บทที6่ความสัมพันธ์ในข้อมูล

6.1 ความสัมพันธ์ในข้อมูลสองตัวแปร6.2 สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์6.3 การถดถอยและการคาดคะเนค่า6.4 แนวโน้ม

6.1 ความสัมพันธ์ในข้อมูลสองตัวแปร

ตัวอย่างที่ 6.1 การปรับปรุงคุณภาพการเรียนการสอนโดยการถามถามความเห็นของนิสิตเกี่ยวกับการสอนว่า ความพอใจของนิสิตในการเรียนวิชาหนึ่งขึ้นกับวิชานั้นว่าเป็นวิชาบังคับหรือวิชาเลือกหรือไม่ ดังนั้นในแบบสอบถามจึงให้นิสิตระบุว่าวิชาที่เรียนเป็นวิชาบังคับหรือวิชาเลือก นอกเหนือจากการให้นิสิตเสนอความเห็นเกี่ยวกับวิชานั้นโดยมี 3 ระดับให้เลือก คือ ดี พอใช้ และควรปรับปรุง ทั้งนี้เมื่อสอบถามนิสิตที่เรียนวิชาหนึ่งจ านวน 200 คน ได้ข้อมูลที่น ามาจ าแนกนิสิตเป็นกลุ่มตามค่าของตัวแปรสองตัว คือ ลักษณะวิชาและความคิดเห็น ความถี่หรือจ านวนนิสิตในแต่ละกลุ่มแสดงในตารางการณ์จรขนาด 2*3 ได้ดังตารางที่ 6.1

ดี พอใช้ ควรปรับปรุง รวม

วิชาเลือก 35 20 5 60

วิชาบังคับ 37 76 27 140

รวม 72 96 32 200

ดี พอใช้ ควรปรับปรุง รวม

วิชาเลือก 17.5 10.0 2.5 30.0

วิชาบังคับ 18.5 38.0 13.5 70.0

รวม 36.0 48.0 16.0 100.0

ตารางที่ 6.1 จ านวนนิสิตจ าแนกตามลักษณะวิชาและความเห็นต่อวิชา

ตารางที่ 6.2 ร้อยละของนิสิตจ าแนกตามลักษณะวิชาและความเห็นต่อวิชา

ดี พอใช้ ควรปรับปรุง รวม

วิชาเลือก 58.4 33.3 8.3 100.0

วิชาบังคับ 26.4 54.3 19.3 100.0

รวม 84.8 87.6 27.6 200.0

ตารางที่ 6.3 ร้อยละของนิสิตที่มีความเห็นต่างๆ ต่อวิชาที่เรียนแยกตามกลุ่มลักษณะวิชา

ภาพที่ 6.1 ความเห็นของนิสิตต่อวิชาที่เรียนแยกตามกลุ่มลักษณะวิชา

6.1.2 ความสัมพันธ์ในข้อมูลเชิงปริมาณ

เมื่อมีข้อมูลของตัวแปรสองตัวที่วัดค่าเป็นตัวเลข เรียกวา่ ข้อมูลเชิงปริมาณ สิ่งทีน่่าสนใจจากขอ้มูลนี้ ได้แก่

•ตัวแปรทั้งสองเกี่ยวข้องกันหรือไม่•ระดับความสัมพันธ์ของตัวแปรมมีากน้อยเพียงใด•ความสัมพันธ์ของตัวแปรอยู่ในรูปแบบใด•จะคาดคะเนค่าตัวแปรหนึ่งจากอีกตัวแปรได้หรอืไม่

GPA GMAT GPA GMAT GPA GMAT

3.44 632 2.36 399 2.80 444

3.59 588 2.36 482 3.13 426

3.30 563 2.66 420 3.01 471

3.40 553 2.68 414 2.79 490

3.50 572 2.48 533 2.89 431

3.78 591 2.46 509 2.91 446

3.00 509 2.63 504 2.75 546

3.48 528 2.44 336 2.73 467

3.22 541 2.36 464 3.22 506

3.47 552 2.13 408 3.12 473

3.35 520 2.41 469 3.08 440

3.39 543 2.55 529 3.03 419

ตารางที่ 6.4 ข้อมูล GPAและคะแนน GMATของผู้สมัครเรียน36 คน

ภาพที่ 6.2 แผนภาพการกระจายของคะแนน GPA ของผู้สมัครเรียนต่อกับคะแนนผลการสอบ GMAT

ภาพที่ 6.3 แผนภาพการกระจายของความสูงของบิดาและบุตรชาย 1,078 คู่

ก.สหสัมพันธ์ทางบวก - คนสูงจะมีน้ าหนักมาก

ข.สหสัมพันธ์ทางลบ - คนสูงแต่มีน้ าหนักน้อย

ภาพที่ 6.4 ความสัมพันธ์ระหว่างความสูงและน้ าหนัก

ภาพที่ 6.5 แผนภาพการกระจายของข้อมูล 2 ชุด ที่มีค่ากลางและการกระจายเหมือนกันแต่ระดับความสัมพันธ์ต่างกัน

ภาพที่ 6.6 แผนภาพการกระจายของข้อมูล 4 ชุดที่มีค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ต่างกัน

ภาพที่ 6.7 แผนภาพการกระจายของข้อมูลที่มีค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เป็นบวกและลบ

ภาพที่ 6.9 แผนภาพการกระจายของข้อมูล 2 ชุดที่ไม่ควรใช้ค่า r วัดระดับความสัมพันธ์

ตัวอย่างลักษณะเส้นตรงที่มีความชันเป็นบวกและลบแสดงในภาพที่ 6.10

ภาพที่ 6.10 กราฟ 2 รูปที่มี intercept และความชันต่างกัน

ภาพที่ 6.11 แผนภาพการกระจายของจุดรอบเส้นถดถอย

ตัวอย่างที่ 6.3 ในปัจจุบันคอมพิวเตอร์เข้ามามีบทบาทในชีวิตเรามากขึ้น นิสิตทุกคนต้องเรียนรู้การประยุกต์ใช้งานคอมพิวเตอร์ในด้านต่างๆ ดังนั้นจึงมีผู้สนใจศึกษาว่า ความถนัดทางคอมพิวเตอร์ขึ้นอยู่กับความสามารถทางคณิตศาสตร์หรือไม่ ในการศึกษาเรื่องนี้ได้ให้นิสิตจ านวน 20 คน ทดลองท าแบบทดสอบ 2 ชุด ชุดหนึ่งวัดความสามารถทางคณิตศาสตร์ และอีกชุดวัดความถนัดทางคอมพิวเตอร์ คะแนนจากการทดสอบมีดังนี้

คณิตศาสตร์ (x) 28 35 42 41 44 42 36 44 39 36

คอมพิวเตอร์ (y) 4 16 20 13 22 21 15 20 19 16

คณิตศาสตร์ (x) 40 40 33 27 32 45 41 31 41 43

คอมพิวเตอร์ (y) 18 17 8 6 5 20 18 11 19 22

ตัวอย่างที่ 6.4 จากตัวอย่างเรื่องความถนัดทางคอมพิวเตอร์กับความสามารถทางคณิตศาสตร์ หากทราบคะแนนความถนัดทางคอมพิวเตอร์ของนิสิตคนหนึ่ง และต้องการคาดคะเนคะแนนด้านคณิตศาสตร์ของเขา คะแนนด้านคอมพิวเตอร์จะเป็นตัวแปรอิระ และคะแนนด้านคณิตศาสตร์เป็นตัวแปรตาม สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างคะแนนทดสอบสองด้านมีค่าเท่าเดิม คือ 0.9102 แต่สมการถดถอยใหม่ คือ

y = 24.69+0.86x

เมื่อ x เป็นคะแนนทดสอบด้านคอมพิวเตอร์ และ y เป็นค่าประมาณของคะแนนทดสอบด้านคณิตศาสตร์

เส้นถดถอยจากสมการนี้แสดงในภาพที่ 6.13

สมการถดถอยชี้ว่าคะแนนทดสอบด้านคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้น (ลดลง) 0.86 คะแนน ต่อแต่ละคะแนนที่เพิ่มขึ้น (ลดลง) ของการทดสอบด้านคอมพิวเตอร์ และถ้านิสิตท าคะแนนคอมพิวเตอร์ได้ 18 คะแนน ก็คาดว่าคะแนนคณิตศาสตร์ของเขา คือ 40.17 (=24.69+0.86(18)) คะแนน

ภาพที่ 6.13 เส้นถดถอยของคะแนนคณิตศาสตร์กับคะแนนคอมพิวเตอร์

ตัวอย่างที่ 6.5 อาจารย์ผู้หนึ่งรวบรวมข้อมูลจ านวนชั่วโมงที่นิสิตทบทวนบทเรียนก่อนสอบ (x)และคะแนนที่นิสิตท าได้ในการสอบ (y) ข้อมูลและแผนภาพการกระจายเป็นดังนี้

ชั่วโมงทบทวน คะแนนสอบ

2

3

4

4

5

6

6

7

8

59

69

62

71

79

75

88

82

90

แผนภาพการกระจายชี้ให้เห็นความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงระหว่างคะแนนสอบกับจ านวนชั่วโมงที่ใช้ทบทวนบทเรียน สมการถดถอยที่ประมาณได้คื

y= 50.17+4.97x

จะเห็นว่า เมื่อทบทวนบทเรียนเพิ่มขึ้น 1 ชั่วโมง คะแนนสอบจะเพิ่มขึ้น 4.97 คะแนน และถ้าคาดคะเนคะแนนสอบจากสมการถดถอย จะได้ดังนี้

^

ชั่วโมงทบทวน คะแนนสอบที่คาดว่าจะได้

7 84.96

8 89.93

9 94.90

10 99.87

11 104.84

ตัวอย่างที่ 6.6 ปริมาณการใช้ไฟฟ้า (หน่วยเป็นล้านกโิลวัตต์-ชั่วโมง) ในพื้นที่หนึ่งชว่งปี พ.ศ.2532 ถึงปี พ.ศ.2541 แสดงในรูปแบบตารางและกราฟเส้นดังต่อไปนี้

ปี พ.ศ. ปริมาณการใช้ไฟฟา้ (ล้านกิโลวัตต์-ชั่วโมง)

2532 205

2533 206

2534 223

2535 234

2536 231

2537 241

2538 267

2539 268

2540 277

2541 290

ตารางที่ 6.5 การผลิตน้ ามันดิบของโลกในปี ค.ศ.1880-1974(หน่วย : ล้านบาร์เรล)

ปี ปริมาณ ปี ปริมาณ ปี ปริมาณ ปี ปริมาณ

1880 30 1920 689 1950 3,803 1968 14,104

1890 77 1925 1,069 1955 5,626 1970 16,690

1900 149 1930 1,412 1960 7,674 1972 18,584

1905 215 1935 1,655 1962 8,882 1974 20,389

1910 328 1940 2,150 1964 10,310

1915 432 1945 2,595 1966 12,016

ภาพที่ 6.16 การผลิตน้ ามันดิบของโลกในปี ค.ศ.1880-1974

เราจะอธิบายการเปลี่ยนแปลงของการผลิตน้ ามันจากปี ค.ศ.1880 ถึงปี ค.ศ.1974 ด้วยฟังก์ชนัแนวโน้มเอ็กซโ์พเนนเชยีลได้หรือไม่

ภาพที่ 6.17 ลอการิทึมของปริมาณการผลิตน้ ามันดิบของโลกในปี ค.ศ.1880-1974

เพื่อให้แน่ชัดขึ้น จึงแปลงข้อมูลปริมาณการผลิตด้วยลอการิทึมฐาน 10 ภาพที่ 6.17 เป็นกราฟของลอการิทึมของปริมาณการผลิตน้ ามันดิบของโลกแต่ละปี