a. Sistema a malha

fechada;b. função de transferência equivalente

EntradaSinal

atuante

Função deTransferênciado canal direto

Função deTransferênciada retroação

Saída

Técnica do Lugar das Raízes – Root Locus

Pólos e Zeros da F.T.M.F. em função dos pólos e zeros da F.T.M.A

sNsKNsDsD

sDsKN

sD

sN

sD

sNK

sD

sNK

sT

sD

sNsH

sD

sNsG

HGHG

HG

H

H

G

G

G

G

H

H

G

G

1

;

Os Zeros de T(s) são os zeros de G(s) e os pólos de H(s), mas os pólos de T(s) não podem ser determinados diretamente, eles precisam ser calculados e mais do que isto, dependem do valor de K

Exemplo

• Calcule os pólos e zeros para a F.T.M.F. quando G(s) e H(s) são dadas por:

4

3;

2

1

s

ssH

ss

ssG

Os Zeros valem: -1 e -4

Os pólos serão dados pelas raízes do polinômio abaixo quedependem de K.

KsKsKs 386 23

adordenodocomplexosfatoresdosproduto

numeradordocomplexosfatoresdosproduto

ps

zssF

n

jj

m

ii

min

1

1

m = número de zeros ; n = número de pólos

Como F(s) é um número complexo ele pode ser representado através da forma polar ou seja, por um MÓDULO e uma FASE :

M

pólosdosangulozerosdosangulos

ps

zs

pólosaosentescorrespondvetoresdosocompriment

zerosaosentescorrespondvetoresdosocomprimentM

n

ji

m

ii

1

1

m

i 1

izs -

n

j 1

jps

Exemplo

o

js

tg

jj

jj

jj

j

j

j

j

s

ssG

jss

ssG

454

21

21

: valefase a e

2

2

2

1

2

1: valemódulo cujo

2

1

2

1

2

1

11

1

121

11

2

1

:sejaou ,1 para mapeamento o considere 2

1

1

22

1

j

x2 1

o

j

121L2L

ooo

o

o

tg

L

L

L

L

454590 a igual Fase

451

1

90

2

2

2

1 a igual Módulo

211

1

21

12

1

2

1

222

1

a. Sistema que rastreia

automaticamente objetos;

b. diagrama de blocos;

c. função de transferência a malha fechada

Cortesia de ParkerVision.

Tabela 8.1Localização dos pólos como função do ganho

do sistema mostrado anteriormente

Kss 102

a. Diagrama de pólos com base na tabela 8.1;b. lugar das

raízes

FUNDAMENTO GERAL DO LUGAR DAS RAÍZES – PÓLOS DE MALHA

FECHADA

,....2,1,018012de fase

e11ou

01que tal

""dealor qualquer v,rdenominado do Raízes

1

nnsHsKG

sHsKGsHsKG

sHsKG

s

sHsKG

sKGsT

o

Veja exemplo para o sistema de câmara apresentado anteriormente parapor exemplo o pólo em -1 que acontecerá para um ganho k=9

a. Sistema de Exemplo;b. diagrama de pólos e zeros de

G(s) Plano s

Verifique se os pontos “s” abaixo são pólos do sistema de malha fechada

2

2232 jsejs

Representação vetorial de G(s) com base na Fig. 8.6(a) em –2+ j 3

Plano s

o

o

o

o

43,108

90

57,71

31,56

4

3

2

1

o55,704321 NÃO PERTENCE AO LUGAR DAS RAÍZES

o

o

o

o

736,144

90

264,35

471,19

4

3

2

2

22 js

o00,1804321

33,0;22,1;2

2;22,1;12,2

21

434321

LL

LLKLLLL

2

2j

PERTENCE AO LUGAR DAS RAÍZES

Regras para esboço do Lugar das Raízes

1. O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema;

2. O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real;

3. O eixo real que está a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos de malha aberta faz parte do lugar das raízes;

Pólos e zeros de um sistema a malha aberta genérico com pontos de teste, Pi, no eixo real

Plano s

Raízes dasLugar ao Pertence NÃO

Raízes dasLugar ao Pertence

Raízes dasLugar ao Pertence NÃO

Raízes dasLugar ao Pertence

4

3

2

1

P

P

P

P

Regras para esboço do Lugar das Raízes

4. O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos de malha aberta e termina nos zeros finitos e infinitos de malha aberta;

5. Os ramos do lugar das raízes que vão para infinito tendem a retas assintóticas fornecidas pelas equações:

,.....2,1,0

..

12

..

kondefinitoszerosNumfinitospólosNúm

k

finitoszerosNumfinitospólosNúm

finitoszerosfinitospólos

a

a

Segmento do eixo real do lugar das raízes

para o sistema:

Plano s

21

43

ss

ssKsF

Lugar das raízes completo para o

sistema:

Plano s

21

43

ss

ssKsF

Exemplo: Esboce o Lugar das raízes

Lugar das raízes e

assíntotas para o

sistema:Assíntota

Plano sAssíntota

Assíntota

421

3

ssss

sKsF

33,1