แบบฝ กหัด8¸šทที่ 82.pdf · ผู ช วยศาสตราจารย ชนกกานต สหัสทัศน แคลคูลัส1สำหรับวิศวกร

ผชวยศาสตราจารยชนกกานต สหสทศน แคลคลส 1 สำหรบวศวกร

เนองจาก v = 2t− 10 > 0 เมอ t > 5 และ v < 0 เมอ t < 5 ดงนน

ระยะทางรวม

=

∫ 20

0

|2t− 10|dt

=

∫ 5

0

(2t− 10)dt+

∫ 20

5

(2t− 10)dt

= (t2 − 10t)∣∣∣50+ (t2 − 10t)

∣∣∣205

= {((5)2 − 10(5))− ((0)2 − 10(0))}+ {((20)2 − 10(20))− ((5)2 − 10(5))}= 200

นนคอ ระยะทางสทธเทากบ 200 เมตร และระยะทางรวมเทากบ 200 เมตร

ตวอยาง 8.4.6 จงหาตำแหนง s(t) ของอนภาคทเคลอนทบนเสนตรงดวยความเรว v = 5 cos πtเมตร/วนาท และ s(0) = 2 จงหาระยะทางรวมทอนภาคนเคลอนทไดจากเวลา t = 0 ถง t = 3

2วนาทวธทำ เนองจาก v = 5 cos πt ดงนน

s(t) =

∫vdt

=

∫5 cos πtdt

=5

πsinπt+ C (8.10)

เนองจาก s(0) = 2 และสมการท (8.10) จะได C = 2 นนคอ

s(t) =5

πsinπt+ 2

แบบฝกหด 8.4

จงหาพนท A ระหวางเสนโคงทกำหนดใหในตอไปน

1. y = x2 และ y = −x จาก x = −3 ถง x = 0

2. y = x3 และ y = −x จาก x = −2 ถง x = 0

363

แคลคลส 1 สำหรบวศวกร ผชวยศาสตราจารยชนกกานต สหสทศน

3. y = −x+ 4 และ y =3

x2จาก x = 1 ถง x = 2

4. y2 = 1− x และ y = −x จาก y = 0 ถง y = 1

5. x = y3 และ x = y3 + 4 จาก y = −1 ถง y = 1

6. y = x2 และ y = x4

7. y = 3− x2 และ y = 3− 2x

8. y = 8x− x2 และ y = 2x

9. x2 = 2y และ y2 = 16x

10. y − x = 1 และ y2 + x = 1

�� △ N∁▽Ha♢�⋆�� △ N∁▽Ha♢�⋆

8.5 ปรมาตร (Volumes)ในหวขอนจะแสดงถงการใชอนทกรลจำกตเขตหาปรมาตรของทรงสามมต (solid) ซง

เปนทรงสามมตทเราทราบพนทของแตละภาคตดขวาง (cross sections) และทรงสามมตทเกดจากการหมนบรเวณในระนาบรอบเสนตรงคงทเสนหนง

8.5.1 การหาปรมาตรของทรงตนทเกดจากการหมน(Volume of a Solid of Revolution)เปนการประยกตของอนทกรลจำกดเขต ในการหาปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการ

หมนบรเวณทมขอบเขต (Boundary) โดยการหมนรอบเสนตรงใดเสนตรงหนงในพนราบ ซงจะเรยกเสนตรงนวา แกนหมน (Axis of revolution) ซงจากรป 8.16 จะเหนวาเมอหมนบรเวณทถกปดลอมโดยกราฟของครงวงกลมรอบเสนผาน ศนยกลางของวงกลมนน จะไดรปทรงตนเปนรปทรงกลม (Sphere)

364


รปท 8.16: รปทรงกลม

8.5.2 แนวคดการหาปรมาตรโดยการเฉอน(Volume by Slicing)

รปทรงกระบอก (Cylinders)

ถามการยายหรอเลอนแผนระนาบกลมไปตามเสนทตงฉากตอแผนกลมนน จะเกดเปนรปทรงกระบอกกลมตรงดงรป 8.17

รปท 8.17: รปทรงกระบอกกลมตรง

365


โดยทวไปเรานยามรปทรงกระบอกตรง (Right cylinders) วาเปนรปทรงสามมตททำใหเกดขนไดโดยมการเลอนบรเวณระนาบไปตามเสนหรอแกนทตงฉากตอบรเวณนน ดงรป 8.18

รปท 8.18: รปทรงสามมต

ซงรปทรงกระบอกตรงน จะเหนสวนตดขวางของรปทรงกระบอกตรงทกรป มขนาดเทากนและมรปรางเหมอนกน

วธการเฉอน (The Method of slicing)

ถารปทรงกระบอกตรงถกทำใหเกดขน โดยมการเลอนบรเวณระนาบทมพนท A ไปเปนระยะ h หนวยดงรป 8.19 เราจะไดปรมาตรของรปทรงกระบอกตรงดงน

รปท 8.19: รปทรงกระบอกกลมตรง

366


ปรมาตร = พนทฐาน (พนทสวนตดขวาง)× ความสงV = Ah

สำหรบรปทรงสามมตทเปนรปทรงกระบอกตรงหรอไมเปน จะสามารถหาปรมาตรไดโดย วธการเลอน (Slicing) ออกเปนชนๆ ไดดงน S เปนรปทรงสามมต ทขยายไปตามแกน x และถกปดทางดานซายและขวา โดยระนาบทตงฉากตอแกน x ท x = a และ x = b เนองจาก S ไมเปนรปทรงกระบอกตรง ดงนน สวนขวางทตงฉากกบแกน x จะแปรคาไปตามจด x

สมมตให A(x) แทนพนทของสวนตดขวางทจด x ดงรป 8.20

รปท 8.20: พนทของสวนตดขวางทจด x

367


ถาแบงชวงปด [a, b] ออกเปน n ชวงยอย ใหแตละชวงกวาง∆x1,∆x2,∆x3, . . . ,∆xn

โดยกำหนดจดแบงอยทจด x1, x2, x3, . . . , xn−1 ระหวาง a และ b แลวนำแผนระนาบทตงฉากตอแกน x ตดผานจดเหลาน ระนาบเหลานจะตด S ออกเปน n ชน เรยกวา S1, S2, S3, . . . , Sn

ดงรป 8.21

รปท 8.21: แบงรปทรงสามมตทมชวงปด [a, b] ออกเปน n ชวงยอย

พจารณาชนท k;Sk โดยทวไปแลว ชนทถกเฉอนออกมาอาจจะไมเปนรปทรงกระบอกตรง เพราะสวนตดขวางไมคงท แตถาเราเฉอนออกเปนชนบางๆ แลว สวนตดขวางกจะไมแปรคามากนก ดงนนถาเราเลอกจด x∗

k ใดๆ ในชวงยอยท k แลว สวนตดขวางท x∗k จะสามารถใชประมาณสวนตด

ขวางของ Sk ได และเราสามารถหาปรมาตรของ Sk ไดโดยเปนรปทรงกระบอกตรงทมความหนา∆xk และพนทสวนตดขวาง A(x∗

k) ดงรป 8.22

รปท 8.22: รปทรงกระบอกตรงทมความหนา ∆xk

368


ดงนนปรมาตร Vk ของชน Sk จะประมาณไดโดย

Vk ≈ A(x∗k)∆xk

และปรมาตรทงหมด V จะมคาประมาณ

V = V1 + V2 + V3 + . . .+ Vn

V =n∑

k=1

A(x∗k)∆xk

ถาเพมจำนวนชนใหมากขน โดยท max∆xk → 0 แลว คาประมาณของปรมาตร V ทงหมดจะเขาใกลคาทแทจรงของปรมาตร V นนคอ

V = limmax∆xk→0

n∑k=1

A(x∗k) =

∫ b

a

A(x)dx (8.11)

จากสมการ (8.11) สามารถสรปไดดงนให S เปนทรงสามมตทปดลอมดวยระนาบสองระบาบทตงฉากตอแกน x ทจด x = a

และ x = b ถาสำหรบแตละ x ในชวงปด [a, b] พนทสวนตดขวางของ S ทตงฉากตอแกน x คอA(x) แลวจะไดวา ปรมาตรของรปทรงสามมตคอ

V =

∫ b

a

A(x)dx เมอ A(x) สามารถอนทเกรตได (8.12)

ในทำนองเดยวกนพนทสวนตดขวางของ S ทตงฉากตอแกน y ทจด y = c และ y = d เมอมการหมนบรเวณหรอพนทรอบแกนหมน แลวจะไดวา ปรมาตรของรปทรงสามมตคอ

V =

∫ d

c

A(y)dy เมอ A(y) สามารถอนทเกรตได (8.13)

โดยท A(y) เปนพนทสวนตดขวางของ S ทตงฉากตอแกน y

การหาปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนรอบมวธการหาปรมาตร 2 วธดงน1. วธจาน (Disk method)2. วธเปลอกกระบอก (Cylindrical method หรอ shell method)

8.5.3 การหาปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนรอบวธจานเปนวธการหาปรมาตรของรปทรงตน โดยเฉอนรปทรงตนเปนแผนๆ ทตงฉากกบแกน

หมน ซงจะใหหนาตดเปนวงกลมเสมอ แบงได 2 วธ ดงน

369


1. แกนหมนเปนสวนหนงของขอบเขตของบรเวณทจะหมนให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b]

A เปนพนทของบรเวณ R ทถกลอมรอบดานบนดวยกราฟของฟงกชน y = f(x) ดานลางดวยแกน x และดานขางดวยเสนตรง x = a และ x = b ดงรป 8.23

รปท 8.23: กราฟของฟงกชน y = f(x)

ให V เปนปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนบรเวณ R รอบแกน x การหาปรมาตร V

ทำไดโดยแบงชวงปด [a, b] ออกเปน n ชวงยอยเทาๆ กนทจด a1, x1, x2, x3, . . . , xn−1, b และใหแตละชวงยอยมความกวาง δx สรางรปสเหลยมผนผาบนแตละชวงยอย จะไดรปสเหลยมผนผาทมความกวาง ∆x และสง f(x∗

i ) เราเรยกรปสเหลยมผนผานวา แถบ (Strip) เมอนำแถบอนดบท i หมนรอบแกน x จะไดรปทรงตนเปนจานกลม (Circular Disk) ทมรศมเทากบ f(x∗

i ) และมความหนาเทากบ δx ดงรป 8.24

รปท 8.24: นำแถบอนดบท i หมนรอบแกน x จะไดรปทรงตนเปนจานกลม

370


ให ∆iv เปนปรมาตรของจานกลมอนท i ดงนน

∆iv = พนทฐาน× ความหนา= π(f(x∗

i ))2∆x

และเนองจากแถบมทงหมด n แถบ ดงนนจงมจานกลม n อนดวย ให Vn เปนผลรวมของปรมาตรของจานกลมทง n อน จะไดวา

Vn =n∑

i=1

∆iV

=n∑

i=1

π(f(x∗i ))

2∆x

และเมอแบงชวงปด [a, b] อยางละเอยดมากๆ หรอเพมจำนวน n มากขน นนคอ n → ∞ หรอmax∆x → 0 จะไดวา Vn เขาใกล V ดงนน

V = limn→∞

Vn

= limn→∞

n∑i=1

π(f(x∗i ))

2∆x

=

∫ b

a

π(f(x∗i ))

2dx

หรอกลาวไดวาเปนรปทรงตนทมสวนตดขวางทมความหนา ∆x ≈ dx มรศม f(x) และมพนทหนาตดเปนรปวงกลม จะไดพนทเปน π(f(x))2 และมปรมาตรคอ

V =

∫ b

a

π(f(x∗i ))

2dx

หรอ V = π

∫ b

a

(f(x∗i ))

2dx

ดงรป 8.25ในทำนองเดยวกน ถาหมนบรเวณทถกลอมรอบดวยกราฟของฟงกชน x = u(y), แกน y เสนตรงy = c และ y = d รอบแกน y จะเปนรปทรงตนทมสวนตดขวางตงฉากตอแกน y ทมความหนา∆y ≈ dy มรศม u(y) และมพนทหนาตดเปนรปวงกลม จะไดพนทเปน π[u(y)]2 และมปรมาตรคอ

V =

∫ d

c

π(u(y))2dy

หรอ V = π

∫ d

c

(u(y))2dy

ดงรป 8.26

371


รปท 8.25: หมนกราฟของฟงกชน y = f(x), แกน x เสนตรง x = a และ x = b รอบแกน x

รปท 8.26: หมนกราฟของฟงกชน x = u(y), แกน y เสนตรง y = c และ y = d รอบแกน y

สรป วธการหาปรมาตรโดยวธจาน เมอแกนหมนเปนสวนหนงของขอบเขตของบรเวณทจะหมน

1. เขยนรปทรงตนทตองการหาปรมาตร โดยตองเขยนรปพนทกอนอยางคราวๆ แลวนำพนททไดไปหมนรอบเสนตรงหรอแกนตามทกำหนดไว

2. เฉอนรปทรงตนในลกษณะทตงฉากกบแกนหมน โดยแสดงรอยตดเปนตวอยางหนงของรปทแสดงความหนา และรศม โดยท

รศม คอ ระยะจากแกนหมนไปยงผวของรป

ความหนา ม 2 แบบ คอ ∆x ≈ dx หรอ ∆y ≈ dy

372


3. หาลมต ถาความหนาเปน dx ใหพจารณาลมต a และ b บนแกน x แตถาความหนาเปนdy ใหพจารณาลมต c และ d บนแกน y

4. หาปรมาตรโดยแทนคาในสตร

V = π

∫ b

a

(f(x))2dx

หรอ V = π

∫ d

c

(u(y))2dy

ซงสตรการหาปรมาตรน อาจกลาวในลกษณะขอความไดดงน

V = π

∫ d

c

(รศม)2(ความหนา)

ตวอยาง 8.5.1 จงหาปรมาตรของรปทรงตนท เกดจากการหมนพนท ทลอมรอบดวยเสนโคงy =

√x แกน x , x = 1 และ x = 4 รอบแกน x

วธทำ สามารถเขยนรปได ดงรป 8.27

รปท 8.27: กราฟของฟงกชน y =√x หมนรอบแกน x

หาปรมาตร V โดยรศมเทากบ y ความหนาเทากบ dx และลมตจาก x = 1 ถง x = 4

V = π

∫ 4

1

y2dx

= π

∫ 4

1

(√x)2dx

= π(8− 1

2)

=15π

2

373


ตอบ ปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนพนท ทลอมรอบดวยเสนโคง y =√x แกน x,

x = 1 และ x = 4 รอบแกน x มคาเทากบ 15π

2ลกบาศกหนวย

ตวอยาง 8.5.2 จงหาปรมาตรของรปทรงตนท เกดจากการหมนพนททลอมรอบดวยเสนโคงy2 = x3 เสนตรง x = 4 และ y = 1 รอบเสนตรง x = 4

วธทำ จากโจทยสามารถเขยนรปทรงตน ไดดงรป 8.28

รปท 8.28: หมนพนททลอมรอบดวยเสนโคง y2 = x3 เสนตรง x = 4 และ y = 1 รอบเสนตรงx = 4

หาปรมาตร V โดยมรศมเทากบ 4 − x โดยท x = y23 ดงนนมรศมเทากบ 4 − y

23 ความหนา

เทากบ dy และลมตจาก y = 1 ถง y = 8 ไดดงน

V = π

∫ 8

1

(4− x)2dy

= π

∫ 8

1

(4− x23 )2dy

= π

∫ 8

1

(16− 8y23 + y

43 )dy

= π(16y − 24

5y

53 +

3

7y

73 )∣∣81

= π{(128− 768

5+

384

7)− (16− 24

5+

3

7)}

= π{112− 744

5+

381

7

}=

617π

35

ตอบ ปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนพนท ทลอมรอบดวยเสนโคง y2 = x3 เสนตรง

374


x = 4 และ y = 1 รอบเสนตรง x = 4 มคาเทากบ 617π


2. แกนหมนไมเปนสวนใดเลยของขอบเขตของบรเวณทจะหมน

ให f เปน g เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] โดยท f(x) ≥ g(x) ≥ 0 สำหรบทกคาของ x ในชวงปด [a, b]

ให R บรเวณทอยระหวางกราฟของฟงกชน y = f(x), y = g(x) และปดดวยเสนตรง x = a และ x = b, V เปนปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนบรเวณ R รอบแกน x

การหาปรมาตร V กมลกษณะเชนเดยวกนกบวธท 1.1 แตในการหมนแถบอนท i รอบแกน x จะไดรปทรงตนทเปนวงแหวนกลม (Circular ring) ซงมความหนาเทากบ ∆x เปน และรศมวงนอกและรศมวงใน f(x∗

i ) และ g(x∗i ) ตามลำดบ ดงรป 8.29

รปท 8.29: แกนหมนไมเปนสวนใดเลยของขอบเขตของบรเวณทจะหมน

ให ∆iv เปนปรมาตรของวงแหวนกลมอนท iดงนน ∆iv = π[(f(x∗

i ))2∆x]− π[(g(x∗

i ))2∆x]

ให Vn เปนผลรวมของปรมาตรของวงแหวนกลมทง n อน ดงนนจะได

Vn =n∑

i=1

∆iV

=n∑

i=1

π[[(f(x∗i ))

2∆x]− π[(g(x∗i ))

2∆x]]

=n∑

i=1

π[[(f(x∗i ))

2]− π[(g(x∗i ))

2]]∆x

375


เมอแบงชวงปด [a, b] อยางละเอยดมากๆ หรอเพมจำนวน n มากขน นนคอ n → ∞ หรอmax∆x → 0 จะไดวา Vn เขาใกล V ดงนน

V = limn→∞

= limmax∆x→0

n∑i=1

π[(f(x∗i ))

2 − (g(x∗i ))

2]∆x

=

∫ b

a

π[(f(x))2 − (g(x))2]dx

หรอกลาวไดวาเปนรปทรงตนทมสวนตดขวางทมความหนา ∆x ≈ dx มรศมขางในเทากบ g(x)

มรศมขางนอกเทากบ f(x) มปรมาตรคอ

V =

∫ b

a

π[(f(x))2 − (g(x))2]dx

หรอ V =

∫ b

a

π[(f(x))2 − (g(x))2]dx

ดงรป 8.30

รปท 8.30: กราฟของฟงกชนเมอแกนหมนไมเปนสวนใดเลยของขอบเขตของบรเวณทจะหมน

ในทำนองเดยวกน ถาหมนบรเวณทถกลอมรอบดวยกราฟของฟงกชนx = u(y), x = v(y) เสนตรง y = c และ y = d โดยท u(y) ≥ v(y) ≥ 0 สำหรบ

ทกคา y ในชวงปด [a, b] รอบแกน y จะเปนรปทรงตนทมสวนตดขวางตงฉากตอแกน y ทมความ

376


หนา ∆y ≈ dy มรศมขางในเทากบ v(y) มรศมขางนอกเทากบ u(y) มปรมาตรคอ

V =

∫ b

a

π[(u(y))2 − (v(y))2]dy

หรอ V =

∫ b

a

π[(u(y))2 − (v(y))2]dy

ดงรป 8.31

รปท 8.31: กราฟของฟงกชนเมอแกนหมนไมเปนสวนใดเลยของขอบเขตของบรเวณทจะหมน

สรป วธการหาปรมาตรโดยวธจาน เมอแกนหมนไมเปนสวนใดเลยของขอบเขตของบรเวณทจะหมน

1. เขยนรปทรงตนทตองการหาปรมาตร โดยตองเขยนรปพนทกอนอยางคราวๆ ระหวางกราฟของเสนโคงทงสอง ถาไมกำหนดลมตมาให จะตองหาจดตดโดยการแกสมการเพอหาจดตดจากเสนโคงทงสอง

2. เฉอนรปทรงตนในลกษณะทตงฉากกบแกนหมน โดยแสดงรอยตดเปนตวอยางหนงของรปทแสดงความหนา และรศมขางในและรศมของนอก โดยทรศมขางใน คอ ระยะจากแกนหมนไปยงผวของรปดานในรศมขางนอก คอ ระยะจากแกนหมนไปยงผวของรปดานนอกความหนา มได 2 แบบ คอ ∆x ≈ dx หรอ ∆y ≈ dy

3. หาลมต ถาความหนาเปน dx ใหพจารณาลมต a และ b บนแกน x แตถาความหนาเปนdy ใหพจารณาลมต c และ d บนแกน y

377


4. หาปรมาตรโดยแทนคาในสตร

V = π

∫ b

a

[[f(x)]2 − [g(x)]2]dx

หรอV = π

∫ b

a

[[u(y)]2 − [v(y)]2]dy

ซงสตรการหาปรมาตรน อาจกลาวในลกษณะขอความไดดงน

V = π

∫ b

a

[รศมรปนอก2 − รศมรปใน2]ความหนา

......

8.3 หมายเหต

.บางครงเรยกวธการหาปรมาตรในกรณนวา วธวงแหวน (Ring method)

ตวอยาง 8.5.3 จงหาปรมาตรของรปทรงตนท เกดจากการหมนพนท ทลอมรอบดวยเสนโคงy2 = 8x และเสนตรง x = 2 รอบแกน y

วธทำ จากโจทยสามารถ เขยนรปได ดงรป 8.32

รปท 8.32: เสนโคง y2 = 8x และเสนตรง x = 2 รอบแกน y

หาปรมาตร V โดยมรศมขางในเทากบ x โดยท x =y2

8และรศมขางนอกเทากบ 2 ความหนา

378


เทากบ dy และลมตจาก y = −4 ถง y = 4 ไดดงน

V = π

∫ 4

−4

((2)2 − (x)2)dy

= π

∫ 4

−4

(4− (y2

8)2

)dy

= 2π

∫ 4

0

(4− (y2

8)2

)dy

= 2π

∫ 4

0

(4− y4

64)dy

= 2π(4y − y5

320)∣∣∣40

= 2π(16− 16

5)

=128π

5

ตอบ ปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนพนท ทลอมรอบดวยเสนโคง y2 = 8x และเสนตรง x = 2 รอบแกน y มคาเทากบ 128π


ตวอยาง 8.5.4 จงหาปรมาตรของรปทรงตนท เกดจากการหมนพนททลอมรอบดวยเสนโคงy = x2 และเสนตรง y = x

ก. รอบแกน x

ข. รอบแกน y

วธทำ ก. รอบแกน x

หาจดตดของระหวางสมการ y = x2 และ y = x โดยการแกสมการจะได x = 0,x = 1 ดงนนจดตดคอ (0, 0) และ (1, 1) สามารถเขยนรปไดดงรป 8.33

หาปรมาตร V โดยมรศมขางในเทากบ x2 และรศมขางนอกเทากบ x ความหนาเทากบdx และลมตจาก x = 0 ถง x = 1 ไดดงน

V = π

∫ 1

0

(x2 − (x2)2)dx

= π

∫ 1

0

(x2 − x4)dx

= π(x3

3− x5

5)∣∣∣10

= π(1

3− 1

5)

=2π

15

379


รปท 8.33: เสนโคง y = x2 และเสนตรง y = x (รอบแกน x)

ตอบ ปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนพนททลอมรอบดวยเสนโคง y = x2 และเสนตรงy = x รอบแกน x คอ 2π


ข. รอบแกน y

รปท 8.34: เสนโคง y = x2 และเสนตรง y = x (รอบแกน y)

หาจดตดของระหวางสมการ y = x2 และ y = x โดยการแกสมการจะได x = 0, x = 1 ดงนนจดตดคอ (0, 0) และ (1, 1) สามารถเขยนรปไดดงรป 8.34

หาปรมาตร V โดยมรศมขางในเทากบ x โดยท x = y และรศมขางนอกเทากบ x

380


โดยท x =√y ความหนาเทากบ dy และลมตจาก y = 0 ถง y = 1 ไดดงน

V = π

∫ 1

0

[(√y)2 − y2]dy

= π

∫ 1

0

(y − y2)dy

= π(y2

2− y3

3)∣∣∣10

= π(1

2− 1

3)

=π

6

ตอบ ปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนพนททลอมรอบดวยเสนโคง y = x2 และเสนตรงy = x รอบแกน y คอ π


8.5.4 การหาปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนรอบวธเปลองกระบอกเปนวธการหาปรมาตรของรปทรงตน โดยการตดรปทรงตนเปนรปทรงกระบอกกลวง

ใหขนานกบแกนหมน ซงบางกรณการหาปรมาตรของรปทรงตนโดยวธเปลอกทรงกระบอก สะดวกและงายกวาใชวธจาน

แนวคดปรมาตรของวธเปลอกทรงกระบอกรปกระบอกกลวง เปนรปทรงสามมตทปดลอมดวยรปทรงกระบอกกลวงตรง ทมจดศนยกลาง

รวมกน 2 รป ดงรป 8.35

รปท 8.35: รปกระบอกกลวง

จากรป 8.35 ปรมาตร V ของรปทรงกระบอกกลวง ทมรศมภายในเทากบ r1 รศมภายนอกเทากบ

381


r2 และมความสงเทากบ h สามารถเขยนสตรเพอการคำนวนไดคอ

V = พนทสวนตดขวาง× ความสงจะได V = (πr2

2 − πr12)h

= π(r22 − r1

2)h

= π(r2 + r1)(r2 − r1)h

= 2π{12(r2 + r1)}(r2 − r1)h

โดยท 1

2(r2 − r1) คอ คาเฉลยของรศมของรปทรงกระบอกกลวง

r2 − r1 คอ ความหนาดงนน V = 2π (รศมเฉลย)(ความสง)(ความหนา)

การหาปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนรอบให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b]

A เปนพนทของบรเวณ R ทถกลอมรอบดานบนดวยกราฟของฟงกชน y = f(x) ดานลางดวยแกน x และดานขางดวยเสนตรง x = a และ x = b

S เปนรปทรงตนทเกดจากการหมนบรเวณ R รอบแกน y

V เปนปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนบรเวณ R รอบแกน y ดงรป 8.36

รปท 8.36: กราฟของฟงกชน y = f(x) หมนรอบแกน y

การหาปรมาตร V ทำไดโดยแบงชวงปด [a, b] ออกเปน n ชวงยอยเทาๆ กน ทมความกวาง∆x1,∆x2,∆x3, . . .∆xn โดยกำหนดจดแบงอยท x1, x2, x3, . . . xn−1 ซงเปนจดทอยระหวาง

382


จด a และจด b แลวลากเสนดงผานแตละจด เพอทจะแบงบรเวณ R ออกเปน n แถบ คอR1, R2, R3, . . . , Rn แลวหมนแถบเหลานรอบแกน y จะเปนรปทรงตน S1, S2, S3, . . . Sn ดงรป 8.37

รปท 8.37: แบงบรเวณ R ออกเปน n แถบ แลวหมนแถบเหลานรอบแกน y

รปทรงตน S1, S2, S3, . . . , Sn ซอนกนอยเปนชนๆ เมอรวมกนเขาดวยกนแลว จะเกดเปน S รปทรงตนทเกดจากการหมนบรเวณ R รอบแกน y นนเอง

ดงนนปรมาตรของ S สามารถหาไดจากผลบวกของปรมาตรของ S1, S2, S3, . . . , Sn

นนคอ

V (s) = V (S1) + V (S2) + V (S3) + . . .+ V (Sn)

พจารณาบรเวณ Ri และรปทรงตน Si ดงรป 8.38

รปท 8.38: บรเวณ Ri และรปทรงตน Si

โดยทวไปรปทรงตน Si อาจจะไมเปนรปทรงกระบอกกลวงกได เพราะอาจจะมผวดานบนเปนผว

383


โคงได แตถาเราแบงความกวางของชวงยอย ∆xi = xi − xi−1 มคานอยๆ แลว จะไดบรเวณRi สามารถประมาณทดของรปทรงตน Si ได โดยเปนรปสเหลยมผนผาหรอเรยกวาแถบท i ทมความกวางเทากบ ∆xi และสงเทากบ f(x∗

i ) ซง x∗i =

xi + xi−1

2เปนจดกงกลางของชวงปด

[xi−1, xi] และเมอหมนรปสเหลยมผนผานรอบแกน y แลว จะไดรปทรงตนเปนรปทรงกระบอกกลวง ซงเปนการประมาณทดของรปทรงตน Si นนเอง ดงรป 8.39

รปท 8.39: หมนรปสเหลยมผนผานรอบแกน y

รปทรงกระบอกกลวงนทใชในการประมาณคานน มความกวางหรอหนาเทากบ ∆xi สงเทากบf(x∗

i ) และมรศมเฉลยเทากบ x∗i และถาคลรปทรงกระบอกกลวงนออก จะมลกษณะดงรป 8.40

รปท 8.40: คลรปทรงกระบอกกลวง

384


จากปรมาตรของรปทรงกระบอกกลวง

V = 2π (รศมเฉลย)(ความสง)(ความหนา)จะได V (Si) ≈ 2πx∗

i f(x∗i )∆xi

และจาก V (S) = V (S1) + V (S2) + V (S3) + . . .+ V (Sn)

จะได V (S) ≈n∑

i=1

2πx∗i f(x

∗i )∆xi

ถาแบงชวงปด [a, b] ใหละเอยดมากๆ นนคอ n → +∞ หรอ max∆x → 0 กจะได V (S) ทมคาใกลเคยงปรมาตร V มากทสด ซงจะได

V = limmax∆xi→0

n∑i=1

2πx∗i f(x

∗i )∆xi

=

∫ b

a

2πx(f(x))dx

ดงนนสตรปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนบรเวณ R รอบแกน y นนคอ

V = 2π

∫ b

a

x(f(x))dx (8.14)

รปท 8.41: สวนตดตามขวางตามแนวดงของบรเวณ R ท x

385


......


.

จากสมการ (8.14) นถาเราพจารณาทแตละจด x ในชวงปด [a, b] เสนดงทลากผาน x จะตดบรเวณ R เปนสวนของเสนตรงซงสามารถมองสวนของ เสนตรงนนวาเปนสวนตดตามขวางตามแนวดงของบรเวณ R ท x ดงรป 8.41

เมอหมนบรเวณ R รอบแกน y สวนตดขวางจะทำใหเกดพนผวของรปทรงกระบอกกลวง ทมความสง f(x) และรศม x ดงรป 8.42

รปท 8.42: หมนบรเวณ R รอบแกน y

พนทของพนผวรปนกคอ ความยาวเสนรอบวง × ความสง ซงมคาเทากบ 2πxf(x) โดยเปนตวถกอนทเกรตในสตรนนเอง ดงรป 8.43

รปท 8.43: แสดงพนทของพนผว

386


ในทำนองเดยวกนให u เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b]

A เปนพนทของบรเวณ R ทถกลอมรอบดานขวาดวยกราฟของฟงกชน x = u(y) ปดดานซายดวยแกน y ปดดานลางและดานบนดวยเสนตรง y = c และ y = d ตามลำดบ

V เปนปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนบรเวณ R รอบแกน x

ดงรป 8.44

รปท 8.44: กราฟของฟงกชน x = u(y) ปดดานซายดวยแกน y ปดดานลางและดานบนดวยเสนตรง y = c และ y = d

การหาปรมาตรใชหลกการวธเดยวกนกบ การหาปรมาตรของรปทรงตน ทเกดจากการหมนบรเวณR รอบแกน y โดยแบงความกวางของชวงยอย ∆yi ทมคานอยๆ แลวสรางรปสเหลยมผนผาหรอแถบท i หมนรอบแกน x จะไดรปทรงตนเปนรปทรงกระบอกกลวง ทมความกวางหรอความหนาเทากบ ∆yi มความสงเทากบ u(y∗i ) และมรศมเฉลยเทากบ y∗i โดยท y∗i =

yi + yi−1

2ดงรป 8.45

387


รปท 8.45: สรางรปสเหลยมผนผาหรอแถบท i หมนรอบแกน x จะไดรปทรงตนเปนรปทรงกระบอกกลวง

และไดสตรปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนบรเวณ R รอบแกน x ทำนองเดยวกนคอ

V = 2π(รศมเฉลย)(ความสง)(ความหนา)

= 2π

∫ d

c

y(u(y))dy

สรปวธการหาปรมาตรโดยวธเปลอกทรงกระบอก1. พจารณาเมอหมนบรเวณ R รอบแกน y สวนตดขวางจะทำใหเกดพนผวของรปทรง

กระบอกกลวง ทมความสง f(x) และรศม x ดงรป 8.46

รปท 8.46: รปทรงกระบอกกลวง ทมความสง f(x) และรศม x

388


พนทของพนผวรปนกคอ ความยาวเสนรอบวง × ความสง ซงมคาเทากบ 2πxf(x)

โดยเปนตวถกอนทเกรตในสตรนนเอง ดงรป 8.47

รปท 8.47: รปทรงกระบอกกลวง ทมความสง f(x) และรศม x

2. เขยนรปทรงตนทตองการหาปรมาตร เชนเดยวกบการหาปรมาตรดวยวธจาน3. เฉอนรปทรงตนในลกษณะทขนานกบแกนหมน โดยแสดงรอยตดเปนตวอยางหนง

ของรป ทแสดงรศม ความสง และความหนา โดยทรศม คอ ระยะจากแกนหมนไปยงผวของรปความสง คอ ความสงของแถบสเหลยมผนผาของรอยตดความหนา คอ

∆x ≈ dx ในกรณทหมนบรเวณ R รอบแกน y หรอ∆y ≈ dyในกรณทหมนบรเวณ R รอบแกน x

4. หาลมตเชนเดยวกนกบวธการหาปรมาตร โดยวธจาน5. หาปรมาตรโดยแทนคาสตรดงน

V = 2π

∫ b

a

xf(x)dx (8.15)

หรอV = 2π

∫ d

c

yu(y)dy (8.16)

389


ซงสตรการหาปรมาตรน อาจกลาวในลกษณะคำพด ไดดงน

V = 2π

∫ b

a

(รศม)(ความสง)(ความหนา) (8.17)

หรอV = 2π

∫ d

c

(รศม)(ความสง)(ความหนา) (8.18)

ตวอยาง 8.5.5 จงใชวธเปลอกทรงกระบอกหาปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนพนท ทลอมรอบดวยเสนโคง y =

√x, x = 1, x = 4 และแกน x รอบแกน y

วธทำ จากโจทยสามารถเขยนรปได ดงรป 8.48

รปท 8.48: y =√x, x = 1, x = 4 และแกน x รอบแกน y

หาปรมาตร V โดยมรศมเทากบ x ความสงเทากบ y =√x ความหนาเทากบ dx และมลมตจาก

x = 1 ถง x = 4 ไดดงน

V = 2π

∫ b

a

(รศม)(ความสง)(ความหนา)

V = 2π

∫ b

a

x(f(x))dx

V = 2π

∫ 4

1

x(√x)dx

= 2π

∫ 4

1

x32dx

=4π

5(32− 1)

=124π

5

ปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนพนท ทลอมรอบดวยเสนโคง y =√x,

x = 1, x = 4 และแกน x รอบแกน y มคาเทากบ 124π

5

390


ตวอยาง 8.5.6 จงใชวธเปลอกทรงทรงกระบอกและวธจานหาปรมาตรของรปทรงตนทเกด จากการหมนพนททลอมรอบดวยเสนโคง y = 4 − x2 แกน x และ y ในจตภาคท 1 รอบเสนตรงx = 2

วธทำ

1. วธเปลอกทรงกระบอก

สามารถเขยนรปไดดงรป 8.49

รปท 8.49: เสนโคง y = 4 − x2 แกน x และ y ในจตภาคท 1 รอบเสนตรง x = 2 (วธเปลอกทรงกระบอก)

หาปรมาตร V โดยมรศมเทากบ 2 − x ความสงเทากบ y ความหนาเทากบ dx และมลมตจากx = 0 ถง x = 2 ไดดงน

V = 2π

∫ b

a

(รศม)(ความสง)(ความหนา)

V = 2π

∫ b

a

x(f(x))dx

V = 2π

∫ 2

0

(2− x)(4− x2)dx

= 2π

∫ 2

0

(8− 2x2 − 4x+ x3)dx

= 2π{(8x− 2x3

3− 2x2 +

x4

4)}∣∣∣20

= 2π(16− 16

3− 8 + 4)

=40π


391


2. วธจาน

สามารถเขยนรปไดดงรป 8.50

รปท 8.50: เสนโคง y = 4− x2 แกน x และ y ในจตภาคท 1 รอบเสนตรง x = 2 (วธจาน)

หาปรมาตร V โดยมรศมขางในเทากบ 2−√4− y และรศมขางนอกเทากบ 2 ความหนาเทากบ

dx และมลมตจาก y = 0 ถง y = 4 ไดดงน

V = π

∫ 4

0

[4− (2−√4− y

2)]dy

= π

∫ 4

0

[4− (4− 4√4− y + 4− y)]dy

= π

∫ 4

0

[−4 + y + 4√

4− y]dy

= π{[−4y +

y2

2− 8

3(4− y)

33 ]}∣∣∣4

0

= π[(−16 + 8− 0)− (0 + 0− 64

3)]

=40π



1.จงใชวธ จานหาปรมาตรของรปทรงตนท เกดจากการหมนพนทท ถกปดลอมดวยเสน โคงทกำหนดให

1.1 y2 = x3, x = 2, y = 0 รอบแกน x

392


1.2 y = x3, x = 2, y = 0 รอบเสนตรง x = 2

1.3 4x2 + 9y2 = 36 รอบแกน x

1.4 4x2 + 9y2 = 36 รอบแกน y

1.5 y = 4x2, x = 0, y = 16 รอบแกน y

1.6 y = x3, x = 0, y = 1 รอบแกน y

1.7 x =√9− y2, x = 0, y = 1, y = 3 รอบแกน y

1.8 y = 4x2, x = 0, y = 16 รอบเสนตรง y = 16

1.9 y = sin x, y = cosx, x = 0, x =π

4รอบแกน x

1.10 y =√x, y = x รอบแกน x

2. จงใชวธเปลอกทรงกระบอกหาปรมาตรของรปทรงตนทเกดจากการหมนพนท ทถกลอมรอบดวยเสนโคงทกำหนดตอไปน

2.1 y = 2x2, y = 0, x = 0, x = 5 รอบแกน y

2.2 y =1

x, y = 0, x = 1, x = 3 รอบแกน y

2.3 y = 2x− 1, y = −2x+ 3, x = 2 รอบแกน y

2.4 y = x2 − 5x+ 6, y = 0 รอบแกน y

2.5 y2 = x, y = 1, x = 0 รอบแกน x

2.6 xy = 4, x+ y = 5 รอบแกน x

2.7 y = x2, y = 4x− x2 รอบเสนตรง x = 5

2.8 y = 2x2, y = 0, x = 0, x = 5 รอบเสนตรง x = 6

2.9 y = x3, y = 1, x = 0 รอบเสนตรง y = 1

2.10 y = x3, y = 0, x = 2 รอบเสนตรง y = 8

�� △ N∁▽Ha♢�⋆�� △ N∁▽Ha♢�⋆

393


8.6 คาเฉลยของฟงกชน (Average value of function)วธการในการหาคาเฉลยของขอมลทมจำนวนจำกดนน นกศกษาคนเคยอยแลว เชน ถา

y1, y2, . . . , yn เปนคะแนนสอบปลายภาคของนกศกษาหองหนงทม n คน จะไดวาคะแนนสอบปลายภาคเฉลยของนกศกษาหองนนคอ

y =1

n(y1 + y2 + . . .+ yn) (8.19)

แตถาจำนวนของขอมลมไมจำกด เราไมสามารถใชสตรท (8.19) ได เพราะจะไดคาในรป ∞∞

ซงไมมความหมาย แตถากรณทขอมล y ถกกำหนดอยในรปของฟงกชนตอเนองของ x เชน

y = f(x), a ≤ x ≤ b

แลวจะไดวา คาเฉลยของ y (เทยบกบ x) เขยนแทนดวย yx หาไดจากสตร

yx =1

b− a

∫ b

a

f(x)dx (8.20)

สตรท (8.20) ถอเปนนยามคาเฉลยของฟงกชน y = f(x) จาก x = a ถง x = b

ตวอยาง 8.6.1 จงหาคาเฉลยของฟงกชน y = x2 + 2x− 2 เทยบกบ x จาก x = 0 ถง x = 5

วธทำ ให yx คอคาเฉลยของฟงกชน y = x2 + 2x− 2 เทยบกบ x จาก x = 0 ถง x = 5

yx =1

5− 0

∫ 5

0

(x2 + 2x− 2)dx

=1

5(x3

3+ 2

x2

2− 2x)

∣∣∣50

=1

5{((5)

3

3+ 2

(5)2

2− 2(5))− (

(0)3

3+ 2

(0)2

2− 2(0))}

=1

5{125

3+ 25− 20}

=28

3

394


ตวอยาง 8.6.2 จงหาคาเฉลยของฟงกชน y =√x เทยบกบ x จาก x = 0 ถง x = 3

วธทำ ให yx คอคาเฉลยของฟงกชน y =√x เทยบกบ x จาก x = 0 ถง x = 3

yx =1

3− 0

∫ 3

0

√xdx

=1

3

∫ 3

0

x12dx

=1

3(x

32

32

)∣∣∣30

=1

3{(3

32

32

)− (0

32

32

)}

=4

3

......


.

ถา y คอฟงกชนมากกวาหนง กลาวคอ ถา y เปนทงฟงกชนของ x และ y เปนฟงกชนของ tแลว yx อาจจะไมเทากบ yt เชน การหาคาเฉลยของความเรวของวตถทตกลงในสญญากาศโดยเทยบกบเวลาและเทยบกบระยะทาง เปนตน ดงตวอยางท 8.6.3

ตวอยาง 8.6.3 วตถตกลงจากจดๆ หนงในสญญากาศโดยท s = 1

2gt2, v = gt และ v =

√2gs

จงหาความเรวเฉลยของวตถน เทยบกบเวลา (t) และเทยบกบระยะทาง (s) จาก t1 = 0 ถงt2 > 0 และจาก s1 = 0 ถง s2 = 1

2g(t2)

2 ตามลำดบวธทำ ให vt คอความเรวเฉลยของวตถนเทยบกบเวลาจาก t1 = 0 ถง t2 > 0 จะได

yt =1

t2 − t1

∫ t2

t1

(gt)dt

=1

t2

∫ t2

0

(gt)dt

=1

t2g(t2

2)∣∣∣t20

=1

2gt2

395


และความเรวเฉลยของวตถน เทยบกบระยะทาง, ys จาก s1 ถง s2 = 1

2g(t2)

2 คอ

vs =1

s2 − s1

∫ s2

s1

√gs2ds

=1

s2

∫ s2

0

√gs2ds

=2

3

√2gs2

......


.

1. จากสมการ (8.20) จะไดวา (yx)(b− a) =∫ b

af(x)dx ซงแสดงวา พนทใตเสนโคง f(x)

จาก x = a ถง x = b เทากบพนทของสเหลยมผนผาทกวา b− a และยาว yx

2. ระยะทางทงหมดทวตถเคลอนทดวยอตราเรว |v(t)| ไปตามเสนตรงจาก t = a ถง t = b

คอ ∫ b

a|v(t)|dt ดงนนอตราเรวของวตถนคอ

ระยะทางทเคลอนทไดb− a

=1

b− a

∫ b

a

|v(t)|dt

ซงเปนคาเฉลยของ |v(t)| จาก t = a ถง t = b


1. จงหาคาเฉลยเทยบกบ x ของฟงกชน f ในขอตอไปน

1. f(x) = sinx

1.1. จาก x = 0 ถง x =π

2

1.2. จาก x = 0 ถง x = 2π

2. f(x) = sin2 x

2.1. จาก x = 0 ถง x =π

2

2.2. จาก x = 0 ถง x = 2π

3. f(x) = √2x+ 1, 4 ≤ x ≤ 12

396


4. f(x) = 1

2+

1

2cos 2x, 0 ≤ x ≤ π

5. ถาวตถตกลงอยางอสระบนดวงจนทร โดยท ความเรงของความโนมถวง เปน 1.62 เมตร/(วนาท)2 และ s = 0.81t2, v = 1.62t และ v =

√3.24s เมอ s คอระยะทางหนวยเปน

เมตร t คอเวลามหนวยเปนวนาทและ v คอความเรวหนวยเปนเมตร/วนาท ในชวง 2 วนาทแรกหลงจากวตถตกลงจากจดทปลอยจะได s = 3.24 เมตร

5.1 จงหาคาเฉลยของความเรวของวตถเทยบกบเวลาในชวง 2 วนาทแรกของการตกลงมา

5.2 จงหาคาเฉลยของความเรวของวตถเทยบกบระยะทางในชวง 3.24 เมตรแรกของการตกลงมา

�� △ N∁▽Ha♢�⋆�� △ N∁▽Ha♢�⋆

397


398

Documents

แบบฝ กหัด8¸šทที่ 82.pdf · ผู ช วยศาสตราจารย ชนกกานต สหัสทัศน แคลคูลัส1สำหรับวิศวกร