Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
บทท 4 สมบตของคลน
เราไดทราบเกยวกบการเคลอนทของคลนในแบบตาง ๆ มาแลว ซงคณสมบตทสาคญอยางหนงของคลน คอ สามารถเคลอนทผานจากตวกลางหนงไปยงอกตวกลางหนงได โดยการเคลอนทผานตวกลางเหลานเราเรยนวา การแผของคลน (Waves Propagation) และคณสมบตทสาคญอกอยางหนงของคลน คอ คลนสามารถรวมกนได โดยเมอมคลนตงแตสองคลนเคลอนทผานตวกลางมาพบกนจะเกดการรวมกนขน ทาใหการกระจดของอนภาคตวกลางในบรเวณทมการรวมกนของคลนจะมคาเทากบผลบวกของการกระจดของคลนยอยแตละคลน ณ ตาแหนงและเวลานน และเมอคลนยอยผานเลยกนไปแลวแตละคลนจะมลกษณะและทศการเคลอนทเหมอนเดมทกประการ การรวมกนของคลน เรยกวา การซอนทบของคลน (superposition of waves) โดยในการซอนทบของคลนอาจจะทาใหเกดการแทรกสอดเกด คลนนง บตส ได
หนาคลน (Wavefronts ) เมอโยนกอนหนหรอกอนดนลงในนา เราจะพบวา จะเกดคลนนามลกษณะเปนวงกลมแผกระจายออกรอบ ๆ จดทวตถตก คลนในลกษณะอยางนเปนคลนสองมต สนคลนหรอทองคลน วงกลมน เราเรยกวา หนาคลน โดยทศทางการเคลอนทของคลนจะตงฉากกบหนาคลนเสมอ ดงรปท 4.1
ทศทางการเคลอนทของคลน
ก. หนาคลนวงกลม
ข. หนาคลนตรง รปท 4.1 แสดงหนาคลนแบบตาง ๆ
พจารณารปท 4.1 ก เปนการเกดคลนในลกษณะทแหลงกาเนดเปนจด ขณะทเกด
คลน คลนจะแผออกไปตามแนวรศมของวงกลมโดยสวนโคงของวงกลมคอแนวของหนาคลน สวนแนวเสนตรงจากจดศนยกลางไปทตงฉากกบตามรศมนนเองเปนการเกดเคลอนทมหนาคลนเปนวงกลม ทศทางการเคลอนทจะตงฉากกบสวนโคงของวงกลม คอ ทศทางการเคลอนทของคลน สวนรปท 4.1 ข เปนการเกดคลนในลกษณะทแหลงกาเนดเปนเสนตรง การเคลอนทของคลนทเกดในลกษณะทหนาคลนเปนแนวตรงโดยทศทางการเคลอนทของคลนจะตงฉากกบหนาคลนเสมอ หลกของฮอยเกนส (Huygens’ Principle) การเคลอนของคลนอาจจะมหนาคลนเปนวงกลมหรอแนวตรง หรอลกษณะใดลกษณะหนงขนอยกบแหลงกาเนดคลน คลนจะคลนทไปเรอย ๆ ถาไมมสงกดขวางหรอไมมการเปลยนตวกลางในการเคลอนท ในกรณทคลนเคลอนทผานสงกดขวางในลกษณะตาง ๆ แลวคลนจะเกดการเปลยนแปลงรปรางของหนาคลนในการเคลอนท เชน เมอหนาคลนตรงเคลอนทผานชองแคบ ๆ จะเกดการเลยวเบนเกดขน โดยรปแบบของหนาคลนจะเปลยนเปนหนาคลน
แหลงกาเนดคลน
แหลงกาเนด
คลน ทศทางการเคลอนทของคลน
วงกลม ดงรปท 4.2 การเปลยนแปลงในลกษณะเชนนเปนไปตามหลกของฮอยเกนส ทวา ทกทกจดบนหนาคลนใด ๆ อาจถอ ไดวาเปนแหลงกาเนดคลนใหมซงจะทาใหเกดคลนออกไปรอบ ๆ คลนใหมนจะมอตราเรวเทากบอตราเรวของการเคลอนทของคลนเดม ดงนนถาทราบลกษณะของหนาคลนเดมกจะสามารถใชหลกเรขาคณตหาหนาคลนใหมตามหลกของ ฮอยเกนสโดยการสรางผวซงสมผสกบหนาคลนใหมทเปนคลนเลก ๆ เหลานนได
รปท 4.2 การเลยวเบนของคลนหนาตรงผานชองแคบเดยว
รปท 4.3 การใชหลกฮอยเกนสสรางหนาคลนใหม
หนาคลนใหม B’ B
A A’ 3 24 15
vt
หนาคลนทเวลา t =0
จากรปท 4.3 ใหคลนระนาบ AA ′ ทมหนาคลนเสนตรงเคลอนทดวยความเรว v พจารณาจด 1, 2 , 3, 4 และ 5 ซงถอเปนจดกาเนดของคลนเลก ๆ กจะเคลอนทดวยความเรว v เชนกน การหาตาแหนงของหนาคลนเมอเวลาผานไป t ทาไดโดยสรางวงกลมเลก ๆ รศม r ซงมคาเทากบ vt โดยจดศนยกลางอยทจด 1, 2 , 3, 4 และ 5 หนาคลนใหมทเกดขนคอเสนตรงทลากสมผสกบวงกลมทมรศม vt เหลาน การสะทอนและการสงผานของคลน คณสมบตอยางหนงของคลนทเกดขนเมอคลนเคลอนทจากตวกลางหนงผานไปยงอกตวกลางหนง เมอไปถงรอยตอระหวางตวกลางสวนหนงของคลนไมสามารถผานไปไดจะเกดการสะทอนกลบ เรยกวาเกดการสะทอนของคลน ในหวขอนนจะศกษาเฉพาะการสะทอนในเสนลวดเทานน สวนการสะทอนของเสยงและแสงจะศกษาในบทตอไป
1. ความตานทานเชงซอนของเสนลวด (Impedance of String) เมอเกดคลนผานตวกลางใด ๆ ตวกลางเหลานนจะมแรงตานการเคลอนทของ
คลนโดยจะแปรตรงตามความตานทานเชงซอนของตวกลางนน สาหรบตวกลางทเปนระบบเปดจรง ๆ คลนเคลอนทจะผานตวกลางไปไดตลอดไมมการสะทอนแตทงนตองขนอยกบลกษณะความตานทานเชงซอนของตวกลางนน กลาวคอ ถาความตานทานของตวกลางมคาเทากนตลอดจะไมมการสะทอนเกดขน แตถาคาความตานทานมคาตางกนในตวกลางนนจะทาใหเกดการสะทอนได และถายงมคาความตานทานไดมาก การสะทอนกจะเกดขนมากดวย คาความตานทานเชงซอนของตวกลางหาไดจากอตราสวนระหวางแรงททาใหคลนเกดการเคลอนทและอตราเรวของการเคลอนท
vFZ =
เมอ Z คอ คาความตานทานเชงซอนของตวกลาง F คอ แรงททาใหคลนเกดการเคลอนท v คอ อตราเรวของคลนเคลอนท เมอออกแรงขนาด ti
0eF ω ดงเสนลวดขนลงในแนวดงทาใหเกดคลนเคลอนทบนเสนลวดดงรปท 4.4
รปท 4.4 คลนทเกดเนองจากแรงกระทาขนาด ti
0eF ω จากรปท 4.4 ถาเสนลวดมแรงตงเทากบ T จะไดวา
θtanT TsineF ti
0−=
−= θω
เมอ θ มคานอย ๆ
xyTeF ti
0 ∂∂
−=ω
การกระจดของคลนเคลอนทของเสนลวดเขยนในรปของเลขชกาลงไดวา )kxt(iAey −ω= ดงนนเมอแทนคา y ในสมการ จะไดวา
)kxt(i
)kxt(iti0
ikTAe
)Ae(x
TeF
−ω
−ωω
=∂∂
−=
ท x = 0 จะไดวา )0.kt(iti
0 ikTAeeF −ωω = และเวลาเรมตน (t = 0) ikTAF0 =
หรอ )Tc(
iF
ikTFA 00
ω==
และ )kxt(i0 e)Tc(
iFy −ωω
=
T
T
θ−=ω sinTti0eF
ti0eF ω
เมอ k
c ω=
ความเรวของคลนเคลอนท คอ
)kxt(i0 e)
Tc(Fv −ω=
แอมพลจดของความเรว คอ )Tc(FC 0= หรอ
ZFC 0= ดงนน คาความตานทานเชงซอน
ของเสนลวด คอ
cTZ=
เมอ 2cT ρ= นนคอ cz ρ= หรอเรยกวาลกษณะความตานทานเชงซอนของเสนลวด (Characteristic impedance of string)
2. การสะทอนและการสงผานของคลนในเสนลวด จากหวขอทผานมาเราพบวา ลกษณะความตานทานเชงซอนของเสนลวด คอ cρ
ซงถาคลนเคลอนทในเสนลวดทมคาลกษณะความตานทานเชงซอนของเสนลวดคงท จะไมเกดการสะทอนเกดขน แตถาคลนเคลอนทผานเสนลวดทมคาลกษณะความตานทานเชงซอนเปลยนไปจะเกดการสะทอนและการสงผาน (Transmission) เกดขน
คลนตกกระทบ T คลนสงผาน คลนสะทอน 222 cZ ρ= T
111 cZ ρ= x=0 รปท 4.5 การสะทอนและการสงผานของคลนในเสนลวดทมความตานทานเชงซอน
11cρ และ 22cρ
พจารณารปท 4.5 เมอคลนเคลอนทในเสนลวดทมแรงตงในเสนลวด T โดยเสนลวด
แบงออกเปน 2 สวน ทมความหนาแนนแตกตางกน เสนลวดสวนแรกมความหนาแนน 1ρ และสวนท สองมความหนาแนน 2ρ ดงนนความเรวของคลนเคลอนทในทงสองสวน คอ
11
Tcρ
= และ 2
2Tcρ
= คาความตานทานเชงซอนของเสนลวดทงสองสวนคอ
111 cZ ρ= และ 222 cZ ρ= เมอคลนตกกระทบเคลอนทในเสนลวดผานจดเชอมตอของเสนลวดทมคาความ
ตานทานเชงซอนตางกน ทจด x = 0 ดงรปท 4.5 สวนหนงของคลนตกกระทบจะเกดการสะทอน และสวนหนงจะถกสงผานไปยงสวนทมคาความตานทานเชงซอน 22cρ
สมการการกระจดในสวนท 1 ประกอบดวยการกระจดของคลนตกกระทบ คอ )xkt(i
1i 1eAy −ω= โดย 1A เปนแอมพลจดของคลนตกกระทบ เคลอนทไปตามแนว +x ดวยอตราเรว 1c และการกระจดของคลนสะทอน คอ )xkt(i
1r 1eBy −ω= โดย 1B เปนแอมพลจดของคลนสะทอน เคลอนทไปตามแนว -x ดวยอตราเรว 1c
สวนท 2 เปนการกระจดของคลนสงผาน คอ )xkt(i
2t 2eAy −ω= โดย 2A เปนแอมพลจดของคลนสงผาน เคลอนทไปตามแนว +x ดวยอตราเรว 2c
เราสามารถหาสมประสทธของการสะทอน(Reflexion coefficent of Amplitude) และสมประสทธการสงผาน(Transmission coefficent of Amplitude) ในรปของความสมพนธระหวาง 1B , 1A และ 2A ทผวรอยตอ (x = 0) ภายใตเงอนไขขอบเขตดงน
เงอนไขท 1 เงอนไขเชงเรขาคณต (geometrical condition) ซงเกยวของกบการกระจดของการเคลอนท สมการ คอ
tri yyy =+ หรอ )xkt(i
2)xkt(i
1)xkt(i
1 211 eAeBeA −ω−ω−ω =+ ท x = 0 จะไดวา 211 ABA =+ (4.1)
เงอนไขท 2 เงอนไขเชงพลวต (dynamical condition) ซงเกยวของกบแรงททาใหเกดการเคลอนท สมการ คอ
x
yT)yy(x
T tri ∂
∂=+
∂∂
ท x = 0 จะไดวา 221111 TAkTBkTAk −=+−
หรอ 22
11
11
AcTB
cTA
cT
ω−=ω+ω−
แต 1111
ZccT
=ρ= และ 2222
ZccT
=ρ=
จะไดวา 22111 AZ)BA(Z =− (4.2)
รปท 4.6 การสะทอนของพลสหรอกลมคลนทประกอบดวยคลนหลายความถ จากรปท 4.6 พลส (Pulse) หรอกลมคลนทประกอบดวยคลนหลายความถ มการสะทอนทจดทมคาความตานทานเชงซอนเปนอนนต ( ∞=ρc ) สวนของคลนยอยแตละสวนเกดการสะทอนโดยมมมเฟสเปลยนไป π จากสมการ (4.1) และ (4.2) จะไดวา แอมพลจดของสมประสทธการสะทอน คอ
2121
11
12 ZZZZ
ABR
+−
== (4.3)
และแอมพลจดของสมประสทธการสงผาน คอ
21
112
ZZZ2
AAT
+== (4.4)
A B
C
A’+B’ C’
พลสหรอกลมคลนตกกระทบ
พลสหรอกลมคลนสะทอน
จากสมการ (4.3) และ (4.4) เราจะพบวา ถา 21 ZZ = แสดงวาเปนกรณไมมคลนสะทอน กลาวคอ 0R12 = แอมพลจดของสมประสทธการสงผานเปน 1 แตสภาวะ 21 ZZ = นน ไมไดหมายความวาตวกลางทงสองเหมอนกน ถาความหนาแนนของมวลและแรงตงของเสนลวดทงสองตางเปลยนคาตรงจดเชอมในทางทผลคณยงเปนคาคงท ดงนนคาความตานทาน
เชงซอน 111 cZ ρ= และ 222 cZ ρ= มคาเทากน แตความเรวเฟส 11
1Tcρ
= และ
22
2Tcρ
= ไมจาเปนตองเทากนในตวกลางทงสอง
กรณท 12 ZZ >> จะทาใหคา 1R12 −= ดงนนจดทเปนรอยตอระหวางตงกลางทงสองเหมอนตรงอยกบทคอไมมการแกวงกวด การกระจดและความเรวมสมประสทธการสะทอนเปน – 1 ดงนนคลนตกกระทบและคลนสะทอนทบรเวณนรวมกนไดเปนศนย หรอเสมอนทปลายของเสนลวดถกตรง กลาวคอ คลนตกกระทบทเปนพลสบวกเกดการสะทอนกลบหมดกลายเปนคลนสะทอนทมพลสเปนลบ สวนแรงตามขวางมสมประสทธการสะทอนเปน +1 ดงนนแรงกระทาตอเสนลวดทรอยตอของตวกลางมทศไปทางเดยวกนสาหรบคลนทงสอง ทาใหแรงเพมขนเปนสองเทาและทาใหคลนสะทอนมแอมพลจดเปนลบ มขนาดเทากบแอมพลจดของคลนตกกระทบ ดงรปท 4.7 ก กรณท 12 ZZ << จะทาใหคา 1R12 = นนคอทบรเวณรอยตอของตวกลางเปนปลายอสระดงนนความชนของเสนลวดทจดนเปนศนย สมประสทธสาหรบแรงคนกลบเปน -1 ทาใหคลนตกกระทบทมแรงคนกลบเปนพลสบวกกลายเปนพลสลบหลงจากการสะทอน สวนสมประสทธการสะทอนสาหรบการกระจดและความเรวเปน +1 เสนลวดจะมความเรวเปนสองเทาทรอยตอตวกลาง คลนตกกระทบทมพลสการกระจดบวกยงคงมพลสเปนบวกหลงจากการสะทอนแลว ดงรปท 4.7 ข
รปท 4.7 ก การสะทอนของพลสโดยตกกระทบทปลายเสนลวดยดแนน ข การสะทอนของพลสโดยตกกระทบทปลายเสนลวดอสระ ตวอยางท 4.1 เสนลวดทมแรงตงในเสนลวด 0.3 นวตน โดยเสนลวดแบงออกเปน 2 สวน แตละสวนทมความหนาแนนแตกตางกน เสนลวดสวนแรกมความหนาแนน
0.01 กโลกรมตอเมตร และสวนทสองมความหนาแนน 0.02 กโลกรมตอเมตร เมอเกดคลนเคลอนทผานเสนลวดเสนน จงหาแอมพลจดของสมประสทธการสะทอนและแอมพลจดของสมประสทธการสงผานของลวดเสนน
วธทา หาความเรวของคลนในเสนลวดจากสตร ρ
=Tc จะไดวา
ความเรวของคลนในเสนลวดสวนท 1 คอ01.03.0c1 = = 5.48 เมตรตอวนาท
ความเรวของคลนในเสนลวดสวนท 2 คอ02.03.0c2 = = 3.87 เมตรตอวนาท
หาคาความตานทานเชงซอนของเสนลวดทงสองสวน จากสตร cZ ρ= จะไดวา คาความตานทานเชงซอนของเสนลวดสวนท 1 คอ )48.5)(01.0(Z1 = = 0.0548 คาความตานทานเชงซอนของเสนลวดสวนท 1 คอ )87.3)(02.0(Z2 = = 0.0774
หาแอมพลจดของสมประสทธการสะทอน จากสตร
1709.0 0774.00548.00774.00548.0
ZZZZR
2121
12
−=+−
=
+−
=
และหาแอมพลจดของสมประสทธการสงผาน จากสตร
8291.0 0774.00548.0)0548.0(2
ZZZ2T
211
=+
=
+=
3. การสะทอนและการสงผานพลงงาน
การแผของคลนจะเกยวของการเปลยนแปลงของพลงงานทถกสงผานในตวกลางทมคาความตานทานเชงซอนแตกตางกน โดยถาพจารณาแตละชวงความยาวและมวลของเสนลวดเหมอนกบการแกวงกวดฮารมอนกอยางงายในกรณทมแอมพลจดสงสด เราทราบวา
พลงงานรวม คอ 22A21ρω ดงนนพลงงานรวมของคลนตกกระทบ คอ 2
12
1 A21
ωρ และ
พลงงานรวมของคลนสะทอน คอ 21
21 B
21
ωρ จากนยามของสมประสทธการสะทอนความ
เขมของพลงงาน คอ อตราสวนของพลงงานของคลนสะทอนตอพลงงานของคลนตกกระทบ นนคอ
21
21
21
21
21
21
AB
A21
B21
=ωρ
ωρ
หรอ สมประสทธการสะทอนความเขมของพลงงาน คอ 221
221
)ZZ()ZZ(
+−
สวนสมประสทธการสงผานความเขมของพลงงาน คอ อตราสวนของพลงงานของคลนสงผานตอพลงงานของคลนตกกระทบ นนคอ
211
222
21
21
21
22
AA
A21
A21
ρρ
=ωρ
ωρ (4.5)
ถาคลนเคลอนทมความเรว c ดานขวาของสมการ (4.5) คณดวย c ทงเศษและสวนจะไดวา
211
222
211
222
AZAZ
cAcA
=ρρ
หรอ สมประสทธการสงผานความเขมของพลงงาน คอ 22121
)ZZ(ZZ4
+
ถา 21 ZZ = จะไมมการสะทอน ตวอยางท 4.2 จากตวอยางท 4.1 สมประสทธการสะทอนและสงผานความเขมของพลงงาน ในเสนลวด มคาใด วธทา หาสมประสทธการสะทอนความเขมของพลงงาน จากสตร
0292.0 )0774.00548.0()0774.00548.0(
)ZZ()ZZ(
22
221
221
=+−
=
+−
=
สมประสทธการสงผานความเขมของพลงงาน จากสตร
9708.0 )0774.00548.0()0774.0)(0548.0(4
)ZZ(ZZ4
2
22121
=+
=
+=
การหกเหของคลน คลนแสดงสมบตการหกเห โดยเมอเคลอนทจากตวกลางหนงไปยงอกตวกลางหนง โดยมทศทางการเคลอนท อตราเรวของคลนและความยาวคลนเปลยนไปจากเดม แตความถยงมคาเทาเดม การหกเหของคลนสามารถอธบายโดยการอาศยหลกการของฮอยเกนส การหกเหของคลนระนาบทผวราบ
รปท 4.8 การหกเหของคลน หนาคลน A’A ซงพบกบผวแบง M’M สวนหนงจะสะทอนดวย เกณฑทกลาวมาแลว อกสวนหนงจะทะลผานไป สมมตใหตวกลางทงสองมดชนหกเห 1n และ 2n รปท 4.8 A’A เปนหนาคลนในตวกลางท 1 ซงไปพบผวแบงทจด A ในเวลา t ตอมาหนาคลน ในตวกลางท 1 เดนทางเปนระยะทาง 1v หนาคลนใหมคอ O'B สวนคลนททะลออกไปตวกลางท 2 จะเดนทางเปนระยะ tv 2 และหนาคลนใหม คอ OB ทานองเดยวกน ในเวลา t ตอมา หนาคลนในตวกลางท 1 จะเปน C’P และหนาคลนในตวกลาง b คอ PC มม 1φ คอมมตกกระทบ และมม 2φ คอมมหกเห เพอจะหาความสมพนธระหวาง 1φ กบ 2φ พจารณารปท 4.9 ลาก OR เทากบ tv1 กบ A'A ลาก OB ลาก At เทากบ tv 2 ตงฉากกบ BO
A’
A
B
0 φ1
φ2 M M’
2
1
R
T v2t
v1t
A’
A
B’
B C
C’
0 P
φ1φ2 M M’
v1t ตวกลางท 1
ตวกลางท 2
รปท 4.9 ความสมพนธระหวางมมตกกระทบและมมหกเห
จากสามเหลยม AOR sinφ1 = AO
tv1 (4.4)
จากสามเหลยม AOT sinφ2= AO
tv 2 (4.5)
สมการ (4.4) หารดวย (4.5) จะได
21
21
vv
sinsin
=φφ (4.6)
จากสมการท (4.6) คอ กฏของสเนล (Snell ’s law) เราอาจเขยนเปนอกรปหนง คอ
12
21
nn
sinsin
=φφ เมอ
12
21
nn
vv=
นนคอ 2211 vnvn = (4.7) ถาเราเลอกเวลา t เปนคาบของคลน ระยะ tv1 จะเทากบความยาวคลน λ พอด ดงนนจากรปท 4.8 จะเหนวา ความยาวคลนในตวกลางท 2 จะสนกวาความยาวคลนในตวกลางท 1 เนองจาก คลนวงดวยความเรวทตากวา
เราทราบวาเมอคลนเคลอนทในสองตวกลางโดยทมความเรวตางกน ทาใหความยาวคลนเปลยนไปโดยท 2211 fv และfv λ=λ= เมอ f คอความถของคลนดงกลาว หรอ อาจเขยนไดวา
22
11
vvλ
=λ หรอ 2211 nn λ=λ (4.8)
ตวอยางท 4.3 ถาคลนนาเคลอนทผานจากนาลกไปยงเขตนาตน แลวทาใหความยาวคลนลดลง ครง จงหาอตราสวนความเรวของคลนในนาลกกบความเรวของคลนในนาตน
วธทา โจทยกาหนดให 2ล
ตλ
=λ หรอ 2ตล =
λλ
จากสตร ตล
ตล
vv
=λλ
จะไดวา 2vvตล =
การสะทอนภายในกลบหมด คลนตกกระทบทอยในตวกลางทมดชนหกเหสงกวาดชนหกเหของตวกลางอกดานหนงของผวแบง มโอกาสทจะสะทอนกลบมาอยในตวกลางเดม โดยไมไดหกเหผานไปอกตวกลางหนง ทงนขนอยกบคามมตกกระทบ
รปท 4.10 การสะทอนภายในกลบหมด จากรปท 4.10 ซงใชเสนรงสแทนหนาคลน จะเหนวาเมอมมตก 1φ เพมขนจากศนย ความเขมของคลนสะทอนจะเพมขน ในขณะทความเขมของคลนหกเหจะลดลง จนกระทงมมตกกระทบ 1φ โตพอคาหนง คลนจะสะทอนหมด กลาวคอ ความเขมของคลนหกเหเปนศนย นนคอ คลนทควรจะเคลอนทผานไปในตวกลาง b จะอยในแนว เสนสมผสกบผวแบง หรอมมหกเห 2φ เทากบ 90 องศา เราเรยกมมตกนวา มมวกฤต cφ ถามมตกใหญกวามมวกฤต รงสจะไมสามารถทะลไปในตวกลาง b ได จะสะทอนกลบอยในตวกลาง a ซงเรากลาววา มการสะทอนภายในกลบหมด รปท 4.10 นเปนตวอยางการสะทอนภายในกลบหมด ของผวแกวกบ
อากาศ เราอาจแสดงใหเหนไดดงน จากกฎของสเนล คอ 121
2 sinnnsin φ=φ เนองจาก
21 nn > 21 sinsin φ>φ ถา o902 =φ 1sin 2 =φ o90 กวาจะตองนอย1φ มม ตคอมมวกฤ1φ ถา c1 ามคามากว ๆ ใด φφ แลว sin 2φ จะตองมากกวา 1 ซงหมายความวา
คลนไมสามารถผานไปในตวกลาง b ได แตจะมการสะทอนกลบหมดทผวแบง คามมวกฤตจะ
มคา 12
c nnsin =φ (4.9)
Pφ1 φc
12
3
4
φ2 φ2=900
แกว
อากาศ
ตวอยางท 4.4 จากตวอยางท 4.3 ถาตองการใหเกดการสะทอนกลบหมดคลนนาตองเดนทาง จากบรเวณนาใดไปบรเวณใด และมมมตกกระทบตองเปนเทาใด
วธทา หาคามมวกฤตจากสตร 21
12
c vv
nnsin ==φ
จากตวอยางท 4.3 2vv
21 = แสดงวา 12 vv < หรอ 12 nn > นนคอในตวอยาง
ท 4.3 จะไมมโอกาสเกดการสะทอนกลบหมด จะเกดการสะทอนกลบหมด เมอ 21 nn < หรอ 12 vv > ดงนนคลนนาตองเคลอนทจากบรเวณนาตนไปยงบรเวณ นาลก เมอ 1v คอความเรวคลนนาบรเวณนาลก และ 2v คอความเรวคลนนาบรเวณนาตน และคลนนาเคลอนทจากบรเวณนาตนไปยงบรเวณนาลก จะไดวา
21
vvsin
12
c ==φ
จะไดวา cφ = 450 นนคอ จะเกดการสะทอนกลบหมด เมอคลนนาเคลอนทจากบรเวณนาตนไปยงบรเวณนาลก และมมตกกระทบมากกวา 450 การเลยวเบนของคลน การเลยวเบนของคลน คอ ความสามารถของคลนในการออมไปทางดานหลงสงกดขวาง โดยอาศยหลกการของฮอยเกนสทวา ทก ๆ จดบนหนาคลน เสมอนเปนแหลงกาเนดคลนใหม เมอคลนมการเลยวเบนพบวา ความถและความยาวคลน จะคงตว แตทศทางจะเปลยนไป ขณะเดยวกนแอมพลจดและพลงงานจะลดลง ดงรปท 4. 11
รปท 4.11 การเลยวเบนของคลนผานชองของสงกดขวาง
ปรากฏการณการเลยวเบนของคลนจะเหนไดชด เมอสงกดขวางมขนาดใกลเคยงกบความยาวคลน นนคอ สงกดขวางอาจจะเปนชอง เลก ๆ ซงปลอยใหหนาคลนสวนหนงผานไปได หรอ อาจจะเปนเสนลวดหรอแผนกลม ซงกนสวนหนงของหนาคลน การเลยวเบนทเกดขนเมอตนกาเนดคลนและฉากทรบ อยหางจากสงกดขวางเปนระยะหางพอสมควรมชอวาการเลยวเบนแบบเฟรสเนล (Fresnel diffraction) ถาตนกาเนดคลนอยไกลจากสงกดขวางมาก ๆ จนถอไดวาคลนทไปถกสงกดขวางเปนคลนระนาบ หรอถาใชเลนสยนระยะทาง โดยตนกาเนดคลนและฉากไมจาเปนตองอยไกลกนมากนก การเลยวเบนแบบนมชอวาการเลยวเบนแบบ ฟราวนโฮเฟอร (Fraunhofer diffraction)
รปท 4.12 การเลยวเบนแบบฟราวนโฮเฟอร พจารณาชองเลกเดยวซงแคบและยาวมาก ๆ จนไมตองคดถงผลทเกดจากปลายทงสองขาง ใหแสงขนานตกกระทบตงฉากกบระนาบของชองแคบ ซงกวาง b ตามหลกของฮอยเกนส ถอไดวา ทก ๆ จดบนหนาคลน เคลอนทมาเจอชองเลก ๆ เปนตนกาเนดคลนเลก ๆ ใหมได คลนเลก ๆ ใหมน จะเกดการแทรกสอดกน ถาเราพจารณาการแทรกสอดททามม θ ตาง ๆ กบทศการเคลอนทของคลน พบวาบางตาแหนง ความเขม เปนศนย โดยตาแหนงเหลานหาไดจากสมการ
0n,nsind ≠λ=θ (4.10) n อาจเปนคาบวกหรอลบกได
d θ θ
λ21
หนาคลนตกกระทบ
f
P0
P1
ฉาก
0n = ใหตาแหนงซงอยในแนวแสงตกซงเปนตาแหนงซงมความสวางมากทสด การคานวณหาการแจกแจงความเขมของลวดลายการเลยวเบนหาไดโดยการรวมคลน
จากคลนเลกทชองแคบซงเดนทางไปถง P ใด ๆ บนฉาก โดยคานงถงผลตางของเฟสของคลนเลก ๆ ทจดนน จะไดผล ดงน
( ) 2
0 /sind/sindsinII
λθπλθπ
= (4.11)
รปท 4.13 การแจกแจงความเขมของลวดลายการเลยวเบนจากชองเลกยาว จากรปท 4.13 ซงแสดงการแจกแจงความเขม ณ ตาแหนงตาง ๆ ลกษณะการแจกแจง
ความเขมนขนอยกบ การเปรยบเทยบของ d และ λ ถา d ∼ λ ตาแหนงมดอนแรกจะเกดขนท o90=θ ซงแสดงวารวสวางตรงกลางกนเนอทกวาง ถา λ ≤ b ตาแหนงมดอนแรกจะเกดขน ทงสองขางของรวสวางตรงกลาง โดยทมม θ หาไดจากการแทนคา 1n ± ในสมการ (4.10) นนคอ
d
sin λ±=θ≈θ (4.12)
λθsind
ในกรณทการเลยวเบนจากชองกลม จะพบวา ลวดลายการเลยวเบนทเกดจากชองกลมไมเปนรวตรงแตเปนรววงกลมสวางตรงกลาง และลอมรอบดวยวงมดและสวางสลบกน ถา ใหชองกลมรศม R เสนผานศนยกลาง D (D= 2R) มมทใหวงมดวงแรก คอ
D
22.1R
22.1sin λ=
λ=θ≈θ (4.12)
θ เปนเรเดยน ตวอยางท 4.5 ในการทดลองเพอหาความยาวคลนของแสงโดยใชเกรตตง เมอใชแสงสเดยว สองผานเกรตตง จะสงเกตเหนแถบสวางลาดบท 1 อย ณ ตาแหนง 10 และ 90
เซนตเมตร บนไมเมตร แถบสวางทงสองนตางกอยหางจากเกรตตงเปนระยะทาง 1 เมตร ถาเกรตตงทใชมจานวน ชองตอความยาว 1 เซนตเมตร จงหาความยาวคลนของแสง
วธทา แถบสวางลาดบท 1 สองขางอยหางจากแถบสวางตรงกลาง
เทากบ 402
1090=
− เซนตเมตร
รปท 4. 14 การเลยวเบนผานเกรตตง
จาก λ=θ n
Nsin
λ= )1()100(10
404
61040 −×=λ เซนตเมตร 400= นาโนเมตร
10 ซม.
90 ซม.
40 ซม. L
θ
100 ซม.
ปรากฏการณดอปเพลอร ปรากฏการณดอปเพลอร (doppler’s effect) เปนปรากฏการณอนหนงทเกยวกบการรบรและรสกไดเมอมการเคลอนทสมพทธระหวางแหลงกาเนดคลนกบผสงเกต ทาใหผสงเกตรบรและรสกวาคลนมความถเปลยนไปเมอมการเคลอนทของแหลงกาเนดคลนและผสงเกต การพจารณาความสมพนธตาง ๆ เพอคานวณหาความถของคลนทเกยวกบปรากฏการณน พจารณาไดดงน กรณท 1 เปนกรณทแหลงกาเนดคลนเคลอนทและผสงเกตอยนง ถาให v เปนความเรวของคลน Sv เปนความเรวของแหลงกาเนดคลน จากรปท 4.15 แหลงกาเนดคลนเคลอนทไปดานขวาเขาหาผสงเกตดวยความเรว Sv ผสงเกตจะรสกวาหนาคลนของคลนถกอดเขาหากน ทาใหความยาวคลนเปลยนไปจากเดมเปน λ′ และไดความเรวสมพทธของคลนเทยบกบแหลงกาเนดคลน v′ เปน Svv − แตความถคลนยงคงเปนความถเดม ( )0f นนคอ ความยาวคลนใหม λ′ เกดขนเนองจาก v′ นนเอง
รปท 4.15 แสดงความยาวคลน ความเรวคลนในกรณทแหลงกาเนดคลนเคลอนท และผสงเกตอยนง
0f
v′=λ′
ผสงเกตอยดานหนา ผสงเกตอย ดานหลง
Sv S
λ’
ความเรวคลน v ความเรวคลน v
0
Sf
vv −=
ดงนน ความถเดมทเปลยนไปเปน f ปรากฏตอผสงเกต จะได
0S
fvv
vvf
−
=λ′
= (4.13)
ในทานองเดยวกน ถาแหลงกาเนดคลนวงออกจากผสงเกต ผสงเกตจะรสกวาหนาคลนของคลนขยายออกจากเดม ไดความเรวสมพทธของคลนเทยบกบแหลงกาเนดคลนเปน Svv + จะได
0S
fvv
vf
+
= (4.14)
กรณท 2 เปนกรณทผสงเกตเคลอนท และแหลงกาเนดคลนอยนง
รปท 4.16 แสดงความยาวคลน ความเรวคลนในกรณทผสงเกตเคลอนทและ แหลงกาเนดคลนอยนง
Ov λ S
จากรปท 4.16 ถาผสงเกตเคลอนทเขาหาแหลงกาเนดคลน ผสงเกตจะรสกวาคลนวงเขาหาดวยความเรวทเปลยนไปเนองจากเกดความเรวสมพทธของคลนเทยบกบผสงเกตนนเอง จะไดความเรวสมพทธของคลนเทยบกบผสงเกต Lvv)v( +=′ นนคอ ความถเดมทเปลยนไปปรากฏตอผสงเกต เนองจากความเรวสมพทธนนเอง จะได
λ+
=λ′
= Lvvvf
แตเดมคลนม 0fv
=λ
0L f
vvvf
+
= (4.15)
ในทานองเดยวกน ถาผสงเกตเคลอนทออกจากแหลงกาเนดคลน จะไดวา
0L f
vvvf
−
= (4.16)
ในกรณทแหลงกาเนดคลนและผสงเกตเคลอนททงค การพจารณากเหมอนกบทกลาวมาแลวทง 2 กรณ มารวมเขาดวยกน โดยสตรรวมทว ๆไป คอ
0SL f
vvvvf
±±
= (4.17)
พจารณาเครองหมายของ Sv และ Sv โดยดทศทางการเคลอนทของแหลงกาเนดคลนและผสงเกต ตวอยางท 4.6 จากรป S เปนแหลงกาเนดคลนทผวนา ซงไหลอยางสมาเสมอจากทาง A ไป B
ถาอตราเรวของนาไหลเปน 31 ของอตราเรวทคลนกระจายออกไปในนานง
ความยาวคลนของคลนทผาน B จะเปนกเทาของความยาวคลนทผาน A
B A • • S • ทศทางการไหลของนา
วธทา ใหอตราเรวคลนนา เทากบ v
อตราเรวนาไหล เทากบ v31u =
กรณนเปนกรณทแหลงกาเนดคลนอยนงแตนาไหล 0vS =
หาความยาวคลนจากสตร S
Sf
v)uv( ++=λ
ทจด A SS
A f3v2
f
0)v31v(
=+−
=λ
ทจด B SS
B f3v4
f
0)v31v(
=++
=λ
จะไดวา 2
f3v2f3v4
s
S
A
B ==λλ
นนคอความยาวคลนผาน B เปน 2 เทาของความยาวคลนทผาน A คลนกระแทก (shock waves) ในหวขอเรอง ปรากฏการณดอปเพลอร ทผานมาเราไดทราบมาแลววาปรากฏการณ ดงกลาวเกดจากการเคลอนทสมพทธระหวางแหลงกาเนดคลนและผสงเกต ทาใหความถของคลนทผสงเกตรบรไดเพมขนหรอลดลง แตถาแหลงกาเนดคลนเคลอนทเรวกวาความเรวของคลนแลวจะเกดคลนกระแทกขน คลนทถกสงออกมาจะไปรวมตวกนทางดานขางของแหลงกาเนดเปนรปตว v (ใน 2 มต) หรอรปกรวยกลม(ใน 3 มต) โดยแหลงกาเนดจะอยตรงปลายแหลมหนาคลน
รปท 4.17 แสดงหนาคลนและทศทางการเคลอนทของแหลงกาเนดคลนของ คลนกระแทก ทมา (Holliday D., Resnick R., Walker J., 1993. p. 521) พจารณารปท 4.17 จะไดวา
tv
vtsinS
=θ
หรอ m1
vvsinS==θ
เมอ θ คอ มมระหวางหนาคลนกระแทกกบแนวการเคลอนท v คอ ความเรวของคลน Sv คอ ความเรวของแหลงกาเนดคลน m คอ เลขมค (mach number) หรออตราสวนระหวางความเรวของแหลงกาเนดคลนกบความเรวของคลน ในกรณทแหลงกาเนดคลนเคลอนทดวยความเรวมากกวาความเรวของคลนมาก ๆ เชน เครองบนเจต ซงเคลอนทดวยความเรวเหนอเสยง (supersonic speed) คลนกระแทกจะทาใหเกดการเปลยนแปลงความดนอยางรวดเรวทาใหเกดเสยงดงมาก เรยกวา ซอนกบม (sonic boom)
รปท 4.18 คลนกระแทกทเกดจากกระสนปน ทมา (Holliday D., Resnick R., Walker J., 1993. p. 521) ตวอยางท 4.7 เรอแลนดวยความเรว 72 กโลเมตร/ชวโมง แลนขนานฝงทะเลสาบในแนวหาง
จากฝง 45 เมตร คนทยนอยรมฝงจะสงเกตเหนคลนจากเรอกระทบฝง เมอเรอแลนผานไป 3 วนาท จงหาอตราเรวของคลนนา
วธทา เรอแลนดวยความเรว 72vS = กโลเมตร/ชวโมง = 20
3600100072
=× เมตร/วนาท
จากรป AB = 45 เมตร 60320tvBC S =×== เมตร
45 เมตร
A
B C θ
แนวทเรอแลน ตาแหนงเรอเรมแลน
ผสงเกต
vSt ตาแหนงเรอเมอคลนกระทบทฝง A
43
6045tan ==θ
o37=θ
u20
uveccos S ==θ
35
u2037eccos ==o
12u = เมตร/วนาท อตราเรวของคลนนาเทากบ 12 เมตร/วนาท
หลกการซอนทบของคลน จากการทดลองพบวาคลนตงแตสองคลนหรอมากกวาสองคลนขนไปสามารถเคลอนทผานทแหงเดยวกนไดโดยไมขนตอกน เหมอนกบวาคลนอกขบวนไมไดอยทนน ตวอยางเชน การฟงเสยง ดนตรจากเครองดนตรแตละชนดจากวงดนตร สามารถทจะแยกเสยงจากเครองดนตรแตละชนดไดอยางชดเจน ในทางคณตศาสตรอาจพจารณาไดวาทเวลาใด ๆ ผลลพธของการกระจดของคลนนน ๆ ทจดใด จะเปนผลบวกทางเวกเตอรของปรมาณกระจดของแตละคลน
เมอคลนตงแต 2 คลนเคลอนทมาพบกน ณ ตาแหนงหนง ขณะชวเวลาทพบกนจะเกดการรวมกนตามหลกพชคณตของเวคเตอร และการรวมกนของคลนจะไมรวมตวอยางถาวรหลงจากนนคลนจะเคลอนทผานกนไป
หลกการซอนทบของคลน มใจความวา เมอคลนเคลอนทมาพบกนแลวเกดการรวมกน โดยการกระจดของแตละตาแหนงของคลนรวมมคาเทากบผลบวกของการกระจดของแตละคลน และหลงจากทคลนผานพนกนแลว คลนยงคงรปราง ขนาด และทศทางเดม เหมอนกอนการซอนทบ การซอนทบของคลนมสองแบบ คอ
1. เมอสนคลนรวมกบสนคลน หรอเมอทองคลนรวมกบทองคลนจะทาใหการกระจดลพธทเกดจากการรวมกนของคลนมขนาดเพมขน เรยกวาการรวมกนของคลนแบบเสรม ดงรปท 4.18 ก
2. เมอสนคลนรวมกบทองคลน คลนจะทาใหการกระจดลพธทเกดจากการรวมกนของคลนมขนาดลดลง เรยกวาการรวมกนของคลนแบบหกลาง ดงรปท 4.19 ข
ก ข รปท 4.19 ก แสดงการรวมคลนเมอคลนยอยมการกระจดทศเดยวกน ข แสดงการรวมคลนเมอคลนยอยมการกระจดทศตรงขาม
การซอนทบของคลนรปไซน เราสามารถรวมคลนสองคลนเคลอนทในทศทางเดยวกนมความถ ความยาวคลน และแอมพลจดเทากน แตคามมเฟสตางกน เขยนคลนทงสอง คอ
)tkxsin(Ay
)tkxsin(Ay
2
1φ−ω−=
ω−=
ผลรวมของคลน คอ
)]-t-sin(kxt)-A[sin(kx
yyy 21φω+ω=
+=
)2
tkxsin()2
cos(A2 φ−ω−
φ= (4.18)
ผลทไดในสมการ (4.18) คอ คลนลพธซงมความถและความยาวคลนเทากบความถ
และความยาวคลนเทาเดม แตคาแอมพลจดของคลนลพธ เปน )2
cos(A2 φ และมมมเฟสเปน
2φ และถาคามมเฟสมคาเทากบ 0 ฉะนนคา cos
2φ = cos(0) = 1 คาแอมพลจดมคาเทากบ A2
ในกรณนเปนกรณทคลนทงสองมเฟสตรงกน (imphase) ฉะนนการรวมกนจงเปนแบบเสรมสรางกน กลาวไดวายอดคลนและทองคลนของคลนทงสองตรงกนและตรงกบคลนลพธ
ดวย รวมถงกรณท πππ=φ ,...2n4 ,22
เมอ n = 1, 2, 3, … ดวย จะเปนการรวมกนแบบ
เสรมสรางกนเสมอ ในทางตรงกนขาม ถา ππππ=φ 1)-,...(2n5 ,3 ,2
เมอ n = 1, 2, 3, …
จะเปนการรวมกนแบหกลางเสมอ โดยแอมพลจดจะมคาอยระหวาง 0 ถง 2A การแทรกสอดของคลน
เมอมคลนตงแต 2 คลน เคลอนทมาพบกนจะเกดการรวมกนแบบเสรมและแบบหกลาง ซงสงเกตไดจากการเกดแนวสวางและแนวมดของถาดคลน เราเรยกสมบตการรวมกนของคลนนวา “การแทรกสอด” (interference) และเรยกแนวสวางและแนวมดทเกดวา “ลวดลายการแทรกสอดหรอรวของการแทรกสอด” (interference pattern) ดงรปท 1 ซงเปนการแทรกสอดของคลนวงกลมตอเนองสองขบวนทเหมอนกนทกประการ หรอเรยกวาแหลงกาเนดคลนอาพนธ ซงหมายถง แหลงกาเนดคลนตงแต 2 อนขนไป ใหคลนออกมาทม ลกษณะเหมอนกนทกประการคอ ความถเทากน มเฟสตางกนคงท รปท 4.20 แสดงลวดลายการแทรกสอด จากรปท 4.20 เมอคลนจากแหลงกาเนดทงสองเคลอนทมาพบกนจะเกดการซอนทบ (superposition) ซงม 2 ลกษณะ
1. การแทรกสอดแบบเสรม( constructive interference) เกดขนเมอสวนทเปนสนคลนพบสวนทเปนสนคลน หรอสวนทเปนทองคลนพบสวนทเปนทองคลน แอมพลจดของคลนทงสองจะเสรมกน ทาใหผวนา ณ ตาแหนงนนมระดบสงขนมากทสดและลดตามากทสดตามลาดบ เราเรยกตาแหนงนวา “ปฏบพ” (antinode)
2. การแทรกสอดแบบหกลาง (destructive interference) เกดขนเมอสวนทเปนสนคลนพบกบสวนทเปนทองคลน แอมพลจดของคลนทงสองจะหกลางกน
ทาใหผวนา ณ ตาแหนงนนไมกระเพอม เราเรยกตาแหนงนวา “บพ” (node)
จากการศกษาเมอใหคลนตอเนองสองขบวนเคลอนทมาพบกนตลอดเวลา จะเกดบพและปฏบพอยางตอเนอง และพบวาเมอลากเสนเชอมตอปฏบพทอยถดกนไปจะไดแนวเสนทเรยกวา เสนปฏบพ (antinode line) สวนเสนทเชอมตอบพทอยถดกนไป จะไดแนวเสนทเรยกวา เสนบพ (node line) ทาใหเหนลวดลายการแทรกสอดดงรปท 4.21
รปท 4.21 แสดงการแทรกสอดของคลนนา จากรปขางบน แสดงการรวมกนแบบเสรมและแบบหกลางของคลนวงกลมตอเนอง 2 แหลงกาเนด เปนจดททองคลนพบกบทองคลน (ปฏบพ) เปนจดทสนคลนพบกบสนคลน (ปฏบพ) เปนจดทสนคลนพบกบทองคลน (บพ) A เปนเสนปฏบพ N เปนเสนบพ จากรปท 4.21 แสดงตาแหนงบพและปฏบพเมอคลนวงกลม 2 คลนเกดการแทรกสอดกน กาหนดให S1 เปนแหลงกาเนดคลนท 1 และ S2 เปนแหลงกาเนดคลนท 2 ถาให P0 , P1และ
P2 ,… เปนจดทอยบนเสนปฏบพท 0 ,ปฏบพท 1 ,ปฏบพท 2,…ตามลาดบและให Q1,Q2,…เปนจดทอยบนเสนบพท 1 , บพท 2,…ตามลาดบ นกเรยนจะสงเกตเหนวาแนวกลางจะเปนแนว ปฏบพเสมอถาแหลงกาเนคลนทงสองแหลงเปนแหลงกาเนดอาพนธทมเฟสตรงกน ฉะนนแนว ปฏบพจะเรมจากแนวท 0,1,2,3…สวนแนวบพจะไมมแนวกลางจะเรมท 1,2,3,… แตถาเปนแหลงกาเนดอาพนธทมเฟสตางกน 180 องศา แนวตรงกลางจะเปนแนวบพ
จากรปท 4.21 ทกลาวมาทงหมด เราจะเหนวาถาเราใหตาแหนง P เปนตาแหนงปฏบพใด ๆ บนเสนปฏบพ เราจะไดความสมพนธวา S1P – S2P = nλ เมอ n = 1,2,3,… (4.19) และถาใหตาแหนง Q เปนตาแหนงบพใด ๆ บนเสนบพ เราจะไดความสมพนธวา
S1Q – S2Q = n – 21 λ เมอ n = 1,2,3,… (4.20)
ตวอยางท 4.8 แหลงกาเนดคลนนาอาพนธ 2 แหลง สรางคลนทมความยาวคลน 3 เซนตเมตร ท
ตาแหนงซงหางจากแหลงกาเนดทงสอง 18 เซนตเมตร และ21 เซนตเมตร ตามลาดบ จะเกดการแทรกสอดไดบพหรอปฏบพทเทาใด
วธทา จากสตร S1P – S2P = nλ เปนกรณท P อยทตาแหนงปฏบพ
และ S1P – S2P = n – 21 λ เปนกรณท P อยทตาแหนงบพ
โจทยกาหนดให λ = 3 เซนตเมตร S1P = 21 เซนตเมตร และ S2P = 18เซนตเมตร ดงนน S1P – S2P = 3 นนคอ 3 = n(3) นนคอ n = 1 แสดงวา จด P เปนตาแหนงปฏบพท 1
คลนนง การแทรกสอด เปนสมบตของคลนซงเปนผลจากการซอนทบของคลนสองขบวนหรอมากกวา เกดขนเมอ เมอคลนหลายขบวนเคลอนทมาพบกนจะเกดการรวมกนของคลน คลนนง เปนปรากฏการณทเกดขนจากการแทรกสอดของคลนสองขบวนทมความถ และแอมพลจดเทากน เคลอนทในทศตรงกนขาม
รปท 4.22 แสดงคลนนงขณะใดขณะหนง
ฟงกชนคลนของคลนนง จาก )tkxsin(Ay1 ω+= เคลอนทไปทางซาย )tkxsin(Ay 2 ω−= เคลอนทไปทางขวา ( )tkxsinA)tkxsin(Ayyy 21 ω−+ω+=+=
( ) ( )[ ]tkxsintkxsinA ω−+ω+= (4.21) แต
( ) ( )
( ) ( )
ω+−ω+
ω−+ω+
=
−+=+
tkxtkx21costkxtkx
21sin2Ay
BA21cosBA
21sin2BsinAsin
( ) ( )
ω
= t2
21coskx2
21sin2A
[ ]tcoskxsinA2 ω= ( ) kxsintcosA2 ω= (4.22)
ฟงกชนคลนน คอ ฟงกชนคลนสถต ใชไดทงคลนตามยาวและคลนตามขวาง ซง y เปนฟงกชน ของ x เทยบกบ t เมอเทยบกบฟงกชนคลน ( )tkxsinAy ω−= จะไดวา แอมพลจดของคลนนง คอ tcosA2 ω ซงแปรผนกบเวลา( t ) เรยกสมการ
kxsintcosA2y ω= วาสมการคลนนง
คลนนงในเสนเชอก คลนนงในเสนเชอกทตรงปลายทง 2 ขาง
n = 1 Fundamental คอ ความถตาสดททาใหเกดคลนนง หรอ First Harmornic n = 2 Second Harmonic คอ ความถทถดจากความถมลฐาน หรอ First Overtone n = 3 Third Harmonic คอ จานวนเทาของความถมลฐาน หรอ Second Overtone
รปท 4.23 คลนนงในเสนเชอกทตรงปลายทง 2 ขาง จากฟงกชนคลนนง ( ) kxsintcosA2y ω=
หรอ ( ) x2sintcosA2yλπ
ω=
ตาแหนงบพ (Node) คอ ตาแหนง 0y = นนคอ 0kxsin = หรอ 0x2sin =λπ ซง
จะเกดขนเมอ πππ= 3,2,,0kx หรอ
k
3,k
2,k
,0x πππ=
แต λπ
=2k
π
ππ
=2
3,2
2,2
,0x
เมอ x คอระยะระหวางจดทขงตงระหวางปลายเชอก นนคอ จะเกดตาแหนงบพท 0x = และ ท 0L= เพราะวา 0y = จะเกดตาแหนงบพท
π= nkx เมอ ,.....3,2,1n = จาก π= nkx
λ=
λπ nx2
ถาใชเชอกยาว ( )LxL =
2nL
2nL
nL2
π=
πλ
π=
π=
λπ
เมอ ,...3,2,1n= นนคอกรณทปลายเชอกถกตรง ทงสองดาน ความยาวของเชอกทจะทาใหเกด
คลนนงได จะมคา2
nL λ=
เมอ ,...3,2,1n=
จาก λ
=vf
L2
nvfn = เมอ ,...3,2,1n= (4.23)
แต µ
= TFv
µ
= Tn
FL2nf (4.24)
เมอ ,...3,2,1n=
คลนนงในเสนเชอกทตรงปลายขางเดยว
รปท 4.24 คลนนงในเสนเชอกทตรงขางเดยว จากฟงกชนคลนนง ( ) kxsintcosA2y ω= 0y = เมอ 0x = เกดตาแหนงบพ (Node) y สงสด เมอ Lx = เกดตาแหนงปฏบพ (Antinode) พจารณาจากรป ความถมลฐาน (Fundamenta) ระยะความยาวเชอก L จะได
ความยาวคลน 4λ ทตาแหนงน เกดปฏบพ หรอคา y สงสด เมอ
2
5,2
3,2
kxsin πππ= คอคาสงสด
2nkxsin π
=
นนคอ 2
nkx π=
แตคาสงสดเกดขนเมอ Lx =
2nL22
nkL
π=
λπ
π=
นนคอ 4
L λ=
เมอ ,.....5,3,1n =
และ λ
=vfn
L4
nvfn = (4.25)
เมอ ,.....5,3,1n =
แต µ
= TFv
µ= T
nF
L4nf เมอ ,.....5,3,1n = (4.26)
ตวอยางท 4.9 เชอกยาว 2.5 เมตร ถกขงตรงทงสองขางโดยมดไวระหวางเสา 2 เสา จนทาให
ความเรวคลนในเสนเชอกเปน 80 เมตร/วนาท ถาทาใหเกดคลนนงในเสนเชอกจะตองปอนคลนทมความถเทาใด
วธทา โจทยกาหนดให L = 2.5 m, v = 80 m/s , fn = ?
จากสตร L2
nvFL2nf T
n =µ
=
จะไดวา n16)5.2(2)80(nfn == เฮรตซ เมอ n = 1, 2 , 3, …
นนคอ ความถทจะทาใหเกดคลนนงไดคอ 16, 32, 48, 64, ... เฮรตซ
คลนนงในทอ คลนนงในทอปลายปด 2 ขาง เชน กลอง
รปท 4.25 คลนนงในทอ จากสมการคลนนง ( ) kxsintcosA2y ω= ทตาแหนง 0x = และ Lx = เกดตาแหนงบพ (Node) นนคอ π== nkLkx เมอ n = 1, 2, 3, …
นนคอ 2
nL λ= เมอ n = 1, 2, 3, …
และ λ
=vf
L2
nv= (4.27)
เมอ ,.....3,2,1n =
แต ρ
=Bv
ρ
=B
L2nfn (4.28)
เมอ ,.....3,2,1n = คลนนงในทอปลายปด
รปท 4.26 คลนนงในทอปลายปด ในทานองกบทอปลายปด โดยอาศยหลกการเกดบพและปฏบพ ความยาวทอทนอยทสดททาใหเกดคลนนงไดตามเงอนไข คอ
นนคอ 4
nL λ=
เมอ ,.....5,3,1=n
และ L4
nvvfn =λ
=
L4
nvfn = (5.29)
เมอ ,.....5,3,1=n
แต ρBv =
ρ
=B
L4nfn (4.30)
เมอ ,.....5,3,1=n คลนนงในทอปลายเปด
รปท 4.27 คลนนงในทอปลายเปด เงอนไขของความยางทอ และความยาวคลนททาใหเกดคลนนง หาไดในทานองเดยวกนกบทอปลายปดทง 2 ขาง คอ
นนคอ 2
nL λ=
เมอ ,...3,2,1=n
จาก L2
nvvfn =λ
=
L2
nvfn = (4.31)
เมอ ,...3,2,1=n
แต ρ
=Bv
ρ
=B
L2nfn
เมอ ,...3,2,1=n ตวอยางท 4.10 ความถฮารมอนกท 5 เนองจากการสนพองของอากาศในทอปลายปดทอหนง
เทากบ 425 เฮรตซ ถาอตราเรวของคลนเสยงในอากาศเทากบ 340 เมตร/วนาท จงหาความยาวของทอปดทอน
วธทา โจทยกาหนดให f5 = 425 Hz, v = 340 m/s, n = 5 , L = ?
จากสตร L4
nvfn =
จะไดวา )L(4)340(5425=
1L= เมตร
บทสรป หนาคลน
การเกดคลนในลกษณะทแหลงกาเนดเปนจดคลนจะแผออกไปตามแนวรศมของวงกลมโดยสวนโคงของวงกลมคอแนวของหนาคลน ทศทางการเคลอนทของคลนจะตงฉากกบหนาคลนเสมอ สวนการเกดคลนในลกษณะทแหลงกาเนดเปนเสนตรง การเคลอนทของคลนทเกดในลกษณะทหนาคลนเปนแนวตรงโดยทศทางการเคลอนทของคลนจะตงฉากกบหนาคลนเชนกน
หลกของฮอยเกนส (Huygens’ principle) ทกทกจดบนหนาคลนใด ๆ อาจถอ ไดวาเปนแหลงกาเนดคลนใหมซงจะทาใหเกดคลนออกไปรอบ ๆ คลนใหมนจะมอตราเรวเทากบอตราเรวของการเคลอนทของคลนเดม การสะทอนและการสงผานของคลน 1. ความตานทานเชงซอนของเสนลวด (Impedance of string)
คาความตานทานเชงซอนของตวกลางหาไดจากอตราสวนระหวางแรงททาใหคลนเกดการเคลอนทและอตราเรวของการเคลอนท
vFZ =
เมอ Z คอ คาความตานทานเชงซอนของตวกลาง F คอ แรงททาใหคลนเกดการเคลอนท v คอ อตราเรวของคลนเคลอนท คาความตานทานเชงซอนของเสนลวด คอ
cTZ=
เมอ 2cT ρ= นนคอ cz ρ=
2. การสะทอนและการสงผานของคลนในเสนลวด สมประสทธของการสะทอน และสมประสทธการสงผานภายใตเงอนไขขอบเขตดงน เงอนไขท 1 เงอนไขเชงเรขาคณต คอ 211 ABA =+
เงอนไขท 2 เงอนไขเชงพลวต 22111 AZ)BA(Z =−
แอมพลจดของสมประสทธการสะทอน คอ
2121
11
12 ZZZZ
ABR
+−
==
แอมพลจดของสมประสทธการสงผาน คอ
21
112
ZZZ2
AAT
+==
3. การสะทอนและการสงผานพลงงาน
พลงงานรวมของคลนตกกระทบ คอ 21
21 A
21
ωρ
พลงงานรวมของคลนสะทอน คอ 21
21 B
21
ωρ
สมประสทธการสะทอนความเขมของพลงงาน คอ 21
21
21
21
21
21
AB
A21
B21
=ωρ
ωρ
หรอสมประสทธการสะทอนความเขมของพลงงาน คอ 221
221
)ZZ()ZZ(
+−
สวนสมประสทธการสงผานความเขมของพลงงาน คอ 211
222
21
21
21
22
AA
A21
A21
ρρ
=ωρ
ωρ
หรอ สมประสทธการสงผานความเขมของพลงงาน คอ 22121
)ZZ(ZZ4
+
ถา 21 ZZ = จะไมมการสะทอน การหกเหของคลน 1. การหกเหของคลนระนาบทผวราบ
กฏของสเนล คอ 21
21
vv
sinsin
=φφ
หรอ 12
21
nn
sinsin
=φφ เมอ
12
21
nn
vv=
หรอ 22
11
vvλ
=λ
2. การสะทอนภายในกลบหมด
จากกฎของสเนล คอ 121
2 sinnnsin φ=φ
ถา 21 nn > จะทาให 21 sinsin φ>φ และถา o902 =φ 1sin 2 =φ ซงจะทาให o90 าตองนอยกว1φ มม 1φ เรยกวามมวกฤตหรอ cφ ถา 1 φ มคามากกวามมวกฤตแลว sin 2φ จะตองมากกวา 1 ซงหมายความวา คลนไมสามารถผานไปในตวกลางท 2 ได แตจะมการสะทอนกลบหมดทผวแบง คามมวกฤตจะมคา
12
c nnsin =φ
การเลยวเบนของคลน สตรในการคานวณการเลยวเบน
0n,nsind ≠λ=θ n อาจเปนคาบวกหรอลบกได 0n = ใหตาแหนงซงอยในแนวแสงตกกระทบซงเปนตาแหนงทมความสวางมากทสด การคานวณหาการแจกแจงความเขมของลวดลายการเลยวเบน
( ) 20 /sind
/sindsinII
λθπλθπ
=
ปรากฏการณดอปเพลอร
ปรากฏการณดอปเพลอร (doppler’s effect) เปนปรากฏการณอนหนงทเกยวกบการรบรและรสกไดเมอมการเคลอนทสมพทธระหวางแหลงกาเนดคลนกบผสงเกต ทาใหผสงเกตรบรและรสกวาคลนมความถเปลยนไป สตรในการคานวณปรากฏการณดอปเพลอร คอ
0SL f
vvvvf
±=
m
คลนกระแทก เปนปรากฏการณทแหลงกาเนดคลนเคลอนทเรวกวาความเรวของคลน
m1
vvsinS==θ
เมอ θ คอ มมระหวางหนาคลนกระแทกกบแนวการเคลอนท v คอ ความเรวของคลน Sv คอ ความเรวของแหลงกาเนดคลน m คอ เลขมค หลกการซอนทบของคลน
เมอคลนเคลอนทมาพบกนแลวเกดการรวมกน โดยการกระจดของแตละตาแหนงของคลนรวมมคาเทากบผลบวกของการกระจดของแตละคลน และหลงจากทคลนผานพนกนแลว คลนยงคงรปราง ขนาด และทศทางเดม เหมอนกอนการซอนทบ การซอนทบของคลนมสองแบบ คอ
1. เมอสนคลนรวมกบสนคลน หรอเมอทองคลนรวมกบทองคลนจะทาใหการกระจดลพธทเกดจากการรวมกนของคลนมขนาดเพมขน เรยกวาการรวมกนของคลนแบบเสรม
2. เมอสนคลนรวมกบทองคลน คลนจะทาใหการกระจดลพธทเกดจากการรวมกนของคลนมขนาดลดลง เรยกวาการรวมกนของคลนแบบหกลาง การแทรกสอดของคลน การแทรกสอดแบบเสรม เกดขนเมอสวนทเปนสนคลนพบสวนทเปนสนคลน หรอสวนทเปนทองคลนพบสวนทเปนทองคลน แอมพลจดของคลนทงสองจะเสรมกน เรยกตาแหนงนวา “ปฏบพ” (antinode) การแทรกสอดแบบหกลาง เกดขนเมอสวนทเปนสนคลนพบกบสวนทเปนทองคลน แอมพลจดของคลนทงสองจะหกลางกน เรยกตาแหนงนวา “บพ” (node)
ถาใหตาแหนง P เปนตาแหนงปฏบพใด ๆ บนเสนปฏบพ จะไดความสมพนธวา
S1P – S2P = nλ เมอ n = 1,2,3,… และถาใหตาแหนง Q เปนตาแหนงบพใด ๆ บนเสนบพ จะไดความสมพนธวา S1Q – S2Q = n –
21 λ เมอ n = 1,2,3,…
คลนนง คลนนง เปนปรากฏการณทเกดขนจากการแทรกสอดของคลนสองขบวนทมความถ และแอมพลจดเทากน เคลอนทในทศตรงกนขาม ให )tkxsin(Ay1 ω+= เคลอนทไปทางซาย และ )tkxsin(Ay 2 ω−= เคลอนทไปทางขวา สมการคลนนง คอ
kxsintcosA2y ω= คลนนงในเสนเชอก
ความถ คอ µ
= Tn
FL2nf เมอ ,...3,2,1n=
คลนนงในเสนเชอกทตรงปลายขางเดยว
ความถ คอ µ
= Tn
FL4nf เมอ ,.....5,3,1n =
คลนนงในทอปลายปด
ความถ คอ ρ
=B
L4nfn เมอ ,.....5,3,1=n
คลนนงในทอปลายเปด
ความถ คอ ρ
=B
L2nfn เมอ ,...3,2,1=n