Embed Size (px)
Citation preview
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 1
แคลคูลัสเบื้องต้น 1. ลิมิตของฟังก์ชัน พิจารณาค่าของฟังก์ชัน f(x) = x +5 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 แต่ x 2 ดังตาราง
จะเห็นว่า เมื่อ x มีค่าเพ่ิมข้ึนจาก 1 เข้าใกล้ 2 ค่า f(x) จะมีค่าเพ่ิมข้ึนจาก 6 เข้าใกล้ 7 ขณะเดียวกัน เมื่อ x มีค่าลดลงจาก 3 เข้าใกล้ 2 ค่าของ f(x) จะมีค่าลดลงจาก 8 และเข้าใกล้ 7 จากตารางและกราฟจะเห็นว่า ขณะที่ x เข้าใกล้ 2 (เมื่อ X 0 และ X 2) ค่าของ f(x) จะเข้าใกล้ 7 กล่าวได้ว่า ลิมิตของฟังก์ชัน f(x) = x+5 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 มีค่าเท่ากับ 7 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
2limx
f(x) = 7
หรือ 2
limx
(x+5) = 7
ส าหรับฟังก์ชัน f ใด ๆ ที่มีโดเมน และเรนจ์เป็นสับเซตของจ านวนจริง ถ้าค่าของ f(x) เข้าใกล้จ านวนจริง L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a เรียก L ว่าลิมิตของ f ที่ a และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
axlim f(x)= L
แต่ถ้าไม่มีจ านวนจริง L ซ่ึง f(x) เข้าใกล้ L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a แล้ว จะกล่าวว่า f ไม่มีลิมิตที่ a และเขียนแทน
axlim f(x) = หาค่าไม่ได้
X 2
X 1
1.5 1.9 1.95 1.99 1.995 1.999
f(x) 6
6.5 6.9 6.95 6.99 6.995 6.999
X 2
X 3
2.5 2.1 2.05 2.01 2.005 2.001
f(x) 8
7.5 7.1 7.05 7.01 7.005 7.001
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 2
ส าหรับฟังก์ชัน f ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจ านวนจริง ก าหนดกราฟของ y = f(x) ดังรูปและ a เป็นจ านวนจริง 1. ลิมิตทางด้านซ้ายมือ ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้ายมือ หาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ มีจ านวนจริง B ที่ท าให้ค่าของf(x) เข้าใกล้ B ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทางซ้ายมือเขียนแทนด้วย
axlim f(x)= B
2. ลิมิตทางด้านขวามือ ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านขวามือ หาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ มีจ านวนจริง C ที่ท าให้ค่าของ f(x)เข้าใกล้ C ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทางขวามือ เขียนแทนด้วย
axlim f(x)= C
3. ถ้าก าหนดลิมิตของ f(x) ในขณะที่ x เข้าใกล้ a มีค่าเท่ากับ B ก็ต่อเมื่อค่าของ f(x) มีค่าเข้าใกล้ B ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทั้งทางด้านขวามือและซ้ายมือของ a สัญลักษณ์ท่ีใช้แทน ลิมิตของ f(x) ในขณะที่ x เข้าใกล้ a มีค่าเท่ากับ B ก็คือ
axlim f(x) = B
แสดง ax
lim f(x) = B ก็ต่อเมื่อ ax
lim f(x)= B และ ax
lim f(x)= B
4. ถ้า ax
lim f(x)= B ax
lim f(x)= B จะได้ว่าฟังก์ชัน f ไม่มีลิมิต เมื่อ x เข้าใกล้ a นั่นคือ ax
lim f(x)
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 3
พิจารณากราฟของฟังก์ชัน
พิจารณาฟังก์ชัน g(x) =
0
1
เมื่อ x 0
เมื่อ x= 0 ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 4
แบบทดสอบความเข้าใจ 1. ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) จงหาค่าต่าง ๆ ตามท่ีก าหนด 1.
2.
3.
4.
5.
axlim f(x)= ................
axlim f(x)= ................
axlim f(x)= ................
axlim f(x)= ................
axlim f(x)= ................
axlim f(x)= ................
axlim f(x)= ................
axlim f(x)= ................
axlim f(x)= ................
2lim
x
f(x)= ................
2lim
x
f(x)= ................
2limx
f(x)= ................
3lim
x
f(x)= ................
3lim
x
f(x)= ................
3limx
f(x)= ................
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 5
2. ก าหนดกราฟ y = f(x) ดังรูปจงหาค่า
1) 2
limx
f(x)= ................ 2) 2
limx
f(x)= ................ 3) 2
limx
f(x)= ................
4) 4
limx
f(x)= ................ 5) 4
limx
f(x)= ................ 6) 4
limx
f(x)= ................
7) 2
limx
f(x)= ................ 8) 2
limx
f(x)= ................ 9) 2
limx
f(x)= ................
10) 8
limx
f(x)= ................ 11) 8
limx
f(x)= ................ 12) 8
limx
f(x)= ................
3. ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) จงหาลิมิตของ f(x) ในแต่ละข้อ
1. f(x) =
2
1
2. h(x) =
2
2
1
3. f(x) =
1
1x
x
เมื่อ x 1
เมื่อ x 1 1limx
f(x)= ................
เมื่อ x 1
เมื่อ x -2 เมื่อ -2 x 1
2- limx
h(x)= ................ 1
limx
h(x)= ................
5limx
h(x)= ................ 3-
limx
h(x)= ................
เมื่อ x 2
เมื่อ x 2 2
limx
h(x)= ................ 2
limx
h(x)= ................
2limx
h(x)= ................
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 6
4. f(x) =
2x
1)2(x
x
5. f(x) =
2x
2
1.988
6) f(x) =
3 x,2x
3 x , x2
2. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต ทบ. 1 เมื่อ c, a, L และ M เป็นจ านวนจริงใด ๆ ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซต ของเซตของจ านวนจริงโดยที่
axlim f(x) = L และ
axlim g(x) = M แล้ว
1. ax
lim C = C เมื่อ C เป็นค่าคงตัวใด ๆ
2. ax
lim X = a
3. ax
limnx = na , n I
4. ax
lim cf(x) = cax
lim f(x) = cL เมื่อ C เป็นค่าคงตัวใด ๆ
5. ax
lim ( f(x) + g(x) ) = ax
lim f(x) + ax
lim g(x) = L + M
6. ax
lim ( f(x) - g(x) ) = ax
lim f(x) - ax
lim g(x) = L – M
7. ax
lim ( f(x) . g(x) ) = ax
lim f(x) . ax
lim g(x) = L . M
8. ax
lim
xg
xf =
xglim
xflim
ax
ax = M
L , M 0
9. ax
lim nxf = nxflimax
= nL , n I
10.
axlim n xf = n
axxflim
= n L , n I - 1 และ n LR
11. ถ้า ax
lim f(x) = L, L 0 และ ax
lim g(x) = M = 0 แล้ว ax
lim xg
xf หาค่าไม่ได้
เมื่อ x 1
เมื่อ -1 x 0 เมื่อ x -1
1lim
x
f(x)= ................
เมื่อ x 2
เมื่อ x 0
เมื่อ 1 x เมื่อ 0 x 1 0
limx
f(x)= ................ 1
limx
f(x)= ................
3lim
x
f(x)= ..........3
limx
f(x)= ........... 3
limx
f(x)= ................
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 7
ทบ. 2 ถ้า P(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามแล้วส าหรับจ านวนจริง a ใด ๆ ax
lim P(x) = P(a)
ทบ.3 ถ้า f เป็นฟังก์ชันตรรกยะโดยที่ f(x) = xq
xP เมื่อ P(x) และ q(x)
เป็นฟังก์ชันพหุนามแล้ว ax
lim f(x) = aq
aP ส าหรับจ านวนจริง a ใด ๆ เมื่อ q(a) 0
หมายเหตุ xq
xP อยู่ในรูปเศษส่วนพหุนาม ถ้าสามารถแยกตัวประกอบหากมีเทอมที่ตัดกัดได้ จะใช้การ
ตัดได้ จะใช้การตัดเพ่ือช่วยในการลดขนานตัวเลขที่จะค านวณได้ด้วย
แบบฝึกความม่ันใจ 1. หาค่าลิมิตต่อไปนี้ 1.
3limx
( 2x - x3
1 + 2)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. 312x3x
96x
0xlim
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3.
1
21lim
2
x
xx
x
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. xx
7
0lim
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. 64
245lim
3
2
0
xx
xx
x
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
33
425lim.6
2
23
2
xx
xxx
x
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
32
2
1 65
43lim.7
xx
xx
x
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2
2
2
29
1lim.8 x
x
x
x
……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2
2
2
39
1lim.9 x
x
x
x
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 8
3. การหาลิมิตของฟังก์ชันที่เป็นราก ฟังก์ชันที่เป็นรากที่มีอันดับเป็นจ านวนคู่ เช่น 6 , 4 , จะมีขอบเขตของจ านวนภายในรากโดยอัตโนมัติ คือ จ านวนภายในรากต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ การหา
axlim f(x) นั้น จึงจะต้องระวังว่าค่า a จะ
ไม่ได้อยู่ตรงขอบเขตที่จะท าให้หาค่าไม่ได้ ถ้า a อยู่ตรงจ านวนนั้นพอดี จะท าให้ ax
lim f(x) หรือax
lim f(x) ค่า
ใดค่าหนึ่งหาค่าไม่ได้ทันที ท าให้ ax
lim f(x) หาค่าไม่ได้
การหาลิมิตของฟังก์ชันที่เป็นรากที่ง่ายท่ีสุด คือ ถ้าแทนค่า a ลงไป และได้ค าตอบที่ไม่เห็นศูนย์ จะตอบได้ทันที แต่ถ้าแทนแล้วได้ค าตอบเป็นศูนย์ ต้องพิจารณาแยกค่าเป็นเข้าทางซ้าย และเข้าทางขวาเปรียบเทียบกัน
แบบฝึกความม่ันใจ จงหาค่ารากของ 1. 13lim 3
5
xx
x
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. 5lim 2
4
xx
x
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. 3lim
3
x
x
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. 4lim
4
x
x
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6. 217x312x4x0
lim x
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 9
แบบฝึกความม่ันใจ 1. 2lim
2
x
x
................................................................................................................................................... ...........................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. ................................................. 2. 23
22lim xx
x
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................................................................................................... ..........
........................................................................... ...................................................................................................
............................................................................................................................. ................................................. 3.
xx
x
x 3
3lim
22
............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................................................................................................... ..........
........................................................................................................... ...................................................................
.................................................................................................................................................................... ..........
........................................................................................................................................... ...................................
4. 2
23lim
2
x
xx
x
............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................................................................................................... ..........
........................................................................................................... ...................................................................
.................................................................................................................................................................... ..........
........................................................................................................................................... ...................................
4. การหาลิมิตของฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์ การหาลิมิตของฟังก์ชันที่เป็นค่าสัมบูรณ์ ต้องพิจารณาแยกจ านวนที่อยู่ในค่าสมบูรณ์เป็น 2 กรณี คือ กรณีจ านวนในค่าสัมบูรณ์มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และกรณี
จ านวนในค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าศูนย์ แล้วดูค่าท่ีได้ เทียบกับขอบเขตทั้งสองถ้า axlim
f(x)
กับ axlim
f(x) เป็นค่าเดียวกันจึงสรุปได้ว่า axlim
f(x) เป็นค่านั้น ๆ
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 10
5. x
x
x
1
1lim
1
............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................................................................................................... ..........
........................................................................................................... ...................................................................
.................................................................................................................................................................... ..........
........................................................................................................................................... ................................... แบบฝึกทักษะ
จงหาค่าของลิมิตต่าง ๆ เมื่อก าหนด f(x) และ a f(x) a
axlim f(x)
axlim f(x)
axlim f(x)
1 f(x) =
0 x,23
0 x , 3
x
x 0
2 f(x) =
3 x, 73
3 x , 1
x
x 3
3 f(x) =
2 x, 1
2 x , 12x 2
4 f(x) =
2 x, 22
2 x , 3
x
x 2
5 f(x) =
0 x, 12
1
0 x , 12
x
x
2
6 f(x) =
0 x, 12
1
0 x , 12
x
x
-2
7 f(x) =
3 x, 32
3 x , 32x
x
3
8 f(x) =
2- x, 0
2- x , 2x -2
9 f(x) =
2- x, 2x
2- x , 0 -2
10 f(x) =
3x 3- , x9
3- x , 5
2
x -3
11 f(x) = 1
1
x
x 1
12 f(x) = xx 0
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 11
5. การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป 0
0
ในการหา ax
lim f(x) ถ้าแทนค่า ด้วย a แล้วอยู่ในรูป 0
0 จะท าให้ค่าลิมิตไม่ได้ มีวิธีการหาลิมิตของ
ฟังก์ชันที่มีรูปแบบนี้ให้พยายามก าจัด 0
0 โดยพยายามจัด f(x) ใหม่ โดยเน้นท าให้ส่วนไม่เป็นศูนย์
โดยอาศัยหลักการของ วิธีที่ 1 การแยกตัวประกอบพหุนามในฟังก์ชัน ในกรณีที่เศษส่วนพหุนามอยู่ในรูปที่แยกตัวประกอบแล้วตัวตัดกันได้ ซึ่งเทอมที่ตัดกันได้ ก็จะเป็นเทอมที่ตัดกันได้ ก็จะเป็นเทอมที่เม่ือแทน x ด้วย a แล้วท าให้ฟังก์ชันนั้นเป็น 0 ทั้งเศษและส่วนนั้นเอง เมื่อตัดออกไปแล้ว ค่า x ที่เหลือเมื่อแทนด้วย a ก็จะหาค าตอบได้ เทอมที่ถูกตัดกันออกไปนั้น ดูเหมือนจะเป็น 0 แต่จริง ๆ ไม่ให้ไม่ใช่ 0 เพราะค่า x จะเข้าใกล้ a แต่ไม่เท่ากับ a เทอมเหล่านั้นจึงไม่ใช่ 0 ใช้หลักผลต่างก าลัง 2 และผลต่างก าลัง 3
yxyxyx 22
2233 yxyxyxyx
2233 yxyxyxyx
วิธีที่ 2 การคูณด้วยเทอมที่เป็นสังยุค เมื่อพหุนามอยู่ในรูป กับเครื่องหมายที่ลบ (-) เพ่ือจัดให้เป็นผลต่างก าลังสอง หรือถ้าอยู่ในรูปรากที่สามให้หาตัวมาคูณเพ่ือจัดให้เป็นผลต่างก าลังสาม วิธีที่ 3 ใช้กฏโลปิตาล ท าโดย ดิฟทีละตัวของ f(x) แล้วท าการหาลิมิตใหม ่
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 12
แบบฝึกความแข็งแกร่ง จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้
1. 5
25lim
2
5
x
x
x
……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. 1
53lim
2
1
x
xx
x
…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. 1
2lim
2
1
x
xx
x
……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. 1
532lim
2
1
x
xx
x
……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. x
x
x
2
8lim
3
2
……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6. 4
6lim
2
2
2
x
xx
x
……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
7. 6xx
44xx lim
2
2
2
x
……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
8. 2xx
34xx lim
2
2
1
x
……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 13
9. x
2x-x lim
2
0x
……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 10.
125x
5-x lim
30 x
……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
11. 1-x
1-x lim
4
1x
……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 12.
x-1
x-1 lim
1x
……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
13. y-2
y-16 lim
2
4x
……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 14.
3t
9-t lim
9 x
……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 15.
4x
2-x lim
22 x
……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 16.
4x
2-x lim
4 x
……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 14
17. 1
2-3x lim
1x
x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 18.
73
x- 4 lim
24x x
……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 19.
2
8x lim
38x
x
……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
20. x-3
x1-2 lim
3x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 21.
332x 32 x- 10
2 -x lim
x
……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
22. 2
22
0x
4x4 lim
x
x
……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
www.krusukhum88.wordpress.com หน้า 15
บรรณานุกรม
คณิต อ.เอ๋. ล าดับและอนุกรม. https://www.mathmasteraey.com. ค้นเมื่อ 29 พฤศจิกายน 2559 ณรงค์ ปั้มนิ่ม และคณะ. หนังสือเสริมสร้างศักยภาพและทักษะ คณิตศาสตร์ ม.4 – ม.6 เล่ม 6 รายวิชาเพิ่มเติม. อักษรเจริญทัศน์ อจท. จ ากัด. ธนวัฒน์ สนทราพรพล. (2552). แบบฝึกทักษะและวิธีคิดเร็วคณิตศาสตร์ ม.4-6 เล่ม 6 รายวิชาเพ่ิมเติม. กรุงเทพฯ : SCIENCE CENTER.
