แปลจาก... MANGA DE WAKARU BIBUN SEKIBUN

by… Taira Ishiyama

Takehiko Ogami

แปลโดย... ดร.อรรณพ เรืองวิเศษ

225.-

ฉบับการตูนฉบับการตูน

■ บรรณาธิการท่ีปรึกษา ทิพวรรณ อภิวันท์วรรัตน์ ■ บรรณาธิการบริหาร ทวิยา วัณณะวิโรจน์ หัวหน้ากองบรรณาธิการ

แทนพร เลิศวุฒิภัทร บรรณาธิการเล่ม พรรณพิมล กิจไพฑูรย์ ออกแบบปก ภาณุพันธ์ โนวยุทธ ออกแบบรูปเล่ม ธารินี คุตตะสิงคี

ธุรการสำานักพิมพ์ อังคณา อรรถพงศ์ธร ■ พิมพ์ท่ี : บริษัท พิมพ์ดีการพิมพ์ จำากัด

จัดพิมพ์โดย 5-7 ซอยสุขุมวิท 29 ถนนสุขุมวิท แขวงคลองเตยเหนือ เขตวัฒนา กรุงเทพฯ 10110 โทร. 0-2258-0320 (6 เลขหมายอัตโนมัติ), 0-2259-9160 (10 เลขหมายอัตโนมัติ) เสนองานเขียน • งานแปลได้ที่ www.tpa.or.th/publisher/new ติดต่อสั่งซื้อหนังสือได้ที่ www.tpabookcentre.com

จัดจำาหน่ายโดย บริษัท ซีเอ็ดยูเคชั่น จำากัด (มหาชน) 1858/87-90 อาคารเนชั่นทาวเวอร์ ชั้น 19 ถนนบางนา-ตราด แขวงบางนา เขตบางนา กรุงเทพฯ 10260 โทร. 0-2739-8000, 0-2739-8222 โทรสาร 0-2739-8356-9 www.se-ed.com

by... Taira Ishiyama, Takehiko Ogami

แปลโดย... ดร.อรรณพ เรืองวิเศษ

ข้อมูลทางบรรณานุกรมของสำานักหอสมุดแห่งชาติ อิชิยามะ, ทาอิระ. แคลคูลัส ฉบับการ์ตูน. - - กรุงเทพฯ : สมาคมส่งเสริมเทคโนโลยี (ไทย-ญี่ปุ่น), 2555. 208 หน้า. 1. แคลคูลัส I. โองามิ, ทาเกฮิโกะ, ผู้แต่งร่วม. II. อรรณพ เรืองวิเศษ, ผู้แปล. III. โมริมินะ, เนจิโกะ, ผู้วาดภาพประกอบ. IV. ชื่อเรื่อง. 515 ISBN 978-974-443-497-5

พิมพ์ครั้งที่ 1 มิถุนายน 2555

“ถ้าหนังสือมีข้อผิดพลาดเนื่องจากการพิมพ์ ให้นำามาแลกเปลี่ยนได้ที่สมาคมฯ” โทร. 0-2258-0320 ต่อ 1560, 1570

MANGA DE WAKARU BIBUN SEKIBUN by Taira Ishiyama, Takehiko OgamiCopyright 2007 Taira Ishiyama and Takehiko OgamiSupervision by Medaka College Illustration by Nejiko MoriminaAll rights reserved.Originally published in Japan by SOFTBANK Creative Corp., TokyoThai translation rights arranged with SOFTBANK Creative Corp. through THE SAKAI AGENCY.ลิขสิทธิ์ฉบับภาษาไทยโดย สมาคมส่งเสริมเทคโนโลยี (ไทย-ญี่ปุ่น)

ราคา 225 บาท

แคลคูลัส ฉบับการ์ตูน

26

แคลคลูัส ฉบับการ์ตูน

11 เมื่อจุด 2 จุดเข้าใกล้กันไปเรื่อย ๆ แล้วจะเป็นอย่างไร

กระบวนการก่อนหน้านี้ได้เลือกจุด 2 จุดตามที่เห็นเหมาะสมบนเส้น

โค้งโดยให้ใกล้จุด A มากที่สุด “แต่ความชันของจุด 2 จุดที่อยู่ใกล้กันอย่างที่สุด

นี้จะหาอย่างไร ?”

ก่อนอืน่การพจิารณาในลกัษณะนีอ้าจจะเกดิค�าถามตามมาว่า “เมือ่จดุ

2 จุดเข้าใกล้กันอย่างที่สุดแล้ว สุดท้ายจะกลายเป็นจุดเดียวไม่ใช่หรือ ?” หรือไม่

ก็ “เมื่อไม่ใช่ 2 จุดแล้ว แบบนี้ก็ค�านวณไม่ได้สิ ?”

ทีจ่รงิกเ็ป็นเช่นนัน้ คอืถ้าหากซ้อนกนัอย่างสมบรูณ์กจ็ะกลายเป็น “จดุ

เดียว” แต่ถ้าใกล้กันที่สุดจนถึงระดับ 1—100 ไมครอน ไปจนถึงระดับนาโนแล้ว

ก็ยังใกล้เข้าไปอีก… กรณีนี้ที่จริงก็ยังเป็นจุด 2 จุด แต่จะมองเห็นเหมือนกับ

เป็นจุดเดียว วิธีการพิจารณาทางคณิตศาสตร์ที่ “ขยับจุดที่แตกต่างกัน 2 จุด

ให้เข้าใกล้กันมากทีส่ดุ” “ใกล้กนัทีส่ดุแต่ไม่เป็นจุดเดียวกนั” เป็นวธิคีดิทีเ่รยีกว่า

“การหาลิมิต (limit)”

“การหาลิมิต” เป็นวิธีการที่ขาดไม่ได้ในการหาความชันที่จุด 1 จุด

ซึ่งก็คืออนุพันธ์

ดังน้ันเนื้อหาต่อจากนี้จะออกจากเรื่องอนุพันธ์ไปพิจารณาวิธีการหา

ลิมิตกันก่อนสักเล็กน้อย

27

บทที่ 1 แคลคลูัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus)

¶×ÍàËÃÕÂÞäÇŒ 2 àËÃÕÂÞáÅŒÇàÅ×è͹¢ÂѺä»ÁÒ... à¾ÔèÁ¢Öé¹ !!

ÁͧàËç¹à»š¹ àËÃÕÂÞ

ªÖº... ªÖº...

ã¹·Ò§µÃ§¡Ñ¹¢ŒÒÁ ¶×ÍàËÃÕÂÞ 2 àËÃÕÂÞäÇŒ·ÕèÃдѺÊÒµÒ

Ë‹Ò§¡Ñ¹2–3 cm

¤‹Í æàÅ×è͹ࢌÒÁÒã¡ÅŒË¹ŒÒ…

ÁͧàËç¹àËÃÕÂÞ«ŒÍ¹¡Ñ¹à»š¹ àËÃÕÂÞ

ªÖºªÖº

ªÖº

100

แคลคลูัส ฉบับการ์ตูน

เอาละ เนื้อหาของหนังสือเล่มน้ีก็ผ่านมาครึ่งทางแล้ว ต่อไปจะเริ่ม

เนื้อหาเรื่องการอินทิเกรตหรือปริพันธ์ (integration) กันเลย

อนุพันธ์กับอินทิเกรตมักจะใช้คู่กันหรือเรียกโดยรวมว่า “แคลคูลัส

(calculus)”

แล้วอินทิเกรตคอือะไร ? มีไว้ใช้ทำอะไร ?

ถ้าให้อธบิายง่าย ๆ การอนิทเิกรตกค็อืกระบวนการย้อนกลบัของการ

หาอนุพันธ์ ดังนั้นการหาอนุพันธ์กับการอินทิเกรตจึงมักใช้ร่วมกันเสมอ

คนทีเ่ริม่ต้นศกึษาเรือ่งการอนิทเิกรตหลายคนอาจจะรูส้กึว่า “ไม่รูเ้รือ่ง

เลย” ซึ่งก็แน่นอนที่อยู่ ๆ จะให้เข้าใจเลยเป็นไปได้อย่างไร ดังนั้นเรามาเริ่มต้น

จากการพิจารณาความหมายกันก่อนดีกว่า

วัตถุประสงค์ของอนุพันธ์คือการหาการเปลี่ยนแปลงหรือความชัน

ส่วนการอินทิเกรตถูกคิดค้นขึ้นเพื่อใช้หาพื้นที่ ซึ่งรายละเอียดจะอธิบายต่อไป

ภายหลัง

ว่าแต่อธิบายมาถึงตรงนี้แล้วคิดว่าเป็นอย่างไรบ้าง ? ความชันกับพื้นที่

มีความสัมพันธ์กันอย่างไร

...สงสัยจะยิ่งไม่เข้าใจมากกว่าเดิม

ทีก่ล่าวว่าการอนิทเิกรตและการหาอนุพนัธ์มคีวามสมัพนัธ์เป็นกระบวน

การย้อนกลับซึ่งกันและกันกันนั้นมาจากวิธีการค�านวณ ซ่ึงค�าศัพท์ทางวิชาการ

เรียกว่า “การด�าเนินการย้อนกลับ” คล้ายกับความสัมพันธ์ระหว่างการคูณกับ

การหารนั่นเอง

40 ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์กับอินทิเกรต

103

บ··Õè 2 แคลคลูัสàªÔ§»รÔ¾ัน¸์ (Intergral Calculus)

µÃ§¢ŒÒÁ¡Ñº¡ÒÃËÒ͹ؾѹ¸�¤×Í¡ÒÃÍÔ¹·Ôà¡ÃµµÃ§¢ŒÒÁ¡Ñº¡ÒÃÍÔ¹·Ôà¡Ãµ¤×Í¡ÒÃËÒ͹ؾѹ¸�

ÊÁÑ¡ÃÕ¡

à´ÕëÂÇ¡‹Í¹à¨ŒÒ

¤¹¹Ñé¹

ËÇ×ÍËÇ×Í

ËÇ×Í àÂŒÂËÇ×Í

¢ŒÒ໚¹à·¾à¨ŒÒ¤³Ôµ-ÈÒʵÃ�

¢ŒÒÁÕºÑÞªÒ¨Ðãˌ਌ҷÓ

ËÅѧ¨Ò¡¹Õé 1,800 »‚¨ÐÁÕ¡ÒôÓà¹Ô¹¡Ò÷Õè໚¹»ÃÐ⪹�µ‹Í¡Òäӹdzà¡Ô´¢Öé¹

਌Ҩ§ÊÌҧ¡ÒôÓà¹Ô¹¡ÒÃŒ͹¡ÅѺ·ÕèàÃÕ¡NjÒÍÔ¹·Ôà¡Ãµ

äÇŒµÑé§áµ‹µÍ¹¹Õé

áÅŒÇ਌ҨÐ䴌໚¹¼ÙŒËÂÑè§ÃÙŒ·Õèä´ŒÃѺ¡Òá‹ͧ

àÎ×Í¡ !!àÎ×Í¡ !!

¢ŒÒä»Å‹Ð!!

áÇ�ºáÇ�º

¤ÇѹµÅº

¤ÇѹµÅº

ÍÐäáѹà¹ÕèÂ

äÁ‹ÃÙŒàÃ×èͧàÅÂ

...´ÙàËÁ×͹¨ÐÁÕËÅÒ¤¹·ÕèÃÙŒÊÖ¡Í‹ҧ¹Õé...

168

แคลคลูัส ฉบับการ์ตูน

64 จงหาพื้นที่

เหมือนจะเขียนย�้าหลายครั้ง แต่การอินทิเกรตเป็นเพียงการน�า f(x) ×

dx มาบวกกันเท่านั้น ดังนั้นเมื่อต้องการหาพื้นที่ แล้วถ้าแค่ท�าการหาอินทิกรัล

จ�ากัดเขตของฟังก์ชันไปโดยไม่คิดอะไร ก็จะได้ผลลัพธ์ที่ผิด

ชีวิตคนเราส่วนมากถ้าท�าโดยไม่คิดก็จะผิดพลาด หรือคนท่ีเช่ืออะไร

แบบหลับหูหลับตาก็มักจะสะดุด ไม่เฉพาะเรื่องการอินทิเกรตเท่านั้น

ตัวอย่างเช่นกรณีต่อไปนี้

โจทย์ : เมื่อ f(x) = (x – 1) (x + 1) จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ล้อม

รอบด้วย y = f(x) กับแกน x

ฟังก์ชันน้ีเป็นฟังก์ชันอันดับ 2 มีกราฟเป็นเส้นโค้งพาราโบลา ซึ่งมี

จุดยอดอยู่ที่ (0, –1) และตัดแกน x ที่ x = 1, –1 นั่นคือดูเหมือนว่าจะหาค�าตอบ

ได้ด้วยอนิทกิรลัจ�ากดัเขตในช่วง x ต้ังแต่ –1 จนถงึ 1 ดังน้ันจงึเพยีงท�าการค�านวณ

⌠⌡

1

-1(x – 1) (x + 1)dx

ซึ่งท�าอย่างนี้ผิด !!

ลองดูกราฟก็น่าจะเข้าใจ การพิจารณานี้ “พิกัดแกน y เป็นลบ” ท�าให้

f(x) × dx ได้เป็นค่าลบ

ถ้าอย่างนั้นต้องท�าอย่างไร...

169

บ··Õè 2 แคลคลูัสàªÔ§»รÔ¾ัน¸์ (Intergral Calculus)

áÅŒÇẋ§ª‹Ç§¢Í§¡ÒÃÍÔ¹·Ôà¡Ãµ·Õè¨Ø´¹Ñé¹

àÊÃç¨áÅŒÇ

ä˹´Ù«Ô

“¾×é¹·Õ蔨Ð໚¹Åºä´Œä§ !!¤Ô´Ë¹‹ÍÂÊÔ !!

¨Ø´¹Õé !

¤ÇÒÁÊÙ§¢Í§ “ᶺÂÒÇ”¤×Í f(x) äÁ‹¨Ó໚¹µŒÍ§à»š¹ºÇ¡àÊÁÍä»

Í‹ҧ⨷Â�¹Õé

ª‹Ç§ –1¶Ö§ 1¤‹Ò¢Í§f(x)໚¹Åº

¹Ñ蹤×Í “¤ÇÒÁÊÙ§¢Í§á¶ºÂÒÇ㹪‹Ç§ –1 ¶Ö§ 1”¨ÐµŒÍ§¤Ô´à»š¹ –f(x)

ź¢Í§Åº¡ÅÒÂ໚¹

ºÇ¡

ź¢Í§Åº¡ÅÒÂ໚¹

ºÇ¡

¹Í¡¨Ò¡¹Õé ¡Ã³Õ·Õè¤Ã‹ÍÁÃÐËÇ‹Ò§(+)¡Ñº(–)

µŒÍ§ËҨشà»ÅÕè¹ÃÐËÇ‹Ò§ (+)¡Ñº (–)