บทท 3

การสนสะเทอนแบบอสระ

1. บทนา

การสนสะเทอนแบบอสระ (Free vibration) หมายถงการสนสะเทอนทเกดขนเนองจากมแรง หรอ

แรงบดมารบกวนสภาวะสมดลในตอนแรกทาใหเรมสนสะเทอน แตขณะทส นสะเทอนเปนการสนอยางอสระ

ไมมแรงหรอแรงบดภายนอกใดมากระทาตอระบบเลย ตวอยางของการสนสะเทอนแบบอสระ ไดแก การสน

ของลกตมนาฬกา การแกวงของชงชา เปนตน (ในตวอยางเหลานจะพจารณาใหแรงตานทานอากาศ ซง

กระทาตลอดเวลาทวตถสนสะเทอนมคานอย และละไวจากการวเคราะห) สาหรบในบทนจะกลาวถงการ

สนสะเทอนแบบอสระของระบบทมองศาความเปนอสระเทากบหนงเทานน สาหรบปญหาการสนสะเทอนทม

องศาความเปนอสระมากกวาหนงนนจะกลาวถงในบทตอๆ ไป โดยจะเรมจากสมการการเคลอนทของการ

สนสะเทอนแบบอสระ รปแบบผลเฉลยของสมการอนพนธทเกยวของ และจะไดกลาวถงลกษณะการ

สนสะเทอนแบบอสระของระบบทมตวหนวงการสนสะเทอน และไมมการสนสะเทอนตอไป

2. สมการการเคลอนทของการสนแบบอสระ

จากทกลาวมาในบทท 2 (หวขอท 4 และตวอยางท 2-3) จะไดวาสมการการเคลอนทของระบบการ

สนสะเทอนใดๆ สามารถเขยนใหอยในรปอยางงายไดดงสมการ

)()()()( tFtkxtxctxm =++ (3-1)

โดยทางดานซายมอของสมการจะเปนสวนทแสดงถงลกษณะของระบบ ซงประกอบดวยขอมลของ

มวล ตวหนวงการสนสะเทอน และคาคงทของสปรง สวนทางดานขวามอจะแสดงถงแรง (หรอแรงบด)

ภายนอกทกระทากบระบบ สาหรบการสนอยางอสระ เนองจากไมมแรงภายนอกกระทาตอระบบขณะสน

ทางดานขวามอจงมคาเปนศนย ดงนนสมการ (3-1) จะกลายเปน

0)()()( =++ tkxtxctxm (3-2)

ลกษณะการสนสะเทอนของระบบจะสามารถทราบไดโดยการแกสมการอนพนธ (3-2) ในหวขอ

ตอไปจะทบทวนถงผลเฉลยของสมการอนพนธทมรปแบบเชนเดยวกบสมการท (3-2)

ทบทวนการแกสมการอนพนธอนดบสอง

พจารณาสมการอนพนธอนดบสองทมรปแบบเชนเดยวกบสมการ (3-2) ดงแสดงในสมการ

0322

2

1 =++ yadxdya

dxyda (3-3)

การแกสมการ (3-3) ในขนแรกจะตองหาผลเฉลยของสมการชวย (Auxiliary equation) เสยกอน โดยสมการ

ชวยจะเปนสมการพหนามทมสมประสทธเหมอนสมการท (3-3) และแทนอนพนธอนดบสอง (2

2

dxyd ) ดวยตว

แปรกาลงสอง ( 2r ) แทนอนพนธอนดบหนง (dxdy ) ดวยตวแปรกาลงหนง ( r ) และแทนตวแปร y ในสมการ

ท (3-3) ดวยหนง ดงแสดงในสมการ

0322

1 =++ arara (3-4)

ให r1 และ r2 เปนคาตอบของสมการชวย (3-4) คาของ r1 และ r2 มโอกาสเปนไปได 3 กรณคอ 1) r1 และ

r2 เปนจานวนจรงทมคาไมเทากน 2) r1 และ r2 เปนจานวนจรงทมคาเทากน และ 3) r1 และ r2 เปนจานวน

เชงซอน สาหรบคาตอบของสมการอนพนธ (3-3) กจะมรปแบบแตกตางกน 3 รปแบบ ตามรปแบบคาตอบ

r1 และ r2 ของสมการชวยดงน

กรณท 1: r1 และ r2 เปนจานวนจรงทมคาไมเทากน ( 21 rr ≠ )

ในกรณนจะไดคาตอบของสมการอนพนธ (3-3) เปน xrxr eCeCy 21

21 += (3-5)

โดย C1 และ C2 เปนคาคงท

กรณท 2: r1 และ r2 เปนจานวนจรงทมคาเทากน ( 21 rr = )

ในกรณนจะไดคาตอบของสมการอนพนธ (3-3) เปน xrexCCy 1)( 21 += (3-6)

โดย C1 และ C2 เปนคาคงท

กรณท 3: r1 และ r2 เปนจานวนเชงซอน

ให biar +=1 เนองจากคาตอบเปนจานวนเชงซอน จะไดวาจะไดวาคอนจเกตของ 1r จะเปนคาตอบดวย

ดงนน biar −=2 ในกรณนจะไดคาตอบของสมการอนพนธ (3-3) เปน xbiaxbia eCeCy )(

2)(

1−+ += (3-7)

โดย C1 และ C2 เปนคาคงท

จากสมการเอกลกษณของออยเลอร θ+θ=θ sincos iei

แทนในสมการ (3-7) และจดรปจะได

))sin()cos(( 21 bxAbxAey ax += (3-8)

หรอ )sin( φ+= bxAey ax (3-9)

โดย A1, A2 หรอ A, φ เปนคาคงท

รปแบบของสมการผลลพธตางๆ ขางตน จะแสดงรปแบบตางๆ ของการเคลอนทของระบบการ

สนสะเทอน ดงจะกลาวถงการสนสะเทอนแบบตางๆ ในหวขอตอๆ ไป

3. การสนแบบอสระของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน

จากรปแบบสมการของการสนอยางอสระในสมการท (3-2) หากไมมตวหนวงการสนสะเทอน จะ

เขยนไดเปน

0)()( =+ tkxtxm (3-10)

ลกษณะการสนสะเทอนในกรณนหาไดจากการแกสมการอนพนธ (3-10) ในกรณนสมการชวยคอ

02 =+ kmr (3-11)

ซงจะไดคาตอบของสมการชวยเปน ( )mki±

เนองจากคาความแขงสปรง k และมวล m เปนจานวนบวกเสมอ ดงนนคาตอบของสมการ (3-11) จงเปน

จานวนจนตภาพเสมอ จากสมการท (3-8) และ (3-9) จะไดวาคาตอบของสมการอนพนธ (3-10) ซงแสดง

ถงการเคลอนทของระบบการสนทไมมตวหนวงการสนสะเทอน แสดงไดดงสมการ

)sin()cos( 21 tmkAt

mkAx += (3-12)

หรอ )sin( φ+= tmkAx (3-13)

โดย A1, A2 หรอ A, φ เปนคาคงทซงไดจากเงอนไขคาเรมตน (initial condition) ของการสนสะเทอน เชน

ตอนเรมสน ตาแหนงของมวล x อยทใด หรอมวลเคลอนทดวยความเรวเทาใด การหาคาคงทเหลานจะ

กลาวถงในหวขอตอๆ ไป สาหรบในสมการท (3-13) ตวแปร A แสดงถงขนาดของการสนสะเทอน สวน φ

แสดงถงเฟสของการสนสะเทอน

รปท 3-1 แสดงกราฟการสนสะเทอนของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน ซงเขยนตามรปแบบ

สมการท (3-13) เนองจากรปแบบของสมการเปนฟงกชนไซน ดงนนการสนสะเทอนจะเกดขนตลอด โดย

ขนาดการสนสะเทอนจะมคาเทากบ A และจะไมลดลง ในทางกายภาพอาจอธบายไดวา การไมมตวหนวง

การสนสะเทอนทาใหไมมการสญเสยพลงงานออกจากระบบ พลงงานการสนสะเทอนในระบบจงคงท ขนาด

การสนจงไมลดลง สวนตาแหนงบนกราฟไซนทแสดงจดเรมตนของการสนสะเทอนสมพนธกบตวแปร φ

นอกจากนยงจะเหนวาคาบการสนสะเทอน τ จะมความสมพนธกบคาความแขงสปรงและมวลดงสมการ

รปท 3-1 กราฟการสนสะเทอนแบบอสระของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน

mkπτ 2

=

mkφ

mkπ

=τ2

(3-14)

แตจากทคาบการสนสะเทอน τ มความสมพนธกบความถการสนสะเทอน f (frequency) และ

ความเรวเชงมมของการสน ω (angular velocity of the cyclic motion หรอ circular frequency) ดงสมการ

ωπ

==τ21

f

ดงนนจะไดวา mk=ω (3-15)

จะเหนวาความเรวเชงมมการสน ความถการสน หรอคาบการสนสะเทอนในกรณการสนอยางอสระ

นนจะขนอยกบคาความแขงของสปรง k และมวล m ของระบบเทานน ไมขนกบสภาวะเรมตนของการ

สนสะเทอนเลย พจารณาตวอยางระบบทมมวลและสปรงเพยงสองสวนประกอบเทานน ระบบนกจะม

ความถการสนสะเทอนอยคาหนงซงสมพนธกบคาความแขงสปรงและมวล ถงแมวาจะยดสปรงหรอกดสปรง

ในตอนเรมตนเพอปลอยใหสปรงสนแตกตางกนอยางไร ระบบนกยงสนทความถเทาเดมซงคานวณไดตาม

สมการท (3-15) เสมอไมสามารถเปลยนแปลงได เนองจากคาความถนเปนสมบตของระบบการสนสะเทอน

จงเรยกความถนวา ความถธรรมชาต (natural frequency) และเขยนโดยใชตวอกษร n หอยทายตวแปรไว

ดงนนสมการท (3-15) จงอาจเขยนไดวา

mkn =ω (3-16)

และ mkfn π=

21

(3-17)

จากทกลาวมาขางตน อาจสรปการอธบายความหมายของความถธรรมชาตไดวา ความถธรรมชาต

เปนความถการสนของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน ทปลอยใหเกดการสนอยางอสระ หรออาจกลาว

อกอยางวา ถาใหระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอนสนอยางอสระแลว ระบบนนจะสนดวยความถเทากบ

ความถธรรมชาต

Note

ในวชาการสนสะเทอนนน คาวาความถการสนสะเทอนอาจหมายถง ความเรวเชงมมของการสน ω

ซงมหนวยเปน rad/s หรออาจหมายถงความถการสนสะเทอน f ซงมหนวยเปน Hz กได บอยครงทเรยก

คา mkn =ω วาเปนความถธรรมชาต ทงทปรมาณจรงเปนความเรวเชงมมของการสน ดงนนในการ

กลาวถงคาของความถธรรมชาต จาเปนทจะตองพจารณาหนวยของความถธรรมชาตดวย

สภาวะเรมตนสนสะเทอนและลกษณะการสนสะเทอน

สภาวะเรมตนสนสะเทอน (Initial condition) หมายถงสภาวะของระบบตอนทเรมพจารณาการ

สนสะเทอน (ทเวลา t = 0) ซงไดแก ตาแหนงของมวล และความเรวของมวลในขณะนน เพอใหเขาใจถง

ความสมพนธของสภาวะเรมตนสนสะเทอนตอลกษณะการสนสะเทอน พจารณาตวอยางตอไปน

ตวอยางท 3-1

กาหนดสมการการเคลอนท 0)()( =+ tkxtxm

และกาหนดสภาวะเรมตนสนสะเทอนเปน

1. ทเวลา t = 0 ใหมวลของระบบอยทตาแหนง 0x หรอ 0)0( xx =

2. ทเวลา t = 0 ใหมวลของระบบมความเรว 0v หรอ 0)0( vx =

จากสมการการเคลอนทจะได 0)()( =+ txmktx

หรอเขยนไดในรป 0)()( 2 =ω+ txtx n

สมการการเคลอนนมคาตอบของสมการเปน )sin()( φ+ω= tAtx n (1)

หาอนพนธสมการ (1) เทยบเวลาจะไดความเรว )cos()( φ+ωω= tAtx nn (2)

แทนเงอนไขคาเรมตนท t = 0 ลงในสมการท (1) และ (2) จะได

เงอนไข 0)0( xx = จะได )sin(0 φ= Ax (3)

และ เงอนไข 0)0( vx = จะได )cos(0 φω= nAv (4)

สมการท (3) และ (4) มตวแปรทไมทราบคา 2 ตวคอ A และ φ เมอแกระบบสมการ (3) และ (4) จะได

n

n vxA

ω+ω

=20

20

2

และ 0

01tanv

xnω=φ −

เมอแทนคา A และ φ ลงในสมการแสดงลกษณะการสนสะเทอน สมการ (1) จะได

)tansin()(0

0120

20

2

vxt

vxtx n

nn

n ω+ω

ω+ω

= − ANS

Note

จะเหนวาสภาวะเรมตนสนสะเทอนจะสงผลตอขนาดของการสนสะเทอน และเฟสของการสนสะเทอน ใน

กรณของระบบทประกอบดวยมวลและสปรง อาจยกตวอยางสภาวะเรมตนใหเหนภาพชดเจนขนไดดงน

1. หากดงมวลหรอกดมวลใหสปรงยดหรอหดมาก ( 0x มาก) ขนาดการสนสะเทอน A จะมาก หากดงนอย

( 0x นอย) ขนาดการสนสะเทอน A จะนอย

2. คา 0x อาจจะมคาเทากบศนยได แตในขณะนน 0v ตองไมเทากบศนย

3. ถาทง 0x และ 0v มคาเปนศนยทงค จะไมเกดการสนสะเทอน นนคอระบบมวลและสปรงทสมดลอย

เมอไมทาใหตาแหนงของมวลออกจากสมดล และไมทาใหเกดการเคลอนท ระบบกยงสมดลอยเชนเดม

จงไมเกดการสนสะเทอน

ตวอยางท 3-2

A vehicle wheel, tire, and suspension assembly can be modeled crudely as a single-degree-of-

freedom spring-mass system. The mass of the assembly is measured to be about 300 kilograms

(kg). Its frequency of oscillation is observed to be 10 rad/s. What is the approximate stiffness of the

tire, wheel, and suspension assembly? [Inman ex1.1.2]

ระบบของรถ ลอ ยาง และระบบรองรบของรถยนต สามารถจาลองอยางงายใหเปนระบบ 1-dof ท

ประกอบดวยมวลและสปรง ดงนนเมอสนสะเทอนระบบจะสนสะเทอนทความถเทากบความถธรรมชาตของ

ระบบ ตามทโจทยกาหนดจะได

rad/s 10==mk

nω

ดงนน N/m 000,3010300 22 =×== nmk ω ANS

ความสมพนธระหวางการขจด ความเรว และความเรง ระหวางการสนสะเทอน

การขจดของการสนสะเทอนในระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอนสามารถอธบายไดดวยสมการ

)sin()( φ+ω= tAtx n (3-18)

ความเรวสามารถหาไดโดยหาอนพนธของการขจดเทยบกบเวลา ดงแสดงในสมการ

)cos()( φ+ωω= tAtx nn (3-19)

ทานองเดยวกน ความเรงกสามารถหาไดโดยหาอนพนธของความเรวเทยบกบเวลา ดงแสดงในสมการ

)sin()( 2 φ+ωω−= tAtx nn (3-20)

รปท 3-2 แสดงกราฟเปรยบเทยบการขจด ความเรว และความเรงของการสนสะเทอน ตามสมการท

(3-18) ถง (3-20) จากกราฟจะเหนวาขนาดของการสนสะเทอนจะแตกตางกน โดยมคาเทากบ A , Anω

และ An2ω สาหรบ การขจด ความเรว และความเรงตามลาดบ สาหรบเฟสของการสนสะเทอนนน เฟสของ

การขจด ความเรว และความเรง จะตางกนอยอยางละ 90° และการขจดจะมเฟสตรงขามกบความเรง

รปท 3-2 การเปรยบเทยบการขจด กบความเรว และความเรง ของการสนสะเทอน

4. การสนแบบอสระของระบบทมตวหนวงการสนสะเทอน

ในหวขอท 3 ไดกลาวถงการสนแบบอสระของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน ซงจะพบวาใน

ระบบเหลานนขนาดของการสนสะเทอนจะมขนาดคงทไมลดลง เนองจากไมมการสญเสยพลงงานในระบบ

เลย อยางไรกตามในระบบจรงแลว จะมการสญเสยพลงงานเนองจากสาเหตตางๆ เชน จากแรงเสยดทาน

แรงตานทานการเคลอนทของของไหล การสญเสยพลงงานในการเสยรปของวสด เปนตน ดงนนการจาลอง

ระบบการสนสะเทอนจงมกจะตองรวมตวหนวงการสนสะเทอนเขาไปดวย รปท 3-3 แสดงระบบการ

สนสะเทอนอยางงาย ซงประกอบดวยมวล สปรง และตวหนวงการสนสะเทอน สมการการเคลอนทของระบบ

การสนสะเทอนนคอ

0)()()( =++ tkxtxctxm (3-21)

ในการแกสมการอนพนธท (3-21) เพอหาสมการแสดงการสนสะเทอนนน สามารถเขยนสมการชวยไดเปน

02 =++ kcrmr

คาตอบของสมการชวย (3-21) คอ m

mkccr2

42

2,1−±−

= (3-22)

คาตอบของสมการนเปนไปไดสามกรณคอ

รปท 3-3 ระบบอยางงายทประกอบดวยมวล สปรง และตวหนวงการสนสะเทอน

1. กรณ 042 <− mkc : กรณนคาตอบจะเปนจานวนเชงซอน ซงมสวนจรงเปนจานวนจรงลบ

ในกรณนคาตอบของสมการอนพนธจะอยในรปแบบเดยวกบสมการ (3-9) คอ

)sin( φ+= bxAey ax (3-9)

2. กรณ 042 =− mkc : กรณนคาตอบของสมการชวย 1r และ 2r จะเปนจานวนจรงลบทมคาเทากน

โดย mcrrr

221 −===

ดงนนคาตอบของสมการอนพนธในกรณนจงอยในรปแบบเดยวกบสมการ (3-6) คอ xrexCCy 1)( 21 += (3-6)

3. กรณ 042 >− mkc : กรณนคาตอบของสมการชวย 1r และ 2r จะเปนจานวนจรงลบ 2 จานวนท

แตกตางกน ทงนเนองจากคา m, c และ k มคาเปนบวกเสมอ จงทาให mkcc 42 −> เสมอ

ดงนนคาตอบของสมการอนพนธในกรณนจงอยในรปแบบเดยวกบสมการ (3-5) คอ xrxr eCeCy 21

21 += (3-5)

เมอพจารณารปแบบสมการ (3-5), (3-6) และ (3-9) ซงแสดงถงลกษณะการเคลอนท y ของมวล m

จะพบวา สมการท (3-9) มวลจะมการสนสะเทอน (มการเคลอนทกลบไปกลบมา) เนองจากในสมการมเทอม

ของฟงกชนไซนประกอบอย สวนสมการท (3-5) และ (3-6) จะไมมการสนสะเทอนเนองจากในสมการมแต

เทอมของฟงกชน exponential เทานน จะเหนวากรณท 2 จะเปนกรณทเปลยนผานจากระบบทมการสนไป

เปนไมมการสน พจารณาสมการ 042 =− mkc ซงเปนเงอนไขของกรณทสอง หรออาจเขยนไดวา

ncr mmkcc ω22 === (3-23)

คาสมประสทธตวหนวงการสนสะเทอน c ในสมการ (3-23) นเรยกวาเปนคาสมประสทธตวหนวง

การสนสะเทอนวกฤต (Critical damping coefficient, crc ) ซงเปนคาตวหนวงททาใหระบบเปลยนจากระบบ

ทมการสนไปเปนระบบทไมมการสน หากสมประสทธตวหนวงการสนสะเทอนมคานอยกวาคาในสมการท

(3-23) แลวจะพบวาระบบจะมการสนสะเทอน แตถาสมประสทธตวหนวงการสนสะเทอนมคามากกวาคาใน

สมการท (3-23) แลว ระบบจะไมมการสนสะเทอน

อตราสวนระหวางสมประสทธตวหนวงการสนสะเทอนกบคาตวหนวงวกฤต จะถกเรยกวาอตราสวน

การหนวง (Damping ratio, ζ ) ดงแสดงในสมการ

m

k

c

kmc

mc

cc

ncr 22===

ωζ (3-24)

อตราสวนการหนวงนจะบอกใหทราบวาระบบทพจารณาจะมการสนสะเทอนหรอไม ดงจะอธบายตอไป

พจารณาสมการการเคลอนท (3-1) เมอแทนคา c ตามสมการท (3-24) และคาความสมพนธระหวาง

ความถธรรมชาตกบมวล และคาคงทสปรง ในสมการท (3-16) ลงไปจะไดสมการการเคลอนทในอกรปแบบ

หนงดงสมการ

02 2 =++ xxx nn ωζω (3-25)

ทานองเดยวกนคาตอบของสมการชวย (3-22) กสามารถเขยนไดเปน

122,1 −±−= ζωζω nnr (3-26)

และคาตอบทเปนไปไดสามกรณทกลาวขางตนอาจเขยนไดดงน

1. กรณ 042 <− mkc หรออาจเขยนไดเปน 012 <−ζ หรอ 10 << ζ

กรณนคาตวหนวงมคานอยจงเกดการสนสะเทอน เรยกกรณนวา Under damped motion

2. กรณ 042 =− mkc หรออาจเขยนไดเปน 012 =−ζ หรอ 1=ζ

กรณนคาตวหนวงมคาเทากบคาตวหนวงวกฤต ซงเปลยนจากระบบทส นเปนระบบทไมส น เรยกกรณ

นวา Critically damped motion

3. กรณ 042 >− mkc หรออาจเขยนไดเปน 012 >−ζ หรอ ζ<1

กรณนคาตวหนวงมคามากกวาคาวกฤตจงไมเกดการสนสะเทอน เรยกกรณนวา Over damped

motion

4.1 Under damped motion

กรณนเกดเมอคาอตราสวนการหนวง ζ มคาระหวางศนยถงหนง ( 10 << ζ ) คาตอบของสมการ

ชวย (3-26) สามารถเขยนไดเปน

jr nn2

2,1 1 ζωζω −±−=

และคาตอบของสมการอนพนธ ซงแสดงการเคลอนทตามรปแบบสมการ (3-9) สามารถเขยนไดเปน

)sin()( φωζω += − tAetx dtn (3-27)

เมอ 21 ζωω −= nd (3-28)

และ A และ φ เปนคาคงททข นอยกบเงอนไขเรมตนการสน

สมการท (3-27) ประกอบจากผลคณของเทอมฟงกชน exponential ทยกกาลงตดลบ ซงทาใหคา

ของฟงกชนมคาลดลงเมอเวลา t เพมมากขน กบเทอมฟงกชนไซน ซงแสดงใหเหนถงการสนกลบไปกลบมา

ดงนนลกษณะการสนสะเทอนในกรณน จะเปนการสนกลบไปกลบมา และขนาดการสนมคาลดลงเมอเวลา t

เพมมากขนเนองจากการสญเสยพลงงานไปกบตวหนวงการสนสะเทอน สมการ (3-27) สามารถนามา

เขยนเปนกราฟแสดงการเคลอนทไดดงแสดงในรปท 3-4

เมอพจารณาถงความถการสนสะเทอน ซงดไดจากความถของฟงกชนไซนในสมการ (3-27) จะ

พบวาความถการสนสะเทอนจะมคาเทากบ dω ซงแตกตางจากความถธรรมชาตกรณการสนทไมมตวหนวง

การสนสะเทอนเลกนอย อยางไรกตามคา dω จะขนอยกบลกษณะของระบบ ไดแกคามวล ความแขงสปรง

และ คาความหนวงการสนสะเทอน เทานน ดงนนหากมระบบหนงซงมคาเหลานคงท ระบบนกจะสนอยาง

อสระดวยความถ dω เทานน ดวยเหตนจงเรยกคา dω วาความถธรรมชาตของระบบทมตวหนวง

(Damped natural frequency) และหากระบบไมมตวหนวงการสนสะเทอน หรอ ζ มคาเทากบ 0 สมการ

ท (3-27) และ (3-28) กจะลดรปไดเปนสมการ (3-13) ซงแสดงลกษณะการสนสะเทอนในกรณทไมมตว

หนวงการสนสะเทอน เชนเดยวกบทกลาวมาแลวในหวขอท 3

รปท 3-4 การสนสะเทอนแบบ Under damped motion

4.2 Critically damped motion

กรณนเกดเมอคาอตราสวนการหนวง ζ มคาเทากบหนง ( 1=ζ ) คาตอบของสมการชวย (3-26)

สามารถเขยนไดเปน

nnr ωζω −=−=2,1

คาตอบของสมการอนพนธ ซงแสดงการเคลอนทตามรปแบบสมการ (3-6) สามารถเขยนไดเปน

tnetaatx ω−+= )()( 21 (3-29)

โดย 1a และ 2a เปนคาคงททข นอยกบเงอนไขเรมตนการสน

เนองจากไมมเทอมฟงกชนไซนในสมการ (3-29) ดงนนจงไมเกดการสนขน มวล m ทถกกระทาโดย

เงอนไขเรมตนใหออกจากสภาวะสมดล จะคอยๆ เคลอนทกลบสสภาวะสมดลโดยไมสน รปท 3-5 แสดงถง

การเคลอนทของมวลตามสมการท (3-29) กราฟเสนตางๆ แสดงถงลกษณะการเคลอนทเมอมเงอนไขเรมตน

แตกตางกน ตวหนวงการสนสะเทอนในกรณนเปนตวหนวงการสนสะเทอนทนอยทสดทจะไมทาใหเกดการ

สนสะเทอนขน

รปท 3-5 การเคลอนทแบบ Critically damped motion

4.3 Over damped motion

กรณนเกดเมอคาอตราสวนการหนวง ζ มคามากกวาหนง ( 1>ζ ) คาตอบของสมการชวยในกรณ

นจะเปนเชนเดยวกบสมการท (3-26) คอ

122,1 −±−= ζωζω nnr

คาตอบของสมการอนพนธ ซงแสดงการเคลอนทตามรปแบบสมการ (3-5) สามารถเขยนไดเปน

)()( )1(2

)1(1

22 ttt nnn eaeaetx −+−−− += ζωζωζω (3-30)

โดย 1a และ 2a เปนคาคงททข นอยกบเงอนไขเรมตนการสน

เนองจากไมมเทอมฟงกชนไซนในสมการ (3-30) กรณกไมมการสนสะเทอนเกดขน เชนเดยวกบ

กรณ Critically damped motion เนองจากมสมประสทธการหนวงมากเกนไป ลกษณะกราฟของกรณน

ตามสมการท (3-30) แสดงในรปท 3-6 เสนกราฟเสนตางๆ แสดงการเคลอนทเมอมเงอนไขเรมตนท

แตกตางกน

รปท 3-6 การเคลอนทแบบ Over damped motion

ถงแมวาลกษณะกราฟของกรณ Over damped motion และ Critically damped motion จะมรปราง

คลายคลงกน แตทงสองกรณกเขยนมาจากสมการทแตกตางกน และเมอเปรยบเทยบถงเวลาทมวลใชเพอ

กลบคนสสภาวะสมดลแลว จะพบวากรณ Critically damped motion มวลจะกลบเขาสตาแหนงสมดลไดเรว

กวากรณ Over damped motion

ตวอยางท 3-3 A Spring-mass-damper system has mass of 100 kg, stiffness of 3000 N/m and

damping coefficient of 300 kg/s. Calculate the undamped natural frequency, the damping ratio

and the damped natural frequency. Does the solution oscillate? This system is given a zero

initial velocity and an initial displacement of 0.1 m. Calculate the vibration response. [inman

1.40, 1.42]

รปทางดานซายมอแสดงระบบ มวล-สปรง-และตว

หนวงการสนสะเทอนตามรปโจทย การเคลอนท

ของระบบนสามารถอธบายไดดวยสมการm

k

c 0=++ kxxcxm

Undamped natural frequency หาไดจาก rad/s 477.51003000

===mk

nω ANS

Damping ratio หาไดจาก 274.0)100)(3000(2

3002

===kmcζ ANS

เนองจากอตราสวนการหนวงมคานอยกวา 1 ดงนนระบบจงเปนแบบ Under-damped motion และ

มการสนสะเทอน โดยความถการสนสะเทอนเทากบ Damped natural frequency ซงหาไดจาก

Damped natural frequency rad/s 27.5274.01477.51 22 =−=−= ζωω nd ANS

การสนสะเทอนเปนแบบ Under-damped motion ดงนนลกษณะการสนสะเทอนจงสามารถอธบาย

ไดดวยสมการ)sin()( φωζω += − tAetx d

tn

แทนคา ζ, ωn และ ωd ลงในสมการจะได

)27.5sin()( )477.5)(274.0( φ+= − tAetx t

)27.5sin()( 5.1 φ+= − tAetx t

คาคงท A และมมเฟส φ สามารถหาไดจากเง อนไขคาเร มต นดงน

หาอนพนธของสมการท (2) เทยบกบเวลา จะไดสมการแสดงความเรวการเคลอนท ดงน

(1)

(2)

)27.5cos()27.5()27.5sin()5.1()( 15.5.1 φφ +++−== −− tAeteAtxv tt

[ ])27.5cos(27.5)27.5sin()5.1()( 5.1 φφ +++−== − ttAetxv t (3)

แทนเง อนไขคาเร มตนลงในสมการแสดงการเคลอนท สมการท(2) และสมการแสดงความเรวการ

เคลอนท สมการท (3)

ANS

ทเวลา t = 0, x = 0.1 m

(4)φφ sin)0sin(1.0 0 AAe =+=

ทเวลา t = 0, v = 0 m/s

[ ])0cos(27.5)0sin(5.10 0 φφ +++−= Ae

[ ]φφ cos27.5sin5.10 +−= A

เนองจากขนาดการสนสะเทอน A ไมเปน 0 ตลอดเวลา ดงนน

φφ cos27.5sin5.10 +−= (5)

แกสมการท (4) และ (5) จะได

rad 293.1 ,104.0 == φA

แทนในสมการการเคลอนท สมการท (2) จะไดสมการทอธบายการเคลอนทของระบบการ

สนสะเทอน ดงน

)293.127.5sin(104.0)( 5.1 += − tetx t

Note มมทใชในสมการการเคลอนท ตองเปนหนวยเรเดยนเสมอ

5. Logarithmic decrement

ในระบบการสนสะเทอนทประกอบดวยมวล m คาความแขงสปรง k และคาสมประสทธความหนวง

c นน คา m และ k ทจะนามาใชในแบบจาลองการสนสะเทอนนนมกจะหาไดงาย สาหรบมวล m อาจใชการ

ชงดวยตาชง หรออาจใชการทดสอบหาความสมพนธระหวางแรงกระทากบระยะทเสยรปไปในกรณของคา k

อยางไรกตามคาสมประสทธความหนวงมกจะหาคาไดยาก โดยทวไปมกจะประมาณจากลกษณะการ

สนสะเทอนของระบบ ในหวนจะกลาวถงวธการหนงทใชประมาณคา c ของระบบทมความสมประสทธ

ความหนวงนอย และเปน under damped motion ซงเปนระบบทพบไดมากในโครงสรางทางวศวกรรม

ทวไป หลกการทใชเปนการพจารณาการลดลงของขนาดการสนสะเทอนของระบบ หรอทเรยกกนวา

Logarithmic decrement

รปท 3-7 Logarithmic decrement

พจารณากราฟแสดงการสนสะเทอนของระบบแสดงในรปท 3-7 จากรปจะนยาม Logarithmic

decrement δ ดงน

)()(lnTtx

tx+

=δ (3-31)

โดย )(tx คอขนาดการสนสะเทอนทตาแหนง t ใดๆ

T คอคาบการสนสะเทอน

)( Ttx + คอขนาดการสนสะเทอนทเวลาผานไป 1 คาบนบจากเวลา t

ตามนยามจะใชขนาดการสนสะเทอนทเวลา t ใดๆ กได แตเพอความสะดวกในการกาหนดจด จง

มกจะเลอกจดยอดเปนตาแหนง t เชน ในรปท 3-7 หากใหตาแหนง t1 เปนตาแหนง t แลว ตาแหนง t2 กจะ

เปนตาแหนง t + T

แทนคา )(tx และ )( Ttx + ตามความสมพนธในสมการ (3-27) ลงในสมการ (3-31) จะได

))(sin(

)sin(ln )( φω

φωδ ζω

ζω

+++

= +−

−

TtAetAe

dTt

dt

n

n

(3-32)

เนองจากฟงกชนไซนทเวลา t ใดๆ จะมคาเทากบคาไซนเมอเวลาผานไป 1 คาบ ( Tt + ) ดงนน

สมการท (3-32) จะเขยนไดเปน

Te nTn ζωδ ζω == ln (3-33)

เนองจากคาบการสนสะเทอน d

Tω

π2= ดงนน

22 12

122

ζ

πζ

ζω

πζωω

πζωδ−

=−

⋅=⋅=n

nd

n (3-34)

จากสมการท (3-34) จะพบวาคา Logarithmic decrement, δ จะขนกบคา damping ratio, ζ เพยงอยาง

เดยว ดงนนจงอาจเขยนคา ζ ในรปฟงกชนของ δ ไดดงสมการ

224 δπ

δζ+

= (3-35)

ในการทดลองวดสญญาณการสนสะเทอนของระบบทส นสะเทอนอยางอสระ จะไดลกษณะสญญาณ

ดงกราฟในรปท 3-7 ดงนนจงทราบขนาดการสนสะเทอน )(tx และ )( Ttx + ทาใหสามารถคานวณคา

Logarithmic decrement, δ และหาคาอตราสวนความหนวง ζ ไดจากสมการท (3-35)

ในการหาคา Logarithmic decrement อาจใชจานวนคาบในการคานวณมากกวา 1 คาบกได หากใช

จานวนคาบทงหมด n คาบ จะสามารถหาคา δ ไดจากสมการ

)()(ln1nTtxtx

n +=δ (3-36)

ตวอยางท 3-4

ระบบการสนสะเทอนประกอบดวย มวล-สปรง-ตวหนวงการสนสะเทอน โดยมวลมขนาด 2 kg คาความแขง

สปรงเทากบ 1.5 kN/m จากการทดลองสงเกตลกษณะการสนสะเทอน พบวา จดทเกดการสนสะเทอนสง

ทสดครงแรก มขนาดการสนสะเทอน 9 มม. สวนจดทเกดการสนสะเทอนสงทสดครงตอมา มขนาดการ

สนสะเทอน 1 มม. จากขอมลขางตน จงคานวณหาขนาดสมประสทธความหนวงของระบบ

จากขอมลทกาหนด จะสามารถหาคา Logarithmic decrement ไดจาก

1972.219ln

)()(ln ==

+=

Ttxtxδ

เมอทราบคา Logarithmic decrement จะสามารถหาคาอตราสวนการหนวงไดจาก

33.01972.24

1972.24 2222

=+

=+

=πδπ

δζ

จากความสมพนธระหวางอตราสวนการหนวง กบคาความหนวง ความแขงสปรง และมวล จะสามารถ

คานวณหาคาสมประสทธความหนวงไดดงน

)2)(105.1(2233.0

3×====

ckmc

cc

cr

ζ

เพราะฉะนน 15.36=c kg/s ANS

6. สภาพสมดลและเสถยรภาพของระบบ

6.1 สภาพสมดล

สภาพสมดลหมายถงสภาวะทระบบทางกลอยในสภาพเดมไมเปลยนแปลง ซงจะเกดขนเมอไมมแรง

ลพธภายนอกมารบกวน เนองจากในสภาวะสมดล มวลไมมความเรง และความเรว ดงนนการหาสภาพ

สมดลจงทาไดโดยกาหนดให 0== xx หรอ 0== θθ ดงแสดงในตวอยางดานลาง

ตวอยางท 3-5

ระบบในรปสามารถเขยนสมการการเคลอนทไดดงน

)(sin2 tMmglml =+ θθ

ใหทสภาวะสมดล เกดท 0θθ =

และจะไดวาวตถไมมการเคลอนทเมออยในสภาวะสมดล ดงนน

0== θθ และถาหากสมมตใหไมมโมเมนตภายนอกมากระทา จะได

0sin 0 =θmgl

หรอไดวา 0sin 0 =θ

ดงนน πθ n±=0 เมอ n = 0, 1, 2, …

ซงหมายความวา สภาพสมดลของระบบทแสดงในรปเกดขนได 2

กรณ คอ สมดลในสภาวะ 0 องศา และ 180 องศา

m

lθg M(t)

6.2 เสถยรภาพของระบบ

ระบบทางกลทอยในสภาพสมดลจะถอวาเปนสภาพสมดลทมเสถยรภาพ เมอระบบนนสนดวยขนาด

การสนสะเทอนทคงทรอบตาแหนงสมดลเดม หรอสามารถกลบคนสสภาวะสมดลเดมได หากมแรงภายนอก

มากระทา รปท 3-8 แสดงตวอยางระบบทประกอบดวยลกตม เชนเดยวกบระบบในตวอยางท 3-x จากรป

จะเหนวาสมดลทเกดทมม 0 องศา เปนสภาพสมดลทมเสถยรภาพ เนองจากเมอมแรงภายนอกมากระทาให

ระบบมการเคลอนท ระบบจะสนรอบจดสมดลเดม (หากพจารณาวาไมมตวหนวงการสนสะเทอนในระบบ)

หรอสนรอบจดสมดลเดมดวยขนาดทนอยลงเรอยๆ จนหยดสนทจดสมดลเดม (หากพจารณาวามตวหนวง

การสนสะเทอน) เมอเปรยบเทยบกบทมม 180 องศา จะพบวาทมม 180 องศา เปนสภาพสมดลทไมม

เสถยรภาพ เนองจากเมอมแรงมากระทาแลว ระบบจะเกดการเคลอนทไปทตาแหนงอน และไมสามารถ

กลบคนสสภาพสมดลเดมไดอก

รปท 3-8 สภาพสมดลทมเสถยรภาพ และไมมเสถยรภาพ

เมอพจารณาสมการการเคลอนทของระบบการสนสะเทอนโดยทวไป ซงแสดงโดยสมการ (3-2) ดงน

0)()()( =++ tkxtxctxm (3-2)

เนองจากสมประสทธของเทอม )(tx , )(tx และ )(tx มคาเปนบวกทงหมด (คามวล m

สมประสทธการหนวง c และคาความแขงสปรง k มคาเปนบวกเสมอ) ดงนนคาตอบของสมการอนพนธ (3-

2) จะแสดงลกษณะการสนสะเทอน ซงอาจจะเปนแบบ Under damped motion, Critically damped motion

หรอ Over damped motion ดงทไดกลาวไวในหวขอท 4 จะพบวาไมวาจะเปนในกรณใดกตาม ระบบจะ

หยดสนทสมดลเดมท x = 0 เสมอ ดงนนระบบทแสดงขางตนจงเปนระบบทมเสถยรภาพ

อยางไรกตามหากสรางสมการการเคลอนทในรปแบบเชนเดยวกบสมการท (3-2) แลว แต

สมประสทธของเทอม )(tx , )(tx และ )(tx ในสมการไมเปนบวก (หรอลบ) ทงหมด เมอแกสมการดวย

วธการทแสดงในหวขอท 4 แลว จะพบวาสวนจรงของคาตอบของสมการชวย (3-22) จะมคาเปนบวก ซง

แสดงใหเหนวา เมอเวลา t เพมมากขน ขนาดการสนสะเทอนกจะเพมมากขน ดงแสดงตวอยางในรปท 3-9

Equi.

Equi.

Stable at θ = 0 Unstable at θ = π

ดงนนจงสรปไดวาระบบทมคาสมประสทธของเทอม )(tx , )(tx และ )(tx ในสมการไมเปนบวก (หรอลบ)

ทงหมด เปนระบบทไมมเสถยรภาพ

รปท 3-9 การเคลอนทของระบบทไมมเสถยรภาพ

ตวอยางท 3-6

พจารณาระบบในตวอยางท 3-x อกครง ระบบนมสมการการ

เคลอนทเมอไมมแรงภายนอกมากระทาดงน

0sin2 =+ θθ mglml

พจารณาสภาพสมดลทเกดท πθ =0

ทาการประมาณเทอม θsin แบบเชงเสนรอบจด πθ =0 จะได

000 cos)(sinsin θθθθθ −+≅

)()1)((0sin θππθθ −=−−+≅

แทนคา θsin ลงในสมการการเคลอนท จะได

0)(2 =−+ θπθ mglml

πθθ mglmglml −=−2

จะเหนวาสมประสทธของเทอม θ มคาเปนลบ และตางจาก

สมประสทธของเทอม θ ดงนนสภาพสมดลท πθ =0 จงไมม

เสถยรภาพ ดงแสดงในรปท 3-8 ดานขวามอ

Flutter instability

m

lθg M(t)

7. การออกแบบระบบการสนสะเทอน

การออกแบบระบบการสนสะเทอนทาไดโดยเลอกสวนประกอบของระบบการสนสะเทอน เชน มวล

ความแขงสปรง และคาความหนวง เพอใหเกดลกษณะการสนสะเทอนทตองการ เชน ตองการใหระบบสน

แบบ Under-damped motion, Over-damped motion หรอ Critically damped motion หรอจะเปนการ

ออกแบบเพอควบคมใหความถธรรมชาตอยในชวงทตองการ โดยการเลอกขนาดมวล หรอความแขงสปรง

เปนตน

ตวอยางท 3-7

ระบบรองรบของรถยนตขนาดเลกสามารถจาลองไดเปน ระบบการสนสะเทอน 1-dof ซงประกอบดวย มวล

สปรง และตวหนวงการสนสะเทอน และมสมการแสดงการสนสะเทอนเปน

0)()()( =++ tkxtxctxm

มวลของรถมคาเทากบ 1361 kg สวนคา Static deflection มคาเทากบ 0.05 ม. ใหคานวณคา c และ k

เพอทจะทาใหการสนสะเทอนของรถเปนแบบ Critically damped motion และถามมวลของผโดยสาร และ

สมภาระ m0 รวม 290 kg เพมเขาไปในรถ จะเกดผลกระทบตอการสนสะเทอนอยางไร

เนองการกาหนดระยะ Static deflection ของสปรงเทากบ 0.05 เมตร จาก ∆= kmg จะได

N/m 1067.205.0

81.91361 5×=×

=∆

=mgk ANS

เมอสนสะเทอนแบบ Critically damped motion คา ζ = 1 คา c จะหาไดจาก

kg/s 1081.3)1361)(1067.2(22 45 ×=×=== kmcc cr ANS

เมอมมวลของผโดยสารและสมภาระเพมเขาไป 290 kg มวลรวมของระบบการสนสะเทอนจะเพมเปน

kg 16512901361 =+

ในกรณน คาอตราสวนการหนวงจะเปลยนเปน

91.0)1651)(1067.2(2

1081.3mk2

c5

4

=×

×=

′=ζ

จะเหนวาในกรณนจะเกดการสนขน การเปลยนแปลงอนๆ ในระบบไดแก

Static deflection: m 06.01067.2

81.916515 =

××

==∆k

mg

ความถธรรมชาตของระบบ: rad/s 7.121651

1067.2 5

=×

=′

=mk

nω

ความถการสนสะเทอนของระบบ: rad/s 27.591.017.121 22 =−=−= ζωω nd ANS

Note ในขอนถงแมจะออกแบบใหระบบรองรบของรถมการเคลอนทแบบ Critically damped motion ซงไมม

การสนสะเทอนเกดขน เพอใหรถกลบเขาสสภาวะสมดลเดมไดเรวทสดเมอมแรงภายนอกมากระทา อยางไร

กตามหากนาหนกของรถเปลยนแปลงไปเนองจากนาหนกทเพมเขามาของผโดยสารหรอของสมภาระ การ

สนสะเทอนของระบบกจะเปลยนแปลงไป ในขอนระบบจะเปลยนจากไมสนสะเทอนมาเปนการสนสะเทอน

8. สรป

ในบทนกลาวถงการสนสะเทอนอยางอสระ โดยเรมจากระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน ซงใน

ระบบนการสนจะสนดวยความถเทากบความถธรรมชาตของระบบ และขนาดการสนสะเทอนจะไมลดนอยลง

เนองจากไมมการสญเสยพลงงานออกจากระบบ หลงจากนนจงอธบายถงการสนสะเทอนของระบบทมตว

หนวงการสนสะเทอน ลกษณะการเคลอนทของระบบทมตวหนวงนจะแบงออกเปน 3 กรณขนกบขนาดของ

สมประสทธการหนวง ไดแก 1) ระบบทมขนาดตวหนวงนอยจะสนกลบไปกลบมา ดวยความถเทากบความถ

ธรรมชาตของระบบทมตวหนวงการสนสะเทอน และมขนาดลดนอยลงเรอยๆ จนหยดสน หรอทเรยกวา

Under damped motion 2) ระบบทมสมประสทธการหนวงเทากบคาสมประสทธการหนวงคาวกฤต หรอท

เรยกวา Critically damped motion ในระบบนขนาดการเคลอนทจะคอยๆ ลดลงจนหยดการเคลอนท โดยไม

มการสนสะเทอน และ 3) ระบบทมสมประสทธการหนวงมากหรอทเรยกวา Over damped motion ระบบ

แบบนกจะไมเกดการสนสะเทอนเชนเดยวกบระบบทมสมประสทธความหนวงเทากบคาวกฤต โดยขนาด

การเคลอนทจะลงลงจนหยดนงเมอเวลาผานไปชวงเวลาหนง ในบทนยงไดกลาวถงการพจารณาสภาพ

สมดล และเสถยรภาพของระบบ ซงสามารถรไดโดยทนทจากรปแบบสมการการเคลอนท

ความเขาใจผลของสวนประกอบตางๆ ตอลกษณะการสนสะเทอนทาใหสามารถออกแบบขนาดของ

สวนประกอบตางๆ เพอใหระบบมลกษณะการสนสะเทอนตามทตองการ เชน สามารถออกแบบใหระบบสน

แบบ Over-damped motion, Critically damped motion หรอ Under-damped motion หรอออกแบบให

ระบบมความถธรรมชาตตามทตองการได