Matematická analýza 1 (velmi předběžná verze)

Matematick analza 1(velmi pedbn verze)

9. bezna 2018

L. Pick, S. Hencl, J. Spurn a M. Zelen

Obsah

Pedmluva vii

Kapitola 1. Logika, mnoiny a zkladnseln obory 1

1.1. Logika 11.2. Zkladn metody dkaz 111.3. Mnoiny 171.4. Relace uspodn a zobrazen 201.5. Mnoina relnch sel 261.6. Vlastnosti relnch sel 301.7. Konen a spoetn mnoiny 411.8. Vlastnosti elementrnch funkc 501.9. Teoretick a poetn pklady 57

Kapitola 2. Limita posloupnosti 712.1. vod 712.2. Vlastn limita posloupnosti 752.3. Nevlastn limita posloupnosti 912.4. Hlub vty o limitch 1022.5. Teoretick pklady k limit posloupnosti 1122.6. Poetn pklady k limit posloupnosti 122

Kapitola 3. seln ady 1433.1. Zkladn pojmy 1433.2. ady s nezpornmi leny 1483.3. ady s obecnmi leny 1553.4. Absolutn konvergence ad 1613.5. Perovnn ad 1643.6. Souin ad 1743.7. Zobecnn ady 1773.8. Teoretick pklady k selnm adm 1923.9. Poetn pklady k selnm adm 214

iii

iv OBSAH

Kapitola 4. Limita a spojitost funkce 2294.1. Definice a zkladn vlastnosti 2294.2. Vty o limitch 2364.3. Funkce spojit na intervalu 2454.4. Teoretick pklady k limit funkce 2504.5. Poetn pklady k limit funkce 262

Kapitola 5. Derivace a elementrn funkce 2755.1. Zkladn vlastnosti derivace 2755.2. Vty o stedn hodnot 2885.3. lHospitalovo pravidlo 2925.4. Monotnn a konvexn funkce 3005.5. Teoretick pklady k derivaci funkce 3115.6. Poetn pklady k derivaci funkce 330

Kapitola 6. Elementrn funkce 3936.1. Exponenciln funkce a logaritmus 3936.2. Goniometrick funkce 3996.3. Cyklometrick funkce 408

Kapitola 7. Taylorv polynom 4137.1. Zkladn vlastnosti 4137.2. Symbol mal o 4207.3. Taylorovy a Maclaurinovy ady elementrnch funkc 4247.4. Teoretick pklady k Taylorovu polynomu 4337.5. Poetn pklady k Taylorovu polynomu 438

Kapitola 8. Mocninn ady 4478.1. Zkladn vlastnosti 4478.2. Derivace mocninn ady 4508.3. Abelova vta 4558.4. Teoretick pklady na mocninn ady 4598.5. Poetn pklady na mocninn ady 461

Kapitola 9. Integrl 4719.1. Primitivn funkce 4719.2. Riemannv integrl 4939.3. Newtonv integrl 5109.4. Konvergence Newtonova integrlu 5199.5. Aplikace uritho integrlu 5289.6. Teoretick pklady na integrl 5339.7. Poetn pklady na integrl 550

OBSAH v

Kapitola 10. Metrick prostory 58510.1. Zkladn pojmy 58510.2. Konvergence v metrickch prostorech 59310.3. Topologick pojmy v metrickch prostorech 59610.4. Spojit zobrazen mezi metrickmi prostory 60710.5. Kompaktn prostory 61410.6. pln prostory 62210.7. Separabiln prostory 64710.8. Souvisl prostory 65110.9. Souin metrickch prostor 65810.10. Teoretick pklady k metrickm prostorm 658

Kapitola 11. Funkce vce promnnch 67511.1. Parciln derivace a totln diferencil 67511.2. Parciln derivace a diferencily vych d 69211.3. Vty o implicitn zadanch funkcch 70511.4. Lokln extrmy funkce vce promnnch 71211.5. Regulrn zobrazen 71511.6. Teoretick pklady 71711.7. Poetn pklady k funkcm vce promnnch 722

Kapitola 12. Stejnomrn konvergence posloupnost a ad funkc 76712.1. Stejnomrn konvergence posloupnost funkc 76712.2. Weierstrassova vta 77612.3. Stejnomrn konvergence ad funkc 78012.4. Teoretick pklady ke stejnomrn konvergenci posloupnost

a ad funkc 78712.5. Poetn pklady ke stejnomrn konvergenci posloupnost a

ad funkc 795

Kapitola 13. Diferenciln rovnice 81313.1. Diferenciln rovnice se separovanmi promnnmi 81313.2. Linern diferenciln rovnice prvnho du 82013.3. Linern diferenciln rovnice n-tho du s konstantnmi

koeficenty 82113.4. Soustavy diferencilnch rovnic 82913.5. Soustavy linernch diferencilnch rovnic 84213.6. een linernch soustav s konstantnmi koeficienty 84513.7. Poetn pklady na diferenciln rovnice 850

Kapitola 14. Kivkov a plon integrl 87114.1. Hausdorffovy mry 871

vi OBSAH

14.2. Hlavn vta teorie pole 891

Kapitola 15. Absolutn spojit funkce a funkce s konenou variac 89315.1. Pehled vsledk z teorie mry a integrlu 89315.2. Derivace monotnn funkce 89315.3. Funkce s konenou variac 89815.4. Absolutn spojit funkce 900

Kapitola 16. Fourierovy ady 90916.1. Luzinova vta a jej dsledky 90916.2. Zkladn pojmy Fourierovch ad 91216.3. Cesarovsk statelnost Fourierovch ad 91616.4. Bodov konveregence Fourierovch ad 92216.5. Fourierovy ady v Hilbertovch prostorech 92716.6. Teoretick pklady k Fourierovm adm 93416.7. Poetn pklady k Fourierovm adm 939

Literatura 949

Pedmluva

Tento text je velmi nedokonalou verz budoucch skript. Nkter jehosti budou jet vrazn revidovny. Pesto snad me pomoci studentmMFF UK v prvnm ronku pi pprav na zkouku.

vii

KAPITOLA 1

Logika, mnoiny a zkladnseln obory

1.1. Logika

1.1.1. Logika je vda o formln sprvnostimylen. Formln logick sprv-nost spov ve sprvnosti vyvozen zvru z pedpoklad. V tomto oddluse budeme zabvat logikou vrokovou a prediktovou.

1.1.2. Vrok je tvrzen, o kterm m smysl ci, e je pravdiv (plat) ne-bo nen pravdiv (neplat). Pokud vrok plat, kme, e m pravdivostnhodnotu 1, pokud neplat, kme, em pravdivostn hodnotu 0. Pouze n-kter sprvn utvoen gramatick vty jsou vroky. Vty slo 4 je sud.a Praha je hlavn msto Kanady. jsou vroky, naproti tomu Ahoj! neboK by u byl konec. nikoli. Tvrzen slo je iracionln. je vrok, ikdy zatm nen znmo, zda pravdiv i nepravdiv. Z vrok lze vytvetnov sloitj vroky pomoc logickch operac. Se zkladnmi logickmioperacemi se nyn seznmme.

1.1.3. Negac vroku A rozumme vrok Nen pravda, e plat A. K vy-jden negace vroku A meme tak pout obrat Neplat A., ppadnzmnit pslun sloveso ve vroku pomoc pedpony ne-. Negaci vrokuA zname :A. Je-li vrok A pravdiv, pak je vrok :A nepravdiv. Je-livrok A nepravdiv, pak je vrok :A pravdiv.

1.1.4. Konjunkc vrok A a B nazveme vrok Plat A a zrove plat B.Dle pouvme tak obraty Plat A a plat B., Plat A i B. Konjunkcivrok A a B zname A ^ B, nkdy tak A&B. Pokud jsou pravdiv obavroky A a B, pak je konjunkce A ^ B pravdiv. Pokud je alespo jeden zvrok A a B nepravdiv, pak je konjunkce A ^ B nepravdiv.

1.1.5. Disjunkc vrok A a B nazveme vrok Plat A nebo plat B. Dis-junkci vrok A a B zname A_B. Pokud je alespo jeden z vrok A a Bpravdiv, pak je disjunkce A_B pravdiv. Pokud jsou oba vrokyA a B ne-pravdiv, pak je disjunkce A _ B nepravdiv. Poznamenejme, e disjunkce

1

2 1. LOGIKA, MNOINY A ZKLADN SELN OBORY

nen vyluujc, to znamen, e je pravdiv i v ppad, kdy plat oba vrokyA a B zrove. Takto pouvme spojku nebo v matematice na rozdl odpirozenho jazyka, kde me mt i vznam vyluovac.

1.1.6. Implikac nazvme vrok Jestlie plat (vrok) A, potom plat (v-rok) B. Takov spojen vrok A a B zname A ) B. Pokud A neplatnebo oba vroky A i B plat, pak jde o pravdiv vrok. Pokud A plat a Bneplat, pak jde o vrok nepravdiv. Vroku A kme pedpoklad a vro-ku B zvr. Msto vroku Jestlie plat A, potom plat B. pouvme taknsledujc obraty.

Jestlie plat vrok A, pak plat vrok B. Vrok A implikuje vrok B. Z vroku A plyne vrok B. Pedpokldejme, e plat vrok A, potom plat vrok B. Nech plat vrok A. Potom plat vrok B. Vrok A je postaujc podmnkou pro platnost vroku B. Vrok B je nutnou podmnkou pro platnost vroku A.

Je-li pedpoklad A nepravdiv, pak implikace A ) B plat vdy bezohledu na platnost zvru B. Jinmi slovy, z nepravdivho vroku plynejakkoliv jin vrok. Tato skutenost me nkdy psobit pote, kter vy-plvaj z rozdlnho pouvn obratu Jestlie platA, pak platB. v logicea v pirozenm jazyce. V bn ei pouvme tento obrat zpravidla tehdy,existuje-li njak vcn souvislost mezi pedpokladem A a zvrem B, za-tmco v logice pouvme tento obrat i ke spojen vrok, kde takov souvis-lost nemus existovat, napklad Jestlie je medvd ryba, pak jsou Athnyv Egypt. Pravdivost takovho vroku v logice zvis pouze na pravdivost-nch hodnotch pedpokladu a zvru. Akoliv pravdivost takovch vrokme psobit nezvykle, je formln logick pojet implikace v matematicevelmi uiten. Podrobnj vysvtlen lze nalzt napklad v [18, II.8].

1.1.7. Ekvivalenc vrok A a B nazvme vrok Vrok A plat prv teh-dy, kdy plat vrok B. Ekvivalenci vrok A a B zname A , B. PokudA aB maj stejnou pravdivostn hodnotu, pak jeA , B pravdiv vrok. Po-kud nemaj A a B stejnou pravdivostn hodnotu, pak je A , B nepravdivvrok. Msto Vrok A plat prv tehdy, kdy plat vrok B. pouvmetak nsledujc obraty.

Vrok A plat tehdy a jen tehdy, kdy plat vrok B. Vrok A je ekvivalentn s vrokem B. VrokA je nutnou a postaujc podmnkou pro platnost vrokuB.

1.1.8. Nsledujc tabulky uvdj pravdivostn hodnoty ve definovanchlogickch operac v zvislosti na pravdivosti vrok A a B.

1.1. LOGIKA 3

A :A

0 1

1 0

A B A ^ B A _ B A ) B A , B

0 0 0 0 1 1

0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

1.1.9. Pro zjednoduen zpisu bude mt mezi logickmi operacemi negacepednost ped ostatnmi operacemi. Napklad zpis :A ) B znamen.:A/ ) B.

1.1.10. Vta (vlastnosti negace, konjunkce a disjunkce). Nech A, B a Cjsou vroky. Potom jsou nsledujc vroky vdy pravdiv bez ohledu napravdivost vrok A, B, C .

(a) :.:A/ , A(b) .A ^ B/ , .B ^ A/(c)

.A ^ B/ ^ C

,A ^ .B ^ C/

(d) .A _ B/ , .B _ A/(e)

.A _ B/ _ C

,A _ .B _ C/

(f)

A _ .B ^ C/

,.A _ B/ ^ .A _ C/

(g)

A ^ .B _ C/

,.A ^ B/ _ .A ^ C/

Dkaz. (a) Pedpokldejme nejprve, e vrok A je nepravdiv. Potom je v-rok :A pravdiv a vrok :.:A/ je nepravdiv. Vroky A a :.:A/maj stej-nou pravdivostn hodnotu, take je vrok :.:A/ , A pravdiv.

Nyn pedpokldejme, e vrok A je pravdiv. Potom je vrok :A ne-pravdiv a vrok :.:A/ je pravdiv. Vroky A a :.:A/ maj stejnou prav-divostn hodnotu, take je vrok :.:A/ , A opt pravdiv. Tm je dkazproveden. Pedchoz vahu lze pehlednji zapsat pomoc nsledujc ta-bulky.

A :A :.:A/ :.:A/ , A

0 1 0 1

1 0 1 1

(b)Kad z vrokA aBme bt pravdiv nebo nepravdiv. Pouijeme-li stejn postup jako v pedchozm ppad, je teba projt celkem tyi p-pady. Tyto ppady spolu s pravdivostnmi hodnotami pslunch vrokjsou zachyceny v nsledujc tabulce.

A B A ^ B B ^ A .A ^ B/ , .B ^ A/

0 0 0 0 1

0 1 0 0 1

1 0 0 0 1

1 1 1 1 1


Posledn sloupec pravdivostnch hodnot obsahuje pouze pravdivostn hod-notu 1, take uvaovan ekvivalence je vdy pravdiv.

(c) Podobn jako v pedchozm ppad sestavme pslunou tabulku.Zde je ji celkem osm monost pravdivostnch hodnot pro trojici vrokA, B a C .

A B C A ^ B B ^ C .A ^ B/ ^ C A ^ .B ^ C/

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

Posledn dva sloupce pravdivostnch hodnot jsou shodn, take dokazova-n ekvivalence je vdy pravdiv.

Ppady (d)(g) lze odvodit zcela obdobn a pslun tabulky zde jiuvdt nebudeme.

1.1.11. Tvrzen (b) a (c) Vty 1.1.10 ukazuj, e pokud chceme postupnspojit vroky A1; : : : ; An pomoc konjunkce, nezle na poad, v jakmuvaovan vroky spojme. Napklad vroky

A1 ^.A2 ^ A3/ ^ A4

;

.A4 ^ A3/ ^ A1

^ A2

jsou ekvivalentn. V takovch ppadech pak pouvme jednodu zpisA1 ^A2 ^ ^An. Tvrzen (d) a (e) Vty 1.1.10 umouj zaveden obdob-nho zpisu A1 _A2 _ _An pro disjunkci. V ppad konjunkce dokoncenkdy vynechvme symbol ^ a vroky pouze oddlujeme rkami. Nap-klad vrok Plat vroky A1; A2; A3. znamen Plat vrok A1 ^ A2 ^ A3.

1.1.12.Vta (negace konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence). NechA a B jsou vroky. Potom jsou nsledujc vroky vdy pravdiv bez ohleduna pravdivost vrok A a B.

(a) :.A ^ B/ , .:A _ :B/(b) :.A _ B/ , .:A ^ :B/(c) :.A ) B/ , .A ^ :B/(d) :.A , B/ , .A , :B/

Dkaz. Pomoc tabulky pravdivostnch hodnot ukame napklad platnost(d). Pravdivost vrok (a)(c) lze dokzat obdobn.

1.1. LOGIKA 5

A B A , B :.A , B/ A , :B

0 0 1 0 0

0 1 0 1 1

1 0 0 1 1

1 1 1 0 0

Posledn dva sloupce jsou shodn, a tedy vrok :.A , B/ , .A , :B/je vdy pravdiv.

1.1.13. Vta (vztah implikace a ekvivalence). Nech A a B jsou vroky. Po-tom jsou vroky A , B a .A ) B/ ^ .B ) A/ ekvivalentn, tj. vrok

A , B

,.A ) B/ ^ .B ) A/

(1.1)

je vdy pravdiv bez ohledu na pravdivost vrok A a B.

Dkaz. Opt pouijeme tabulku pravdivostnch hodnot.

A B A ) B B ) A .A ) B/ ^ .B ) A/ A , B

0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

Posledn dva sloupce jsou shodn, a vrok (1.1) je tedy vdy pravdiv.

1.1.14. Vta. Nech A, B a C jsou vroky. Potom jsou nsledujc vrokyvdy pravdiv bez ohledu na pravdivost vrok A, B, C .

(a) .A ) B/ , .:B ) :A/(b) .A ) B/ , .:A _ B/(c)

.A _ B/ ) C

,.A ) C/ ^ .B ) C/

Dkaz. Tvrzen plynou z nsledujcch tabulek pravdivostnch hodnot.

(a)

A B :A :B A ) B :B ) :A .A ) B/ , .:B ) :A/

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 0 0 1 1 1

(b)


A B :A A ) B :A _ B .A ) B/ , .:A _ B/

0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1

1 1 0 1 1 1

(c)

A B C A _ B .A _ B/ ) C A ) C B ) C .A ) C/ ^ .B ) C/

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 0 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1 0

1 0 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

Sloupec pravdivostnch hodnot odpovdajc vroku .A_B/ ) C je shodns poslednm sloupcem, a proto je vrok v bod (c) vdy pravdiv.

1.1.15. Tvrzen slo x je lich., kde x je promnn, je gramatickou vtou,nicmn nen vrokem, protoe jej nelze potvrdit ani vyvrtit. Z uvedenhotvrzen se stane vrok, pokud promnnou x nahradme konkrtnm slem,napklad slo 7 je lich. Prv uveden pklad motivuje nsledujc de-finici.1.1.16. Definice. Vrokov forma V.x1; : : : ; xn/ je vraz, z nho vznik-ne vrok, kdy za promnn x1; : : : ; xn dosadme po ad prvky z danchmnoinM1;M2; : : : ;Mn. Takovou vrokovou formu s n promnnmi a p-slunmi mnoinamiM1;M2; : : : ;Mn zname

V.x1; : : : ; xn/; x1 2 M1; x2 2 M2; : : : ; xn 2 Mn:

1.1.17. Pojemmnoiny v pedchoz definici pouvme v intuitivnm smys-lu. Pro nae vahy nm zatm posta toto (ne zcela pesn) vymezen:Mno-inou rozumme kad shrnut uritch a navzjem rznch objekt (kter nazvme prvky)do jedinho celku. Je-li a prvkem mnoiny A, pak peme a 2 A. Pokud a nenprvkem A, peme a A. Jestlie kad prvek mnoiny A je i prvkem mno-iny B, potom kme, e A je podmnoinou B a peme A B. Przdnoumnoinou nazveme mnoinu, kter neobsahuje dn prvek. Zpesujcvklad je uveden v Oddlu 1.3 a Dodatku ??.

1.1.18. Nech vrokov forma V m tvar x je hlavn msto esk republi-ky, kde za x dosazujeme prvky zmnoiny vech eskchmst. PakV.Praha/je pravdiv vrok, ale vrok V.Plze/ neplat.

1.1. LOGIKA 7

1.1.19.Poznmka. Prediktem v logice rozumme vlastnost, kterou njak-mu pedmtu pisuzujeme, nebo mu ji uprme. V Pkladu 1.1.18 je predi-ktem bt hlavnmmstemesk republiky. Prediktov logika se vnujestudiu predikt a vyetovn vlastnost kvantifikace. Pojmem kvantifikacese nyn budeme zabvat.

1.1.20. Definice. Nech V.x/, x 2 M , je vrokov forma a P M .(a) Vrok Pro kad x 2 P plat V.x/. symbolicky zapisujeme ve tvaru

8x 2 P W V.x/:

Symbol 8 nazvme obecnm kvantifiktorem.(b) Vrok Existuje x 2 P takov, e plat V.x/. zapisujeme ve tvaru

9x 2 P W V.x/:

Symbol 9 nazvme existennm kvantifiktorem.(c) Vrok Existuje prv jedno x 2 P takov, e plat V.x/. zapisujeme

ve tvaru9x 2 P W V.x/:

1.1.21. Poznmka. Z typografickho hlediska vznikly symboly 8 a 9 oto-enm psmen A a E. Psmeno A vychz z nmeckho slova allgemein, a ps-meno E patrn z francouzskho slova exister.

1.1.22 (kvantifikace pes przdnou mnoinu). Nech V.x/, x 2 M , je vro-kov forma. Jestlie P je przdn mnoina, potom vrok

8x 2 P W V.x/

povaujeme za pravdiv. Na druh stran vrok

9x 2 P W V.x/

je zejm nepravdiv.

1.1.23. Pokud m vrokov forma vce promnnch, meme z n pomockvantifiktor vytvoit nov vrokov formy s menm potem promnnchnebo dokonce vroky. Mjme vrokovou formu V.x; y/, x 2 M1; y 2 M2.Nyn meme vytvoit nov vrokov formy s jednou promnnou napkladtakto:

8x 2 M1 W V.x; y/; 9x 2 M1 W V.x; y/;

8y 2 M2 W V.x; y/; 9y 2 M2 W V.x; y/:

Vprvnm dku jde o vrokov formy s promnnou y a ve druhm s promn-nou x. Z tchto forem lze utvoit vroky pouitm dalho kvantifiktoru,napklad

8x 2 M1 W8y 2 M2 W V.x; y/

; 9y 2 M2 W

9x 2 M1 W V.x; y/

:


Vroky uvedenho typu zapisujeme zpravidla jednodueji nsledujcm zp-sobem:

8x 2 M1 8y 2 M2 W V.x; y/; 9y 2 M2 9x 2 M1 W V.x; y/:

Obdobnmeme pomoc kvantifiktor vytvet vrokov formy a vrokyz vrokov formy s vce ne dvma promnnmi.

1.1.24 (intuitivn pojet matematick logiky). V naem textu se pidrmeintuitivnho vznamu kvantifiktor, tj. vyuijeme toho, jak v bn ei ro-zumme obratm pro kad x a existuje x. Nebudeme tedy usilovat oist formln pojet matematick logiky, nebo takov pstup by pro svounronost nebyl pimen naemu textu. Proto nkter vlastnosti kvanti-fiktor z tohoto oddlu nebudeme dokazovat, nicmn by tyto vlastnostimly bt intuitivn zejm. V knize [16] je mon se seznmit s precizn v-stavbou matematick logiky a jejmi hlubokmi vsledky. Kniha vak ped-pokld obeznmenost s vy matematikou.

1.1.25 (zen vrokov formy). Uveme nejprve dv nsledujc vlastnos-ti. Nech V.x/; x 2 M1, je vrokov forma aM2 M1. Potom plat:

(a)8x 2 M1 W V.x/

)8x 2 M2 W V.x/

,

(b)9x 2 M2 W V.x/

)9x 2 M1 W V.x/

.

Vrok (a) k, e pokud vrok V.x/ plat pro kad prvek x mnoiny M1,pak plat i pro kad prvek x z mnoiny M2. Vrok (b) tvrd, e pokud vpodmnoin M2 existuje prvek x takov, e V.x/ plat, pak takov prveknalezneme i v mnoinM1.

1.1.26 (poad kvantifiktor). Uveme dle ti zkladn vlastnosti tkajcse poad kvantifiktor, kter budeme asto pouvat. Nech V.x; y/; x 2M1; y 2 M2 je vrokov forma. Potom plat:

8x 2 M1 8y 2 M2 W V.x; y/

,8y 2 M2 8x 2 M1 W V.x; y/

,

9x 2 M1 9y 2 M2 W V.x; y/

,9y 2 M2 9x 2 M1 W V.x; y/

,

9x 2 M1 8y 2 M2 W V.x; y/

)8y 2 M2 9x 2 M1 W V.x; y/

.

Prvn dv vlastnosti kaj, e poad kvantifiktor stejnho typu lze zam-ovat, ani by se zmnila pravdivostn hodnota vroku. V posledn ze tve uvedench formul je vak pouze implikace, nikoli ekvivalence. Poadobecnho kvantifiktoru a existennho kvantifiktoru toti obecn zamnitnelze, jak ukazuje nsledujc pklad.

Nech A.m; d/;m 2 M;d 2 D, zna vrokovou formu

Mu m je otcem dtte d ., m 2 M;d 2 D;

kdeM je mnoina vech mu a D je mnoina vech dt. Vroky

8d 2 D 9m 2 M W A.m; d/; 9m 2 M 8d 2 D W A.m; d/

1.1. LOGIKA 9

se li pouze poadm kvantifiktor. Prvn vrok k, e kad dt msvho otce. Druh vrok tvrd, e existuje mu, kter je otcem vech dt.Pravdivostn hodnoty tchto vrok se tedy li.

1.1.27. Oznaen. Nech V.x; y/ je vrokov forma, kde za promnn xa y bereme prvky mnoiny A. V takovm ppad vzhledem k zmnnostikvantifiktor stejnho typu pouvme asto msto zpisu

8x 2 A 8y 2 A W V.x; y/

zpis8x; y 2 A W V.x; y/:

Podobn msto

9x 2 A 9y 2 A W V.x; y/

peme zkrcen9x; y 2 A W V.x; y/:

Tuto konvenci budeme zejmm zpsobem pouvat i ve formulch, kterobsahuj vce ne dva kvantifiktory.

1.1.28. Oznaen. Nech V a P jsou vrokov formy s promnnou x 2 M .Zpis

8x 2 M;P.x/ W V.x/; (1.2)oznauje vrok

8x 2 M WP.x/ ) V.x/

:

Vrok (1.2) teme: Pro kad x zM splujc P plat V.x/. Zpis

9x 2 M;P.x/ W V.x/ (1.3)

oznauje vrok9x 2 M W

P.x/ ^ V.x/

:

Vrok (1.3) teme: Existuje x z M splujc P , pro kter plat V.x/. Ob-dobn zpis pouvme i v ppad, e V je vrokov forma o vce ne jednpromnn. Ve uveden mluva zjednoduuje a zpehleduje zpis formu-l.

1.1.29 (negace vrok s kvantifiktory). Nech V a P je vrokov forma spromnnou x 2 M . Negaci vroku

8x 2 M W V.x/

lze zapsat ve tvaru9x 2 M W :V.x/;


piem :V zna vrokovou formu, kter po dosazen za promnnou xuruje vrok :

V.x/

. Podobn negaci vroku

9x 2 M W V.x/

lze zapsat ve tvaru

8x 2 M W :V.x/:

Negovat vrok8x 2 M;P.x/ W V.x/;

znamen negovat vrok

8x 2 M WP.x/ ) V.x/

:

Po proveden negace dostaneme

9x 2 M W :P.x/ ) V.x/

;

take podle Vty 1.1.12(c)

9x 2 M WP.x/ ^ :V.x/

:

Posledn formuli lze pepsat ve tvaru

9x 2 M;P.x/ W :V.x/:

Podobn lze odvodit, e negace vroku

9x 2 M;P.x/ W V.x/

m tvar

8x 2 M;P.x/ W :V.x/:

Pokud negujeme vrok, kter obsahuje vce kvantifiktor, postupuje-me tak, e ve formuli zamnme obecn kvantifiktory za existenn, exis-tenn za obecn a znegujeme vrokovou formu. Sprvnost postupu vypl-v z pedchozho vkladu.

1.1.30. Negaci vroku

8x 2 M1 9y 2 M2 8 2 M3 W V.x; y; /

lze zapsat ve tvaru

9x 2 M1 8y 2 M2 9 2 M3 W :V.x; y; /:

Dal pklady jsou uvedeny v Oddlu 1.9.

1.2. ZKLADN METODY DKAZ 11

1.2. Zkladn metody dkaz

1.2.1. Mnoinu vech pirozench sel, tj. mnoinu vech sel 1, 2, 3; : : : ,budeme znait N, mnoinu vech celch sel Z, mnoinu vech racionl-nch sel, tj. mnoinu sel tvaru p

q, kde p 2 Z a q 2 N, budeme znait

Q a mnoinu vech relnch sel R. Iracionlnm slem rozumme ka-d reln slo, kter nen racionln. sla z uvedench mnoin memeporovnvat mezi sebou podle velikosti, stat, odetat, nsobit a dlit. Prorovnost relnch sel budeme pouvat standardn symbol D a pro nerov-nosti symboly , , . Pro uveden operace pak symboly C (plus), (minus), (krt) a (zlomkov ra). Budeme pedpokldat znalost z-kladnch vlastnost tchto mnoin na rovni stedokolsk matematiky, tj.zejmna znalost vlastnost poetnch operac. Tak pouijeme tvrzen, emnoina pirozench sel je rovna mnoin vech celch sel, kter jsouvt ne 0, a slo 1 je nejmen pirozen slo, tj. pro kad n 2 N platn 1. O mnoinch N;Z;Q a R zde hovome zejmna proto, abychomje mohli pouvat v ilustranch pkladech tohoto oddlu. Jejich pesnmuzaveden se budeme vnovat v Oddlu 1.5 a Dodatku ??. Logick strukturahlavn linie vkladu vak nebude naruena pouvnm dosud nedefinova-nch pojm a nedokzanch tvrzen.

1.2.2. V matematice vychzme z nkolika zkladnch tvrzen, kter nedo-kazujeme. Takov tvrzen nazvme axiomy. Vechna dal tvrzen jsou po-tom odvozovna z axiom a tvrzen ji dokzanch. Matematick tvrzen,kter povaujeme za dleit nebo zajmav samo o sob, vtinou nazv-me vtou. K oznaen tvrzen, kter m pomocn charakter, tj. potebuje-me jej pouze k dkazu jinch tvrzen, pouvme zpravidla slovo lemma.1Definice vymezuj nov pojmy, vty a lemmata hovo o vlastnostech tch-to pojm a vztazch mezi nimi. Matematick teorie je tak tvoena axiomy,definicemi, vtami, lemmaty a dkazy. Podrobnj vklad o axiomech i sa-motnm jazyce matematiky je uveden v Dodatku ??.

Nejastji bv matematick vta formulovna ve tvaru implikace, tj.pokud plat pedpoklad A, pak plat zvr B. Dkazem je pak posloupnostsprvnch vah vedoucch od pedpoklad vty k jejmu zvru. Mezi z-kladn typy dkaz pat:

pm dkaz, nepm dkaz, dkaz sporem, dkaz rozborem ppad,

1Slovo lemma je stednho rodu.


dkaz matematickou indukc.

Tyto postupy nyn strun vysvtlme a vklad doplnme pklady. Uve-me jet, e u sloitjch dkaz je asto nutn pout i nkolika z veuvedench postup a vzjemn je kombinovat.

1.2.3 (pm dkaz). Mjme matematickou vtu ve tvaru implikace A ) Bpro jist vroky A a B. Pi pmm dkazu postupujeme takto: Pedpokl-dme, e vrok A plat. Odtud odvodme platnost jistho vroku C1, po-moc C1 dokeme pravdivost jistho vroku C2, z nho pak dokeme C3a tak dle, a z pedpokladu platnosti vroku Cn dokeme vrok B. Od-vodili jsme tedy nsledujc etz implikac

A ) C1; C1 ) C2; C2 ) C3; : : : ; Cn1 ) Cn; Cn ) B;

ze kterho ji plyne platnost implikace A ) B. Chceme-li dokzat njakouvtu pmm dkazem, je na ns, abychom nalezli vhodn stedn lenyC1; : : : ; Cn, kter nm umon z pedpokladu odvodit zvr. Jak je hledatv konkrtnm ppad, na to bohuel dn nvod i dokonce algoritmusneexistuje. Matematika je tvr innost a bez urit mry dvtipu dnounovou vtu dokzat nelze.

1.2.4 (nepm dkaz). Tento typ dkazu je zaloen na ekvivalenci vrokA ) B a :B ) :A (viz Vtu 1.1.14(a)). Plat-li druh vrok, pak plati prvn. Sta tedy nalzt jakkoli dkaz druhho vroku.

1.2.5 (dkaz sporem). Tatometoda je zaloena na ekvivalenci vrokA ) Ba :.A ^ :B/ (viz Vtu 1.1.12(c)). Pi tomto zpsobu dokazovn pedpo-kldme platnost vroku A ^ :B. Pokud se nm z nho poda odvoditvrok C , kter je neplatn, pak neme platit ani vrok A^ :B (z platnhovroku nelze odvodit vrok neplatn). Plat tedy :.A^:B/, neboliA ) B.

1.2.6 (dkaz rozborem ppad). M-li dokazovan tvrzen tvar .A_B/ )C , pak podle Vty 1.1.14(c) sta dokzat tvrzenA ) C aB ) C . V tomtodkazu tedy nejprve dokazujeme zvr C za pedpokladu, e plat A. Pakdokazujeme C za pedpokladu, e plat B. Pi aplikaci tto metody je tedyteba zapsat pedpoklad vty ve tvaru A_B tak, abychom pak mohli snzeodvodit A ) C a B ) C . Ani zde nen k dispozici dn algoritmus, jaktakov A a B nalzt, a je teba pout vlastnho dvtipu.

1.2.7 (dkaz matematickou indukc). Metodu dkazu matematickou in-dukc lze pout k dkazu vroku tvaru

8n 2 N W V.n/; (1.4)


kde V.n/, n 2 N, je vrokov forma. V prvnm kroku matematick indukcedokeme platnost vroku V.1/. Ve druhm kroku pak dokeme vrok

8n 2 N WV.n/ ) V.nC 1/

;

neboli pedpokldme platnost V.n/ (tzv. indukn pedpoklad) a odvo-dme platnost V.n C 1/. Z tchto dvou krok pak vyplv platnost vro-ku (1.4).

V ppad, e chceme dokzat vrok tvaru

8n 2 Z; n n0 W V.n/;

kde n0 2 Z a V.n/, n 2 fj 2 ZI j n0g, je vrokov forma, pak v prvnmkroku matematick indukce dokeme platnost vroku V.n0/. Ve druhmkroku pak dokeme vrok

8n 2 Z; n n0 WV.n/ ) V.nC 1/

:

Korektnost tto dkazovmetody podstatn souvis s konstrukcemimno-iny pirozench sel a mnoiny celch sel, kterm se budeme vnovat vDodatku ??.

1.2.8 (dkaz plnou matematickou indukc). Nech V.n/; n 2 N, je vro-kov forma. Vrok

8n 2 N W V.n/ (1.5)je nkdy mon dokzat pomoc pln matematick indukce, kter sestvz oven nsledujcch tvrzen:

(a) plat V.1/,(b) pro kad n 2 N plat

8j 2 N; j n W V.j /

) V.nC 1/:

Krok (b) pln matematick indukce se li od druhho kroku matematickindukce popsan v paragrafu 1.2.7 v tom, e msto abychom pedpokldaliplatnost pouze V.n/, pedpokldme, e plat vroky V.1/; V .2/; : : : ; V .n/.

Pedpokldejme, e plat (a) a (b). Ukeme, e pak plat (1.5). Defi-nujme vrokovou formuW.n/; n 2 N, nsledujcm zpsobem: VrokW.n/k, e pro kad j 2 N; j n, plat V.j /. Matematickou indukc doke-me tvrzen

8n 2 N W W.n/: (1.6)Vrok W.1/ plat podle (a). Nyn pedpokldejme, e pro njak n 2 Nplat W.n/. Potom podle (b) plat V.n C 1/. Plat-li W.n/ a V.n C 1/, pakplat W.n C 1/. Podle principu matematick indukce plat (1.6). Z vroku(1.6) pak okamit plyne (1.5).

Dal varianty dkazumatematickou indukc jsou uvedeny v pkladovsti tto kapitoly (Oddl 1.9).


Pouit ve uvedench dkazovch metod piblme v nsledujcchpkladech.

1.2.9. Pklad. Dokate, e pro kad a; b 2 R plat 12.a2 C b2/ ab.

een. Provedeme pm dkaz tvrzen. Vezmme libovoln sla a; b 2 R.Potom plat .ab/2 0. Upravme-li tuto nerovnost, dostaneme a2 2abCb2 0. Odtud ji snadno plyne dokazovan nerovnost 1

2.a2 Cb2/ ab. |

1.2.10. Pklad. Nech n 2 N. Dokate, e potom existuje k 2 N takov,e n D 2k, nebo n D 2k 1, piem oba ppady nemohou nastat zrove.V prvnm ppad kme, e n je sud, a ve druhm, e je lich.

een. K dkazu prvn sti tvrzen pouijeme matematickou indukci. Pron D 1 polome k D 1. Potom mme 1 D 2 1 1. Pedpokldejme, etvrzen plat pro n 2 N, a chceme tvrzen dokzat i pro slo n C 1. Podleinduknho pedpokladu existuje k 2 N takov, e n D 2k, nebo n D 2k1.V prvnm ppad plat nC1 D 2kC1 D 2.kC1/1, ve druhm nC1 D 2k.V prvnm ppad je tedy hledanm slem k C 1 a ve druhm k.

Pokud by slo n 2 N bylo zrove lich i sud, pak by existovala k; l 2N takov, e n D 2k D 2l 1. Potom 2.l k/ D 1, a tedy l k > 0. Tudby platilo kC1 l , a tedy n D 2l 1 2.kC1/1 D 2kC1 > 2k D n, conen mon. Metodou dkazu sporem jsme odvodili i druhou st tvrzen.Tm je tvrzen pkladu dokzno. |

1.2.11. Pklad. Nech n 2 N a p 2 N je lich. Dokate, e potom pnje lich slo. (Symbol pn zna p p

n krt

a p0 D 1. Podrobn je tento zpis

zaveden v paragrafu 1.6.1(b).)

een. Nech p 2 N je lich. Tvrzen dokeme matematickou indukc. Pron D 1 je slo p1 D p lich podle pedpokladu. Pedpokldejme platnosttvrzen pro pirozen slo n, tj. pedpokldejme, e slo pn je lich. Pakexistuje k 2 N takov, e pn D 2k 1. Existuje tak l 2 N takov, ep D 2l 1. Potom plat

pnC1 D pn p D .2k 1/ .2l 1/ D 2.2kl k l C 1/ 1:

Dle plat 2klklC1 D k.l1/Cl.k1/C1 1, a tedy 2klklC1 2 N.Odtud plyne, e slo pnC1 je lich. |

1.2.12. Pipomeme, e slo d 2 Z nazvme dlitelem sla n 2 Z, zna-me d j n, pokud existuje k 2 Z splujc n D kd . Pro kad n 2 N je zejm1 i n dlitelem n. ekneme, e n 2 N je prvoslo, pokud n > 1 a jeho jedinkladn dlitel jsou 1 a n. Napklad sla 2; 3; 5; 7; 11 jsou prvosla.


1.2.13. Pklad. Nech n 2 N. Dokate, e potom existuje prv jednadvojice k; l 2 N takov, e n D 2k1.2l 1/.

een. K dkazu pouijeme plnou matematickou indukci. Pro n D 1 po-lome k D 1 a l D 1 a mme n D 1 D 211.2 1 1/.

Pedpokldejme, e kad j 2 N; j n, lze vyjdit ve tvaru 2k1.2l1/pro vhodn k; l 2 N. Chceme ukzat, e i pro slo nC1 lze nalzt pslunk; l 2 N. Pokud je n C 1 slo lich, pak existuje l 2 N takov, e n C 1 D2l 1. Polome k D 1 a tvrzen je dokzno. Pokud je slo n C 1 sud,pak existuje m 2 N takov, e nC 1 D 2m. Ponvad m n, existuj podleinduknho pedpokladu sla k0; l 0 2 N takov, e m D 2k01.2l 0 1/.Potom sta poloit k D k0 C 1 a l D l 0.

Zbv dokzat, e sla k; l jsou pro dan n 2 N urena jednoznan.Pedpokldejme, e n D 2k1.2l 1/ D 2k01.2l 0 1/ pro k; l; k0; l 0 2 N.Pedpokldejme, e k0 > k, pak plat 2l 1 D 2k0k.2l 0 1/. slo na levstran rovnosti je lich, zatmco slo na prav stran je sud, co je spor.Podobn vede ke sporu pedpoklad k < k0. Mus tedy platit k D k0. Potomdostvme 2l 1 D 2l 0 1. Odtud ji snadno plyne l D l 0. Tm je dkazjednoznanosti proveden. |

1.2.14. Pklad. Nech n 2 N. Dokate, e je-li n2 sud, potom je i n jesud.

een. Podle Pkladu 1.2.11 plat, e pokud je n lich, pak je i n2 lich.Odtud plyne tvrzen metodou nepmho dkazu. |

1.2.15.Pklad (Hippasus2). Dokate, e slop2, kter je definovno jako

kladn een rovnice y2 D 2 v oboru relnch sel, nen racionln. Exis-tenci a jednoznanost takovho een dokeme pozdji (vizte 4.3.14).

een. Provedeme dkaz sporem. Pedpokldejme, ep2 je racionln s-

lo. Potom existuj p 2 N a q 2 N takov, ep2 D p

q. Navc meme ped-

pokldat, e nejve jedno z sel p a q je sud. Podle Pkladu 1.2.13 lzetoti nalzt sla k1; l1; k2; l2 z mnoiny N [ f0g takov, e p D 2k1.2l1 1/a q D 2k2.2l2 1/. Pak sta msto dvojice p a q uvaovat dvojici 2l1 1 a2k2k1.2l21/, pokud k2 k1, nebo 2k1k2.2l11/ a 2l21, pokud k2 < k1.

Z rovnostip2 D p

qplyne, e p2 D 2q2, a tedy slo p2 je sud. Podle

Pkladu 1.2.14 dostvme, e i p je sud, a tedy p2 D 4k, kde k 2 N. Z v-choz rovnosti p2 D 2q2 dostvme, e q2 je sud. Podle Pkladu 1.2.14 jeslo q sud. Odtud plyne, e p a q maj spolenho dlitele 2. To je ovem

2Hippasus (5. stol. p. n. l.)


spor s pedpokladem, e nejve jedno z sel p a q je sud. slop2 tedy

nen racionln. |

1.2.16. Pklad. Nech n 2 N. Dokate, e potom je slo n.nC 1/ sud.

een. Provedeme dkaz rozborem ppad. Mjme n 2 N. Pak plat, e nje sud, nebo n je lich. Pokud je n sud, pak je i slo n.nC 1/ sud. Pokudje slo n lich, pak je slo nC 1 sud, a proto je i slo n.nC 1/ sud. Tmje dkaz proveden. |

1.2.17. Pi dkazu vroku

8x 2 M W V.x/

asto postupujeme nsledujcm zpsobem. Zvolme x 2 M pevn, ale li-bovoln, tj. o x pedpokldme pouze to, e je prvkem M , a nic dalho.Postupnmi dedukcemi ukeme platnost vroku V.x/ pro toto x. Tm jepak dkaz proveden.

1.2.18 (konstruktivn a nekonstruktivn dkaz). Pi dkazu vroku

9x 2 M W V.x/

mme dv monosti. Bu pmo nalezneme njak x 2 M , pro kter platV.x/, nebo takov x 2 M nenalezneme, ale dokeme, e alespo jednomus existovat. Tyto postupy nazvmepo ad konstruktivnmdkazem anekonstruktivnmdkazem. Nekonstruktivn dkaz tak nkdy nazvmeexistennm dkazem.

1.2.19. Pklad. Ukate, e existuj iracionln sla a; b takov, e ab jeslo racionln.

een (konstruktivn dkaz). Polome a Dp2 a b D log2 9, kde log2 oznauje

logaritmus o zkladu 2. Pesnou definici vrazu ab a logaritm uvedeme vKapitole 5. Potom plat

ab Dp2log

29

D 212log

2.32/

D 2log2 3 D 3:

Sta tedy odvodit, e slo log2 9 je iracionln. Pouijeme metodu dkazusporem. Pedpokldejme, e log2 9 D

pq, kde p 2 Z a q 2 N. Ponvad je

slo log2 9 kladn, mus bt p pirozen. Potom 9 D 2log

29 D 2

pq , a tedy

9q D 2p. slo 2p je sud a podle Pkladu 1.2.11 je slo 9q lich, co jespor. |

een (nekonstruktivn dkaz). Vyuijeme opt iracionalitu slap2. Pokud by

slop2

p2bylo racionln, pak bychom byli s dkazem hotovi. Pokud by

1.3. MNOINY 17

tomu tak nebylo, pak by slap2

p2a

p2 byla iracionln, pitom ale slop

2

p2p2

Dp2

2D 2

je racionln. Tm je tvrzen dokzno, nebo alespo jedna dvojice sel

a Dp2; b D

p2 nebo a D

p2

p2; b D

p2

spluje zadn lohy. Ve uveden postup vak nek, zda je eenmprvnnebo druh dvojice sel.

Poznamenejme jet, e lze ukzat, e slop2

p2je iracionln. Dkaz

je vak velmi obtn ([7, 15]). |

1.2.20 (dkazy nerovnost). Mme-li dokzat nerovnostA B mezi reln-mi sly A a B, asto postupujeme tak, e nalezneme reln slo C splujcA C a C B. Odtud pak ji plyne nerovnost A B. Pi hledn slaC jde o to, aby dkazy nerovnost A C a C B byly snaz ne dkaznerovnosti A B. slu C nkdy kme horn odhad sla A a tak doln odhadsla B. Samotnou nerovnost A C nebo C B tak nkdy nazvmeodhadem.

1.3. Mnoiny

1.3.1. Nebudeme se zde zabvat otzkou, co je obecn mnoina. Tentoproblm, jen se nachz na pomez matematiky a filosofie, je toti velminesnadn a pekrauje rmec tohoto textu. Zopakujme zatm pouze formu-laci z paragrafu 1.1.17, kter k, e mnoinou rozumme kad shrnuturitch a navzjem rznch objekt (kter nazvme prvky) do jedinhocelku. Doplujc informace jsou uvedeny v Dodatku ??. Pro systematickvklad teorie mnoin doporuujeme knihu [5].

Nyn zopakujeme pojmy z paragrafu 1.1.17 a pidme nkolik dalch.

1.3.2. Mnoina je urena svmi prvky. Skutenost, e prvek a pat domno-iny A, zname a 2 A, a skutenost, e a do A nepat, zapeme ve forma A.

Mnoinu definujeme vtem prvk, napklad peme f1; 2; 3; 4; 5g, ne-bo pomoc vlastnosti, kterou musej splovat jej prvky, tj. peme fx 2M I V.x/g, kde M je mnoina a V.x/, x 2 M , je vrokov forma. Pkla-dem je zpis fx 2 NI x < 6g.


Przdnou mnoinou nazveme mnoinu, kter neobsahuje dn pr-vek. Ozname ji symbolem ;. Mnoinu, kter nen przdn, nazvme ne-przdnou.

1.3.3. ekneme, e mnoina A je stmnoiny B nebo mnoina A je pod-mnoinou mnoiny B, jestlie kad prvek mnoiny A je rovn prvkemmnoiny B. Tuto skutenost zname A B (nkdy t peme B A)a tomuto vztahumezimnoinami kme inkluze. Przdnmnoina je pod-mnoinou kad mnoiny.

Mnoiny A a B jsou si rovny (A D B), jestlie maj stejn prvky, ne-boli plat souasn A B a B A. Nen tk odvodit, e pro libovolnmnoiny A;B;C plat

A D A, jestlie A D B, potom B D A, jestlie A D B a B D C , potom A D C .

Pokud si mnoiny A a B nejsou rovny, peme A B. ekneme, e mnoi-na A je vlastn st mnoiny B nebo A je vlastn podmnoinou mnoinyB, jestlie A B a A B.

Nech X je mnoina. Mnoinu vech podmnoin X zname P .X/ anazvme ji potenn mnoinou mnoiny X . Z jazykovch dvod bude-me asto pouvat slovn spojen systm (pod)mnoin msto mnoina(pod)mnoin.

1.3.4. Oznaen. (a) Nech n 2 N a A1; : : : ; An jsou mnoiny. Potom zpisA1 An znamen, e plat inkluzeA1 A2,A2 A3; : : : ; An1 An.Obdobn znaen pouvme i pro symbol .

(b) Nech X je mnoina a n 2 N. Msto zpisu x1 2 X; x2 2 X; : : : ; xn 2X budeme asto pouvat strunj zpis x1; x2; : : : ; xn 2 X .

Nyn zavedeme operace, kter ze dvou (nebo vce) mnoin utvo dalmnoinu.

1.3.5. Sjednocenm mnoin A a B nazveme mnoinu vytvoenou vemiprvky, kter pat alespo do jedn z mnoin A i B. Sjednocen mnoinA a B zname symbolem A [ B.

Je-li A systm mnoin, pak jeho sjednocenS

A definujeme jako mno-inu vech prvk a, pro kter existuje A 2 A takov, e a 2 A.

1.3.6. Prnikem dvou mnoin A a B nazveme mnoinu vech prvk, kternleej souasn doA i doB. Prnik mnoinA aB zname symbolemA\B.Maj-li dvmnoiny przdn prnik, ekneme o nich, e jsou disjunktn.

Je-liA neprzdn systmmnoin, pak jehoprnikT

A definujeme jakomnoinu vech prvk a, kter pro kad A 2 A spluj a 2 A. ekneme, e

1.3. MNOINY 19

systm A je disjunktn, jestlie pro kad A;B 2 A splujc A B platA \ B D ;.

1.3.7. NechA Df1; 2; 3g; f3; 4; 7g; f1; 2; 3; 4; 5g

. Potom

SA D f1; 2; 3; 4; 5; 7g

aT

A D f3g.

1.3.8. Rozdlem mnoin A a B nazveme mnoinu prvk, kter pat domnoiny A a nepat do mnoiny B. Rozdl mnoin A a B zname A n B.

1.3.9. Nechm 2 N aA1; : : : ; Am jsoumnoiny.KartzskmsouinemA1A2 Am nazveme mnoinu vech uspodanch m-tic a1; a2; : : : ; am,kde ai 2 Ai pro kad i 2 f1; : : : ; mg. Nkdy msto symbolu a1; a2; : : : ; ampouvme symbol .a1; a2; : : : ; am/. Pesnou definici pojmu uspodan n-tice lze nalzt v Dodatku ??. Je-li Amnoina a n 2 N, pak msto A A

n-krtpeme An.

1.3.10. Poznmka. V operaci kartzskho souinu nen obecn mon za-movat poad mnoin. Pokud napklad A D f0g, B D f1g, pak A B Df0; 1g, B A D f1; 0g, take A B B A.

1.3.11. Vta (de Morganova3 pravidla). Nech X je mnoina a A je ne-przdn systm mnoin. Pak plat

X n[

A D\

fX n AI A 2 Ag

a dleX n

\A D

[fX n AI A 2 Ag:

Dkaz. Provedeme dkaz prvnho z uvedench tvrzen. Mme dokzat dvinkluze, a sice

X n[

A \

fX n AI A 2 Ag

a zroveX n

[A

\fX n AI A 2 Ag:

Je-li x 2 X nS

A, znamen to, e x pat doX , ale nepat do sjednocenSA. Tedy x A pro kadoumnoinuA 2 A. To ale znamen, e pro kad

A 2 A je x 2 X n A, a tud x 2T

fX n AI A 2 Ag. Tm je prvn inkluzedokzna.

Nech x 2 X nA pro kadou z uvaovanch mnoinA 2 A. Tedy x 2 X ,ale x A pro vechna A 2 A. Take x

SA. Tud celkem x 2 X n

SA,

m je zavren dkaz druh inkluze.Druh de Morganovo pravidlo lze dokzat obdobn. 3Augustus de Morgan (18061871)


1.4. Relace uspodn a zobrazen

Relace uspodn.

1.4.1. Definice. Nech A a B jsou mnoiny. Binrn relac R mezi prvkymnoin A a B rozumme libovolnou podmnoinu R kartzskho souinuA B. Pokud a; b 2 R, pak kme, e prvek a je v relaci R s prvkem b.Peme a R b. Pokud A D B, kme, e R je binrn relace na A. Pokudnehroz nedorozumn, budeme msto slovnho spojen binrn relace po-uvat slovo relace.

Existuje mnoho pkladmatematickch objekt, kter jsou relacemi. Vtuto chvli pro ns budou dleit dva speciln typy relac, toti uspodna zobrazen. Nsledujc definice nm pome zavst prvn z nich.

1.4.2. Definice. Nech A je mnoina a nech R je relace na A. ekneme, eR je

reflexivn, jestlie plat

8x 2 A W x; x 2 R;

symetrick, jestlie plat

8x; y 2 A W x; y 2 R ) y; x 2 R;

tranzitivn, jestlie plat

8x; y; 2 A Wx; y 2 R ^ y; 2 R

) x; 2 R;

antisymetrick, jestlie plat

8x; y 2 A W x; y 2 R ) y; x R;

slab antisymetrick, jestlie plat

8x; y 2 A Wx; y 2 R ^ y; x 2 R

) x D y:

1.4.3. Definice. Nech A je mnoina a nech R je relace na A. ekneme, eR je

uspodn (nkdy t sten uspodn i neostr uspod-n), jestlie je reflexivn, slab antisymetrick a tranzitivn,

ostr uspodn, jestlie je antisymetrick a tranzitivn, linernuspodn, jestlie jde o uspodn takov, e pro kadprvky x; y 2 A plat x; y 2 R nebo y; x 2 R.

1.4.4. Prv definovan pojem uspodn je velmi abstraktn a pouv sepro porovnvn velmi rozmanitch objekt mezi sebou. Uspodn rel-nch sel je jenom jednm z mnoha pklad uspodn. Toto uspodn

1.4. RELACE USPODN A ZOBRAZEN 21

je navc linern. Podobn ostr nerovnost mezi relnmi sly je ostrmuspodnm ve smyslu na definice.

1.4.5. Nech X je mnoina. Pak relace

R DA; B 2 P .X/ P .X/I A B

je uspodn na P .X/. Pokud m X alespo dva prvky, pak toto uspo-dn nen linern. Jestlie toti existuj x; y 2 X , x y, pak neplat anifxg fyg ani fyg fxg.

1.4.6. Pklad. Na mnoin N2 definujeme lexikografick uspodn lexnsledujcm zpsobem

n1; n2 lex m1; m2 ,n1 < m1 _ .n1 D m1 ^ n2 m2/

:

Ovte, e relace lex je opravdu uspodn.

een. Reflexivita. Pro libovoln n1; n2 2 N2 plat n1; n2 lex n1; n2, ne-bo n1 D n1 a n2 n2.

Slab antisymetrie.Pokud n1; n2 lex m1; m2 a zrove m1; m2 lex n1; n2,pak neme platit n1 < m1 ani m1 < n1. Mus tedy platit n1 D m1. Pakovem plat n2 m2 a m2 n2, a proto n2 D m2. Dokzali jsme tedy, en1; n2 D m1; m2.

Tranzitivita. Uvaujme nyn prvky n1; n2, m1; m2, k1; k2 2 N2 splujc

n1; n2 lex m1; m2 a m1; m2 lex k1; k2:

Z prvnho vztahu plyne n1 m1 a z druhho m1 k1. Dostvme tedyn1 k1. Pokud plat dokonce n1 < k1, pak n1; n2 lex k1; k2. Pokudn1 D k1, pak plat tak n1 D m1.Mus tedy platit n2 m2 am2 k2. Odtudplyne nerovnost n2 k2. Tm je dokzn vztah n1; n2 lex k1; k2. |

Nyn uvedeme nkolik zkladnch pojm, kter souvis s relac uspo-dn.

1.4.7. Definice. Nech je relace uspodn na mnoin X a A X .ekneme, e prvek x 2 X je

horn zvorou mnoiny A, jestlie pro kad a 2 A plat a x, doln zvorou mnoiny A, jestlie pro kad a 2 A plat x a.

Mnoina A je shora omezen, jestlie existuje prvek x 2 X , kter je horn zvo-rou mnoiny A,

zdola omezen, jestlie existuje prvek x 2 X , kter je doln zvo-rou mnoiny A,

omezen, jestlie je omezen shora i zdola.


1.4.8. Definice. Nech je relace uspodn na mnoin X a M X .ekneme, e prvek G 2 X je suprememmnoinyM , jestlie plat:

(a) G je horn zvorou mnoinyM ,(b) je-li prvek G0 2 X horn zvorou mnoinyM , potom G G0.

ekneme, e prvek g 2 X je infimemmnoinyM , jestlie plat(a) g je doln zvorou mnoinyM ,(b) je-li prvek g0 2 X doln zvorou mnoinyM , potom g0 g.

1.4.9. Poznmka. V pedchozch dvou definicch jsme pouili symbol ,kter se pouv zejmna pro oznaen uspodn na relnch slech. Zdejej pro nzornost pouvme k oznaen libovoln relace uspodn.

1.4.10. Nech je relace uspodn na mnoin X a A X . Podle ped-choz definice je supremum A jej nejmen horn zvorou a infimum je jejnejvt doln zvorou. Supremum a infimum mnoiny A nemusej existo-vat, pokud vak existuj, jsou ureny jednoznan.

Odvome toto pozorovn napklad pro infimum, v ppad supremaje mon postupovat obdobn. Nech g1 a g2 jsou infima mnoiny A Xvzhledem k uspodn na mnoin X . Potom g1 i g2 jsou doln zvorymnoiny A. Podle vlastnosti (b) z definice infima plat g1 g2 a tak g2 g1. Ze slab antisymetrie relace uspodn pak plyne g1 D g2.

Pokud supremummnoiny A (vzhledem k uspodn ) existuje, zna-me jej supA. Pokud existuje infimum mnoiny A, zname jej infA.

Supremum a infimum budeme pouvat zejmna pi studiu podmnoinrelnch sel, pro ilustraci vak uveme nsledujc pklad, kter vyuvlexikografickho uspodn dvojic pirozench sel.

1.4.11. Pklad. Nech lex je lexikografick uspodn na mnoin N2(viz Pklad 1.4.6). Dokate, e supremum mnoiny A D f1; n 2 N2I n 2Ng je rovno prvku 2; 1.

een. Pro kad n 2 N podle definice plat 1; n lex 2; 1, m je ovenapodmnka (a) z definice suprema. Uvaujme prvek a; b 2 N2, kter jehorn zvorou mnoiny A. Potom pro kad n 2 N plat bu 1 < a, nebo1 D a a n b. Druh monost vak neme platit pro kad n, nebopirozen slo b C 1 nespluje nerovnost b C 1 b. Plat tedy 1 < a,neboli 2 a. Pak ovem opt podle definice uspodn lex dostvme2; 1 lex a; b. Tm je ovena i podmnka (b) z definice suprema. |

1.4.12. Vta. Nech je relace uspodn na mnoin X , M X je ne-przdnmnoina a nech existuje infimuma supremummnoinyM . Potomplat infM supM .


Dkaz. Mnoina M je neprzdn, take meme nalzt prvek a 2 M . Po-tom plat infM a, nebo infM je doln zvorouM . Dle plat a supM ,nebo supM je horn zvorou M . Odtud dky tranzitivit uspodn do-stvme nerovnost infM supM .

K prv zavedenm pojmm suprema a infima se vrtme v Oddlu 1.5,kde budou uvedeny dal ilustran pklady.

Relace zobrazen.

1.4.13. Definice. Binrn relaci F A B nazvme zobrazenm z mno-iny A do mnoiny B, jestlie plat

8x 2 A 8y1; y2 2 B Wx; y1 2 F ^ x; y2 2 F

) y1 D y2

:

1.4.14. Je-li F zobrazen z mnoiny A do mnoiny B, pak podle definicepro kad x 2 A existuje nejve jedno y 2 B takov, e x; y 2 F . Pokudpro dan x 2 A takov y existuje, pak je tedy ureno jednoznan a znameje F.x/.

1.4.15. Definice. Nech F je zobrazen z mnoiny A do mnoiny B. Defininm oborem zobrazen F nazvme mnoinu

D.F / D fx 2 AI 9y 2 B W F.x/ D yg:

Oborem hodnot zobrazen F nazvme mnoinu

H .F / D fy 2 BI 9x 2 A W F.x/ D yg:

Grafem zobrazen F nazvme mnoinu

graf.F / Dx; F.x/ 2 A BI x 2 D.F /

:

1.4.16. Poznmky. (a) Zobrazen jsme definovali pomoc pojmu relace. Pitomto pstupu tedy ztotoujeme pojem zobrazen a pojem grafu zobra-zen. V matematick analze vak asto chpeme zobrazen F z mnoiny Ado mnoiny B jako piazen, tj. prvkm x z jist podmnoiny A je piazenjednoznan uren prvek F.x/ z mnoiny B. V takovm ppad pak zob-razen a jeho graf chpeme jako dva rzn objekty, kter si vak vzjemnjednoznan odpovdaj.

(b) Je-li F zobrazen z mnoiny A do mnoiny B, pak je F tak zobra-zen z mnoiny C do mnoiny D, pokud F C D, neboli D.F / C aH .F / D.

Napklad zobrazen F , kter kadmu kladnmu slu x 2 R piazujereln slo 1

x, je zobrazenm zmnoiny kladnch relnch sel domnoiny

kladnch relnch sel, ale tak zobrazenm z R do R.


1.4.17. Oznaen. Nech A a B jsou mnoiny. Pak symbol F W A ! B zna-men, e F je zobrazen z mnoiny A do mnoiny B a D.F / D A. Takovzobrazen F nazvme tak zobrazenmmnoinyAdomnoinyB. Na roz-dl od zobrazen z mnoiny A do mnoiny B, kde definin obor je pouzepodmnoinou mnoiny A, je zobrazen mnoiny A do mnoiny B defino-vno prv ve vech bodech mnoiny A.

1.4.18. Zobrazen F W A ! B asto definujeme tak, e pro kad x 2 Aurme prvek F.x/ 2 B. V takovm ppad nkdy pouvme zpis x 7!F.x/, x 2 A. Je teba si uvdomit, e dva rzn pedpisy mohou definovatstejn zobrazen. Tak je tomu napklad u nsledujcch dvou pedpis:

x 7! .x C 1/2; x 2 R;

x 7! x2 C 2x C 1; x 2 R:

1.4.19. Definice. Nech f W A ! B je zobrazen,M A, P B. Obrazemmnoiny M pi zobrazen f rozumme mnoinu

fy 2 BI 9x 2 M W f .x/ D yg;

kterou zname f .M/. Vzoremmnoiny P pi zobrazen f rozumme mnoinu

fx 2 AI f .x/ 2 P g;

kterou zname f 1.P /.

1.4.20. Definice. ekneme, e zobrazen f W A ! B je prost (injektivn), jestlie plat

8x; y 2 A W .f .x/ D f .y/ ) x D y/;

na (surjektivn), jestlie plat8y 2 B 9x 2 A W f .x/ D y;

bijekce (vzjemn jednoznanzobrazen), jestlie je prost a na.

1.4.21. Poznmka. Abychom mohli ci, e njak zobrazen je na, mu-s bt zadna koncov mnoina B. Odtud vyplv, e pojmy surjektivity abijektivity zobrazen zaveden v Definici 1.4.20 pedstavuj vlastnosti zob-razen f a zrove mnoiny B.

1.4.22. Nech f W A ! B je prost zobrazen. Potom pmo z definic dost-vme, e f je bijekce mnoiny A na mnoinu f .A/.

1.4.23. Definice. Nech f W A ! B je zobrazen a C A. Pak zobrazeng W C ! B definovan pedpisem x 7! f .x/; x 2 C , nazvme restrikcnebo zenm zobrazen f na mnoinu C . Zobrazen g zname f jC .


1.4.24. Definice. Nech f a g jsou zobrazen. Pak zobrazen g f je defi-novno pedpisem .g f /.x/ D g

f .x/

pro vechna x 2 D.f / takov, e

f .x/ 2 D.g/. Zobrazen g f nazvme sloenm zobrazenm (sloenmzobrazen) f a g, piem g nazvme vnjm zobrazenm a f nazvmevnitnm zobrazenm.

1.4.25. Definice. Nech f W A ! B je prost zobrazen. Pak zobrazenf 1 W f .A/ ! A definovan pro y 2 f .A/ pedpisem f 1.y/ D x, kdex 2 A je jednoznan ureno vztahem y D f .x/, nazvme inverznm zob-razenm k zobrazen f .

1.4.26. Poznmka. K zobrazen, kter nen prost, nelze definovat inverznzobrazen. Pkladem je funkce f W R ! Rdefinovan pedpisem f .x/ D x2pro x 2 R.

1.4.27 (sjednocen a prnik indexovanho systmu). NechX a I jsoumno-iny a pro kad 2 I je definovna mnoina A X . Mme tedy dnozobrazen 7! A mnoiny I do potenn mnoiny P .X/. Takov zob-razen nazvme indexovanm systmemmnoin. Uvaujme systm A DfAI 2 I g. Pak mnoinu

SA oznaujeme tak symbolem

S2I A. Po-

kud je navc I neprzdnmnoina, pakmnoinuT

A oznaujemeT

2I A.

Na zvr tohoto oddlu uvedeme definice dvou typ zobrazen, se kte-rmi budeme asto pracovat.

1.4.28. Definice. Nech A je neprzdn mnoina.(a) Konenou posloupnost prvk A rozumme kad zobrazen mno-

iny f1; : : : ; ng, kde n 2 N, do mnoiny A. Pokud k 7! ak, k 2 f1; : : : ; ng, jetakov zobrazen, pak tuto posloupnost zname fakgnkD1. Prvek ak nazv-me k-tm lenem tto posloupnosti.

(b)Nekonenouposloupnost prvkA rozumme kad zobrazen n 7!an; n 2 N, mnoiny pirozench sel N do mnoiny A. Takovou posloup-nost obvykle zname fang1nD1, ppadn jen fang. Prvek an nazvme n-tmlenem tto posloupnosti.

1.4.29. Posloupnostme bt definovna tak rekurentn.Mjme neprzd-nou mnoinu A. Pi rekurentnm zadn posloupnosti je obvykle explicitnpedepsn len a1 2 A nebo nkolik prvnch len a1; a2; : : : ; an 2 Apro njak n 2 N a je stanoven pedpis, podle kterho je mon pro ka-d j 2 N; j > n, urit hodnotu aj C1 2 A na zklad znalosti hodnoty aj ,ppadn nkterch dalch ji znmch hodnot ak, kde k j . Existence ajednoznanost takto zadan posloupnosti vyplv z nsledujc vty.

1.4.30. Vta (rekurentn zadan posloupnost). NechA je neprzdn mno-ina a S je mnoina vech konench posloupnost prvkmnoinyA vetn


przdn posloupnosti. Nech f W S ! A je zobrazen. Potom existuje prvjedna posloupnost fxng1nD1 prvk mnoiny A splujc

(a) x1 D f .;/,(b) xn D f .x1; : : : ; xn1/ pro kad n 2 N; n > 1.

Dkaz. Nejprve pomoc matematick indukce ukeme, e pro kad k 2 Nexistuje prv jedna posloupnost fxkngknD1 takov, e

(a) xk1 D f .;/,(b) xkn D f .xk1 ; : : : ; x

kn1/ pro kad n 2 f2; : : : ; kg.

Pokud k D 1, pak je posloupnost fx1ng1nD1 jednoznan urena podmn-kou (a).

Pedpokldejme, e pro k 2 N podmnky (a) a (b) jednoznan ur-uj posloupnost fxkngknD1. Posloupnost fx

kC1n g

kC1nD1 mus podle induknho

pedpokladu splovat fxkC1n gknD1 D fxkng

knD1. Prvek x

kC1kC1

mus splovatxkC1

kC1D f .xkC11 ; : : : ; x

kC1k

/ D f .xk1 ; : : : ; xkk/, a je tedy jednoznan uren.

Hledanou posloupnost fxng1nD1 definujeme pedpisem xn D xnn ; n 2 N.

Tato posloupnost zejm spluje podmnku (a). Vzhledem k jednoznanos-ti posloupnost fxkngknD1 plat fx

jng

knD1 D fx

kng

knD1 pro kad k; j 2 N; j k.

Pro kad k; j 2 N; j k, tedy plat xk D xj

k. Potom pro n 2 N; n > 1,

platxn D x

nn D f .x

n1 ; : : : ; x

nn1/ D f .x1; : : : ; xn1/;

m je ovena podmnka (b). Odtud plyne, e fxng1nD1 m poadovanvlastnosti.

1.4.31.Poznmka. Nejastj zpsob zadn rekurentn posloupnosti fxng1nD1vypad nsledovn. Je dna neprzdn mnoina A a zobrazen g W A ! A.Prvek x1 2 A je dn a xn D g.xn1/ pro n 2 N; n > 1. Tento zpsob je spe-cilnm ppadem zadn rekurentn posloupnosti z pedchoz vty. Statoti definovat jednak f .;/ D x1 a pro konenou posloupnost .y1; : : : ; ym/prvk mnoiny A poloit f .y1; : : : ; ym/ D g.ym/.

1.5. Mnoina relnch sel

1.5.1. seln obory pirozench, celch, racionlnch a relnch sel majpro dal vklad zsadn vznam. Jejich pesn konstrukce vak nen snadn,a proto ji provedeme a v Dodatku ??. V tomto oddle budeme pedpokl-dat, e uveden mnoiny ji mme zkonstruovny, a uvedeme jejich vlast-nosti, kter budeme v dalm vkladu pouvat. VDodatku ??pak ukeme,

1.5. MNOINA RELNCH SEL 27

e tyto vlastnosti v jistm smyslu ji jednoznan uruj uvaovan selnobory.

Nae seln obory popeme jako mnoiny, na nich jsou definovnyoperace stn ansoben a relaceuspodn, kter budeme znait obvyk-lm zpsobem C, a , piem jsou splnny nsledujc skupiny vlastnost:

vlastnosti stn a nsoben a jejich vzjemn vztah (viz 1.5.2 a1.5.3),

vztah uspodn a operac stn a nsoben (viz 1.5.9), vlastnost existence suprema (viz 1.5.12).

Zkladn vlastnosti mnoin N, Z a Q jsou uvedeny v 1.5.131.5.15.Nyn popeme, jak vlastnosti poadujeme po tveici .R;C; ;/, kde

R je mnoina, CW R R ! R, W R R ! R jsou zobrazen a je relace,kter je podmnoinou RR. Dle t uvedeme vlastnosti mnoin N, Z a Q.

1.5.2 (vlastnosti stn). ZobrazenC, respektive , piazuje dvojici x; y 2R R hodnotu v R, kterou zname x C y, respektive x y. Msto o zobra-zench C a budeme hovoit o operacch C a .(a) Stn relnch sel je asociativn, neboli

8x; y; 2 R W x C .y C / D .x C y/C : (1.7)

(b) Stn relnch sel je komutativn, neboli8x; y 2 R W x C y D y C x: (1.8)

(c) V mnoin relnch sel existuje nulov prvek, neboli9w 2 R 8x 2 R W x C w D x: (1.9)

Prvek w je uren jednoznan. Pokud toti prvky w1 a w2 maj uvedenouvlastnost, pak platw1Cw2 D w1 a tak dky komutativit stnw1Cw2 Dw2 C w1 D w2. Odtud plyne w1 D w2. Prvek w zname symbolem 0.(d) Pro kad x 2 R existuje opan prvek, neboli

8x 2 R 9 2 R W x C D 0:

Pro dan x 2 R je prvek uren jednoznan. Pokud toti prvky 1 a 2maj uvedenou vlastnost, pak dky komutativit a asociativit stn plat

1 D 1 C 0 D 1 C .x C 2/ D .1 C x/C 2

D 2 C .1 C x/ D 2 C .x C 1/ D 2 C 0 D 2:

Prvek zname symbolem x.

1.5.3 (vlastnosti nsoben). (a) Nsoben relnch sel je asociativn, ne-boli

8x; y; 2 R W x .y / D .x y/ : (1.10)


(b) Nsoben relnch sel je komutativn, neboli

8x; y 2 R W x y D y x: (1.11)

(c) V mnoin relnch sel existuje jednotkov prvek, neboli9v 2 R n f0g 8x 2 R W v x D x: (1.12)

Prvek v je uren jednoznan. Pokud toti prvky v1; v2 2 R n f0g splujprv uvedenou podmnku, potom plat v1 D v2 v1 D v1 v2 D v2. Prvekv zname symbolem 1.(d) Pro kad x 2 R n f0g existuje inverzn prvek, neboli

8x 2 R n f0g 9y 2 R W x y D 1: (1.13)

Pro dan x 2 R je prvek y uren jednoznan. Pokud toti prvky y1 a y2maj uvedenou vlastnost, pak dky komutativit a asociativit nsoben platy1 D y1 .x y2/ D .y1 x/ y2 D y2. Prvek y zname symbolem x1 nebo1x.

1.5.4 (vzjemn vztah stn a nsoben). Stn a nsoben spluj pra-vidlo distributivity, neboli

8x; y; 2 R W .x C y/ D x C y : (1.14)

1.5.5 (operace odtn a dlen). Nech x; y 2 R. Rozdl sel x a y jedefinovn jako slo x C .y/ a zname ho symbolem x y. Pokud navcy 0, pak je podl sel x a y definovn jako slo x y1. Msto x y1pouvme tak symbol x

ynebo (mn asto) x W y i x=y.

1.5.6. Z vlastnost uvedench v 1.5.2, 1.5.3 a 1.5.4 vyplvaj vechna ob-vykl pravidla pro potn s relnmi sly. Nkolik zkladnch pkladuvedeme v nsledujc vt. Dkazy dalch poetnch pravidel jsou obsa-eny v Dodatku ??.

1.5.7. Vta. Plat:(a) 8x 2 R W .x/ D x,(b) 8x 2 R n f0g W .x1/1 D x,(c) 8x 2 R W 0 x D 0.

Dkaz. (a) Nech x 2 R. Potom podle 1.5.2(d),(b) plat x C .x/ D 0 a.x/C x D 0. Tedy x je opan prvek k prvku x, a proto plat .x/ D x.(b)Nech x 2 Rnf0g. Potompodle 1.5.3(d),(b) plat x x1 D 1 a x1 x D 1.Tud x je inverzn prvek k prvku x1, jinmi slovy .x1/1 D x.(c) Nech x 2 R. Postupnm pouitm 1.5.3(c), 1.5.2(c), 1.5.4 a znovu1.5.3(c) dostaneme

x D 1 x D .1C 0/ x D 1 x C 0 x D x C 0 x:

1.5. MNOINA RELNCH SEL 29

Piteme-li v rovnosti x D x C 0 x k obma stranm slo x, dostaneme

x C .x/ D .x C 0 x/C .x/:

Odtud pomoc vlastnosti 1.5.2(d) pouit na levou stranu rovnosti a vlast-nost 1.5.2(b),(a) pouitch na pravou stranu obdrme

0 D 0 x Cx C .x/

:

Konen dky vlastnostem 1.5.2(d),(c) odtud dostaneme 0 x D 0.

1.5.8. Poznmka. Nkdy hovome o prvcch mnoiny R jako o bodech ao prvku 0 jako o potku.

1.5.9 (vztah uspodn a operac stn a nsoben). (a) Relace je li-nernm uspodnm na mnoin R.(b) Pro kad x; y; 2 R splujc x y plat

x C y C :

(c) Pro kad x; y 2 R splujc 0 x a 0 y plat

0 x y:

1.5.10. Oznaen. Nech x; y 2 R.(a) Symbol x y m stejn vznam jako symbol y x. Pokud x y

a x y, pak peme x < y nebo y > x. Symboly < a > zna tzv. ostrounerovnost.

(b) Pokud x > 0, respektive x < 0, pak nazvme x kladnm, respektivezpornm, relnm slem. Pokud x 0, respektive x 0, pak nazvmex nezpornm, respektive nekladnm, relnm slem.

1.5.11. Vta. Plat

8x; y; 2 R W .x y ^ 0/ ) x y:

Dkaz. Pedpokldejme, e reln sla x; y; spluj x y a 0. Pite-nm prvku x k lev a prav stran nerovnosti x y dostaneme 0 y x.Potom podle vlastnosti (c) v 1.5.9 obdrme 0 .y x/ D y x. Pi-tenm prvku x k lev a prav stran posledn nerovnosti dostaneme poa-dovanou nerovnost.

V Definicch 1.4.7 a 1.4.8 jsme zavedli pojem horn zvory, doln zavo-ry, omezenosti mnoiny a pojmy suprema a infima pro obecn uspodn.Nyn budeme tyto pojmy pouvat pro mnoinu relnch sel s uvedenmuspodnm . Vlastnost existence suprema relnch sel lze pak formu-lovat nsledovn.


1.5.12 (vlastnost existence suprema). Kad neprzdn shora omezenpodmnoina R m supremum.

1.5.13 (zkladn vlastnosti mnoiny pirozench sel). Mnoina N Rpirozench sel spluje tyto podmnky:

(a) 1 2 N,(b) 8x 2 N W x C 1 2 N,(c) jestlie A N spluje

1 2 A, 8x 2 A W x C 1 2 A,

potom N D A.Podmnky (a)(c) lze neformln popsat nsledujcm zpsobem.Mno-

ina pirozench sel obsahuje slo 1 (podmnka (a)) a pokud je njakreln slo x slem pirozenm, pak tak slo x C 1 je slem piroze-nm (podmnka (b)). Podmnka (c) k, e mnoina pirozench sel jenejmen mnoina splujc podmnky (a) a (b). Tato vlastnost tak zaruu-je platnost principu matematick indukce (viz 1.2.7). Mnoina pirozenchsel, opt neformln eeno, tedy vznikla tak, e jsme do n zaadili prvek1 a pak vechny prvky, kter vznikly postupnm pitnm 1, a dn jin.Msto 1C 1; 1C 1C 1; 1C 1C 1C 1; : : : budeme samozejm pst 2; 3; 4; : : :

1.5.14. Mnoina celch sel je definovna jako

Z D N [ f0g [ fm 2 RI m 2 Ng:

1.5.15. Mnoina racionlnch sel je definovna jako

Q D fpq1I p 2 Z; q 2 Ng:

1.6. Vlastnosti relnch sel

Pot co jsme popsali mnoinu relnch sel, budeme pokraovat odvo-zenm jejch zkladnch vlastnost.

Vlastnosti poetnch operac a uspodn.

1.6.1. Oznaen. (a) Nech m; n 2 Z, m n, a pro kad i 2 fm; : : : ; ngje ai 2 R. Potom symbolem

PniDm ai zname souet vech relnch sel

am; : : : ; an, tedynX

iDm

ai D am C amC1 C C an1 C an:

1.6. VLASTNOSTI RELNCH SEL 31

Je-li m > n, pak klademenX

iDm

ai D 0:

(b) Nech m; n 2 Z, m n, a pro kad i 2 fm; : : : ; ng je ai 2 R. Potomsymbolem

QniDm ai zname souin vech relnch sel am; : : : ; an, tedy

nYiDm

ai D am amC1 an1 an:

Je-li m > n, pak klademenY

iDm

ai D 1:

Pipomeme jet, e pokud a 2 R a n 2 N, pak symbol an zna souin

a a a a n krt

:

Pokud a 2 R; a 0, a n 2 N, pak symbol an zna souin

a1 a1 a1 a1 n krt

:

Pro a 2 R definujeme symbol a0 jako 1. Zde nedefinujeme novou poetnoperaci, ale pouze uitenou zkratku, kter zjednoduuje zpis nkterchvraz. Toto je teba mt na pamti zejmna v ppad, kdy a D 0.

(c) Pro kad n 2 N [f0g definujme symbol n, teme n faktoril, takto:0 D 1 a n D n .n 1/ pro n 2 N. Pokud n 2 N, pak je slo n souinemsel 1; : : : ; n.

(d) Pro n; k 2 N [ f0g; k n, definujeme kombinan slo

nk

, teme

n nad k, pedpisem n

k

D

n

.n k/ k:

1.6.2.Poznmka. Pesn vzato jsou definice soutu a souinu konenmno-ha relnch sel induktivn. Mme-li definovn souet (souin) n relnchsel, meme definovat souet (souin) nC1 relnch sel. Z tchto definicby mly tak vychzet dkazy bnch pravidel pro potn s konenmisouty a souiny, jako je napklad vzorec

n3XnDn1

an D

n2XnDn1

an C

n3XnDn2C1

an;


kde n1 n2 n3 jsou pirozen sla a an1 ; : : : ; an3 jsou reln sla. Zdevak volme ve uveden neformln vklad, nebo jeho pesnost je pro ntext dostaujc.

Uveme nsledujc pozorovn, kter je uiten pi prci se souty re-lnch sel.

1.6.3. Nech m; n; p 2 Z, m n, a pro kad i 2 fm; : : : ; ng je ai 2 R.Potom plat

nXiDm

ai D

nCpXiDmCp

aip;

nebo v obou soutech stme reln sla am; : : : ; an.

1.6.4. Vta (binomick vta). Pro kad n 2 N [ f0g a pro kad a; b 2 Rplat

.aC b/n D

nXkD0

n

k

ankbk : (1.15)

Dkaz. Tvrzen dokeme matematickou indukc. Pro n D 0 a libovolna; b 2 R plat

.aC b/0 D 1;

0XkD0

0

k

a0kbk D

0

0

a0b0 D 1:

Odtud dostvme (1.15) pro n D 0.Pedpokldejme, e n 2 N [ f0g, a; b 2 R a vztah (1.15) plat. Pak dky

induknmu pedpokladu a algebraickou pravou dostaneme

.aC b/nC1 D .aC b/n .aC b/ D

nX

kD0

n

k

ankbk

! .aC b/

D

nXkD0

n

k

ankC1bk C

nXkD0

n

k

ankbkC1:

Podle pozorovn v 1.6.3 obdrme

nXkD0

n

k

ankbkC1 D

nC1XkD1

n

k 1

anC1kbk;


a tedy

.aC b/nC1 D

nXkD0

n

k

ankC1bk C

nC1XkD1

n

k 1

anC1kbk

D anC1 C

nXkD1

n

k

ankC1bk C

nXkD1

n

k 1

anC1kbk C bnC1

D

nC 1

0

anC1 C

nXkD1

n

k

C

n

k 1

ankC1bk C

nC 1

nC 1

bnC1:

Dokazovan tvrzen nyn plyne z nsledujcho vztahu, kter plat pro kadn; k 2 N; k n:

n

k

C

n

k 1

D

n

.n k/kC

n

.nC 1 k/.k 1/

Dn

.n k/.k 1/

1k

C1

nC 1 k

D

n

.n k/.k 1/

nC 1

.nC 1 k/kD

nC 1

k

:

Nsledujc pklad obsahuje zobecnn znmch vztah a2 b2 D .ab/.aC b/ a a3 b3 D .a b/.a2 C ab C b2/.

1.6.5. Pklad. Dokate, e pro vechna n 2 N a pro vechna a; b 2 R plat

an bn D .a b/

nXkD1

ankbk1:

een. Vztah odvodme pravou prav strany:

.a b/

nXkD1

ankbk1 D

nXkD1

anC1kbk1

nXkD1

ankbk

D an C

nXkD2

anC1kbk1

n1XkD1

ankbk bn

D an C

n1XkD1

ankbk

n1XkD1

ankbk bn

D an bn:

|


1.6.6. Pklad. Nech q 2 R n f1g a n 2 N [ f0g. Potom plat

nXkD0

qk D1 qnC1

1 q:

een. Pouijeme Pklad 1.6.5 pro a D 1, b D q a namsto sla n dosadmenC 1. Pak s pomoc 1.6.3 obdrme

1 qnC1 D .1 q/

nC1XkD1

qk1 D .1 q/

nXkD0

qk :

Odtud ji snadno plyne dokazovan vztah, nebo 1q 0, a tedy memeob strany rovnosti vydlit slem 1 q. |

1.6.7. Vta. Nech k 2 N.

(a) Pro kad x; y 2 R; 0 x < y, plat xk < yk.(b) Pro kad x 2 R; x 1, plat x xk.(c) Pro kad x 2 R; 0 x 1, plat xk x.

Dkaz. (a) Nech x; y 2 R; 0 x < y. Podle Pkladu 1.6.5 plat

yk xk D .y x/

nXkD1

ynkxk1:

Vraz y x je zejm kladn. Tak vrazPn

kD1 ynkxk1 je kladn, nebo

vechny stance v tto sum jsou nezporn a stanec pro k D 1 je kladn.Kladn je tedy i souin obou vraz. Dostvme yk xk > 0, neboli xk 1 a x > 1. Potom je k 1 2 N, a tedy podle ji dokzanhotvrzen (a) mme xk1 > 1k1 D 1. Odtud s pomoc Vty 1.5.11 obdrme

xk D x xk1 x 1 D x:

(c) Pokud k D 1 nebo x D 1, pak tvrzen zejm plat. Pedpokldejme,e plat k > 1 a x < 1. Potom je k 1 2 N, a tedy podle ji dokzanhotvrzen (a) mme xk1 < 1k1 D 1. Odtud s pomoc Vty 1.5.11 obdrme

xk D x xk1 x 1 D x:


Absolutn hodnota relnho sla.

1.6.8. Definice. Pro kad x 2 R definujeme jeho absolutn hodnotu jako

jxj D

(x; pokud x 0;x; pokud x < 0:

1.6.9. Nen tk si rozmyslet, e pro kad x 2 R plat:(a) jxj 0,(b) jxj D 0 , x D 0,(c) jxj D jxj,(d)

jxj

D jxj,(e) 8 2 R W jxj D jj jxj,(f) jxj D maxfx;xg.

Geometricky meme absolutn hodnotu sla x interpretovat jako vzdle-nost bodu x od potku na reln ose. Vraz jx yj pak nazveme vzdle-nost bodu x od bodu y.

Nsledujc nerovnost budeme pi prci s absolutn hodnotou asto po-uvat. Jej nzev pochz z jejho zobecnn pro komplexn sla, kter vy-jaduje nerovnost mezi soutem dlek dvou stran trojhelnka a dlkou zb-vajc strany.

1.6.10. Vta (trojhelnkov nerovnost). Pro kad a; b 2 R platjaC bj jaj C jbj : (1.16)

Dkaz. Nech a; b 2 R. Z 1.6.9(f) okamit vyplv, e plat a jaj a b jbj.Odtud dostvme a C b jaj C jbj. Opt z 1.6.9(f) snadno vyplv, eplat jaj a a jbj b. Odtud dostvme .a C b/ jaj C jbj. Podledefinice absolutn hodnoty plat jaC bj D aC b nebo jaC bj D .aC b/. Vobou ppadech tedy dostvme jaCbj jaj C jbj, m je nerovnost (1.16)dokzna.

1.6.11. Dsledek. (a) Pro kad x; y 2 R platjxj jyj

jx yj : (1.17)

(b) Pro kad x; y; 2 R plat

jx yj jx j C j yj : (1.18)

Dkaz. (a) Nech x; y 2 R. Polome v (1.16) nejprve a D y, b D x y.Obdrme jxj D jy C x yj jyj C jx yj. Plat tedy jxj jyj jx yj.V (1.16) dle polome a D x, b D y x. Dostaneme jyj D jx C y xj jxj C jy xj D jxj C jx yj. Plat tedy .jxj jyj/ jx yj. Z obdrenchnerovnost ji plyne (1.17).


(b) V (1.16) polome a D x , b D y, a dostaneme poadovanounerovnost.

1.6.12. Poznmka. Nkdy bv trojhelnkovou nerovnost nazvna ne-rovnost (1.18).

1.6.13. Lemma. Nech a; b 2 R. Jestlie existuje K 2 R, K > 0, takov, epro kad " 2 R; " > 0, plat ja bj < K", potom a D b.

Dkaz. Provedeme dkaz sporem. Pedpokldejme, e akoli jsou podmn-ky lemmatu pro reln sla a, b splnny, jsou sla a a b rzn. Pedpo-kldejme nejprve, e a > b. Polome " D 1

2K.a b/. slo " je kladn, a

proto podle pedpokladu plat 0 < jabj < K" D 12.ab/. Odtud vyplv

0 < a b < 12.a b/, co je spor. Pokud a < b, pak polome " D 1

2K.ba/

a spor obdrme obdobn jako v pedchozm ppad.

Dal vlastnosti suprema a infima.

1.6.14. Uspodn na mnoin R je linern, a proto je slo G 2 Rsupremem mnoinyM R prv tehdy, kdy plat

(a) G je horn zvorou mnoinyM ,(b) 8G0 2 R; G0 < G 9x 2 M W G0 < x.

Pokud je toti G supremem mnoinyM , pak je G horn zvorouM , a tedyspluje (a). Jestlie G0 2 R; G0 < G, potom G0 nen horn zvorouM . Od-tud plyne, e existuje x 2 M takov, e G0 < x. Tm je ovena podmnka(b).

Nyn pedpokldejme, e G 2 R spluje podmnky (a) a (b). Potom jeG horn zvorou mnoinyM . Pedpokldejme, e G0 2 R je horn zvorouM . Chceme ukzat, e plat G G0. Pedpokldejme, e tomu tak nen.Potom dky linearit uspodn dostvme G0 < G. Podle vlastnosti (b)existuje x 2 M takov, e G0 < x, co je ovem spor s pedpokladem, e G0je horn zvorou mnoinyM .

Zdraznme, e linearitu uspodn jsme vyuili v okamiku, kdyjsme z pedpokladu, e neplat G G0 odvodili nerovnost G0 < G. Proobecn uspodn takov odvozen nelze provst.

Obdobn slo g 2 R je infimem mnoiny M R prv tehdy, kdyplat

(c) g je doln zvorouM ,(d) 8g0 2 R; g < g0 9x 2 M W x < g0.

1.6.15. Vta (o existenci infima). NechM R je zdola omezen neprzd-n mnoina. Potom existuje infimum mnoinyM a ozname-li

M D fx 2 RI x 2 M g;


pak plat infM D sup.M/.

Dkaz. Mnoina M je zejm neprzdn. Nech K 2 R je doln zvoroumnoiny M . Pro kad x 2 M plat x 2 M , take K x, tedy x K. Odtud plyne, e K je horn zvorou mnoiny M . Mnoina M jetedy shora omezen. Z 1.5.12 plyne existence suprema mnoiny M , kterozname symbolem G. Dokeme, e prvek g D G je infimem mnoinyM tak, e ovme podmnky (c) a (d) z charakterizace infima v 1.6.14.

Pro kad x 2 M plat x 2 M , tedy x G, take g x. slo gje proto doln zvorou mnoiny M . Tm jsme ovili podmnku (c). Ped-pokldejme, e g0 2 R a g < g0. Polome G0 D g0. Potom G0 < G, a zvlastnosti (b) v 1.6.14 tedy vyplv, e existuje y 2 M takov, e G0 < y,take y < g0. Protoe y 2 M , ovili jsme i podmnku (d) v 1.6.14. Tmje dkaz proveden.

1.6.16. Definice. NechM R.

ekneme, e a jenejvtmprvkem (maximem)mnoinyM , jestli-e a 2 M a a je horn zvorou mnoinyM .

ekneme, e b je nejmenm prvkem (minimem) mnoiny M ,jestlie b 2 M a b je doln zvorou mnoinyM .

1.6.17. Pokud maximum a minimum mnoinyM existuj, pak jsou urenyjednoznan. M-li toti mnoinaM dv maxima G1; G2, pak G1 i G2 jsouhorn zvory M . Plat tedy G1 G2 a G2 G1, a proto G1 D G2. Ob-dobn se doke jednoznanost minima. Minimum a maximum mnoinyM zname po ad minM a maxM .

1.6.18. Vta. NechM R.

(a) M-li mnoina M maximum, pak m i supremum, kter je rovnojejmu maximu.

(b) M-li mnoina M minimum, pak m i infimum, kter je rovno je-jmu minimu.

Dkaz. (a) Pedpokldejme, e G D maxM . Pak je G horn zvorou M , atedy je splnna podmnka (a) z 1.6.14. Je-li nyn G0 < G, pak G je prvekM vt ne G0, a tedy je splnna i podmnka (b) z 1.6.14. Proto je slo Gsupremem mnoinyM .

Tvrzen (b) lze dokzat obdobn.

1.6.19. Pklad. Nech x; y 2 R a A D fx; yg. Pak existuje maximum iminimum mnoiny A.


een. Budeme postupovat rozborem ppad.Mjme tedy prvky x; y 2 R.Z linearity uspodnR plat x y nebo y x. V prvnmppad je zejm

maxfx; yg D y; minfx; yg D x;

v ppad druhm plat

maxfx; yg D x; minfx; yg D y:

|

1.6.20.Oznaen. Nech n 2 N a a1; : : : ; an 2 R. Potom zpis a1 anznamen, e plat nerovnosti a1 a2, a2 a3; : : : ; an1 an. Obdobnznaen pouvme i pro dal typy nerovnost.

1.6.21. Definice. Nech a; b 2 R, a b. Definujeme mnoiny

.a; b/ D fx 2 RI a < x < bg; a; b D fx 2 RI a x bg;

.a; b D fx 2 RI a < x bg; a; b/ D fx 2 RI a x < bg;

.1; b/ D fx 2 RI x < bg; .1; b D fx 2 RI x bg;

.a;1/ D fx 2 RI a < xg; a;1/ D fx 2 RI a xg;

.1;1/ D R:

Pak mnoiny .a; b/, .1; b/, .a;1/ a .1;1/ nazvme otevenmi in-tervaly, mnoinu a; b nazvme uzavenm intervalem a mnoiny a; b/,.a; b, .1; b a a;1/ nazvme polouzavenmi intervaly.

1.6.22. Przdnmnoina je tak intervalem, nebo .a; a/ D ; pro kad a 2R. Tak kad jednoprvkov podmnoina R je intervalem, nebo a; a Dfag pro kad a 2 R.

Nsledujc lemma udv uitenou charakterizaci intervalu. Chceme-liukzat, e jist mnoina je intervalem, sta ovit podmnku ze znn lem-matu, kter k, e mnoina s kadmi dvma svmi body x a y obsahujei vechny body mezi x a y. Nen tedy teba hledat pslun krajn bodyintervalu. Lemma pouijeme napklad v dkazu Vty 4.3.6.

1.6.23. Lemma. Nech M R. Mnoina M je interval prv tehdy, kdyplat

8x; y 2 M 8 2 R W .x < < y ) 2 M/: (1.19)

ada matematickch vt m tvar ekvivalence. Jejich dkaz asto vede-me tak, e dokeme postupn dv implikace. Pro zjednoduen a zpehled-nn zpisu budeme obas pouvat symboly) a(, kter uvedoupslunsti dkazu.


Dkaz Lemmatu 1.6.23. ) Pedpokldejme, e M D .a; b/, kde a; b 2 R aa < b. Pro oven podmnky (1.19) vezmme x; y 2 M a 2 R takov, ex < < y. Potom plat a < x < < y < b, a tedy 2 M . Tm je pod-mnka (1.19) po uveden typ intervalu ovena. Pro ostatn typy intervalje oven obdobn.

(Pedpokldejme, emnoinaM spluje (1.19). PokudM D ;, pak jeM interval. Nen-liM omezen zdola ani shora, pakM D R D .1;C1/.Vezmeme-li toti libovoln slo 2 R, pak existuje x 2 M , x < (neboMnen zdola omezen) a tak existuje y 2 M , < y (protoe M nen shoraomezen). Podle pedpokladu tedy plat 2 M .

Je-li M omezen a neprzdn, pak klademe G D supM a g D infM .Plat .g;G/ M . Je-li toti 2 .g;G/, pak podle definice infima existujetakov x 2 M , e x < , podobn podle definice suprema existuje y 2 M , < y. Podle naeho pedpokladu je tedy 2 M . Dle je M g; G,nebo g je doln zvorou M a G je horn zvorou M . Mnoina M je tedyinterval s krajnmi body g a G, piem kad z nich me (ale nemus)patit doM .

V ostatnch ppadech, kdy jeM omezen pouze zdola a kdy jeM ome-zen pouze shora, lze tvrzen dokzat obdobn.

1.6.24. Vta. Nech n;m 2 Z, n < m. Pak nC 1 m.

Dkaz. Provedeme pm dkaz. Jeliko n < m, je m n kladn cel slo.Tedymn je pirozen slo, a proto 1 mn. Tm je tvrzen dokzno.

1.6.25. Vta (existence cel sti). Pro kad x 2 R existuje prv jednok 2 Z takov, e k x < k C 1.

Dkaz. Nejprve sporem dokeme jednoznanost sla k s uvedenmi vlast-nostmi. Nech existuj k; j 2 Z takov, e k j , k x < k C 1 aj x < j C 1. Bez jmy na obecnosti meme pedpokldat, e j < k.Potom k x a x1 < j , take 0 < kj < 1. Protoe kj 2 Z a 0 < kj ,plyne z Vty 1.6.24, e 1 k j . To je spor s tm, e k j < 1. Dokzalijsme tedy, e existuje nejve jedno slo s uvedenmi vlastnostmi.

Nyn dokeme, e pro dan x 2 R pslun slo existuje. OznameM D fn 2 ZI n xg. slo x je horn zvorou mnoiny M , a proto je Mshora omezen. Ukeme, e M je neprzdn. Pedpokldejme, e tomutak nen. Pak pro kad n 2 Z plat, e x < n, a proto je mnoina Z zdolaomezen. Mnoina Z je neprzdn, a tak existuje infimum g 2 R mnoinyZ. Pak pro kad n 2 Z mme g n. Je-li n 2 Z, pak i n 1 2 Z, a protog n 1. Pro kad n 2 Z potom plat gC 1 n. Prvek gC 1 je tedy dolnzvorou mnoiny Z, co je spor s tm, e g D infZ. Mnoina M je tudneprzdn.


Existuje tedy supremum G 2 R mnoiny M . Potom existuje k 2 Mtakov, eG1 < k. Pak platG < kC1, a tedy kC1 M . Odtud a z faktuk 2 M plyne k 2 Z a k x < k C 1.

1.6.26. Definice. Nech x 2 R. Potom slo k 2 Z splujc k x < k C1 (jeho existenci a jednoznanost zaruuje Vta 1.6.25), nazvme celoust sla x a zname jej x.

1.6.27.Vta (Archimdova4 vlastnostR). Kekadmu x 2 R existuje n 2 Nsplujc x < n.

Dkaz. Nech x 2 R. Nyn sta poloit n D maxfxC 1; 1g.

1.6.28. Lemma. Nech A;B R jsou neprzdn mnoiny splujc

8a 2 A 8b 2 B W a b:

Pak existuje supA a infB a plat supA infB.

Dkaz. Vezmme a0 2 A a b0 2 B libovoln. Dle pedpokladu je a0 dol-n zvorou B a b0 horn zvorou A. Dky neprzdnosti obou mnoin tedyexistuje supA a infB. Protoe

8b 2 B W b je horn zvorou A;

plat8b 2 B W supA b:

Tedy supA je doln zvora B, z eho plyne supA infB.

1.6.29. Vta (hustota Q v R). Nech a; b 2 R, a < b. Potom existuje y 2 Qtakov, e a < y < b.

Dkaz. Podle Vty 1.6.27 existuje ke kladnmu slu 1ba

slo n 2 N takov,e plat 1

ba< n. Je tedy na C 1 < nb. Polome y D naC1

n. Potom y 2 Q

a podle Vty 1.6.25 plat

a Dna

n K. Tud K nenhorn zvorou mnoiny N, co je spor.

Nsledujc lemma me bt ponkud pekvapiv, protoe ukazuje, emnoinu N N je mon prost zobrazit do N.

1.7.15. Lemma. Zobrazen ' W N N ! N definovan pedpisem

'.n;m/ D .nCm/2 C n; .n;m/ 2 N N;


je prost.

Dkaz. Pedpokldejme, e plat '.n;m/ D '.n0; m0/ pro .n;m/; .n0; m0/ 2N N. Potom mme

.n0 Cm0 C 1/2 > .n0 Cm0/2 C n0 D '.n0; m0/ D '.n;m/

D .nCm/2 C n > .nCm/2:

Odtud plyne nerovnost n0 Cm0 C 1 > nCm. Potom mme nCm n0 Cm0.Obdobn odvodme nerovnost n0 Cm0 nCm. Mus tedy platit n0 Cm0 Dn C m. Odtud a z rovnosti '.n;m/ D '.n0; m0/ plyne n D n0, a tedy takm D m0. Zobrazen ' je tedy prost.

1.7.16. Lemma. Nech A;B jsou mnoiny a f W A ! B je zobrazen. Pakf .A/ A.

Dkaz. Korektn dkaz se opr o axiom vbru, co je vrok, jeho plat-nost pi prci s mnoinami pedpokldme. Zde je jedna z jeho monchformulac:

Je-li b 7! Cb; b 2 I , indexovan systm neprzdnchmnoin, potom existuje zobrazen' W I !

Sb2I Cb takov, e pro kad b 2 I plat '.b/ 2 Cb .

Dal vysvtlen je uvedeno v Dodatku ??.Pokud je mnoina A przdn, potom tvrzen zejm plat. Pokud je

mnoina A neprzdn, potom polome I D f .A/ a Cb D f 1.fbg/ prob 2 I . Podle axiomu vbru existuje zobrazen ' W f .A/ ! A takov, e prokad b 2 f .A/ plat '.b/ 2 f 1.fbg/. Zobrazen ' je prost. Pokud toti'.b/ D '.b0/, potom plat b D f

'.b/

D f

'.b0/

D b0. Dostvme tedy

f .A/ A.

1.7.17. Vta (vlastnosti konench mnoin).(a) Nech A je konen mnoina a B A. Potom B je konen.(b) Nech A je konenmnoina, jejmi prvky jsou konenmnoiny.

PotomS

A je konen mnoina.(c) Nech n 2 N a A1; : : : ; An jsou konen mnoiny. Potom A1

An je konen mnoina.(d) Nech A je konen mnoina, B je mnoina a f W A ! B je zobra-

zen. Potom f .A/ je konen mnoina.

Dkaz. (a) Nejprve matematickou indukc podle n dokeme, e je-li n 2 Na A f1; : : : ; ng, potom je mnoina A konen. Je-li n D 1 a A f1g,pak bu je A przdn mnoina, nebo A D f1g. V obou ppadech pmo zdefinice plyne, e mnoina A je konen.

Pedpokldejme nyn, e kad podmnoina mnoiny f1; : : : ; ng je ko-nen.NechA je podmnoinamnoiny f1; : : : ; nC1g. PokudA f1; : : : ; ng,

1.7. KONEN A SPOETN MNOINY 47

pak je A konen mnoina podle induknho pedpokladu. V opanm p-pad plat

A DA \ f1; : : : ; ng

[ fnC 1g:

Pak je mnoinaB D A\f1; : : : ; ng konen. Je-liB przdn, pakA D fnC1ga existuje bijekce mnoiny f1g na mnoinu A. Je-li B neprzdn, potomexistuj k 2 N a bijekce ' W f1; : : : ; kg ! B. Definujme W f1; : : : ; kC1g ! Apedpisem

.i/ D

('.i/ pro i 2 f1; : : : ; kg;nC 1 pro i D k C 1:

Pak je bijekce f1; : : : ; k C 1g na A, a tedy A je konen mnoina.Pedpokldejme nyn, e A je konen neprzdn mnoina a B je jej

neprzdn podmnoina. Pak existuje n 2 N a bijekce ' W A ! f1; : : : ; ng.Potom je zobrazen D 'jB bijekc mnoiny B na mnoinu '.B/. Pod-le prvn sti dkazu je mnoina '.B/ konen, tj. existuje m 2 N a bi-jekce ! W '.B/ ! f1; : : : ; mg. Pak ! B je bijekce mnoiny B na mnoinuf1; : : : ; mg, take mnoina B je konen.

(b) Nejprve dokeme, e sjednocen dvou konench mnoin je ko-nen mnoina. Nech tedy C a D jsou konen mnoiny. Je-li alespojedna z nich przdn, pak tvrzen zejm plat. Pedpokldejme tedy, ejsou ob neprzdn. Potom existuj m; n 2 N a bijekce W C ! f1; : : : ; ng, W D ! f1; : : : ; mg. Definujme zobrazen W DnC ! fnC1; : : : ; nCmgped-pisem .x/ D .x/Cn, x 2 DnC . Pak zobrazen ' W C [D ! f1; : : : ; nCmgdefinovan pedpisem

'.x/ D

(.x/; x 2 C;

.x/; x 2 D n C;

je prost zobrazen mnoiny C [D do mnoiny f1; : : : ; nCmg, nebo zob-razen jC , jDnC jsou prost a

.C / \ .D n C/ f1; : : : ; ng \ fnC 1; : : : ; nCmg D ;:

Plat '.C [D/ f1; : : : ; nCmg, a mnoina '.C [D/ je tedy konen podleji dokzan sti (a). Mnoina C [D je konen, nebo podle 1.4.22 platC [D '.C [D/.

Pokud je mnoina A konen, pak je bu przdn nebo m n prvk,kde n 2 N. V prvnm ppad je jej sjednocen przdnou mnoinou, a jetedy konen. Ve druhmppad dokeme tvrzenmatematickou indukc.Pro n D 1 tvrzen zejm plat. Pedpokldejme nyn, e tvrzen plat pron 2 N. Nech tedy A D fA1; : : : ; AnC1g, kde Ai , i D 1; : : : ; n C 1, jsou


dan konen mnoiny. Potom podle induknho pedpokladu jeSn

iD1Aikonenou mnoinou. Pak je ale mnoina

nC1[iD1

Ai D n[

iD1

Ai

[ AnC1

konen dle prvn sti dkazu. Tm je podle principumatematick indukcetvrzen dokzno.

(c) Podobn jako v (b) sta dokzat, e kartzsk souin dvou kone-nch neprzdnch mnoin A a B je konen. Mjme m; n 2 N a bijekce W A ! f1; : : : ; ng, W B ! f1; : : : ; mg. Nech ' je zobrazen z Lemma-tu 1.7.15. Pak zobrazen definovan pedpisem

.a; b/ D '..a/; .b//; .a; b/ 2 A B;

je prost zobrazenmnoinyAB do konenmnoiny f1; : : : ; .nCm/2Cng.Mnoina .A B/ je tedy konen podle ji dokzan sti (a). Odtudplyne i konenost mnoiny A B, nebo A B .A B/.

(d) Dky Lemmatu 1.7.16 vme, e f .A/ A, tj. existuje prost zob-razen W f .A/ ! A. Potom je mnoina .f .A// podmnoinou konenmnoiny A, a je tedy podle (a) konen. Mnoina f .A/ je tedy konen,nebo f .A/ .f .A//.

1.7.18. Lemma. (a) Mnoina A je spoetn prv tehdy, kdy plat A N.(b)NechA je neprzdnmnoina. Potom jemnoinaA spoetn prv

tehdy, kdy existuje zobrazen f W N ! A, kter je na.

Dkaz. (a) ) Pokud je A spoetn, pak je bu konen, nebo A N. Vprvnm ppad je A bu przdn nebo existuje n 2 N takov, e A f1; : : : ; ng. Zejm tedy plat A N.

Pokud A N, pak tak zejm A N.( Nech f W A ! N je prost zobrazen. Mnoina f .A/ je bu omeze-

n, nebo neomezen. Pedpokldejme nejprve, e nastv prvn monost.Potom existuje slo K 2 R, kter je horn zvorou mnoiny f .A/. PodleVty 1.6.27 existuje n 2 N takov, eK < n. Potom plat f .A/ f1; : : : ; ng.Podle Vty 1.7.17(a) je f .A/ konen mnoina. Vzhledem k tomu, e A f .A/ podle 1.4.22, dostvme, e mnoina A je konen, a tedy spoetn.

Pedpokldejme nyn, e mnoina f .A/ nen omezen. Induktivn bu-deme konstruovat posloupnost pirozench sel fnkg1kD1. Polome n1 Dminf .A/. Pedpokldejme, e pro k 2 N jsou ji definovna sla n1; : : : ; nk.Mnoina f .A/ n fn1; : : : ; nkg je neprzdn, nebo f .A/ je neomezen. Po-lome nkC1 D min

f .A/ n fn1; : : : ; nkg

. Tm je konstrukce posloupnosti

provedena podle Vty 1.4.30. Zobrazen ' W k 7! nk; k 2 N, je podle kon-strukce prost a plat '.N/ D f .A/. Podle 1.4.22 plat '.N/ N, a tedy

1.7. KONEN A SPOETN MNOINY 49

f .A/ N. Odtud dostvme A N, nebo A f .A/ podle 1.4.22. Mno-ina A je tedy spoetn.

(b) ) Podle ji dokzanho bodu (a) existuje prost zobrazen g W A !N. Mnoina A je neprzdn, take meme nalzt prvek a 2 A. Zobrazenf W N ! A definujeme pedpisem

f .n/ D

(g1.n/; pokud n 2 H .g/;a; pokud n 2 N n H .g/:

Potom zejm f .N/ D A.( Pedpokldejme, e f W N ! A je zobrazen, kter je na. Potom

podle 1.7.16 plat A N. Mnoina A je tedy spoetn podle ji dokzansti (a).

1.7.19. Vta (vlastnosti spoetnch mnoin).(a) Nech A je spoetn mnoina a B A. Potom je mnoina B spo-

etn.(b) Nech A je spoetn mnoina, jejmi prvky jsou spoetn mnoi-

ny. Potom je mnoinaS

A spoetn.(c) Nech n 2 N a A1; : : : ; An jsou spoetn mnoiny. Potom je mno-

ina A1 An spoetn.(d) Nech A je spoetn mnoina, B je mnoina a f W A ! B je zobra-

zen. Potom je mnoina f .A/ spoetn.

Dkaz. (a) Nech B A a A je spoetn. Potom IdB W B ! A je prostzobrazen, a plat tedy B A. Ponvad A N podle Lemmatu 1.7.18(a),dostvme B N podle Vty 1.7.3(b) a mnoina B je tedy spoetn podleLemmatu 1.7.18(a).

(b) Ozname QA D fA 2 AI A ;g. PotomS

QA DS

A. Pokud QA D ;,potom je mnoina

SA przdn, a tedy spoetn. V opanm ppad exis-

tuje podle Lemmatu 1.7.18(b) zobrazen f W N ! QA, kter je na. Pro ka-dA 2 QA existuje zobrazen gA W N ! A, kter je na. Definujme zobrazen W N N !

SA pedpisem .n;m/ D gf .n/.m/. Zobrazen je na. Pro

kad x 2S

A toti existuje A 2 QA takov, e x 2 A. Existuj tedy n;m 2 Ntakov, e f .n/ D A a gA.m/ D x. Potom .n;m/ D gf .n/.m/ D gA.m/ D x.

Podle Lemmat 1.7.15 a 1.7.18(a) je mnoina N N spoetn, a tedyexistuje zobrazen h mnoiny N na mnoinu N N (Lemma 1.7.18(b)).Potom je zobrazen h zobrazenm mnoiny N na mnoinu

SA, co

podle Lemmatu 1.7.18(b) dokazuje spoetnost mnoinyS

A.(c) Podobn jako v dkazu bod (b) a (c) Vty 1.7.17 sta dokzat,

e kartzsk souin dvou spoetnch mnoin A a B je spoetn. Kartzsksouin A B je roven sjednocen

Sa2Afag B. Zejm plat fag B B.


MnoinaAB je tedy spoetnm sjednocenm spoetnch mnoin a podle(b) je tedy spoetn.

(d) Nech A je spoetn mnoina a f W A ! B je zobrazen. Vme zLemmatu 1.7.16, e plat f .A/ A. Protoe A N, dostvme podle V-ty 1.7.3(b) f .A/ N. Odtud plyne podle (a) spoetnost f .A/. 1.7.20. Pklad. Dokate, e mnoina racionlnch sel Q je spoetn.

een. Mnoina Z je spoetn, nebo je sjednocenm mnoiny kladnch -sel, mnoiny zpornch sel a jednoprvkov mnoiny obsahujc slo 0.Mnoina Z N je tedy podle Vty 1.7.19(c) spoetn. Zobrazen f W Z N ! Q definovan pedpisem f .p; q/ D pq1 zobrazuje ZN na Q. PodleVty 1.7.19(d) je mnoina Q spoetn. |1.7.21. Pklad. Nech J je disjunktn systm neprzdnch otevench in-terval v R. Dokate, e potom je systm J spoetn.

een. Pro kad J 2 J nalezneme racionln slo qJ 2 J . Pak je zobrazendefinovan pedpisem J 7! qJ , J 2 J, prostm zobrazenm mnoiny J dospoetn mnoiny Q, tedy J je tak spoetn. |1.7.22. Pklad. Nech A je nekonen mnoina. Dokate, e potom A ob-sahuje nekonenou spoetnou podmnoinu.

een. Definujme induktivn posloupnost fang1nD1 nsledovn. Zvolme a1 2A libovoln. Pedpokldejme, e pro n 2 N jsme ji definovali prvky a1; : : : ; an.Mnoina A n fa1; : : : ; ang je neprzdn, nebo A je nekonen. Prvek anC1zvolme libovoln z tto mnoiny. Mnoina fanI n 2 Ng je nekonen dleVty 1.7.14, a tm je dkaz proveden. |1.7.23. Poznmka. Mnoina R je nespoetn. Dkaz provedeme a v P-kladu 3.8.10 a jinm zpsobem v paragrafu 10.10.32.

1.8. Vlastnosti elementrnch funkc

Reln funkce f jedn relnpromnn (dle jen funkce) je zobrazenf W M ! R, kdeM je podmnoinou mnoiny relnch sel.

V tomto oddlu uvedeme definice nkterch pojm, kter jsou dleitpi zkoumn relnch funkc. Dle se seznmme s elementrnmi funk-cemi, tj. s polynomy, exponencilou, logaritmem, odmocninami, obecnoumocninou, goniometrickmi funkcemi a cyklometrickmi funkcemi. Uve-deme souhrny jejich zkladnch vlastnost, ze kterch lze odvodit vechnapoetn pravidla stedokolsk matematiky. V Kapitole 5 pak nkolik tako-vch odvozen provedeme.

1.8. VLASTNOSTI ELEMENTRNCH FUNKC 51

1.8.1. Definice. Nech J R je interval. ekneme, e funkce f W J ! R je rostouc na intervalu J , jestlie pro kad x1; x2 2 J , x1 < x2, platf .x1/ < f .x2/,

klesajc na intervalu J , jestlie pro kad x1; x2 2 J , x1 < x2, platf .x1/ > f .x2/,

neklesajc na intervalu J , jestlie pro kad x1; x2 2 J , x1 < x2,plat f .x1/ f .x2/,

nerostouc na intervalu J , jestlie pro kad x1; x2 2 J , x1 < x2,plat f .x1/ f .x2/.

1.8.2.Definice. Monotnn funkc (respektive ryzemonotnn funkc) naintervalu J R rozumme funkci, kter je neklesajc nebo nerostouc (re-spektive rostouc nebo klesajc) na J .

1.8.3. Definice. Nech f W A ! R aM A. ekneme, e f je shora omezen naM , jestlie mnoina f .M/ je shora omezen, zdola omezen naM , jestlie mnoina f .M/ je zdola omezen, omezen naM , jestlie mnoina f .M/ je omezen, konstantn naM , jestlie pro vechna x; y 2 M plat f .x/ D f .y/.

1.8.4. Definice. Nech f W A ! R aM A. ekneme, e f je lich, jestlie pro kad x 2 D.f / plat x 2 D.f / a f .x/ D

f .x/, sud, jestlie pro kad x 2 D.f / plat x 2 D.f / a f .x/ Df .x/,

periodick s periodou a, kde a 2 R, a > 0, jestlie pro kadx 2 D.f / plat x C a 2 D.f /, x a 2 D.f / a f .x C a/ D f .x/.

1.8.5 (algebraick operace s funkcemi). NechM je mnoina, f W M ! R,g W M ! R a c 2 R. Pak definujeme funkce f C g, fg, cf na mnoin Mpedpisy

.f C g/.x/ D f .x/C g.x/; x 2 M;

.fg/.x/ D f .x/g.x/; x 2 M;

.cf /.x/ D cf .x/; x 2 M:

Je-li g.x/ 0 pro kad x 2 M , pak definujemefg

.x/ D

f .x/

g.x/; x 2 M:

1.8.6. Vta. Nech M je neprzdn mnoina a f W M ! R a g W M ! Rjsou zobrazen.


(a) Jestlie f a g jsou shora omezen, potom

sup.f C g/.M/ supf .M/C supg.M/:

(b) Jestlie f a g jsou zdola omezen, potom

inf.f C g/.M/ inff .M/C infg.M/:

Dkaz. (a) Mnoiny f .M/ a g.M/ jsou neprzdn a shora omezen, a protoexistuj jejich suprema, kter ozname po adA aB. Nech x 2 M . Potomz definice suprema plyne f .x/ A a g.x/ B, a tedy tak f .x/ C g.x/ A C B. Protoe x 2 M bylo zvoleno libovoln, je A C B horn zvoroumnoiny .f C g/.M/. Odtud plyne tvrzen (a).

(b) Dkaz tvrzen (b) je obdobn dkazu tvrzen (a).

1.8.7. Nech a; b 2 R. Definujme funkci f W R ! R pedpisem f .x/ Dax C b. Takto definovan funkce se nazv afinn. Pokud je b D 0, kme,e f je linern. Zde definujeme pojem linern funkce jinak, ne je obvyklna stedn kole, protoe v pokroilejch matematickch textech se uvprv uveden definice.

1.8.8. Nech a; b; c 2 R. Definujme funkci f W R ! R pedpisem f .x/ Dax2CbxCc. Je-li a 0, pak se takto definovan funkce nazv kvadratick.

1.8.9. Polynomem budeme rozumt kadou funkci P tvaru

P.x/ D a0 C a1x C C anxn; x 2 R; (1.21)

kde n 2 N [ f0g a a0; a1; : : : ; an 2 R. sla a0; : : : ; an se nazvaj koeficientypolynomu P . Nulovm polynomem rozumme konstantn nulovou funkcidefinovanou na R.

Dkaz nsledujcho tvrzen a dkaz tvrzen z dalho paragrafu jsouuvedeny v Dodatku ??. Pro kad nenulov polynom existuj jednoznanuren sla n 2 N [ f0g; a0; : : : ; an 2 R; an 0, takov, e

P.x/ D a0 C a1x C C anxn; x 2 R:

Pak kme, e stupe polynomu P je roven n. Stupe nulovho polynomudefinujeme jako 1. Stupe polynomu P zname stP .

1.8.10. Relnm koenem polynomu P rozumme kad slo x 2 R spl-ujc P.x/ D 0. Nech P je polynom tvaru (1.21), kde an 0. Potomexistuje nejve n relnch koen polynomu P .

Pro polynomy stupn 1 a 2 je mon urit hodnoty relnch koenpomoc nsledujcch vzorc. Rovnice ax C b D 0, kde a; b 2 R; a 0, mprv jeden reln koen b

a. Odvozen je snadn. Uvaujme rovnici

ax2 C bx C c D 0; (1.22)

1.8. VLAST

Documents

Matematická analýza 1 (velmi předběžná verze)