P6.sz. #1.
Kta Bla. 2007.01.22./14:20:10
Kezds:
2004. jlius 2. 22:26
Ha pedig egyszerre tbb mestersg feltallsrl van sz, amelyek kzl
nmelyek az letszksgletekre, msok pedig a szemlld let rmeire
vonatkoznak, az utbbiak fltallit mindig blcsebbnek tartjuk az
elbbieknl, m e r t a z tudomnyuk nem a haszonra irnyul.
ARISZTOTELSZ.A tizedesjel vessz . (,) A listaelvlaszt pontosvessz
(;) Az egyenletszerkesztt telepteni kell.
A PIRAMISOK TANULSGAMatematikai visszafoglal.
Kta Bla:
Figyelmeztets!! Az anyag Halmazelmlet mentes ! A matematikai
bizonytsok megrtshez ltalnos iskolai vgzettsg ajnlott, lehetleg
nappali tagozaton. Tanknyv: Matematika ltalnos iskola 8. osztly.
Alapszint. A kiegsztsben nhny levezets szintje meghaladja az ipari-
s mezgazdasgi technikumokban 1954-tl tantott matematikt. A
tizedesjel (,) a listaelvlaszt (;) Az egyenletszerkesztt telepteni
kell! 2004
P6.sz. #2.
Kta Bla. 2007.01.22./14:20:10
1. TARTALOM:1.
TARTALOM:....................................................................................................................2
1.1 brk:
...........................................................................................................................4
1.2 Bevezets
......................................................................................................................5
1.3 Esettanulmny az algebrai mdszerrl
.........................................................................6
MATEMATIKAI ALAPOK
.............................................................................................9
2.1 A szmols kialakulsa
.................................................................................................9
2.1.1 A szmnv
.............................................................................................................9
2.1.2 A szmols kezdetei
..............................................................................................9
2.2 A grg s egyiptomi matematika jellemzi
..............................................................10
2.3 ltalnosts s elvonatkoztats
.................................................................................12
2.4 Alapmveletek
............................................................................................................12
2.4.1 sszeads s kivons
..........................................................................................12
2.4.2 Szorzs
................................................................................................................12
2.4.3 Oszts
..................................................................................................................12
2.5 Az grg matematika fejezetei
.................................................................................13
2.5.1 A valdi
osztk....................................................................................................13
2.5.2 A matematikai arnyelmlet s a vltakozva
kivons.........................................14 2.5.3 Figurlis
szmok
.................................................................................................15
2.5.4 12. jszvetsgi
kitr........................................................................................16
GEOMETRIAI
BEMELEGTS....................................................................................17
3.1 A
szgek......................................................................................................................17
3.2 A hromszg szgeinek
sszege.................................................................................18
3.3 A hromszgek jellemzi.
..........................................................................................19
3.3.1 A hromszgek hasonlsga.
..............................................................................19
3.3.2 Az arnyossg rtelmezse hasonl derkszg
hromszgekkel......................19 3.4 A tglalap s a ngyzet.
..............................................................................................20
3.5 THALSZ ttele.
........................................................................................................21
A PITHAGORASZ TTEL
............................................................................................23
4.1 A PITHAGORASZ ttel terlet lefedses
bizonytsa...............................................23 4.2 A
PITHAGORASZ ttel, ahogy n tanultam 1954-ben.
............................................24 4.3 EUKLEIDSZ
bizonytsa a mrtani
kzprtkekkel..............................................26 4.4
eukleidsz: Elemek, i. 47. ttel.
..................................................................................27
4.5 Mdszertani
megjegyzsek.........................................................................................27
4.6 A PITHAGORASZ ttel, ahogy n bizonytanm
2004-ben......................................28 4.7 A kibvtett
thalsz
kr...............................................................................................29
A NGYZET
TLJA...................................................................................................31
5.1 Pros - Pratlan
bizonyts..........................................................................................31
5.2 Vltakozva
kivons.....................................................................................................32
5.2.1 Az oldal kivonsa az tlbl.
..............................................................................33
5.2.2 Az tl maradknak kivonsa az oldalbl.
........................................................34 5.3 A
ngyzet terletnek
megkettzse...........................................................................35
5.3.1 SZKRATSZ s a FI prbeszde
..................................................................36
5.3.2
TAN-ulsg...........................................................................................................38
5.3.3 Hogyan kettznm meg n a ngyzet
terlett....................................................38 5.4
Az
ARANYMETSZS...............................................................................................40
A
PIRAMIS.....................................................................................................................44
6.1 A problma felvetse
..................................................................................................44
6.1.1 Az egyiptomi tudomny
fejlettsge.....................................................................44
6.1.2 Geometriai alapfogalmak (Hajs Gyrgy nyomn)
............................................46
2.
3.
4.
5.
6.
P6.sz. #3.
Kta Bla. 2007.01.22./14:20:10
6.2 A KHEOPSZ ms nven a NAGY piramis
...........................................................48 6.2.1
A mretarnyok rtelezsre irnyul spekulcik s cfolatok.
.......................48 6.3 A KHEOPSZ Piramis mretei
....................................................................................50
6.3.1 Rszletezs
..........................................................................................................50
6.3.2 Tudomnyosan vizsglhat felttelezsek.
.........................................................52 6.3.3 A
REND--Raks..................................................................................................55
6.3.4 sszehasonlt rtkels
.....................................................................................56
6.4 A KHEOPSZ Piramis szmai
.....................................................................................64
6.4.1 Cfolatok
.............................................................................................................65
6.4.2 Azrt foglalkozunk a KHEOPSZ Piramis matematikjval, mert:
.....................66 7. A 3-4-5 SZMHRMAS S A
DERKSZG.............................................................69
7.1 A cfols
llektana......................................................................................................69
7.2 A feltalls s felismers
mvszete...........................................................................69
7.3 Az ellentmondsok ksrjenek
utunkon!.....................................................................70
7.3.1 A tudomnytrtneti vitakrds:
.........................................................................70
7.3.2 A cfolatok
..........................................................................................................70
7.3.3 A cfolatok rtkelse
.........................................................................................71
7.4 A 3-4-5 belttatsa
......................................................................................................73
7.4.1 Megvilgosods szemben egy csempzett fallal
.................................................73 7.4.2 A
sakktbla mdszer.
..........................................................................................74
7.5 Mit bizonyt a tbbi 22
piramis...................................................................................76
7.6
Tanulsgok:.................................................................................................................78
7.6.1 mirt
?..................................................................................................................78
8.
KIEGSZTS................................................................................................................80
8.1 A Gyk(2) kzeltse
trttel.......................................................................................80
8.1.1
Felismers............................................................................................................80
8.1.2 Egy gykkzeltsi
mdszer................................................................................80
8.1.3 A 2 hatvnyozsi algoritmusa
..........................................................................81
8.1.4 A 2 ngyzetreemelsi algoritmusa
.................................................................81
8.1.5 ltalnostott gykvonsi
algoritmus..................................................................81
8.1.6 NEWTON rint
mdszere.................................................................................82
8.2 A sakktblbl diophantosz
.......................................................................................83
9. TBLZATOK
..............................................................................................................86
10. IDZETGYJTEMNY
................................................................................................91
10.1 HRODOTOSZ (Kr.e. 484): A GRG-PERZSA HBOR. Ford: Murakzy Gyula.
EURPA k.1989
.....................................................................................................91
10.1.1 PYTHAGORASZ (Kr.e. VI.sz.):
......................................................................92
10.1.2 DMOKRITOSZ (Kr.e. 460):
..........................................................................92
10.2 PLATON (Kr.e. 427 - 347) EURPA 1984.
..........................................................92 10.2.1
llam.................................................................................................................92
10.3 ARISZTOTELSZ (Kr.e. 384 - 322): Metafizika
..................................................92 10.4 EUKLIDSZ
(Kr.e. 300 krl):
Elemek.................................................................93
10.5 STRABN (Kr.e. 64): GEGRAPHIKA. Ford: Dr. Fldy Jzsef. GONDOLAT
k. 1977 94 10.6 VITRUVIUS: Tz knyv az ptszetrl. Kpzmvszeti Kiad,
Budapest 1988. Fordtotta: Gulys Dnes. tdolgozta: Marosi
Ern..................................94 10.7 APULEIUS (Kr.u. 124):
A mgirl. Virgoskert. Ford: Dtshy Mihly. MAGYAR HELIKON k. 1974
............................................................................................95
10.8 Woody ALLEN.
......................................................................................................96
11. IRODALOM
...................................................................................................................97
P6.sz. #4.
Kta Bla. 2007.01.22./14:20:10
1.1 BRK: 1. bra: A szmok pitagoraszi osztlyozsa.
.................................................................................11
2. bra: Figurlis
szmok...............................................................................................................16
3. bra: A szg rtelmezse.
..........................................................................................................18
4. bra: A hromszg szgeinek sszege.
.....................................................................................18
5. bra: A hromszgek osztlyozsa-
..........................................................................................19
6. bra: Hasonl ltalnos hromszgek.
......................................................................................19
7. bra: Arnyossg hasonl derkszg
hromszgekben...........................................................20
8. bra: A derkszg hromszg szrmaztatsa.
.........................................................................21
9. bra: A Thalsz hromszg szgei.
...........................................................................................23
10. bra: A Pitagorasz ttel lefedses bizonytsa.
....................................................................23
11. bra: A
magassgvonal............................................................................................................24
12. bra: Magassgvonalak a hromszgben.
...............................................................................25
13. bra: A derkszg hromszg
felosztsa...............................................................................25
14. bra: EUKLEIDSZ bizonytsa.
..........................................................................................26
15. bra: A PITAGORASZ ttel
nekem........................................................................................28
16. bra: A hromszg felosztsa.
.................................................................................................29
17. bra: A kibvtett Thalsz hromszg.
....................................................................................30
18. bra: Az egysgngyzet tlja.
................................................................................................31
19. bra: tl/oldal vltakozva kivonsa.
.....................................................................................33
20. bra. Szimmetrizlt kivonsi szerkeszts.
...............................................................................34
21. bra: A ngyzet kettzs levezetse.
.......................................................................................39
22. bra: A ngyzet terletnek kettzse tlem.
..........................................................................39
23. bra: Az Aranymetszs arnya.
...............................................................................................40
24. bra: Aranymetszs I. vltozat.
...............................................................................................41
25. bra: Kpszerkeszts.
..............................................................................................................42
26. bra: Aranymetszs II. vltozat.
..............................................................................................42
27. bra: A szablyos tszg.
........................................................................................................43
28. bra: Aranymetszs a szablyos
tszgben.............................................................................43
29. bra: A KHEOPSZ piramis.
....................................................................................................44
30. bra: A gla mretei.
...............................................................................................................47
31. bra: A gla palstja.
...............................................................................................................47
32. bra: Az alaplek
mreteltrsei..............................................................................................51
33. bra: A szmtott tengelymagassgok eltrsei.
......................................................................55
34. bra: Az aranymetszs
terletegyenlsge..............................................................................58
35. bra: Az aranymetszssel szerkesztett
Piramis........................................................................59
36. bra: Az aranymetszs illeszkedse a
Piramishoz...................................................................60
37. bra: A szrszg az
aranymetszsben......................................................................................61
38. bra: Oldalhromszg
szerkesztse.........................................................................................62
39. bra: Fldrajzi tjols.
.............................................................................................................63
40. bra: A Kheopsz Piramis szmai.
............................................................................................65
41. bra: A 3-4-5 oldal hromszg.
.............................................................................................70
42. bra: Euklidszi szerkesztsek.
...............................................................................................72
43. bra: Csempe minta.
................................................................................................................73
44. bra: A 3-4-5 hromszg
szrmaztatsa..................................................................................74
45. bra: Sakktbla
mdszer..........................................................................................................75
46. bra: Piramis szabvnyok.
.......................................................................................................77
47. bra: Platni hromszg.
.........................................................................................................78
48. bra: Newton rint
mdszere.................................................................................................82
49. bra: Diophantoszi hromszg.
...............................................................................................84
P6.sz. #5.
Kta Bla. 2007.01.22./14:20:10
1.2 BEVEZETSA trtnelemi mltban idnknt elfordult egy-kt olyan
korszak, amely figyelemre mlt szellemi s anyagi alkotsokat
hagyomnyozott mirnk: A Felvilgosods, A Renesznsz, A Rmai Kztrsasg,
Az Athni Demokrcia, Az Alexandriai Iskola, Az Egyiptomi -birodalom.
A matematika fejldse az egyiptomi -birodalomtl kezdve kvethet az
grgkn t a kzpkori arab s eurpai kultrig. E tudomny elvontsgnak
ksznhetjk, hogy a mdszerei s eredmnyei objektven sszehasonlthatk.
Fejldst kvetve 5000 v mlysgbe merlve, belelthatunk a kor embereinek
gondolatvilgba. Gyakorlati alkalmazst monumentlis alkotsok tanstjk.
Az antik mdszerek tanulmnyozsa bizonytja, hogy mire volt kpes az
alkot ember amikor hagytk hogy mire lenne kpes az alkot ember ha
hagynk. A kezdet az Egyiptomi -birodalom. A piramisok mretei s az
arnyai a szerny matematikai eszkztr magas szint alkalmazsra
utalnak. Ez a tudsszint jelenti a kvetkeztetsek korltjt, ezrt az
rtkelsben csak a rgszeti leletekkel tudomnytrtnetileg
sszeegyeztethet matematikt hasznlunk. Gyakorlatilag a ngy szmtani
alapmveletet s a kpzmvszeti brzolsokrl ismert szerkesztseket. Az
-birodalom teljestmnynek mlt rtkelshez az anyag els rszben nhny
matematika trtneti tnyre emlkeztetnk, majd visszafel haladva azokat
a matematikai sszefggseket vezetjk le, melyek a piramisok mreteibl
kiolvashatk.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
TARTALOM:....................................................................................................................2
MATEMATIKAI ALAPOK
.............................................................................................9
GEOMETRIAI
BEMELEGTS....................................................................................17
A PITHAGORASZ TTEL
............................................................................................23
A NGYZET
TLJA...................................................................................................31
A
PIRAMIS.....................................................................................................................44
A 3-4-5 SZMHRMAS S A
DERKSZG.............................................................69
KIEGSZTS................................................................................................................80
Idrendi vzlat:
GRG matematikusok: PTOLEMAIOSZ Kr.u. 150, EUKLEIDSZ Kr.e. 300
krl, PLATN Kr.e. 429 - 348, ZNON Kr.e. 450 krl, PITAGORASZ Kr.e.
VI. sz., THALSZ Kr.e. 624? - 546?, EGYIPTOM Piramisok kora:
Kzpbirodalom Kr.e. 2070 - 1790, I. tmeneti kor Kr.e. 2270 - 2070,
-birodalom Kr.e. 2700 - 2270.
FAKULTATV PROGRAM:Beiratkozs az Alexandriai Knyvtrba, utna
rszvtel ANTONIUS s KLEOPATRA lakomjn az Utnozhatatlan letek
Trsasgban. K i s t r e l m e t ! Az idpontokat most egyeztetjk.
P6.sz. #6.
Kta Bla. 2007.01.22./14:20:10
1.3 ESETTANULMNY AZ ALGEBRAI MDSZERRLFigyeljnk, mert az anyagban
algebrai levezetsek lesznek. Az rtelmezsben segt egy megtrtnt eset
jragondolsa. Kb. 20 vvel ezeltt megkeresett egy Dolgozk Iskoljba jr
nrokonom, mert kvncsi volt hogy mirt kapott elgtelent az
egyenletmegoldsra. A feladatot megprblom emlkezetbl rekonstrulni.
Jellegt tekintve valami ilyesmit kellett megoldani:
10y + 1 8y 1 = 5 7A dolgoz-tanul a tanult mdszereket hasznlta:
Mivel mindkt oldalon egy trt szerepel elszr keresztbeszorzssal
eltvoltotta a nevezket:
50y + 5 = 56y 7Eljelcservel az egyik oldalra tvitte az
ismeretlent tartalmaz tagokat, a msik oldalra az ismerteket:
12 = 6yAz ismeretlen egytthatjval egyszerstve megkapta az
megoldst:
2 = yA tanr(N) rtkelse:
ELGTELEN, mert N gy tantottam, hogy y = 2,
nem pedig gy, hogy 2 = y !!!A tanrn nglt rgott, mert...H a gy n
em t et szik a kkor fordt sa m eg a pa pr t !
2=yTisztelt Hlgyeim ! az ... Algebra.
A sz az arab al gebrbl (gabar annyi mint restaurare) szrmazik,
amely
Mohammed ben Musa Alkhvarizmiarab matematikusnak 820-ban
megjelent Algebr v' al mukabala cm munkjban szerepel s ott azt a
mveletet jelenti, amelynek a segtsgvel valamely egyenlet adott
tagja egyik oldalrl a msikra megvltoztatott eljellel tvihet.A
megoldsban ezek az tviteli mveletek hibtlanok voltak, viszont a
Csinld utnam! tantsi mdszer a t n c i s k o l b a val. A mszaki s
termszettudomnyokban a dogmatizmus kzveszlyes. A Termszet Titkait
csak szikla-szilrd alapon llva lehet megismerni. Szerencsnkre ezt
az alapot a dl-itliai ELEA filozfusai 2400 vvel mielttnk mr
lefektettk.
2=y 2=y 2=y
V agy lljon fejre ! V agy lljon fejre !
P6.sz. #7.
Kta Bla. 2007.01.22./14:20:10
A Legends Hrmas, a Gondolat risai; P A R M E N I D S Z , Z N N ,
M E L I S S Z O S Z ; kinyilatkoztattk a kt legfontosabb
princpiumot:
A LTEZ VAN, A LTEZ AZONOS NMAGVAL.Ezrt, ha nem csak tanulni vagy
tantani, hanem t u d n i is akarjuk az algebrt, akkor mindig ezekbl
kell kiindulni, majd ide illik visszarkezni. Az n idmben a MRLEG
ELV-vel szemlltettk az egyenlet tulajdonsgait. Egy ktkar
laboratrium mrleget a tnyrokba rakott hulladk vasdarabokkal
kiegyenslyoztak. Ezutn a mrleg tovbbra is egyenslyban marad, ha a
kt egyforma slyt rtesznek a kt tnyrra, vagy ha kt egyforma slyt
levesznek a tnyrokrl. Ez a szemllet kizrlag dimenzi nlkli szmokra
igaz. Ha a szm mgtt nem ll dimenzi, akkor az darab. A LEHEL piacon
a kofamrleg egyik tnyrjba tett lecskolbszt ki lehet egyenslyozni a
msik tnyrba rakott tulipnhagymkkal. Csak a mrleg kt tnyrjra hat
slyerk lesznek egyenlk de (ez) a kolbsz nem szaporthat
dugvnyozssal!. Az egyenlsgjel azrt van, mert a jel kt oldaln ll
kifejezseket nmagval azonos, egyugyanazon lteznek tekintjk,
melyeknek csak a megjelensi formja klnbzik. Lsd: serts = diszn, 11
ra utn 30 perc = 12 ra eltt 30 perc, vagy fltizenkett. Az egyenlet
mindkt oldaln ugyanaz a szm ll, teht mindkt oldallal ugyanaz a
szmtani mvelet elvgezhet, mert az egyenlsg fennmarad. (Kivtel a
gykvons, mert pros gykkitevnl az eredmny eljele ktrtelm.) Ez
megoldsi mdszer terjedelmesebb annl, mint amikor a tagokat ellenkez
mvelettel visszk t az egyenlet msik oldalra, viszont sokkal
ttekinthetbb. A kiindul egyenlet:
10y + 1 8y 1 = 7 5Szorozzuk elszr mindkt oldalt 7-tel:
10y + 1 =
56 y 7 5
Szorozzuk msodszor mindkt oldalt 5-tel:
50y + 5 = 56y 7Adjunk minkt oldalhoz 7-et:
50y + 12 = 56yVonjunk le mindkt oldalbl 50 y-t:
12 = 6yOsszuk el minkt oldal 6-tal:
2 = yEz az eredmny idig helyes, de csak:
ez csak ELGSGES, mert a levezets nincs befejezve, Mivel:
szorozzuk mindkt oldalt 1-el: adjunk mindkt oldalhoz y-t: adjunk
mindkt oldalhoz 2-t:
2=y 2 = y, y 2 = 0, y=2
ez mr KZEPES, mert mg nem talltuk meg a Vgs Igazsgot,
P6.sz. #8.
Kta Bla. 2007.01.22./14:20:10
Mivel: helyettestsk be 2 helyre y-t: ...s mivel: helyettestsk be
y helyre a 2-t:
2=y y=y 2=y 2=2
itt a J, ahol a ltez azonos nmagval,sszefoglalva, a teljes
megolds:
2 = y y = y
y = 2 2 = 2
ez mr JELES, de mg nincs vge.Oldjuk meg most jra az egyenletet
az y = 2 rtnek behelyettestsvel. Minden lps arrl szl, hogy ugyanaz
a szm azonos nmagval. Vegyk az eredeti egyenletet:
10y + 1 7Behelyettestve y helybe a 2-t:
=
8y 1 5
10 2 + 1 8 2 1 = 3 = 3 = 7 5Szorozzuk elszr mindkt oldalt
7-tel:
10 2 + 1 = 21 = 21 =
56 2 7 5
Szorozzuk msodszor mindkt oldalt 5-tel:
50 2 + 5 = 105 = 105 = 56 2 7Adjunk minkt oldalhoz 7-et:
50 2 + 12 = 112 = 112 = 56 2Vonjunk le mindkt oldalbl 50
2-t:
12 = 12 = 12 = 6 2Osszuk el minkt oldal 6-tal:
2 = 2 = 2 = 2A szofistk mg tovbb mentek; mert legyen:
2 = 2Vonjunk ki mindkt oldalbl 2-t:
0 = 0K I T N . E z a V g s I g a z s g . Ahogy GORGIASZ mr
Kr.e.428-ban kinyilatkoztatta: SEMMI SEM LTEZIK;...
P6.sz. #9.
Kta Bla. 2007.01.22./14:20:10
Sket ressgben nmn vlt a Csend! Tkrbe nz a Semmi; nem ltszom,
teht vagyok ! EMBEREEEK!!! tereszt a tmts, SZKIK A VKUUM! Neknk mr
a nulla nem semmi, hanem valami ms, mert:
0 0 = 1,
01 = 0
2. MATEMATIKAI ALAPOK2.1 A SZMOLS KIALAKULSA 2.1.1 A szmnvMivel
elvont gondolkodsunk nyelvi kategrikra pl ezrt felidzzk a nyelvi
szmfogalmat. A magyar nyelv sztanban s mondattanban:
A szmnv ([nomen] numerale) jelzi, lltmnyi vagy szm-, illetve
szmllapot-hatrozi szerepet jtsz, kevss toldalkolhat, szemlyek,
trgyak, dolgok mennyisgt kifejez, vagy a sorban elfoglalt helyt
megjell sztri sz; A szmnvnek mind mondatbeli felhasznlhatsga, mind
alaktani viselkedse emlkeztet a mellknvre. A szmnv a mondatban
tbbnyire mennyisg s minsgjelz, de lehet rtelmez, st nvszi lltmny
is.A Magyar Nyelv Knyve Fszerk: JSZ ANNA TREZOR KIAD Bp. 1991.
A szmnv llapothatroz sz, a mondatban mellknv vagy jelz; de ennl
tbb, mert felttelezi a jelzett trgy, fogalom, szemly, dolog, iz,
micsoda, hogyishvjk stb. LTEZST - LTEZSMDJT - HINYT.
2.1.2 A szmols kezdeteiAz emberi civilizcik tbbsge fejldse sorn
elri azt a szintet amikor a szmols a fennmaradsfejlds felttelve
vlik. Feltn, hogy fldrajzilag elszigetelt civilizcikban, mint
Egyiptom, Mezopotmia, Kna, KzpAmerika, egymstl fggetlenl
kialakulnak a szmrendszerek, a geometria, a csillagszat s
naptrkszts mdszerei,
P6.sz. #10.
Kta Bla. 2007.01.22./14:20:10
a legrgebbi rsos forrsokbl a korabeli matematika viszonylag
magas sznvonalra kvetkeztetnk, a trtnelmi nagy birodalmak
vezredekig tart virgzsnak felttele az tfog szervezettsg, mg
fejlettebb (elit) tudomny gyakorlati alkalmazst sejtetik a
monumentlis pletek, utak, hidak, ntzrendszerek.
A szmlls ignye akkor jelentkezik, amikor az egynek a javakat
tartsan birtokoljk, s a kzssg eljut olyan anyagi szintre amikor e
javakat szervezetten osztjk el. A fldmvelnek be kell osztani vetsnl
a vetmagot, aratsnl a termst a kvetkez betakartsig. A termels
ciklikussga miatt a nvnytermesztshez s az istllzott llattenysztshez
nlklzhetetlen a naptr. Ekkor beletkztnk az oszthatsg problmjba:
vannak korltlanul oszthat dolgok, pl. a gabona, a szna, a tej, meg
az lds. Msok oszthatatlanok, mert nem lehet rszekre osztani egy
birkt, legfeljebb a prkltet, vagy egy rszekre osztott gymlcsfbl
tzifa lesz. Az egyik legrgibb termszettudomnyos lelet egy
Kzp-Afrikban kisott, kb. 12000 ves csontnyl. Ezen hrom svban tbb
karcolssorozat ltszik: a harmadik sorban minden szm trzsszm. 7 9 19
5 5 10 19 17 8 4 21 13 6 3 11 11.
Nos, vilgos, hogy az az ember, aki ezt ksztette, nemcsak szmllni
tudott, hanem szorozni s osztani is, mivel erre a csontdarabra a
trzsszmokat karcolta r. J.D. BERNAL: A fizika fejldse Einsteinig.
Gondolat K, Kossuth K. 1977.... az ember, aki ezt ksztette nyilvn
felismerte, hogy a vannak olyan szmok, amelyeket nem lehet az egynl
nagyobb e g y e n l r s z e k r e ! osztani. Viszont ma is lnek az
Amazonas vidki egyenlti eserdkben olyan elszigetelt, kis ltszm
indin - trzsnek mg nem nevezhet - nagycsaldok, melyek tagjai csak
kettig tudnak szmolni. Az letkhz szksges javak bsgben rendelkezskre
llnak. A napi szksgletket gyjtgetssel szerzik meg. A kzssgben nincs
eloszts, kszletezs. Az eserdben vszakok sincsenek - a sajt
letkorukat sem tudjk.
2.2 A GRG S EGYIPTOMI MATEMATIKA JELLEMZIAz kori matematika
tretlen fejldsi tja az egyiptomi archaikus kortl (Kr.e. 3000) az
Alexandriai Knyvtr vgs elpuszttsig (Kr.u. 390) tart. 2500 vvel
ezeltt az grgk nhny nemzedke elzmnyek nlkl? a mai napig csodlt
filozfiai, termszettudomnyos s mvszi eredmnyeket rt el. PITAGORASZ
s tantvnyai sznes kavicsokbl kezdtek szablyos alakzatokat kirakni,
homokba karcolt vonalakat szerkesztettek s kezdetleges
hangszereiken harmnikat kerestek. Meg akartk rteni a vilgot,
tapasztalatikat logikval ok okozati lncba rendeztk. A tiszta
logikai kapcsolatok termszetnek megismerse s ltalnostsa vezetett a
matematikhoz. A bizonyts nlkl elfogadott princpiumokat s a bellk
levezethet tteleket klnvlasztottk. A szigor logikai szablyoknak
megfelel levezetsekkel alaktottk a matematikt deduktv tudomnny. A
tapasztalataikat alapjn felismert trvnyszersgeket beillesztettk
vilgkpkbe s kiterjesztettk az emberi gondolkodsra is. A GRG CSODA
alapozta meg a nyugati fltekn a mi kultrnkat. Az grg matematika
elvont tudomny volt. A filozfusok csak az ISTENI egsz szmokkal
foglalkoztak. A tredk egysgeket tengedtk a kereskedknek s
kzmveseknek. A filozfiban szentnek tekintettk az arnyo kat.
LOGOSZ-nak neveztk; tovbbi jelentse gondolkods, rtelem, vilgtrvny,
meg mg vagy kt oldal az grg sztrban. PITAGORASZ s iskolja a
indtotta el a Kr.e. VI. szzadban a termszetes szmok s a zenei
hangok tulajdonsgainak vizsglatt. Megalapoztk a szmok s arnyok
elmlett, a geometrit s a szmmisztikt. ARISZTOTELSZ szerint
vilgmagyarzatukban a szmokbl indultak ki, PLATN szerint a
csillagszatot
P6.sz. #11.
Kta Bla. 2007.01.22./14:20:10
s a zent testvr-tudomnynak nyilvntottk. A pitagoreusok a zenei
harmnik szmszersthet trvnyeinek kutatsval kvntk megismerni a vilg
harmnijt, ami szerintk a zenvel sszefgg arnyokban kzvetlenl
megnyilvnul; gy tantottk, hogy a ltezk a szmok utnzsa kvetkeztben
vannak. A szmok elemei egyttal minden ltez valsgnak is elemei, s az
egsz gi vilgrend harmnia s szm. Minden ltez alapja a matematika. A
szm minden ltez alapja - a szmok elemei az sszes ltezk elemei az
egsz g Harmnia s Szm - selem. Az a szp amiben matematikailag
megfoghat arnyossg van. Az 1 az isteni egysg, a 2 (pros) ni szm, a
3 (pratlan) frfi, az 5 = 2 + 3 a hzassg jelkpe.
A matematikt a pitagoreusok az 1. bra szerint rendszereztk:
M ATEM ATIK A Az anyagi vilg ltalnos sszefggseibl -- mennyisgek,
formk, stb -elvont fogalmakat alkot s logikai elemzssel ltalnos
trvnyeket megllapt tudomny.
Diszkrt
Folytonos
Aritmetika
Zene
Geometria
Csillagszat
1. bra: A szmok pitagoraszi osztlyozsa.
A grgk tudomnyt a stt kzpkorban az arabok mentettk t. A ma
ismert szvegeket arab nyelvrl kellett rekonstrulni s visszafordtani
s grgre. A mai knyelmes s hatkony aritmetikai mdszereink viszonylag
ksn - a kzpkor vgn alakultak ki; amikor Eurpban elterjedt a
helyirtkes rendszer arab szmokkal, a nulla s a tizedes trt. Az kori
szmrendszerekben az sszeads s kivons, de fleg a szorzs s oszts
sokkal bonyolultabb s nehzkesebb mvelet volt. Mr az kori Egyiptombl
s Mezopotmibl ismernk a szmols megknnytsre igen elmsen szerkesztett
tblzatokat. A tblzatok szerkesztse kzben ismerhettk fel a Valdi
oszt fogalmt. A valdi osztk vizsglata tbb fontos matematikai
sszefggs felismerst segtette. Ma a pitagoreusoktl eredeztetjk a: a
PITAGORASZ ttelt, a ngyzet kettzst, az Aranymetszst.
A grgknl a matematika az idealista filozfia alapja volt, a mrnki
tudomnyok, mint a gyakorlati fldmrs (geo-metria) viszont a
mestersgek krbe taroztak. A kezdeteket tanulmnyozva azonban gy
tnik, hogy az alapproblmk s a fogalmak egy rszt Egyiptombl vettk t.
Az egyiptomiak tudomnya teljesen mrnki volt, a gyakorlati feladatok
megoldst szolglta. A matematikai eszkztruk a szmrendszer, szmtsi
mdszerek, geometria - alig haladtk meg a ngy
P6.sz. #12.
Kta Bla. 2007.01.22./14:20:10
alapmvelet s a vonalzs elemi szerkesztsek szintjt. A piramisok
mreteiben s a szakrlis pletek tjolsban elrt pontossguk mlt az
alkotsok isteni rendeltetshez. Az korban a tudomnyt thatotta a
szmmisztika s az asztrolgia. Egyes kitntetett szmokat, mreteket s
arnyokat szentnek tekintettek. A grgk s egyiptomiak csak a
termszetes szmokat ismertk: 1, 2, 3, 4, sok (a nullnl nagyobb
pozitv egsz szmok). Az egysgnl kisebb mennyisget kznsges trtekkel
fejeztk ki. Fontos klnbsg: a grg matematikban a trtet a szmll s
nevez arnynak tekintettk; a trtszmokat a kzmvesek s a kereskedk
krbe utaltk, az egyiptomiak trtszmtsi segdtblzatai korbbi
tdolgozsokrl s rendszerezsrl tanskodnak.
2.3 LTALNOSTS S ELVONATKOZTATSA szmllst felttele a nyelvben a
szmnevek kialakulsa. Egy csoport megszmolsa lnyegben egyenknti
sszeads; pl. egy ttag csoportnl: 1+1+1+1+1=5 megfelel: 1+1=2;
2+1=3; 3+1=4; 4+1=5. A szmnevek s a szmlls csak a szmok nagysgrendi
viszonyait tudatostjk; a hat eggyel nagyobb, mint t s eggyel
kisebb, mint ht, a hetvent sokkal nagyobb, mint a tizenhrom, s
sokkal kisebb, mint ngyszzhuszonngy.
Szmllsnl - sszeadsnl, kivonsnl, szorzsnl - a szmnevek
mennyisgjelzk, hasonlak a sok kevs, nagy - kicsi, korai - ksi
jelzkhz. Itt mg a szmok egyedi tulajdonsgai elmosdnak, mint a tbbi
jelznl: hideg-meleg, halvny-sznes, szp-csnya. A szmlls
elvonatkoztat s megklnbztet. Egyrtelm hogy, az erdben tszz fa van,
de tudjuk - nincs kt egyforma fa. A hzkutats sorn tbb szz lopott
holmit foglaltak le - Hol? - Mit?
2.4 ALAPMVELETEK 2.4.1 sszeads s kivonsAz sszeads s kivons
lnyegileg az egyenknti szmlls kiterjesztse. A t e r m s z e t e s
szmok krben az sszeadandk tetszleges nagysgak; a kivonsnl a
kivonand kisebb a kisebbtendnl. (Eurpban csak a XII.-XV. szzadban
kezdtk a negatv szmokat hasznlni).
2.4.2 SzorzsA szorzs az sszeads kiterjesztse, a szorztnyezk
nagysga tetszlegesek: 3 5 = 5 + 5 + 5 = 15 vagy 5 3 = 3 + 3 + 3 + 3
+ 3 = 15
2.4.3 OsztsAz oszts minsgileg ms problma. Az sszeads, kivons,
szorzs mindig elvgezhet az oszts viszont nem. Vannak oszthat s
oszthatatlan dolgok s szmok. Az oszts a kivons kiterjesztse; a
hnyados azt fejezi ki, hogy az osztt hnyszor lehet kivonni az
osztandbl: A fenti kt oszts vgrehajthat, mert a 15-ben az 5 s a 3
maradk nlkl megvan. Prbljuk meg a 15-t 4-gyel osztani: A 15-t nem
lehet 4 egyenl egsz szmra osztani, mert a 15 nem egsz szm tbbszrse
a 4-nek: 3 4 = 12 kisebb, 4 4 = 16 viszont nagyobb mint 15.
P6.sz. #13.
Kta Bla. 2007.01.22./14:20:10
A trzsszmokat, mint pl. a 13-at csak eggyel lehetne osztani ez
azonban nem oszts hanem leszmlls. 15 15 10 5 : 5 5 5 5 = = = = 3 10
5 0 (1) (2) (3) 15 15 12 9 6 3 : 3 3 3 3 3 3 = = = = = = 5 12 9 6 3
0 (1) (2) (3) (4) (5)
15 15 11 7 3
:
