A Richardson-extrapolaacutecioacute elmeacuteleti vizsgaacutelata eacutes alkalmazaacutesai

Havasi Aacutegnes

Vaacutezlat

Idıfuumlggı feladatok numerikus megoldaacutesa

A Richardson-extrapolaacutecioacute (RE)

Elmeacuteleti eredmeacutenyek

Leacutegkoumlri alkalmazaacutesok

Idıfuumlggı feladatok numerikus megoldaacutesa

Alapfeladat KDE vagy PDE-rendszerhez tartozoacutekezdetieacuterteacutek- vagy vegyes feladat megoldaacutesa

Toumlbbnyire csak numerikusan lehetseacuteges1 Definiaacutelunk egy raacutecshaacuteloacutet (idıbeli leacutepeacuteskoumlz τ )

2 ezen kitőzuumlnk egy diszkreacutet feladatot

3 megoldjuk a diszkreacutet feladatot rarr numerikus megoldaacutes

4 ellenırizzuumlk hogy megfelelıen pontos-e

5 ha nem eloumllrıl kezdjuumlk egy finomabb raacutecshaacuteloacuten

Mikor joacute a numerikus moacutedszer

Konvergens (konzisztens eacutes stabil)

τrarr0 eseteacuten a numerikus megoldaacutes tart a

pontoshoz Jeloumllje ezen konvergencia

rendjeacutet p

Kvalitatiacutev moacutedon adekvaacutet

Hateacutekony

Mi a Richardson-extrapolaacutecioacute

Ha a numerikus megoldaacutes nem eleacuteg pontos a szaacutemolaacutest eloumllrıl kezdjuumlk a durvaacutebb raacutecson kapott megoldaacutes elveacutesz

Oumltlet Hasznaacuteljuk fel a reacutegi megoldaacutest egy pontosabb numerikus megoldaacutes elıaacutelliacutetaacutesaacutehozLF Richardson The deferred approach to the limit I-single latticePhilosophical Transactions of the Royal Society of London Series A

226 (1927) pp 299-349

RE uazon moacutedszert keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel alkalmazzuk (pl τ eacutes τ2) eacutes a megoldaacutesokat megfelelısuacutelyokkal aacutetlagoljuk

rarr p-ed rendő moacutedszerbıl (p+1)-ed rendő nyerhetı eacutes nem veacutesz el a koraacutebbi eredmeacutenyuumlnk

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

KDER-hez tartozoacute kezdetieacuterteacutek-feladat

folytonosan diffhatoacute

folytonos y0 adott kezdeti felteacutetel

Ez a feladattiacutepus szaacutemos mat modell alapja (koumlzvetlenuumll vagy teacuterbeli diszkretizaacutecioacute utaacuten)

)( ytfdt

dy= ][ batisin )( 0yay =

sbay realrarr][ssf realrarrreal +1

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Definiaacuteljuk a raacutecshaacuteloacutet (n=01hellipN) ahol τ a leacutepeacuteskoumlz

Jeloumlleacutes y(t) - a KDER pontos megoldaacutesa t = t-ban( )

RE egy p-edrendő numerikus moacutedszerrel τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel is elıaacutelliacutetjuk y(t) approximaacutecioacutejaacutet

(Ha t = n τ az elsı raacutecson akkor t = 2n τ2 a maacutesodik raacutecson)

τnatn +=0 at = btN =

]( bat isinlowast

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Jeloumllje a τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel nyert numerikus megoldaacutest t = t-ban zn ill wnHa a moacutedszer p-ed rendben konvergens akkor

(1)

ill

(2)

ahol K a numerikus moacutedszertıl fuumlggı mennyiseacuteg

Kuumlszoumlboumlljuumlk ki a p-ed rendő tagokat suacutelyozott aacutetlagolaacutessal

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

(1) (1)rsquo

(2) ndash (1)rsquo

rArrsdot P50 )()50(50)(50 1+lowast ++= pp

n

PP oKwty ττ

)(50)()501( 1+lowast +minus=minus p

n

P

n

P ozwty τ

)(501

50)( 1+lowast +

minusminus

=rArr p

p

n

P

n ozw

ty τ

Az uacutej koumlzeliacuteteacutes

Laacutethatoacute yn (p + 1)-edrendben koumlzeliacuteti a megoldaacutest iacutegy megfelelıen kis leacutepeacuteskoumlzoumlkre mind a zn mind a wn megoldaacutesnaacutel pontosabb

12

2

minusminus

=p

nn

p

n

zwy

A Richardon-extrapolaacutecioacute aacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

Alkalmazzunk ismeacutet p-ed rendben konvergens numerikus moacutedszert

yτ(t) a numerikus megoldaacutes t = t-ban τ leacutepeacuteskoumlző raacutecson

τ1 eacutes τ2lt τ1 leacutepeacuteskoumlzzel is megoldva a feladatot

Ceacutel (p + 1)-ed rendő pontossaacuteg

)()()()( 1+lowastlowastlowast ++= pp ottyty ττατ

)()()()( 1

11

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

)()()()( 1

22

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

A konvergenciaacutehoz szuumlkseacuteges (1)

A (p + 1)-edrendő pontossaacuteg felteacutetele

(2)

121 =+ cc

)()()(21 21

lowastlowastlowast += tyctyctykomb ττ 21 =cc

)()()()()()( 1

221121

+lowastlowastlowast ++minus+= ppp

komb otcctyccty ταττ

02211 =+ pp cc ττ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

(1)-(2) megoldaacutesa

Speciaacutelis esetek

Legyen τ2 = τ12

p = 1 (elsırendő moacutedszer) c1 = ndash 1 c2 = 2

p = 2 (maacutesodrendő moacutedszer) c1 = ndash 13 c2 = 43

21

21 pp

p

cττ

τminus

minus=12 1 cc minus=

A RE alkalmazaacutesa a leacutepeacuteskoumlz megvaacutelasztaacutesaacutera

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

)12(

)(2

minusminus

asymppp

nn

p zwK

τ

K koumlzeliacutetıleg kifejezhetı

Wn hibaacutejaacutet a 2 egyenletbıl kifejezve

rarr A keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel kapott megoldaacutesboacutel becsuumllhetı az egyik megoldaacutes hibaacuteja Uacutej leacutepeacuteskoumlz vaacutelasztaacutesa

np

nnn E

zwwty

12)( =

minusminus

asympminuslowast

τγτ p

n

uacutejE

TOL=

A RE keacutet moacutedja

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Vaacutezlat

Idıfuumlggı feladatok numerikus megoldaacutesa

A Richardson-extrapolaacutecioacute (RE)

Elmeacuteleti eredmeacutenyek

Leacutegkoumlri alkalmazaacutesok

Idıfuumlggı feladatok numerikus megoldaacutesa

Alapfeladat KDE vagy PDE-rendszerhez tartozoacutekezdetieacuterteacutek- vagy vegyes feladat megoldaacutesa

Toumlbbnyire csak numerikusan lehetseacuteges1 Definiaacutelunk egy raacutecshaacuteloacutet (idıbeli leacutepeacuteskoumlz τ )

2 ezen kitőzuumlnk egy diszkreacutet feladatot

3 megoldjuk a diszkreacutet feladatot rarr numerikus megoldaacutes

4 ellenırizzuumlk hogy megfelelıen pontos-e

5 ha nem eloumllrıl kezdjuumlk egy finomabb raacutecshaacuteloacuten

Mikor joacute a numerikus moacutedszer

Konvergens (konzisztens eacutes stabil)

τrarr0 eseteacuten a numerikus megoldaacutes tart a

pontoshoz Jeloumllje ezen konvergencia

rendjeacutet p

Kvalitatiacutev moacutedon adekvaacutet

Hateacutekony

Mi a Richardson-extrapolaacutecioacute

Ha a numerikus megoldaacutes nem eleacuteg pontos a szaacutemolaacutest eloumllrıl kezdjuumlk a durvaacutebb raacutecson kapott megoldaacutes elveacutesz

Oumltlet Hasznaacuteljuk fel a reacutegi megoldaacutest egy pontosabb numerikus megoldaacutes elıaacutelliacutetaacutesaacutehozLF Richardson The deferred approach to the limit I-single latticePhilosophical Transactions of the Royal Society of London Series A

226 (1927) pp 299-349

RE uazon moacutedszert keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel alkalmazzuk (pl τ eacutes τ2) eacutes a megoldaacutesokat megfelelısuacutelyokkal aacutetlagoljuk

rarr p-ed rendő moacutedszerbıl (p+1)-ed rendő nyerhetı eacutes nem veacutesz el a koraacutebbi eredmeacutenyuumlnk

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

KDER-hez tartozoacute kezdetieacuterteacutek-feladat

folytonosan diffhatoacute

folytonos y0 adott kezdeti felteacutetel

Ez a feladattiacutepus szaacutemos mat modell alapja (koumlzvetlenuumll vagy teacuterbeli diszkretizaacutecioacute utaacuten)

)( ytfdt

dy= ][ batisin )( 0yay =

sbay realrarr][ssf realrarrreal +1

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Definiaacuteljuk a raacutecshaacuteloacutet (n=01hellipN) ahol τ a leacutepeacuteskoumlz

Jeloumlleacutes y(t) - a KDER pontos megoldaacutesa t = t-ban( )

RE egy p-edrendő numerikus moacutedszerrel τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel is elıaacutelliacutetjuk y(t) approximaacutecioacutejaacutet

(Ha t = n τ az elsı raacutecson akkor t = 2n τ2 a maacutesodik raacutecson)

τnatn +=0 at = btN =

]( bat isinlowast

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Jeloumllje a τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel nyert numerikus megoldaacutest t = t-ban zn ill wnHa a moacutedszer p-ed rendben konvergens akkor

(1)

ill

(2)

ahol K a numerikus moacutedszertıl fuumlggı mennyiseacuteg

Kuumlszoumlboumlljuumlk ki a p-ed rendő tagokat suacutelyozott aacutetlagolaacutessal

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

(1) (1)rsquo

(2) ndash (1)rsquo

rArrsdot P50 )()50(50)(50 1+lowast ++= pp

n

PP oKwty ττ

)(50)()501( 1+lowast +minus=minus p

n

P

n

P ozwty τ

)(501

50)( 1+lowast +

minusminus

=rArr p

p

n

P

n ozw

ty τ

Az uacutej koumlzeliacuteteacutes

Laacutethatoacute yn (p + 1)-edrendben koumlzeliacuteti a megoldaacutest iacutegy megfelelıen kis leacutepeacuteskoumlzoumlkre mind a zn mind a wn megoldaacutesnaacutel pontosabb

12

2

minusminus

=p

nn

p

n

zwy

A Richardon-extrapolaacutecioacute aacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

Alkalmazzunk ismeacutet p-ed rendben konvergens numerikus moacutedszert

yτ(t) a numerikus megoldaacutes t = t-ban τ leacutepeacuteskoumlző raacutecson

τ1 eacutes τ2lt τ1 leacutepeacuteskoumlzzel is megoldva a feladatot

Ceacutel (p + 1)-ed rendő pontossaacuteg

)()()()( 1+lowastlowastlowast ++= pp ottyty ττατ

)()()()( 1

11

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

)()()()( 1

22

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

A konvergenciaacutehoz szuumlkseacuteges (1)

A (p + 1)-edrendő pontossaacuteg felteacutetele

(2)

121 =+ cc

)()()(21 21

lowastlowastlowast += tyctyctykomb ττ 21 =cc

)()()()()()( 1

221121

+lowastlowastlowast ++minus+= ppp

komb otcctyccty ταττ

02211 =+ pp cc ττ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

(1)-(2) megoldaacutesa

Speciaacutelis esetek

Legyen τ2 = τ12

p = 1 (elsırendő moacutedszer) c1 = ndash 1 c2 = 2

p = 2 (maacutesodrendő moacutedszer) c1 = ndash 13 c2 = 43

21

21 pp

p

cττ

τminus

minus=12 1 cc minus=

A RE alkalmazaacutesa a leacutepeacuteskoumlz megvaacutelasztaacutesaacutera

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

)12(

)(2

minusminus

asymppp

nn

p zwK

τ

K koumlzeliacutetıleg kifejezhetı

Wn hibaacutejaacutet a 2 egyenletbıl kifejezve

rarr A keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel kapott megoldaacutesboacutel becsuumllhetı az egyik megoldaacutes hibaacuteja Uacutej leacutepeacuteskoumlz vaacutelasztaacutesa

np

nnn E

zwwty

12)( =

minusminus

asympminuslowast

τγτ p

n

uacutejE

TOL=

A RE keacutet moacutedja

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Idıfuumlggı feladatok numerikus megoldaacutesa

Alapfeladat KDE vagy PDE-rendszerhez tartozoacutekezdetieacuterteacutek- vagy vegyes feladat megoldaacutesa

Toumlbbnyire csak numerikusan lehetseacuteges1 Definiaacutelunk egy raacutecshaacuteloacutet (idıbeli leacutepeacuteskoumlz τ )

2 ezen kitőzuumlnk egy diszkreacutet feladatot

3 megoldjuk a diszkreacutet feladatot rarr numerikus megoldaacutes

4 ellenırizzuumlk hogy megfelelıen pontos-e

5 ha nem eloumllrıl kezdjuumlk egy finomabb raacutecshaacuteloacuten

Mikor joacute a numerikus moacutedszer

Konvergens (konzisztens eacutes stabil)

τrarr0 eseteacuten a numerikus megoldaacutes tart a

pontoshoz Jeloumllje ezen konvergencia

rendjeacutet p

Kvalitatiacutev moacutedon adekvaacutet

Hateacutekony

Mi a Richardson-extrapolaacutecioacute

Ha a numerikus megoldaacutes nem eleacuteg pontos a szaacutemolaacutest eloumllrıl kezdjuumlk a durvaacutebb raacutecson kapott megoldaacutes elveacutesz

Oumltlet Hasznaacuteljuk fel a reacutegi megoldaacutest egy pontosabb numerikus megoldaacutes elıaacutelliacutetaacutesaacutehozLF Richardson The deferred approach to the limit I-single latticePhilosophical Transactions of the Royal Society of London Series A

226 (1927) pp 299-349

RE uazon moacutedszert keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel alkalmazzuk (pl τ eacutes τ2) eacutes a megoldaacutesokat megfelelısuacutelyokkal aacutetlagoljuk

rarr p-ed rendő moacutedszerbıl (p+1)-ed rendő nyerhetı eacutes nem veacutesz el a koraacutebbi eredmeacutenyuumlnk

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

KDER-hez tartozoacute kezdetieacuterteacutek-feladat

folytonosan diffhatoacute

folytonos y0 adott kezdeti felteacutetel

Ez a feladattiacutepus szaacutemos mat modell alapja (koumlzvetlenuumll vagy teacuterbeli diszkretizaacutecioacute utaacuten)

)( ytfdt

dy= ][ batisin )( 0yay =

sbay realrarr][ssf realrarrreal +1

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Definiaacuteljuk a raacutecshaacuteloacutet (n=01hellipN) ahol τ a leacutepeacuteskoumlz

Jeloumlleacutes y(t) - a KDER pontos megoldaacutesa t = t-ban( )

RE egy p-edrendő numerikus moacutedszerrel τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel is elıaacutelliacutetjuk y(t) approximaacutecioacutejaacutet

(Ha t = n τ az elsı raacutecson akkor t = 2n τ2 a maacutesodik raacutecson)

τnatn +=0 at = btN =

]( bat isinlowast

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Jeloumllje a τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel nyert numerikus megoldaacutest t = t-ban zn ill wnHa a moacutedszer p-ed rendben konvergens akkor

(1)

ill

(2)

ahol K a numerikus moacutedszertıl fuumlggı mennyiseacuteg

Kuumlszoumlboumlljuumlk ki a p-ed rendő tagokat suacutelyozott aacutetlagolaacutessal

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

(1) (1)rsquo

(2) ndash (1)rsquo

rArrsdot P50 )()50(50)(50 1+lowast ++= pp

n

PP oKwty ττ

)(50)()501( 1+lowast +minus=minus p

n

P

n

P ozwty τ

)(501

50)( 1+lowast +

minusminus

=rArr p

p

n

P

n ozw

ty τ

Az uacutej koumlzeliacuteteacutes

Laacutethatoacute yn (p + 1)-edrendben koumlzeliacuteti a megoldaacutest iacutegy megfelelıen kis leacutepeacuteskoumlzoumlkre mind a zn mind a wn megoldaacutesnaacutel pontosabb

12

2

minusminus

=p

nn

p

n

zwy

A Richardon-extrapolaacutecioacute aacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

Alkalmazzunk ismeacutet p-ed rendben konvergens numerikus moacutedszert

yτ(t) a numerikus megoldaacutes t = t-ban τ leacutepeacuteskoumlző raacutecson

τ1 eacutes τ2lt τ1 leacutepeacuteskoumlzzel is megoldva a feladatot

Ceacutel (p + 1)-ed rendő pontossaacuteg

)()()()( 1+lowastlowastlowast ++= pp ottyty ττατ

)()()()( 1

11

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

)()()()( 1

22

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

A konvergenciaacutehoz szuumlkseacuteges (1)

A (p + 1)-edrendő pontossaacuteg felteacutetele

(2)

121 =+ cc

)()()(21 21

lowastlowastlowast += tyctyctykomb ττ 21 =cc

)()()()()()( 1

221121

+lowastlowastlowast ++minus+= ppp

komb otcctyccty ταττ

02211 =+ pp cc ττ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

(1)-(2) megoldaacutesa

Speciaacutelis esetek

Legyen τ2 = τ12

p = 1 (elsırendő moacutedszer) c1 = ndash 1 c2 = 2

p = 2 (maacutesodrendő moacutedszer) c1 = ndash 13 c2 = 43

21

21 pp

p

cττ

τminus

minus=12 1 cc minus=

A RE alkalmazaacutesa a leacutepeacuteskoumlz megvaacutelasztaacutesaacutera

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

)12(

)(2

minusminus

asymppp

nn

p zwK

τ

K koumlzeliacutetıleg kifejezhetı

Wn hibaacutejaacutet a 2 egyenletbıl kifejezve

rarr A keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel kapott megoldaacutesboacutel becsuumllhetı az egyik megoldaacutes hibaacuteja Uacutej leacutepeacuteskoumlz vaacutelasztaacutesa

np

nnn E

zwwty

12)( =

minusminus

asympminuslowast

τγτ p

n

uacutejE

TOL=

A RE keacutet moacutedja

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Mikor joacute a numerikus moacutedszer

Konvergens (konzisztens eacutes stabil)

τrarr0 eseteacuten a numerikus megoldaacutes tart a

pontoshoz Jeloumllje ezen konvergencia

rendjeacutet p

Kvalitatiacutev moacutedon adekvaacutet

Hateacutekony

Mi a Richardson-extrapolaacutecioacute

Ha a numerikus megoldaacutes nem eleacuteg pontos a szaacutemolaacutest eloumllrıl kezdjuumlk a durvaacutebb raacutecson kapott megoldaacutes elveacutesz

Oumltlet Hasznaacuteljuk fel a reacutegi megoldaacutest egy pontosabb numerikus megoldaacutes elıaacutelliacutetaacutesaacutehozLF Richardson The deferred approach to the limit I-single latticePhilosophical Transactions of the Royal Society of London Series A

226 (1927) pp 299-349

RE uazon moacutedszert keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel alkalmazzuk (pl τ eacutes τ2) eacutes a megoldaacutesokat megfelelısuacutelyokkal aacutetlagoljuk

rarr p-ed rendő moacutedszerbıl (p+1)-ed rendő nyerhetı eacutes nem veacutesz el a koraacutebbi eredmeacutenyuumlnk

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

KDER-hez tartozoacute kezdetieacuterteacutek-feladat

folytonosan diffhatoacute

folytonos y0 adott kezdeti felteacutetel

Ez a feladattiacutepus szaacutemos mat modell alapja (koumlzvetlenuumll vagy teacuterbeli diszkretizaacutecioacute utaacuten)

)( ytfdt

dy= ][ batisin )( 0yay =

sbay realrarr][ssf realrarrreal +1

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Definiaacuteljuk a raacutecshaacuteloacutet (n=01hellipN) ahol τ a leacutepeacuteskoumlz

Jeloumlleacutes y(t) - a KDER pontos megoldaacutesa t = t-ban( )

RE egy p-edrendő numerikus moacutedszerrel τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel is elıaacutelliacutetjuk y(t) approximaacutecioacutejaacutet

(Ha t = n τ az elsı raacutecson akkor t = 2n τ2 a maacutesodik raacutecson)

τnatn +=0 at = btN =

]( bat isinlowast

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Jeloumllje a τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel nyert numerikus megoldaacutest t = t-ban zn ill wnHa a moacutedszer p-ed rendben konvergens akkor

(1)

ill

(2)

ahol K a numerikus moacutedszertıl fuumlggı mennyiseacuteg

Kuumlszoumlboumlljuumlk ki a p-ed rendő tagokat suacutelyozott aacutetlagolaacutessal

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

(1) (1)rsquo

(2) ndash (1)rsquo

rArrsdot P50 )()50(50)(50 1+lowast ++= pp

n

PP oKwty ττ

)(50)()501( 1+lowast +minus=minus p

n

P

n

P ozwty τ

)(501

50)( 1+lowast +

minusminus

=rArr p

p

n

P

n ozw

ty τ

Az uacutej koumlzeliacuteteacutes

Laacutethatoacute yn (p + 1)-edrendben koumlzeliacuteti a megoldaacutest iacutegy megfelelıen kis leacutepeacuteskoumlzoumlkre mind a zn mind a wn megoldaacutesnaacutel pontosabb

12

2

minusminus

=p

nn

p

n

zwy

A Richardon-extrapolaacutecioacute aacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

Alkalmazzunk ismeacutet p-ed rendben konvergens numerikus moacutedszert

yτ(t) a numerikus megoldaacutes t = t-ban τ leacutepeacuteskoumlző raacutecson

τ1 eacutes τ2lt τ1 leacutepeacuteskoumlzzel is megoldva a feladatot

Ceacutel (p + 1)-ed rendő pontossaacuteg

)()()()( 1+lowastlowastlowast ++= pp ottyty ττατ

)()()()( 1

11

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

)()()()( 1

22

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

A konvergenciaacutehoz szuumlkseacuteges (1)

A (p + 1)-edrendő pontossaacuteg felteacutetele

(2)

121 =+ cc

)()()(21 21

lowastlowastlowast += tyctyctykomb ττ 21 =cc

)()()()()()( 1

221121

+lowastlowastlowast ++minus+= ppp

komb otcctyccty ταττ

02211 =+ pp cc ττ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

(1)-(2) megoldaacutesa

Speciaacutelis esetek

Legyen τ2 = τ12

p = 1 (elsırendő moacutedszer) c1 = ndash 1 c2 = 2

p = 2 (maacutesodrendő moacutedszer) c1 = ndash 13 c2 = 43

21

21 pp

p

cττ

τminus

minus=12 1 cc minus=

A RE alkalmazaacutesa a leacutepeacuteskoumlz megvaacutelasztaacutesaacutera

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

)12(

)(2

minusminus

asymppp

nn

p zwK

τ

K koumlzeliacutetıleg kifejezhetı

Wn hibaacutejaacutet a 2 egyenletbıl kifejezve

rarr A keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel kapott megoldaacutesboacutel becsuumllhetı az egyik megoldaacutes hibaacuteja Uacutej leacutepeacuteskoumlz vaacutelasztaacutesa

np

nnn E

zwwty

12)( =

minusminus

asympminuslowast

τγτ p

n

uacutejE

TOL=

A RE keacutet moacutedja

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Mi a Richardson-extrapolaacutecioacute

Ha a numerikus megoldaacutes nem eleacuteg pontos a szaacutemolaacutest eloumllrıl kezdjuumlk a durvaacutebb raacutecson kapott megoldaacutes elveacutesz

Oumltlet Hasznaacuteljuk fel a reacutegi megoldaacutest egy pontosabb numerikus megoldaacutes elıaacutelliacutetaacutesaacutehozLF Richardson The deferred approach to the limit I-single latticePhilosophical Transactions of the Royal Society of London Series A

226 (1927) pp 299-349

RE uazon moacutedszert keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel alkalmazzuk (pl τ eacutes τ2) eacutes a megoldaacutesokat megfelelısuacutelyokkal aacutetlagoljuk

rarr p-ed rendő moacutedszerbıl (p+1)-ed rendő nyerhetı eacutes nem veacutesz el a koraacutebbi eredmeacutenyuumlnk

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

KDER-hez tartozoacute kezdetieacuterteacutek-feladat

folytonosan diffhatoacute

folytonos y0 adott kezdeti felteacutetel

Ez a feladattiacutepus szaacutemos mat modell alapja (koumlzvetlenuumll vagy teacuterbeli diszkretizaacutecioacute utaacuten)

)( ytfdt

dy= ][ batisin )( 0yay =

sbay realrarr][ssf realrarrreal +1

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Definiaacuteljuk a raacutecshaacuteloacutet (n=01hellipN) ahol τ a leacutepeacuteskoumlz

Jeloumlleacutes y(t) - a KDER pontos megoldaacutesa t = t-ban( )

RE egy p-edrendő numerikus moacutedszerrel τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel is elıaacutelliacutetjuk y(t) approximaacutecioacutejaacutet

(Ha t = n τ az elsı raacutecson akkor t = 2n τ2 a maacutesodik raacutecson)

τnatn +=0 at = btN =

]( bat isinlowast

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Jeloumllje a τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel nyert numerikus megoldaacutest t = t-ban zn ill wnHa a moacutedszer p-ed rendben konvergens akkor

(1)

ill

(2)

ahol K a numerikus moacutedszertıl fuumlggı mennyiseacuteg

Kuumlszoumlboumlljuumlk ki a p-ed rendő tagokat suacutelyozott aacutetlagolaacutessal

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

(1) (1)rsquo

(2) ndash (1)rsquo

rArrsdot P50 )()50(50)(50 1+lowast ++= pp

n

PP oKwty ττ

)(50)()501( 1+lowast +minus=minus p

n

P

n

P ozwty τ

)(501

50)( 1+lowast +

minusminus

=rArr p

p

n

P

n ozw

ty τ

Az uacutej koumlzeliacuteteacutes

Laacutethatoacute yn (p + 1)-edrendben koumlzeliacuteti a megoldaacutest iacutegy megfelelıen kis leacutepeacuteskoumlzoumlkre mind a zn mind a wn megoldaacutesnaacutel pontosabb

12

2

minusminus

=p

nn

p

n

zwy

A Richardon-extrapolaacutecioacute aacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

Alkalmazzunk ismeacutet p-ed rendben konvergens numerikus moacutedszert

yτ(t) a numerikus megoldaacutes t = t-ban τ leacutepeacuteskoumlző raacutecson

τ1 eacutes τ2lt τ1 leacutepeacuteskoumlzzel is megoldva a feladatot

Ceacutel (p + 1)-ed rendő pontossaacuteg

)()()()( 1+lowastlowastlowast ++= pp ottyty ττατ

)()()()( 1

11

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

)()()()( 1

22

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

A konvergenciaacutehoz szuumlkseacuteges (1)

A (p + 1)-edrendő pontossaacuteg felteacutetele

(2)

121 =+ cc

)()()(21 21

lowastlowastlowast += tyctyctykomb ττ 21 =cc

)()()()()()( 1

221121

+lowastlowastlowast ++minus+= ppp

komb otcctyccty ταττ

02211 =+ pp cc ττ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

(1)-(2) megoldaacutesa

Speciaacutelis esetek

Legyen τ2 = τ12

p = 1 (elsırendő moacutedszer) c1 = ndash 1 c2 = 2

p = 2 (maacutesodrendő moacutedszer) c1 = ndash 13 c2 = 43

21

21 pp

p

cττ

τminus

minus=12 1 cc minus=

A RE alkalmazaacutesa a leacutepeacuteskoumlz megvaacutelasztaacutesaacutera

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

)12(

)(2

minusminus

asymppp

nn

p zwK

τ

K koumlzeliacutetıleg kifejezhetı

Wn hibaacutejaacutet a 2 egyenletbıl kifejezve

rarr A keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel kapott megoldaacutesboacutel becsuumllhetı az egyik megoldaacutes hibaacuteja Uacutej leacutepeacuteskoumlz vaacutelasztaacutesa

np

nnn E

zwwty

12)( =

minusminus

asympminuslowast

τγτ p

n

uacutejE

TOL=

A RE keacutet moacutedja

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

KDER-hez tartozoacute kezdetieacuterteacutek-feladat

folytonosan diffhatoacute

folytonos y0 adott kezdeti felteacutetel

Ez a feladattiacutepus szaacutemos mat modell alapja (koumlzvetlenuumll vagy teacuterbeli diszkretizaacutecioacute utaacuten)

)( ytfdt

dy= ][ batisin )( 0yay =

sbay realrarr][ssf realrarrreal +1

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Definiaacuteljuk a raacutecshaacuteloacutet (n=01hellipN) ahol τ a leacutepeacuteskoumlz

Jeloumlleacutes y(t) - a KDER pontos megoldaacutesa t = t-ban( )

RE egy p-edrendő numerikus moacutedszerrel τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel is elıaacutelliacutetjuk y(t) approximaacutecioacutejaacutet

(Ha t = n τ az elsı raacutecson akkor t = 2n τ2 a maacutesodik raacutecson)

τnatn +=0 at = btN =

]( bat isinlowast

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Jeloumllje a τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel nyert numerikus megoldaacutest t = t-ban zn ill wnHa a moacutedszer p-ed rendben konvergens akkor

(1)

ill

(2)

ahol K a numerikus moacutedszertıl fuumlggı mennyiseacuteg

Kuumlszoumlboumlljuumlk ki a p-ed rendő tagokat suacutelyozott aacutetlagolaacutessal

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

(1) (1)rsquo

(2) ndash (1)rsquo

rArrsdot P50 )()50(50)(50 1+lowast ++= pp

n

PP oKwty ττ

)(50)()501( 1+lowast +minus=minus p

n

P

n

P ozwty τ

)(501

50)( 1+lowast +

minusminus

=rArr p

p

n

P

n ozw

ty τ

Az uacutej koumlzeliacuteteacutes

Laacutethatoacute yn (p + 1)-edrendben koumlzeliacuteti a megoldaacutest iacutegy megfelelıen kis leacutepeacuteskoumlzoumlkre mind a zn mind a wn megoldaacutesnaacutel pontosabb

12

2

minusminus

=p

nn

p

n

zwy

A Richardon-extrapolaacutecioacute aacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

Alkalmazzunk ismeacutet p-ed rendben konvergens numerikus moacutedszert

yτ(t) a numerikus megoldaacutes t = t-ban τ leacutepeacuteskoumlző raacutecson

τ1 eacutes τ2lt τ1 leacutepeacuteskoumlzzel is megoldva a feladatot

Ceacutel (p + 1)-ed rendő pontossaacuteg

)()()()( 1+lowastlowastlowast ++= pp ottyty ττατ

)()()()( 1

11

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

)()()()( 1

22

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

A konvergenciaacutehoz szuumlkseacuteges (1)

A (p + 1)-edrendő pontossaacuteg felteacutetele

(2)

121 =+ cc

)()()(21 21

lowastlowastlowast += tyctyctykomb ττ 21 =cc

)()()()()()( 1

221121

+lowastlowastlowast ++minus+= ppp

komb otcctyccty ταττ

02211 =+ pp cc ττ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

(1)-(2) megoldaacutesa

Speciaacutelis esetek

Legyen τ2 = τ12

p = 1 (elsırendő moacutedszer) c1 = ndash 1 c2 = 2

p = 2 (maacutesodrendő moacutedszer) c1 = ndash 13 c2 = 43

21

21 pp

p

cττ

τminus

minus=12 1 cc minus=

A RE alkalmazaacutesa a leacutepeacuteskoumlz megvaacutelasztaacutesaacutera

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

)12(

)(2

minusminus

asymppp

nn

p zwK

τ

K koumlzeliacutetıleg kifejezhetı

Wn hibaacutejaacutet a 2 egyenletbıl kifejezve

rarr A keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel kapott megoldaacutesboacutel becsuumllhetı az egyik megoldaacutes hibaacuteja Uacutej leacutepeacuteskoumlz vaacutelasztaacutesa

np

nnn E

zwwty

12)( =

minusminus

asympminuslowast

τγτ p

n

uacutejE

TOL=

A RE keacutet moacutedja

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Definiaacuteljuk a raacutecshaacuteloacutet (n=01hellipN) ahol τ a leacutepeacuteskoumlz

Jeloumlleacutes y(t) - a KDER pontos megoldaacutesa t = t-ban( )

RE egy p-edrendő numerikus moacutedszerrel τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel is elıaacutelliacutetjuk y(t) approximaacutecioacutejaacutet

(Ha t = n τ az elsı raacutecson akkor t = 2n τ2 a maacutesodik raacutecson)

τnatn +=0 at = btN =

]( bat isinlowast

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Jeloumllje a τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel nyert numerikus megoldaacutest t = t-ban zn ill wnHa a moacutedszer p-ed rendben konvergens akkor

(1)

ill

(2)

ahol K a numerikus moacutedszertıl fuumlggı mennyiseacuteg

Kuumlszoumlboumlljuumlk ki a p-ed rendő tagokat suacutelyozott aacutetlagolaacutessal

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

(1) (1)rsquo

(2) ndash (1)rsquo

rArrsdot P50 )()50(50)(50 1+lowast ++= pp

n

PP oKwty ττ

)(50)()501( 1+lowast +minus=minus p

n

P

n

P ozwty τ

)(501

50)( 1+lowast +

minusminus

=rArr p

p

n

P

n ozw

ty τ

Az uacutej koumlzeliacuteteacutes

Laacutethatoacute yn (p + 1)-edrendben koumlzeliacuteti a megoldaacutest iacutegy megfelelıen kis leacutepeacuteskoumlzoumlkre mind a zn mind a wn megoldaacutesnaacutel pontosabb

12

2

minusminus

=p

nn

p

n

zwy

A Richardon-extrapolaacutecioacute aacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

Alkalmazzunk ismeacutet p-ed rendben konvergens numerikus moacutedszert

yτ(t) a numerikus megoldaacutes t = t-ban τ leacutepeacuteskoumlző raacutecson

τ1 eacutes τ2lt τ1 leacutepeacuteskoumlzzel is megoldva a feladatot

Ceacutel (p + 1)-ed rendő pontossaacuteg

)()()()( 1+lowastlowastlowast ++= pp ottyty ττατ

)()()()( 1

11

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

)()()()( 1

22

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

A konvergenciaacutehoz szuumlkseacuteges (1)

A (p + 1)-edrendő pontossaacuteg felteacutetele

(2)

121 =+ cc

)()()(21 21

lowastlowastlowast += tyctyctykomb ττ 21 =cc

)()()()()()( 1

221121

+lowastlowastlowast ++minus+= ppp

komb otcctyccty ταττ

02211 =+ pp cc ττ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

(1)-(2) megoldaacutesa

Speciaacutelis esetek

Legyen τ2 = τ12

p = 1 (elsırendő moacutedszer) c1 = ndash 1 c2 = 2

p = 2 (maacutesodrendő moacutedszer) c1 = ndash 13 c2 = 43

21

21 pp

p

cττ

τminus

minus=12 1 cc minus=

A RE alkalmazaacutesa a leacutepeacuteskoumlz megvaacutelasztaacutesaacutera

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

)12(

)(2

minusminus

asymppp

nn

p zwK

τ

K koumlzeliacutetıleg kifejezhetı

Wn hibaacutejaacutet a 2 egyenletbıl kifejezve

rarr A keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel kapott megoldaacutesboacutel becsuumllhetı az egyik megoldaacutes hibaacuteja Uacutej leacutepeacuteskoumlz vaacutelasztaacutesa

np

nnn E

zwwty

12)( =

minusminus

asympminuslowast

τγτ p

n

uacutejE

TOL=

A RE keacutet moacutedja

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

Jeloumllje a τ eacutes τ2 leacutepeacuteskoumlzzel nyert numerikus megoldaacutest t = t-ban zn ill wnHa a moacutedszer p-ed rendben konvergens akkor

(1)

ill

(2)

ahol K a numerikus moacutedszertıl fuumlggı mennyiseacuteg

Kuumlszoumlboumlljuumlk ki a p-ed rendő tagokat suacutelyozott aacutetlagolaacutessal

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

(1) (1)rsquo

(2) ndash (1)rsquo

rArrsdot P50 )()50(50)(50 1+lowast ++= pp

n

PP oKwty ττ

)(50)()501( 1+lowast +minus=minus p

n

P

n

P ozwty τ

)(501

50)( 1+lowast +

minusminus

=rArr p

p

n

P

n ozw

ty τ

Az uacutej koumlzeliacuteteacutes

Laacutethatoacute yn (p + 1)-edrendben koumlzeliacuteti a megoldaacutest iacutegy megfelelıen kis leacutepeacuteskoumlzoumlkre mind a zn mind a wn megoldaacutesnaacutel pontosabb

12

2

minusminus

=p

nn

p

n

zwy

A Richardon-extrapolaacutecioacute aacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

Alkalmazzunk ismeacutet p-ed rendben konvergens numerikus moacutedszert

yτ(t) a numerikus megoldaacutes t = t-ban τ leacutepeacuteskoumlző raacutecson

τ1 eacutes τ2lt τ1 leacutepeacuteskoumlzzel is megoldva a feladatot

Ceacutel (p + 1)-ed rendő pontossaacuteg

)()()()( 1+lowastlowastlowast ++= pp ottyty ττατ

)()()()( 1

11

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

)()()()( 1

22

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

A konvergenciaacutehoz szuumlkseacuteges (1)

A (p + 1)-edrendő pontossaacuteg felteacutetele

(2)

121 =+ cc

)()()(21 21

lowastlowastlowast += tyctyctykomb ττ 21 =cc

)()()()()()( 1

221121

+lowastlowastlowast ++minus+= ppp

komb otcctyccty ταττ

02211 =+ pp cc ττ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

(1)-(2) megoldaacutesa

Speciaacutelis esetek

Legyen τ2 = τ12

p = 1 (elsırendő moacutedszer) c1 = ndash 1 c2 = 2

p = 2 (maacutesodrendő moacutedszer) c1 = ndash 13 c2 = 43

21

21 pp

p

cττ

τminus

minus=12 1 cc minus=

A RE alkalmazaacutesa a leacutepeacuteskoumlz megvaacutelasztaacutesaacutera

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

)12(

)(2

minusminus

asymppp

nn

p zwK

τ

K koumlzeliacutetıleg kifejezhetı

Wn hibaacutejaacutet a 2 egyenletbıl kifejezve

rarr A keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel kapott megoldaacutesboacutel becsuumllhetı az egyik megoldaacutes hibaacuteja Uacutej leacutepeacuteskoumlz vaacutelasztaacutesa

np

nnn E

zwwty

12)( =

minusminus

asympminuslowast

τγτ p

n

uacutejE

TOL=

A RE keacutet moacutedja

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A RE alkalmazaacutesa KDER-ben

(1) (1)rsquo

(2) ndash (1)rsquo

rArrsdot P50 )()50(50)(50 1+lowast ++= pp

n

PP oKwty ττ

)(50)()501( 1+lowast +minus=minus p

n

P

n

P ozwty τ

)(501

50)( 1+lowast +

minusminus

=rArr p

p

n

P

n ozw

ty τ

Az uacutej koumlzeliacuteteacutes

Laacutethatoacute yn (p + 1)-edrendben koumlzeliacuteti a megoldaacutest iacutegy megfelelıen kis leacutepeacuteskoumlzoumlkre mind a zn mind a wn megoldaacutesnaacutel pontosabb

12

2

minusminus

=p

nn

p

n

zwy

A Richardon-extrapolaacutecioacute aacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

Alkalmazzunk ismeacutet p-ed rendben konvergens numerikus moacutedszert

yτ(t) a numerikus megoldaacutes t = t-ban τ leacutepeacuteskoumlző raacutecson

τ1 eacutes τ2lt τ1 leacutepeacuteskoumlzzel is megoldva a feladatot

Ceacutel (p + 1)-ed rendő pontossaacuteg

)()()()( 1+lowastlowastlowast ++= pp ottyty ττατ

)()()()( 1

11

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

)()()()( 1

22

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

A konvergenciaacutehoz szuumlkseacuteges (1)

A (p + 1)-edrendő pontossaacuteg felteacutetele

(2)

121 =+ cc

)()()(21 21

lowastlowastlowast += tyctyctykomb ττ 21 =cc

)()()()()()( 1

221121

+lowastlowastlowast ++minus+= ppp

komb otcctyccty ταττ

02211 =+ pp cc ττ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

(1)-(2) megoldaacutesa

Speciaacutelis esetek

Legyen τ2 = τ12

p = 1 (elsırendő moacutedszer) c1 = ndash 1 c2 = 2

p = 2 (maacutesodrendő moacutedszer) c1 = ndash 13 c2 = 43

21

21 pp

p

cττ

τminus

minus=12 1 cc minus=

A RE alkalmazaacutesa a leacutepeacuteskoumlz megvaacutelasztaacutesaacutera

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

)12(

)(2

minusminus

asymppp

nn

p zwK

τ

K koumlzeliacutetıleg kifejezhetı

Wn hibaacutejaacutet a 2 egyenletbıl kifejezve

rarr A keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel kapott megoldaacutesboacutel becsuumllhetı az egyik megoldaacutes hibaacuteja Uacutej leacutepeacuteskoumlz vaacutelasztaacutesa

np

nnn E

zwwty

12)( =

minusminus

asympminuslowast

τγτ p

n

uacutejE

TOL=

A RE keacutet moacutedja

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A Richardon-extrapolaacutecioacute aacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

Alkalmazzunk ismeacutet p-ed rendben konvergens numerikus moacutedszert

yτ(t) a numerikus megoldaacutes t = t-ban τ leacutepeacuteskoumlző raacutecson

τ1 eacutes τ2lt τ1 leacutepeacuteskoumlzzel is megoldva a feladatot

Ceacutel (p + 1)-ed rendő pontossaacuteg

)()()()( 1+lowastlowastlowast ++= pp ottyty ττατ

)()()()( 1

11

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

)()()()( 1

22

+lowastlowastlowast ++= ppottyty ττατ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

A konvergenciaacutehoz szuumlkseacuteges (1)

A (p + 1)-edrendő pontossaacuteg felteacutetele

(2)

121 =+ cc

)()()(21 21

lowastlowastlowast += tyctyctykomb ττ 21 =cc

)()()()()()( 1

221121

+lowastlowastlowast ++minus+= ppp

komb otcctyccty ταττ

02211 =+ pp cc ττ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

(1)-(2) megoldaacutesa

Speciaacutelis esetek

Legyen τ2 = τ12

p = 1 (elsırendő moacutedszer) c1 = ndash 1 c2 = 2

p = 2 (maacutesodrendő moacutedszer) c1 = ndash 13 c2 = 43

21

21 pp

p

cττ

τminus

minus=12 1 cc minus=

A RE alkalmazaacutesa a leacutepeacuteskoumlz megvaacutelasztaacutesaacutera

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

)12(

)(2

minusminus

asymppp

nn

p zwK

τ

K koumlzeliacutetıleg kifejezhetı

Wn hibaacutejaacutet a 2 egyenletbıl kifejezve

rarr A keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel kapott megoldaacutesboacutel becsuumllhetı az egyik megoldaacutes hibaacuteja Uacutej leacutepeacuteskoumlz vaacutelasztaacutesa

np

nnn E

zwwty

12)( =

minusminus

asympminuslowast

τγτ p

n

uacutejE

TOL=

A RE keacutet moacutedja

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

A konvergenciaacutehoz szuumlkseacuteges (1)

A (p + 1)-edrendő pontossaacuteg felteacutetele

(2)

121 =+ cc

)()()(21 21

lowastlowastlowast += tyctyctykomb ττ 21 =cc

)()()()()()( 1

221121

+lowastlowastlowast ++minus+= ppp

komb otcctyccty ταττ

02211 =+ pp cc ττ

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

(1)-(2) megoldaacutesa

Speciaacutelis esetek

Legyen τ2 = τ12

p = 1 (elsırendő moacutedszer) c1 = ndash 1 c2 = 2

p = 2 (maacutesodrendő moacutedszer) c1 = ndash 13 c2 = 43

21

21 pp

p

cττ

τminus

minus=12 1 cc minus=

A RE alkalmazaacutesa a leacutepeacuteskoumlz megvaacutelasztaacutesaacutera

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

)12(

)(2

minusminus

asymppp

nn

p zwK

τ

K koumlzeliacutetıleg kifejezhetı

Wn hibaacutejaacutet a 2 egyenletbıl kifejezve

rarr A keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel kapott megoldaacutesboacutel becsuumllhetı az egyik megoldaacutes hibaacuteja Uacutej leacutepeacuteskoumlz vaacutelasztaacutesa

np

nnn E

zwwty

12)( =

minusminus

asympminuslowast

τγτ p

n

uacutejE

TOL=

A RE keacutet moacutedja

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A Richardson-extrapolaacutecioacuteaacuteltalaacutenosabb megkoumlzeliacuteteacutesben

(1)-(2) megoldaacutesa

Speciaacutelis esetek

Legyen τ2 = τ12

p = 1 (elsırendő moacutedszer) c1 = ndash 1 c2 = 2

p = 2 (maacutesodrendő moacutedszer) c1 = ndash 13 c2 = 43

21

21 pp

p

cττ

τminus

minus=12 1 cc minus=

A RE alkalmazaacutesa a leacutepeacuteskoumlz megvaacutelasztaacutesaacutera

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

)12(

)(2

minusminus

asymppp

nn

p zwK

τ

K koumlzeliacutetıleg kifejezhetı

Wn hibaacutejaacutet a 2 egyenletbıl kifejezve

rarr A keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel kapott megoldaacutesboacutel becsuumllhetı az egyik megoldaacutes hibaacuteja Uacutej leacutepeacuteskoumlz vaacutelasztaacutesa

np

nnn E

zwwty

12)( =

minusminus

asympminuslowast

τγτ p

n

uacutejE

TOL=

A RE keacutet moacutedja

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A RE alkalmazaacutesa a leacutepeacuteskoumlz megvaacutelasztaacutesaacutera

)()( 1+lowast ++= pp

n oKzty ττ

)()50()( 1+lowast ++= pp

n oKwty ττ

)12(

)(2

minusminus

asymppp

nn

p zwK

τ

K koumlzeliacutetıleg kifejezhetı

Wn hibaacutejaacutet a 2 egyenletbıl kifejezve

rarr A keacutet kuumlloumlnboumlzı leacutepeacuteskoumlzzel kapott megoldaacutesboacutel becsuumllhetı az egyik megoldaacutes hibaacuteja Uacutej leacutepeacuteskoumlz vaacutelasztaacutesa

np

nnn E

zwwty

12)( =

minusminus

asympminuslowast

τγτ p

n

uacutejE

TOL=

A RE keacutet moacutedja

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A RE keacutet moacutedja

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Passziacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Aktiacutev Richardson-extrapolaacutecioacute

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A RE konvergenciaacuteja

Passziacutev RE ha a moumlgoumlttes (p-edrendő) moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is az

Mi a helyzet az aktiacutev RE-valLegyen a moumlgoumlttes moacutedszer egy RungendashKutta-moacutedszerExplicit RK (ERK)

Diagonaacutelisan implicit RK (DIRK)

sum=

+ +=m

i

iinn kbyy1

1

)(1

1

summinus

=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ)(1 nn yxfk = mi 2=

)(1

sum=

++=i

j

jijnini kaycxfk ττ

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A RE konvergenciaacuteja ndash folyt

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2011) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes azaz

valamely L konstans mellett Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

Teacutetel (Faragoacute H Zlatev 2012) Tegyuumlk fel hogy f a 2 vaacuteltozoacutejaacuteban lipschitzes Ekkor a diagonaacutelisan implicit Runge-Kutta + aktiacutev RE moacutedszer konvergens

lowastlowast minusleminus nnnnnn yyLytfytf )()(

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A RE stabilitaacutesa roumlgziacutetett raacutecson

Keacuterdeacutes a RE megırzi-e a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesi tulajdonsaacutegait

Vaacutelasz fuumlgg a RE moacutedjaacutetoacutel

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Stabilitaacutesi fogalmak

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (valoacutes eset)

(Ekkor a pontos mo korlaacutetos)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

R(τλ) ndash a moacutedszer stabilitaacutesi fuumlggveacutenye

Stabilitaacutes

Felteacutetele

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint 0leλ

0))(( yRy n

n τλ=

Νisinforalllegtexist nKyK n ||0

1|)(| leτλR

1)( minus= nn yRy τλ rArr

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Stabilitaacutesi fogalmak

Jeloumlleacutes

Keacuterdeacutes mely eacuterteacutekeire lesz

Passziacutev RE oumlroumlkli a moumlgoumlttes moacutedszer stabilitaacutesaacutet

Aktiacutev RE

Vizsgaacuteljuk meg kuumlloumlnboumlzı moumlgoumlttes moacutedszerekre (EE IE KP)

Megjegyzeacutes elınyoumls ha ugyanis

eseteacuten a megoldaacutes leacutepeacutesenkeacutent elıjelet

vaacutelt (oszcillaacutecioacute)

τλmicro =micro 1|)(| lemicroR

0)( gemicroR

0)( ltmicroR

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Az EE moacutedszer felteacutetelesen stabilAz EE + aktiacutev RE moacutedszer pontosan akkor stabil ha a keacutetEE-leacutepeacutes kuumlloumln-kuumlloumln is az

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Az IE moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabilAz IE + aktiacutev RE moacutedszer mindig stabil de nagy leacutepeacuteskoumlzre a stabilitaacutesi fuumlggveacuteny negatiacutev rarr oszcillaacutecioacute

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A KP moacutedszer felteacutetel neacutelkuumll stabil de a stab fv tuacutel nagyleacutepeacuteskoumlzre negatiacutev rarr oszcillaacutecioacuteA KP + aktiacutev RE moacutedszer felteacutetelesen stabil de oszcmentes

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Stabilitaacutesi fogalmak aacuteltalaacutenosabb taacutergyalaacutesban

Dahlquist-feacutele tesztfeladat (komplex eset)

Numerikus moacutedszer alkalmazaacutesa

A-stabil moacutedszer tetszıleges leacutepeacuteskoumlzzel korlaacutetos marad a megoldaacutes

azaz minden eseteacuten

L-stabil A-stabil eacutes

L-stabil A-stabil

)()( tyty λ= )0( 0yy =)0[ infinisint minusisinCλ

0))(( yRy n

n micro=

0)(limRe

=minusinfinrarr

micromicro

R

1|)(| lemicroRminusisinCmicro

rArr

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A RE stabilitaacutesa

Teacutetelek

Tegyuumlk fel hogy a moumlgoumlttes moacutedszer A-stabil (L-stabil) ekkor a passziacutev RE-val kombinaacutelva is A-stabil (L-stabil) moacutedszert nyeruumlnk

KP + aktiacutev RE nem A-stabil

IE + aktiacutev RE L-stabil

Θ-moacutedszer + aktiacutev RE eseteacuten A-stabil

]132[isinθ

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A moacutedszerek idıigeacutenye

Az N eacutes 2N leacutepeacutessel dolgozoacute passziacutev eacutes aktiacutev RE kb maacutesfeacutelszer annyi mőveletet igeacutenyel mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

Ha N leacutepeacuteskoumlzre maacuter rendelkezeacutesre aacutell a megoldaacutes akkor a passziacutev RE alkalmazaacutesa alig igeacutenyel toumlbb mőveletet mint a moumlgoumlttes moacutedszer alkalmazaacutesa 2N leacutepeacuteskoumlzzel

Paacuterhuzamos szaacutemiacutetoacutegeacutepeken az aktiacutev RE nem igeacutenyel leacutenyegesen toumlbb idıt mint a moumlgoumlttes moacutedszer 2N leacutepeacutese

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A RE alkalmazaacutesa

A RE keacutet vaacuteltozataacutet a koumlv feladatok megoldaacutesaacutera alkalmaztuk

1 Egyszerősiacutetett globaacutelis CO2-modell (BrajnovitsBrigitta)

2 Leacutegkoumlrkeacutemiai modell (Faragoacute Istvaacuten ZahariZlatev)

3 Uumlzemanyagcella-modell (Szaboacute Tamaacutes)

4 Reakcioacute-diffuacutezioacutes modellek biokeacutemiai alkalmazaacutesokkal (Lagzi Istvaacuten Mona Tamaacutes)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

A modell heacutet taacuterozoacute koumlzoumltt iacuterja le a szeacuten-dioxid koumlrforgalmaacutet

Felsıleacutegkoumlr (ua) Alsoacuteleacutegkoumlr (la) Roumlvid eacutelető eacutelıleacutenyek (sb) Hosszuacute eacutelető eacutelıleacutenyek (lb) Felsı oacuteceaacuteni reacuteteg (ul) Meacutelyoacuteceaacuteni reacuteteg (dl) Tengeri eacutelıvilaacuteg (mb)

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Alkalmazaacutes egy egyszerősiacutetett CO2-modellben

Homogeacuten eloszlaacutes a taacuterozoacutekban rarr heacutet KDE-bıl aacutelloacute(idıfuumlggı) rendszer

Pl az alsoacuteleacutegkoumlr egyenlete

)(

tQcccccccc

dt

dc

laul

laul

lalb

lalb

lasb

lasb

laua

lauala +minus

+minus

+minus

+minus

=ττττ

]21001850[isint

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A referenciamegoldaacutes haacuterom kivaacute-lasztott taacuterozoacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Explicit Euler (EE) moacutedszerrel (p =1)

n EE EE + passziacutev RE

10 240E+11 240E+11

20 291E-04 (-) 530E-07 (-)

40 145E-04 (20036) 133E-07 (40000)

80 726E-05 (20016) 331E-08 (40000)

160 363E-05 (20008) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Implicit Euler (IE) moacutedszerrel (p =1)

n IE IE + passziacutev RE

10 576E-04 212E-06

20 289E-04 (19928) 530E-07 (40000)

40 145E-04 (19964) 133E-07 (40000)

80 724E-05 (19980) 331E-08 (40000)

160 362E-05 (19992) 828E-09 (40000)

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Abszoluacutet hibaacutek t = 2100-ban az alsoacuteleacutegkoumlri CO2-koncentraacutecioacutera

Koumlzeacutepponti (KP) moacutedszerrel (p =2)

n KP KP + passziacutev RE

10 431E-06 144E-11

20 108E-06 (40000) 145E-12 (99602)

40 269E-07 (40000) 658E-13 (22012)

80 673E-08 (40000) 655E-13 (10052)

160 168E-08 (40000) 576E-13 (11365)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges idıleacutepeacutesek szaacutema (KP moacutedszer)

Globaacutelis hiba KP KP + RE

[10E-04 10E-05] 5 -

[10E-05 10E-06] 10 -

[10E-06 10E-07] 40 -

[10E-07 10E-08] 80 -

[10E-08 10E-09] 320 -

[10E-09 10E-10] 1280 15

[10E-10 10E-11] 2560 30

[10E-11 10E-12] - 60

[10E-12 10E-13] - 120

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Alkalmazaacutes az UNI-DEM leacutegkoumlrkeacutemiai almodelljeacuteben

az EMEP modellben is alkalmazott keacutemiai reakcioacuteseacutema 56 anyagfajtaacuteval

nemlineaacuteris KDER egyes anyagfajtaacutek lassan maacutesok gyorsan

alakulnak aacutet rarr erısen merev rendszer 24 oacuteraacutes idıintervallum referenciamegoldaacutes neacutegyleacutepeacutesesoumltoumldrendő

L-stabil implicit Runge-Kutta moacutedszerrel a hibaacutet maximumnormaacuteban meacuterjuumlk

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A IE + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

n IE IE + aktiacutev RE IE + passziacutev RE

1344 3063E-1 7708E-3 6727E-3

2688 1516E-1 (202) 1960E-3 (393) 1739E-3 (387)

5376 7536E-2 (201) 5453E-4 (359) 4417E-4 (394)

10752 3757E-2 (201) 1455E-4 (375) 1113E-4 (397)

21504 1876E-2 (200) 3765E-5 (386) 2793E-5 (398)

43008 9371E-3 (200) 9583E-6 (393) 6997E-6 (399)

86016 4684E-3 (200) 2418E-6 (396) 1751E-6 (400)

172032 2341E-3 (200) 6072E-7 (398) 4379E-7 (400)

344064 1171E-3 (200) 1522E-7 (399) 1095E-7 (400)

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Adott pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez szuumlkseacuteges geacutepidı (s) eacutes leacutepeacutesszaacutem (IE moacutedszer)

Globaacutelis hiba

IE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

IE + RE

Geacutepidı Leacutepeacutesszaacutem

[1E-1 1E-2] 274 5376 304 672

[1E-2 1E-3] 862 43008 374 1344

[1E-3 1E-4] 7144 688128 661 5376

[1E-4 1E-5] 42384 5505024 1428 21504

[1E-5 1E-6] 265421 44040192 2240 43008

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera

Advekcioacutes feladat

+ kiegeacutesziacutetı felteacutetelek

Crank-Nicolson-moacutedszer (p = 2 teacuterben eacutes idıben)

x

cu

t

c

partpart

minus=partpart

minusminus+

minusminus=

minus minus+++minus

+++

+

h

ccu

h

ccu

cc n

i

n

in

i

n

i

n

in

i

n

i

n

i

22

1

22

1 11501

1

1

1501

τ

][ 11 baxisin ][ bat isin

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A RE alkalmazaacutesa PDE megoldaacutesaacutera folyt

Kombinaacuteljuk a CN moacutedszert RE-val (A sőrőbb raacutecson τ-t eacutes h-t is felezzuumlk)

Aacutelliacutetaacutes Tegyuumlk fel hogy c = c(xt) x eacutes t szerint is neacutegyszer folytonosan differenciaacutelhatoacute Ekkor a kombinaacutelt CN + RE moacutedszer teacuterben eacutes idıben is negyedrendben pontos

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Tesztfeladat

]500000000[isinx ]12960043200[isint

scmtxu 320)( =

Kezdeti felteacutetel

Pontos megoldaacutes

]0991[1046791)(2)10000000(121012 minusminusminus+sdot=

x

exf

))43200(()( minusminus= tuxftxc

PURE ADVECTION HOUR = 0

RATIO = (Max conc)(Minconc) = 100

VALUES OF VARIABLE X

Valu

es

of

the ozone concentr

ati

ons

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1013

0 25 50 75 100 125 150

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

A CN + RE moacutedszerrel kapott hibaacutek

NT NX CN CN + RE

168 160 7373E-01 1454E-01

336 320 4003E-01 (1842) 1741E-02 (8350)

672 640 1254E-01 (3142) 1224E-03 (14220)

1344 1280 3080E-02 (4135) 7730E-05 (15837)

2688 2560 7765E-03 (3967) 4841E-06 (15970)

5376 5120 1954E-03 (3974) 3026E-07 (15999)

10752 10240 4892E-04 (3994) 1891E-08 (16004)

21504 20480 1224E-04 (3999) 1181E-09 (06011)

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Oumlsszefoglalaacutes

A RE egyszerő eacutes hateacutekony eszkoumlz egy numerikus moacutedszer pontossaacutegaacutenak a javiacutetaacutesaacutera

A passziacutev eacutes aktiacutev RE is eggyel magasabb rendő pontossaacutegot biacuteztosiacutet mint a moumlgoumlttes moacutedszer

Ha a moumlgoumlttes moacutedszer konvergens akkor a passziacutev RE-valkombinaacutelva is az lesz

f lipschitesseacutege eseteacuten baacutermely ERKDIRK moacutedszer az aktiacutev RE-val kombinaacutelva konvergens moacutedszert eredmeacutenyez

Megvizsgaacuteltuk az EE IE ill aacuteltalaacutenos θ-moacutedszer + aktiacutev RE stabilitaacutesi felteacuteteleit

Leacutegkoumlri modellekben sikerrel alkalmaztuk a RE mindkeacutet vaacuteltozataacutet

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera

Tovaacutebbi tervek

Az elmeacuteleti eredmeacutenyek kiterjeszteacutese egyeacuteb moumlgoumlttes moacutedszerekre (aacuteltalaacutenos RK moacutedszer)

Kombinaacutelaacutes operaacutetorszeleteleacutessel

A RE alkalmazaacutesi lehetıseacutegei PDE-k megoldaacutesaacutera