A1 Matematická indukciakrajci/skola/vyucba/ucebneTexty/... · 2014-07-12 · A1 Matematická indukcia Predstavme si sadu niekoľkých (tisícov) dominových tehličiek, ktoré máme

A1 Matematická indukciaPredstavme si sadu niekoľkých (tisícov) dominových tehličiek, ktoré máme najprv na dostatočne veľkej vodorovnejploche rozmiestniť tak, že budú postavené na jednu zo svojich najmenších stien, a potom máme spôsobiť ich pád.Ak tehličky rozmiestnime bez rozmyslu, asi bude pri vykonávaní druhej časti úlohy nutné venovať každej osobitnea jej polohu zmeniť ručne, toto riešenie úlohy je však veľmi ťažkopádne. Omnoho efektívnejšie je všimnúť si, že prisprávnej počiatočnej polohe dvoch tehličiek môže správne usmernený pád jednej z nich vyvolať pád tej druhej. Aktúto myšlienku zovšeobecníme na všetky tehličky, môžeme dokonca dosiahnuť to, že na splnenie druhej časti úlohebude nutné manuálne zvaliť iba jednu tehličku – tá už automaticky zvalí ďalšiu, tá ešte ďalšiu a tak ďalej, až kýmnapokon nepopadajú všetky. Toto riešenie je nielen efektívne, ale aj efektné, nečudo preto, že si vyslúžilo pomenovanie”dominový efekt“. Uvedomme si, že na to, aby sa tento fenomén mohol prejaviť, sme museli splniť dve podmienky(zoradené sú antichronologicky):

1 Proces musíme naštartovať vynúteným pádom počiatočnej tehličky.2 Susedné tehličky musia byť postavené dostatočne blízko seba.

Bez splnenia prvej podmienky tehličky nepopadajú bez ohľadu na ich polohu a nedodržanie druhej spôsobí, že processa zastaví predčasne. Potrebné sú teda obe.

Prenesme sa teraz zdanlivo do úplnej oblasti a riešme tentoraz matematickú úlohu: Máme pre každé prirodzené číslon dokázať vzťah

02 + · · ·+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1).

Ak tento vzťah označíme Vn, tak máme dokázať sériu tvrdení V0, V1, V2, …, V1000, … Namiesto toho, aby sme každýz nich dokazovali osobitne (čo vlastne ani nie je možné, lebo je ich nekonečne veľa), môžeme sa poučiť z predošlejúlohy. Každé z týchto tvrdení si môžeme predstaviť ako jednu dominovú tehličku. Tie zoradíme do (nekonečného) radutak, že na jeho začiatku bude tehlička zodpovedajúca tvrdeniu V0 a tehličku zodpovedajúcu tvrdeniu Vk postavímetak, aby ju pri svojom prípadnom páde zvalila tehlička zodpovedajúca tvrdeniu Vk. Teraz už stačí iba cvrnkúť dotehličky na začiatku radu, a dominový efekt spôsobí pád všetkých tehličiek. Matematicky to môžeme (opäť v opačnomčasovom poradí) zapísať takto – vyjadrenie, že Vn platí, bude znamenať pádu príslušnej tehličky:

1 Platí tvrdenie V0.2 Pre každé prirodzené číslo k platí, že ak platí tvrdenie Vk, tak platí aj tvrdenie Vk+1.

Splnenie týchto dvoch podmienok už zaručuje, že tvrdenie Vn platí pre každé prirodzené číslo Vn, a práve to jecieľom úlohy. A tak sme našu pôvodnú (možno aj dosť komplikovanú) úlohu nahradili dvoma (spravidla) omnohojednoduchším úlohami, pričom prvá je jej špeciálnym prípadom, no druhá má úplne iný charakter. Takéto redukcia sanazýva princíp matematematickej indukcie. Obe nové úlohy (1 a 2) sa nazývajú indukčné kroky, tvrdenie Vk v druhomz nich je tzv. indukčný predpoklad. Uvedomme si, že ten nedokazujeme, ba práve naopak, stáva sa východiskom pridôkaze tvrdenia Vk+1.

Dôkladnejší pohľad na dominový efekt nám môže vnuknúť myšlienku, že jedna tehlička predsa nemusí zvaliť lenjednu ďalšiu, ale možno i viac, alebo naopak, nejaká tehlička môže mať viac predchodcov a je oproti nim je takáveľká, že ju zvalia až spoločnými silami, prípadne že štartovných tehličiek môže byť viac. Takto upravené štruktúry užprestanú byť lineárne, ako to bolo v prípade jednoduchého radu tehličiek, kde každá mala práve jedného nasledovníkaa (okrem počiatočnej) práve jedného predchodcu. To však neznamená, že by sme princíp matematickej indukcienemohli vysloviť aj v ich prípade (samozrejme, v príslušnej úprave), hierarchia ”tehličiek“ však bude musieť spĺňaťisté vlastnosti – žiadna z nich nesmie mať priveľa predchodcov a niektoré z nich musia nemať žiadnych, aby sa proces”hromadného pádu“ mohol nejako naštartovať. (Tento koncept budeme o chvíľu precizovať pojmom dobre založenárelácia.)

V prípade prirodzených čísel je táto hierarchia jasná – štartovný prvok je 0 a pri definovaní hodnoty v každomčísle už poznáme všetky hodnoty vo všetkých číslach od neho menších (hoci v klasickom prípade použijeme lenbezprostredného predchodcu). Okrem tohto najjednoduchšieho prípadu však existuje mnoho ďalších príkladov takýchtoinduktívnych štruktúr, v ktorých bude hierarchia prvkov omnoho komplikovanejšia. Stretneme sa s nimi v inýchkapitolách.

A1.1 Veta o matematickej indukcii cez dobre založenú reláciu 2A1.1 Veta o matematickej indukcii cez dobre založenú reláciu 2A1.1 Veta o matematickej indukcii cez dobre založenú reláciu 2

Pozrime sa teraz na ďalšiu situáciu, kde sa môžeme stretnúť s matematickou indukciou: Uvedomme si, že definovaťnejaký objekt znamená deklarovať také jeho vlastnosti, ktoré ho úplne odlíšia od všetkých ostatných objektov. Vprípade funkcie to znamená jednoznačne určiť hodnotu vo všetkých prvkoch jej definičného oboru. Obvykle tietohodnoty určujeme explicitne, pomocou už známych hodnôt či funkcií, a to akýmsi predpisom či vzorcom, ktorýoznačenie práve definovanej funkcie neobsahuje. Nie je to však jediný možný spôsob. Všimnime si totiž napríkladtieto dve vlastnosti funkcie faktoriál (!):

1 0! = 1.2 Ak n ∈ N, tak (n+ 1)! = (n+ 1) · n!.

Vzorec v druhom riadku nespĺňa vyššie uvedenú podmienku, že označenie práve definovanej funkcie by sa v ňomnemalo vyskytovať. Nejde teda o explicitnú definíciu. Napriek tomu však tieto dva vzťahy umožňujú jednoznačnezistiť hodnotu tejto funkcie v ľubovoľnom prirodzenom čísle – stačí len dostatočne dlho iteratívne aplikovať druhývzťah (napríklad 5! = 5 · 4! = 5 · 4 · 3! = 5 · 4 · 3 · 2! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 0! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 1 = 120).A teda aj napriek tomu, že druhý z nich nie je explicitný, môžeme ich oprávnene považovať za definíciu funkciefaktoriál. pretože všetky jej hodnoty určujú jednoznačne. Keďže sa označenie funkcie vyskytuje na oboch stranáchaspoň jedného vzťahu, hovoríme o rekurzii a takýto nepriamy, implicitný typ definície funkcie budeme nazývať definíciamatematickou indukciou.

Pri definícii matematickou indukciou však musíme byť opatrní, a to hneď v dvoch smeroch:

I Pri určovaní hodnoty funkcie v nejakom prvku jej definičného oboru už musíme poznať hodnoty všetkýchprvkov, ktoré sa na pravej strane v príslušnom vzťahu vyskytujú (napríklad v našom príklade musíme priurčovaní hodnoty (n + 1)! poznať hodnotu n!). To zabezpečíme tak, že definíciu matematickou indukcioubudeme používať len v už spomínaných induktívnych štruktúrach.

I Musíme dbať na to, aby definícia bola korektná. V induktívnej štruktúre sa totiž môže stať, že jeden prvok jedosiahnuteľný dvoma sadami spolupracujúcich predchodcov, pričom každá z týchto sád by mohla vygenerovaťiný výsledok. Definíciu matematickou indukciou budeme preto používať len v takých induktívnych štruktúrach,kde bude mať každý prvok jedinú sadu predchodcov.

A1.1 Veta o matematickej indukcii cez dobre založenú reláciu

D (Triedovú) reláciu R nazveme množinovo založená, ak pre každú množinu x je trieda R−1[{x}] množina.

P Všimnime si, že ak x /∈ Rng(R), tak R−1[{x}] = ∅. Stačí preto vyšetrovať x z Rng(R).

P Relácia ∈ (na triede všetkých množín S) je množinovo založená, lebo pre každú množinu x platí ∈−1[{x}] ={y : y ∈ x} = x.

• Relácia ⊆ (na S) je množinovo založená, lebo pre každú množinu x platí ⊆−1[{x}] = {y : y ⊆ x} = P(x), čoje (podľa axióm teórie množín) množina.

• Relácia ⊇ (na S) nie je množinovo založená, lebo napríklad ⊇−1[{∅}] = {y : y ⊇ ∅} = S, čo však nie jemnožina.

P Ak je Dom(R) množina, tak relácia je množinovo založená automaticky, keďže pre každé x je R−1[{x}]podtrieda triedy Dom(R) a podtrieda množiny je tiež množina.

V1 Nech f je množinovo založené parciálne zobrazenie z triedy C do triedy D. Nech R je množinovo založenárelácia na triede D. Nech S je relácia na triede C taká, že ak ⟨b, c⟩ ∈ S, tak b, c ∈ Dom(f) a ⟨f(b), f(c)⟩ ∈ R.Potom S je množinovo založená na C.

Nech c ∈ C. Rozoberme dva prípady:

I Nech c /∈ Dom(f).Ak pre nejaké b z C platí ⟨b, c⟩ ∈ S, tak podľa predpokladu c ∈ Dom(f), čo je spor. To znamená, žetrieda S−1[{c}] je prázdna množina.

A1.1 Veta o matematickej indukcii cez dobre založenú reláciu 3A1.1 Veta o matematickej indukcii cez dobre založenú reláciu 3A1.1 Veta o matematickej indukcii cez dobre založenú reláciu 3

I Nech c ∈ Dom(f).Potom platí:S−1[{c}]= {b ∈ C : ⟨b, c⟩ ∈ S}

(podľa definície S−1),⊆ {b ∈ Dom(f) : ⟨f(b), f(c)⟩ ∈ R}

(podľa predpokladu),= {b ∈ Dom(f) : f(b) ∈ R−1[{f(c)}]}

(podľa definície R−1),= f−1[R−1[{f(c)}]]

(podľa definície f−1),= f−1[

∪{{d} : d ∈ R−1[{f(c)}]}]

(lebo A =∪a∈A{a}),

=∪{f−1[{d}] : d ∈ R−1[{f(c)}]}(lebo g−1[

∪i∈I Ai] =

∪i∈I g

−1[Ai]).Keďže podľa predpokladu množinovej založenosti R je R−1[{f(c)}] množina a pre každý jej prvok dpodľa predpokladu množinovej založenosti f je f−1[{d}] množina, aj

∪{f−1[{d}] : d ∈ R−1[{f(c)}]} je

množina, a teda aj jej podtrieda S−1[{c}] je množina.

D Triedovú reláciu R nazveme dobre založená, ak platí:

I R je množinovo založená.I Každá neprázdna podtrieda triedy Rng(R) má aspoň jeden R-minimálny prvok.

P Všimnime si, že ak je trieda Rng(R) množina, špeciálne ak je relácia R množina, tak v druhej podmienke stačínamiesto podtried uvažovať len podmnožiny.Onedlho ukážeme, že je to tak vždy, teda aj v prípade, že Rng(R) nie je množina.

P Podľa axiómy regularity v teórii množín čiže formuly ∀x(x = ∅ → (∃y ∈ x)(y ∩ x = ∅)), ktorú možnoekvivalentne prepísať na tvar ∀x(x = ∅ → (∃y ∈ x)(∀z ∈ x)¬(z ∈ y)), má každá neprázdna podmnožinatriedy všetkých množín aspoň jeden ∈-minimálny prvok.To teda znamená, že relácia ∈ zúžená na ľubovoľnú množinu je dobre založená.Podľa predchádzajúcej (hoci zatiaľ nedokázanej) poznámky je dokonca dobre založená celá relácia ∈.

• Klasické ostré usporiadanie < na množine N je dobre založené, lebo každá jej neprázdna podmnožina máminimum, čo je (<-)minimálny prvok.

• Klasické ostré usporiadanie < na množine Z nie je dobre založené, lebo napríklad samotná množina Z nemá(<-)minimálny prvok.

• Ostré prefixové usporiadanie slov danej abecedy je dobre založená relácia. Každé n-znakové slovo má totižpráve n predchodcov.

• Ostré lexikografické usporiadanie slov danej aspoň dvojprvkovej abecedy však nie je dobre založená relácia. Aksú totiž a a b jej rôzne znaky také, že a je v tejto abecede pred b, a naše usporiadanie označíme ≺, tak platí· · · ≺ aaaab ≺ aaab ≺ aab ≺ ab ≺ b.

• Ak a je objekt, tak relácia {⟨a, a⟩} nie je dobre založená, lebo jediná podtrieda Rng({⟨a, a⟩}) čiže {a} jesamotná množina {a}, avšak a nie je {⟨a, a⟩}-minimálny, lebo veď ⟨a, a⟩ ∈ {⟨a, a⟩}.

V2 (o matematickej indukcii cez dobre založenú reláciu)

Nech R dobre založená relácia na triede C. Nech A je trieda taká, že pre každé c z C z platnosti R−1[{c}] ⊆ Avyplýva c ∈ A. Potom C ⊆ A.

Nech CrA je neprázdna trieda. Je to zároveň podtrieda C, podľa predpokladu dobrej založenosti relácie R mápreto aspoň jeden R-minimálny prvok. Vyberme ľubovoľný z nich a označme ho c. Jeho R-minimalita v triedeC r A znamená, že trieda {b ∈ C r A : ⟨b, c⟩ ∈ R} čiže R−1[{c}] r A je prázdna. To však znamená, žeR−1[{c}] ⊆ A, a teda podľa predpokladu c ∈ A. To je však spor s tým, že c ∈ C rA, platí preto C rA = ∅,čiže C ⊆ A.

A1.2 Vety o matematickej indukcii pre prirodzené čísla 4A1.2 Vety o matematickej indukcii pre prirodzené čísla 4A1.2 Vety o matematickej indukcii pre prirodzené čísla 4

V3 Nech f je parciálne zobrazenie z triedy C do triedy D. Nech R je relácia na D taká, že každá neprázdnapodtrieda D má R-minimálny prvok. Nech S je relácia na C taká, že ak ⟨x, y⟩ ∈ S, tak x, y ∈ Dom(f)a ⟨f(x), f(y)⟩ ∈ R. Potom každá neprázdna podtrieda C má S-minimálny prvok.

Nech B je neprázdna podtrieda C. Rozoberme dva prípady:

I Nech B rDom(f) = ∅.Potom ľubovoľný prvok b triedy B rDom(f) je S-minimálny, lebo ⟨a, b⟩ ∈ S by okrem iného znamenalob ∈ Dom(f), čo by bol spor.

I Nech B rDom(f) = ∅, t. j. B ⊆ Dom(f).Potom f [B] je neprázdna podtrieda triedy D. Keďže R je dobre založená na D, trieda f [B] má nejakýR-minimálny prvok. Vezmime ľubovoľný z nich a označme ho d. Keďže d ∈ f [B], v B existuje prvok btaký, že f(b) = d. Potom b je S-minimálny prvok B, lebo ak by pre nejaké a z B platilo ⟨a, b⟩ ∈ S,tak by podľa predpokladu platilo aj a ∈ Dom(f) a ⟨f(a), f(b)⟩ ∈ R, čiže ⟨f(a), d⟩ ∈ R, čo by bol spors R-minimalitou d v f [B], keďže f(a) ∈ f [B].

V4 Nech f je množinovo založené parciálne zobrazenie z triedy C do triedy D. Nech R je dobre založená reláciana D. Nech S je relácia na C taká, že ak ⟨x, y⟩ ∈ S, tak x, y ∈ Dom(f) a ⟨f(x), f(y)⟩ ∈ R. Potom S jedobre založená.

Je to zhrnutie viet 1 a 3.

V5 Nech R je dobre založená relácia a S ⊆ R. Potom S je dobre založená.

Nech C = Dom(S) ∪ Rng(S) a D = Dom(R) ∪ Rng(R). Keďže S ⊆ R, platí aj Dom(S) ⊆ Dom(R) aRng(S) ⊆ Rng(R), z čoho C ⊆ D. Zobrazenie IdeC je potom z C do D a je injektívne, a teda množinovozaložené. Keďže S ⊆ R, z ⟨x, y⟩ ∈ S vyplýva ⟨x, y⟩ ∈ R, t. j. ⟨IdeC(x), IdeC(y)⟩ ∈ R. Podľa vety 4 uždostávame, že S je dobre založená.

V6 (o jednokrokovej matematickej indukcii cez dobre založenú reláciu po vrstvách)Nech f je množinovo založené zobrazenie triedy C do triedy D. Nech R je dobre založená na D. Nech A jetrieda taká, že pre každé c z C z {b ∈ C : ⟨f(b), f(c)⟩ ∈ R} ⊆ A vyplýva c ∈ A. Potom C ⊆ A.

Nech S je relácia na triede C taká, že pre každé b a c z C platí ⟨b, c⟩ ∈ S práve vtedy, keď ⟨f(b), f(c)⟩ ∈ R.Potom podľa vety 4 je S dobre založená na C. Navyše podľa definície S pre každé c z C platí S−1[{c}] ={b ∈ C : ⟨b, c⟩ ∈ S} = {b ∈ C : ⟨f(b), f(c)⟩ ∈ R}, takže ak je S−1[{c}] podtriedou A, tak podľa predpokladuc ∈ A. Sú teda splnené obe podmienky vety 2, podľa nej už máme C ⊆ A.

A1.2 Vety o matematickej indukcii pre prirodzené čísla

P Pripomeňme, že prirodzené čísla sú definované takto:

I 0 je alternatívny názov pre ∅,I 1 je názov množiny {0},I 2 je názov množiny {0, 1},I 3 je názov množiny {0, 1, 2},I …

To teda znamená, že (príslušne zúžené) ∈ je na množine N všetkých prirodzených čísel ostré lineárne usporia-danie zhodné s <. Preto ∈-minimálny prvok ľubovoľnej jej neprázdnej podmnožiny je aj jej ∈-najmenší.

V1 Relácia < na množine N je dobre založená.

Keďže < na množine N je podmnožinou relácie ∈� (N× N), podľa vety 1.5 je dobre založené.

A1.2 Vety o matematickej indukcii pre prirodzené čísla 5A1.2 Vety o matematickej indukcii pre prirodzené čísla 5A1.2 Vety o matematickej indukcii pre prirodzené čísla 5

V2 (o jednokrokovej matematickej indukcii po vrstvách)

Nech C je množina a f : C → N. Nech A je trieda taká, že pre každé c z C z {b ∈ C : f(b) < f(c)} ⊆ Avyplýva c ∈ A. Potom C ⊆ A.

Podľa vety 1 je usporiadanie < na množine N dobre založené. Keďže Dom(f) = C, čo je množina, zobrazenief je množinovo založené. Je to teda špeciálny prípad vety 1.6.

V3 (o jednokrokovej klasickej matematickej indukcii)

Nech A je trieda taká, že pre každé k z N z platnosti {i ∈ N : i < k} ⊆ A vyplýva k ∈ A. Potom N ⊆ A.

Je to špeciálny prípad vety 2, kde C = N a f = IdeN.

V4 Relácia {⟨k, k + 1⟩ : k ∈ N} je dobre založená relácia na N.

Keďže {⟨k, k + 1⟩ : k ∈ N} je podmnožinou ∈ � (N× N), podľa vety 1.5 je dobre založené.

V5 (o matematickej indukcii po vrstvách)

Nech C je množina a f : C → N. Nech A je trieda. Nech pre každé c z C taká, že z {b ∈ C : f(b) + 1 =f(c)} ⊆ A vyplýva c ∈ A. Potom C ⊆ A.

Nech R = {⟨k, k + 1⟩ : k ∈ N}. Podľa definície ⟨f(b), f(c)⟩ ∈ R znamená f(b) + 1 = f(c), takže z {y ∈ C :⟨f(b), f(c)⟩ ∈ R} ⊆ A vyplýva c ∈ A. To však podľa viet 4 a 1.6 znamená, že C ⊆ A.

D Podmnožinu C množiny N nazveme konvexná, ak z toho, že a, b ∈ C a a ≤ c ≤ b vyplýva c ∈ C.

• Množina {3, 4, 5, 6} je konvexná.

• Množina {3, 4, 6} nie je konvexná.

• Ak n ∈ N, tak množina {k ∈ N : k ≥ n} je konvexná.

• Množina N je konvexná.

• Ak n ∈ N, tak množina {0, . . . , n} je konvexná.

V6 (o klasickej matematickej indukcii cez konvexnú podmnožinu N)Nech C je neprázdna konvexná podmnožina N. Nech A je trieda, pre ktorú platí:

1 minC ∈ A.2 Pre každé k z N také, že k, k + 1 ∈ C, z platnosti k ∈ A vyplýva platnosť k + 1 ∈ A.

Potom C ⊆ A.

S1 Pre každé x z C platí, že ak {y ∈ C : IdeC(y) + 1 = IdeC(x)} ⊆ A, tak x ∈ A.

Rozlíšime prípady:I Nech x = minC.

Potom podľa predpokladu x ∈ A.I Nech x ∈ C r {minC}.

Potom minC < x, z čoho 0 < x, a teda x = k + 1 pre nejaké k z N. Z toho minC < x = k + 1,a teda minC ≤ k. Potom minC ≤ k ≤ x, a keďže minC ∈ C a x ∈ C, z konvexnosti máme k ∈ C.Potom platí:{y ∈ C : IdeC(y) + 1 = IdeC(x)}= {y ∈ C : y + 1 = x},= {y ∈ C : y + 1 = k + 1},= {k}.Platí teda k ∈ A, z čoho podľa predpokladu aj x = k + 1 ∈ A.

A1.3 Definícia matematickou indukciou 6A1.3 Definícia matematickou indukciou 6A1.3 Definícia matematickou indukciou 6

Podľa vety 5 a sublemy 1 už dostávame C ⊆ A.

V7 (o klasickej matematickej indukcii cez koncový úsek množiny N)Nech n ∈ N. Nech A je trieda, pre ktorú platí:

1 n ∈ A.2 Pre každé k z N také, že k ≥ n, z platnosti k ∈ A vyplýva platnosť k + 1 ∈ A.

Potom {k ∈ N : k ≥ n} ⊆ A.

Je to špeciálny prípad vety 5, lebo množina {k ∈ N : k ≥ n} je konvexná, n = minC, a keď k ≥ n, tak ajk + 1 ≥ n.

V8 (o klasickej matematickej indukcii)Nech A je trieda, pre ktorú platí:

1 0 ∈ A.2 Pre každé k z N z platnosti k ∈ A vyplýva platnosť k + 1 ∈ A.

Potom N ⊆ A.

Je to špeciálny prípad vety 7, lebo pre každé k z N automaticky platí k ≥ 0.

V9 (o klasickej matematickej indukcii cez počiatočný úsek množiny N)Nech n ∈ N. Nech A je trieda, pre ktorú platí:

1 0 ∈ A.2 Pre každé k z N také, že k < n, z platnosti k ∈ A vyplýva platnosť k + 1 ∈ A.

Potom {0, . . . , n} ⊆ A.

Je to špeciálny prípad vety 6, lebo množina {0, . . . , n} je konvexná.

A1.3 Definícia matematickou indukciou

V1 (o definícii matematickou indukciou cez dobre založenú reláciu)

Nech R je dobre založená relácia na triede C. Nech D je trieda. Nech g : C×∪x∈C Fun(R−1[{x}], D)→ D.

Potom existuje jediné zobrazenie f z C do D také, že pre každé c z C platí

f(c) = g(c, f � R−1[{c}]).

(Triedové) zobrazenie h nazveme čiastočne vyhovujúce, ak platí:

I Dom(h) ⊆ C.I Rng(h) ⊆ D.I Ak c ∈ Dom(h), tak R−1[{c}] ⊆ Dom(h) a h(c) = g(c, h � R−1[{c}]).

S1 Ak h1 a h2 sú čiastočne vyhovujúce a c ∈ Dom(h1) ∩Dom(h2), tak h1(c) = h2(c).

Nech A = {c ∈ C : (c ∈ Dom(h1) ∩ Dom(h2))→(h1(c) = h2(c))}. Matematickou indukciou cez dobrezaloženú reláciu R čiže podľa vety 1.2 dokážeme, že C ⊆ A, a teda C = A:Nech c ∈ Dom(h1) ∩Dom(h2) a R−1[{c}] ⊆ A. Potom platí:h1(c)


= g(c, h1 � R−1[{c}])(lebo h1 je čiastočne vyhovujúce a c ∈ Dom(h1)),

= g(c, h2 � R−1[{c}])(lebo ak b ∈ R−1[{c}]), tak h1(b) = h2(b), lebo vtedy b ∈ R−1[{c}] ⊆ A a podľa predpokladub ∈ R−1[{c}] ⊆ Dom(h1) ∩Dom(h2), keďže h1 a h2 sú čiastočne vyhovujúce),

= h2(c)(lebo h2 je čiastočne vyhovujúce a c ∈ Dom(h2)).

To znamená, že c ∈ A. Podľa vety 1.2 teda C ⊆ A.

Nech F je systém všetkých čiastočne vyhovujúcich zobrazení, ktoré sú navyše množinami. Nech f =∪F .

S2 f je čiastočne vyhovujúce zobrazenie.

SS1 f je zobrazenie.

Nech ⟨c, d1⟩, ⟨c, d2⟩ ∈ f . Potom pre každé j z {1, 2} existuje zobrazenie hj z F , že ⟨c, dj⟩ ∈ hj ,t. j. hj(c) = dj . Platí teda c ∈ Dom(h1) ∩ Dom(h2), a keďže h1, h2 ∈ F , teda obe sú čiastočnevyhovujúce, podľa sublemy 1 dostávame d1 = h1(c) = h2(c) = d2.

SS2 Dom(f) ⊆ C.

Dom(f)

= Dom(F),=

∪h∈F Dom(h),

⊆ C(lebo pre každé h z F platí Dom(h) ⊆ C).

SS3 Rng(f) ⊆ D.

Rng(f)

= Rng(F),=

∪h∈F Rng(h),

⊆ D(lebo pre každé h z F platí Rng(h) ⊆ D).

SS4 Ak c ∈ Dom(f), tak R−1[{c}] ⊆ Dom(f) a f(c) = g(c, f � R−1[{c}]).

Keďže c ∈ Dom(f), existuje h z F , že c ∈ Dom(h). Potom však h ∈ F , takže R−1[{c}] ⊆ Dom(h).A keďže h ⊆

∪F = f , platí R−1[{c}] ⊆ Dom(h) ⊆ Dom(f). Potom tiež platí:

f(c)

= h(c)(lebo h ⊆ f),

= g(c, h � R−1[{c}])(lebo h ∈ F),

= g(c, f � R−1[{c}])(lebo h ⊆

∪F = f).

Zo sublem 1, 2, 3 a 4 už vyplýva dokazované tvrdenie.

...

S3 Dom(f) = C.

Tvrdenie dokážeme matematickou indukciou cez dobre založenú reláciu R čiže podľa vety 1.2:Nech c ∈ C a R−1[{c}] ⊆ Dom(f), ale nech c /∈ Dom(f).Pre každé b z R−1[{c}] nech Hb = {h ∈ F : b ∈ Dom(h)}.

SS1 Ak b ∈ R−1[{c}], tak Hb je neprázdna.

Keďže b ∈ R−1[{c}] ⊆ Dom(f) = Dom(∪F), existuje zobrazenie h z F , že b ∈ Dom(h). To však

znamená, že h ∈ Hb.


Nech pre každé b z R−1[{c}] platí hb =∩Hb.

SS2 Ak b ∈ R−1[{c}] tak hb je množinové zobrazenie, Dom(hb) ⊆ C a Rng(hb) ⊆ D.

Podľa sublemy 1 je Hb neprázdna trieda, nech teda h ∈ Hb. Potom však hb =∩Hb ⊆ h, takže hb

je tiež množinové zobrazenie a platí Dom(hb) ⊆ Dom(h) ⊆ C a Rng(hb) ⊆ Rng(h) ⊆ D.SS3 Ak b ∈ R−1[{c}] a a ∈ Dom(hb), tak R−1[{a}] ⊆ Dom(hb).

Postupne platí:a ∈ Dom(hb)

(predpoklad),pre každé h z Hb platí a ∈ Dom(h)

(podľa definícií Hb a hb platí hb ⊆ h, a teda Dom(hb) ⊆ Dom(h)),pre každé h z Hb platí R−1[{a}] ⊆ Dom(h)

(lebo h ∈ Hb ⊆ F),pre každé h z Hb a e z R−1[{a}] platí e ∈ Dom(h)

(podľa definície ⊆),pre každé e z R−1[{a}] a h z Hb platí e ∈ Dom(h)

(výmena kvantifikácií),pre každé e z R−1[{a}] a h z Hb platí ⟨e, h(e)⟩ ∈ h

(podľa definície Dom),pre každé e z R−1[{a}] existuje d z D, že pre každé h z Hb platí ⟨e, d⟩ ∈ h

(keďže každé h z Hb patrí aj do F , je čiastočne vyhovujúca, a tak pre každé h1 a h2 podľasublemy 1 platí h1(e) = h2(e), takže za d stačí vziať túto spoločnú hodnotu),

pre každé e z R−1[{a}] existuje d z D, že ⟨e, d⟩ ∈∩Hb

(podľa definície prieniku systému),pre každé e z R−1[{a}] existuje d z D, že ⟨e, d⟩ ∈ hb

(podľa definície hb),pre každé e z R−1[{a}] platí e ∈ Dom(hb)

(podľa definície Dom),R−1[{a}] ⊆ Dom(hb)

(podľa definície ⊆).

SS4 Ak b ∈ R−1[{c}] a a ∈ Dom(hb), tak hb(a) = g(a, hb � R−1[{b}]).

Nech h je ľubovoľný prvok Hb. Potom platí:hb(a)

= h(a)(lebo hb =

∩Hb ⊆ h),

= g(a, h � R−1[{a}])(lebo h ∈ Hb ⊆ F),

= g(a, hb � R−1[{a}])(lebo hb ⊆ h a podľa subsublemy 2 R−1[{a}]) ⊆ Dom(hb)).

SS5 Ak b ∈ R−1[{c}], tak hb ∈ F .

Je to zhrnutie subsublem 2, 3, 4 a 5.SS6 Ak b ∈ R−1[{c}], tak b ∈ Dom(hb).

Keďže pre každé h z Hb podľa definície platí b ∈ Dom(h), podľa sublemy 1 pre každé h1 a h2 z Hbplatí h1(b) = h2(b). Označme túto spoločnú hodnotu d. Potom pre každé h z Hb platí h(b) = d,takže ⟨b, d⟩ ∈ h. Preto ⟨b, d⟩ ∈

∩Hb = hb, a teda b ∈ Dom(hb).

SS7 Ak b ∈ R−1[{c}], tak c /∈ Dom(hb).

Keďže Hb ⊆ F a (podľa subsublemy 5) Hb = ∅, platí hb =∩Hb ⊆

∪Hb ⊆

∪F = f , takže

Dom(hb) ⊆ Dom(f). Z predpokladu c /∈ Dom(f) teda máme c /∈ Dom(hb).


Nech

h =

∪b∈R−1[{c}]

hb

∪ {⟨c, g(c, {⟨b, hb(b)⟩ : b ∈ R−1[{c}]})⟩}.

SS8 h je množina.

Keďže R je dobre založená, R−1[{c}] množina. Pre každý jej prvok b je podľa subsublemy 2 hbmnožina, takže aj

∪b∈R−1[{c}] hb je množina. Trieda h má len o jeden prvok navyše, je to teda tiež

množina.SS9 h je zobrazenie.

Nech ⟨a, d1⟩, ⟨a, d2⟩ ∈ h. Rozoberme prípady:I Nech a = c.

Potom však podľa subsublemy 7 platí a = c /∈∪b∈R−1[{c}] Dom(hb) = Dom(

∪b∈R−1[{c}] hb),

a teda ⟨a, d1⟩, ⟨a, d2⟩ ∈ {⟨c, g(c, {⟨b, hy(b)⟩ : b ∈ R−1[{c}]})⟩}, z čoho d1 = d2.I Nech a = c.

Pre každé j z {1, 2} teda ⟨a, dj⟩ ∈∪b∈R−1[{c}] hb, a teda existuje bj z R−1[{c}] také, ⟨a, dj⟩ ∈

hbj , t. j. hbj (a) = dj , pričom podľa subsublemy 5 je hbj čiastočne vyhovujúce. A keďže a ∈Dom(hb1) ∩Dom(hb2), podľa sublemy 1 platí hb1(a) = hb2(a), t. j. d1 = d2.

SS10 Dom(h) ⊆ C.

Dom(h)

=∪b∈R−1[{c}] Dom(hb) ∪ {c}(podľa definície h),

⊆ C(lebo pre každé b z R−1[{c}] je podľa subsublemy 5 hb čiastočne vyhovujúce a x ∈ C).

SS11 Rng(h) ⊆ D.

Rng(h)

=∪b∈R−1[{c}] Dom(hb) ∪ {g(c, {⟨b, hb(b)⟩ : b ∈ R−1[{c}]})})}(podľa definície h),

⊆ D(lebo pre každé b z R−1[{c}] je podľa subsublemy 5 hb čiastočne vyhovujúce a podľa predpokladuplatí Rng(g) ⊆ D).

SS12 Ak a ∈ Dom(h), tak R−1[{a}] ⊆ Dom(h).

Rozoberme prípady:I Nech a = c.

Ak b ∈ R−1[{a}], t. j. b ∈ R−1[{c}], tak podľa subsublemy 1 platí b ∈ Dom(hb), a teda podľadefinície h platí a ∈ Dom(h).

I Nech a = c.To podľa definície h znamená, že a ∈

∪b∈R−1[{c}] Dom(hb), a teda existuje b z R−1[{c}], že

a ∈ Dom(hb). Podľa subsublemy 5 je hb čiastočne vyhovujúca, preto R−1[{a}] ⊆ Dom(hb). Akeďže podľa definície h platí hb ⊆ h, a teda Dom(hb) ⊆ Dom(h), platí aj R−1[{a}] ⊆ Dom(h).

SS13 Ak a ∈ Dom(h), tak h(a) = g(a, h � R−1[{a}]).

Nech a ∈ Dom(h). Rozoberme prípady:I Nech a = c.

Potom platí:h(a)

= h(c),= g(c, {⟨b, hb(b)⟩ : b ∈ R−1[{c}]})

(podľa definície h),


= g(c, {⟨b, h(b)⟩ : b ∈ R−1[{c}]})(lebo podľa definície hb ⊆ h),

= g(c, h � R−1[{c}]),= g(a, h � R−1[{a}]).

I Nech a = c.To podľa definície h znamená, že a ∈

∪b∈R−1[{c}] Dom(hb), a teda a ∈ Dom(hb) pre nejaké b

z R−1[{c}]. Potom platí:h(a)

= hy(a)(podľa definície h),

= g(a, hb � R−1[{a}])(lebo podľa subsublemy 5 je hb čiastočne vyhovujúca),

= g(a, h � R−1[{a}])(lebo podľa definície hb ⊆ h).

So subsublem 8, 9, 10, 11, 12 a 13 dostávame, že h ∈ F , a teda h ⊆ f . Avšak c ∈ Dom(h), z čohoc ∈ Dom(f), a to je spor.Ukázali sme teda, že z R−1[{c}] ⊆ Dom(f) vyplýva c ∈ Dom(f). Podľa vety 1.2 to znamená, žeC ⊆ Dom(f), a keďže podľa definície F platí Dom(f) =

∪Dom(F) =

∪h∈F Dom(h) ⊆ C, dostávame

Dom(f) = C.

Zo sublem 2 a 3 vyplýva, že f vyhovuje tvrdeniu vety. Nech mu vyhovuje aj zobrazenie e. Potom však Dom(f) =Dom(e) = C, takže podľa sublemy 1 pre každé c z C platí f(c) = e(c), t. j. f = e. Tým sme ukázali, ževyhovujúce zobrazenie je jediné.

V2 (o definícii klasickou matematickou indukciou)Nech D je trieda, d jej prvok a h zobrazenie N×D do D. Potom existuje jediné zobrazenie f množiny N doD také, že platí:

1 f(0) = d.2 Pre každé k z N platí f(k + 1) = h(k, f(k)).

Nech R = {⟨k, k + 1⟩ : k ∈ N}. Podľa vety 2.4 je R dobre založená.Nech g je zobrazenie triedy N×

∪n∈N Fun(R−1[{n}], D) do triedy D také, že platí:

1 Ak ⟨0, e⟩ ∈ Dom(g), tak g(⟨0, e⟩) = d.2 Ak ⟨k + 1, e⟩ ∈ Dom(g), tak platí

g(⟨k + 1, e⟩) =

{h(k, e(k)), ak k ∈ Dom(e),d inak.

Podľa vety 1 teda existuje jediné zobrazenie f z N do D také, že pre každé n z N platí f(n) = g(n, f �R−1[{n}]). Platí však:

1 g(0, f � R−1[{0}])= g(0, f � ∅)

(podľa definície R),= g(0,∅) ,= d

(podľa definície g).2 Ak k ∈ N, tak platí:g(k + 1, f � R−1[{k + 1}])= g(k + 1, f � {k})

(podľa definície R),


= g(k + 1, {⟨k, f(k)⟩})(lebo k ∈ N = Dom(f)),

= h(k, f(k))(podľa definície g, lebo k ∈ Dom({⟨k, f(k)⟩})).

To však znamená, že platí dokazované tvrdenie.

V3 (o parametrickej definícii klasickou matematickou indukciou)Nech P a D sú triedy, g zobrazenie P do D a h zobrazenie P ×N×D do D. Potom existuje jediné zobrazenief triedy P × N do D také, že platí:

1 f(p, 0) = g(p).2 Pre každé k z N platí f(p, k + 1) = h(p, k, f(p, k)).

Nech S je relácia na triede P × N definovaná vzťahom S = {⟨⟨p, k⟩, ⟨p, k + 1⟩⟩ : p ∈ P ∧ k ∈ N}.

S1 S je dobre založená.

Dokážeme obe podmienky:I Nech ⟨p, n⟩ ∈ P × N. Rozoberme dva prípady:

I Nech n = 0.Potom S−1[{⟨p, n⟩}] = ∅, čo je množina.

I Nech n = k + 1, kde k ∈ N.Potom S−1[{⟨p, n⟩}] = S−1[{⟨p, k + 1⟩}] = {⟨p, k⟩}, čo je množina.

S je teda množinovo založená.I Nech R = {⟨k, k + 1⟩ : k ∈ N} a nech f : P × N→ N, kde f(⟨p, n⟩) = n. Podľa definícií S, R a f

potom platí ⟨⟨p,m⟩, ⟨p, n⟩⟩ ∈ S práve vtedy, keď ⟨f(⟨p,m⟩), f(⟨p, n⟩)⟩ ∈ R. Keďže podľa vety 2.4je R dobre založená, podľa definície každá neprázdna podtrieda N má R-minimálny prvok. Potompodľa vety 1.3 každá neprázdna podtrieda P × N má S-minimálny prvok.

Nech q je zobrazenie triedy (P × N)×∪

⟨p,n⟩∈P×N Fun(S−1[{⟨p, n⟩}], D) do triedy D také, že platí:

1 Ak ⟨⟨p, 0⟩, e⟩ ∈ Dom(d), tak q(⟨p, 0⟩, e) = g(p).2 Ak ⟨⟨p, k + 1⟩, e⟩ ∈ Dom(d), tak platí

q(⟨p, k + 1⟩, e) =

{h(p, k, e(p, k)), ak ⟨p, k⟩ ∈ Dom(e),g(p) inak.

Podľa vety 1 teda existuje jediné zobrazenie f z P × N do D také, že pre každé p z P a n z N platíf(⟨p, n⟩) = q(⟨p, n⟩, f � S−1[{⟨p, n⟩}]). Platí však:

1 q(⟨p, 0⟩, f � S−1[{⟨p, 0⟩}])= q(⟨p, 0⟩,∅)

(podľa definície S),= g(p)

(podľa definície q).2 Ak k ∈ N, tak platí:q(⟨p, k + 1⟩, f � S−1[{⟨p, k + 1⟩}])= q(⟨p, k + 1⟩, f � {⟨p, k⟩})

(podľa definície S),= q(⟨p, k + 1⟩, {⟨⟨p, k⟩, f(p, k)⟩})

(lebo ⟨p, k⟩ ∈ P × N = Dom(f)),= h(p, k, f(p, k))

(podľa definície q, lebo ⟨p, k⟩ ∈ Dom({⟨⟨p, k⟩, f(p, k)⟩})).

A1.4 Tice 12A1.4 Tice 12A1.4 Tice 12

To však znamená, že platí dokazované tvrdenie.

V4 Nech R množinovo založená relácia. Potom každá neprázdna podtrieda Rng(R) má R-minimálny prvok právevtedy, keď každá neprázdna podmnožina Rng(R) má R-minimálny prvok

→→→→→→→→→ Tvrdenie je triviálne, lebo podmnožina je špeciálny prípad podtriedy.←←←←←←←←← Nech C je neprázdna podtrieda Rng(R). Nech c je ľubovoľný prvok C. Definujme zobrazenie f z N do

P(Rng(R)) klasickou matematickou indukciou (t. j. podľa vety 2):1 f(0) = {c}.2 f(n+ 1) =

∪b∈f(n)R

−1[{c}].Nech B =

∪n∈N f(n). Potom B je množina, a teda podmnožina Rng(R). Navyše c ∈ B.

Nech A = B∩C. Potom A je tiež podmnožina Rng(R) a je neprázdna, lebo obsahuje b. Podľa predpokladumá A nejaký R-minimálny prvok. Vezmime ľubovoľný z nich a označme ho a. Keďže a ∈ B =

∪n∈N f(n),

existuje n z N také, že a ∈ f(n).Potom je však a R-minimálny prvok triedy C. Ak by totiž existovalo b z C, že ⟨b, a⟩ ∈ R, t. j. b ∈ R−1[{a}],tak by podľa definície platilo b ∈ f(n+ 1) ⊆ B, a teda b ∈ B ∩ C = A, čo by bol spor s R-minimalitoua v A.

V5 Relácia R je dobre založená práve vtedy, keď platí:

I R je množinovo založená.I Každá neprázdna podmnožina triedy Rng(R) má aspoň jeden R-minimálny prvok.

Je to dôsledok definície dobrej založenosti a vety 4.

P Relácia ∈ je na triede všetkých množín dobre založená, lebo, ako už vieme, je množinovo založená a každáneprázdna podmnožina triedy všetkých množín má aspoň jeden ∈-minimálny prvok.

A1.4 Tice

P Pod S rozumieme triedu všetkých množín.

D Definujme (triedové) zobrazenie Pow (”power“ – mocnina) z S×N do S parametrickou matematickou indukciou(t. j. podľa vety 3.3):

1 Pow(M, 0) = {∅}.2a Pow(M, 1) =M .2b Ak k ∈ N+, tak Pow(M,k + 1) = Pow(M,k)×M .

Namiesto Pow(M,n) budeme písať aj Mn.

P Ak n ∈ {k ∈ N : k ≥ 2}, tak namiesto ⟨. . . ⟨⟨x1⟩, x2⟩, . . .⟩, xn⟩ budeme písať ⟨x1, . . . , xn⟩.

P Ak teda n ≥ 2, tak platí ⟨x1, . . . , xn+1⟩ = ⟨⟨. . . ⟨⟨x1⟩, x2⟩, . . .⟩, xn⟩, xn+1⟩ = ⟨⟨x1, . . . , xn⟩, xn+1⟩.

P Navyše pod ⟨⟩ budeme rozumieť ∅ a pre každé x bude ⟨x⟩ znamenať x.

P Vzťah ⟨x1, . . . , xn+1⟩ = ⟨⟨x1, . . . , xn⟩, xn+1⟩ teda platí pre každé n z N+.

P Platí teda:

I ⟨⟩ = ∅.I ⟨x1⟩ = x1.I ⟨x1, x2⟩ = {{x1}, {x1, x2}} (podľa definície usporiadanej dvojice).I ⟨x1, x2, x3⟩ = ⟨⟨x1, x2⟩, x3⟩.

A1.4 Tice 13A1.4 Tice 13A1.4 Tice 13

I ⟨x1, x2, x3, x4⟩ = ⟨⟨x1, x2, x3⟩, x4⟩.I ⟨x1, x2, x3, x4, x5⟩ = ⟨⟨x1, x2, x3, x4⟩, x5⟩.I …

V1 Ak n ∈ N, tak ⟨x11, . . . , x1n⟩ = ⟨x21, . . . , x2n⟩ práve vtedy, keď pre všetky i z {1, . . . , n} platí x1i = x2i .

Tvrdenie dokážeme klasickou matematickou indukciou, t. j. podľa vety 2.8:

1 Ak n = 0, obe tvrdenia sú triviálne pravdivé.2 Nech n ∈ N a platí indukčný predpoklad. Rozlíšime prípady:

I Nech n = 1.Potom ⟨x11⟩ = ⟨x21⟩ znamená x11 = x21, tvrdenie teda platí.

I Nech n ≥ N+.Potom platí:⟨x11, . . . , x1n+1⟩ = ⟨x21, . . . , x2n+1⟩akk ⟨⟨x11, . . . , x1n⟩, x1n+1⟩ = ⟨⟨x21, . . . , x2n⟩, x2n+1⟩

(podľa definície),akk ⟨x11, . . . , x1n⟩ = ⟨x21, . . . , x2n⟩ a x1n+1 = x2n+1

(podľa vlastností usporiadanej dvojice),akk pre všetky i z {1, . . . , n} platí x1i = x2i a x1n+1 = x2n+1

(podľa indukčného predpokladu),akk pre všetky i z {1, . . . , n+ 1} platí x1i = x2i .

V2 Ak M je množina a n ∈ N, tak Mn = {⟨x1, . . . , xn⟩ : (∀i ∈ {1, . . . , n})xi ∈M}.

Tvrdenie dokážeme klasickou matematickou indukciou, t. j. podľa vety 2.8:

1 M0

= {∅}(podľa definície M0),

= ⟨⟩(podľa definície ⟨⟩).

= {⟨x1, . . . , x0⟩ : (∀i ∈ {1, . . . , 0})xi ∈M}.2 Nech n ∈ N a platí indukčný predpoklad. Rozlíšime prípady:

I M1

=M(podľa definície M1),

= {x1 : x1 ∈M},= {⟨x1⟩ : x1 ∈M},= {⟨x1, . . . , x1⟩ : (∀i ∈ {1, . . . , 1})xi ∈M},

I Nech n ≥ N+ Potom platí:Mn+1

=Mn ×M(podľa definície Mn+1),

= {⟨y, xn+1⟩ : y ∈Mn ∧ xn+1 ∈M}(podľa definície súčinu),

= {⟨⟨x1, . . . , xn⟩, xn+1⟩ : (∀i ∈ {1, . . . , n})xi ∈M ∧ xn+1 ∈M}(podľa indukčného predpokladu),

= {⟨x1, . . . , xn+1⟩ : (∀i ∈ {1, . . . , n})xi ∈M ∧ xn+1 ∈M}(lebo ⟨⟨x1, . . . , xn⟩, xn+1⟩ = ⟨x1, . . . , xn+1⟩).

= {⟨x1, . . . , xn+1⟩ : (∀i ∈ {1, . . . , n+ 1})xi ∈M .

V3 Ak n ∈ N a X ⊆ Y , tak Xn ⊆ Y n.

A1.5 Jednoznačne indukovaná množina 14A1.5 Jednoznačne indukovaná množina 14A1.5 Jednoznačne indukovaná množina 14

Xn

= {⟨x1, . . . , xn⟩ : (∀i ∈ {1, . . . , n})xi ∈ X}(podľa vety 1),

= {⟨x1, . . . , xn⟩ : (∀i ∈ {1, . . . , n})xi ∈ Y }(lebo X ⊆ Y ),

= Y n

(podľa vety 2).

A1.5 Množina indukovaná množinou zobrazení

D Hovoríme, že množina M je uzavretá na zobrazenie f , ak pre každé n z N z platnosti x ∈ Dom(f) ∩Mn

vyplýva platnosť f(x) ∈M .

P Ak ⟨⟩ ∈ Dom(f) a M je uzavretá na zobrazenie f , tak automaticky platí f(⟨⟩) ∈ M , takže množina M jeneprázdna.

D Hovoríme, že množina je uzavretá na množinu zobrazení , ak je uzavretá na každé zobrazenie z tejto množiny.

V3 Nech F je množina zobrazení. Potom∪f∈F Rng(f) je množina uzavretá na F .

Rozoberme prípady:

I Nech F = ∅.Potom

∪f∈F Rng(f) = ∅ a podmienka uzavretosti je splnená triviálne.

I Nech F = ∅.Potom každé zobrazenie f z F je množina, a teda aj Rng(f) je množina, čiže aj

∪f∈F Rng(f) je množina.

Navyše pre každé f z F a každé x z Dom(f) platí f(x) ∈ Rng(f) ⊆∪f∈F Rng(f), táto množina je

teda uzavretá na F .

V4 Nech F je množina zobrazení a {Mi : i ∈ I} je neprázdny systém množín uzavretých na F . Potom aj množina∩i∈IMi je uzavretá na F .

Nech f ∈ F . Nech n ∈ N a x ∈ Dom(f)∩(∩i∈IMi)

n. Podľa vety 2 pre každé j z I platí (∩i∈IMi)

n ⊆ (Mj)n,

takže x ∈ Dom(f)∩ (Mj)n, a keďže Mj je uzavretá na f (lebo je uzavetá na F), platí f(x) ∈Mj . Z toho už

f(x) ∈∩i∈IMi, takže

∩i∈IMi je uzavretá na f .

P Z viet 3 a 4 vyplýva, že nasledujúca definícia je korektná.

D Najmenšiu množinu uzavretú na množinu zobrazení F nazveme jej induktom a budeme o nej hovoriť, že jemnožinou F indukovaná.

P Ak F = ∅ a pre každé f z F platí ⟨⟩ /∈ Dom(f), tak trieda indukovaná F je prázdna množina.

V5 (o matematickej indukcii v množine indukovanej množinou zobrazení )Nech F je množina zobrazení a M jej indukt. Nech A je množina, ktorá je uzavretá na F . Potom M ⊆ A.

Tvrdenie je priamym dôsledkom definície induktu.

V6 Nech F je množina zobrazení a M jej indukt. Nech y je prvok M . Potom existuje zobrazenie f z F , n z Na x z Mn, že y = f(x).

Nech y je prvok I, ktorý sa v uvedenom tvare vyjadriť nedá. Nech A =M r {y}.


S1 Množina A je uzavretá na F .

Nech f ∈ F a x ∈ Dom(f)∩Mn. Keďže A ⊆M , podľa vety 2 platí An ⊆Mn, a teda x ∈ Dom(f)∩Mn.Keďže M je uzavretá na F , a teda i na f , platí f(x) ∈ M . Avšak podľa predpokladu y = f(x), takžef(x) ∈M r {y} = A.

Podľa definície induktu zo sublemy 1 dostávame M ⊆ A =M r {x}, čo je spor.

A1.5 Jednoznačne indukovaná množina

D Množinu M nazveme ticovo jednoznačná, ak pre každé dve rôzne n1 a n2 z N platí Mn1 ∩Mn2

= ∅.

V1 Každá podmnožina ticovo jednoznačnej množiny je tiež ticovo jednoznačná.

Nech M je ticovo jednoznačná množina a L je jej podmnožina. Nech n1 a n2 sú rôzne prirodzené čísla. Potomplatí:

Ln1 ∩ Ln2

⊆Mn1 ∩Mn2

(podľa vety 4.2),= ∅

(lebo M je ticovo jednoznačná).

D Hovoríme, že zobrazenie f je v rámci množiny M , ak f ⊆∪n∈NM

n ×M .

D Zobrazenia f1 a f2 nazveme nekonfliktné , ak platí f1 = f2 alebo Rng(f1) ∩ Rng(f2) = ∅.

D Množinu zobrazení nazveme nekonfliktná, ak sú každé dva jej prvky sú nekonfliktné.

D Hovoríme, že množina M je jednoznačne indukovaná množinou zobrazení F , ak F je nekonfliktná množinainjektívnych zobrazení v rámci nejakej ticovo jednoznačnej nadmnožiny M a M je indukt F .

V2 (o jedinosti vyjadrenia v jednoznačne indukovanej množine)Nech množina M je jednoznačne indukovaná triedou zobrazení F . Nech y je prvok M . Potom existuje jedinézobrazenie f z F , jediné n z N a jediné x z Mn také, že y = f(x).

Podľa vety 4.6 existuje zobrazenie f z F , n z N a x z Mn, že y = f(x). Ukážeme, že je jediné: Nech existujeešte aj g z F , m z N a z z Cm, že y = g(z). Potom y ∈ Rng(g) ∩ Rng(f), a keďže F je podľa definíciejednoznačnej indukovanosti nekonfliktná množina zobrazení, platí g = f . Potom y = f(x) = f(z), a keďže fje podľa definície nekonfliktnej triedy injektívne zobrazenie, platí x = z. Potom x = z ∈ Mm, ale pretože tiežx ∈Mn a M je ticovo jednoznačná (a to podľa vety 1, lebo nejaká jej nadtrieda je podľa definície nekonfliktnejtriedy ticovo jednoznačná), dostávame aj m = n.

V3 (o definícii matematickou indukciou cez indukt jednoznačne indukovanej množiny)Nech množina X je jednoznačne indukovaná množinou zobrazení F a Y je neprázdna množina. Nech prekaždé h z F je kh jediné prirodzené číslo také, že Dom(h) ⊆ Xkh , a gh zobrazenie množiny Dom(h)×Y kh domnožiny Y . Potom existuje jediné zobrazenie f množiny X do množiny Y také, že ak h ∈ F a ⟨x1, . . . , xkh⟩ ∈Dom(h), tak platí

f(h(x1, . . . , xkh)) = gh(⟨x1, . . . , xkh⟩, ⟨f(x1), . . . , f(xkh)⟩).

Všimnime, že ak x ∈ X, tak podľa vety 2 existujú jediné hx z F , jediné nx z N a jediné zx z Xnx také, žex = hx(zx). Keďže zx ∈ Dom(hx) ⊆ Xkh

x

, z ticovej jednoznačnosti X máme nx = khx . Z injektivity hx

potom existujú jediné zx1 , …, zxnx z X, že zx = ⟨zx1 , . . . , zxnx⟩, platí teda x = hx(zx1 , . . . , zxnx).

Nech R = {⟨zxi , x⟩ ∈ X2 : i ∈ {1, . . . , nx}}.


S1 Relácia R je dobre založená.

Overíme obe podmienky:I Keďže R je relácia na množine X, je množinovo založená.I Nech M je neprázdna podmnožina X taká, že žiaden jej prvok nie je R-minimálny, t. j. pre každé x

z M je množina R−1[{x}]∩M čiže {zx1 , . . . , zxnx} ∩M neprázdna. Definujme zobrazenie p množinyM do seba vzťahom p(x) = zxj , kde j = min{i ∈ {1, . . . , nx} : zxi ∈ M}. Potom pre každé x z Mplatí ⟨p(x), x⟩ ∈ R.Nech x je ľubovoľný, ale pevný prvok X. Definujme funkciu q z N do X klasickou matematickouindukciou (t. j. podľa vety 3.2):

1 q(0) = x.2 q(n+ 1) = p(q(n)).

Nech A =M r q[N].SS1 A je uzavretá na F .

Nech h ∈ F , ⟨x1, . . . , xn⟩ ∈ Dom(h) ∩ An, ale h(x1, . . . , xn) /∈ A. Keďže Dom(h) ⊆ M a Mje uzavretá na h, platí h(x1, . . . , xn) ∈ M . Spolu teda h(x1, . . . , xn) ∈ M r A = q[N], takžeh(x1, . . . , xn) = q(m) pre nejaké m z N. Keďže q(m) = hq(m)(z

q(m)1 , . . . , z

q(m)

nq(m)), z jedinostihq(m), nq(m) a z

q(m)1 , …, zq(m)

nq(m) máme h = hq(m), n = nq(m) a pre každé i z {1, . . . , nq(m)}xi = x

q(m)i . Potom platí:

q(m+ 1)

= p(q(m))(podľa definície q),

∈ R−1[{q(m)}](lebo q(m) ∈ X a ⟨x, p(x)⟩ ∈ X pre každé x z X),

= {xq(l)1 , . . . , xq(l)

nq(l)}(podľa definície R),

= {x1, . . . , xn},⊆ A

(podľa vety 4.1, lebo ⟨x1, . . . , xn⟩ ∈ An).Ukázali sme tak, že q(m+ 1) ∈ A, čo je však spor s definíciou A.

Podľa vety 3.2 a subsublemy 1 teda X ⊆ A =M r q[N] ⊆ X r q[N], čo je spor.

Nech y je ľubovoľný prvok neprázdnej množiny Y . Definujme zobrazenie g z X ×∪x∈X Fun(R−1[{x}]), Y ) do

Y takto:

g(x, e) =

{gh

x

(⟨zx1 , . . . , zxnx⟩, ⟨e(zx1 ), . . . , e(zxnx)⟩), ak {zx1 , . . . , zxnx} ⊆ Dom(e),y inak.

Podľa vety 2.1, ktorej podmienka je podľa sublemy 1 splnená, potom existuje jediné zobrazenie f z X do Ytaké, že ak x ∈ X, tak f(x) = g(x, f � R−1[{x}]).

S2 f je jediné zobrazenie z X do Y také, že ak h ∈ F a ⟨x1, . . . , xn⟩ ∈ Dom(h), tak platí

f(h(x1, . . . , xkh)) = gh(⟨x1, . . . , xkh⟩, ⟨f(x1), . . . , f(xkh)⟩).

I Najprv ukážeme, že f vyhovuje:Nech c = h(x1, . . . , xkh). Zo vzťahu x = hx(zx1 , . . . , z

xnx) a jedinosti hx, nx a zx1 , …, zxnx máme

hx = h, nx = kh a pre každé i z {1, . . . , kh} zxi = xi. Potom platí:f(h(x1, . . . , xkh))

= f(x),= g(x, f � R−1[x}])= gh

x

(⟨zx1 , . . . , zxnx⟩, ⟨(f � R−1[{x}])(zx1 ), . . . , (f � R−1[{x}])(zxnx)⟩)(podľa definície g, lebo {zx1 , . . . , zxnx} = R−1[{x}] ⊆ Dom(f � R−1[x]), keďže Dom(f) = X),

= ghx

(⟨zx1 , . . . , zxnx⟩, ⟨f(zx1 ), . . . , f(zxnx)⟩)(lebo R−1[{x}] = {zx1 , . . . , zxnx})


= gh(⟨x1, . . . , xkh⟩, ⟨f(x1), . . . , f(xkh)⟩)(lebo hc = h, nx = kh a pre každé i z {1, . . . , kh} platí zci = xi).

I Teraz ukážeme jedinosť f :Nech e je zobrazenie z triedy C do triedy D také, že ak h ∈ F a ⟨x1, . . . , xkh⟩ ∈ Dom(h), tak platí

e(h(x1, . . . , xkh)) = gh(⟨x1, . . . , xkh⟩, ⟨e(x1), . . . , e(xkh)⟩).

Nech A = {c ∈ C : e(c) = f(c)}.SS1 A je uzavretá na F .

Nech h ∈ F , ⟨x1, . . . , xkh⟩ ∈ Dom(h) ∩Akh . Potom platí:e(h(x1, . . . , xkh)),= gh(⟨x1, . . . , xkh⟩, ⟨e(x1), . . . , e(xkh)⟩)

(podľa predpokladu),= gh(⟨x1, . . . , xkh⟩, ⟨f(x1), . . . , f(xkh)⟩)

(lebo podľa vety 3.2 {x1, . . . , xkh} ⊆ A),= f(h(x1, . . . , xkh))

(lebo f vyhovuje).To znamená, že h(x1, . . . , xkh) ∈ A.

Podľa subsublemy 1 a vety 4.5 o matematickej indukcii v množine indukovanej množinou zobrazenídostávame X ⊆ A, a teda X = A. To však znamená, že e = f .

A2.1 Párujúca funkcia 18A2.1 Párujúca funkcia 18A2.1 Párujúca funkcia 18

A2 Kódovanie tíc

A2.1 Párujúca funkcia

D Nech pac je zobrazenie množiny N× N do množiny N definované vzťahom

pac(x, y) = 2x(2y + 1)− 1.

V1 Zobrazenie pac je bijekcia množiny N× N na množinu N.

S1 Zobrazenie pac je injektívne.

pac(⟨x1, y1⟩) = pac(⟨x2, y2⟩), pričom (bez ujmy na všeobecnosti) x1 ≤ x2(predpoklad s cieľom ⟨x1, y1⟩ = ⟨x2, y2⟩),

2x1

(2y1 + 1)− 1 = 2x2

(2y2 + 1)− 1(podľa definície pac),

2x1

(2y1 + 1) = 2x2

(2y2 + 1),2y1 + 1 = 2x

2−x1

(2y2 + 1),2y1 + 1 = 2x

2−x1

(2y2 + 1) a x2 − x1 = 0(ak by platilo x2 − x1 > 0, tak pravá strana by bola párna, kým ľavá je nepárna),

2y1 + 1 = 2y2 + 1 a x1 = x2

(lebo 2x2−x1

= 2x1−x1

= 20 = 1),2y1 = 2y2 a x1 = x2,y1 = y2 a x1 = x2,⟨x1, y1⟩ = ⟨x2, y2⟩.

S2 Zobrazenie pac je surjektívne na N.

Nech k ∈ N. Potom k+1 ∈ N+, takže množina {x ∈ N : 2x | k+1} je konečná. Označme x jej maximum.Potom k+1

2x je nepárne, t. j. tvaru 2y + 1 pre nejaké y z N. Platí teda:pac(⟨x, y⟩)= 2x(2y + 1)− 1

(podľa definície pac),= (k + 1)− 1,= k.

D Definujme postupnosť deN vzťahomdeN(n) = pac[{n} × N].

V2 Systém množín {deN(n) : n ∈ N} rozklad množiny N na nekonečné podmnožiny, pričom zobrazenie deN jeinjektívne.

S1 Nech n ∈ N. Potom je množina deN(n) nekonečná.

Postupne platí:množina {n} × N je nekonečná

(lebo množina N je nekonečná),množina pac[{n} × N] je nekonečná

(podľa vety 1),množina deN(n) je nekonečná

(podľa definície deN).

A2.1 Kódovanie tíc 19A2.1 Kódovanie tíc 19A2.1 Kódovanie tíc 19

S2 Pre rôzne n1 a n2 z N sú množiny deN(n1) a deN(n2) disjunktné.

Nech x ∈ deN(n1) ∩ deN(n2). Potom pre obe j z {1, 2} podľa definície deN máme x ∈ pac[{nj} × N],takže existuje kj z N, že x = pac(nj , kj). To teda znamená, že pac(n1, k1) = pac(n2, k2), takže podľavety 1 ⟨n1, k1⟩ = ⟨n2, k2⟩. Z toho už n1 = n2, čo je spor.

S3 Nech k ∈ N. Potom existuje n, že k ∈ deN(n).

Podľa vety 1 existujú n a m také, že k = pac(n,m), takže k ∈ pac[{n}×] = deN(n).

A2.1 Kódovanie tíc

D Nech pre každé n z N+ je tucn zobrazenie množiny Nn do množiny N definované indukciou (t. j. podľa vetyA1.2.2) takto:

I tuc1(x1) = x1.I tucn+1(x1, . . . , xn+1) = pac(tucn(x1, . . . , xn), xn+1).

V3 Pre každé n z N je zobrazenie tucn+1 je bijekcia množiny Nn na množinu N.

Tvrdenie dokážeme klasickou matematickou indukciou, t. j. podľa vety A1.1.2:

1 tuc1 je podľa definície bijekcia z množiny N1, t. j. N na množinu N.

2 S1 Zobrazenie tucn+1 je injektívne.

tucn+1(x11, . . . , x1n+1) = tucn+1(x21, . . . , x

2n+1)

(predpoklad s cieľom ⟨x11, . . . , x1n+1⟩ = ⟨x11, . . . , x1n+1⟩),pac(tucn(x11, . . . , x

1n), x

1n+1) = pac(tucn(x21, . . . , x

2n), x

2n+1)

(podľa definície tucn+1),⟨tucn(x11, . . . , x1n), x1n+1⟩ = ⟨tucn(x21, . . . , x2n), x2n+1⟩

(podľa vety 1.1),tucn(x11, . . . , x

1n) = tucn(x21, . . . , x

2n) a x1n+1 = x2n+1

⟨x11, . . . , x1n⟩ = ⟨x21, . . . , x2n⟩ a x1n+1 = x2n+1

(podľa indukčného predpokladu je zobrazenie tucn injektívne),⟨⟨x11, . . . , x1n⟩, x1n+1⟩ = ⟨⟨x21, . . . , x2n⟩, x2n+1⟩,⟨x11, . . . , x1n+1⟩ = ⟨x21, . . . , x2n+1⟩.

S2 Zobrazenie tucn+1 je surjektívne na N.

Nech k ∈ N. Podľa vety X1 existujú m a xn+1 z N, že k = pac(m,xn+1). Podľa indukčného predpo-kladu je zobrazenie tucn surjektívne na N, preto existujú x1, …, xn také, že m = tucn(x1, . . . , xn).Potom platí:tucn+1(x1, . . . , xn+1)

= pac(tucn(x1, . . . , xn), xn+1)(podľa definície tucn+1),

= pac(m,xn+1),= k.

A3.1 Usporiadania 20A3.1 Usporiadania 20A3.1 Usporiadania 20

A3 Usporiadania

A3.1 Usporiadania

V1 Nech ≺ je ostré usporiadanie triedy C a A je neprázdna konečná podmnožina C. Potom v A existuje ≺--minimálny prvok.

Jednokrokovou klasickou matematickou indukciou t. j. podľa vety A1.1.5 dokážeme, že ak crd(A) = n, tak vA existuje ≺-minimálny prvok.Nech x je ľubovoľný prvok A a nech B = {y ∈ A : y ≺ x}. Rozoberme dva prípady:

I Nech B = ∅.To však znamená, že x je ≺-minimálny prvok.

I Nech B = ∅.Z antireflexivity ≺ máme x /∈ B, takže B = A, a teda crd(B) < crd(A) = n. Podľa indukčnéhopredpokladu preto existuje aspoň jeden ≺-minimálny prvok v B. Označme jeden z nich w, ukážeme, žeje ≺-minimálny aj v A. Nech z ∈ A a z ≺ w. Keďže w ∈ B, platí w ≺ x, takže z tranzitivity ≺ mámez ≺ x, a teda z ∈ B. To je však spor s ≺-minimalitou w v B.

D Reláciu △ na triede C nazveme trichotomická, ak pre každé x1 a x2 z triedy C platí práve jedna z možností:

I x1△x2,I x2△x1,I x1 = x2.

V2 Ak je relácia trichotomická a tranzitívna na nejakej triede C, je to lineárne ostré usporiadanie tejto triedy.

Antireflexivita našej relácie je priamym dôsledkom jej trichotómie. Keďže predpokladáme i jej tranzitivitu, je toostré usporiadanie tejto triedy. Z predpokladanej trichotómie dostávame i jeho linearitu.

V3 Nech ≺ je ostré lineárne usporiadanie nekonečnej množiny M , a pre každé x z množiny M je množina{y : y ≺ x} konečná. Potom existuje jediný izomorfizmus ostro usporiadanej množiny (M,≺) na ostrousporiadanú množinu (N, <).

Nech f je zobrazenie množiny M do množiny N definované vzťahom f(x) = crd({y : y ≺ x}).

S1 Nech x1 ≺ x2. Potom {y : y ≺ x1} ⊂ {y : y ≺ x2}.

Ak y ≺ x1, tak z tranzitivity ≺ vyplýva y ≺ x2. To znamená, že platí {y : y ≺ x1} ⊆ {y : y ≺ x2}.Keďže podľa predpokladu x1 ∈ {y : y ≺ x2}, ale z antisymetrie ≺ máme x1 /∈ {y : y ≺ x1}, množina{y : y ≺ x1} je vlastnou podmnožinou {y : y ≺ x2}. A pretože sú obe konečné, platí crd({y : y ≺ x1}) <crd({y : y ≺ x2}), t. j. f(x1) < f(x2).

S2 Nech x1 ≺ x2. Potom f(x1) < f(x2).

Z konečnosti množiny {y : y ≺ x2} podľa sublemy 1 platí crd({y : y ≺ x1}) < crd({y : y ≺ x2}), t. j.f(x1) < f(x2).

S3 f je surjektívne na N.

Klasickou matematickou indukciou, t. j. podľa vety A1.1.3 ukážeme, že pre každé n z N existuje x z Mtaké, že f(x) = n:

1 Nech w je ľubovoľný prvok množiny M . Keďže množina {y : y ≺ w} je konečná, podľa vety 1 v nejexistuje nejaký ≺-minimálny prvok. Označme jeden z nich x. Ak u ∈ {y : y ≺ x}, tak u ≺ x ≺ w, čoje spor s ≺-minimalitou x v {y : y ≺ w}. To teda znamená, že {y : y ≺ x} = ∅, a teda f(x) = 0.

A3.2 Usporiadanie tíc 21A3.2 Usporiadanie tíc 21A3.2 Usporiadanie tíc 21

2 Nech w je ľubovoľný prvok množiny M taký, že f(w) = n. Nech v je ľubovoľný prvok M taký,že w ≺ v (existuje, lebo množina {y : y ≺ w} ∪ {w} je konečná, ale M je nekonečná). Potom{y : w ≺ y ≺ v} ∪ {v} je podmnožina konečnej množiny {y : y ≺ v} ∪ {v}, je preto tiež konečná.Podľa vety 1 v nej existuje nejaký ≺-minimálny prvok. Označme jeden z nich x. Potom w ≺ x,z čoho a zo sublemy 1 máme {y : y ≺ w} ∪ {w} ⊆ {y : y ≺ x}. Ukážeme, že tu nastáva rovnosť:Ak u ∈ {y : y ≺ x} r ({y : y ≺ w} ∪ {w}), tak u ≺ x, ale nie u ≺ w ani u = w, pretoz linearity w ≺ u, a teda w ≺ u ≺ x ≺ v, čo je spor s ≺-minimalitou x. To teda znamená, že{y : y ≺ w} ∪ {w} = {y : y ≺ x}, a keďže z antireflexivity w /∈ {y : y ≺ w}, máme f(x) = crd({y :y ≺ x}) = crd({y : y ≺ w} ∪ {w}) = n+ 1.

Z linearity a sublemy 2 vyplýva, že f je injektívne, čo spolu so sublemou 3 znamená, že je to bijekcia množinyM na N. Podľa sublemy 2 zachováva aj usporiadanie, takže z linearity oboch usporiadaní dostávame, že f−1

je hľadaný izomorfizmus.

S4 Nech h je izomorfizmus ostro usporiadanej množiny (N, <) na seba. Potom h = IdeN.

Nech h je izomorfizmus ostro usporiadanej množiny (N, <) na seba. Nech A = {n ∈ N : h(n) = n}.Rozoberme dva prípady:I Nech A je prázdna.

To však znamená, že pre pre každé n z N platí h(n) = n, a teda h = IdeN.I Nech A je neprázdna.

Keďže je to podmnožina množiny N, má minimum. Označme ho m. Potom pre každé n z množiny{0, . . . ,m− 1} platí h(n) = n. Keďže h je bijekcia z N do N, a h(m) = m, takže nutne h(m) > ma h−1(m) > m. Avšak h je izomorfizmus, takže z m < h−1(m) vyplýva h(m) < h(h−1(m)) = m,čo je spor.

S5 f je jediný izomorfizmus ostro usporiadanej množiny (M,≺) na ostro usporiadanú množinu (N, <).

Nech g je iný taký izomofizmus. Potom g−1 je izomorfizmus (N, <) na (M,≺), takže g−1 ◦ f je izomor-fizmus (N, <) na seba. Podľa sublemy 4 potom g−1 ◦ f = IdeN, a teda g = g ◦ IdeN = g ◦(g−1 ◦ f) =(g ◦ g−1) ◦ f = IdeN ◦ f = f , čo je spor.

A3.2 Usporiadanie tíc

D Nech A je ticovo jednoznačná množina a f je bijekcia z A na N. Definujme zobrazenie llmA,f množiny A∗ domnožiny N vzťahom

llmA,f (⟨a1, . . . , an⟩) = max({n} ∪ {f(ai) + 1 : i ∈ {1, . . . , n}}.

D Nech A je ticovo jednoznačná množina a f je bijekcia množiny A na množinu N. Definujme reláciu torA,f namnožine A∗ vzťahom: ⟨⟨a1, . . . , an⟩, ⟨b1, . . . , bm⟩⟩ ∈ torA,f práve vtedy, ak platí jedna z podmienok:

I llmA,f (⟨a1, . . . , an⟩) < llmA,f (⟨b1, . . . , bm⟩),I llmA,f (⟨a1, . . . , an⟩) = llmA,f (⟨b1, . . . , bm⟩) a n < m,I llmA,f (⟨a1, . . . , an⟩) = llmA,f (⟨b1, . . . , bm⟩), n = m a existuje k z {1, . . . , n}, že ak i ∈ {1, . . . , k − 1},

tak ai = bi, a f(ak) < f(bk).

V2 Nech A je ticovo jednoznačná množina a f je bijekcia množiny A na množinu N. Relácia torA,f je lineárneostré usporiadanie množiny A∗ a existuje jediný izomorfizmus množiny (A∗, torA,f ) na množinu (N, <).

S1 Relácia torA,f je trichotomická.

Nech ⟨a11, . . . , a1n1⟩, ⟨a21, . . . , a2n2⟩ ∈ N∗.Rozoberme tri prípady:

A3.2 Usporiadanie tíc 22A3.2 Usporiadanie tíc 22A3.2 Usporiadanie tíc 22

I Nech llmA,f (⟨a11, . . . , a1n1⟩) < llmA,f (⟨a21, . . . , a2n2⟩).Potom podľa definície torA,f platí ⟨a11, . . . , a1n1⟩torA,f ⟨a21, . . . , a2n2⟩.

I Nech llmA,f (⟨a11, . . . , a1n1⟩) > llmA,f (⟨a21, . . . , a2n2⟩).Potom podľa definície torA,f platí ⟨a21, . . . , a2n2⟩torA,f ⟨a11, . . . , a1n1⟩.

I Nech llmA,f (⟨a11, . . . , a1n1⟩) = llmA,f (⟨a21, . . . , a2n2⟩).Rozoberme tri prípady:I Nech n1 < n2.

Potom podľa definície torA,f platí ⟨⟨a11, . . . , a1n1⟩, ⟨a21, . . . , a2n2⟩⟩ ∈ torA,f .I Nech n1 > n2.

Potom podľa definície torA,f platí ⟨⟨a21, . . . , a2n2⟩, ⟨a11, . . . , a1n1⟩⟩ ∈ torA,f .I Nech n1 = n2.

Označme túto spoločnú hodnotu n.Rozoberme dva prípady:I Nech je množina {i ∈ {1, . . . , n} : a1i = a2i } neprázdna.

Označme k jej minimum. Potom pre každé i z {1, . . . , n} platí a1i = a2i a a1k = a2k.Rozoberme dva prípady:I Nech f(a1k) < f(a2k).

Potom podľa definície torA,f platí ⟨a11, . . . , a1n1⟩torA,f ⟨a21, . . . , a2n2⟩.I Nech f(a1k) > f(a2k).

Potom podľa definície torA,f platí ⟨a21, . . . , a2n2⟩torA,f ⟨a11, . . . , a1n1⟩.I Nech je množina {i ∈ {1, . . . , n} : a1i = a2i } prázdna.

Potom pre každé i z {1, . . . , n} platí a1i = a2i , čiže ⟨a11, . . . , a1n1⟩ = ⟨a21, . . . , a2n2⟩.

S2 Relácia torA,f je tranzitívna.

Nech ⟨a11, . . . , a1n1⟩torA,f ⟨a21, . . . , a2n2⟩torA,f ⟨a31, . . . , a3n3⟩, ale nie ⟨a11, . . . , a1n1⟩torA,f ⟨a31, . . . , a3n3⟩. Podľasublemy 1 potom nastáva jeden z týchto dvoch prípadov:I Nech ⟨a11, . . . , a1n1⟩ = ⟨a31, . . . , a3n3⟩.

Potom však ⟨a11, . . . , a1n1⟩torA,f ⟨a21, . . . , a2n2⟩torA,f ⟨a11, . . . , a1n1⟩, čo je v rozpore so sublemou 1.I Nech ⟨a31, . . . , a3n3⟩torA,f ⟨a11, . . . , a1n1⟩.

Podľa definície teda platí llmA,f (⟨a11, . . . , a1n1⟩) ≤ llmA,f (⟨a21, . . . , a2n2⟩) ≤ llmA,f (⟨a31, . . . , a3n3⟩) ≤llmA,f (⟨a11, . . . , a1n1⟩), takže llmA,f (⟨a11, . . . , a1n1⟩) = llmA,f (⟨a21, . . . , a2n2⟩) = llmA,f (⟨a31, . . . , a3n3⟩).Opäť podľa definície dostávame n1 ≤ n2 ≤ n3 ≤ n1, z čoho n1 = n2 = n3. Označme túto spoločnúhodnotu n. Podľa definície dostávame:I Existuje k1 z {1, . . . , n}, že ak i ∈ {1, . . . , k1 − 1}, tak a1i = a2i , a f(a1k1) < f(a2k2).I Existuje k2 z {1, . . . , n}, že ak i ∈ {1, . . . , k2 − 1}, tak a2i = a3i , a f(a2k2) < f(a3k3).I Existuje k3 z {1, . . . , n}, že ak i ∈ {1, . . . , k3 − 1}, tak a3i = a1i , a f(a3k3) < f(a1k1).

Nech k = min{k1, k2, k3}. Potom pre všetky i z {1, . . . , k − 1} platí a1i = a2i = a3i a tiež f(a1k) ≤f(a2k) ≤ f(a3k) ≤ f(a1k). z čoho f(a1k) = f(a2k) = f(a3k), a teda a1k = a2k = a3k. Podľa definície kvšak musí platiť aspoň jedna z nerovností f(a1k) < f(a2k), f(a2k) < f(a3k), alebo f(a3k) < f(a1k), čoje spor.

Zo sublem 1 a 2 už podľa vety 4.2 vyplýva, že torA,f je lineárne ostré usporiadanie.

S3 Ak x ∈ A∗, tak množina {y : ytorA,fx} je konečná.

Nech ⟨a1, . . . , an⟩torA,fx. Podľa definície torA,f potom platí llmA,f (⟨a1, . . . , an⟩) ≤ llmA,f (x). Podľadefinície llmA,f to znamená, že n ≤ llmA,f (x) a pre každé i z {1, . . . , n} platí f(ai) + 1 ≤ llmA,f (x).To však znamená, že ⟨a1, . . . , an⟩ patrí do množiny {f−1(0), . . . , f−1(llmA,f (x)− 1)}llmA,f (x). Tá jekonečná, takže aj jej podmnožina {y : ytorA,fx} je konečná.

Keďže torA,f je to lineárne ostré usporiadanie, zo sublemy 3 už podľa vety A3.1.3 vyplýva, že existuje jedinýizomorfizmus (A∗, torA,f ) na (N, <).

D Nech A je ticovo jednoznačná množina a f je bijekcia množiny A na množinu N. Označme tenA,f je jedinýizomorfizmus ostro usporiadanej množiny (A∗, torA,f ) do ostro usporiadanej množiny (N, <).

A3.3 Multitice 23A3.3 Multitice 23A3.3 Multitice 23

P Definícia tenA,f je korektná podľa vety 2.

D Nech M je nekonečná podmnožina množiny N. Označme incM je jediný izomorfizmus ostro usporiadanejmnožiny (M,< ∩ (M ×M)) do ostro usporiadanej množiny (N, <).

P Inými slovami, incM je (jediné) rastúce očíslovanie všetkých prvkov M prirodzenými číslami.

P Definícia incM je korektná podľa vety A3.1.3, lebo pre každé x z M je množina {y ∈ M : y < x} konečná,keďže je to podmnožina konečnej množiny {0, . . . , x− 1}.

D Nech C je ticovo jednoznačná trieda. Definujme triedu TDEC vzťahom

TDEC =∪n∈N

{⟨x1, . . . , xn⟩ ∈ Cn : (∀i1, i2 ∈ {1, . . . , n})(i1 = i2 → xi1 = xi2)}.

A3.3 Multitice

D Definujme triedové zobrazenie Tup (”tuples“ – tice) z triedy S vzťahom

Tup(M) =∪n∈N

Mn.

Namiesto Tup(M) píšeme aj M∗.

D Definujme (triedové) zobrazenie Trs (”trees“ – stromy) z S× N do S parametrickou matematickou indukciou(t. j. podľa vety 3.3):

1 Trs(M, 0) =M .2 Ak k ∈ N, tak Trs(M,k + 1) = (Trs(M,k))∗.

D Definujme triedové zobrazenie Mtp (”multituples“ – multitice) z triedy S vzťahom

Mtp(M) =∪n∈N

Trs(M,n).

V1 Nech M je ticovo jednoznačná spočítateľná množina. Potom je množina Mtp(M) spočítateľná.

Pre každé n z N definujme bijekciu fn z Trs(M,n) na N indukciou (t. j. podľa vety 3.3):

1 f0 = IdeM .2 Ak n ∈ N, tak fk+1 = tenTrs(m,n),fk .

Definujme teraz funkciu g z N2 do Mtp(A) vzťahom g(n, k) = (fn)−1(k).

S1 g je surjektívna na Mtp(M).

Nech m ∈ Mtp(M), t. j. m ∈∪n∈N Trs(M,n). Existuje teda n také, že m ∈ Trs(M,n). Potom

fn(m) ∈ N a g(n, fn(m)) = (fn)−1(fn(m)) = m.

Podľa vety ??? je tuc2 bijekcia (takže aj surjekcia) z N2 na N, takže podľa sublemy 1 je (tuc2)−1 ◦g surjekcia zN na Mtp(M). Môžeme teda definovať funkciu h z Mtp(M) do N vzťahom h(m) = min((tuc2)−1 ◦ g)[{m}].

S2 h je injektívna.

Nech h(m1) = h(m2) a túto spoločnú hodnotu označme q. Potom však pre každé j z {1, 2} platí:h(mj) = q,min((tuc2)−1 ◦ g)[{mj}] = q

(podľa definície h),

A3.3 Multitice 24A3.3 Multitice 24A3.3 Multitice 24

q ∈ ((tuc2)−1 ◦ g)[{mj}],((tuc2)−1 ◦ h)(q) = mj ,a teda m1 = m2.

Zo sublemy 5 máme crd(Mtp(M)) ≤ crd(N) = ℵ a keďže M = Trs(M, 0) ⊆ Mtp(M) a M je podľapredpokladu spočítateľná, platí aj ℵ = crd(M) ≤ crd(Mtp(M)). Z toho už crd(Mtp(M)) = ℵ.

V2 Nech M je ticovo jednoznačná spočítateľná množina. Potom je množina M∗ spočítateľná.

Platí M ⊆ M∗ = Trs(M, 0)∗ = Trs(M, 1) ⊆ Mtp(M), takže crd(M) ≤ crd(M∗) ≤ crd(Mtp(M)). Podľapredpokladu a vety 1 však crd(M) = crd(Mtp(M)), z čoho crd(M∗) = ℵ.

A4.1 Abeceda 25A4.1 Abeceda 25A4.1 Abeceda 25

A4 Abeceda

A4.1 Abeceda

D Množinu A nazveme abeceda, ak platí:

I ∅ /∈ A.I Pre žiadne dva prvky a a b z A neexistuje objekt x taký, že a = ⟨x, b⟩.

V1 Podmnožina abecedy je abeceda.

Nech A je abeceda a B jej podmnožina.

I Ak by platilo ∅ ∈ B, tak z B ⊆ A by sme mali ∅ ∈ A, čo by bol spor.I Ak a, b ∈ B, tak z B ⊆ A máme a, b ∈ A, a teda neexistuje objekt x taký, že a = ⟨x, b⟩.

V2 Ak A je abeceda a M je množina, tak M ×A je abeceda.

I Ak ∅ ∈M×A, tak ∅ = ⟨m, a⟩ pre nejaké m ∈M a a ∈ A, čo je však spor, lebo ⟨m, a⟩ = {{m}, {m, a}}.I Nech c a d sú prvky M × A, a c = ⟨x, d⟩ pre nejaký objekt x. Potom však c = ⟨x, d⟩ ∈ M × A, z čoho

podľa definície karteziánskeho súčinu d ∈ A. Keďže b ∈ M × A, podľa definície karteziánskeho súčinub = ⟨y, e⟩ pre nejaké y z M a e z A, čo je však spor s tým, že A je abeceda.

V3 Abeceda je ticovo jednoznačná.

Nech A je abeceda. Nech ⟨x11, . . . , x1n1⟩ = ⟨x21, . . . , x2n2⟩, kde n1 a n2 sú rôzne prirodzené čísla, pričom bezujmy na všeobecnosti n1 < n2, a x11, …, x1n1 a x21, …, x2n2 sú prvky A. Rozoberme prípady:

I Nech n1 = 0 a n2 = 1.Potom ∅ = ⟨⟩ = ⟨x11, . . . , x1n1⟩ = ⟨x21, . . . , x2n2⟩ = ⟨x21⟩ = x21 ∈ A, čo je spor s predpokladom, že A jeabeceda.

I Nech n1 = 0 a n2 ≥ 2.Potom ∅ = ⟨⟩ = ⟨x11, . . . , x1n1⟩ = ⟨x21, . . . , x2n2⟩ = ⟨⟨x21, . . . , x2n2−1⟩, x2n2⟩, čo je však spor. Tento prípadteda nastať nemôže.

I Nech n1 = 1 a n2 ≥ 2.Potom x11 = ⟨x11⟩ = ⟨x11, . . . , x1n1⟩ = ⟨x21, . . . , x2n2⟩ = ⟨⟨x21, . . . , x2n2−1⟩, x2n2⟩, čo je spor s predpokladom,že A je abeceda.

I Nech n1 ≥ 2 a n2 ≥ 2.Potom ⟨x11, . . . , x1n1⟩ = ⟨x21, . . . , x2n2⟩ = ⟨⟨x21, . . . , x2n2−n1+1⟩, x2n2−n1+2, . . . , x

2n2⟩. Z toho dostávame

x11 = ⟨x21, . . . , x2n2−n1+1⟩ = ⟨⟨x21, . . . , x2n2−n1⟩, x2n2−n1+1⟩, čo je spor s predpokladom, že A je abeceda.

A4.1 Abeceda

D Nech C je abeceda. Pre každé c z C definujme zobrazenie addc triedy C∗ do seba vzťahom

addc(⟨x1, . . . , xn⟩) = ⟨x1, . . . , xn, c⟩.

V1 Nech C je abeceda. Potom je trieda {Ide⟨⟩} ∪ {addc : c ∈ C} nekonfliktná.

Rozoberme dva prípady:

A4.1 Abeceda 26A4.1 Abeceda 26A4.1 Abeceda 26

I Nech addc(⟨x1, . . . , xn⟩) = Ide⟨⟩(⟨⟩) = ⟨⟩, kde c ∈ C, n ∈ N a x1, …, xn sú prvky C. Podľa definícieaddc potom ⟨x1, . . . , xn, c⟩ = ⟨⟩, čo je spor. Tento prípad teda nemôže nastať.

I Nech addc1(⟨x11, . . . , x1n1⟩) = addc2(⟨x21, . . . , x2n2⟩), kde pre obe j z {1, 2} platí cj ∈ C, nj ∈ Na xj1, …, xjnj sú prvky C. Podľa definície addc

j

potom ⟨x11, . . . , x1n1 , c1⟩ = ⟨x21, . . . , x2n2 , c2⟩. To zna-mená, že pre obe j z {1, 2} platí ⟨xj1, . . . , x

jnj , c

j⟩ ∈ Cnj+1, a teda Cn1+1 ∩Cn2+1 = ∅. Podľa vety 1 jevšak trieda C ticovo jednoznačná, z čoho máme n1 +1 = n2 +1, a teda n1 = n2. Z toho už dostávame,že pre každé i z {1, . . . , n1} platí x1i = x2i a c1 = c2, z čoho addc

1

= addc2

.

V2 Nech C je abeceda. Potom C∗ je indukt triedy zobrazení {addc : c ∈ C}.

Nech F = {Ide⟨⟩} ∪ {addc : c ∈ C}. Keďže každé f z F je v rámci C∗, trieda C∗ je uzavretá na F .Keďže podľa vety 1 je F nekonfliktná, podľa vety A1.4.2 je relácia ???wfrF dobre založená na C∗.Nech D je trieda uzavretá na F a nech neplatí C∗ ⊆ D. Trieda C∗ rD je teda neprázdna podmnožina C∗,preto v nej existuje aspoň jeden ???wfrF -minimálny prvok. Označme jeden z nich b. Rozoberme dva prípady:

I Nech b = ⟨⟩.Keďže Ide{⟨⟩} ∈ F , platí b = ⟨⟩ = Ide{⟨⟩}(⟨⟩), a teda z uzavretosti D na F , máme b ∈ D, čo je spor.

I Nech b = ⟨⟩.Potom existuje n z N a x1, …, xn+1 z C také, že b = ⟨x1, . . . , xn+1⟩. To však znamená, že b =addxn+1(⟨x1, . . . , xn⟩), a teda {x1, . . . , xn} ⊆ ???wfrF

−1[{b}]. Z ???wfrF -minimality bmáme ???wfrF−1[{b}]∩(C∗ rD) = ∅, t. j. ???wfrF−1[{b}] ⊆ D, a teda ???wfrF

−1[{b}] ⊆ D. Z uzavretosti D na F , teda ina addxn+1 dostávame b ∈ D, čo je spor.

V3 (o matematickej indukcii cez množinu tíc)Nech C je abeceda. Nech A je množina taká, že platí:

1 ⟨⟩ ∈ A.2 Ak ⟨x1, . . . , xn⟩ ∈ A, kde x1, …, xn sú prvky C a xn+1 ∈ C, tak ⟨x1, . . . , xn+1⟩ ∈ A.

Potom C∗ ⊆ A.

Podmienky 1 a 2 znamenajú, že množina A je uzavretá na množinu {Ide⟨⟩} ∪ {addc : c ∈ C}. Podľa vety 2 jeC∗ jej induktom, takže podľa vety A1.3.2 platí C∗ ⊆ A.

V4 (o definícii matematickou indukciou cez množinu tíc)Nech D je trieda. Nech C je abeceda. Nech d je prvok D a pre každé c z C je gc zobrazenie triedy C∗ ×Ddo triedy D. Potom existuje jediné zobrazenie f z C∗ do D také, že platí:

1 f(⟨⟩) = h.2 Ak x1, …, xn a c sú prvky C, tak f(⟨x1, . . . , xn, c⟩) = gc(⟨x1, . . . , xn⟩, f(⟨x1, . . . , xn⟩)).

Nech F = {Ide⟨⟩} ∪ {addc : c ∈ C}. Nech nIde⟨⟩ = 0 a GIde⟨⟩(⟨⟩, ⟨⟩) = d a nech pre každé c z C platínadd

c

= 1 a Gaddc

(⟨⟨x1, . . . , xn⟩⟩, d) = gc(⟨x1, . . . , xn⟩, d).Tým sú splnené podmienky vety A1.4.3, podľa ktorej existuje jediné zobrazenie f také, že platí:

1 f(Ide⟨⟩(⟨⟩)) = GIde⟨⟩(⟨⟩, ⟨⟩), t. j.f(⟨⟩) = h.2 f(addc(⟨x1, . . . , xn⟩)) = Gaddc

(⟨x1, . . . , xn⟩, f(⟨x1, . . . , xn⟩)), t. j. f(⟨x1, . . . , xn, c⟩) = gc(⟨x1, . . . , xn⟩,f(⟨x1, . . . , xn⟩)).

A5.1 Booleovská algebra 27A5.1 Booleovská algebra 27A5.1 Booleovská algebra 27

A5 Booleovská algebra

A5.1 Booleovská algebra

D Nech platí:

I B je neprázdna množina.I ⊤ a ⊥ sú prvky B.I ¬ je zobrazenie z B do B.I ∨ a ∧ sú zobrazenia z B ×B do B.

Potom ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ nazveme booleovská algebra, ak platia tejto podmienky:

I Komutativita: Pre každé x a y z B platíI x ∧ y = y ∧ x,I x ∨ y = y ∨ x.

I Asociativita: Pre každé x, y a z z B platí:I x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z,I x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z.

I Distributivita: Pre každé x, y1 a y2 z B platíI x ∨ y1 ∧ y2 = (x ∨ y1) ∧ (x ∨ y2),I x ∨ y1 ∨ y2 = (x ∧ y1) ∨ (x ∧ y2).

I Absorpcia: Pre každé x a y z B platíI x ∧ (x ∨ y) = x,I x ∨ (x ∧ y) = x.

I Komplementarita: Pre každé x z B platíI x ∧ ¬x = ⊥,I x ∨ ¬x = ⊤.

D Nech B je booleovská algebra a B = ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩. Potom:

I Množinu B nazývame ju nosičom B a označujeme ju sppB.I Prvok ⊤ množiny B nazývame jednotkou B a označujeme ho ⊤B.I Prvok ⊥ množiny B nazývame nulou B a označujeme ho ⊥B.I Funkciu ¬ nazývame komplement v B a označujeme ju ¬B.I Funkciu ∨ nazývame spojenie v B a označujeme ju ∨B.I Funkciu ∧ nazývame priesek v B a označujeme ju ∧B.

D Nech a = b. Nech k je funkcia z {a, b} do {a, b} taká, že k(a) = b a k(b) = a. Nech p a s sú funkciez {a, b} × {a, b} do {a, b} také, že s(a, a) = s(a, b) = s(b, a) = a, a s(b, b) = b, p(a, a) = a a p(a, b) =p(b, a) = p(b, b) = b. Potom booleovskú algebru ⟨{a, b}, ⟨a, b, k, s, p⟩⟩ budeme označovať BBA(a, b).

• Nech a je ľubovoľný objekt. Nech k je funkcia z {a} do {a} taká, že k(a) = a. Nech o je funkcia z {a} × {a}do {a} taká, že o(a, a) = a. Potom ⟨{a}, ⟨a, a, k, o, o⟩⟩ je booleovská algebra.

• Nech A je ľubovoľná množina. Nech f je zobrazenie z P(A) do P(A) také, že f(X) = ArX (takúto funkciuf nazývame aj komplement (vzhľadom na základnú množinu A)). Potom ⟨P(A), ⟨∅, A, f,∪,∩⟩⟩ je booleovskáalgebra.

P Všimnime si, že nosič takejto booleovskej algebry je buď konečný, alebo nespočítateľný. Existujú však i spočí-tateľné booleovské algebry.


• Nech A je množina všetkých konečných podmnožín N. Nech f je komplement vzhľadom na základnú množinuN). Potom ⟨A∪ f [A], ⟨∅, A, f,∪,∩⟩⟩ je booleovská algebra. Jej nosič obsahuje všetky konečné podmnožiny Na ich doplnky, je teda spočítateľný.

V1 (o distributivite)

Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra. Pre každé x1, x2 a y z B platí:

I (x1 ∧ x2) ∨ y = (x1 ∨ y) ∧ (x2 ∨ y).I (x1 ∨ x2) ∧ y = (x1 ∧ y) ∨ (x2 ∧ y).I y ∨ (x1 ∧ x2) = (y ∨ x1) ∧ (y ∨ x2).I y ∧ (x1 ∨ x2) = (y ∧ x1) ∨ (y ∧ x2).

Nech {⊕,⊗} = {∨,∧}. Potom platí:

y ⊗ (x1 ⊕ x2)= (x1 ⊕ x2)⊗ y

(komutativita),= (x1 ⊗ y)⊕ (x2 ⊗ y)

(distributivita),= (y ⊗ x1)⊕ (y ⊗ x2)

(komutativita).

Z toho už vyplývajú všetky štyri tvrdenia.

V2 (o absorpcii)

Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra. Pre každé x a y z B platí:

I (x ∧ y) ∨ x = x.I (x ∨ y) ∧ x = x.I x ∨ (x ∧ y) = x.I x ∧ (x ∨ y) = x.I (y ∧ x) ∨ x = x.I (y ∨ x) ∧ x = x.I x ∨ (y ∧ x) = x.I x ∧ (y ∨ x) = x.

Nech {⊕,⊗} = {∨,∧}. Potom platí:

(y ⊕ x)⊗ x= x⊗ (y ⊕ x)

(komutativita),= x⊗ (x⊕ y)

(komutativita),= (x⊕ y)⊗ x

(komutativita),= x

(absorpcia).

Z toho už vyplýva všetkých osem tvrdení.

V3 (o komplementarite)


Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra. Pre každé x z B platí:

I (x ∨ ¬x) = ⊤.I (x ∧ ¬x) = ⊥.I (¬x ∨ x) = ⊤.I (¬x ∧ x) = ⊥.

Nech platí jedna z možností:

I ⊕ = ∨ a h = ⊤.I ⊕ = ∧ a h = ⊥.

Potom platí:

¬x⊕ x= x⊕ ¬x

(komutativita),= h

(komplementarita).


V4 (o neutralite)


I (x ∨ ⊥) = x.I (x ∧ ⊤) = x.I (⊥ ∨ x) = x.I (⊤ ∧ x) = x.


I ⊕ = ∨, ⊗ = ∧ a h = ⊥.I ⊕ = ∧, ⊗ = ∨ a h = ⊤.

Potom platí:

x⊕ h= h⊕ x

(komutativita),= (x⊗ ¬x)⊕ x

(komplementarita),= x

(absorpcia).


V5 (o idempotencii)


I x ∨ x = x.I x ∧ x = x.


I ⊕ = ∨, ⊗ = ∧ a h = ⊤.I ⊕ = ∧, ⊗ = ∨ a h = ⊥.


Potom platí:

x⊕ x= (x⊗ h)⊕ x

(komplementarita),= x

(absorpcia).

Z toho už vyplývajú obe tvrdenia.

D Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra B. Reláciu ≤ na množine B definovanú vzťahom

x ≤ y práve vtedy, keď x ∧ y = x

nazveme usporiadanie generované touto booleovskou algebrou.

V6 Usporiadanie generované booleovskou algebrou je (naozaj) usporiadanie.

Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra generujúca usporiadanie ≤.

I Nech x ∈ B. Podľa vety 5 o idempotencii x ∧ x = x, čo znamená x ≤ x.Relácia ≤ je teda reflexívna.

I Nech x, y ∈ B, x ≤ y a y ≤ x. Postupne platí:x

= x ∧ y(lebo x ≤ y),

= y ∧ x(komutativita),

= y(lebo y ≤ x).

Relácia ≤ je teda antisymetrická.I Nech x, y, z ∈ B, x ≤ y a y ≤ z. Postupne platí:

= x ∧ z= (x ∧ y) ∧ z

(lebo x ≤ y),= x ∧ (y ∧ z)

(asociativita),= x ∧ y

(lebo y ≤ z),= x

(lebo x ≤ y).čo znamená x ≤ z.Relácia ≤ je teda tranzitívna.

V7 Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra generujúca usporiadanie≤. Pre každé x a y z B sú nasledujúcepodmienky ekvivalentné:

I x ≤ y.I x ∧ y = x.I y ∧ x = x.I x ∨ y = y.I y ∨ x = y.

Ekvivalencia prvých dvoch podmienok je priamo definícia generovaného usporiadania, ekvivalencia druhéhoa tretieho a ekvivalencia štvrtého a piateho vyplývajú z komutativity.Ostáva teda dokázať ekvivalenciu druhého a štvrtého:


→→→→→→→→→ x ∨ y= (x ∧ y) ∨ y

(predpoklad),= y

(podľa vety 2 o absorpcii).←←←←←←←←← x ∧ y

= x ∧ (x ∨ y)(predpoklad),

= x(podľa vety 2 o absorpcii).

V8 Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra generujúca usporiadanie ≤. Nech x1, x2, y1, y2 ∈ B, pričompre obe j z {1, 2} platí xj ≤ yj . Potom platí:

I x1 ∨ x2 ≤ y1 ∨ y2.I x1 ∧ x2 ≤ y1 ∧ y2.


I ⊕ = ∨, pre obe j z {1, 2} zj = yj .I ⊕ = ∧, pre obe j z {1, 2} zj = xj .

Potom platí:

(x1 ⊕ x2)⊕ (y1 ⊕ y2)= x1 ⊕ (x2 ⊕ (y1 ⊕ y2))

(asociativita),= x1 ⊕ ((x2 ⊕ y1)⊕ y2)

(asociativita),= x1 ⊕ ((y1 ⊕ x2)⊕ y2)

(komutativita),= x1 ⊕ (y1 ⊕ (x2 ⊕ y2))

(asociativita),= (x1 ⊕ y1)⊕ (x2 ⊕ y2)

(asociativita),= z1 ⊕ z2

(pre obe j z {1, 2} podľa definície zj , lebo xj ≤ yj).

Z toho už podľa vety 7 vyplývajú obe tvrdenia.

V9 Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra generujúca usporiadanie ≤. Potom platí:

I ⊤ = max≤(B),I ⊥ = min≤(B).

I Ak x ∈ B, tak podľa vety 4 o neutralite x ∧ ⊤ = x, čo podľa vety 7 znamená x ≤ ⊤.I Ak x ∈ B, tak podľa vety 4 o neutralite x ∨ ⊥ = x, čo podľa vety 7 znamená ⊥ ≤ x.

V10 Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra generujúca usporiadanie ≤. Potom pre každé x1 a x2 z Bplatí:

I x1 ∨ x2 = sup≤{x1, x2}.I x1 ∧ x2 = inf≤{x1, x2}.

I Ukážeme platnosť oboch podmienok:


I Nech {i, j} = {1, 2}. Potom postupne platí:⊥ ≤ xj

(podľa vety 9),(xi ∨ ⊥) ≤ (xi ∨ xj)

(podľa vety 8),xi ≤ (xi ∨ xj)

(podľa vety 4 o neutralite),xi ≤ (x1 ∨ x2)

(ak i = 2, tak z komutativity, inak triviálne).x1 ∨ x2 je teda horné ≤-ohraničenie množiny {x1, x2}.

I Nech y je horné ≤-ohraničenie množiny {x1, x2}. Potom platí:(x1 ∨ x2) ∨ y= x1 ∨ (x2 ∨ y)

(asociativita),= x1 ∨ y

(podľa vety 7, lebo x2 ≤ y),= y

(podľa vety 7, lebo x1 ≤ y),čo podľa vety 7 znamená (x1 ∨ x2) ≤ y.

I Ukážeme platnosť oboch podmienok:I Nech {i, j} = {1, 2}. Potom postupne platí:xj ≤ ⊤

(podľa vety 9),(xi ∨ xj) ≤ (xi ∨ ⊥)

(podľa vety 8),(xi ∨ xj) ≤ xi

(podľa vety 4 o neutralite),(x1 ∨ x2) ≤ xi

(ak i = 2, tak z komutativity, inak triviálne).x1 ∨ x2 je teda dolné ≤-ohraničenie množiny {x1, x2}.

I Nech y je dolné ≤-ohraničenie množiny {x1, x2}. Potom platí:(x1 ∧ x2) ∧ y= x1 ∧ (x2 ∧ y)

(asociativita),= x1 ∧ y

(podľa vety 7, lebo y ≤ x2),= y

(podľa vety 7, lebo y ≤ x1),čo podľa vety 7 znamená y ≤ (x1 ∨ x2).

V11 Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra. Potom pre každé x z B platí

¬¬x = x.¬¬x= ⊤ ∧ ¬¬x

(podľa vety 4 o neutralite),= (x ∨ ¬x) ∧ ¬¬x

(podľa vety 3 o komplementarite),= (x ∧ ¬¬x) ∨ (¬x ∧ x¬¬x)

(podľa vety 1 o distributivite),= (x ∧ ¬¬x) ∨ ⊥

(podľa vety 3 o komplementarite),


= (x ∧ ¬¬x) ∨ (x ∧ ¬x)(podľa vety 3 o komplementarite),

= x ∧ (¬¬x ∨ ¬x)(podľa vety 1 o distributivite),

= x ∧ ⊤(podľa vety 3 o komplementarite),

= x(podľa vety 4 o neutralite).

V12 Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra. Potom pre každé x1 a x2 z B platí

¬x1 = ¬x2 práve vtedy, keď x1 = x2.

←←←←←←←←← Tvrdenie platí triviálne.→→→→→→→→→ Postupne platí:¬x1 = ¬x2

(predpoklad),¬¬x1 = ¬¬x2

(podľa už dokázanej časti),x1 = x2

(podľa vety 11).

V13 Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra. Potom platí:

I ¬⊤ = ⊥.I ¬⊥ = ⊤.

I ¬⊤= ⊤ ∧ ¬⊤

(podľa vety 4 o neutralite),= ⊥

(podľa vety 3 o komplementarite),I ¬⊥

= ¬¬⊤(podľa už dokázanej časti),

= ⊤(podľa vety 11).

V14 Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra generujúca usporiadanie ≤. Potom pre každé x a y z B platí

x ≤ y práve vtedy, keď ¬y ≤ ¬x.

→→→→→→→→→ Nech x ≤ y.S1 ¬x ∨ y = ⊤.

⊤= ¬x ∨ x

(podľa vety 3 o komplementarite),≤ ¬x ∨ y

(podľa predpokladu a vety 8),≤ ⊤

(podľa vety 9),Z antisymetrie ≤ (podľa vety 6) už dostávame dokazované tvrdenie.

Potom platí:


¬x= ¬x ∨ ⊥

(podľa vety 4 o neutralite),= ¬x ∨ (y ∧ ¬y)

(podľa vety 3 o komplementarite),= (¬x ∨ y) ∧ (¬x ∨ ¬y)

(podľa vety 1 o distributivite),= ⊤ ∧ (¬x ∨ ¬y)

(podľa sublemy 1),= ¬x ∨ ¬y

(podľa vety 4 o neutralite),z čoho podľa vety 7 dostávame požadované tvrdenie.

←←←←←←←←← Postupne platí:¬y ≤ ¬x

(predpoklad),¬¬x ≤ ¬¬y

(podľa už dokázanej časti),x ≤ y

(podľa vety 11).

V15 Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra. Nech X ⊆ B. Potom platí:

I sup≤X existuje práve vtedy, keď existuje ¬ inf≤{¬x : x ∈ X}, a platí sup≤X = ¬ inf≤{¬x : x ∈ X}.I inf≤X existuje práve vtedy, keď existuje ¬ sup≤{¬x : x ∈ X}, a platí inf≤X = ¬ sup≤{¬x : x ∈ X}.

I Nech m ∈ B. Potom platí:sup≤(X) = m,akk ((∀x ∈ X)x ≤ m) ∧ ((∀b ∈ B)(((∀x ∈ X)x ≤ b)→ m ≤ b))

(podľa definície sup≤),akk ((∀x ∈ X)¬m ≤ ¬x) ∧ ((∀b ∈ B)(((∀x ∈ X)¬b ≤ ¬x)→ ¬b ≤ ¬m))

(podľa vety 13),akk ((∀x ∈ X)¬m ≤ ¬x) ∧ ((∀c ∈ B)(((∀x ∈ X)c ≤ ¬x)→ c ≤ ¬m))

(v oboch smeroch ide o špeciálny prípad, pričom v opačnom využívame ¬¬c = c, čo platí podľa vety11),

akk ((∀y ∈ {¬x : x ∈ X})¬m ≤ y) ∧ ((∀c ∈ B)(((∀y ∈ {¬x : x ∈ X})c ≤ y)→ c ≤ ¬m))(prepis),

akk inf≤{¬x : x ∈ X} = ¬m(podľa definície inf≤),

akk ¬ inf≤{¬x : x ∈ X} = ¬¬m(podľa vety 14),

akk ¬ inf≤{¬x : x ∈ X} = m(podľa vety 13).

Z toho už vyplýva dokazované tvrdenie.I Nech m ∈ B. Potom platí:

inf≤(X) = m,akk ((∀x ∈ X)m ≤ x) ∧ ((∀b ∈ B)(((∀x ∈ X)b ≤ x)→ b ≤ m))

(podľa definície inf≤),akk ((∀x ∈ X)¬x ≤ ¬m) ∧ ((∀b ∈ B)(((∀x ∈ X)¬x ≤ ¬b)→ ¬m ≤ ¬b))

(podľa vety 13),akk ((∀x ∈ X)¬x ≤ ¬m) ∧ ((∀c ∈ B)(((∀x ∈ X)¬x ≤ c)→ ¬m ≤ c))

(v oboch smeroch ide o špeciálny prípad, pričom v opačnom využívame ¬¬c = c, čo platí podľa vety11),

A5.2 Filtre a ultrafiltre 35A5.2 Filtre a ultrafiltre 35A5.2 Filtre a ultrafiltre 35

akk ((∀y ∈ {¬x : x ∈ X})y ≤ ¬m) ∧ ((∀c ∈ B)(((∀y ∈ {¬x : x ∈ X})y ≤ c)→ ¬m ≤ c))(prepis),

akk sup≤{¬x : x ∈ X} = ¬m(podľa definície sup≤),

akk ¬ sup≤{¬x : x ∈ X} = ¬¬m(podľa vety 14),

akk ¬ sup≤{¬x : x ∈ X} = m(podľa vety 13).

Z toho už vyplýva dokazované tvrdenie.

V16 Nech ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ je booleovská algebra. Potom pre každé x a y z B platí

I ¬(¬x ∧ ¬y) = x ∨ y.I ¬(¬x ∨ ¬y) = x ∧ y.

Nech ≤ je usporiadanie generované touto booleovskou algebrou. Nech nastáva jedna z možností:

I ⊕ = ∨, ⊗ = ∧, f = sup≤, g = inf≤.I ⊕ = ∧, ⊗ = ∨, f = inf≤, g = sup≤.

Potom platí:

¬(¬x⊕ ¬y)= ¬f{¬x,¬y}

(podľa vety 10),= g{x, y}

(podľa vety 15),= x⊗ y

(podľa vety 10).

D Booleovskú algebru algebru s generovaným usporiadaním ≤ nazývame úplná, ak pre každú podmnožinu Xnosiča existuje sup≤X aj inf≤X.

A5.2 Filtre a ultrafiltre

D Nech B je booleovská algebra.

I Podmnožinu F množiny sppB nazveme B-filter , ak je neprázdna a platí:I Ak x ≤B y a x ∈ F , tak y ∈ F .I Ak x1 ∈ F a x2 ∈ F , tak x1 ∧B x2 ∈ F .

I B-filter F nazývame vlastný , ak navyše platí:I ⊥B /∈ F .

I Vlastný B-filter F nazývame B-ultrafilter , ak navyše platí:I Ak x ∈ sppB, tak x ∈ F alebo ¬Bx ∈ F .

V1 Nech B je booleovská algebra a F je B-filter. Potom ⊤B ∈ F .

Podľa definície B-filtra existuje je množina F neprázdna, existuje teda x také, že x ∈ F . Keďže x ≤B ⊤B,podľa definície B-filtra platí aj ⊤B ∈ F .

V2 Nech B je booleovská algebra a F je B-filter. Nech x1, x2 ∈ sppB. Potom

x1 ∧B x2 ∈ F práve vtedy, keď x1 ∈ F a x2 ∈ F .


→→→→→→→→→ Pre obe j z {1, 2} podľa vety 1.10 platí x1 ∧B x2 ≤B xj , takže z vlastností B-filtra máme xj ∈ F .

←←←←←←←←← Ak x1 ∈ U a x2 ∈ F , z vlastností B-filtra x1 ∧B x2 ∈ F .

V3 Nech B je booleovská algebra a F je B-filter. Nech n ∈ N+ a x1, …, xn sú prvky sppB. Potom platísup≤B

{x1, . . . , xn} ∈ F práve vtedy, keď pre každé i z {1, . . . , n} platí xi ∈ F .

Tvrdenie dokážeme matematickou indukciou podľa vety A1.1.3:

1 sup{x1} ∈ F ,akk x1 ∈ F

(lebo sup{x} = x).1 sup≤B

⟨x1, . . . , xn+1⟩ ∈ Fakk sup≤B

(⟨x1, . . . , xn⟩ ∪ {xn+1}) ∈ F ,akk sup≤B

{sup≤B(⟨x1, . . . , xn⟩), sup≤B

{xn+1}} ∈ F(lebo sup(A ∪B) = sup(supA ∪ supB)),

akk sup≤B{sup≤B

(⟨x1, . . . , xn⟩), xn+1} ∈ F(lebo sup{x} = x),

akk sup≤B(⟨x1, . . . , xn⟩) ∧B xn+1 ∈ F

(podľa vety 1.10),akk sup≤B

(⟨x1, . . . , xn⟩) ∈ F a xn+1 ∈ F(podľa vety 2),

akk pre každé i z {1, . . . , n} platí xi ∈ F a xn+1 ∈ F(podľa indukčného predpokladu),

akk pre každé i z {1, . . . , n+ 1} platí xi ∈ F .

V4 Nech B je booleovská algebra a F je B-ultrafilter. Nech x ∈ sppB. Potom

x ∈ F práve vtedy, keď ¬Bx /∈ F .

→→→→→→→→→ Nech x ∈ F . Ak aj ¬Bx ∈ F , tak podľa axiómy komplementarity a definície B-ultrafiltra platí ⊥B =x ∧B ¬Bx ∈ F , čo je spor s tým, že F je vlastný B-filter.

←←←←←←←←← Nech ¬Bx /∈ F . Podľa definície B-ultrafiltra potom nutne x ∈ F .

V5 Nech B je booleovská algebra a F je B-ultrafilter. Nech n ∈ N+ a x1, …, xn sú prvky sppB. Potom platíinf≤B{x1, . . . , xn} ∈ F práve vtedy, keď existuje i z {1, . . . , n}, že platí xi ∈ F .

inf≤B{x1, . . . , xn} ∈ Fakk ¬B sup≤B

{¬B(x1), . . . ,¬B(xn)} ∈ F(podľa vety 1.15),

akk sup≤B{¬B(x1), . . . ,¬B(xn)} /∈ F

(podľa vety 4),akk nie je pravda, že sup≤B

{¬B(x1), . . . ,¬B(xn)} ∈ F ,akk nie je pravda, že pre každé i z {1, . . . , n} platí ¬B(xi) ∈ F

(podľa vety 3),akk nie je pravda, že pre každé i z {1, . . . , n} platí xi /∈ F

(podľa vety 4),akk existuje i z {1, . . . , n} také, že xi ∈ F .

V6 Nech B je booleovská algebra a F je B-ultrafilter. Nech x1, x2 ∈ sppB. Potom

x1 ∨B x2 ∈ F práve vtedy, keď x1 ∈ F alebo x2 ∈ F .

x1 ∨B x2 ∈ F


akk inf≤B{x1, x2} ∈ F(podľa vety 1.10),

akk x1 ∈ F alebo x2 ∈ F(podľa vety 5).

…

V7 Nech B je booleovská algebra so spočítateľným nosičom. Nech P je vlastný B-filter. Potom existuje B--ultrafilter U taký, že P ⊆ U .

Nech B = ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ a ≤ = ≤B.Najprv sublemy:

S1 Nech F je vlastný B-filter a b ∈ B. Potom platí jedna z možností:

I Pre každé x z F platí b ∧ x = ⊥.I Pre každé x z F platí ¬b ∧ x = ⊥.

Nech t1 = b a t2 = ¬b. Nech neplatí ani jedna z uvedených možností. Pre obe j z {1, 2} teda existujenejaké xj z F také, že platí tj ∧ xj = ⊥. Nech w = x1 ∧ x2. Keďže F je B-filter, platí w ∈ F a tiež preobe j z {1, 2} podľa vety 1.10 platí w ≤ xj . Podľa vety 1.8 pre obe j z {1, 2} platí tj ∧w ≤ tj ∧xj = ⊥,a teda podľa vety 1.9 tj ∧ w = ⊥. Potom platí:w

= ⊤ ∧ w(podľa vety 1.4 o neutralite),

= (b ∨ ¬b) ∧ w(podľa vety 1.3 o komplementarite),

= (t1 ∨ t2) ∧ w= (t1 ∧ w) ∨ (t2 ∧ w)

(podľa vety 1.1 o distributivite),= ⊥ ∨⊥

(práve sme to ukázali),= ⊥

(podľa vety 1.4 o neutralite).čo je spor s tým, že F je vlastný B-filter.

Pre A ⊆ B a b ∈ B nech GA,b = {x ∈ B : (∃z ∈ A)(b ∧ z ≤ x)}.

S2 Ak A ⊆ B a b ∈ B, tak A ⊆ GA,b.

Nech x ∈ A. Podľa vety 1.10 platí b ∧ x ≤ x. A keďže x ∈ A, platí x ∈ GA,b.

S3 Ak A ⊆ B a A = ∅ a b ∈ B, tak b ∈ GA,b.

Nech z je ľubovoľný prvok A. Podľa vety 1.10 platí b ∧ z ≤ b. A keďže z ∈ A, platí b ∈ GA,b.

S4 Nech F je B-filter a b ∈ B. Potom GF,b je B-filter.

I Nech x ≤ y a x ∈ GF,b. Podľa definície teda existuje z z F , že platí b∧ z ≤ x. Z tranzitivity ≤ platíb ∧ z ≤ y, a teda podľa definície platí y ∈ GF,b.

I Nech x1, x2 ∈ GF,b. Podľa definície teda pre obe j z {1, 2} existuje zj z F , že platí b∧zj ≤ xj . Nechw = z1 ∧ z2. Podľa definície F platí w ∈ F a tiež pre obe j z {1, 2} podľa vety 1.10 platí w ≤ zj .Potom platí:b ∧ w= b ∧ (z1 ∧ z2),


= (b ∧ b) ∧ (z1 ∧ z2)(podľa vety 1.5 o idempotencii),

= b ∧ (b ∧ (z1 ∧ z2))(asociativita),

= b ∧ ((b ∧ z1) ∧ z2)(asociativita),

= b ∧ ((z1 ∧ b) ∧ z2)(komutativita),

= b ∧ (z1 ∧ (b ∧ z2))(asociativita),

= (b ∧ z1) ∧ (b ∧ z2)(asociativita),

≤ x1 ∧ x2(podľa vety 1.8).

Z tranzitivity teda b ∧ w ≤ x1 ∧ x2, z čoho x1 ∧ x2 ∈ GF,b.

S5 Nech F je vlastný B-filter a b ∈ B. Potom platí aspoň jedna z možností:

I GF,b je vlastný filter.I GF,¬b je vlastný filter.

Podľa sublemy 1 existuje a z množiny {b,¬b} také, že pre každé x z F platí a ∧ x = ⊥. Ukážeme, žeGF,a je vlastný filter:I Podľa sublemy 4 to je filter.I Nech ⊥ ∈ GF,a. Podľa definície teda existuje z z F , že platí a∧z ≤ ⊥, čiže podľa vety 1.9 a∧z = ⊥.

To je však spor s deklarovanou vlastnosťou a, a teda platí ⊥ /∈ GF,a.

Nech (bn : n ∈ N) je prostá postupnosť všetkých prvkov B (existuje, lebo podľa predpokladu je táto množinaspočítateľná). Definujme postupnosť podmnožín (Fn : n ∈ N) množiny B matematickou indukciou (t. j. podľavety A1.2.2):

1 F0 = P .2Fn+1 =

{GFn,bn , ak GFn,bn je vlastný B-filter,GFn,¬bn inak.

S6 Pre každé n z N je Fn vlastný B-filter.

Dokážeme to klasickou matematickou indukciou (t. j. podľa vety A1.1.3):1 Podľa definície platí F0 = P , čo je podľa predpokladu vety vlastný B-filter.2 Rozlíšime dva prípady:

I Nech GFn,bn je vlastný B-filter. Potom podľa definície Fn+1 = GFn,bn , čo je vlastný B-filter.I Nech GFn,bn nie je vlastný B-filter. Podľa indukčného predpokladu je Fn je vlastný B-filter, takže

podľa sublemy 4 je GFn,¬bn vlastný B-filter. Podľa definície však Fn+1 = GFn,¬bn , a teda Fn+1

je vlastný B-filter.

S7 Pre každé n a i z N platí Fn ⊆ Fn+1.

Podľa sublemy 2 platí ako Fn ⊆ GFn,bn , tak Fn ⊆ GFn,¬bn . Podľa definície Fn+1 preto v oboch prípadochdostávame Fn ⊆ Fn+1.

S8 Pre každé n a i z N platí Fn ⊆ Fn+i.

Dokážeme to klasickou matematickou indukciou (t. j. podľa vety A1.1.3) pre i z N:1 Platí Fn ⊆ Fn = Fn+0.2 Podľa indukčného predpokladu platí Fn ⊆ Fn+i a podľa sublemy 7 Fn+i ⊆ F(n+i)+1 = Fn+(i+1).

Z toho už dostávame Fn ⊆ Fn+(i+1).


Definujme teraz U vzťahom U =∪n∈N Fn. Ukážeme, že je to hľadaný B-ultrafilter:

S9 P ⊆ U .

Podľa definície F0 a U platí P = F0 ⊆∪n∈N Fn = U .

S9 U je B-ultrafilter.

Dokážeme všetky vlastnosti B-ultrafiltra:I Nech x ≤ y a x ∈ U . Podľa definície U potom existuje n z N, že x ∈ Fn. Podľa sublemy 5 je FnB-filter, platí preto y ∈ Fn, a teda podľa definície U dostávame y ∈ U .

I Nech x1 ∈ U a x2 ∈ U . Podľa definície U potom pre každé j z {1, 2} existuje nj z N, že xj ∈ Fnj .Nech m = max{n1, n2}. Pre obe j z {1, 2} teda platí nj ≤ m, takže podľa sublemy 7 platí Fnj ⊆ Fm,z čoho xj ∈ Fm. Podľa sublemy 5 je Fm B-filter, takže x1 ∧ x2 ∈ Fm, a teda podľa definície Udostávame x1 ∧ x2 ∈ U .

I Ak ⊥ ∈ U , tak podľa definície U existuje n z N, že ⊥ ∈ Fn. Podľa sublemy 5 je však Fn vlastnýB-filter, čo je spor.

I Nech x ∈ B. Potom existuje n z N také, že x = bn. Podľa definície platí Fn+1 = GFn,bn aleboFn+1 = GFn,¬bn , takže zo sublemy 3 máme bn ∈ Fn+1 alebo ¬bn ∈ Fn+1. Podľa definície U potombn ∈ U alebo ¬bn ∈ U , t. j.x ∈ U alebo ¬x ∈ U .

D Nech B je booleovská algebra. Podmnožinu D množiny sppB nazveme B-hustou, ak existuje supD a platísupD = ⊤B.

V8 Nech B je booleovská algebra so spočítateľným nosičom. Nech (Dn : n ∈ N) je postupnosť B-hustýchpodmnožín sppB. Nech b ∈ B, pričom b = ⊥B. Potom existuje vlastný B-filter F taký, že b ∈ F a pre každén z N platí Dn ∩ F = ∅.

Nech B = ⟨B, ⟨⊤,⊥,¬,∨,∧⟩⟩ a ≤ = ≤B.

S1 Nech c ∈ B, c = ⊥ a D je B-hustá podmnožina B. Potom existuje d z D také, že c ∧ d = ⊥.

Nech pre každé d z D platí, že c ∧ d = ⊥. Potom pre každé d z D platí:d

= ⊤ ∧ d(podľa vety 1.4 o neutralite),

= (c ∨ ¬c) ∧ d(podľa vety 1.3 o komplementarite),

= (c ∧ d) ∨ (¬c ∧ d)(podľa vety 1.1 o distributivite),

= ⊥ ∨ (¬c ∧ d)(predpoklad),

= ¬c ∧ d(podľa vety 1.4 o neutralite).

Máme teda d = ¬c ∧ d, čiže d ≤ ¬c. Prvok ¬c je teda ohraničením množiny D, čo podľa predpokladuvety znamená, že ¬c ≥ supD = ⊤, t. j. ¬c = ⊤. Z toho však c = ⊥, čo je spor s predpokladom.

Nech (dn : n ∈ N) je prostá postupnosť všetkých prvkov Br {⊥} (existuje, lebo predpokladáme, že B (a tedai táto množina) je spočítateľná). Definujme postupnosť prvkov ⟨cn : n ∈ N⟩ množiny B matematickou indukciou(t. j. podľa vety A1.2.2):

1 c0 = b.2cn+1 =

{cn ∧ dk, ak cn = ⊥, pričom k = min{i ∈ N : (di ∈ Dn) ∧ (cn ∧ di = ⊥)},b inak.

Táto definícia je korektná, lebo minimovaná množina je podľa sublemy 1 neprázdna.


S2 Ak n ∈ N, tak cn = ⊥.

Dokážeme to klasickou matematickou indukciou (t. j. podľa vety A1.1.3):1 Podľa definície a predpokladu c0 = b = ⊥.2 Nech platí indukčný predpoklad cn = ⊥. Potom podľa definície cn+1 = cn∧dk, kde k = min{i ∈ N :

(di ∈ Dn)∧ (cn∧di = ⊥)}. Keďže minimum patrí do minimovanej množiny, dostávame cn∧dk = ⊥,t. j. cn+1 = ⊥.

To teda znamená, že predchádzajúcu definíciu môžeme zredukovať na tvar:

1 c0 = b.2 cn+1 = cn ∧ dk, pričom k = min{i ∈ N : (di ∈ Dn) ∧ (cn ∧ di = ⊥)}.

S3 Ak n, i ∈ N, tak cn+i ≤ cn.

Dokážeme to klasickou matematickou indukciou (t. j. podľa vety A1.1.3) pre i:1 Z reflexivity ≤ máme cn+0 = cn ≤ cn.2 Podľa definície cn+i+1 ≤ cn+i a podľa indukčného predpokladu cn+i ≤ cn. Z tranzitivity ≤ už

dostávame cn+(i+1) ≤ cn.

Definujme teraz množinu F vzťahom F = {x ∈ B : (∃n ∈ N)cn ≤ x}. Ukážeme, že táto množina vyhovujevšetkým podmienkam:

S4 b ∈ F .

Keďže c0 ≤ c0 = b, podľa definície F platí b ∈ F .

S5 F je vlastný B-filter.

I Neprázdnosť F vyplýva zo sublemy 4.I Nech x ≤ y a x ∈ F . Podľa definície F potom existuje n z N, že cn ≤ x. Z tranzitivity ≤ dostávamecn ≤ y, a teda y ∈ F .

I Nech x1, x2 ∈ F . Podľa definície F potom pre každé j z {1, 2} existuje nj z N, že platí cnj ≤ xj .Nech m = max{n1, n2}. Pre obe j z {1, 2} teda platí nj ≤ m, a teda podľa sublemy 3 platí cm ≤ cnj .Z tranzitivity ≤ dostávame cm ≤ xj , a to pre obe j z {1, 2}, takže podľa vety 1.10 cm ≤ x1 ∧ x2.To však podľa definície F znamená, že x1 ∧ x2 ∈ F .

I Nech ⊥ ∈ F . Podľa definície existuje n z N, že cn ≤ ⊥, a teda podľa vety 1.9 cn = ⊥, čo je spor sosublemou 2.

S6 Pre každé n z N platí Dn ∩ F = ∅.

Nech k = min{i ∈ N : (di ∈ Dn) ∧ (cn ∧ di = ⊥)}. Potom dk ∈ Dn a podľa definície (a sublemy 2)cn+1 = cn ∧ dk. Z toho cn+1 ≤ dk, a teda dk ∈ F . Dostávame teda dk ∈ Dn ∩ F , z čoho Dn ∩ F = ∅.

V9 Nech B je booleovská algebra so spočítateľným nosičom. Nech (Dn : n ∈ N) je postupnosť hustých podmnožínsppB. Nech b ∈ B, pričom b = ⊥B. Potom existuje B-ultrafilter U taký, že b ∈ U a pre každé n z N platíDn ∩ U = ∅.

Keďže B je spočítateľná množina, podľa vety 8 existuje vlastný B-filter F taký, že b ∈ F a pre každé n z Nplatí Dn ∩ F = ∅. Opäť z toho, že B je spočítateľná množina, podľa vety 7 existuje B-ultrafilter taký, žeF ⊆ U . Z toho však vyplýva, že b ∈ U a pre každé n z N platí Dn ∩ U = ∅.

…

1.1 Matematické symboly 411.1 Matematické symboly 411.1 Matematické symboly 41

1 Logický jazyk

1.1 Matematické symboly

Svet okolo nás je taký zložitý, že nie je možné, aby v ňom jedinec dlhodobo existoval izolovane. Každý človek jepreto chtiac-nechtiac nútený s ostatnými ľuďmi spolupracovať, a teda i vymieňať si s nimi informácie. Potrebuje pretonejaký komunikačný prostriedok čiže jazyk, ktorému rozumie ako on, tak i jeho spolupracovníci. Každý takýto jazyk jezaložený na tom, že najprv sa vymedzia isté (aspoň relatívne) samostatné objekty či deje a potom sa každému z nichpridelí element tohto jazyka, ktorý naň ukazuje, je jeho symbolom čiže akýmsi abstrahovaným zástupcom Vhodnoukombináciou takýchto symbolov potom človek môže vyjadriť pozorované vzťahy medzi súcnami a tieto vyjadreniaefektívne sprostredkovať ostatným.

V prirodzenom jazyku sú týmito symbolmi slová (či už v písanej, alebo hovorenej podobe). Hlavnú úlohu tu majúpodstatné mená a slovesá. Kým prvé pomenúvajú objekty (alebo tiež súcna či entity) – či už konkrétne (veci) aleboabstraktné (javy), druhé znamenajú deje, na ktorých sa tieto objekty (či už aktívne, alebo pasívne) podieľajú. Úlohouprídavných mien a čísloviek je bližšie špecifikovať kvalitu či kvantitu objektov pomenúvané podstatnými menami,príslovky zasa upresňujú význam slovies alebo prídavných mien. Každý vzťah je vyjadrený istým predikátom (typickyje to sloveso), ktorý má istú valenciu, čo je nielen (spravidla pevne určený) počet objektov, ktoré doňho vstupujú, aleaj charakteristika toho, akú rolu v ňom každý z nich má hrať. Tieto roly sú vyjadrované prostredníctvom predložieka v prípade flexívnych jazykov (medzi ktoré patrí i slovenčina) i tvarmi zúčastnených slov. Spolu tak slová vytvárajújednoduché vety a tie môžu byť pomocou spojok spájané do súvetí. Okrem citosloviec a častíc, ktoré vyjadrujú skôrosobný postoj k zvyšku vety než ďalšie informácie, sme sa ešte nevenovali zámenám. Tie sú veľmi špecifické, pretožena rozdiel od všetkých ostatných slovných druhov nemajú dopredu určený význam, ten totiž závisí od kontextutvoreného ostatnými slovami.

Tieto pozorovania, samozrejme, nepopisujú pravidlá prirodzeného jazyka úplne, budú však pre naše ďalšie ciele výraz-ným inšpiračným zdrojom. Jazyk matematiky (ako i každý iný umelý jazyk) totiž vždy do istej miery musí kopírovaťprirodzený jazyk, pretože ten nielen odráža proces myslenia, ale ho svojou štruktúrou i spätne ovplyvňuje.

S popisom sveta prostredníctvom jazyka je spojených mnoho problémov. Reálny svet je totiž (našťastie) priveľmikomplikovaný, aby sa dal vtesnať do nami vymyslených symbolov. Navyše, aj keby sa to teoreticky podarilo, nemámezáruku, že symboly sú naozaj všetkými účastníkmi komunikácie chápané rovnako (typickým príkladom je tu poézia).A toto nebezpečenstvo hrozí tým viac, čím sú symbolizovaný objekty či vzťahy abstraktnejšie. Neznamená to, sa-mozrejme, že by sme mali na poznávanie sveta rezignovať, len musíme pokorne priznať, že akýkoľvek jazyk je nutneredukciou sveta (ktorého je sám časťou), a preto na jeho úplné uchopenie nestačí.

Ak sa však obmedzíme na matematický svet, ktorý je tou najracionálnejšou časťou reality, naša ambícia popísať hopomocou symbolov by predsa len mohla priniesť väčší úspech. Už od začiatku sa však musíme vyhýbať prípadnýmnejednoznačnostiam, preto požiadavky, ktoré kladieme na matematický jazyk, musia byť omnoho striktnejšie. Týmsíce zákonite obmedzíme prostriedky svojho vyjadrovania, odmenou však bude istota, že naše tvrdenia sú pravdivé.

Prácu s matematickými symbolmi môžeme rozdeliť do dvoch dôležitých oblastí:

I Pod syntaxou rozumieme vlastnosti symbolov ako takých, bez ohľadu na to, čo symbolizujú. Musíme vedieť,ako vyzerajú a ako a za akých podmienok z nich možno vytvoriť zložitejšie výrazy.

I Uvedomme si, že práca so symbolmi a s výrazmi z nich vytvorenými nie je len nezáväzná formálna hra, ale žejej hlavným zmyslom je poznať pravdu. Musíme preto poznať význam jednotlivých symbolov, teda to, na čoukazujú, čo symbolizujú. Na základe tejto ich interpretácie budeme následne rozumieť aj z nich vytvorenýmvýrazom. Túto oblasť sa volá sémantika.

Všetky matematické symboly, s ktorými kedy budeme pracovať, by sme mohli rozdeliť do niekoľkých kategórií, podľatoho, čo vyjadrujú:

I Symboly 3, 4, 5,2, e, Venuša či Mars, sú menami konkrétnych objektov, istých konštánt. Môžeme ich pretonazvať konštantové.


Iste však cítime, že posledné dva symboly majú k sebe bližšie než ostatné štyri, sú totiž na rozdiel od nichreťazcami znakov slovenskej abecedy. Budeme preto po vzore mnohých programovacích jazkyov rozlišovaťdátové typy (alebo v reči OOP triedy) objektov, ako napríklad Integer (ten majú prvé dva symboly z nášhozoznamu), Real (druhé dva) či String (posledné dva).Hneď však narážame na istú nejednoznačnosť, veď napríklad číslo 3 je nielen celé, ale aj reálne, ba dokoncaho môžeme chápať ako reťazec. Tento problém však vieme našťastie veľmi rýchlo vyriešiť: namiesto jednéhosymbolu 3 môžeme (aspoň v duchu) pracovať s jeho troma verziami – ”3Integer“, ”3Real“ a ”3String“, pričomkaždá bude mať príslušný typ. Toto riešenie má zmysel aj z programátorského hľadiska – každý z dátovýchtypov je predsa v pamäti uložený iným spôsobom.

I Symboly +, −, sin,∑......, lim...→... CONCAT či SUBSTR vyjadrujú isté funkcie, preto ich budeme nazývajú

funkciové.Funkcia, ktorú takýto symbol označuje, spracúva istý počet vstupujúcich objektov do jedného výslednéhoobjektu. Hodnoty vstupných objektov, samozrejme, dopredu nepozná, aby ich však mohla spracovať, požadujeod nich, aby mali dopredu predpísaný typ. Podobne je to s výslednou hodnotou funkcie, aj tu vieme dopredu určiťlen jej dátový typ. Počet a dátové typy vstupov a dátový typ výstupu tak môžeme považovať za neoddeliteľnúsúčasť samotného funkciového symbolu. Napríklad vstup pre symbol sin (presnejšie pre funkciu sínus nímsymbolizovanú) má dátový typ Real a výsledok tiež Real. Pri symbole SUBSTR máme zasa tri vstupy, v poradís dátovými typmi String, Integer a Integer, výstupná hodnota bude mať typ String.Aj tu máme podobný problém ako pri konštantových problémoch. Majú byť vstupom pre + celé čísla aleboreálne čísla? Opäť stačí tento symbol (aspoň v mysli) rozdvojiť: oba vstupy i výstup symbolu +Integer budúmať typ Integer, kým pri symbole +Real pôjde o typ Real. Každý programátor potvrdí, že toto rozdelenie jezmysluplné, pretože každé funkcie musia byť implementované odlišne.V tejto súvislosti sa vnucuje ešte jedna otázka: Možno potom vôbec sčítať číslo typu Integer s číslom typu Real,keď táto dvojica typov vstupov nevyhovuje ani jednému z týchto dvoch symbolov? Riešenie je opäť jednoduché:stačí (príslušnou implicitnou funkciou) zmeniť dátový typ prvého vstupu (avšak bez zmeny hodnoty) z Integerna Real a potom už jednoducho aplikovať funkciu symbolu +Real.

I Symboly =, <, ∈ či | znamenajú (vyššie spomínané) predikáty, a preto ich nazývame predikátové.Všimnime si, že v ich slovných vyjadreniach (u nás ”rovná sa“, ”je menší ako“, ”patrí“, ”delí“) sa vyskytujúslovesá, takže ich možno chápať ako otázky, ktoré sa (po začlenení vstupov príslušných dátových typov) pýtajúna platnosť či neplatnosť príslušného vzťahu. Aj tu hrajú dôležitú úlohu dátové typy vstupov – uvedomme si,že tým vlastne exaktne popisujeme vyššie spomínanú valenciu predikátov. Vzniknutý vzťah tak korešpondujes vyššie uvedenou jednoduchou vetou a nazýva sa atomická formula.Opätovne sa tu stretávame so starým problémom: Napríklad pri symbole = nevieme určiť dátové typy vstupov.Pre každý dátový typ T oboch porovnávaných vstupov preto treba jeho osobitnú verziu =T . Aj zmysluplnosťtohto riešenia potvrdzuje fakt, že napríklad porovnávanie dvoch objektov z triedy Integer je implementovanéinak než porovnávanie dvoch objektov z triedy String, nehovoriac o porovnávaní objektov práve zavedenejtriedy.

I Významnou kategóriou symbolov sú logické spojky. V matematike sú používané hlavne unárna negácia ¬ (”nieje pravda, že …“) a binárne konjunkcia ∧ (”… a zároveň …“), disjunkcia ∨ (”… alebo …“), implikácia→ (”z toho,že …, vyplýva …“) a ekvivalencia↔ (”to, že …, platí práve vtedy, keď platí, že …“). Názov teto kategórie spojky,samozrejme, korešponduje s názvom vyššie spomínaného slovného druhu, lebo aj ony vezmú jednu či dve vety(čiže formuly, či už atomické, ale aj zložitejšie) a vytvoria z nich súvetie.

I Na záver našej malej prehliadky si všimnime kvantifikátory, a to veľký alebo všeobecný ∀... (”pre každé …“)a malý alebo existenčný ∃... (”existuje …“). Podobne ako negácia tiež z jednej vety akousi formálnou úpravouvytvárajú novú.

Napriek rôznorodosti všetkých týchto symbolov bude kvôli jednoduchšej práci s nimi vhodné pozrieť sa na ne jednot-ným spôsobom. Porovnajme si najprv funkciové a predikátové symboly: Pri oboch sme rovnako potrebovali poznaťdátové typy ich vstupov, ale líšili sa tým, že o dátovom type výstupe sme hovoril len v prvom prípade. Túto odlišnosťvšak môžeme veľmi jednoducho prekonať – stačí len zaviesť špeciálny dátový typ znamenajúci, že ide o vetu, tedav konečnom dôsledku o jej pravdivosť. Preto asi nebude prekvapením, že tento typ sa bude nazývať Boo. Tento krokprináša ešte jeden bonus: vybavíme ním totiž i logické spojky a kvantifikátory. Dátové typy ich vstupov (jedného


alebo dvoch) i výstupu je potom Boo. Ostali teda už iba konštantové symboly. Tu stačí málo – pripustiť nulovýpočet vstupov. Unifikácia konštantových a predikátových symbolov nám umožňuje ako bonus zaviesť dva užitočnéšpeciálne symboly – ⊤ (”pravda“) a ⊥ (”lož“), ktoré sú konštantové i predikátové zároveň.

Vráťme sa ešte na chvíľu ku kvantifikátorom. Všimnime si, že nikdy neexistujú samostatne, každý z nich je neodde-liteľne spätý s akýmsi parametrom, značkou, ktorá je napísaná bezprostredne za ním. Už slovné spojenie ”pre každé“naznačuje, že táto značka nemá určenú pevnú hodnotu, (dokonca je priam vyzývaná k tomu, aby svoju hodnotumenila). Nazýva sa preto premenná a hrá podobnú úlohu ako v prirodzenom jazyku vyššie spomínané zámená (na-pokon, ich podobnosť potvrdzuje aj spoločný slovný základ ”-men-“ oboch slov). Premenná však môže meniť svojuhodnotu iba v istom rámci, má preto zmysel aj pri nej uvažovať dátový typ. Z tohto hľadiska sa veľmi podobajú nakonštantové symboly (majú nulový počet vstupov), symbolmi (v pravom slova zmysle) však nie sú, lebo nič konkrétnenesymbolizujú.

Premenné v matematickom texte (pri správnej typografii) rozoznáme veľmi ľahko – sú to ide o kurzívou písané latinské(prípadne grécke) písmená, a to na rozdiel od symbolov, ktoré (ak sú to slová) sú písané kolmým písmom a môžubyť aj viacpísmenné (spravidla sú to skratky toho, čo symbolizujú).

Kvantifikátory nie sú jediné symboly, ktoré takýmto spôsobom viažu premenné, stačí si všimnúť napríklad limx→...

(kde je zväzovaná premenná x), či∑...i,j=... (tu sú to i a j). Tieto premenné budeme považovať za neoddeliteľnú

súčasť svojich symbolov. Pri každom symbole tak získavame novú charakteristiku – zoznam premenných, ktoré súním zväzované, hoci drvivá väčšina symbolov má tento zoznam prázdny.

Označme množinu dátových typov Typ (”types“) množinu symbolov Sym (”symbols“) a s ňou disjunktnú množinupremenných Var (”variables“). Podľa predchádzajúcich odsekov nás budú zaujímať takéto zobrazenia množiny Sym∪Var:

I ins (skratka pre ”inputs“ – vstupy), ktoré každému znaku priradí ticu dátových typov,I out (skratka pre ”output“ – výstup), ktoré každému znaku priradí dátový typ,I bvt (skratka pre ”bounded variables tuple“ – tica zväzovaných premenných), ktoré každému znaku priradí ticu

rôznych premenných.

Pritom ak v je premenná, tak budeme vyžadovať ins(v) = ⟨⟩ (lebo v nemá žiadne vstupy) a bvt(v) = ⟨⟩ (lebo vnezväzuje žiadne premenné).

Každý symbol či premennú c a jeho charakteristiky ins(c) a out(c) môžeme znázorniť aj graficky. Dátové typy budúznázornené čiarami, pričom každému z nich bude prislúchať iný druh čiarky (napríklad Boo bude dvojitá, Integer bod-kovaná, Real čiarkovaná, String bodkočiarkovaná). Každý symbol či premenná bude mať podobu akéhosi povedzmeokrúhleho uzla obsahujúceho c, z ktorého vychádzajú akési synapsie – smerom nahor jedna čiara zodpovedajúca typuout(c) a smerom nadol zľava doprava čiary, ktoré zopovedajú tici ins(c). Dostávame tak napríklad takéto reprezentáciepríslušných symbolov:

I Premenné a konštantové symboly nemajú žiadne synapsie smerom nadol (všimnime si špeciálne posledné dvasymboly):

n x 5 e Mars ⊥ ⊤

I Funkciové symboly majú nadol kladný počet synapsií, avšak tá nahor nie je dvojitá:

+Real +Integer sin CONCAT SUBSTR

I Pri predikátových symboloch je naopak synapsia nahor dvojitá:

1.2 Konštrukcia potrebných prvkov logického jazyka 441.2 Konštrukcia potrebných prvkov logického jazyka 441.2 Konštrukcia potrebných prvkov logického jazyka 44

=Real =Integer =String ≥Real |

I A napokon logické spojky a kvantifikátory majú nahor i nadol len dvojité synapsie:

¬ ∧ → ∀x ∃n

Keďže symboly a premenné budeme potrebovať na konštrukciu zložitejších objektov (čo vlastne v takejto grafickejpodkaždé znamená, že z týchto uzlov budeme spájaním synapsií rovnakých typov konštruovať stromy), bolo by dobré,aby množina Sym∪Var, ktorú označíme Abc a nazveme logická abeceda, bola naozaj abecedou. Podľa vety A4.1.2je potom táto množina aj ticovo jednoznačná a (aby sme vedeli, s koľkými vstupmi ten-ktorý symbol pracuje) to istébudeme požadovať aj od množiny Typ.

O množine Typ môžeme predpokladať, že obsahuje všetky dátové typy, ktoré kto od počiatku sveta vymyslel a eštevymyslí. Aby sme sa však nijako neobmedzovali, mala by byť nekonečná (hoci stačilo by potenciálne nekonečno,budeme pracovať s aktuálnym), ale plne postačí, keď bude spočítateľná. Analogické úvahy platia i pre množiny Symi Var, tam však musíme vyžadovať ešte silnejšie podmienky. Premenné sú totiž rôznych typov, preto, aby sme prižiadnej konštrukcii, v ktorej obvykle bude záležať na zachovaní typu, nepociťovali ich nedostatok, malo by ich byťnekončne (a teda spočítateľne) veľa i v rámci každého typu. Pri symboloch to bude veľmi podobne, tu však musímepožadovať, aby ich bolo nekonečne veľa pre každú kombináciu tice vstupných dátových typov, výstupného dátovéhotypu a tice zväzovaných premenných.

Tu si všimnime, že symboly ktoré zväzujú aspoň jednu premennú, môžeme združiť do disjunktných rodín. (Aj prisymbole bez parametrov má pojem rodiny zmysel, tá je však tvorená len ním samotným.) Členom jednej rodiny budúsymboly, ktoré sú označené v podstate rovnakou značkou, líšia sa však použitými premennými (tie však musia byťpredpísaných typov). Do jednej rodiny tak patria napríklad symboly ∀x a ∀y, kde x aj y sú typu Real, do inej ∀na ∀m kde n aj m sú typu Integer, a do ďalšej

∑i,j a

∑k,l, kde i a j aj im v poradí zodpovedajúce k a l sú typu

Integer. Rodina je zároveň uzavretá v tom zmysle, že keď v ľubovoľnom jej symbole zameníme zväzované premennéza iné, ale zodpovedajúcich typov, dostaneme opäť symbol z tejto rodiny.

Aby sme sa pri budúcej práci s nekonečnou množinou Typ, keď bude treba pre každý dátový typ vybrať nejakéhoreprezentanta, vyhli prípadným problémom s axiómou výberu, pre každý dátový typ T zavedieme špeciálny konštantovýsymbol �T s dátovým typom výstupu T . Tie budeme v prípade potreby práce s netotálnymi funkciami používať ajako príznak nedefinovanosti.

1.2 Konštrukcia potrebných prvkov logického jazyka

Existenciu všetkých vyššie spomínaných objektov však nestačí len deklarovať, treba ju dokázať. Aby všetky ďalšiekonštrukcie boli korektné (a teda i jednoznačné), zvyšok tejto state venujeme vybranej konštrukcii týchto objektov.(To však neznamená, že nemôže existovať alternatívna konštrukcia.)

V prvej, všeobecnejšej fáze skonštruujeme nasledujúce množiny a zobrazenia:

I ticovo jednoznačnú spočítateľnú množinu Typ tzv. dátových typov,

I spočítateľnú abecedu Abc tzv. znakov, ktorá je rozdelená na dve disjunktné spočítateľné množiny – ticovojednoznačnú množinu Var tzv. premenných a množinu Sym tzv. symbolov,

I zobrazenie ins množiny Abc, ktoré každému znaku priradí ticu dátových typov jeho tzv. vstupov,

I zobrazenie out množiny Abc, ktoré každému znaku priradí dátový typ jeho tzv. výstupu,


I zobrazenie bvt množiny Abc, ktoré každému znaku priradí ticu rôznych premenných, ktoré tento znak zväzuje.

Navyše budeme požadovať splnenie týchto podmienok:

I Pre každú premennú v platí ins(v) = ⟨⟩ a bvt(v) = ⟨⟩.

I Pre každý dátový typ T je množina {v ∈ Var : out(v) = T} nekonečná.

I Pre každú kombináciu tice dátových typov ⟨T1, . . . , Tn⟩, dátového typu T a tice rôznych premenných ⟨v1, . . . , vp⟩je množina {s ∈ Sym : ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩ ∧ out(s) = T ∧ bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩} nekonečná.

Okrem toho budeme potrebovať:

I rozklad SyF množiny Sym na tzv. rodiny symbolov.

I zobrazenie ifs množiny SyF, ktoré každej rodine F priradí ticu dátových typov vstupov všetkých jej symbolov,

I zobrazenie ofs množiny SyF, ktoré každej rodine F priradí dátový typ výstupu všetkých jej symbolov,

I zobrazenie bfs množiny SyF, ktoré každej rodine F priradí ticu dátových typov zväzovaných premennýchvšetkých jej symbolov.

Pre každú rodinu F má navyše platiť:

I Ak s ∈ F , tak platí:

I ins(s) = ifs(F ).I out(s) = ofs(F ).I Ak bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, tak bfs(F ) = ⟨out(v1), . . . , out(vp)⟩.

I Ak bfs(F ) = ⟨T1, . . . , Tp⟩ a v1, …, vp sú rôzne premenné také, že pre všetky i z {1, . . . , p} platí out(vi) = Ti,tak existuje práve jeden symbol s z F taký, že bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩.

Naše konštrukcie budú vychádzať z existencie množiny N. Poďme teda na to:

D I Označme Typ (”types“ – typy) množinu {0} × N. Každý jej prvok budeme nazývať typ.I Označme Var (”variables“ – premenné) množinu {1} × N. Každý jej prvok budeme nazývať premenná.I Označme Sym (”symbols“ – symboly) množinu {2} × N. Každý jej prvok budeme nazývať symbol .I Označme Abc (”abc“ – abeceda) množinu Var ∪ Sym. Každý jej prvok budeme nazývať znak.

P Množiny Typ, Var a Sym sú spočítateľné a po dvoch disjunktné.

V1 N× N je abeceda.

I Ak ∅ ∈ N× N, tak ∅ = ⟨a, b⟩ pre nejaké a a b z N. Podľa definície teda ∅ = {{a}, {a, b}}, čo je spor.I Nech a a b sú prvky N × N také, že a = ⟨x, b⟩ pre nejaký objekt x. Potom a = ⟨c, d⟩ a b = ⟨e, f⟩, kdec, d, e, f ∈ N, takže ⟨c, d⟩ = ⟨x, ⟨e, f⟩⟩, z čoho d = ⟨e, f⟩, t. j. d = {{e}, {e, f}}. Rozoberme dva prípady:I Nech e = f .

Potom d = {{e}}, takže crd(d) = 1. Keďže d ∈ N, platí d = 1 = {0} = {∅}, t. j. {{e}} = {∅}. Tovšak znamená, že {e} = ∅, čo je spor.

I Nech e = f .Potom {e} = {e, f}, takže crd(d) = 2. Keďže d ∈ N, platí d = 2 = {0, 1} = {∅, 1}. To všakznamená, že ∅ ∈ d, t. j. ∅ ∈ {{e}, {e, f}}, čo je spor.


V2 I Množina Typ je abeceda.I Množina Var je abeceda.I Množina Abc je abeceda.

Je to dôsledok viet 1 a A4.1.1.

V3 I Množina Typ je ticovo jednoznačná.I Množina Var je ticovo jednoznačná.I Množina Abc je ticovo jednoznačná.

Podľa viet 1 a A4.1.1 sú obe množiny abecedami, takže podľa vety A4.1.2 sú ticovo jednoznačné.

D I Definujme zobrazenie tnr (”type number“ – číslo typu) z Typ do N vzťahom tnr(⟨0, n⟩) = n.I Definujme zobrazenie vnr (”variable number“ – číslo premennej) z Var do N vzťahom vnr(⟨1, n⟩) = n.I Definujme zobrazenie snr (”symbol number“ – číslo symbolu) z Sym do N vzťahom snr(⟨2, n⟩) = n.

V4 I Zobrazenie tnr je bijekcia množiny Typ do množiny N.I Zobrazenie vnr je bijekcia množiny Var do množiny N.I Zobrazenie snr je bijekcia množiny Sym do množiny N.

S1 Nech k ∈ N. Potom zobrazenie f z {k}×N do N definované vzťahom f(⟨k, n⟩) = n je bijekcia z {k}×Ndo N.I f je injektívne:

Ak f(⟨k, n1⟩) = f(⟨k, n2⟩), tak podľa definície n1 = n2, a teda ⟨k, n1⟩ = ⟨k, n2⟩.I f je surjektívne na N:

Ak n ∈ N, tak ⟨k, n⟩ ∈ Dom(f) a f(⟨k, n⟩) = n.

Zo sublemy 1 a príslušných definícií už vyplývajú všetky tri tvrdenia.

P Keďže Var je ticovo jednoznačná, je definovaná množina TDEVar tíc rôznych premenných.

D Označme Sig (”signatures“ – signatúry) množinu Typ∗×Typ×TDEVar. Každý jej prvok nazveme signatúra.

P Pripomeňme, že incM , kde M ⊆ N, je (jediné) rastúce očíslovanie všetkých prvkov M a tenA,f , kde A jeticovo jednoznačná množina a f je bijekcia množiny A na množinu N, je (jediné) rastúce očíslovanie všetkýchprvkov A∗ (usporiadaných v <A,f ).

D Definujme zobrazenie sic (”signature code“ – kód signatúry) množiny Sig do množiny N takto: Ak ⟨T1, . . . , Tn⟩ ∈Typ∗, T ∈ Typ a ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ TDEVar, tak

sic(⟨T1, . . . , Tn⟩, T, ⟨v1, . . . , vp⟩) =

= tuc3(tenTyp,tnr(⟨T1, . . . , Tn⟩), tnr(T ), inctenVar,vnr[TDEVar](tenVar,vnr(⟨v1, . . . , vp⟩))).

V5 Zobrazenie sic je bijekcia množiny Sig na množinu N.

S1 Zobrazenie sic je injektívne.

sic(⟨T 11 , . . . , T

1n1⟩, T 1, ⟨v11 , . . . , v1p1⟩) = sic(⟨T 2

1 , . . . , T2n2⟩, T 2, ⟨v21 , . . . , v2p2⟩)

(predpoklad s cieľom ⟨⟨T 11 , . . . , T

1n1⟩, T 1, ⟨v11 , . . . , v1p1⟩⟩ = ⟨⟨T 2

1 , . . . , T2n2⟩, T 2, ⟨v21 , . . . , v2p2⟩⟩),

tuc3(tenTyp,tnr(⟨T 11 , . . . , T

1n1⟩), tnr(T 1), inctenVar,vnr[TDEVar](tenVar,vnr(⟨v11 , . . . , v1p1⟩)))

= tuc3(tenTyp,tnr(⟨T 21 , . . . , T

2n2⟩), tnr(T 2), inctenVar,vnr[TDEVar](tenVar,vnr(⟨v21 , . . . , v2p2⟩)))

(podľa definície sic),⟨tenTyp,tnr(⟨T 1

1 , . . . , T1n1⟩), tnr(T 1), inctenVar,vnr[TDEVar](tenVar,vnr(⟨v11 , . . . , v1p1⟩))⟩ =

= ⟨tenTyp,tnr(⟨T 21 , . . . , T

2n2⟩), tnr(T 2), inctenVar,vnr[TDEVar](tenVar,vnr(⟨v21 , . . . , v2p2⟩))⟩

(podľa vety A2.1.1),


tenTyp,tnr(⟨T 11 , . . . , T

1n1⟩) = tenTyp,tnr(⟨T 2

1 , . . . , T2n2⟩), tnr(T 1) = tnr(T 2)

a inctenVar,vnr[TDEVar](tenVar,vnr(⟨v11 , . . . , v1p1⟩)) = inctenVar,vnr[TDEVar](tenVar,vnr(⟨v21 , . . . , v2p2⟩)),⟨T 1

1 , . . . , T1n1⟩ = ⟨T 2

1 , . . . , T2n2⟩, tnr(T 1) = tnr(T 2)

a inctenVar,vnr[TDEVar](tenVar,vnr(⟨v11 , . . . , v1p1⟩)) = inctenVar,vnr[TDEVar](tenVar,vnr(⟨v21 , . . . , v2p2⟩))(lebo podľa definície je tenTyp,tnr izomorfizmus, a teda bijekcia),

⟨T 11 , . . . , T

1n1⟩ = ⟨T 2

1 , . . . , T2n2⟩, T 1 = T 2

a inctenVar,vnr[TDEVar](tenVar,vnr(⟨v11 , . . . , v1p1⟩)) = inctenVar,vnr[TDEVar](tenVar,vnr(⟨v21 , . . . , v2p2⟩))(lebo podľa vety 4 je tnr bijekcia),

⟨T 11 , . . . , T

1n1⟩ = ⟨T 2

1 , . . . , T2n2⟩, T 1 = T 2

a tenVar,vnr(⟨v11 , . . . , v1p1⟩) = tenVar,vnr(⟨v21 , . . . , v2p2⟩)(lebo podľa definície je incTDEVar izomorfizmus, a teda bijekcia),

⟨T 11 , . . . , T

1n1⟩ = ⟨T 2

1 , . . . , T2n2⟩, T 1 = T 2 a ⟨v11 , . . . , v1p1⟩ = ⟨v21 , . . . , v2p2⟩

(lebo podľa definície je tenVar,vnr bijekcia),⟨⟨T 1

1 , . . . , T1n1⟩, T 1, ⟨v11 , . . . , v1p1⟩⟩ = ⟨⟨T 2

1 , . . . , T2n2⟩, T 2, ⟨v21 , . . . , v2p2⟩⟩.

S2 Zobrazenie sic je surjektívne na N.

Nech k ∈ N. Postupne platí:I Podľa vety A2.1.1 existujú a, b a c z N, že k = tuc3(a, b, c).I Podľa viet 3 a 4 je tenTyp,tnr definované a podľa svojej definície je to bijekcia z Typ∗ na N. Existujú

preto n z N a T1, …, Tn z Typ také, že a = tenTyp,tnr(⟨T1, . . . , Tn⟩).I Podľa vety 4 existuje T z Typ také, že b = tnr(T ).I TDEVar je nekonečná podmnožina Var∗ (veď obsahuje Var), preto tenVar,vnr[TDEVar] je neko-

nečná podmnožina N. Je teda definované inctenVar,vnr[TDEVar] a podľa svojej definície to je bijekciaz tenVar,vnr[TDEVar] na N. Existuje teda d z tenVar,vnr[TDEVar] také, že c = inctenVar,vnr[TDEVar](d).

I Keďže tenVar,vnr je bijekcia z TDEVar na N, existuje p z N a v1, …, vp z Var také, že ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈TDEVar a d = tenVar,vnr(⟨v1, . . . , vp⟩).

Potom platí:sic(⟨T1, . . . , Tn⟩, T, ⟨v1, . . . , vp⟩)= tuc3(tenTyp,tnr(⟨T1, . . . , Tn⟩), tnr(T ), inctenVar,vnr[TDEVar](tenVar,vnr(⟨v1, . . . , vp⟩)))

(podľa definície sic),= tuc3(tenTyp,tnr(⟨T1, . . . , Tn⟩), tnr(T ), inctenVar,vnr[TDEVar](d)),= tuc3(a, b, c),= k.

P Pripomeňme, že podľa vety A2.1.2 je {deN(n) : n ∈ N} rozklad množiny N na nekonečné podmnožiny, pričomzobrazenie deN je injektívne.

D Definujme zobrazenie sig (”signature“ – signatúra) množiny Abc do množiny Sig takto:

I Ak v ∈ Var, tak sig(v) = ⟨⟨⟩, T, ⟨⟩⟩, kde vnr(v) ∈ deN(tnr(T )).I Ak s ∈ Sym, tak sig(s) = g, kde snr(s) ∈ deN(sic(g)).

D Definujme zobrazenia ins (”inputs“ – vstupy), out (”output“ – výstup) a bvt (”bound variables tuple“ – ticazväzovaných premenných) množiny Abc takto: Nech sig(c) = ⟨⟨T1, . . . , Tn⟩, T, ⟨v1, . . . , vp⟩⟩. Potom:

I ins(c) = ⟨T1, . . . , Tn⟩ a túto hodnotu budeme nazývať vstupné typy znaku c.I out(c) = T a túto hodnotu budeme nazývať výstupný typ znaku c.I bvt(c) = ⟨v1, . . . , vp⟩ a túto hodnotu budeme nazývať premenné zväzované znakom c.

P Všimnime si, že pre každú premennú v platí ins(v) = ⟨⟩ a bvt(v) = ⟨⟩.

D Ak p ∈ N a ⟨T1, . . . , Tp⟩ ∈ Typp, označme Var⟨T1,...,Tp⟩ množinu

{⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ TDEVar : (∀i ∈ {1, . . . , p})out(vi) = Ti}.


P Špeciálne VarT = {v ∈ Var : out(v) = T}.

V6 Pre každé T z Typ je množina VarT spočítateľná.

Postupne platí:

množina deN(tnr(T )) je spočítateľná(podľa vety A2.1.2),

množina vnr−1[deN(tnr(T ))] je spočítateľná(lebo podľa vety 4 je vnr, a teda i vnr−1, bijekcia),

množina {v ∈ Var : vnr(v) ∈ deN(tnr(T ))} je spočítateľná,množina {v ∈ Var : sig(v) = ⟨⟨⟩, T, ⟨⟩⟩} je spočítateľná

(podľa definície sig),množina {v ∈ Var : out(v) = T} je spočítateľná

(lebo podľa definícií out a sig je {v ∈ Var : sig(v) = ⟨⟨⟩, T, ⟨⟩⟩} podmnožinou {v ∈ Var : out(v) = T},ale tá je podmnožinou Var),

množina VarT je spočítateľná(podľa definície VarT ).

D Ak T ∈ Typ, označme varT (”variable“ – premenná) zobrazenie ((vnr � VarT ) ◦ incvnr[VarT ])−1.

V7 Nech T ∈ Typ. Potom zobrazenie varT je bijekcia množiny N na množinu VarT .

Postupne platí:

VarT je spočítateľná množina(podľa vety 6),

vnr[VarT ] je spočítateľná podmnožina N(lebo podľa vety 4 je vnr bijekcia na N),

incvnr[VarT ] je bijekcia množiny vnr[VarT ] na N(podľa definície incvnr[VarT ]),

(vnr � VarT ) ◦ incvnr[VarT ] je bijekcia z VarT na N(lebo (vnr � VarT ) je bijekcia množiny VarT na množinu vnr[VarT ]),

((vnr � VarT ) ◦ incvnr[VarT ])−1 je bijekcia z N na VarT ,

varT je bijekcia množiny N na množinu VarT

(podľa definície varT ).

D Ak g ∈ Sig, označme Symg množinu {s ∈ Sym : sig(s) = g}.

V8 Pre každé g z Sig je množina Symg spočítateľná.

Postupne platí:

množina deN(sic(g)) je spočítateľná(podľa vety A2.1.2),

množina snr−1[deN(sic(g))] je spočítateľná(lebo podľa vety 4 je snr, a teda i snr−1, bijekcia),

množina {s ∈ Sym : snr(s) ∈ deN(sic(g))} je spočítateľná,množina {s ∈ Sym : sig(s) = g} je spočítateľná

(podľa definície sig),množina Symg je spočítateľná

(podľa definície Symg).

D Ak g ∈ Sig, označme symg (”symbol“ – symbol) zobrazenie ((snr � Symg) ◦ incsnr[Symg ])−1.


V9 Nech g ∈ Sig. Potom zobrazenie symg je bijekcia množiny N na množinu Symg.

Postupne platí:

Symg je spočítateľná množina(podľa vety 9),

snr[Symg] je spočítateľná podmnožina N(lebo podľa vety 5 je snr bijekcia na N),

incsnr[Symg] je bijekcia na množinu snr[Symg] na N(podľa definície incsnr[Symg ]),

(snr � Symg) ◦ incsnr[Symg] je bijekcia z Symg na N(lebo (snr � Symg) je bijekcia množiny Symg na množinu snr[Symg]),

((snr � Symg) ◦ incsnr[Symg ])−1 je bijekcia z N na Symg,

symg je bijekcia množiny N na množinu Symg

(podľa definície symg).

D Definujme zobrazenie tbv (”types of the bound variables“ – typy zväzovaných premenných) množiny Abc domnožiny Typ∗ takto: Ak c ∈ Abc a bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, tak tbv(s) = ⟨out(v1), . . . , out(vp)⟩.

D Definujme na množine Sym reláciu ∼fam takto:Nech s1, s2Sym. Potom ⟨s1, s2⟩ ∈ ∼fam práve vtedy, keď platí:

I ins(s1) = ins(s2).I out(s1) = out(s2).I tbv(s1) = tbv(s2).I (symsig(s1))−1(s1) = (symsig(s2))−1(s2).

V10 Relácia ∼fam je ekvivalencia na množine Sym.

I ∼fam je reflexívna:Nech s ∈ Sym. Potom triviálne platí:I ins(s) = ins(s).I out(s) = out(s).I tbv(s) = tbv(s).I (symsig(s))−1(s) = (symsig(s))−1(s).

To znamená, že ⟨s, s⟩ ∈ ∼fam.I ∼fam je symetrická:

Nech s1, s2 ∈ Sym a ⟨s1, s2⟩ ∈ ∼fam. Potom platí:I ins(s2) = ins(s1), lebo ins(s1) = ins(s2).I out(s2) = out(s1), lebo out(s1) = out(s2).I tbv(s2) = tbv(s1), lebo tbv(s1) = tbv(s2).I (symsig(s2))−1(s2) = (symsig(s1))−1(s1), lebo (symsig(s1))−1(s1) = (symsig(s2))−1(s2).

To znamená, že ⟨s1, s2⟩ ∈ ∼fam.I ∼fam je tranzitívna:

Nech s1, s2, s3 ∈ Sym a ⟨s1, s2⟩, ⟨s2, s3⟩ ∈ ∼fam.Potom platí:I ins(s1) = ins(s3), lebo ins(s1) = ins(s2) a ins(s2) = ins(s3).I out(s1) = out(s3), lebo out(s1) = out(s2) a out(s2) = out(s3).I tbv(s1) = tbv(s3), lebo tbv(s1) = tbv(s2) a tbv(s2) = tbv(s3).I (symsig(s1))−1(s1) = (symsig(s3))−1(s3), pretože platí (symsig(s1))−1(s1) = (symsig(s2))−1(s2)

a (symsig(s2))−1(s2) = (symsig(s3))−1(s3).


To znamená, že ⟨s1, s3⟩ ∈ ∼fam.

D Definujme zobrazenie fam (”family“ – rodina) z množiny Sym vzťahom fam(s) = [s]∼fam. Ak s ∈ Sym, tak

množinu fam(s) nazveme rodina symbolu s.

V11 Nech s ∈ Sym a ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ Vartbv(s). Potom existuje jediný symbol t taký, že fam(t) = fam(s) a bvt(t) =⟨v1, . . . , vp⟩.

I Aspoň jeden vyhovujúci symbol existuje:Nech g = sig(s). Potom s ∈ Symg, takže podľa vety 9 existuje k také, že s = symg(k). Nech h =⟨ins(s), out(s), ⟨v1, . . . , vp⟩⟩ a t = symh(k). Potom sig(t) = h = ⟨ins(s), out(s), ⟨v1, . . . , vp⟩⟩, z čohobvt(t) = ⟨v1, . . . , vp⟩. Ďalej platí:I ins(t) = ins(s).I out(t) = out(s).I tbv(t) = tbv(s), lebo bvt(t) = ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ Vartbv(s).I (symsig(t))−1(t) = (symh)−1(t) = k = (symg)−1(s) = (symsig(s))−1(s).

To teda znamená, že ⟨t, s⟩ ∈ ∼fam, t. j. fam(t) = fam(s).I Vyhovujúci symbol je jediný.

Nech vyhovujú symboly t1 a t2. Potom platí fam(t1) = fam(s) = fam(t2) a bvt(t1) = ⟨v1, . . . , vp⟩ =bvt(t2). Podľa definície fam máme aj ins(t1) = ins(t2) a out(t1) = out(t2), a teda sig(t1) = sig(t2).Ak túto hodnotu označíme g, pre každé j z {1, 2} dostávame tj ∈ Symg, a teda podľa vety 9 existujekj , že symg(kj) = tj , a teda kj = (symg)−1(tj) = (symsig(tj))−1(tj). Podľa definície fam však potomplatí k1 = (symsig(t1))−1(t1) = (symsig(t2))−1(t2) = k2. Z toho už dostávame že t1 = symg(k1) =symg(k2) = t2.

P Ak bvt(s) = ⟨⟩, tak aj tbv(s) = ⟨⟩, takže jediný symbol, o ktorom je vo vete 10 reč, môže byť iba s. V tomtoprípade je teda rodina symbolu s jednoprvková.

D Nech s ∈ Sym. Definujme zobrazenie ssfs (”symbol in the same family“ – symbol z tej istej rodiny) z množinyVartbv(s) takto: Nech ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ Vartbv(s). Potom ssfs(⟨v1, . . . , vp⟩) je symbol t taký, že fam(t) = fam(s)a bvt(t) = ⟨v1, . . . , vp⟩.

P Podľa vety 11 je táto definícia korektná.

V druhej fáze zafixujeme niektoré konkrétne typy, premenné a symboly, ktoré budeme ďalej používať:

D Definujme nasledujúce označenia:

I Boo bude označovať dátový typ tnr−1(0).I ⊥ bude označovať symbol sym⟨⟨⟩,Boo,⟨⟩⟩(0).I ⊤ bude označovať symbol sym⟨⟨⟩,Boo,⟨⟩⟩(1).I ¬ bude označovať symbol sym⟨⟨Boo⟩,Boo,⟨⟩⟩(1).I ∧ bude označovať symbol sym⟨⟨Boo,Boo⟩,Boo,⟨⟩⟩(incdeN(0)(1)).I ∨ bude označovať symbol sym⟨⟨Boo,Boo⟩,Boo,⟨⟩⟩(incdeN(0)(2)).I → bude označovať symbol sym⟨⟨Boo,Boo⟩,Boo,⟨⟩⟩(incdeN(0)(3)).I ↔ bude označovať symbol sym⟨⟨Boo,Boo⟩,Boo,⟨⟩⟩(incdeN(0)(4)).I Pre každé v z Var bude ∀v označovať symbol sym⟨⟨Boo⟩,Boo,⟨v⟩⟩(incdeN(0)(vnr(v))).I Pre každé v z Var bude ∃v označovať symbol sym⟨⟨Boo⟩,Boo,⟨v⟩⟩(incdeN(1)(vnr(v))).I Pre každé T z Typ bude =T označovať symbol sym⟨⟨T,T ⟩,Boo,⟨⟩⟩(incdeN(0)(tnr(T ))).

P To teda znamená, že platí:

1.3 Výrazy 511.3 Výrazy 511.3 Výrazy 51

I Množina Typ obsahuje prvok nazvaný Boo.I Množina Sym obsahuje tieto prvky:

I ⊤ a ⊥, pričom pre každý h z nich platí:I ins(h) = ⟨⟩,I out(h) = Boo,I bvt(h) = ⟨⟩,

I ¬, pričom platí:I ins(¬) = ⟨Boo⟩,I out(¬) = Boo,I bvt(¬) = ⟨⟩,

I ∧, ∨, → a ↔, pričom pre každý @ z nich platí:I ins(@) = ⟨Boo,Boo⟩,I out(@) = Boo,I bvt(@) = ⟨⟩,

I ∃v a ∀v pre každé v z Var, pričom pre každý # z nich platí:I ins(#) = ⟨Boo⟩,I out(#) = Boo,I bvt(#) = ⟨v⟩,

I =T pre každé T z Typ, pričom platí:I ins(=T ) = ⟨T, T ⟩,I out(=T ) = Boo,I bvt(=T ) = ⟨⟩.

P Ak T ∈ Typ, tak množiny {∀v : v ∈ VarT } a {∃v : v ∈ VarT } sú rodiny.

D I Označme TrV (”truth vlues“ – pravdivostné hodnoty) množinu {⊤,⊥}.I Označme UnC (”unary connections“ – unárne spojky) množinu {¬}.I Označme BiC (”binary connections“ – binárne spojky) množinu {∧,∨,→,↔}.I Ak v ∈ Var, označme Quav (”quantifiers“ – kvantifikátory) množinu {∃v,∀v}.I Označme Qua množinu

∪{Quav : v ∈ Var}.

I Označme Eqs (”eqation s“ – rovnosti) množinu {=T : T ∈ Typ}.

D Označme Bas (”basic symbols“ – základné symboly) množinu TrV ∪UnC ∪ BiC ∪Qua ∪ Eqs

D Označme Spc (”special symbols“ – špeciálne symboly) množinu Symr Bas.

Tým sme vyhoveli všetkým podmienkam deklarovaným na začiatku state. Okrem nich si budeme pamätať eštezobrazenia tvaru varT a ssfs i to, že Abc aj Typ sú podmnožiny N × N. Na zvyšok uvedených konštrukcií, ktorék splneniu týchto podmienok viedli, môžeme od tejto chvíle úplne zabudnúť.

1.3 Výrazy

Máme už teda k dispozícii logickú abecedu tvorenú symbolmi a premennými a nad každým z jej znakov máme typovúkontrolu jeho výstupu a prípadných vstupov. Vzniká teda prirodzená otázka, ako z týchto znakov vytvoriť ”slová“,ktorými by sme dokázali zachytiť časti matematickej reality. Spomeňme si, že každý symbol vieme vyjadriť graficky voforme uzlu a z neho vychádzajúcich synapsií. Hlavne tie nadol si priam pýtajú kontakt s nejakými ďalšími uzlami. Jeasi prirodzené, že ak má k prepojeniu uzlov naozaj prísť, príslušné z nich vedúce synapsie sa zlúčia do jednej, pričomjedna ide zdola (je teda výstupom nižšieho uzla) a druhá zdola (je vstupom vyššieho). Aby sa tak naozaj mohlo stať,zlučované synapsie musia byť rovnakého typu:


. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

???

Napríklad prepojenie na prvom i druhom obrázku je v poriadku, pretože sú obe rovnaké (v prvom prípade dvojité,v druhom bodkované) na treťom však k nemu nedôjde, lebo jedna synapsia je bodkovaná a druhá dvojitá. Uvedomme,si takýmto prepájaním nikdy neprepojíme všetky synapsie – výstupná synapsia najvyššieho uzla ostane vždy neza-pojená. Všetky ostatné synapsie však zapojené byť môžu. Ak sa to podarí, vznikne akýsi ”strom“ (rastúci smeromnadol). A práve takéto stromy budú reprezentovať naše výrazy. V každom z nich bude jeho jediná neobsadená sy-napsia vychádzať z jeho ”koreňa“ a bude jeho určovať typ reprezentovaného výrazu. Ak na každú nadol smerujúcusynapsiu nejakého uzla ”zavesíme“ strom s voľnou synapsiou príslušného typu, vytvoríme tak opäť strom, hoci o niečozložitejší.

Majme napríklad nasledujúce tri stromy (sú to naozaj stromy, lebo všetky nasýtiteľné synapsie sú naozaj nasýtené):

'myš' 'lienka'

CONCAT 1

2 x

1 ·

+

Tieto tri stromy zavesíme na nasledujúci znak z abecedy Abc (všimnime si, že typovo je to v poriadku):

SUBSTR

Výsledkom je nasledujúci strom:


'myš' 'lienka'

2 x

1 ·

CONCAT 1 +

SUBSTR

Takúto v podstate grafickú operáciu však musíme byť schopní zapísať aj matematicky. Už sme povedali, že každýstrom je obrazovým vyjadrením nejakého výrazu. Ak teda máme n stromov vyjadrujúcich postupne výrazy e1, …, ena na tie vyššie uvedeným spôsobom korektne aplikujeme uzol zopovedajúci znaku c, výsledný výraz je týmito n + 1objektmi plne popísaný, a preto zaň môžeme považovať usporiadanú (n + 1)-ticu ⟨e1, . . . , en, c⟩. (V špeciálnomprípade, ak znak c nemá vstupy (je to teda premenná alebo konštantový symbol), výsledný výraz je ⟨c⟩ čiže samotnýznak c.) Všimnime si, že za prirodzeného predpokladu, že sú vstupné výrazy e1, …, en prvkami množiny Mtp(Abc),podľa vety A1.4.6 je výsledný výraz ⟨e1, . . . , en, c⟩ prvkom jej podmnožiny Abc ∪Mtp(Abc)×Abc. Budeme pretoprávom predpokladať, že všetky výrazy sú prvkami tejto množiny.

V našom príklade tri podstromy a výsledný strom postupne zodpovedajú týmto výrazom:

I ⟨'myš', 'lienka', CONCAT⟩,I 1,I ⟨1, ⟨⟨2, x⟩, ·⟩,+⟩,I ⟨⟨'myš', 'lienka', CONCAT⟩, 1, ⟨1, ⟨⟨2, x⟩, ·⟩,+⟩, SUBSTR⟩.

V matematickej praxi sa však výrazy zložitejšie než premenné a konštantové symboly zapisujú inými spôsobmi. Asinajuniverzálnejšou formou zápisu výrazu ⟨e1, . . . , en, c⟩ (pri nenulovom n) je tzv. prefixový tvar c(z1, . . . ,zn), kdez1, …, zn sú nejaké zápisy výrazov e1, …, en. V špeciálnom, ale veľmi častom prípade, keď n = 2, sa používa hlavnetzv. infixový tvar (z1cz2). Pomerne zriedkavo, hlavne ak n = 1, sa používa tzv. postfixový tvar zc. Pokiaľ ideo zátvorky a čiarky, veľmi často sa vynechávajú.

Matematická typografia je však plná i kadejakých kurióznych spôsobov zápisu, ktoré narušujú dobré typografickémravy. Spomeňme trebárs zápis pre odmocninu ( ···

√· · ·), ktorá z dvoch strán doslova ”obaľuje“ zápis jeden zo svojich

argumentov, pretože sa so zväčšovaním jeho (fyzickej) dĺžky i výšky sa príslušne predlžuje a zväčšuje, a poloha ďalšieho(prípadného) argumentu je tiež podivuhodná. So rastom dĺžky svojho dlhšieho argumentu narastá aj alternatívnaznačka podielu – zlomková čiara ( ···

··· ) ktorá navyše narušuje plynutie riadku, keď ho mení z horizontálneho navertikálne. Niektoré symboly, ako zátvorky (napríklad { . . . } či ⌊ . . . ⌋), ale i integrál (napríklad

∫. . .dx), sa skladajú

z dvoch častí, argument sa potom píše medzi ne. Symbol násobenia · sa v prípade, že druhý argumnent nie je číslo,často úplne vynecháva. Absolútnym vrcholom bizarnosti je symbol pre mocninu. Sám o sebe totiž obvykle nemáfyzickú podobu, ale formu príkazu, ktorý káže svoj druhý argument zapisovať ako pravý horný index prvého. Každýz týchto zápisov má svoj (často zaujímavý) príbeh a sú zakorenené tak hlboko, že napriek svojej neštandardnostineostáva nič iné, len ich rešpektovať a používať. Nech však vyzerajú akokoľvek, v prípade potreby ich musíme byťschopní prepísať do unverzálnej podoby alebo zakresliť do stromu. Nedešifrovateľný zápis by totiž stratil zmysel.

Ak sa ešte vrátime k nášmu príkladu, výrazy reprezentované našimi štyrmi stromami možno zapísať v takejto forme:

I CONCAT('myš', 'lienka'),


I 1,I 1 + 2x,I SUBSTR(CONCAT('myš', 'lienka'), 1, 1 + 2x).

Urobili sme už istú prestavu o výrazoch, poďme ich definovať exaktne. Musíme sa však vyhnúť naoko neriešiteľnémuproblému na spôsob ”vajce a sliepka“ – na definovanie výrazov potrebujeme poznať typy ich podvýrazov, ale zároveňna definovanie typov potrebujeme poznať výrazy. Tento gordický uzol však rozotneme tým, že výrazy budeme definovaťzároveň s ich typmi, a to ako usporiadané dvojice. Ich prvé zložky budú výrazy a druhé ich typy, takže združenietýchto dvojíc do jednej množiny vytvorí zobrazanie, ktorého definičným oborom bude množina výrazov a hodnotybudú ich typmi.

D Definujme zobrazenie ari (”arity“ – (-)árnosť) množiny Abc do N vzťahom: Ak c ∈ Abc a ins(c) ∈ Typn, takari(c) = n.

P Korektnosť tejto definície vyplýva z ticovej jednoznačnosti množiny Typ podľa vety 2.3.

• I ari(SUBSTR) = 3, lebo ins(SUBSTR) = ⟨String, Integer, Integer⟩.I ari(3) = 0, lebo ins(3) = ⟨⟩.I ari(x) = 0, lebo ins(x) = ⟨⟩.

V1 Nech pre každé j z {1, 2} je cj z Abc a xj1, …, xjari(cj) sú objekty. Potom ak platí ⟨x11, . . . , x1ari(c1), c1⟩ =⟨x21, . . . , x2ari(c2), c

2⟩, tak c1 = c2 a pre každé i z {1, . . . , ari(c1)} platí x1i = x2i .

Nech bez ujmy na všeobecnosti ari(c1) ≤ ari(c2), Rozoberme prípady:

I Nech ari(c1) = ari(c2) = 0.Potom pre každé j z {1, 2} platí ⟨xj1, . . . , x

jari(cj), c

j⟩ = cj , takže c1 = c2. Triviálne tiež pre každé iz {1, . . . , ari(c1)} platí x1i = x2i .

I Nech ari(c1) = 0 a ari(c2) > 0.Ak označíme y2 objekt ⟨x21, . . . , x2ari(c2)⟩, tak c1 = ⟨y2, c2⟩, čo je však spor s tým, že (podľa vety 2.2)Abc je abeceda. Tento prípad teda nastať nemôže.

I Nech ari(c1) > 0 a ari(c2) > 0.Pre každé j z {1, 2} označme yj objekt ⟨xj1, . . . , x

jari(cj)⟩. Potom ⟨y1, c1⟩ = ⟨y2, c2⟩, z čoho vyplýva

c1 = c2 a tiež y1 = y2, t. j. ⟨x11, . . . , x1ari(c1)⟩ = ⟨x21, . . . , x2ari(c2)⟩, a keďže ari(c1) = ari(c2), podľa vetyA1.4.1 pre každé i z {1, . . . , ari(c1)} platí x1i = x2i .

D Nech c ∈ Abc a ins(c) = ⟨T1, . . . , Tn⟩. Definujme zobrazenie tycc (”type constructor“ – typový konštruktor)v rámci množiny (Abc ∪ Mtp(Abc) × Abc) × Typ takto: Ak pre každé i z {1, . . . , n} je xi prvok Abc ∪Mtp(Abc)×Abc, tak

tycc(⟨x1, T1⟩, . . . , ⟨xari(c), Tari(c)⟩) = ⟨⟨x1, . . . , xari(c), c⟩, out(c)⟩.

• I tycCONCAT(⟨'myš', String⟩, ⟨'lienka', String⟩) = ⟨⟨'myš', 'lienka', CONCAT⟩, String⟩.I tyc3(⟨⟩) = ⟨⟨3⟩, Integer⟩.I tycx(⟨⟩) = ⟨⟨x⟩,Real⟩.I tyc∃x(⟨x > y,Boo⟩) = ⟨⟨x > y, ∃x⟩,Boo⟩.I tycSUBSTR(⟨3, String⟩, ⟨'myš', Integer⟩, ⟨e, Integer⟩) = ⟨⟨3, 'myš', e, SUBSTR⟩, String⟩.

P Posledný príklad ukazuje, že v definícii tycc nie je medzi xi a Ti žiadna väzba, táto funkcia má teda väčšídefiničný obor, než budeme potrebovať.

D Množinu indukovanú zobrazeniami {tycc : c ∈ Abc} budeme nazývať typ.

V2 Množina typ je zobrazenie.

Postupne platí:


⟨x, T 1⟩, ⟨x, T 2⟩ ∈ typ(predpoklad s cieľom T 1 = T 2),

pre každé j z {1, 2} existujú cj z Abc, nj z N, zj z ((Abc ∪Mtp(Abc)×Abc)× Typ)nj ,

že ⟨x, T j⟩ = tyccj

(zj)(podľa vety A1.5.6),

pre každé j z {1, 2} existujú cj z Abc, nj z N, wj1, …, wjnj z (Abc ∪Mtp(Abc)×Abc)× Typ,že ⟨x, T j⟩ = tycc

j

(w1, . . . , wnj )(podľa vety A1.4.2),

pre každé j z {1, 2} existujú cj z Abc, nj z N, xj1, …, xjnj z Abc ∪Mtp(Abc)×Abc a T j1 , …, T jnj z Typ,že ⟨x, T j⟩ = tycc

j

(⟨xj1, Tj1 ⟩, . . . , ⟨x

jnj , T

jnj ⟩)

(podľa definície karteziánskeho súčinu),pre každé j z {1, 2} existujú cj z Abc, nj z N, xj1, …, xjnj z Abc ∪Mtp(Abc)×Abc a T j1 , …, T jnj z Typ,

že ⟨x, T j⟩ = ⟨⟨xj1, . . . , xjnj , c

j⟩, out(cj)⟩ a ⟨T j1 , . . . , Tjnj ⟩ = ins(cj)

(podľa definície tyccj ),

pre každé j z {1, 2} existujú cj z Abc, nj z N, xj1, …, xjnj z Abc ∪Mtp(Abc)×Abc a T j1 , …, T jnj z Typ,že ⟨x, T j⟩ = ⟨⟨xj1, . . . , x

jnj , c

j⟩, out(cj)⟩ a nj = ari(cj)(podľa definície ari),

pre každé j z {1, 2} existujú cj z Abc, nj z N a xj1, …, xjnj z Abc ∪Mtp(Abc)×Abc,že ⟨x, T j⟩ = ⟨⟨xj1, . . . , x

jnj , c

j⟩, out(cj)⟩ a nj = ari(cj)(ignorujeme už irelevantné predpoklady),

pre každé j z {1, 2} existujú cj z Abc, nj z N a xj1, …, xjari(cj) z Abc ∪Mtp(Abc)×Abc,že ⟨x, T j⟩ = ⟨⟨xj1, . . . , x

jari(cj), c

j⟩, out(cj)⟩ a nj = ari(cj)

(lebo nj = ari(cj)),pre každé j z {1, 2} existujú cj z Abc a xj1, …, xjari(cj) z Abc ∪Mtp(Abc)×Abc,

že ⟨x, T j⟩ = ⟨⟨xj1, . . . , xjari(cj), c

j⟩, out(cj)⟩(ignorujeme už irelevantné zmienky o nj),

pre každé j z {1, 2} existujú cj z Abc a xj1, …, xjari(cj) z Abc ∪Mtp(Abc)×Abc,že x = ⟨xj1, . . . , x

jari(cj), c

j⟩ a T j = out(cj)

(podľa vety A1.4.1),pre každé j z {1, 2} existujú cj z Abc a xj1, …, xjari(cj) z Abc ∪Mtp(Abc)×Abc,

že ⟨x11, . . . , x1ari(c1), c1⟩ = ⟨x21, . . . , x2ari(c2), c2⟩ a T j = out(cj)

(tranzitivita rovnosti),pre každé j z {1, 2} existujú cj z Abc a xj1, …, xjari(cj) z Abc ∪Mtp(Abc)×Abc,

že c1 = c2 a T j = out(cj)(podľa vety 1, lebo cj ∈ Abc),

pre každé j z {1, 2} existuje cj z Abc, že c1 = c2 a T j = out(cj)(ignorujeme už irelevantné predpoklady),

pre každé j z {1, 2} existuje cj z Abc, že T 1 = T 2

(tranzitivita rovnosti, keďže out(c1) = out(c2)),T 1 = T 2

(ignorujeme už irelevantné predpoklady).

D Množinu Dom(typ) budeme označovať Exp (”expressions“ – výrazy) a jej prvky budeme nazývať výrazy .

D Ak e je výraz, hodnotu typ(e) budeme nazývať jeho typom.

D Nech T ∈ Typ. Potom definujme množinu ExpT vzťahom

ExpT = {e ∈ Exp : typ(e) = T}.


D Nech c ∈ Abc a ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩. Definujme množinu InRc (”inputs respecting“ – vstupy rešpektujúce)vzťahom

InRc = ExpT1 × · · · × ExpTn .

P Podľa definície potom platí, že ak c ∈ Abc a ⟨e1, . . . , eari(c)⟩ ∈ InRc, tak ⟨⟨e1, . . . , eari(c), c⟩, out(c)⟩ ∈ typ,takže ⟨e1, . . . , eari(c), c⟩ ∈ Exp.

D Nech c ∈ Abc. Definujme zobrazenie excc (”expression constructor“ – výrazový konštruktor) z množiny InRc

do množiny Exp vzťahomexcc(e1, . . . , eari(c)) = ⟨e1, . . . , eari(c), c⟩.

P Ak ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRc, podľa definícií platí

tycc(⟨x1, T1⟩, . . . , ⟨xari(c), Tari(c)⟩) = ⟨excc(x1, . . . , xari(c)), out(c)⟩.

P Ak špeciálne ari(c) = 0, tak excc(⟨⟩) = ⟨c⟩ = c.

• I excCONCAT('myš', 'lienka') = ⟨'myš', 'lienka', CONCAT⟩.I exc3(⟨⟩) = ⟨3⟩ = 3.I excx(⟨⟩) = ⟨x⟩ = x.I exc∃x(x > y) = ⟨x > y,∃x⟩.I excSUBSTR(3, 'myš', e) nie je definované, lebo ⟨3, 'myš', e⟩ /∈ ExpString × ExpInteger × ExpInteger =

InRSUBSTR.

V3 Množina Exp je indukovaná množinou {excc : c ∈ Abc}.

Označme A indukt množiny {excc : c ∈ Abc}.

S1 A ⊆ Exp.

Pre každé c z Abc podľa definície Rng(expc) ⊆ Exp, takže množina Exp je uzavretá na expc. To všakznamená, že je uzavretá na {excc : c ∈ Abc}, a teda podľa definície induktu A ⊆ Exp.

S2 A× Typ ⊆ (Abc ∪Mtp(Abc)×Abc)× Typ.

Podľa sublemy 1 a definície Exp a typ máme A ⊆ Exp = Dom(typ) ⊆ Abc ∪Mtp(Abc)×Abc, z čohouž dostávame požadované tvrdenie.

S3 Ak c ∈ Abc, tak A× Typ je uzavretá na tycc.

Nech z ∈ Dom(tycc)∩(A×Typ)n pre nejaké n z N. Potom z ∈ Dom(tycc), takže podľa definície tycc exis-tujú x1, …, xari(c) z Abc∪Mtp(Abc)×Abc, že z = ⟨⟨x1, T1⟩, . . . , ⟨xari(c), Tari(c)⟩⟩, kde ⟨T1, . . . , Tari(c)⟩ =ins(c). Z toho z ∈ Dom(tycc) ∩ (A × Typ)ari(c). Zároveň však podľa sublemy 2 a vety A1.4.3 mámez ∈ Dom(tycc)∩(A×Typ)n, a keďže podľa viet A4.1.2 a A4.1.3 je A×Typ abeceda, a teda je ticovo jed-noznačná, platí ari(c) = n. Platí teda z ∈ (A×Typ)ari(c). Podľa vety A1.4.2 potom z = ⟨w1, . . . , wari(c)⟩pre nejaké w1, …, wari(c) z A × Typ, a teda z = ⟨⟨y1, U1⟩, . . . , ⟨yari(c), Uari(c)⟩⟩ pre nejaké y1, …, yari(c)z A a U1, …, Uari(c) z Typ. Máme teda ⟨⟨x1, T1⟩, . . . , ⟨xari(c), Tari(c)⟩⟩ = ⟨⟨y1, U1⟩, . . . , ⟨yari(c), Uari(c)⟩⟩,z čoho podľa vety A1.4.1 pre každé i z {1, . . . , ari(c)} platí ⟨xi, Ti⟩ = ⟨yi, Ui⟩ a teda xi = yi ∈ A.Podľa sublemy 1 potom xi ∈ Exp a pre každé i z {1, . . . , ari(c)} platí typ(ei) = Ti, takže ⟨x1, . . . , xn⟩ ∈InRc = Dom(tycc). Keďže A je podľa definície uzavretá na tycc, platí excc(x1, . . . , xari(c)) ∈ A, a tedatycc(z) = tycc(⟨x1, T1⟩, . . . , ⟨xari(c), Tari(c)⟩) = ⟨excc(x1, . . . , xari(c)), out(c)⟩ ∈ A × Typ. To však zna-mená platnosť dokazovaného tvrdenia.

S5 Exp ⊆ A

Podľa sublemy 3 je množina A × Typ uzavretá na {tycc : c ∈ Abc}, takže podľa definície typ platítyp ⊆ A× Typ, a teda Exp = Dom(typ) ⊆ A.

Zo sublem 1 a 4 máme Exp = A, a teda Exp je indukt množiny {excc : c ∈ Abc}.


V4 Var ⊆ Exp.

Keďže podľa vety 3 je pre každé v z Var množina Exp uzavretá na zobrazenie excv, platí v = ⟨v⟩ = excv(⟨⟩) ∈Exp.

V5 Exp je spočítateľná množina.

S1 crd(Exp) ≥ ℵ.

Podľa vety 4 Var ⊆ Exp, takže ℵ = crd(Var) ≤ crd(Exp).

S2 crd(Exp) ≤ ℵ.

crd(Exp)

= crd(Dom(typ))(podľa definície),

≤ crd(Abc ∪Mtp(Abc)×Abc)(lebo podľa vety A1.5.1 a definície typ platí typ ⊆

∪c∈Abc Rng(tyc

c) ⊆ (Abc∪Mtp(Abc)×Abc)×Typ, a teda Dom(typ) ⊆ Abc ∪Mtp(Abc)×Abc),

= crd(Abc ∪Mtp(Abc)) · crd(Abc)(lebo crd(A×B) = crd(A) · crd(B)),

≤ (crd(Abc) + crd(Mtp(Abc))) · crd(Abc)(lebo crd(A ∪B) ≤ crd(A) + crd(B)),

= (ℵ+ crd(Mtp(Abc))) · ℵ(podľa definície Abc),

= (ℵ+ ℵ) · ℵ(podľa vety A3.3.1, lebo podľa definície Abc platí crd(Abc) = ℵ),

= ℵ.

Zo sublem 1 a 2 už vyplýva tvrdenie vety.

V6 Množina Exp je abeceda.

I Nech ∅ ∈ Exp. Podľa viet 3 a A1.5.6 potom ∅ = ⟨e1, . . . , eari(c), c⟩, kde c ∈ Abc a ⟨e1, . . . , eari(c)⟩ ∈InRc, čo je však spor.

I Nech e, f ∈ Exp a e = ⟨x, f⟩ pre nejaký objekt x. Podľa viet 3 a A1.5.6 potom e = ⟨e1, . . . , eari(c), c⟩,kde c ∈ Abc a ⟨e1, . . . , eari(c)⟩ ∈ InRc, a f = ⟨f1, . . . , fari(d), d⟩, kde d ∈ Abc a ⟨f1, . . . , fari(d)⟩ ∈ InRd.Platí teda ⟨e1, . . . , eari(c), c⟩ = ⟨x, ⟨⟨f1, . . . , fari(d)⟩, d⟩⟩. Rozoberme prípady:I Nech ari(c) = 0.

Potom c = ⟨c⟩ = ⟨e1, . . . , eari(c), c⟩ = ⟨x, ⟨f1, . . . , fari(d), d⟩⟩, a keďže c ∈ Abc ⊆ N2, platí⟨f1, . . . , fari(d), d⟩ ∈ N.S1 ari(d) = 0.

Nech ari(d) > 0.Označme y objekt ⟨f1, . . . , fari(d)⟩, potom ⟨y, d⟩ = ⟨f1, . . . , fari(d), d⟩ ∈ N, t. j. {{y}, {y, d}} ∈N. Rozoberme prípady:I Nech y = d.

Potom {{d}} = {{y}, {y, d}} ∈ N, takže {{d}} = crd({{d}}) = 1 = {0} = {∅}. Z toho{d} = ∅, čo je spor.

I Nech y = d.Potom {y} = {y, d}, a teda {{y}, {y, d}} = crd({{y}, {y, d}}) = 2 = {0, 1} = {∅, 1}. Z tohobuď {y} = ∅, alebo {y, d} = ∅, oba prípady sú však sporné.

Podľa sublemy 1 teda c = ⟨d⟩ = ⟨f1, . . . , fari(d), d⟩, čo je však spor, lebo (podľa vety 2.2) Abc jeabeceda.


I Nech ari(c) > 0.Potom ⟨⟨e1, . . . , eari(c)⟩, c⟩ = ⟨e1, . . . , eari(c), c⟩ = ⟨x, ⟨⟨f1, . . . , fari(d)⟩, d⟩⟩, z čoho dostávame c =⟨f1, . . . , fari(d), d⟩. Rozoberme prípady:I Nech ari(d) = 0.

Potom c = ⟨d⟩ = d, čo je však spor, lebo ari(c) > 0 a ari(d) = 0.I Nech ari(d) > 0.

Potom c = ⟨f1, . . . , fari(d), d⟩ = ⟨⟨f1, . . . , fari(d)⟩, d⟩, čo je však spor, lebo (podľa vety 2.2) Abcje abeceda.

Vo všetkých prípadoch sme dospeli k sporu. Pre žiadne výrazy e a f teda neexistuje objekt x taký, žee = ⟨x, f⟩.

P Podľa vety je teda množina Exp ticovo jednoznačná, takže ak ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRc, tak nutne n = ari(c).

P Exp je teda najmenšia množina, pre ktorú platí, že ak c ∈ Abc a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRc, tak ⟨e1, . . . , en, c⟩ ∈ Exp.

P Pre výrazy budeme často používať rôznorodé sprehľadňujúce zápisy, vždy však budeme dávať pozor na to, abypríslušný zápis bolo možno jednoznačne dešifrovať.Namiesto ⟨e1, . . . , en, c⟩ tak budeme často používať prefixový zápis ce1 . . . en alebo prehľadnejšie c(e1, . . . , en),prípadne (rekurzívne) c(s1, . . . , sn), kde si je buď samotné ei, alebo nejaký jeho alternatívny zápis.

V7 (o matematickej indukcii cez Exp)

Nech A je množina, pre ktorú platí: Ak c ∈ Abc, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRc a pre každé i z {1, . . . , n} platí ei ∈ A,tak platí excc(e1, . . . , en) ∈ A. Potom Exp ⊆ A.

Je to špeciálny prípad vety A1.3.2, lebo podľa predpokladu je trieda A uzavretá na {excc : c ∈ Abc}.

P Vetu môžeme preformulovať i tak, že prvky množiny Exp sú rozoberané na dvakrát: v kroku 1 ide o prvkymnožiny Var, v kroku 2 potom o zvyšné prvky množiny Sym:Nech A je množina, pre ktorú platí:

1 Var ⊆ A.2 Ak s ∈ Sym, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs a pre každé i z {1, . . . , n} platí ei ∈ A, tak platí se1 . . . en ∈ A.

Potom Exp ⊆ A.

V8 Množina Exp je jednoznačne indukovaná množinou {excc : c ∈ Abc}.

Podľa vety 3 je Exp indukt množiny {excc : c ∈ Abc}. Injektivita zobrazení excc i ich nekonfliktnosť vyplývaz vety 1 a Exp je ticovo jednoznačná podľa viet 6 a A4.1.3. Z toho už podľa definície jednoznačnej indukovanostivyplýva dokazované tvrdenie.

V9 (o definícii matematickou indukciou v množine Exp)

Nech Y je neprázdna množna. Nech pre každé c z Abc je gc zobrazenie množny InRc × T ari(c) do množnyY . Potom existuje jediné zobrazenie f množny Exp do množny Y také, že ak c ∈ Abc a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRc,tak platí

f(ce1 . . . en) = gc(⟨e1, . . . , en⟩, ⟨f(e1), . . . , f(en)⟩).

Pre každé c z Exp nech eexcc = gc, takže Dom(eexcc

) = Dom(gc) = InRc × Y ari(c) = Dom(excc)× Y ari(c).Keďže podľa vety 3 je Exp jednoznačne indukovaná množinou {excc : c ∈ Abc}, podľa vety A1.3.4 existujejediné zobrazenie f množny Exp do množny Y také, že ak c ∈ Abc a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ Dom(excc) = InRc, tak

f(ce1 . . . en) = eexcc

(⟨e1, . . . , en⟩, ⟨f(e1), . . . , f(en)⟩),

t. j.f(ce1 . . . en) = gc(⟨e1, . . . , en⟩, ⟨f(e1), . . . , f(en)⟩).


P Aj vetu 9 budeme častejšie používať v podobe rozlišujúcej premenné a symboly:Nech Y je neprázdna množina.

1 Nech pre každé v z Var je cv prvok Y .2 Nech pre každé s z Sym je gs zobrazenie množiny InRs × Y ari(s) do množiny Y .

Potom existuje jediné zobrazenie f množiny Exp do množiny Y také, že platí:

1 Pre každé v z Var platí f(v) = cv.2 Pre každé s z Sym a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs platí f(se1 . . . en) = gs(⟨e1, . . . , en⟩, ⟨f(e1), . . . , f(en)⟩).

D Definujme zobrazenie uve (”used variables in the expression“ – použité premenné vo výraze) z Exp do PFin(Var)indukciou (t. j. podľa vety 9)

1 Ak v ∈ Var, takuve(v) = {v}.

2 Ak s ∈ Sym a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs, tak

uve(se1 . . . en) =∪

i∈{1,...,n}

uve(ei).

P Zdôraznime, že ak sú množiny A1, …, An konečné, konečná je aj výsledná∪i∈{1,...,n}Ai.

P Veta 9 zaručuje, že zobrazenie uve je definované korektne: Stačí totiž pre každé c z Abc vziať zobrazenie gcz InRc × PFin(Var)ari(c) do PFin(Var) také, že

gc(⟨e1, . . . , eari(c)⟩, ⟨M1, . . . ,Mari(c)⟩) =

{{c}, ak c ∈ Var,∪i∈{1,...,ari(c)}Mi, ak c ∈ Sym.

D Definujme zobrazenie use (”used symbols in the expression“ – použité symboly vo výraze) z Exp do PFin(Sym)indukciou (t. j. podľa vety 9)

1 Ak v ∈ Var, takuse(v) = ∅.

2 Ak s ∈ Sym a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs, tak

use(se1 . . . en) =∪

i∈{1,...,n}

use(ei) ∪ {s}.

P Aj tu máme korektnosť z vety 9, Stačí totiž pre každé c z Abc vziať zobrazenie gc z InRc × PFin(Sym)ari(c)

do PFin(Sym) také, že

gc(⟨e1, . . . , en⟩, ⟨M1, . . . ,Mn⟩) =

{∅, ak c ∈ Var,∪i∈{1,...,n}Mi ∪ {c}, ak c ∈ Sym.

D Definujme zobrazenie bvs (”bounded variable set“ – množina zväzovaných premenných) množiny Abc domnožiny PFin(Var) takto: Ak c ∈ Abc a bvt(c) = ⟨v1, . . . , vp⟩, tak bvs(c) = {v1, . . . , vp}.

P Táto definícia je korektná, lebo množina Var je podľa vety 2.3 ticovo jednoznačná.

P Ak bvt(s) = ⟨⟩, tak bvs(s) = ∅.

D Označme Nob (”no bounded variable“ – žiadna zväzovaná premenná) množinu {s ∈ Sym : bvs(s) = ∅}.Symboly z množiny Nob nazveme nezväzujúce.

P Nezväzujúce sú teda práve tie symboly, ktorých rodina je jednoprvková.


P Do množiny Nob patrí drvivá väčšina symbolov, s ktorými sa budeme stretávať. Jednou z dôležitých výnimieksú kvantifikátory.

D Označme Con množinu {s ∈ Sym : ari(s) = 0}. Symboly z množiny Con nazveme konštantové .

D Definujme zobrazenie bve (”bounded variable of the expression“ – viazané premenné výrazu) z Exp do PFin(Var)takto:

1 Ak v ∈ Var, tak bve(v) = ∅.2 Ak s ∈ Abc a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs, tak

bve(se1 . . . en) =

∪i∈{1,...,n}

bve(ei)

∪ bvs(s).

Ak e je výraz, tak množinu bve(e) nazveme jeho viazanými premennými.

D Definujme zobrazenie fve (”free variable of the expression“ – voľné premenné výrazu) z Exp do PFin(Var)takto:

1 Ak v ∈ Var, tak fve(v) = {v}.2 Ak s ∈ Sym a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs, tak

fve(se1 . . . en) =

∪i∈{1,...,n}

fve(ei)

r bvs(s).

Ak e je výraz, tak množinu fve(e) nazveme jeho voľnými premennými.

P Špeciálne, ak s ∈ Nob, tak platí:

I bve(se1 . . . en) =∪i∈{1,...,n} bve(ei).

I fve(se1 . . . en) =∪i∈{1,...,n} fve(ei).

P Podľa definícií fve a bve dostávame explicitne:

I Ak h ∈ {⊤,⊥}, tak ins(h) = ⟨⟩ a bvs(h) = ∅, a teda platí:I fve(h) = ∅.I bve(h) = ∅.

I Keďže bvs(¬) = ∅, pre e z ExpBoo dostávame:I fve(¬e) = fve(e).I bve(¬e) = bve(e).

I Keďže pre @ z {∧,∨,↔,→} platí bvs(@) = ∅, pre e1 a e2 z ExpBoo dostávame:I fve(e1 @ e2) = fve(e1) ∪ fve(e2).I bve(e1 @ e2) = bve(e1) ∪ bve(e2).

I Ak # ∈ {∃v, ∀v} pre nejaké v z Var, tak bvs(#) = {v}, a teda pre e z ExpBoo dostávame:I fve(#) = fve(e)r {v}.I bve(#) = bve(e) ∪ {v}.

I Keďže pre T z Typ platí bvs(=T ) = ∅, pre e1 a e2 z ExpT dostávame:I fve(e1 =T e2) = fve(e1) ∪ fve(e2).I bve(e1 =T e2) = bve(e1) ∪ bve(e2).

V10 Nech e je výraz. Potom bve(e) ∪ fve(e) = uve(e).

Tvrdenie dokážeme indukciou cez Exp, t. j. podľa vety 7:

1.4 Interpretácia 611.4 Interpretácia 611.4 Interpretácia 61

1 Nech v ∈ Var. Potom platí:bve(v) ∪ fve(v)

= ∅ ∪ {v}(podľa definícií bve a fve),

= {v},= uve(v)

(podľa definície uve).2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs. Potom platí:

bve(e) ∪ fve(e)

= (∪i∈{1,...,n} bve(ei) ∪ bvs(e)) ∪ (

∪i∈{1,...,n} fve(ei)r bvs(s))

(podľa definícií bve a fve),= ((

∪i∈{1,...,n} bve(ei)) ∪ (

∪i∈{1,...,n} fve(ei))) ∪ bvs(s)

(lebo (A ∪ C) ∪ (B r C) = (A ∪B) ∪ C),= (

∪i∈{1,...,n}(bve(ei) ∪ fve(ei))) ∪ bvs(s)

(lebo∪i∈I Ai ∪

∪i∈I Bi =

∪i∈I(Ai ∪Bi)),

=∪i∈{1,...,n} uve(ei) ∪ bvs(s)

(pre každé i z {1, . . . , n} podľa indukčného predpokladu),= uve(e)

(podľa definície uve).

D Definujme funkciu nse (”number of symbols in the expression“ – počet symbolov vo výraze) z množiny Expdo množiny N indukciou:

1 Ak v ∈ Var, tak nse(v) = 0.2 Ak e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs, tak platí:

nse(e) = 1 +∑

i∈{1,...,n}

nse(ei).

P Hodnota nse(e) teda znamená počet symbolov vo výraze e.

V11 (o matematickej indukcii cez počet symbolov)

Nech A podmnožina Exp. Nech pre každé e z Exp platí, že z {d ∈ Exp : nse(d) < nse(e)} ⊆ A vyplývae ∈ A. Potom A = Exp.

Je to špeciálny prípad vety A1.1.6.

1.4 Interpretácia

Aby práca s výrazmi nebola len prázdnou formálnou hrou, všetky použité dátové typy, premenné i symboly musia maťnejaký obsah.

Primárnou úlohou každej premennej v nejakom výraze je nadobúdať nejakú hodnotu, ktorou prispieva k celkovémuvyhodnoteniu tohto výrazu. Existencia dátového typu tejto premennej naznačuje, že takáto jej hodnota nemôžebyť úplne ľubovoľná, ale musí tento dátový typ rešpektovať. Každý dátový typ tak by sme tak mohli chápať čižeinterpretovať ako množinu prípustných hodnôt každej premenných tohto typu. Napríklad dátový typ Boo sa typickyinterpretuje ako dvojprvková množina {1,0} (pričom 1 znamená pravdu a 0 nepravdu) a Real ako množina R.

Na vyhodnotenie každého výrazu zrejme stačí poznať len hodnoty premenných, ktoré sa v ňom vyskytujú. Všetkyostatné premenné (ktorých je nekonečne veľa) sú preň nepodstatné, a tak ich hodnoty nemusíme uvádzať, automatickyim môžeme priradiť nejakú defaultnú hodnotu. Pre každý dátový typ T tak máme jeho interpretáciu – množinu t(T )– a tiež jeden jeho špeciálny prvok d(T ), ktorý bude slúžiť ako spomínaná defaultná hodnota. Každá premenná typuT potom môže nadobúdať hodnotu z množiny t(T ).


Je prirodzené, že hodnota každého výrazu tvaru se1 . . . en bude závisieť od hodnôt jeho podvýrazov e1, …, en, alesvoju rolu bude tu určite musí zohrať i symbol s. Potrebujeme teda vedieť, ako mu rozumieť, t. j. aká bude jehointerpretácia i(s).

Pozrime sa napríklad na výraz ∀x(x = y), ak premenné x aj y typu Real majú hodnotu 3. Ako vieme, platí ins(∀x) =⟨Boo⟩, out(∀x) = Boo a bvt(∀x) = ⟨x⟩, náš výraz i jeho kvantifikovaná časť x = y sú teda typu Boo. Ľahko vidíme,že výraz x = y bude (pri našom ohodnotení premenných x a y) pravdivý. Pri odhodnocovaní výrazu ∀x(x = y) savšak nemôžeme upriamovať len na jednu, hoci predpísanú, hodnotu premennej x. Keďže poznáme (obvyklý) významkvantifikátora ∀x, nie je prekvapivé, že kvantifikovaný výraz x = y potrebujeme vyhodnotiť pre ľubovoľnú prípustnúhodnotu premennej x, a to preto, že sa podieľa na bvt(∀x). Naproti tomu predpísanú hodnotu 2 premennej y budemeakceptovať pri všetkých ohodnoteniach, pretože tá kvantifikátorom ∀x viazaná nie je.

Ako teda náš výraz ∀x(x = y) vyhodnotiť? Za premennú x dosadzujeme všetky možné hodnoty z množiny t(Real)čiže R a pre každú takúto hodnotu m označíme V (m) výsledné ohodnotenie výrazu x = y (takže napríklad V (3) = 1a trebárs V (4) = 0). Takto získame zobrazenie V množiny t(Real) do množiny {1,0}, t. j. t(Boo). Až teraz na scénuvstupuje symbol ∀x. Jeho interpretácia musí zobrazenie V nejako spracovať, a získať tak výslednú hodnotu pôvodnéhovýrazu ∀x(x = y). Keďže tento symbol nevidíme prvýkrát, vieme si ľahko domyslieť, ako toto spracovanie prebehne:Všimneme si všetky hodnoty zobrazenia V čiže množinu Rng(V ), ktorá je neprázdnou podmnožinou množiny {1,0}.Ak táto množina obsahuje hodnotu 0, znamená to, že pre nejakú hodnotu premennej x bol výraz x = y nepravdivý,a teda nepravdivý bude aj výraz ∀x(x = y). A naopak, ak množina hodnotu 0 neobsahuje, a teda je to {1}, prekaždú hodnotu premennej x je výraz x = y pravdivý, takže aj výraz ∀x(x = y) bude pravdivý. V oboch prípadoch jeteda výsledkom minimum množiny Rng(V ).

Náš symbol ∀x však môže byť podobne aplikovaný i na ľubovoľný iný výraz typu Boo, čím možno dostaneme inézobrazenie množiny t(Real) do množiny t(Boo). Interpretácia i(∀x) teda bude funkcia, ktorá ľubovoľnému zobrazeniuV množiny t(Real) do množiny t(Boo) priradí hodnotu min(Rng(V )).

Túto úvahu môžeme urobiť pre ľubovoľný symbol s. Ak ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩, out(s) = T a bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩,interpretácia i(s) bude spracovávať zobrazenia množiny t(typ(v1))× · · · × t(typ(vp)) (vo vyššie uvedenom špeciál-nom prípade ∀x sme mali p = 1 a v1 = x) do množiny t(T1)× · · · × t(Tn) (u nás je to n = ari(∀x) = 1 a T1 = Boo).Pre každé takéto zobrazenie bude potom výsledná hodnota nejaký prvok množiny t(T ).

D Interpretáciou nazývame štvoricu ⟨t, d, u, i⟩, pre zložky ktorej platí:

I t je zobrazenie množiny Typ také, že ak T ∈ Typ, tak t(T ) je neprázdna množina.I d je zobrazenie množiny Typ také, že ak T ∈ Typ, tak d(T ) ∈ t(T ).I i je zobrazenie množiny Sym také, že ak s ∈ Sym, pričom ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩ out(s) = T a bvt(s) =⟨v1, . . . , vp⟩, tak i(s) je zobrazenie množiny

Fun(t(typ(v1))× · · · × t(typ(vp)), t(T1)× · · · × t(Tn))

do množiny t(T ).

D Nech I je interpretácia a I = ⟨t, d, i⟩.

I t budeme označovať ITyp a pre každé T z Typ budeme ITyp(T ) nazývať I-interpretácia typu T .I d budeme označovať IDfl a pre každé T z Typ budeme IDfl(T ) nazývať I-defaultná hodnota typu T .I i budeme označovať ISym a pre každé s z Sym budeme ISym(s) nazývať I-interpretácia symbolu s.

P Takže I = ⟨ITyp, IDfl, ISym⟩. Navyše platí:

I Ak T ∈ Typ, tak ITyp(T ) je neprázdna množina.I Ak s ∈ Sym, pričom ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩, out(s) = T a bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, tak ISym(s) je

zobrazenie, ktoré každej funkcii z množiny

Fun(ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp)), ITyp(T1)× · · · × ITyp(Tn))

priradí nejaký prvok z množiny ITyp(T ).

P I Obvyklá interpretácia typu Real je množina R.


I Obvyklá interpretácia typu Integer je množina Z.I Obvyklá interpretácia typu String je množina (aj nezmyselných) slov (povedzme slovenskej) abecedy.I Obvyklá interpretácia typu Boo je množina {1,0} (prípadne ľubovoľná iná dvojprvková množina). Pritom

1 chápeme ako vyjadrenie pravdy a 0 lži a prirodzene ich usporiadame tak, že 1 je viac ako 0.

P Nech x je premenná typu Real, a typy Real a Boo sú interpretované obvyklou interpretáciou I. Nech Vje funkcia, ktorá každej hodnote z R (t. j. ITyp(Real)) priradí nejakú hodnotu z {1,0} (t. j. ITyp(Boo))(typicky je to pravdivostná hodnota nejakého výrazu typu Boo pre všetky prípustné hodnoty jeho parametra x).Interpretácia symbolu ∀x má potom priradiť tejto funkcii celkovú pravdivostnú hodnotu (t. j. prvok ITyp(Boo)).Ako to robí v obvyklom prípade?

I Ak sú všetky tieto vyhodnotenia 1 (a teda vyhodnocovaný výraz je pravdivý pre všetky prípustné hodnotyparametra x), tak Rng(V ) je {1} a obvyklá interpretácia ∀x má vrátiť tiež 1.

I Ak je však aspoň jedno z týchto vyhodnotení 0 (a teda vyhodnocovaný výraz je pre nejakú hodnotuparametra x nepravdivý), tak Rng(V ) je {1,0} alebo iba {0} (ak sú všetky nepravdivé) a obvykláinterpretácia ∀x má vtedy vrátiť 0.

V oboch prípadoch dostávame, že obvyklá interpretácia symbolu ∀x bude pre každú funkciu V z R do {1,0}vracať hodnotu min(Rng(V )).

P Zdôraznime ešte dva fakty:

I Pri interpretácii symbolu nás vôbec nemusí zaujímať, ako (čiže napríklad vyhodnocovaním akého výrazu)vznikla funkcia V .

I Výsledná hodnota min(Rng(V )) vôbec nezáleží od kvantifikovanej premennej (len od jej typu), úplnerovnako by bol interpretovaný aj symbol ∀v pre ľubovoľnú inú premennú v typu Real.

P V podstate rovnako sa správajú aj obvyklé interpretácie symbolov ∀v pre premenné v ľubovoľného typu. Prekaždú funkciu V z interpretácie typu typ(v) do {1,0} budú vracať hodnotu min(Rng(V )).

P Podobnou analýzou možno ukázať, že obvyklá interpretácia symbolu ∃v bude pre takúto funkciu V vracaťhodnotu max(Rng(V )).

Tento prístup síce funguje pre všetky symboly, pre symboly z Nob sa však môže zdať príliš komplikovaný. Je totižprirodzené interpretovať napríklad symbol +Real ako zobrazenie, ktorého vstupom sú dve reálne čísla a výstupomich súčet, kým podľa predchádzajúcich úvah je interpretáciou tohto symbolu zobrazenie s úplne iným vstupom, a toakousi funkciou.

Všimnime si túto funkciu, označme ju V , bližšie: Ak predmetnú interpretáciu označíme I, jej definičný obor má byťITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(v0)) (lebo bvt(s) = ⟨⟩) čiže {∅}. Definičný obor funkcie V je teda jednoprvkový,preto nezaujímavý, a záleží len na hodnote V ({∅}) z množiny ITyp(T1)× · · · × ITyp(Tn), kde ⟨T1, . . . , Tn⟩ = ins(s).Za vstup do interpretačnej funkcie tak môžeme považovať nie funkciu V , ale práve prvky tejto množiny.

Napríklad v prípade spomínaného symbolu +Real sú vstupy z množiny ITyp(Real)×ITyp(Real) (lebo platí ins(s) =⟨Real,Real⟩) čiže R × R, čo je v súlade s očakávaním, že vstupom funkcie + počítajúcej súčet je dvojica reálnychčísel.

Tento príklad je však trochu zavádzajúci: Tak ako je + interpretáciou symbolu funkcia +Real z R × R do R, podľaprechádzajúcich úvah by sme mohli očakávať, že funkcia / ako prirodená interpretáciou symbolu /Real by mala byťtiež z R× R do R. Žiaľ, nie je to tak, táto funkcia, ako vieme, nie je na tejto množine totálna.

Ako teda pracovať s takýmito parciálnymi funkciami, aby zapadali do tejto koncepcie? Jednou z najprirodzenejšíchmožností je takúto funkciu totalizovať – doplniť jej definičný oboro o všetky chýbajúce hodnoty a priradiť im novú,doposiaľ nepoužitú hodnotu. To však znamená, že interpretácia sa musí mierne upraviť: interpretácie niektorých typovsa budú musiť o túto hodnotu rozšíriť a interpretácie symbolov doplniť tak, aby mohli pracovať aj s touto novouhodnotou. Aby sa dalo s ňou dalo pracovať aj syntakticky (pretože zrejme bude treba upraviť aj doteraz existujúceformálne pravidlá), bude vhodné syntax rozšíriť o nový symbol, ktorého bude interpretáciou.

Môžeme teda v takomto mysle bez ujmy na všeobecnosti predpokladať, že všetky funkcie, ktoré sa pri interpretáciisymbolov vyskytnú, budú totálne.


D Definujme zobrazenie INob z množiny Nob také, že ak s ∈ Nob, pričom ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩ a out(s) = T ,tak INob(s) je funkcia z množiny ITyp(T1)× · · · × ITyp(Tn) do množiny ITyp(T ) definovaná vzťahom

(INob(s))(x1, . . . , xn) = (ISym)(s))({⟨⟨⟩, ⟨x1, . . . , xn⟩⟩}).

Toto zobrazenie budeme nazývať zjednodušená I-interpretácia nezväzujúceho symbolu s.

P Ak teda s ∈ Nob, z ISym(s) vieme definovať z INob(s). Uvedomme si však, že to platí naopak: Ak poznámeINob(s), tak spätne vieme zrekonštruovať ISym(s) (stačí vymeniť strany definujúcej rovnosti).To teda znamená, že bez ujmy na všeobecnosti môžeme v prípade nezväzujúcich symbolov pod ich interpretáciouchápať INob.

• Ak pri práci s reálnymi číslami používame len totálne funkcie (napríklad +, − či ·), v obvyklej interpretáciiI je zjednodušenou I-interpretáciou symbolu +Real funkcia + a platí napríklad (INob(+Real))(⟨−2, 4,5⟩) =(−2) + 4,5 = 2,5.

• V obvyklej interpretácii I je zjednodušenou I-interpretáciou INob(∧) symbolu ∧ funkcia F , pre ktorú platí:

I F (0,0) = 0.I F (0,1) = 0.I F (1,0) = 0.I F (1,1) = 1.

Interpretáciu môžeme zjednodušiť aj v prípade konštantových symbolov. Ak totiž s ∈ Con, tak n = ari(s) = 0,a potom množina možných vstupov funkcie ISym(s) je Fun(ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp)), {∅}), takže jejednoprvková. Záleží teda len na hodnote jej jediného prvku. Toto pozorovanie využijeme na zjednodušenie interpre-tácie konštantového symbolu.

D Definujme zobrazenie ICon množiny Con také, že ak s ∈ Con a bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, tak

ICon(s) = (ISym(s))({⟨⟨x1, . . . , xp⟩, ⟨⟩⟩ : ⟨x1, . . . , xp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))}).

Toto zobrazenie budeme nazývať zjednodušená I-interpretácia konštantového symbolu s.

P Analogicky ako v prípade nazväzujúcich symbolov sú pre každé s z Con funkcie ISym(s) a ICon(s) navzájomodvoditeľné. Je teda v podstate jedno, ktorú z nich budeme chápať ako interpretáciu symbolu s.

P Všimnime si, že ak s ∈ Con, tak ICon(s) ∈ ITyp(out(s)), (zjednodušenou) I-interpretáciou konštantovéhosymbolu je teda, prirodzene, konštanta.

• V obvyklej interpretácii I máme:

I ICon(125) = 125.I ICon('Mars') = Mars (všimnime si odstránenie apostrofov).I ICon(⊤) = 1.

Každá konkrétna matematická disciplína používa na vyjadrovanie svojich tvrdení niekoľko (obvykle konečne veľa)typov a symbolov. Aby sme rozumeli, čo ľubovoľné matematické tvrdenie vlastne hovorí, je prirodzené požadovať,aby sme všetky typy a symboly v ňom použité vedeli interpretovať. Túto potrebu sme sformalizovali v definíciiinterpretácie. Tá ale požaduje porozumenie úplne všetkým typom a úplne všetkým symbolom z množiny Sym, čosa zdá byť pri zrejme konečnom počte používaných symbolov prehnané. Tento problém však môžeme ľahko vyriešiťzavedením defaultnej interpretácie symbolov (napokon, je to jeden z dôvodov, načo sme zavádzali defaultné hodnoty).V takom prípade už stačí interpretovať iba pár vybraných typov a symbolov (pritom v prípade nezväzujúcich a/alebokonštantových symbolov možno použiť vyššie uvedené zjednodušenia).

D Nech P ⊆ Typ a S ⊆ Sym, pričom ak s ∈ S, ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩ a out(s) = T , tak {T1, . . . , Tn} ⊆ Pa T ∈ P . Potom (P, S)-parciálnou interpretáciou nazývame trojicu ⟨t, d, i⟩, pre zložky ktorej platí:


I t je zobrazenie množiny P také, že ak T ∈ P , tak t(T ) je neprázdna množina.I d je zobrazenie množiny Typ také, že ak T ∈ P , tak d(T ) ∈ t(T ).I i je zobrazenie množiny S také, že ak s ∈ S, pričom ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩ out(s) = T a bvt(s) =⟨v1, . . . , vp⟩, tak i(s) je zobrazenie množiny

Fun(t(typ(v1))× · · · × t(typ(vp)), t(T1 × · · · × t(Tn)

do množiny t(T ).

P Každá interpretácia je aj parciálnou (Typ, Sym)-interpretáciou.

D Nech P ⊆ Typ a S ⊆ Sym, pričom ak s ∈ S, ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩ a out(s) = T , tak {T1, . . . , Tn} ⊆ Pa T ∈ P . Nech ⟨t, d, i⟩ je parciálna (P, S)-interpretácia. Nech ⟨t′, d′, i′⟩ je interpretácia taká, že platí:

I t′ je zobrazenie množiny Typ také, že platí:

t′(T ) =

{t(T ), ak T ∈ P ,{∅} inak.

I d′ je zobrazenie množiny Typ také, že platí:

d′(T ) =

{d(T ), ak T ∈ P ,∅ inak.

I i′ je zobrazenie množiny Sym také, že ak s ∈ Sym, pričom ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩ out(s) = T a bvt(s) =⟨v1, . . . , vp⟩, tak i′(s) je zobrazenie množiny

Fun(t′(typ(v1))× · · · × t′(typ(vp)), t′(T1)× · · · × t′(Tn))

do množiny t′(T ) také, že platí:

(i′(s))(V ) =

{(i(s))(V ), ak s ∈ S,d′(T ) inak.

Potom interpretáciu ⟨t′, d′, i′⟩ nazveme zúplnenie (P, S)-parciálnej interpretácie ⟨t, d, i⟩.

P Zúplnenie interpretácie je ona sama.

• Teória grúp pracuje (pravdaže, okrem typu Boo) s jedným typom (môžeme ho nazvať) Group. Navyše pracuje(okrem základných symbolov) s nezväzujúcimi symbolmi ◦ a (konštantovým) e, pričom platí:

I ins(◦) = ⟨Group,Group⟩ a out(◦) = Group.I ins(e) = ⟨⟩ a out(e) = Group.

Majme grupu s nosičom G, binárnou operáciou ⊕ a neutrálnym prvkom n.Nech ďalej platí (detaily spomínaných klasických interpretácií uvidíme v stati 1.5):

I P = {Boo} ∪ {Group}.I S = Bas ∪ {◦, e}.I t je funkcia z P taká, že platí:

I t(Boo) je definovaná klasicky.I t(Group) = G.

I d je funkcia z P taká, že platí:

I d(Boo) je definovaná klasicky.I d(Group) = n.

1.5 Hodnota výrazu 661.5 Hodnota výrazu 661.5 Hodnota výrazu 66

I i je funkcia z S taká, že platí:

I Ak s ∈ Bas, tak i(s) definovaná klasickyI (i(◦))({⟨⟨⟩, ⟨x1, x2⟩⟩}) = x1 ⊕ x2.I (i(e))({⟨⟨⟩, ⟨⟩⟩}) = n.

Potom ⟨t, d, i⟩ je (P, S)-parciálna interpretácia. Navyše, ak I je jej zúplnenie, tak platí:

I INob(◦) = ⊕.I ICon(e) = n.

Každú grupu teda môžeme v tomto zmysle chápať ako interpretáciu jazyka teórie grúp.

Pri predchádzajúcom príklade si môžeme uvedomiť veľmi dôležitú vec, a to, že ten istý jazyk môže mať viacerorôznych (ale rovnocenných) interpretácií. To nám vlastne umožňuje abstrahovať – rozprávať o mnohých rôznychveciach jednotným spôsobom. Táto vlastnosť matematického jazyka jeho požehnaním, ale (ako ukazujú Gödelovevety o neúplnosti) i prekliatím…

1.5 Hodnota výrazu

Keď už rozumieme všetkým symbolom (t. j. máme ich interpretáciu), nič nám nebráni v porozumení výrazov, ktorésú z nich zložený. Napríklad v prípade výrazu 2 + 3 jednoducho aplikujeme funkciu + symbolizovanú symbolom +na hodnoty 2 a 3, ktoré sú symbolizované symbolmi 2 a 3, a dostávame výslednú hodnotu 5.

Avšak na to, aby zistili napríklad hodnotu výrazu 2x+ 3y, nám nestačí poznať interpretáciu v ňom zúčastnenýchsymbolov 2, 3, + a (dvakrát) ·. Vplyv na ňu totiž zrejme majú aj hodnoty jeho premenných x a y, ktorých sa všakinterpretácia vôbec netýka, a keďže sú to premenné, ani sa týkať nemôže. Informáciu o ich hodnotách potrebujemeosobitne. Ak však vieme, že x má hodnotu 4 a y má hodnotu 5, hodnota výsledného výrazu (za predpokladu klasickejinterpretácie) bude 2 ·4+3 ·5 čiže 23, kým v prípade, že x má hodnotu −1,5 a y má hodnotu 1, je to 2 · (−1,5)+3 ·1čiže 0. Hodnota výrazu sa teda môže pre rôzne ohodnotenia jeho premenných meniť. Aby sa však naozaj dala zistiť,hodnoty príslušných premenných musia byť v súlade s interpretáciou ich typov – ak sú teda x a y typu Real, ichhodnoty musia byť z množiny, ktorá je interpretáciou tohto typu, čiže v obvyklom prípade z R, prípadne môžu maťdefaultnú hodnotu.

Aby sme vedeli určiť hodnotu všetkých výrazov, treba (a stačí) poznať hodnoty všetkých premenných. Ohodnoteniepremenných je teda vlastne zobrazenie, ktoré každej premennej priradí istú hodnotu v súlade s interpretáciou dátovéhotypu tej-ktorej premennej. Hodnoty výrazov teda závisia od interpretácie, ale aj a od konkrétneho ohodnoteniapremenných (i keď pri každom výraze je tých, na ktorých hodnote naozaj záleží, iba niekoľko).

Vráťme sa ešte na chvíľku k už diskutovanému výrazu ∀x(x = y) a pýtajme sa na jeho hodnotu v klasickej interpretáciia pri takom ohodnotení, že obe jeho premenné – x aj y – majú hodnotu 3. Keďže je typu Boo, určite to bude jednaz hodnôt 1 alebo 0. Jeho kvantifikovaná časť ∀x(x = y) bude mať síce za tohto ohodnotenia premenných hodnotu 1,my už však vieme, že sa nestačí zaoberať len predpísanou hodnotou kvantifikovanej premennej x, ale musíme vyskúšaťvšetky pre ňu prípustné hodnoty tohto typu (t. j. prvky množiny, ktorá je jeho interpretáciou), nekvantifikovanápremenná y však svoju hodnotu meniť nebude. Inými slovami, na vyhodnotenie nášho výrazu ∀x(x = y) pri našomohodnotení budeme potrebovať nielen toto jedno ohodnotenie, ale všetky jeho modifikácie, ktoré sa od neho líšiav zväzovanej premennej x (nie však v premennej y). Každé z nich ohodnotí kvantifikovanú časť ∀x(x = y) jednouz hodnôt 1 a 0 (napríklad ak x má hodnotu 3, tak tento výraz bude mať hodnotu 1, ale ak x má hodnotu 4, taktento výraz bude mať hodnotu 0, lebo y má vo všetkých týchto prípadoch predpísanú hodnotu 3) a, ako už vieme,interpretácia symbolu ∀x z nich vezme minimum, a to 0. Takto sme zistili hodnotu výrazu ∀x(x = y). Všimnime sipritom, že predpísaná hodnota premennej x pri tom bola úplne irelevantná.

Tento prístup môžeme zovšeobecniť pre každý výraz tvaru se1 . . . en, kde s je symbol a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs. Na jehovyhodnotenie pri danom ohodnotení premenných budeme potrebovať hodnoty výrazov e1, …, en, z ktorých vznikol,a to vo všetkých ohodnoteniach, ktorá sa od neho líšia maximálne v hodnotách všetkých premenných z p-tice bvt(s),ktoré sú symbolom s zväzované. Každej takejto p-tici zmenených hodnôt je tak priradená istá n-ticu hodnôt výrazov


e1, …, en, a toto priradenie je interpretáciou symbolu s spracované do výslednej hodnoty výrazu se1 . . . en.

D Nech I je interpretácia. Pod I-ohodnotením premenných (alebo krátko I-ohodnotením) budeme rozumieťzobrazenie E množiny Var také, že pre každú premennú v platí

E(v) ∈ ITyp(typ(v)).

Množinu všetkých I-ohodnotení označíme EvVI (”evaluations of variables“ – ohodnotenia premenných).

P Obvykle neuvádzame ohodnotenie všetkých premenných, v takom prípade je hodnota každej neuvedenej pre-mennej rovná defaultnej hodnote typu tejto premennej.

• Ak I je klasická interpretácia, typ(x) = typ(y) = Real a typ(n) = Integer, tak E také, že E(x) = 3,26,E(y) = −4, E(n) = 5 a pre ostatné premenné nadobúda príslušné defaultné hodnoty, je I-ohodnotenie.

D Nech I je interpretácia a E je I-ohodnotenie premenných. Nech v1, …, vp sú rôzne premenné z Var a prekaždé i z {1, . . . , p} platí mi ∈ ITyp(typ(vi)). Potom E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩ bude I-ohodnotenie premennýchdefinované takto:

E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(u) =

{mi, ak u = vi, kde i ∈ {1, . . . , p},E(u), ak u ∈ Varr {v1, . . . , vp}.

• Nech E je I-ohodnotenie z predchádzajúceho príkladu. Potom platí:

I Ey,7,2(x) = 3,26, Ey,7,2(y) = 7,2, Ey,7,2(n) = 5 a ostatné premenné sú ohodnotené defaultne.I E⟨x,y⟩,⟨1,23,7,2⟩(x) = 1,23, E⟨x,y⟩,⟨1,23,7,2⟩(y) = 7,2, E⟨x,y⟩,⟨1,23,7,2⟩(n) = 5 a ostatné premenné sú

ohodnotené defaultne.I E⟨x,y⟩,⟨3,26,−4⟩(x) = 1,23, E⟨x,y⟩,⟨3,26,−4⟩(y) = 7,2, E⟨x,y⟩,⟨3,26,−4⟩(n) = 5 a ostatné premenné sú ohod-

notené defaultne, takže E⟨x,y⟩,⟨3,26,−4⟩ = E.

P I-ohodnotenie E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩ je teda akýmsi prehodnotením I-ohodnotenia E, v ktorom pre každé iz množiny {1, . . . , p} hodnota premennej vi bude mi, a to bez ohľadu na pôvodnú hodnotu E(vi).

P E⟨v1,...,vp⟩,E(v1),...,E(vp) = E.

D Nech I je interpretácia. Definujme indukciou (podľa vety 3.9 funkciu valI z množiny Exp, ktorá každémuvýrazu e priradí zobrazenie z množiny EvVI také, že ak E ∈ EvVI(e), tak (valI(e))(E) ∈ ITyp(typ(e)),takto:

1 Nech v ∈ Var. Ak E ∈ EvVI , tak (valI(v))(E) = E(v).2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs a bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩. Potom ak E ∈ EvVI ,

tak(valI(e))(E) =

= (ISym(s))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩, ⟨(valI(e1))(E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩), . . . , (valI(en))(E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩)⟩⟩ :

⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))}).

P Veľmi často budeme pracovať len s jednou pevnou interpretáciou. V takom prípade zavedieme nasledujúcezjednodušujúce označenie.

D Nech I je interpretácia a E je I-ohodnotenie. Definujme zobrazenie E z množiny Exp vzťahom

E(e) = (valI(e))(E).

P V tejto novej notácii teda dostávame:

1 Nech v ∈ Var. Ak E ∈ EvVI , tak E(v) = E(v).


2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs a bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩. Potom ak E ∈ EvVI ,tak

E(e) = (ISym(s))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩, ⟨E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e1), . . . , E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(en)⟩⟩ :

⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))}).

P Ak v kroku 2 predchádzajúcej definície platí s ∈ Nob, t. j. p = 0, tak

E(e) =

= (ISym(s))({⟨⟨⟩, ⟨E(e1), . . . , E(en)⟩⟩ : ⟨⟩ ∈ {⟨⟩}}) =

= (ISym(s))({⟨⟨⟩, ⟨E(e1))(E), . . . , E(en))(E)⟩⟩}),takže

E(e) = (INob(s))(E(e1), . . . , E(en)).

P Ak v kroku 2 predchádzajúcej definície platí s ∈ Con, t. j. n = 0, tak

E(e) = (ISym(s))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩, ⟨⟩⟩ : ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))}),

takžeE(e) = ICon(s).

• Nech typ(x) = typ(y) = typ(z) = Real a E je I-ohodnotenie premenných v klasickej interpretácii I také, žeE(x) = 3,26, E(y) = −2 a E(z) = 5,1. Potom platí:

I E(2)

= ICon(2),= 2.

I Ez,−0,74(2)

= ICon(2),= 2.

I E(x)

= E(x),= 3,26.

I E(y)

= E(y),= −2.

I E(z)

= E(z),= 5,1.

I Ez,−0,74(x)

= Ez,−0,74(x),= 3,26.

I Ez,−0,74(y)

= Ez,−0,74(y),= −2.

I Ez,−0,74(z)

= Ez,−0,74(z),= −0,74.

I E(2y)

= (INob(·))(E(2), E(y)),= ·(2,−2),


= 2 · (−2),= 4.

I E(x+ 2y)

= (INob(+))(E(x), E(2y)),= +(3,26,−4),= 3,26 + (−4),= −0,74.

I Ez,−0,74(2y)

= (INob(·))(Ez,−0,74(2), Ez,−0,74(y)),= ·(2,−2),= 2 · (−2),= −4.

I Ez,−0,74(x+ 2y)

= (INob(+))(Ez,−0,74(x), Ez,−0,74(2y)),= +(3,26,−4),= 3,26 + (−4),= −0,74.

I E(x+ 2y = z)

= (INob(=))(E(x+ 2y), E(z)),= (INob(=))(−0,74, 5,1),= 0.

I Ez,−0,74(x+ 2y = z)

= (INob(=))(Ez,−0,74(x+ 2y), Ez,−0,74(z)),= (INob(=))(−0,74,−0,74),= 1.

I E(∃z(x+ y = z))

= (ISym(∃z))({⟨⟨5,1⟩, ⟨0⟩⟩, ⟨⟨−0,74⟩, ⟨1⟩⟩, . . . }),= max(Rng({⟨⟨5,1⟩, ⟨0⟩⟩, ⟨⟨−0,74⟩, ⟨1⟩⟩, . . . })),= max({0,1}),= 1.

P Ak v kroku 2 predchádzajúcej definície platí s ∈ Quav = {∃v, ∀v}, kde v ∈ Var, tak p = 1 a n = 1, t. j.e = se1, takže (využijúc vzťah ⟨x⟩ = x) platí

E(e) = (ISym(s))({⟨m,Ev,m(e1)⟩ : m ∈ ITyp(typ(v))}).

P V prípade klasickej interpretácie I máme:

I E(∀ve1) = min{Ev,m(e1) : m ∈ Ityp(v)}),I E(∃ve1) = max{Ev,m(e1) : m ∈ Ityp(v)}).

Je intuitívne zrejmé, a videli sme to už i na viacerých príkladoch, že hodnota výrazu závisí len od ohodnoteniajeho voľných premenných. Inými slovami, ak sa teda dve ohodnotenia na množine jeho voľných premenných nelíšia,výsledné hodnoty výrazu sa pri oboch ohodnoteniach zhodujú. Hovorí o tom nasledujúca veta.

V1 Nech I je interpretácia, e ∈ Exp a E1, E2 ∈ EvVI . Nech pre každé u z fve(e) platí E1(u) = E2(u). PotomE1(e) = E2(e).

Tvrdenie dokážeme pre každé e matematickou indukciou cez Exp (t. j. podľa vety 3.7):

1 Nech v ∈ Var. Potom platí:


E1(v)

= E1(v)(podľa definície E1),

= E2(v)(podľa predpokladu, lebo v ∈ {v} = fve(v)),

= E2(v)(podľa definície E2).

2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs, bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩ a pre každé i z {1, . . . , n}platí indukčný predpoklad pre ei.S1 Nech ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))}) a i ∈ {1, . . . , n}. Potom pre každé

u z fve(ei) platí (E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(u) = (E2)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(u).

Nech u ∈ fve(ei). Rozoberme dva prípady:I Nech u ∈ bvs(s), t. j. u = vq pre nejaké q z {1, . . . , p}.

Potom platí:(E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(u)

= (E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(vq),= mq

(podľa definície (E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩),= (E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(vq)

(podľa definície (E2)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩),= (E2)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(u).

I Nech v ∈ fve(ei)r bvs(s).Potom platí:(E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(u)

= E1(u)(podľa definície (E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩, lebo u /∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}),

= E2(u)(podľa predpokladu vety, lebo podľa predpokladu a definície v ∈ fve(ei)r bvs(s) ⊆ fve(e)),

= (E2)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(u)(podľa definície (E2)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩, lebo u /∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}).

S2 Nech ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))}) a i ∈ {1, . . . , n}. Potom platí(E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(ei) = (E2)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(ei).

Tvrdenie je záverom indukčného predpokladu pre ei z Exp a (E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩ a (E2)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩

z EvVI , keďže jeho podmienka je splnená podľa sublemy 1.Potom platí:E1(e)

= (ISym(s))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩, ⟨(E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e1), . . . , (E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(en)⟩⟩ :

⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))})(podľa definície),

= (ISym(s))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩, ⟨(E2)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e1), . . . , (E2)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(en)⟩⟩ :

⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))})(pre každé i z {1, . . . , n} podľa sublemy 2),

= E2(e)(podľa definície).

• Nech I je klasická interpretácia a E1 a E2 sú I-ohodnotenia také, že platí:

I E1(x) = 3,26, E1(y) = −2, E1(z) = 5,1.I E2(x) = 3,26, E2(y) = −2, E2(z) = −0,74.

Nech e = x+ 2y. Potom platí:

1.6 Štandardná interpretácia 711.6 Štandardná interpretácia 711.6 Štandardná interpretácia 71

I fve(e) = {x, y},I E1(x) = E2(x) = 3,26,I E1(y) = E2(y) = −2.

Platí teda E1 � fve(e) = E2 � fve(e), preto (ako sme už videli) E1(x+ 2y) = E2(x+ 2y) = −0,74.

1.6 Štandardná interpretácia

Už sme videli, že jeden jazyk môže mať viacero interpretácií. Ak je však naším cieľom vyjadrovať pravdivosť, každáformula by mala byť mať nejakú pravdivostnú hodnotu. Typ Boo by teda mal byť interpretovaný nejakou (v naj-jednoduchšom prípade) dvojprvkovou booleovskou algebrou. Na tento dátový typ sú úzko naviazané takmer všetkyzákladné symboly, aj ich interpretácie by bolo vhodné fixovať tak, aby odrážali ich pomenovania. Ďalšou prirodzenoupodmienkou na takúto interpretáciu je, že symboly združené do jednej rodiny sú podobné výzorom preto, že by malimať rovnaký význam (ako sme to videli v prípade kvantifikátorov).

D Nech B je dvojprvková booleovská algebra. Interpretáciu I nazveme B-interpretácia, ak platia nasledujúcepodmienky:

I ITyp(Boo) = sppB.I Pre každé T z Typ platí:

(INob(=T ))(x1, x2) =

{⊤B, ak x1 = x2,⊥B inak.

I ICon(⊤) = ⊤B.I ICon(⊥) = ⊥B.I INob(¬) = ¬B.I INob(∧) = ∧B.I INob(∨) = ∨B.I (INob(→))(x, y) = ¬Bx ∨B y, kde x, y ∈ sppB.I INob(↔) = INob(=Boo).I Pre každé v z Var a V z Fun(ITyp(typ(v)), sppB) platí:

I ((ISym(∃v)))(V ) = max≤B(Rng(V )).I ((ISym(∀v)))(V ) = min≤B(Rng(V )).

I Ak s1, s2 ∈ Sym a fam(s1) = fam(s2), tak ISym(s1) = ISym(s2).

D Interpretáciu I nazveme štandardná, ak existuje booleovská algebra B, že I je B-interpretácia.

D Nech I je štandardná B-interpretácia.

I Prvky ⊤B a ⊥B budeme alternatívne označovať postupne 1I a 0I .I Funkcie minB a maxB budeme alternatívne označovať postupne minI a maxI .

P Spravidla pracujeme naraz s jedinou štandardnou interpretáciou I. V takom prípade budeme na ňu ukazujúciindex vynechávať:

I 1 bude znamenať 1I .I 0 bude znamenať 0I .I min bude znamenať minI .I max bude znamenať maxI .

D Logický výraz typu Boo budeme nazývať formula. Množinu všetkých formúl označíme Frm (”formulae“ –formuly).


V1 Nech I je štandardná B-interpretácia a E je I-ohodnotenie premenných. Potom platí:

I Ak e1 a e2 sú výrazy typu T , tak E((e1 =T e2)) = 1, práve keď E(e1) = E(e2).

I E(⊤) = 1.I E(⊥) = 0.I Ak φ je formula, tak E(¬φ) = 1, práve keď E(φ) = 0.I Ak φ1 a φ2 sú formuly, tak E(φ1 ∧φ2) = 1, práve keď E(φ1) = 1 a E(φ2) = 1.I Ak φ1 a φ2 sú formuly, tak E(φ1 ∨φ2) = 0, práve keď E(φ1) = 0 a E(φ2) = 0.I Ak φ a ψ sú formuly, tak E(φ→ψ) = 0, práve keď E(φ) = 1 a E(ψ) = 0.I Ak φ1 a φ2 sú formuly, tak E(φ1↔φ2) = 1, práve keď E(φ1) = E(φ2).I Ak v ∈ VarT , kde T ∈ Typ, a φ ∈ Frm, tak E(∀vφ) = min({Ev,m(φ) : m ∈ ITyp(T )}).I Ak v ∈ VarT , kde T ∈ Typ, a φ ∈ Frm, tak E(∃vφ) = max({Ev,m(φ) : m ∈ ITyp(T )}).

I E((e1 =T e2)) = 1,

akk (INob(=T ))(E(e1), E(e2)) = 1(podľa definície E),

akk E(φ1) = E(φ2)(lebo I je štandardná interpretácia).

I E(⊤),= ICon(⊤)

(podľa definície E),= 1

(lebo I je štandardná interpretácia).I E(⊥),

= ICon(⊥)(podľa definície E),

= 0(lebo I je štandardná interpretácia).

I E(¬φ) = 1,akk (INob(¬))(E(φ)) = 1

(podľa definície E),akk ¬BE(φ) = 1

(podľa definície E),akk E(φ) = 0

(lebo I je štandardná interpretácia).I E(φ1 ∧φ2) = 1,

akk (INob(∧))(E(φ1), E(φ2)) = 1(podľa definície E),

akk ∧B(E(φ1), E(φ2)) = 1(podľa definície E),

akk E(φ1) ∧B E(φ2) = 1(podľa definície E),

akk E(φ1) = 1 a E(φ2) = 1(lebo I je štandardná interpretácia).

I E(φ1 ∨φ2) = 0,akk (INob(∨))(E(φ1), E(φ2)) = 0

(podľa definície E),akk ∨B(E(φ1), E(φ2)) = 1

(podľa definície E),akk E(φ1) ∨B E(φ2) = 1

(podľa definície E),


akk E(φ1) = 0 a E(φ2) = 0(lebo I je štandardná interpretácia).

I E(φ→ψ) = 0,akk (INob(→))(E(φ), E(ψ)) = 0

(podľa definície E),akk ¬BE(φ) ∨B E(ψ)) = 0

(podľa definície E),akk ¬BE(φ) = 0 a E(ψ)) = 0

(lebo I je štandardná B-interpretácia),akk E(φ) = 1 a E(ψ) = 0

(lebo I je štandardná B-interpretácia).I E(φ1↔φ2) = 1,

akk (INob(↔))(E(φ1), E(φ2)) = 1(podľa definície E),

akk (INob(=Boo))(E(φ1), E(φ2)) = 1(podľa definície E),

akk E(φ1) = E(φ2)(lebo I je štandardná interpretácia).

I E(∀vφ)= (ISym(∀v))({⟨m,Ev,m(φ) : v ∈ Ityp(T )})

(podľa definície E),= min(Rng({⟨m,Ev,m(φ)⟩ : v ∈ Ityp(T )}))

(lebo I je štandardná interpretácia),= min({Ev,m(φ) : v ∈ Ityp(T )}).

I E(∃vφ)= (ISym(∃v))({⟨m,Ev,m(φ) : v ∈ Ityp(T )})

(podľa definície E),= max(Rng({⟨m,Ev,m(φ)⟩ : v ∈ Ityp(T )}))

(lebo I je štandardná interpretácia),= max({Ev,m(φ) : v ∈ Ityp(T )}).

V2 Nech I je štandardná B-interpretácia a E je I-ohodnotenie premenných. Nech x ∈ {1,0} a nech φ1 a φ2 súformuly, také, že E(φ1) = x, práve keď E(φ2) = x. Potom E(φ1↔φ2) = 1.

S1 Nech y je také, že {x, y} = {1,0}. Potom E(φ1) = y, práve keď E(φ2) = y.

E(φ1) = y,akk E(φ1) = x

(vzhľadom na štandardnosť I máme len dve možné hodnoty),akk E(φ2) = x

(podľa predpokladu),akk E(φ2) = y

(vzhľadom na štandardnosť I máme len dve možné hodnoty).

Z predpokladu a sublemy 1 máme, že E(φ1) = E(φ2). Podľa vety 1 už dostávame dokazované tvrdenie.

V3 Nech I je štandardná B-interpretácia a E je I-ohodnotenie premenných. Nech φ a ψ sú formuly. PotomE(φ→ψ) = 1, práve keď E(φ) ≤B E(ψ).

E(φ→ψ) = 1,akk neplatí E(φ→ψ) = 0

(vzhľadom na štandardnosť I máme len dve možné hodnoty),


akk neplatí E(φ) = 1 a E(φ) = 0(podľa vety 1),

akk E(φ) ≤B E(ψ)(vzhľadom na štandardnosť I sú len štyri možné kombinácie hodnôt E(φ) a E(φ) a práve táto nevyhovuje).

V štandardnej interpretácii sa teda základné symboly správajú očakávaným spôsobom. Špeciálne si ešte všimnimebinárne spojky ∧ a ∨, ktoré má vzhľadom na ich symetrickosť zmysel zovšeobecniť na viacero vstupov. Ani tu násneprekvapí závislosť pravdivostnej hodnoty od hodnôt vstupov.

D Definujme matematickou indukciou pre každé n z N (t. j. podľa vety A1.3.2) funkciu Cnjn (”conjunction“ –konjunkcia) z Frmn do Frm takto:

1 Cnj0(⟨⟩) = ⊤.2 I Cnj1(φ1) = φ1.

I Ak n ∈ N+, tak pre každé φ1, …, φn z Frm položme

Cnjn+1(φ1, . . . , φn+1) = Cnjn(φ1, . . . , φn)∧φn+1.

P Inými slovami, ak n ∈ N+, tak Cnjn(φ1, . . . , φn) je formula φ1 ∧ · · · ∧φn (symboly sú pritom aplikovanépostupne zľava doprava, i keď vzhľadom na komutativitu ∧ na tom príliš nezáleží).

D Definujme matematickou indukciou pre každé n z N (t. j. podľa vety A1.3.2) funkciu Dsjn (”disjunction“ –disjunkcia) z Frmn do Frm takto:

1 Dsj0(⟨⟩) = ⊥.2 I Dsj1(φ1) = φ1.

I Ak n ∈ N+, tak pre každé φ1, …, φn z Frm položme

Dsjn+1(φ1, . . . , φn+1) = Dsjn(φ1, . . . , φn)∨φn+1.

P Analogicky, ak n ∈ N+, tak Dsjn(φ1, . . . , φn) je formula φ1 ∨ · · · ∨φn. (aj tu sú symboly ∨ aplikované analo-gicky zľava doprava).

V4 Nech n ∈ N a φ1, …, φn sú formuly. Potom platí:

I fve(Cnjn(φ1, . . . , φn)) = fve(Dsjn(φ1, . . . , φn)) =∪i∈{1,...,n} fve(φi).

I bve(Cnjn(φ1, . . . , φn)) = bve(Dsjn(φ1, . . . , φn)) =∪i∈{1,...,n} bve(φi).

Nech g ∈ {fve, bve} a nech platí jedna z možností:

I s = ⊤, @ = ∧ a pre každé k z N platí F k = Cnjk.I s = ⊥, @ = ∨ a pre každé k z N platí F k = Dsjk.


1 Platí:g(F 0(⟨⟩))= g(s)

(podľa definície F 0),= ∅

(vo všetkých štyroch prípadoch),=

∪i∈{1,...,n} g(φi).

2 I g(F 1(φ1))

= g(φ1)(z definície F 1),

=∪i∈{1,...,1} g(φi).


I Nech n ∈ N+. Potom platí:g(Fn+1(φ1, . . . , φn+1)) = h,= g(Fn(φ1, . . . , φn)@φn+1)

(z definície Fn+1),= g(Fn(φ1, . . . , φn)) ∪ g(φn+1)

(z definície g),=

∪i∈{1,...,n} g(φi) ∪ g(φn+1)

(podľa indukčného predpokladu),=

∪i∈{1,...,n+1} g(φi).

V5 Nech I je interpretácia a E je I-ohodnotenie premenných. Nech n ∈ N a φ1, …, φn sú formuly. Potom platí:

I E(Cnjn(φ1, . . . , φn)) = 1 práve vtedy, keď pre každé i z {1, . . . , n} platí E(φi) = 1.I E(Dsjn(φ1, . . . , φn)) = 0 práve vtedy, keď pre každé i z {1, . . . , n} platí E(φi) = 0.

Nech nastáva jedna z možností:

I Pre každé n z N nech Fn = Cnjn a nech @ = ∧, s = ⊤ a h = 1.I Pre každé n z N nech Fn = Dsjn a nech @ = ∨, s = ⊥ a h = 0.


1 Platí:E(F 0(⟨⟩))= E(s)

(z definície F 0),= h

(podľa vety 1).Ľavá strana (v oboch prípadoch) je teda pravdivá, a keďže aj pravá strana je triviálne splnená, dokazovanáekvivalencia platí.

2 I E(F 1(φ1))

= E(φ1)(z definície F 1),

= h(podľa predpokladu).

Obe strany dokazovanej ekvivalencie sú teda totožné, preto sú triviálne ekvivalentné.I Nech n ∈ N+. Potom platí:E(Fn+1(e1, . . . , en+1)) = h,akk E(Fn(e1, . . . , en)@φn+1) = h

(z definície Fn+1),akk E(Fn(e1, . . . , en)) = h a E(φn+1) = h

(podľa vety 1),akk pre každé i z {1, . . . , n} platí E(φi) = h a E(φn+1) = h

(z indukčného predpokladu),akk pre každé i z {1, . . . , n+ 1} platí E(φi) = h.

Vidíme teda, že iterovaná konjukcia súhlasí so správaním veľkého kvantifiktora, kým disjunkcia napodobňuje malý.

Pokiaľ ide o kvantifikátory, tie, ako vieme, viažu jednu premennú. Aj ich však môžeme ľahko zovšeobecniť tak, abybolo možné kvantifikovať viac premenných ”naraz“. Ani tu nás správanie takého zovšeobecnenia neprekvapí. Navyšedokážeme ešte dve syntaktické vlastnosti, ktoré nám budú užitočné neskôr.

P Namiesto ∀vφ budeme písať klasicky ∀vφ a namiesto ∃vφ zasa ∃vφ.


P Pripomeňme, že (podľa vety 2.2) je Var abeceda, podľa vety A4.2.4 teda môžeme definovať funkcie indukcioucez Var∗.

D Definujme indukciou cez Var∗ (t. j. podľa vety A4.2.4) zobrazenia All⟨v1,...,vp⟩ (”all“ – všetky) z Frm do Frmtakto:

1 Ak φ ∈ Frm, tak All⟨⟩(φ) = φ.2 Nech ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ Varp a vp+1 ∈ Var. Potom ak φ ∈ Frm, tak All⟨v1,...,vp+1⟩(φ) = ∀vp+1

All⟨v1,...,vp⟩(φ).

P Platí teda All⟨v1,...,vp⟩(φ) = ∀vp . . .∀v1φ.

D Definujme indukciou cez Var∗ (t. j. podľa vety A4.2.4) zobrazenia Exi⟨v1,...,vp⟩ (”exist“ – existujú) z Frm doFrm takto:

1 Ak φ ∈ Frm, tak Exi⟨⟩(φ) = φ.2 Nech ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ Varp a vp+1 ∈ Var. Potom ak φ ∈ Frm, tak Exi⟨v1,...,vp+1⟩(φ) = ∃vp+1Exi

⟨v1,...,vp⟩(φ).

P Platí teda Exi⟨v1,...,vp⟩(φ) = ∃vp . . . ∃v1φ.

V6 Nech φ je formula, p ∈ N a v1, …, vp sú rôzne premenné. Nech I je štandardná interpretácia a E je I-ohodnotenie premenných. Nech pre každé i z {1, . . . , p} platí Ti = typ(vi). Potom platí:

I E(All⟨v1,...,vp⟩(φ)) = min{E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(φ) : ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(T1)× · · · × ITyp(Tp)}.I E(Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)) = max{E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(φ) : ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(T1)× · · · × ITyp(Tp)}.


I Ak u1, …, uk sú premenné, tak F ⟨u1,...,uk⟩ = All⟨u1,...,uk⟩ a M = min.I Ak u1, …, uk sú premenné, tak F ⟨u1,...,uk⟩ = Exi⟨u1,...,uk⟩ a M = max.

Tvrdenie dokážeme pre každú ticu ⟨v1, . . . , vp⟩ matematickou indukciou cez Var∗ (t. j. podľa vety A4.1.3) pripevnej štandardnej interpretácii I pre všetky I-ohodnotenia:

1 Nech E je I-ohodnotenie. Potom platí:E(F ⟨⟩(φ)),= E(φ)

(podľa definície F ⟨⟩),= E⟨⟩(φ)

(lebo E⟨⟩ = E),=M({E⟨⟩(φ) : ⟨⟩ ∈ {⟨⟩}})

(lebo táto množina je jednoprvková).2 Nech ⟨v1, . . . , vp+1⟩ ∈ Var∗, kde p ∈ N a v1, …, vp+1 sú rôzne premenné, pričom tvrdenie platí pre⟨v1, . . . , vp⟩.S1 Nech ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(T1)× · · · × ITyp(Tp) a E je I-ohodnotenie. Potom

(Evp+1,mp+1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩ = E⟨v1,...,vp+1⟩,⟨m1,...,mp+1⟩.

Nech u ∈ Var. Rozoberme tri prípady:I Nech u = vp+1.

Potom platí:(Evp+1,mp+1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(u)

= (Evp+1,mp+1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(vp+1),= Evp+1,mp+1(vp+1), podľa definície (Evp+1,mp+1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩, lebo vp+1 /∈ {v1, . . . , vp+1},= mp+1

(podľa definície (Evp+1,mp+1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩),= E⟨v1,...,vp+1⟩,⟨m1,...,mp+1⟩(vp+1)

(podľa definície E⟨v1,...,vp+1⟩,⟨m1,...,mp+1⟩),


= E⟨v1,...,vp+1⟩,⟨m1,...,mp+1⟩(u).I Nech u = vq pre nejaké q z {1, . . . , p}.

Potom platí:(Evp+1,mp+1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(u)

= (Evp+1,mp+1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(vq),= mq

(podľa definície (Evp+1,mp+1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩),= E⟨v1,...,vp+1⟩,⟨m1,...,mp+1⟩(vq)

(podľa definície E⟨v1,...,vp+1⟩,⟨m1,...,mp+1⟩),= E⟨v1,...,vp+1⟩,⟨m1,...,mp+1⟩(u).

I Nech u /∈ {v1, . . . , vp+1}.Potom platí:(Evp+1,mp+1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(u)

= Evp+1,mp+1(u), podľa definície (Evp+1,mp+1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩, lebo u /∈ {v1, . . . , vp},= E(u)

(podľa definície (Evp+1,mp+1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩, lebo u = vp+1),= E⟨v1,...,vp+1⟩,⟨m1,...,mp+1⟩(u)

(podľa definície E⟨v1,...,vp+1⟩,⟨m1,...,mp+1⟩, lebo u /∈ {v1, . . . , vp+1}).Nech vo vyššie uvedených možnostiach postupne navyše platí:I # = ∀vp+1 .I # = ∃vp+1 .

Nech pre každé i z {1, . . . , p+ 1} platí Ti = typ(pi). Nech E je I-ohodnotenie. Potom platí:E(F ⟨v1,...,vp+1⟩(φ)),= E(#F ⟨v1,...,vp⟩(φ))

(v oboch prípadoch podľa definície F ⟨v1,...,vp+1⟩),=M({Evp+1,mp+1(F

⟨v1,...,vp⟩(φ)) : mp+1 ∈ ITyp(Tp+1)})(podľa definície E),

=M({M({(Evp+1,mp+1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(φ) : ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(T1)× · · · × ITyp(Tp)}) :mp+1 ∈ ITyp(typ(vp+1))})(podľa indukčného predpokladu pre ticu ⟨v1, . . . , vp⟩ z TDEVar pre I-ohodnotenie Evp+1,mp+1),

=M({(Evp+1,mp+1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(φ) :

⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(T1)× · · · × ITyp(Tp) ∧mp+1 ∈ ITyp(Tp+1)})(lebo v oboch prípadoch M({M({xi,j : j ∈ J}) : i ∈ I}) =M({xi,j : i ∈ I ∧ j ∈ J})),

=M({(Evp+1,mp+1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(φ) : ⟨m1, . . . ,mp+1⟩ ∈ ITyp(T1)× · · · × ITyp(Tp+1)})(ak p > 0, tak podľa definície karteziánskeho súčinu, a ak p = 0, tak vynecháme triviálne platnú prvúčasť konjunkcie, a to ⟨⟩ ∈ {⟨⟩}),

=M({Ev1,m1,...,vp+1,mp+1(φ) : ⟨m1, . . . ,mp+1⟩ ∈ ITyp(T1)× · · · × ITyp(Tp+1)})

(podľa sublemy 1).

V7 Nech φ ∈ Frm, p ∈ N a ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ Varp. Potom platí:

I fve(All⟨v1,...,vp⟩(φ)) = fve(Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)) = fve(φ)r {v1, . . . , vp}.I bve(All⟨v1,...,vp⟩(φ)) = bve(Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)) = bve(φ) ∪ {v1, . . . , vp}.


I Ak u1, …, uk sú premenné, tak F ⟨u1,...,uk⟩ = All⟨u1,...,uk⟩.I Ak u1, …, uk sú premenné, tak F ⟨u1,...,uk⟩ = Exi⟨u1,...,uk⟩.

Tvrdenie dokážeme (pri pevných w1, …, wq z Var) pre každú ticu ⟨v1, . . . , vp⟩ matematickou indukciou cezVar∗ (t. j. podľa vety A4.1.3):

1 Pre každú formulu ψ platí (v oboch prípadoch) F ⟨⟩(ψ) = ψ, tvrdenie pre ⟨⟩ (kedy p = 0) preto platítriviálne.

1.7 Teórie a ich modely 781.7 Teórie a ich modely 781.7 Teórie a ich modely 78

2 Nech ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ Varp a vp+1 ∈ Var, pričom tvrdenie platí pre ⟨v1, . . . , vp⟩. Nech vo vyššie uvedenýchmožnostiach postupne navyše platí:I # = ∀vp+1 , ⊕ = ∩ a G = fve.I # = ∃vp+1 , ⊕ = r a G = bve.

Potom platí:G(F ⟨v1,...,vp+1⟩(φ))

= G(#F ⟨v1,...,vp⟩(φ))(podľa definície F ⟨v1,...,vp+1⟩),

= G(F ⟨v1,...,vp⟩(φ))⊕ {vp+1}(v oboch prípadoch podľa definície G),

= (G(φ)⊕ {v1, . . . , vp})⊕ {vp+1}(podľa indukčného predpokladu),

= G(φ)⊕ ({v1, . . . , vp} ∪ {vp+1})(pre obe ⊕ platí (A⊕B)⊕ C = A⊕ (B ∪ C)).

= G(φ)⊕ {v1, . . . , vp+1}.

1.7 Teórie a ich modely

Vieme už, že hodnota výrazu vo všeobecnosti závisí od interpretácie a v jej rámci od ohodnotenia premenných.Špeciálne to platí pre pravdivostnú hodnotu formuly, tú má však zmysel uvažovať len v štandardných interpretáciách.Pravdivosť formúl tak môžeme odstupňovať takto:

I Za najslabšu pravdivosť budeme považovať pravdivostnú hodnotu 1 za danej interpretácie pri konkrétnomohodnotení premenných. Napríklad ak má za klasickej interpretácie premenná x hodnotu 3 a premenná yhodnotu 4, tak formula x < y má hodnotu 1, je teda v tomto zmysle pravdivá. Jej pravdivosť je však silnezávislá od ohodnotenia premenných –stačí hodnotu premennej x trebárs na 5, a pravdivosť formuly sa stratí.

I Príkladom stabilnejším príkladom pravdivosti je trebárs formula x+ y = y + x, lebo jej pravdivostná hodnota(pri klasickej interpretácii) nezávisí od konkrétneho ohodnotenia premenných. Symbol + by sme však pokojnemohli interpretovať aj inak, a to nejakou nekomutatívnou operáciou. V takom prípade by sa pravdivosť tejtoformuly mohla stratiť.

I Existujú však formuly, ktorých pravdivosť nezávisí ani od interpretácie (pohybujeme sa, samozrejme, len v rámcištandardných). Tie sa nazývajú tautológie. Azda najjednoduchším príkladom je tu formula x = x.

Pre nás bude zaujímavá hlavne pravdivosť druhého typu. Každá matematická teória hodná tohto prívlastku totižfunguje tak, že najprv postuluje niekoľko svojich axióm – formúl, ktoré chce považovať za pravdivé (dokonca juz formálneho hľadiska môžeme s ich množinou stotožniť). Tak vlastne nepriamo určuje tie interpretácie, v ktorýchvšetky tieto axiómy (pri každom ohodnotení premenných) naozaj platia. Takéto interpretácie potom nazývame modelytejto teórie. Matematická teória tým dobrovoľne zužuje predmet svojho záujmu, pretože interpretácie, v ktorýchniektorá jej axióma nemusí platiť, ju vôbec nezaujímajú. Odmenou sa toto samoobmedzenie je dôkladnejšia znalosťtakto vybraných modelov.

Za zmienku určite stojí kontraintuitívnosť použitia slova model. Pod modelovaním totiž obvykle rozumieme formálnypopis nejakej (hoci matematickej) reality, čo v našom prípade zodpovedá skôr jazyku než jeho interpretácii. V termi-nológii logiky je to však naopak – ako keby bola existencia jazyka primárna a jeho interpretácie len potvrdzovali jehozmysluplnosť.

D Nech I je štandardná interpretácia a φ ∈ Frm. Ak pre každé E z FEVI(φ) platí E(φ) = 1, budeme hovoriť,že formula φ je I-pravdivá a písať I |=φ.

V1 Nech I je štandardná interpretácia a φ a ψ sú formuly. Ak I |=φ a I |=φ→ψ, tak I |=ψ.

Nech E je ľubovoľné I-ohodnotenie premenných. Potom postupne platí:


E(φ) = 1 a E(φ→ψ) = 1(podľa predpokladov I |=φ a I |=φ→ψ),

E(φ) = 1 a zároveň E(φ) = 0 alebo E(ψ) = 1(podľa definície E),

E(φ) = 1 a E(φ) = 0 alebo E(φ) = 1 a E(ψ) = 1,1 = 0 alebo E(φ) = 1 a E(ψ) = 1

(tranzitivita rovnosti),E(φ) = 1 a E(ψ) = 1

(prvý prípad nenastane, lebo je v rozpore so štandardnosťou B),E(ψ) = 1.

Z toho už vyplýva požadované tvrdenie.

V2 Nech I je štandardná interpretácia, φ je formula a v1, …, vp rôzne premenné. Potom

I |=φ práve vtedy, keď I |=All⟨v1,...,vp⟩(φ).

→→→→→→→→→ Nech E je I-ohodnotenie premenných. Potom postupne platí:z ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp)) vyplýva E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(φ) = 1I

(lebo I |=φ a E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩ ∈ EvVI),min{E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(φ) : ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))} = 1I ,E(All⟨v1,...,vp⟩(φ)) = 1I

(podľa vety 6.6).←←←←←←←←← Nech E je I-ohodnotenie premenných. Potom postupne platí:

E(All⟨v1,...,vp⟩(φ)) = 1I

(lebo I |=All⟨v1,...,vp⟩(φ) a E ∈ EvVI),min{E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(φ) : ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))} = 1I

(podľa vety 6.6),z ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp)), vyplýva E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(φ) = 1I ,E(φ) = 1I

(je to špeciálny prípad, keď pre každé i z {1, . . . , p} platí mi = E(vi) ∈ ITyp(typ(vi))).

D Pod teóriou budeme rozumieť ľubovoľnú množinu formúl. Tieto formuly potom nazývame jej axiómami .

• Teória grúp (už sme hovorili o jej jazyku) má takéto axiómy:

I x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z (asociativita ◦),I x ◦ e = x a x = x ◦ e (neutralita e),I ∃y((x ◦ y = e)∧ (y ◦x = e)) (existencia inverzného prvku).

D Štandardnú interpretáciu I nazývame modelom teórie T (alebo kratšie T -modelom), ak pre ľubovoľnú formuluφ z T platí I |=φ.

P Špeciálne, ∅-modelom je ľubovoľná štandardná interpretácia.

• Modelom teórie grúp je (v už diskutovanom voľnom chápaní) ľubovoľná grupa. Pri nej je jazyk teórie grúpintrerpetovaný tak, aby axiómy teórie grúp boli v tejto interpretácii pravdivé.Ukážme si dve takéto (štandardné) interpretácie:

I Nech I je definovaná takto:I ITyp(Group) = Z,I IUnd(Group) = 0,I INob(◦) = +,I ICon(e) = 0.


Ak E je I-ohodnotenie premenných, tak:I E(e) = 0,I pre ľubovoľné výrazy e1 a e2 typu Group platí E(e1 ◦ e2) = E(e1) + E(e2),I pre ľubovoľné výrazy e1 a e2 typu Group platí E(e1 = e2) = 1, práve keď E(e1) = E(e2).

Platí teda:I E(x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z) = 1,

akk E(x ◦ (y ◦ z)) = E((x ◦ y) ◦ z),akk E(x) + E(y ◦ z) = E(x ◦ y) + E(z),akk E(x) + (E(y) + E(z)) = (E(x) + E(y)) + E(z),čo platí, lebo + je asociatívne.

I E(x ◦ e = x) = 1,akk E(x ◦ e) = E(x),akk E(x) + E(e) = E(x),akk E(x) + 0 = E(x),akk E(x) = E(x),čo triviálne platí.

I E(e ◦x = x) = 1,akk E(e ◦x) = E(x),akk E(e) + E(x) = E(x),akk 0 + E(x) = E(x),akk E(x) = E(x),čo triviálne platí.

I E(∃y((x ◦ y = e)∧ (y ◦x = e))) = 1,akk max{Ey,m(((x ◦ y = e)∧ (y ◦x = e))) : m ∈ ITyp(Group)} = 1,akk max{Ey,m((x ◦ y = e)∧ (y ◦x = e)) : m ∈ Z} = 1,akk existuje m zo Z, že Ey,m((x ◦ y = e)∧ (y ◦x = e)) = 1,akk existuje m zo Z, že Ey,m((x ◦ y = e)) = 1 a Ey,m((x ◦ y = e)) = 1,akk existuje m zo Z, že Ey,m(x ◦ y) = Ey,m(e) a Ey,m(y ◦x) = Ey,m(e),akk existuje m zo Z, že Ey,m(x) + Ey,m(y) = 0 a Ey,m(y) + Ey,m(x) = 0,akk existuje m zo Z, že Ey,m(x) + Ey,m(y) = 0 a Ey,m(y) + Ey,m(x) = 0,akk existuje m zo Z, že E(x) +m = 0 a m+ E(x) = 0,čo je pravda, lebo stačí za m zvoliť celé číslo −E(x).

V interpretácii I teda platia všetky axiómy teórie grúp, je to preto jej model.I Nech J je definovaná takto:

I J Typ(Group) je množina bijekcií 3-prvkovej množiny,I IUnd(Group) je identické zobrazenie tejto množiny,I J Nob(◦) je skladanie týchto funkcií,I J Con(e) je identické zobrazenie tejto množiny.

Že aj J je model teórie grúp, by sme ukázali veľmi podobne, zdôvodnenia na niektorých miestach bysme však museli mierne pozmeniť: argmentovali by sme komutativitou skladania a neutralitou identickéhozobrazenia.

D Budeme hovoriť, že formula φ je dôsledkom teórie T (alebo krátko T -dôsledkom) a značíme T |=φ, ak prekaždý T -model I platí I |=φ.

• Ešte raz sa vráťme k teórii grúp:

I Formula ((x ◦ y = e∧ y ◦x = e)∧ (x ◦ z = e∧ z ◦x = e))→ y = z vyjadrujúca jedinosť inverzného prvkuje tautologickým dôsledkom teórie grúp, pretože platí v každej grupe.

I Formula x ◦ y = y ◦x (komutativita operácie ◦) nie je tautologickým dôsledkom teórie grúp, pretoženeplatí v každej grupe. Kontrapríkladom je vyššie uvedená grupa bijekcií 3-prvkovej množiny.


I Ale ani jej negácia ¬(x ◦ y = y ◦x) nie je tautologickým dôsledkom teórie grúp, pretože neplatí napríkladvo vyššie uvedenej grupe celých čísel.

V3 Nech T je teória a φ a ψ sú formuly. Ak T |=φ a T |=φ→ψ, tak T |=ψ.

Postupne platí:

T |=φ a T |=φ→ψpredpoklady vety,pre každý T -model I platí I |=φ a pre každý T -model I platí I |=φ→ψ

(podľa definície T -dôsledku),akk pre každý T -model I platí I |=φ a I |=φ→ψ

(reformulácia),akk pre každý T -model I platí I |=ψ

(podľa vety 1),T |=ψ

(podľa definície T -dôsledku).

V4 Nech T je teória, φ je formula a v1, …, vp rôzne premenné. Potom

T |=φ práve vtedy, keď T |=All⟨v1,...,vp⟩(φ).

T |=φ,akk pre každý T -model I platí I |=φ

(podľa definície T -dôsledku),akk pre každý T -model I platí I |=All⟨v1,...,vp⟩(φ)

(podľa vety 2),T |=All⟨v1,...,vp⟩(φ)

(podľa definície T -dôsledku).

V5 Nech T je teória a φ ∈ T . Potom T |=φ.

Nech I je T -model. Keďže φ ∈ T , podľa definície T -modelu platí I |=φ. To však podľa definície znamená, žeT |=φ.

V6 Nech T a S sú teórie také, že pre každé φ z S platí T |=φ. Potom každý T -model je aj S-modelom.

Nech I je T -model a φ je z S. Potom podľa predpokladu platí T |=φ, z čoho podľa definície T -dôsledkudostávame I |=φ. To však znamená, že I je S-model.

V7 Nech T a S sú teórie také, že pre každé ψ z S platí T |=ψ. Nech φ je formula. Potom ak S |=φ, tak T |=φ.

Postupne platí:

S |=φ(predpoklad),

pre každý S-model I platí I |=φ(podľa definície),

pre každý T -model I platí I |=φ(podľa vety 6),

T |=φ(podľa definície).

V8 Nech T a S sú teórie také, že S ⊆ T . Potom každý T -model je aj S-modelom.

Pre každé φ z S podľa predpokladu platí aj φ ∈ T , podľa vety 5 potom T |=φ. Tým je však splnený predpokladvety 6, podľa ktorej už dostávame požadované tvrdenie.

1.8 Substitúcia 821.8 Substitúcia 821.8 Substitúcia 82

V9 Nech T a S sú teórie také, že S ⊆ T , a nech φ je formula. Potom ak S |=φ, tak aj T |=φ.

Pre každé ψ z S podľa predpokladu platí aj ψ ∈ T , podľa vety 5 teda T |=ψ. Tým je však splnený predpokladvety 7, podľa ktorej už dostávame požadované tvrdenie.

D Nech φ je formula. Ak pre každú štandardnú interpretáciu I platí I |=φ, budeme hovoriť, že formula φ jetautológia a písať |=φ.

• φ↔φ je (pre ľubovoľnú formulu φ) tautológia.

• (φ∧ψ)→φ je (pre ľubovoľnú formuly φ a ψ) tautológia.

• x = x je tautológia.

• x = y→ y = x je tautológia.

P Uvedomme si, že ∅ |=φ vlastne znamená, že pre ∅-model, t. j. každú štandardnú interpretáciu, I platí I |=φ,čiže to, že φ je tautológia. Takže |=φ je vlastne ∅ |=φ, t. j. tautológie sú práve ∅-dôsledky.

1.8 Substitúcia

Predstavme si, že máme vyriešiť takúto sadu úloh:

Dokážte, že platia tieto rovnosti:

a (sinα+ sinβ)4 − (sinα− sinβ)4 = 8 sinα sinβ((sinα)2 + (sinβ)2).b (sinα+ cosβ)4 − (sinα− cosβ)4 = 8 sinα cosβ((sinα)2 + (cosβ)2).c (cosα+ sinβ)4 − (cosα− sinβ)4 = 8 cosα sinβ((cosα)2 + (sinβ)2).b (cosα+ cosβ)4 − (cosα− cosβ)4 = 8 cosα cosβ((cosα)2 + (cosβ)2).

Riešenie je pomerne priamočiare, stačí ľavé strany roznásobiť a upraviť:

a (sinα+ sinβ)4 − (sinα− sinβ)4

= ((sinα)4 + 4(sinα)3 sinβ + 6(sinα)2(sinβ)2 + 4 sinα(sinβ)3 + (sinβ)4)−− ((sinα)4 + 4(sinα)3 sinβ + 6(sinα)2(sinβ)2 + 4 sinα(sinβ)3 + (sinβ)4),

= 8(sinα)3 sinβ + 8 sinα(sinβ)3 ,= 8 sinα sinβ((sinα)2 + (sinβ)2) .

b (sinα+ cosβ)4 − (sinα− cosβ)4

= ((sinα)4 + 4(sinα)3 cosβ + 6(sinα)2(cosβ)2 + 4 sinα(cosβ)3 + (cosβ)4)−− ((sinα)4 + 4(sinα)3 cosβ + 6(sinα)2(cosβ)2 + 4 sinα(cosβ)3 + (cosβ)4),

= 8(sinα)3 cosβ + 8 sinα(cosβ)3 ,= 8 sinα cosβ((sinα)2 + (cosβ)2) .

c (cosα+ sinβ)4 − (cosα− sinβ)4

= ((cosα)4 + 4(cosα)3 sinβ + 6(cosα)2(sinβ)2 + 4 cosα(sinβ)3 + (sinβ)4)−− ((cosα)4 + 4(cosα)3 sinβ + 6(cosα)2(sinβ)2 + 4 cosα(sinβ)3 + (sinβ)4),

= 8(cosα)3 sinβ + 8 cosα(sinβ)3 ,= 8 cosα sinβ((cosα)2 + (sinβ)2) .

d (cosα+ cosβ)4 − (cosα− cosβ)4

= ((cosα)4 + 4(cosα)3 cosβ + 6(cosα)2(cosβ)2 + 4 cosα(cosβ)3 + (cosβ)4)−− ((cosα)4 + 4(cosα)3 cosβ + 6(cosα)2(cosβ)2 + 4 cosα(cosβ)3 + (cosβ)4),

= 8(cosα)3 cosβ + 8 cosα(cosβ)3 ,= 8 cosα cosβ((cosα)2 + (cosβ)2) .


Netreba azda veľa pozorovacieho talentu, aby sme si všimli, že použité úpravy boli vo všetkých štyroch častiachv podstate rovnaké, vždy to bola práca s nejakými dvoma výrazmi a ich vnútorná štruktúra ani iné vlastnosti náspritom vôbec nezaujímali. Ak by sme tieto dve ”čierne skrinky“ vo všetkých štyroch častiach označili x a y (čo súvlastne premenné typu Real), naše úpravy boli takéto:

(x+ y)4 − (x− y)4

= (x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4)− (x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4),

= 8x3y + 8xy3,

= 8xy(x2 + y2).

Dokázali sme tak vlastne úplne všeobecný vzťah (x+ y)4 − (x− y)4 = 8xy(x2 + y2). Všetky štyri vzťahy zo zadaniaúlohy z neho vzniknú tak, že za premenné x a y dosadíme (čiže substituujeme) príslušné výrazy (napríklad v prvomprípade sinα, resp. sinβ). Tieto štyri vzťahy sú teda špeciálnymi prípadmi nášho zovšeobecnenia, a preto ich užnetreba dokazovať osobitne. Tento prístup má tri veľké výhody:

I Dôkaz zovšeobecneného tvrdenia je opticky omnoho kratší a prehľadnejší.

I Máme istotu, že v prípadnom dôkaze našich štyroch rovnostiach netreba využiť žiadne špecifické vlastnostifunkcií symbolizovaných symbolmi sin či cos.

I Ako bonus sme získali platnosť všetkých ďalších inštancií nášho všeobecného tvrdenia, ktoré s pôvodnou úlo-hou vôbec nesúvisia, ako napríklad ((x+ 1) + 2y)4 − ((x+ 1)− 2y)4 = 8 · (x+ 1) · 2y((x+ 1)2 + (2y)2) či(a+ 3)4 − (a− 3)4 = 8(a+ 3) · 3(a2 + 32).

Takýto proces je teda kľúčom k abstraktnému mysleniu: Namiesto udržiavania mnohých špecifických prípadov totižstačí poznať ich spoločné zovšeobecnenie, každý z nich potom možno z neho dostať vhodnou substitúciou. Myšlienkovýsvet sa tak o niečo sprehľadní a vyčistí.

Substitúcia je preto aj podstatnou črtou dokazovania matematických tvrdení. Pri ňom sa totiž často odvolávamena platnosť už predtým (často iniekým iným dokázaných) viet. Tie sú však takmer vždy formulované všeobecnejšiealebo s inými premennými, než by sme potrebovali. Napriek tomu sa ich pri našich dôkazoch nerozpakujeme použiť,pretože sa oprávnene domnievame, že keď platia vo všeobecnosti, platia aj v našom špeciálnom prípade.

Vieme napríklad, že platí komutativita sčítania reálnych čísel, t. j. x+ y = y + x. Tento zápis obsahuje premennépráve preto, aby sme za ne v prípade potreby mohli substituovať ľubovoľné iné výrazy (samozrejme, správneho typu).Tak môžeme dostať napríklad rovnosti 3 + 2 = 2 + 3, 2,5 + 3,5 = 3,5 + 2,5 či a+ 2 = 2 + a, pritom však mámezaručenú platnosť každej z nich. Všeobecnosť tohto zákona znamená, že bude platiť po každej takejto substitúcii.

D Substitúciou nazveme ľubovoľné zobrazenie σ z množiny Var do množiny Exp také, že pre každé v z Var platíσ(v) ∈ Exptyp(v).Množinu všetkých substitúcií budeme označovať Sbs (”substitutions“ – substitúcie).

• Nech typ(x) = typ(y) = Real a typ(n) = Integer. Nech Dom(σ) = Var a nech platí:

I σ(x) = 2,1,I σ(y) = 5,5

I σ(n) = 125.I Pre ostatné v z Var nech σ(v) = v.

Potom σ je substitúcia.

D Definujme funkciu Ide (”identity“ – identita) zvanú identita z množiny Var vzťahom Ide(v) = v.

P Keďže pre každé v z Var platí Ide(v) = v ∈ Exptyp(v), Ide je substitúcia.


D Nech σ je substitúcia, p ∈ N, ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ TDEVar a pre každé i z {1, . . . , p} nech fi ∈ Exptyp(vi). Definujmesubstitúciu σ⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩ vzťahom

σ⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(u) =

{fi, ak u = vi, kde i ∈ {1, . . . , p},σ(u), ak u /∈ {v1, . . . , vp}.

• Nech σ je substitúcia z predchádzajúceho príkladu. Potom platí:

I σ⟨x,n⟩,⟨3,2,4⟩(x) = 3,2.I σ⟨x,n⟩,⟨3,2,4⟩(y) = σ(y) = 5,5.I σ⟨x,n⟩,⟨3,2,4⟩(n) = 4.I Pre ostatné v z Var platí σ⟨x,n⟩,⟨3,2,4⟩(v) = σ(v).

Substitúciu za premenné už teda máme, teraz by ju mali rozšíriť aj na výrazy tvaru se1 . . . en. Nech σ je substitúciataká, že σ(x) = a+ 3,1 a σ(y) = b− 4.

V prípade nezväzujúceho symbolu s je situácia jednoduchá – aplikácia substitúcie σ na tento výraz bude výraztvaru sf1 . . . fn, pričom každý výraz fi vznikne aplikáciou σ na príslušné ei. Substitúcia σ teda ”preskočí“ symbol sa distribuuje sa na všetky výrazy ei. Napríklad σ aplikovaná výraz y−x bude (b− 4)− (a+ 3,1), na výraz x(y − x)potom (a+ 3,1)((b− 4)− (a+ 3,1)). a na výraz x(y − x) + y potom (a+ 3,1)((b− 4)− (a+ 3,1)) + (b− 4).

Ako však bude vyzerať aplikácia substitúcie v prípade zväzujúceho symbolu? V prípade výrazu ∃x(x = y) to zrejmenebude ∃(a+ 3,1)(a+ 3,1 = b− 4), čo je syntaktický nezmysel, pretože kvantifikovať možno (a teda parametramikvantifikátora môžu byť) len premenné. Ale ani ∃x(a+ 3,1 = b− 4) (hoci to už je aspoň syntakticky v poriadku)nebude dobré riešenie, lebo to obsahovo nie je špeciálny prípad pôvodného tvrdenia (už len preto nie, že pôvodnáformula ∃x(x = y) je pravdivá, ale táto nemusí byť). Najrozumnejšie preto bude zväzovanú premennú x vôbecnemeniť, čo znamená, že substitúciu σ treba mierne modifikovať – tak, aby rešpektovala pôvodnou substitúciou σnavrhovanú hodnotu premennej y, ale pri premennej x tento návrh ignorovala. Vznikne tým výsledný výraz ∃x(x =b− 4).

Takto budeme postupovať i pre všetky (zväzujúce i nezväzujúce) symboly. Aplikovať ľubovoľnú substitúciu na výrazse1 . . . en znamená nezmeniť symbol s a na výrazy e1, …, en postupne aplikovať takú modifikáciu tejto substitúcie,ktorá nemení žiadnu premennú zväzovanú symbolom s.

Substitúciu si možno predstaviť i graficky. Tu máme stromy výrazov σ(x) a σ(y):

a 3,1

+

b 4

−

Tu je vľavo strom výrazu x(y − x) + y a vpravo strom výrazu (a+ 3,1)((b− 4)− (a+ 3,1)) + (b− 4), ktorý z nehovznikol aplikáciou σ. V ňom, ako vidieť, je každý uzol s premennou nahradený príslušným stromom:


x

y x

−

· x

+

a 3,1

+

b 4

−

a 3,1

+

−

·

b 4

−

+

A tu je vľavo strom formuly ∃x(x = y) a vpravo strom výrazu ∃x(x = b− 4). po aplikácii σ Tu je príslušnýmstromom nahradená len premenná y:

x y

=

∃x

x

b 4

−

=

∃x

D Definujme indukciou cez Exp (t. j. podľa vety 3.9) funkciu sie (”substitution into the expression“ – substitúciado výrazu) z množiny Exp, ktorá každému výrazu e priradí zobrazenie z množiny Sbs do množiny Exptyp(e),takto:

1 Nech v ∈ Var. Ak σ ∈ Sbs, tak(sie(v))(σ) = σ(v).

2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs a bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩. Potom ak σ ∈ Sbs, tak

(sie(e))(σ) = s((sie(e1))(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩)) . . . ((sie(en))(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩)).


D Nech σ ∈ Sbs. Definujme funkciu σ z Exp takto: Ak e ∈ Exp, tak σ(e) = (sie(e))(σ).

P V tejto notácii tak máme:

1 Nech v ∈ Var. Ak σ ∈ Sbs, takσ(v) = σ(v).

2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs a bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩. Potom ak σ ∈ Sbs, tak

σ(e) = sσ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(e1) . . . σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(en).

P Špeciálne, ak s ∈ Nob, t. j. p = 0, tak

σ(e) = sσ(e1) . . . σ(en).

• σ(e1 + e2) = σ(e1)+σ(e2).

• σ(e1 ∧ e2) = σ(e1)∧σ(e2).

P Špeciálne, ak s ∈ Con, t. j. n = 0, takσ(s) = s.

• σ(125) = 125.

P Špeciálne, ak s ∈ {∃v, ∀v}, kde v ∈ Var, tak p = 1 a n = 1, a teda

σ(e) = sσv,v(e1).

Za zväzovanú premennú v sa teda nič nedosadzuje.

• Ak σ(x) = a+ 3,1 a σ(y) = b− 4, tak platí:

σ(∃x(x = y))

= ∃xσx,x((x = y)),= ∃x(σx,x(x) = σx,x(y)),= ∃x(σx,x(x) = σx,x(y)),= ∃x(x = σ(y)),= ∃x(x = b− 4),

Podľa očakávania sa teda substituovalo len za voľnú premennú y, zväzovaná premenná x ostala nezmenená.Jej pôvodná hodnota σ(x) je teda úplne irelevantná.

V1 Ak e je výraz, tak Ide(e) = e.

Tvrdenie dokážeme matematickou indukciou cez Exp (t. j. podľa vety 3.7):

1 Nech v ∈ Var. Potom platí:Ide(v)

= Ide(v)

(podľa definície Ide),= v

(lebo v ∈ Var).2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs a pre každé i z {1, . . . , n}

platí indukčný predpoklad pre ei. Potom platí:Ide(e)

= Ide(se1 . . . en),= sIde⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(e1) . . . Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(en)

(podľa definície Ide),


= sIde(e1) . . . Ide(en)(lebo Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ = Ide),

= se1 . . . en(pre každé i z {1, . . . , n} podľa indukčného predpokladu),

= e.

Všimnime si, že substitúcia má dosť spoločného s I-ohodnotenie premenných v nejakej interpretácii I. Je to tiežzobrazenie z množiny Var, jeho hodnota v každej premennej patrí do istej množiny závisiacej len od typu tejtopremennej a ist8 podobnosť je aj v induktívnom spôsobe jeho rozšírenía na všetky výrazy. Vzniká preto prirodzenáotázka, či by nemohla existovať taká interpretácia, v ktorej by ohodnotenia premenných boli práve substitúcie.Odpoveď na túto otázku je, ako hneď uvidíme, kladná, i keď táto interpretácia nebude štandardná, a to napríkladi preto, že aplikáciou substitúcie na formulu dostaneme formulu, a nie pravdivostnú hodnotu. Tá bude mať čistosyntaktický charakter – nepôjde v nej totiž o zmysel výrazu, ale o jeho nahradenie iným výrazom rovnakého dátovéhotypu, čiže o dosadenie zaň, o jeho špecifikáciu.

D Pod substitúciovou interpretáciou budeme rozumieť interpretáciu SbI (”substitution interpretation“ – substi-túciová interpretácia) s takýmito zložkami:

I Ak T ∈ Typ, tak SbITyp(T ) = ExpT .I Ak T ∈ Typ, tak SbIDfl(T ) = varT (0).I Ak s ∈ Sym, pričom ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩, out(s) = T a bvs(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, tak

SbISym(s) : Fun(Exptyp(v1) × · · · × Exptyp(vp),ExpT1 × · · · × ExpTn)→ ExpT ,

pričom ak V : Exptyp(v1) × · · · × Exptyp(vp) → ExpT1 × · · · × ExpTn a V (⟨v1, . . . , vp⟩) = ⟨e1, . . . , en⟩,tak

(SbISym(s))(V ) = se1 . . . en.

P Všimnime si, že pri definovaní SbISym(s) pre zobrazenie V záleží len na jeho hodnote v tici ⟨v1, . . . , vp⟩, hodnotyzobrazenia V vo všetkých ostatných ticiach sú (v tejto interpretácii) úplne irelevantné.

P Podobne irelevantné je i zobrazenie SbIDfl.

P Substitúcie sú potom práve SbI-ohodnotenia. Inými slovami, SbI = EvVSbI.

P Podľa dohody zo state 1.5 budeme namiesto (valSbI(e))(σ) písať σ(e). Dostávame tak:

1 Ak v ∈ Var a σ ∈ Sbs, tak σ(v) = σ(v).2 Ak e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs a σ ∈ Sbs, tak

σ(e) =

= (SbISym(s))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩, ⟨σ⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e1), . . . , σ⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(en)⟩⟩ :

⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ SbITyp(typ(v1))× · · · × SbITyp(typ(vp))}).Ak označíme V zobrazenie

{⟨⟨m1, . . . ,mp⟩, ⟨σ⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e1), . . . , σ⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(en)⟩⟩ :

⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ SbITyp(typ(v1))× · · · × SbITyp(typ(vp))},tak V (⟨v1, . . . , vp⟩) = ⟨σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(e1), . . . , σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(en)⟩, čiže podľa definície SbISym(s)

σ(e) = sσ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(e1) . . . σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(en).

Podľa vety 3.9 o definícii matematickou indukciou cez Exp tak dostávame, že σ je len iné označenie pre σ.

V2 Nech e je výraz a σ1 a σ2 sú substitúcie taká, že pre každé u z fve(e) platí σ1(u) = σ2(u). Potom σ1(e) = σ2e.

Keďže SbI = EvVSbI, je to špeciálny prípad vety 1.5.1.


V3 Nech e je výraz a σ je substitúcia taká, že pre každé v z fve(e) platí σ(v) = v. Potom σ(e) = e.

Podľa predpokladu a vety 2 platí σ(e) = Ide(e), a teda podľa vety 1 σ(e) = e.

Už sme si povedali, že hlavný význam substitúcie je produkcia špecifík z akejsi šablóny, pričom sa však zachovajúdôležité vlastnosti, špeciálne pre formuly pravdivosť. Všimnime si však napríklad výraz ∃x(x = y). Pri obvyklejinterpretácii je zrejme pravdivý, avšak po dosadení x+ 1 za y vzniká výraz ∃x(x = x+ 1), ktorý pravdivý nie je.Takáto strata pravdivosti nás upozorňuje, že pri práci so substitúciou musíme byť predsa len trochu opatrnejší.

D Definujme zobrazenie ASb (”allowed substitutions“ – povolené substitúcie), ktoré každému e z Exp priradí istúpodmnožinu množiny Sbs, indukciou:

1 Nech v ∈ Var, potom ASb(v) = Sbs.2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩ a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs. Potom σ ∈ ASb(e)

práve vtedy, keď platí:I pre každé i z {1, . . . , n} platí σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ ∈ ASb(ei),I pre každé u z fve(e) platí fve(σ(u)) ∩ bvs(s) = ∅.

Substitúcie z množiny ASb(e) nazveme povolené pre výraz e.

• Nech e = ∃x(x = y) a σ je substitúcia taká, že σ(y) = x+ 1. Potom y ∈ fve(e), avšak množina fve(σ(y)) ∩bvs(∃x) nie je prázdna, lebo obsahuje {x}. Substitúcia σ teda nie je pre výraz e povolená.

P V prípade, že s ∈ Nob, t. j. bvs(s) = ∅, je druhá podmienka v druhom kroku definície splnená automaticky.Keďže p = 0, platí aj σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ = σ. Rozoberme dva prípady:

I Ak n = 0 (čiže s ∈ Con), aj prvá podmienka je (triviálne) splnená, a teda ASb(e) = Sbs.I Ak n > 0, tak prvá podmienka znamená σ ∈

∩i∈{1,...,n} ASb(ei), a teda ASb(e) =

∩i∈{1,...,n} ASb(ei).

• ASb(e1 + e2) = ASb(e1) ∩ASb(e2).

• ASb(e1 ∧ e2) = ASb(e1) ∩ASb(e2).

D Výraz e nazveme jednoduchý , ak use(e) ⊆ Nob.

V4 Nech e je jednoduchý výraz. Potom ASb(e) = Sbs.


1 Nech e ∈ Var. Potom podľa definície ASb(e) = Sbs.2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs a pre každé i z {1, . . . , n}

platí indukčný predpoklad pre ei.Podľa definície use pre každé i z {1, . . . , n} platí use(ei) ⊆ use(e) ⊆ Nob, takže use(ei) ⊆ Nob, a tedaaj výraz ei je jednoduchý.Nech σ je substitúcia, ukážeme, že σ ∈ ASb(e). Overíme obe podmienky:I Nech i ∈ {1, . . . , n}. Podľa definície use platí use(ei) ⊆ use(e) ⊆ Nob, takže use(ei) ⊆ Nob, a teda

podľa indukčného predpokladu ASb(ei) = ∅. Z toho už vyplýva, že σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ ∈ ASb(ei).I Podľa definície use platí {s} ⊆ use(e) ⊆ Nob, takže {s} ⊆ Nob, t. j. s ∈ Nob. Z toho bvs(s) = ∅,

a teda pre každé u z fve(e) platí fve(σ(u) ∩ bvs(s) = ∅.Podľa definície ASb to znamená, že σ ∈ ASb(e), a teda ASb(σ) = Sbs.

V5 Nech e je výraz. Nech σ1 a σ2 sú substitúcie také, že pre každé u z fve(e) platí σ1(u) = σ2(u). Potomσ1 ∈ ASb(e) platí práve vtedy, keď platí σ2 ∈ ASb(e).


1 Nech e ∈ Var. Potom podľa definície ASb(e) = Sbs, takže obe tvrdenia triviálne platia.


2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs a pre každé i z {1, . . . , n}platí indukčný predpoklad pre ei (pre ľubovoľnú dvojicu substitúcií):Najprv sublemy:S1 Nech i ∈ {1, . . . , n} a u ∈ fve(ei). Potom (σ1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u) = (σ2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u).

Podľa definície fve platí fve(ei) ⊆ fve(e) ∪ bvs(s). Rozlíšime dva prípady:I Nech u ∈ bvs(s).

Potom platí:(σ1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)

= u(podľa definície (σ1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩, lebo u ∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}),

= (σ2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)(podľa definície (σ2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩, lebo u ∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}).

I Nech u ∈ fve(e)r bvs(s).Potom platí:(σ1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)

= σ1(u)(podľa definície (σ1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩, lebo u /∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}),

= σ2(u)(podľa predpokladu vety, lebo u ∈ fve(e)),

= (σ2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)(podľa definície (σ2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩, lebo u /∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}).

S2 Nech i ∈ {1, . . . , n}. Potom (σ1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ ∈ ASb(ei), práve keď (σ2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ ∈ASb(ei).

Je to dôsledok indukčného predpokladu pre ei (a (σ1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ a (σ2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩),ktorého podmienka je splnená podľa sublemy 1.

S3 Pre každé i z {1, . . . , n} platí (σ1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ ∈ ASb(ei) práve vtedy, keď pre každé iz {1, . . . , n} platí (σ2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ ∈ ASb(ei).

Je to dôsledok sublemy 2.S4 Nech u ∈ fve(e). Potom fve(σ1(u)) ∩ bve(s) = ∅ práve vtedy, keď fve(σ2(u)) ∩ bve(s) = ∅.

Keďže podľa predpokladu σ1(u) = σ2(u), tvrdenie platí triviálne.S5 Pre každé u z fve(e) platí fve(σ1(u)) ∩ bve(s) = ∅ práve vtedy, keď pre každé u z fve(e) platí

fve(σ2(u)) ∩ bve(s) = ∅.

Je to dôsledok sublemy 4.Tvrdenie pre e je dôsledkom definície ASb a sublem 3 a 5.

V6 Nech e je výraz, σ ∈ ASb(e) a w1, …, wq sú rôzne premenné. Potom σ⟨w1,...,wq⟩,⟨w1,...,wq⟩ ∈ ASb(e).

Tvrdenie dokážeme indukciou cez Exp, t. j. podľa vety 2.6:

1 Nech v ∈ Var. Potom ASb(v) = Sbs, takže tvrdenie platí triviálne.2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩ a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs. Ukážeme platnosť oboch

podmienok toho, že σ⟨w1,...,wp⟩,⟨w1,...,wp⟩ ∈ ASb(e):I Nech i ∈ {1, . . . , n} Potom postupne platí:σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ ∈ ASb(ei)

(je to jedna z podmienok toho, že σ ∈ ASb(e)),(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩)⟨w1,...,wq⟩,⟨w1,...,wq⟩ ∈ ASb(ei)

(podľa indukčného predpokladu),


(σ⟨w1,...,wq⟩,⟨w1,...,wq⟩)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ ∈ ASb(ei)(lebo (σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩)⟨w1,...,wq⟩,⟨w1,...,wq⟩ = (σ⟨w1,...,wq⟩,⟨w1,...,wq⟩)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩, a tobez ohľadu na vzťah množín {v1, . . . , vp} a {w1, . . . , wq}).

I Nech u ∈ fve(e). Rozoberme dva prípady:I Nech u = wi pre nejaké i z {1, . . . , q}.

Potom platí:fve(σ⟨w1,...,wq⟩,⟨w1,...,wq⟩(u)) ∩ bvs(s)

= fve(σ⟨w1,...,wq⟩,⟨w1,...,wq⟩(wq)) ∩ bvs(s)

= fve(wq) ∩ bvs(s)(podľa definície σ⟨w1,...,wq⟩,⟨w1,...,wq⟩),

= {wq} ∩ bvs(s)(podľa definície fve),

= {u} ∩ bvs(s)

⊆ fve(e) ∩ bvs(s)(lebo u ∈ fve(e)),

= ∅(podľa definície fve).

Z toho fve(σ⟨w1,...,wq⟩,⟨w1,...,wq⟩(u)) ∩ bvs(s) = ∅.I Nech u /∈ {w1, . . . , wq}.

Potom platí:fve(σ⟨w1,...,wq⟩,⟨w1,...,wq⟩(u)) ∩ bvs(s)

= fve(σ(u)) ∩ bvs(s)

= ∅(podľa definície ASb, lebo podľa predpokladu σ ∈ ASb(e)).

V oboch prípadoch teda fve(σ⟨w1,...,wq⟩,⟨w1,...,wq⟩(u)) ∩ bvs(s) = ∅.

V7 Nech e je výraz a σ substitúcia taká, že pre každé u z fve(e) platí fve(σ(u)) ∩ bve(e) = ∅ alebo σ(u) = u.Potom platí σ ∈ ASb(e).


1 Nech e ∈ Var. Potom podľa definície ASb platí σ ∈ Sbs = ASb(e).2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs a pre každé i z {1, . . . , n}

platí indukčný predpoklad pre ei.S1 Nech i ∈ {1, . . . , n} a u ∈ fve(ei). Potom platí fve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)) ∩ bve(ei) = ∅ alebo

σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u) = u.

Rozlíšime dva prípady:I Nech u ∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}.

Potom podľa definície σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u) = u.I Nech u ∈ fve(ei)r bvs(s).

Potom podľa definície fve máme fve(ei)r bvs(s) ⊆ fve(e), takže u ∈ fve(e). Podľa predpokladuvety potom fve(σ(u)) ∩ bve(e) = ∅ alebo σ(u) = u. Rozoberme oba prípady:I Nech fve(σ(u)) ∩ bve(e) = ∅.

Potom platí:fve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)) ∩ bve(ei)

= fve(σ(u)) ∩ bve(ei)(podľa definície, lebo u /∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}),⊆ fve(σ(u)) ∩ bve(e)

(lebo podľa definície bve platí bve(ei) ⊆ bve(e)),= ∅

(podľa predpokladu).Z toho už fve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)) ∩ bve(ei) = ∅.


I Nech σ(v) = v.Potom platí:σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(v)

= σ(v)(podľa definície, lebo u /∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}),

= v(podľa predpokladu).

S2 Pre každé i z {1, . . . , n} platí σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ ∈ ASb(ei).

Tvrdenie platí indukčného predpokladu pre výraz ei a substitúciu σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩, jeho podmienkaje splnená podľa sublemy 1.

S3 Pre každé u z fve(e) platí fve(σ(u)) ∩ bvs(s) = ∅.

Nech u ∈ fve(e). Podľa predpokladu potom fve(σ(u))∩bve(e) = ∅ alebo σ(u) = u. Rozoberme obaprípady:I Nech fve(σ(u)) ∩ bve(e) = ∅.

Keďže podľa definície bve platí bvs(s) ⊆ bve(e), platí aj fve(σ(u)) ∩ bve(e) = ∅.I Nech σ(u) = u.

Potom platí:fve(σ(u)) ∩ bvs(s)

= fve(u) ∩ bvs(s),= {u} ∩ bvs(s)

(podľa definície fve),⊆ fve(e) ∩∅

(lebo {u} ⊆ fve(e), keďže u ∈ fve(e)).= ∅

(lebo podľa definície fve platí fve(e) =∪i∈{1,...,n} fve(ei)r bvs(s)).

Z toho už vyplýva fve(σ(u)) ∩ bvs(s) = ∅.Zo sublem 2 a 3 už vyplýva dokazované tvrdenie pre výraz e.

V8 Nech e je výraz, v1, …, vp premenné a f1, …, fp výrazy také, že pre každé q z {1, . . . , p} platí jednak typ(fq) =typ(vq), a jednak fve(fq) ∩ bve(e) = ∅ alebo fq = vq. Potom Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩ ∈ ASb(e).

Nech u ∈ fve(e). Rozoberme tri prípady:

I Nech u = vq pre nejaké q z {1, . . . , p} a fve(fq) ∩ bve(e) = ∅.Potom platí:fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(u)) ∩ bve(e)

= fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(vq)) ∩ bve(e),= fve(fq) ∩ bve(e)

(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩),= ∅

(podľa predpokladu).I Nech u = vq pre nejaké q z {1, . . . , p} a fq = vq.

Potom platí:Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(u)

= Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(vq)

= fq(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩),

= vq(podľa predpokladu),

= u(podľa predpokladu).


Sú teda splnené podmienky vety 7, z nej už dostávame požadované tvrdenie.

V9 Nech e je výraz. Potom Ide ∈ ASb(e).

Je to špeciálny prípad vety 8.

Vráťme sa k nášmu výrazu (a+ 3,1)((b− 4)− (a+ 3,1)) + (b− 4). Výpočet jeho hodnota (za obvyklej interpretácii)v I-ohodnotení E takom, že E(a) = 2,9 a E(b) = 4,5, môžeme graficky vyjadriť takto:

a 3,1

+

b 4

−

a 3,1

+

−

·

b 4

−

+

2,9 3,1

6

2,9 3,1

6

4,5 4

0,5

4,5 4

0,5

−5,5

−33

−32, 5

Ako už vieme, v tomto strome sú dve dvojice zhodných podstromov, prvá prislúcha výrazu a+ 3,1 a druhá b− 4.Vzniká preto (po vzore dynamického programovania) príležitosť zracionalizovať celý výpočet tak, že príslušné medzi-výsledky budeme získavať len raz.

a 3,1

+

2,9 3,1

6

b 4

−

4,5 4

0,5

Teraz už stačí iba nahradiť už ohodnotené podstromy uzlami, do ktorých príslušne vpíšeme zatiaľ nepoužité premenné– tam, kde boli stromy výrazu a+ 3,1, dáme x, a tam, kde boli stromy výrazu b− 4, dáme y. Inými slovami, vytvorilisme substitúciu σ (presnejšie jej relevantnú časť) takú, že σ(x) = a+ 3,1 a σ(y) = b− 4. V takto vzniknutom strome,ktorý prislúcha výrazu x(y − x) + y, priradíme premenným x a y príslušné medzivýsledky, čím vlastne vytvoríme novéohodnotenie premenných F (resp. jeho pre podstatnú časť) také, že F (x) = 6 = E(a+ 3,1) a F (y) = 0,5 = E(b− 4)(čiže F (x) = E(σ(x)) a F (y) = E(σ(y))), a nový, zjednodušený strom ohodnotíme. Asi nás neprekvapí, že hodnotypri koreňoch oboch stromov sú rovnaké, t. j. že F (x(y − x) + y) = E(σ(x(y − x) + y)).


x

y x

−

· y

+

6

60,5

0,5

−5,5

−33

−32, 5

Oprávnenosť tohto postupu je dokázaná v nasledujúcich dvoch vetách. Treba si však dávať pozor, aby substitúcia,s ktorou pracujeme, bola povolená pre výraz z nového stromu (v našom prípade sme tento problém nemali, lebožiadna z premenných nebola zväzovaná).

V10 Nech I je interpretácia a e je výraz. Nech pre každé j z {1, 2} platí σj ∈ ASb(e) a Ej ∈ EvVI . Nech prekaždé u z fve(e) platí E1(σ1(u)) = E2(σ2(u)). Potom

E1(σ1(e)) = E2(σ2(e)).

Tvrdenie vety dokážeme matematickou indukciou cez Exp (t. j. podľa vety 3.7):

1 Nech e ∈ Var.Potom platí:

E1(σ1(e))

= E1(σ1(e))(podľa definície, lebo e ∈ Var),

= E2(σ2(e))(podľa predpokladu vety, keďže e ∈ {e} = fve(e)),

= E2(σ2(e))(podľa definície, lebo e ∈ Var).

2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs a pre každé i z {1, . . . , n}platí indukčný predpoklad pre ei.S1 Nech j ∈ {1, 2}, u ∈ fve(e) a ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp)). Ak w ∈

fve(σj(u)), tak(Ej)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(w) = Ej(w).

Podľa predpokladu σj ∈ ASb(e), takže podľa definície ASb platí fve(σj(u)) ∩ bvs(s) = ∅. Toznamená, že pre každé w z fve(σj(u)) platí w /∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}, z čoho podľa definície(Ej)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(w) = Ej(w).

S2 Nech j ∈ {1, 2}, u ∈ fve(e) a ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp)). Potom

(Ej)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(σj(u)) = Ej(σj(u)).

Je to dôsledok sublemy 1 a vety 5.1 pre výraz σj(u) a I-ohodnotenia (Ej)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩ a Ejtak dostávame práve požadovaný vzťah.


S3 Nech i ∈ {1, . . . , n}, u ∈ fve(ei) a ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp)). Potom

(E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩((σ1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)) =

= (E2)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩((σ2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)).

Z predpokladu a definície fve máme u ∈ fve(ei) ⊆ fve(e) ∪ bvs(s). Rozlíšime dva prípady:I Nech u ∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}, t. j. u = vq pre nejaké q z {1, . . . , p}.

Potom pre každé j z {1, 2} platí:(Ej)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩((σ

j)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u))

= (Ej)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩((σj)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(vq))

= (Ej)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(vq)

(podľa definície (σj)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩),= (Ej)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(vq)

(podľa definície (Ej)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩),= mq

(podľa definície (Ej)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩).Obe strany dokazovaného vzťahu teda majú rovnakú hodnotu.

I Nech u ∈ fve(e)r bvs(s).Potom pre každé j z {1, 2} platí:(Ej)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩((σ

j)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u))

= (Ej)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(σj(u))

(podľa definície (σj)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩, lebo u /∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}),= Ej(σj(u))

(podľa sublemy 2).Dokazovaný vzťah je teda vlastne E1(σ1(u)) = E2(σ2(u)), čo je však predpoklad vety, lebou ∈ fve(e).

S4 Nech i ∈ {1, . . . , n} a ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp)). Potom platí

(E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩((σ1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(ei)) =

= (E2)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩((σ2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(ei)).

Podľa predpokladu vety pre každé j z {1, 2} platí σj ∈ ASb(e), takže podľa definície dostávame(σj)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ ∈ ASb(ei). Podľa sublemy 3 je splnená aj druhá podmienka indukčného pred-pokladu pre výraz ei, substitúcie (σ1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ a (σ2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ a I-ohodnotenia(E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩ a (E2)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩. Podľa neho už dostávame požadované tvrdenie.

Potom platí:E1(σ1(e))

= E1(σ1(se1 . . . en)),= E1(s(σ1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(e1) . . . (σ

1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(en))

(podľa definície σj),= (ISym(s))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩,⟨(E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩((σ

1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(e1)), . . . , (E1)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩((σ

1)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(en))⟩⟩ :

⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))})(podľa definície E1),

= (ISym(s))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩,⟨(E2)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩((σ

2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(e1)), . . . , (E2)⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩((σ

2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(en))⟩⟩ :

⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))})(pre každé i z {1, . . . , n} podľa sublemy 4),


= E2(s(σ2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(e1) . . . (σ2)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(en))

(podľa definície E2),= E2(σ2(se1 . . . en))

(podľa definície σ2),= E2(σ2(e)).

V11 (o substitúcii)

Nech I je interpretácia, e je výraz a σ ∈ ASb(e). Nech E a F sú I-ohodnotenia také že pre každé u z fve(e)platí F (u) = E(σ(u)). Potom

F (e) = E(σ(e)).

Všimnime si, že podmienky vety 10 sú splnené pre substitúcie σ a Ide a I-ohodnotenia E a F :

I σ ∈ ASb(e) podľa predpokladu.I Ide ∈ ASb(e) podľa vety 9.I Nech u ∈ fve(e). Potom platí:E(σ(u))

= F (u)(podľa predpokladov vety),

= F (u)(podľa definície F ),

= F (Ide(u))(podľa definície Ide).

Platí teda:

E(σ(e))

= F (Ide(e))(podľa vety 10),

= F (e)(podľa vety 1).

• Vráťme sa k nášmu motivačnému príkladu:Nech e = x(y − x) + y, potom fve(e) = {x, y}. Nech ďalej platí:

I σ(x) = a+ 3,1 a σ(y) = b− 4.I E(a) = 2,9 a E(b) = 4,5.I F (x) = E(a+ 3,1) = 6 a F (y) = E(b− 4) = 0,5.

Potom σ ∈ ASb(e) a platí tiež:

I E(σ(x)) = E(a+ 3,1) = 2,9 + 3,1 = 6 = F (x).I E(σ(y)) = E(b− 4) = 4,5− 4 = 0,5 = F (y).

Sú teda splnené podmienky vety 11 o substitúcii. A naozaj,

I F (e) = F (x(y − x) + y) = 6 · (0,5− 6) + 0,5 = −32,5.I E(σ(e)) = E(σ(x(y − x) + y)) = E((a+ 3,1)((b− 4)− (a+ 3,1)) + (b− 4)) =

= (2,9 + 3,1)((4,5− 4)− (2,9 + 3,1) + (4,5− 4) = −32,5.

• Nech e = ∃x(x = y), potom fve(e) = {y}. Nech ďalej platí:

I σ(y) = x+ 1.I E(x) = 0.I F (y) = 1.


Potom platí E(σ(y)) = E(x+ 1) = 1 = F (y).Avšak

I F (e) = F (∃x(x = y)) = 1,I E(σ(e)) = E(σ(∃x(x = y))) = E(∃x(x = x+ 1)) = 0.

Ako vidíme, výsledky nie sú rovnaké. Problém je zrejme v tom, že σ /∈ ASb(e) (keďže x ∈ fve(σ(y))∩bvs(∃x)).

V12 Nech e je výraz, v1, …, vp rôzne premenné a f1, …, fp výrazy také, že pre každé i z {1, . . . , p} platí typ(fi) =typ(vi) a Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩ ∈ ASb(e). Nech I je interpretácia a E je I-ohodnotenie. Potom

E⟨v1,...,vp⟩,E(f1),...,E(fp)(e) = E(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(e)).

Najprv sublema:

S1 Pre každé u z fve(e) platí E⟨v1,...,vp⟩,E(f1),...,E(fp)(u) = E(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(u)).

Rozlíšme prípady:I Nech u = vq pre nejaké q z {1, . . . , p}.

Potom platí:E⟨v1,...,vp⟩,E(f1),...,E(fp)

(u)

= E⟨v1,...,vp⟩,E(f1),...,E(fp)(vq)

= E(fq)(podľa definície E⟨v1,...,vp⟩,E(f1),...,E(fp)

),= E(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(vq))

(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩),= E(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(u)).

I Nech u /∈ {v1, . . . , vp}.Potom platí:E⟨v1,...,vp⟩,E(f1),...,E(fp)

(u)

= E(u)(podľa definície E⟨v1,...,vp⟩,E(f1),...,E(fp)

lebo u /∈ {v1, . . . , vp}),= E(u)

(podľa definície E),= E(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(u))

(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩, lebo u /∈ {v1, . . . , vp}).

Keďže podľa predpokladu Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩ ∈ ASb(e), spolu so sublemou 1 sú splnené podmienky vety 11o substitúcii pre substitúciu Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩ a I-ohodnotenia E a E⟨v1,...,vp⟩,E(f1),...,E(fp)

. Podľa nej uždostávame požadované tvrdenie.

V13 Nech v1, …, vp rôzne premenné a e je výraz. Nech w1, …, wp rôzne premenné také, že pre každé q z {1, . . . , p}platí typ(wq) = typ(vq), wq /∈ fve(e)r{v1, . . . , vp} a Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩ ∈ ASb(e). Nech I je interpretáciaa E je I-ohodnotenie. Nech pre každé q z {1, . . . , p} platí mq ∈ ITyp(typ(vq)). Potom

E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e) = E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)).

Najprv sublema:

S1 Ak u ∈ fve(e) tak E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(u) = E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(u)).

Rozlíšme prípady:I Nech u = vq pre nejaké q z {1, . . . , p}.

Potom platí:


E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(u))

= E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(vq)),= E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩(wq)

(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩),= E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩(wq)

(podľa definície E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩, lebo wq ∈ Var),= mq

(podľa definície Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩),= E⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(vq)

(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩),= E⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(u).

I Nech u ∈ fve(e) /∈ {v1, . . . , vp}.Potom platí:E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(u))

= E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩(u)(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩),

= E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩(u)(podľa definície E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩),

= E(u)(podľa definície E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩, lebo u = wq, keďže u ∈ fve(e) /∈ {v1, . . . , vp} a podľapredpokladu wq /∈ {v1, . . . , vp}),

= E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(u)(podľa definície E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩, lebo u /∈ {v1, . . . , vp}).

Podľa predpokladu Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩ ∈ ASb(e) a sublemy 1 sú splnené podmienky vety 11 o substitúciipre substitúciu Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩ a I-ohodnotenia E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩ a E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩ Podľa nejuž dostávame požadované tvrdenie.

V13 Nech v1, …, vp rôzne premenné a e je výraz. Nech w1, …, wp rôzne premenné také, že pre každé q z {1, . . . , p}platí typ(wq) = typ(vq), wq /∈ fve(e) r {v1, . . . , vp} a Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩ ∈ ASb(e). Nech pre každé qz {1, . . . , p} platí fq ∈ Exptyp(vq). Potom

Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(e) = Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨f1,...,fp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)).


V14 Nech v1, …, vp rôzne premenné a e je výraz. Nech w1, …, wp rôzne premenné také, že pre každé q z {1, . . . , p}platí typ(wq) = typ(vq), wq /∈ fve(e)r {v1, . . . , vp} a Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩ ∈ ASb(e). Potom

Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)) = e.

Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e))

= Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(e)(podľa vety 13, ktorej podmienka je podľa predpokladu splnená),

= Ide(e)(lebo podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ = Ide),

= e(podľa vety 1).

…

V15


Nech e je výraz a σ substitúcia. Potom platí:

I bve(σ(e)) =∪u∈fve(e) bve(σ(u)) ∪ bve(e).

I fve(σ(e)) ⊆∪u∈fve(e) fve(σ(u)).

I Ak σ ∈ ASb(e), tak fve(σ(e)) =∪u∈fve(e) fve(σ(u)).


1 Nech e ∈ Var.I

∪u∈fve(e) bve(σ(u)) ∪ bve(e)

=∪u∈{e} bve(σ(u)) ∪∅(podľa definície fve a bve, lebo e ∈ Var),

=∪u∈{e} bve(σ(u))

= bve(σ(e)),= bve(σ(e))

(podľa definície σ, lebo e ∈ Var).I

∪u∈fve(e) fve(σ(u))

=∪u∈{e} fve(σ(u))

(podľa definície fve, lebo e ∈ Var),= fve(σ(e)),= fve(σ(e))

(podľa definície σ, lebo e ∈ Var).2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs, a pre každé i z {1, . . . , n}

platí indukčný predpoklad pre ei.I bve(σ(e))

= bve(σ(se1 . . . en)),= bve(sσ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(e1) . . . σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(en))

(podľa definície σ),=

∪i∈{1,...,n} bve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(ei)) ∪ bvs(s)

(podľa definície bve),=

∪i∈{1,...,n}(

∪u∈fve(ei)

bve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)) ∪ bve(ei)) ∪ bvs(s)

(pre každé i z {1, . . . , n} podľa indukčného predpokladu pre ei),=

∪i∈{1,...,n}

∪u∈fve(ei)

bve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)) ∪∪i∈{1,...,n} bve(ei) ∪ bvs(s)

(lebo∪i∈I(Ai ∪Bi) = (

∪i∈I Ai) ∪ (

∪i∈I Bi)),

=∪i∈{1,...,n}

∪u∈fve(ei)

bve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)) ∪ bve(e)

(podľa definície bve),=

∪u∈

∪i∈{1,...,n} fve(ei)

bve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)) ∪ bve(e)

(lebo∪i∈I

∪j∈Ai

Bj =∪j∈

∪i∈I Ai

Bj),=

∪u∈

∪i∈{1,...,n} fve(ei)rbvs(s) bve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)) ∪ bve(e)

(ak totiž u ∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}, tak podľa definícií bve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)) = bve(u) =∅),

=∪u∈

∪i∈{1,...,n} fve(ei)rbvs(s) bve(σ(u)) ∪ bve(e)

(podľa definície σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u), keďže u /∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}),=

∪u∈fve(e) bve(σ(u)) ∪ bve(e)

(podľa definície fve).I Nech platí jedna z možností:

I △ je ⊆.I Ak σ ∈ ASb(e), tak △ je =.

Potom platí:fve(σ(e))


= fve(σ(se1 . . . en)),= fve(sσ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(e1) . . . σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(en))


∪i∈{1,...,n} fve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(ei))r bvs(s)

(podľa definície fve),△

∪i∈{1,...,n}

∪u∈fve(ei)

fve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u))r bvs(s)

(pre každé i z {1, . . . , n} podľa indukčného predpokladu pre ei a substitúciu σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩,pričom v prvom prípade využívame, že z toho, že pre každé i platí Ai ⊆ Bi, vyplýva

∪i∈I Ai ⊆∪

i∈I Bi, a to, že z A ⊆ B vyplýva ArC ⊆ BrC, a v druhom prípade je splnená jeho podmienkaσ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩ ∈ ASb(ei), a to podľa definície ASb, keďže σ ∈ ASb(e)),

=∪u∈

∪i∈{1,...,n} fve(ei)

fve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u))r bvs(s)

(lebo∪i∈I

∪j∈Ai

Bj =∪j∈

∪i∈I Ai

Bj),=

∪u∈

∪i∈{1,...,n} fve(ei)

(fve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u))r bvs(s))

(lebo∪i∈I(Ai rB) =

∪i∈I Ai rB),

=∪u∈

∪i∈{1,...,n} fve(ei)rbvs(s)(fve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u))r bvs(s))

(ak totiž u ∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}, tak podľa definícií fve(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)) r bvs(s) =fve(u)r bvs(s) = {u}r bvs(s) = ∅),

=∪u∈

∪i∈{1,...,n} fve(ei)rbvs(s)(bve(σ(u))r bvs(s))

(podľa definície σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u), keďže u /∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}),=

∪u∈fve(e)(fve(σ(u))r bvs(s))

(podľa definície fve),△

∪u∈fve(e)((fve(σ(u))r bvs(s)) ∪ (fve(σ(u)) ∩ bvs(s))

(v prvom prípade využívame, že z toho, že pre každé i platí Ai ⊆ Bi, vyplýva∪i∈I Ai ⊆

∪i∈I Bi,

a v druhom prípade fve(σ(u)) ∩ bvs(s) = ∅, a to podľa definície ASb, keďže σ ∈ ASb(e)),=

∪u∈fve(e) fve(σ(u))

(lebo (ArB) ∪ (A ∩B) = A).Z tranzitivity oboch △ už vyplývajú posledné dve tvrdenia pre výraz e.

V16 Nech e ∈ Exp a σ je substitúcia taká, že pre každé v z Var platí nse(σ(v)) = 0. Potom platí nse(σ(e)) =nse(e).


1 Nech e ∈ Var.Potom platí:nse(σ(e))

= nse(σ(e))(lebo e ∈ Var),

= nse(e)(podľa predpokladu).

2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs, a pre každé i z {1, . . . , n} platí indukčnýpredpoklad pre ei.Nech bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩. Potom platí:nse(σ(e))

= nse(σ(se1 . . . en))

= nse(sσ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(e1) . . . σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(en))


∑i∈{1,...,n} nse(σ⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(ei)) +m

(v oboch prípadoch podľa definície nse),=

∑i∈{1,...,n} nse(ei) +m

(podľa indukčného predpokladu),


= nse(se1 . . . en)(v oboch prípadoch podľa definície nse),

= nse(e).

V17 Nech v1, …, vp sú rôzne premenné a w1, …, wp sú rôzne premenné, pričom pre každé q z {1, . . . , p} platítyp(wq) = typ(vp). Nech e je výraz. Nech platí:

I Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩ ∈ ASb(e).I Pre každé q z {1, . . . , p} platí wq /∈ fve(e)r {v1, . . . , vp}.

Potom platí:

I Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩ ∈ ASb(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)).I Pre každé q z {1, . . . , p} platí vq /∈ fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e))r {w1, . . . , wp}.

Tvrdenie dokážeme indukciou cez Exp, t. j. podľa vety 2.6:

1 Nech e ∈ Var. Potom ASb(e) = Sbs, takže tvrdenie pre e platí triviálne.2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, bvt(s) = ⟨u1, . . . , ur⟩ a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs.

Nech {v1, . . . , vp} ∩ fve(e) = {vi1 , . . . , vik}.S1 Ak u ∈ fve(ei), tak (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(u) = Ide⟨vi1 ,...,vik ⟩,⟨wi1 ,...,wik

⟩(u).

Podľa definície fve platí fve(ei) ⊆ fve(e) ∪ bvs(s). Rozoberme prípady:I Nech u ∈ fve(e) a u ∈ {v1, . . . , vp}.

Potom u = vil pre nejaké l z {1, . . . , k}, takže platí:(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(u)

= (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(vil)

= Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(vil)(podľa definície (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩, lebo vil /∈ bvs(s) = {u1, . . . , ur}),

= wil(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩),

= Ide⟨vi1 ,...,vik ⟩,⟨wi1 ,...,wik⟩(vil)

(podľa definície Ide⟨vi1 ,...,vik ⟩,⟨wi1 ,...,wik⟩),

= Ide⟨vi1 ,...,vik ⟩,⟨wi1 ,...,wik⟩(u).

I Nech u ∈ fve(e) a u /∈ {v1, . . . , vp}.Potom platí:(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(u)

= Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(u)(podľa definície (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩, lebo u /∈ bvs(s) = {u1, . . . , ur}),

= u(podľa definície Ide⟨v1,...,vk⟩,⟨w1,...,wk⟩, lebo u /∈ {v1, . . . , vp}),

= Ide⟨vi1 ,...,vik ⟩,⟨wi1 ,...,wik⟩(u)

(podľa definície Ide⟨vi1 ,...,vik ⟩,⟨wi1 ,...,wik⟩, lebo u /∈ {v1, . . . , vp}).

I Nech u ∈ bvs(s),Potom u = ul pre nejaké l z {1, . . . , r}, takže platí:(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(u)

= (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(ul)

= ul(podľa definície (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩),

= Ide⟨vi1 ,...,vik ⟩,⟨wi1 ,...,wik⟩(ul)

(podľa definície Ide⟨vi1 ,...,vik ⟩,⟨wi1 ,...,wik⟩, lebo ul ∈ bvs(s) a {vi1 , . . . , vik} ⊆ fve(e), ale podľa

definície fve platí bvs(s) ∩ fve(e) = ∅),= Ide⟨vi1 ,...,vik ⟩,⟨wi1 ,...,wik

⟩(u).


S2 fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)) = (fve(e)r {v1, . . . , vp}) ∪ {wi1 , . . . , wik}.

fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e))

=∪u∈fve(e) fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(u))

(podľa vety 15, ktorej podmienka je splnená podľa predpokladu),=

∪u∈fve(e)r{vi1 ,...,vik}

fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(u)) ∪∪∪u∈{vi1 ,...,vik}

fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(u))

(lebo∪i∈I1∪I2 Ai =

∪i∈I1 Ai ∪

∪i∈I2 Ai∪),

=∪u∈fve(e)r{vi1 ,...,vik}

fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(u)) ∪∪j∈{1,...,k} fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(vij ))

(lebo∪b∈{a1,...,am} f(b) =

∪i∈{1,...,m} f(ai)),

=∪u∈fve(e)r{vi1 ,...,vik}

fve(Ide(u)) ∪∪j∈{1,...,k} fve(wij )

(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩),=


fve(u) ∪∪j∈{1,...,k} fve(wij )

(podľa definície Ide),=


{u} ∪∪j∈{1,...,k}{wij}

(podľa definície fve),= (fve(e)r {vi1 , . . . , vik}) ∪ {wi1 , . . . , wik}

(lebo∪a∈A{a} = A),

= (fve(e)r {v1, . . . , vp}) ∪ {wi1 , . . . , wik}(lebo {v1, . . . , vp} ∩ fve(e) = {vi1 , . . . , vik}).

S3 Ak i ∈ {1, . . . , n}, tak

fve((Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩)(ei)) ⊆

⊆ (fve(e)r {v1, . . . , vp}) ∪ {wi1 , . . . , wik} ∪ {u1, . . . , ur}.

Podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e) platí

Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e) =

= s(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(e1) . . . (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(en).Potom platí:fve((Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩)(ei))

⊆ fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)) ∪ bvs(s)(podľa definície fve),

= (fve(e)r {v1, . . . , vp}) ∪ {wi1 , . . . , wik} ∪ bvs(s)(podľa sublemy 2),

= (fve(e)r {v1, . . . , vp}) ∪ {wi1 , . . . , wik} ∪ {u1, . . . , ur}.

S4 Pre každé j z {1, . . . , p} platí wij /∈ bvs(s).

Postupne platí:Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩ ∈ ASb(e)

(predpoklad),pre každé u z fve(e) platí fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(u)) ∩ bvs(s) = ∅

(podľa definície ASb),fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(vij )) ∩ bvs(s) = ∅

(lebo vij ∈ fve(e)),fve(wij ) ∩ bvs(s) = ∅

(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩),{wij} ∩ bvs(s) = ∅

(podľa definície fve),


wij /∈ bvs(s).

S5 Ak i ∈ {1, . . . , n} a u ∈ fve(Ide⟨vi1 ,...,vik ⟩,⟨wi1 ,...,wik⟩(ei)), tak

(Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(u) = Ide⟨wi1 ,...,wik⟩,⟨vi1 ,...,vik ⟩(u).

Podľa sublemy 3 platí u ∈ (fve(e)r{v1, . . . , vp})∪{wi1 , . . . , wik}∪{u1, . . . , ur}. Rozoberme prípady:I Nech u ∈ fve(e)r {v1, . . . , vp}.

Potom podľa predpokladu u /∈ {w1, . . . , wp}, takže platí:(Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(u)

= Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)(lebo u ∈ fve(e) a {u1, . . . , ur} = bvs(s), ale podľa definície fve platí fve(e) ∩ bvs(s) = ∅),

= u(podľa definície Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩, lebo u /∈ {w1, . . . , wp}),

= Ide⟨wi1 ,...,wik⟩,⟨vi1 ,...,vik ⟩(u)

(podľa definície Ide⟨wi1 ,...,wik⟩,⟨vi1 ,...,vik ⟩, lebo u /∈ {w1, . . . , wp}).

I Nech u = wil pre nejaké l z {1, . . . , k}.Potom platí:(Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(u)

= (Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(wil)

= Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩(wil)(podľa definície (Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩, lebo podľa sublemy 4 platí wil /∈bvs(s) = {u1, . . . , ur}),

= vil(podľa definície Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩),

= Ide⟨wi1,...,wik

⟩,⟨vi1 ,...,vik ⟩(wil)

(podľa definície Ide⟨wi1 ,...,wik⟩,⟨vi1 ,...,vik ⟩),

= Ide⟨wi1 ,...,wik⟩,⟨vi1 ,...,vik ⟩(u).

I Nech u = ul pre nejaké l z {1, . . . , r}.Potom platí:(Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(u)

= (Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(ul)

= ul(podľa definície (Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩),

= Ide⟨wi1 ,...,wik⟩,⟨vi1 ,...,vik ⟩(ul)

(podľa definície Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩, keďže u /∈ {wi1 , . . . , wik} lebo ul ∈ bvs(s), ale podľasublemy 4 {wi1 , . . . , wik} ∩ bvs(s) = ∅),

= Ide⟨wi1 ,...,wik⟩,⟨vi1 ,...,vik ⟩(u).

S6 Pre každé j z {1, . . . , k} platí wij /∈ fve(ei)r {vi1 , . . . , vik}.

{wi1 , . . . , wik} ∩ (fve(ei)r {vi1 , . . . , vik})= {wi1 , . . . , wik} ∩ (fve(ei)r {v1, . . . , vp})

(lebo {vi1 , . . . , vik} = fve(e) ∩ {vi1 , . . . , vik}),⊆ {w1, . . . , wp} ∩ (fve(ei)r {v1, . . . , vp}),= ∅

(podľa predpokladu).To znemaná, že {wi1 , . . . , wik} ∩ (fve(ei) r {vi1 , . . . , vik}) = ∅, z čoho už vyplýva požadovanétvrdenie.

S7 Pre každé i z {1, . . . , n} platí

(Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩ ∈ ASb((Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(ei)).

Postupne platí:


Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩ ∈ ASb(e)(predpoklad),

(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩ ∈ ASb(ei)(podľa definície),

Ide⟨vi1 ,...,vik ⟩,⟨wi1 ,...,wik⟩ ∈ ASb(ei)

(podľa vety 3, ktorej podmienka je splnená podľa sublemy 1),Ide⟨wi1 ,...,wik

⟩,⟨vi1 ,...,vik ⟩ ∈ ASb(Ide⟨vi1 ,...,vip ⟩,⟨wi1 ,...,wip ⟩(ei))

(podľa indukčného predpokladu, ktorého ďruhá podmienka je splnená podľa sublemy 6),Ide⟨wi1 ,...,wik

⟩,⟨vi1 ,...,vik ⟩ ∈ ASb((Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(ei))

(podľa vety 2, ktorej podmienka je splnená podľa sublemy 1),(Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩ ∈ ASb((Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩)⟨u1,...,ur⟩,⟨u1,...,ur⟩(ei))

(podľa vety 3, ktorej podmienka je splnená podľa sublemy 5).

S8 Pre každé u z fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)) platí fve(Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)) ∩ bvs(s) = ∅.

Podľa sublemy 3 platí fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)) = (fve(e)r{v1, . . . , vp})∪{wi1 , . . . , wik}. Roz-líšme prípady:I Nech u ∈ fve(e)r {v1, . . . , vp}.

Potom platí:fve(Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)) ∩ bvs(s)

= fve(u) ∩ bvs(s)(podľa definície Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩),

= {u} ∩ bvs(s)(podľa definície fve),

⊆ fve(e) ∩ bvs(s)(podľa predpokladu),


Z toho už fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)) = (fve(e)r {v1, . . . , vp}) ∪ {wi1 , . . . , wik}.I Nech u = wil pre nejaké l z {1, . . . , k}.

Potom platí:fve(Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩(u)) ∩ bvs(s)

= fve(Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩(wil)) ∩ bvs(s)

= fve(vil) ∩ bvs(s)(podľa definície Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩),

= {vil} ∩ bvs(s)(podľa definície fve),

⊆ fve(e) ∩ bvs(s)(podľa predpokladu),


Z toho už fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)) = (fve(e)r {v1, . . . , vp}) ∪ {wi1 , . . . , wik}.

S9 Pre každé q z {1, . . . , p} platí vq /∈ fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e))r {w1, . . . , wp}.

fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e))r {w1, . . . , wp}= ((fve(e)r {v1, . . . , vp}) ∪ {wi1 , . . . , wik})r {w1, . . . , wp}

(podľa sublemy 2),= (fve(e)r {v1, . . . , vp})r {w1, . . . , wp}

(lebo ak C ⊆ B, tak (A ∪ C)rB = ArB),⊆ fve(e)r {v1, . . . , vp}.Z toho už vyplýva požadované tvrdenie.


Zo sublem 7 a 8 už podľa definície vyplýva, že Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩ ∈ ASb(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)).Druhá časť tvrdenia je sublema 9.

…

2.1 Dokázateľnosť 1052.1 Dokázateľnosť 1052.1 Dokázateľnosť 105

2 Formálne dokazovanie pravdivosti

2.1 Dokázateľnosť

Pod výsledkom v ľubovoľnej matematickej teórii sa rozumie poznanie pravdivosti alebo nepravdivosti nejakej formuly,a to v rámci niektorého modelu tejto teórie. Najväčšiu hodnotu, pravdaže, majú tie formuly, ktorých pravdivosťnezávisí od výberu konkrétneho modelu, vtedy hovoríme, že formula je vetou tejto teórie.

Sila matematiky spočíva v tom, že argumentácia pravdivosti jej viet (v rámci ľubovoľnej jej teórie) sa dá rozložiťna nezávislé elementárne kroky, ktorých oprávnenosť možno rýchlo preveriť. Každým takýmto krokom rozširujemeargumentačné portfólio o jednu formulu, a to v podstate dvomi spôsobmi:

1 Zaregistrujeme nejakú formulu, ktorej platnosť už bola predtým potvrdená.

2 Na niektoré už zhromaždené formuly aplikujeme nejakú logickú úvahu, ktorej výsledok zaradíme do portfólia.

Je určite prekvapivé, že napriek rozmanitosti matematického sveta možno všetky takéto logické úvahy z kroku 2zredukovať na niekoľko málo typov, ktoré nazveme odvodzovacie pravidlá. Tieto pravidlá však boli zrejme aplikovanéaj pri vzniku väčšiny formúl, na ktoré sa odvolávame v kroku 1. Ak tieto formuly (aspoň pomyselne) presunieme dokroku 2, v kroku 1 ostanú opáť len formuly niekoľko málo druhov. Tie sa nazývajú axiómy a sú dvoch typov:

a Spravidla pracujeme v rámci nejakej teórie. Jej prvky, ako sme už spomenuli, nazývame ich axiómy teórie.

b Všetky zvyšné axiómy už musia byť (na rozdiel od axióm teórie) tautológie, budeme ich preto nazývať logickéaxiómy. Opäť je prekvapivé, že ich stačí mať len niekoľko druhov.

Ako logických axióm, tak odvodzovacích pravidiel teda môže byť len veľmi málo druhov. Ak túto vlastnosť spĺňaaj samotná teória, proces rozhodovania o korektnosti odvodenia tej-ktorej formuly možno mechanizovať. Vzhľadomna vlastnosti logických axióm a odvodzovacích pravidiel však máme záruku, že každá takto odvodená formula bude(v rámci príslušnej teórie) naozaj pravdivá. Proces odvodenia formuly preto budeme považovať za jej dôkaz.

D Pod jednoduchou axiómou budeme rozumieť ľubovoľnú hodnotu niektorého z nasledujúcich zobrazení:

I SAxConTru (”simple axiom – constant truth“ – jednoduchá axióma – konštanta pravda) z Frm0 do Frm,kde

SAxConTru() = ⊤,

I SAxFlsTru (”simple axiom – falsity versus truth“ – jednoduchá axióma – lož verzus pravda) z Frm0 doFrm, kde

SAxFlsTru() = ⊥↔¬⊤,

I SAxNegNeg (”simple axiom – negation of negation“ – jednoduchá axióma – negácia negácie) z Frm1 doFrm, kde

SAxNegNeg(φ) = ¬¬φ↔φ,

I SAxCnjNeg (”simple axiom – conjuction and its negation“ – jednoduchá axióma – konjunkcia a jejnegácia) z Frm1 do Frm, kde

SAxCnjNeg(φ) = ¬(φ∧¬φ),

I SAxEqvTru (”simple axiom – equivalence to truth“ – jednoduchá axióma – ekvivalencia s pravdou)z Frm1 do Frm, kde

SAxEqvTru(φ) = (φ↔⊤)↔φ,

I SAxEqvFls (”simple axiom – equivalence to falsity“ – jednoduchá axióma – ekvivalencia so lžou) z Frm1

do Frm, kdeSAxEqvFls(φ) = (φ↔⊥)↔¬φ,


I SAxImpFls (”simple axiom – implication of falsity“ – jednoduchá axióma – implikácia lži) z Frm1 doFrm, kde

SAxImpFls(φ) = ⊥→φ,

I SAxEqvDcm (”simple axiom – equivalence decomposition“ – jednoduchá axióma – rozklad ekvivalencie)z Frm2 do Frm, kde

SAxEqvDcm(φ,ψ) = (φ↔ψ)↔ ((ψ→φ)∧ (φ→ψ)),

I SAxEqvImp (”simple axiom – from equivalence to implication“ – jednoduchá axióma – od ekvivalenciek implikácii) z Frm2 do Frm, kde

SAxEqvImp(φ,ψ) = (φ↔ψ)→ (φ→ψ),

I SAxNegEqv (”simple axiom – negation of equivalence“ – jednoduchá axióma – negácia ekvivalencie) zFrm2 do Frm, kde

SAxNegEqv(φ,ψ) = ¬(φ↔ψ)↔ (φ↔¬ψ),

I SAxComCnj (”simple axiom – commutativity of conjuction“ – jednoduchá axióma – komutatitivita kon-junkcie) z Frm2 do Frm, kde

SAxComCnj(φ,ψ) = (φ∧ψ)↔ (ψ ∧φ),

I SAxComEqv (”simple axiom – commutativity of equivalence“ – jednoduchá axióma – komutatitivitaekvivalencie) z Frm2 do Frm, kde

SAxComEqv(φ,ψ) = (φ↔ψ)↔ (ψ↔φ),

I SAxTrnImp (”simple axiom – transitivity of implication“ – jednoduchá axióma – tranzitivita implikácie)z Frm3 do Frm, kde

SAxTrnImp(φ,ψ, ξ) = ((φ→ψ)∧ (ψ→ ξ))→ (φ→ ξ),

I SAxCnjImp (”simple axiom – from conjunction of antecedents to implication“ – jednoduchá axióma –od konjunkcie predpokladov k implikácii) z Frm3 do Frm, kde

SAxCnjImp(φ,ψ, ξ) = ((φ∧ψ)→ ξ)↔ (φ→ (ψ→ ξ)),

I SAxCnjAnt (”simple axiom – conjunction of antecedents“ – jednoduchá axióma – konjunkcia predpokla-dov) z Frm4 do Frm, kde

SAxCnjAnt(φ1, ψ1, φ2, ψ2) = ((φ1→ψ1)∧ (φ2→ψ2))→ ((φ1 ∧φ2)→ (ψ1 ∧ψ2)),

I SAxDsjAnt (”simple axiom – disjunction of antecedents“ – jednoduchá axióma – disjunkcia predpokladov)z Frm4 do Frm, kde

SAxDsjAnt(φ1, ψ1, φ2, ψ2) = ((φ1→ψ1)∧ (φ2→ψ2))→ ((φ1 ∨φ2)→ (ψ1 ∨ψ2)),

I SAxCnj1st (”simple axiom – from conjunction to its first part“ – jednoduchá axióma – od konjunkciek jej prvej časti) z Frm2 do Frm, kde

SAxCnj1st(φ,ψ) = (φ∧ψ)→φ,

I SAxExBEqv (”simple axiom – eqity of Boolean type is equivalence“ – jednoduchá axióma – booleovskárovnosť je ekvivalencia) z Frm2 do Frm, kde

SAxExBEqv(φ,ψ) = (φ =Boo ψ)↔ (φ↔ψ),

I SAxExBEqv (”simple axiom – implication inverson“ – jednoduchá axióma – obmena implikácie) z Frm2

do Frm, kdeSAxImpInv(φ,ψ) = (φ→ψ)↔ (¬ψ→¬φ),


I SAxCnjIdp (”simple axiom – conjunction idempotence“ – jednoduchá axióma – idempotencia konjunkcie)z Frm1 do Frm, kde

SAxCnjIdp(φ) = (φ∧φ)↔φ,

I SAxDsjImp (”simple axiom – from disjunction to implication“ – jednoduchá axióma – od disjunkciek implikácii) z Frm2 do Frm, kde

SAxDsjImp(φ,ψ) = (φ∨ψ)↔ (¬φ→ψ),

I SAxDsjCnj (”simple axiom – from disjunction to conjunction“ – jednoduchá axióma – od disjunkcie kukonjunkcii) z Frm2 do Frm, kde

SAxDsjCnj(φ1, φ2) = (φ1 ∨φ2)↔¬(¬φ1 ∧¬φ2).

V1 Každá jednoduchá axióma je tautológia.

Nech I je ľubovoľná štandardná interpretácia a E ľubovoľné I-ohodnotenie premenných.

I E(SAxConTru())

= E(⊤)(podľa definície),

= 1(podľa vety 1.6.1).

I E(¬⊥) = 1,akk E(⊥) = 0

(podľa vety 1.6.1),akk E(⊤) = 1

(obe strany ekvivalencie sú podľa vety 1.6.1 pravdivé).Podľa vety 1.6.2 potom E(SAxFlsTru()) = E(⊥↔¬⊤) = 1.

I E(¬¬φ) = 1,akk E(¬φ) = 0

(podľa vety 1.6.1),akk E(φ) = 1

(podľa vety 1.6.1).Podľa vety 1.6.2 potom E(SAxNegNeg(φ)) = E(¬¬φ↔φ) = 1.

I E(SAxCnjNeg(φ)) = 0(predpoklad s cieľom dostať spor),

E(¬(φ∧¬φ)) = 0(podľa definície),

E(φ∧¬φ) = 1(podľa vety 1.6.1),

E(φ) = 1 a E(¬φ) = 1(podľa vety 1.6.1),

E(φ) = 1 a E(φ) = 0(podľa vety 1.6.1),

1 = 0(tranzitivita rovnosti),

čo je spor so štandardnosťou I.I E(φ↔⊤) = 1,

akk E(φ) = E(⊤)(podľa vety 1.6.1),

akk E(φ) = 1(podľa vety 1.6.1).

Podľa vety 1.6.2 potom E(SAxEqvTru(φ)) = E((φ↔⊤)↔φ) = 1.


I E(φ↔⊥) = 1,akk E(φ) = E(⊥)

(podľa vety 1.6.1),akk E(φ) = 0

(podľa vety 1.6.1),akk E(¬φ) = 1

(podľa vety 1.6.1).Podľa vety 1.6.2 potom E(SAxEqvFls(φ)) = E((φ↔⊥)↔¬φ) = 1.

I E(SAxImpFls(φ)) = 0(predpoklad s cieľom dostať spor),

E(⊥→φ) = 0(podľa definície),

E(⊥) = 1 a E(φ) = 0(podľa vety 1.6.1),

E(⊥) = 1,čo je spor s vetou 1.6.1.

I E((ψ→φ)∧ (φ→ψ)) = 1,akk E(φ→ψ) = 1 a E(ψ→φ) = 1

(podľa vety 1.6.1),akk E(φ) ≤B E(ψ) a E(ψ) ≤B E(φ)

(podľa vety 1.6.3),akk E(φ) = E(ψ)

(z antisymetrickosti usporiadania ≤B),akk E(φ↔ψ) = 1

(podľa vety 1.6.1).Podľa vety 1.6.2 potom E(SAxEqvDcm(φ,ψ)) = E((φ↔ψ)↔ ((ψ→φ)∧ (φ→ψ))) = 1.

I E(SAxEqvImp(φ,ψ)) = 0(predpoklad s cieľom dostať spor),

E((φ↔ψ)→ (φ→ψ)) = 0(podľa definície),

E(φ↔ψ) = 1 a E(φ→ψ) = 0(podľa vety 1.6.1),

E(φ) = E(ψ), E(φ) = 1 a E(ψ)) = 0(podľa vety 1.6.1).

1 = 0(dosadenie),

čo je spor so štandardnosťou I.I E(φ↔¬ψ) = 1,

akk E(φ) = E(¬ψ)(podľa vety 1.6.1),

akk E(φ) = E(ψ)(podľa vety 1.6.1),

akk E(φ↔ψ) = 0(podľa vety 1.6.1),

akk E(¬(φ↔ψ)) = 1(podľa vety 1.6.1).

Podľa vety 1.6.2 potom E(SAxNegEqv(φ,ψ)) = E(¬(φ↔ψ)↔ (φ↔¬ψ)) = 1.I E(φ1 ∧φ1) = 1,

akk E(φ1) = 1 a E(φ2) = 1(podľa vety 1.6.1),

akk E(φ2) = 1 a E(φ1) = 1,


E(φ2 ∧φ1) = 1(podľa vety 1.6.1).

Podľa vety 1.6.2 potom E(SAxComCnj(φ1, φ2)) = E((φ1 ∧φ2)↔ (φ1 ∧φ2)) = 1.I E(φ1↔φ1) = 1,

akk E(φ1) = E(φ2)(podľa vety 1.6.1),

akk E(φ2) = E(φ1)(symetria rovnosti),

akk E(φ2 ∧φ1) = 1(podľa vety 1.6.1).

Podľa vety 1.6.2 potom E(SAxComEqv(φ1, φ2)) = E((φ1↔φ2)↔ (φ1↔φ2)) = 1.I E(SAxTrnImp(φ,ψ, ξ)) = 0

(predpoklad s cieľom dostať spor),E(((φ→ψ)∧ (ψ→ ξ))→ (φ→ ξ)) = 0

(podľa definície),E((φ→ψ)∧ (ψ→ ξ)) = 1 a E(φ→ ξ) = 0

(podľa vety 1.6.1),E(φ→ψ) = 1, E(ψ→ ξ) = 1 a E(φ→ ξ) = 0

(podľa vety 1.6.1),E(φ) ≤B E(ψ), E(ψ) ≤B E(ξ) a E(φ→ ξ) = 0

(podľa vety 1.6.3),E(φ) ≤B E(ξ) a E(φ→ ξ) = 0

(tranzitivita ≤B),E(φ) ≤B E(ξ), E(φ) = 1 a E(ξ) = 0

(podľa vety 1.6.1),1 ≤B 0

(dosadenie),čo je spor so štandardnosťou I.

I E(φ→ (ψ→ ξ)) = 0,akk E(φ) = 1 a E(ψ→ ξ) = 0

(podľa vety 1.6.1),akk E(φ) = 1, E(ψ) = 1 a E(ξ) = 0

(podľa vety 1.6.1),akk E(φ∧ψ) = 1 a E(ξ) = 0

(podľa vety 1.6.1),akk E((φ∧ψ)→ ξ) = 0

(podľa vety 1.6.1).Podľa vety 1.6.2 potom E(SAxCnjImp(φ,ψ, ξ)) = E(((φ∧ψ)→ ξ)↔ (φ→ (ψ→ ξ))) = 1.

I E(SAxCnjAnt(φ1, ψ1, φ2, ψ2)) = 0(predpoklad s cieľom dostať spor),

E(((φ1→ψ1)∧ (φ2→ψ2))→ ((φ1 ∧φ2)→ (ψ1 ∧ψ2))) = 0(podľa definície),

E((φ1→ψ1)∧ (φ2→ψ2)) = 1 a E((φ1 ∧φ2)→ (ψ1 ∧ψ2)) = 0(podľa vety 1.6.1),

E(φ1→ψ1) = 1, E(φ2→ψ2) = 1, E(φ1 ∧φ2) = 1 a E(ψ1 ∧ψ2) = 0(podľa vety 1.6.1),

E((φ1→ψ1)∧ (φ2→ψ2)) = 1 a E((φ1 ∧φ2)→ (ψ1 ∧ψ2)) = 0(podľa vety 1.6.1),

E(φ1→ψ1) = 1, E(φ2→ψ2) = 1, E(φ1 ∧φ2) = 1, a E(ψ1 ∧ψ2) = 0(podľa vety 1.6.1),

E(φ1) ≤B E(ψ1), E(φ2) ≤B E(ψ2), E(φ1 ∧φ2) = 1 a E(ψ1 ∧ψ2) = 0(podľa vety 1.6.3),


E(φ1) ≤B E(ψ1), E(φ2) ≤B E(ψ2), E(φ1) = 1, E(φ2) = 1 a E(ψ1 ∧ψ2) = 0(podľa vety 1.6.1),

1 ≤B E(ψ1), 1 ≤B E(ψ2) a E(ψ1 ∧ψ2) = 0(dosadenie),

E(ψ1) = 1, E(ψ2) = 1 a E(ψ1 ∧ψ2) = 0(lebo B1 = maxB B),

E(ψ1 ∧ψ2) = 1 a E(ψ1 ∧ψ2) = 0(podľa vety 1.6.1),

1 = 0(tranzitivita rovnosti),

čo je spor so štandardnosťou I.I E(SAxDsjAnt(φ1, ψ1, φ2, ψ2)) = 0

(predpoklad s cieľom dostať spor),E(((φ1→ψ1)∧ (φ2→ψ2))→ ((φ1 ∨φ2)→ (ψ1 ∨ψ2))) = 0

(podľa definície),E((φ1→ψ1)∧ (φ2→ψ2)) = 1 a E((φ1 ∨φ2)→ (ψ1 ∨ψ2)) = 0

(podľa vety 1.6.1),E(φ1→ψ1) = 1, E(φ2→ψ2) = 1, E(φ1 ∨φ2) = 1 a E(ψ1 ∨ψ2) = 0

(podľa vety 1.6.1),E(φ1) ≤B E(ψ1), E(φ2) ≤B E(ψ2), E(φ1 ∨φ2) = 1 a E(ψ1 ∨ψ2) = 0

(podľa vety 1.6.3),E(φ1) ≤B E(ψ1), E(φ2) ≤B E(ψ2), E(φ1 ∨φ2) = 1, E(ψ1) = 0 a E(ψ2) = 0

(podľa vety 1.6.1),E(φ1) ≤B 0, E(φ2) ≤B 0 a E(φ1 ∨φ2) = 1

(dosadenie),E(φ1) = 0, E(φ2) = 0, a E(φ1 ∨φ2) = 1

(lebo B0 = minB B),E(φ1 ∨φ2) = 0 a E(φ1 ∨φ2) = 1

(podľa vety 1.6.1),0 = 1

(tranzitivita rovnosti),čo je spor so štandardnosťou I.

I E(SAxCnj1st(φ,ψ)) = 0(predpoklad s cieľom dostať spor),

E((φ∧ψ)→φ) = 0(podľa definície),

E(φ∧ψ) = 1 a E(φ) = 0(podľa vety 1.6.1),

E(φ) = 1, E(ψ) = 1 a E(φ) = 0(podľa vety 1.6.1),

E(φ) = 1 a E(φ) = 0,1 = 0

(tranzitivita rovnosti),čo je spor so štandardnosťou I.

I E((φ1 =Boo φ2)) = 1,

akk E(φ1) = E(φ2)(podľa vety 1.6.1),

akk E((φ1↔φ2)) = 1(podľa vety 1.6.1).

Podľa vety 1.6.2 potom E(SAxExBEqv(φ1, φ2)) = E((φ1 =Boo φ2)↔ (φ1↔φ2)) = 1.

I E(¬ψ→¬φ) = 0,akk E(¬ψ) = 1 a E(¬φ) = 0

(podľa vety 1.6.1),


akk E(ψ) = 0 a E(φ)) = 1(podľa vety 1.6.1),

akk E(φ) = 1 a E(ψ)) = 0

akk E(φ→ψ) = 0(podľa vety 1.6.1).

Podľa vety 1.6.2 potom E(SAxImpInv(φ,ψ)) = E((φ→ψ)↔ (¬ψ→¬φ)) = 1.I E(φ∧φ) = 1,

akk E(φ) = 1 a E(φ) = 1(podľa vety 1.6.1),

akk E(φ) = 1.Podľa vety 1.6.2 potom E(SAxCnjIdp(φ)) = E((φ∧φ)↔φ) = 1.

I E(¬φ→ψ) = 0,akk E(¬φ) = 1 a E(ψ) = 0

(podľa vety 1.6.1),akk E(φ) = 0 a E(φ) = 0

(podľa vety 1.6.1),akk E(φ∨ψ) = 0

(podľa vety 1.6.1).Podľa vety 1.6.2 potom E(SAxDsjImp(φ,ψ)) = E((φ∨ψ)↔ (¬φ→ψ)) = 1.

I E(¬(¬φ1 ∧¬φ2)) = 0,akk E((¬φ1 ∧¬φ2)) = 1

(podľa vety 1.6.1),akk E(¬φ1) = 1 a E(¬φ2) = 1

(podľa vety 1.6.1),akk E(φ1) = 0 a E(φ2) = 0

(podľa vety 1.6.1),akk E(φ1 ∨φ2) = 0

(podľa vety 1.6.1).Podľa vety 1.6.2 potom E(SAxDsjCnj(φ1, φ2)) = E((φ1 ∨φ2)↔¬(¬φ1 ∧¬φ2)) = 1.

D a Nech T ∈ Typ. Definujme zobrazenie EAxRflT (”equation axiom of reflexivity“ – rovnosťová axiómareflexívnosti) z ExpT do Frm vzťahom

EAxRflT (e) = (e =T e).

b Nech T ∈ Typ. Definujme zobrazenie EAxSmtT (”equation axiom of symmetricity“ – rovnosťová axiómasymetrickosti) z (ExpT )2 do Frm vzťahom

EAxSmtT (e1, e2) = (e1 =T e2)↔ (e2 =T e

1).

c Nech T ∈ Typ. Definujme zobrazenie EAxTrnT (”equation axiom of transitivity“ – rovnosťová axiómatranzitívnosti) z (ExpT )3 do Frm vzťahom

EAxTrnT (e1, e2, e3) = ((e1 =T e2)∧ (e2 =T e

3))→ (e1 =T e3).

d Nech s ∈ Sym, n ∈ N+, ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩, out(s) = T Definujme zobrazenie EAxSmbs (”equationaxiom for the symbol“ – rovnosťová axióma pre symbol) z (InRs)2 do Frm vzťahom

EAxSmbs(⟨e11, . . . , e1n⟩, ⟨e21, . . . , e2n⟩) =

= Allbvt(s)(Cnjn((e11 =T1 e21), . . . , (e

1n =Tn e

2n)))→ (se11 . . . e

1n =T se

21 . . . e

2n).

e Nech s ∈ Sym, bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, bvt(t) = ⟨w1, . . . , wp⟩ a fam(s) = fam(t). Definujme zobrazenieEAxFmls,t (”equation axiom for the family“ – rovnosťová axióma pre rodinu symbolov) z InRs do Frmvzťahom

EAxFmls,t(⟨e1, . . . , en⟩) =

(se1 . . . en =out(s) tIde⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e1) . . . Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(en)).


D Pod rovnosťovými axiómami rozumieme nasledujúce formuly:

a EAxRflT (e), kde T ∈ Typ a e ∈ ExpT ,b EAxSmtT (e1, e2), kde T ∈ Typ a e1, e2 ∈ ExpT ,c EAxTrnT (e1, e2, e3), kde T ∈ Typ a e1, e2, e3 ∈ ExpT ,d EAxSmbs(⟨e11, . . . , e1n⟩, ⟨e21, . . . , e2n⟩), kde s ∈ Sym a ⟨e11, . . . , e1n⟩, ⟨e21, . . . , e2n⟩ ∈ InRs,e EAxFmls,t(⟨e1, . . . , en⟩), kde s, t ∈ Sym, fam(s) = fam(t), ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs a ak bvt(s) =⟨v1, . . . , vp⟩ a bvt(t) = ⟨w1, . . . , wp⟩, tak pre každé i z {1, . . . , n} platí Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩ ∈ ASb(ei)a pre každé q z {1, . . . , p} platí wq /∈ fve(se1 . . . en).

P Ak v časti d s ∈ Nob, tak axióma má tvar Cnjn((e11 =T1 e21), . . . , (e

1n =Tn e

2n))→ (se11 . . . e

1n =T se

21 . . . e

2n).

P Ak v časti e s ∈ Nob, tak t = s, a teda axióma má tvar (se1 . . . en =out(s) se1 . . . en), čo je rovnosťová axiómatypu a. Tento typ axiómy má teda zmysel iba pre s mimo Nob.

V2 Každá rovnosťová axióma je tautológia.

Nech I je štandardná interpretácia a E ∈ EvV.

a Nech e je výraz typu T . Potom triviálne platí E(e) = E(e), z čoho podľa vety 1.6.1 dostávameE(EAxRfl(e)) = E(e =T e) = 1.

b Nech e1 a e2 sú výrazy typu T . Potom platí:E((e1 =T e

2)) = 1,akk E(e1) = E(e2)

(podľa vety 1.6.1),akk E((e2 =T e

1)) = 1(podľa vety 1.6.1).

Podľa vety 1.6.2 potom E(EAxSmt(e1, e2)) = E((e1 =T e2)↔ (φ2 =T φ

1)) = 1.c Nech e, f a g sú výrazy typu T , ktoré nevyhovujú. Potom postupne platí:E(EAxTrn(e, f, g) = 0

(to je tá nevyhovujúcosť),E(((e =T f)∧ (f =T g))→ (e =T g)) = 0

(definícia),akk E((e =T f)∧ (f =T g)) = 1 a E(e =T g) = 0

(podľa vety 1.6.1),akk E(e =T f) = 1, E(f =T g) = 1 a E(e =T g) = 0

(podľa vety 1.6.1),akk E(e) = E(f), E(f) = E(g) a E(e) = E(g)

(podľa vety 1.6.1),čo je však spor s tranzitivitou rovnosti.

d Nech s ∈ Sym, kde ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩, out(s) = T , a bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩. Nech e11, …, e1n ae21, …, e2n sú výrazy také, že pre každé j z {1, 2} platí ⟨ej1, . . . , ejn⟩ ∈ InRs, nevyhovujú. Potom postupneplatí:E(EAxSmbs(⟨e11, . . . , e1n⟩, ⟨e21, . . . , e2n⟩)) = 0

(to je tá nevyhovujúcosť),E(Allbvt(s)(Cnjn((e11 =T1 e

21), . . . , (e

1n =Tn e

2n)))→ (se11 . . . e

1n =T se

21 . . . e

2n)) = 0

(definícia),E(Allbvt(s)(Cnjn((e11 =T1 e

21), . . . , (e

1n =Tn e

2n)))) = 1 a E(se11 . . . e

1n =T se

21 . . . e

2n) = 0

(podľa vety 1.6.1),E(All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn((e11 =T1 e

21), . . . , (e

1n =Tn e

2n)))) = 1 a E(se11 . . . e

1n =T se

21 . . . e

2n) = 0,

min{E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(Cnjn((e11 =T1 e

21), . . . , (e

1n =Tn e

2n))) :

⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))} = 1a E(se11 . . . e

1n =T se

21 . . . e

2n) = 0



ak ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp)),tak E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(Cnj

n((e11 =T1 e21), . . . , (e

1n =Tn e

2n))) = 1,

a E(se11 . . . e1n =T se

21 . . . e

2n) = 0,

ak ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp)),tak pre každé i z {1, . . . , n} platí E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩((e

1i =Ti e

2i )) = 1,

a E(se11 . . . e1n =T se

21 . . . e

2n) = 0

(podľa vety 1.6.5),ak ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp)),

tak pre každé i z {1, . . . , n} platí E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e1i ) = E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e

2i ),

ale E(se11 . . . e1n) = E(se21 . . . e

2n)

(podľa vety 1.6.1),ak ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp)),

tak pre každé i z {1, . . . , n} platí E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e1i ) = E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e

2i ),

ale (ISym(s))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩, ⟨E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e11), . . . , E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e

1n)⟩⟩ :

⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))}) == (ISym(s))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩, ⟨E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e

21), . . . , E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e

2n)⟩⟩ :

⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))})(podľa definície E),

čo je však spor.e Nech s ∈ Sym, bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, bvt(t) = ⟨w1, . . . , wp⟩, fam(s) = fam(t), ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs,

pre každé i z {1, . . . , n} platí Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩ ∈ ASb(ei) a pre každé q z {1, . . . , p} platí wq /∈fve(se1 . . . en). Potom platí:

E(tIde⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e1) . . . Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(en)) = 1,akk (ISym(t))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩,⟨E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e1)), . . . , E⟨w1,...,wp⟩,⟨m1,...,mp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(en))⟩⟩ :

⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(w1))× · · · × ITyp(typ(wp))}) = 1(podľa definície E),

akk (ISym(t))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩, ⟨E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e1), . . . , E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(en)⟩⟩ :⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(w1))× · · · × ITyp(typ(wp))})) = 1(pre každé i z {1, . . . , n} podľa vety 1.8.12, ktorej podmienka Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩ ∈ ASb(ei) jesplnená podľa predpokladu a podmienka, že pre každé q z {1, . . . , p} platí wq /∈ fve(ei)r{v1, . . . , vp},je splnená, lebo podľa predpokladu a definície fve platí wq /∈ fve(se1 . . . en) =

∪i∈{1,...,n} fve(ei) r

{v1, . . . , vp}),akk (ISym(t))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩, ⟨E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e1), . . . , E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(en)⟩⟩ :⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))})) = 1(lebo pre každé q z {1, . . . , p} platí typ(wq) = typ(vq)),

akk (ISym(s))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩, ⟨E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(e1), . . . , E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(en)⟩⟩ :⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))})) = 1(lebo ISym(t) = ISym(s), keďže fam(s) = fam(t) a interpretácia I je štandardná),

akk E(se1 . . . en) = 1(podľa definície E).

Podľa vety 1.6.2 potom E(EAxFmls,t(⟨e1, . . . , en⟩)) = 1.

D Nech v1, …, vp ∈ TDEVar a ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈ Expp, pričom pre každé q z {1, . . . , p} platí fq ∈ Exptyp(tq).Definujme zobrazenie AxiSpc (”axiom of specification“ – axióma špecifikácie) z Frm do Frm vzťahom

AxiSpc⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ) = All⟨v1,...,vp⟩(φ)→ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ).

D Pod axiómou špecifikácie rozumieme ľubovoľnú formulu AxiSpc⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ), kde φ je formula, v1, …, vpsú rôzne premenné a f1, …, fp sú výrazy také, že pre každé i z {1, . . . , p} platí typ(fi) = typ(vi), pričom platíIde⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩ ∈ ASb(φ).


P Špeciálnym prípadom axiómy špecifikácie je ∀vφ→φ pre ľubovoľnú premennú v a formulu φ, lebo Idev,v = Idea Ide ∈ ASb(ψ) platí podľa vety 1.8.9.

V3 Nech φ ∈ Frm, v1, …, vp sú rôzne premenné a f1, …, fp sú výrazy také, že pre každé i z {1, . . . , p} platítyp(fi) = typ(vi) a Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩ ∈ ASb(φ). Potom AxiSpc⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ) je tautológia.

Nech I je štandardná interpretácia a E ∈ EvV.Tvrdenie dokážeme sporom:

E(AxiSpc⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ) = 0(predpoklad s cieľom dospieť k sporu),

E(All⟨v1,...,vp⟩(φ)→ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)) = 0

(podľa definície AxiSpc⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩),

E(All⟨v1,...,vp⟩(φ)) = 1 a E(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)) = 0(podľa vety 1.6.1),

min{E⟨v1,...,vp⟩,⟨m1,...,mp⟩(φ) : ⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))} = 1

a E(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)) = 0(podľa vety 1.6.6),

E⟨v1,...,vp⟩,E(f1),...,E(fp)(φ) = 1 a E(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)) = 0

(lebo pre každé q z {1, . . . , p} podľa definície E platí E(fq) ∈ ITyp(typ(fq)) = ITyp(typ(vq))),

E(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)) = 1 a E(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)) = 0(podľa vety 1.8.12, pričom jej podmienka Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩ ∈ ASb(φ) je splnená podľa predpokladu),

1 = 0(z tranzitivity rovnosti),

čo je spor so štandardnosťou I.

D Nech v je premenná. Definujme zobrazenie AxiQuav (”axiom of quantification“ – axióma kvantifikácie) z Frm2

do Frm vzťahomAxiQuav(φ,ψ) = ∀v(φ→ψ)↔ (φ→∀vψ).

D Pod axiómou kvantifikácie rozumieme ľubovoľnú formulu AxiQuav(φ,ψ), kde φ a ψ sú formuly a v je premenná,pričom platí v /∈ fve(φ).

V4 Nech φ a ψ sú formuly a v je premenná, pričom platí v /∈ fve(φ). Potom AxiQuav(φ,ψ) je tautológia.

Nech I je štandardná interpretácia a E ∈ EvV. Potom platí:

E(∀v(φ→ψ)) = 0,min({Ev,m(φ→ψ) : m ∈ ITyp(typ(v))}) = 0

(podľa definície E),existuje m z ITyp(typ(v)), že platí Ev,m(φ→ψ) = 0,existuje m z ITyp(typ(v)), že platí Ev,m(φ) = 1 a Ev,m(ψ) = 0

(podľa vety 1.6.1),existuje m z ITyp(typ(v)), že platí E(φ) = 1 a Ev,m(ψ) = 0

(lebo Ev,m(φ) = E(φ), a to podľa definície Ev,m a vety 1.5.1, keďže podľa predpokladu v /∈ fve(φ)),E(φ) = 1 a existuje m z ITyp(typ(v)), že platí Ev,m(ψ) = 0

(E(φ) = 1 nesúvisí s m),E(φ) = 1 a min({Ev,m(ψ) : m ∈ ITyp(typ(v))}) = 0

E(φ) = 1 a E(∀vψ) = 0(podľa definície E),

E(φ→∀vψ) = 0(podľa vety 1.6.1).


Podľa vety 1.6.2 potom E(E(AxiQuav(φ,ψ))) = E(∀v(φ→ψ)↔ (φ→∀vψ)) = 1.

D Nech v je premenná. Definujme zobrazenie AxiExiv (”axiom of existence“ – axióma existencie) z Frm do Frmvzťahom

AxiExiv(φ) = ∃vφ↔¬∀v¬φ.

D Pod axiómou existencie rozumieme ľubovoľnú formulu AxiExiv(φ), kde v je premenná a φ je formula.

V5 Nech v je premenná a φ je formuly. Potom AxiExiv(φ) je tautológia.

Nech I je štandardná interpretácia a E ∈ EvVI .Potom platí:

E(¬∀v¬φ) = 0,akk E(∀v¬φ) = 1

(podľa vety 1.6.1),akk min({Ev,m(¬φ) : m ∈ ITyp(typ(v))}) = 1

(podľa definície E),akk pre každé m z ITyp(typ(v)) platí Ev,m(¬φ) = 1,akk pre každé m z ITyp(typ(v)) platí Ev,m(φ) = 0

(podľa vety 1.6.1),akk neplatí, že existuje m z ITyp(typ(v)) také, že platí Ev,m(φ) = 1,akk neplatí, že max({Ev,m(φ) : m ∈ ITyp(typ(v))}) = 1,akk neplatí, že E(∃vφ) = 1

(podľa definície E),akk E(∃vφ) = 0

(keďže I je štandardná interpretácia, existujú len dve možné hodnoty).

Podľa vety 1.6.2 potom E(E(AxiExiv(φ,ψ))) = E(∃vφ↔¬∀v¬φ) = 1.

D Pod logickou axiómou (alebo krátko axiómou) budeme rozumieť ľubovoľnú z týchto formúl:

I každú jednoduchú axiómuI každú rovnosťovú axiómu,I každú axiómu špecifikácie,I každú axiómu kvantifikácie,I každú axiómu existencie.

V6 Každá axióma je tautológia.

Je to zhrnutie viet 1, 2, 3, 4 a 5.

…

D Nech φ je formula. Definujme funkciu FrGφ (”formula generator“ –generátor formuly) z množiny {} do množinyFrm vzťahom

FrGφ() = φ.

D Definujme funkciu MPo zvanú modus ponens z množiny {⟨φ→ψ,φ⟩ : φ,ψ ∈ Frm} do množiny Frm vzťahom

MPo(φ→ψ,φ) = ψ.

D Nech T je teória. Množinu indukovanú zobrazeniami {FrGφ : φ ∈ Axi ∪ T } ∪ {MPo} ∪ {Allv : v ∈ Var}budeme nazývať ThmT (”T -theorems“ – T -vety).Každý prvok ThmT budeme nazývať veta teórie T alebo T -dokázateľná formula.


P Explicitne teda máme, že ThmT je najmenšia podmnožina Frm, pre ktorú platí:

1a Axi ⊆ ThmT .1b T ⊆ ThmT .2a Ak φ→ψ ∈ ThmT a φ ∈ ThmT , tak aj ψ ∈ ThmT .2b Ak φ ∈ ThmT a v ∈ Var, tak aj ∀vφ ∈ ThmT .

V7 (o matematickej indukcii cez ThmT )

Nech T je teória. Nech A je podmnožina množiny ThmT , pre ktorú platí:

1a Axi ⊆ A.1b T ⊆ A.2a Ak φ→ψ ∈ A a φ ∈ A, tak aj ψ ∈ A.2b Ak φ ∈ A a v ∈ Var, tak aj ∀vφ ∈ A.

Potom A = ThmT .

Je to špeciálny prípad vety A1.5.5.

D Namiesto φ ∈ ThmT budeme písať T ⊢φ.

V8 (o korektnosti odvodzovania)

Nech T je teória a φ formula. Potom ak T ⊢φ, tak T |=φ.

Dokážeme to matematickou indukciou cez ThmT (t. j. podľa vety 7). Nech A = {φ ∈ ThmT : T |=φ}.

1a Nech φ je axióma. Podľa vety 6 je φ tautológia, a teda ∅ |=φ. Podľa vety 1.7.9 potom T |=φ, takžeφ ∈ A.

1b Nech φ ∈ T . Pre ľubovoľný model I teórie T teda platí I |=φ. To však znamená, že T |=φ, t. j. φ ∈ A.2a Nech platí φ→ψ ∈ ThmT ∩ A a φ ∈ ThmT ∩ A. Potom T |=φ→ψ a T |=φ, takže podľa vety 1.7.3T |=ψ. Podľa definície ThmT však platí aj T ⊢ψ, takže ψ ∈ A.

2b Nech platí φ ∈ ThmT ∩A. Potom T |=φ, takže podľa vety 1.7.4 T |= ∀vφ. Podľa definície ThmT všakplatí aj T ⊢∀vφ, takže ∀vψ ∈ A.

Podľa vety 7 už dostávame A = ThmT .

D Namiesto ∅⊢φ budeme písať ⊢φ.

D Namiesto o ∅-vete hovoríme o logickej vete.

V9 (o logických vetách)

Nech φ je formula. Potom ak ⊢φ, tak |=φ.


V10 Nech T a U sú teórie také, že U ⊆ ThmT . Nech φ je formula. Potom ak U ⊢φ, tak T ⊢φ.

Dokážeme to matematickou indukciou cez ThmU (t. j. podľa vety 7). Nech A = {φ ∈ ThmU : φ ∈ ThmT }.

1a Nech φ je axióma.Potom podľa definície platí φ ∈ ThmT , t. j. φ ∈ A.

1b Nech φ ∈ U .Potom podľa predpokladu φ ∈ ThmT , t. j. T ∈ A.

2a Nech φ a ψ sú formuly také, že platí φ→ψ ∈ A a φ ∈ A, t. j. φ→ψ,φ ∈ ThmU , φ→ψ ∈ ThmT

a φ ∈ ThmT . takže podľa definície ThmT platí ψ ∈ ThmkT . Podľa definície ThmU však platí ajψ ∈ ThmkU , takže ψ ∈ A.


2b Nech φ ∈ A, t. j. φ ∈ ThmU a φ ∈ ThmT . takže podľa definície ThmT platí ∀vφ ∈ ThmkT . Podľadefinície ThmU však platí aj ∀vφ ∈ ThmkU , takže ∀vφ ∈ A.

Podľa vety 7 už dostávame A = ThmT .

V11 Nech T a U sú teórie také, že U ⊆ T . Nech φ je formula. Potom ak U ⊢φ, tak T ⊢φ.

Keďže podľa predpokladu a definície ThmT platí U ⊆ T ⊆ ThmT , a teda U ⊆ ThmT , je to špeciálny prípadvety 10.

…

V12 (o generalizácii)

Nech T je teória a v1, …, vp sú premenné. Nech φ je formula. Potom T ⊢All⟨v1,...,vp⟩φ, práve keď T ⊢φ.

Tvrdenie dokážeme matematickou indukciou cez Var∗ (t. j. podľa vety A4.1.3):

1 Podľa definície All⟨⟩(φ) = φ, takže tvrdenie pre ⟨⟩ platí triviálne.2 Nech v1, …, vp+1 sú premenné a nech platí indukčný predpoklad pre ⟨v1, . . . , vp⟩.

S1 Nech v je premenná ψ je formula. Potom T ⊢∀vψ, práve keď T ⊢ψ.

←←←←←←←←← Je to generalizácia.→→→→→→→→→ T ⊢∀vψ→ψ

(je to axióma AxiSpcv,v(ψ)),T ⊢∀vψ

(predpoklad),T ⊢ψ

(modus ponens).Potom platí:T ⊢All⟨v1,...,vp+1⟩φ,akk T ⊢∀vp+1All

⟨v1,...,vp⟩(φ)(podľa definície),

akk T ⊢All⟨v1,...,vp⟩φ(podľa sublemy 1),

akk T ⊢φ(podľa indukčného predpokladu).

Tvrdenie teda platí i pre ⟨v1, . . . , vp+1⟩.

V13 (o substitúcii)

Nech T je teória, φ je formula a σ substitúcia z ASb(φ). Potom ak T ⊢φ, tak T ⊢σ(φ).

Nech fve(φ) = {v1, . . . , vp}, pričom v1, …, vp sú rôzne.

S1 Ide⟨v1,...,vp⟩,σ(vi),...,σ(vi) ∈ ASb(φ).

Pre každé u z fve(e) podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,σ(vi),...,σ(vi) platí Ide⟨v1,...,vp⟩,σ(vi),...,σ(vi)(u) = σ(u).Keďže podľa predpokladu σ ∈ ASb(φ), podľa vety 1.8.5 dostávame dokazované tvrdenie.

Postupne platí:

T ⊢φ(predpoklad),

T ⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ)(podľa vety 26 o generalizácii),


T ⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ)→ Ide⟨v1,...,vp⟩,σ(vi),...,σ(vi)(φ)

(lebo je to axióma AxiSpc⟨v1,...,vp⟩,σ(vi),...,σ(vi)(φ), keďže pre každé i z {1, . . . , p} platí typ(σ(vi)) =typ(vi) a podmienka je splnená podľa sublemy 1),

T ⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,σ(vi),...,σ(vi)(φ)(modus ponens),

T ⊢σ(φ)(podľa vety 1.5.1, lebo pre každé u z fve(e) platí Ide⟨v1,...,vp⟩,σ(vi),...,σ(vi)(u) = σ(u)).

…

D Nech T je teória. Elementárnym dôkazom T -vety φ nazývame ticu formúl ⟨φ1, . . . , φn⟩ takú, že pre každé iz {1, . . . , n} platí aspoň jedna z podmienok:

1a φi ∈ Axi.1b φi ∈ T .2a Existujú j a k z množiny {1, . . . , i− 1}, že φi = MPo(φj , φk).2b Existuje j z množiny {1, . . . , i− 1} a v z Var, že φi = Allv(φj).

• Teória grúp (už sme hovorili o jej jazyku), označme ju T , má takéto axiómy:

I x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z (asociativita ◦),I x ◦ n = x∧n ◦ x = x (neutralita n),I ∃y(x ◦ y = n∧ y ◦ x = n) (existencia inverzného prvku).

Nájdeme elementárny T -dôkaz formuly

((x ◦ y = n∧ y ◦ x = n)∧ (x ◦ z = n∧ z ◦ x = n))→ y = z

vyjadrujúcej jedinosť elementárneho prvku, (kde x, y a z sú premenné typu Group). Kvôli prehľadnosti priodvolávkach na axiómy teórie grúp budeme pracovať s inými rôznymi premennými typu Group, a to s a, b a c,k pôvodným sa vrátime až na úplnom konci, budeme teda vlastne väčšinu času dokazovať

((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c.

Myšlienka bude veľmi jednoduchá, neformálne (a vzhľadom na naše striktné pravidlá nesprávne) ju môžemevyjadriť dokonca jediným riadkom:

c = c ◦ n = c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b = b.

Najprv sa zameriame na druhú z týchto rovností formula φ7 ukazuje, že pri nej potrebujeme predpoklada ◦ b = n, ktorý je (po príslušnej zámene premenných) časťou jednej z axióm teórie grúp. Formulu φ7 môžemedosiahnuť pomocou rovnosťovej axiómy, no musíme sa zbaviť v podstate zbytočného predpokladu c = c. (Podzbavením sa predpokladu tu i na ďalších miestach rozumieme vhodné použitie modu ponens, uvedomme si, žeiný prostriedok na skrátenie formuly nemáme.) Na to spotrebujeme formuly φ2 až φ6 medzi nimi:

φ1 = (c = c∧ a ◦ b = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n(= EAxSmb◦(⟨c, a ◦ b⟩, ⟨c, n⟩)),

φ2 = ((c = c∧ a ◦ b = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)↔ (c = c→ (a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n))(= SAxCnjImp(c = c, a ◦ b = n, c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)),

φ3 = ((c = c∧ a ◦ b = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)↔ (c = c→ (a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n))→→ ((c = c∧ a ◦ b = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)→ (c = c→ (a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n))(= SAxEqvImp(φ1, φ5)),

φ4 = ((c = c∧ a ◦ b = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)→ (c = c→ (a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n))(= MPo(φ2, φ3)),

φ5 = c = c→ (a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)(= MPo(φ1, φ4)),


φ6 = c = c(= EAxRflGroup(c)),

φ7 = a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n(= MPo(φ5, φ6)).

Predpoklad b ◦ a = n síce reálne nepotrebujeme, musíme ho do výslednej formuly nejako dostať, a to prostred-níctvom umelo vytvorenej formuly φ19. Medzikrokom je tu formula φ12, pri ktorej sa však potrebujeme zbaviťpredpokladu c ◦ n = c. To sa udeje v pasáži φ13–φ18, ktorej začiatok je axiómou teórie grúp:

φ8 = (c ◦ n = c∧ b ◦ a = n)→ c ◦ n = c(= SAxCnj1st(c ◦ n = c, b ◦ a = n)),

φ9 = ((c ◦ n = c∧ b ◦ a = n)→ c ◦ n = c)↔ (c ◦ n = c→ (b ◦ a = n→ c ◦ n = c))(= SAxCnjImp(c ◦ n = c, b ◦ a = n, c ◦ n = c)),

φ10 = (((c ◦ n = c∧ b ◦ a = n)→ c ◦ n = c)↔ (c ◦ n = c→ (b ◦ a = n→ c ◦ n = c)))→→ (((c ◦ n = c∧ b ◦ a = n)→ c ◦ n = c)→ (c ◦ n = c→ (b ◦ a = n→ c ◦ n = c)))(= SAxEqvImp(φ8, φ12)),

φ11 = ((c ◦ n = c∧ b ◦ a = n)→ c ◦ n = c)→ (c ◦ n = c→ (b ◦ a = n→ c ◦ n = c))(= MPo(φ9, φ10)),

φ12 = c ◦ n = c→ (b ◦ a = n→ c ◦ n = c)(= MPo(φ8, φ11)),

φ13 = x ◦ n = x∧n ◦ x = x(axióma teórie grúp),

φ14 = ∀x(x ◦ n = x∧ n ◦ x = x)(= Allx(φ13)),

φ15 = ∀x(x ◦ n = x∧ n ◦ x = x)→ (c ◦ n = c∧ n ◦ c = c)(= AxiSpcx,c(φ13), pričom Idex,c ∈ ASb(φ13), a to podľa vety 1.8.4, lebo výraz φ13 je jednoduchý),

φ16 = c ◦ n = c∧n ◦ c = c(= MPo(φ14, φ15)),

φ17 = (c ◦ n = c∧n ◦ c = c)→ c ◦ n = c(= SAxCnj1st(c ◦ n = c, n ◦ c = c)),

φ18 = c ◦ n = c(= MPo(φ16, φ17)),

φ19 = b ◦ a = n→ c ◦ n = c(= MPo(φ18, φ16)),

Konjunkciou predpokladov medzivýsledkov φ7 a φ19 získame predpoklad formuly φ28 a konjunkciou ich záverovzasa jej záver. Urobíme tak pomocou príslušnej axiómy φ20, no musíme sa zbaviť jej predpokladov. Na toposlúžia všetky formuly medzi nimi:

φ20 = ((a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)∧ (b ◦ a = n→ c ◦ n = c))→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c))(= SAxCnjAnt(a ◦ b = n, c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n, b ◦ a = n, c ◦ n = c)),

φ21 = (((a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)∧ (b ◦ a = n→ c ◦ n = c))→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)))↔↔ ((a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)→→ ((b ◦ a = n→ c ◦ n = c)→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c))))(= SAxCnjImp(φ7, φ19, φ26)),

φ22 = ((((a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)∧ (b ◦ a = n→ c ◦ n = c))→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)))↔↔ ((a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)→→ ((b ◦ a = n→ c ◦ n = c)→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c))))→→ ((((a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)∧ (b ◦ a = n→ c ◦ n = c))→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)))→→ ((a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)→→ ((b ◦ a = n→ c ◦ n = c)→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)))))(= SAxEqvImp(φ20, φ24)),


φ23 = (((a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)∧ (b ◦ a = n→ c ◦ n = c))→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)))→→ ((a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)→→ ((b ◦ a = n→ c ◦ n = c)→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c))))(= MPo(φ21, φ22)),

φ24 = (a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n)→→ ((b ◦ a = n→ c ◦ n = c)→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)))(= MPo(φ20, φ23)),

φ25 = (b ◦ a = n→ c ◦ n = c)→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c))(= MPo(φ7, φ24)),

φ26 = (a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)(= MPo(φ19, φ25)),

Všimnime si, že zo záveru implikácie φ26 môžeme pomocou tranzitivity rovnosti vylúčiť c ◦ n a získať takformulu φ34, ktorá vlastne vybavuje prvé dve rovnosti z nášho neformálneho dôkazu. Zvyšné formuly majú ajtu iba pomocný charakter:

φ27 = ((c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)→ c ◦ (a ◦ b) = c)(= EAxTrnGroup(c ◦ (a ◦ b), c ◦ n, c)),

φ28 = (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)) ∧∧ ((c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)→ c ◦ (a ◦ b) = c))→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c)(= SAxTrnImp(a ◦ b = n∧ b ◦ a = n, c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c, c ◦ (a ◦ b) = c)),

φ29 = ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)) ∧∧ ((c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)→ c ◦ (a ◦ b) = c))→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c))↔↔ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)→ c ◦ (a ◦ b) = c)→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c)))(= SAxCnjImp(φ26, φ27, φ34)),

φ30 = (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)) ∧∧ ((c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)→ c ◦ (a ◦ b) = c))→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c))↔↔ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)→ c ◦ (a ◦ b) = c)→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c))))→→ (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)) ∧∧ ((c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)→ c ◦ (a ◦ b) = c))→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)→ c ◦ (a ◦ b) = c)→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c))))(= SAxEqvImp(φ28, φ32)),

φ31 = ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)) ∧∧ ((c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)→ c ◦ (a ◦ b) = c))→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)→ c ◦ (a ◦ b) = c)→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c)))(= MPo(φ29, φ30)),

φ32 = ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)→ c ◦ (a ◦ b) = c)→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c))(= MPo(φ28, φ31)),


φ33 = ((c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)→ c ◦ (a ◦ b) = c)→→ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c)(= MPo(φ26, φ32)),

φ34 = (a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c(= MPo(φ27, φ33)),

Teraz sa budeme venovať štvrtej rovnosti z nášho neformálneho dôkazu, Tá je analogická druhej, postup jepreto tiež v podstate rovnaký. Jedinou nepríjemnou odlišnosťou je, že predpoklad b = b, ktorého sa chcemeprimárne zbaviť, je až na druhom mieste predpokladu, čo nie je príliš v zhode s našimi axiómami, a tak si jehoodstránenie vyžaduje navyše jeho presun na začiatok formuly:

φ35 = (c ◦ a = n∧ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b(= EAxSmb◦(⟨c ◦ a, b⟩, ⟨n, b⟩)),

φ36 = (b = b∧ c ◦ a = n)↔ (c ◦ a = n∧ b = b)(= SAxComCnj(b = b, c ◦ a = n)),

φ37 = ((b = b∧ c ◦ a = n)↔ (c ◦ a = n∧ b = b))→ ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a = n∧ b = b))(= SAxEqvImp(b = b∧ c ◦ a = n, c ◦ a = n∧ b = b)),

φ38 = (b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a = n∧ b = b)(= MPo(φ36, φ37)),

φ39 = ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a = n∧ b = b))∧ ((c ◦ a = n∧ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→→ ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)(= SAxTrnImp(b = b∧ c ◦ a = n, c ◦ a = n∧ b = b, (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)),

φ40 = ((((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a = n∧ b = b))∧ ((c ◦ a = n∧ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))↔↔ (((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a = n∧ b = b))→→ (((c ◦ a = n∧ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)))(= SAxCnjImp(φ38, φ35, φ45)),

φ41 = (((((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a = n∧ b = b))∧ ((c ◦ a = n∧ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))↔↔ (((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a = n∧ b = b))→→ (((c ◦ a = n∧ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))))→→ (((((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a = n∧ b = b))∧ ((c ◦ a = n∧ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ (((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a = n∧ b = b))→→ (((c ◦ a = n∧ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))))(= SAxEqvImp(φ39, φ43)),

φ42 = ((((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a = n∧ b = b))∧ ((c ◦ a = n∧ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ (((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a = n∧ b = b))→→ (((c ◦ a = n∧ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)))(= MPo(φ40, φ41)),

φ43 = ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a = n∧ b = b))→→ (((c ◦ a = n∧ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))(= MPo(φ39, φ42)),

φ44 = ((c ◦ a = n∧ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)(= MPo(φ38, φ43)),

φ45 = (b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b(= MPo(φ35, φ44)),

φ46 = ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)↔ (b = b→ (c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))(= SAxCnjImp(b = b, c ◦ a = n, (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)),

φ47 = ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)↔ (b = b→ (c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (b = b→ (c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))(= SAxEqvImp(φ45, φ49)),


φ48 = ((b = b∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (b = b→ (c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))(= MPo(φ46, φ47)),

φ49 = b = b→ (c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)(= MPo(φ45, φ48)),

φ50 = b = b(= EAxRflGroup(b)),

φ51 = c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b(= MPo(φ49, φ50)),

Ďalšia časť je analogická pasáži φ8–φ19. Hoci ani predpoklad n ◦ b = b nijako neprispieva do dôkazu, potebu-jeme ho do výslednej formuly nejako začleniť. V tom nám pomôže formula φ67. Aj v tomto úseku si všimnimepoužitie axiómy teórie grúp, dokonca tej istej ako minule (φ57 = φ13 a následne aj φ58 = φ14). Všimnime sitiež, že vyhadzovanie predpoklad c ◦ a = n∧ b = b je tiež náročnejšie než minule:

φ52 = (n ◦ b = b∧ a ◦ c = n)→n ◦ b = b(= SAxCnj1st(n ◦ b = b, a ◦ c = n)),

φ53 = ((n ◦ b = b∧ a ◦ c = n)→n ◦ b = b)↔ (n ◦ b = b→ (a ◦ c = n→n ◦ b = b))(= SAxCnjImp(n ◦ b = b, a ◦ c = n, n ◦ b = b)),

φ54 = (((n ◦ b = b∧ a ◦ c = n)→ n ◦ b = b)↔ (n ◦ b = b→ (a ◦ c = n→n ◦ b = b)))→→ (((n ◦ b = b∧ a ◦ c = n)→n ◦ b = b)→ (n ◦ b = b→ (a ◦ c = n→n ◦ b = b)))(= SAxEqvImp(φ52, φ56)),

φ55 = ((n ◦ b = b∧ a ◦ c = n)→n ◦ b = b)→ (n ◦ b = b→ (a ◦ c = n→n ◦ b = b))(= MPo(φ53, φ54)),

φ56 = n ◦ b = b→ (a ◦ c = n→ n ◦ b = b)(= MPo(φ52, φ55)),


φ58 = ∀x(x ◦ n = x∧ n ◦ x = x)(= Allx(φ57)),

φ59 = ∀x(x ◦ n = x∧ n ◦ x = x)→ (b ◦ n = b∧ n ◦ b = b)(= AxiSpcx,c(φ57), pričom Idex,c ∈ ASb(φ57), a to podľa vety 1.8.4, lebo výraz φ57 je jednoduchý),

φ60 = b ◦ n = b∧ n ◦ b = b(= MPo(φ58, φ59)),

φ61 = (b ◦ n = b∧n ◦ b = b)↔ (n ◦ b = b∧ b ◦ n = b)(= SAxComCnj(b ◦ n = b, n ◦ b = b)),

φ62 = ((b ◦ n = b∧ n ◦ b = b)↔ (n ◦ b = b∧ b ◦ n = b))→→ ((b ◦ n = b∧n ◦ b = b)→ (n ◦ b = b∧ b ◦ n = b))(= SAxEqvImp(b ◦ n = b∧ n ◦ b = b, n ◦ b = b∧ b ◦ n = b)),

φ63 = (b ◦ n = b∧n ◦ b = b)→ (n ◦ b = b∧ b ◦ n = b)(= MPo(φ61, φ62)),

φ64 = n ◦ b = b∧ b ◦ n = b(= MPo(φ61, φ63)),

φ65 = (n ◦ b = b∧ b ◦ n = b)→n ◦ b = b(= SAxCnj1st(n ◦ b = b, b ◦ n = b)),

φ66 = n ◦ b = b(= MPo(φ61, φ65)),

φ67 = a ◦ c = n→n ◦ b = b(= MPo(φ66, φ56)),

Prichádza zlučovanie medzivýsledov φ51 a φ67, analogické úseku φ20–φ26:

φ68 = ((a ◦ c = n→n ◦ b = b)∧ (c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))(= SAxCnjAnt(a ◦ c = n,n ◦ b = b, c ◦ a = n, (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)),


φ69 = (((a ◦ c = n→ n ◦ b = b)∧ (c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)))↔↔ ((a ◦ c = n→ n ◦ b = b)→ ((c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))))(= SAxCnjImp(φ67, φ51, φ74)),

φ70 = ((((a ◦ c = n→n ◦ b = b)∧ (c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)))↔↔ ((a ◦ c = n→ n ◦ b = b)→ ((c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)))))→→ ((((a ◦ c = n→ n ◦ b = b)∧ (c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)))→→ ((a ◦ c = n→ n ◦ b = b)→ ((c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)))))(= SAxEqvImp(φ68, φ72)),

φ71 = (((a ◦ c = n→ n ◦ b = b)∧ (c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)))→→ ((a ◦ c = n→ n ◦ b = b)→ ((c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))))(= MPo(φ69, φ70)),

φ72 = (a ◦ c = n→n ◦ b = b)→ ((c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)))(= MPo(φ68, φ71)),

φ73 = (c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))(= MPo(φ67, φ72)),

φ74 = (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)(= MPo(φ51, φ73)),

A opäť analogicky k pasáži φ27–φ34 môžeme pomocou tranzitivity rovnosti zo záveru implikácie φ74 vylúčiťmedzičlen n ◦ b. Žiaľ, členy príslušnej tejto konjunkcie vhodné poradie, a tak sa celý postup oproti svojmunáprotivku značne predĺži. Výsledná formula φ92 pokrýva posledné dve rovnosti nášho neformálneho dôkazu:

φ75 = ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = b(= EAxTrnGroup((c ◦ a) ◦ b,n ◦ b, b)),

φ76 = (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)↔ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)(= SAxComCnj(n ◦ b = b, (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)),

φ77 = ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)↔ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b))→→ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b))(= SAxEqvImp(n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b, (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)),

φ78 = (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)(= MPo(φ76, φ77)),

φ79 = (((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)) ∧∧ (((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧ n ◦ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)(= SAxTrnImp(n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b, (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧ n ◦ b = b, (c ◦ a) ◦ b = b)),

φ80 = ((((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)) ∧∧ (((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧ n ◦ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))↔↔ (((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b))→→ ((((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)))(= SAxCnjImp(φ78, φ75, φ85)),

φ81 = (((((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)) ∧∧ (((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧ n ◦ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))↔


↔ (((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b))→→ ((((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))))→→ (((((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)) ∧∧ (((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧ n ◦ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ (((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b))→→ ((((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))))(= SAxEqvImp(φ79, φ83)),

φ82 = ((((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)) ∧∧ (((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧ n ◦ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ (((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b))→→ ((((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)))(= MPo(φ80, φ81)),

φ83 = ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b))→→ ((((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))(= MPo(φ79, φ82)),

φ84 = (((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)(= MPo(φ78, φ83)),

φ85 = (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b(= MPo(φ75, φ84)),

φ86 = (((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)) ∧∧ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b)(= SAxTrnImp(a ◦ c = n∧ c ◦ a = n,n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b, (c ◦ a) ◦ b = b)),

φ87 = ((((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)) ∧∧ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b))↔↔ (((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ (((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b)))(= SAxCnjImp(φ74, φ85, φ92)),

φ88 = (((((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)) ∧∧ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b))↔↔ (((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ (((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b))))→→ (((((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)) ∧∧ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ (((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ (((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b))))(= SAxEqvImp(φ86, φ87)),

φ89 = ((((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)) ∧∧ ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ (((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→


→ (((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b)))(= MPo(φ87, φ88)),

φ90 = ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b))→→ (((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b))(= MPo(φ86, φ89)),

φ91 = ((n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b)(= MPo(φ74, φ90)),

φ92 = (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b(= MPo(φ85, φ91)),

Všimnime si teraz dva doposiaľ najdôležitejšie medzivýsledky – formuly φ34 a φ92. Zopakujme, že prvá zabez-pečuje prechody na ľavej strane našej multirovnosti

c = c ◦ n = c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b = b

a druhá na pravej. Zároveň zlúčením ich predpokladov dostávame predpoklad dokazovanej formuly

((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c.

V ich záveroch sa vyskytujú ako požadované b a c (i keď vo výslednej formule φ99 v trochu nevhodnom poradí),tak c ◦ (a ◦ b) a (c ◦ a) ◦ b z centrálnej rovnosti nášho vzťahu, ktoré spolu vytvárajú (premenovanú) axiómuteórie grúp:

φ93 = (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c)∧ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b))(= SAxCnjAnt(a ◦ b = n∧ b ◦ a = n, c ◦ (a ◦ b) = c, a ◦ c = n∧ c ◦ a = n, (c ◦ a) ◦ b = b)),

φ94 = ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c)∧ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)))↔↔ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c)→ (((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b))))(= SAxCnjImp(φ34, φ92, φ99)),

φ95 = (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c)∧ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)))↔↔ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c)→ (((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)))))→→ (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c)∧ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c)→ (((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)))))(= SAxEqvImp(φ93, φ97)),

φ96 = ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c)∧ ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c)→ (((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b))))(= MPo(φ94, φ95)),

φ97 = ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c)→ (((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)))(= MPo(φ93, φ96)),

φ98 = ((a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b)→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b))(= MPo(φ34, φ97)),

φ99 = ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)(= MPo(φ92, φ98)),


Ostáva pohrať sa so záverom tejto formuly. Pomocou nasledujúcej rovnosťovej axiómy vieme príslušne združiťdo zodpovedajúcich si párov c ◦ (a ◦ b) a (c ◦ a) ◦ b a c a b na druhej. Rovnosti medzi prvými by sme sa radizbavili, to však najprv budeme musieť najprv vykonať dve veci. Prvou z nich je zameniť =Boo na (pre modusponens vhodné) →:

φ100 = (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))(= EAxSmb=Boo(⟨c ◦ (a ◦ b), (c ◦ a) ◦ b⟩, ⟨c, b⟩)),

φ101 = (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))↔ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)(= SAxExBEqv(c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b, c = b)),

φ102 = (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))↔ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)→→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))↔ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)(= SAxEqvImp(((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)), c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)),

φ103 = (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)(= MPo(φ101, φ102)),

φ104 = (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)(= SAxEqvImp(c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b, c = b)),

φ105 = (((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b))→∧ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))(= SAxTrnImp(((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)), c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b,c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)),

φ106 = ((((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)) ∧∧ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))↔↔ (((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))→→ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))))(= SAxCnjImp(φ101, φ104, φ111)),

φ107 = (((((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)) ∧∧ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))↔↔ (((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))→→ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))))→→ (((((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)) ∧∧ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ (((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))→→ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))))(= SAxEqvImp(φ105, φ109)),

φ108 = ((((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)) ∧∧ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ (((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))→→ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))))(= MPo(φ106, φ107)),

φ109 = ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))→→ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))(= MPo(φ105, φ108)),

φ110 = ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))→→ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))(= MPo(φ101, φ109)),


φ111 = (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)(= MPo(φ104, φ110)),

φ112 = (((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b))))→∧ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))(= SAxTrnImp(c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b, ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)),c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)),

φ113 = ((((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))) ∧∧ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))↔↔ (((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b))))→→ (((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))))(= SAxCnjImp(φ100, φ111, φ118)),

φ114 = (((((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))) ∧∧ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))↔↔ (((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b))))→→ (((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))))→→ (((((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))) ∧∧ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b))))→→ (((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))))(= SAxEqvImp(φ112, φ110)),

φ115 = ((((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))) ∧∧ ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b))))→→ (((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))))(= MPo(φ113, φ114)),

φ116 = ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b))))→→ (((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))(= MPo(φ112, φ115)),

φ117 = ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b)))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))(= MPo(φ100, φ116)),

φ118 = (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)(= MPo(φ111, φ117)),

φ119 = ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)) ∧∧ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b))))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b)))(= SAxTrnImp((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n),c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b, (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b))),

φ120 = (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)) ∧∧ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b))))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b))))↔↔ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b)))))(= SAxCnjImp(φ99, φ118, φ125)),


φ121 = ((((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)) ∧∧ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b))))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b))))↔↔ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b))))))→→ ((((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)) ∧∧ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b))))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b))))→→ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b))))))(= SAxEqvImp(φ119, φ123)),

φ122 = (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)) ∧∧ ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b))))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b))))→→ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b)))))(= MPo(φ120, φ121)),

φ123 = ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b))))(= MPo(φ119, φ122)),

φ124 = ((c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b)))(= MPo(φ99, φ123)),

φ125 = ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ (c = b))(= MPo(φ118, φ124)),

Druhou potrebnou vecou je výmena poradia predpokladov z tvaru α→ (β→ γ) na tvar β→ (α→ γ). Tá mátri fázy:

I φ126–φ133: z α→ (β→ γ) na (α∧β)→ γ,I φ134–φ143: z (α∧β)→ γ na (β ∧α)→ γ,I φ144–φ147: z α→ (β→ γ) na β→ (α→ γ):

φ126 = ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)↔↔ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))(= SAxCnjImp((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n), c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b, c = b)),

φ127 = (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)↔↔ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))↔↔ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))↔↔ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b))(= SAxComEqv(φ125, φ133)),

φ128 = ((((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)↔↔ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))↔↔ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))↔↔ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)))→→ ((((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)↔↔ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→↔ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))↔→ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)))(= SAxEqvImp(φ126, φ130)),


φ129 = (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)↔↔ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)))→→ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))↔↔ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b))(= MPo(φ127, φ128)),

φ130 = (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))↔↔ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)(= MPo(φ126, φ129)),

φ131 = ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))↔↔ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b))→→ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))→→ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b))(= SAxEqvImp(φ125, φ133)),

φ132 = (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b))→→ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)(= MPo(φ130, φ131)),

φ133 = (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b(= MPo(φ125, φ132)),

φ134 = (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))↔↔ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)(= SAxComCnj(c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b, (a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))),

φ135 = ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))↔↔ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b))(= SAxEqvImp(c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)),((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)),

φ136 = (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)(= MPo(φ134, φ135)),

φ137 = (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)) ∧∧ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b)(= SAxTrnImp(c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)),((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b, c = b)),

φ138 = ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)) ∧∧ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b))↔↔ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b))→→ (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)→→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b)))(= SAxCnjImp(φ136, φ133, φ143)),

φ139 = (((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)) ∧∧ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b))↔↔ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b))→→ (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)→→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b))))→


→ (((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)) ∧∧ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b))→→ (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)→→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b))))(= SAxEqvImp(φ137, φ141)),

φ140 = ((((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)) ∧∧ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b))→→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b))→→ (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)→→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b)))(= MPo(φ138, φ139)),

φ141 = ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b))→→ (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)→→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b))(= MPo(φ137, φ140)),

φ142 = ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))∧ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b)→ c = b)→→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b)(= MPo(φ136, φ141)),

φ143 = (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b(= MPo(φ133, φ142)),

φ144 = ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b)↔↔ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b))(= SAxCnjImp(c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b, (a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n), c = b)),

φ145 = (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b)↔↔ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b)))→→ (((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b)→→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b)))(= SAxEqvImp(φ143, φ147)),

φ146 = ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b∧ ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)))→ c = b)→→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b))(= MPo(φ144, φ145)),

φ147 = c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b)(= MPo(φ143, φ146)),

Predpoklad c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b sme konečne dostali na začiatok. Ľahko sa vieme zbaviť, stačí len preme-novať premenné axiómy teórie grúp. To sa udeje na trikrát, a to v úseku φ148 až φ157:

φ148 = x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z(axióma teórie grúp),

φ149 = ∀x(x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z)(= Allx(φ148)),

φ150 = ∀x(x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z)→ (c ◦ (y ◦ z) = (c ◦ y) ◦ z)(= AxiSpcx,c(φ148), pričom Idex,c ∈ ASb(φ148), a to podľa vety 1.8.4, lebo výraz φ148 je jednoduchý),

φ151 = c ◦ (y ◦ z) = (c ◦ y) ◦ z(= MPo(φ149, φ150)),

φ152 = ∀y(c ◦ (y ◦ z) = (c ◦ y) ◦ z)(= Ally(φ151)),


φ153 = ∀y(c ◦ (y ◦ z) = (c ◦ y) ◦ z)→ (c ◦ (a ◦ z) = (c ◦ a) ◦ z)(= AxiSpcy,a(φ151), pričom Idey,a ∈ ASb(φ151), a to podľa vety 1.8.4, lebo výraz φ151 je jednoduchý),

φ154 = c ◦ (a ◦ z) = (c ◦ a) ◦ z(= MPo(φ152, φ153)),

φ155 = ∀z(c ◦ (a ◦ z) = (c ◦ a) ◦ z)(= Allz(φ154)),

φ156 = ∀z(c ◦ (a ◦ z) = (c ◦ a) ◦ z)→ c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b(= AxiSpcz,b(φ154), pričom Idez,b ∈ ASb(φ154), a to podľa vety 1.8.4, lebo výraz φ154 je jednoduchý),

φ157 = c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b(= MPo(φ155, φ156)),

φ158 = ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b(= MPo(φ157, φ147)),

Ostáva už iba vymeniť c a b. Využijeme, samozrejme, rovnosťovú axiómu symetrie, v ktorej najprv zameníme↔ za → (v φ163) a potom už len tradične aplikujeme tranzitivitu:

φ159 = c = b↔ b = c(= EAxSmtGroup(c, b)),

φ160 = (c = b↔ b = c)↔ (c = b→ b = c)(= SAxEqvImp(c = b, b = c)),

φ161 = ((c = b↔ b = c)↔ (c = b→ b = c))→→ ((c = b↔ b = c)→ (c = b→ b = c))(= SAxEqvImp(φ159, φ163)),

φ162 = (c = b↔ b = c)→ (c = b→ b = c)(= MPo(φ160, φ161)),

φ163 = c = b→ b = c(= MPo(φ159, φ162)),

φ164 = ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b)∧ (c = b→ b = c))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c)(= SAxTrnImp((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n), c = b, b = c)),

φ165 = (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b)∧ (c = b→ b = c))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c))↔↔ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b)→→ ((c = b→ b = c)→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c)))(= SAxCnjImp(φ158, φ163, φ170)),

φ166 = ((((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b)∧ (c = b→ b = c))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c))↔↔ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b)→→ ((c = b→ b = c)→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c))))→→ ((((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b)∧ (c = b→ b = c))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c))→→ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b)→→ ((c = b→ b = c)→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c))))(= SAxEqvImp(φ164, φ168)),

φ167 = (((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b)∧ (c = b→ b = c))→→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c))→→ ((((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b)→→ ((c = b→ b = c)→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c)))(= MPo(φ165, φ166)),

φ168 = (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b)→→ ((c = b→ b = c)→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c))(= MPo(φ164, φ167)),

φ169 = (c = b→ b = c)→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c)(= MPo(φ158, φ168)),

2.2 Práca s logickými spojkami 1322.2 Práca s logickými spojkami 1322.2 Práca s logickými spojkami 132

φ170 = ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c(= MPo(φ163, φ169)),

A úplne nakoniec postupne po jednej vymeníme pracovné premenné a, b a c za požadované x, y a z:

φ171 = ∀a(((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c)(= Alla(φ170)),

φ172 = ∀a(((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c)→→ (((x ◦ b = n∧ b ◦ x = n)∧ (x ◦ c = n∧ c ◦ x = n))→ b = c)(= AxiSpca,x(φ170), pričom Idea,x ∈ ASb(φ170), a to podľa vety 1.8.4, lebo výraz φ170 je jednoduchý).

φ173 = ((x ◦ b = n∧ b ◦ x = n)∧ (x ◦ c = n∧ c ◦ x = n))→ b = c(= MPo(φ171, φ172)),

φ174 = ∀b(((x ◦ b = n∧ b ◦ x = n)∧ (x ◦ c = n∧ c ◦ x = n))→ b = c)(= Allb(φ173)),

φ175 = ∀b(((x ◦ b = n∧ b ◦ x = n)∧ (x ◦ c = n∧ c ◦ x = n))→ b = c)→→ (((x ◦ y = n∧ y ◦ x = n)∧ (x ◦ c = n∧ c ◦ x = n))→ y = c)(= AxiSpcb,y(φ173), pričom Idea,x ∈ ASb(φ173), a to podľa vety 1.8.4, lebo výraz φ173 je jednoduchý).

φ176 = ((x ◦ y = n∧ y ◦ x = n)∧ (x ◦ c = n∧ c ◦ x = n))→ y = c(= MPo(φ174, φ175)),

φ177 = ∀c(((x ◦ y = n∧ y ◦ x = n)∧ (x ◦ c = n∧ c ◦ x = n))→ b = c)(= Allc(φ176)),

φ178 = ∀c(((x ◦ y = n∧ y ◦ x = n)∧ (x ◦ c = n∧ c ◦ x = n))→ y = c)→→ (((x ◦ y = n∧ y ◦ x = n)∧ (x ◦ z = n∧ z ◦ x = n))→ y = z)(= AxiSpcc,z(φ175), pričom Idea,x ∈ ASb(φ175), a to podľa vety 1.8.4, lebo výraz φ175 je jednoduchý).

φ179 = ((x ◦ y = n∧ y ◦ x = n)∧ (x ◦ z = n∧ z ◦ x = n))→ y = z(= MPo(φ177, φ178)).

2.2 Práca s logickými spojkami

Všimnime si, že zo 179 krokov predchádzajúceho elementárneho dôkazu sú axiómami teórie grúp iba 3 (aj to súkvôli prehľadnosti dve rovnaké). Tie sú skutočnou podstatou dôkazu, zvyšné kroky sú hroznou daňou za dôslednédodržiavanie minimalizovaného počtu formálnych pravidiel. Dôkaz sa tak, ako vidíme, stáva neprehľadným (a to smesa ho ešte pokúsili sprehľadniť vsuvkami komentujúcimi jednotlivé pasáže), v množstve pomocných formúl nezriedkaobludnej dĺžky sa použité jednoduchučké axiómy teórie grúp strácajú.

A pritom ide o veľmi jednoduchý dôsledok teórie grúp, na akceptovateľný dôkaz ktorého by stačilo pár riadkov. Tonám ukazuje, koľko logických úvah sa pri takomto dôkaze deje intuitívne a podvedomo, bez vnútornej potreby ichverbalizovať.

A to pritom ide o naozaj veľmi jednoduchý dôsledok teórie grúp. Ako by potom asi vyzeral elementárny dôkaz nejakéhozložitejšieho tvrdenia? Hrôza pomyslieť…

Ako teda náš dôkaz upraviť tak, aby bol prehľadnejší (a to omnoho), ale aby ešte ostal exaktný (čiže aby každý jehokrok bol naďalej nespochybniteľne zdôvodnený)? Kľúčom na riešenie tejto dilemy je pozorovanie, že jednotlivé pasážemajú isté spoločné črty. Všimnime si napríklad, že ich najdlhšie kroky (ako napríklad γ124 či γ135) majú rovnakézdôvodnenie – ak je poradové číslo takéhoto kroku n, tak platí γn = SAxEqvImp(γn−2, γn+2). Nasledujúci krok jepotom vždy γn+1 = MPo(γn−1, γn) a ešte ďalší γn+2 = MPo(γn−2, γn + 1). Formula γn−1 sa potom líši od γn+1

len tým, že hlavná spojka nie je →, ale ↔. Celá opakujúca sa pasáž (vždy pre iné φ a ψ) má teda takúto schému,v ktorej prostredníctvom formúl φ a ψ abstrahujeme od zbytočných detailov, a tak môže lepšie vyniknúť jej zmysel:

γn−2 = φ,

γn−1 = φ↔ψ,


γn = (φ↔ψ)→ (φ→ψ)(= SAxEqvImp(γn−2, γn+2)),

γn+1 = φ→ψ(= MPo(γn−1, γn)),

γn+2 = ψ(= MPo(γn−2, γn+1)),

Keďže, ako vidíme, vôbec nezáleží na konkrétnej podobe formúl φ a ψ (ale ani od toho, v akej teórii pracujeme,pretože tu sme žiadnu axiómu teórie grúp nepoužili), vytvorili sme vlastne nové všeobecné odvodzovacie pravidlo,že ak platí T ⊢φ a T ⊢φ↔ψ, tak platí aj T ⊢ψ. Toto (síce odvodené, ale, ako vidíme, rovnako korektné) pravidlomôžeme pridať k doterajším dvom základným odvodzovacím pravidlám, čím sa dôkaz nášho tvrdenia trochu skrátia hlavne sprehľadní.

V takto skrátenom dôkaze môžeme opäť hľadať opakujúce schémy formálneho logického odvodzovania a získavaťďalšie pravidlá, použiteľné v ľubovoľnej teórii pre ľubovoľné formuly. Takto môžeme dospieť k ešte stále exaktnémudôkazu, ale už omnoho kratšiemu a prehľadnejšiemu, a tým pádom i akceptovateľnejšiemu.

V tejto stati si ukážeme niekoľko takých všeobecných odvodzovacích pravidiel.

V1 (o ekvivalentných formulách)

Nech T je teória a φ1 a φ2 sú formuly také, že T ⊢φ1↔φ2. Potom platí T ⊢φ1, práve keď T ⊢φ2.

Najprv sublema:

S1 Ak ψ a ξ sú formuly a platí T ⊢ψ a T ⊢ψ↔ ξ, tak T ⊢ ξ.

Postupne platí:T ⊢ψ↔ ξ

(predpoklad vety),T ⊢ (ψ↔ ξ)→ (ψ→ ξ)

(jednoduchá axióma SAxEqvImp(ψ, ξ)),T ⊢ψ→ ξ

(modus ponens),T ⊢ψ

(predpoklad časti vety),T ⊢ ξ

(modus ponens).

Dokážeme postupne obe časti:

→→→→→→→→→ Je to tvrdenie sublemy 1 pre formuly φ1 a φ2.←←←←←←←←← Postupne platí:T ⊢ (φ1↔φ2)↔ (φ2↔φ1)

(je to SAxComEqv(φ1, φ2)),T ⊢φ1↔φ2

(predpoklad vety),T ⊢φ2↔φ1

(podľa sublemy 1 pre formuly φ1↔φ2 a φ2↔φ1),T ⊢φ2

(predpoklad časti vety),T ⊢φ1

(podľa sublemy 1 pre formuly φ2 a φ1).


V2 (o komutativite konjunkcie)

Nech T je teória a φ1 a φ2 sú formuly. Potom T ⊢φ1 ∧φ2, práve keď T ⊢φ2 ∧φ1.

Platí T ⊢ (φ1 ∧φ2)↔ (φ2 ∧φ1), lebo je to jednoduchá axióma SAxComCnj(φ1, φ2). Z toho už podľa vety 1o ekvivalentných formulách dostávame požadované tvrdenie.

V3 (o konjunkcii predpokladov)Nech T je teória a φ, ψ a ξ sú formuly. Potom T ⊢ (φ∧ψ)→ ξ, práve keď T ⊢φ→ (ψ→ ξ).

Platí T ⊢ ((φ∧ψ)→ ξ)↔ (φ→ (ψ→ ξ)), lebo je to jednoduchá axióma SAxCnjImp(φ,ψ, ξ). Z toho už podľavety 1 o ekvivalentných formulách dostávame požadované tvrdenie.

V4 (o rozklade konjunkcie)Nech T je teória, n ∈ N a φ1, . . . , φn sú formuly. Potom T ⊢Cnjn(φ1, . . . , φn), práve keď pre každé iz {1, . . . , n} platí T ⊢φi.

Dokážeme to klasickou matematickou indukciou, t. j. podľa vety A1.2.8:

1 Podľa definície Cnj0() = ⊤, takže ak n = 0, tvrdenie na ľavej strane je T ⊢⊤, čo platí, lebo je tojednoduchá axióma SAxConTru(). Tvrdenie na pravej strane je splnené triviálne.

2 Nech k ∈ N a nech tvrdenie pre k platí. Ukážeme, že platí i pre k + 1. Rozoberme prípady:I Nech k = 0.

Podľa definície Cnj1(φ1) = φ1, takže na oboch stranách dokazovanej ekvivalencie je to isté tvrdenieT ⊢φ1.

I Nech k > 0.Najprv dokážeme sublemu:S1 Nech ψ1 a ψ2 formuly. Potom T ⊢ψ1 ∧ψ2, práve keď T ⊢ψ1 a T ⊢ψ2.

→→→→→→→→→ Dokážeme obe časti:I Postupne platí:T ⊢ (ψ1 ∧ψ2)→ψ1

(jednoduchá axióma SAxCnj1st(ψ1, ψ2)),T ⊢ψ1 ∧ψ2

(predpoklad),T ⊢ψ1

(modus ponens).I Postupne platí:T ⊢ψ1 ∧ψ2

(predpoklad),T ⊢ψ2 ∧ψ1

(podľa vety 2 o komutativite konjunkcie),T ⊢ (ψ2 ∧ψ1)→ψ2

(jednoduchá axióma SAxCnj1st(ψ2, ψ1)),T ⊢ψ2

(modus ponens).←←←←←←←←← Postupne platí:T ⊢ (ψ2 ∧ψ1)↔ (ψ1 ∧ψ2)

(jednoduchá axióma SAxComCnj(ψ2, ψ1)),T ⊢ ((ψ2 ∧ψ1)↔ (ψ1 ∧ψ2))→ ((ψ2 ∧ψ1)→ (ψ1 ∧ψ2))

(jednoduchá axióma SAxComCnj(ψ2 ∧ψ1, ψ1 ∧ψ2)),T ⊢ (ψ2 ∧ψ1)→ (ψ1 ∧ψ2)

(modus ponens),T ⊢ψ2→ (ψ1→ (ψ1 ∧ψ2))

(podľa vety 3 o konjunkcii predpokladov),


T ⊢ψ2

(predpoklad časti vety),T ⊢ψ1→ (ψ1 ∧ψ2)

(modus ponens),T ⊢ψ1

(predpoklad časti vety),T ⊢ψ1 ∧ψ2

(modus ponens).Postupne platí:pre každé i z {1, . . . , k + 1} platí T ⊢φi

(predpoklad),pre každé i z {1, . . . , k} platí T ⊢φi a T ⊢φk+1,T ⊢Cnjk(φ1, . . . , φk) a T ⊢φk+1

(podľa indukčného predpokladu),T ⊢Cnjk(φ1, . . . , φk)∧φk+1

(podľa sublemy 1),T ⊢Cnjk+1(φ1, . . . , φk+1)

(podľa definície Cnjk+1).V5 (o rozklade ekvivalencie)

Nech T je teória a φ1 a φ2 formuly. Potom platí T ⊢φ1↔φ2, práve keď T ⊢φ1→φ2 a T ⊢φ2→φ1.

T ⊢φ1↔φ2,akk T ⊢ (φ1→φ2)∧ (φ2→φ1)

(podľa vety 1 o ekvivalentných formulách, lebo platí T ⊢ (φ1↔φ2)↔ ((φ1→φ2)∧ (φ2→φ1)), keďže jeto jednoduchá axióma SAxEqvDcm(φ1, φ2)),

akk T ⊢φ1→φ2 a T ⊢φ2→φ1

(podľa vety 4 o rozklade konjunkcie).

V6 (o tranzitivite implikácie)Nech T je teória a φ, ψ a ξ formuly. Potom ak T ⊢φ→ψ a T ⊢ψ→ ξ, tak T ⊢φ→ ξ.

T ⊢φ→ψ(prvý predpoklad),

T ⊢ψ→ ξ(druhý predpoklad),

T ⊢ (φ→ψ)∧ (ψ→ ξ)(podľa vety 4 o rozklade konjunkcie),

T ⊢ ((φ→ψ)∧ (ψ→ ξ))→ (φ→ ξ)(jednoduchá axióma SAxTrnImp(φ,ψ, ξ)),

T ⊢φ→ ξ(modus ponens).

V7 (o komutativite ekvivalencie)

Nech T je teória a φ1 a φ2 sú formuly. Potom T ⊢φ1↔φ2, práve keď T ⊢φ2↔φ1.

Platí T ⊢ (φ1↔φ2)↔ (φ2↔φ1), lebo je to jednoduchá axióma SAxComEqv(φ1, φ2). Z toho už podľa vety1 o ekvivalentných formulách dostávame požadované tvrdenie.

V8 (o tranzitivite ekvivalencie)Nech T je teória.

I Nech φ, ψ a ξ sú formuly. Potom ak T ⊢φ↔ψ a T ⊢ψ↔ ξ, tak T ⊢φ↔ ξ.I Nech φ1, φ2 a ψ sú formuly. Potom ak T ⊢φ1↔ψ a T ⊢φ2↔ψ, tak T ⊢φ1↔φ2.I Nech φ, ψ1 a ψ2 sú formuly. Potom ak T ⊢φ↔ψ1 a T ⊢φ↔ψ2, tak T ⊢ψ1↔ψ2.


I Postupne platí:T ⊢φ↔ψ a T ⊢ψ↔ ξ

(predpoklady),T ⊢φ→ψ a T ⊢ψ→φ a T ⊢ψ→ ξ a T ⊢ ξ→ψ

(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie),T ⊢φ→ψ a T ⊢ψ→ ξ a T ⊢ ξ→ψ a T ⊢ψ→φ

(poprehadzovali sme poradie),T ⊢φ→ ξ a T ⊢ ξ→φ

(dvakrát podľa vety 6 o tranzitivite implikácie),T ⊢φ↔ ξ

(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie).I Postupne platí:T ⊢φ1↔ψ a T ⊢φ2↔ψ

(predpoklady),T ⊢φ1↔ψ a T ⊢ψ↔φ2

(podľa vety 7 o komutativite ekvivalencie),T ⊢φ1↔φ2

(podľa už dokázanej časti).I Postupne platí:T ⊢φ↔ψ1 a T ⊢φ↔ψ2

(predpoklady),T ⊢ψ1↔φ a T ⊢φ↔ψ2

(podľa vety 7 o komutativite ekvivalencie),T ⊢φ1↔φ2

(podľa už dokázanej časti).

V9 (o výmene predpokladov)

Nech T je teória a φ, ψ a ξ sú formuly. Potom ak T ⊢φ→ (ψ→ ξ), tak T ⊢ψ→ (φ→ ξ).

T ⊢φ→ (ψ→ ξ)(predpoklad vety),

T ⊢ (φ∧ψ)→ ξ(podľa vety 3 o konjunkcii predpokladov),

T ⊢ (ψ ∧φ)↔ (φ∧ψ)(jednoduchá axióma SAxComCnj(ψ,φ)),

T ⊢ (ψ ∧φ)→ (φ∧ψ)(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie),

T ⊢ (ψ ∧φ)→ ξ(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie),

T ⊢ψ→ (φ→ ξ)(podľa vety 3 o konjunkcii predpokladov).

V10 (o redundantnom predpoklade)Nech T je teória a φ a ψ sú formuly. Potom ak T ⊢φ, tak T ⊢ψ→φ.

T ⊢ (φ∧ψ)→φ(jednoduchá axióma SAxCnj1st(φ,ψ)),

T ⊢φ→ (ψ→φ)(podľa vety 3 o konjunkcii predpokladov),



T ⊢ψ→φ(modus ponens).

V11 (o rozklade podmienenej konjunkcie)

Nech T je teória. Nech φ je formula. Nech ψ1, …, ψn sú formuly. Potom T ⊢φ→Cnjn(ψ1, . . . , ψn) platí,práve keď pre každé i z {1, . . . , n} platí T ⊢φ→ψi.

Tvrdenie dokážeme klasickou matematickou indukciou (t. j. podľa vety A1.2.8):

1 Postupne platí:T ⊢⊤

(je to jednoduchá axióma SAxConTru()),T ⊢Cnj0()

(podľa definície Cnj0),T ⊢φ→Cnj0()

(podľa vety 8 o redundantnom predpoklade).Ľavá strana dokazovanej ekvivalencie teda platí. Pravá platí triviálne, sú teda naozaj ekvivalentné.

2 Nech n ∈ N.Rozlíšime prípady:I Nech n = 0.

Potom podľa definície Cnjn+1(ψ1) = Cnj1(ψ1) = ψ1, takže tvrdenia na oboch stranách dokazovanejekvivalencie sú totožné, a to T ⊢Cnj1(ψ1)→ψ1.

I Nech n > 0.S1 Nech ξ1 a ξ2 sú formuly. Potom T ⊢φ→ (ξ1 ∧ ξ2), práve keď T ⊢φ→ ξ1 a T ⊢φ→ ξ2.

→→→→→→→→→ Dokážeme obe časti:I Postupne platí:T ⊢φ→ (ξ1 ∧ ξ2)

(predpoklad),T ⊢ (ξ1 ∧ ξ2)→ ξ1

(jednoduchá axióma SAxCnj1st(ξ1, ξ2)),T ⊢φ→ ξ1

(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie).I Postupne platí:T ⊢φ→ (ξ1 ∧ ξ2)

(predpoklad),T ⊢ (ξ1 ∧ ξ2)↔ (ξ2 ∧ ξ1)

(je to jednoduchá axióma SAxComCnj(ξ1, ξ2)),T ⊢ (ξ1 ∧ ξ2)→ (ξ2 ∧ ξ1)

(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie),T ⊢φ→ (ξ2 ∧ ξ1)

(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie),T ⊢ (ξ2 ∧ ξ1)→ ξ2

(jednoduchá axióma SAxCnj1st(ξ2, ξ1)),T ⊢φ→ ξ2

(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie).←←←←←←←←← Postupne platí:T ⊢φ→ ξ1 a T ⊢φ→ ξ2

(predpoklady),T ⊢ (φ→ ξ1)∧ (φ→ ξ2)

(podľa vety 4 o rozklade konjunkcie),T ⊢ ((φ→ ξ1)∧ (φ→ ξ2))→ ((φ∧φ)→ (ξ1 ∧ ξ2))

(jednoduchá axióma SAxCnjAnt(φ, ξ1, φ, ξ2)),


T ⊢ (φ∧φ)→ (ξ1 ∧ ξ2)(modus ponens),T ⊢ (φ∧φ)↔φ

(jednoduchá axióma SAxCnjIdp(φ)),T ⊢φ→ (φ∧φ)

(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie),T ⊢φ→ (ξ1 ∧ ξ2)

(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie).Potom platí:T ⊢φ→Cnjn+1(ψ1, . . . , ψn+1)

akk T ⊢φ→ (Cnjn(ψ1, . . . , ψn)∧ψn+1)(podľa definície Cnjn+1),

akk T ⊢φ→Cnjn(ψ1, . . . , ψn) a T ⊢φ→ψn+1

(podľa sublemy 1),akk pre všetky i z {1, . . . , n} platí T ⊢φ→ψi a T ⊢φ→ψn+1

(podľa indukčného predpokladu),akk pre všetky i z {1, . . . , n+ 1} platí T ⊢φ→ψi.

V12 Nech T je teória a φ a ψ sú formuly. Potom T ⊢ (φ =Boo ψ), práve keď T ⊢φ↔ψ.

Platí T ⊢ (φ =Boo ψ)↔ (φ↔ψ), lebo je to jednoduchá axióma SAxExBEqv(φ,ψ). Z toho už podľa vety 5 orozklade ekvivalencie už dostávame požadované tvrdenie.

V13 Nech T je teória a φ je formula. Potom platí:

I T ⊢φ↔φ.I T ⊢φ→φ.

I Platí T ⊢ (φ =Boo φ), lebo je to rovnosťová axióma EAxRflBoo(φ). Podľa vety 12 potom dostávameprvé tvrdenie.

I Druhé tvrdenie vyplýva z už dokázanej časti podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie.

V14 (o konjunktívnom združení implikácií )

Nech T je teória. Nech φ1, …, φn sú formuly. Nech ψ1, …, ψm sú formuly také, že pre každé j z {1, . . . ,m}existuje i z {1, . . . , n}, že platí T ⊢φi→ψj . Potom platí

T ⊢Cnjn(φ1, . . . , φn)→Cnjm(ψ1, . . . , ψm).

S1 Nech i ∈ {1, . . . , n}. Potom T ⊢Cnjn(φ1, . . . , φn)→φi.

Tvrdenie preto dokážeme pre n klasickou matematickou indukciou cez koncový úsek množiny N od čísla1 (t. j. podľa vety A1.2.7):

1 Postupne platí:T ⊢φi→φi

(podľa vety 13),T ⊢φ1→φi

(lebo i ∈ {1, . . . , 1} = {1}),T ⊢Cnj1(φ1)→φi

(podľa definície Cnj1).2 Nech n ≥ 1.

Rozlíšime dva prípady:I Nech i ≤ n.

Potom platí:


T ⊢ (Cnjn(φ1, . . . , φn)∧φn+1)→Cnjn(φ1, . . . , φn)(jednoduchá axióma SAxCnj1st(Cnjn(φ1, . . . , φn+1), φn+1)),

T ⊢Cnjn+1(φ1, . . . , φn+1)→Cnjn(φ1, . . . , φn)(podľa definície Cnjn+1),

T ⊢Cnjn(φ1, . . . , φn)→φi(podľa indukčného predpokladu),

T ⊢Cnjn+1(φ1, . . . , φn+1)→φi(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie).

I Nech i = n+ 1.Potom platí:T ⊢ (φn+1 ∧Cnjn(φ1, . . . , φn))→φn+1

(jednoduchá axióma SAxCnj1st(φn+1,Cnjn(φ1, . . . , φn))),

T ⊢ (φn+1 ∧Cnjn(φ1, . . . , φn))↔ (Cnjn(φ1, . . . , φn)∧φn+1)(jednoduchá axióma SAxComCnj(φn+1,Cnj

n(φ1, . . . , φn))),T ⊢ (φn+1 ∧Cnjn(φ1, . . . , φn))↔Cnjn+1(φ1, . . . , φn+1)

(podľa definície Cnjn+1),T ⊢Cnjn+1(φ1, . . . , φn+1)→ (φn+1 ∧Cnjn(φ1, . . . , φn+1))

(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie),T ⊢Cnjn+1(φ1, . . . , φn+1)→φn+1

(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie),T ⊢Cnjn(φ1, . . . , φn+1)→φi

(lebo i = n+ 1).

S2 Nech j ∈ {1, . . . ,m}. Potom T ⊢Cnjn(φ1, . . . , φn)→ψj .

Podľa predpokladu vety existuje i z {1, . . . , n} také, že T ⊢φi→ψj . Podľa sublemy 1 a vety 6 o tranzitiviteimplikácie dostávame požadované tvrdenie.

Podľa sublemy 2 a vety 11 o rozklade podmienenej konjunkcie už dostávame dokazované tvrdenie.

V15 Nech T je teória. Nech φ1, …, φn sú formuly. Nech ψ1, …, ψm sú formuly také, že pre každé k z {1, . . . ,m}platí ψk ∈ {φ1, . . . , φn} alebo T ⊢ψk. Potom platí

T ⊢Cnjn(φ1, . . . , φn)→Cnjm(ψ1, . . . , ψm).

Rozoberme dva prípady:

I Nech n = 0.Potom platí:pre každé k z {1, . . . ,m} platí T ⊢ψk

(podľa predpokladu, lebo množina {φ1, . . . , φn} je prázdna),T ⊢Cnjm(ψ1, . . . , ψm)

(podľa vety 4 o rozklade konjunkcie),T ⊢⊤→Cnjm(ψ1, . . . , ψm)

(podľa vety 10 o redundantnom predpoklade),T ⊢Cnj0()→Cnjm(ψ1, . . . , ψm)

(podľa definície Cnj0).I Nech n > 0.

Ak ψj = φi pre nejaké i z {1, . . . , n}, tak podľa vety 13 platí T ⊢φi→ψj , a ak T ⊢ψj , tak podľa vety10 o redundantnom predpoklade platí T ⊢φ1→ψj . Sú teda splnené podmienky vety 14 o konjunktívnomzdružení implikácií. Podľa nej už dostávame požadované tvrdenie.

V16 (o obmene)


Nech T je teória. Potom platí:

I Nech φ a ψ sú formuly. Potom T ⊢φ→ψ, práve keď T ⊢¬ψ→¬φ.I Nech φ1 a φ2 sú formuly. Potom T ⊢¬φ1→φ2, práve keď T ⊢¬φ2→φ1.I Nech φ1 a φ2 sú formuly. Potom T ⊢φ1→¬φ2, práve keď T ⊢φ2→¬φ1.

I Platí T ⊢ (φ→ψ)↔ (¬ψ→¬φ), lebo je to jednoduchá axióma SAxImpInv(φ,ψ). Z toho už podľa vety 1o ekvivalentných formulách dostávame požadované tvrdenie.

I S1 Nech α a β sú formuly. Potom ak T ⊢¬α→β, tak T ⊢¬β→α.

T ⊢¬α→β(predpoklad),

T ⊢¬β→¬¬α(podľa už dokázanej časti),

T ⊢¬¬α↔α(je to SAxNegNeg(α)),

T ⊢¬¬α→α(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie),

T ⊢¬β↔α(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie).

Zo sublemy 1 už vyplývajú oba smery.

I S2 Nech α a β sú formuly. Potom ak T ⊢α→¬β, tak T ⊢β→¬α.

T ⊢α→¬β(predpoklad),

T ⊢¬¬β→¬α(podľa už dokázanej časti),

T ⊢¬¬β↔β(je to SAxNegNeg(β)),

T ⊢β→¬¬β(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie),

T ⊢β↔¬α(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie).

Zo sublemy 2 už vyplývajú oba smery.

V17 (o negácii)

Nech T je teória a φ1 a φ2 sú formuly. Potom platí:

I T ⊢φ1↔φ2, práve keď T ⊢¬φ1↔¬φ2.I T ⊢¬φ1↔φ2, práve keď T ⊢φ1↔¬φ2.

I T ⊢φ1↔φ2,akk T ⊢φ1→φ2 a T ⊢φ2→φ1

(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie),akk T ⊢¬φ2→¬φ1 a T ⊢¬φ1→¬φ2

(podľa vety 16 o obmene),akk T ⊢¬φ1↔¬φ2

(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie).I T ⊢¬φ1↔φ2,

akk T ⊢¬φ1→φ2 a T ⊢φ2→¬φ1

(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie),akk T ⊢¬φ2→φ1 a T ⊢φ1→¬φ2

(podľa vety 16 o obmene),


akk T ⊢φ1↔¬φ2

(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie).

V18 Nech T je teória. Nech n ∈ N a pre každé i z {1, . . . , n} sú φi a ψi formuly také, že T ⊢φi↔ψi. PotomT ⊢Dsjn(φ1, . . . , φn)↔¬Cnjn(¬ψ1, . . . ,¬ψn).


1 T ⊢⊥↔¬⊤(jednoduchá axióma SAxFlsTru())

T ⊢Dsj0()↔¬Cnj0()(podľa definícií Dsj0 a Cnj0).

2 Nech n ∈ N a nech tvrdenie pre n platí. Rozoberme dva prípady:I Nech n = 0.

Potom platí:T ⊢¬¬ψ2↔ψ2

(jednoduchá axióma SAxNegNeg(ψ2)),T ⊢φ1↔ψ2

(podľa predpokladu),T ⊢φ1↔¬¬ψ2

(podľa vety 8 o tranzitivite ekvivalencie),T ⊢Dsj1(φ1)↔¬Cnj1(¬ψ2)

(podľa definícií Dsj1 a Cnj1),T ⊢Dsjn+1(φ1, . . . , φn+1)↔¬Cnjn+1(¬ψ1, . . . ,¬ψn+1).

I Nech n > 0.Potom platí:T ⊢Dsjn(φ1, . . . , φn)↔¬Cnjn(¬ψ1, . . . ,¬ψn)

(indukčný predpoklad pre n),T ⊢¬Dsjn(φ1, . . . , φn)↔Cnjn(¬ψ1, . . . ,¬ψn)

(podľa vety 17 o negácii),T ⊢φn+1↔ψn+1

(predpoklad),T ⊢¬φn+1↔¬ψn+1

(podľa vety 17 o negácii),T ⊢ (¬Dsjn(φ1, . . . , φn)∧¬φn+1)↔ (Cnjn(¬ψ1, . . . ,¬ψn)∧¬ψn+1)

(podľa vety 14 o konjunktívnom združení implikácií),T ⊢¬(¬Dsjn(φ1, . . . , φn)∧¬φn+1)↔¬(Cnjn(¬ψ1, . . . ,¬ψn)∧¬ψn+1)

(podľa vety 17 o negácii),T ⊢ (Dsjn(φ1, . . . , φn)∨φn+1)↔¬(¬Dsjn(φ1, . . . , φn)∧¬φn+1)

(jednoduchá axióma SAxDsjCnj(Dsjn(φ1, . . . , φn), φn+1)),T ⊢ (Dsjn(φ1, . . . , φn)∨φn+1)↔¬(Cnjn(¬ψ1, . . . ,¬ψn)∧¬ψn+1)

(podľa vety 8 o tranzitivite ekvivalencie),T ⊢Dsjn+1(φ1, . . . , φn+1)↔¬Cnjn+1(¬ψ1, . . . ,¬ψn+1)

(podľa definícií Dsjn+1 a Cnjn+1).Tvrdenie teda platí i pre n+ 1.

V19 (deMorganovo pravidlo)Nech n ∈ N a φ1, …, φn sú formuly. Potom platí:

I ⊢Dsjn(φ1, . . . , φn)↔¬Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φp).I ⊢Dsjn(¬φ1, . . . ,¬φp)↔¬Cnjn(φ1, . . . , φn).I ⊢¬Dsjn(φ1, . . . , φn)↔Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φp).I ⊢¬Dsjn(¬φ1, . . . ,¬φp)↔Cnjn(φ1, . . . , φn).


I Prvé dve tvrdenia dostávame podľa vety 18, keďže pre každé i z {1, . . . , n} podľa vety 13 platí ⊢φi↔φi.I Druhé dve tvrdenia vyplývajú z prvých dvoch podľa vety 17 o negácii.

V20 (o disjunktívnom združení implikácií )

Nech T je teória. Nech φ1, …, φn sú formuly. Nech ψ1, …, ψm sú formuly také, že pre každé i z {1, . . . , n}existuje j z {1, . . . ,m}, že platí T ⊢φi→ψj . Potom platí

T ⊢Dsjn(φ1, . . . , φn)→Dsjm(ψ1, . . . , ψm).

Postupne platí:

pre každé i z {1, . . . , n} existuje j z {1, . . . ,m}, že platí T ⊢φi→ψj(predpoklad),

pre každé i z {1, . . . , n} existuje j z {1, . . . ,m}, že platí T ⊢¬ψj→¬φi(pre každú vhodnú dvojicu j a i podľa vety 16 o obmene),

T ⊢Cnjm(¬ψ1, . . . ,¬ψm)→Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φn)(podľa vety 14 o konjunktívnom združení implikácií),

T ⊢¬Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φn)→¬Cnjm(¬ψ1, . . . ,¬ψm)(podľa vety 16 o obmene),

T ⊢Dsjn(φ1, . . . , φn)↔¬Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φn)(podľa vety 19 o deMemorganovom pravidle),

T ⊢Dsjn(φ1, . . . , φn)→¬Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φn)(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie),

T ⊢Dsjn(φ1, . . . , φn)→¬Cnjm(¬ψ1, . . . ,¬ψm)(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie),

T ⊢Dsjm(ψ1, . . . , ψm)↔¬Cnjm(¬ψ1, . . . ,¬ψm)(podľa vety 19 o deMemorganovom pravidle),

T ⊢¬Cnjm(¬ψ1, . . . ,¬ψm)→Dsjm(ψ1, . . . , ψm)(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie),

T ⊢Dsjn(φ1, . . . , φn)→Dsjm(ψ1, . . . , ψm)(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie).

V21 Nech φ1, …, φn sú formuly. Nech ψ1, …, ψm sú formuly také, že pre každé k z {1, . . . ,m} platí φk ∈{ψ1, . . . , ψm}. Potom platí

⊢Dsjn(φ1, . . . , φn)→Dsjm(ψ1, . . . , ψm).

Ak φi = ψj pre nejaké j z {1, . . . ,m}, tak podľa vety 13 platí ⊢φi→ψj . Sú teda splnené podmienky vety 20o disjunktívnom združení implikácií. Podľa nej už dostávame požadované tvrdenie.

V22 Nech φ1, …, φn a ψ1, …, ψm sú formuly také, že {φ1, . . . , φn} = {ψ1, . . . , ψm}. Potom platí:

I ⊢Cnjn(φ1, . . . , φn)↔Cnjm(ψ1, . . . , ψm).I ⊢Dsjn(φ1, . . . , φn)↔Dsjm(ψ1, . . . , ψm).

Nech nastáva jedna z možností:

I Pre každé k z N platí F k = Cnjk.I Pre každé k z N platí F k = Dsjk.

Potom platí:

⊢Fn(φ1, . . . , φn)→Fm(ψ1, . . . , ψm)(podľa vety 15, resp. 21),

⊢Fm(φ1, . . . , φm)→Fn(ψ1, . . . , ψm)(podľa vety 15, resp. 21),


⊢Fn(φ1, . . . , φn)↔Fm(ψ1, . . . , ψm)(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie).

V23 Nech v1, …, vp sú rôzne premenné a pre každé j z {1, 2} a q z {1, . . . , p} platí f jq ∈ Exptyp(vq). Nech e jevýraz taký, že use(e) ⊆ Nob. Potom

⊢Cnjp((f11 =typ(v1) f21 ), . . . , (f

1p =typ(vp) f

2p ))→ (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1

1 ,...,f1p ⟩(e) =typ(e) Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f2

1 ,...,f2p ⟩(e)).

Nech α = Cnjp((f11 =typ(e1) f21 ), . . . , (f

1p =typ(ep) f

2p )). Nech pre každé j z {1, 2} σj = Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨fj

1 ,...,fjp⟩.

Tvrdenie dokážeme matematickou indukciou cez Exp, t. j. podľa vety 1.3.7:

1 Nech e ∈ Var.Rozoberme dva prípady:I Nech e = vq, kde q ∈ {1, . . . , p}.

Potom pre každé j z {1, 2} platí σj(e) = σj(e) = f jq , takže (σ1(e) =typ(e) σ2(e)) je prvkom množiny{(f11 =typ(v1) f

21 ), . . . , (f

1p =typ(vp) f

2p )}.

I Nech e /∈ {v1, . . . , vp}.Potom pre každé j z {1, 2} platí σj(e) = σj(e) = e, takže (σ1(e) =typ(e) σ2(e)) je (e =typ(e) e), čoje EAxRfltyp(e)(e), a teda platí ⊢ (σ1(e) =typ(e) σ2(e)).

Sú teda splnené podmienky vety 15, podľa ktorej už dostávame ⊢α→ (σ1(e) =typ(e) σ2(e)).2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, out(s) = T , bvs(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs a pre každé i

z {1, . . . , n} platí typ(ei) = Ti a indukčný predpoklad pre ei.Podľa definície use a predpokladu platí s ∈ use(e) ⊆ Nob, takže s ∈ Nob, a pre každé i z {1, . . . , n} zasause(ei) ⊆ use(e) ⊆ Nob, takže use(ei) ∈ Nob.Potom platí:

pre každé i z {1, . . . , n} platí T ⊢α→ (σ1(ei) =typ(ei) σ2(ei))

(pre každé i z {1, . . . , n} podľa indukčného predpokladu),⊢α→Cnjn((σ1(e1) =typ(e1) σ

2(e1)), . . . , (σ1(en) =typ(en) σ2(en)))

(podľa vety 11 o rozklade podmienenej konjunkcie),⊢Cnjn((σ1(e1) =typ(e1) σ

2(e1)), . . . , (σ1(en) =typ(en) σ2(en)))→ (σ1(e) =typ(e) σ2(e))

(je to EAxSmbs(⟨f11 , . . . , f1p ⟩, ⟨f21 , . . . , f2p ⟩), keďže e = se1 . . . en),⊢α→ (σ1(e) =typ(e) σ2(e))

(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie).

V24 (o nahradzovaní per partes (jednoduchá verzia))

Nech v1, …, vp sú rôzne premenné typu Boo a pre každé j z {1, 2} a q z {1, . . . , p} platí ψj ∈ Frm. NechT je teória. Nech pre každé q z {1, . . . , p} platí T ⊢ψ1

q↔ψ2q . Nech φ je formula taká, že use(φ) ⊆ Nob.

Potom T ⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨ψ11 ,...,ψ

1p⟩(φ), práve keď T ⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨ψ2

1 ,...,ψ2p⟩(φ).

Postupne platí:

pre každé q z {1, . . . , p} platí T ⊢ψ1q↔ψ2

q

(podľa predpokladu),pre každé q z {1, . . . , p} platí T ⊢ (ψ1

q =Boo ψ2q )

(podľa vety 12),

T ⊢ (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨ψ11 ,...,ψ

1p⟩(φ) =Boo Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨ψ2

1 ,...,ψ2p⟩(φ))

(podľa vety 23),

T ⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨ψ11 ,...,ψ

1p⟩(φ)↔ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨ψ2

1 ,...,ψ2p⟩(φ)

(podľa vety 12),


T ⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨ψ11 ,...,ψ

1p⟩(φ), práve keď T ⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨ψ1

1 ,...,ψ1p⟩(φ)

(podľa vety 1 o ekvivalentných formulách).

V25 (booleovské vlastnosti)

a Nech φ1 a φ2 sú formuly. Potom platí:

I ⊢ (φ1 ∧φ2)↔ (φ2 ∧φ1).I ⊢ (φ1 ∨φ2)↔ (φ2 ∨φ1).

b Nech φ, ψ a ξ sú formuly. Potom platí:

I ⊢ (φ∧ (ψ ∧ ξ))↔ ((φ∧ψ)∧ ξ).I ⊢ (φ∨ (ψ ∨ ξ))↔ ((φ∨ψ)∨ ξ).

c Nech φ, ψ1 a ψ2 sú formuly. Potom platí:

I ⊢ (φ∧ (ψ1 ∨ψ2))↔ ((φ∧ψ1)∨ (φ∧ψ2)).I ⊢ (φ∨ (ψ1 ∧ψ2))↔ ((φ∨ψ1)∧ (φ∨ψ2)).

d Nech φ a ψ sú formuly. Potom platí:

I ⊢ (φ∧ (φ∨ψ))↔φ.I ⊢ (φ∨ (φ∧ψ))↔φ.

e Nech φ je formula. Potom platí:

I ⊢ (φ∧¬φ)↔⊥.I ⊢ (φ∨¬φ)↔⊤.

a Je to špeciálny prípad vety 22.b Nech nastáva jedna z možností:

I F = Cnj3 a @ = ∧.I F = Dsjk a @ = ∨.

Potom platí:⊢F 3(ψ, ξ, φ)↔F 3(φ,ψ, ξ)

(podľa vety 22),⊢ ((ψ@ ξ)@φ)↔ ((φ@ψ)@ ξ)

(podľa definícíe F 3),⊢F 2(φ, (ψ@ ξ))↔F 2((ψ@ ξ), φ)

(podľa vety 22),⊢ (φ@(ψ@ ξ))↔ ((ψ@ ξ)@φ)

(podľa definícíe F 2),⊢ (φ@(ψ@ ξ))↔ ((ψ@ ξ)@φ)

(podľa vety 8 o tranzitivite ekvivalencie).

c I S1 ⊢ (φ∧ (ψ1 ∨ψ2))→ ((φ∧ψ1)∨ (φ∧ψ2)).

pre každé j z {1, 2} platí ⊢ (ψj ∧φ)↔ (φ∧ψj)(je to SAxComCnj(ψ1, φ)),

pre každé j z {1, 2} platí ⊢ (ψj ∧φ)→ (φ∧ψj)(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie),

pre každé j z {1, 2} platí ⊢ψj→ (φ→ (φ∧ψj))(podľa vety 3 o konjunkcii predpokladov),

⊢ (ψ1 ∨ψ2)→ ((φ→ (φ∧ψ1))∨ (φ→ (φ∧ψ2)))(podľa vety 20 o disjunktívnom združení implikácií),

⊢ ((φ→ (φ∧ψ1))∨ (φ→ (φ∧ψ2)))→ ((φ∨φ)→ ((φ∧ψ1)∨ (φ∧ψ2)))(je to SAxDsjAnt(φ,φ∧ψ1, φ, φ∧ψ2)),


⊢ (ψ1 ∨ψ2)→ ((φ∨φ)→ ((φ∧ψ1)∨ (φ∧ψ2)))(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie),

⊢ (φ∨φ)→ ((ψ1 ∨ψ2)→ ((φ∧ψ1)∨ (φ∧ψ2)))(podľa vety 9 o výmene predpokladov),

⊢φ→ (φ∨φ)(podľa vety 21),

⊢φ→ ((ψ1 ∨ψ2)→ ((φ∧ψ1)∨ (φ∧ψ2)))(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie),

⊢ (φ∧ (ψ1 ∨ψ2))→ ((φ∧ψ1)∨ (φ∧ψ2))(podľa vety 3 o konjunkcii predpokladov).

S2 ⊢ ((φ∧ψ1)∨ (φ∧ψ2))→ (φ∧ (ψ1 ∨ψ2)).

Postupne platí:pre každé j z {1, 2} platí ⊢ (φ∧ψ1)→φ

(podľa vety 15),⊢ ((φ∧ψ1)∨ (φ∧ψ2))→ (φ∨φ)

(podľa vety 20 o disjunktívnom združení implikácií),⊢ (φ∨φ)→φ

(podľa vety 21),⊢ ((φ∧ψ1)∨ (φ∧ψ2))→φ

(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie),pre každé j z {1, 2} platí ⊢ (φ∧ψj)→ψj

(podľa vety 15),⊢ ((φ∧ψ1)∨ (φ∧ψ2))→ (ψ1 ∨ψ2)

(podľa vety 20 o disjunktívnom združení implikácií),⊢ ((φ∧ψ1)∨ (φ∧ψ2))→ (φ∧ (ψ1 ∨ψ2))

(podľa vety 11 o rozklade podmienenej konjunkcie).Zo sublem 1 a 2 už podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie vyplýva dokazované tvrdenie.

I ⊢ (¬φ∧ (¬ψ1 ∨¬ψ2))↔ ((¬φ∧¬ψ1)∨ (¬φ∧¬ψ2))(podľa už dokázanej časti),

⊢ (¬φ∧¬(ψ1 ∧ψ2))↔ ((¬φ∧¬ψ1)∨ (¬φ∧¬ψ2))(podľa vety 24 o nahradzovaní per partes pre (α∧β)↔ γ, Ide⟨α,β,γ⟩,⟨f,g1,h⟩ a Ide⟨α,β,γ⟩,⟨f,g2,h⟩,kde f = ¬φ, g1 = ¬ψ1 ∨¬ψ2 g2 = ¬(ψ1 ∧ψ2), a h = (¬φ∧¬ψ1)∨ (¬φ∧¬ψ2), keďže⊢ g1↔ g2 podľa vety 19 o deMorganovom pravidle a ⊢ f↔ f a ⊢h↔h podľa vety 13),

⊢¬(φ∨ (ψ1 ∧ψ2))↔ (¬(φ∨ψ1)∨¬(φ∨ψ2))(podľa vety 24 o nahradzovaní per partes pre α↔ (β ∨ γ), Ide⟨α,β,γ⟩,⟨f1,g1,h1⟩ a Ide⟨α,β,γ⟩,⟨f2,g2,h2⟩,kde f1 = ¬(φ∨ (ψ1 ∧ψ2)), f2 = ¬φ∧¬(ψ1 ∧ψ2), g1 = ¬(φ∨ψ1), g2 = ¬φ∧¬ψ1, h1 =¬(φ∨ψ2) a h2 = ¬φ∧¬ψ2, keďže ⊢ f1↔ f2, ⊢ g1↔ g2 a ⊢h1↔h2 podľa vety 19 o deMor-ganovom pravidle),

⊢¬(φ∨ (ψ1 ∧ψ2))↔¬((φ∨ψ1)∧ (φ∨ψ2))(podľa vety 24 o nahradzovaní per partes pre α↔β, Ide⟨α,β⟩,⟨f,g1⟩ a Ide⟨α,β⟩,⟨f,g2⟩, kde f =¬(φ∨ (ψ1 ∧ψ2)), g1 = (¬(φ∨ψ1)∨¬(φ∨ψ2)) a g2 = ¬((φ∨ψ1)∧ (φ∨ψ2)), keďže ⊢ g1↔ g2

podľa vety 19 o deMorganovom pravidle a ⊢ f↔ f podľa vety 13),⊢ (φ∨ (ψ1 ∧ψ2))↔ ((φ∨ψ1)∧ (φ∨ψ2))

(podľa vety 17 o negácii).

d I S3 ⊢ (φ∧ (φ∨ψ))→φ.

Je to špeciálny prípad vety 15.S4 ⊢φ→ (φ∧ (φ∨ψ)).

⊢φ→φ(podľa vety 13),

⊢φ→ (φ∨ψ)(podľa vety 22),


⊢φ→ (φ∧ (φ∨ψ))(podľa vety 11 o rozklade podmienenej konjunkcie).

Zo sublem 3 a 4 už podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie vyplýva dokazované tvrdenie.I ⊢ (φ∧ (φ∨ψ))↔φ

(podľa už dokázanej časti),⊢ (φ∧ (φ∨ψ))↔ ((φ∧φ)∨ (φ∧ψ))

(podľa už dokázanej časti c),⊢ ((φ∧φ)∨ (φ∧ψ))↔φ

(podľa vety 8 o tranzitivite ekvivalencie),⊢ (φ∨ (φ∧ψ))↔φ

(podľa vety 24 o nahradzovaní per partes pre (α∨β)↔ γ, Ide⟨α,β,γ⟩,⟨f1,g,h⟩ a Ide⟨α,β,γ⟩,⟨f2,g,h⟩,kde f1 = φ∨φ, f2 = φ, g = φ∧ψ a h = φ, keďže ⊢ f1↔ f2, lebo je to SAxCnjIdp(φ),a ⊢ g↔ g a ⊢h↔h podľa vety 13).

e I ⊢¬(φ∧¬φ)(je to SAxCnjNeg(φ)),

⊢ ((φ∧¬φ)↔⊥)↔¬(φ∧¬φ)(je to SAxEqvFls(φ∧¬φ)),

⊢ (φ∧¬φ)↔⊥(podľa vety 1 o ekvivalentných formulách).

I ⊢ (¬φ∧¬¬φ)↔⊥(podľa už dokázanej časti),

⊢¬(φ∨¬φ)↔¬⊤(podľa vety 24 o nahradzovaní per partes pre (α∨β)↔ γ, Ide⟨α,β⟩,⟨f1,g1⟩ a Ide⟨α,β⟩,⟨f2,g2⟩,kde f1 = ¬(φ∨¬φ), f2 = ¬φ∧¬¬φ, g1 = ⊥ a g2 = ¬⊤, keďže ⊢ f1↔ f2 podľa vety19 o deMorganovom pravidle a ⊢ g1↔ g2 a to podľa vety 1 o ekvivalentných formulách, lebo⊢⊤↔¬⊥, keďže je to SAxFlsTru()),

⊢ (φ∨¬φ)↔⊤(podľa vety 17 o negácii).

V26 (o symetrii rovnosti)

Nech T je teória. Nech e1 a e2 sú výrazy typu T . Potom T ⊢ (e1 =T e2) práve vtedy, keď T ⊢ (e2 =T e

1).

Keďže ⊢ (e1 =T e2)↔ (e2 =T e

1) (lebo je to EAxSmtT (e1, e2)), tvrdenie vyplýva z vety 1 o ekvivalentnýchformulách.

V27 (o tranzitivite rovnosti)Nech T je teória.

I Nech e, f a g sú výrazy typu T . Potom ak T ⊢ (e =T f) a T ⊢ (f =T g), tak T ⊢ (e =T g).I Nech e1, e2 a f sú výrazy typu T . Potom ak T ⊢ (e1 =T f) a T ⊢ (e2 =T f), tak T ⊢ (e1 =T e

2).I Nech e, f1 a f2sú výrazy typu T . Potom ak T ⊢ (e =T f1) a T ⊢ (e =T f2), tak T ⊢ (f1 =T f

2).

I Postupne platí:T ⊢ (e =T f) a T ⊢ (f =T g)

(predpoklady),T ⊢ (e =T f)∧ (f =T g)

(podľa vety 4 o rozklade konjunkcie),T ⊢ ((e =T f)∧ (f =T g))→ (e =T g)

(je to EAxTrnT (e, f, g)),T ⊢ (e =T g)

(modus ponens).I Postupne platí:T ⊢ (e1 =T f) a T ⊢ (e2 =T f)

(predpoklady),


T ⊢ (e1 =T f) a T ⊢ (f =T e2)

(podľa vety 26 o symetrii rovnosti),T ⊢ (e1 =T e

2)(podľa už dokázanej časti).

I Postupne platí:T ⊢ (e =T f1) a T ⊢ (e =T f2)

(predpoklady),T ⊢ (f1 =T e) a T ⊢ (f =T e

2)(podľa vety 26 o symetrii rovnosti),

T ⊢ (f1 =T f2)

(podľa už dokázanej časti).

• Vyzbrojení týmito pomôckami môžeme podstatne skrátiť dôkaz vety

((x ◦ y = n∧ y ◦ x = n)∧ (x ◦ z = n∧ z ◦ x = n))→ y = z

teórie grúp takto:

φ7 = a ◦ b = n→ c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n(podľa vety 23 pre jednoduchý výraz c ◦ x a substitúcie Idex,a◦b a Idex,n),


φ16 = c ◦ n = c∧n ◦ c = c(podľa vety 1.13 o substitúcii pre jednoduchý výraz φ13 a substitúciu Idex,c, ktorá je z ASb(φ13), a topodľa vety 1.8.4),

φ18 = c ◦ n = c(podľa vety 4 o rozklade konjunkcie pre formulu φ16),

φ19 = b ◦ a = n→ c ◦ n = c(podľa vety 10 o redundantnom predpoklade pre formulu φ18),

φ26 = (a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)(podľa vety 14 o konjunktívnom združení implikácií pre formuly φ7 a φ19),

φ27 = (c ◦ (a ◦ b) = c ◦ n∧ c ◦ n = c)→ c ◦ (a ◦ b) = c(je to EAxTrn(c ◦ (a ◦ b), c ◦ n, c)),

φ34 = (a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)→ c ◦ (a ◦ b) = c(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie pre formuly φ26 a φ27),

φ51 = c ◦ a = n→ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b(podľa vety 23 pre jednoduchý výraz x ◦ b, a substitúcie Idex,c◦a a Idex,n),

φ60 = b ◦ n = b∧ n ◦ b = b(podľa vety 27 o substitúcii pre jednoduchý výraz φ13 a substitúciu Idex,b, ktorá je z ASb(φ13), a topodľa vety 1.8.4),

φ66 = n ◦ b = b(podľa vety 4 o rozklade konjunkcie pre formulu φ60),

φ67 = a ◦ c = n→n ◦ b = b(podľa vety 10 o redundantnom predpoklade pre formulu φ66),

φ74 = (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)(podľa vety 14 o konjunktívnom združení implikácií pre formuly φ67 a φ51),

φ75 = ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)→ (c ◦ a) ◦ b = b(je to EAxTrnGroup((c ◦ a) ◦ b,n ◦ b, b)),

φ78 = (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ ((c ◦ a) ◦ b = n ◦ b∧n ◦ b = b)(podľa vety 15),

φ85 = (n ◦ b = b∧ (c ◦ a) ◦ b = n ◦ b)→ (c ◦ a) ◦ b = b(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie pre formuly φ78 a φ75),

2.3 Práca s kvantifikátormi 1482.3 Práca s kvantifikátormi 1482.3 Práca s kvantifikátormi 148

φ92 = (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n)→ (c ◦ a) ◦ b = b(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie pre formuly φ74 a φ85),

φ99 = ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)(podľa vety 14 o konjunktívnom združení implikácií pre formuly φ34 a φ92),

φ100 = (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b))(je to rovnosťová axióma EAxSmb=Boo(c ◦ (a ◦ b), c, (c ◦ a) ◦ b, b)),

φ101 = ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b))↔ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)(je to SAxExBEqv((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b), c = b)),

φ104 = ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b))↔ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b↔ c = b)(podľa vety 5 o rozklade ekvivalencie pre formulu φ101),

φ105 = ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)(je to SAxEqvImp((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b), c = b)),

φ111 = ((c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b) =Boo (c = b))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie pre formuly φ104 a φ105),

φ118 = (c ◦ (a ◦ b) = c∧ (c ◦ a) ◦ b = b)→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie pre formuly φ111 a φ100),

φ125 = ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ (c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ c = b)(podľa vety 6 o tranzitivite implikácie pre formuly φ99 a φ118),

φ147 = c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b→ (((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b)(podľa vety 9 o výmene predpokladov pre formulu φ125),

φ148 = x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z(je to axióma teórie grúp),

φ157 = c ◦ (a ◦ b) = (c ◦ a) ◦ b(podľa vety 1.13 o substitúcii pre jednoduchý výraz φ144 a substitúciu Ide⟨x,y,z⟩,⟨c,a,b⟩, ktorá je z ASb(φ148),a to podľa vety 1.8.4),

φ158 = ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ c = b(modus ponens pre formuly φ157 a φ147),

φ159 = c = b↔ b = c(je to EAxSmtGroup(c, b)),

φ170 = ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ b = c(podľa vety 24 pre jednoduchú formulu ((a ◦ b = n∧ b ◦ a = n)∧ (a ◦ c = n∧ c ◦ a = n))→ γ, kde γ ∈VarBoo, a substitúcie Ideγ,c=b a Ideγ,b=c),

φ179 = ((x ◦ y = n∧ y ◦ x = n)∧ (x ◦ z = n∧ z ◦ x = n))→ y = z(podľa vety 1.13 o substitúcii pre jednoduchý výraz φ170 a substitúciu Ide⟨a,b,c⟩,⟨x,y,z⟩, ktorá je z ASb(φ170),a to podľa vety 1.8.4).

2.3 Práca s kvantifikátormi

V1 Nech T je teória, φ a ψ formuly a v premenná. Nech T ⊢φ→ψ. Potom platí:

I T ⊢∀vφ→∀vψ.I T ⊢∃vφ→∃vψ.

I S1 Nech v je premenná a φ a ψ formuly. Potom ⊢∀v(φ→ψ)→ (∀vφ→ψ).

⊢ ((∀vφ→φ)∧ (φ→ψ))→ (∀vφ→ψ)(je to ⊢SAxTrnImp(∀vφ, φ, ψ)),

⊢ (∀vφ→φ)→ ((φ→ψ)→ (∀vφ→ψ))(podľa vety 2.3 o konjunkcii predpokladov),


⊢∀vφ→φ(je to axióma AxiSpcv,v(φ)),

⊢ (φ→ψ)→ (∀vφ→ψ)(modus ponens),

⊢∀v(φ→ψ)→ (φ→ψ)(je to axióma AxiSpcv,v(φ→ψ)),

⊢∀v(φ→ψ)→ (∀vφ→ψ)(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie).

S2 Nech v je premenná a φ a ψ formuly. Potom ⊢∀v(φ→ψ)→ (∀vφ→∀vψ).

⊢∀v(φ→ψ)→ (∀vφ→ψ)(podľa sublemy 1),

⊢∀v(∀v(φ→ψ)→ (∀vφ→ψ))(generalizácia),

⊢∀v(∀v(φ→ψ)→ (∀vφ→ψ))→ (∀v(φ→ψ)→∀v(∀vφ→ψ))(je to axióma AxiQuav(∀v(φ→ψ), (∀vφ→ψ)), keďže podľa definície fve platí v /∈ fve(φ→ψ)r{v} = fve(∀v(φ→ψ))),

⊢∀v(φ→ψ)→∀v(∀vφ→ψ)(modus ponens),

⊢∀v(∀vφ→ψ)→ (∀vφ→∀vψ)(axióma AxiQuav(∀vφ, ψ), keďže podľa definície fve platí v /∈ fve(φ)r {v} = fve(∀vφ)),

⊢∀v(φ→ψ)→ (∀vφ→∀vψ)(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie).

Postupne platí:T ⊢φ→ψ

(predpoklad),T ⊢∀v(φ→ψ)

(generalizácia),⊢∀v(φ→ψ)→ (∀vφ→∀vψ)

(podľa sublemy 2),T ⊢∀v(φ→ψ)→ (∀vφ→∀vψ)

(podľa vety 1.11),T ⊢∀vφ→∀vψ

(modus ponens).I Postupne platí:T ⊢φ→ψ

(predpoklad),T ⊢¬ψ→¬φ

(podľa vety 2.16 o obmene),T ⊢∀v¬ψ→∀v¬φ

(podľa už dokázanej časti pre formuly ¬ψ a ¬φ a kvantifikátor ∀v),T ⊢¬∀v¬φ→¬∀v¬ψ

(podľa vety 2.16 o obmene),T ⊢∃vφ→¬∀v¬φ

(z toho, že T ⊢AxiExiv(φ), podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),T ⊢∃vφ→¬∀v¬ψ

(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie),T ⊢¬∀v¬ψ→∃vψ

(z toho, že T ⊢AxiExiv(ψ), podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),T ⊢∃vφ→∃vψ

(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie).


V2 Nech T je teória, φ1 a φ2 formuly a v je premenná. Nech T ⊢φ1↔φ2. Potom platí:

I T ⊢∀vφ1↔∀vφ2.I T ⊢∃vφ1↔∃vφ2.

Nech s ∈ {∀v∃v}. Potom postupne platí:

T ⊢φ1↔φ2

(predpoklad),T ⊢φ1→φ2 a T ⊢φ2→φ1

(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),T ⊢ sφ1→ sφ2 a T ⊢ sφ2→ sφ1

(podľa vety 1),T ⊢ sφ1↔ sφ2

(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie).

V3 Nech T je formula, φ a ψ sú formuly a v1, …, vp sú premenné. Nech T ⊢φ↔¬ψ. Potom platí:

I T ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)↔¬All⟨v1,...,vp⟩(ψ).I T ⊢¬Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)↔All⟨v1,...,vp⟩(ψ).

I Tvrdenie dokážeme matematickou indukciou cez Var∗ (t. j. podľa vety A4.1.3):1 Podľa definícií Exi⟨⟩ a All⟨⟩ je dokazované tvrdenie T ⊢φ↔¬ψ, čo platí triviálne, lebo je to pred-

poklad.2 Nech v1, …, vp+1 sú premenné a nech platí indukčný predpoklad pre ⟨v1, . . . , vp⟩. Potom postupne

platí:T ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)↔¬All⟨v1,...,vp⟩(ψ)

(podľa indukčného predpokladu),T ⊢∃vp+1Exi

⟨v1,...,vp⟩(φ)↔∃vp+1¬All⟨v1,...,vp⟩(ψ)(podľa vety 2),

T ⊢∃vp+1¬All⟨v1,...,vp⟩(ψ)↔¬∀vp+1¬¬All⟨v1,...,vp⟩(ψ)

(je to axióma AxiExivp+1(¬All⟨v1,...,vp⟩(ψ))),T ⊢∃vp+1Exi

⟨v1,...,vp⟩(φ)↔¬∀vp+1¬¬All⟨v1,...,vp⟩(ψ)(podľa vety 2.8 o tranzitivite ekvivalencie),

T ⊢¬¬All⟨v1,...,vp⟩(ψ)↔All⟨v1,...,vp⟩(ψ)

(je to jednoduchá axióma SAxNegNeg(All⟨v1,...,vp⟩(ψ))),T ⊢∀vp+1¬¬All⟨v1,...,vp⟩(ψ)↔∀vp+1All⟨v1,...,vp⟩(ψ)

(podľa vety 2),T ⊢¬∀vp+1¬¬All⟨v1,...,vp⟩(ψ)↔¬∀vp+1All

⟨v1,...,vp⟩(ψ)(podľa vety 2.17 o negácii),

T ⊢∃vp+1Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)↔¬∀vp+1All

⟨v1,...,vp⟩(ψ)(podľa vety 2.8 o tranzitivite ekvivalencie)

T ⊢Exi⟨v1,...,vp+1⟩(φ)↔¬All⟨v1,...,vp+1⟩(ψ)

(podľa definícií Exi⟨v1,...,vp+1⟩ a All⟨v1,...,vp+1⟩).Tvrdenie teda platí i pre ⟨v1, . . . , vp+1⟩.

I Je to dôsledok už dokázanej časti a vety 2.16 o obmene.

V4 Nech φ je formula a v1, …, vp sú premenné. Potom platí:

I ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(¬φ)↔¬All⟨v1,...,vp⟩(φ).I ⊢¬Exi⟨v1,...,vp⟩(¬φ)↔All⟨v1,...,vp⟩(φ).I ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)↔¬All⟨v1,...,vp⟩(¬φ).I ⊢¬Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)↔All⟨v1,...,vp⟩(¬φ).


I Keďže podľa vety 2.13 platí ⊢¬φ↔¬φ, sú splnené podmienky vety 3 pre formuly ¬φ a φ. Z toho užvyplývajú prvé dve tvrdenia.

I Keďže ⊢¬¬φ↔φ, lebo je to jednoduchá axióma SAxNegNeg(φ), podľa 2.7 o konjunkcii ekvivalencieplatí aj ⊢φ↔¬¬φ. Sú teda splnené podmienky vety 3 pre formuly φ a ¬φ. Z toho už vyplývajú druhédve tvrdenia.

V5 (o vybraných kvantifikátoroch)

Nech v1, …, vp sú premenné a u1, …, um sú premenné také, že {v1, . . . , vp} ⊆ {u1, . . . , um}. Nech T jeteória. Nech φ a ψ sú formuly také, že T ⊢φ→ψ. Potom platí:

I T ⊢All⟨u1,...,um⟩(φ)→All⟨v1,...,vp⟩(ψ).I T ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)→Exi⟨u1,...,um⟩(ψ).

I Tvrdenie dokážeme pre ⟨v1, . . . , vp⟩ matematickou indukciou cez Var∗ (t. j. podľa vety A4.1.3):

1 S1 Nech w1, …, wn sú premenné a ξ je formula. Potom ⊢All⟨u1,...,un⟩(φ)→φ.

Tvrdenie dokážeme matematickou indukciou cez Var∗ (t. j. podľa vety A4.1.3):1 ⊢ ξ→ ξ

(podľa vety 2.13),⊢All⟨⟩(ξ)→ ξ

(podľa definície All⟨⟩).2 Nech u1, …, um+1 sú premenné a nech platí indukčný predpoklad pre ⟨w1, . . . , wn⟩.⊢All⟨w1,...,wn⟩(ξ)→ ξ

(podľa indukčného predpokladu),⊢∀wn+1All⟨w1,...,wn⟩(ξ)→All⟨w1,...,wn⟩(ξ)

(je to axióma AxiSpcwn+1,wn+1(All⟨w1,...,wn⟩(ξ))),⊢∀wn+1All⟨w1,...,wn⟩(ξ)→ ξ

(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie),⊢All⟨w1,...,wn+1⟩(ξ)→ ξ

(podľa definície All⟨w1,...,wn+1⟩).Tvrdenie teda platí i pre ⟨w1, . . . , wn+1⟩.

Potom platí:⊢All⟨u1,...,um⟩(φ)→φ

(podľa sublemy 1),T ⊢All⟨u1,...,um⟩(φ)→φ

(podľa vety 1.11),T ⊢φ→ψ

(predpoklad),T ⊢All⟨u1,...,um⟩(φ)→ψ

(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie),T ⊢All⟨u1,...,um⟩(φ)→All⟨⟩(ψ)

(podľa definície All⟨v1,...,vp⟩),2 Nech v1, …, vp+1 sú premenné a nech platí indukčný predpoklad pre ⟨v1, . . . , vp⟩.

Podľa predpokladu vp+1 ∈ {u1, . . . , um}, takže vp+1 = uk pre nejaké k z {1, . . . ,m}.S1 Nech x a y sú premenné a ξ formula. Potom platí ⊢∀x∀yξ→∀y∀xξ.

⊢∀yξ→ ξ(je to axióma AxiSpcy,y(ξ)),

⊢∀x∀yξ→∀xξ(podľa vety 1),

⊢∀y(∀x∀yξ→∀xξ)(generalizácia),


⊢∀y(∀x∀yξ→∀xξ)↔ (∀x∀yξ→∀y∀xξ)(je to axióma AxiQuay(∀x∀yξ, ∀xξ), pričom jej podmienka je splnená, lebo podľa definície fveplatí y /∈ fve(ξ)r {x, y} = fve(∀yξ)r {x} = fve(∀x∀yξ)),

⊢∀x∀yξ→∀y∀xξ(podľa vety 2.1 o ekvivalentných formulách).

S2 Nech x je premenná a ξ formula. Potom ⊢∀xξ→∀x∀xξ.

⊢∀xξ→∀xξ(podľa vety 2.13),

⊢∀x(∀xξ→∀xξ)(generalizácia),

⊢∀x(∀xξ→∀xξ)↔ (∀xξ→∀x∀xξ)(je to axióma AxiQuax(∀xξ, ∀xξ), pričom jej podmienka je splnená, lebo podľa definície fveplatí x /∈ fve(ξ)r {x} = fve(∀xξ)),

⊢∀xξ→∀x∀xξ(podľa vety 2.1 o ekvivalentných formulách).

S3 Nech k ∈ {1, . . . ,m} a n ∈ {k, . . . ,m}. Potom ⊢All⟨u1,...,un⟩(φ)→All⟨u1,...,un,uk⟩(φ).

Tvrdenie dokážeme klasickou matematickou indukciou cez konvexnú množinu {k, . . . ,m} (t. j.podľa vety A1.2.6):1 ⊢∀vkAll⟨u1,...,uk−1⟩(φ)→∀vk∀vkAll⟨u1,...,uk−1⟩(φ)

(podľa sublemy 2 pre premennú vk a formulu All⟨u1,...,uk−1⟩(φ)),⊢All⟨u1,...,uk⟩(φ)→∀vkAll⟨u1,...,uk⟩(φ)

(podľa definície All⟨u1,...,uk⟩),⊢All⟨u1,...,uk⟩(φ)→All⟨u1,...,uk,uk⟩(φ)

(podľa definície All⟨u1,...,uk,uk⟩).2 Nech n ∈ {k, . . . ,m− 1}. Potom platí:⊢All⟨u1,...,un⟩(φ)→All⟨u1,...,un,uk⟩(φ)

(indukčný predpoklad),⊢All⟨u1,...,un⟩(φ)→∀vkAll⟨u1,...,un⟩(φ)

(podľa definície All⟨u1,...,un,uk⟩),⊢∀vn+1All

⟨u1,...,un⟩(φ)→∀vn+1∀vkAll⟨u1,...,un⟩(φ)(podľa vety 1),⊢∀vn+1∀vkAll⟨u1,...,un⟩(φ)→∀vk∀vn+1All⟨u1,...,un⟩(φ)

(podľa sublemy 2),⊢∀vn+1All

⟨u1,...,un⟩(φ)→∀vk∀vn+1All⟨u1,...,un⟩(φ)(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie),⊢All⟨u1,...,un+1⟩(φ)→∀vkAll⟨u1,...,un+1⟩(φ)

(podľa definície All⟨u1,...,un+1⟩),⊢All⟨u1,...,un+1⟩(φ)→All⟨u1,...,un+1,uk⟩(φ)

(podľa definície All⟨u1,...,un+1,uk⟩).Potom postupne platí:T ⊢All⟨u1,...,um⟩(φ)→All⟨v1,...,vp⟩(ψ)

(podľa indukčného predpokladu),T ⊢∀vp+1All⟨u1,...,um⟩(φ)→∀vp+1All

⟨v1,...,vp⟩(ψ)(podľa vety 1),

T ⊢∀ukAll⟨u1,...,um⟩(φ)→∀vp+1All⟨v1,...,vp⟩(ψ)(lebo vp+1 = uk),

T ⊢All⟨u1,...,um,uk⟩(φ)→All⟨v1,...,vp+1⟩(ψ)

(podľa definície All⟨u1,...,um,uk⟩ a All⟨v1,...,vp+1⟩),T ⊢All⟨u1,...,um⟩(φ)→All⟨u1,...,um,uk⟩(φ)

(podľa sublemy 3, kde n = m),


T ⊢All⟨u1,...,um⟩(φ)→All⟨v1,...,vp+1⟩(ψ)(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie).

Tvrdenie teda platí i pre ⟨v1, . . . , vp+1⟩.I T ⊢φ→ψ

(predpoklad),T ⊢¬ψ→¬φ

(podľa vety 2.16 o obmene),T ⊢All⟨v1,...,vp⟩(¬ψ)→All⟨u1,...,um⟩(¬φ)

(podľa už dokázanej časti pre formuly ¬ψ a ¬φ),T ⊢¬All⟨v1,...,vp⟩(¬ψ)→¬All⟨u1,...,um⟩(¬φ)

(podľa vety 2.16 o obmene),T ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ)→¬All⟨v1,...,vp⟩(¬ψ)

(podľa vety 4 a vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),T ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ)→¬All⟨u1,...,um⟩(¬φ)

(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie),T ⊢¬All⟨u1,...,um⟩(¬φ)→Exi⟨u1,...,um⟩(φ)

(podľa vety 4 a vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),T ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)→Exi⟨u1,...,um⟩(φ)


V6 Nech v1, …, vp sú premenné a u1, …, um sú premenné také, že {v1, . . . , vp} ⊆ {u1, . . . , um}. Nech φ jeformula. Potom platí:

I ⊢All⟨u1,...,um⟩(φ)→All⟨v1,...,vp⟩(φ).I ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)→Exi⟨u1,...,um⟩(φ).

Podľa vety 2.13 platí ⊢φ↔φ. Z toho už podľa vety 5 vyplývajú obe tvrdenia.

V7 Nech v11 , …, v1p1 a v21 , …, v2p2 sú premenné také, že {v11 , . . . , v1p1} = {v21 , . . . , v2p2}. Nech T je teória. Nech φ1

a φ2 sú formuly také, že T ⊢φ1↔φ2. Potom platí:

I T ⊢All⟨v11 ,...,v

1p1

⟩(φ1)↔All

⟨v21 ,...,v2p2

⟩(φ2).

I T ⊢Exi⟨v11 ,...,v

1p1

⟩(φ1)↔Exi

⟨v21 ,...,v2p2

⟩(φ2).

I T ⊢φ1↔φ2


(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),T ⊢All⟨v

11 ,...,v

1p1

⟩(φ1)→All

⟨v21 ,...,v2p2

⟩(φ2) a T ⊢All⟨v

21 ,...,v

2p2

⟩(φ2)→All

⟨v11 ,...,v1p1

⟩(φ1)

(dvakrát podľa vety 5 o vybraných kvantifikátoroch),T ⊢All⟨v

11 ,...,v

1p1

⟩(φ1)↔All

⟨v21 ,...,v2p2

⟩(φ2)

(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie).I T ⊢φ1↔φ2


(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),T ⊢Exi⟨v

21 ,...,v

2p2

⟩(φ2)→Exi

⟨v11 ,...,v1p1

⟩(φ1) a T ⊢Exi⟨v

11 ,...,v

1p1

⟩(φ1)→Exi

⟨v21 ,...,v2p2

⟩(φ2)

(dvakrát podľa vety 5 o vybraných kvantifikátoroch),T ⊢Exi⟨v

11 ,...,v

1p1

⟩(φ1)↔Exi

⟨v21 ,...,v2p2

⟩(φ2)

(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie).


V8 Nech v1, …, vp sú premenné. Nech T je teória. Nech φ1 a φ2 sú formuly také, že T ⊢φ1↔φ2. Potom platí:

I T ⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ1)↔All⟨v1,...,vp⟩(φ2).I T ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ1)↔Exi⟨v1,...,vp⟩(φ2).

Je to špeciálny prípad vety 7, lebo {vP (1), . . . , vP (p)} = {v1, . . . , vp}.

V9 Nech v11 , …, v1p1 a v21 , …, v2p2 sú premenné také, že {v11 , . . . , v1p1} = {v21 , . . . , v2p2}. Nech φ je formula. Potomplatí:

I ⊢All⟨v11 ,...,v

1p1

⟩(φ)↔All

⟨v21 ,...,v2p2

⟩(φ).

I ⊢Exi⟨v11 ,...,v

1p1

⟩(φ)↔Exi

⟨v21 ,...,v2p2

⟩(φ).

Podľa vety 2.13 platí ⊢φ↔φ. Z toho už podľa vety 7 vyplývajú obe tvrdenia.

P Ako špeciálny prípad dostávame tieto známe redukcie rovnakých kvantifikátorov:

I ⊢∀v∀vφ↔∀vφ.I ⊢∃v∃vφ↔∃vφ.

P Ako špeciálny prípad dostávame tieto známe výmeny kvantifikátorov rovnakého druhu:

I ⊢∀v1∀v2φ↔∀v2∀v1φ.I ⊢∃v1∃v2φ↔∃v2∃v1φ.

V10 Nech v1, …, vp sú premenné. Nech φ a ψ sú formuly. Nech {v1, . . . , vp} ∩ fve(φ) = ∅. Potom platí

⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ→ψ)↔ (φ→All⟨v1,...,vp⟩(ψ)).

Tvrdenie dokážeme matematickou indukciou cez Var∗ (t. j. podľa vety A4.1.3):

1 Podľa definície All⟨⟩ máme dokázať tvrdenie ⊢ (φ→ψ)↔ (φ→ψ), čo však vyplýva z vety 2.13.2 Nech v1, …, vp+1 sú premenné. Nech φ a ψ sú formuly. Nech {v1, . . . , vp+1} ∩ fve(φ) = ∅. Nech platí

indukčný predpoklad pre ⟨v1, . . . , vp⟩ Potom postupne platí:⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ→ψ)↔ (φ→All⟨v1,...,vp⟩(ψ))

(podľa indukčného predpokladu, lebo platí jeho podmienka {v1, . . . , vp} ∩ fve(φ) = ∅, keďže podľapredpokladu {v1, . . . , vp+1} ∩ fve(φ) = ∅),

⊢∀vp+1All⟨v1,...,vp⟩(φ→ψ)↔∀vp+1(φ→All⟨v1,...,vp⟩(ψ))

(podľa vety 2),⊢∀vp+1(φ→All⟨v1,...,vp⟩(ψ))↔ (φ→∀vp+1All

⟨v1,...,vp⟩(ψ))

(je to axióma AxiQuavp+1(φ,All⟨v1,...,vp⟩(ψ)) keďže vp+1 /∈ fve(φ)),⊢∀vp+1All

⟨v1,...,vp⟩(φ→ψ)↔ (φ→∀vp+1All⟨v1,...,vp⟩(ψ))

(podľa vety 2.8 o tranzitivite ekvivalencie),⊢All⟨v1,...,vp+1⟩(φ→ψ)↔ (φ→All⟨v1,...,vp+1⟩(ψ))

(podľa definície All⟨v1,...,vp+1⟩).Tvrdenie teda platí i pre ⟨v1, . . . , vp+1⟩.

V11 (o výmene kvantifikátorov rôzneho druhu)Nech φ je formula. Nech v1, …, vp a w1, …, wr sú premenné. Potom

⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(All⟨w1,...,wr⟩(φ))→All⟨w1,...,wr⟩(Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)).

S1 {w1, . . . , wr} ∩ fve(Exi⟨v1,...,vp⟩(All⟨w1,...,wr⟩(φ))) = ∅.


{w1, . . . , wr} ∩ fve(Exi⟨v1,...,vp⟩(All⟨w1,...,wr⟩(φ)))

= {w1, . . . , wr} ∩ (fve(All⟨w1,...,wr⟩(φ))r {v1, . . . , vp})(podľa vety 1.6.7),

= {w1, . . . , wr} ∩ ((fve(φ)r {w1, . . . , wr})r {v1, . . . , vp})(podľa vety 1.6.7),

= {w1, . . . , wr} ∩ ((fve(φ)r {v1, . . . , vp})r {w1, . . . , wr})(lebo (ArB1)rB2 = (ArB2)rB1),

= ∅(lebo A ∩ (B rA) = ∅).

Potom platí:

⊢All⟨w1,...,wr⟩(φ))→φ(podľa vety 6),

⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(All⟨w1,...,wr⟩(φ))→Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)(podľa vety 6),

⊢All⟨w1,...,wr⟩(Exi⟨v1,...,vp⟩(All⟨w1,...,wr⟩(φ))→Exi⟨v1,...,vp⟩(φ))(podľa vety 1.12 o generalizácii),

⊢All⟨w1,...,wr⟩(Exi⟨v1,...,vp⟩(All⟨w1,...,wr⟩(φ))→Exi⟨v1,...,vp⟩(φ))↔↔ (Exi⟨v1,...,vp⟩(All⟨w1,...,wr⟩(φ))→All⟨w1,...,wr⟩(Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)))(podľa vety 10, ktorej podmienka je splnená podľa sublemy 1),

⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(All⟨w1,...,wr⟩(φ))→All⟨w1,...,wr⟩(Exi⟨v1,...,vp⟩(φ))(podľa vety 2.1 o ekvivalentných formulách).

P Tvrdenie s opačnou implikáciou neplatí. Ako kontrapríklad môže poslúžiť situácia, keď p = r = 1, v1 = x,w1 = y a φ = (x = y). Dostávame tak formulu ∀y∃x(x = y)→∃x∀y(x = y), ktorá však napríklad v klasickejinterpretácii nie je pravdivá, a teda podľa vety 1.9 o logických vetách nemôže byť ani logickou vetou.

V12 Nech e je výraz. Nech σ1 a σ2 sú substitúcie. Nech fve(e) = {u1, . . . , um} a bve(e) = {w1, . . . , wr}. Potom

⊢All⟨w1,...,wr⟩(Cnjm((σ1(u1) =typ(u1) σ2(u1)), . . . , (σ

1(um) =typ(um) σ2(um))))→ (σ1(e) =typ(e) σ2(e)).

Tvrdenie dokážeme matematickou indukciou cez Exp (t. j. podľa vety 1.3.7):

1 Nech e ∈ Var.Potom však bve(e) = ∅, a fve(e) = {e}, takže e = uk pre niektoré k z {1, . . . ,m}. Platí:⊢Cnjm((σ1(u1) =typ(u1) σ

2(u1)), . . . , (σ1(um) =typ(um) σ

2(um)))→ (σ1(e) =typ(e) σ2(e))

(podľa vety 2.14 o konjunktívnom združení implikácií),⊢Cnjm((σ1(u1) =typ(u1) σ

2(u1)), . . . , (σ1(um) =typ(um) σ

2(um)))→ (σ1(e) =typ(e) σ2(e))

(pre každé j z {1, 2} podľa definície σj).2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, out(s) = T , bvs(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs a pre každé i

z {1, . . . , n} platí typ(ei) = Ti a indukčný predpoklad pre ei.Nech

α = Cnjm((σ1(u1) =typ(u1) σ2(u1)), . . . , (σ

1(um) =typ(um) σ2(um)))

aβ = All⟨w1,...,wr⟩(α).

Chceme teda dokázať, že ⊢β→ (σ1(e) =typ(e) σ2(e)).S1 {v1, . . . , vp} ∩ fve(β) = ∅.

{v1, . . . , vp} ∩ fve(β)

= {v1, . . . , vp} ∩ fve(All⟨w1,...,wr⟩(α)),= {v1, . . . , vp} ∩ (fve(α)r {w1, . . . , wr})



= ({v1, . . . , vp}r {w1, . . . , wr}) ∩ fve(α)∩(lebo A ∩ (B r C) = (Ar C) ∩B),

= ∅ ∩ fve(α)(lebo podľa definície bve platí {v1, . . . , vp} = bvs(s) ⊆ bve(e) = {w1, . . . , wr}),

= ∅.Nech pre každé j z {1, 2} platí τ j = (σj)⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩.Nech pre každé i z {1, . . . , n} platí fve(ei) = {(xi)1, . . . , (xi)ni}, bve(ei) = {(yi)1, . . . , (yi)qi},

γi = Cnjni((τ1((xi)1) =typ((xi)1) τ2((xi)1)), . . . , (τ

1((xi)ni) =typ((xi)ni) τ

2((xi)ni))).

aδi = All⟨(yi)1,...,(yi)qi ⟩(γi).

S2 Nech i ∈ {1, . . . , n}. Potom ⊢α→ γi.

Podľa definície fve platí fve(ei) ⊆ fve(e) ∪ bvs(s). Rozoberme prípady:I Nech (xi)l ∈ bvs(s) = {v1, . . . , vp}.

Potom pre každé j z {1, 2} podľa definície τ j platí τ j((xi)l) = (xi)l, takže ⊢ (τ1((xi)l) =typ((xi)l)

τ2((xi)l)), znamená ⊢ ((xi)l =typ((xi)l) (xi)l), čo platí, lebo je to EAxRfltyp((xi)l)((xi)l).I Nech (xi)l ∈ fve(ei)r bvs(s) = {u1, . . . , um}r {v1, . . . , vp}.

Potom (xi)l = uk pre niektoré k z {1, . . . ,m}, takže pre každé j z {1, 2} podľa definície τ jplatí τ j((xi)l) = σj((xi)l) = σj(uk). To znamená, že formula (τ1((xi)l) =typ((xi)l) τ

2((xi)l))je (σ1(uk) =typ(uk) σ

2(uk)).Sú teda splnené podmienky vety 2.15, podľa ktorej dostávame požadované tvrdenie.

S3 Nech i ∈ {1, . . . , n}. Potom ⊢β→ δi.

⊢α→ γi(podľa sublemy 2),

⊢All⟨w1,...,wr⟩(α)→All⟨(yi)1,...,(yi)qi ⟩(γi)(podľa vety 5 o vybraných kvantifikátoroch, keďže podľa definície bve platí {(yi)1, . . . , (yi)qi} =bve(ei) ⊆ bve(e) = {w1, . . . , wr}),

⊢β→ δi(podľa definícií β a δi).

S4 Nech i ∈ {1, . . . , n}. Potom ⊢β→ (τ1(ei) =typ(ei) τ2(ei)).

Potom platí:⊢ δi→ (τ1(ei) =typ(ei) τ

2(ei))(podľa indukčného predpokladu),

⊢β→ δi(podľa sublemy 3),

⊢β→ (τ1(ei) =typ(ei) τ2(ei))

(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie).Potom postupne platí:

pre každé i z {1, . . . , n} platí ⊢β→ (τ1(ei) =Ti τ2(ei))

(podľa sublemy 4),⊢β→Cnjn((τ1(e1) =T1 τ

2(e1)), . . . , (τ1(en) =Tn τ2(en)))

(podľa vety 2.11 o rozklade podmienenej konjunkcie),⊢All⟨v1,...,vp⟩(β→Cnjn((τ1(e1) =T1 τ

2(e1)), . . . , (τ1(en) =Tn τ2(en))))

(podľa vety 1.12 o generalizácii),⊢All⟨v1,...,vp⟩(β→Cnjn((τ1(e1) =T1

τ2(e1)), . . . , (τ1(en) =Tnτ2(en))))↔

↔ (β→All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn((τ1(e1) =T1 τ2(e1)), . . . , (τ1(en) =Tn τ

2(en)))))(podľa vety 10, ktorej podmienka je splnená podľa sublemy 1),


⊢β→All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn((τ1(e1) =T1 τ2(e1)), . . . , (τ1(en) =Tn τ

2(en))))(podľa vety 2.1 o ekvivalentných formulách),

⊢All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn((τ1(e1) =T1 τ2(e1)), . . . , (τ1(en) =Tn τ

2(en))))→→ (sτ1(e1) . . . τ1(en) =T sτ2(e1) . . . τ2(en))

(je to axióma EAxSmbs(⟨τ1(e1), . . . , τ1(en)⟩, ⟨τ2(e1), . . . , τ2(en)⟩)),⊢β→ (sτ1(e1) . . . τ1(en) =T sτ2(e1) . . . τ2(en))

(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie),⊢β→ (σ1(se1 . . . en) =T σ2(se1 . . . en))

(podľa definícií σ1 a σ2),⊢β→ (σ1(e) =T σ2(e)).

V13 Nech e je výraz. Nech v1, …, vp sú rôzne premenné a pre každé j z {1, 2} a q z {1, . . . , p} platí f jq ∈ Exptyp(vq).Nech bve(e) = {w1, . . . , wr}. Potom

⊢All⟨w1,...,wr⟩(Cnjp((f11 =typ(v1) f21 ), . . . , (f

1p =typ(vp) f

2p )))→

→ (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f11 ,...,f

1p ⟩(e) =typ(e) Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨v21 ,...,v2p⟩(e)).

Nech pre každé j z {1, 2} platí σj = Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨fj1 ,...,f

jp⟩. Nech fve(e) = {u1, . . . , um}.

S1 ⊢Cnjp((f11 =typ(v1) f21 ), . . . , (f

1p =typ(vp) f

2p ))→

→Cnjm((σ1(u1) =typ(u1) σ2(u1)), . . . , (σ

1(um) =typ(um) σ2(um))).

Nech k ∈ {1, . . . ,m}. Rozlíšime prípady:I Nech uk = vq pre nejaké q z {1, . . . , p}.

Potom pre každé j z {1, 2} podľa definície σj(uk) = σj(vq) = f jq , takže (σ1(uk) =typ(uk) σ2(uk))

je (f1q =typ(vq) f2q ).

I Nech uk /∈ {v1, . . . , vp}.Potom pre každé j z {1, 2} podľa definície platí σj(uk) = uk. Potom platí T ⊢ (uk =typ(uk) uk),lebo je to EAxRfltyp(uk)(uk), t. j. platí T ⊢ (σ1(uk) =typ(uk) σ

2(uk)).Sú teda splnené podmienky vety 2.15, podľa ktorej dostávame požadované tvrdenie.

Potom platí:

⊢Cnjp((f11 =typ(v1) f21 ), . . . , (f

1p =typ(vp) f

2p ))→

→Cnjm((σ1(u1) =typ(u1) σ2(u1)), . . . , (σ

1(um) =typ(um) σ2(um)))

(podľa sublemy 1),⊢All⟨w1,...,wr⟩(Cnjp((f11 =typ(v1) f

21 ), . . . , (f

1p =typ(vp) f

2p )))→

→All⟨w1,...,wr⟩(Cnjm((σ1(u1) =typ(u1) σ2(u1)), . . . , (σ

1(um) =typ(um) σ2(um))))

(podľa vety 5 o vybraných kvantifikátoroch),

⊢ (All⟨w1,...,wr⟩(Cnjm((σ1(u1) =typ(u1) σ2(u1)), . . . , (σ

1(um) =typ(um) σ2(um))))→ (σ1(e) =typ(e) σ2(e)))

(podľa vety 12),

⊢All⟨w1,...,wr⟩(Cnjp((f11 =typ(v1) f21 ), . . . , (f

1p =typ(vp) f

2p )))→ (σ1(e) =typ(e) σ2(e))


V14 Nech T je teória. Nech e je výraz. Nech v1, …, vp sú rôzne premenné a pre každé j z {1, 2} a q z {1, . . . , p}platí f j ∈ Exptyp(vq). Nech pre každé q z {1, . . . , p} platí T ⊢ (f1q =typ(vq) f

2q ). Potom platí

T ⊢ (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f11 ,...,f

1p ⟩(e) =typ(e) Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f2

1 ,...,f2p ⟩(e)).

Nech bve(e) = {w1, . . . , wr}. Potom postupne platí:


pre každé q z {1, . . . , p} platí T ⊢ (f1q =typ(vq) f2q )

(predpoklad),T ⊢Cnjp((f11 =typ(v1) f

21 ), . . . , (f

1p =typ(vp) f

2p ))

(podľa vety 2.4 o rozklade konjunkcie),T ⊢All⟨w1,...,wr⟩(Cnjp((f11 =typ(v1) f

21 ), . . . , (f

1p =typ(vp) f

2p )))

(podľa vety 1.12 o generalizácii),⊢All⟨w1,...,wr⟩(Cnjp((f11 =typ(v1) f

21 ), . . . , (f

1p =typ(vp) f

2p )))→

→ (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f11 ,...,f

1p ⟩(e) =typ(e) Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f2

1 ,...,f2p ⟩(e))

(podľa vety 13),T ⊢All⟨w1,...,wr⟩(Cnjp((f11 =typ(v1) f

21 ), . . . , (f

1p =typ(vp) f

2p )))→

→ (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f11 ,...,f

1p ⟩(e) =typ(e) Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f2

1 ,...,f2p ⟩(e))

(podľa vety 1.11),T ⊢ (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1

1 ,...,f1p ⟩(e) =typ(e) Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f2

1 ,...,f2p ⟩(e))

(modus ponens).

V15 (o nahradzovaní per partes)Nech T je teória. Nech φ je formula. Nech v1, …, vp sú rôzne premenné typu Boo a pre každé jz {1, 2} a q z {1, . . . , p} je φjq formula. Nech pre každé q z {1, . . . , p} platí T ⊢φ1

q↔φ2q. Potom

T ⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨φ11,...,φ

1p⟩(φ), práve keď T ⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨φ2

1,...,φ2p⟩(φ).

pre každé q z {1, . . . , p} platí T ⊢φ1q↔φ2

q

(predpoklad),pre každé q z {1, . . . , p} platí T ⊢ (φ1

q =Boo φ2q)

(podľa vety 2.12),T ⊢ (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨φ1

1,...,φ1p⟩(φ) =Boo Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨φ2

1,...,φ2p⟩(φ))

(podľa vety 14),T ⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨φ1

1,...,φ1p⟩(φ)↔ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨φ2

1,...,φ2p⟩(φ)

(podľa vety 2.12),T ⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1

1 ,...,f1p ⟩(φ), práve keď T ⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1

1 ,...,f1p ⟩(φ)

(podľa vety 2.1 o ekvivalentných formulách).

P Všimnime si, že nepožadujeme, aby σ1 a σ2 patrili do ASb(e).

…

V16 Nech φ je formula. Nech v1, …, vp sú rôzne premenné. Nech f1, …, fp sú výrazy také, že pre každé qz {1, . . . , p} platí typ(fq) = typ(vq). Nech platí Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩ ∈ ASb(φ). Potom

⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)→Exi⟨v1,...,vp⟩(φ).

⊢All⟨v1,...,vp⟩(¬φ)→ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(¬φ)(je to axióma AxiSpc⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(¬φ), ktorej podmienka je splnená podľa predpokladu a podľadefinície ASb),

⊢All⟨v1,...,vp⟩(¬φ)→¬Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩),

⊢¬Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)→¬Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre α→¬Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ), Ide⟨α⟩,⟨f1⟩ a Ide⟨α⟩,⟨f2⟩, kdef1 = ¬Exi⟨v1,...,vp⟩(φ) a f2 = All⟨v1,...,vp⟩(¬φ), keďže ⊢ f1↔ f2 podľa vety 4),


⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)→Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)(podľa vety 2.16 o obmene).

V17 Nech T ∈ Typ, v ∈ VarT a e ∈ ExpT , pričom v /∈ fve(e). Potom ⊢∃v(v =T e).

Najprv sublema:

S1 Idev,e ∈ ASb((v =T e)).

Postupne platí:Idev,e ∈ ASb(v)

(podľa definície ASb),Idev,e ∈ ASb(e)

(podľa vety 1.8.5, keďže podľa vety 1.8.9 platí Ide ∈ ASb(e), a podľa predpokladu v /∈ fve(e)),Idev,e ∈ ASb((v =T e))

(podľa definície ASb).

Potom platí:

⊢ Idev,e(v =T e)→∃v(v =T e)(podľa vety 16, ktorej podmienka je splnená podľa sublemy),

⊢ (Idev,e(v) =T Idev,e(e))→∃v(v =T e)

(podľa definície Idev,e, lebo =T ∈ Nob),

⊢ (e =T Idev,e(e))→∃v(v =T e)

(podľa definície Idev,e),⊢ (e =T e)→∃v(v =T e)

(podľa vety 1.8.3, lebo v /∈ fve(e)),⊢ (e =T e)

(je to EAxRflT (e)),⊢∃v(v =T e)

(modus ponens).

V18 Nech v je premenná a φ a ψ formuly, pričom v /∈ fve(ψ). Potom platí:

⊢∀v(φ→ψ)↔ (∃vφ→ψ).

Postupne platí:

⊢ (φ→ψ)↔ (¬ψ→¬φ)(je to SAxImpInv(φ,ψ)),

⊢∀v(φ→ψ)↔∀(¬ψ→¬φ)(podľa vety 2),

⊢∀v(¬ψ→¬φ)↔ (¬ψ→∀v¬φ)(je to axióma AxiQuav(¬ψ,¬φ), keďže v /∈ fve(ψ) = fve(¬ψ)),

⊢∀v(φ→ψ)↔ (¬ψ→∀v¬φ)(podľa vety 2.8 o tranzitivite ekvivalencie),

⊢∀v(φ→ψ)↔ (¬ψ→¬∃vφ)(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre formulu ∀v(φ→ψ)↔ (¬ψ→α) a substitúcie Ideα,f1

a Ideα,f2 , kde f1 = ¬∃vφ a f2 = ∀v¬φ, keďže ⊢ f1↔ f2, a to podľa vety 4),⊢∀v(φ→ψ)↔ (∃vφ→ψ)

(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre formulu ∀v(φ→ψ)↔α a substitúcie Ideα,f1 a Ideα,f2 ,kde f1 = ∃vφ→ψ a f2 = ¬ψ→¬∃vφ, keďže ⊢ f1↔ f2, lebo je to SAxImpInv(∃vφ, ψ)).


V19 Nech v je premenná a φ a ψ formuly, pričom v /∈ fve(φ). Potom platí:

⊢∃v(φ→ψ)→ (φ→∃vψ).

⊢ ((φ→ψ)∧ (ψ→∃vψ))→ (φ→∃vψ)(jednoduchá axióma SAxTrnImp(φ,ψ, ∃vψ)),

⊢ (φ→ψ)→ ((ψ→∃vψ)→ (φ→∃vψ))(podľa vety 2.3 o konjunkcii predpokladov),

⊢ (ψ→∃vψ)→ ((φ→ψ)→ (φ→∃vψ))(podľa vety 2.9 o výmene predpokladov),

⊢ψ→∃vψ(podľa vety 6),

⊢ (φ→ψ)→ (φ→∃vψ)(modus ponens),

⊢∀v((φ→ψ)→ (φ→∃vψ))(generalizácia),

⊢∀v((φ→ψ)→ (φ→∃vψ))↔ (∃v(φ→ψ)→ (φ→∃vψ))(podľa vety 18 pre formuly φ→ψ a φ→∃vψ, ktorej podmienka je splnená, lebo podľa definície fve platív /∈ fve(φ) ∪ (fve(ψ)r {v}) = fve(φ) ∪ fve(∃vψ) = fve(φ→∃vψ)),

⊢∃v(φ→ψ)→ (φ→∃vψ)(podľa vety 2.1 o ekvivalentných formulách).

V20 Nech v je premenná a φ a ψ formuly. Potom platí:

⊢ (φ→∃vψ)→∃v(φ→ψ).

S1 Nech α a β sú formuly, tak platí ⊢¬α→ (α→β).

⊢¬(α∧¬α)(je to jednoduchá axióma SAxCnjNeg(α)),

⊢¬β→¬(α∧¬α)(podľa vety 2.10 o redundantnom predpoklade),

⊢ (α∧¬α)→β(podľa vety 2.16 o obmene),

⊢α→ (¬α→β)(podľa vety 2.3 o konjunkcii predpokladov),

⊢¬α→ (α→β)(podľa vety 2.9 o výmene predpokladov).

S2 ⊢¬φ→∃v(φ→ψ).

⊢¬φ→ (φ→ψ)(podľa sublemy 1),

⊢∃v¬φ→∃v(φ→ψ)(podľa vety 1),

⊢¬φ→∃v¬φ(podľa vety 6),

⊢¬φ→∃v(φ→ψ)(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie).

S3 ⊢∃vψ→∃v(φ→ψ).

⊢ (ψ ∧φ)→ψ(jednoduchá axióma SAxCnj1st(ψ,φ)),


⊢ψ→ (φ→ψ)(podľa vety 2.3 o konjunkcii predpokladov),

⊢∃vψ→∃v(φ→ψ)(podľa vety 1).

Potom platí:

⊢ (¬φ→∃v(φ→ψ))∧ (∃vψ→∃v(φ→ψ))(podľa sublem 2 a 3 a vety 2.4 o rozklade konjunkcie),

⊢ ((¬φ→∃v(φ→ψ))∧ (∃vψ→∃v(φ→ψ)))→ ((¬φ∨∃vψ)→ (∃v(φ→ψ)∨∃v(φ→ψ)))(je to SAxDsjAnt(¬φ,∃v(φ→ψ), ∃vψ, ∃v(φ→ψ))),

⊢ (¬φ∨∃vψ)→ (∃v(φ→ψ)∨∃v(φ→ψ))(modus ponens),

⊢ (φ→∃vψ)→ (¬φ∨∃vψ)(z toho, že platí ⊢ SAxDsjImp(φ, ∃vψ), podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),

⊢ (φ→∃vψ)→ (∃v(φ→ψ)∨∃v(φ→ψ))(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie),

⊢ (∃v(φ→ψ)∨∃v(φ→ψ))→∃v(φ→ψ)(podľa vety 2.21),

⊢ (φ→∃vψ)→∃v(φ→ψ)(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie).

V21 Nech v je premenná a φ a ψ formuly, pričom v /∈ fve(φ). Potom platí:

⊢∃v(φ→ψ)↔ (φ→∃vψ).

⊢∃v(φ→ψ)→ (φ→∃vψ)(podľa vety 19, keďže v /∈ fve(φ)),

⊢ (φ→∃vψ)→∃v(φ→ψ)(podľa vety 20),

⊢∃v(φ→ψ)↔ (φ→∃vψ)(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie).

V22 Nech v je premenná a φ a ψ formuly, pričom v /∈ fve(ψ). Potom platí:

⊢∃v(φ→ψ)↔ (∀vφ→ψ).

Postupne platí:

⊢∃v(¬ψ→¬φ)↔ (¬ψ→∃v¬φ)(podľa vety 21, keďže podľa predpokladu a definície fve platí v /∈ fve(ψ) = fve(¬ψ)),

⊢∃v(¬ψ→¬φ)↔ (¬ψ→¬¬∃v¬φ)(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre formulu ∃v(¬ψ→¬φ)↔ (¬ψ→α) a substitúcie Ideα,f1

a Ideα,f2 , kde f1 = ¬¬∃v¬φ a f2 = ∃v¬φ, keďže ⊢ f1↔ f2, lebo je to SAxNegNeg(∃v¬φ)),⊢∃v(φ→ψ)↔ (¬∃v¬φ→ψ)

(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre formulu ∃vα↔β a substitúcie Ide⟨α,β⟩,⟨f1,g1⟩ a Ide⟨α,β⟩,⟨f2,g2⟩,kde f1 = φ→ψ f2 = ¬ψ→¬φ, g1 = ¬∃v¬φ→ψ a g2 = ¬ψ→¬¬∃v¬φ, keďže ⊢ f1↔ f2, lebo je toSAxImpInv(φ,ψ), keďže ⊢ g1↔ g2, lebo je to SAxImpInv(¬∃v¬φ,ψ)),

⊢∃v(φ→ψ)↔ (∀vφ→ψ)(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre formulu ∃v(φ→ψ)↔ (α→ψ) a substitúcie Ideα,f1 a Ideα,f2 ,kde f1 = ¬∃v¬φ a f2 = ∀vφ, a to podľa vety 4).


V23 (o výbere kvantifikátora z implikácie)Nech φ a ψ formuly. Nech p ∈ N a v1, …, vp sú premenné. Potom platí:

I ⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ→ψ)↔ (φ→All⟨v1,...,vp⟩(ψ)), ak {v1, . . . , vp} ∩ fve(φ) = ∅.I ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ→ψ)↔ (φ→Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ)), ak {v1, . . . , vp} ∩ fve(φ) = ∅.I ⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ→ψ)↔ (Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)→ψ), ak {v1, . . . , vp} ∩ fve(ψ) = ∅.I ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ→ψ)↔ (All⟨v1,...,vp⟩(φ)→ψ), ak {v1, . . . , vp} ∩ fve(ψ) = ∅.

I Prvé tvrdenie je veta 10.I Druhé tvrdenie dokážeme matematickou indukciou cez Var∗ (t. j. podľa vety A4.1.3):

1 Podľa definície Exi⟨⟩ máme dokázať tvrdenie ⊢ (φ→ψ)↔ (φ→ψ), čo však vyplýva z vety 2.13.2 Nech v1, …, vp+1 sú premenné. Nech φ a ψ sú formuly. Nech {v1, . . . , vp+1} ∩ fve(φ) = ∅. Nech

platí indukčný predpoklad pre ⟨v1, . . . , vp⟩Potom postupne platí:⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ→ψ)↔ (φ→Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ))

(podľa indukčného predpokladu, lebo platí jeho podmienka {v1, . . . , vp} ∩ fve(φ) = ∅, keďžepodľa predpokladu {v1, . . . , vp+1} ∩ fve(φ) = ∅),

⊢∃vp+1Exi⟨v1,...,vp⟩(φ→ψ)↔∃vp+1(φ→Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ))

(podľa vety 2),⊢∃vp+1(φ→Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ))↔ (φ→∃vp+1Exi

⟨v1,...,vp⟩(ψ))(podľa vety 21, ktorej podmienka vp+1 /∈ fve(φ) je podľa predpokladu splnená),

⊢∃vp+1Exi⟨v1,...,vp⟩(φ→ψ)↔ (φ→∃vp+1Exi

⟨v1,...,vp⟩(ψ))(podľa vety 2.8 o tranzitivite ekvivalencie),

⊢Exi⟨v1,...,vp+1⟩(φ→ψ)↔ (φ→Exi⟨v1,...,vp+1⟩(ψ))

(podľa definície Exi⟨v1,...,vp+1⟩).Tvrdenie teda platí i pre ⟨v1, . . . , vp+1⟩.

I Druhé dve tvrdenia dokážeme spoločne matematickou indukciou cez Var∗ (t. j. podľa vety A4.1.3):1 Podľa definícií All⟨⟩ a Exi{⟨⟩} máme dokázať tvrdenie ⊢ (φ→ψ)↔ (φ→ψ), čo však vyplýva z vety

2.13.2 Nech v1, …, vp+1 sú premenné. Nech φ a ψ sú formuly. Nech {v1, . . . , vp+1} ∩ fve(φ) = ∅. Nech

platí indukčný predpoklad pre ⟨v1, . . . , vp⟩Nech platí jedna z možností:I D = Exi⟨v1,...,vp+1⟩, E = Exi⟨v1,...,vp⟩, F = All⟨v1,...,vp+1⟩, G = All⟨v1,...,vp⟩, # = ∀vp+1

a ⋆ = ∃vp+1.I D = All⟨v1,...,vp+1⟩, E = All⟨v1,...,vp⟩, F = Exi⟨v1,...,vp+1⟩, G = Exi⟨v1,...,vp⟩, # = ∃vp+1

a ⋆ = ∀vp+1.Potom postupne platí:⊢G(φ→ψ)↔ (E(φ)→ψ)

(podľa indukčného predpokladu),⊢#G(φ→ψ)↔#(E(φ)→ψ)

(podľa vety 2),⊢#(E(φ)→ψ)↔ (⋆E(φ)→ψ)

(v jednom prípade je to tvrdenie vety 18, v druhom tvrdenie vety 22, lebo ich podmienka vp+1 /∈fve(ψ) je splnená podľa predpokladu {v1, . . . , vp+1} ∩ fve(ψ) = ∅),

⊢#G(φ→ψ)↔ (⋆E(φ)→ψ)(podľa vety 2.8 o tranzitivite ekvivalencie),

⊢F (φ→ψ)↔ (D(φ)→ψ)(podľa definície F a D).

Tvrdenie teda platí i pre ⟨v1, . . . , vp+1⟩.


V24 (o výbere kvantifikátora z konjunkcie/disjunkcie)Nech @ ∈ {∨,∧}. Nech φ a ψ formuly. Nech p ∈ N a v1, …, vp sú premenné. Potom platí:

I ⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ@ψ)↔ (φ@All⟨v1,...,vp⟩(ψ)), ak {v1, . . . , vp} ∩ fve(φ) = ∅.I ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ@ψ)↔ (φ@Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ)), ak {v1, . . . , vp} ∩ fve(φ) = ∅.I ⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ@ψ)↔ (All⟨v1,...,vp⟩(φ)@ψ), ak {v1, . . . , vp} ∩ fve(ψ) = ∅.I ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ@ψ)↔ (Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)@ψ), ak {v1, . . . , vp} ∩ fve(ψ) = ∅.

I Najprv dokážeme prvé dve tvrdenia:Rozoberme prípady:I Nech @ = ∨.

Nech F ∈ {All⟨v1,...,vp⟩,Exi⟨v1,...,vp⟩}. Potom postupne platí:⊢F (¬φ→ψ)↔ (¬φ→F (ψ))

(podľa vety 23 pre formuly ¬φ a ψ, keďže podľa definície fve platí {v1, . . . , vp} ∩ fve(¬φ) ={v1, . . . , vp} ∩ fve(φ) = ∅),

⊢F (φ∨ψ)↔ (φ∨F (ψ))(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre α↔β a Ide⟨α,β⟩,⟨f1,g1⟩ a Ide⟨α,β⟩,⟨f2,g2⟩, kdef1 = F (φ∨ψ), f2 = F (¬φ→ψ), g1 = φ∨F (ψ) a g2 = ¬φ→F (ψ), keďže ⊢ g1↔ g2, lebo jeto SAxDsjImp(φ, F (ψ)), a ⊢ f1↔ f2, a to podľa vety 8, keďže ⊢ (φ∨ψ)↔ (¬φ→ψ), lebo jeto SAxDsjImp(φ,ψ)).

I Nech @ = ∧.Nech {F,G} = {All⟨v1,...,vp⟩,Exi⟨v1,...,vp⟩}. Potom postupne platí:⊢G(¬φ∨¬ψ)↔ (¬φ∨G(¬ψ))

(podľa už dokázanej časti pre ∨ pre formuly ¬φa ¬ψ, keďže podľa definície fve platí {v1, . . . , vp}∩fve(¬φ) = {v1, . . . , vp} ∩ fve(φ) = ∅),

⊢¬G(¬φ∨¬ψ)↔¬(¬φ∨G(¬ψ))(podľa vety 2.17 o negácii),

⊢F (¬(¬φ∨¬ψ))↔¬(¬φ∨¬F (ψ))(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre α↔¬(¬φ∨β) a Ide⟨α,β⟩,⟨f1,g1⟩ a Ide⟨α,β⟩,⟨f2,g2⟩,kde f1 = ¬G(¬φ∨¬ψ), f2 = F (¬(¬φ∨¬ψ)), g1 = G(¬ψ) a g2 = ¬F (¬ψ), platí ⊢ f1↔ f2

a ⊢ g1↔ g2, a to v prípade G = Exi⟨v1,...,vp⟩ podľa vety 4 a v prípade G = All⟨v1,...,vp⟩ podľavety 4 a vety 2.7 o komutativite ekvivalencie),

⊢F (φ∧ψ)↔ (φ∧F (ψ))(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre α↔β a Ide⟨α,β⟩,⟨f1,g1⟩ a Ide⟨α,β⟩,⟨f2,g2⟩, kde f1 =F (φ∧ψ), f2 = F (¬(¬φ∨¬ψ)), g1 = φ∧F (ψ) a g2 = ¬¬φ∨¬F (ψ), keďže ⊢ g1↔ g2 podľavety 2.19 o deMorganovom pravidle a ⊢ f1↔ f2, podľa vety 8, keďže ⊢ (φ∧ψ)↔¬(¬φ∨¬ψ),a to podľa vety 2.19 o deMorganovom pravidle).

I Teraz dokážeme druhé dve tvrdenia:Nech F ∈ {All⟨v1,...,vp⟩,Exi⟨v1,...,vp⟩}. Potom postupne platí:⊢F (ψ@φ)↔ (ψ@F (φ))

(podľa jedného z už dokázaných prvých dvoch tvrdení pre formuly ψ a φ, keďže {v1, . . . , vp}∩fve(ψ) =∅),

⊢F (φ@ψ)↔ (F (φ)@ψ)(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre α↔β a Ide⟨α,β⟩,⟨f1,g1⟩ a Ide⟨α,β⟩,⟨f2,g2⟩, kde f1 =F (φ@ψ), f2 = F (ψ@φ), g1 = φ@ψ a g2 = ψ@φ, keďže ⊢ g1↔ g2, a to podľa vety 2.22,a ⊢ f1↔ f2, a to podľa vety 2.22 a 8).

V25 (o výbere kvantifikátora z ekvivalencie)Nech φ a ψ formuly. Nech p ∈ N a v1, …, vp sú premenné. Potom platí:

I ⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ↔ψ)→ (φ↔All⟨v1,...,vp⟩(ψ)), ak {v1, . . . , vp} ∩ fve(φ) = ∅.I ⊢ (φ↔Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ))→Exi⟨v1,...,vp⟩(φ↔ψ), ak {v1, . . . , vp} ∩ fve(φ) = ∅.I ⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ↔ψ)→ (All⟨v1,...,vp⟩(φ)↔ψ), ak {v1, . . . , vp} ∩ fve(ψ) = ∅.I ⊢ (Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)↔ψ)→Exi⟨v1,...,vp⟩(φ↔ψ), ak {v1, . . . , vp} ∩ fve(ψ) = ∅.


Nech E = Exi⟨v1,...,vp⟩ a A = All⟨v1,...,vp⟩. Postupne dokážeme jednotlivé tvrdenia:

I Najprv sublemy:S1 ⊢A(φ↔ψ)→ (φ→A(ψ)).

Postupne platí:⊢ (φ↔ψ)→ (φ→ψ)

(je to jednoduchá axióma),⊢A(φ↔ψ)→A(φ→ψ)

(podľa vety 6),⊢A(φ↔ψ)→ (φ→A(ψ))

(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre A(φ↔ψ)→α a Ideα,f1 a Ideα,f2 , kde f1 =A(φ→ψ), a f2 = φ→A(ψ), keďže ⊢ f1↔ f2, a to podľa vety 19, ktorej podmienka je splnenápodľa predpokladu).

S2 ⊢A(φ↔ψ)→ (A(ψ)→φ).

Postupne platí:⊢ (φ↔ψ))↔ (ψ↔φ)

(je to SAxComEqv(φ,ψ)),⊢ (φ↔ψ))→ (ψ↔φ)

(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),⊢A(φ↔ψ)→ (φ↔ψ)

(podľa vety 6),⊢A(φ↔ψ)→ (ψ→φ)

(podľa vety 2.7 o tranzitivite implikácie),⊢ (ψ→φ)→E(ψ→φ)

(podľa vety 6),⊢A(φ↔ψ)→E(ψ→φ)

(podľa vety 2.7 o tranzitivite implikácie),⊢E(ψ→φ)↔ (A(ψ)→φ)

(podľa vety 23 o výbere kvantifikátora z implikácie, keďže {v1, . . . , vp} ∩ fve(φ) = ∅),⊢E(ψ→φ)→ (A(ψ)→φ)

(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),⊢A(φ↔ψ)→ (A(ψ)→φ)

(podľa vety 2.7 o tranzitivite implikácie).Potom platí:⊢A(φ↔ψ)→ ((φ→A(ψ))∧ (A(ψ)→φ))

(podľa sublem 1 a 2 a vety 2.11 o rozklade podmienenej konjunkcie),⊢A(φ↔ψ)→ (φ↔A(ψ))

(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre A(φ↔ψ)→α a Ideα,f1 a Ideα,f2 , kde f1 = φ↔A(ψ),a f2 = (φ→A(ψ))∧ (A(ψ)→φ), keďže ⊢ f1↔ f2, lebo je to SAxEqvDcm(φ,A(ψ))).

I Postupne platí:⊢A(φ↔¬ψ)→ (φ↔A(¬ψ))

(podľa už dokázanej časti, keďže {v1, . . . , vp} ∩ fve(φ) = ∅),⊢¬(φ↔A(¬ψ))→¬A(φ↔¬ψ)

(podľa vety 2.16 o obmene),⊢¬(φ↔¬E(ψ))→E(¬(φ↔¬ψ))

(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre ¬(φ↔α)→β a Ide⟨α,β⟩,⟨f1,g1⟩ a Ide⟨α,β⟩,⟨f2,g2⟩, kdef1 = ¬E(ψ), f2 = A(¬ψ), g1 = E(¬(φ↔¬ψ)) a g2 = ¬A(φ↔¬ψ), keďže ⊢ f1↔ f2 a ⊢ g1↔ g2,a to podľa vety 4),

⊢ (φ↔¬¬E(ψ))→E(φ↔¬¬ψ)(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre α→β a Ide⟨α,β⟩,⟨f1,g1⟩ a Ide⟨α,β⟩,⟨f2,g2⟩, kde f1 =¬(φ↔¬E(ψ)), f2 = φ↔¬¬E(ψ), g1 = E(¬(φ↔¬ψ)) a g2 = E(φ↔¬¬ψ), keďže ⊢ f1↔ f2

lebo je to SAxNegEqv(φ,¬E(ψ)), a ⊢ g1↔ g2, a to podľa vety 8 a toho, že ⊢SAxNegEqv(φ,¬ψ)),


⊢ (φ↔E(ψ))→E(φ↔ψ)(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre α→β a Ide⟨α,β⟩,⟨f1,g1⟩ a Ide⟨α,β⟩,⟨f2,g2⟩, kde f1 =¬¬E(ψ), f2 = E(ψ), g1 = E(φ↔ψ) a g2 = E(φ↔¬¬ψ), keďže platí ⊢ f1↔ f2, lebo je toSAxNegNeg(E(ψ)), a ⊢ g1↔ g2, a to podľa vety 8, keďže platí ⊢ SAxNegNeg(ψ)).

I Postupne platí:⊢A(ψ↔φ)→ (ψ↔A(φ))

(podľa už dokázanej časti, keďže {v1, . . . , vp} ∩ fve(ψ) = ∅),⊢A(φ↔ψ)→ (A(φ)↔ψ)

(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre α→β a Ide⟨α,β⟩,⟨f1,g1⟩ a Ide⟨α,β⟩,⟨f2,g2⟩, kde f1 =A(φ↔ψ), f2 = A(ψ↔φ), g1 = A(φ)↔ψ a g2 = ψ↔A(φ), keďže a ⊢ f1↔ f2, a to podľa vety8 a toho, že ⊢SAxComEqv(φ,ψ), a ⊢ g1↔ g2, lebo je to SAxComEqv(A(φ), ψ)).

I Postupne platí:⊢ (ψ↔E(φ))→E(ψ↔φ)

(podľa už dokázanej časti, keďže {v1, . . . , vp} ∩ fve(ψ) = ∅),⊢ (E(φ)↔ψ)→E(φ↔ψ)

(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre α→β a Ide⟨α,β⟩,⟨f1,g1⟩ a Ide⟨α,β⟩,⟨f2,g2⟩, kde f1 =E(φ)↔ψ, f2 = ψ↔E(φ), g1 = E(φ↔ψ) a g2 = E(ψ↔φ), keďže ⊢ f1↔ f2, lebo je toSAxComEqv(A(φ), ψ), a ⊢ g1↔ g2, a to podľa vety 8 a toho, že ⊢ SAxComEqv(φ,ψ)).

P Opačné implikácie neplatia. Nájdeme príklady formúl príslušného tvaru, ktoré pri klasickej prirodzenej interpre-tácii budú nepravdivé. čo podľa vety 1.12 o logických vetách znamená, že to nemôžu byť logické vety.

I V prvom prípade stačí vziať v = x, φ = ⊥ a ψ = (x = 0). Predmetná formula je potom

(⊥↔∀x(x = )0)→∀x(⊥↔ (x = 0)),

čo však pri klasickej interpretácii neplatí (ľavá strana je pravdivá, ale pravá nie).I V druhom prípade stačí vziať v = x, φ = ⊥ a ψ = (x = 0). Predmetná formula je potom

∃x(⊥↔ (x = 0))→ (⊥↔∃x(x = 0)),

čo však pri klasickej interpretácii neplatí (ľavá strana je pravdivá, ale pravá nie).I Výmenou φ a ψ v uvedenom kontrapríklade pre prvý prípad dostávame kontrapríklad pre tretí prípad.I Výmenou φ a ψ v uvedenom kontrapríklade pre druhý prípad dostávame kontrapríklad pre štvrtý prípad.

…

V26 Nech v1, …, vp sú premenné. Nech φ je formula taká, že {v1, . . . , vp} ∩ fve(φ) = ∅. Potom platí:

I ⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ)↔φ.I ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)↔φ.

I Postupne platí:⊢φ→φ

(podľa vety 2.13),⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ→φ)

(podľa vety 1.12 o generalizácii),⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ→φ)↔ (φ→All⟨v1,...,vp⟩(φ))

(podľa vety 23 o výbere kvantifikátora z implikácie, ktorej podmienka je splnená podľa predpokladu),⊢φ→All⟨v1,...,vp⟩(φ)

(podľa vety 2.1 o ekvivalentných formulách),⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ)→φ

(je to AxiSpc⟨v1,...,vp⟩,⟨v1,...,vp⟩(φ)),


⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ)↔φ(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie).

I Postupne platí:⊢All⟨v1,...,vp⟩(¬φ)↔¬φ

(podľa už dokázanej časti, ktorej podmienka {vp, . . . , v∩}fve(¬φ) = ∅ je splnená podľa predpokladua definície fve),

⊢¬Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)↔¬φ(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre α→¬φ, Ide⟨α⟩,⟨f1⟩ a Ide⟨α⟩,⟨f2⟩, kde f1 = ¬Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)a f2 = All⟨v1,...,vp⟩(¬φ), keďže ⊢ f1↔ f2 podľa vety 4),

⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)↔φ(podľa vety 2.17 o negácii).

V27 Nech n ∈ N, φ1, …, φn sú formuly, p ∈ N a v1, …, vp sú premenné. Potom platí:

I ⊢All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn(φ1, . . . , φn))↔Cnjn(All⟨v1,...,vp⟩(φ1), . . . ,All⟨v1,...,vp⟩(φn)).I ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(Dsjn(φ1, . . . , φn))↔Dsjn(Exi⟨v1,...,vp⟩(φ1), . . . ,Exi

⟨v1,...,vp⟩(φn)).

I S1 ⊢All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn(φ1, . . . , φn))→Cnjn(All⟨v1,...,vp⟩(φ1), . . . ,All⟨v1,...,vp⟩(φn)).

Postupne platí:pre každé i z {1, . . . , n} platí ⊢Cnjn(φ1, . . . , φn)→φi

(podľa vety 2.15),pre každé i z {1, . . . , n} platí ⊢All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn(φ1, . . . , φn))→All⟨v1,...,vp⟩(φi)

(podľa vety 5 o vybraných kvantifikátoroch),⊢All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn(φ1, . . . , φn))→Cnjn(All⟨v1,...,vp⟩(φ1), . . . ,All⟨v1,...,vp⟩(φn))

(podľa vety 2.11 o rozklade podmienenej konjunkcie).

S2 {v1, . . . , vp} ∩ fve(Cnjn(All⟨v1,...,vp⟩(φ1), . . . ,All⟨v1,...,vp⟩(φn))) = ∅.

{v1, . . . , vp} ∩ fve(Cnjn(All⟨v1,...,vp⟩(φ1), . . . ,All⟨v1,...,vp⟩(φn)))

= {v1, . . . , vp} ∩∪i∈{1,...,n} fve(All⟨v1,...,vp⟩(φi))

(podľa vety 1.6.4),=

∪i∈{1,...,n}({v1, . . . , vp} ∩ fve(All⟨v1,...,vp⟩(φi)))

(lebo A ∩∪i∈I Bi =

∪i∈I(A ∩Bi)),

=∪i∈{1,...,n}({v1, . . . , vp} ∩ (fve(φi)r {v1, . . . , vp}))(podľa vety 1.6.7),

=∪i∈{1,...,n} ∅(lebo A ∩ (B rA) = ∅),

= ∅.

S3 ⊢Cnjn(All⟨v1,...,vp⟩(φ1), . . . ,All⟨v1,...,vp⟩(φn))→All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn(φ1, . . . , φn)).

Postupne platí:pre každé i z {1, . . . , n} platí All⟨v1,...,vp⟩(φi)→φi

(podľa vety 5 o vybraných kvantifikátoroch),⊢Cnjn(All⟨v1,...,vp⟩(φ1), . . . ,All

⟨v1,...,vp⟩(φn))→Cnjn(φ1, . . . , φn)(podľa vety 2.14 o konjunktívnom združení implikácií),

⊢All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn(All⟨v1,...,vp⟩(φ1), . . . ,All⟨v1,...,vp⟩(φn))→Cnjn(φ1, . . . , φn))

(podľa vety 1.12 o generalizácii),⊢All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn(All⟨v1,...,vp⟩(φ1), . . . ,All

⟨v1,...,vp⟩(φn))→Cnjn(φ1, . . . , φn))↔↔ (Cnjn(All⟨v1,...,vp⟩(φ1), . . . ,All

⟨v1,...,vp⟩(φn))→All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn(φ1, . . . , φn)))(podľa vety 23 o výbere kvantifikátora z implikácie, ktorej podmienka je splnená podľa sublemy 2),


⊢Cnjn(All⟨v1,...,vp⟩(φ1), . . . ,All⟨v1,...,vp⟩(φn))→All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn(φ1, . . . , φn))

(podľa vety 2.1 o ekvivalentných formulách).Zo sublem 1 a 3 už podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie dostávame požadované tvrdenie.

I Postupne platí:pre každé i z {1, . . . , n} platí ⊢¬Exi⟨v1,...,vp⟩(φi)↔All⟨v1,...,vp⟩(¬φi)

(podľa vety 4),⊢Cnjn(¬Exi⟨v1,...,vp⟩(φi), . . . ,¬Exi⟨v1,...,vp⟩(φi))↔Cnjn(All⟨v1,...,vp⟩(¬φi), . . . ,All⟨v1,...,vp⟩(¬φi))

(podľa vety 2.14 o konjunktívnom združení ekvivalencií),⊢All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φn))↔Cnjn(All⟨v1,...,vp⟩(¬φ1), . . . ,All⟨v1,...,vp⟩(¬φn))

(podľa už dokázanej časti),⊢All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φn))↔Cnjn(¬Exi⟨v1,...,vp⟩(φi), . . . ,¬Exi⟨v1,...,vp⟩(φi))

(podľa vety 2.8 o tranzitivite ekvivalencie),⊢Cnjn(¬Exi⟨v1,...,vp⟩(φi), . . . ,¬Exi⟨v1,...,vp⟩(φi))↔¬Dsjn(Exi⟨v1,...,vp⟩(φi), . . . ,Exi

⟨v1,...,vp⟩(φi))(podľa vety 2.19 o deMorganovom pravidle),

⊢All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φn))↔¬Dsjn(Exi⟨v1,...,vp⟩(φi), . . . ,Exi⟨v1,...,vp⟩(φi))

(podľa vety 2.8 o tranzitivite ekvivalencie),⊢Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φn)↔¬Dsjn(φ1, . . . , φn)

(podľa vety 2.19 o deMorganovom pravidle),⊢All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φn))↔All⟨v1,...,vp⟩(¬Dsjn(φ1, . . . , φn))

(podľa vety 8),⊢All⟨v1,...,vp⟩(¬Dsjn(φ1, . . . , φn))↔¬Dsjn(Exi⟨v1,...,vp⟩(φi), . . . ,Exi

⟨v1,...,vp⟩(φi))(podľa vety 2.8 o tranzitivite ekvivalencie),

⊢¬Exi⟨v1,...,vp⟩(Dsjn(φ1, . . . , φn))↔All⟨v1,...,vp⟩(¬Dsjn(φ1, . . . , φn))(podľa vety 4),

⊢¬Exi⟨v1,...,vp⟩(Dsjn(φ1, . . . , φn))↔¬Dsjn(Exi⟨v1,...,vp⟩(φi), . . . ,Exi⟨v1,...,vp⟩(φi))

(podľa vety 2.8 o tranzitivite ekvivalencie),⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(Dsjn(φ1, . . . , φn))↔Dsjn(Exi⟨v1,...,vp⟩(φi), . . . ,Exi

⟨v1,...,vp⟩(φi))(podľa vety 2.17 o negácii).

V28 (o variantoch)Nech φ je formula. Nech v1, …, vp sú rôzne premenné. Nech w1, …, wp sú rôzne premenné také, že pre každéq z {1, . . . , p} platí typ(wq) = typ(vq). Nech platí Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩ ∈ ASb(φ) a pre každé q z {1, . . . , p}platí wq /∈ fve(φ)r {v1, . . . , vp}. Potom platí:

I ⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ)↔All⟨w1,...,wp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(φ)).I ⊢Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)↔Exi⟨w1,...,wp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(φ)).

I S1 Nech ψ je formula. Nech x1, …, xp sú rôzne premenné. Nech y1, …, yp sú rôzne premenné také, žepre každé q z {1, . . . , p} platí typ(yq) = typ(xq). Nech platí Ide⟨x1,...,xp⟩,⟨y1,...,yp⟩ ∈ ASb(ψ) a prekaždé q z {1, . . . , p} platí yq /∈ fve(ψ)r {x1, . . . , xp}. Potom platí

⊢All⟨x1,...,xp⟩(ψ)→All⟨y1,...,yp⟩(Ide⟨x1,...,xp⟩,⟨y1,...,yp⟩(ψ)).

Postupne platí:⊢All⟨x1,...,xp⟩(ψ)→ Ide⟨x1,...,xp⟩,⟨y1,...,yp⟩(ψ)

(je to AxiSpc⟨x1,...,xp⟩,⟨y1,...,yp⟩, ktorej podmienka je splnená podľa predpokladu),⊢All⟨y1,...,yp⟩(All⟨x1,...,xp⟩(ψ)→ Ide⟨x1,...,xp⟩,⟨y1,...,yp⟩(ψ))

(podľa vety 1.12 o generalizácii),⊢All⟨y1,...,yp⟩(All⟨x1,...,xp⟩(ψ)→ Ide⟨x1,...,xp⟩,⟨y1,...,yp⟩(ψ))↔↔ (All⟨x1,...,xp⟩(ψ)→All⟨y1,...,yp⟩(Ide⟨x1,...,xp⟩,⟨y1,...,yp⟩(ψ)))(podľa vety 23 o výbere kvantifikátora z implikácie, ktorej podmienka je splnená, lebo podľa

2.4 Úplnosť 1682.4 Úplnosť 1682.4 Úplnosť 168

vety 1.6.7 a predpokladu platí {y1, . . . , yp} ∩ fve(All⟨x1,...,xp⟩(ψ)) = {y1, . . . , yp} ∩ (fve(ψ) r{x1, . . . , xp}) = ∅),

⊢All⟨x1,...,xp⟩(ψ)→All⟨y1,...,yp⟩(Ide⟨x1,...,xp⟩,⟨y1,...,yp⟩(ψ))(podľa vety 2.1 o ekvivalentných formulách).

S2 ⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ)→All⟨w1,...,wp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(φ)).

Je to špeciálny prípad sublemy 1.S3 ⊢All⟨w1,...,wp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(φ))→All⟨v1,...,vp⟩(φ).

Postupne platí:⊢All⟨w1,...,wp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(φ))→→All⟨v1,...,vp⟩(Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(φ)))

(je to špeciálny prípad sublemy 1 (pre formulu Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(φ)), ktorej obe podmienkysú splnené podľa vety 1.8.13),

⊢All⟨w1,...,wp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(φ))→All⟨v1,...,vp⟩(φ)

(lebo Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨v1,...,vp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(φ)) = φ, a to podľa vety 1.8.14, ktorej obepodmienky sú splnené podľa predpokladov).

Zo sublem 2 a 3 už podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie dostávame prvú časť tvrdenia vety.I ⊢All⟨x1,...,xp⟩(¬ψ)↔All⟨y1,...,yp⟩(Ide⟨x1,...,xp⟩,⟨y1,...,yp⟩(¬ψ))

(podľa už dokázanej časti, ktorej obe podmienky vyplývajú z predpokladov a z toho, že ASb(¬φ) =ASb(φ) a fve(¬φ) = fve(φ), a to podľa definícií ASb a fve),

⊢¬Exi⟨x1,...,xp⟩(ψ)↔¬Exi⟨y1,...,yp⟩(Ide⟨x1,...,xp⟩,⟨y1,...,yp⟩(ψ))(podľa vety 15 o nahradzovaní per partes pre α↔β, Ide⟨α,β⟩,⟨f1,g1⟩ a Ide⟨α,β⟩,⟨f2,g2⟩, kde f1 =

¬Exi⟨x1,...,xp⟩(ψ), f2 = All⟨x1,...,xp⟩(¬ψ), g1 = All⟨y1,...,yp⟩(Ide⟨x1,...,xp⟩,⟨y1,...,yp⟩(¬ψ)) a g2 =

¬Exi⟨y1,...,yp⟩(Ide⟨x1,...,xp⟩,⟨y1,...,yp⟩(ψ)) keďže ⊢ f1↔ f2 a ⊢ g1↔ g2 podľa vety 4),⊢Exi⟨x1,...,xp⟩(ψ)↔Exi⟨y1,...,yp⟩(Ide⟨x1,...,xp⟩,⟨y1,...,yp⟩(ψ))

(podľa vety 2.17 o negácii).

…

2.4 Úplnosť

…

D Nech T je teória. Definujme reláciu WVT na množine Frm takto: Ak φ1 a φ2 sú formuly, tak

φ1 WVT φ2 práve vtedy, keď T ⊢φ1↔φ2.

V1 Relácia WVT je ekvivalencia.

S1 Relácia WVT je reflexívna.

Nech φ ∈ Frm. Potom postupne platí:T ⊢φ↔φ

(podľa vety 2.13),φWVT φ

(podľa definície).


S2 Relácia WVT je symetrická.

Nech φ1, φ2 ∈ Frm. Potom platí:φ1 WVT φ

2,akk T ⊢φ1↔φ2

(podľa definície),akk T ⊢φ2↔φ1

(podľa vety 2.7 o komutativite ekvivalencie),akk φ2 WVT φ

1


S3 Relácia WVT je tranzitívna.

Nech φ,ψ, ξ ∈ Frm. Potom postupne platí:φWVT ψ a ψWVT ξ

(predpoklady s cieľom φWVT ξ),T ⊢φ↔ψ a T ⊢ψ↔ ξ

(podľa definície),T ⊢φ↔ ξ

(podľa vety 2.7 o tranzitivite ekvivalencie),φWVT ξ


Sublemy 1, 2 a 3 spolu znamenajú, že relácia WVT je ekvivalencia.

D Nech T je teória. Označme EFCT (”equivalent formulae classes“ – triedy ekvivalentných formúl) množinu{[φ]WVT : φ ∈ Frm}.

V2 Nech T je teória. Potom množina EFCT je spočítateľná a každý jej prvok je spočítateľná množina.

Keďže množina Frm je spočítateľná, najviac spočítateľná je aj množina EFCT , aj každý jej prvok.

D Definujme na množine EFCT reláciu ≤T vzťahom: Ak A,B ∈ EFCT , tak

A ≤T B práve vtedy, keď pre každé φ z A a ψ z B platí T ⊢φ→ψ.

V3 Nech A,B ∈ EFCT a nech platí φ1, φ2 ∈ A a ψ1, ψ2 ∈ B. Potom platí

T ⊢φ1→ψ1 práve vtedy, keď T ⊢φ2→ψ2.

Dokážeme obba smery naraz. Nech {i, j} = {1, 2}. Potom platí:

T ⊢φi→ψi

(predpoklad s cieľom T ⊢φj→ψj),T ⊢φj↔φi

(lebo φj , φi ∈ A a A je ako prvok EFCT trieda ekvivalencie WVT ),T ⊢φj→φi

(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),T ⊢φj→ψi

(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie),T ⊢ψi↔ψj

(lebo ψi, ψj ∈ B a B je ako prvok EFCT trieda ekvivalencie WVT ),T ⊢ψi→ψj

(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),T ⊢φj→ψj



P Tvrdenie vety 3 znamená, že platí

[φ]WVT ≤T [ψ]WVT práve vtedy, keď T ⊢φ→ψ.

V4 Relácia ≤T je usporiadanie.

S1 Relácia ≤T je reflexívna.

Nech φ ∈ Frm. Potom postupne platí:T ⊢φ→φ

(podľa vety 2.13),[φ]WVT ≤T [φ]WVT

(podľa definície ≤T a vety 3).

S2 Relácia ≤T je antisymetrická.

Nech φ1, φ2 ∈ Frm. Potom postupne platí:[φ1]WVT ≤T [φ2]WVT a [φ2]WVT ≤T [φ1]WVT

(predpoklady s cieľom [φ1]WVT = [φ2]WVT ),T ⊢φ1→φ2 a T ⊢φ2→φ1

(podľa definície ≤T ),T ⊢φ1↔φ2

(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),[φ1]WVT = [φ2]WVT


S3 Relácia ≤T je tranzitívna.

Nech φ,ψ, ξ ∈ Frm. Potom postupne platí:[φ]WVT ≤T [ψ]WVT a [ψ]WVT ≤T [ξ]WVT

(predpoklady s cieľom [φ]WVT ≤T [ξ]WVT ),T ⊢φ→ψ a T ⊢ψ→ ξ

(podľa definície ≤T ),T ⊢φ→ ξ

(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie),[φ]WVT ≤T [ξ]WVT


Sublemy 1, 2 a 3 spolu znamenajú, že relácia ≤T je usporiadanie.

V5 Nech φ,ψ ∈ Frm. Potom [φ]WVT ≤T [ψ]WVT platí práve vtedy, keď [¬ψ]WVT ≤T [¬φ]WVT .

[φ]WVT ≤T [ψ]WVT ,akk T ⊢φ→ψ

(podľa definície ≤T ),akk T ⊢¬ψ→¬φ

(podľa vety 2.16 o obmene),akk [¬ψ]WVT ≤T [¬φ]WVT

(podľa definície ≤T ).

V6 Nech φ1, φ2 ∈ Frm. Potom [φ1]WVT = [φ2]WVT platí práve vtedy, keď [¬φ1]WVT = [¬φ2]WVT .

[φ1]WVT = [φ2]WVT


akk [φ1]WVT ≤T [φ2]WVT a [φ2]WVT ≤T [φ1]WVT

(podľa vety 4, a to v jednom smere z reflexivity a v druhom z antisymetrickosti),akk [¬φ2]WVT ≤T [¬φ1]WVT a [¬φ1]WVT ≤T [¬φ2]WVT

(podľa vety 5),akk [¬φ1]WVT = [¬φ2]WVT

(podľa vety 4, a to v jednom smere z antisymetrickosti a v druhom z reflexivity).

V7 Nech φ1, φ2 ∈ Frm. Potom platí:

I [φ1 ∧φ2]WVT = inf≤T {[φ1]WVT , [φ2]WVT }.

I [φ1 ∨φ2]WVT = sup≤T{[φ1]WVT , [φ

2]WVT }.

Najprv sublemy:

S1 Nech ψ ∈ Frm. Potom platí [ψ]WVT ≤T [φ1 ∧φ2]WVT , práve keď platí [ψ]WVT ≤T [φ1]WVT a [ψ]WVT ≤T[φ2]WVT .

→→→→→→→→→ Nech j ∈ {1, 2}. Potom postupne platí:[ψ]WVT ≤T [φ1 ∧φ2]WVT

(predpoklad),T ⊢ (φ1 ∧φ2)→φj

(podľa vety 2.15),[φ1 ∧φ2]WVT ≤T [φj ]WVT

(podľa definície ≤T ),[ψ]WVT ≤T [φj ]WVT

(lebo podľa vety 4 je ≤T tranzitívne).←←←←←←←←← Postupne platí:

[ψ]WVT ≤T [φ1]WVT a [ψ]WVT ≤T [φ2]WVT

(predpoklad),T ⊢ψ→φ1 a T ⊢ψ→φ2

(podľa definície ≤T ),T ⊢ψ→ (φ1 ∧φ2)

(podľa vety 2.14 o konjunktívnom združení implikácií),[ψ]WVT ≤T [φ1 ∧φ2]WVT


S2 Nech ψ ∈ Frm. Potom platí [φ1 ∨φ2]WVT ≤T [ψ]WVT , práve keď [φ1]WVT ≤T [ψ]WVT a [φ2]WVT ≤T[ψ]WVT .

[φ1 ∨φ2]WVT ≤T [ψ]WVT ,akk [¬(¬φ1 ∧¬φ2)]WVT ≤T [ψ]WVT

(podľa definície WVT , lebo T ⊢ (φ1 ∨φ2)↔¬(¬φ1 ∧¬φ2), keďže je to SAxDsjCnj(φ1, φ2)),akk [¬(¬φ1 ∧¬φ2)]WVT ≤T [¬¬ψ]WVT

(podľa definície WVT , lebo T ⊢¬¬ψ↔ψ, keďže je to SAxNegNeg(ψ)),akk [¬ψ]WVT ≤T [¬φ1 ∧¬φ2]WVT

(podľa vety 5),akk [¬ψ]WVT ≤T [¬φ1]WVT a [¬ψ]WVT ≤T [¬φ2]WVT

(podľa sublemy 1),akk [φ1]WVT ≤T [ψ]WVT a [φ2]WVT ≤T [ψ]WVT

(podľa vety 5).

Teraz už môžeme dokázať obe tvrdenia:

I Zo sublemy 1 dostávame, ako to, že [φ1 ∧φ2]WVT je ≤T -dolné ohraničenie, tak to, že je najväčšie z nich.I Zo sublemy 2 dostávame, ako to, že [φ1 ∨φ2]WVT je ≤T -horné ohraničenie, tak to, že je najväčšie z nich.


D Na množine EFCT definujme nulárne zobrazenia ⊤T , ⊥T , unárnu ¬T a binárne ∨T a ∧T takto:

I ⊤T = [⊤]WVT .I ⊥T = [⊥]WVT .I ¬T [φ]WVT = [¬φ]WVT .I ([φ1]WVT ∨T [φ2]WVT ) = [φ1 ∨φ2]WVT .I ([φ1]WVT ∧T [φ2]WVT ) = [φ1 ∧φ2]WVT .

P Veta 6 zaručuje korektnosť funkcie ¬T a veta 7 korektnosť funkcií ∨T a ∧T .

V8 ⟨EFCT , ⟨⊤T ,⊥T ,¬T ,∨T ,∧T ⟩⟩ je booleovská algebra.

S1 Nech φ a ψ sú ľubovoľné formuly. Potom platí:

I [φ]WVT ∧T [ψ]WVT = [ψ]WVT ∧T [φ]WVT .I [φ]WVT ∨T [ψ]WVT = [ψ]WVT ∨T [φ]WVT .

Nech platí jedna z možností:I @ = ∧, ⊕ = ∧T ,I @ = ∨, ⊕ = ∨T .

Potom postupne platí:T ⊢ (φ@ψ)↔ (ψ@φ)

(podľa vety 2.25 o booleovských vlastnostiach a vety 1.11),[φ@ψ]WVT = [ψ@φ]WVT

(podľa definície),[φ]WVT ⊕ [ψ]WVT = [ψ]WVT ⊕ [φ]WVT

(podľa definície ⊕).

S2 Nech φ, ψ a ξ sú ľubovoľné formuly. Potom platí:

I [φ]WVT ∧T ([ψ]WVT ∧T [ξ]WVT ) = ([φ]WVT ∧T [ψ]WVT ) ∧T [ξ]WVT .I [φ]WVT ∨T ([ψ]WVT ∨T [ξ]WVT ) = ([φ]WVT ∨T [ψ]WVT ) ∨T [ξ]WVT .

Nech platí jedna z možností:I @ = ∧, ⊕ = ∧T ,I @ = ∨, ⊕ = ∨T .

Potom postupne platí:T ⊢ (φ@(ψ@ ξ))↔ ((φ@ψ)@ ξ)

(podľa vety 2.25 o booleovských vlastnostiach a vety 1.11),[φ@(ψ@ ξ)]WVT = [(φ@ψ)@ ξ]WVT

(podľa definície),[φ]WVT ⊕ [ψ@ ξ]WVT = [φ@ψ]WVT ⊕ [ξ]WVT

(podľa definície ⊕),[φ]WVT ⊕ ([ψ]WVT ⊕ [ξ]WVT ) = ([φ]WVT ⊕ [ψ]WVT )⊕ [ξ]WVT

(podľa definície ⊕).

S3 Nech φ, ψ1 a ψ2 sú ľubovoľné formuly. Potom platí:

I [φ]WVT ∧T ([ψ1]WVT ∨T [ψ2]WVT ) = ([φ]WVT ∧T [ψ1]WVT ) ∨T ([φ]WVT ∧T [ψ2]WVT ).I [φ]WVT ∨T ([ψ1]WVT ∧T [ψ2]WVT ) = ([φ]WVT ∨T [ψ1]WVT ) ∧T ([φ]WVT ∨T [ψ2]WVT ).

Nech platí jedna z možností:I @ = ∧, $ = ∨, ⊕ = ∧T , ⊗ = ∨T ,I @ = ∨, $ = ∧, ⊕ = ∨T , ⊗ = ∧T .


Potom postupne platí:T ⊢ (φ $ (ψ1 @ψ2))↔ ((φ $ψ1)@ (φ $ψ2))

(podľa vety 2.25 o booleovských vlastnostiach a vety 1.11),[φ $ (ψ1 @ψ2)]WVT = [(φ $ψ1)@ (φ $ψ2)]WVT

(podľa definície),[φ]WVT ⊗ [ψ1 @ψ2]WVT = [φ $ψ1]WVT ⊕ [φ $ψ2]WVT

(podľa definície ⊗ a ⊕),[φ]WVT ⊗ ([ψ1]WVT ⊕ [ψ2]WVT ) = ([φ]WVT ⊗ [ψ1]WVT )⊕ ([φ]WVT ⊗ [ψ2]WVT )

(podľa definície ⊕ a ⊗).

S4 Nech φ a ψ sú ľubovoľné formuly. Potom platí:

I [φ]WVT ∧T ([φ]WVT ∨T [ψ]WVT ) = [φ]WVT .I [φ]WVT ∨T ([φ]WVT ∧T [ψ]WVT ) = [φ]WVT .

Nech platí jedna z možností:I @ = ∧, $ = ∨, ⊕ = ∧T , ⊗ = ∨T ,I @ = ∨, $ = ∧, ⊕ = ∨T , ⊗ = ∧T .

Potom postupne platí:T ⊢ (φ@(φ $ψ))↔φ

(podľa vety 2.25 o booleovských vlastnostiach a vety 1.11),[φ@(φ $ψ)]WVT = [φ]WVT

(podľa definície),[φ]WVT ⊕ [φ@ψ]WVT = [φ]WVT

(podľa definície ⊕),[φ]WVT ⊕ ([φ]WVT ⊗ [ψ]WVT ) = [φ]WVT

(podľa definície ⊗).

S5 Nech φ je ľubovoľná formula. Potom platí:

I [φ]WVT ∧T ¬T [φ]WVT = ⊥T .I [φ]WVT ∨T ¬T [φ]WVT = ⊤T .

Nech platí jedna z možností:I @ = ∧, ⊕ = ∧T , ⋆ = ⊥, b = ⊥T ,I @ = ∨, ⊕ = ∨T , ⋆ = ⊤, b = ⊤T .

Potom postupne platí:T ⊢ (φ@¬φ)↔⋆

(podľa vety 2.25 o booleovských vlastnostiach a vety 1.11),[φ@φ]WVT = [⋆]WVT

(podľa definície),[φ]WVT ⊕ [¬φ]WVT = b

(podľa definície ⊕ a b),[φ]WVT ⊕ ¬T [φ]WVT = b

(podľa definície ¬T ).

Zo sublem 1, 2, 3, 4, 5 už vyplýva dokazované tvrdenie.

D Ak T je teória, tak booleovskú algebru ⟨EFCT , ⟨⊤T ,⊥T ,¬T ,∨T ,∧T ⟩⟩ budeme označovať BEFT (”Booleanalgebra of equivalence formulae classes“ – booleovská algebra tried ekvivalentných formúl).

P BEFT sa nazýva aj Lindenbaumova alebo Lindenbaumova-Tarského.

…


V9 Nech U je BEFT -filter, n ∈ N a φ1, …, φn sú formuly. Potom [Cnjn(φ1, . . . , φn)]WVT ∈ U práve vtedy, keďpre každé i z {1, . . . , n} platí [φi]WVT ∈ U .


1 [Cnj0()]WVT

= [⊤]WVT

(podľa definície Cnj0),= ⊤T

(podľa definície ⊤T ),∈ U

(podľa vety A5.2.1).Prvá časť dokazovanej ekvivalencie teda platí, a keďže druhá platí triviálne, obe sú naozaj ekvivalentné.

2 Nech tvrdenie platí pre n z N, ukážeme, že tvrdenie potom platí aj pre n+ 1. Rozoberme dva prípady:I Nech n = 0.

[Cnjn+1(φ1, . . . , φn+1)]WVT ∈ Uakk [Cnj1(φ1)]WVT ∈ U ,akk [φ1]WVT ∈ U

(podľa definície Cnj0),akk pre každé i z {1, . . . , 0 + 1} platí [φi]WVT ∈ U ,akk pre každé i z {1, . . . , n+ 1} platí [φi]WVT ∈ U .

I Nech n > 0.Potom platí:[Cnjn+1(φ1, . . . , φn+1)]WVT ∈ U ,akk [Cnjn(φ1, . . . , φn)∧φn+1]WVT ∈ U

(podľa definície Cnjn+1),akk [Cnjn(φ1, . . . , φn)]WVT ∧T [φn+1]WVT ∈ U

(podľa definície ∧T ),akk [Cnjn(φ1, . . . , φn)]WVT ∈ U a [φn+1]WVT ∈ U

(podľa vety A5.2.2),akk pre každé i z {1, . . . , n} platí [φi]WVT ∈ U a [φn+1]WVT ∈ U

(podľa indukčného predpokladu),akk pre každé i z {1, . . . , n+ 1} platí [φi]WVT ∈ U .

V10 Nech U je BEFT -filter. Potom [⊤]WVT ∈ U .

Podľa vety 9 platí [Cnj0()]WVT ∈ U (lebo pravá strana je platná triviálne), čo podľa definície Cnj0 znamená[⊤]WVT ∈ U .

V11 Nech T je teória a a U je BEFT -filter. Nech φ a ψ sú formuly. Potom ak [φ]WVT ∈ U a [φ→ψ]WVT ∈ U ,tak [ψ]WVT ∈ U .

Postupne platí:

[φ→ψ]WVT ∈ U a [φ]WVT ∈ U(predpoklad),

[(φ→ψ)∧φ]WVT ∈ U(podľa vety 9),

[(φ→ψ)∧φ]WVT ≤T [ψ]WVT

(podľa definície ≤T , lebo platí T ⊢ ((φ→ψ)∧φ)→ψ, a to podľa vety 2.3 o konjunkcii predpokladova toho, že platí T ⊢ (φ→ψ)→ (φ→ψ), a to podľa vety 2.13),

[ψ]WVT ∈ U(lebo U je BEFT -filter).


V12 Nech T je teória a a U je BEFT -filter. Nech φ1 a φ2 sú formuly také, že [φ1↔φ2]WVT ∈ U . Potom[φ1]WVT ∈ U práve vtedy, keď [φ2]WVT ∈ U .

Postupne platí:

[φ1↔φ2]WVT ∈ U(predpoklad),

[(φ1→φ2)∧ (φ2→φ1)]WVT ∈ U(podľa definície WVT , keďže T ⊢ (φ1↔φ2)↔ ((φ1→φ2)∧ (φ2→φ1)), lebo je to SAxEqvDcm(φ1, φ2)),

[φ1→φ2]WVT ∈ U a [φ2→φ1]WVT ∈ U(podľa vety 10),

ak [φ1]WVT ∈ U , tak [φ2]WVT ∈ U , a ak [φ1]WVT ∈ U , tak [φ2]WVT ∈ U(dvakrát podľa vety 11),

[φ1]WVT ∈ U práve vtedy, keď [φ2]WVT ∈ U .

V13 Nech T je teória a U je BEFT -filter. Nech φ je formula. Potom ak T ⊢φ, tak [φ]WVT ∈ U .

Postupne platí:


T ⊢φ↔⊤(podľa vety 2.1 o ekvivalentných formulách, lebo ⊢ (φ↔⊤)↔φ je SAxEqvTru(φ)),

[φ]WVT ∈ U práve vtedy, keď [⊤]WVT ∈ U(podľa vety 12),

[φ]WVT ∈ U(lebo druhá časť platí, a to podľa vety 10).

V14 Nech T je teória a a U je BEFT -ultrafilter. Nech φ je formula. Potom [φ]WVT ∈ U práve vtedy, keď[¬φ]WVT /∈ U .

[¬φ]WVT /∈ U ,akk ¬T [φ]WVT /∈ U

(podľa definície ¬T ),akk [φ]WVT ∈ U

(podľa vety A5.2.1).

V15 Nech U je BEFT -ultrafilter, n ∈ N a φ1, …, φn sú formuly. Potom [Dsjn(φ1, . . . , φn)]WVT ∈ U práve vtedy,keď existuje i z {1, . . . , n}, že platí [φi]WVT ∈ U .

[Dsjn(φ1, . . . , φn)]WVT ∈ U ,akk [¬Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φn)]WVT ∈ U

(podľa definície WVT , keďže T ⊢Dsjn(φ1, . . . , φn)↔¬Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φn), a to podľa vety 2.19 o de-Morganových pravidlách a vety 1.11),

akk [Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φn)]WVT /∈ U(podľa vety 14),

akk nie je pravda, že [Cnjn(¬φ1, . . . ,¬φn)]WVT ∈ U ,akk nie je pravda, že pre každé i z {1, . . . , n} platí [¬φi]WVT ∈ U

(podľa vety 9),akk existuje i z {1, . . . , n}, že neplatí [¬φi]WVT ∈ U ,akk existuje i z {1, . . . , n}, že [¬φi]WVT /∈ U ,akk existuje i z {1, . . . , n}, že [φi]WVT ∈ U

(podľa vety 14).


…

D Nech T je teória a a U je BEFT -ultrafilter. Pre každé T z Typ definujme na množine ExpT reláciu fctTU takto:Ak e1, e2 ∈ ExpT , tak

⟨e1, e2⟩ ∈ fctTU práve vtedy, keď [(e1 =T e2)]WVT ∈ U .

V16 Nech T je teória a U je BEFT -ultrafilter. Nech T ∈ Typ. Potom fctTU je ekvivalencia na ExpT .

S1 Relácia fctTU je reflexívna.

Nech e ∈ ExpT . Potom postupne platí:T ⊢ (e =T e)

(je to EAxRfl(e)),[(e =T e)]WVT ∈ U

(podľa vety 13),⟨e, e⟩ ∈ fctTU

(podľa definície fctTU ).

S2 Relácia fctTU je symetrická.

Nech e1, e2 ∈ SExT . Potom postupne platí:⟨e1, e2⟩ ∈ fctTU

(predpoklad s cieľom ⟨e2, e1⟩ ∈ fctTU ),[(e1 =T e

2)]WVT ∈ U(podľa definície fctTU ),

[(e2 =T e1)]WVT ∈ U

(podľa definície WVT , keďže T ⊢ (e1 =T e2)↔ (e2 =T e

1), lebo je to EAxSmt(e1, e2)),⟨e2, e1⟩ ∈ fctTU


S3 Relácia fctTU je tranzitívna.

Nech e, f, g ∈ ITyp(T ). Potom postupne platí:⟨e, f⟩ ∈ fctTU a ⟨f, g⟩ ∈ fctTU

(predpoklad s cieľom ⟨e, g⟩ ∈ fctTU ),[(e =T f)]WVT ∈ U a [(f =T g)]WVT ∈ U

(podľa definície fctTU ),[(e =T f)∧ (f =T g)]WVT ∈ U

(podľa vety 9),[((e =T f)∧ (f =T g))→ (e =T g)]WVT ∈ U

(podľa vety 13, keďže T ⊢ ((e =T f)∧ (f =T g))→ (e =T g), lebo je to EAxTrn(e, f, g)),[(e =T g)]WVT ∈ U

(podľa vety 11),⟨e, g⟩ ∈ fctTU


Sublemy 1, 2 a 3 spolu znamenajú, že relácia fctTU je ekvivalencia.

V17 Nech T je teória a U je BEFT -ultrafilter. Nech e1 a e2 sú logické výrazy typu T také, že platí T ⊢ (e1 =T e2).

Potom platí [e1]fctTU = [e2]fctTU .

Postupne platí:


T ⊢ (e1 =T e2)

(predpoklad),[(e1 =T e

2)]WVT ∈ U(podľa vety 13),

akk ⟨e1, e2⟩ ∈ fctTU(podľa definície fctTU ),

akk [e1]fctTU = [e2]fctTU(definícia triedy ekvivalencie).

V18 Nech T je teória a U je BEFT -ultrafilter. Nech φ ∈ Frm. Potom platí:

I [φ]fctBooU

= [⊤]fctBooU

práve vtedy, keď [φ]WVT ∈ U .I [φ]fctBoo

U= [⊥]fctBoo

Upráve vtedy, keď [φ]WVT /∈ U .

I [φ]fctBooU

= [⊤]fctBooU

,akk ⟨φ,⊤⟩ ∈ fctBoo

U

(definícia triedy ekvivalencie),akk [(φ =Boo ⊤)]WVT ∈ U

(podľa definície fctBooU ),

akk [φ↔⊤]WVT ∈ U(podľa definície WVT , lebo T ⊢ (φ =Boo ⊤)↔ (φ↔⊤), keďže je to SAxExBEqv(φ,⊤)),

akk [φ]WVT ∈ U(podľa definície WVT , lebo T ⊢ (φ↔⊤)↔φ, keďže je to SAxEqvTru(φ)).

I [φ]fctBooU

= [⊥]fctBooU

,akk ⟨φ,⊥⟩ ∈ fctBoo

U

(definícia triedy ekvivalencie),akk [(φ =Boo ⊥)]WVT ∈ U

(podľa definície fctBooU ),

akk [φ↔⊥]WVT ∈ U(podľa definície WVT , lebo T ⊢ (φ =Boo ⊥)↔ (φ↔⊥), keďže je to SAxExBEqv(φ,⊥)),

akk [¬φ]WVT ∈ U(podľa definície WVT , lebo T ⊢ (φ↔⊥)↔¬φ, keďže je to SAxEqvFls(φ)).

akk [φ]WVT /∈ U(podľa vety 14).

V19 Nech T je teória a U je BEFT -ultrafilter. Potom platí [⊤]fctBooU= [⊥]fctBoo

U.

Ak [⊤]fctBooU

= [⊥]fctBooU

, tak podľa vety 18 platí ako [⊤]WVT ∈ U , tak [⊤]WVT /∈ U , čo je spor.

…

D Podmnožinu B množiny Var nazveme bohatá, ak pre každé T z Typ je množina B ∩VarT nekonečná.

P Samotná množina Var bohatá, lebo podľa vety 1.2.7 pre každé T z Typ je množina Var ∩ VarT čiže VarT

nekonečná.

P Ak je množina B bohatá a množina F konečná množina, aj množina B r F je bohatá.

D Nech B je bohatá množina premenných. Definujme zobrazenie rprB (”representant“ – reprezentant) z množinyTyp∗ do množiny TDEVar indukciou (t. j. podľa vety A4.1.4):

1 rprB(⟨⟩) = ⟨⟩.2 Ak T1, . . . , Tn+1 ∈ Typ a rprB(⟨T1, . . . , Tn⟩) = ⟨v1, . . . , vn⟩, tak rprB(⟨T1, . . . , Tn+1⟩) = ⟨v1, . . . , vn+1⟩,

kde vn+1 = varTn+1(k), pričom k = min{i ∈ N : varT (i) ∈ B r {v1, . . . , vn}}.


P rprB teda pre ticu typov kanonickým spôsobom vracia ticu rôznych premenných predpísaných typov, ktorévšetky ležia v množine B.

D Nech B je bohatá množina premenných. Definujme zobrazenie rbvB z Exp do Exp indukciou:

1 Ak v je premenná, tak rbvB(v) = v.2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs. Nech s je symbol, bvs(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩, Nech

ďalej C = B r (uve(e) ∪∪i∈{1,...,n} bve(rbv

B(ei))), nech ⟨w1, . . . , wp⟩ = rprC(typ(v1), . . . , typ(vp))

a nech t = ssfs(⟨w1, . . . , wp⟩). Potom

rbvB(e) = tIde⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvB(e1)) . . . Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv

B(en)).

P Všimnime si, že v prípade s ∈ Nob platí p = 0 a t = s, takže druhý krok definície sa zredukuje na tvar

rbvB(e) = s(rbvB(e1)) . . . (rbvB(en)).

P Toto zobrazenie vo výraze kanonicky nahradí všetky viazané premenné za iné, doteraz nepoužité, všetky z pred-písanej množiny. Takýmto spôsobom sa navyše zdisjunktnia množiny voľných a viazaných premenných.

V20 (o výmene viazaných premenných)Nech B je bohatá množina. Nech e ∈ Exp. Potom platí:

I fve(rbvB(e)) = fve(e).I bve(rbvB(e)) ⊆ B.I nse(rbvB(e)) = nse(e).I |=(rbvB(e) =typ(e) e).I Ak I je štandardná interpretácia, tak I |=(rbvB(e) =typ(e) e).I Ak I je štandardná interpretácia a E je z I-ohodnotenie premenných, tak E(rbvB(e)) = E(e).

I Prvé štyri časti dokážeme naraz, a to matematickou indukciou cez Exp, t. j. podľa vety 1.2.6:1 Nech e ∈ Var. Podľa definície rbvB(e) = e.

I fve(rbvB(e)) = fve(e) platí triviálne.I bve(rbvB(e))

= bve(e)(podľa definície rbvB),

= ∅(podľa definície bve),

⊆ B.I nse(rbvB(e)) = nse(e) platí triviálne.I ⊢ (rbvB(e) =typ(e) e) znamená ⊢ (e =typ(e) e), čo platí, lebo je to rovnosťová axióma.I E(rbvB(e)) = E(e) potom platí triviálne.

2 Nech e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs.Nech bvs(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩. Nech ďalej C = Br(uve(e)∪

∪i∈{1,...,n} bve(rbv

B(ei))), nech ⟨w1, . . . , wp⟩ =rprC(typ(v1), . . . , typ(vp)) a nech t = ssfs(⟨w1, . . . , wp⟩).S1 Nech i ∈ {1, . . . , n}. Potom Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩ ∈ ASb(rbvB(ei)).

Platí:bve(rbvB(ei)) ∩

∪fve[{w1, . . . , wp}]

= bve(rbvB(ei)) ∩ {w1, . . . , wp}(podľa vety 1.2.13)

⊆ bve(rbvB(ei)) ∩ C(lebo podľa definície rprC platí {w1, . . . , wp} ⊆ C),

= ∅(podľa definície C).


Podľa vety 12 už dostávame požadované tvrdenie.S2 fve(srbvB(e1) . . . rbv

B(en)) = fve(e).

fve(srbvB(e1) . . . rbvB(en))

=∪i∈{1,...,n} fve(rbv

B(ei))r bvs(s)

(podľa definície fve),=

∪i∈{1,...,n} fve(ei)r bvs(s)

(podľa indukčného predpokladu),= fve(e)

(podľa definície fve).

S3 Nech q ∈ {1, . . . , p}. Potom wq /∈ fve(srbvB(e1) . . . rbvB(en)).

Keďže ⟨w1, . . . , wp⟩ = rprC(typ(v1), . . . , typ(vp)), podľa definície rprC platí platí wq ∈ C, alepodľa definície C platí C ∩ fve(e) = ∅, z čoho už vyplýva dokazované tvrdenie.

Potom platí:I fve(rbvB(e))

= fve(tIde⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvB(e1)) . . . Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv

B(en)))(podľa definície rbv),

= (∪i∈{1,...,n} fve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv

B(ei))))r bvs(t)

(podľa definície fve),= (

∪i∈{1,...,n}(

∪fve[Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩[fve(rbv

B(ei))]]))r bvs(t)

(podľa vety 6, ktorej podmienka je splnená podľa sublemy 1),= (

∪i∈{1,...,n}(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩[fve(rbv

B(ei))])r bvs(t)

(podľa vety 1.2.13, lebo Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩[fve(rbvB(ei))] ⊆ Var),

= (∪i∈{1,...,n}(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩[fve(ei)])r bvs(t)

(pre každé i z {1, . . . , n} podľa indukčného prepokladu),= (

∪i∈{1,...,n}(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩[(fve(ei)r {v1, . . . , vp}) ∪ (fve(ei) ∩ {v1, . . . , vp})]))r bvs(t)

(lebo X = (X r Y ) ∪ (X ∩ Y )),= (

∪i∈{1,...,n}(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩[fve(ei)r {v1, . . . , vp}] ∪

∪ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩[fve(ei) ∩ {v1, . . . , vp}]))r bvs(t)(lebo f [X1 ∪X2] = f [X1] ∪ f [X2]),

= (∪i∈{1,...,n}((fve(ei)r {v1, . . . , vp}) ∪ {wj : j ∈ {1, . . . , p} ∧ vj ∈ fve(ei)}))r bvs(t)

(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩),= (

∪i∈{1,...,n}((fve(ei)r bvs(s)) ∪ {wj : j ∈ {1, . . . , p} ∧ vj ∈ fve(ei)}))r bvs(t),

= (∪i∈{1,...,n}(fve(ei)r bvs(s)) ∪

∪i∈{1,...,n}{wj : j ∈ {1, . . . , p} ∧ vj ∈ fve(ei)})r bvs(t)

(lebo∪i∈I(Ai ∪ Bi) =

∪i∈I Ai ∪

∪i∈I Bi),

= ((∪i∈{1,...,n} fve(ei)r bvs(s)) ∪ (

∪i∈{1,...,n}{wj : j ∈ {1, . . . , p} ∧ vj ∈ fve(ei)})r bvs(t)

(lebo∪i∈I(Xi r Y ) =

∪i∈I Xi r Y ),

= (fve(e) ∪∪i∈{1,...,n}{wj : j ∈ {1, . . . , p} ∧ vj ∈ fve(ei)})r bvs(t)

(podľa definície fve),= (fve(e)r bvs(t)) ∪ ((

∪i∈{1,...,n}{wj : j ∈ {1, . . . , p} ∧ vj ∈ fve(ei)})r bvs(t))

(lebo (X1 ∪X2)r Y = (X1 r Y ) ∪ (X2 r Y )),= (fve(e)r bvs(t)) ∪∅

(lebo∪i∈{1,...,n}{wj : j ∈ {1, . . . , p} ∧ vj ∈ fve(ei)} ⊆ {w1, . . . , wp} = bvs(t)),

= fve(e)r bvs(t)

= fve(e)(lebo ⟨w1, . . . , wp⟩ = rprC(typ(v1), . . . , typ(vp)), takže bvs(t) = {w1, . . . , wp} ⊆ C ⊆ B, alepodľa vety 1.2.12 a definície C platí fve(e) ∩ C ⊆ uve(e) ∩ C = ∅).

I bve(rbvB(e))


= bve(tIde⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvB(e1)) . . . Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv

B(en)))

(podľa definície rbvB),= (

∪n∈{1,...,n} bve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv

B(ei)))) ∪ bvs(t)

(podľa definície bve),= (

∪n∈{1,...,n}(

∪bve[Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩[fve(rbv

B(ei))]] ∪ bve(rbvB(ei))) ∪ bvs(t)

(podľa vety 6),= (

∪n∈{1,...,n}(∅ ∪ bve(rbvB(ei))) ∪ bvs(t)

(podľa vety 1.2.13, lebo Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩[fve(rbvB(ei))] ⊆ Var),

= (∪n∈{1,...,n} bve(rbv

B(ei))) ∪ bvs(t),⊆ (

∪n∈{1,...,n}B) ∪ bvs(t)

(pre každé i z {1, . . . , n} podľa indukčného prepokladu),= B ∪ bvs(t),⊆ B ∪B

(lebo ⟨w1, . . . , wp⟩ = rprC(⟨P1, . . . , Pp⟩), takže bvs(t) = {w1, . . . , wp} ⊆ C ⊆ B),= B.

I nse(rbvB(e))

= nse(tIde⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvB(e1)) . . . Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv

B(en)))

(podľa definície rbvB),= 1 +

∑i∈{1,...,n} nse(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv

B(ei)))

(podľa definície nse),= 1 +

∑i∈{1,...,n} nse(rbv

B(ei))

(podľa vety 1.5.14, lebo pre všetky i z {1, . . . , p} podľa definície platí nse(wi) = 0),= 1 +

∑i∈{1,...,n} nse(ei)

(pre každé i z {1, . . . , n} podľa indukčného predpokladu),= nse(e)

(podľa definície nse).I Postupne platí:

pre každé i z {1, . . . , n} platí ⊢ (rbvB(ei) =typ(ei) ei)(pre každé i z {1, . . . , n} podľa indukčného predpokladu),

⊢ (srbvB(e1) . . . rbvB(en) =typ(e) se1 . . . en)(podľa vety 3.14 pre výraz sv1 . . . vn),

⊢ (srbvB(e1) . . . rbvB(en) =typ(e) e),⊢ (srbvB(e1) . . . rbvB(en) =typ(e) tIde⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv

B(e1)) . . . Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvB(en)))

(je to axióma EAxFmls,t(⟨rbvB(e1), . . . , rbvB(en)⟩,⟨Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv

B(e1)), . . . , Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvB(en))⟩),

ktorej podmienky sú splnená podľa sublem 1 a 3),⊢ (tIde⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv

B(e1)) . . . Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvB(en)) =typ(e) srbv

B(e1) . . . rbvB(en))

(podľa vety 2.26 o symetrii rovnosti),⊢ (tIde⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv

B(e1)) . . . Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvB(en)) =typ(e) e)

(podľa vety 2.27 o tranzitivite rovnosti),⊢ (rbvB(e) =typ(e) se1 . . . en)

(podľa definície rbvB),⊢ (rbvB(e) =typ(e) e).

I Podľa už dokázanej časti platí ⊢ (rbvB(e) =typ(e) e). Z toho už podľa vety 1.11 o korektnosti dostávame|=(rbvB(e) =typ(e) e).

I Podľa už dokázanej časti |=(rbvB(e) =typ(e) e) podľa definície |= dostávame I |=(rbvB(e) =typ(e) e).Potom postupne platí:


I |=(rbvB(e) =typ(e) e)(z už dokázanej časti vety),

E((rbvB(e) =typ(e) e)) = 1I

(podľa definície tautologického dôsledku),E((rbvB(e) =typ(e) e)) = 1I

(podľa definície tautologického dôsledku),(INob(=typ(e)))(E(rbvB(e)), E(e)) = 1I

(podľa definície E),E(rbvB(e)) = E(e)

(lebo interpretácia I je štandardná).

V21 Nech ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ TDEVar a nech pre každé q z {1, . . . , p} platí fq ∈ Exptyp(wq). Nech B je bohatámnožina taká, že pre každé q z {1, . . . , p} platí fve(fp) ∩B = ∅. Nech e ∈ Exp. Potom

Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩ ∈ ASb(rbvB(e)).

Nech q ∈ {1, . . . , p}. Potom platí:

fve(fq) ∩ bve(rbvB(e))

⊆ fve(fq) ∩B(podľa vety 20 o výmene viazaných premenných),

= ∅(podľa predpokladu).

Z toho už fve(fq) ∩ bve(rbvB(e)) = ∅, takže podľa vety 1.8.8 dostávame požadované tvrdenie.

D Nech ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ TDEVar a nech pre každé q z {1, . . . , p} platí fq ∈ Exptyp(wq). Definujme zobrazeniesfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩ (”safe substitution“ – bezpečná substitúcia) z množiny Exp do množiny Exp vzťahom

sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(e) = Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(rbvVarr(

∪q∈{1,...,p} fve(fq))(e)).

P sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(e) je teda výraz, ktorý vznikne substitúciou premenných v1, …, vp za f1, …, fp do výrazue, pričom však ešte predtým zmeníme viazané premenné tak, aby po táto substitúcia bola pre výraz e povolená(ako to hovorí veta 21).

V22 Nech ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ TDEVar, ⟨w1, . . . , wp⟩ ∈ TDE⟨typ(v1),...,typ(vp)⟩Var a nech pre každé q z {1, . . . , p} platí

fq ∈ Exptyp(wq). Nech e ∈ ExpT . Nech pre každé q z {1, . . . , p} platí wq /∈ fve(e)r {v1, . . . , vp}. Potom

⊢ (sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(e) =T sfs⟨w1,...,wp⟩,⟨f1,...,fp⟩(sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e))).

Nech:

I A = Varr∪q∈{1,...,p} fve(wq),

I B = Varr∪q∈{1,...,p} fve(fq),

I C = Varr (∪q∈{1,...,p} fve(wq) ∪

∪q∈{1,...,p} fve(fq)).

Keďže Var je bohatá a všetky odpočítavané množiny sú konečné, aj množiny A, B a C sú bohaté.

S1Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨f1,...,fp⟩ ∈ ASb(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv

C(e)).

Nech q ∈ {1, . . . , p}. Potom platí:

fve(fq) ∩ bve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvC(e))

= fve(fq) ∩ (∪u∈fve(e) bve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(u)) ∪ bve(rbvC(e)))



= fve(fq) ∩ (∪u∈fve(e) ∅ ∪ bve(rbvD(e)))

(podľa definície bve, lebo Rng(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(u)) ⊆ Var),= fve(fq) ∩ (∅ ∪ bve(rbvC(e))),= fve(fq) ∩ ∩bve(rbvC(e)),⊆ fve(fq) ∩ C

(podľa vety 20 o výmene viazaných premenných),= ∅

(podľa predpokladu).

Z toho už fve(fq)∩bve(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvD(e)) = ∅, takže podľa vety 1.8.8 dostávame požado-

vané tvrdenie.

S2 Nech q ∈ {1, . . . , p}. Potom wq /∈ fve(rbvD(e))r {v1, . . . , vp}.

Podľa predpokladu a vety 20 o výmene viazaných premenných platí wq /∈ fve(e) r {v1, . . . , vp} =

fve(rbvC(e))r {v1, . . . , vp}.

Potom platí:

⊢ (rbvA(e) =T e)(podľa vety 20 o výmene viazaných premenných),

⊢ (rbvC(e) =T e)(podľa vety 20 o výmene viazaných premenných),

⊢ (rbvC(e) =T rbvA(e))(podľa vety 2.27 o tranzitivite rovnosti),

⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩((rbvC(e) =T rbvA(e)))

(podľa vety 1.12 o substitúcii, ktorej podmienka je splnená podľa definície ASb a dvakrát použitej vety21),

⊢ (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvC(e)) =T Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv

A(e)))

(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩),

⊢ (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvC(e)) =T sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e))

(podľa definície sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩),⊢ (rbvC(sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)) =T sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e))

(podľa vety 20 o výmene viazaných premenných),

⊢ (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvC(e)) =T rbvC(sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)))

(podľa vety 2.27 o tranzitivite rovnosti),

⊢ Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨f1,...,fp⟩((Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvC(e)) =T rbvC(sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e))))

(podľa vety 1.13 o substitúcii, ktorej podmienka je splnená podľa definície ASb, sublemy 1 a vety 21),

⊢ (Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨f1,...,fp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvC(e))) =T Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨f1,...,fp⟩(rbv

C(sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e))))

(podľa definície Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨f1,...,fp⟩),

⊢ (Ide⟨w1,...,wp⟩,⟨f1,...,fp⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbvC(e))) =T sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)))

(podľa definície),

⊢ (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(rbvC(e)) =T sfs⟨w1,...,wp⟩,⟨f1,...,fp⟩(sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)))

(podľa vety 1.8.13, ktorej podmienky sú splnené podľa sublem 1 a 2),⊢ (rbvB(e) =T e)

(podľa vety 20 o výmene viazaných premenných),⊢ (rbvB(e) =T rbvC(e))

(podľa vety 2.27 o tranzitivite rovnosti),


⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩((rbvB(e) =T rbvC(e)))

(podľa vety 1.13 o substitúcii, ktorej podmienka je splnená podľa definície ASb a dvakrát použitej vety21),

⊢ (Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(rbvB(e)) =T Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(rbv

C(e)))

(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩),

⊢ (sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(e) =T Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(rbvC(e)))

(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩),⊢ (sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(e) =T sfs⟨w1,...,wp⟩,⟨f1,...,fp⟩(sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e)))

(podľa vety 2.27 o tranzitivite rovnosti).

V23 Nech ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ TDEVar, ⟨w1, . . . , wp⟩ ∈ TDE⟨typ(v1),...,typ(vp)⟩Var a nech pre každé q z {1, . . . , p} platí

fq ∈ Exptyp(wq). Nech s ∈ Nob a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs. Potom

sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(se1 . . . en) = ssfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(e1), . . . , sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(en).

Nech σ = Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩ a B = Varr∪q∈{1,...,p} fve(fq). Potom platí:

sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(se1 . . . en)

= σ(rbvB(se1 . . . en))(podľa definície sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩),

= σ(srbvB(e1), . . . , rbvB(en))

(podľa definície rbvB),= sσ(rbvB(e1)), . . . , σ(rbv

B(en))(podľa definície σ),

= ssfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(e1n), . . . , sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(e1n)(podľa definície sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩).

P Špeciálne sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(¬φ) = ¬sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ).

P Špeciálne sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩((e1 =T e

2)) = (sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(e1) =T sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(e

2)).

V24 Nech φ ∈ Frm. Nech p ∈ N a ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ TDEVar. Nech nastáva jedna z možností:

I M = TDE⟨typ(v1),...,typ(vp)⟩Var .

I M = Var⟨typ(v1),...,typ(vp)⟩.I M = Exptyp(v1) × · · · × Exptyp(vp).

Potom platí:

I [All⟨v1,...,vp⟩(φ)]WVT = inf{[sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)]WVT : ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈M}.I [Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)]WVT = sup{[sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)]WVT : ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈M}.

I Nech A = {[sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)]WVT : ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈M}.S1 [All⟨v1,...,vp⟩(φ)]WVT je dolné ohraničenie množiny A.

Nech ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈ M . Nech B = Var r∪q∈{1,...,p} fve(fq). Keďže množina

∪q∈{1,...,p} fve(fq) je

konečná, množina B je bohatá.Potom postupne platí:⊢ (rbvB(φ) =Boo φ)

(podľa vety 20 o výmene viazaných premenných),⊢ rbvB(φ)↔φ

(podľa vety 2.12),


⊢All⟨v1,...,vp⟩(rbvB(φ))↔All⟨v1,...,vp⟩(φ)(podľa vety 3.8),

⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ)→All⟨v1,...,vp⟩(rbvB(φ))(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),

⊢All⟨v1,...,vp⟩(rbvB(φ))→ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(rbvB(φ))

(je to axióma AxiSpc⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(rbvB(φ)), ktorej podmienka je splnená podľa vety 21),⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ)→ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(rbv

B(φ))(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie),

⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ)→ sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)(podľa definície sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩),

T ⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ)→ sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)(podľa vety 1.11),

[All⟨v1,...,vp⟩(φ)]WVT ≤T [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)]WVT


S2 Nech [ψ]WVT je dolné ohraničenie množiny A. Potom [ψ]WVT ≤T [All⟨v1,...,vp⟩(φ)]WVT .

Nech B = Varr(fve(ψ)∪fve(φ)∪bve(φ)). Keďže množiny fve(ψ), fve(φ) a bve(φ) sú konečné, mno-žina B je bohatá. Nech rprB(typ(v1), . . . , typ(vp)) = ⟨u1, . . . , up⟩. Podľa definície ⟨u1, . . . , up⟩ ∈TDE

⟨typ(v1),...,typ(vp)⟩Var , a keďže vo všetkých prípadoch platí TDE

⟨typ(v1),...,typ(vp)⟩Var ⊆ M , platí aj

⟨u1, . . . , up⟩ ∈M .SS1 Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩ ∈ ASb(φ).

Pre každé q z {1, . . . , p} podľa definície rprB platí uq ∈ B, a teda uq /∈ bve(φ). Z toho už podľavety 1.8.8 vyplýva dokazované tvrdenie.

Potom platí:[ψ]WVT ≤T [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(φ)]WVT

(podľa predpokladu, lebo [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(φ)]WVT ∈ A),T ⊢ψ→ sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(φ)

(podľa definície ≤T ),T ⊢ψ→ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(rbv

Varr{u1,...,up}(φ))(podľa definície sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩),

T ⊢ rbvVarr{u1,...,up}(φ)↔φ(podľa vety 20 o výmene viazaných premenných),

T ⊢ rbvVarr{u1,...,up}(φ)→φ(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),

T ⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(rbvVarr{u1,...,up}(φ)→φ)

(podľa vety 1.13 o substitúcii, ktorej podmienka je splnená podľa definície ASb, vety 21 a sub-sublemy 1),

T ⊢ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(rbvVarr{u1,...,up}(φ))→ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(φ)

(podľa definície Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩),T ⊢ψ→ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(φ)

(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie),T ⊢All⟨u1,...,up⟩((ψ→ Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(φ)))

(podľa vety 1.12 o generalizácii),T ⊢ψ→All⟨u1,...,up⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(φ))

(podľa vety 2.1 o ekvivalentných formulách a vety 3.23 o výbere kvantifikátora z implikácie,keďže {u1, . . . , up} ∩ fve(ψ) = ∅),

T ⊢All⟨v1,...,vp⟩(φ)↔All⟨u1,...,up⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(φ))(podľa vety 3.28 o variantoch, ktorej podmienky {u1, . . . , up}∩fve(φ) = ∅ a Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩ ∈ASb(φ) sú splnené podľa predpokladu a subsublemy 1),


T ⊢All⟨u1,...,up⟩(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(φ))→All⟨v1,...,vp⟩(φ)(podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie),

T ⊢ψ→All⟨v1,...,vp⟩(φ)(podľa vety 2.6 o tranzitivite implikácie),

[ψ]WVT ≤T [All⟨v1,...,vp⟩(φ)]WVT

(podľa definície ≤T ).Zo sublem 1 a 2 vyplýva, že [All⟨v1,...,vp⟩(φ)]WVT = inf A.

I [Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)]WVT

= [¬All⟨v1,...,vp⟩(¬φ)]WVT

(podľa definície WVT a vety 3.4),= ¬T [All⟨v1,...,vp⟩(¬φ)]WVT

(podľa definície ¬T ),= ¬T inf{[sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(¬φ)]WVT : ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈M}

(podľa už dokázanej časti),= ¬T inf{[¬sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)]WVT : ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈M}

(podľa vety 23),= ¬T inf{¬T [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)]WVT : ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈M}

(podľa definície ¬T ),= sup{[sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(φ)]WVT : ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈M}


…

V25 (o úplnosti)

Nech T je teória a φ je formula. Potom ak T ⊢φ, tak T |=φ.

Tvrdenie dokážeme tak, že nájdeme model I teórie T taký, že I |=φ.Ak ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ TDEVar a ψ z Frm, tak definujeme množinu D⟨v1,...,vp⟩,ψ vzťahom

D⟨v1,...,vp⟩,ψ = {[sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(ψ)]WVT : ⟨u1, . . . , up⟩ ∈ Var⟨typ(v1),...,typ(vp)}∪{¬T [Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)]WVT }.

S1 Systém {D⟨v1,...,vp⟩,ψ : ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ TDEVar ∧ ψ ∈ Frm} je najviac spočítateľný.

Keďže Var∗ je podľa vety A3.3.2 spočítateľná (lebo Var je spočítateľná), aj jej podmnožina TDEVar jenajviac spočítateľná, a keďže vety 1.2.11 je Exp spočítateľná, aj jej podmnožina Frm je najviac spočíta-teľná. Z toho už vyplýva platnosť dokazovaného tvrdenia.

S2 Ak ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ TDEVar a ψ z Frm, tak množina D⟨v1,...,vp⟩,ψ je BEFT -hustá.

sup≤TD⟨v1,...,vp⟩,ψ

= sup≤T({[sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(ψ)]WVT : ⟨u1, . . . , up⟩ ∈ TDE

⟨typ(v1),...,typ(vp)Var }) ∪

∪ {¬T [Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)]WVT }(podľa definície D⟨v1,...,vp⟩,ψ),

= sup≤T{sup≤T

{[sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(ψ)]WVT : ⟨u1, . . . , up⟩ ∈ TDE⟨typ(v1),...,typ(vp)Var },

¬T [Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)]WVT }= sup≤T

{[Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)]WVT ,¬T [Exi⟨v1,...,vp⟩(φ)]WVT }

(podľa vety 24),= [Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ)]WVT ∨T ¬T [Exi

⟨v1,...,vp⟩(ψ)]WVT

(podľa viet 7 a A5.1.10),= ⊤T

(podľa vety 8 a definície booleovskej algebry).


S3 ¬T [φ]WVT = ⊥T .

Postupne platí:T ⊢φ

(predpoklad vety),neplatí T ⊢φ,neplatí T ⊢φ↔⊤

(podľa vety 2.1 o ekvivalentných formulách, lebo platí T ⊢ (φ↔⊤)↔φ, keďže je to SAxEqvTru(φ)),neplatí [φ]WVT = [⊤]WVT

(podľa definície WVT ),neplatí [φ]WVT = ⊤T

(podľa definície ⊤T ),neplatí ¬T [φ]WVT = ¬T ⊤T

(podľa viet 8 a A5.1.14),neplatí ¬T [φ]WVT = ⊥T

(podľa viet 8 a A5.1.12),¬T [φ]WVT = ⊥T .

Podľa sublem 1, 2 a 3 a podľa vety A5.2.9 existuje BEFT -ultrafilter U taký, že [φ]WVT /∈ U , a ak v1, …, vpsú rôzne premenné a ψ je z Frm, tak platí U ∩D⟨v1,...,vp⟩,ψ = ∅.

S4 Nech ⟨v1, . . . , vp⟩ ∈ TDEVar a ψ ∈ Frm. Nech nastáva jedna z možností:

I M = TDE⟨typ(v1),...,typ(vp)⟩Var .

I M = Var⟨typ(v1),...,typ(vp)⟩.I M = Exptyp(v1) × · · · × Exptyp(vp).

Potom platí:

I [Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ)]WVT ∈ U práve vtedy, keď existujú výrazy f1, …, fp také, že ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈ Ma [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(ψ)]WVT ∈ U .

I [All⟨v1,...,vp⟩(ψ)]WVT ∈ U práve vtedy, keď pre každé výrazy f1, …, fp také, že ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈M ,platí [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(ψ)]WVT ∈ U .

I →→→→→→→→→ Nech x je ktorýkoľvek prvok neprázdnej množiny U ∩ D⟨v1,...,vp⟩,ψ. Pretože podľa predpokladu[Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ)]WVT ∈ U , z definície BEFT -ultrafiltra platí ¬T [Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ)]WVT /∈ U , a tedax = ¬T [Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ)]WVT . Platí teda x = [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(ψ)]WVT pre nejaké f1, …, fptaké, že ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈M , a teda [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(ψ)]WVT ∈ U .

←←←←←←←←← Podľa vety 24 platí [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(ψ)]WVT ≤T [Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ)]WVT . Keďže U je BEFT --ultrafilter, z predpokladu [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(ψ)]WVT ∈ U máme [Exi⟨v1,...,vp⟩(ψ)]WVT ∈ U .

I [All⟨v1,...,vp⟩(ψ)]WVT ∈ U ,akk [¬All⟨v1,...,vp⟩(ψ)]WVT /∈ U

(podľa vety 12),akk [Exi⟨v1,...,vp⟩(¬ψ)]WVT /∈ U

(podľa viet 3.4 a 10),akk pre žiadne f1, …, fp také, že ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈M , neplatí [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(¬ψ)]WVT /∈ U

(podľa už dokázanej časti),akk pre žiadne f1, …, fp také, že ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈M , neplatí [¬sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(ψ)]WVT /∈ U

(podľa vety 23),akk pre každé f1, …, fp také, že ⟨f1, . . . , fp⟩ ∈M , platí [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨f1,...,fp⟩(ψ)]WVT ∈ U

(podľa vety 14).

S5 Nech T ∈ Typ. Pre každé e z ExpT existuje u z VarT , že [u]fctTU = [e]fctTU .

Nech v je ľubovoľná premenná typu T taká, že v /∈ fve(e). Potom postupne platí:


⊢∃v(v =T e)(podľa vety 3.17, ktorej podmienka v /∈ fve(e) je splnená podľa predpokladu o v),

[∃v(v =T e)]WVT ∈ U(podľa vety 12),

existuje u z VarT také, že [((v =T e))v,u]WVT ∈ U

(podľa sublemy 4),existuje u z VarT také, že [Idev,u(rbv

Varr{u}((v =T e)))]WVT ∈ U(podľa definície ((v =T e))

v,u, lebo fve(u) = {u}),existuje u z VarT také, že [Idev,u((rbv

Varr{u}(v) =T rbvVarr{u}(e)))]WVT ∈ U(podľa definície rbvVarr{u}, lebo =T ∈ Nob),

existuje u z VarT také, že [Idev,u((v =T rbvVarr{u}(e)))]WVT ∈ U(podľa definície rbvVarr{u}, lebo v ∈ Var),

existuje u z VarT také, že [(Idev,u(v) =T Idev,u(rbvVarr{u}(e)))]WVT ∈ U

(podľa definície Idev,u, lebo =T ∈ Nob),existuje u z VarT také, že [(Idev,u(v) =T Idev,u(rbv

Varr{u}(e)))]WVT ∈ U(podľa definície Idev,u, lebo v ∈ Var),

existuje u z VarT také, že [(u =T Idev,u(rbvVarr{u}(e)))]WVT ∈ U

(podľa definície Idev,u),existuje u z VarT také, že [(u =T rbvVarr{u}(e))]WVT ∈ U

(podľa vety 1.8.3, lebo podľa predpokladu a vety 20 o výmene viazaných premenných platí v /∈fve(e) = fve(rbvVarr{u}(e))),

existuje u z VarT také, že ⟨u, rbvVarr{u}(e)⟩ ∈ fctTU(podľa definície fctTU ),

existuje u z VarT také, že [u]fctTU = [rbvVarr{u}(e)]fctTU(podľa definície triedy ekvivalencie),

existuje u z VarT také, že [u]fctTU = [e]fctTU(podľa vety 17 a vety 20 o viazaných premenných).

Ak T ∈ Typ, označme AT množinu {[v]fctTU : v ∈ VarT }. Podľa sublemy 5 pre každé e z ExpT platí[e]fctTU ∈ A

T .Nech F je rodina symbolov. Nech {T1, . . . , Tn}, T , ⟨S1, . . . , Sp⟩ sú typy také, že pre každé s z F platíins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩, out(s) = T a pre každé q z {1, . . . , p} platí typ(vq) = Sq. Označme BF množinufunkcií z množiny Atyp(S1) × · · · ×Atyp(Sp) do množiny Atyp(T1) × · · · ×Atyp(Tn).Nech V ∈ BF . Definujme parciálne zobrazenie GF,V z množiny F × (ExpT1 × · · · × ExpTn) do množiny ATtakto:

GF,V (s, ⟨e1, . . . , en⟩)

= [se1 . . . en]fctTU ,ak z ⟨u1, . . . , up⟩ ∈ Var⟨S1,...,Sp⟩ vyplývaV ([u1]fctS1

U, . . . , [up]fctSp

U

) = ⟨[sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(e1)]fctT1U, . . . , [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(en)]fctTn

U⟩,

nie je definovanéinak.

S6 Nech F je rodina symbolov a V ∈ BF . Potom zobrazenie GF,V je konštantné.

Nech {T1, . . . , Tn}, T , ⟨S1, . . . , Sp⟩ sú typy také, že pre každé s z F platí ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩, out(s) =T a pre každé q z {1, . . . , p} platí typ(vq) = Sq.

SS1 Nech s ∈ F a pre každé j z {1, 2} sú ej1, …, ejn také, že GV,F (s, ⟨ej1, . . . , ejn⟩) je definované. PotomGV,F (s, ⟨e11, . . . , e1n⟩) = GV,F (s, ⟨e21, . . . , e2n⟩).

Postupne platí:


ak ⟨u1, . . . , up⟩ ∈ Var⟨S1,...,Sp⟩, tak V ([u1]fctS1U

, . . . , [up]fctSpU

) = V ([u1]fctS1U

, . . . , [up]fctSpU

)

(reflexivita rovnosti),ak ⟨u1, . . . , up⟩ ∈ Var⟨S1,...,Sp⟩, tak⟨[sfs⟨v11 ,...,v1p⟩,⟨u1,...,up⟩(e

11), ⟨u1, . . . , up⟩]fctT1

U, . . . , [sfs⟨v11 ,...,v1p⟩,⟨u1,...,up⟩(e

1n), ⟨u1, . . . , up⟩]fctTn

U⟩

= ⟨[sfs⟨v21 ,...,v2p⟩,⟨u1,...,up⟩(e21)]fctT1

U, . . . , [sfs⟨v21 ,...,v2p⟩,⟨u1,...,up⟩(e

2n)]fctTn

U⟩

(podľa predpokladu definovanosti GV,F (s, ⟨e11, . . . , e1n⟩) a GV,F (s, ⟨e21, . . . , e2n⟩)),ak z ⟨u1, . . . , up⟩ ∈ Var⟨S1,...,Sp⟩, tak pre každé i z {1, . . . , n} platí

[sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(e1i )]fctTi

U

= [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(e2i )]fctTi

U

(podľa vety A1.4.1),ak z ⟨u1, . . . , up⟩ ∈ Var⟨S1,...,Sp⟩, tak pre každé i z {1, . . . , n} platí⟨sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(e

1i ), sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(e

2i )⟩ ∈ fctTi

U

(definícia tried ekvivalencie),ak z ⟨u1, . . . , up⟩ ∈ Var⟨S1,...,Sp⟩, tak pre každé i z {1, . . . , n} platí

[(sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(e1i ) =Ti sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(e

2i ))]WVT ∈ U

(pre každé i z {1, . . . , n} podľa definície fctTi

U ),ak z ⟨u1, . . . , up⟩ ∈ Var⟨S1,...,Sp⟩, tak pre každé i z {1, . . . , n} platí

platí [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩((e1i =Ti e

2i ))]WVT ∈ U

(podľa vety 23),pre každé i z {1, . . . , n} platí, že ak ⟨u1, . . . , up⟩ ∈ Var⟨S1,...,Sp⟩, tak

[sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩((e1i =Ti e

2i ))]WVT ∈ U

(reformulácia),pre každé i z {1, . . . , n} platí [All⟨v1,...,vp⟩((e1i =Ti e

2i ))]WVT ∈ U

(podľa sublemy 4),[Cnjn(All⟨v1,...,vp⟩((e11 =T1 e

21)), . . . ,All⟨v1,...,vp⟩((e1n =Tn e

2n)))]WVT ∈ U

(podľa vety 9),[All⟨v1,...,vp⟩(Cnjn((e11 =T1 e

21), . . . , (e

1n =Tn e

2n)))]WVT ∈ U

(podľa viet 3.27 a 12),[Allbvt(s)(Cnjn((e11 =T1 e

21), . . . , (e

1n =Tn e

2n)))]WVT ∈ U

[Allbvt(s)(Cnjn((e11 =T1 e21), . . . , (e

1n =Tn e

2n)))→ (se11 . . . e

1n =T se

21 . . . e

2n)]WVT ∈ U

(podľa vety 13, lebo je to EAxSmbs(⟨e11, . . . , e1n⟩, ⟨e21, . . . , e2n⟩)),[(se11 . . . e

1n =T se

21 . . . e

2n)]WVT ∈ U

(podľa vety 11),⟨se11 . . . e1n, se21 . . . e2n⟩ ∈ fctTU

(podľa definície fctTU ),[se11 . . . e

1n]fctTU = [se21 . . . e

2n]fctTU

(definícia tried ekvivalencie),GV,F (s, ⟨e11, . . . , e1n⟩) = GV,F (s, ⟨e21, . . . , e2n⟩)

(podľa definície GF,V , keďže obe strany sú podľa predpokladu definované).

SS2 Nech s ∈ F a e1, …, en sú také, že GV,F (s, ⟨e1, . . . , en⟩) je definované. Nech w1, …, wp sú rôznepremenné také, že {w1, . . . , wp} ∩ fve(se1 . . . en) = ∅. Nech t = ssfs(w1, . . . , wp). Nech prekaždé q z {1, . . . , p} platí fi = sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(ei). Potom GV,F (t, ⟨f1, . . . , fn⟩) je definovanéa GV,F (t, ⟨f1, . . . , fn⟩) = GV,F (s, ⟨e1, . . . , en⟩).

SS1 [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(e)i]fctTi

U

= [sfs⟨w1,...,wp⟩,⟨u1,...,up⟩(fi)]fctTiU

.

⊢ (sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(ei) =Ti sfs⟨w1,...,wp⟩,⟨u1,...,up⟩(sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(ei)))(podľa vety 22),

⊢ (sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(ei) =Ti sfs⟨w1,...,wp⟩,⟨u1,...,up⟩(fi)),T ⊢ (sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(ei) =Ti sfs⟨w1,...,wp⟩,⟨u1,...,up⟩(fi))

(podľa vety 1.11),


[sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(ei)]fctTiU

= [sfs⟨w1,...,wp⟩,⟨u1,...,up⟩(fi)]fctTiU

(podľa vety 17).Podľa subsubsublemy 1 máme

V ([u1]fctS1U, . . . , [up]fctSp

U

) = ⟨[sfs⟨w1,...,wp⟩,⟨u1,...,up⟩(f1)]fctT1U, . . . , [sfs⟨w1,...,wp⟩,⟨u1,...,up⟩(fn)]fctTn

U⟩,

takže GV,F (t, ⟨f1, . . . , fn⟩) je definované.Ďalej platí:⊢ (s(rbv⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e1)) . . . (rbv

⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(en))=T

Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e1)) . . . Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(rbv

⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(en)))

(je to EAxFmls,t(rbv⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e1), . . . , rbv⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(en)), ktorej podmienky

sú splnené podľa predpokladu a podľa vety 21),⊢ (s(rbv⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e1)) . . . (rbv

⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(en)) =T tf1 . . . fn)(pre každé i z {1, . . . , n} podľa definície fi),

pre každé i z {1, . . . , n} platí ⊢ (rbv⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(ei) =Ti ei)(podľa vety 20 o výmene viazaných premenných),

⊢ (s(rbv⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e1)) . . . (rbv⟨v1,...,vp⟩,⟨w1,...,wp⟩(en)) =T se1 . . . en)

(podľa vety 3.14),⊢ (se1 . . . en =T tf1 . . . fn)

(podľa vety 2.27 o tranzitivite rovnosti),T ⊢ (se1 . . . en =T tf1 . . . fn)

(podľa vety 1.11),[se1 . . . en]fctTi

U

= [tf1 . . . fn]fctTiU

(podľa vety 17),GV,F (s, ⟨e1, . . . , en⟩) = GV,F (t, ⟨f1, . . . , fn⟩)

(podľa definície).Nech pre každé j z {1, 2} platí ⟨sj , ⟨ej1, . . . , ejn⟩⟩ ∈ Dom(GF,V ). Nech B = Var r (fve(s1e11 . . . e

1n) ∪

fve(s2e21 . . . e2n)). Keďže množina fve(s1e11 . . . e

1n) ∪ fve(s2e21 . . . e

2n) je konečná, množina B je bohatá.

Nech ⟨w1, . . . , wp⟩ = rprB(typ(v1), . . . , typ(vp)).Nech j ∈ {1, 2}. Nech tj = ssfs

j

(w1, . . . , wp) a bvt(sj) = {vj1, . . . , vjp}. Nech pre každé q z {1, . . . , p}platí f ji = sfs⟨vj1,...,v

jp⟩,⟨w1,...,wp⟩(e

ji ).

Potom platí:GV,F (s1, ⟨e11, . . . , e1n⟩)= GV,F (t1, ⟨f11 , . . . , f1n⟩)

(podľa subsublemy 2, keďže z predpokladu vyplýva {w1, . . . , wp} ∩ fve(s1e11 . . . e1n) = ∅),

= GV,F (t2, ⟨f21 , . . . , f2n⟩)(podľa subsublemy 1),

= GV,F (s2, ⟨e21, . . . , e2n⟩)(podľa subsublemy 2, keďže z predpokladu vyplýva {w1, . . . , wp} ∩ fve(s2e21 . . . e

2n) = ∅).

Zo sublemy 6 teda vyplýva, že množina Rng(Gfam(s),V ) je buď jednoprvková, alebo prázdna (a vtedy jeGfam(s),V prázdna funkcia). To nám umožňuje definovať interpretáciu I takto:

I Ak T ∈ Typ, tak ITyp(T ) = AT .I Ak T ∈ Typ, tak Idfl(T ) = [v]fctTU , kde vnr(v) = min{vnr(u) : u ∈ VarT }.I Nech s ∈ Sym, ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩, out(s) = T a bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩. Nech V je funkcia z množinyBfam(s). Potom

(ISym(s))(V ) =

x, ak Rng(Gfam(s),V ) = {x},Idfl(T ), ak Gfam(s),V = ∅ a s /∈ Qua,[⊥]fctBoo

U, ak Gfam(s),V = ∅ a s ∈ {∀v : v ∈ Var},

[⊤]fctBooU

, ak Gfam(s),V = ∅ a s ∈ {∃v : v ∈ Var}.


Podľa vety 19 platí [⊤]fctBooU= [⊥]fctBoo

U. Nech teda B = BBA([⊤]fctBoo

U, [⊥]fctBoo

U).

S7 I je štandardná B-interpretácia.

SS1 Ak s ∈ Nob a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs, tak (INob(s))([e1]fctT1U, . . . , [en]fctTn

U) = [se1 . . . en]fctTU .

(INob(s))([e1]fctT1U

, . . . , [en]fctTnU

)

= (ISym(s))({⟨⟨⟩, ⟨[e1]fctT1U, . . . , [en]fctTn

U⟩⟩})

(podľa definície INob(s)),= (ISym(s))({⟨⟨⟩, ⟨[rbvVar(e1)]fctT1

U

, . . . , [rbvVar(en)]fctTnU⟩⟩})

(pre každé i z {1, . . . , n} podľa vety 17 a vety 20 o výmene viazaných premenných),= (ISym(s))({⟨⟨⟩, ⟨[Ide(rbvVar(e1))]fctT1

U, . . . , [Ide(rbvVar(en))]fctTn

U⟩⟩})

(pre každé i z {1, . . . , n} podľa vety 1.8.1),= (ISym(s))({⟨⟨⟩, ⟨[(e1)⟨⟩,⟨⟩]fctT1

U, . . . , [(en)

⟨⟩,⟨⟩]fctTnU⟩⟩})

(pre každé i z {1, . . . , n} podľa definície (ei)⟨⟩,⟨⟩),

= [se1 . . . en]fctTU(lebo ak V = {⟨⟨⟩, ⟨[(e1)⟨⟩,⟨⟩]fctT1

U

, . . . , [(en)⟨⟩,⟨⟩]fctTn

U⟩⟩}, tak V (⟨⟩) = ⟨[(e1)⟨⟩,⟨⟩]fctT1

U

, . . . , [(en)⟨⟩,⟨⟩]fctTn

U⟩,

z čoho podľa definície Gfam(s),V (s, ⟨e1, . . . , en⟩) = [se1 . . . en]fctTU , a teda [se1 . . . en]fctTU ∈Rng(Gfam(s),V )).

SS2 Ak s ∈ Con, tak ICon(s) = [s]fctTU .

Nech bvt(s) = ⟨v1, . . . , vp⟩. Potom platí:ICon(s)

= (ISym(s))({⟨⟨x1, . . . , xp⟩, ⟨⟩⟩ : ⟨x1, . . . , xp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))})(podľa definície INob(s)),

= [s]fctTU(lebo ak V = {⟨⟨x1, . . . , xp⟩, ⟨⟩⟩ : ⟨x1, . . . , xp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))}, takz ⟨u1, . . . , up⟩ ∈ Vartyp(v1),...,typ(vp) vyplýva V ([u1]fcttyp(v1)

U

, . . . , [up]fcttyp(vp)

U

) = ⟨⟩, z čoho podľadefinície Gfam(s),V (s, ⟨⟩) = [s]fctTU , a teda [s]fctTU ∈ Rng(Gfam(s),V )).

SS3 ITyp(Boo) = sppB.

ITyp(Boo)

= {[v]fctBooU

: v ∈ VarBoo}(podľa definície I),

= {[⊤]fctBooU, [⊥]fctBoo

U}

(⊆ vyplýva z vety 18, ⊇ zo sublemy 5),= sppB

(podľa definície B).

SS4 Pre každé T z Typ platí:

(INob(=T ))(x1, x2) =

{⊤B, ak x1 = x2,⊥B inak.

Nech pre každé j z {1, 2} platí xj = [wj ]fctTU , kde wj ∈ VarT . Potom platí:(INob(=T ))(x

1, x2) = ⊤B,akk (INob(=T ))([w

1]fctTU , [w2]fctTU ) = ⊤B,

akk [(w1 =T w2)]fctBoo

U= ⊤B

(podľa subsublemy 1),akk [(w1 =T w

2)]fctBooU

= [⊤]fctBooU

(podľa definície B),


akk [(w1 =T w2)]WVT ∈ U

(podľa vety 18),akk ⟨w1, w2⟩ ∈ fctTU

(podľa definície ∼fam T ),akk [w1]fctTU = [w2]fctTU ,akk x1 = x2.Keďže B je dvojprvková, tvrdenie je tým dokázané.

SS5 ICon(⊤) = ⊤B.

ICon(⊤)= [⊤]fctTU

(podľa subsublemy 2),= ⊤B


SS6 ICon(⊥) = ⊥B.

ICon(⊥)= [⊥]fctTU

(podľa subsublemy 2),= ⊥B


SS7 INob(¬) = ¬B.

Nech {φ,ψ} = {⊤,⊥}. Potom platí:(INob(¬))([φ]fctBoo

U)

= [¬φ]fctBooU

(podľa subsublemy 1),= [ψ]fctBoo

U

(podľa vety 17, keďže v jednom prípade platí T ⊢⊤↔¬⊥, lebo je to SAxFlsTru(), a v druhomT ⊢¬⊥↔⊤, a to podľa vety 2.17 o negácii, keďže T ⊢⊥↔¬⊤, lebo je to SAxFlsTru()),

= ¬B([φ]fctBooU

)

(v oboch prípadoch podľa definície B).

SS8 INob(∧) = ∧B.

Rozoberme prípady:I Nech φ ∈ {⊤,⊥}. Potom platí:

(INob(∧))([φ]fctBooU, [φ]fctBoo

U)

= [φ∧φ]fctBooU

(podľa subsublemy 1),= [φ]fctBoo

U

(podľa vety 17, keďže T ⊢ (φ∧φ)↔φ, lebo je to SAxCnjIdp(φ)),= ∧B([φ]fctBoo

U, [φ]fctBoo

U)

(v oboch prípadoch podľa definície B).I Nech {φ,ψ} = {⊤,⊥}. Potom platí:

(INob(∧))([φ]fctBooU, [ψ]fctBoo

U)

= [φ∧ψ]fctBooU

(podľa subsublemy 1),= [⊤∧⊥]fctBoo

U

(v jednom prípade len zopakované, v druhom podľa vety 17 a vety 2.2 o komutativite konjun-kcie),


= [⊥]fctBooU

(podľa viet 17 a 1.11, keďže ⊢ (⊤∧⊥)↔⊥, a to podľa vety 2.5 o rozklade ekvivalencie, lebo⊢ (⊤∧⊥)→⊥ platí podľa vety 15 a ⊢⊥→ (⊤∧⊥), lebo je to SAxImpFls(⊤∧⊥)),

= ∧B([φ]fctBooU, [ψ]fctBoo

U)

(v oboch prípadoch podľa definície B).

SS9 INob(∨) = ∨B.

Nech φ,ψ ∈ {⊤,⊥}. Potom platí:(INob(∨))([φ]fctBoo

U, [ψ]fctBoo

U)

= [φ∨ψ]fctBooU

(podľa subsublemy 1),= [¬(¬φ∧¬ψ)]fctBoo

U

(podľa vety 17, keďže T ⊢ (φ∨ψ)↔¬(¬φ∧¬ψ), lebo je to SAxDsjCnj(φ,ψ)),= ¬B([(¬φ∧¬ψ)]fctBoo

U)

(podľa už dokázanej časti pre ¬),= ¬B(∧B([¬φ]fctBoo

U, [¬φ]fctBoo

U))

(podľa už dokázanej časti pre ∧),= ¬B(∧B(¬B([φ]fctBoo

U),¬B([φ]fctBoo

U)))

(podľa už dokázanej časti pre ¬),= ∨B([φ]fctBoo

U, [ψ]fctBoo

U)


SS10 (INob(→))(x, y) = ¬Bx ∨B y, kde x, y ∈ sppB.

Nech x = [φ]fctBooU

a y = [ψ]fctBooU

, kde φ,ψ ∈ {⊤,⊥}. Potom platí:(INob(→))(x, y)

= (INob(→))([φ]fctBooU, [ψ]fctBoo

U)

= [φ→ψ]fctBooU

(podľa subsublemy 1),= [¬φ∨ψ]fctBoo

U

(podľa vety 17, keďže T ⊢ (φ→ψ)↔ (¬φ∨ψ), lebo je to SAxDsjImp(φ,ψ)),= ∨B([¬φ]fctBoo

U, [ψ]fctBoo

U)

(podľa už dokázanej časti pre ∨),= ∨B(¬B([φ]fctBoo

U), [ψ]fctBoo

U)

(podľa už dokázanej časti pre ¬),= ∨B(¬Bx, y),= ¬Bx ∨B y.

SS11 INob(↔) = INob(=Boo).

Nech φ1, φ2 ∈ {⊤,⊥}. Potom platí:(INob(↔))([φ1]fctBoo

U, [φ2]fctBoo

U)

= [φ1↔φ2]fctBooU

(podľa subsublemy 1),= [(φ1 =Boo φ

2)]fctBooU

(podľa vety 17, keďže T ⊢ (φ1 =Boo φ2)↔ (φ1↔φ2), lebo je to SAxExBEqv(φ1, φ2)),

= (INob(=Boo))([φ1]fctBoo

U, [φ2]fctBoo

U)

(podľa subsublemy 1).

SS12 Nech v ∈ Var a ψ ∈ Frm. Potom platí:

I [∃vψ]fctBooU

= max≤B{[ψv,u]fctBooU

: u ∈ Vartyp(v)}.I [∀vψ]fctBoo

U= min≤B{[ψv,u]fctBoo

U: u ∈ Vartyp(v)}.


I [∃vψ]fctBooU

= [⊤]fctBooU

,akk [∃vψ]WVT ∈ U

(podľa vety 18),akk existuje u z Vartyp(v) také, že [ψv,u]WVT ∈ U

(podľa sublemy 4),akk existuje u z Vartyp(v) také, že [ψv,u]fctBoo

U= [⊤]fctBoo

U

(podľa vety 18),akk max≤B{[ψv,u]fctBoo

U: u ∈ Vartyp(v)} = [⊤]fctBoo

U.

Keďže obe strany dokazovanej rovnosti môžu nadobúdať len dve hodnoty (z spp(B)), táto rovnosťnaozaj platí.

I [∀vψ]fctBooU

= [⊥]fctBooU

,akk [∀vψ]WVT /∈ U

(podľa vety 18),akk [¬∀vψ]WVT ∈ U

(podľa vety 14),akk [∃v¬ψ]WVT ∈ U

(podľa definície WVT , lebo T ⊢¬∀vψ↔∃v¬ψ, a to podľa vety 3.4),akk existuje u z Vartyp(v) také, že [(¬ψ)v,u]WVT ∈ U

(podľa vety 18),akk existuje u z Vartyp(v) také, že [¬ψv,u]WVT ∈ U

(podľa vety 23),akk existuje u z Vartyp(v) také, že [ψv,u)]WVT /∈ U

(podľa vety 11),akk existuje u z Vartyp(v) také, že [ψv,u]fctBoo

U= [⊥]fctBoo

U

(podľa vety 18),akk min≤B{[ψv,u]fctBoo

U: u ∈ Vartyp(v)} = [⊥]fctBoo

U.

Keďže obe strany dokazovanej rovnosti môžu nadobúdať len dve hodnoty (z spp(B)), táto rovnosťnaozaj platí.

SS13 Pre každé v z Var a V z Fun(ITyp(typ(v)), sppB) platí:

I ((ISym(∃v)))(V ) = max≤B(Rng(V )).I ((ISym(∀v)))(V ) = min≤B(Rng(V )).

Nech nastáva jedna z možností:I s = ∃v, m = max≤B , α = ⊥ a β = ⊤.I s = ∀v, m = min≤B , α = ⊤ a β = ⊥.

Rozoberme dva prípady:I Nech pre každé x z ITyp(typ(v)) platí V (x) = [α]fctBoo

U.

SS1 Pre ľubovoľné u z Vartyp(v) platí V ([u]fct

typ(v)U

) = [αv,u]fctBooU

.

V ([u]fct

typ(v)U

)

= [α]fctBooU

(podľa predpokladu),= [Idev,u(α)]fctBoo

U

(podľa vety 1.8.3, lebo v oboch prípadoch fve(α) = ∅),= [Idev,u(rbv

Varr{u}(α))]fctBooU

(v oboch prípadoch podľa definície rbvVarr{u}),= [αv,u]fctBoo

U

(podľa definície αv,u).Potom platí:


((ISym(s)))(V )

= [sα]fctBooU

(podľa subsubsublemy 1),= [α]fctBoo

U

(podľa vety 17, keďže podľa viet 3.26 a 1.11 platí v oboch prípadoch T ⊢ sα↔α, lebo v /∈ fve),= m({[α]fctBoo

U})

(v oboch prípadoch podľa definície m),= m(Rng(V ))

(podľa predpokladu).I Nech existuje x z ITyp(typ(v)) také, že V (x) = [β]fctBoo

U.

Nech e1 ∈ Frm. Rozoberme dva prípady:I Nech Rng(Gfam(s),V ) = ∅.

Existuje teda t z fam(s) a f1 z Frm také, že Gfam(s),V (t, f1) je definované. Nech bvt(t) = ⟨w⟩.Potom platí:((ISym(s)))(V )

= [tf1]fctBooU

(podľa definície ISym(s), lebo [tf1]fctBooU

= Gfam(s),V (t, f1), a teda [tf1]fctBooU

je podľasublemy 6 jediný prvok Rng(Gfam(s),V )),

= m({[(f1)w,u]fctBooU

: u ∈ Vartyp(w)})(podľa subsublemy 12),

= m({V ([u]fct

typ(w)U

) : u ∈ Vartyp(w)})(lebo Gfam(s),V (t, f1) je definované),

= m(V [ITyp(typ(w))])(podľa definície ITyp),

= m(Rng(V ))(lebo Dom(V ) = ITyp(typ(v)) = ITyp(typ(w))).

I Nech Gfam(s),V = ∅.Potom platí:((ISym(s)))(V )

= [β]fctBooU

(podľa definície ISym(s)),= m(Rng(V ))

(podľa predpokladu o V ).

SS14 Ak s1, s2 ∈ Sym a fam(s1) = fam(s2), tak ISym(s1) = ISym(s2).

Rozoberme dva prípady:I Nech s1, s2 ∈ Qua.

Tvrdenie vyplýva zo subsublemy 13.I Nech s1, s2 /∈ Qua.

Nech F = fam(s1) = fam(s2) a V ∈ BF . Rozoberme dva prípady:I Nech Rng(GF,V ) = ∅.

Podľa sublemy 6 platí Rng(GF,V ) = {x} pre nejaké x, takže podľa definície pre každé jz {1, 2} platí (ISym(sj))(V ) = x. Z toho už dostávame požadované tvrdenie.

I Nech Rng(GF,V ) = ∅.Podľa definície pre každé j z {1, 2} platí (ISym(sj))(V ) = Idfl(out(sj)). Z toho už dostávamepožadované tvrdenie.

Dokazované tvrdenie je zhrnutie subsublem 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13 a 14.

Nech C je I-ohodnotenie premenných také, že pre každé v z Var platí C(v) = [v]fct

typ(v)U

.

S8 Ak e ∈ Exp, tak C(e) = [e]fct

typ(e)U

.


Tvrdenie dokážeme matematickou indukciou cez počet symbolov, t. j. podľa vety 1.3.11. Rozoberme dvaprípady:I Nech nse(e) = 0.

To znamená, že e ∈ Var, a potom platí:C(e)

= C(e)(podľa definície C),

= [e]fct

typ(e)U

(podľa definície C).I Nech nse(e) > 0.

To znamená, že e = se1 . . . en, kde s ∈ Sym, ins(s) = ⟨T1, . . . , Tn⟩, out(s) = T , bvs(s) =⟨v1, . . . , vp⟩ a ⟨e1, . . . , en⟩ ∈ InRs.

SS1 Nech u1, …, up sú premenné také, že pre každé q z {1, . . . , p} platí typ(uq) = typ(vq). Nechi ∈ {1, . . . , n}. Potom nse(sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(ei)) < nse(e).

nse(sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(ei))

= nse(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(rbvVarr{u1,...,up}(ei)))

(podľa definície sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩ a definície fve),= nse(rbvVarr{u1,...,up}(ei))

(podľa vety 1.8.16, lebo pre každé v z Var platí nse(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(v)) = 0, a to podľadefinície nse, keďže Rng(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩) ⊆ Var),

= nse(ei)(podľa vety 20 o výmene viazaných premenných),

< nse(e)(podľa definície nse).

SS2 Nech u1, …, up sú premenné také, že pre každé q z {1, . . . , p} platí typ(uq) = typ(vq). Nechi ∈ {1, . . . , n}. Potom C⟨v1,...,vp⟩,C(u1),...,C(up)(ei) = [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(ei)]fctTi

U

.

C⟨v1,...,vp⟩,C(u1),...,C(up)(ei)

= C⟨v1,...,vp⟩,C(u1),...,C(up)(rbvVarr{u1,...,up}(ei))

(podľa vety 20 o výmene viazaných premenných),= C(Ide⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(rbv

Varr{u1,...,up}(e)))(podľa vety 1.8.12, keďže jej podmienka je podľa vety 21 splnená),

= C(sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(ei))(podľa definície sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩ a definície fve),

= [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(ei)]fctTiU

(podľa indukčného predpokladu, lebo podľa vety 1.5.14, ktorej podmienka je podľa subsublemy1 splnená, vety 15 a definície nse platí nse(sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(ei)) = nse(ei) < nse(e)).

Nech V je zobrazenie z Bfam(s) také, že

V (⟨m1, . . . ,mp⟩) = ⟨C⟨v1, . . . , vp⟩, ⟨m1, . . . ,mp⟩(e1), . . . , C⟨v1, . . . , vp⟩, ⟨m1, . . . ,mp⟩(en)⟩.

SS3 Gfam(s),V = [se1 . . . en]fctout(s)U

.

Nech u1, …, up sú premenné také, že pre každé q z {1, . . . , p} platí typ(uq) = typ(vq). Potomplatí:V (⟨[u1]fcttyp(u1)

U

, . . . , [up]fcttyp(up)

U

⟩)

= ⟨C⟨v1,...,vp⟩,[u1]fct

typ(u1)U

,...,[up]fct

typ(u1)U

(e1), . . . , C⟨v1,...,vp⟩,[u1]fct

typ(un)U

,...,[up]fct

typ(un)U

(en)⟩

(podľa definície V ),= ⟨C⟨v1,...,vp⟩,C(u1),...,C(up)(e1), . . . , C⟨v1,...,vp⟩,C(u1),...,C(up)(en)⟩

(pre každé i z {1, . . . , n} podľa definície C),


= ⟨[sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(e1)]fctT1U

, . . . , [sfs⟨v1,...,vp⟩,⟨u1,...,up⟩(en)]fctTnU⟩

(pre každé i z {1, . . . , n} podľa subsublemy 2).Z toho už podľa definície Gfam(s),V vyplýva požadované tvrdenie.

Potom platí:C(e)

= C(se1 . . . en),= (ISym(s))({⟨⟨m1, . . . ,mp⟩, ⟨C⟨v1, . . . , vp⟩, ⟨m1, . . . ,mp⟩(e1), . . . , C⟨v1, . . . , vp⟩, ⟨m1, . . . ,mp⟩(en)⟩⟩ :

⟨m1, . . . ,mp⟩ ∈ ITyp(typ(v1))× · · · × ITyp(typ(vp))})(podľa definície C),

= (ISym(s))(V )(podľa definície V ),

= [se1 . . . en]fctout(s)U

(podľa definície ISym, keďže ⟨e1, . . . , en⟩ a subsublemy 3),= [e]

fctout(s)U

,= [e]

fcttyp(e)U

.

S9 I je model T .

Nech ψ ∈ T . Podľa definície potom T ⊢ψ. Nech fve(ψ) = {v1, . . . , vp} a nech ξ = All⟨v1,...,vp⟩(ψ). Podľavety 1.12 o generalizácii potom T ⊢ ξ a podľa vety 1.6.7 fve(ξ) = fve(ψ)r {v1, . . . , vp} = ∅.

SS1 I |= ξ.

Nech E ∈ EvVI . Potom platí:E(ξ)

= C(ξ)(podľa vety 1.5.1, keďže fve(ξ) = ∅),

= [ξ]fctBooU

(podľa sublemy 9),= [⊤]≡Boo

(podľa vety 18, lebo [ξ]WVT ∈ U , a to podľa vety 13, keďže T ⊢ ξ).Podľa definície už dostávame I |= ξ a podľa vety 1.7.2 I |=ψ.

S10 I |=φ.

Postupne platí:C(φ)

= [φ]fctBooU

(podľa sublemy 8),= [⊥]≡Boo

(podľa vety 18, keďže [φ]WVT /∈ U).Keďže C je I-ohodnotenie, platí I |=φ.

Zo sublem 7, 9 a 10 už vyplýva platnosť dokazovanej vety.

Documents

A1 Matematická indukciakrajci/skola/vyucba/ucebneTexty/... · 2014-07-12 · A1 Matematická indukcia Predstavme si sadu niekoľkých (tisícov) dominových tehličiek, ktoré máme