333

บทท 12 อนกรมฟเรยรและการประยกตใชในวงจรไฟฟา

Fourier’s Series and Their Applications in Electric Circuits

ในบททผานมาเราไดศกษาผลตอบสนองตอสญญาณแบบไซนซอยด ในบทนจะไดกลาวถงผลตอบสนองของวงจรตอสญญาณทไมเปนไซนซอยด โดยอาศยความรทางคณตศาสตรเกยวกบการแทนฟงกชนดวยอนกรมทาการแทนสญญาณทไมเปนไซนซอยดเหลานนดวยอนกรมทเรยกวา อนกรมฟเรยร (Fourier’s Series) ซงจะประกอบดวยผลรวมของสญญาณไซนซอยดหลายความถทสมพนธกนเชงฮารโมนกส ทาใหเราจะสามารถแยกพจารณาหาผลตอบสนองตอสญญาณแบบไซนซอยดแตละความถ โดยอาศยพนฐานเดมทเรยนไปแลว จากนนรวมผลตอบสนองของแตละความถเขาดวยกน เปนผลตอบสนองตอสญญาณทไมเปนไซนซอยดทกาลงพจารณา

12.1 อนกรมฟเรยร

ในชวงศตวรรษท 18 มนกคณศาสตรหลายคน รวมทงออยเลอร และเบอนล ททราบวารปคลน ( )f t ใดๆ สามารถแทนโดยประมาณไดดวยผลรวมแบบมนาหนกของไซนซอยดทความถสมพนธกนในเชง

ฮารโมนกส แตเปนฟเรยรทไดเสนอในป ค.ศ. 1807 (พ.ศ. 2350) วา รปคลนฟงกชนคาบใดๆ สามารถแตกยอยเปนอนกรมอนนตของไซนซอยด ซงเมอรวมเขาดวยกนจะสรางสญญาณเดมกลบมาได พจารณาฟงกชนคาบ

( ) ( ) 1, 2, 3,f t f t nT n= + = ± ± ± … (12.1)

สาหรบทกคาเวลา t และ T คอคาบซงหมายถงคาทนอยทสดของ T ททาใหสมการ (12.1) เปนจรง สมการสาหรบผลรวมจากดพจนของไซนซอยดทความถสมพนธกนในเชงฮารโมนกสเรยกวา อนกรมฟเรยร คอ

0 01 1

( ) cos sinN N

n nn n

0f t a a n t b n tω ω= =

= + +∑ ∑ (12.2)

หรอเขยนอกแบบไดวา

01

( ) cos( )N

nn

f t C C n t0 nω θ=

= +∑ + (12.3)

334

เม อ 02Tπω = และ เลขจานวนจรง a และ b คอ สมประสทธต รโกณของฟ เรยร (Fourier

Trigonometric Coefficient) ในสมการ (12.3) ซงเปนการเขยนอกรปแบบหนงจะได สวนตวเลขเชงซอน

0 na n

0C a= 0

2n n b= + 2

nC a และ 1n n

n

ba

−tanθ = −

โดยทวไปจะสามารถหาคาสมประสทธ และ ไดงายกวาการหาคาสมประสทธ C และ 0 na a nb n

nθ โดยเฉพาะในกรณท ( )f t เปนฟงกชนสมมาตร แตการใชอนกรมฟเรยรในรปของC และ n nθ จะชวยใหการวเคราะหผลตอบสนองในสภาวะคงตวของวงจรเชงเสนตอฟงกชนคาบทาไดสะดวกกวา พ จ า รณ าสม ก า ร (12.3) เม อ 1n = ค อ ม ห น ง รอ บ ใน ช ว ง เว ล า จ ะ ได ไซ น ซ อ ย ด T

1 0cos( )C t 1ω θ+ เรยกวาพจนหลกมล (Fundamental Term) ความถ 0ω เรยกวาความถหลกมล (Fundamental Frequency) ส า ห ร บ n k= ค อ ม ร อ บ ใ น ช ว ง เ ว ล า T จ ะ ไ ด ไ ซ น ซ อ ย ด k

0cos(kC k t )kω θ+ เรยกวาพจนฮารโมนก (Harmonic Term) ความถ k 0ω เรยกวาความถฮารโมนกท ( Harmonic Frequency) เราสามารถแทนฟงกชน

thkthk ( )f t ใหไดความถกตองเทาใดกไดโดยการเพม

จานวนพจนในอนกรมฟเรยร เมอจานวนพจนเขาสอนนตอนกรมฟเรยรจะแทนฟงกชนบางชนดไดอยางถกตองสมบรณ ธรรมชาตของรปคลน จะขนกบขนาดและเฟสของทกสวนประกอบฮารโมนกส และเราจะไดเรยนรวาสามารถจะสรางสญญาณทไมมลกษณะเปนไซนซอยดเลยจากการรวมฟงกชนไซนซอยดทเหมาะสม รปคลน ( )f t จะแทนไดดวยสมการ (12.2) หรอ (12.3) เมอฟงกชนนนเปนไปตามเงอนไขตอไปน

1. ( )f t เปนฟงกชนคาเดยว (Single-Value Function) โดยอาจยกเวนบางจดทมจานวนนบได 2. คาอนตรกรล 0

0

( )t T

tf t dt

+< ∞∫ สาหรบทกเวลา t 0

3. ในชวงเวลาหนงคาบ ( )f t มจานวนความไมตอเนอง (Discontinuities) เปนจานวนนบได 4. ในชวงเวลาหนงคาบ ( )f t มจานวนคาสงสดและตาสด (Maxima and Minima) เปนจานวนนบได

ในการศกษาตอไปน เราจะพจารณา ( )f t เพอแทนรปคลนแรงดนหรอกระแส และคาแรงดนหรอกระแสทเราจะพจารณานนจะมคณสมบตทงสขอขางตนอยางแนนอน ดงนนเราจะถอวาสญญาณทจะพจารณาตอไปนมคณสมบตตามเงอนไขทงสขอเสมอ ในทางวศกรรมไฟฟามสญญาณทเปนฟงกชนคาบมากมาย และสามารถแทนดวยอนกรมฟเรยรได เมอเราทราบฟงกชน ( )f t

0a

ทาการคานวณหาคาสมประสทธของฟเรยร เราจะสามารถแยกฟงกชนนนออกเปนพจนกระแสตรง บวกกบผลรวมของพจนไซนซอยดทอธบายดวยคาสมประสทธ a และ เราจะn nb

335

เลอกจานวนพจนทงหมดเทากบ เพอใหไดตวแทนทดของฟงกชน N ( )f t และใหไดระดบของคาความผดพลาดทยอมรบได

ntT T

π n

0cos

0

Tn m

2 2T T

π

t

t dt

t dt

0n n0 00 0

T Ta t b

n =

จากการศกษาแคลคลสเราทราบวาไซนซอยดซงมความถเปนจานวนเทาทเปนจานวนเตมของความถมลฐาน 0 1f T= จะสรางเซทของฟงกชนตงฉาก (Orthogonal Function) คอ

0

2 2 2sin cos 0T mt dt

Tπ

=∫ สาหรบทกคาของ และ (12.4) m

และ

0

2 2 2 2sin sin cos

0 1

T Tnt mt nt mtdt dtT T T

n m

π π=

≠= = ≠

∫ ∫π

(12.5)

คาสมประสทธของสมการ (12.2) หาไดจาก

0

00

1 ( )t T

ta f

T+

= ∫ (12.6) t d

0

00

2 ( )cost T

n ta f t n

Tω

+= ∫ (12.7)

0

00

2 ( )sint T

n tb f t n

Tω

+= ∫ (12.8)

ซงจะไดแสดงใหเหนตอไปวา สมการ (12.6)-(12.8) ไดมาจากการใชความสมพนธตงฉากในสมการ (12.4) และ (12.5) เชน เพอหา เราคณสมการ (12.2) ดวยแลวอนตรเกรททงสองดาน จะได ka

0 001

( )cos cos ( cos sin )cosN T

n0f t k t dt k t dt a n n t k t dtω ω ω ω

=

= + +∑∫ ∫ ∫ (12.9) ω

หาคาดานขวามอของสมการ (12.9) จะไดวาพจนทไมเปนศนยคอ กรณ k ดงนน

00( )cos

2T

kTf t k t dt aω =

∫ (12.10)

ยายขางจะไดสมการ (12.7) ต วอย าง 12.1 จงหาอน กรมฟ เรยรของฟ งก ชนคาบ เรคแทงก ลาร ด งแสดงในรป Ex 12.1 (ก) จากนนเขยนคาประมาณของรปคลนนเมอ 7N = วธทา คาความถเชงมมพนฐานคอ

02Tπω =

336

( )f t

1

-2T -

4T

4T0

2T 3

4T T t

(ก)

-2T

2T0

12

1

t

(ข) รปท Ex 12.1

เราจะหาคาเฉลยของฟงกชนคอ กอน โดยท 0a

0

00

/ 2 / 4

/ 2 / 4

1 ( )

1 1( ) 12

t T

t

T T

T T

a f t dtT

f t dt dtT T

+

− −

=

= =

∫

∫ ∫1

=

เราเลอกอนตรเกรทจาก 2T− ถง 2T เพอความสะดวก และคาของฟงกชนกไมเปนศนยในชวง 4T− ถง 4T เทานน เราเรยกฟงกชนนวาฟงกชนคเนองจาก ( ) ( )f t f t= − หรอมความสมมาตรรอบแกนตงทเวลา ดงนน จากสมการ (12.8) จะได 0t =

0

00

/ 4

0/ 4

2 ( )sin

2 1 sin 0

t T

n t

T

T

b f t n t dT

n t dtT

ω

ω

+

−

= t

= =

∫

∫

337

นนคอสมประสทธ ทงหมดมคาเปนศนย สวนคา หาจากสมการ (12.7) ได nb na

/ 4

0/ 4

/ 4

0 / 40

2 1 cos

2 sin |

T

n T

T

T

a nT

n tT n

ω

ωω

−

−

=

=

∫ t dt

แทนคาชวงเวลาของการอนตรเกรทจะได

1 sin sin2 2nn na

nπ π

π− = −

คาสมประสทธ จะมคาเปนศนยเมอ n เปนเลขค หรอ na 2, 4, 6,n = … และจะมคา

2( 1)qna nπ

−= เมอ 1, 3, 5, n = … และ ( 1)q n 2= −

ดงนนจะไดอนกรมฟเรยร

01,

1 2( 1)( ) cos2

qN

n odd

f t nn

tωπ=

−= + ∑

แทนคา จาก 1 ถง 7 จะได n

1 3 52 2

3 5a a a 2

π π π−

= = = และ 72

7a

π−

=

ซงจะเหนวาคาสมประสทธ ลดลงเมอคา เพมมากขน หรอมคาขนกบ na n 1 เชนคาสมประสทธของฮาร โมน กท เจ ด จะม ขน าด เพ ย ง

n

1 ของค าส มป ระส ท ธ ม ลฐาน รปท Ex 12.1 (ข ) แสดงคาประมาณของรปคลนนเมอ จะเหนวามคาความแตกตางจากฟงกชนเดมอยางเหนไดชด อยางไรกตามคาประมาณนจะประยกตใชไดในหลายกรณ หากตองการใหใกลเคยงมากขนจะตองเพมพจนฮารโมนกสเขามาอก โดยอาจพจารณาจากคาเปอเซนตของขนาดของฮารโมนกนนตอคาสมประสทธมลฐาน เชน ฮารโมนกทเกาจะมขนาดเพยง

7 1a

7=N

1a

1 หรอ ประมาณ 11 % ของคาสมประสทธมลฐาน a ดงนนหากตองการรวมฮารโมนกสทมขนาดไมนอยกวา 10 % กจะตองรวมฮารโมนกทเกาดวย เปนตน

9 1

12.2 ฟงกชนสมมาตร

ความสมมาตรของฟงกชนสามาตรแบงออกไดเปนสแบบ ซงสามารถนามาใชประกอบทาใหการหาคาสมประสทธของฟเรยรทาไดงายขน

1. ความสมมาตรฟงกชนค (Even-Function Symmetry) 2. ความสมมาตรฟงกชนค (Odd-Function Symmetry) 3. ความสมมาตรครงคลน (Half-Wave Symmetry)

338

4. ความสมมาตรหนงในสคลน (Quarter-Wave Symmetry) ฟงกชนใดๆ จะเปนฟงกชนคเมอ ( ) ( )f t f t= − และฟงกชนจะเปนฟงกชนคเมอ ( ) ( )f t f= − −t

สาหรบฟงกชนค ดงในตวอยาง 12.1 คาสมประสทธ จะมคาเปนศนย และ nb

/ 2

00

4 ( )cosT

na f t nT

ω= ∫ t dt

สาหรบฟงกชนค คาสมประสทธ จะมคาเปนศนย และ na

/ 2

00

4 ( )sinT

nb f t nT

ω= ∫ t dt

ตวอยางฟงกชนคคอ 0sin tω และฟงกชนในรปท 12.1 ฟงกชนใดๆจะมคณสมบตความสมมาตรครงคลนเมอ

( ) ( )2Tf t f t= − −

นนคอฟงกชนเหลานจะมครงหลงของแตละคาบเหมอนครงแรกทถกควากลบบนลงลางและลางขนบน ดงฟงกชนตวอยางในรปท 12.1 เมอฟงกชนมคณสมบตความสมมาตรครงคลนแลวจะไดคาเฉลย a และทงคา a และ b เปนศนยสาหรบ n ทเปนเลขค

0 0=

n n

( )f t

1

-2T -

4T

-1

4T

2T 3

4T T t

รปท 12.1 ตวอยางฟงกชนคทมคณสมบตความสมมาตรครงคลน

คณสมบตความสมมาตรหนงในสคลนจะใชกบฟงกชนทนอกจากจะมคณสมบตความสมมาตรครงคลนแลวยงมความสมมาตรรอบจดกงกลางของครงคลนบวกและครงคลนลบ รปท 12.2 แสดงตวอยางฟงกชนคทมคณสมบตความสมมาตรหนงในสคลนดวย ถาฟงกชนเปนฟงกชนคและมคณสมบตความสมมาตรหนงในสคลนจะได สาหรบทกคาของ และ เปนศนยสาหรบ n ทเปนเลขค สาหรบ ทเปนเลขคจะได

0 0a = 0na = n nb

n

/ 4

00

8 ( )sinT

nb f t nT

ω= ∫ t dt

339

แตถาฟงกชนเปนฟงกชนคและมคณสมบตความสมมาตรหนงในสคลนจะได 0 0a = สาหรบทกคาของ n และ เปนศนยสาหรบ ทเปนเลขค สาหรบ ทเปนเลขคจะได

0nb =

na n n

/ 4

00

8 ( )cosT

na f t nT

ω= ∫ t dt

( )f t

1

-2T -

4T

-1

4T

2T 3

4T T

t3-4T

8T 3

8T

รปท 12.2 ตวอยางฟงกชนคทมคณสมบตความสมมาตรหนงในสคลน

ตาราง 12.1 สรปการหาคาสมประสทธของฟเรยรสาหรบฟงกชนทมคณสมบตความสมมาตรแบบตางๆ

ตาราง 12.1 การหาคาสมประสทธของฟเรยรสาหรบฟงกชนทมคณสมบตความสมมาตร

ความสมมาตร คาสมประสทธของฟเรยร 1. ฟงกชนค ( ) ( )f t f= − −t 0na = สาหรบทกคาของ n

0na = / 2

00

4 ( )sinT

nb f t nT

ω= ∫ t dt 2. ฟงกชนค ( ) ( )f t f t= − 0nb = สาหรบทกคาของ n

0nb = / 2

00

4 ( )cosT

na f t nT

ω= ∫ t dt 3. ครงคลน ( ) ( 2)f t f t T= − −

0 0a = 0 0a = เปนศนยสาหรบ ทเปนเลขค na n

0 0a = เปนศนยสาหรบ n ท เปนเลขค

na nb

/ 2

00

4 ( )cosT

na f t nT

ω= ∫ t dt สาหรบ n ทเปนเลขค / 2

00

4 ( )sinT

nb f t nT

ω= ∫ t dt สาหรบ ทเปนเลขค n

340

ความสมมาตร คาสมประสทธของฟเรยร

4. หนงในสคลน คอมคณสมบตความสมมาตรครงคลนและมความสมมาตรรอบจดกงกลางของครงคลนบวกและครงคลนลบ

(ก) ฟงกชนค 0 0a =

0na = สาหรบทกคาของ nnb เปนศนยสาหรบ ทเปนเลขค n

/ 4

00

8 ( )sinT

nb f t nT

ω= ∫ t dt สาหรบ ทเปนเลขค n

(ข) ฟงกชนค 0 0a =

0nb = สาหรบทกคาของ nna เปนศนยสาหรบ ทเปนเลขค n

/ 4

00

8 ( )cosT

na f t nT

ω= ∫ t dt สาหรบ n ทเปนเลขค ตวอยาง 12.2 จงหาอนกรมฟเรยรของฟงกชนคาบไตรแองกลารดงแสดงในรป Ex 12.2 จากนนหาคาจานวนพจน โดยทคาประมาณของรปคลนนจะรวมพจนทมขนาดมากกวา 2 % ของพจนมลฐาน N

วธทา เราจะใชคณสมบตความสมมาตรชวยในการหาคาสมประสทธใหมากทสด จากรปจะเหนวาฟงกชนมคณสมบตความสมมาตรหนงในสคลน ดงนน จาก 2T π= จะได

02 4Tπω = = rad/s

mf

T

t

mf−

1t

รปท Ex 12.2

ใชตาราง 12.1 หาคาสมประสทธของฟเรยรสาหรบฟงกชนคทมคณสมบตความสมมาตรหนงในสคลน ได สาหรบทกคาของ เปนศนยสาหรบ ทเปนเลขค และ 0 0a = 0na = n nb n

/ 4

00

8 ( )sinT

nb f t nT

ω= ∫ t dt สาหรบ ทเปนเลขค n

เขยนสมการของฟงกชน

341

4( ) 0 / 4/ 4m mf ff t t t t T

T T= = ≤ ≤

แทนคา 2T π= และ จะได 4mf =

32( ) 0 / 4f t t t Tπ

= ≤ ≤

ดงนน สาหรบ n ทเปนเลขค จะได

/ 4

00

/ 4

0 02 2 2

0 0 0

2 2

8 32 sin

512 sin cos

32 sin2

T

n

T

b t n t dT

n t t n tn n

nn

ωπ

ω ωπ ω ω

ππ

=

t

= −

=

∫

จะไดอนกรมฟเรยร

021

1( ) 3.24 sin sin2

N

n

nf tn

π n tω=

= ∑ สาหรบ ทเปนเลขค n

เขยนสพจนแรกทไมเปนศนย คอ จะได 1, 3, 5, 7n =

1 1 1( ) 3.24(sin 4 sin12 sin 20 sin 28 )9 25 49

f t t t t= − + − t

พจนถดไปคอ n จะไดคาขนาด 9= 3.24 81 0.04= ซงนอยกวา 2 % ของ 3.24 ( ) ดงนนเราจะประมาณรปคลนนโดยใช

1a

7N =

12.3 อนกรมฟเรยรในรปเอกโปเนนเทยล

รปแบบของอนกรมฟเรยรในสมการท (12.2) เรยกวารปแบบไซน-โคไซน หรอรปแบบเรกแทงกลาร อกรปแบหนงของอนกรมฟเรยรคอ

01

( ) cos( )N

nn

f t C C n t0 nω θ=

= +∑ + (12.11)

เมอ C คอคาเฉลยของฟงกชน 0 ( )f t มคาเทากบ สวนตวเลขเชงซอน 0a

( )2

n nn n

a jb C nθ−

= = ∠C

โดยท

2 2

2n n

n na b

C+

= =C

342

และ

1

1

tan 0

180 tan 0

nn

nn

nn

n

b aa

b aa

θ

−

−

>

= ° − − <

หรอ

2 cosn na C nθ= และ 2 sinn nb C nθ=

เขยน 0cos( )nn tω θ+ ในรปเอกโปเนนเทยลโดยใชสมการออยเลอร ( cos 1 2( )j je eβ ββ −= + ) และ จะได N = ∞

00

0

( ) jn t jn tn

n nn

f t C e e 0n

ω ω∞ ∞

=−∞ =−∞≠

= + =∑ ∑C C (12.12)

เมอ C คอสมประสทธเชงซอนมคา n

00

0

1 ( ) nt T jn t j

n t nf t e dt C eT

ω θ+ −= ∫C = (12.13)

นอกจากน คาสมประสทธของพจนท เปนลบจะเทากบคอนจเกตของสมประสทธของพจนท n เปนบวก

n*

n n−=C C

ตวอยาง 12.3 จงหาอนกรมฟเรยรเชงซอนของฟงกชนแสดงในรป Ex 12.3

( )f t

T

t

1

-1

8π

−8π0 (s)

รปท Ex 12.3

วธทา จากรปจะไดวาคาเฉลยของ ( )f t เปนศนย ดงนน C0 0= และฟงกชนนเปนฟงกชนค ใชสมการ (12.13) เลอกคา 0 2

Tt = − และนยาม 0jn mω = จะได

343

( )

( )

0/ 2

/ 2

/ 4 / 4 / 2

/ 2 / 4 / 4

/ 4 / 4 / 2/ 2 / 4 / 4

/ 2 / 2

0

1 ( )

1 1 1

| | |

2 2

0 4sin 2sin( )

2 2

T jn tn T

T T Tmt mt mt

T T T

mt T mt T mt TT T T

jn jn jn jn

f t e dtT

Ae dt Ae dt Ae dtT T TA e e emTA e e e e

jn T

A n nn

ω

π π π π

ω

π ππ

−

−

− − −

− −

− − − −− −

− −

=

= − + + −

= − +

= − + −

= − =

∫

∫ ∫ ∫

C

−

2 sin

2sin

nA n nn

xAx

ππ

=

for evenfor odd

โดยท 2nx π

= และเนองจาก ( )f t เปนฟงกชนค จะไดวาคาสมประสทธเชงซอน C จะมคาเปนเลขจานวนจรง และ C สาหรบคา n ทเปนเลขค

n

0n =

สาหรบ เราได 1n =

1 1sin / 2 2

/ 2A Aππ π −= =C C=

สาหรบ จะได 2n =

2 2sin 0A ππ −= = =C C

และสาหรบ 3n =

3 3sin(3 / 2) 2

3 / 2 3A Aπ

π π −−

= =C C=

ดงนนอนกรมฟเรยรเชงซอนของฟงกชนนคอ

( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0 0

3 3

3 3

0 0

01

2 2 2 2( )3 3

2 23

4 4cos cos33

4 ( 1) cos

j t j t j t j t

j t j t j t j t

q

nn odd

A A A Af t e e e e

A Ae e e e

A At t

A n tn

ω ω ω ω

ω ω ω ω

π π π π

π π

ω ωπ π

ωπ

− −

− −

∞

==

− −= + + + +

−= + + + +

= − +

−= ∑

… …

…

…

+

344

เมอ 12nq −

= สงเกตวาอนกรมนเรมจาก n = −∞ ถง n = +∞ เราทราบวาคาแรงดนและกระแสทกคาของวงจรใดๆ เปนฟงกชนเลขจานวนจรง สาหรบฟงกชนเลขจานวนจรง ( )f t ใดๆ จะได

n n−=C C ถาเราทราบวาฟงกชนทกาลงพจารณาเปนฟงกชนเลขจานวนจรง เราจะหาคาเฉพาะ n เปนบวกเทานน นอกจากนหากฟงกชนเลขจานวนจรงมคณสมบตเปนฟงกชนคดวย จะไดวาคาสมประสทธเชงซอน

จะมคาเฉพาะสวนจนตภาพเทานน nC

ตวอยาง 12.4 จงหาอนกรมฟเรยรเชงซอนของฟงกชนสเหลยมแสดงในรป Ex 12.4

1

4T0 3

4T

t4T

−

รปท Ex 12.4 วธทา ใชสมการ (12.13) และนยาม 0jn mω = จะได

( )

/ 4

/ 4

/ 4/ 4

/ 4 / 4

1 1

1 |

1

T mtn T

mt TT

mT mT

e dtT

emT

e emT

−

−

−−

− +

=

=−

= −−

∫C

แทนคา 0m jnω= จะได

( )/ 2 / 2

( 1) / 2

12

0 even, 0( 1) odd

jn jnn

n

e ejn

n nn

π π

π− +

−

= −−

≠= −

C

หาคาเฉลย

0 0

/ 4

/ 4

1 ( )

1 112

T

T

T

C f tT

dtT −

= dt

= =

∫

∫

345

12.4 ฟเรยรสเปคตรม ถาเราเขยนกราฟของคาสมประสทธเชงซอน เทยบกบความถเชงมม nC ω เราจะไดฟเรยรสเปคต

รม (Fourier Spectrum) เนองจาก C อาจเปนจานวนเชงซอนดงนนจะเขยน n

n n nθ= ∠C C และเราจะแยกเขยนกราฟของขนาด nC เทยบกบความถเชงมม ω เรยกวาสเปคตรมขนาด (Amplitude Spectrum) และเขยนกราฟของมมเฟส nθ∠ เทยบกบความถเชงมม ω เรยกวา สเปคตรมเฟส (Phase Spectrum) ฟเรยรสเปคตรมจะมอยทคาความถมลฐานและฮารโมนกสเทานนจงถกเรยกวาเปนดสครต (Discrete) หรอเปนเสนสเปคตรม (Line Spectrum) กราฟของวาสเปคตรมขนาดจะปรากฏเปนเสนในแนวตงทอยหางกนเปนคาสมาเสมอ โดยมความสงตามคาขนาดขององคประกอบความถนน ในทานองเดยวกนสเปคตรมเฟสกจะปรากฏเปนเสนในแนวตงทอยหางกนเปนคาสมาเสมอ โดยมความสงตามคาเฟสขององคประกอบความถนน คาวาสเปคตรมถกนามาใชครงแรกโดยนวตนในการศกษาการแยกแสงออกเปนองคประกอบทความถตางๆของปรซม

δ

t2δT−

A

T2δ

−0

รปท 12.3 รปคลนพลสซงมความกวางพลส δ

พจารณารปคลนพลสซงมความกวางพลส δ มอตราการซาทกๆ T ดงแสดงในรปท 12.3 เราจะหาคาสมประสทธเชงซอน และเขยนกราฟสเปคตรมขนาดและสเปคตรมเฟสของรปคลนน เรมจากคาสมประสทธเชงซอน

s

nC

0/ 2

/ 2

1 T jn tn T

Ae dtT

ω−

−= ∫C

สาหรบ จะได 0n ≠

346

( )

0

0 0

/ 2

/ 2

/ 2 / 2

0

0

0

2 sin2

jn tn

jn jn

A e dtTA e e

jn TA n

n T

δ ω

δ

ω δ ω δ

ωω δ

ω

−

−

−

=

−= −

=

∫C

หรอเขยนใหมในรป

0

0

sin( / 2)( / 2)

sin

nA nT nA xT x

δ ω δω δ

δ

=

=

C

โดยท 0 / 2x nω δ= เมอ n เราได 0=

/ 2

0 / 2

1 AAdtT T

δ

δ

δ−

= =∫C

จากกฎของโลปธาล ( ) เราทราบวา ˆ' 'L Hopital s Rule

sin 1 for 0

ˆ' ' sin( ) 0 1, 2, 3,

x xxL Hopital s Rulen nnπ

π

= = = =

…

เราเขยนกราฟขนาด nC เทยบกบความถเชงมม 0nω ω= สาหรบคา ในรปท 12.4 (ก) เทยบกบกรอบของฟงกชน

15n = ±

sin x x สงเกตวา 0n =C เมอ n n0 / 2ω δ π= หรอ

22Tπδ π=

ในกรณน 1 5Tδ = ดงนน 0n =C เมอ 05ω ω= 010ω ω= ไปเรอยๆ ถาคาอตราสวน Tδ ไมเปนเลขจานวนตม จะไดวาขนาด nC ยงคงอยในกรอบฟงกชน sin x x แตจะไมมคาเสน สเปคตรมใดเปนศนยเลย กราฟสเปคตรมเฟสสามารถเขยนได ดงแสดงในรปท 12.4 (ข) ซงจะเหนวาในชวงความถ

0 2ω ω π≤ ≤ δ มมเฟสมคาเปนศนย สวนในชวง 2 4π δ ω π δ≤ ≤ มมเฟสมคาเปน π เรเดยน พจารณาในกรณทเราคงคาความกวางของพลส δ แตปรบคาคาบ T เมอคาคาบเพมขนจะไดวา

1. ขนาดของสเปคตรมจะลดลง คอจะแปรกบ 1 โดยไมเปลยนรปราง ซงหมายความวารปรางของสเปคตรมจะไมขนอยกบคาบ

T

2. คาระยะหางของเสนสเปคตรม ω∆ จะลดลงคอแปรตาม 2 Tπ

347

2- πδ

4- πδ

6- πδ

2πδ

4πδ

6πδ

2- πδ

4- πδ

6- πδ

0ω

ω

θ

nCATδ sin x

x

)

รปท 12.4 (ก) กราฟสเปคตรมขนาด nC เทยแตในกรณทเราคงคาคาบไวและเปลยนค

จะไดวาเมอคาความกวางของพลสเพมขน 1. ขนาดของสเปคตรมจะเพมขน คอจะแปรก

เปคตรมจะไมขนอยกบความกวางของพล2. คาระยะหางของเสนสเปคตรม ω∆ จะล

ในชวงความถทแคบลง วธวดการกระจาความถซงขนาดมคาเปนศนยครงแรก

12.5 อนกรมฟเรยรทมจานวนพจนจ

ในทางปฏบตการแทนฟงกชนดวยอนกรมคอเราจะใชจานวนพจนจานวนจากดในอนกรมฟจากผลรวม พจน N

( )N

n N

f t=−

≅ ∑

(ก

2πδ

4πδ

6πδ

0ω

(ข)

บกบความถเชงมม 0nω ω= (ข) กราฟสเปคตรมเฟส าความกวางของพลสแทน โดยทมขอจากดวา 2Tδ <

บ δ โดยไมเปลยนรปราง ซงหมายความวารปรางของสสเชนเดยวกน ดลงคอองคประกอบความถตางๆ จะถกบบใหปรากฏอยยขององคประกอบความถอยางงายวธหนงคอการดคา

ากด ฟเรยร เราจะตองตดบางองคประกอบความถทงไป นนเรยร ดงนนคาฟงกชน ( )f t จะถกแทนดวยคาประมาณ

0 ( )jn tn Ne Sω =C t (12.14)

348

คาผดพลาดสาหรบ พจนคอ N

( ) ( ) ( )Nt f t S tε = − (12.15)

ถาเราใชคาผดพลาดเฉลยกาลงสอง (Mean-Square Error, MSE) ตามนยาม

2

0

1 ( )T

MSE t dtT

ε= ∫ (12.16)

จะไดวาคาผดพลาดเฉลยกาลงสองจะมคานอยทสดเมอเราแทนฟงกชนดวยอนกรมฟเรยร อยางไรกตามเมอเราตดบางพจนออก คอเมอ N < ∞ จะเกดคาผดพลาดขน เชนถา จะไดรปคลนสเหลยมในรปท 12.5 ซงจะเหนไดวาเกดความผดพลาดในลกษณะออสซลเลทขน และมคาพงเกน (Overshoot) เกดขนทตาแหนงทมความไมตอเนองของฟงกชน นกคณตศาสตรชาวอเมรกนคอ กบบสไดศกษาปรากฎการณนและสรปไววา คาพงเกนจะคงคาทประมาณ 10 % ไมวาจานวนพจน จะเปนเทาไร คณสมบตนเรยกวา ปรากฎการณของกบบส (Gibbs Phenomenon)

15N =

N

( )f t15N =

t

Gibbs Phenomenon

รปท 12.5 รปคลนสเหลยมแทนดวยอนกรมฟเรยรทมคา 15N =

12.6 การประยกตใชอนกรมฟเรยรในวงจรไฟฟา ในการวเคราะหวงจรทถกกระตนดวยสญญาณฟงกชนคาบ เราสามารถแทน v t ดวย

อนกรมฟเรยร แลวหาผลตอบสนองของวงจรตอสญญาณมลฐานและฮารโมนกสตางๆ ถาวงจรเปนวงจรเชง( )sv t ( )s

349

เสนซงสามารถใชหลกการทบซอนได เราจะไดผลตอบสนองสทธคอผลรวมของผลตอบสนองตอ คาเฉลย (หรอคาพจนกระแสตรง) สญญาณมลฐานและฮารโมนกแตละฮารโมนก

( )sv t

R

( )ov t+

-

(ก)

0 ( )sv t

(ข)

R

( )ov t+

-

1( )sv t

3 ( )sv t

5 ( )sv t

รปท 12.6 (ก) วงจร RC ถกกระตนดวยแหลงจาย v t ( )s

(ข) วงจรสมมลของแหลงจายแทนโดยสพจนแรกของอนกรมฟเรยร พจารณาตวอยางวงจร RC ในรปท 12.6 (ก) เราตองการหาคาผลตอบสนองในสภาวะคงตวคอแรง

ดนออก v ซงจะทาไดโดยการแตกแหลงจาย ออกเปนสวนยอยโดยใชอนกรมฟเรยร กาหนด ( )o t ( )sv t

1 R = Ω F และ C = 2 T π= s จะไดจากตวอยาง 12.1 วา

01,

1 2( 1)( ) cos2

qN

sn odd

v t n tn

ωπ=

−≅ + ∑

เมอ และ 1, 2, 3, n = … ( 1)q n= − 2 จากคา 0 2ω = rad/s จะไดสพจนแรกของ v 0 1 3 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s s s st v t v t v t v t= + + + ได

0 1 3 5

1 2 2 2( ) cos2 cos6 cos102 3 5( ) ( ) ( ) ( )

sv t t t t

v t v t v t v ts s s s

π π π≅ + − +

รปท 12.6 (ข) แสดงการใชหลกการซปเปอรโพสชนในตวอยางน ซงจากการเขยนแหลงจาย เปนแหลงจายสแหลงจายตออนกรมกน ทาใหสามารถแยกวงจรเปนสวงจรยอยซงสามารถทาการวเคราะห

( )sv t

350

ไดโดยอาศยเฟสเซอรทความถนน ดงแสดงในรปท 12.6 (ค) โดยอาศยหลกการซปเปอรโพสชน ผลตอบสนองสทธจะไดจากการรวมผลตอบสนองจากวงจรยอยทงส

0 1 3 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )o o o o ov t v t v t v t v t= + + +

(ค)

1( )sv t

R

C 1( )ov t+

-

5 ( )sv t

R

C 5 ( )ov t+

-

(ง)

R

+

-0

15j Cω

1SV

5SV 5OV

R

+

-0SV 0OV0 ( )sv t

R

C 0 ( )ov t+

-

R

0

1j Cω

+

-1OV

R

0

13j Cω

+

-3SV 3OV

3 ( )sv t

R

C 3 ( )ov t+

-

รปท 12.6 (ค) ใชหลกการซปเปอรโพสชนพจารณาแตละแหลงจายแยกกน

(ง) ใชเฟสเซอรในการหาผลตอบสนองของแตละแหลงจาย

ในรปท 12.6 (ง) จะเปนวงจรยอยทงสในโดเมนเวลา โดยทคาอมพแดนซของตวเกบประจคอ

0

1C jn Cω=Z สาหรบ n 0,1, 3, 5,= …

แตละวงจรยอยจะตรงกบคา แตละคา สงเกตวาเมอ nn 0= จะได C = ∞Z ตวเกบประจจะถกแทนดวยเปดวงจร คาเฟสเซอรของแรงดนออกไดจากการแบงแรงดน

351

0

0

1

1on snjn C

Rjn C

ω

ω

=+

V V สาหรบ n 0,1, 3, 5,= …

เมอ คอเฟสเซอรของ v และ onV ( )on t snV คอเฟสเซอรของ v ( )sn t

01

snon jn CRω=

+VV สาหรบ 0,1, 3, 5,n = …

แทนคา 0 4CRω = จะได

1 4

snon j n=

+VV สาหรบ 0,1, 3, 5,n = …

เขยนผลตอบสนองในโดเมนเวลาไดดงน

0

102

( ) cos(

cos( tan 4 )1 16

on on on

snsn

v t n t

n t nn

ω

ω −

= +∠

= +∠ −+

V V

VV

ในตวอยางน

012

2 1, 3, 5

0 0,1, 3, 5

s

sn

sn

nn

nπ

=

= =

∠ = =

V

V

V

ดงนน

0

1

2

1( )2

2( ) cos( 2 tan 4 ) 1,3,51 16

o

on

v t

v t n t n nn nπ

−

=

= −+

=

แทนคา จะได n

1

3

5

( ) 0.154cos(2 76 )( ) 0.018cos(6 85 )( ) 0.006cos(10 87 )

o

o

o

v t tv t tv t t

= − °= −= −

°°

และสดทายจะไดผลตอบสนองของวงจรเรมตนในรปท 12.6 (ก) จากการรวมผลตอบสนองของ วงจรยอยสวงจร

1( ) 0.154cos(2 76 ) 0.018cos(6 85 ) 0.006cos(10 87 )2ov t t t t= + − ° + − ° + − °

352

ควรสงเกตวาเรารวมผลตอบสนองในโดเมนเวลา เนองจากจะไมมความหมายทจะทาการรวมผลเฟสเซอรทมความถตางกน

12.7 แบบฝกหดทายบท

1. จงหาอนกรมฟเรยรในรปตรโกณของฟงกชน ( ) sinf t A tω= 2. จงหาอนกรมฟเรยรในรปตรโกณของฟงกชน ( )f t ดงแสดงในรป P12.2

( )f t

t

π

π−

-2π π π 2π

รปท P12.2

3. จงหาอนกรมฟเรยรในรปเอกโปเนนเทยลของฟงกชน ( )f t ดงแสดงในรป P12.3

( )f t

1

-1

t1 2 3 4 5-1-2-3 (s)

รปท P12.3

4. จงหาอนกรมฟเรยรในรปตรโกณของฟงกชน ( )f t ดงแสดงในรป P12.4 แลวเขยนฟเรยรสเปคตรม

ทงขนาดละเฟสของสพจนแรก

353

( )f t

t0

2T

−

2A

2T

-2A

รปท P12.4

5. เมอปอนแหลงจายแรงดนรปคลนสเหลยมดงแสดงในรป P12.5 (ก) ใหกบวงจร RL ในรป P12.5 (ข) จงใชการแทนฟงกชนดวยอนกรมฟเรยรในการหาคากระแส i t ( )

10

2π π t

( )sv t

32π

2π

−

(ก)

4 Ωsv0t =

i

(ข)

2 H

(s)

รปท P12.5