) arab matematikus vezette le elsőként a negyedikhatványok összegének képletét és indukcióval kifejlesztett egy módszert bármilyen hatványon lévő integrálösszegének számításához szükséges képlet meghatározására, amely alapvető volt az integrálszámítás fejlődéseszempontjából.[42]

Omar Khajjám 12. században élt perzsa költő egyben matematikus is volt és ő írta a Vita Euklidész hibáiról című könyvet, melyben Euklidesz Elemek című művének hibáit elemzi, különösen a párhuzamossági posztulátumot, ezzel lefektette az analitikus geometria és a nem-euklideszi geometria alapjait. Ő talált elsőként általános mértani megoldást a harmadfokú egyenletekhez és nagy hatása volt a naptárreformra is. Naszír ad-Dín at-Túszi 13. századi perzsa matematikus új felfedezéseket tett a gömbtrigonometria területén. Írt egy nagy hatású művet Euklidesz

A matematika története 13

párhuzamossági posztulátumáról is. A 15. században Gijász ad-Dín Dzsamsíd al-Kási a π értékét 16 tizedesjegypontossággal számította ki. Volt egy algoritmusa az n-edik gyök kiszámításához is, amely a Ruffini és Horner általévszázadokkal később megadott módszerek speciális esete volt. Fontos muzulmán matematikusok voltak még:Szábit ibn Kurra (9. század), Abu Kámil Sudzsá ibn Aszlam (9-10. század), Abu l-Haszan al-Uklidiszi (10. század),Abu Szahl al-Kúhi (10. század) és asz-Szamaval ibn Jahja al-Magribi (12. század).Az Oszmán Birodalom idejére, a 15. századtól a muzulmán matematika fejlődése megtorpant. Ez ahhoz hasonlítható,amikor a hellén világ a rómaiak uralma alá került: akkor a matematika fejlődése szintén megállt.John J. O'Connor és Edmund F. Robertson a következőket írja a MacTutor History of Mathematics archive-ban [43]:

„A legújabb kutatások új képet tárnak elénk arról, milyen mértékben maradtunk adósai a muzulmán matematikusoknak. Mára nyilvánvalóvávált, hogy azon felfedezések nagy részét, melyeket korábban a zseniális 16-17-18. századi európai matematikusainknak tulajdonítottunk,muzulmán matematikusok már századokkal korábban kifejlesztették. Sok tekintetben a ma tanult matematika stílusában sokkalta közelebb álla muzulmán matematikához, mint a hellenisztikushoz.

”– {{{4}}}

Középkori európai matematika (300 – 1400)

Boethius

A középkori Európában a mai matematikusokéitől jelentősen eltérőproblémák hajtották a matematika fejlődését. Az egyik hajtóerő az a hit volt,hogy a matematika kulcsfonosságú a teremtett természet megértéséhez, amitgyakran Platón Timaeus-ával és azzal a deuterokanonikus bibliai passzussaltámasztottak alá, mely szerint Isten mindent mérték, szám és súly szerintrendezett el.

„De ezek nélkül is, egyetlen lehelet is elsöpörhette volna őket, ha a bosszúlóigazságosság üldözőbe veszi és hatalmad lehelete megszeleli őket. De temindent mérték, szám és súly szerint rendeztél el.” (Salamon bölcsessége11:21).

Kora középkor (300 – 1100)

Az eldő hindu-arab számok Európában a Codex Vigilanus-ban jelentek meg976-ban

Boethius helyet biztosított a matematikánakis az oktatásban, mikor megalkotta a„quadrivium” kifejezést, amely a számtan(aritmetika), a mértan (geometria), acsillagászat és a zene tudományánakösszefoglaló neve volt (a hét szabadművészet részeként). Ő írta a De institutionearithmetica című írást, amely a görögNikomakhosz által írott Bevezetés azaritmetikába című mű szabad fordítása volt;valamint a De institutione musica című

művet, amely szintén görög forrásokat használt; ezen kívül írt még egy sor kivonatot Euklidesz geometriájából is(Elemek). Művei sokkal inkább elméletiek voltak, mint gyakorlatiak, és az európai matematikai tanulmányokalapjául szolgáltak, amíg fel nem fedezték a görög és arab matematikai műveket.[44][45]

A matematika története 14

A matematika reneszánsza Európában (1100 – 1400)

Jelenet Euklidész Elemek című művének latinfordításából (1309 – 1316 között)

A 12. századi európai tudósok Spanyolországba és Szicíliába utaztakarab tudományos iratok után kutatva; többek között megtaláltákal-Hvárizmi Hisab al-dzsabr walmukabala (A rövidítés és törléstudománya) című művét is, amelyet Robertus Castrensis fordítottlatinra, valamint Euklidesz Geometriájának teljes szövegét (Elemek),melyet többen is lefordítottak például: Adelardus Bathensis, HermanDalmatin és Gerardo da Cremona (Gerardus Cremonensis).[46][47]

Az új források hatására felélénkült a matematika iránti érdeklődés. A13. század elején Fibonacci produkálta az első jelentős matematikaieredményeket Európában Eratoszthenész óta, amely több mint ezeréves űrt jelent. A 14. században problémák széles körét kutatvaszülettek az újabb és újabb matematikai fogalmak.[48] Az egyik olyanterület, amely nagy hatással volt a matematika fejlődésére a helyimozgás analízise volt.

Thomas Bradwardine felvetette, hogy a sebesség (V) úgy növekszikszámtani arányban, ahogy az erő (F) ellenálláshoz (R) való aránya nő mértani arányban. Bradwardine ezt specifikuspéldák sorával fejezte ki és – bár abban az időben még nem ismerték a logaritmus fogalmát – állításátanakronisztikusan felírhatjuk a következőképpen:

V = log (F/R).[49]

Bradwardine analízise arra példa, hogyan ültették át azt a matematikai technikát, melyet al-Kindi és Arnaldus deVilla Nova az összetett gyógyszerek természetének mennyiségi meghatározására használtak, egy másik fizikaiprobléma megoldására.[50]

Nicolas d’Oresme

A 14. században William Heytesbury, az „oxfordi kalkulátorok”egyike, mivel nem ismerte a differenciálszámítás és a határértékfogalmát, azt javasolta, hogy a pillanatnyi sebességet oly módonmérjék, hogy „azt az utat mérik, melyet akkor tett volna meg, ha …végig azzal a sebességgel mozgott volna, amellyel az adott pillanatbanmozgott”.[51]

Heytesbury és mások matematikai módszerrel határozták meg egyolyan test által megtett utat, amelynek gyorsulása állandó mértékű (eztma egyszerű integrálással számolnánk). Állításuk szerint ugyanis: „egymozgó test amelynek sebessége egyenletesen nő vagy csökken, adottidő alatt ugyanakkora távolságot tesz meg, mintha végig az átlagossebességgel mozgott volna.”[52]

Nicolas d’Oresme a párizsi egyetemen és az Itáliai Giovanni di Casaliegymástól függetlenül grafikusan bizonyították ezt a viszonyt, és ezzelmegerősítették, hogy a konstans gyorsulást jelölő egyenes alatti területa teljes bejárt útnak felel meg.[53] Oresme Euklidész Elemek címűművéhez írt későbbi kommentárjában egy még részletesebb általánoselemzést készített, melyben bemutatja, hogy a testnek minden egymástkövető időnövekményben megnő minden olyan tulajdonsága, amely

páratlan számonként növekszik. Mivel Euklidész már bizonyította, hogy a páratlan számok összegei anégyzetszámok, a test növekvő jellemzője az idő négyzetével nő.[54]

A matematika története 15

Korai modern európai matematika (1400 – 1600)

François Viète

Európában a reneszánsz hajnalán a matematika fejlődését még mindigkorlátozta az akkoriban használt nehézkes jelölésmód, melyben rómaiszámokkal dolgoztak és a viszonyokat jelek helyett inkább szavakkalfejezték ki: nem volt még pluszjel, sem egyenlőségjel és az x-et semhasználták még az ismeretlen jelölésére.

A 16. században az európai matematikusok olyan mértékű fejlődésneklehettek tanúi, melyre még nem volt példa korábban sehol maitudásunk szerint. Az egyik jelentős felfedezés ebből a korszakból aharmadfokú egyenlet általános megoldása volt, melyet Scipione delFerronak tulajdonítanak 1510 körül, de elsőként Johannes Petreiuspublikálta Nürnbergben Gerolamo Cardano Ars magna címűmunkájában, amely tartalmazta a másodfokú egyenlet általánosmegoldását is Cardano tanítványától, Lodovico Ferraritól.

Ettől kezdve a matematikai felfedezések már gyors ütemben követtékegymást és kölcsönös hatással voltak az élettelen fizikai tudományokterületein tett legújabb felfedezésekre is. A folyamathoz nagybanhozzájárult a nyomtatás fejlődése. A legkorábbi nyomtatásbanmegjelent matematikai témájú könyv Peurbach Theoricae novaplanetarum-ja volt 1472-ben, melyet egy keredkedelmi számításokattárgyaló könyv, az 1478-as Treviso Arithmetic követett, majd az első valódi matematikai könyv, Euklidész Elemei,melyet Ratdolt nyomtatott és adott ki 1482-ben.

A tengeri hajózás és navigáció valamint a nagy területeket ábrázoló pontos térképekkel szemben támasztott növekvőigények miatt a trigonometria lett a matematika egyik legfejlettebb ága. Bartholomaeus Pitiscus használta először aszót az 1595-ben megjelent Trigonometria című munkájában. A Regiomontanus-féle szinusz- éskoszinusztáblázatokat 1533-ban adták ki.A század végére – hála Regiomontanusnak (1436 – 1476) és François Viète-nek (1540 – 1603) (többek között) – amatematikát már a hindu-arab számokkal írták olyan formában amely már nem sokban különbözött a ma használtalaktól.

A matematika története 16

17. század

Gottfried Wilhelm Leibniz

A 17. században sose látott mértékben és robbanásszerűen fejlődtek amatematikai és tudományos ismeretek Európa-szerte.Az itáliai Galileo Galilei teleszkópjával megfigyelte, hogy a Jupiterbolygó körül holdak keringenek. A dán Tycho Brahe hatalmasmennyiségű matematikai adatot gyűjtött össze a bolygók helyzeténektanulmányozása során. Tanítványa, a német Johannes Kepler elkezdtefeldolgozni az összegyűlt adatokat. Részben azért, hogy segítse Keplerszámításait, a skóciai John Napier tanulmányozta elsőként atermészetes logaritmusokat. Keplernek végül sikerült matematikaiképletekkel kifejezni a bolygók mozgását. René Descartes (1596-1650)francia matematikus-filozófus, kifejlesztette az analitikus geometriátmelynek segítségével fel tudta rajzolni a bolygók pályáját aDescartes-féle koordináta-rendszerben. Korábbi matematikusokmunkájára építve az angol Isaac Newton felfedezte azokat a fizikaitörvényeket, melyekkel meg tudta magyarázni Kepler törvényeit, ésösszefoglalta a differenciál- és az integrálszámítás alapelveit. Tőlefüggetelenül Gottfried Wilhelm Leibniz Németországban kifejlesztette a differenciál- és az integrálszámítástmelyben ma is az ő jelölésmódját hasznájuk. A tudomány és a matematika fejlesztése nemzetközi törekvés lett és afelhalmozott ismeretanyag hamarosan világszerte elterjedt.[55]

Azon kívül, hogy a matematikát használni kezték az égitestek tanulmányozásánál, Pierre de Fermat és Blaise Pascallevelezése során az alkalmazott matematika új területekre is behatolt. Pascal és Fermat szerencsejátékokról szólóvitáikban lefektették a valószínűségelmélet kutatásának alapjait és a kombinatorika szabályait is. Pascalfogadás-elméletében megpróbálta felhasználni az újonnan létrehozott valószínűségelméletet a vallásos élet mellettiérvelésre, azon az alapon, hogy ha a siker valószínűsége kicsi, akkor a jutalom végtelen. Bizonyos értelemben ez márelőrejelezte a hasznossági függvény 18-19. századi kialakulását.

18. század

Leonhard Euler (Emanuel Handmann festménye)

Ahogy azt a monolitikus építményeknél láthattuk, a természetesszámok ismerete (1, 2, 3 …) régebbi mint bármely fennmaradt szöveg.Már a legkorábbi civilizációkban (Mezopotámia, Egyiptom, India ésKína) is ismerték az aritmetikát.

A mai matematika különböző számrendszereinek fejlődését oly módonkövethetjük nyomon, hogy megfigyeljük hogyan tanulmányozták éskutatták az új számokat abból a célból hogy a régebbi számokkalvégzett aritmetikai műveletekre választ adjanak. A történelem előttiidőkben a tört számokkal tudtak választ adni erre a kérdésre: melyikszámot kell 3-mal szorozni, hogy eredményül 1-et kapjunk. Indiában ésKínában, majd jóval később Németországban bevezették a negatívszámokat, hogy válaszolni tudjanak a kérdésre: mit kapunk, ha egykisebb számból kivonunk egy nagyobbat. A nulla bevezetéséhez ishasonló kérdés vezethetett: mit kapunk, ha kivonunk egy számotönmagából?

A matematika története 17

Egy következő kérdés: milyen szám a 2 négyzetgyöke? Már a görögök is tudták hogy ez nem egy tört, és akérdésnek szerepe lehetett a lánctörtek kifejlődésében is. A tizedestörtek bevezetése után azonban – melyet JohnNapier (1550–1617) talált fel, majd később Simon Stevin tökéletesített – még jobb megoldás született. A tizedesekés egy olyan fogalom használatával, amely a határérték elődjének tekinthető, Napier egy másik állandót istanulmányozott, melyet Leonhard Euler (1707–1783) -nek nevezett el.Eulernek nagy hatása volt a matematikai fogalmak és jelölésmódok egységesítésére. A –1 négyzetgyökét az szimbólummal jelölte. Ő terjesztette el a görög betű használatát is a körök kerület-átmérő arányának jelölésére. Ővezette le a metematika egyik legjelentősebb azonosságát is:

(lásd még Euler-képlet)

19. század

Az egyenesek viselkedése egy közös merőleges mellett mindhárom típusú geometriában

A 19. század folyamán a matematikaegyre absztraktabbá vált. Ebben aszázadban élt minden idők egyiklegnagyobb matematikusa CarlFriedrich Gauss (1777 – 1855).Számos más tudományos eredményemellett forradalmi munkát végzett atiszta matematikában – a komplexváltozók függvényeivel –, a geometriában és a sorozatok konvergenciájának tanulmányozásával. Ő adta az elsőkielégítő bizonyítást az algebra alaptételéhetz, és a kvadratikus reciprocitás tételéhez.

Bolyai János

Ebben a században a nem-Euklideszi geometria két formája is létrejött,melyekben az euklideszi geometria párhuzamossági posztulátuma nemérvényes. Az euklideszi geometriában egy adott egyeneshez egy rajtakívül eső ponton keresztül egy és csakis egy párhuzamos húzható.Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij orosz matematikus és a magyarBolyai János egymástól függetlenül alkották meg a hiperbolikusgeometriát, ahol a párhuzamossági posztulátum nem érvényesül. Ebbena rendszerben a háromszög belső szögeinek összege kevesebb mint180°. Az elliptikus geometriát később fedezte fel Bernhard Riemannnémet matematikus a 19. század során. Az ő rendszerében nincsenekpárhuzamosok és a háromszög belső szögeinek összege nagyobb mint180°. Riemann fejlesztette ki a Riemanni geometriát is, amely egyesítiés jelentősen általánosítja a három geometriatípust és ő definiálta asokaság fogalmát is, amely a görbék és a felületek fogalmánakáltalánosítása.

Ezek a fogalmak fontos szerepet játszottak később Albert Einsteinrelativitáselméletében.

A 19. században vezette be William Rowan Hamilton anemkommutatív algebrát.

A matematika története 18

Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij

Az újabb matematikai irányok mellett a korábbi matematikaijelenségek is biztosabb logikai alapokra kerültek, különösen az integrálés differenciálszámítás Augustin-Louis Cauchy és Karl Weierstrassmunkásságának köszönhetően.

George Boole

A 19. században jött létre az algebra új formája, a Boole-algebra,melyet George Boole brit matematikus dolgozott ki. Ebben arendszerben csak a 0 és az 1 számok szerepelnek és ma igen elterjedt,főleg a számítástechnikában.

Ugyanebben az időben kezdték el elsőként a matematika korlátaittanulmányozni. Paolo Ruffini olasz és Niels Henrik Abel norvégmatematikus bebizonyította, hogy a négynél magasabb fokúegyenletekre nincs gyökképlet. Évariste Galois módszert adott annakeldöntésére, hogy egy adott egyenlet megoldható-e a négyalapművelettel és gyökvonásokkal.

Más 19. századi matematikusok felhasználták ezt annak bizonyítására,hogy egy körző és egy vonalzó önmagában nem elég egy tetszőlegesszög három egyenlő részre való felbontásához vagy olyan kockaszerkesztéséhez, melynek térfogata egy adott kocka térfogatánakkétszerese sem pedig olyan négyzet szerkesztéséhez, melynek területe

megegyezik egy adott kör területével. A matematikusok már az ókori görögök ideje óta próbáltak megoldást találniezekre a kérdésekre – mindhiába.

Abel és Galois kutatásai a különböző polinom-egyenletek megoldása területén lefektették a csoportelmélet és akapcsolódó absztrakt algebra további fejlődésének alapjait. A 20. században fizikusok és más tudósok acsoportelméletet ideális eszköznek tekintették a szimmetria tanulmányozására.A 19. században alakultak meg ez első matematikai társaságok is: 1865-ben a London Mathematical Society,1872-ben a Société Mathématique de France, 1884-ben a Circolo Mathematico di Palermo, 1864-ben az EdinburghMathematical Society és 1888-ban az American Mathematical Society.A Bolyai János Matematikai Társulat jogelődjét 1891-ben alapították.A 20. század előtt egy adott időpontban csak nagyon kevés kreatív matematikus volt a világon. A legtöbb matematikus vagy gazdagnak született – Napier-hez hasonlóan –, vagy gazdag személyek támogatását élvezte, mint

A matematika története 19

Gauss. Néhányuk szerény megélhetését egyetemi oktatóként szerezte, mint Fourier. Niels Henrik Abel 26 évesenelhunyt alultápláltság és tuberkulózis következtében, mivel nem kapott állást.

20. század

A négyszín-tételt illusztráló térkép

A matematikusi hivatás a 20. században egyre fontosabbá vált. Mindenévben több száz új PhD fokozatot ítélnek oda matematikusoknak ésszámos munkalehetőség közül válogathatnak mind az oktatásban, mindaz iparban. A matematika exponenciális ütemben fejlődik, ezért afejlődés szinte már alig vagy csak nagyon nehezen követhető.

Az 1900-ban rendezett nemzetközi matematikai kongresszuson DavidHilbert előállt egy listával, melyen 23 megoldatlan matematikaiproblémát sorolt fel. Ezek a problémák a matematika számos területétérintették és a 20. századi matematika központi feladatai között voltak.Mára közülük tíz problémát már teljes mértékben megoldottak, hetetcsak részlegesen és kettő még ma is megoldatlan. A maradék négy túllazán definiált ahhoz, hogy egyértelműen dönteni lehessen megoldottvoltáról.

Az 1910-es években Srínivásza Rámánudzsan (1887 – 1920) több mint3000 tételt írt le, köztük az erősen összetett számok tulajdonságairól, apartíciók számát megadó függvényről és aszimptotikájáról és aRámánudzsan-féle thetafüggvényekről. Jelentős felfedezéseket tett agammafüggvények, moduláris formák, divergens sorozatok,hipergeometrikus sorozatok és a prímszámelmélet területein is.

A múlt híres sejtései újabb és erőteljesebb technikák kifejlődéséhez vezettek. Wolfgang Haken és Kenneth Appelszámítógép segítségével bizonyította be 1976-ban a négyszín-tételt. Andrew Wiles évekig egyedül dolgozvairodájában 1995-ben végül bebizonyította a Fermat-sejtést.

A matematikán belül teljesen új területek jöttek létre, mint például a matematikai logika, a topológia, akomplexitáselmélet és a játékelmélet melyek kibővítették azon kérdések körét, melyeket matematikai módszerekkelmeg tudunk válaszolni.A francia Bourbaki-csoport tagjai megkísérelték a matematika minden területét egy koherens és szigorú egységgégyúrni, és a Nicolas Bourbaki kollektív álnéven publikáltak. Hatalmas munkájuk matematikaoktatásra tett hatásavitatott.[56]

Végeztek újabb kutatásokat a matematikai korlátai terén is. Kurt Gödel bizonyította, hogy minden olyan matematikairendszerben, melyben vannak egész számok, van olyan igaz állítás, amit nem lehet bebizonyítani. Paul Cohenbizonyította a kontinuum-hipotézis logikai függetlenségét a halmazelmélet standard axiómáitól.A század végére a matematika kezdett összefonódni a művészetekkel is: a fraktálgeometria például olyan gyönyörűalakzatkat hozott létre, melyekre korábban nem volt példa.

A matematika története 20

21. század

A gömb felszínén minden hurok ponttá húzható össze. A Poincaré-sejtés magasabbdimenzióban kérdezi ezt.

A 21. század hajnalán egyes oktatókbaljósnak tartják a szellemileg az újalsó osztályhoz tartozók társadalmielőretörését, akik mindmatematikailag, mind tudományosanírástudatlanoknak tekinthetőek.[57]

Ugyanekkor a matematika, atermészettudományok, a mérnöki tudomány és a technológia együtt olyan tudást, kommunikációt és jólétet hozottlétre, amiről az ókori filozófusok álmodni se mertek volna.

Mindössze néhány év telt el a 21. századból, de már születtek jelentős eredmények. 2004-ben Ben Green és TerryTao bebizonyította azt a régi sejtést, hogy van akármilyen hosszú, prímszámokból álló számtani sorozat. 2006-banGrigorij Perelman igazolta a Poincaré-sejtést.2007. március közepén észak-amerikai és európai kutatók csoportja számítógép-hálózatok segítségével térképeztékfel az E8 politópot.[58] Bár ma még pontosan nem tudjuk, hogyan lehet majd alkalmazni az E8-ról szerzettismereteket, a felfedezés jelentős mind a csapatmunka, mind a modern matematikai számítási technológia fejlődéseszempontjából.

Jegyzetek[1] Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p 1, "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is

most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."[2][2] Filep László: A tudományok királynője; Typotex/Bessenyei, Bp./Nyíregyháza, 1997, 33. o.[3][3] Filep László: A tudományok királynője (A matematika története), Typotex, Bp. - Bessenyei Kiadó, Nyíregyháza; 1997. ISBN 963-7546-83-9,

33.-34. o.[4] Index.hu: Nyelv, számnevek nélkül (http:/ / index. hu/ tudomany/ num0080715/ ). Hivatkozás beillesztése: 2009. augusztus 15.[5] Conant, Levi Leonard: The Number Concept Its Origin and Development (http:/ / infomotions. com/ etexts/ gutenberg/ dirs/ 1/ 6/ 4/ 4/ 16449/

16449. htm). (Project Gutenberg, http:/ / infomotions. com, Chapter I. és II.), hivatkozás beillesztése: 2009. augusztus 15.[6][6] Filep László: A tudományok királynője (A matematika története), Typotex, Bp. - Bessenyei Kiadó, Nyíregyháza; 1997. ISBN 963-7546-83-9,

35. o.[7] Afrikából származhat a matematika (http:/ / www. mult-kor. hu/ cikk. php?id=16534) - Mult-kor.hu, 2007. február 23. 09:30; Hivatkozás

beillesztése: 2008. augusztus 14.[8] Jakabffy Éva Zoé: Honnan ered a matematika? (http:/ / www. shp. hu/ hpc/ web. php?a=evajakabffy& o=ujdonsagok___matematika_2kj)

IPM, 2008. dec. Hivatkozás beillesztése: 2008. augusztus 14.[9] Bővebben: Angol Wikipédia: Ishango Bone. Hivatkozás beillesztése: 2008. augusztus 14.[10] An old mathematical object (http:/ / www. math. buffalo. edu/ mad/ Ancient-Africa/ ishango. html)[11] Mathematics in (central) Africa before colonization (http:/ / etopia. sintlucas. be/ 3. 14/ Ishango_meeting/ Mathematics_Africa. pdf)[12] A pigmeusok számnevei: 1=a, 2= oa, 3=ua, 4= oa-oa, 5=oa-oa-a, 6=oa-oa-oa (http:/ / www. educa. fmf. uni-lj. si/ izodel/ sola/ 1999/ ura/

Novak/ seminar. html)[13] Enwiki: List_of_numbers_in_various_languages (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/

List_of_numbers_in_various_languages#Afro-Asiatic_languages)[14] Enwiki: Az urnamezős kultúra számírása (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Urnfield_culture_numerals); hivatkozás beillesztése: 2009.

augusztus 15.[15] Frank Swetz : Review about „Ethnomathematics, a Multicultural View of mathematical Ideas” (http:/ / www. jstor. org/ pss/ 2686959),

jstor.org; Beillesztés időpontja: 2009. augusztus 14.[16] Jakabffy Éva Zoé:: Honnan ered a matematika (http:/ / www. shp. hu/ hpc/ web. php?a=evajakabffy& o=ujdonsagok___matematika_2kj);

IPM, 2008. december; N.W.Thomas adatai nyomán; Beillesztés időpontja: 2008. augusztus 14.[17] Sternberg és Ben Zeev: A matematikai gondolkodás természete. Vince Kiadó, Bp., 1998.; ISBN 963-9069-78-7. 4. f.: Kevin F. Miller:

Óriások vállán: a kulturális eszközök és a matematikai fejlődés. 87.-121. o.[18] Thom, Alexander and Archie Thom, "The metrology and geometry of Megalithic Man", pp 132-151 in C.L.N. Ruggles, ed., Records in

Stone: Papers in memory of Alexander Thom, (Cambridge: Cambridge Univ. Pr., 1988) ISBN 0-521-33381-4[19] http:/ / www. saxakali. com/ COLOR_ASP/ chinamh1. htm[20] http:/ / www. chinaculture. org/ gb/ en_madeinchina/ 2005-08/ 18/ content_71974. htm

A matematika története 21

[21] Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology (http:/ / it. stlawu. edu/ ~dmelvill/ mesomath/ 3Mill/ chronology. html), ThirdMillennium Mathematics. St. Lawrence University.

[22] Molnár László: Ukasar-urapon, aháge tokále, bulan guliba (http:/ / www. epa. oszk. hu/ 00000/ 00011/ 00028/ pdf/ 1999-6-7t. pdf).Iskolakultúra, 1999/6.-7. Beillesztés: 2009. augusztus 14.

[23] http:/ / www. cut-the-knot. org/ arithmetic/ RhindPapyrus. shtml[24] http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ history/ HistTopics/ Egyptian_papyri. html[25] http:/ / www. math. buffalo. edu/ mad/ Ancient-Africa/ mad_ancient_egypt_algebra. html#areithmetic%20series[26] http:/ / www. hum. ku. dk/ cni/ papcoll/ high008. html[27] http:/ / www. aams. org. au/ contents. php?subdir=library/ history/ & filename=pharonic_egypt[28] http:/ / www. math. buffalo. edu/ mad/ Ancient-Africa/ mad_ancient_egyptpapyrus. html#berlin[29] http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ history/ Projects/ Pearce/ Chapters/ Ch4_1. html[30] Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0[31] Martin Bernal, "Animadversions on the Origins of Western Science", pp. 72-83 in Michael H. Shank, ed., The Scientific Enterprise in

Antiquity and the Middle Ages, (Chicago: Univ. of Chicago Pr.) 2000, on mathematical proofs see p. 75.[32] VII. könyv, 2. def. Magyarul: Mayer Gyula: Eukleidész: Elemek. Gondolat, Bp., 1983; ISBN 963-281-267-0. 206. o.[33] Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 p. 141 "No work, except The Bible, has

been more widely used… ."[34][34] M. Hegedüs, 2012, Az algebra vívmányai az indiai matematika klasszikus korszakában, L'Harmattan, Budapest, 8. oldal[35][35] M. Hegedüs 2012, 33. és 42. oldalak[36][36] M. Hegedüs 2012, 20-25. oldalak[37][37] M. Hegedüs 2012, 43. oldal[38][38] M. Hegedüs 2012, 58-65. oldalak[39] The History of Algebra (http:/ / www. ucs. louisiana. edu/ ~sxw8045/ history. htm). Louisiana State University.[40] Victor J. Katz (1998). History of Mathematics: An Introduction, p. 255-259. Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1.[41] F. Woepcke (1853). Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi. Paris.[42] Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3), p. 163-174.[43] http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/[44] Caldwell, John (1981) "The De Institutione Arithmetica and the De Institutione Musica", pp. 135-154 in Margaret Gibson, ed., Boethius: His

Life, Thought, and Influence, (Oxford: Basil Blackwell).[45] Folkerts, Menso, "Boethius" Geometrie II, (Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1970).[46] Marie-Thérèse d'Alverny, "Translations and Translators", pp. 421-462 in Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal

in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard Univ. Pr., 1982)[47] Guy Beaujouan, The Transformation of the Quadrivium", pp. 463-487 in Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal

in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard Univ. Pr., 1982)[48] Grant, Edward and John E. Murdoch (1987), eds., Mathematics and its applications to science and natural philosophy in the Middle Ages,

(Cambridge: Cambridge University Press) ISBN 0-521-32260-X.[49] Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 421-440.[50] Murdoch, John E. (1969) "Mathesis in Philosophiam Scholasticam Introducta: The Rise and Development of the Application of

Mathematics in Fourteenth Century Philosophy and Theology", pp. 215-254 in Arts libéraux et philosophie au Moyen Âge (Montréal: Institutd'Études Médiévales), at pp. 224-227.

[51] Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 210, 214-15, 236.[52] Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), p. 284.[53] Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 332-45, 382-91.[54] Nicole Oresme, "Questions on the Geometry of Euclid" Q. 14, pp. 560-5 in Marshall Clagett, ed., Nicole Oresme and the Medieval

Geometry of Qualities and Motions, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr., 1968).[55] Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0, p. 379, "…the concepts of

calculus…(are) so far reaching and have exercised such an impact on the modern world that it is perhaps correct to say that without someknowledge of them a person today can scarcely claim to be well educated."

[56] Maurice Mashaal, Bourbaki: A Secret Society of Mathematicians, American Mathematical Society, 2006, ISBN 978-0-8218-3967-6.[57] Estela A. Gavosto, Steven G. Krantz, William McCallum, Editors, Contemporary Issues in Mathematics Education, Cambridge University

Press, 1999, ISBN 0-521-65471-8[58] Elizabeth A. Thompson, MIT News Office, Math research team maps E8 http:/ / www. huliq. com/ 15695/ mathematicians-map-e8

A matematika története 22

Kacsolódó szócikk•• A geometria története

Irodalom• Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House (1964)• Boyer, C. B., A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, 1989 ISBN

0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).• Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0,• Grattan-Guinness, Ivor. Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences.

The Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-7397-5 (2003)• van der Waerden, B. L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983, ISBN 0-387-12159-5.• O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F. The MacTutor History of Mathematics Archive (http:/ /

www-groups. dcs. st-andrews. ac. uk/ ~history/ ). (See also MacTutor History of Mathematics archive.) Thiswebsite contains biographies, timelines and historical articles about mathematical concepts; at the School ofMathematics and Statistics, University of St. Andrews, Scotland. (Or see the alphabetical list of history topics(http:/ / www-gap. dcs. st-and. ac. uk/ ~history/ Indexes/ Hist_Topics_alph. html).)

• Stigler, Stephen M.. The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. Belknap Press. ISBN0-674-40341-X (1990)

• Bell, E.T.. Men of Mathematics. Simon and Schuster (1937)• Gillings, Richard J.. Mathematics in the time of the pharaohs. Cambridge, MA: M.I.T. Press (1972)• Heath, Sir Thomas. A History of Greek Mathematics. Dover. ISBN 0-486-24073-8 (1981)• Menninger, Karl W.. Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MIT Press. ISBN

0-262-13040-8 (1969)• Burton, David M. The History of Mathematics: An Introduction. McGraw Hill: 1997.• Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction, 2nd Edition. Addison-Wesley: 1998.

Magyar nyelvű irodalom•• Filep László: A tudományok királynője, Typotex kiadó, 2001•• Szemjon Grigorjevics Gingyikin: Történetek fizikusokról és matematikusokról, Typotex kiadó, 2004• Lévárdi László – Sain Márton: A ráció üzenetei – Feladatok a távoli múltból, Typotex kiadó,•• Rényi Alfréd: Ars Mathematica, Typotex kiadó, 2005•• Róka Sándor (szerk): Miért lettem matematikus, Typotex kiadó, 2003• Sain Márton: Nincs királyi út – Matematikatörténet (http:/ / mek. oszk. hu/ 05000/ 05052/ index. phtml)

Gondolat, Budapest 1986. ISBN 963-281-704-4•• Sain Márton: Matematikatörténeti ABC, Typotex kiadó, 1993• Simonovits András: Matematikatörténeti vázlat (http:/ / econ. core. hu/ ~simonov/ matt. pdf)•• Struik, Dirk J.: A matematika rövid története, Gondolat kiadó, 1958• Tóth Imre: Palimpszeszt – Szavak egy háromszög előtt, Typotex kiadó, 2001

A matematika története 23

További információk• Simonovits András: Matematikatörténeti vázlat (http:/ / econ. core. hu/ ~simonov/ matt. pdf) (pdf).• Barkohba (http:/ / members. iif. hu/ visontay/ ponticulus/ rovatok/ humor/ archimedes-kunkorja. html)

Interjúrészlet a régi magyar matematikai szaknyelvről. Szénássy Barna – A matematikatörténet szerény apostola.in: Staar Gyula: A megélt matematika 128–129. oldal

• Az Ókor matematikája (http:/ / gazsiweb. click. hu/ Okormatek. html)• Convergence (http:/ / mathdl. maa. org/ convergence/ 1/ ), the Mathematical Association of America's online

Math History Magazine• MacTutor History of Mathematics archive (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ ) (John J. O'Connor and

Edmund F. Robertson; University of St Andrews, Scotland). An award-winning website containing detailedbiographies on many historical and contemporary mathematicians, as well as information on famous curves andvarious topics in the history of mathematics.

• History of Mathematics Home Page (http:/ / aleph0. clarku. edu/ ~djoyce/ mathhist/ ) (David E. Joyce; ClarkUniversity). Articles on various topics in the history of mathematics with an extensive bibliography.

• The History of Mathematics (http:/ / www. maths. tcd. ie/ pub/ HistMath/ ) (David R. Wilkins; Trinity College,Dublin). Collections of material on the mathematics between the 17th and 19th century.

• Biographies of Women Mathematicians (http:/ / www. agnesscott. edu/ lriddle/ women/ women. htm) (LarryRiddle; Agnes Scott College).

• Mathematicians of the African Diaspora (http:/ / www. math. buffalo. edu/ mad/ ) (Scott W. Williams; Universityat Buffalo).

• Fred Rickey's History of Mathematics Page (http:/ / www. dean. usma. edu/ math/ people/ rickey/ hm/ )• Horváth Péter: Az információtudomány történeti háttere II. (http:/ / tmt. omikk. bme. hu/ show_news.

html?id=1622& issue_id=35). TMT, 48. évf. (2001) 5. sz.; Link beillesztése: 2009. augusztus 14.Linkgyűjtemények• Links to Web Sites on the History of Mathematics (http:/ / www. dcs. warwick. ac. uk/ bshm/ resources. html)

(The British Society for the History of Mathematics)• History of Mathematics (http:/ / archives. math. utk. edu/ topics/ history. html) Math Archives (University of

Tennessee, Knoxville)• History/Biography (http:/ / mathforum. org/ library/ topics/ history/ ) The Math Forum (Drexel University)• History of Mathematics (http:/ / www. otterbein. edu/ resources/ library/ libpages/ subject/ mathhis. htm)

(Courtright Memorial Library).• History of Mathematics Web Sites (http:/ / homepages. bw. edu/ ~dcalvis/ history. html) (David Calvis;

Baldwin-Wallace College)• Science: Math: History (http:/ / www. dmoz. org/ Science/ Math/ History/ ) (DMOZ)• Historia de las Matemáticas (http:/ / webpages. ull. es/ users/ jbarrios/ hm/ ) (Universidad de La Laguna)• História da Matemática (http:/ / www. mat. uc. pt/ ~jaimecs/ indexhm. html) (Universidade de Coimbra)• Using History in Math Class (http:/ / www. math. ilstu. edu/ marshall/ )

Szócikkek forrása és közreműködői 24

Szócikkek forrása és közreműködőiA matematika története  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?oldid=14109928  Közreműködők:: Adam78, Adapa, Azagi, Bennó, Bercziszani, Bináris, Bitman, CommonsDelinker,Csakegyujonc, Csigabi, Csörföly D, Dj, FoBe, Gubbubu, Hannababa86, Hkoala, Hunyadym, Kapcs.Ford, Kope, Krajcsi, Laszlovszky András, Mathae, Mdavid89, Mihegedus, Misibacsi, Orion 8,Panda10, Parsifal, Peda, Porrima, Rlevente, Rovosaman, Syp, Szalakóta, Szalax, Sztanoka, Xbspiro, 26 névtelen szerkesztés

Képek forrásai, licencei és közreműködőiFájl:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg  Forrás:http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Image-Al-Kitāb_al-muḫtaṣar_fī_ḥisāb_al-ğabr_wa-l-muqābala.jpg  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: Mo7amedsalim, Polarlys, Spm,ZxxZxxZ, 15 névtelen szerkesztésFájl:Mokshan numbers.jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Mokshan_numbers.jpg  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: Numulunj pilgaeFájl:1-1000 Rovásszámok.svg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:1-1000_Rovásszámok.svg  Licenc: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Közreműködők::User:RovosamanFájl:EgyptphoneKeypad.jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:EgyptphoneKeypad.jpg  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: Original uploader was Astriolok aten.wikipediaFájl:IVC Map.png  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:IVC_Map.png  Licenc: GNU Free Documentation License  Közreműködők:: Bontenbal, Dbachmann, Joonasl,Jungpionier, Roland zh, TacsipacsiFájl:Ybc7289-bw.jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Ybc7289-bw.jpg  Licenc: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported  Közreműködők:: Billcasselman,Jaybear, Jtir, Mmcannis, 1 névtelen szerkesztésFájl:Babylonian numerals.jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Babylonian_numerals.jpg  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: Breeze, EugeneZelenko, Imz, Juicedlemon, Pseudomoi, Razorbliss, Svdmolen, Thuresson, 4 névtelen szerkesztésFájl:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Egyptian_A'h-mosè_or_Rhind_Papyrus_(1065x1330).png  Licenc: PublicDomain  Közreműködők:: Anarkman, G.dallorto, GeorgHH, JMCC1, Luestling, Mdd, Otso Huuska, 5 névtelen szerkesztésFájl:Thales.jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Thales.jpg  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: Bibi Saint-Pol, TomistiFájl:九 章 算 術.gif  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:九 章 算 術.gif  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: Original uploader was HELLO, WORLD! aten.wikipediaFájl:2064 aryabhata-crp.jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:2064_aryabhata-crp.jpg  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: Copydays, Mukerjee, Oxam Hartog,Roland zh, Sankalpdravid, Serged, Winterkind, 1 névtelen szerkesztésFájl:Brahmaguptra's theorem.svg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Brahmaguptra's_theorem.svg  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: User:Jitse NiesenFájl:Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi edit.png  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Abu_Abdullah_Muhammad_bin_Musa_al-Khwarizmi_edit.png Licenc: Public Domain  Közreműködők:: Mattes, MisterSanderson, Officer, OsamaK, Rüdiger Wölk, Yakiv Gluck, ZxxZxxZFájl:Boethius.jpeg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Boethius.jpeg  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: Dodo78, Dr. 91.41, Ixitixel, Jed, 1 névtelen szerkesztésFájl:Codex_Vigilanus_Primeros_Numeros_Arabigos.jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Codex_Vigilanus_Primeros_Numeros_Arabigos.jpg  Licenc: Public Domain Közreműködők:: Original uploader was Srnec at en.wikipediaFájl:Woman teaching geometry.jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Woman_teaching_geometry.jpg  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: Andrew Gray,Berrucomons, Cirt, Denniss, Diligent, Dsmdgold, Foroa, JMCC1, Jon Harald Søby, Leinad-Z, Petropoxy (Lithoderm Proxy), Roger McLassus, STyx, Warburg, 8 ,קיפודנחש névtelen szerkesztésFájl:Oresme-Nicole.jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Oresme-Nicole.jpg  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: Leinad-Z, Mdd, Shakko, 1 névtelen szerkesztésFájl:Francois Viete.jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Francois_Viete.jpg  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: Anarkman, Gene.arboit, Masterofhogets,Materialscientist, MuFájl:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg  Licenc: Public Domain  Közreműködők::AndreasPraefcke, Auntof6, Beria, Bernd Schwabe in Hannover, Beyond My Ken, Boo-Boo Baroo, Cirt, Davidlud, Ecummenic, Eusebius, Factumquintus, FalconL, Gabor, Jianhui67, Leyo,Luestling, Mattes, Schaengel89, Shakko, Svencb, Tomisti, Trijnstel, 7 névtelen szerkesztésFájl:Leonhard Euler.jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Leonhard_Euler.jpg  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: User:WarsFájl:noneuclid.png  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Noneuclid.png  Licenc: GNU Free Documentation License  Közreműködők:: Original uploader was Joshuabowman aten.wikipediaFájl:Bolyai János (Márkos Ferenc festménye).jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Bolyai_János_(Márkos_Ferenc_festménye).jpg  Licenc: Creative CommonsAttribution-Sharealike 3.0  Közreműködők:: Tambo, Ulrich von LichtensteinFájl:Nikolay Ivanovich Lobachevsky.jpeg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:Nikolay_Ivanovich_Lobachevsky.jpeg  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: Beyond MyKen, Orange-kun, Ragib, 1 névtelen szerkesztésFájl:George Boole.jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:George_Boole.jpg  Licenc: Public Domain  Közreműködők:: HaksFájl:FourColorMapEx.png  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:FourColorMapEx.png  Licenc: GNU Free Documentation License  Közreműködők:: Anarkman, Darapti,Dcoetzee, Inductiveload, Pamri, Pitke, Shizhao, Umherirrender, Ysangkok, 1 névtelen szerkesztésFájl:P1S2all.jpg  Forrás: http://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Fájl:P1S2all.jpg  Licenc: Creative Commons Attribution 2.5  Közreműködők:: Darapti, Matanya (usurped)

LicencCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/