ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 1

บทท 1 ลมตของฟงกชน 1. ลมตของฟงกชน (the limit of a function)

ความหมายของลมตดานเดยวของฟงกชนเปนดงน 1.1 ลมตดานเดยว (One-sided limits)

ลมตซาย (Left-hand limits)

ก าหนดฟงกชน f(x) และ a เปนจ านวนจรง กลาววา ลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล a ทางซายมอ กตอเมอ มจ านวนจรง L ทท าใหคาของ f(x) เขาใกล L ในขณะท x เขาใกล a ทางซายมอ เขยนแทนดวยสญลกษณ

( )

x a

f x L

ลมตขวา (Right-hand limits)

ก าหนดฟงกชน f(x) และ a เปนจ านวนจรง กลาววา ลมตของ f(x) เมอ x เขาใกล a ทางขวามอ กตอเมอ มจ านวนจรง L ทท าใหคาของ f(x) เขาใกล L ในขณะท x เขาใกล a ทางขวามอ เขยนแทนดวยสญลกษณ

( )

x a

f x L

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวอยางท 1 ก าหนดให 2 , 2

( ), 21

xxf x

xx

จงหา 1.1) 2

lim ( )x

f x 1.2) 2

lim ( )x

f x

ตวอยางท 2 ก าหนดให 2 1 , 1

( ) 4 , 1

5 , 1

x x

f x x

x

จงหา 1.1) 1

lim ( )x

f x 1.2) 1

lim ( )x

f x

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 2

ลมตสองดาน (Two-sided limits)

เปนการพจารณาคาของ f(x) ในขณะท x เขาใกล a หมายถง x เขาใกล a ทงทางดานซายมอและ

ทางดานขวามอ

x a x a

a

ก าหนดฟงกชน f(x) และ a เปนจ านวนจรงแลว ลมตของฟงกชน f(x) ในขณะท x เขาใกล a

มคาเทากบ L กตอเมอคาของ f(x) มคาเขาใกล L ในขณะท x เขาใกล a ทงทางดานซายมอและ

ทางดานขวามอของ a เขยนแทนดวยสญลกษณ

lim ( )

x a

f x L

นนคอ lim ( )

x a

f x L กตอเมอ lim ( ) lim ( )

x a x a

f x f x

หมายเหต 1. ในกรณท 1

lim ( )

x a

f x L และ 2lim ( )

x af x L โดยท 1 2

L L หรอ

2. ถา lim ( )x a

f x หาคาไมได หรอ lim ( )x a

f x หาคาไมได

จะกลาววา lim ( )

x a

f x L หาคาไมได

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 3

ตวอยางท 3 ก าหนดให 2 1

, 0( ) 1

, 012

xx

f xxx

จงหา 1.1) 0

lim ( )x

f x 1.2) 2

lim ( )x

f x

ตวอยางท 4 ก าหนดให f(x) =3x-2 เมอ xR และ 23 8 4

( )2

x xg x

x เมอ xR และ x 2

จงหา

1.1) 2

lim ( )x

f x

1.2) 2

lim ( )x

g x

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 4

ตวอยางท 5 ก าหนดให 1

, 1( ) 1

0 , 1

xx

f x x

x

จงหา 1.1) 1

lim ( )x

f x 1.2) 1

lim ( )x

f x 1.3) 1

lim ( )x

f x

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 5

นยามของลมต

นยาม 1 ก าหนดใหฟงกชน f(x) นยามบนชวงเปดทม a จะกลาววา ลมตของ f(x) เทากบ L เมอ x เขาใกล a เขยนแทนดวย lim ( )

x af x L กตอเมอ ส าหรบทกจ านวนจรงบวก (Epsilon) หรอ > 0 จะสามารถ

หาจ านวนจรงบวก (Delta) หรอ > 0 ไดอยางนอยหนงคา ทท าให ( )f x L ส าหรบทกคา x ท

0 x a

สญลกษณ ( )f x L หมายถง ( )f x L

นนคอ ( )L f x L

สญลกษณ 0 x a หมายถง 0x a หรอ 0 x a

นนคอ a x a หรอ x a

ซงอาจกลาวไดวา lim ( )

x a

f x L หมายความวา ส าหรบ > 0 สามารถหา > 0 ไดคาหนง

เสมอทท าให f(x) อยในชวงเปด (L- , L+ ) ส าหรบทก x ทอยในชวงเปด (a- , a+ )และ x a ซงจะ

เหนวา ส าหรบ ทมคานอยๆ และ f(x) อยในชวงเปด (L- , L+ ) [f(x) เขาใกล L ] จะสามารถเลอก > 0

ทนอยเพยงพอ ทท าใหไดวา ถา x อยในชวงเปด (a- , a+ ) และ x a แลว f(x) จะอยในชวงเปด

(L- , L+ ) ดงรป

Y y=f(x)

L-

L

L+

0 a- a a+ X

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 6

ตวอยางท 6 จงแสดงวา 1

lim(2 1) 3x

x

โดยใชนยาม

ตวอยางท 7 ก าหนด 1 , 0( )

1 , 0

xf x

x

จงแสดงวา 0

lim ( )x

f x

หาคาไมได โดยใชนยาม

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 7

นยาม 2 ลมตซาย (Left-hand limits)

ให f นยามบนชวงเปด (c , a) จะกลาววา ลมตของ f(x) เทากบ M1 เมอ x มคาเขาใกล a ทางซาย และ เขยน 1

lim ( )x a

f x M

กตอเมอส าหรบทกจ านวนจรงบวก ( 0) จะสามารถหาจ านวนจรงบวก

( 0) ไดอยางนอยหนงคาทท าให 1( )f x M ส าหรบทกคา x ท a x a และเรยก M1 วา

ลมตซายของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a

นยาม 3 ลมตขวา (Right-hand limits)

ให f นยามบนชวงเปด (a , b) จะกลาววา ลมตของ f(x) เทากบ M2 เมอ x มคาเขาใกล a ทางขวา และ เขยน 2

lim ( )x a

f x M

กตอเมอส าหรบทกจ านวนจรงบวก ( 0) จะสามารถหาจ านวนจรงบวก

( 0) ไดอยางนอยหนงคาทท าให 2( )f x M ส าหรบทกคา x ท a x a และเรยก M2 วา

ลมตขวาของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a

ทฤษฎบทเกยวกบลมต (Theorems on limits)

ก าหนดให a , c , A , B เปนจ านวนจรง ถา f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง โดยท lim ( )

x af x A

และ lim ( )

x ag x B

แลว

1. limx a

c c

2. limx a

x a

3. lim n n

x ax a

เมอ n เปนจ านวนตรรกยะ

4. lim ( ) lim ( )x a x a

cf x c f x cA

5. lim n n

x acx ca

เมอ n เปนจ านวนตรรกยะ

6. lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x A B

7. lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x A B

8. 1 1

1 1 0 1 1 0lim[ ... ] ...n n n n

n n n nx a

c x c x c x c c a c a c a c

9. lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x A B

10. lim ( )( )

lim( ) lim ( )

x a

x a

x a

f xf x A

g x g x B

เมอ 0B

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 8

11. lim[ ( )] lim ( )n

n n

x a x af x f x A

เมอ n เปนจ านวนตรรกยะ

12. lim ( ) lim ( ) nn nx a x a

f x f x A

เมอ n A เปนจ านวนจรง

13. lim[ ( )] lim ( )

nn nmm m

x a x af x f x A

เมอ m

n A เปนจ านวนจรง

หมายเหต ทฤษฎบทดงกลาวเปนจรง เมอแทนลมตของฟงกชนท a ดวยลมตทางซาย หรอแทนลมตของฟงกชนท a ดวยลมตทางขวา

14. ถา lim ( )

x a

f x L แลว lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x L

15. ถา lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x L

แลว lim ( )

x a

f x L

ขอควรระวง ในการหา ( )lim

( )x a

f x

g x

มดงน

1. จะใชทฤษฎ 10 ในการหาลมตไดกตอเมอ lim ( )x a

f x

หาคาได และ lim ( )x a

g x

หาคาได และ

ไมเทากบ 0

2. กรณท lim ( )x a

f x

หาคาได และไมเทากบ 0 แต lim ( ) 0x a

g x

จะไดวา ( )lim

( )x a

f x

g x

หาคาได

3. กรณท lim ( ) 0x a

f x

และ lim ( ) 0x a

g x

เราเรยกรปแบบ ( ) 0lim

( ) 0x a

f x

g x

วา รปแบบไม

ก าหนด (Indeterminate Form) ในกรณเชนน ( )lim

( )x a

f x

g x

อาจหาคาไดหรอหาคาไมไดขนอย

กบลกษณะของฟงกชน การหาลมตจงจ าเปนตองเปลยนรปฟงกชน ( )

( )

f x

g xใหม ในรป h(x) โดยท

( )( )

( )

f xh x

g x ทกคา x ในโดเมนของ ( )

( )

f x

g x ยกเวนเมอ x= a โดยอาศยความรทางพชคณต

ดงนนจะได

( )lim lim ( )

( )x a x a

f xh x

g x

การเปลยนรปแบบฟงกชนใหม อาจใชวธแยกตวประกอบ หรอหาลมตของฟงกชนทอยใน รปอตรรกยะ ควรใชวธการเปลยนตวแปรทเหมาะสม หรอวธทท าใหฟงกชนอตรรกยะหายไปจากตวเศษหรอตวสวน โดยใชสงยคของฟงกชนอตรรกยะนนคณทงเศษและสวน

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 9

ลมตของฟงกชนทนยามเปนชวง ส าหรบกรณทฟงกชนทนยามเปนชวง จะตองหาลมตทงสองดานทจดซงมการเปลยนแปลงเงอนไข

หรอสตรฟงกชนนน และท าไดโดยการหาลมตแตละดานทจดเปลยนเงอนไขนนกอน

ตวอยางท 8 ก าหนดฟงกชน 3

2 5, 3

2 3( )

2 , 3

xx

xf x

x x

จงหา 3

lim ( )x

f x

ตวอยางท 9 ก าหนดฟงกชน

23

2

1 , 0

( )1

, 01

x x

f xx

xx

จงหา 0

lim ( )x

f x

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 10

แบบฝกหดท 1.1 จงหาคาของลมตตอไปน

1. 2

lim 4x

2. 3

limx

x

3. 3

1limx

x

4. 3

2lim4x

x

5. 2

2lim 3 5x

x x

6. 3 2

1lim 4 6 9 1x

x x x

7. 3 2

2lim 2 5 3x

x x x x

8. 2

1

3 3 1lim

2 1x

x x

x

9. 3

21

4 3 3lim

2 1x

x x

x x

10.

2

4

16lim

4x

x

x

11. 2

22

4lim

6x

x

x x

12.

3

23

27lim

9x

x

x

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 11

13. 0

16 4limx

x

x

14. 2

22

4lim

3 5x

x

x

15. 4

2

0lim 3 7 2x

x x

16. 2

2lim 5x

x

17. 2

2 3

1

2

lim 4 4 9x

x x

18. 2

3

2

2 8lim

2x

x x

x

19. 30

1 1lim

1 1x

x

x

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 12

20.1 2

2

4 4lim

2x

x x

x

20.2 2

2

4 4lim

2x

x x

x

20.3 2

2

4 4lim

2x

x x

x

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 13

แบบฝกหดท 1.2

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 14

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 15

X

2. ลมตอนนตและลมตทอนนต ลมตอนนต (Infinite limit) พจารณาฟงกชนทมคาเพมขนหรอลดลงอยางไมมขอบเขต เมอตวแปรอสระมคาเขาใกลจ านวนจรงทเปนคาคงตวคาหนง นนคอเปนการพจารณาหาคาของ f(x) เมอ x มคาเขาใกลจ านวนจรง a แลวคาของ f(x) อาจเปนคาบวกเพมขนเรอยๆ โดยไมมขอบเขต หรอเปนคาลบลดลงไปเรอยๆ โดยไมมขอบเขต เชน

พจารณา 1( )f x

x เมอ x มคาเขาใกล 0 คาของ f(x) เปนดงตาราง และมกราฟดงรปท 1.1

x<0 -1 -0.5 -0.1 -0.01 0 f(x) -1 -2 -10 -100 ลดลงโดยไมมขอบเขต (- ) x>0 1 0.5 0.1 0.01 0 f(x) 1 2 10 100 เพมขนโดยไมมขอบเขต ( )

Y

รปท 1.1 จะเหนวา เมอ 0x คาของ f(x) ลดลงโดยไมมขอบเขต ลกษณะเชนนเขยนแทนดวย

0lim ( )x

f x

และ เมอ 0x คาของ f(x) เพมขนโดยไมมขอบเขต ลกษณะเชนนเขยนแทนดวย

0lim ( )x

f x

เราเรยกลมตทงสองแบบนวา ลมตอนนต

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 16

หรอ

2( )

1

xf x

x

เมอ x เขาใกล 1 คาของ f(x) เปนตารางและมกราฟ ดงรปท 1.2

x<1 0 0.5 0.9 0.99 1 f(x) 0 2 90 9900 เพมขนโดยไมมขอบเขต ( ) x>1 2 1.5 1.1 1.01 1 f(x) 2 6 110 10100 เพมขนโดยไมมขอบเขต ( )

รปท 1.2 เมอ x มคาเขาใกล 1 ในลกษณะ x<1 และ x >1 จะเหนวา f(x) มคาเปนบวกเพมขนโดยไมมขอบเขต ลกษณะนเขยนแทนดวย

1lim ( )x

f x

และกลาวไดวา ลมตของ f(x) เปนบวกอนนต

นยาม 4

1. ลมตของ f(x) เปนบวกอนนตเมอ x a และเขยน lim ( )x a

f x

กตอเมอ ส าหรบแตละ

จ านวนจรงบวก M ทก าหนดใหจะมจ านวนจรงบวก ทท าให f(x)>M ส าหรบทก x ท 0 x a

2. ลมตของ f(x) เปนลบอนนตเมอ x a และเขยน lim ( )

x af x

กตอเมอ ส าหรบแตละ

จ านวนจรงบวก M ทก าหนดใหจะมจ านวนจรงบวก ทท าให f(x)<-M ส าหรบทก x ท 0 x a

x=1

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 17

รปตอไปนแสดงใหเหนถงลมตอนนตในรปแบบตางๆ

1. lim ( )

x af x

0

รปท 1.3 2.

lim ( )

x af x

0 รปท 1.4 3. lim ( )

x af x

0 รปท 1.5

X

Y

a

เสนก ากบในแนวตง

X

Y

a

เสนก ากบในแนวตง

X

Y

a

เสนก ากบในแนวตง

x=a

x=a

x=a

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 18

x=a

x=a

x=a

4.

lim ( )

x af x

0

รปท 1.6 5.

lim ( )

x af x

และ lim ( )

x af x

0 ดงนน lim ( )x a

f x

รปท 1.7 6. lim ( )

x af x

และ lim ( )

x af x

0 ดงนน lim ( )x a

f x

รปท 1.8 ในกรณท lim ( )

x af x

(หรอ - ) หรอ lim ( )

x af x

(หรอ - ) หรอ lim ( )

x af x

(หรอ - ) เราเรยกเสนตรง x = a วาเปน เสนก ากบแนวตง (Vertical asymptote) ของ f

X

Y

a

เสนก ากบในแนวตง

X

Y

a

เสนก ากบในแนวตง

X

Y

a

เสนก ากบในแนวตง

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 19

ทฤษฎบท ก าหนดให a และ L เปนจ านวนจรงของ f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรงโดยท

1. lim ( )x a

f x L

เมอ L > 0 และ lim ( ) 0x a

g x

, ( ) 0( )lim

( ) , ( ) 0x a

g xf x

g x g x

2. lim ( )

x af x L

เมอ L < 0 และ lim ( ) 0

x ag x

, ( ) 0( )lim

( ) , ( ) 0x a

g xf x

g x g x

ตวอยางท 10 ก าหนดฟงกชน2

1( )

( 1)f x

x

จงหา

1lim ( )x

f x

ตวอยางท 11 ก าหนดฟงกชน 1 2( )

2

xf x

x

จงหา

2lim ( )x

f x

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 20

ตวอยางท 12 ก าหนดฟงกชน2

2( )

1

xf x

x

จงหา

12.1 1

lim ( )x

f x

12.2 1

lim ( )x

f x

12.3

( 1)lim ( )

xf x

12.4

( 1)lim ( )

xf x

ตวอยางท 13 ก าหนดฟงกชน2 4

1 1( )f x

x x จงหา

0lim ( )x

f x

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 21

ลมตทอนนต (Limit at infinity) พจารณาลมตของฟงกชน เมอตวแปรอสระมคาเพมขนหรอลดลงอยางใดอยางหนง โดยไมมขอบเขต นนคอคาของ f(x) อาจจะมคาเขาใกลจ านวนจรงจ านวนหนง เมอ x มคาบวกเพมขนโดยไมมขอบเขต เขยนแทนดวย x หรอเมอ x มคาลบลดลงโดยไมมขอบเขต เขยนแทนดวย x

พจารณา 1( )f x

x คาของ f(x) เปนดงตาราง เมอก าหนดคา x ตางๆมาให และมกราฟดงรปท 1.9

x>0 10 100 1000 10000 เพมขนโดยไมมขอบเขต ( )

1

x 0.1 0.01 0.001 0.0001 0

x<0 -10 -100 -1000 -10000 ลดลงโดยไมมขอบเขต (- )

1

x -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 0

รปท 1.9

1. ในขณะท x >0 และ x มคาเพมขนโดยไมมขอบเขต ( x ) แลว f(x) มคาเขาใกล 0 ลกษณะ

เชนนกลาวไดวา “ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกลอนนตเทากบ 0” เขยนแทนดวยสญลกษณ lim ( ) 0

xf x

2. ในขณะท x <0 และ x มคาลดลงโดยไมมขอบเขต ( x ) แลว f(x) มคาเขาใกล 0 ลกษณะเชนนกลาวไดวา “ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกลลบอนนตเทากบ 0” เขยนแทนดวยสญลกษณ

lim ( ) 0x

f x

Y

X

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 22

นยาม 5

1. เรยกลมตของ f(x) เทากบ L เมอ x กตอเมอส าหรบแตละจ านวนจรงบวก จะมจ านวนจรงบวก M ทท าให ถา x>M แลว ( )f x L และเขยนในรป

lim ( )x

f x L

2. เรยกลมตของ f(x) เทากบ L เมอ x กตอเมอส าหรบแตละจ านวนจรงบวก จะมจ านวนจรงบวก M ทท าให ถา x<-M แลว ( )f x L และเขยนในรป lim ( )

xf x L

ทฤษฎลมตทอนนต

ก าหนดให c , A , B เปนจ านวนจรง ถา f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง โดยท lim ( )

xf x A

และ lim ( )

xg x B

แลว

1. limx

c c

2. limx

c c

3. lim 0, 0x

cc

x

4. lim 0, 0x

cc

x

5. lim ( )x

h x

หรอ lim ( )x

h x

แลว lim 0, 0( )x

cc

h x

6. lim ( )x

h x

หรอ lim ( )x

h x

แลว lim 0, 0( )x

cc

h x

7. ถา x>0 แลว lim n

xx

เมอ n เปนจ านวนจรงบวก

8. ถา x<0 และ nx แลว , 0lim

, 0

n

n

nx

xx

x

เมอ n เปนจ านวนจรงบวก

9. ถา x>0 แลว lim 0, 0nx

cc

x และ n เปนจ านวนจรงบวก

10. ถา x<0 และ nx แลว lim 0, 0nx

cc

x และ n เปนจ านวนจรงบวก

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 23

11. lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x x x

f x g x f x g x A B

12. lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x x x

f x g x f x g x A B

13. lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x x x

f x g x f x g x A B

14. lim ( )( )

lim( ) lim ( )

x

x

x

f xf x A

g x g x B

เมอ 0B

15. lim[ ( )] lim ( )x x

cf x c f x cA

หมายเหต ทฤษฎบท 11 – 15 ยงคงเปนจรง เมอเปลยน x ดวย x

ตวอยางท 14 จงหาคาลมตของฟงกชนตอไปน

14.1 lim3x

14.2 lim 3x

14.3 4limx x

14.4 2limx x

14.5 2lim

3 4x x 14.6

3

3limx x

14.7 3

4limx

x

14.8 1

3limx

x

14.9 5limx x

14.10 2

3

10limx

x

14.11 2

3 4lim 2x x x

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 24

ลมตของฟงกชนตรรกยะ เมอ x หรอ x

ในการหาลมตของฟงกชนตรรกยะ เมอ x หรอ x สามารถท าไดโดยการหารเศษและสวนของฟงกชนตรรกยะ ดวยตวแปร (x) ทมก าลงสงทสดทปรากฏในฟงกชนหรอคามากทสดทปรากฏใน

ฟงกชน แลวเทอมทเปนตวแปร (x) ก าลงตางๆ จะเปนคาของตวเลขหรออยในรปก าลงตางๆของ 1

xและ

สามารถใชทฤษฎ 9 และ 10 ได

ตวอยางท 15 จงหา 2 3lim

6 5x

x

x

ตวอยางท 16 จงหา 2

3

4 1lim

2 3 5x

x x

x x

ตวอยางท 17 จงหา 3 2

2

3 4 2lim

2 3 3x

x x

x x

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 25

ตวอยางท 18 จงหา 18.1

2 1lim

2 3x

x

x

18.2

2 1lim

2 3x

x

x

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 26

ตวอยางท 19 จงหา 3 3lim

3 3

x x

x xx

ตวอยางท 20 จงหา lim 2x

x x

ตวอยางท 21 จงหา lim 1x

x x

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 27

แบบฝกหดท 1.3 1. จงหาลมตอนนตของฟงกชนตอไปน โดยระบวาเปน หรอ -

1.1 30

4limx x

1.2 30

4limx x

1.3 20

1limx x

1.4 20

1limx x

1.5 2

3lim

2x x 1.6

2

3lim

2x x

1.7 1

1lim

1x x 1.8

1

1lim

1x x

1.9 0

5limx x

1.10

2

21

3 2lim

2 1x

x x

x x

1.11

2

25

3lim

5x

x

x

1.12 3

1lim

3x x

2. จงหาลมตทอนนตของฟงกชนตอไปน (ถามลมตจรง) 2.1 lim 40

x 2.2 lim 40

x

2.3 8 3lim

2 1x

x

x

2.4

2

3

4 6 1lim

2 3x

x x

x x

2.5 2

2

2 1lim

4 1x

x

x

2.6

34 2lim

4 1x

x

x

2.7 3

10

6lim

2 5 8x

x x

x x

2.8

4 2

4

1066 1492lim

3 2001x

x x

x

ชอ..................................................................................................... รหสนกศกษา.............................................

แคลคลสส าหรบคร 1(Calculus for Teacher) สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา หนา 28

2.9 3 3lim

3 3

x x

x xx

2.10 3 3

lim3 3

x x

x xx

2.11 2lim 1x

x x

2.12 lim 1x

x x

2.13 2lim 5 6x

x x x

2.14 2lim 1x

x x x

2.15 29 3

lim6x

x x

x

2.16 2

2

4lim

9 3x

x x

x