คณตศาสตร ตามมาตรฐานการเรยนรและตวชวดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551

ชนมธยมศกษาปท 3 เลม 1

ผเรยบเรยงนำงกนกวลอษณกรกล

นำงสำวปำจรยวชชวลค

ดร.สเทพบญซอน

ผตรวจนำยทวศกดจนทรมณ

นำงสำวบรนำถเฉยฉน

ผศ.สญชยภเงน

บรรณาธการรศ.ดร.อ�ำพลธรรมเจรญ

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน

ม.3เลม 1

สงวนลขสทธตามพระราชบญญตปทพมพ 2563

พมพครงท 1จานวนพมพ 30,000 เลมISBN : 978-616-203-927-0

รหสสนคา 2316011

แนวขอสอบเนนการคด

ขอใดตอไปนเปนกราฟของฟงกชน y = 3x2 + 18x + 15

1)

3)

2)

4)

แนวคด เขยนฟงกชน y = 3x2 + 18x + 15 ใหอยในรป y = a(x - h)2 + k ไดเปน y = 3(x + 3)2 - 12 จากฟงกชน y = 3(x + 3)2 - 12 เมอเทยบกบฟงกชน y = a(x - h)2 + k จะได a = 3, h = -3 และ k = -12

เนองจากจดตดแกน Y ของกราฟ คอ จดทมคา x = 0 จะได y = 3(0)2 + 18(0) + 15

y = 15

ดงนน กราฟของฟงกชน y = 3x2 + 18x + 15 เปนพาราโบลาหงาย มจด (-3, -12)

เปนจดตาสด และตดแกน Y ทจด (0, 15)

นนคอ คาตอบ คอ ขอ 3)

X-5

20

0

Y

(-3, -12)

(0, 6)

X-5

20

0

Y

(-3, -12)

(0, -3)

X-5

20

0

Y

(-3, -12)

(0, 15)

X-5

20(0, 24)

0

Y

(-3, -12)

136

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ตอบ

กาหนดให a เปนจานวนเตม

ถา 59 < a27 < 33

54 แลว a มคาตรงกบขอใด

1) 15

3) 17

2) 16

4) ไมมขอใดถก

แนวคด จาก 59 < a

27 < 3354

นา 27 มาคณในอสมการ

จะได (59)(27) < ( a27)(27) < (3354)(27) หรอ 15 < a < 16.5

เนองจาก a เปนจานวนเตม จะได a มคาเทากบ 16

ดงนน คาตอบ คอ ขอ 2)

แนวขอสอบ O-NET

กาหนดให 4 ≤ a ≤ 9 และ 0.1 ≤ b ≤ 0.4

ถา x เปนจานวนเตมทมากทสดทเปนไปไดของ ab และ y เปนจานวนเตมทนอยทสด

ทเปนไปไดของ ab แลว x + y มคาเทาใด

คาถามทาทายการคดขนสง

จงแกอสมการ -23 ≤ 3x - 5 < 10 พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

ลองทาด

30

หลงจากเรยนจบหนวยนแลว ใหนกเรยนบอกสญลกษณทตรงกบระดบความสามารถของตนเอง

1. อธบายลกษณะและสวนประกอบตาง ๆ ของพระมด กรวยและทรงกลมได

2. อธบายรปคลของพระมดและกรวยได

3. หาพนทผวของพระมด กรวย และทรงกลมได

4. หาปรมาตรของพระมด กรวย และทรงกลมได

5. นาความรเกยวกบพนทผวและปรมาตรของพระมด กรวยและทรงกลมไปใชในการแกปญหาทางคณตศาสตรและปญหาในชวตจรงได

ตรวจสอบตนเอง

ด พอใชควร

ปรบปรง

5. เอกตกไอศกรมทมลกษณะเปนทรงกลมใสกรวยทมสงเอยงยาว 15 เซนตเมตร และสง

12 เซนตเมตร ปรากฏวา ไอศกรมสวนทพนปากกรวยมลกษณะเปนครงทรงกลมพอด

จงหาวา ไอศกรมลกนมปรมาตรเทาใดจงหาวา ไอศกรมลกนมปรมาตรเทาใด

ระดบ ทาทาย

ทมา : คลงภาพ อจท.

200

แนวขอสอบเนนการคด เพอใหผเรยนไดศกษาแนวคดกอนสอบจรง

ตรวจสอบตนเอง แบบประเมนเพอใหผเรยนสามารถตรวจสอบความรความเขาใจของตนเอง

เกรดนารเสรมความรทวไปทสอดคลองกบเนอหา

QR Code รองรบการเรยนร ผานสอดจทล

มมเทคโนโลย ความรเกยวกบการใชเทคโนโลยเปนเครองมอเพอชวยตรวจสอบคาตอบ

แบบฝกทกษะประจาหนวย การเรยนร เพอประเมนความรความเขาใจของผเรยนประจาหนวยการเรยนร

แนวขอสอบ O-NET เพอใหผเรยนไดศกษาแนวคดกอนสอบจรง

แนะแนวคด เทคนคตาง ๆ ทชแนะวธการแกโจทยทางคณตศาสตร

H.O.T.S. คาถามทาทาย การคดขนสงตามทฤษฎการเรยนรของบลม (Bloom’s Taxonomy)

แบบฝกทกษะ แบงระดบความยากงาย เหมาะสมกบระดบการเรยนรของผเรยน

กจกรรมคณตศาสตร เพอสงเสรมการเรยนรแบบ Active Learning

คณตศาสตรในชวตจรง

เกรกอร โยฮนน เมนเดล เปนบดาแหงวชาพนธศาสตรทนาความรเกยวกบความนาจะเปน

มาอธบายอตราสวนระหวางลกษณะเดนและลกษณะดอยของถวลนเตา 7 ลกษณะ ไดแก สของ

กลบดอก ความสงของลาตน รปรางของฝก รปรางของเมลด สของเมลด ตาแหนงของดอก และ

สของฝก1

พจารณาการผสมพนธถวลนเตาดอกสมวงและดอกสขาวตอไปน

1 เธยร ธระวรวงศ และคณะ, หนงสอเรยนรายวชาเพมเตมวทยาศาสตร ชววทยา ชนมธยมศกษาปท 4 เลม 2

(นนทบร : ไทยรมเกลา), หนา 8.

จะเหนวา เมอผสมพนธ ถวลนเตาตนพอทมดอกสมวงพนธ แท (PP) กบตนแมทม

ดอกสขาวพนธแท (pp) ในรนพอแม (P) จากนน นาถวลนเตาในรนลก (F1) ทไดมาผสมพนธกนตอ

โอกาสทจะไดถวลนเตาสมวงและสขาวในรนหลาน (F2) เปน 34 และ 14 โดยประมาณ ตามลาดบ

ซงเปนการนาความรเกยวกบความนาจะเปนมาชวยในการหาคาตอบ

ใหนกเรยนยกตวอยางการนาความรเกยวกบความนาจะเปนไปใชในชวตจรงมา 2 ตวอยาง

ดอกสมวง

ดอกสมวง

ดอกสมวง ดอกสขาว

ดอกสขาว

รน P

รน F1

รน F2

ดอกสมวง(PP)

ดอกสมวง(Pp)

ดอกสขาว(pp)

ดอกสมวง(PP)

ดอกสมวง(Pp)

ดอกสมวง(Pp)

ดอกสขาว(pp)

P

P

p

p

ความนาจะเปน 289

สรปแนวคดหลก โดยรวมของทงหนวยการเรยนร เพอทบทวนความรใหแกผเรยน

คณตศาสตรในชวตจรง เชอมโยงความรคณตศาสตร ไปใชในชวตจรง

สรปแนวคดหลก

พระมดพระมด (pyramid) เปนรปเรขาคณต 3 มต ทมฐานเปนรปหลายเหลยมใด ๆ มยอดแหลม

ซงไมอย บนระนาบเดยวกนกบฐาน และหนาทกหนาเปนรปสามเหลยมทมจดยอดรวมกน

ทยอดแหลม ซงสวนประกอบตาง ๆ ของพระมด มดงน

1) พนทผวของพระมด

พนทผวของพระมด = พนทฐาน + พนทผวขาง

2) ปรมาตรของพระมด

ปรมาตรของพระมด = 13 × พนทฐาน × ความสง

กรวยกรวย (cone) เปนรปเรขาคณต 3 มต ทมฐานเปนวงกลม มยอดแหลมทไมอยบนระนาบ

เดยวกนกบฐาน และเสนทตอระหวางจดยอดกบจดใด ๆ บนขอบของฐานเปนสวนของเสนตรง

ซงสวนประกอบตาง ๆ ของกรวย มดงน

พระมดตรง พระมดเอยง

ยอด

สน

หนาขาง

สวนสง

สงเอยง

ฐาน

202

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 4

1. จงหาพนทผวของพระมดตามเงอนไขในแตละขอตอไปน

1) พระมดฐานสามเหลยมดานเทามมเทาทมฐานยาวดานละ 10 เซนตเมตร และสงเอยง

ยาว 20 เซนตเมตร

2) พระมดฐานสเหลยมจตรสทมฐานยาวดานละ 5 หนวย และสงเอยงยาว 15 หนวย

3) พระมดฐานหกเหลยมดานเทามมเทาทมฐานยาวดานละ 9 หนวย และสงเอยงยาว 45

หนวย

2. จงหาพนทผวของพระมดฐานสเหลยมจตรสทมปรมาตร 100 ลกบาศกเซนตเมตร และสง

12 เซนตเมตร

3. จงหาปรมาตรของพระมดทกาหนดตอไปน

4. จงหาพนทผวของกรวยทกาหนดใหในแตละขอตอไปน (ความยาวทกาหนดใหมหนวยเปน

เซนตเมตร และกาหนดให π ≈ 227 )

1) 2)

3) 4)

5

13

12 39

21

10

20

10 ซม.7 ซม.

25 ซม.

204

3. รปสเหลยมผนผารปหนงมดานยาวยาวกวา 2 เทาของดานกวางอย 4 เมตร ถาเสนรอบรป

ยาวไมเกน 38 เมตร จงหาความยาวของดานกวาง

4. วนแรกทรายอานหนงสอได 14 ของจานวนหนาทงหมด และวนตอมาอานไดอก 60 หนา

ซงรวม 2 วน ทรายอานไดมากกวาครงเลม จงหาวาหนงสอเลมนมจานวนหนา

อยางมากทสดกหนา

5. กอยตองการสรางรวไมลอมทดนผนหนงทมลกษณะเปนรปสเหลยมผนผาและมความยาว

ทดนโดยรวมไมเกน 240 เมตร ถาดานยาวของทดนยาวกวาดานกวางของทดนอย 40 เมตร

อยากทราบวา กอยตองลอมรวยาวอยางมากทสดกเมตร

แบบฝกทกษะ 1.4ระดบ พนฐาน

ระดบ กลาง

1. เมยมเงน 100 บาท ตองการซอนาขวดละ 7 บาท อยากทราบวา เมยจะซอนาไดมากทสด

กขวด

2. ถา 3 เทาของจานวนเตมบวกจานวนหนงมากกวา 30 อยไมถง 15 จงหาจานวนเตมบวก

จานวนนน

40

จากตวอยางท 11 และตวอยางท 12 นกเรยนสามารถใชโปรแกรม GeoGebra เพอเขยนกราฟของฟงกชน

กาลงสองได ดงน

1. พมพ “y=x∧2-6x+10” ลงในชอง Input เพอเขยนกราฟของฟงกชน y = x2 - 6x + 10

จะไดกราฟของฟงกชน y = x2 - 6x + 10 ดงน

2. พมพ “y=-2x∧2-20x-49” ลงในชอง Input เพอเขยนกราฟของฟงกชน y = -2x2 - 20x - 49

จะไดกราฟของฟงกชน y = -2x2 - 20x - 49 ดงน

เทคโนโลยÁØÁ

-35-35 -30-30 -25-25 -20-20 -15-15 -10-10 -5-5 55 1010 1515 2020 2525 3030 3535 4040

-60-60

-50-50

-40-40

-30-30

-20-20

-10-10

1010

2020

3030

00

eq1eq1 eq2eq2

gg

hh

-30-30 -25-25 -20-20 -15-15 -10-10 -5-5 55 1010 1515 2020 2525 3030 3535 4040 4545

-40-40

-30-30

-20-20

-10-10

1010

2020

3030

4040

5050

00

eq1eq1 eq2eq2

gg

hh

X

X

Y

Y

ฟงกชนกาลงสอง 135กราฟของฟงกชนกาลงสอง

เมอนา 50 ไปลบออกจากผลบวกของจานวนเตมบวกจานวนหนงกบ 18 จะไดผลลพธ

นอยกวา 6 จงหาจานวนเตมบวกจานวนนน

วธทา ให x แทนจานวนเตมบวกจานวนนน

นา 50 ไปลบออกจากผลบวกของจานวนเตมบวกจานวนนนกบ 18 เขยนแทนดวย

(x + 18) - 50 เนองจากผลลพธทไดนอยกวา 6

เขยนเปนอสมการได (x + 18) - 50 < 6

x + 18 < 56

x < 38

ตวอยางท 14

การแสดงอลกอรทมดวยผงงาน (flowchart) คอ แผนผงแสดงขนตอนการทางานทเรมจากจดเรมตนไปยง

จดสนสด ซงสามารถใชแผนผงนแสดงขนตอนการทางานของโปรแกรมได นอกจากน ผงงานยงเปน

เครองมอเพอใชในการตรวจสอบความผดพลาดในการทางาน สาหรบการแสดงอลกอรทมดวยผงงาน

มสญลกษณและคาอธบาย ดงน

เปนสญลกษณทแทนจดเรมตนหรอจดสนสดของการทางาน

เปนสญลกษณทแทนการนาขอมลเขาหรอออกโดยไมระบชนดของอปกรณ

เปนสญลกษณทแทนการดาเนนงานหรอการประมวลผล

เปนสญลกษณทแทนการตดสนใจตามเงอนไขทกาหนดไว

เปนสญลกษณทแทนทศทางของการดาเนนงาน

เปนสญลกษณทแทนการนาเขาขอมลดวยการปอนคาทางแปนพมพ

เกรด นาร

ทมา : ณฐภทร แกวรตนภทร. (2562). หนงสอเรยนรายวชาพนฐานวทยาศาสตร เทคโนโลย (วทยาการคานวณ)

ชนประถมศกษาปท 4. นนทบร : ไทยรมเกลา.

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 35

1.2 คาตอบของอสมการเชงเสนตวแปรเดยว และกราฟแสดงคาตอบ

ในระดบชนมธยมศกษาปท 1 นกเรยนไดทราบแลววา คาตอบของสมการเชงเสน

ตวแปรเดยว คอ จานวนทแทนคาตวแปรในสมการ แลวทาใหสมการเปนจรง สาหรบอสมการ

เชงเสนตวแปรเดยวสามารถหาคาตอบของอสมการไดโดยการแทนคาตวแปรในอสมการ แลว

ทาใหอสมการเปนจรงไดเชนเดยวกน ซงนกเรยนจะไดศกษาเพมเตมจากกจกรรมคณตศาสตร

ตอไปน

กจกรรม คณตศาสตร

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹ËҨӹǹ¨ÃÔ§·Õèá·¹¤‹Ò x ã¹áµ‹ÅТŒÍµ‹Í仹Õé áŌǷÓãËŒÍÊÁ¡ÒÃ໚¹¨ÃÔ§

ÁÒ 5 ¨Ó¹Ç¹ â´Â·Óŧã¹ÊÁØ

1. x > 5

2. x < 7

3. x ≠ 10

4. x ≥ 4

5. x ≤ 7

6. 3 ≤ x < 7

จากกจกรรมคณตศาสตร จะเหนวา อสมการในแตละขอสามารถหาจานวนมาแทนคา x แลวทาใหอสมการเปนจรงไดเสมอ เชน ขอ 1. เมอแทนคา x ดวย 6, 7, 8 หรอจานวนทมากกวา 5

จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ หรอขอ 5. เมอแทนคา x ดวย 5, 6, 7 หรอจานวนทนอยกวา

หรอเทากบ 7 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ ซงจะเรยกจานวนเหลานวา คาตอบของอสมการ

คาตอบของอสมการ คอ จานวนจรงใด ๆ ทแทนตวแปรในอสมการแลวทาใหอสมการ

เปนจรง

อสมการ 3 ≤ x < 7 อานวา

“เอกซมากกวาหรอเทากบสาม

แตนอยกวาเจด”

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 7

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3 เลม 1จดท�ำขนส�ำหรบใชประกอบกำรเรยนกำรสอนชนมธยมศกษำปท3 โดยด�ำเนนกำรจดท�ำใหสอดคลอง

ตำมมำตรฐำนกำรเรยนรและตวชวดกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร(ฉบบปรบปรงพ.ศ.2560)

ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช2551 ทกประกำร เพอสงเสรมทกษะ

ทจ�ำเปนส�ำหรบกำรเรยนรในศตวรรษท21ทงทกษะดำนกำรคดวเครำะหกำรคดอยำงมวจำรณญำณ

กำรแกปญหำกำรคดสรำงสรรคกำรใชเทคโนโลยกำรสอสำรและกำรรวมมอเพอใหผเรยนรเทำทน

กำรเปลยนแปลงของระบบเศรษฐกจสงคมวฒนธรรมและสภำพแวดลอมสำมำรถแขงขนและ

อยรวมกบประชำคมโลกได

หนงสอเรยนกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตรในระดบชนมธยมศกษำปท3น

คณะผเรยบเรยงไดจดแบงออกเปน2เลมดงน

คณตนาร เสรมควำมรหรอขอสงเกตทไดจำกเนอหำ

ขอควรระวง อธบำยในสงทผเรยนมกเขำใจผดหรอคลำดเคลอน

ควรรกอนเรยน ทบทวนควำมรเดมเพอเชอมโยงเขำสเนอหำใหม

ลองทาดเพอใหผเรยนไดฝกท�ำจนเกดควำมช�ำนำญ

ต�ำแหนงของQ3=34(36+1)=

34(37)=27.75

ซง27.75อยระหวำงต�ำแหนงท27กบต�ำแหนงท28นนคออยระหวำงคำ41กบ44

จะเหนวำ ต�ำแหนงเพมขน28-27=1ต�ำแหนง

เวลำเพมขน44-41=3นำท

ดงนน ต�ำแหนงเพมขน27.75-27=0.75ต�ำแหนง

เวลำเพมขน 0.751 ×3=2.25นำท

จะไดวำ เวลำทตรงกบต�ำแหนงของควอรไทลท3คอ41+2.25=43.25นำท

ดงนนควอรไทลท1มคำเทำกบ24.25นำทควอรไทลท2มคำเทำกบ35นำท

และควอรไทลท3มคำเทำกบ43.25นำท ตอบ

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

คำของควอรไทลท2เทำกบมธยฐำนของขอมลทงหมด

ดงนนคำของควอรไทลท2ทอยระหวำง33กบ37เทำกบ33+372

=35นำท

ผลสารวจอาย (ป) ของผประกวดรองเพลงรายการหนง เปนดงน

15 18 42 25 23 38 30 31 25 39

21 20 18 50 18 54 60 50 28 22

33 18 42 39 20 9 20 59 14 68

จากขอมลขางตน จงหาคาของควอรไทลท 1 ควอรไทลท 2 และควอรไทลท 3

ลองทาด

¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇѧต�ำแหนงควอรไทลกบคำของควอรไทลไมใชสงเดยวกน

216

Thinking Timeค�ำถำมกระตนใหผเรยนคดตอยอดจำกเนอหำทเรยน

คาถามประจาหนวย การเรยนร ทครอบคลมตวชวดสงสดในหนวยกำรเรยนร

ตวชวด

• ประยกตใชสมกำรก�ำลงสองตวแปรเดยวในกำรแกปญหำคณตศำสตร(ค 1.3 ม.3/2)

สาระการเรยนรแกนกลาง

•สมกำรก�ำลงสองตวแปรเดยว•กำรแกสมกำรก�ำลงสองตวแปรเดยว•กำรน�ำควำมรเกยวกบกำรแกสมกำรก�ำลงสองตวแปรเดยว ไปใชในกำรแกปญหำ

สมการ ∆x = 8t2 เปนสมการทแสดงความสมพนธระหวางระยะทางทรถ

เคลอนทไดกบชวงเวลาทผานไป โดย ∆x คอ ระยะทางทรถเคลอนทได (เมตร)

และ t คอ ระยะเวลาทรถใชในการเคลอนท (วนาท) 1

นกเรยนสามารถ

หาÃÐÂÐàÇÅÒทรถยนตเคลอนท

ไดอยางไร

Q.

สมการกาลงสองตวแปรเดยว

หนวยการเรยนรท

2

ทมา : คลงภาพ อจท.

1ดร.สโกสนทรทองรตนำศรและคณะ.หนงสอเรยนรายวชาเพมเตมวทยาศาสตร ฟสกส ชนมธยมศกษาปท 4 เลม 1.

(กรงเทพมหำนคร:อกษรเจรญทศนอจท.จ�ำกด),60.

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3 เลม 1 หนวยการเรยนรท 1-6

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3 เลม 2 หนวยการเรยนรท 1-5

คาแนะนาในการใชสอ

องคประกอบตาง ๆ ในแตละหนวย

ตวชวด ทสอดคลองกบเนอหำในหนวยกำรเรยนร

สาระการเรยนรแกนกลาง ขอบขำยเนอหำในหนวยกำรเรยนร

ควรรกอนเรยน

ความยาวรอบรปและพนทของรปเรขาคณตสองมต

รปเรขาคณตสองมต ความยาวรอบรป พนท

2πr πr2

a + b + c 12 × a × h

4a a2

2(a + b) a × b

ปรมาตรของปรซม

ปรมำตรของปรซม=พนทฐำน×ควำมสง

ปรมาตรของทรงกระบอก

ปรมำตรของทรงกระบอก=πr2h

เมอr แทนรศมของวงกลมทเปนฐำนของทรงกระบอก

hแทนควำมสงของทรงกระบอก

วงกลม

รปสเหลยมจตรส

รปสเหลยมผนผำ

a

รปสำมเหลยม

c h

a

b

b

a

แบบทดสอบพนฐานกอนเรยน

r

พนทผวและปรมาตร 153

จงหาวา กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนในแตละขอตอไปน แสดงจานวนใดบาง

1) -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

2) -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

3) -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21

4) -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35

5) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

ลองทาด

-14 -7 0 7 14 21 28 35 42 49 56

กรำฟแสดงค�ำตอบบนเสนจ�ำนวนขำงตนแสดงจ�ำนวนใดบำง

Thinking Time

14

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 2

1.1ควำมรเกยวกบอสมกำรเชงเสนตวแปรเดยว 4 1.2ค�ำตอบของอสมกำรเชงเสนตวแปรเดยว และกรำฟแสดงค�ำตอบ 7 1.3กำรแกอสมกำรเชงเสนตวแปรเดยว 17 1.4กำรน�ำควำมรเกยวกบอสมกำรเชงเสนตวแปรเดยว ไปใชในกำรแกปญหำ 34

คณตศาสตรในชวตจรง 42 สรปแนวคดหลก 43 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1 46

สมการกาลงสองตวแปรเดยว 48

2.1สมกำรก�ำลงสองตวแปรเดยว 50 2.2กำรแกสมกำรก�ำลงสองตวแปรเดยว 552.3กำรน�ำควำมรเกยวกบสมกำรก�ำลงสองตวแปรเดยว ไปใชในกำรแกปญหำ 82

คณตศาสตรในชวตจรง 93 สรปแนวคดหลก 94 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 2 96

ฟงกชนกาลงสอง 98

3.1รปทวไปของฟงกชนก�ำลงสอง 100 3.2กรำฟของฟงกชนก�ำลงสองทอยในรปy=ax2 เมอa ≠ 0 1043.3กรำฟของฟงกชนก�ำลงสองทอยในรปy=ax2+k

เมอa,k ≠ 0 112 3.4กรำฟของฟงกชนก�ำลงสองทอยในรปy=a(x-h)2+k

เมอa,h ≠ 0 1193.5กรำฟของฟงกชนก�ำลงสองทอยในรป y=ax2+bx+c เมอa ≠ 0 1323.6กำรน�ำควำมรเกยวกบฟงกชนก�ำลงสอง ไปใชในกำรแกปญหำ 139

คณตศาสตรในชวตจรง 145 สรปแนวคดหลก 146 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 3 150

กจกรรมคณตศาสตรเชงสะเตม 294อภธานศพท 296บรรณานกรม 299

พนทผวและปรมาตร 152

4.1พระมด 1544.2กรวย 1734.3ทรงกลม 188

คณตศาสตรในชวตจรง 201 สรปแนวคดหลก 202 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 4 204

สถต 206

5.1แผนภำพกลอง 2085.2กำรน�ำแผนภำพกลองไปใชในชวตจรง 232

คณตศาสตรในชวตจรง 241 สรปแนวคดหลก 243 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 5 244

ความนาจะเปน 246

6.1กำรทดลองสมและเหตกำรณ 248 6.2ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ 2616.3กำรน�ำควำมรเกยวกบควำมนำจะเปนไปใชในกำรตดสนใจ 283

คณตศาสตรในชวตจรง 289 สรปแนวคดหลก 290 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 6 291

หนวยการเรยนรท

4

หนวยการเรยนรท

5

หนวยการเรยนรท

6

QR Code หนา 135, 165, 181, 193

สารบญ

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 2

1.1ควำมรเกยวกบอสมกำรเชงเสนตวแปรเดยว 4 1.2ค�ำตอบของอสมกำรเชงเสนตวแปรเดยว และกรำฟแสดงค�ำตอบ 7 1.3กำรแกอสมกำรเชงเสนตวแปรเดยว 17 1.4กำรน�ำควำมรเกยวกบอสมกำรเชงเสนตวแปรเดยว ไปใชในกำรแกปญหำ 34

คณตศาสตรในชวตจรง 42 สรปแนวคดหลก 43 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1 46

สมการกาลงสองตวแปรเดยว 48

2.1สมกำรก�ำลงสองตวแปรเดยว 50 2.2กำรแกสมกำรก�ำลงสองตวแปรเดยว 552.3กำรน�ำควำมรเกยวกบสมกำรก�ำลงสองตวแปรเดยว ไปใชในกำรแกปญหำ 82

คณตศาสตรในชวตจรง 93 สรปแนวคดหลก 94 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 2 96

ฟงกชนกาลงสอง 98

3.1รปทวไปของฟงกชนก�ำลงสอง 100 3.2กรำฟของฟงกชนก�ำลงสองทอยในรปy=ax2 เมอa ≠ 0 1043.3กรำฟของฟงกชนก�ำลงสองทอยในรปy=ax2+k

เมอa,k ≠ 0 112 3.4กรำฟของฟงกชนก�ำลงสองทอยในรปy=a(x-h)2+k

เมอa,h ≠ 0 1193.5กรำฟของฟงกชนก�ำลงสองทอยในรป y=ax2+bx+c เมอa ≠ 0 1323.6กำรน�ำควำมรเกยวกบฟงกชนก�ำลงสอง ไปใชในกำรแกปญหำ 139

คณตศาสตรในชวตจรง 145 สรปแนวคดหลก 146 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 3 150

หนวยการเรยนรท

หนวยการเรยนรท

1

หนวยการเรยนรท

2

3

คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3 เลม 1

ควรรกอนเรยน นพจน

นพจนเปนจานวนทอยในรปคาคงตวหรอตวแปร ซงอยในรปการดาเนนการตาง ๆ เชน 10,

3x, 2x + 4, x - 5 และ 2x5 นพจนพชคณต

นพจนพชคณตเปนนพจนทประกอบไปดวยคาคงตวและตวแปร ซงอยในรปการดาเนนการ

ตาง ๆ เชน -5x, -x - 4, 4x + 9 และ x3 เอกนาม

เอกนามเปนนพจนทสามารถเขยนใหอยในรปการคณของคาคงตวกบตวแปรตงแต 1 ตว

ขนไป และเลขชกาลงของตวแปรแตละตวเปนศนยหรอจานวนเตมบวก โดยสวนทเปนคาคงตว

เรยกวา สมประสทธของเอกนาม และผลบวกของเลขชกาลงของตวแปรแตละตวในเอกนาม

เรยกวา ดกรของเอกนาม เชน

4x5 เปนเอกนามทมสมประสทธเทากบ 4 และดกรเทากบ 5

- 13 a2b เปนเอกนามทมสมประสทธเทากบ - 13 และดกรเทากบ 3

พหนาม

พหนามเปนนพจนทอยในรปเอกนาม หรอเขยนอยในรปการบวกของเอกนามตงแต 2

เอกนามขนไป และดกรสงสดของพหนามทอยในรปผลสาเรจทไมมพจนทคลายกน เรยกวา ดกร

ของพหนาม เชน

-3x9 เปนพหนามทมดกรเทากบ 9

4x3y2 + y3 เปนพหนามทมดกรเทากบ 5

สมบตของการเทากนของจานวนจรง

แบบทดสอบพนฐานกอนเรยน

1) สมบตสมมาตร

3) สมบตของการเทากนเกยวกบการบวก

2) สมบตถายทอด

4) สมบตของการเทากนเกยวกบการคณ

ถา a = b แลว b = a

เมอ a และ b แทนจานวนจรงใด ๆ

ถา a = b แลว a + c = b + c

เมอ a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ

ถา a = b และ b = c แลว a = c

เมอ a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ

ถา a = b แลว a × c = b × cเมอ a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 3

ตวชวด

• เขาใจและใชสมบตของการไมเทากนเพอวเคราะหและแกปญหาโดยใชอสมการเชงเสนตวแปรเดยว (ค 1.3 ม.3/1)

สาระการเรยนรแกนกลาง

• อสมการเชงเสนตวแปรเดยว• การแกอสมการเชงเสนตวแปรเดยว• การนาความรเกยวกบการแกอสมการเชงเสนตวแปรเดยว ไปใชในการแกปญหา

สชาตมคาดชนมวลกาย1 (BMI) เทากบ 24 กโลกรม/เมตร2

และสง 170 เซนตเมตร ซงคาดชนมวลกายคานวณไดจากนาหนกตว

(หนวยเปนกโลกรม) หารดวยสวนสงกาลงสอง (หนวยเปนเมตร) และ

คาดชนมวลกายปกตจะอยในชวง 18.5-22.9 กโลกรม/เมตร2

นกเรยนคดวาสชาตตองทาอยางไร

จงจะมคาดชนมวลกาย

อยในࡳ±�»¡µÔ

Q.

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว

หนวยการเรยนรท

1

ทมา : คลงภาพ อจท.

1คาดชนมวลกาย. สบคนเมอ 31 พฤษภาคม 2562, จาก https://si.mahidol.ac.th/th/healthdetail.asp?aid=1316

ความสมพนธทปรากฏในประโยค “สามเทาของจานวนจานวนหนงรวมกบสบไมเทากบสาม”

คอ ความสมพนธ ไมเทากบ เขยนแทนดวยสญลกษณ ≠ และเขยนเปนประโยคสญลกษณไดเปน

3x + 10 ≠ 3 เมอให x แทนจานวนจานวนหนง

ความสมพนธทปรากฏในประโยค “ภผามเงนไมตากวา 50 บาท” คอ ความสมพนธ

มากกวา หรอ เทากบ เขยนแทนดวยสญลกษณ ≥ และเขยนเปนประโยคสญลกษณไดเปน

x ≥ 50 เมอให x แทนจานวนเงนของภผา

ความสมพนธทปรากฏในประโยค “อารมมนาหนกตวไมเกน 60 กโลกรม” คอ ความสมพนธ

นอยกวา หรอ เทากบ เขยนแทนดวยสญลกษณ ≤ และเขยนเปนประโยคสญลกษณไดเปน

x ≤ 60 เมอให x แทนนาหนกตวของอารม

นกเรยนจะเหนวา ประโยคเกยวกบจานวนทง 5 ประโยคขางตน มความสมพนธ นอยกวา

มากกวา นอยกวาหรอเทากบ มากกวาหรอเทากบ และไมเทากบปรากฏอย ซงเขยนแทนดวย

สญลกษณ < > ≤ ≥ และ ≠ ตามลาดบ จะเรยกสญลกษณดงกลาววา เครองหมาย

แสดงการไมเทากน

< แทนความสมพนธนอยกวา

> แทนความสมพนธมากกวา

≤ แทนความสมพนธนอยกวาหรอเทากบ

≥ แทนความสมพนธมากกวาหรอเทากบ

≠ แทนความสมพนธไมเทากบ

อสมการอาจมตวแปรหรอไมม

ตวแปรกได

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

ซงจากประโยคสญลกษณของประโยคเกยวกบจานวนทง 5 ประโยค จะเหนวา มเครองหมาย

แสดงการไมเทากนแสดงความสมพนธระหวาง 2 จานวนปรากฏอย จะเรยกประโยคในลกษณะน

วา อสมการ โดยในแตละอสมการจะมตวแปรปรากฏอยเพยงตวแปรเดยว และมดกรของตวแปร

เทากบ 1 ซงจะเรยกอสมการในลกษณะนวา อสมการเชงเสนตวแปรเดยว

อสมการ เปนประโยคสญลกษณทแสดงถงความสมพนธของจานวนโดยมสญลกษณ

< > ≤ ≥ หรอ ≠ แสดงความสมพนธ

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว เปนอสมการทมตวแปรปรากฏอยเพยงตวแปรเดยว และ

มดกรของตวแปรเทากบ 1

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 5

1.1 ความรเกยวกบอสมการเชงเสนตวแปรเดยว ในระดบชนประถมศกษา นกเรยนไดเรยนรเกยวกบสญลกษณ < > = และ ≠ ซงเปน

สญลกษณแทนความสมพนธนอยกวา มากกวา เทากบ และไมเทากบ ตามลาดบ นอกจากสญลกษณ

แทนความสมพนธดงกลาวแลว นกเรยนจะไดศกษาสญลกษณแทนความสมพนธอน ๆ จาก

กจกรรมคณตศาสตรตอไปน

กจกรรม คณตศาสตร

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹¾Ô ÒóÒÇ‹Ò »ÃÐâ¤à¡ÕèÂǡѺ¨Ó¹Ç¹µ‹Í仹ÕéáÊ´§¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹ �ÁÒ¡¡Ç‹Ò ¹ŒÍ¡NjÒ

෋ҡѺ ËÃ×ÍäÁ‹à·‹Ò¡Ñº áÅŒÇàµÔÁà¤Ã×èͧËÁÒ ✓ ŧ㹪‹Í§Ç‹Ò§ãËŒ¶Ù¡µŒÍ§ â´Â·Óŧã¹ÊÁØ

ประโยคเกยวกบจานวน

ความสมพนธทปรากฏในประโยคเกยวกบจานวน

มากกวา นอยกวา เทากบ ไมเทากบ

1) เจดสบมากกวาหาสบ

2) นาในแกวมอณหภมนอยกวา 25 องศาเซลเซยส

3) สามเทาของจานวนจานวนหนงรวมกบสบไมเทากบสาม

4) ภผามเงนไมตากวา 50 บาท

5) อารมมนาหนกตวไมเกน 60 กโลกรม

จากกจกรรมคณตศาสตร จะพบวา

ความสมพนธทปรากฏในประโยค “เจดสบมากกวาหาสบ” คอ ความสมพนธ มากกวา

เขยนแทนดวยสญลกษณ > และเขยนเปนประโยคสญลกษณไดเปน 70 > 50

ความสมพนธทปรากฏในประโยค “นาในแกวมอณหภมนอยกวา 25 องศาเซลเซยส” คอ

ความสมพนธ นอยกวา เขยนแทนดวยสญลกษณ < และเขยนเปนประโยคสญลกษณไดเปน

x < 25 เมอให x แทนอณหภมของนาในแกว

4

1.2 คาตอบของอสมการเชงเสนตวแปรเดยว และกราฟแสดงคาตอบ

ในระดบชนมธยมศกษาปท 1 นกเรยนไดทราบแลววา คาตอบของสมการเชงเสน

ตวแปรเดยว คอ จานวนทแทนคาตวแปรในสมการ แลวทาใหสมการเปนจรง สาหรบอสมการ

เชงเสนตวแปรเดยวสามารถหาคาตอบของอสมการไดโดยการแทนคาตวแปรในอสมการ แลว

ทาใหอสมการเปนจรงไดเชนเดยวกน ซงนกเรยนจะไดศกษาเพมเตมจากกจกรรมคณตศาสตร

ตอไปน

กจกรรม คณตศาสตร

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹ËҨӹǹ¨ÃÔ§·Õèá·¹¤‹Ò x ã¹áµ‹ÅТŒÍµ‹Í仹Õé áŌǷÓãËŒÍÊÁ¡ÒÃ໚¹¨ÃÔ§

ÁÒ 5 ¨Ó¹Ç¹ â´Â·Óŧã¹ÊÁØ

1. x > 5

2. x < 7

3. x ≠ 10

4. x ≥ 4

5. x ≤ 7

6. 3 ≤ x < 7

จากกจกรรมคณตศาสตร จะเหนวา อสมการในแตละขอสามารถหาจานวนมาแทนคา x แลวทาใหอสมการเปนจรงไดเสมอ เชน ขอ 1. เมอแทนคา x ดวย 6, 7, 8 หรอจานวนทมากกวา 5

จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ หรอขอ 5. เมอแทนคา x ดวย 5, 6, 7 หรอจานวนทนอยกวา

หรอเทากบ 7 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ ซงจะเรยกจานวนเหลานวา คาตอบของอสมการ

คาตอบของอสมการ คอ จานวนจรงใด ๆ ทแทนตวแปรในอสมการแลวทาใหอสมการ

เปนจรง

อสมการ 3 ≤ x < 7 อานวา

“เอกซมากกวาหรอเทากบสาม

แตนอยกวาเจด”

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 7

จงเขยนประโยคสญลกษณแทนประโยคเกยวกบจานวนในแตละขอตอไปน

1) จานวนจานวนหนงไมเทากบสบหา

2) สามเทาของอายของเกงมากกวา 10 ป

3) ผลบวกของจานวนจานวนหนงกบหานอยกวาแปด

4) ระยะทางจากบานไปโรงเรยนไมเกน 30 กโลเมตร

5) สเทาของจานวนจานวนหนงรวมกบเจดมคาไมนอยกวาหา

วธทา 1) ให x แทนจานวนจานวนหนง

จะไดประโยคสญลกษณ คอ x ≠ 15

2) ให x แทนอายของเกง

จะไดประโยคสญลกษณ คอ 3x > 10

3) ให x แทนจานวนจานวนหนง

จะไดประโยคสญลกษณ คอ x + 5 < 8

4) ให x แทนระยะทางจากบานไปโรงเรยน

จะไดประโยคสญลกษณ คอ x ≤ 30

5) ให x แทนจานวนจานวนหนง

จะไดประโยคสญลกษณ คอ 4x + 7 ≥ 5 ตอบ

ตวอยางท 1

จงเขยนประโยคสญลกษณแทนประโยคเกยวกบจานวนในแตละขอตอไปน

1) เนตรมนาหนกตวนอยกวา 50 กโลกรม

2) อรมสวนสงมากกวา 145 เซนตเมตร

3) หาเทาของจานวนจานวนหนงไมเทากบหนงรอย

4) แดงมอายไมเกน 20 ป

5) ผลคณของจานวนจานวนหนงกบแปดมคาไมมากกวาสบหา

ลองทาด

ในหนงสอบางเลม อาจแทน

ความสมพนธ มากกวาหรอ

เทากบ ดวยสญลกษณ ≥

และแทนความสมพนธ นอยกวา

หรอเทากบ ดวยสญลกษณ ≤

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

6

จากตวอยางท 2 จะเหนวา คาตอบของอสมการแบงเปน 3 แบบ ดงน

1) อสมการทมจานวนจรงบางจานวนเปนคาตอบ เชน x < 4

2) อสมการทมจานวนจรงทกจานวนเปนคาตอบ เชน x + 1 > x 3) อสมการทไมมจานวนจรงใดเปนคาตอบ เชน x - 5 > x

นอกจากการเขยนคาตอบของอสมการตามตวอยางท 2 นกเรยนอาจเขยนคาตอบของ

อสมการโดยใชกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

พจารณาการเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของอสมการตอไปน

1) x < 5

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

กราฟขางตนแสดงจานวนจรงทกจานวนทนอยกวา 5 ซงเปนคาตอบของอสมการ

x < 5 จงเขยนวงกลม บนจดทแทน 5 เพอแสดงวา กราฟไมรวมจดทแทน 5 และ

ลากเสนทบตอจากวงกลม ไปทางซายของเสนจานวน

2) x ≤ -3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

กราฟขางตนแสดงจานวนจรงทกจานวนทนอยกวาหรอเทากบ -3 ซงเปนคาตอบของ

อสมการ x ≤ -3 จงเขยนวงกลม บนจดทแทน -3 เพอแสดงวา กราฟรวมจดทแทน

-3 และลากเสนทบตอจากวงกลม ไปทางซายของเสนจานวน

3) x > 7

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

กราฟขางตนแสดงจานวนจรงทกจานวนทมากกวา 7 ซงเปนคาตอบของอสมการ

x > 7 จงเขยนวงกลม บนจดทแทน 7 เพอแสดงวา กราฟไมรวมจดทแทน 7 และ

ลากเสนทบตอจากวงกลม ไปทางขวาของเสนจานวน

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 9

จงหาคาตอบของอสมการในแตละขอตอไปน

1) x < 4

3) x ≥ 2

5) x - 5 > x

2) x ≠ -14) x + 1 > x6) -3 < x ≤ 4

วธทา 1) เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทนอยกวา 4 ในอสมการ x < 4

จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ x < 4 คอ จานวนจรงทกจานวนทนอยกวา 4

2) เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทไมเทากบ -1 ในอสมการ x ≠ -1 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ x ≠ -1 คอ จานวนจรงทกจานวนทไมเทากบ -1

3) เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทมากกวาหรอเทากบ 2 ในอสมการ x ≥ 2

จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ x ≥ 2 คอ จานวนจรงทกจานวนทมากกวาหรอเทากบ 2

4) เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงใด ๆ ในอสมการ x + 1 > xจะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ x + 1 > x คอ จานวนจรงทกจานวน

5) เนองจากไมมจานวนจรงใด ๆ ทแทนคา x แลวทาใหอสมการ x - 5 > x เปนจรง

ดงนน อสมการ x - 5 > x ไมมคาตอบ

6) เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทมากกวา -3 แตนอยกวาหรอเทากบ 4

จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ -3 < x ≤ 4 คอ จานวนจรงทกจานวนทมากกวา -3

แตนอยกวาหรอเทากบ 4 ตอบ

ตวอยางท 2

จงหาคาตอบของอสมการในแตละขอตอไปน

1) x < 1

4) x - 2 < x2) x ≠ -45) x > x + 5

3) x ≥ 8

6) 1 ≤ x < 5

ลองทาด

8

จงหาคาตอบของอสมการในแตละขอตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

1) x > 2 2) x ≠ 0 3) x ≤ 5

วธทา 1) เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทมากกวา 2 ในอสมการ x > 2

จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ x > 2 คอ จานวนจรงทกจานวนทมากกวา 2

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

2) เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทไมเทากบ 0 ในอสมการ x ≠ 0 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ x ≠ 0 คอ จานวนจรงทกจานวนทไมเทากบ 0

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

3) เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทนอยกวาหรอเทากบ 5 ในอสมการ x ≤ 5

จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ x ≤ 5 คอ จานวนจรงทกจานวนทนอยกวาหรอเทากบ 5

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ตอบ

ตวอยางท 3

จงหาคาตอบของอสมการในแตละขอตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

1) x < 2 2) x ≠ 8 3) x ≥ 3

ลองทาด

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 11

4) x ≥ 9

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

กราฟขางตนแสดงจานวนจรงทกจานวนทมากกวาหรอเทากบ 9 ซงเปนคาตอบของ

อสมการ x ≥ 9 จงเขยนวงกลม บนจดทแทน 9 เพอแสดงวา กราฟรวมจดทแทน

9 และลากเสนทบตอจากวงกลม ไปทางขวาของเสนจานวน

5) x ≠ -5

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

กราฟขางตนแสดงจานวนจรงทกจานวนทไมเทากบ -5 ซงเปนคาตอบของอสมการ

x ≠ -5 จงเขยนวงกลม บนจดทแทน -5 เพอแสดงวา กราฟไมรวมจดทแทน -5 และ

ลากเสนทบตอจากวงกลม ไปทางซายและทางขวาของเสนจานวน

6) 2 < x ≤ 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

กราฟขางตนแสดงจานวนจรงทกจานวนทมากกวา 2 แตนอยกวาหรอเทากบ 6 ซง

เปนคาตอบของอสมการ 2 < x ≤ 6 จงเขยนวงกลม บนจดทแทน 2 เพอแสดงวา

กราฟไมรวมจดทแทน 2 และเขยนวงกลม บนจดทแทน 6 เพอแสดงวา กราฟ

รวมจดทแทน 6 จากนนลากเสนทบระหวางวงกลม และวงกลม

นกเรยนคดวา กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของอสมการในแตละขอตอไปนเปนอยางไร

1) x + 8 > x2) x + 4 < x + 1

Thinking Time

10

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

ถากราฟทกาหนดเปนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของอสมการ x > 24 แลว นกเรยนคดวา

กราฟทกาหนดเปนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของอสมการ 24 < x ดวยหรอไม เพราะเหตใด

Thinking Time

จงหาวา กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนในแตละขอตอไปน แสดงจานวนใดบาง

1) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2) 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

3) -18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12

4) -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

5) -8 -4 0 4 8 12 16 20 24 28 32

ตอบ 1) จานวนจรงทกจานวนทนอยกวา 9

2) จานวนจรงทกจานวนทมากกวาหรอเทากบ 14

3) จานวนจรงทกจานวนทไมเทากบ -9

4) จานวนจรงทกจานวนทนอยกวาหรอเทากบ 15

5) จานวนจรงทกจานวนทมากกวา 8 แตนอยกวาหรอเทากบ 20

ตวอยางท 4

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 13

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงใด ๆ โดยท a < b

1) กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของอสมการ x > a เปนดงน

a

2) กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของอสมการ x < a เปนดงน

a

3) กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของอสมการ x ≠ a เปนดงน

a

4) กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของอสมการ x ≥ a เปนดงน

a

5) กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของอสมการ x ≤ a เปนดงน

a

6) กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของอสมการ a < x < b เปนดงน

ba

7) กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของอสมการ a ≤ x < b เปนดงน

ba

8) กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของอสมการ a < x ≤ b เปนดงน

ba

9) กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของอสมการ a ≤ x ≤ b เปนดงน

ba

12

แบบฝกทกษะ 1.2ระดบ พนฐาน

1. จงเขยนประโยคสญลกษณแทนประโยคเกยวกบจานวนในแตละขอตอไปน

1) นาคางมเงนเกบมากกวา 500 บาท

2) จานวนจานวนหนงมากกวาหรอเทากบหกสบส

3) กลามอณหภมรางกายสงกวา 38 องศาเซลเซยส

4) ชาตชายปนจกรยานดวยอตราเรวไมเกน 10 กโลเมตร/ชวโมง

5) จานวนจานวนหนงบวกกบสามไมเทากบแปด

6) สบเทาของจานวนจานวนหนงลบดวยเกานอยกวาสามสบ

2. จงเขยนประโยคเกยวกบจานวนแทนประโยคสญลกษณในแตละขอตอไปน

1) x ≤ 1

4) b < 59

7) 4y ≥ 8

2) a > 22

5) 6 < c

8) c - 7 < 2

3) x ≠ 19 6) -14 ≥ x 9) 10 - b ≠ 5

3. จงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของอสมการในแตละขอตอไปน

1) x > -8

4) x ≤ -6

2) x ≥ 12

5) x ≠ -2 3) x < 11

6) 7 ≤ x ≤ 11

4. จงหาวา กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนในแตละขอตอไปน แสดงจานวนใดบาง

1) -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

2) -8 -5 -2 1 4 7 10 13 16 19 22

3) -17 -15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 15

จงหาวา กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนในแตละขอตอไปน แสดงจานวนใดบาง

1) -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

2) -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

3) -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21

4) -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35

5) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

ลองทาด

-14 -7 0 7 14 21 28 35 42 49 56

กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนขางตน แสดงจานวนใดบาง

Thinking Time

14

1.3 การแกอสมการเชงเสนตวแปรเดยว

กจกรรม คณตศาสตร

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹àµÔÁà¤Ã×èͧËÁÒ < > ≤ ËÃ×Í ≥ ŧ㹠â´Â·Óŧã¹ÊÁØ

1. ถา 5 > 1 แลว 5 + 3 1 + 3

2. ถา a > b แลว a + 3 b + 3 เมอ a และ b แทนจานวนจรงใด ๆ

3. ถา -5 ≥ -7 แลว -5 + (-1) -7 + (-1)

4. ถา a ≥ b แลว a + (-1) b + (-1) เมอ a และ b แทนจานวนจรงใด ๆ

5. ถา 4 < 8 แลว 4 + 5 8 + 5

6. ถา a < b แลว a + 5 b + 5 เมอ a และ b แทนจานวนจรงใด ๆ

7. ถา -5 ≤ -3 แลว -5 + 2 -3 + 2

8. ถา a ≤ b แลว a + 2 b + 2 เมอ a และ b แทนจานวนจรงใด ๆ

นกเรยนไดทราบมาแลววา คาตอบของอสมการ คอ จานวนจรงใด ๆ ทแทนตวแปรในอสมการ

แลวทาใหอสมการเปนจรง ซงหาไดโดยการลองแทนคาตวแปรในอสมการ แตในบางครงทอสมการ

มความซบซอน การหาคาตอบของอสมการโดยการลองแทนคาตวแปรอาจมความยงยาก จงตอง

ใชสมบตของการไมเทากนมาชวยในการหาคาตอบของอสมการ

1. สมบตของการไมเทากนเกยวกบการบวก

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

การแกอสมการ คอ การหาคาตอบทงหมดของอสมการ

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 17

ระดบ กลาง

5. จงหาจานวนเตมทนอยทสดทเปนคาตอบของอสมการในแตละขอตอไปน

1) m > 4.55

3) a > 23

5) x ≥ 95

2) 3.33 ≤ p

4) 28.64 < b

6) 215 < n

6. จงหาจานวนเตมทมากทสดทเปนคาตอบของอสมการในแตละขอตอไปน

1) b < 11.33

3) a < 27

5) 20 23 ≥ y

2) 19.94 > m

4) x ≤ 1.11

6) d ≤ 17 + 8

7. จงพจารณาวา กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนในแตละขอตอไปน เปนคาตอบของอสมการ

ทกาหนดใหหรอไม เพราะเหตใด

1) x < 35

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

2) m ≥ 44

39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

3) 24 ≤ x ≤ 40

20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

16

จงแกอสมการในแตละขอตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

1) x - 15 > 24

2) 14 + x ≥ 4

ลองทาด

2) จาก -8 + x ≤ 7

นา 8 มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได -8 + x + 8 ≤ 7 + 8

หรอ x ≤ 15

ตรวจสอบคาตอบ

เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทนอยกวาหรอเทากบ 15 เชน 15, 14.5, 13.2

ในอสมการ -8 + x ≤ 7 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ -8 + x ≤ 7 คอ จานวนจรงทกจานวนทนอยกวา

หรอเทากบ 15

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ตอบ

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

จากตวอยางท 5 จะเหนวา อสมการ x < 3 เกดจากการใชสมบตของการไมเทากนเกยวกบการบวกใน

อสมการ x + 4 < 7 ซงคาตอบทกคาตอบของอสมการ x < 3 จะเปนคาตอบของอสมการ x + 4 < 7

และคาตอบทกคาตอบของอสมการ x + 4 < 7 จะเปนคาตอบของอสมการ x < 3 เชนกน จะเรยกอสมการ

x + 4 < 7 วา เปนอสมการทสมมลกบอสมการ x < 3

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 19

จากกจกรรมคณตศาสตร จะเหนวา เมอนาจานวนจรงใด ๆ มาบวกทงสองขางของ

อสมการ เครองหมายแสดงการไมเทากนของอสมการจะไมเปลยนแปลง ซงเปนไปตามสมบตของ

การไมเทากนเกยวกบการบวก ดงน

สมบต

กาหนดให a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ

1) ถา a < b แลว a + c < b + c

2) ถา a ≤ b แลว a + c ≤ b + c

3) ถา a > b แลว a + c > b + c

4) ถา a ≥ b แลว a + c ≥ b + c

นกเรยนคดวา ขอความตอไปนเปนจรงหรอไม เพราะเหตใด

“ถา a ≠ b แลว a + c ≠ b + c เมอ a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ ”

Thinking Time

จงแกอสมการในแตละขอตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

1) x + 4 < 7 2) -8 + x ≤ 7

วธทา 1) จาก x + 4 < 7

นา -4 มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได x + 4 + (-4) < 7 + (-4)

หรอ x < 3

ตรวจสอบคาตอบ

เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทนอยกวา 3 เชน 2.5, 2, 1

ในอสมการ x + 4 < 7 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ x + 4 < 7 คอ จานวนจรงทกจานวนทนอยกวา 3

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

ตวอยางท 5

¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇѧการดาเนนการใด ๆ กบอสมการ

ตองดาเนนการทงสองขางของ

อสมการใหเหมอนกน

18

จงแกอสมการในแตละขอตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

1) 3x ≥ -9 2) -4x > 24

วธทา 1) จาก 3x ≥ -9

นา 13 มาคณทงสองขางของอสมการ

จะได (3x)(13) ≥ (-9)(13) หรอ x ≥ -3

ตรวจสอบคาตอบ

เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทมากกวาหรอเทากบ -3 เชน -2.5, -1, -0.4

ในอสมการ 3x ≥ -9 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ 3x ≥ -9 คอ จานวนจรงทกจานวนทมากกวา

หรอเทากบ -3

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

2) จาก -4x > 24

นา - 14 มาคณทงสองขางของอสมการ

จะได (-4x)(- 14) < (24)(- 14) หรอ x < -6

ตรวจสอบคาตอบ

เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทนอยกวา -6 เชน -6.2, -7, -8

ในอสมการ -4x > 24 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ -4x > 24 คอ จานวนจรงทกจานวนทนอยกวา -6

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

ตอบ

ตวอยางท 6

ถา x < y และ a = 0 แลว

ความสมพนธระหวาง ax และ ay เปนอยางไร

Thinking Time

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 21

กจกรรม คณตศาสตร

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹àµÔÁà¤Ã×èͧËÁÒ < > ≤ ËÃ×Í ≥ ŧ㹠â´Â·Óŧã¹ÊÁØ

1. ถา 9 > 2 แลว 9 × 5 2 × 5

2. ถา 9 > 2 แลว 9 × (-5) 2 × (-5)

3. ถา 10 ≥ 3 แลว 10 × 3 3 × 3

4. ถา 10 ≥ 3 แลว 10 × (-3) 3 × (-3)

5. ถา 4 < 6 แลว 4 × 11 6 × 11

6. ถา 4 < 6 แลว 4 × (-11) 6 × (-11)

7. ถา -8 ≤ -5 แลว (-8) × 4 (-5) × 4

8. ถา -8 ≤ -5 แลว (-8) × (-4) (-5) × (-4)

2. สมบตของการไมเทากนเกยวกบการคณ

จากกจกรรมคณตศาสตร จะเหนวา เมอนาจานวนจรงบวกใด ๆ มาคณทงสองขางของ

อสมการ เครองหมายแสดงการไมเทากนของอสมการจะไมเปลยนแปลง แตถานาจานวนจรงลบใด ๆ

มาคณทงสองขางของอสมการ เครองหมายแสดงการไมเทากนของอสมการจะเปลยนแปลง

ซงเปนไปตามสมบตของการไมเทากนเกยวกบการคณ ดงน

สมบต

กาหนดให a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ

1) ถา a < b และ c เปนจานวนจรงบวก แลว ac < bc

2) ถา a ≤ b และ c เปนจานวนจรงบวก แลว ac ≤ bc

3) ถา a > b และ c เปนจานวนจรงบวก แลว ac > bc

4) ถา a ≥ b และ c เปนจานวนจรงบวก แลว ac ≥ bc

5) ถา a < b และ c เปนจานวนจรงลบ แลว ac > bc

6) ถา a ≤ b และ c เปนจานวนจรงลบ แลว ac ≥ bc

7) ถา a > b และ c เปนจานวนจรงลบ แลว ac < bc

8) ถา a ≥ b และ c เปนจานวนจรงลบ แลว ac ≤ bc

20

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2) จาก 7 - 3x ≤ -11

นา -7 มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได 7 - 3x + (-7) ≤ -11 + (-7)

หรอ -3x ≤ -18

นา - 13 มาคณทงสองขางของอสมการ

จะได (-3x)(- 13) ≥ (-18)(- 13) หรอ x ≥ 6

ตรวจสอบคาตอบ

เมอแทนคา x ดวยจานวนทมากกวาหรอเทากบ 6 เชน 6, 6.4, 8.9

ในอสมการ 7 - 3x ≤ -11 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ 7 - 3x ≤ -11 คอ จานวนจรงทกจานวนทมากกวา

หรอเทากบ 6

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ตอบ

จงแกอสมการในแตละขอตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

1) 9x + 15 ≤ -30 2) -20 - 7x > 22

ลองทาด

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 23

จงแกอสมการในแตละขอตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

1) 2x ≤ 8 2) -6x < -48

ลองทาด

นกเรยนคดวา ขอความตอไปนเปนจรงหรอไม เพราะเหตใด

1) ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc เมอ a และ b แทนจานวนจรงใด ๆ

2) ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc เมอ a และ b แทนจานวนจรงใด ๆ

3) ถา a ≥ b และ c > 0 แลว ac ≥ bc เมอ a และ b แทนจานวนจรงใด ๆ

4) ถา a ≥ b และ c < 0 แลว ac ≤ bc เมอ a และ b แทนจานวนจรงใด ๆ

Thinking Time

จงแกอสมการในแตละขอตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

1) 5x - 20 ≥ 30 2) 7 - 3x ≤ -11

วธทา 1) จาก 5x - 20 ≥ 30

นา 20 มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได 5x - 20 + 20 ≥ 30 + 20

หรอ 5x ≥ 50

นา 15 มาคณทงสองขางของอสมการ

จะได (5x)(15) ≥ (50)(15) หรอ x ≥ 10

ตรวจสอบคาตอบ

ตวอยางท 7

เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทมากกวาหรอ

เทากบ 10 เชน 11, 12.3, 13.7 ในอสมการ

5x - 20 ≥ 30 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

การแกอสมการในตวอยางท 7

เรมจากการใชสมบตของการ

ไมเทากนเกยวกบการบวกเพอ

ทาให ข างหน งของอสมการ

มเฉพาะตวแปรคณกบคาคงตว

จากนนใชสมบตของการไมเทากน

เกยวกบการคณเพอทาใหขางหนง

ของอสมการมสมประสทธของ

ตวแปรเทากบ 1

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

ดงนน คาตอบของอสมการ 5x - 20 ≥ 30 คอ จานวนจรงทกจานวนทมากกวา

หรอเทากบ 10

22

จงแกอสมการ 5x + 1412 ≥ 3x8 พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

วธทา จาก 5x + 1412 ≥ 3x

8 นา ค.ร.น. ของ 12 และ 8 คอ 24 มาคณทงสองขางของอสมการ

จะได (5x + 1412 )(24) ≥ (3x8 )(24) หรอ (5x + 14)(2) ≥ (3x)(3)

10x + 28 ≥ 9x นา -9x มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได 10x + 28 + (-9x) ≥ 9x + (-9x) หรอ x + 28 ≥ 0

ตวอยางท 9

นา - 13 มาคณทงสองขางของอสมการ

จะได (-3x)(- 13) < 6(- 13) หรอ x < -2

ตรวจสอบคาตอบ

เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทนอยกวา -2 เชน -3, -4.8, -5.5

ในอสมการ 5(x - 2) > 4(2x - 1) จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ 5(x - 2) > 4(2x - 1) คอ จานวนจรงทกจานวน

ทนอยกวา -2

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

ตอบ

จงแกอสมการในแตละขอตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

1) 2x - 12 < x + 21 2) 3(x + 4) ≤ 5(2x - 3)

ลองทาด

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 25

จงแกอสมการในแตละขอตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

1) 6x - 15 ≤ 5x - 82) 5(x - 2) > 4(2x - 1)

วธทา 1) จาก 6x - 15 ≤ 5x - 8 นา 15 มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได 6x - 15 + 15 ≤ 5x - 8 + 15 หรอ 6x ≤ 5x + 7 นา -5x มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได 6x + (-5x) ≤ 5x + 7 + (-5x) หรอ x ≤ 7

ตรวจสอบคาตอบ

เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทนอยกวาหรอเทากบ 7 เชน 7, 6.8, 5

ในอสมการ 6x - 15 ≤ 5x - 8 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ 6x - 15 ≤ 5x - 8 คอ จานวนจรงทกจานวนทนอยกวา

หรอเทากบ 7

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2) จาก 5(x - 2) > 4(2x - 1) จะได 5x - 10 > 8x - 4 นา 10 มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได 5x - 10 + 10 > 8x - 4 + 10 หรอ 5x > 8x + 6 นา -8x มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได 5x + (-8x) > 8x + 6 + (-8x) หรอ -3x > 6

ตวอยางท 8

5(x - 2) = 5x - 10

4(2x - 1) = 8x - 4

á¹Ðá¹Ç¤Ô´

24

จงแกอสมการ 3x - 23 + 9x + 17 ≥ 1 พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

วธทา จาก 3x - 23 + 9x + 17 ≥ 1

นา ค.ร.น. ของ 3 และ 7 คอ 21 มาคณทงสองขางของอสมการ

จะได (3x - 23 + 9x + 17 )(21) ≥ 1(21)

หรอ (3x - 23 )(21) + (9x + 17 )(21) ≥ 21

(3x - 2)(7) + (9x + 1)(3) ≥ 21

21x - 14 + 27x + 3 ≥ 21

48x - 11 ≥ 21

ตวอยางท 11

นา 1 มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได -5x - 1 + 1 > 0 + 1

หรอ -5x > 1

นา - 15 มาคณทงสองขางของอสมการ

จะได (-5x)(- 15) < 1(- 15) หรอ x < - 15 ตรวจสอบคาตอบ

เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทนอยกวา - 15 เชน - 13, -2, - 52

ในอสมการ 2x3 - 16 > 3x2 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ 2x3 - 16 > 3x2 คอ จานวนจรงทกจานวนทนอยกวา - 15

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

-2 -1 0 1 2 - 15 ตอบ

จงแกอสมการ x3 - 56 ≤ 3x

4 พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

ลองทาด

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 27

นา -28 มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได x + 28 + (-28) ≥ 0 + (-28)

หรอ x ≥ -28

ตรวจสอบคาตอบ

เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทมากกวาหรอเทากบ -28 เชน -25.4, -20, -17

ในอสมการ 5x + 1412 ≥ 3x8 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ 5x + 1412 ≥ 3x8 คอ จานวนจรงทกจานวนทมากกวา

หรอเทากบ -28

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

-32 -31 -30 -29 -28 -27 -26 -25 -24 -23 -22

ตอบ

จงแกอสมการ 2x3 - 16 > 3x

2 พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

วธทา จาก 2x3 - 16 > 3x

2 นา ค.ร.น. ของ 3, 6 และ 2 คอ 6 มาคณทงสองขางของอสมการ

จะได (2x3 - 16)(6) > (3x2 )(6) หรอ (2x3 )(6) - (

16)(6) > (3x)(3)

(2x)(2) - (1)(1) > 9x

4x - 1 > 9x นา -9x มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได 4x - 1 + (-9x) > 9x + (-9x) -5x - 1 > 0

ตวอยางท 10

จงแกอสมการ 5x6 < 7x - 88 พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

ลองทาด

26

จงแกอสมการ -5 ≤ 2x + 3 < 7 พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

วธทา การแกอสมการ -5 ≤ 2x + 3 < 7 ทาได 2 วธ ดงน

วธท 1 เขยนอสมการ -5 ≤ 2x + 3 < 7 ในรป -5 ≤ 2x + 3 และ 2x + 3 < 7

จากนนแกอสมการ -5 ≤ 2x + 3 และ 2x + 3 < 7

จาก -5 ≤ 2x + 3 หรอ 2x + 3 ≥ -5

นา -3 มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได 2x + 3 + (-3) ≥ -5 + (-3)

หรอ 2x ≥ -8

นา 12 มาคณทงสองขางของอสมการ

จะได (2x)(12) ≥ (-8)(12) หรอ x ≥ -4

หรอ -4 ≤ x จาก -4 ≤ x และ x < 2 จะได -4 ≤ x < 2

วธท 2 จาก -5 ≤ 2x + 3 < 7

นา -3 มาบวกในอสมการ

จะได -5 + (-3) ≤ 2x + 3 + (-3) < 7 + (-3)

หรอ -8 ≤ 2x < 4

นา 12 มาคณในอสมการ

จะได (-8)(12) ≤ (2x)(12) < (4)(12) หรอ -4 ≤ x < 2

และ 2x + 3 < 7

นา -3 มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได 2x + 3 + (-3) < 7 + (-3)

หรอ 2x < 4

นา 12 มาคณทงสองขางของอสมการ

จะได (2x)(12) < (4)(12)หรอ x < 2

ตวอยางท 12

ตรวจสอบคาตอบ

เมอแทนคา x ดวยจานวนทมากกวาหรอเทากบ

-4 แตนอยกวา 2 เชน -4, 0.4, 1.7 ในอสมการ

-5 ≤ 2x + 3 < 7 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ -5 ≤ 2x + 3 < 7 คอ

จานวนจรงทกจานวนทมากกวาหรอเทากบ -4

แตนอยกวา 2

นกเรยนคดวา อสมการตอไปนมความหมายวาอยางไร1. a > b > c 2. a > b ≥ c3. a ≥ b > c 4. a ≥ b ≥ c เมอ a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ

Thinking Time

a ≤ b < c หมายถง a ≤ b และ b < c เมอ a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ

á¹Ðá¹Ç¤Ô´

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 29

นา 11 มาบวกทงสองขางของอสมการ

จะได 48x - 11 + 11 ≥ 21 + 11

หรอ 48x ≥ 32

นา 148 มาคณทงสองขางของอสมการ

จะได (48x)( 148) ≥ 32 ( 148) หรอ x ≥ 2

3 ตรวจสอบคาตอบ

เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทมากกวาหรอเทากบ 23 เชน 23, 1, 53

ในอสมการ 3x - 23 + 9x + 17 ≥ 1 จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ 3x - 23 + 9x + 17 ≥ 1 คอ จานวนจรงทกจานวน

ทมากกวาหรอเทากบ 23

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

-2 -1 0 1 2 23

ตอบ

สาหรบการแกอสมการทอยในรป a < b < c, a < b ≤ c, a ≤ b < c และ a ≤ b ≤ c

เมอ a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ นกเรยนอาจแปลความหรอจดรปอสมการขางตน ดงน

1) a < b < c หมายถง a < b และ b < c

2) a < b ≤ c หมายถง a < b และ b ≤ c

3) a ≤ b < c หมายถง a ≤ b และ b < c

4) a ≤ b ≤ c หมายถง a ≤ b และ b ≤ c

จงแกสมการ 2x + 15 + 3x - 24 < 2 พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

ลองทาด

28

สาหรบการแกอสมการเชงเสนตวแปรเดยวทมเครองหมาย ≠ เชน 2x + 4 ≠ 8 จะไมนยม

ใชสมบตของการไมเทากนเกยวกบการบวก และสมบตของการไมเทากนเกยวกบการคณ แตจะใช

การแกสมการ 2x + 4 = 8 เมอไดคาตอบของสมการ 2x + 4 = 8 จะทาใหไดคาตอบของ

อสมการ 2x + 4 ≠ 8 คอ จานวนจรงทกจานวนทไมใชคาตอบของสมการ 2x + 4 = 8

จงแกอสมการ 10x + 8 ≠ -32 พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

วธทา พจารณาสมการ 10x + 8 = -32

นา -8 มาบวกทงสองขางของสมการ

จะได 10x + 8 + (-8) = -32 + (-8)

หรอ 10x = -40

นา 110 มาคณทงสองขางของสมการ

จะได (10x)( 110) = (-40)( 110) หรอ x = -4

ดงนน คาตอบของสมการ 10x + 8 = -32 คอ -4

นนคอ คาตอบของอสมการ 10x + 8 ≠ -32 คอ จานวนจรงทกจานวนทไมเทากบ -4

ตรวจสอบคาตอบ

เมอแทนคา x ดวยจานวนจรงทไมเทากบ -4 เชน -5.9, 3, 6 ในอสมการ 10x + 8 ≠ -32

จะทาใหอสมการเปนจรงเสมอ

ดงนน คาตอบของอสมการ 10x + 8 ≠ -32 คอ จานวนจรงทกจานวนทไมเทากบ -4

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

ตอบ

ตวอยางท 13

จงแกอสมการ 5x - 4 ≠ -49 พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

ลองทาด

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 31

เขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนได ดงน

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ตอบ

กาหนดให a เปนจานวนเตม

ถา 59 < a27 < 33

54 แลว a มคาตรงกบขอใด

1) 15

3) 17

2) 16

4) ไมมขอใดถก

แนวคด จาก 59 < a

27 < 3354

นา 27 มาคณในอสมการ

จะได (59)(27) < ( a27)(27) < (3354)(27) หรอ 15 < a < 16.5

เนองจาก a เปนจานวนเตม จะได a มคาเทากบ 16

ดงนน คาตอบ คอ ขอ 2)

แนวขอสอบ O-NET

กาหนดให 4 ≤ a ≤ 9 และ 0.1 ≤ b ≤ 0.4

ถา x เปนจานวนเตมทมากทสดทเปนไปไดของ ab และ y เปนจานวนเตมทนอยทสด

ทเปนไปไดของ ab แลว x + y มคาเทาใด

คาถามทาทายการคดขนสง

จงแกอสมการ -23 ≤ 3x - 5 < 10 พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

ลองทาด

30

6. จงแกอสมการในแตละขอตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

1) 8 < 2(t + 3) - t

3) 4x - 3(x - 5) ≥ 11

5) 6c - 5(c - 3) > -18

7) 5x + 412 ≥ 3x

8

9) 12 (3 - 8x) > 15 (1 - 15 x)

11) 3(x + 4)2

+ 2(x - 3)5

≥ 1

2) 7x - 5(x - 2) ≠ 3

4) 7a - 4(a - 2) > 13

6) 5(x - 2) - 3 ≤ 4(2x - 1)

8) 2x3 - 16 > 3x

2

10) 3x - 23 + 3x + 17 ≥ 1

12) 5(x - 3)4

+ 3(x + 1)2

≤ 3x8 - 2

7. จงหาจานวนเตมทมากทสดและนอยทสดทเปนคาตอบของอสมการในแตละขอตอไปน

1) -9 < 3x - 7 < 3 3) 10 ≤ -3x < 41

2) -7 < 1 + 15x < 22

4) -5 ≤ 1 - 2x ≤ 14

8. กาหนดให -9 ≤ x ≤ 1 และ 5 ≤ y ≤ 10

1) จงหาจานวนเตมทมากทสดของ x + y

2) จงหาจานวนเตมทนอยทสดของ x - y

3) จงหาจานวนเตมทมากทสดของ 2x

4) จงหาจานวนเตมทมากทสดของ 2y

5) จงหาจานวนเตมทนอยทสดของ xy 6) จงหาจานวนเตมทนอยทสดของ x2 - y2

9. จงหาจานวนเตมทมากทสดทเปนคาตอบของอสมการ 5m - 12 (3m + 8) ≥ -4 + 92 m

10. กาหนดให 7x < 63 และ -4x ≤ 36

1) ถา a เปนจานวนเฉพาะทเปนคาตอบของอสมการขางตน แลว a มคาเทาใด

2) ถา b เปนจานวนเตมบวกทเปนคาตอบของอสมการขางตน แลว b มคาเทาใด

3) ถา c เปนจานวนเตมลบทเปนคาตอบของอสมการขางตน แลว c มคาเทาใด

ระดบ ทาทาย

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 33

แบบฝกทกษะ 1.3ระดบ พนฐาน

1. จงเตมเครองหมาย < > ≤ หรอ ≥ ลงใน ใหถกตอง

1) a + 9 b + 9 เมอ a > b

2) 11 - x 11 - y เมอ x ≤ y

3) 7m 7n เมอ m ≥ n

4) -13x -13y เมอ x < y

5) 10 - a 20 - a เมอ a แทนจานวนจรงใด ๆ

6) - 49 b - 79 b เมอ b แทนจานวนจรงลบ

2. จงแกอสมการในแตละขอตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

1) m + 3 ≥ 0

3) 3 + x < 15

5) 2y + 1 ≥ 15

7) 11 ≤ 3a -13 < 20

2) c + 7 ≤ 4

4) 7 - x > 5

6) 5x + 3 < 7x - 9

8) 7x + 19 ≠ -16

ระดบ กลาง

3. จงหาจานวนเตมทนอยทสดทเปนคาตอบของอสมการในแตละขอตอไปน

1) 9 ≤ 5y - 14

3) 4a - 10 > 21

2) 15 > -7x + 30

4) -5x - 6 < 14

4. จงหาจานวนเตมทมากทสดทเปนคาตอบของอสมการในแตละขอตอไปน

1) 10x - 54 < 7

3) -7a + 14 ≥ 55

2) 3a - 24 ≤ a + 35

4) -3c + 40 > -25

5. จงหาจานวนเฉพาะทนอยทสดทเปนคาตอบของอสมการ 23 x - x > 13 (2 - 5x)

32

เมอนา 50 ไปลบออกจากผลบวกของจานวนเตมบวกจานวนหนงกบ 18 จะไดผลลพธ

นอยกวา 6 จงหาจานวนเตมบวกจานวนนน

วธทา ให x แทนจานวนเตมบวกจานวนนน

นา 50 ไปลบออกจากผลบวกของจานวนเตมบวกจานวนนนกบ 18 เขยนแทนดวย

(x + 18) - 50 เนองจากผลลพธทไดนอยกวา 6

เขยนเปนอสมการได (x + 18) - 50 < 6

x + 18 < 56

x < 38

ตวอยางท 14

การแสดงอลกอรทมดวยผงงาน (flowchart) คอ แผนผงแสดงขนตอนการทางานทเรมจากจดเรมตนไปยง

จดสนสด ซงสามารถใชแผนผงนแสดงขนตอนการทางานของโปรแกรมได นอกจากน ผงงานยงเปน

เครองมอเพอใชในการตรวจสอบความผดพลาดในการทางาน สาหรบการแสดงอลกอรทมดวยผงงาน

มสญลกษณและคาอธบาย ดงน

เปนสญลกษณทแทนจดเรมตนหรอจดสนสดของการทางาน

เปนสญลกษณทแทนการนาขอมลเขาหรอออกโดยไมระบชนดของอปกรณ

เปนสญลกษณทแทนการดาเนนงานหรอการประมวลผล

เปนสญลกษณทแทนการตดสนใจตามเงอนไขทกาหนดไว

เปนสญลกษณทแทนทศทางของการดาเนนงาน

เปนสญลกษณทแทนการนาเขาขอมลดวยการปอนคาทางแปนพมพ

เกรด นาร

ทมา : ณฐภทร แกวรตนภทร. (2562). หนงสอเรยนรายวชาพนฐานวทยาศาสตร เทคโนโลย (วทยาการคานวณ)

ชนประถมศกษาปท 4. นนทบร : ไทยรมเกลา.

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 35

1.4 การนาความรเกยวกบอสมการเชงเสน ตวแปรเดยวไปใชในการแกปญหา ในระดบชนมธยมศกษาปท 1 นกเรยนไดเรยนการแกโจทยปญหาเกยวกบสมการเชงเสน

ตวแปรเดยวมาแลว สาหรบการแกโจทยปญหาเกยวกบอสมการเชงเสนตวแปรเดยวสามารถทาได

ในทานองเดยวกน ซงมขนตอน ดงน

ขนท 1 วเคราะหโจทยปญหาเพอพจารณาวา โจทยกาหนดอะไรมาให และตองการ

หาอะไร

ขนท 2 กาหนดตวแปรแทนสงทโจทยตองการใหหาหรอแทนสงทสมพนธกบสงท

โจทยตองการใหหา

ขนท 3 พจารณาเงอนไขทแสดงการไมเทากนตามทโจทยกาหนด แลวนามาเขยน

เปนอสมการ

ขนท 4 แกอสมการเพอหาคาตอบของสงทโจทยตองการ

ขนท 5 ตรวจสอบความสมเหตสมผลของคาตอบทไดกบเงอนไขทโจทยกาหนด

กจกรรม คณตศาสตร

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹à¢Õ¹¢Ñ鹵͹¡ÒÃᡌ⨷Â�»ÞËÒà¡ÕèÂǡѺÍÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ໚¹¼Ñ§§Ò¹

(flowchart) ¨Ò¡ÊÑÞÅѡɳ�·Õè¡Ó˹´ãËŒµ‹Í仹Õé â´Â·Óŧã¹ÊÁØ

เร�มตนปญหา

สนสด

วเคราะหโจทยปญหา

กาหนดตวแปร

แกอสมการ

แสดงคาตอบ

พจารณาเงอนไขตามทโจทยกาหนดและเขยนอสมการ

ตรวจสอบความสมเหตสมผลของคาตอบ

34

จานวนบวก 2 จานวนทมคาไมเทากนซงมผลบวกเทากบ 32 และผลตางของจานวนนมคา

ไมเกน 12 จงหาจานวนบวกทมคามาก

วธทา ให x แทนจานวนบวกทมคามาก

จะได จานวนบวกทมคานอย คอ 32 - x ผลตางของจานวนบวกทง 2 จานวน คอ x - (32 - x) เนองจากผลตางของจานวนบวกทง 2 จานวนมคาไมเกน 12

เขยนเปนอสมการได x - (32 - x) ≤ 12

x - 32 + x ≤ 12

2x ≤ 44

x ≤ 22

เนองจากผลบวกของจานวนบวกทง 2 จานวนเทากบ 32

ดงนน จานวนบวกทง 2 จานวนน จะเทากนเมอจานวนบวกแตละจานวนเทากบ 322 = 16

นนคอ จานวนบวกทมคามากตองมากกวา 16 แตนอยกวาหรอเทากบ 22

ตรวจสอบคาตอบ

ถาจานวนบวกทมคามาก คอ จานวนบวกทมคามากกวา 16 แตนอยกวาหรอเทากบ 22

เชน 20

จะได จานวนบวกทมคานอย คอ 32 - 20 = 12

ดงนน ผลตางของจานวนบวกทง 2 จานวน คอ 20 - 12 = 8 ซงมคาไมเกน 12

ตวอยางท 16

หลงจากซอเสอผาไป 1,000 บาท

แกวจะเหลอเงนอยางมาก 4,000 - 1,000 = 3,000 บาท

หรอแกวเหลอเงนไมเกน 3,000 บาท ซงเปนจรงตามเงอนไขทโจทยกาหนด

ดงนน ในตอนแรกแกวมเงนอยอยางมากทสด 2,000 บาท ตอบ

แตวมเงนอยจานวนหนง พสาวใหเงนแตวเทากบจานวนเงนทแตวมอย และแมไดใหเงน

แตวอก 500 บาท ซงทาใหตอนนแตวมเงนอยางนอย 2,500 บาท อยากทราบวา ในตอนแรก

แตวมเงนอยอยางนอยทสดกบาท

ลองทาด

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 37

แกวมเงนอยจานวนหนง และพอใหเงนแกวเทากบจานวนเงนทแกวมอย วนหนงแกวไปซอเสอผา

เปนเงน 1,000 บาท ปรากฏวาแกวเหลอเงนไมเกน 3,000 บาท จงหาวา ในตอนแรกแกวมเงน

อยอยางมากทสดกบาท

วธทา ให x แทนจานวนเงนทแกวมในตอนแรก

พอใหเงนแกวเทากบจานวนเงนทแกวมในตอนแรก

จะไดวา ตอนนแกวมเงน x + x = 2x บาท

แกวนาเงนไปซอเสอผา 1,000 บาท

จะไดวา ตอนนแกวมเงน 2x - 1,000 บาท

เนองจากหลงซอเสอผา แกวเหลอเงนไมเกน 3,000 บาท

เขยนเปนอสมการได 2x - 1,000 ≤ 3,000

2x ≤ 4,000

x ≤ 2,000

ตรวจสอบคาตอบ

ถาในตอนแรกแกวมเงนอยางมาก 2,000 บาท

เมอพอใหเงนแกวเทากบจานวนเงนทแกวมอย

จะไดวา ตอนนแกวมเงนอยางมาก 2,000 + 2,000 = 4,000 บาท

ตวอยางท 15

เมอนา 27 ไปลบออกจากผลบวกของจานวนเตมบวกจานวนหนงกบ 12 จะไดผลลพธ

มากกวา 4 จงหาจานวนเตมบวกจานวนนน

ลองทาด

ตรวจสอบคาตอบ

ถาจานวนเตมบวกจานวนนนเปนจานวนเตมบวกทนอยกวา 38 เชน 37, 36.3, 34

เมอนา 50 ไปลบออกจากผลบวกของจานวนเตมบวกจานวนนนกบ 18

จะได (37 + 18) - 50 = 5 จะเหนวา 5 < 6

ในทานองเดยวกน เมอนา 50 ไปลบออกจากผลบวกของจานวนเตมบวกทนอยกวา 38

จะมคานอยกวา 6 เสมอ ซงเปนจรงตามเงอนไขทโจทยกาหนด

ดงนน จานวนเตมบวกจานวนนน คอ จานวนเตมบวกทนอยกวา 38 ตอบ

36

สวนสงโดยเฉลยของฟา ออม และแมวเทากบ 152 เซนตเมตร ถาสวนสงโดยเฉลยของฟา

ออม แมว และอายมคาไมเกน 156 เซนตเมตร จงหาสวนสงทมากทสดทเปนไปไดของอาย

ลองทาด

จานวนเตมบวก 2 จานวนตางกนอย 5 ถานา 5 เทาของจานวนมากบวกกบจานวนนอย จะได

ผลบวกอยระหวาง 85 และ 109 จงหาจานวนเตมบวกทเปนจานวนมาก

วธทา ให x แทนจานวนเตมบวกทเปนจานวนมาก

จะได จานวนเตมบวกทเปนจานวนนอย คอ x - 5 5 เทาของจานวนมากบวกกบจานวนนอย คอ 5x + (x - 5) เนองจาก ผลบวกอยระหวาง 85 และ 109

เขยนเปนอสมการได 85 < 5x + (x - 5) < 109

85 < 5x + x - 5 < 109

85 < 6x - 5 < 109

90 < 6x < 114

15 < x < 19

เนองจาก x เปนจานวนเตมบวก จะได x คอ 16, 17 และ 18 ดงนน จานวนเตมบวกทเปนจานวนมาก คอ 16, 17 และ 18

ตรวจสอบคาตอบ

ถาจานวนเตมบวกทเปนจานวนมาก คอ 16, 17 และ 18

จะได จานวนเตมบวกทเปนจานวนนอย คอ 16 - 5 = 11, 17 - 5 = 12

และ 18 - 5 = 13 ตามลาดบ

นนคอ 5 เทาของจานวนมากบวกกบจานวนนอย คอ 5(16) + 11 = 91, 5(17) + 12 = 97

และ 5(18) + 13 = 103 ซงเปนจรงตามเงอนไขทโจทยกาหนด

ดงนน จานวนเตมบวกทเปนจานวนมาก คอ 16, 17 และ 18 ตอบ

ตวอยางท 18

จานวนเตมบวก 2 จานวนตางกนอย 6 ถานา 4 เทาของจานวนนอยบวกกบจานวนมาก

จะไดผลบวกมากกวาหรอเทากบ 31 แตนอยกวา 51 จงหาจานวนเตมบวกทเปนจานวนนอย

ลองทาด

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 39

ในทานองเดยวกน ถาจานวนบวกทมคามากเปนจานวนอน ๆ ทมคามากกวา 16 แต

นอยกวาหรอเทากบ 22

ผลตางของจานวนบวกทง 2 จานวนทมคาไมเทากนซงมผลบวกเทากบ 32 จะมผลตาง

ไมเกน 12 เสมอ ซงเปนจรงตามเงอนไขทโจทยกาหนด

ดงนน จานวนบวกทมคามาก คอ จานวนบวกทมากกวา 16 แตนอยกวาหรอเทากบ 22

ตอบ

จานวนบวก 2 จานวนทมคาไมเทากนมผลบวกเทากบ 26 และผลตางไมเกน 10 จงหาจานวน

บวกทมคานอย

ลองทาด

นาหนกตวโดยเฉลยของเกง ออย และเอกเทากบ 60 กโลกรม ถานาหนกตวโดยเฉลยของเกง

ออย เอก และโกมคาไมเกน 62 กโลกรม จงหานาหนกตวทมากทสดทเปนไปไดของโก

วธทา ให a แทนนาหนกตวของโก

ผลรวมนาหนกตวของเกง ออย และเอกเทากบ 3 × 60 กโลกรม

ผลรวมนาหนกตวของเกง ออย เอก และโกเทากบ (3 × 60) + a กโลกรม

นาหนกตวโดยเฉลยของเกง ออย เอก และโกเทากบ (3 × 60) + a4 กโลกรม

เนองจากนาหนกตวโดยเฉลยของทงสคน มคาไมเกน 62 กโลกรม

เขยนเปนอสมการได (3 × 60) + a4 ≤ 62

180 + a4 ≤ 62

180 + a ≤ 248

a ≤ 68

ตรวจสอบคาตอบ

ถาโกมนาหนกตวไมเกน 68 กโลกรม

ผลรวมนาหนกตวของเกง ออย เอก และโกมคาไมเกน (3 × 60) + 68 = 248 กโลกรม

นาหนกตวโดยเฉลยของเกง ออย เอก และโกมคาไมเกน 2484 = 62 กโลกรม

ซงเปนจรงตามเงอนไขทโจทยกาหนด

ดงนน นาหนกตวทมากทสดทเปนไปไดของโก คอ 68 กโลกรม ตอบ

ตวอยางท 17

คาเฉลย คอ คาท ไดจากการนาคาของขอมลทกคามาบวกกน แลวหารดวยจานวนขอมลทงหมด

á¹Ðá¹Ç¤Ô´

38

8. ในหองเรยนหองหนง อตราสวนผลรวมของนาหนกตวของนกเรยนชายทกคนตอผลรวมของ

นาหนกตวของนกเรยนหญงทกคนเทากบ 5 : 3 ถาผลรวมของนาหนกตวของนกเรยนหญง

ทกคนในหองนเทากบ 870 กโลกรม และนาหนกตวโดยเฉลยของนกเรยนชายมคามากกวา

55 กโลกรม อยากทราบวา ในหองนมจานวนนกเรยนชายอยางมากทสดกคน

ระดบ ทาทาย

6. เอกมเหรยญ 10 บาท และ 5 บาท รวมกน 15 เหรยญ ซงมมลคารวมกนไมเกน 120 บาท

จงหาวา เอกมเหรยญ 5 บาท อยางนอยกเหรยญ

7. ถาผลบวกของจานวนค 4 จานวนทเรยงตดกนมคาตงแต 91 แตไมเกน 93

1) จงหาจานวนคทมคามากทสดและนอยทสด

2) จงหาผลรวมของจานวนคทงสจานวน

3) จงหาผลคณของจานวนคทงสจานวน

หลงจากเรยนจบหนวยนแลว ใหนกเรยนบอกสญลกษณทตรงกบระดบความสามารถของตนเอง

1. อธบายความหมายของเครองหมายแสดงการไมเทากนได

2. แกอสมการเชงเสนตวแปรเดยวและเขยนกราฟแสดงคาตอบ

บนเสนจานวนได

3. ใชสมบตของการไมเทากนในการแกอสมการ และตรวจสอบ

ความสมเหตสมผลของคาตอบได

4. ใชตวแปรแทนปรมาณตาง ๆ ในปญหาคณตศาสตร

หรอปญหาในชวตจรง พรอมทงสรางอสมการอยางงาย

ในการแกปญหาได

ตรวจสอบตนเอง

ด พอใชควร

ปรบปรง

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 41

3. รปสเหลยมผนผารปหนงมดานยาวยาวกวา 2 เทาของดานกวางอย 4 เมตร ถาเสนรอบรป

ยาวไมเกน 38 เมตร จงหาความยาวของดานกวาง

4. วนแรกทรายอานหนงสอได 14 ของจานวนหนาทงหมด และวนตอมาอานไดอก 60 หนา

ซงรวม 2 วน ทรายอานไดมากกวาครงเลม จงหาวาหนงสอเลมนมจานวนหนา

อยางมากทสดกหนา

5. กอยตองการสรางรวไมลอมทดนผนหนงทมลกษณะเปนรปสเหลยมผนผาและมความยาว

ทดนโดยรวมไมเกน 240 เมตร ถาดานยาวของทดนยาวกวาดานกวางของทดนอย 40 เมตร

อยากทราบวา กอยตองลอมรวยาวอยางมากทสดกเมตร

แบบฝกทกษะ 1.4ระดบ พนฐาน

ระดบ กลาง

1. เมยมเงน 100 บาท ตองการซอนาขวดละ 7 บาท อยากทราบวา เมยจะซอนาไดมากทสด

กขวด

2. ถา 3 เทาของจานวนเตมบวกจานวนหนงมากกวา 30 อยไมถง 15 จงหาจานวนเตมบวก

จานวนนน

40

สรปแนวคดหลก

ความรเกยวกบอสมการเชงเสนตวแปรเดยว

1. เครองหมายแสดงการไมเทากน

เครองหมายแสดงการไมเทากนประกอบไปดวย

แทนความสมพนธนอยกวา

แทนความสมพนธมากกวา

แทนความสมพนธนอยกวาหรอเทากบ

แทนความสมพนธมากกวาหรอเทากบ

แทนความสมพนธไมเทากบ

2. อสมการเชงเสนตวแปรเดยว

อสมการ เปนประโยคสญลกษณทแสดงถงความสมพนธของจานวน โดยมสญลกษณ

< > ≤ ≥ หรอ ≠ แสดงความสมพนธ

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว เปนอสมการทมตวแปรปรากฏอยเพยงตวแปรเดยว และม

ดกรของตวแปรเทากบ 1

คาตอบของอสมการเชงเสนตวแปรเดยวและกราฟแสดงคาตอบ

1. คาตอบของอสมการเชงเสนตวแปรเดยว

คาตอบของอสมการ คอ จานวนจรงใด ๆ ทแทนตวแปรในอสมการแลวทาใหอสมการ

เปนจรง

<

>

≤

≥

≠

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 43

คณตศาสตรในชวตจรง

ในแตละปการศกษาจะแบงออกเปน 2 ภาคเรยน คอ ภาคเรยนท 1 และภาคเรยนท 2 โดย

ในแตละภาคเรยนจะตองมการคดเกรดเฉลย ซงมขนตอน ดงน

ขนท 1 หาคาคะแนนทไดจากเกรดในแตละรายวชา

คาคะแนนทไดจากเกรด = จานวนหนวยกตของวชา × เกรดทได

ขนท 2 หาผลรวมของคาคะแนนทไดจากเกรดทกรายวชา

ขนท 3 หาเกรดเฉลยจากสตรตอไปน

เกรดเฉลย = ผลรวมของคาคะแนนทไดจากเกรดทกรายวชา

ผลรวมของหนวยกตทกรายวชา

เจษฎากาลงศกษาอยในระดบชนมธยมศกษาปท 3 ของโรงเรยนแหงหนง ถาในภาคเรยนท 1

ไดเกรดในแตละวชา เปนดงน

วชา หนวยกต เกรด

ภาษาไทย 1.5 3.5

คณตศาสตร 1.5

วทยาศาสตร 1.5 3

สงคมศกษา ศาสนา และวฒนธรรม 1.5 4

ประวตศาสตร 0.5 4

สขศกษา 0.5 3

พลศกษา 0.5 3.5

ศลปะ 1 3

การงานอาชพและเทคโนโลย 1 4

ภาษาองกฤษ 1.5 3.5

อยากทราบวา เจษฎาตองไดเกรดวชาคณตศาสตรเทาใด จงจะไดเกรดเฉลยในภาคเรยนท 1

มากกวาหรอเทากบ 3.5

42

การนาความรเกยวกบอสมการเชงเสนตวแปรเดยวไปใชในการแกปญหา

การแกโจทยปญหาเกยวกบอสมการเชงเสนตวแปรเดยวมขนตอน ดงน

เร�มตนปญหา

สนสด

วเคราะหโจทยปญหา

กาหนดตวแปร

แกอสมการ

ตรวจสอบความสมเหตสมผลของคาตอบ

จรง

เทจ

พจารณาเงอนไขตามทโจทยกาหนดและเขยนอสมการ

แสดงคาตอบ

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 45

2. กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงใด ๆ โดยท a < b

การแกอสมการเชงเสนตวแปรเดยว

1. สมบตของการไมเทากนเกยวกบการบวก

สมบต

กาหนดให a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ

1) ถา a < b แลว a + c < b + c

2) ถา a ≤ b แลว a + c ≤ b + c

3) ถา a > b แลว a + c > b + c

4) ถา a ≥ b แลว a + c ≥ b + c

2. สมบตของการไมเทากนเกยวกบการคณ

สมบต

กาหนดให a, b และ c แทนจานวนจรงใด ๆ

1) ถา a < b และ c เปนจานวนจรงบวก แลว ac < bc

2) ถา a ≤ b และ c เปนจานวนจรงบวก แลว ac ≤ bc

3) ถา a > b และ c เปนจานวนจรงบวก แลว ac > bc

4) ถา a ≥ b และ c เปนจานวนจรงบวก แลว ac ≥ bc

5) ถา a < b และ c เปนจานวนจรงลบ แลว ac > bc

6) ถา a ≤ b และ c เปนจานวนจรงลบ แลว ac ≥ bc

7) ถา a > b และ c เปนจานวนจรงลบ แลว ac < bc

8) ถา a ≥ b และ c เปนจานวนจรงลบ แลว ac ≤ bc

a a b

x > ax < a

x ≤ a

a ≤ x < b

a < x < b

a < x ≤ b

x ≠ a

x ≥ a

a ≤ x ≤ b

44

3. จงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของจานวนจรงทกจานวนทมากกวาหรอเทากบ 5

แตนอยกวา 11

4. จงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนของจานวนจรงทกจานวนทมากกวา 6 แตนอยกวา

หรอเทากบ 10

5. จงหาจานวนเตมทนอยทสดทเปนคาตอบของอสมการ 7x > 25

6. จงหาจานวนเตมทมากทสดทเปนคาตอบของอสมการ -9x ≥ 31

7. จงแกอสมการในแตละขอตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

1) 3x > 9 2) 5x + 1 < 16

3) 45 x ≤ 12 4) 2 ≥ - 16 x

5) -7x > 40 + x 6) 32 x + 1 > 4

7) 4 - 145 x ≠ x 8) 3(x + 9) > 20

9) 7x - 54 ≥ 15

2 10) 15 (20x + 3) < x + 3

11) 7x + 34 ≤ 2 + x + 52 12) 4x - 3

6 - 3 < 1 + x + 12

8. จงแกอสมการในแตละขอตอไปน พรอมทงเขยนกราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวน

1) 11 > x + 2 ≥ -8 2) -4 < 25 x < 5

3) 3x + 214 > x ≥ 3x + 1

4 4) 5x - 3 < x < 10x + 7

9. จงหาพนททเลกทสดของรปสเหลยมผนผาทมความยาวดานแตละดานเปนจานวนเตม

โดยทความยาวของดานยาวมากกวาความยาวของดานกวางอย 2 เซนตเมตร และ

มเสนรอบรปยาวมากกวา 16 เซนตเมตร

10. ในหองเรยนหองหนง มอตราสวนผลรวมของสวนสงของนกเรยนชายทกคนตอผลรวมของ

สวนสงของนกเรยนหญงทกคนเทากบ 7 : 5 ถาผลรวมของสวนสงของนกเรยนชายทกคน

ในหองนเทากบ 1,890 เซนตเมตร และสวนสงโดยเฉลยของนกเรยนหญงมคานอยกวา

169 เซนตเมตร อยากทราบวา ในหองนมจานวนนกเรยนหญงอยางมากทสดกคน

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 47

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1

1. จงพจารณาวา จานวนทอยในวงเลบ ( ) ทายอสมการ เปนคาตอบของอสมการทกาหนดให

ในแตละขอตอไปนหรอไม

1) 5x + 4 > 9 (1) 2) 4x + 3 < 6 (-2)

3) 4x ≠ 12 (3) 4) 9(2x + 1) ≥ 45 (3)

5) 7(3x - 1) < 12 (-3) 6) 12(x - 4) ≠ 7(x - 7) (52) 7) 4(3 - x) > 2x + 1 (6) 8) 7(x - 1) < (3x + 4) (3)

9) x - 13 > - x4 (2) 10) 1

2 (4x - 5) > 4 - x (2)

2. จงหาวา กราฟแสดงคาตอบบนเสนจานวนในแตละขอตอไปน แสดงจานวนใดบาง

1)

2)

3)

4)

5)

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2

12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

-39 -36 -33 -30 -27 -24 -21 -18 -15 -12 -9

46