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Controle de Sistemas Mecânicos
IC, FT e FRFIC, FT e FRF
Integral de ConvoluçãoSolução através da Integral de ConvoluçãoDefinição de FT, pólos e zerosSolução Harmônica Regime PermanenteFunção Resposta em Freqüência (FRF)
Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta ao impulsoResposta ao impulso
Definição da função Impulso (delta de Dirac)
τ1
τ t
( )tδ
∫∞
∞−=
≠=
1)(
00)(
dtt
tpt
δ
δ
A função impulso é definida no limite A função impulso é definida no limite τ = 0
Controle de Sistemas Mecânicos
Integral da Integral da ConvoluçãoConvolução no Tempono Tempo
∫ −=t
dthuty0
)()()( τττ
Equação fundamental p/ avaliação do desempenho dos sistemas.Conhecida a resposta ao impulso pode-se encontrar a resposta a qualquer excitação.Método geral de solução Integrais de difícil solução analíticaMétodos numéricos de integração, ou ainda métodos simbólicos (em casos simples)
Controle de Sistemas Mecânicos
Transformada da Transformada da ConvoluçãoConvolução
Para um sistema linear invariante no tempo a FT é dada por:
Pode-se se escrever a saída como:
Considerando u(t) como sendo o impulso podemos escrever:
A multiplicação no dominio complexo é a convolução no tempo:
∫ −=t
dthuty0
)()()( τττ
)()()(sUsYsP =
)()()( sUsPsY =
)()()( sUsHsY =
Controle de Sistemas Mecânicos
Método geral de solução de E.D.Método geral de solução de E.D.
Há um método geral para encontrar a solução completa analítica para as equações diferenciais, mas que no entanto é bastante trabalhosoTrata-se da integral de convolução, que pode ser usado para qualquer tipo de excitaçãoO método será apresentado porque envolve conceitos mais amplos para avaliar o comportamento de sistemas de modo geralNa prática, utiliza-se a transformada de Laplace
Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta ao impulsoResposta ao impulso
∫∞
∞−−= ττδτ dtutu )()()(
Qualquer função u(t) pode ser escrita como a soma contínua de impulsos
Observe que τ = t é a condição para o delta ser não nulo, podendo assim se retirar u(t) de dentro da integral.
Controle de Sistemas Mecânicos
ConvoluçãoConvolução no Tempono Tempo
Definindo-se h(t) como resposta ao impulso
A resposta para uma excitação qualquer será:
Devido à linearidade:
Pela invariância no tempo e causalidade:
[ ])()( tth δR=
[ ] ∫∞
∞−−== ])()([)()( ττδτ dtututy RR
∫∞
∞−−= ττδτ dtuty )]([)()( R
∫ −=t
dthuty0
)()()( τττ
Controle de Sistemas Mecânicos
Integral de Integral de convoluçãoconvolução
É representada como
e definida como
Pode-se mostrar facilmente que
ou seja,
)()()( thtuty ∗=
∫ −=t
dthuty0
)()()( τττ
∫ −=t
dtuhty0
)()()( τττ
)()()()()( tuththtuty ∗=∗=
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução ao Impulso através de C.I.Solução ao Impulso através de C.I.
)(01 tyadtdya
dtydn
n
δ=+++L
1)0(
0)0(
0)0(
1
1
=
=
=
+−
−
+
+
n
n
dtyd
dtdyy
M
0)0(
0)0(
0)0(
1
1
=
=
=
−−
−
−
−
n
n
dtyd
dtdyy
M
001 =+++ yadtdya
dtydn
n
L
A solução de estado nulo conduz de forma similar a uma equação homogênea com condições iniciais nulas exceto para a condição inicial de maior ordem com unitária
Entrada nulaEstado nulo
Controle de Sistemas Mecânicos
Exercício:Exercício:
)(102 tuydtdy
=+
Para o sistema abaixo, encontrar a resposta ao impulso e a resposta a uma excitação exponencial pela integral de convolução.
tetubttua
α
δ
=
=
)())()()
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução:Solução:
N1/D
u hx
)(2 tuxdtdx
=+)(10 txh =
a))(102 tuy
dtdy
=+
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução:Solução:
o PC é , com polo . Logo a RN
é . Com as condição inicial
encontra-se . A resposta ao impulso
portanto é
02 =+ptAetx 2)( −= 1)0( =x
1=A
teth 210)( −=
2−=p
Impuls e Res pons e
Time (s ec)
Ampl
itude
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
2
4
6
8
10
tetx 2)( −=
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução:Solução:
∫ −−=t
t deety0
)(210)( ττατ
b) Pela convolução
e portanto
Integrando:
∫∞
∞−−= τττ dtuhty )()()(
MatLab:Syms alpha tau tint(exp(alpha*t-2*tau-alpha*tau),tau,0,t)α
α
+−
=−
2][10)(
2tt eety
Controle de Sistemas Mecânicos
Exercício:Exercício:
A resposta ao impulso obtida de um SPO é mostrada na figura abaixo. Encontrar a função de transferência.
Impuls e Res pons e
Time (s ec)
Ampl
itude
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
2
4
6
8
10
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução:Solução:
Impuls e Res pons e
Time (s ec)
Ampl
itude
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
2
4
6
8
10
Sys tem: PTime (s ec): 0.502Amplitude: 3.67
678.310)( 1 == −eh τ
5.0=τ
τt
eth−
=10)(
teth 210)( −=
Controle de Sistemas Mecânicos
Função de TransferênciaFunção de Transferência
A partir da equação diferencial geral simplificada
aplicando a Transformada de Laplace para estado nulo
definiu-se a função de transferência como:
D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=
D s Y s N s U s( ) ( ) ( ) ( )=
)()(
)()()(
sDsN
sUsYsFT ==
Controle de Sistemas Mecânicos
Definindo Pólos e ZerosDefinindo Pólos e Zeros
Definem-se como pólos as raízes do polinômio característico, ou seja do denominador da função de transferência. Este é um ponto singular da FT.
Definem-se como zeros as raízes do numerador da função de transferência. Corresponde a um ponto nulo da FT.
Observa-se que o comportamento do sistema dependerá portanto da posição dos pólos e zeros no plano complexo.
Controle de Sistemas Mecânicos
Visualização da Visualização da FT, FT, PólosPólos e Zerose Zeros
Calculando o módulo de G(s) para os valores de s=σ +jω
ω
|G|
1)( 2 ++=
ssssG
0.86i -0.5p0.86i +0.5p
2
1
−=−=
0=z
-1-0.8
-0.6-0.4
-0.20 -4
-20
24
-4
-2
0
2
4
X: 0Y: 3.51
Z: -1.27
Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta Harmônica Regime PermanenteResposta Harmônica Regime Permanente
Para uma excitação harmônica
a TL é
A resposta é obtida da FT
ou ainda em termos de frações parciais
)sen()( tAtu ω=
22)(ωω+
=sAsU
22)()()()(ωω+
==sAsPsUsPsY
)()()(sUsYsP =
ωω jsK
jsK
psC
psC
psCsY
n
n
++
−+
−++
−+
−= 21
2
2
1
1)( L
Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta permanenteResposta permanente
tjtjn
i
tpi eKeKeCty i ωω
211
)( ++= −
=∑
)(ty p)(tyt
TLI
Resposta em freqüência => regime permanente
transitóriotransitório permanentepermanente
tjtjp eKeKty ωω
21)( += −
Controle de Sistemas Mecânicos
Cálculo da constante Cálculo da constante KK11
ωωωωω
jsjsjsAsPjsK
−=−++=
))(()()(1
A resposta permanente em frações parciais
Multiplicando por (s+jω) para calcular K1
ωωωωω
jsK
jsK
jsjsAsPsYp −
++
=−+
= 21
))(()()(
jAjPK2
)(1 −−= ω
Controle de Sistemas Mecânicos
Cálculo da constante Cálculo da constante KK22
ωωωωω
jsjsjsAsPjsK
=−+−=
))(()()(2
A resposta permanente em frações parciais
Multiplicando por (s-jω) para calcular K2
ωωωωω
jsK
jsK
jsjsAsPsYp −
++
=−+
= 21
))(()()(
jAjPK2
)(2 ω=
Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta harmônica no tempoResposta harmônica no tempo
Substituindo K1 e K2 em y(t) pode-se obter a reposta no tempo
Escrevendo o termo P em módulo e fase
A resposta pode ser escrita
tjtjp e
jAjPe
jAjPty ωω ωω
2)(
2)()( +−
−= −
φωω jejPjP −=− )()( φωω jejPjP )()( =
tjjtjjp ee
jAjPee
jAjPty ωφωφ ωω
2)(
2)()( +−
= −−
Controle de Sistemas Mecânicos
Simplificando a resposta harmônicaSimplificando a resposta harmônica
jeejPAty
tjtj
p 2)()()(
)()( φωφω
ω+−+ −
=
Ou ainda
Colocando em evidencia
simplificando
tjjtjjp ee
jAjPee
jAjPty ωφωφ ωω
2)(
2)()( +−
= −−
)sen()()( φωω += tjPAtyp
Controle de Sistemas Mecânicos
Função Resposta em FreqüênciaFunção Resposta em Freqüência
Como resultado para uma dada freqüência, a saída y(t) a uma entrada harmônica a um sistema P(s) pode ser vista como o produto de dois complexos:
Define-se a Função Resposta em Freqüência como sendo a FT para s= jω
tAtu ω=)()()()( ωωω Φ= MjP
)()()()( ωωωω
Φ====
MsPjPFRFjs
))(sen()()( ωωω Φ+= tAMty
))(sen())(()())(())(()(
)()()(
ωωωωωω
ωωω
Φ+=
+Φ=
Φ=
tAMtytAMty
tAMty
)sen()( tAtu ω=
)sen()()( φωω += tjPAty
Controle de Sistemas Mecânicos
Função de resposta em freqüênciaFunção de resposta em freqüência
Considerando a freqüência angular ωvariando, pode-se descrever o comportamento permanente de um sistema através de sua FRF, usando-se os diagramas respectivos das funções módulo e fase.
Controle de Sistemas Mecânicos
Funções módulo e faseFunções módulo e fase
A função módulo e a função fase
são representadas
pelos seus diagramas
Controle de Sistemas Mecânicos
Representação Gráfica da Representação Gráfica da FTFT e e FTSFTSjω
σ
ω
|G|
22 2)(
nnssssP
ωζω ++= )(ωM
)(ωΦ)()()( ωωω Φ= MjP
Controle de Sistemas Mecânicos
Matlab:FTMatlab:FT--FTSFTS% Surperficie de resposta a uma excitaçao complexa% Sistema: (s)/(s^2+2*zeta*wn+wn^2)% Resposta p/ s=sig+j*omgwn=1;zeta=0.5;gw=linspace(-4,4,50); % ou gw=-4:8/49:4;gs=linspace(0,-1,50);[sig omg]=meshgrid(gs,gw);dp=[1 2*zeta*wn wn^2];np=[1 0];vd=polyval(dp,sig+j*omg);vn=polyval(np,sig+j*omg);z=abs(vn./vd);figure(1);surf(sig,omg,z);shading interp; view([1,-1,1])figure(2);surf(sig,omg,z);shading interp; view([0,0,1])
Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo MMAExemplo MMA
m
k c
u t( )
y
Para o sistema ao lado,m = 1Kg,k = 2 N/m ec = 0.5 N s/m.A excitação é senoidal c/ freq. angular 2 rad/se amplitude de 10 N,obter a resposta permanente y(t).
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução da Equação ParticularSolução da Equação Particular
m
k c
u t( )
y
d y tdt
cmdy tdt
kmy t
mu t
2
2
1( ) ( ) ( ) ( )+ + =
mks
mcs
msP++
=2
1
)(M m
km
cm
( )( ) ( )
ωω ω
=− +
1
2 2 2
Φ ( ) arctan ( )ω ωω
= −−c
k m 2
)()(
1
)(2
mcj
mk
mjP ωωω
+−=
Matlab:usar atan2
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução da Equação ParticularSolução da Equação Particular
)]arctan(2sen[)()(
1)( 2
222 ωω
ωω mkctA
mc
mk
mty−
−+−
=
0 1 2 3 4 5-1 0
-5
0
5
1 0R e s p o s ta d e u m s is te m a M M A
Am
plitu
de (m
)
Te m p o (s )
)68,22sen(47,4)( −= tty
Controle de Sistemas Mecânicos
ExercícioExercício
Desenhar os diagramas das funções módulo e fase do exemplo MMA.m=1; c=0.5; k=2;dp=[1 c/m k/m]; np=1/m;P=tf(np,dp);w=linspace(0,5,100);h=freqresp(P,w);mod(1,:)=abs(h(1,1,:));subplot(211)plot(w,mod,'.')title('Módulo da FRF')fase(1,:)=angle(h(1,1,:));subplot(212), plot(w,fase,'.')title('Fase da FRF')xlabel('Freqüência angular (rad/s)')
Controle de Sistemas Mecânicos
ExemploExemplo
Encontrar a resposta forçada p/ o prob. anteriorm=1; c=0.5; k=2; w=2; A=10; t=0:0.1:5; u=A*sin(w*t);Pjw=(1/m)/((k/m-w^2)+j*(w*c/m));G=abs(Pjw); Fi=angle(Pjw);y=G*A*sin(w*t+Fi);figure(1), plot(t,u,t,y), gridtitle('Resposta de um sistema MMA')ylabel('Amplitude (m)')xlabel('Tempo (s)')
Controle de Sistemas Mecânicos
ReferênciaReferência
Solução homogênea SPOKreyszig pg 69-77
Solução homogênea SSOKreyszig pg 80-87