Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 1/15

พลศาสตร (Dynamics)

บทท 5 การเคลอนทของวตถแขงเกรง (สวนท 4)

5/7 Motion Relative to Rotating Axes การเคลอนทสมพทธทเรยนมาในหวขอกอนๆ เปนการเคลอนทของวตถแขงเกรงซง

สงเกตโดยผสงเกตซงใชระบบพกดฉากทไมมการหมน อยางไรกตามหลายๆ ครง กลไกทตองการวเคราะหการเคลอนทอาจจะไมไดเชอมตอกนดวยวตถแขงเกรง แตเกดการเคลอนทแบบเลอนไถลกน การเคลอนทแบบนไมสามารถใชวธการในหวขอทแลวในการหาความเรงได ในหวขอนจะกลาวถงการวเคราะหการเคลอนทโดยผสงเกตซงใชแกนพกดหมน ซงสามารถใชแกปญหาเหลานได รวมถงสามารถประยกตใชกบปญหาในหวขอกอนๆ ไดดวย

เพอใหเขาใจถงความแตกตางของปญหาทสามารถพจารณาโดยใชแกนพกดซงไมหมน ดงทเรยนในหวขอกอน และปญหาซงตองพจารณาดวยแกนพกดหมน พจารณาตวอยางตอไปน ตวอยางท 1 การเคลอนทบนจานหมน

BBC

D

aa

X

Y

A x

y

ω

รปท 1 การเคลอนทบนจานหมน

รปท 1 แสดงการเคลอนทบนจานหมน (วงกลมสเทา) ซงมรตรงกลาง ดงนนในรป a และ B จะยนอยนงนอกจานหมน สวน A, C และ D ยนอยบนจานหมนและหมนไปพรอมกบจานหมน พกด X-Y เปนพกดทอยนงเทยบกบโลก สวนพกด x-y จะเปนพกดซงหมนไปพรอม

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 2/15

กบจานหมน สมมตใหจานมขนาดใหญ ดงนน a กบ A จะถอวายนอยตาแหนงเดยวกนทจดกาเนดของแกนพกด X-Y และ x-y กาหนดให a เปนผสงเกตอยบนแกนหยดนงสวน A เปนผสงเกตซงอยบนแกนหมน ความเรวทผสงเกตสงเกตการเคลอนทของวตถเรยกวา relvv (ในกรณทผสงเกตเคลอนทแบบเลอนท เราไดทราบจากหวขอทเรยนกอนแลววา ABrel vv /

vv = ) 1. ผสงเกต a และ A สงเกตการเคลอนทของ B

กรณทผสงเกต a สงเกตการเคลอนทของ B นน จากสมการความเรวสมพทธ

aBaB vvv /vvv += เนองจาก a และ B อยนง a จงเหน B อยนงดวย ดงนนความเรวทกตวใน

สมการความเรวสมพทธจะเปนศนยหมดทาใหสมการเปนจรง คา aBv /v ในกรณนจะเทากบ

ความเรวทผสงเกต a สงเกตการเคลอนทของ B ( 0/ == relaB vv vv ) ในกรณผสงเกต A สงเกตการเคลอนทของ B นน จากสมการความเรวสมพทธ

ABAB vvv /vvv += เนองจากจด A อยทจดกาเนดของแกนหมน พกดจด A จงไมมการ

เปลยนแปลง 0=Avv และจากรป B ยนอยนง 0=Bvv ดงนนจะได 0/ =ABvv อยางไรกตามเนองจาก A เคลอนทไปพรอมกบจานหมน ดงนน A จะมองเหน B เคลอนท ดงนน relvv จงมคา ในกรณน relAB vv vv ≠/ 2. ผสงเกต a และ A สงเกตการเคลอนทของ C

กรณทผสงเกต a สงเกตการเคลอนทของ C นน จากสมการความเรวสมพทธ

aCaC vvv /vvv += เนองจาก a อยนง สวน C จะหมนไปพรอมกบจาน a จงเหน C หมนไปพรอม

กบจาน โดยเคลอนทเปนวงกลมรอบ a ในทน 0=avv สวน relaCC vvv vvv == / อยางไรกตาม ในกรณผสงเกต A สงเกตการเคลอนทของ C นน จากสมการความเรว

สมพทธ ACAC vvv /vvv += เนองจาก 0=Avv ดงนน ACC vv /

vv = เทากบความเรวการหมนเปนวงกลมรอบจดศนยกลาง แตในกรณน A หมนไปพรอมกบจานและพรอมๆ กบ C ดงนน A จะมองเหนวา C หยดนง 0=relvv กรณน relAC vv vv ≠/ 3. ผสงเกต a และ A สงเกตการเคลอนทของ D

สมการความเรวสมพทธในกรณน คอ aDaD vvv /vvv += โดย 0=avv เนองจาก D จะ

หมนไปพรอมกบจาน พรอมๆ กบเดนเขามาหา a ทจดศนยกลาง ดงนน a จงเหน D หมนไปพรอมกบจานและเดนเขาหาพรอมๆ กน

อยางไรกตาม ในกรณผสงเกต A สงเกตการเคลอนทของ D นน เนองจาก A หมนไปพรอมกบจานและพรอมๆ กบ D ดงนน A จะมองเหนวา D เดนตรงเขามาหา A เพยงอยางเดยว จากสมการความเรวสมพทธ ADADAD vvvv //

vvvv =+= จะพบวา relAD vv vv ≠/ จากตวอยางขางตนจะพบวา ผสงเกตทหยดนง a (รวมถงผสงเกตทเคลอนทแบบเลอน

ทดวย) จะสงเกตการเคลอนทไดถกตอง ( relaxx vv vv =/ ) แตผสงเกตทกาลงเคลอนทแบบหมนจะไมสามารถสงเกตการเคลอนทไดถกตอง ( relAxx vv vv ≠/ ) เนองจากผสงเกตทเคลอนทแบบหมน ไมสามารถสงเกตการหมนของตวเองและวตถทสงเกตได (ดงแสดงในตวอยางท 1.2)

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 3/15

ตวอยางท 2 กลไกแบบเลอนไถล

รปท 2 กลไกแบบเลอนไถล

จากรปท 2 กาหนดความเรวเชงมมของชนสวน OD เทากบ 2 rad/s คงท ตองการหาความเรวและความเรงเชงมมของชนสวน CA ปญหานสามารถเขยนสมการความเรวสมพทธของความเรวและความเรง ดงวธการทไดกลาวมาในหวขอกอนหนาไดดงน กาหนดใหจด P เปนจดบนชนสวน OD ซงอยทบกบจด A บนชนสวน CA ในขณะนน ความเรวสมพทธ

PAPA vvv / vvv +=

AC⊥ OD⊥ OD//)(OPωAmp.

Dir.X X

จากสมการความเรวสมพทธ พบวามตวไมทราบคา 2 ตวจงสามารถหาคา Avv และ PAv /

v ได ความเรงสมพทธ

PAPA aaa / vvv +=

OD⊥OD//

)(2 OPωAmp.

Dir.

X X

)( )( )( )( )( / PAtPnPtAnA aaaaa vvvvv ++=+

0)(2 ACACω

X จากสมการจะพบวาไมทราบคา PAa /

v เนองจากชนสวน OD กบ AC ไมใชเปนวตถแขงเกรงชนเดยวกน แตเปนชนสวนคนละชนทเลอนไถลกน ดงนนจะไมสามารถคดแบบเดยวกบปญหาความเรงสมพทธในหวขอกอนหนาได ในกรณนจาเปนตองใชวธการความเรวสมพทธในกรณแกนหมนแกปญหา

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 4/15

การสรางสมการความเรวสมพทธสาหรบผสงเกตอยบนแกนหมน

X

Y

ωB

A

X

Y

ω

X

Y

ωB

A

(ก) (ข)

รปท 3 การสงเกตการเคลอนท โดยผสงเกตทเคลอนทและหมนไปดวย รปท 3(ก) แสดงการเคลอนทของวตถ A ซงสงเกตโดยผสงเกต B ซงเคลอนทตามแนวเสนประสนาเงน และหมนไปพรอมๆ กนดวย รปท 3(ก) สามารถเขยนในรปเวคเตอรการเคลอนทไดดงแสดงในรป 3(ข) เนองจากผสงเกตหมนดวยความเรวเชงมม ω ดงนนการสงเกตโดยผสงเกตจะใชระบบพกด x-y ซงแกนพกดจะหมนไปดวยความเรวเชงมม ω เชนกน สวนแกนพกด X-Y แสดงแกนพกดอางอง ซงอยนง จากรปท 3(ข) สามารถเขยนสมการแสดงตาแหนงการเคลอนทไดดงน

)ˆˆ( jyixrrrr BBA ++=+= vvvv (1) โดย x, y เปนพกดซงวดไดจากระบบพกดหมน x-y สวน i และ j แสดงเวคเตอรหนงหนวยในทศทาง x และ y ตามลาดบ ความเรวของ A สามารถหาไดโดยหาอนพนธสมการ (1) เทยบกบเวลาดงน

dtjyixdrr BA)ˆˆ( +

+= &v&v (2)

ในกรณทผสงเกตเคลอนทแบบเลอนทเพยงอยางเดยว jyixdt

jyixd ˆˆ)ˆˆ(&& +=

+ ซงจะเหมอนกบ

สมการการเคลอนทสมพทธทไดเรยนมาแลว อยางไรกตามเนองจากในกรณนแกนพกด x-y หมน ดงนนทศทางของเวคเตอร i และ j จะเปลยนแปลงตลอดเวลา การหาอนพนธจงตองหาอนพนธของเวคเตอรหนงหนวยดวย

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 5/15

(ก) (ข)

รปท 4 การหาคาอนพนธของเวคเตอรหนงหนวย i และ j รปท 4 แสดงการหาอนพนธของเวคเตอรหนงหนวย i และ j จากรปจะไดวา

jdid ˆˆ θ= และ idjd ˆˆ θ−=

ดงนน ji ˆˆ ω=& และ ij ˆˆ ω−=& (3) หรอเขยนในรปผลการครอสเวคเตอรไดดงน

ii ˆˆ ×ω= v& และ jj ˆˆ ×ω=& (4) แทนความสมพนธในสมการ (4) ลงในสมการ (2) จะสามารถหาความเรวไดดงน

dtjyixdrr BA)ˆˆ( +

+= &v&v

)ˆˆ()ˆˆ( jyixjyixrr BA &&&&&v&v ++++= (5)

เทอม rjyixjyixjyix vvvvv&& ×ω=+×ω=×ω+×ω=+ )ˆˆ(ˆˆˆˆ เทอม jyix ˆˆ && + แสดงความเรวเมอเทยบกบแกน x-y หรอกคอความเรวทผสงเกต สงเกตการเคลอนทของวตถไดนนเอง เรยกเทอมนวาความเรวสมพทธทผสงเกตสงเกตได jyixvrel

ˆˆ &&v +=

ดงนนสมการ (5) จะเขยนไดดงน relBA vrvv vvvvv +×ω+= (7) จะพบวา สมการนจะคลายคลงกบสมการความเรวสมพทธในหวขอกอนๆ เพยงแตจะมเทอม

rvv ×ω เพมเขามา เนองจากผสงเกตทหมนจะไมสามารถสงเกตการหมนได

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 6/15

X

Y

x

y

γ

X

Y

X

Y

x

y

x

y

γ

xyXY rr vv ,

t = 0

X

Y

x

y

XYrvγ

xyXY rr ′′ vv ,

θ

γd

θω &=

t = t1

XYrvΔ

X

Y

X

Y

x

y

x

y

XYrvγ

xyXY rr ′′ vv ,

θ

γd

θω &=

t = t1

XYrvΔ

X

Y

x

yxyXY rr ′′ vv ,

θ

θω &=

xyrv

γ

θγγ −+ d

t = t1

xyrvΔ

X

Y

x

y

x

yxyXY rr ′′ vv ,

θ

θω &=

xyrv

γ

θγγ −+ d

t = t1

xyrvΔ

X

Y

x

y

XYrv

xyXY rr ′′ vv ,

θω &=

xyrv

θθ

xyrvΔ XYrvΔ

rθ

t = t1

X

Y

x

y

XYrv

xyXY rr ′′ vv ,

θω &=

xyrv

θθ

xyrvΔ XYrvΔ

rθ

X

Y

X

Y

x

y

x

y

XYrv

xyXY rr ′′ vv ,

θω &=

xyrv

θθ

xyrvΔ XYrvΔ

rθ

t = t1

(ก) (ข)

(ค) (ง)

รปท 5 ความแตกตางระหวางการสงเกตโดยอางองแกนหยดนง และแกนหมน

รปท 5 แสดงความแตกตางของการสงเกตโดยใชแกนหยดนง และแกนหมน รปท 5(ก) แสดงจดเวลา t=0 ทจดนแกนหยดนง X-Y อยซอนกบแกนหมน x-y โดยตาแหนงของวตถทสงเกตแสดงโดยเวคเตอร XYrv และ xyrv เมอสงเกตจากแกนหยดนงและสงเกตจากแกนหมนตามลาดบ เมอเวลาผานไปเปน t=t1 ดงแสดงในรป 5(ข) แกนหมนจะหมนไปเปนมม θ สวนวตถเคลอนทไปทตาแหนง XYr ′v และ xyr ′v เมอเทยบกบแกนหยดนงและแกนหมน เวคเตอรแสดงการเคลอนทเมอสงเกตจากผสงเกตทหยดนง คอ XYrvΔ รปท 5(ค) แสดงการสงเกตการเคลอนทโดยผสงเกตบนแกนหมน ผสงเกตจะพบวาตาแหนงเดมของวตถอยท xyrv และเมอเวลา t=t1 วตถจะเคลอนทไปท xyr ′v เวคเตอรแสดงการเคลอนทเมอสงเกตจากผสงเกตบนแกนหมน คอ xyrvΔ ซงเหนไดชดวาแตกตางจากเวคเตอร

XYrvΔ ทแสดงในรปท 5(ข) รปท 5(ง) แสดงความแตกตางของเวคเตอร XYrvΔ กบเวคเตอร xyrvΔ โดย

rrr xyXY θ+Δ=Δ vv จากรปนแสดงใหเหนวาผสงเกตทอยบนแกนหมนจะไมสามารถสงเกตการหมนของแกนได ผลการสงเกตจากผสงเกตบนแกนหมนจงตองบวกเวคเตอร rθ เขาไปดวยจงจะไดคาทถกตอง (สาหรบความเรว คอการบวกเทอม rvv ×ω เพมเขาไปนนเอง)

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 7/15

O

A

B

C ω

ωΑΒvΑ vΒ

x

y

O

A

B

C ω

ωΑΒvΑ vΒ

O

A

B

C ωO

A

B

C ω

ωΑΒvΑ vΒ

x

y

Using non-rotating axes

BABA vvv /vvv += BABA vvv /vvv +=

rABvv ×ω rABvv ×ω

An observer at B sees Amoving in a circle around him

Using rotating axes

O

A

B

C ω

ωΑΒ

vΑvΒ x

y

O

A

B

C ω

ωΑΒ

vΑvΒ

O

A

B

C ωO

A

B

C ω

ωΑΒ

vΑvΒ x

y

relBA vrvv vvvvv +×+= ω

rframerotatingvv ×ω −

rABvv ×ω

rframerotatingvv ×ω −

rABvv ×ω

= 0= 0

A fixed with rot. frame, therefore B sees A having no motion

รปท 6 การเปรยบเทยบปญหากลไกขอตอโดยใชแกนไมหมนและแกนหมน

รปท 6 แสดงการเปรยบเทยบการแกปญหากลไกขอตอ เนองจากกลไกขอตอตอกนดวยชนสวนแขงเกรง AB ดงนนปญหานจงสามารถแกไดทงโดยการวเคราะหแบบความเรวสมพทธ (ทเรยนในหวขอกอนหนา) ทางดานซายมอ กบการใชแกนหมนทางดานขวามอ ในกรณใชความเรวสมพทธ และแกนพกดของผสงเกต B ไมหมน B จะมองเหน A เคลอนทเปนวงกลมรอบจด B ดงนน rv ABBA

vvv ×ω=/ อยางไรกตามถาใชการพจารณาแบบแกนหมน โดยตงแกนหมนดงรปทางดานขวามอ จะพบวาจด A และจด B จะเปนจดทไมเคลอนทเทยบกบแกน x-y ทตงขน ดงนนผสงเกตท B จะมองเหน A อยนง (พกดเดมบนแกน x-y ตลอดเวลา) 0=relvv อยางไรกตามสมการจากการพจารณาโดยใชแกนหมนจะเหมอนกบการพจารณาแบบความเรวสมพทธทเรยนมาแลว เนองจากมพจน rr ABframerotating

vvvv ×ω=×ω − เพมเขามา

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 8/15

การสรางสมการความเรงสมพทธสาหรบผสงเกตบนแกนหมน สมการความเรงสมพทธสาหรบผสงเกตบนแกนหมนสามารถสรางไดโดยหาอนพนธของสมการความเรวสมพทธสาหรบผสงเกตบนแกนหมน (สมการ (7)) เทยบกบเวลา ดงน จาก relBA vrvv vvvvv +×ω+= ดงนน relBA vrraa &v&vvv&vvv +×ω+×ω+= (8) พจารณาเทอม r&vv ×ω

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( jyixjyixjyixdtdr &&&&&v +++=+=

relvr +×ω= vv เพราะฉะนน relrel vrvrr vvvvvvvv&vv

×ω+×ω×ω=+×ω×ω=×ω )()( (9) พจารณาเทอม relv&v

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( jyixjyixjyixdtdvrel &&&&&&&&&&&v +++=+=

)ˆˆ()ˆˆ( jyixjyix &&&&&&v +++×ω=

relrel av vvv +×ω= (10) โดย relav หมายถงความเรงทสงเกตไดจากแกนหมน แทนสมการ (9) และ (10) ลงในสมการ (8) จะไดสมการความเรงสมพทธสาหรบผสงเกตบนแกนหมนดงน

relrelBA avrraa vvvvvvv&vvv +×ω+×ω×ω+×ω+= 2)( (11)

เพอใหงายตอการจดจาสมการ (11) ใหพจารณารปท 7 ซงแสดงทศทางของความเรงตางๆ ผสงเกตอยทจด B โดยแกนพกดทใช x-y หมนดวยอตราเรวเชงมม ω ผสงเกตสงเกตการเคลอนทของวตถ A ซงเคลอนทตามแนวเสนการเคลอนทสสม จด P เปนจดคงทบนพกด x-y ซงในขณะนนอยตาแหนงเดยวกบจด A

รปท 7 ความเรงตางๆ ในระบบแกนพกดหมน

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 9/15

ผสงเกต B เคลอนทดวยความเรง Bav เมอผสงเกตสงเกตจด P ซงอยทบกบจด A จะพบวาจด P เคลอนทเปนวงกลมรอบผสงเกต (เมอสงเกตโดยใชแกนพกดทไมหมน) ความเรงของจด P เทากบ rv&v ×ω (ความเรงในแนวเสนรอบวง) และ )( rvvv ×ω×ω (ความเรงเขาสศนยกลาง)

อยางไรกตาม ตาแหนงทตองการสงเกตคอจด A ความเรงทจด A เมอเทยบจากจด P จะเทากบ relrel av vvv +×ω2 โดย relav เปนความเรงทมองเหนโดยผสงเกตทอยบนแกนหมน สวน relvvv ×ω2 เปนความเรงทแตกตางเมอสงเกตบนแกนไมหมนและแกนหมน ความเรง

relvvv ×ω2 มชอเรยกวา ความเรง Coriolis ทศทางของความเรง Coriolis นหาไดจากกฎมอขวาตามหลกการครอสเวคเตอร

ขนตอนการแกปญหาโจทย

1. พจารณาวาเปนปญหาทจาเปนจะตองใชแกนพกดหมนแกปญหาหรอไม ตวอยางปญหาทใชแกนพกดหมนแก ไดแก (1) ปญหาความเรวความเรงในกลไก ซงไมไดเชอมตอเปนวตถแขงเกรงอนเดยวกน แตเชอมตอกนดวยกลไกแบบเลอนไถล หรอ (2) ปญหาการเคลอนทสมพทธของอนภาค ซงผสงเกตกาลงเคลอนทแบบหมน หรออยในทางโคง

2. เขยนสมการความเรว relBA vrvv vvvvv +×ω+= และพจารณาคาขนาด และทศทางของแตละเวคเตอร ตามวธการเดยวกบการพจารณาเรองความเรวและความเรงสมพทธ ทไดเรยนมากอนหนาแลวเพอหาคาความเรวทตองการ

3. เขยนสมการความเรง relrelBA avrraa vvvvvvv&vvv +×ω+×ω×ω+×ω+= 2)( และใชวธการเดยวกบการพจารณาความเรว เพอหาคาความเรงทตองการ

เรยบเรยงจาก “Engineering Mechanics Statics fifth edition SI version” ของ J. L. Meriam และ L. G. Kraige เพอใชประกอบการเรยนการสอนวชา 2103213 Engineering Mechanics I โดย อ.ดร. ชนตต รตนสมาวงศ

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 10/15

วธทา ปญหาขอนเปนปญหาการเคลอนทของอนภาคโดยผสงเกตกาลงเคลอนทในทศทางโคง ดงนนในขอนจงตองใชระบบแกนพกดหมนในการพจารณา โดยแกนหมนจะหมนรอบจดศนยกลางความโคงของถนน

5/156 Car B is rounding the curve with a constant speed of 54 km/h, and car

A is approaching car B in the intersection with a constant speed of 72 km/h.

Determine the velocity which car A appears to have to an observer riding in

and turning with car B. The x-y axes are attached to car B. Is this apparent

velocity the negative of the velocity which B appears to have to a nonrotating

observer in car A? The distance separating the two cars at the instant depicted

is 40 m. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/156]

m/s 20ˆ)36001000(72 iivA ==v

m/s ˆ15ˆ)36001000(54 jjvB ==v

rad/s 15.010015

==ρ

=ω Bv หรอ rad/s ˆ15.0 k=ωv

ความเรววตถทตองการสงเกต

ความเรวผสงเกต

ความเรวเชงมมของแกนหมน

ir ˆ40−=v

relBA vrvv vvvvv +×ω+=

ขนาด

ทศทาง

X

X

20 15

jjikr ˆ6)ˆ)(40)(15.0()ˆ40(ˆ15.0 −=−=−×=×ω vv

6

จากตาราง เนองจากมตวไมทราบคา 2 ตว จงสามารถหาคา ไดrelvv

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 11/15

แทนคาความเรวแตละตวลงในสมการความเรวสมพทธสาหรบแกนหมน จะได

relBA vrvv vvvvv +×ω+=

relvjji v+−= ˆ6ˆ15ˆ20

m/s ˆ9ˆ20 jivrel −=v Ans

เปรยบเทยบกบกรณทผสงเกต A มองรถยนต Bในกรณนผสงเกต A เคลอนทในแนวเสนตรง จงสามารถใชวธการความเรวสมพทธตามทเรยนมาในบทท 2 ได

ABAB vvv /vvv +=

ABvij /ˆ20ˆ15 v+=

jiv ABˆ15ˆ20/ +−=v

Ans

ขอสงเกต หรอกลาวอกอยางหนงวา ผสงเกต A มองเหน B ไมเหมอนกบทผสงเกตท B มองเหน A โดยสวนตางของความเรวทงสองเทากบ

relAB vv vv −≠/

jr ˆ6=×ω vv

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 12/15

วธทา จากขอ 5/156 จะไดขอมลดงน

5/157 For the cars of Prob.5/156 traveling with constant speed, determine the

acceleration which car A appears to have to an observer riding in and turning

with car B. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/157]

m/s 20ivA =v m/s ˆ15 jvB =

vrad/s ˆ15.0 k=ωv

ir ˆ40−=v

relrelBA avrraa vvvvvvv&vvv +×ω+×ω×ω+×ω+= 2)(

jr ˆ6−=×ω vv m/s ˆ9ˆ20 jivrel −=v

สมการความเรงสมพทธสาหรบแกนพกดหมน

พจารณาทละพจนไดดงน

0=Aav เนองจากรถวงทางตรงดวยความเรวคงท

222

m/s 25.2ˆ100150)ˆ()()( iiivaaa B

tBnBB −=−=+−ρ

=+= vvv

เนองจากรถ B วงดวยอตราเรวคงท0)( =tBav

0=×ω rv&v เนองจากแกนหมนตดกบรถ B ซงวงทางโคงดวยความเรวคงท 0=ω&v

2m/s 9.0)ˆ40ˆ15.0(ˆ15.0)( iikkr =−××=×ω×ω vvv

พจน สามารถหาไดงายโดยพจารณาขนาดจาก สวนทศทางจะมทศทางจากวตถทถกสงเกตพงเขาหาผสงเกตเสมอ

)( rvvv ×ω×ω r2ω

ijjikvrelˆ7.2ˆ6))ˆ9ˆ20(ˆ15.0(22 +=−×=×ω vv

จากสมการความเรงสมพทธพบวามเพยงพจน ซงไมรคาเทานน ดงนนแทนคาพจนตางๆ ทหามาแลวลงในสมการความเรงสมพทธสาหรบแกนหมนจะหาคา ได

relav

relav

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 13/15

relrelBA avrraa vvvvvvv&vvv +×ω+×ω×ω+×ω+= 2)(

relaijii v+++++−= )ˆ7.2ˆ6(ˆ9.00ˆ25.20

2m/s ˆ6ˆ35.1 jiarel −−=v Ans

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 14/15

วธทา ปญหาขอนเปนปญหาการเคลอนทของชนสวนกลไก 2 ชน ทไมไดเชอมกนดวยจดยดแนน หรอวตถแขงเกรง แตเปนการเชอมกนดวยชนสวนทไถลกน ดงนนในขอนจงจาเปนตองพจารณาโดยใชแกนพกดแบบหมน

5/168 For the instant represented, link CB

is rotating counterclockwise at a constant

rate N = 4 rad/s, and its pin A causes a

clockwise rotation of the slotted member

ODE. Determine the angular velocity ω

and angular acceleration α of ODE for this

instant. [Engineering Mechanics Dynamics 5th

edition, Meriam & Kraige, prob.5/168]

ตงแกนพกดหมน x-y ดงแสดงในรป จะไดวาผสงเกตอยทจด O และสงเกตการเคลอนทของจด A เวคเตอร จะชจากผสงเกตไปยงจดทสงเกต จงมทศชไปทางขวา

x

y

ODEω

x

y

ODEω

relODEOA vrvv vvvvv +×ω+=

ขนาด

ทศทาง

X XCACBω 0

พจารณาสมการความเรวสมพทธสาหรบแกนหมน

rv

− DE//

จากตารางจะพบวามตวไมทราบคา 2 ตวจงสามารถหาคาไดนาเวคเตอรมาเขยนแผนภาพเวคเตอร และจากแผนภาพจะคานวณคาตางๆ ไดดงน

Avv

rODEvv ×ω

relvv

o45

Avv

rODEvv ×ω

relvv

o45

m/s 48.0)12.0(4 ==⋅ω= CAv CBA

48.012.0 ==⋅ω=⋅ω=×ω AODEODEODE vrrvv

rad/s 4=ωODE Ans

m/s 248.02 == Arel vv

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 15/15

จากตารางจะพบวามตวไมทราบคา 2 ตวจงสามารถหาคาไดคานวณคาตางๆ ททราบไดดงน

Ans

พจารณาสมการความเรงสมพทธสาหรบแกนหมน

relrelODEODEODEODEOA avrraa vvvvvvv&vvv +×ω+×ω×ω+×ω+= 2)(

ขนาด

ทศทาง

XCACB2ω 0

− DE//

0=

relrelODEODEODEODEtAnA avrraa vvvvvvv&vvv +×ω+×ω×ω+×ω=+ 2)()()(

rODE ⋅ω2relODEvω2

o45

X

o45

222 m/s 92.1)12.0(4)( ==ω= CAa CBnA

222 m/s 92.1)12.0(4)( ==⋅ω=×ω×ω rr ODEODEODEvvv

2m/s 284.3248.0)4(222 ==ω=×ω relODErelODE vvvv

นาคาททราบมาเขยนแผนภาพเวคเตอรไดดงน

nAa )( v

)( rODEODEvvv ×ω×ω

relODE vvv ×ω2

rODEv&v ×ω

relav

nAa )( v

)( rODEODEvvv ×ω×ω

relODE vvv ×ω2

rODEv&v ×ω

relavคดผลรวมเวคเตอรในแนวระดบ

045cos

45cos22

=−

⋅⋅ω+⋅ω−o

o

rel

relODEODE

a

vr

045cos 45cos284.392.1

=−

⋅+−o

o

rela

2m/s 292.1=rela

คดผลรวมเวคเตอรในแนวดง

o

o &

45cos

45cos2)(

rel

ODErelODEnA

a

rva

−

ω+ω−=

oo & 45cos292.1 45cos284.392.1 −ω+−= rODE

2m/s 7.68 =ω rODE&

2rad/s 64 12.0

7.68==ω=α ODEODE & CCW