อนุพันธของฟงกชันหลายตัวแปร

1. ฟงกชันหลายตัวแปร การศึกษาที่ผานมาเรารูจักฟงกชันในรูป y = f(x) ซ่ึงหมายความวาเราสามารถเขียนปริมาณหรือตัวแปรตาม y ในเทอมของตัวแปรอิสระ x เพียงตัวเดียวอยางชัดเจน แตในความเปนจริง เราพบวาปริมาณหลายส่ิงที่ไมไดขึ้นอยูกับตัวแปรเพียงตัวเดียว เชน คะแนนเฉลี่ยสะสมของนักศึกษาคนหนึ่งขึ้นอยูกับจํานวนวิชาทั้งหมดที่นักศึกษาจะตองลงทะเบียนเรียน หรือตัวอยางในทางคณิตศาสตรที่พบกันบอยๆ เชน ปริมาตรของทรงกระบอกกลมขึ้นอยูกับความสูงและรัศมีของฐาน พื้นที่ส่ีเหล่ียมผืนผาขึ้นกับความกวางและความยาว หรือขนาดของแตละเวกเตอรใน 3 มิติ v = xi + yj + zk เปนปริมาณที่ขึ้นกับตัวแปร x, y และ z เปนตน การกําหนดคาจริงคาหนึ่งขึ้นกับแตละชุดของตัวแปร n ตัวโดยที่ n ≥ 2 เราจะไดฟงกชันคาจริงของหลายตัวแปร เชน ปริมาตรของทรงกระบอกกลม V = πr2h เปนการกําหนดคาจริงสําหรับแตละชุดของ r และ h ดังนั้น V จึงเปนตัวแปรในรูปฟงกชันคาจริงของ 2 ตัวแปร เปนตน และเพราะแตละคูอันดับ (x1, x2) หรือชุด n-อันดับ (x1, x2, . . . , xn) ของตัวแปร 2 ตัวหรือ n ตัวแทนไดดวยเวกเตอรใน 2 มิติหรือ n มิติตามลําดับ เราจึงอาจเรียกฟงกชันคาจริงของหลายตัวแปรเหลานี้วาฟงกชันคาจริงของเวกเตอร หรือ ฟงกชันของเวกเตอร เมื่อกลาวถึงฟงกชันเราก็ควรพิจารณามโนคติเกี่ยวกับแคลคูลัสเชนที่ไดศึกษาในกรณีของฟงกชันตัวแปรเดียว โดยการพิจารณาในแนวทางวาเราจะสามารถขยายนิยามของกรณีตัวแปรเดียวสูการวางนัยทั่วไปสําหรับฟงกชันหลายตัวแปรไดอยางไร ในบทนี้เราจะศึกษาเฉพาะมโนคติที่เกี่ยวกับอนุพันธและการประยุกต สวนเรื่องการหาปริพันธจะแยกไวในบทตอๆไป

บทนิยาม 1.1 : ให D เปนสับเซตของปริภูมิ n มิติ Rn (n ≥ 2) และ f เปนฟงกชันซึ่งกําหนดคาจริงเพียงคา

เดียว สําหรับแตละเวกเตอรใน D ที่เขียนไดในรูป y = f(x1, x2, . . . , xn) (n ≥ 2) เราจะเรียก f วาฟงกชัน n ตัวแปร(Function of n Variables) หรือฟงกชันหลายตัวแปร(Several Variables Function) เซต D คือโดเมนของ f สวนพิสัยของ f คือเซต

{f(x1, x2, . . . , xn) ∈ R | (x1, x2, . . . , xn) ∈ D }

109

ตัวอยาง 1.1 : ถาให D เปนสับเซตของ R2 และสําหรับแตละจุด (x, y) ใน R2 เรานิยามฟงกชันคาจริง

f(x, y) = x2 + y4 แลวเนื่องจาก x2 + y4 ≥ 0 ทุกจํานวนจริง x และ y ดังนั้นพิสัยของ f จึงเปนเซตของจํานวนจริงที่ไมเปนลบ

กรณีที่โจทยไมกําหนดโดเมนของฟงกชันมาให โดเมนของ f คือสับเซตที่ใหญที่สุดของ Rn ที่

กําหนดคา f(x1, x2, . . . , xn) เปนจํานวนจริง ตัวอยาง 1.2 : จงหาโดเมนและพิสัยของฟงกชัน 2 ตัวแปรและ 3 ตัวแปรที่กําหนดในแตละขอตอไปนี้ 1. f(x, y) = 4 2 2− −x y พรอมทั้งหาคา f(0, 1) และ f(-1, 1) วิธีทํา : เห็นไดชัดวา f(x, y) เปนจํานวนจริงเมื่อจํานวนใตเครื่องหมายราก

ไมเปนลบ ดังนั้นโดเมนของ f คือเซต D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 4 } นั่นคือโดเมนเปนแผนจาน ดังรูป เนื่องจาก x2 และ y2 ไมเปนลบ จํานวน 4 2 2− −x y มีคามากที่สุดเมื่อ x = y = 0 ซ่ึงทําใหได

4 2 2− −x y = 4 = 2 แตเพราะ x2 + y2 ≤ 4 คานอยที่สุดของ 4 2 2− −x y คือ 0 ซ่ึงเกิดขึ้นเมื่อ x2 + y2 =

4 หรือที่ทุกจุดบนเสนรอบวงของวงกลม x2 + y2 = 4 ดังนั้นพิสัยของ f คือชวงปด [0, 2] และ f(0, 1) = 4 0 12 2− − = 3 และ f(-1, 1) = 4 1 12 2− − −( ) = 2 2. f(x, y) = tan-1(y/x)

วิธีทํา : tan-1(y/x) หาคาไดเสมอเมื่อ x ≠ 0 ดังนั้นโดเมนของ f จะคือเซต {(x, y) ∈ R2 | x ≠ 0} และจากนิยามของ tan-1x เราจะไดพิสัยของ f คือชวงเปด (-π/2, π/2)

3. w = f(x, y, z) = )9z( )4

y( x1222

−−− พรอมทั้งหาคา f(0, 1, 1)

วิธีทํา : f(x, y, z) เปนจํานวนจริงเมื่อ )9z( )4

y( x1222 −−− ≥ 0

ซ่ึงเกิดขึ้นเมื่อ )9z( )4

y( x222

++ ≤ 1 แตสมการ )9z( )4

y( x222

++ = 1 เปนสมการของทรงรี ดังรูป

110

เพราะฉะนั้นโดเมนของ f จึงคือเซตของจุดใน 3 มิติที่อยูภายในทรงรีนี้ สวนพิสัยของ f จะคือชวงปด [0, 1]

เพราะวา )9z( )4

y( x222 ++ ≥ 0 ดังนั้น )9

z( )4y( x1

222 −−− มีคามากที่สุดเทากับ 1 เมื่อ x = y = z = 0 และสุดทาย f(0, 1, 1) = 1 0 1 4 1 92 2 2− − − ( / ) ( / ) = 1 1

419− − = 1 13

26− = 236

ขอใหสังเกตวารูปของตัวอยาง 1.2 เปนกราฟของโดเมนของฟงกชันเทานั้น ไมใชพื้นผิวของฟงกชันนั้นๆ กราฟของฟงกชันตัวแปรเดียวสามารถวาดไดในระนาบ เพราะเปนเซตของจุด (x , y) ทั้งหลายที่สอดคลองกับสมการ y = f(x) เราจึงจะนิยามกราฟของฟงกชัน 2 ตัวแปรโดยใหเปนเซตของจุด (x, y, z) ใน

R3 ที่สอดคลองกับสมการ z = f(x, y) และเรียกวาพื้นผิว (Surface) แตเพราะเราไมสามารถเห็นภาพในมิติที่มากกวา 3 จึงไมมีการกลาวถึงการวาดกราฟของฟงกชันที่มีตัวแปรมากกวา 3 ตัว อยางไรก็ตามเรายังคงนิยามกราฟของฟงกชัน n ตัวแปรและเรียกวาพื้นผิวในทํานองเดียวกัน ตัวอยาง 1.3 : จงวาดกราฟของฟงกชัน z = f(x, y) = 1 2 2− −x y

วิธีทํา : สังเกตวา z ≥ 0 ดังนั้นเมื่อยกกําลังสองทั้งสองขางของสมการจะได z = 1 2 2− −x y หรือ x y z2 2 2+ + = 1 ซ่ึงเปนสมการของทรงกลมหนวย อยางไรก็ตาม z ≥ 0 เราจึงไดกราฟของฟงกชันเปนครึ่งทรงกลม ดังรูป

จากที่เราไดพิจารณากราฟของสมการกําลังสองของ 3 ตัวแปรที่เรียกวาพื้นผิวกําลังสอง ในขณะนี้

เราจะมาพิจารณาเทคนิคการวาดกราฟของพื้นผิวอ่ืนๆบาง แตการวาดกราฟใน R3 เปนเรื่องยุงยากมาก ดัง

จะเห็นวาแมแตการวาดกราฟของพื้นผิวกําลังสองที่มีรูปแบบแนนอนก็ยังคอนขางยุงยากมาก โดยมากจะอาศัยคอมพิวเตอรเขาชวย ดังนั้นการวาดกราฟที่เราพอจะทําไดจึงเปนการวาดแบบพอใหเห็นเคาโครงเทานั้น โดยอาศัยส่ิงที่เราเรียกวาภาคตัดขวางและเสนโคงระดับ ภาคตัดขวาง(Cross Section) ของพื้นผิว คือ บริเวณของพื้นผิวที่ปรากฎบนระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด

111

ตัวอยาง 1.4 : จงเขียนเคาโครงและแสดงภาคตัดขวางของพื้นผิว z = f(x, y) = x3+ 3x2 - y2 - 9x + 2y - 10 วิธีทํา : สมการของระนาบ xz คือ y = 0 และสมการของระนาบที่ขนานกับระนาบ xz คือ y = c เมื่อ c เปนคาคงที่ ถาแทนคา y = c ในสมการของพื้นผิวเราจะได z = x3 + 3x2 - 9x - 10 + (-c2 + 2c) = x3 + 3x2 - 9x - 10 + k เมื่อ k = -c2 + 2c เปนคาคงที่ และสําหรับการแทนคา k หลายๆคา เราจะเห็นภาพของภาคตัดขวางบนระนาบที่ขนานกับระนาบ xz เปนกราฟของ z = x3 + 3x2 - 9x - 10 ที่ระดับตางๆกันดังรูป 4.1.1(ก) คามากสุดของฟงกชัน g(c) = -c2 + 2c เทากับ 1 เกิดขึ้นเมื่อ c = 1 (ทําไม) ภาคตัดขวางที่อยูสูงสุดของพื้นผิวคือกราฟของสมการ z = x3 + 3x2 - 9x - 9 (เมื่อ k = 1)

(ก) (ข) (ค)

รูป 4.1.1 ทํานองเดียวกันสมการของระนาบ yz คือ x = 0 และสมการของระนาบที่ขนานกับระนาบ yz คือ x = c เมื่อ c เปนคาคงที่ และเมื่อแทนคา x = c ในสมการของพื้นผิวเราจะได z = -y2 + 2y + (c3 + 3c2 - 9c - 10) = -y2 + 2y + k และสําหรับการแทนคา k หลายๆคา เราจะไดภาคตัดขวางบนระนาบที่ขนานกับระนาบ xz เปนดังรูป 4.1.1(ข) เราไดภาพของพื้นผิวที่วาดโดยคอมพิวเตอรเปนดังรูป 4.1.1(ค)

112

ถาเราให z ของ z = f(x, y) คงที่ หรือพิจารณา z = c เราจะไดสมการ c = f(x, y) เปนสมการของเสนโคงบนระนาบ xy ซ่ึงเราจะเรียกเสนโคงเหลานี้วาเสนโคงระดับ(Level Curve) หรือกลาวไดวาเสนโคงระดับคือสวนฉายลงบนระนาบ xy ของสวนที่ตัดกันของพื้นผิว z = f(x, y) กับระนาบ z = c และเสนโคงระดับนี้ มีประโยชนอยางมากในการวาดแผนที่ทางภูมิศาสตร

(ก) (ข)

รูป 4.1.2 รูป 4.1.2 (ก) แสดงเสนโคงระดับของพื้นผิวทรงพาราโบลาเชิงวงกลม z = x2 + y2 ที่มีกราฟของพื้นผิวแสดงในรูป 4.1.2 (ข) ตัวอยาง 1.5 : จงวาดเสนโคงระดับของพื้นผิว z = ln(4 - x2 - 4y2) วิธีทํา : ถาเราให z = z0 = ln c โดยที่ c เปนจํานวนจริงบวกคงที่ แลวเสนโคงระดับจะถูกกําหนดโดย c = 4 - x2 - 4y2

ซ่ึงแตละเสนโคงระดับคือวงรีที่เขียนไดในรูป

x

c

2

144 1( )−

+ y

c

2

141−

= 1 หรือ x

ez

2

144 1 0( )−

+ y

ez

2

141 0−

= 1

เมื่อ 0 < c < 4 หรือ −∞ < z0 < ln 4 เสนโคงระดับเหลานี้แสดงใหเห็นในรูป 4.1.3

เสนโคงระดับของ z = ln(4 - x2 - 4y2) พ้ืนผิวของ z = ln(4 - x2 - 4y2)

รูป 4.1.3

113

2. ลิมิตและความตอเนื่อง

ลิมิตของฟงกชันตัวแปรเดียวนิยามบนชวงเปดเล็กๆรอบจุดคงที่ โดยเราจะกลาววา x เขาใกล x0 เมื่อ x x−

0 มีขนาดเล็กเพียงพอ หรือ x อยูในชวงเปดเล็กๆรอบจุด x0 ดังนั้นเมื่อจะใหนิยามลิมิตของฟงกชัน

หลายตัวแปร เราจึงควรขยายความหมายของมโนคติเหลานี้ใน Rn เสียกอน โดยจะขอเริ่มใน R2 เพื่อใหเห็น

แนวความคิดของการนิยามในรูปวางนัยทั่วไป

ให (x0, y0) เปนจุดคงที่ใน R2 แลวเซตของจุด (x, y) ที่มีระยะหางจาก (x0, y0) เปนระยะคงที่ r คือ

เซต

{(x, y) | ( , ) ( , )x y x y −0 0

= r } และเซตนี้ก็คือวงกลมที่มีรัศมี r และจุดศูนยกลางที่ (x0, y0) แตเพราะจุดคือเวกเตอร ดังนั้นระยะหางของ (x, y) กับ (x0, y0) หรือ ( , ) ( , ) x y x y−

0 0 ก็คือ ขนาดของเวกเตอรผลตางของ (x, y) กับ (x0, y0) นั่นเอง

ทําใหเราได ( , ) ( , )x y x y −

0 0 = ( , ) x x y y− −

0 0 = ( ) ( ) x x y y− + −

02

02 = r

เพราะฉะนั้น ( , ) ( , )x y x y −

0 0 = r จึงสมมูลกับ ( ) ( ) x x y y− + −

02

02 = r2

จะเห็นวาสมการหลังคือสมการของวงกลมที่กลาวถึงขางตน ดังนั้นเซตของจุด (x, y) ที่สอดคลองกับอสมการ ( , ) ( , )x y x y −

0 0 < r

จึงคือเซตของจุดใน R2 ที่อยูภายในวงกลมรัศมี r และจุดศูนยกลางที่ (x0, y0) ดังรูป 4.2.1 (ก)

(ก) (ข)

รูป 4.2.1

ทํานองเดียวกันจุด(x, y) ที่สอดคลองกับอสมการ ( , ) ( , )x y x y −

0 0 ≤ r

จะคือเซตของจุดใน R2 ที่อยูภายในและที่เสนรอบวงของวงกลมดังรูป 4.2.1 (ข)

114

เราจะเรียกสับเซตของ R2 ที่เขียนไดในรูปตอไปนี้

{(x, y) | ( , ) ( , )x y x y −0 0

< r } และ {(x, y) | ( , ) ( , )x y x y −

0 0 ≤ r }

วาแผนวงกลมเปด(Open Disc) หรือยานจุด (x0, y0) (Neighborhood of (x0, y0)) และแผนวงกลมปด(Closed Disc) ที่มีรัศมี r และจุดศูนยกลางที่ (x0, y0) ตามลําดับ สวนวงกลม

{(x, y) | ( , ) ( , )x y x y −0 0

= r }

คือขอบ(Boundary)ของแผนวงกลมเปดและแผนวงกลมปด ถาให x = (x, y) และ x 0 = (x0, y0) เราสามารถเขียนอสมการ ( , ) ( , )x y x y −

0 0 < r

และ ( , ) ( , )x y x y −0 0

≤ r ไดใหมเปนดังนี้

0xx − < r และ 0xx − ≤ r

ทําใหเราเขียนนิยามลิมิตของฟงกชัน 2 ตัวแปรไดดังนี้ บทนิยาม 2.1 : ให f เปนฟงกชัน 2 ตัวแปรซึ่ง f(x, y) ถูกนิยามที่แตละจุด (x, y) ในยานจุด

(x0, y0) แตอาจไมนิยามที่จุด (x0, y0) เราจะเรียกจํานวนจริง L วาคาลิมิตของ f(x, y) เมื่อจุด (x, y) เขาใกลจุด (x0, y0) และเขียนแทนดวยสัญลักษณ lim ( , )

( , ) ( , )x y x yf x y

→0 0

= L

นั่นคือ L สอดคลองกับขอความ “สําหรับแตละจํานวนจริง ε > 0 จะมีจํานวนจริง δ > 0 ที่ซ่ึงถา (x, y) เปนจุดในยานจุด (x0, y0) รัศมี δ และ (x, y) ≠ (x0, y0) แลว f x y L( , ) − < ε ” เราอาจอธิบายบทนิยาม 4.2.1 ไดดวยรูป 4.2.2 รูป 4.2.2 ตัวอยาง 2.1: จงแสดงวา lim ( )

( , ) ( , )x yy

→+

1 23x 2

= 7 เปนจริง

วิธีทํา : ให ε เปนจํานวนจริงบวก เราตองการหาจํานวนจริง δ > 0 ที่ทําให 3x 2 7+ −y < ε เมื่อใดก็ตามที่ 0 < ( ) ( )x y− + −1 22 2 < δ เราจึงเริ่มตนดวย

115

3x 2 7+ −y = 3x 3 2 4− + −y ≤ 3x 3 2 4− + − y (คุณสมบัติอสมการสามเหลี่ยม) ≤ 3 1 2 2x y− + − จะเห็นวา x−1 = ( )x −1 2 ≤ ( ) ( )x y− + −1 22 2 และ y− 2 = ( )y− 2 2 ≤ ( ) ( )x y− + −1 22 2 ทําใหได 3x 2 7+ −y ≤ 3 1 2 2 1 22 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x y x y− + − + − + − = 5 1 22 2( ) ( )x y− + − < 5δ แตเราตองการ 3x 2 7+ −y < ε ดังนั้นเราจึงเลือก δ ≤ ε/5 และได 3x 2 7+ −y < (5)(ε/5) = ε ตามตองการ

ตัวอยาง 2.2 : จงแสดงวา lim( )

( , ) ( , )x y

xy y x

x y→

−

+0 0

2 2

2 2 = 0

วิธีทํา : ให ε เปนจํานวนจริงบวก เราตองการหาจํานวนจริง δ > 0 ที่ซ่ึง ถา 0 < x y2 2+ < δ แลว

f x y( , ) = xy y x

x y

( )2 2

2 2

−

+ < ε

แต x ≤ x y2 2+ , y ≤ x y2 2+ และ y x2 2− ≤ x y2 2+ เราจะได

xy y x

x y

( )2 2

2 2

−

+ ≤

x y x y x y

x y

2 2 2 2 2 2

2 2

+ + +

+

( )

( ) = x y2 2+ < δ2

ซ่ึงแสดงวาเราตองเลือก δ ≤ ε

หมายเหตุ : 1. กราฟของ z =

xy y x

x y

x y

x y

( ) ,

,

( , ) (

( , ) (

2 2

2 2

0

0,0)

0,0)

−

+

⎧

⎨⎪⎪

⎩

⎪⎪

≠

=

วาดโดยคอมพิวเตอรดังแสดงในรูป

116

2. เราสามารถพิสูจนลิมิตเปนจริงของตัวอยาง 2.2 ใหงายขึ้นโดยใชพิกัดเชิงขั้ว ดังนี้

x = r cos θ , y = r sin θ และ x y2 2+ = r ดังนั้น (x, y) → (0, 0) จะสมมูลกับ r→0 ทําใหได

lim( )

( , ) ( , )x y

xy y x

x y→

−

+0 0

2 2

2 2 = lim

( cos )( sin )( sin cos )r

r r r r

r→

−

0

2 2 2 2

2

θ θ θ θ

= limcos sin (sin cos )

r

r

r→

−

0

4 2 2

2

θ θ θ θ

= lim cos sin (sin cos )r

r→

−0

2 2 2θ θ θ θ

แต sin cos2 2θ θ− = − −(cos sin )2 2θ θ = − cos2θ , sinθ ≤ 1 และ cosθ ≤ 1 ทําใหได cos sin (sin cos )θ θ θ θ2 2− = cos sin cosθ θ θ2 1≤ เพราะฉะนั้น

− ≤ − ≤r r r2 2 2 2 2 cos sin (sin cos )θ θ θ θ และ lim( )

rr

→−

0

2 = limr

r→0

2 = 0 เราจึงได lim cos sin (sin cos )r

r→

−0

2 2 2θ θ θ θ = 0

เมื่อเรากลาววา f(x, y) เขาใกลจํานวนจริง L ขณะที่จุด (x, y) เคลื่อนเขาใกลจุด (x0, y0) มีความหมาย ตามนิยามของลิมิตวาจุด (x, y) เคลื่อนเขาใกลจุด (x0, y0) ในทุกๆทิศทางรอบจุด (x0, y0) ดังแสดงในรูป ขอใหสังเกตวาลิมิตของฟงกชันตัวแปรเดียว lim ( )

x xf x

→0

= L เราก็พิจารณา x→x0 ในทุกๆทิศทาง

เชนกัน แตการเขาใกลกันบนเสนจํานวนจริงมีเพียง 2 ทิศทางเทานั้นคือ x→x0− และ x→x

0+ และหากการเขา

ใกลในทิศทางทั้งสองนี้ทําให f(x) เขาใกลจํานวนจริงที่ตางกัน เราจะกลาววา lim ( )x x

f x→

0

ไมมีคาลิมิต

หรือไมมีความหมาย ใน R2 ก็เชนกันแมการเขาใกลจุดๆหนึ่งมีไดหลายทิศทางนับไมถวน แตถามีบาง

ทิศทางที่ทําให f(x, y) เขาใกลจํานวนจริงที่แตกตางกัน เราก็จะกลาววาลิมิตหาคาไมได

117

ตัวอยาง 2.3 : ฟงกชันที่กําหนดโดย f(x, y) = y x

x yx y

2 2

2 2 0,0)−

+≠ , ( , ) ( ถาเราพิจารณา (x, y) เขาใกล

(0, 0) ตามแกน x หรือก็คือตามเสนตรง y = 0 เราจะได

lim( , ) ( , )x y

y x

x y→

−

+0 0

2 2

2 2 = lim

( , ) ( , )x y

x

x→

−

0 0

2

2 = lim ( )

( , ) ( , )x y →−

0 01 = -1

แตถาพิจารณา (x, y) เขาใกล (0, 0) ตามแกน y หรือก็คือตามเสนตรง x = 0 เราจะได

lim( , ) ( , )x y

y x

x y→

−

+0 0

2 2

2 2 = lim

( , ) ( , )x y

y

y→ 0 0

2

2 = lim ( )

( , ) ( , )x y → 0 01 = 1

เพราะฉะนั้น f(x, y) ไมมีคาลิมิตเมื่อ (x, y) → (0, 0)

ตัวอยาง 2.4 : ฟงกชันซึ่งกําหนดโดย f(x, y) = xy

x yx y

2

2 4 0,0)+

≠ , ( , ) ( ก็ไมมีคาลิมิตเมื่อ

(x, y) → (0, 0) เพราะบนเสนตรงที่ผานจุดกําเนิดใดๆ y = mx เราจะได

f(x, y) = xy

x y

2

2 4+ = x mx

x mx

( )

( )

2

2 4+ =

xm 1xm

24

2

+

และ xm 1

xmlim 24

2

0x +→= 0 เราจึงสรุปวาในทิศทางตามเสนตรงที่ผานจุดกําเนิด คาของ f(x, y) เขาใกล 0

แตถาเราพิจารณา (x, y) → (0, 0) ตามเสนโคงพาราโบลา y2 = x เราจะได

lim)0,0()y,x( →f(x, y) = lim

)0,0()y,x( → y y

y y

2 2

4 4

( )

+ = 1

2

ซ่ึงแสดงวา f(x, y)→ 12 เมื่อ (x, y) → (0, 0) บนเสนโคงพาราโบลา

หมายเหตุ : จากตัวอยางการแสดงวามีคาลิมิตหรือไมมีคาลิมิตของฟงกชันที่กลาวมา ทําใหเห็นวาการแสดงลิมิตหาคาไมได เราเพียงกําหนดบางทิศทางของการเขาใกลจุด (x0, y0) ในระนาบที่ ตางกันและใหคาลิมิตตางกัน แตการแสดงลิมิตเปนจริงเราตองแสดงจากบทนิยามของลิมิตโดยตรง หรือจากทฤษฎีบทของลิมิตที่พิสูจนไดจากบทนิยาม บทนิยาม 2.2 : ให f เปนฟงกชัน 2 ตัวแปรซึ่ง f(x, y) นิยามที่ทุกจุดในยานจุด (x0, y0) เราจะกลาววา f เปน

ฟงกชันตอเนื่อง(Continuous Function)ที่จุด (x0, y0) ถา f สอดคลองกับเงื่อนไขทั้ง 3 ขอตอไปนี้ 1. f(x0, y0) นิยามหรือหาคาได [นั่นคือ (x0, y0) เปนจุดในโดเมนของ f] 2. lim ( , )

( , ) ( , )x y x yf x y

→0 0

หาคาได

3. lim ( , )( , ) ( , )x y x y

f x y→

0 0

= f(x0, y0)

118

ขอสังเกต : 1. เงื่อนไขที่ 3 ของบทนิยาม 4.2.2 ทําใหเราสามารถคํานวณคาลิมิต lim ( , )( , ) ( , )x y x y

f x y→

0 0

ไดดวย

การหาคา f(x0, y0) ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด (x0, y0) 2. ถา f ไมสอดคลองเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งของบทนิยาม 4.2.2 เราจะกลาววา f ไมตอเนื่อง(Discontinuous )ที่จุด (x0, y0) ตัวอยาง 2.5 :

1. ถา f(x, y) = xy

x y

2

2 4+ แลว f ไมตอเนื่องที่ (0, 0) เพราะวาจุด (0, 0) ไมอยูในโดเมนของ f

2. ถา f(x, y) =

xy

x y

x y

x y

2

2 4

0

0,0)

0,0)

+

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

≠

=

,

,

( , ) (

( , ) (

แลวแมวาจุด (0, 0) จะอยูในโดเมนของ f แต

จากตัวอยาง 2.4 จะไดวา lim ( , )( , ) ( , )x y

f x y→ 0 0

หาคาไมได ดังนั้น f จึงไมตอเนื่องที่จุด (0, 0) เชนกัน

3. ถา f(x, y) =

xy y x

x y

x y

x y

( ) ,

,

( , ) (

( , ) (

2 2

2 2

1

0,0)

0,0)

−

+

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

≠

=

แมวา lim( )

( , ) ( , )x y

xy y x

x y→

−

+0 0

2 2

2 2

หาคาไดเทากับ 0 จากตัวอยาง 2.2 แต f(0, 0) = 1 ดังนั้น f จึงไมตอเนื่องที่ (0, 0)

4. ถา f(x, y) =

xy y x

x y

x y

x y

( ) ,

,

( , ) (

( , ) (

2 2

2 2

0

0,0)

0,0)

−

+

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

≠

=

แลว f สอดคลองตามบทนิยาม 2.2 นั่นคือ f

เปนฟงกชันตอเนื่องที่ (0, 0)

119

ในกรณีของฟงกชันตัวแปรเดียวที่เราศึกษามา กลุมของฟงกชันตอเนื่องที่เรารูจักกันอยางดีคือฟงกชันพหุนามและฟงกชันตรรกยะ เราจึงจะศึกษากลุมของฟงกชันหลายตัวแปรที่เปนฟงกชันตอเนื่องในแนวทางเดียวกัน บทนิยาม 2.3 : พหุนาม 2 ตัวแปร x และ y คือการกําหนดคาของฟงกชัน 2 ตัวแปร p(x, y) ในรูปผลบวกจํากัดของพจนในรูป Axmyn โดยที่ m และ n เปนจํานวนเต็มไมเปนลบ และ A เปนจํานวนจริง จะเรียก p วาฟงกชันพหุนาม ฟงกชันตรรกยะ r ใน 2 ตัวแปร x และ y คือฟงกชันที่กําหนดในรูปผลหารของพหุนามใน 2 ตัวแปร x และ y นั่นคือ

r(x, y) = p x y

q x y

( , )

( , )

เมื่อ p และ q เปนฟงกชันพหุนาม ตัวอยาง 2.6 : p(x, y) = 5x5y2 + 12xy9 - 37x82y5 + x + 4y - 6 เปนฟงกชันพหุนามและ

r(x, y) = 8 7 2

1 3y 7 18

3 7 2 4

3 2 2 7

x y x y xy y

x y xy

− + −

− + + เปนฟงกชันตรรกยะ เปนตน

ทฤษฎีบท 2.1 : (สมบัติของฟงกชันตอเนื่อง) 1. ฟงกชันพหุนามเปนฟงกชันตอเนื่องที่ทุกจุดในระนาบ R2

2. ฟงกชันตรรกยะ r = p

q เปนฟงกชันตอเนื่องที่ทุกจุด (x0, y0) ซ่ึง q(x0, y0) ≠ 0 และจะไมตอเนื่องที่

(x0, y0) ถา q(x0, y0) = 0 เพราะวา r ไมนิยามที่ (x0, y0) 3. ถา f และ g เปนฟงกชันตอเนื่องที่ (x0, y0) แลวฟงกชัน f+g , f - g และ fg ตางเปนฟงกชันตอเนื่องที่ (x0, y0) 4. ถา f และ g เปนฟงกชันตอเนื่องที่ (x0, y0) และ g(x0, y0) ≠ 0 แลว f/g เปนฟงกชันตอเนื่อง ที่ (x0, y0) 5. ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องที่ (x0, y0) และ h เปนฟงกชันตัวแปรเดียวซ่ึงตอเนื่องที่

f(x0, y0) แลวฟงกชันผลประกอบ h f ซ่ึงนิยามโดย (h f)(x, y) = h(f(x, y)) จะตอเนื่องที่(x0, y0)

120

ตัวอยาง 2.7 : จงคํานวณคา lim( , ) ( , )x y

x y xy

x xy→

−

+4 1

3 2

3

4

6

วิธีทํา : r(x, y) = x y xy

x xy

3 2

3

4

6

−

+ เปนฟงกชันตรรกยะซึ่ง q(x, y) = x + 6xy3 และ

q(4, 1) = 28 ≠ 0 ดังนั้น r จึงตอเนื่องที่ (4, 1) ทําใหเราสามารถคํานวณคาลิมิตไดดวยการคํานวณคาฟงกชัน r ที่ (4, 1) และได

r(4, 1) = x y xy

x xy

3 2

34 1

4

6

−

+( , )

= ( ) ) ( )( )( )

( )( )

64 91 4 4 1

4 6)(4 1

−

+ = 48

28 = 12

7

จากแนวความคิดในกรณีฟงกชัน 2 ตัวแปร ทําใหเราไดมโนภาพของยานจุด (x0, y0, z0) ใน R3 รัศมี r เปนเซตของจุดภายในทรงกลมที่กําหนดโดยสมการ (x - x0)

2 + (y - y0)2 + (z - z0)

2 = r2 หรือก็คือเซต

{(x, y, z) | (x - x0)2 + (y - y0)

2 + (z - z0)2 < r2 }

ดังรูป และดังนั้นแผนทรงกลมปดใน R3 จึงคือเซต

{(x, y, z) | (x - x0)2 + (y - y0)

2 + (z - z0)2 ≤ r2 }

ทําใหไดบทนิยามของลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชัน 3 ตัวแปร ในที่นี้เราจะวางนัยทั่วไปของลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชัน n ตัวแปร (n ≥ 2)

บทนิยาม 2.4 : 1. บอลเปด(Open Ball) Br( x 0) บอลปด(Closed Ball) Br( x 0) ใน Rn ซ่ึงมีจุดศูนยกลางที่

x 0 และรัศมี r หนวยคือสับเซตของ Rn ตามลําดับตอไปนี้

Br( x 0) = { x ∈Rn | x x−0

< r } และ B

r( x 0) = { x ∈Rn | x x−

0 ≤ r }

สวนขอบ(Boundary) ของวงกลมเปดหรือวงกลมปดคือทรงกลม(Sphere) Sr( x 0) ใน Rn ที่กําหนด

โดยเซต Sr( x 0) = { x ∈Rn | x x−

0 = r }

2. ยานจุดของเวกเตอร x 0 ใน Rn คือวงกลมเปดซึ่งมีจุดศูนยกลางที่ x 0

3. เราจะเรียกเซต Ω ใน Rn วาเซตเปด(Open Set) ถาทุกจุด x 0∈Ω มียานจุด Br( x 0) ที่ซ่ึง

Br( x 0) ⊂ Ω

121

เซตเปด เซตปด

หมายเหตุ : สัญลักษณที่ใชในบทนิยาม 2.4 คือสัญลักษณที่ใชกับมโนคติของเวกเตอร เชนถา x 0 = ( , , . . . , )( ) ( ) ( )x x x

n10

20 0 และ x = ( , , . . . , )x x x

n1 2

แลว x x−0

< r หมายความวา

( ) ( ) . . . ( )( ) ( ) ( )x x x x x xn n1 1

0 22 2

0 2 0 2− + − + + − < r

บทนิยาม 2.5 : ให f : Rn → R เปนฟงกชันที่นิยามที่ทุกจุดในยานจุดของ x 0 แตอาจไมนิยามที่จุด x 0 เราจะเรียกจํานวนจริง L วาคาลิมิตของ f( x ) เมื่อ x เขาใกล x 0 และเขียนแทนดวยสัญลักษณ lim ( )

x xf x

→0

= L

ถาสําหรับทุกจํานวนจริง ε > 0 มีจํานวนจริง δ > 0 ที่ซ่ึงถา x x−0

< δ แลว f x L( ) − < ε

ตัวอยาง 2.8 : จงแสดงวา lim ( )( , , , )x

x x x→ −

+ − +4 1 0 3 1 2 3 4

2 3x = 7

วิธีทํา : กําหนดจํานวนจริง ε > 0 ตองการหา δ > 0 ที่ทําให x x x

1 2 3 42 3x 7+ − + − < ε

ถา 0 < ( ) ( ) ( )x x x x1

22

232

424 1 3+ + − + + − < δ

เราจะเริ่มตนจากอสมการ x x x

1 2 3 42 3x 7+ − + − < ε แลวพิจารณายอนขึ้นไป โดยใชคุณสมบัติ

ของอสมการสามเหลี่ยมจะได x x x

1 2 3 42 3x 7+ − + − = x x x

1 2 3 44 2 2 3x 9+ + − − + −

≤ + + − + + − x x x1 2 3 4

4 2 2 3x 9

= x x x x

1 2 3 44 2 1 0 3 3+ + − + − + −

122

โดยที่แตละจํานวน x x x x1 2 3 4

4 1 3+ − −, , , มีคานอยกวาหรือเทากับ

( ) ( ) ( )x x x x1

22

232

424 1 3+ + − + + −

จึงทําใหได x x x

1 2 3 42 3x 7+ − + − ≤ 7 ( ) ( ) ( )x x x x

12

22

32

424 1 3+ + − + + −

= 7 ( , , , ) ( , ,0,3)x x x x1 2 3 4

4 1− −

เราจึงเลือก δ ≤ ε/7 แลวถา x− −( , ,0,3)4 1 < δ เราจะได f x( ) − 7 = x x x

1 2 3 42 3x 7+ − + − ≤ 7δ ≤ (7)(ε/7) = ε

ตามตองการ ตัวอยาง 2.9 : จงแสดงวา lim ( )

xf x

→0 หาคาไมได เมื่อกําหนดให

f(x1, x2, x3, x4, x5) = x x x x x

x x x x x52

42

32

22

12

12

22

32

42

52

− + − +

+ + + + ; (x1, x2, x3, x4, x5) ≠ (0, 0, 0, 0, 0)

วิธีทํา : เราจะแสดงโดยการหาเสนทางอยางนอย 2 เสนทางที่ซ่ึง x → 0 แตใหคาลิมิตตางกัน เสนทางแรกคือ x → 0 ตามแกน x5 ซ่ึงบนเสนทางนี้เราจะมี x1 = x2 = x3 = x4 = 0 และ x5→ 0 ทํา

ใหเราได f( x ) = x

x52

52 = 1 ดังนั้น lim ( )

( , , , , )0 0 0 0 05

xf x

→ = 1

อีกเสนทางหนึ่งคือ x → 0 ตามแกน x4 ซ่ึงบนเสนทางนี้เราจะมี x1 = x2 = x3 = x5 = 0 และ x4→ 0

ทําใหเราได f( x ) = −x

x42

42 = -1 ดังนั้น lim ( )

( , , , , )0 0 0 0 04

xf x

→ = -1

บทนิยาม 2.6 : ให f : Rn → R เปนฟงกชันที่นิยามที่ทุกจุดในยานจุดของ x 0 จะกลาววา f เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x 0 ถา f สอดคลองเงื่อนไขทั้ง 3 ขอตอไปนี้ 1. f( x 0) นิยามหรือเปนจํานวนจริง [นั่นคือ x 0 อยูในโดเมนของ f ] 2. lim

x x→0

f x( ) หาคาได

3. limx x→

0

f x( ) = f( x 0)

ถา f ไมสอดคลองกับเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งใน 3 เงื่อนไข เราจะกลาววา f ไมตอเนื่องที่ x 0 และถา f ตอเนื่องที่ทุกจุดในเซตเปด Ω เราจะกลาววา f ตอเนื่องบน Ω

123

ขอใหสังเกตวาเงื่อนไขที่ 3 บอกวิธีคํานวณคาลิมิต limx x→

0

f x( ) ของฟงกชันตอเนื่องที่ x 0 โดยการหา

คาของฟงกชันที่ x 0

ตัวอยางเชนใน R5 ฟงกชันที่กําหนดโดย f(x1, x2, x3, x4, x5) = x x x x x

x x x x x52

42

32

22

12

12

22

32

42

52

− + − +

+ + + +

ไมตอเนื่องที่ 0 เพราะเราแสดงไวขางตนแลววา limx→0

f x( ) หาคาไมได เปนตน

บทนิยาม 2.7 : พหุนาม(Polynomial) p(x) = p(x1, x2, . . . , xn) ใน n ตัวแปร x1, x2, . . . ,xn คือนิพจนในรูปผลบวกจํากัดของพจนในรูป Ax x x

m m

n

mn

1 21 2 . . . โดยที่ m1, m2, . . . , mn เปนจํานวนเต็มไม

เปนลบ และ A เปนจํานวนจริง และเรียกคามากที่สุดของผลบวก m1 + m2 + . . . + mn วาระดับขั้น(Degree )ของ p ฟงกชันตรรกยะ(Rational Function) r( x ) = r(x1, x2, . . . , xn) ใน n ตัวแปรคือฟงกชันที่กําหนดในรูปผลหารของ 2 พหุนาม นั่นคือ

r( x ) = p x

q x

( )

( )

ตัวอยางเชน p(x1, x2, x3, x4) = 2 5x 11

13

2 32

44

1 27

32

43

14

23

34

4x x x x x x x x x x x + − เปนพหุนามที่มี

ระดับขั้น 13 ใน 4 ตัวแปร เปนตน ทฤษฎีบท 2.2 : (สมบัติของฟงกชันตอเนื่อง) 1. ฟงกชันพหุนามเปนฟงกชันตอเนื่องที่ทุกจุดใน Rn

2. ฟงกชันตรรกยะ r = p

q เปนฟงกชันตอเนื่องที่ทุกจุด x 0 ที่ซ่ึง q( x 0) ≠ 0 และจะไมตอเนื่องที่

x 0 ถา q( x 0) = 0 เพราะวา r จะไมนิยามที่ x 0 3. ถา f และ g เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x 0 แลวฟงกชัน f+g , f - g และ fg ตางเปนฟงกชันตอเนื่องที่ x 0 4. ถา f และ g เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x 0 และ g( x 0) ≠ 0 แลว f/g เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x 0 5. ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x 0 และ h เปนฟงกชันตัวแปรเดียวซ่ึงตอเนื่องที่ f( x 0) แลวฟงกชัน

ผลประกอบ h f ซ่ึงนิยามโดย (h f)( x ) = h(f( x )) จะตอเนื่องที่ x 0

124

ตัวอยาง 2.10 : 1.พหุนาม p( x ) = x x x x x x x x x13

25

58

1 24

42

12

23

34

42

53x 5x − + เปนฟงกชันตอเนื่องที่ทุกจุด x

ใน R5

2. ฟงกชันตรรกยะ r( x ) = x x x x x x x x x x

x x x x12

5 44

1 22

33

45

16

2 53

1 2 3 4 52 3x 4 2 6

+ −

− + − + − เปนฟงกชันตอเนื่องที่ทุกจุด x ใน

R5 ยกเวนจุด x ที่สอดคลองสมการ x x x x1 2 3 4 5

2 3x 4 2 6− + − + =

3. ฟงกชันซึ่งกําหนดโดย sin(x x x x x12

1 4 34

552 + − ) เปนฟงกชันตอเนื่องที่ทุกจุด x ใน R5 โดย

ทฤษฎีบท 4.2.2 ขอ 5 เพราะ sin x เปนฟงกชันตอเนื่องและ x x x x x12

1 4 34

552 + − เปนพหุนาม

3. อนุพันธยอย

อนุพันธของฟงกชันตัวแปรเดียวคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรตามเทียบกับการเปลี่ยนแปลงที่นอยมากของตัวแปรอิสระ และมีบอยคร้ังที่ขณะพิจารณาฟงกชันหลายตัวแปร แตเราสนใจเฉพาะการเปลี่ยนแปลงคาของฟงกชันเทียบกับการเปลี่ยนไปของตัวแปรอิสระตัวใดตัวหนึ่งเพียงตัวเดียวโดยขณะนั้นเรากําหนดใหตัวแปรอื่นๆคงที่ ซ่ึงก็เสมือนวาเรากําลังพิจารณาฟงกชันตัวแปรเดียวนั่นเอง เชนถาพิจารณาความสัมพันธ PV = nkT โดยที่ P คือแรงดัน V เปนปริมาตร T เปนอุณหภูมิ และ n เปนจํานวนโมเลกุลของกาซ เมื่อ k เปนคาคงที่ เราอาจกําหนดจํานวนโมเลกุลของกาซ n ใหคงที่ดวย แลว P จะเปนฟงกชันของ V และ T ในรูป

P(V, T) = nkT

V นักศึกษาวิชาเคมีผูหนึ่งอยากทราบอัตราการเปลี่ยนแปลงแรงดันของกาซเมื่อเพิ่มความรอน

ใหกับภาชนะบรรจุกาซที่ไมสามารถยืดขยายหรือหดตัวได และเนื่องจาก V คงที่ P จึงเปนฟงกชันที่เปลี่ยนแปลงคาตาม T เทานั้น เพราะฉะนั้นสิ่งที่นักศึกษาวิชาเคมีผูนี้ตองการทราบก็คือ

dP

dT = nk

V

แตเพราะเรากําหนดสัญลักษณ dP

dT เพื่อใชกับอนุพันธของฟงกชันตัวแปรเดียวไปแลว และเพราะ P ไมใช

ฟงกชันตัวแปรเดียว เราจึงกําหนดสัญลักษณอ่ืนขึ้นเชนใช ∂∂

P

T ในความหมายที่กลาวมาเพื่อใหเห็น

ความหมายที่แตกตางกัน เนื่องจากเราไดเคยศึกษาเรื่องอนุพันธยอยมาแลวในวิชาคณิตศาสตรพื้นฐาน ในหัวขอนี้จึงเพียงรวบรวมบทนิยาม พรอมใหตัวอยางเพื่อเปนการทบทวนเทานั้น

125

บทนิยาม 3.1 : (อนุพันธยอยใน R2) 1. อนุพันธยอย(Partial Derivative)ของ z = f(x, y) เทียบกับ x ที่จุด (x0, y0, z0) บนพื้นผิว z = f(x, y) [โดยที่ z0 = f(x0, y0)] คืออัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของ z เทียบกับ x โดยให y คงที่เทากับ y0 และใช

สัญลักษณแทนดวย ∂∂

f

x x y( , )0 0

นั่นคือ

∂

∂

f

x x y( , )0 0

= limΔx→0

f x x y f x y

x

( , ) ( , )0 0 0 0+ −Δ

Δ

ในทํานองเดียวกันอนุพันธยอยของ z = f(x, y) เทียบกับ y ที่จุด (x0, y0, z0) กําหนดโดย

∂

∂

f

yx y( , )

0 0

= limΔy→0

f x y y f x y

y

( , ) ( , )0 0 0 0

+ −Δ

Δ

2. อนุพันธยอยของ z = f(x, y) เทียบกับ x [โดยถือวา y คงที่] คือฟงกชัน

∂

∂

z

x = ∂

∂

f

x = lim

Δx→0

f x x y f x y

x

( , ) ( , )+ −Δ

Δ (4.3.1)

ซ่ึงเปนฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซตของจุด (x, y) ในโดเมนของ f ซ่ึงลิมิต (4.3.1) หาคาได ในทํานองเดียวกันอนุพันธยอยของ z = f(x, y) เทียบกับ y [โดยถือวา x คงที่] คือฟงกชัน

yz∂∂ =

yf∂∂ =

limΔy→0

y)y,x(f)yy,x(f

Δ

−Δ+ (4.3.2)

ซ่ึงเปนฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซตของจุด (x, y) ในโดเมนของ f ซ่ึงลิมิต (4.3.2) หาคาได

หมายเหตุ : 1. เราอาจใชสัญลักษณแทนอนุพันธยอย ∂∂

f

x และ ∂

∂

f

y

ในรูปอื่น ๆ เชน fx , fy หรือ zx , zy เปนตน 2. ความหมายทางเรขาคณิตของจํานวน

∂∂

f

x x y( , )0 0

หรือ ∂∂

f

yx y( , )

0 0

ก็คือความชันของเสนสัมผัสเสนโคง ที่เกิดขึ้นจากการตัดกันของพื้นผิว z = f(x, y) กับระนาบ y = y0 หรือ x = x0 ตามลําดับ ดังรูป 3. เราสามารถหาอนุพันธยอยไดดวยวิธีการเดียวกับ การหาอนุพันธของฟงกชันตัวแปรเดียว

126

ตัวอยาง 3.1 : ถา f(x, y) = x y+ 2 แลว ∂∂

f

x และ ∂

∂

f

y ที่จุด (2, -3) คํานวณดังนี้

∂∂

f

x = 1

2 2x y+

∂

∂xx y( )+ 2 = 1

2 2x y+(1 + 0) = 1

2 2x y+ [โดยถือวา y คงที่] และ

∂∂

f

y = 1

2 2x y+

∂

∂yx y( )+ 2 = 1

2 2x y+(0 + 2y) = y

x y+ 2 [โดยถือวา x คงที่]

และที่จุด (2, -3) จะได

∂∂

f

x ( , )2 3− = fx(2, -3) = 1

2 2 3 2+ −( ) = 1

2 11 และ ∂

∂

f

y( , )2 3−

= fy(2, -3) = −3

11

ตัวอยาง 3.2 : สมมติราคาสินคาอยางหนึ่งเปนไปตามฟงกชัน C = 21h + 32p โดยที่ h เปนคาจางผลิตสินคา

ตอช่ัวโมง และ p เปนราคาวัตถุดิบตอหนวยน้ําหนัก จงคํานวณ ∂∂

C

h และ ∂

∂

C

p พรอมอธิบายความหมาย

ของปริมาณทั้งสอง

วิธีทํา : ∂∂

C

h = 21 เปนอัตราการเปลี่ยนแปลงราคาสินคา นั่นคือราคาสินคาจะเพิ่มขึ้น 21 บาทตอหนวย ถา

คาจางการผลิตเพิ่มขึ้น 1 บาทตอช่ัวโมงโดยราคาวัตถุดิบไมเปลี่ยนแปลง

∂

∂

C

p = 32 เปนอัตราการเปลี่ยนแปลงราคาสินคา นั่นคือราคาสินคาจะเพิ่มขึ้น 32 บาทตอหนวย ถา

ราคาวัตถุดิบเพิ่มขึ้น 1 บาทตอหนวยน้ําหนักโดยไมเปลี่ยนแปลงคาจางการผลิต

ตัวอยาง 3.3 : ให f(x, y) =

xy

x y

x y

x y

2 2

0

0,0)

0,0)

+

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

≠

=

,

,

( , ) (

( , ) (

จงแสดงวา fx(0, 0) และ fy(0, 0) หาคาได แต f ไมตอเนื่องที่จุด (0, 0) วิธีทํา : เราจะแสดงวา lim

( , ( , ))x y→ 0 0f(x, y) หาคาไมได และดังนั้น f ไมตอเนื่องที่จุด (0, 0)

และในการแสดงวาลิมิตหาคาไมไดเราจะพิจารณาบน 2 เสนทาง ให (x, y)→(0, 0) ตามเสนตรง y = x ซ่ึงจะได

lim( , ( , ))x y→ 0 0

xy

x y2 2+ = lim

( , ( , ))x y→ 0 0

x

x x

2

2 2+ = lim

( , ( , ))x y→ 0 0

1

2 = 1

2

127

แต(x, y)→(0, 0) ตามเสนตรง y = - x เราจะได

lim( , ( , ))x y→ 0 0

xy

x y2 2+ = lim

( , ( , ))x y→ 0 0

−

+

x

x x

2

2 2 = lim( , ( , ))x y→ 0 0

( −1

2) = −1

2

เพราะฉะนั้น lim( , ( , ))x y→ 0 0

xy

x y2 2+ หาคาไมได แต

fx(0, 0) = limΔx→0

f x f

x

( , (0 0) 0, 0)+ −Δ

Δ

= limΔx→0

( ).0 002 2

+

+

Δ

ΔΔ

xx

x = lim

Δx→0

0

Δx = lim

Δx→00 = 0

ในทํานองเดียวกัน fy(0, 0) = 0 ถา f เปนฟงกชันตัวแปรเดียวและหาอนุพันธไดที่จุดใด แลว f จะตอเนื่องที่จุดนั้นดวย แตขอใหสังเกตจากตัวอยาง 4.3.3 ขางตนวาขอความเชนนี้ไมเปนจริงในกรณีของอนุพันธยอย

บทนิยาม 3.2 : (อนุพันธยอยใน R3) ให w = f(x, y, z)

1. อนุพันธยอยของ w = f(x, y, z) เทียบกับ x คือฟงกชัน

∂

∂

w

x = ∂

∂

f

x = fx = lim

Δx→0

f x x y z f x y z

x

( , , ) ( , , )+ −Δ

Δ (4.3.3)

เปนฟงกชันที่นิยามสําหรับทุกจุด (x, y, z) ในโดเมนของ f ซ่ึงคาลิมิตของ (4.3.3) หาคาได 2. อนุพันธยอยของ w = f(x, y, z) เทียบกับ y คือฟงกชัน

yw∂

∂ =

y

f

∂

∂ = fy =

0ylim→Δ y

)z,y,x(f)z,yy,x(fΔ

−Δ+ (4.3.4)

เปนฟงกชันที่นิยามสําหรับทุกจุด (x, y, z) ในโดเมนของ f ซ่ึงคาลิมิตของ (4.3.4) หาคาได 3. อนุพันธยอยของ w = f(x, y, z) เทียบกับ z คือฟงกชัน

zw∂

∂ =

zf∂

∂ = fz =

limΔz→0

f x y z z f x y z

z

( , , ) ( , , )+ −Δ

Δ (4.3.5)

เปนฟงกชันที่นิยามสําหรับทุกจุด (x, y, z) ในโดเมนของ f ซ่ึงคาลิมิตของ (4.3.5) หาคาได

หมายเหตุ : เราสามารถหาอนุพันธยอยของ w = f(x, y, z) ที่จุด (x0, y0, z0) เชนเดียวกับบทนิยาม 4.3.1(1) ไดตามลําดับตอไปนี้

128

∂

∂

f

x x y z( , )0 0 0

= limΔx→0

f x x y z f x y z

x

( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0+ −Δ

Δ ,

∂

∂

f

yx y z( , )

0 0 0

= limΔy→0

f x y y z f x y z

y

( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0

+ −Δ

Δ

และ ∂∂

f

yx y z( , )

0 0 0

= limΔz→0

f x y z z f x y z

z

( , , ) ( , , )0 0 0 0 0 0

+ −Δ

Δ

ตัวอยาง 3.4 : ให w = f(x, y, z) = xz + e y z2

+ xy z2 3 จงหา ∂∂

w

x, ∂∂

w

y และ ∂

∂

w

z

วิธีทํา : ในการหา ∂∂

w

x เราจะให y และ z คงที่ แลวหาอนุพันธเทียบกับ x จะได

∂

∂

w

x = ∂

∂x(xz) + ∂

∂xe y z2

+ 1

2 2 3xy z

∂

∂x( )xy z2 3

= z + 0 + y z

xy z

2 3

2 32 = z + y z

xy z

2 3

2 32

ในการหา ∂∂

w

y เราจะให x และ z คงที่ แลวหาอนุพันธเทียบกับ y จะได

∂

∂

w

y = ∂

∂y(xz) + e y z2 ∂

∂y( )y z2 + 1

2 2 3xy z

∂

∂y( )xy z2 3

= 0 + 2yze y z2

+ 2

2

3

2 3

xyz

xy z = 2yze y z2

+ xyz

xy z

3

2 3

ในการหา ∂∂

w

z เราจะให x และ y คงที่ แลวหาอนุพันธเทียบกับ z จะได

∂

∂

w

z = ∂

∂z(xz) + e y z2 ∂

∂z( )y z2 + 1

2 2 3xy z

∂

∂z( )xy z2 3

= x + y2e y z2

+ 3xy

2

2 2

2 3

z

xy z

บทนิยาม 3.3 : (อนุพันธยอยใน Rn) ให f : Rn → R อนุพันธยอยของ f เทียบกับ xi สําหรับแตละ

i = 1, 2, . . . , n คือฟงกชัน

∂

∂

f

xi

= lim( , , ... , , , , ... , ) ( , , . . . , )

Δ

Δ

Δx

i i i i n n

ii

f x x x x x x x f x x x

x→

− ++ −

0

1 2 1 1 1 2

(4.3.6)

129

และอาจใชสัญลักษณ fi แทน ∂∂

f

xi

โดยที่ i = 1, 2, . . . , n โดเมนของฟงกชัน ∂∂

f

xi

หรือ fi คือเซตของจุด

x = ( , , . . . , )x x xn1 2

ในโดเมนของ f ซ่ึงลิมิตของ (4.3.6) หาคาได

ตัวอยาง 3.5 : ให f ( x ) = x x x x x x12

22

1 2 3 4 13x− + − ( / ) จงคํานวณ ∂

∂

f

xi

; i = 1, 2, 3, 4

วิธีทํา : 1. ∂∂

f

x1

= f1 = 2 3x1 2 3 4 1

2x x x x+ + ( / ) 2. ∂

∂

f

x2

= f2 = − + 2 3x2 1 3

x x

3. ∂∂

f

x3

= f3 = 3x1 2x 4. ∂

∂

f

x4

= f4 = − 11

/ x

เนื่องจากอนุพันธยอยของฟงกชันหลายตัวแปรยังคงเปนฟงกชันหลายตัวแปร ดังนั้นเชนเดียวกับฟงกชันตัวแปรเดียวซ่ึงจะมีอนุพันธยอยอันดับสูง

′y = ′f x( ) , ′′y = ′′f x( ) = d f

dx

2

2 = d

dx

df

dx( ) , . . .

เราก็จะมีอนุพันธยอยอันดับสูงของฟงกชันหลายตัวแปร ดังจะนิยามตอไปนี้

บทนิยาม 3.3 : (อนุพันธยอยอันดับสองใน R2) ให z = f(x, y)

1. อนุพันธยอยของ z เทียบกับ x สองครั้ง จะใชสัญลักษณและนิยามดังนี้

∂

∂

2

2

z

x = ∂

∂

2

2

f

x = fxx = ∂

∂x( ∂∂

f

x)

2. อนุพันธยอยของ z เทียบกับ x คร้ังแรก และแลวเทียบกับ y คร้ังที่สอง จะใชสัญลักษณและนิยามดังนี้

∂

∂ ∂

2 z

y x = ∂

∂ ∂

2 f

y x = fxy = ∂

∂y( ∂∂

f

x)

3. อนุพันธยอยของ z เทียบกับ y คร้ังแรก และแลวเทียบกับ x คร้ังที่สอง จะใชสัญลักษณและนิยามดังนี้

∂

∂ ∂

2 z

x y = ∂

∂ ∂

2 f

x y = fyx = ∂

∂x( ∂∂

f

y)

4. อนุพันธยอยของ z เทียบกับ y สองครั้ง จะใชสัญลักษณและนิยามดังนี้

∂

∂

2

2

z

y = ∂

∂

2

2

f

y = fyy = ∂

∂y( ∂∂

f

y)

130

และจะเรียกอนุพันธยอย fxy และ fyx เหลานี้วาอนุพันธยอยผสมอันดับสอง(Mixed Second Derivatives) ตัวอยาง 3.6 : ถา z = f(x, y) = x3y2 - xy5 แลว fx = 3x2y2 - y5 และ fy = 2x3y - 5xy4 ซ่ึงทําใหได

fxx = ∂∂x

(fx) = 6xy2 , fxy = ∂∂y

(fx) = 6x2y - 5y4

fyx = ∂

∂x(fy) = 6x2y - 5y4 , fyy = ∂

∂y(fy) = 2x3 - 20xy3

ทฤษฎีบท 3.1 : (การเทากันของอนุพันธยอยผสมใน R2) ให f , fx , fy , fxy และ fyx ตางเปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด (x0, y0) แลว fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0) จากบทนิยามของอนุพันธยอยอันดับสองและทฤษฎีบทที่กลาวถึงการเทากันของอนุพันธยอยผสม ทําใหเราสามารถขยายไปสูการใหนิยามมโนคติเหลานี้สําหรับฟงกชัน 3 ตัวแปร ถา w = f(x, y, z) แลวเราจะมีอนุพันธยอยอันดับสองถึง 9 ฟงกชัน (ถาทุกฟงกชันหาคาได) ดังตอไปนี้

∂

∂

2

2

f

x = fxx ,

∂

∂ ∂

2 f

y x = fxy ,

∂

∂ ∂

2 f

z x = fxz

∂

∂ ∂

2 f

x y = fyx ,

∂

∂

2

2

f

y = fyy ,

∂

∂ ∂

2 f

z y = fyz

∂

∂ ∂

2 f

x z = fzx ,

∂

∂ ∂

2 f

y z = fzy ,

∂

∂

2

2

f

z = fzz

ทฤษฎีบท 3.2 : (การเทากันของอนุพันธยอยผสมใน R3) ให f , fx , fy , fz และอนุพันธยอยผสมทั้ง 6 ฟงกชันตางเปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด (x0, y0, z0) แลว ที่จุดดังกลาวจะไดวา fxy = fyx , fxz = fzx และ fyz = fzy

131

ตัวอยาง 3.7 : ให f(x, y, z) = xy3 - zx5 + x2yz แลวเราจะมีอนุพันธอันดับหนึ่ง 3 ฟงกชันคือ fx = y3 - 5zx4 + 2xyz , fy = 3xy2 + x2z และ fz = -x5 + x2y แลวอนุพันธยอยอันดับสอง 9 ฟงกชันจะมีดังตอไปนี้ fxx = -20zx3 + 2yz , fyy = 6xy , fzz = 0 ,

fxy = ∂∂y

(y3 - 5zx4 + 2xyz) = 3y2 + 2xz = fyx = ∂∂x

(3xy2 + x2z)

fxz = ∂∂z

(y3 - 5zx4 + 2xyz) = -5x4 + 2xy = fzx = ∂∂x

(-x5 + x2y)

fyz = ∂∂z

(3xy2 + x2z) = x2 = fzy = ∂∂y

(-x5 + x2y)

และจะเห็นวาอนุพันธยอยอันดับสูงอื่นๆ สามารถนิยามไดในทํานองเดียวกัน เชน

fzyx = ∂

∂ ∂ ∂

3f

x y z = ∂

∂x( ∂∂ ∂

2 f

y z) = ∂

∂x(fzy)

เชนจากตัวอยางฟงกชันขางตนเราจะได อนุพันธยอยอันดับสามบางฟงกชันดังนี้

fxxx = ∂∂x

(fxx) = -60zx2 , fxzy = ∂∂y

(fxz) = 2x , fyxz = ∂∂z

(fyx) = 2x

(สังเกตวา fxzy = fyxz ) และอนุพันธยอยอันดับสี่บางฟงกชัน คือ

fyxzx = ∂∂x

(fyxz) = ∂∂x

(2x) = 2

จากบทนิยามของอนุพันธยอยอันดับสูงใน R2 และ R3 ทําใหไดแนวความคิดของการหาอนุพันธ

ยอยอันดับสูง รวมทั้งการเทากันของอนุพันธยอยผสมใน Rn ดังจะกลาวไวในทฤษฎีบทตอไปนี้

ทฤษฎีบท 3.3 : (การเทากันของอนุพันธยอยผสมใน R3) ให f : Rn → R และ f , fi , fj และทุกๆ fij ; 1≤ i , j ≤ n ตางเปนฟงกชันตอเนื่องในเซตเปด Ω

แลวฟงกชัน fji จะถูกนิยามและตอเนื่องใน Ω ยิ่งไปกวานั้นสําหรับทุก x ใน Ω เราจะได fij = fji

132

ให f : Rn → R เปนฟงกชันของ n ตัวแปร แลวอนุพันธยอย f1, f2, . . . , fn เรียกวาอนุพันธยอย

อันดับหนึ่งของ f สวน fij โดยที่ 1≤ i , j ≤ n เรียกวาอนุพันธยอยอันดับสองของ f โดยลักษณะการเดียวกันเราจะไดอนุพันธยอยอันดับสามของ f นิยามในรูปดังนี้

fijk = ∂

∂ ∂ ∂

3f

x x xk j i

เมื่อ 1≤ i , j, k ≤ n

และสุดทายเราก็สามารถนิยามอนุพันธยอยอันดับที่ m ของ f ไดดังนี้

fi i i

m1 2, ,...,

= ∂

∂ ∂ ∂

m

i i i

f

x x xm m−1 1

. . .

เมื่อ 1≤ i i im1 2

, , . . . , ≤ n และ i i im1 2

+ + +. . . = m

ตัวอยาง 3.8 : ใน R4 จงหา f13 , f31 และ f312 เมื่อ f ( x ) = x x x x x x12

22

1 2 3 4 13x− + − ( / )

จากตัวอยาง 3.5 เราจะได f3 = 3x1x2 ดังนั้น

f31 = ∂

∂ ∂

2

1 3

f

x x = ∂

∂

∂

∂x

f

x1 3

( ) = ∂

∂xx

11 2

3x( ) = 3x2

ในทํานองเดียวกัน

f13 = ∂

∂ ∂

2

1 3

f

x x = ∂

∂

f

x1 3

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ = [ ( / )]2 3x

12

2 3 4 12

3x x x x+ − = 3x2

และสุดทาย

f312 = (f31)2 = ∂

∂x2

23x( ) = 3

ขอใหสังเกตวา ∂

∂ ∂

2

1 3

f

x x = ∂

∂ ∂

2

3 1

f

x x

และเพื่อใหนิยามอนุพันธของฟงกชันในรูป Rn เราจะนิยามเกรเดียนทขึ้นใช ดังนี้

บทนิยาม 3.4 : ให f เปนฟงกชันคาจริงของหลายตัวแปรซึ่งอนุพันธยอยอันดับหนึ่งทั้งหมด fi ; 1 ≤ i ≤ n หา

คาไดที่จุด x ใชสัญลักษณ ∇f( x ) แทนเกรเดียนท(Gradient) ของ f ที่ x และนิยามโดย

∇f( x ) = (fx

1

( x ), fx

2

( x ), . . . , fx

n

( x ))

133

สําหรับเกรเดียนทใน R2 และ ใน R3 คือเวกเตอรตอไปนี้ เกรเดียนทใน R2 : ∇f( x ) = fx(x, y)i + fy(x, y)j เกรเดียนทใน R3 : ∇f(x) = fx(x, y, z)i + fy(x, y,z)j + fz(x, y, z)k ตัวอยางเชนใน R2 ถา f(x, y) = x2 + y2 แลว

fx = 2x และ fy = 2y ซ่ึงทําใหได ∇f( x ) = ∇f(x, y) = 2xi + 2yj และเราจะเห็นทิศทางของ ∇f ที่จุด (1, 2), จุด (3, 0) และ จุด (2, -1) ตามลําดับ ดังแสดงในรูป สังเกตวาดวยสัญลักษณของเกรเดียนท เราจะได ∇f( x ).Δ x = (fxi + fyj).(Δxi + Δyj) = fx(x, y)Δx + fy(x, y)Δy และ f(x+Δx , y+Δy) = f( x +Δ x ) ตัวอยาง 3.9 : จงหา ∇f และคํานวณ ∇f( x ) ณ x ที่กําหนด 1. z = f(x, y) = sin xy2 + e x y2 3

; x = (1, 1) วิธีทํา : ∂

∂

f

x = y2cos(xy2) + 2xy3e x y2 3

และ ∂∂

f

y = 2xycos(xy2) + 3x2y2e x y2 3

และ ∇f(x, y) = (y2cos(xy2) + 2xy3e x y2 3 )i + ( 2xycos(xy2) + 3x2y2e x y2 3 )j ดังนั้นที่ (1, 1) เราจึงได ∇f(1, 1) = (cos 1 + 2e)i + (2cos 1 + 3e)j 2. w = f(x, y, z) = xy2z3 ; x = (3, -1, 2) วิธีทํา : ∂

∂

f

x = y2z3 , ∂

∂

f

y = 2xyz3 และ ∂

∂

f

z = 3xy2z2

เนื่องจาก f , ∂∂

f

x , ∂

∂

f

y และ ∂

∂

f

z ตางเปนฟงกชันตอเนื่อง f จึงมีอนุพันธที่ x และ

∇f(x, y, z) = (y2z3)i + (2xyz3)j + (3xy2z2)k

ดังนั้นที่ (3, -1, 2) เราจึงได ∇f(3, -1, 2) = 8i - 48j + 36k

134

3. ใน R4 ถา f(x) = x x x x x x12

22

1 2 3 4 13x− + − ( / ) แลวจากตัวอยาง 3.5 จะได

∇f( x ) = (f1( x ), f2( x ), f3( x ), f4( x )) = (2 3x1 2 3

4

12x x

x

x+ + , − + 2 3x

2 1 3x x , 3x

1 2x , 1

1x )

ทฤษฎีบท 3.4 : ให f : Rn → R เปนฟงกชันซึ่งมีอนุพันธที่ x 0 แลว f ตอเนื่องที่ x 0

ทฤษฎีบท 3.5 : ให f และ g เปนฟงกชันซึ่งมีอนุพันธในเซตเปด Ω และ α เปนสเกลาร แลวฟงกชัน αf และ f + g ตางเปนฟงกชันซึ่งมีอนุพันธใน Ω ยิ่งไปกวานั้น

∇(αf ) = α∇f และ ∇(f + g ) = ∇f + ∇g 4. กฎลูกโซ ในหัวขอนี้เราจะแสดงการหากฎลูกโซสําหรับฟงกชันประกอบของฟงกชันหลายตัวแปร โดยจะเร่ิมจากการทบทวนกฎลูกโซสําหรับฟงกชันประกอบ 2 ฟงกชันในตัวแปรเดียว ให y = f(u) และ u = g(x) โดยที่ f และ g ตางเปนฟงกชันมีอนุพันธ แลว

dy

dx = dy

du

du

dx = ′ ′f g x g x( ( )) ( )

ถา z = f(x, y) เปนฟงกชันของ 2 ตัวแปร แลวเราจะมีกฎลูกโซอยู 2 ลักษณะดังจะกลาวไวใน 2 ทฤษฎีบทตอไปนี้ ทฤษฎีบท 4.1 : ให z = f(x, y) เปนฟงกชันที่มีอนุพันธ และสมมติวา x = x(t) และ y = y(t) เปนฟงกชันตัวแปรเดียว ที่ซึ่ง dx/dt และ dy/dt หาคาไดและมีอนุพันธ แลว z สามารถเขียนในรูปของฟงกชันของพารามิเตอร t และ

dz

dt = ∂

∂

z

x

dx

dt + ∂

∂

z

y

dy

dt = fx

dx

dt + fy

dy

dt

ทฤษฎีบท 4.2 : ให z = f(x, y) เปนฟงกชันที่มีอนุพันธ และสมมติวา x และ y เปนฟงกชัน 2 ตัวแปร r และ s

นั่นคือ x = x(r, s) และ y = y(r, s) ถา ∂∂

x

r , ∂∂

x

s , ∂

∂

y

r และ ∂

∂

y

s ตางนิยามและตอเนื่อง แลว z เขียนไดใน

รูปฟงกชันของ r และ s ดังนี้

∂

∂

z

r = ∂

∂

z

x

∂

∂

x

r + ∂

∂

z

y

∂

∂

y

r

และ ∂∂

z

s = ∂

∂

z

x

∂

∂

x

s + ∂

∂

z

y

∂

∂

y

s

135

ตัวอยาง 4.1 : ให z = f(x, y) = xy2 โดยที่ x = cos t และ y = sin t จงหา dz

dt

วิธีทํา : dz

dt = ∂

∂

z

x

dx

dt + ∂

∂

z

y

dy

dt = y2(-sin t) + 2xy(cos t)

= (sin2t)(-sin t) + 2(cos t)(sin t)(cos t) = 2 sin t cos2 t - sin3t

ตัวอยาง 4.2 : ให z = f(x, y) = sin(xy2) โดยที่ x = r/s และ y = e r s− จงหา ∂∂

z

r และ ∂

∂

z

s

วิธีทํา : ∂∂

z

r = ∂

∂

z

x

∂

∂

x

r + ∂

∂

z

y

∂

∂

y

r = (y2 cos(xy2))( s

1 ) + (2xy cos(xy2))e r s−

= e r s e

s

r s r s2 2

2

( ) ( )cos[( / ) ]− −

− 2rs {cos[( / ) ]}( ) ( )r s e er s r s2 2− −

และ

∂

∂

z

s = ∂

∂

z

x

∂

∂

x

s + ∂

∂

z

y

∂

∂

y

s = (y2 cos(xy2))( −r

s2 ) + (2xy cos(xy2))( )− −e r s

= −− −re r s e

s

r s r s2 2

2

( ) ( )cos[( / ) ] − 2rs {cos[( / ) ]}( ) ( )r s e er s r s2 2− −

สําหรับฟงกชัน 3 ตัวแปร w = f(x, y, z) สามารถเขียนกฎลูกโซตามทฤษฎีบท 1 และทฤษฎีบท 2 ไดตามลําดับดังนี้ ถา x = x(t) , y = y(t) และ z = z(t) โดยที่ dx/dt , dy/dt และ dz/dt หาคาไดและตอเนื่องแลว w ก็จะเปนฟงกชันในตัวแปร t ซ่ึงหาอนุพันธเทียบกับ t ไดดวยกฎลูกโซ

dw

dt = ∂

∂

w

x

dx

dt + ∂

∂

w

y

dy

dt + ∂

∂

w

z

dz

dt

และถา x = x(r, s, t) , y = y(r, s, t) และ z = z(r, s, t) โดยที่อนุพันธยอยทั้งหมดตางนิยามและตอเนื่อง แลว w จะเปนฟงกชันของ r , s และ t และ ∂

∂

w

r = ∂

∂

w

x

∂

∂

x

r + ∂

∂

w

y

∂

∂

y

r + ∂

∂

w

z

∂

∂

z

r ,

∂

∂

w

s = ∂

∂

w

x

∂

∂

x

s + ∂

∂

w

y

∂

∂

y

s + ∂

∂

w

z

∂

∂

z

s

136

และ ∂∂

w

t = ∂

∂

w

x

∂

∂

x

t + ∂

∂

w

y

∂

∂

y

t + ∂

∂

w

z

∂

∂

z

t

และสําหรับกรณีทั่วไปของกฎลูกโซใน Rn เราจะกลาวไวในทฤษฎีบทตอไปนี้

ทฤษฎีบท 4.3 : ให x (t) : R → Rn เปนฟงกชันคาเวกเตอรซ่ึงมีอนุพันธที่ t0 และ f( x ) : Rn→ R เปนฟงกชันหลายตัวแปรซึ่งมีอนุพันธที่ x 0 = x (t0) แลวฟงกชันผลประกอบ

f( x (t)) จะมีอนุพันธที่ t0 และ

d

dtf( x (t0)) = ∇f( x 0) . ′x t( )

0

ตัวอยาง 4.3: ให f( x ) = x x x x12

2 3 42+ − โดยที่ x1 = t2 , x2 = sin t , x3 = t3 และ x4 = ln t จงหา d

dtf( x (t))

วิธีทํา : d

dtf( x (t)) = ∇f( x ). ′x t( ) = (2x1, x3 , x2 , -2x4) . (2t, cos t, 3t2, 1

t )

= (2t2, t3 , sin t , - 2ln t) . (2t, cos t, 3t2, 1t )

= 4t3 + t3cos t + 3t2 sin t − 2 ln tt

แบบฝกหัด 1. จงเขียนเซตที่เปนโดเมนและพิสัยของฟงกชันตอไปนี้

1.1 f(x, y) = 22 yx + 1.2 f(x, y) = yx1 ++

1.3 f(x, y) = yxyx

+

− 1.4 f(x, y) = 22 y4x1 ++

1.5 f(x, y, z) = 222 zyx −−− 1.6 f(x, y, z) = 222 zyx

1

+−

1.7 f(x, y, z) = xyz1

1.8 f(x, y, z) = zsinycosxsin ++

1.9 )x,x,x,x(f 4321 = 4321 xxx2x1 −+++ 1.10 )x,....,x,x(f n21 = ∑=

n

1i

2ix

2. จงวาดเสนโคงระดับของพื้นผิวในขอตอไปนี้

2.1 22 y4xz += 2.2 y2xz +=

137

2.3 =z yx1 ++ 2.4 =zyx

2.5 =z 22 y4x1 −− 2.6 =z yx1 2−+

3. จงใชนิยามในการแสดงวาลิมิตในขอตอไปนี้เปนจริง 3.1 10)y7x(lim

)1,3()y,x(=−

−→ 3.2

)2,5()y,x(lim

−→b2a5)byax( −=+

3.3 0yxyx2

lim 22

2

)0,0()y,x(=

+→ 3.4

)1,4()y,x(lim→

19)y3x( 22=+

3.5 9)x3x4xx3x2(lim 54321)3,1,4,2,1(x

=+−+−−−→

3.6 0zyxxzy

lim 222

32

)0,0,0()z,y,x(=

++

+

→

3.7 2)xxxx(lim 24

23

22

21

)2,0,1,1(x−=−++

−→

4. จงแสดงวาลิมิตในขอตอไปนี้หาคาไมได

4.1 44

3

)0,0()y,x( yxxy

lim+→

4.2 x2yy2x

lim 2

2

)0,0()y,x( +

−

→

4.3 222)0,0,0()z,y,x( zyx

yz3xz2xylim

++

++

→ 4.4 333

)0,0,0()z,y,x( zyxxyz

lim++→

4.5 0x

lim→

45

44

43

42

41

325

332

341

xxxxx

xxxxxx

++++

++ 4.6

0xlim→

44

43

42

41

4321

xxxxxxxx+++

5. จงหาฟงกชัน g(x) ที่ทําให f(x, y) ที่นิยามดังตอไปนี้ ตอเนื่องทุกจุดใน R2

yx,

yx,

yx

2y2x

)x(g

)y,x(f≠

=

−

−

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

138

6. จงหาจํานวนจริง c ที่ทําให )y,x(f ที่นิยามดังตอไปนี้ตอเนื่อง

0)y,x(,

0)y,x(,

2y2x

xy3

,c

)y,x(f≠

=

+=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

7. จงหาอนุพันธยอยในแตละขอตอไปนี้

7.1 )z,y,x(f = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

zxy

tan 1 , )2,2,1(fx −

7.2 )z,y,x(f = zyxzyx

++

−+ , )1,1,1(fz

7.3 tcosrw +−= θ , 22 yxr += , ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−θ =xy

tan 1 , t = z , xw , yw , zw

7.4 222 zyxw ++= , θφρ= cossinx , θφρ= sinsiny , φρ= cosz

,wρ∂∂

,wφ∂

∂θ∂

∂w

7.5 )z,y,x(gw = , θ= cosrx , θ= sinry , tz = , ,wr∂

∂θ∂

∂w,z

w∂∂

7.6 ให )s,r(Yy),s,r(Xx),y,x(Fz === จงหา 2

2

rz

∂

∂

7.7 ให )e1(27

e)y,x(fz 2/yy)4/5(x−+

+== จงหาคาของ f2f4f3 yx +−

8. จงเขียนสมการเสนตรงซึ่งสัมผัสพื้นผิว 9z4y4x 222=++ ที่จุด (1, 1, 1) และอยูบนระนาบ

z = 1 9. จงหาเกรเดียนท และเกรเดียนท ณ จุดที่กําหนดของฟงกชันตอไปนี้

9.1 )y,x(f = )1yx2ln( +− 9.2 )y,x(f = xye , (1,1)

9.3 )y,x(f = )y3xsec( + , (0,1) 9.4 )y,x(f = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

x

ytan 1 , (3, 3)

9.5 )z,y,x(f = ztanycosxsin ; (π/6, π/4, π/3)

9.6 )z,y,x(f = z3y2xe)zy( ++− ; (-4, -1, 3)

9.7 )z,y,x(f = 22 xy1

zx

+−

−; (0, 0, 1)