"RESULTAOOS SÕBRE A FORMA FRACA 00

PRINCIPIO DE SAINT-VENANT"

SOLLY ANDY SEX;ENRF;Iai

TESE SUIME.'l'IDA AO CORPO DOCENTE DA CXX>RDENAÇÃO IXS P:ro'.;RAMAS DE PÔS

GRl\DUAÇÃO DE ENGENHARIA DA lNIVERSIDADE FEDERAL 00 RIO DE JANEIRO ,

OMl PARTE IXS REQUESI'l'QS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO 00 GRAU DE

"MESTRE EM CllNCIA" (M.sc.) •

Aprovada por:

~-

RIO DE JANEIRO

ESTADO DA GUANABIIRA - BRASIL

MAIO DE 1971

Dedicado

a meus pais

AGRADECIMENTOS

1'D Prof. Guilheme de La Penha pela sua eficiente orien­

tação e constante incentivo.

à CXJPPE, na pessoa do Prof. Alberto Luiz Coimbra.

1'D Prof. Leslie Koval, neu professor de necânica clás­

sica e elasticidade.

à Cl\PES pelo suporte financeiro.

i

ii

RESUMO

o presente trabalho, todo êle restrito à elasticidade linear,

amsta de 3 capítulos.

No prineiro capitulo é feita tuna revisão do problema de Saint­

Venant (torção e flexão de cilindros) e da neoessidade de ser feita a challa

da "hipÕtese de Saint-Venant". Apresenta-se ainda a generalização da hipÕ­

tese, sob a foma de "Principio", feita por Boussinesq e I.ove e os teoremas

propostos por Stemberg e Zanaboni.

No segundo capitulo, aborda-se o teorena de Toupin sôbre a

foma fraca do Principio, fazendo-se tuna análise dos resultados por êle ob­

tidos.

Finalnente, o autor apresenta no úl tino capitulo, alguns re­

sultados por êle obtidos, ligados à foma fraca do Principio de Saint-Venant.

ili

ABSTRACT

The present paper, cxrnpletely restricted to Linear Elasti­

city, is presented in three chapters.

In the first àlapter, a review on Sainb-Venant' s prc:blem

(torsion and flexion of beams) is rnacle and the neoessity of the so-called

"Saint-Venant's Hypotesis" is indicated. The generalizations of the hypo­

tesis maàe by Boussinesq and Love, as well as Sernberg's and Za.naboni's

Theorems, are discussed.

In the seoond chapter, 'lbupin' s Theorem on the weak fonn

of Saint-Venant Principle is presented and sare of his results are dis-

cusses.

Finally, the author presents sare results related to the weak

fonn of Saint-Venant's Principle obtained in his reoent researc::h.

iv

1NDICE

~....................................................... i

m:stJID. • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ii

ABSTRA.CT. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • iii

I - mTIDIXJÇAO • • • • • • • • • • • • • • • • • • , • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • , • • • • • • • • • • • 1

II - LmI'IES SUPERIORES PARA ENERGIA EIÃ.5TICA. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 15

III - SÔBRE A DISI'RIBUIÇÃO DA ENERGIA EIÃ.5TICA EM CILINDl.nl. • • • • • • • • • 28

N - ~Ic:E: ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• , ••••• , 44

BIBI.,I(X;RA.F'IA. ••••••••••••••••••••••••••• , ••••••••• , •••••••••••••••• , • • 4 7

1

I - INTRODUÇÃO

Assim caro em outros rarros da matemática aplicada, os pro­

blemas diretos da teoria da elasticidade, possuem solução trivial. Por

exenplo, dado l.llil corpo B sôbre o qual é definido l.llil campo de deslocanen­

tos, é fâcil obter-se o canpo de defomações, tensões e qualquer outra in

formação Útil que se deseje, pois o cálculo é feito no sentido da deriva­

ção. Infelizrrente, os problemas de interêsse prâtico são exatamante os

problemas inversos, sendo sua solução ,I11LIÍ to mais elaborada jâ que d~

dem da integração de sistemas de equações diferenciais parciais can coIJà!.

ções de contêma não horrogêneas. Tem-se uma idéia da dificuldade déstes

problemas pelo número reduzido de soluções exatas conhecidas até hoje. Na

verdade, poucas são as soluções exatas obteníveis de qualquer forma, mes

!!O linearizando a teoria.

Devido ao interêsse teõrioo de l.llil lado e certamante devido

ao interêsse em fornecer soluções para o uso em engenharia, o século XIX

viugrandes matemáticos pesquisando as soluções de problemas em elastici­

dade, principalemente apÔs o estabelecimento definitivo das equações de

canpo da teoria linear.

Por teoria linear entende-se a teoria em que são feitas as

seguintes hipÓteses:

(i)

(ii)

onde E

u

E = .!. (li'U + rlu) - 2 - -

s = e [; J

ê o tensor de defonnação

é o vetor de deslocarrento

S=ST é o tensor de tensão

e é o tensor de elasticidades

i (u -E e )

2

A hipÕtese (i) pode ser chamada de hipÕtese da linearidade

geonÉtrica e é apróximadarrente satisfeita, quando os deslocarrentos são P!=.

quenos conparados com as dinensÕes do corpo.

A hipÕtese (ii) é também conhecida caro a hipÕtese da 1~

ridade do material,e sua legitimidade depende de IlUl!Erosos fatôres, inclu­

sive do histórico das deformaçéies.

Assim, feitas as hipÕteses da linearidade, as equaçéies de

canpo da elastostática são as seguintes:

E = .!. (<Ju + rlu) (1) - 2 - -

s =e[;] (2)

div s + b = o (3)

3

onde 1? é o campo de fôrças distribuidas por unidade de volurre. A equação

(3), é a equação do equilíbrio estático.

Pelo teorema de cauchy, sabe-se ainda, que para todo ponto o

~ < B (*) e superfície s contendo ~ , !:; = ~ em::: onde !:! é a nomal unitá-

ria a §1 em::: e!:; é o vetor tensão. O resultado se estende por continuida­

de a 3B; nesse caso !:! é a nomal exterior e !:; é dlamado de vetor tração

-e é representativo das fôrças que atuam SÕbre aB.

Assim sendo, sao os seguintes os 3 problemas básicos da e~

tostática:

o

a) Adiar s em B dado u em aB - -b) Achar § em B dado ~ em 3B

c) Achar § em B dado ~ em ôB1 e ~ em aB2 onde ôB1 e ôB2 são oarple­

rrentares.

(*) B = B - 3B; é o interior do conjunto.

O prineiro é chamado de problema do deslocarrento ,o segundo

de problema das traçôes e o Últino é conhecido 00110 o problema misto.

4

Um dos problemas do tipo b que tem atraido os estudiosos ~

vido a sua grande importância técnica, é o problema da torção e da flexão

de vigas.

Corro é sabido, Barré de Saint VenQllt [1893] foi o prineiro

a obter soluções exatas para êstes problemas (aquelas baseadas na teoria Q

de Bernoulli-Euler, apesar de nuito populares, não são exatas). St.VenQnt

utilizou-se do nétodo conhecido caro o nétodo semi-inverso, de acroclo can

o qual parte da solução é assumida sendo o restante obtido corro solução de

um problema de valor de contê=.

Em têrnos teóricos, o problema de St. VenQnt resume-se no

seguinte:

Dado um cilindro B de bases aB1 e aB2 e superfície lateral

aB3

, achar s sabendo:

a) SÔbre aB1 age o campo de trações ~l

b) sâbre aB2 age o canpo de trações ~2

c) aB3 está livre

d) Não hâ fôrças de volume CI; = o)

e) O cilindro está em equilÍbrio estáti=.

X

d8 '---~~~~~~~~~~~~~~_.J ,

5

y

Devido à extrema dificuldade (talvez até inp:)ssibilidade)

de resolver o problema anallticarrente, St. Venctnt introduziu as seguintes

hipÓteses:

s = s = s = o yy zz ey

Sob tais hipÓteses, tomava-se inp:>ss{vel satisfazer as

condiçÕes de contômo de ·~1 em aa1 e ~ em aa2• Para contornar esta di­

ficuldade, St. VenQl'lt "relaxou" as condiçÕes de contômo de m:xlo que, ao

invés de prescrever ~l em aa1 e ~2 em aa2 seriam fornecidos apenas, a

fôrça e o rrorrento resultantes em aa1 ( a fôrça e o rrorrento resultantes

em aB2 são sirrétricos por quentôes de equilllirio). Tal simplificação per"'

mitiu a solução do problema.

Nota-se que o problema "relaxado" não é um problema do ti­

po b, pois ao invés de ser dado o carrpo ~l e ~ são apenas dados CDS resul­

tantes dêstes campos:

Para que se possa resolver o problema de St. VenW1t usando

a solução do, problema "relaxado", St. VenW1t faz em seu trabalho [1893] ,

6

a seguinte observação:

"C'ut que le mode d'a.pptiea-üon et de 1tépCVLti.:üon du óoJt­

C!eó veJr.6 lu ex.tltêm.uú du pwmu ut btcü66é.Jtent a.ux e66eu 1,eru,iblu

pltoc/u.ü:l. <IM le 1tute de leM longueJt, en <10Jtte qu'on pwt toujo(L}t<I, d'

une ma.riiêlte <1u6ói<lamment a.ppltoehée, ltWlpla.eeJt lu óoltC!U q(L.{. <1ont a.ppti­

quéu, polt du 6oltC!u 1,.tà:Uquél.,iq(L.{.va.lentu, ou a.ya.nt mému momenu to­

ta.ux et mému 1tuulta.ntu a.vee une 1tépa.1Lü:tlon jMtement te.e.te que l' eú

gent lu óoJtmtL.tu d' exten<1ion, de 6leúon, de toMion, poM ét.Jte pa.Jtóa.i­

tement ex.a.tu. "

Em poucas palavras, St. Veru:mt afirma nesta observação, que

a solução do problena de contôrno é pràticarnente idêntica à solução do p~

blena relaxado a manos dos pontos prôxirros das bases carregadas. Em seu

trabàlho, St. Veru:mt faz também, referência a dus experiências de labora­

tôrio que pareoem confirmar o conteÚdo da nota acilla.

Esta nota que é conhecida na literatura COitD o Princípio de

St. VenCJ111t para cilindros, póde ser refonnulada, tendo em vista, a valida­

de do princípio da superposição, (ver cap.III).

Assim, seja:

~ - canpo de trações que age SÔbre aB1 •

!i - campo de traçães SÔbre aB1 teõricamante exigido pela solução do

problena relaxado.

então existe Ê1., canpo de tensões sÔbre aB1 , tal que

t = t' + t" -1 -1 -1

7

Cano ~l e Êi são necessãriamente equipol~tes, a fôrça re­

. sultante e o memento resultante de Ê1. são nulos.

Seja ainda,

~ ( ti} - canpo de tensões devido a Êi

S(t") - ""mnn de tensões devido a t" - l ~-~ ~

Pelo princípio da superposição,

S(t) = S(t') + S(t") - -1 - -1 - -1

Pelo princípio de St. Ven<mt

~(Ê1) - ~<~il para pontos suficienterrente afastados da

base

logo ~(~1) - O nos pontos acima considerados.

Em palavras, o princípio de St. Ven<mt para cilindros, po­

de ser reenunciado da seguinte fonna:

"Vado um úV.ndlw, caJtM.gado wúcammte 4Ôbtt.e uma de liua.6

bMU, polt um campo de .tlutçôu a.Jtb-ÜJÚVúo, de óÔJtçci 1tuu.Umt:te e mommto

1tuu.Umt-te nui.oli, M componentu de .teltlião lieltâo pltâü.cammte nui.M em

.todo o c.,i,li.ndJw, com exceção do4 pontM p1tÔx.imoli dei bMe cMJtegcidci."

8

o enunciado tradicional do principio de St. Venont é devi­

do a Boussinesq 1885, que generalizou o principio para qualquer georretria.

De aCÔrdo can Boussinesq "Um 4.W.temci de óÔJtç.M ex.teMM equ.iUbltado, cip~

Celdo ci um coJtpo e.lá.6:üco .tal que .todoli 06 ponto!> de cip.UC,(lÇão u.tejam con­

óhtado4 M ,i,n.tew1t de = delda UóeM, pMduz deóo1tm(IÇ.ÕU dup1tu.Zvw em

pon.toli cióM.teldoli dei UóeM polt d.w.tênc..i.a.6 liuó-i.úentemmte gJtMdu, compa/tCl­

dM c.om o Jta-i.o." Êste enunciado ganhou popularidade já que foi endossado

por wve [1944] , em seu fanoso tratado.

Em seu trabalho SÔbre o principio de St. Venaint V. Mi.ses

[1945] levanta urna série de objeções ao enunciado tradicional de Boussinesq.

V. Mi.ses canenta que o enunciado tradicional, carece de claresa e qualifi­

caçao.

Por exenplo, é feita uma objeção à necessidade do sistema

ser equilibrado, pois mn sistema não equilibrado, é ainda canpativel se o

domÚri.o for ilimitado •• Outra objeção, é que de acôrdo can a teoria linear,

as defonnaçÕes nmn ponto qualquer, podem ser feitas arbitràriamente gran­

des ou pequenas, confoI!lle a carga agente seja feita arbitràriamente grande

ou pequena, respectivamente. Finalrrente, apresentanos à guisa de ilustração,

um contra-exenplo que nostra claramente, as falhas do enunciado tradicional.

Seja o corpo indicado na fig.cxim o respectivo carregamento também indicado.

9

,, ~ /

• A --+- r,, . F \ ~

' --

I • b · I

Cone se vê, o corpo está subrretido a um carregarrento equili­

brado, confinado a uma esfera de raio e;.

De aoôrdo cx:m o enunciado tradicional, seria de se esperar

que a defo:r:mação (ou tensão) em A fÔsse despresível para b suficientemente

grande, o que é Õbviarrente errado.

Tonando por base as objeçôes levantadas por V. Mises, s~

berg [1954] , propÔe um princípio de St. VeM!lt rrodificado e derronstra-o

com sucesso. Apesar de ser fora dos objetivos do presente trabalho, uma p~

funda análise do teorema de Sternberg, julganos ser oportuno enunciá-lo na

íntegra e fazer um breve correntário.

Teorema de Sternberg -

Dado um corpo elástico B de superfície aB, sendo a superfí­

cie uma região regular, onde B é ou não limitado e de conexidade arbitrária.

Nestas =dições, sejam ~ (k = l, 2, ..• rn) m pontos regulares distintos

10

SÔbre aB. Seja ainda S (k), o<p~ , uma familia de regiões de carregamento p - o

que se contraem para zk· oom p .. o. Finalrrente, seja sk=(uk ,~ ,Sk) uma faínÍ - p -p -p -p -

lia de estados elásticos correspondentes ao carregamento em S P (k) • Então ,

dado y-€ B.

b) ~P(yl = O(p3); ~P(yl = O(p3); êp(yl = O(p3) se para cada k=l,2, ••• m

a fôrça resultante é nula.

c) ~P(yl = O(p4); ~P(y) = O(p

4); êp(yl = O(p

4) no caso do equilÍbrio

ser astático (*) em cada k

O resultado anterior só é válido para o caso do carregamen­

to ser distribuido. No caso de existirem cargas concentradas, o teorema IID­

difica-se para:

a) u (v) = 0(1); E (y) = 0(1); S (y) = 0(1) no caso geral -p ... -p - -p -

b) u (v) = O(p); E (v) = O(p); S (v) = O (p) se para cada k a fôrça -p ,. -p ,. -p ...

resultante é nula.

c) u (v) = O(p2); E (v) = O(p2); S (v) = O(p2) no caso de haver equi--p ,. -p ,. -p ,.

lÍbrio astático em cada k•

(*) O equilÍbrio astátioo equivale a 12 equações escalares, a saber:

J t.do = O; J t.x.dcr = o i = 1,2,3 j = 1,2,3 p 1 p 1 J

11

Em seu trabalho, Stemberg fez iniciallrente, as deduçÕes P.!!

ra a dilatação t, (Eii) usando o método de Betti. As extensões para 11: e ~ são

feitas oonsiderando a fÕilllUla de representação devida a Lauricella, e a ex­

tensão para ~ é possível' excluindo-se um deslocanento rígido, de arordo

com a fÕD!tUla de representação do canpo de deslocanentos de Sanigliana.

Um dos resultados mais significativos a que Stemberg chegou,

foi derronstrar que, ao CXl!ltrário do que se pensava anteriomente, a ordem

de grandesa de 11: <il nos casos em que tôdas as m sub-regiões têm fórçasre­

sultante e natento resultante nulos, não é obrigatõrianente menor de que

no caso em que isso não ooorre.

Os métodos abordados até agora em nosso trabalho, OCl!I relação

ao princípio de st. Venant, podem ser oonsiderados = métodos diretos no

sentido de que êles estudam diretanente o cx:nportanento dos deslocanentos

ou tensões a partir das equações fundamentais da elasticidade.

Um método alternativo de se estudar os prd:>lemas da elasti­

cidade em geral, e no caso particular o princípio de St.Venant é via equa­

ções de energia de defonnação. O estudo de um problema, quando possível ,

através da energia elástica de defo:cnação, apresenta duas grandes vantagens.

A prineira é que a função densidade de energia é escalar. A segunda, é que

esta função é sàbidarrente nao negativa. Por outro lado, a aproxunação por

ireios puranente energéticos peca por uma certa perda de info:cnação. Por

exenplo, dado o tensor tensão num dado ponto, é trivial obter a densidade

de energia neste ponto. O inverso,= se sabe, não é verdade. Mesllo as­

sim, sabendo-se a densidade da energia, conhece-se certas informações sô-

12

bre o tensor tensão, caro por eJ<eI!Plo, um limite superior para qualquer cx:m­

ponente do tensor tensão (está implícito que tôclas as cxmstantes do material

são conhecidas) •

Considerações caro estas, levaram um certo grupo de engenhe.!_

ros e elasticistas a estudas o princípio de st. Venant sob o prisma de tra­

balho-energia elástica.

Un dos prirreiros trabalhos que teve repercussão cxmsiderável,

foi de Zanaboni [1937]. Em poucas linhas, é o seguinte o resultado a que

Zanaboni chegou:

Dado um corpo el.ástio:> qualquer, sem fôrças de volurre, e ~

regado iinicanente por um campo de trações de fôrça resultante e rrarento re­

sultante nulos, que está o:>nfinado a l.lllla esfera de raio E. Considerellos en­

tão, duas superfícies s1 e s2 que não se o:>rtam, tal que s1 , está mais pró­

xima da esfera que s2 , caro 110stra a fig.

/ !, /; - \ - }

3 5 \ I ' ' / - ~

Assim, o corpo fica dividido em 3 regiões. Devido ao carre­

ganento ~, age SÔbre s 1 um campo de trações ~l e sôbre s 2 o canpo !;2 • Pro­

va-se ocm facilidade, que !;1 e !:i são obrigatôriamente quto-equilibrados.

Consiaeretros agora, os dois casos seguintes:

13

a)

3

º1 = ºt (1) + ºt (2+3) -1 -1

onde, Ut (1) é a energia elástica ai:mazenada em (1) devido a :!:i• ünica­-1

rrente.

ut (2+3) é a energia elástica aniazenada em (2+3) devido a :!:1' im!_ -1

Célllellte.

b)

3 .2.

u2 = U~ (1+2) + u:!:2

(3) onde a sinoologia é a nesma que no

caso (a).

Então, Zanaboni derronstra que u1 ~ u2 • Baseado nesta desigua!

dade, Zanaboni conclui que a intensidade nédia de :!;2 é rrenor que :!:i • fican­

do assim denonstrado o decairrento das tensões.

Corquanto a denonstração da desigualdade de energia é feita

a:m precisão, as conclusões finais SÔbre as intensidades de :!:i e ~ são va­

gas e não podem ser consideradas leg! timas,

14

Apesar das conclusões finais de Zanaboni serem duvidosas, o

seu trabalho teve o grande rrérito de abrir caminho para os estudos do prin

cipio sob o ponto de vista de energia elástica de defonnação.

No práxirro capitulo, serão abordados os trabalhos de Toupin

e Knowles que sem dÚVida, representam valiosissimas contribuições para

o estudo do principio de St. Venant sob o ponto de vista da energia.

15

II - LIMITES SUPERIORES PARA ENEffiIA EUÍSTICA

1. Teorema de Toupin (1965,2]

No que se segue, C designa um cilindro reto de seção trans­

versal oonstante ~ , base ac e eixo e. Notanos por s a distância (ao longo o -

do suporte de !:;l de urna seção transversal ~s à base ac0 e seja ac1:::ac-c0

e c50

a parte de e definida por s ~ s0

; é claro que se s0

= O tem-se C50

: e

Teorema (Toupin) :

!iT :t

(.ü) :t

Seja. :t ac -+- VI um c.ampo de. :te,u,11u :tal que

Ent:ão a. eneJLg-<.a. e1.ÓA:t-<.c.a. de de6Mma.ç.ão

u (f; s) cvuna.zena.da. em e 5

.1a..tú, 6a.z a.:

U(:t; s) < [ s-l ] U (f; o) exp - s"JU

onde

16

A seguinte narenclatura é usada:

p é a massa específica

é a rrenor frequência de vibração livre de urra parte do cilin­

dro de cx:irrprinento l arl:>itrário.

µM é o mãxirro m5dulo de elasticidade

µm é o mínimo rródulo de elasticidade

DarellOs abaixo os principais passos da derronstração.

Vejanos tanbém, algo referente à notação.

E _l( + ) ij = 2 ui,j uj,i

w1. J. = 12 (u. . - u. . )

l.,J J ,1.

tensor de defonnação infinitesimal

tensor de rotação infinitesimal

função densidade de energia elástica

cijkl = cjikl = cij.OC = Sc.eij • • • simetria de e

, 11~11-K.E

17

Prova: Seja a gearetria da figura abaixo

~

-1t e -

r-e-·I· - s · I

A energia elástica annazenada em C5

é

E.C [~] dv

Pelo teorena do trabalho. - energia elástica

J u t dA

.65

Considererros agora, um vetor de deslocamento rrodificado sô-

onde a é um vetor oonstante

18

Nestas cxmsições ~' difere ele ~ por um cleslocamentD rígido,

logo

U(~;s) = ! 1 <Is

u • 1 t d.A= -- 2

u~. t d.A

Aplicando as desigualdades ele Schwartz e a gearétrica-arit-

rnética, tenos

~s 11~'11 2

cJ.A}

onde a -E R>o • Pode-se rrostrar que existe W tal que em tDdo pontD ~ ~ <Is'

11~11 2.::. 2 µ* w

Assim,

U(t_;s) < 1 { 2aµ* -4 w d.A+ 1

CL

Integrando U(~;s) entre os limites s e s + l onde l é arbi­

trário e positivo,

J s+l

1 U(~;s)ds .::_ 4 {2aµ*

s J Wdv+~ C CL s,l

J ll~'ll 2dv}

e s,l

19

Pelo princípio de Rayleigh

desde que !:! ' seja ortogonal ao subespaço dos deslocarrentos rígidos. w0

(l)

é a frequência fundarrental de vibração livre de um cilindro de cx:irrprillento

l e base"· Esta ortogonalidade :i.rrplica em

J !:!'dv = o cs,l

e J ~ X !:!'dv = 0 e s,l

Por outro laro, prova-se que serrpre é possível escolher ~

tantes e e ~ tal que !:! ' satisfaça as condições de ortogonalidade aciilla. A

desigualdade de Rayleigh pode então ser licitarrente usada, tendo-se

1 ds < --2 [

* + 1 aµ apw2 (l)

o

20

dividindo ambos os nernbros por .e , e chamando

mas

logo

onde

1 T J

s+.e U(~;s) ds = Q(s,.e)

s

Q(s,l) < ! =2 [ exµ* + ~ J i J W d V

cxpw (l) e .e o s,

i f Wdv = Í [ U(~;s) - U(~;s+l)] = - ~ Q (s,l) e

s ,.e

d se (l,cx) ds Q(s,l) + Q(s,l) < O

- 1 se (l,cx) = 2 [ aµ* + ~ ] apw

0 (l)

Resolvendo esta inequação diferencial entre os limites s1 e

21

caro u é uma função não crescente em relação a s, tem-se que,

U(!:,s+l) < Q (s,l) < U(!:;s)

Substituindo,

U(!:;s2+l)

U(!:;s1)

Fazendo s1 = O e s2 = s - !, tem-se

U(!:;s)

U (!:;o) ]

Para otimizar a esti1!1ativa, note-se que devenos minillli.sar

sc(l,al. Assim, em relação ao parânetro a, sc(l,a) tem um mínirro quando

l Ct =---~--

[ µ*p w~ (l) ] 11

2

Tomando para a éste valor, tem-se

22

ApÓs obter êste resultado, Toupin faz uma estimativa para a

defonnação. Toupin rrostra que a nonna da defonnação no centro de uma esfe­

ra é limitada superiorrrente de acôrdo c:an,

onde

u <K­- V

K é uma oonstante do material

Ué a energia elástica annazenada na esfera

V é o volurre da esfera

Não repetirerros aqui a daronstração dêste resultado, entre~

to, é illportante observar caro Toupin usou êste resultado em face do resul­

tado anterior.

o objetivo é obter um 1iroí te superior para a nonna da defor­

nação em qualquer ponto interior do cilindro.

Então, dado um cilindro subnetido às condições já íníci~

te definidos e um ponto P qualquer em seu interior, oonstroi-se a esfera de

maior raio centrada em P, OClllpletarrente contida no cilindro.

Seja d êsse raio e xp a abcissa do centro da esfera.

Pela estimativa da energia,

23

~ [ -

Porém, a energia elástica contida na esfera é oertarrente ne­

nor que U(t;x -o.). Assim, podenos usar a desigualdade da nonna da defonna­- p

ção, obtendo finalmente

2. Carrentário SÔbre o resultado de Toupin:

Observando a desigualdade

notairos que, quanto mais próx:ino da superfície lateral estiver o ponto P,

=or será o volurre da esfera inteiranente contida no cilindro. Por causa

disso, o limite superior perde o seu significado para pontos muito próximos

da superfície lateral e falha totalmente SÔbre esta.

Roseman ( 1966, 2 J d:>teve, em um trabalho bastante elaborado,

um limite superior para a tensão, que é válido em qualquer ponto do cilindro

inclusive SÔbre a superfície lateral. Soo a restrição de ser o cilindro ~

tituido de um material isotrópico e do contôrno da seção transversal satisfi

zer certas condições de regularidade, Roseman obteve o seguinte resultado:

24

lls(P)ij2

< ~J [u(t;x-a)-U(~;x+al] - X \! a

onde S(P ) é o tensor tensão no ponto P de abcissa x, K é uma constante fí­- X

sica do oorpo v e a são constantes positivas que dependem da geanetria da se

ção transversal.

Corrbinando êste trabalho cx:xn o resultado do teorema de Toupin,

obter-se-á um limite superior para a tensão.

Surge no entanto, um grande problema. Sabaros que,

U(t;x-a) < U(~;o) [ _ (x-a-l) ] ~ sc(l)

U(~;x+a) < U(~;o) ~ [- (x+a-i) ] sc(l)

mas é inpossível obter uma estimativa para a diferença U(~;x-a) - U(~;x+a),

sabendo-se apenas que a rresma é positiva. Ainda, dado x1 < Xi então,

U(~;x1-a) - U(~;~+a) ~ U(~;Xi-a) - U(~;x2+a) não pode ser garantido a par­

tir do teorema de Toupin.

O resultado de Roseman ccm:iinado CXlill o teorema de Toupin,

oferecem uma clenonstração fonnal do Princípio de St. Venant (segundo seu em.J!!

ciado) para cilindros semi-infinitos. No caso de um cilindro semi-infinito,

é possível escolher x tal que U(~;x-a) ~ El e U(~;x+a) ~ E2 onde El e E2 ,

são tão pequenos quanto se queira.

Assim, U():;x-a) - U():;x+a) ~ e: 3 onde e:3 > O e é tão pequeno

quanto se queira. Então,

adicionais:

lls(P)ii 2<e:

- X -

No entanto, para cilindros finitos nada pode ser garantido.

o teorena de Toupin para a energia, rrereoe dois cxinentários

a) - ll: errôneo cxmcluir a partir da fónnul.a

25

que a energia elástica de deformação apresenta um decailrento expo­

nencial. A fórmula garante a existéncia de um limite superior de

naturesa exponencial. Entretanto, nada pode ser afil:mado sâbre o

CXlqlOrta!lento da energia elástica em si.

b) -outro oarentário, êste de ordem prática, é sâbre a dificuldade do

cálculo de sc(l). caro já foi visto, sc(l) depende essencialmen­

te do cálculo do w0

(l) , e o cálculo de w0

(l) é um prablena de va­

lor-proprio extremamente C01Iplexo (cre11os que da mesma ordem de

CO!!plexidade que apropria resolução do problema de oontôxno).

Sabeiros que,

--y µ* sc(l) - ---;,,2-pw {.e)

o

26

Assim, se for possível obter um limite inferior para w0

(.l)

em função do material e da gearetria da seção, podererros reescrever o teo­

rema de Toupin em função de urra cxmstante universal e de alguns dados geo­

nétriccs. tste é um problema que ainda está em aberto.

No caso da teoria bidinensional, Knowles [ 1966 ,1 J , dlegou

independentetrente a um resultado análogo ao de Toupin. O resultado de ,v

Knowles, tonando por base a figura abaixo, é o seguinte:

e

e,

Seja c1 carregado por um canp, de tensões auto--equilibrado

e c-c1 livre de tensões. Então,

onde,

é urra cxmstante universal e b é a largura máxima (vide figura).

27

Assim, para o caso bidimensional, Knowles pode obter urna

constante universal para o decainento. Isto deoorre do fato de que o pro­

blema de valor próprio associado à sua dem:mstração é unidimensional, sen

do assim, de fácil solução (cf.(3.14) de [1966,lJ l.

28

III - SÔBRE A DISTRIBUIÇÃO DA ENER;IA EÚSTICA EM CILINDROS

1. Preliminares:

O resultado de Toupin, quando corretamente inte:cpretado,

fornece uma justificativa para a hipÓtese de St. Venant para cilindros s~

mi-infinitos.

No presente capítulo, tencionanos obter um resultado nais

restritivo quanto à distribuição da energia elástica.

Dado um cilindro reto em equilÍbrio, submetido à trações

sôbre uma de suas bases, considerando nulas as fôrças de volurre, querenos

provar que a energia elástica anrazenada entre as abcissas x e x+l é naior

que a anrazenada entre x+l e x+2l sendo x=O a abcissa da base carregada.

Para tanto, denonstrarerros alguns teoremas intemediários

para finall!ente, provamos o resultado desejado.

A partir de agora, e salvo observações em contrário, as

fôrças de volurre serão nulas e e é simétrico, i.e.

Dizaros que [ ~, ~, ~ ] é um ei,:ta.da e.!Mti.c.a, se

29

1 T E= - (Vu + Vu ) - 2 - -

div S = O

Dizenos ainda que é válido o ptúncl.p.lo da. -0 upM.po-0.lç.ã.o no

sentido de que se ( ~, ~, ~] e ( ~' , ~' , ~ '] são dois estados elásticos COE_

respondentes a trações ! e ~' SÔbre a superfície, então, se a e fl e: R ,

a [ ~, ~, ~] + fl ( ~' , ~' , ~']é o estado elástico correspondente ao sistema

de trações ª! + fl!:' •

DefinilTos agora,

Cano a energia elástica de defoil!laÇão annazenada em B devi-

do ao carrpo ~.

Nestas condições, sabe-se que, [ 1969, 1] •

u [~ + ~·] = u [~] + J ~- ~r~·]ctv 't- ur~·] B -

e mais,

U [~] ~ O , U [~] = O+-> E =Ü

Escreverros,

J ~- ~fa·] dv = u [ ~. ~·] B -

30

2. Prirreiro Teorema da Energia Elástica:

Seja um =rpo elástioo B de fronteira ílB e seja ílB decanpo§_

ta em três sub-regiões ~!ementares ílB = ílB1 + ôB2 + ôB3

Considerenos um canpo de trações ~l aplicado ünicarnente em

ôB1

, tal que o oorpo esteja em equilÍbrio, Assim, fica associado a ~l'

um estado elásti= [ ~l' JEi, êi] cem energia elástica U [ JEi] .

Considerenos agora, exatarrente o rresrro prdllema, cem a =n

dição adicional de que ílB2 está engastado, ou seja, ~(ílB2) =O.Devido a

esta restrição em ôB2 , ·fomia-se um canpo reativo de trações SÔbre ôB2 que

chamarenos ~2 cem o estado elásti= =rrespondente [ ~2 , ~2 , ~2 ] e a ener

gia elástica u[~2] •

Teorema -

a) ~2 é um canpo auto-e::ruilibrado

Prova:

(1)

Mas, o oorpo está em equilíbrio, logo:

~B l

t dA = o -2

Substituindo (1) em (2) e (3) teres

J t dA=J aB -

2 aB

2 2

(~ X !i) = 0

(2)

b) Pelo princípio da superposição, sabenos que,

(3)

Pelo printj'.pio do trabalho - energia elástica,

31

Denonstra-se ainda, (v.apêndice l) que, devido à restrição

a aB2 (~1 + ~ = O em aB2) u(;1 + ; 2 ) é mínirro em relação a qual.quer ,va­

riação de !=2 •

Seja, então, uma variação

32

E -€. R

Mas , pela condição de ll1Ínillo, tiu > o 1/ E t- o

logo,

Substituindo em ( 4)

33

3. Segundo Teorena da Energia Elástica

Considererros um cilindro reto que está em equil.Íbrio, com

uma de 51.laS bases carregadas e a outra base, bem caro a superfície lateral,

livres. . fl/;;1.--1

X

Teorena -

A energia el.ástica.anrazenada entre O e .f./2 é maior do que

a energia elástica armazenada entre .f./2 e .f..

Prova -

Considererros o cilindro dividido em duas partes iguais.

c1e c2 i,

c.i IAI e, 1~t

Quer se I10strar que

34

Sabe-se que

U [E + El] = U [E]+ U (EJ + U (E, El] cl - - cl - cl - cl - -

Considereros agora !:i multiplicado por um fator amitrá-

rio k.

Então,

U [E+E11 ]=u [E]+k

2U (E1 )+kU (E,E1 ]

cl - - cl - cl - cl - -

k -( R

Seja k = 2 em particular. Então,

(1)

Agora, ccnsiderando os resultados de Zanaboni (1937] sabe-

se que

2U (E1 ] + 2U (E1 ] + U [E, El] = O (2) cl - c2 - cl - -

ou

Substituindo em (1) , teiros

podenos escrever (3) na forma

ou

Mas, de aoôrdo com (2)

Então, finalment.e

35

Denonstrarenos agora, êst.e nesrro t.eorerna de una forma al­

ternativa. A razão disto é que, para alcançamos o resultado final, usare

nos a ITE!Sll'a técnica que será usada nesta segunda derronstração.

Considerenos cx.uo no caso anterior, o cilindro dividido em

duas rretades iguais.

sâbre c2 , age o canpo :!:1 •

Considerenos agora, hlpoteticarrent.e, que sâbre c1 age -:!:;1 •

~--e-~--~!, -~l-l __ c_·_~

Carro as netades são iguais, tenos respectivammte em c1 e

c2

, os estados elásticos

Nestas =dições, as energias elásticas em c1 e c2 , serao

e

36

Carro os deslocarrentos na junção são iguais, os dois cilin­

dros podem ser justapostos, não havendo descontinuidade gearétrica.

O prob~ema só não fica resolvido, pois não há equilÍbrio

na junção (desoontinuidade de tensões),

Querenos restabelecer o equilÍbrio sem alteramos os deslo­

carrentos na faoe limite.

Para tanto, =siderenos a netade c1 e fixerco-la rigidanen-

37

te depois da aplicação de -:!:1 •

-!,-j~ __ c._, __

Apliquerros agora, na faoe livre, um carregarrento :!: tal que

-:!,1 se transfome em :!:1 , ou seja,:!: é tal que, agindo independenterrente,

provoca uma reação 2:!:1 sâbre o cilindro no engaste.

Cono ao aplicanros :!: o único carrpo de trações que realiza

trabalho e o próprio carrpo :!:, então o trabalho líquido será positivo e

a energia elástica em c1 será rraior após a aplicação de :!: do que antes.

logo

38

4. Terceiro Teorema da Energia Elástica

cipal.

Neste ponto, estanos aptos a fonnular nosso resultado prin

Teorema -

Dado um cilindro reto tal que:

(i) - são válidas tôdas as restrições da elasticidade linear.

(ii) - As fôrças de volume são nulas.

(ili) - O cilindro está em equil.Íbrio estáti=.

(iv) - O cilindro está carregado sàrrente soõre uma de suas bases,

sendo a outra base e a superfície lateral, livres.

(v) - As trações em cada reta paralela à geratriz, == a

mesrra direção.

39

Então,

U(x + li) - U(x) > U(x + 26) - U(x +li)

Prova -

Considererros o cilindro dado a partir de sua base livre.

Considerem::>s duas seções do cilindro de oonpriilento t:,. caro I!Ostra a figura.

e,

De aoôrdo cano segundo teorema, tem-se

Considerenos agora, a seção irrediatarrente anterior, que

será chamada de c3

•

40

1

U (e,) = V(c..,.)

então, os deslocarrentos na junção c2c3 serão os rresrros e o cilindro c3 po­

de ser justaposto sem quebra de continuidade geCJl!Étrica. Caro no segundo

teorena, o problema não está resolvido por causa da descontinuidade das

traçces. Assim, fixeiros rlgidarrente a face c2c3 do cilindro c3•

Procuranos então, um Carrq:x:> de trações !;3 tal que aplicado

na base oposta à base fixada faça = que surja um carrq:io 2!;2 em c2c3

devido à restrição de deslocarrento.

41

Chegarros agora ao ponto crítico. Deverros derronstrar que, o

trabalho feito por :!:3 - :!:i sôbre o cilindro, é maior que o trabalho feito

por -:!:i· Urna vez denonstrado isto, fica garantido que, ao aplicamos :!:3

estam:>s realizando um trabalho liquido positivo, logo

ou

Analisando :!:3 , nota-se que :!:3 é tal que aplicado, produza

= reação de engaste 2:!:2 •

logo, pelo prirreiro teorema

u Ct3l > u C2t2l C3 - C3 -

Uc (t3) > 4U Ct2) 3 C3 -

Da rresma fonna

u Ct2l > 4Uc <:!:il C2 - 2

=

caro !:i e !3 têm a rreSira direção, para que a desigualdade

seja satisfeita

então

Consequentemente, o trabalho realizado por !:3 - !i é

maior que o realizado por -!:1 e o teorema fica provado.

Aplicando o rreSl!O procedimento para as seções à direita,

tem-se

Cl:>servação:

42

Nota-se que a hipótese (v) do teorema, limita

bastante a sua generalidade. Não nos foi possível del!Onstranros a relação

U(c3) > U(c2) sem a introdução desta hipótese. Conjecturarros, no entanto,

ser tal hipótese desnecessária, o que viria a generalisar anplamente o

teorema proposto.

5. Corolário do Tercei to Teoretra

Seja

cj,(E) l E = 2 -

a f=ção densidade ae energia elástica ae defonnação. Defininos a fl.lllção

~(x)=J <l>dA A

= a energia elástica por =idade de c:arprirrento. A integração é feita

SÔbre a área da seção transversal de abcissa x.

eorolário -

Ü(x) > U(x') se X 1 > X

Prova -

De fato, pelo teoreira anterior

J x+ll 1 x'+ll Ü(x) dx > Ü(x) dx

X x' se x' > x

e.aro esta relação é válida para qualquer ll > O, façanos

b. ->- O, então, no limite

Ü(x) > Ü(x')

43

44

IV - APfNDICE

1. Corolário do Teorema da Reciprocidade de Betti

Seja um corpo B can fronteira ;j3. Considerenos esta frontei

ra dividida em duas regiões =rplerrentares.

Sejam dois estados elásticos [~, JE, ~] e [~·, JE', ~·]

correspondentes respectivamente ao sistema externo ~ e ! ' . (as fôrças

de volurre são nulas por hipótese)

Corolário -

Sejam por hipótese

(i) ~ = ~sÔbre 3B1

(ii) t = t' sÔbre 3B2

45

então,

Prova -

Pelo princípio da superposição, [ ~ • -~, ~ ' - ~, ~ ' - ~] e um

estado elástico correspondente ao sistema t' - t

Então,

u[~·- ~] = u[~·] + u[~] -J B

E'.CEdv - - (1)

Pelo teorena de Betti

~ ~'. ~ ~ dv = ~B t' u dA (2)

Substituindo (2) em (1)

u[~·- ~] = u[~·] + u[~] -J t'. u dA (3) aB

Calculenos

1 t! u dA 3B

(4)

46

Substituindo (4) em (3)

u[;• - ;] = u[;•] - u[;]

oaro

u[;•] - u[;] ~ o ~ u[;•] ~ u(;]

A igualdade só é válida para ; ' = E

47

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