Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
รหสวชา 2204-2004
อาจารยสวทย บตรวาป
อาจารยประจาสาขาวชาพนฐานทวไป
1. นยามของเมทรกซ
นยามท 1 เมทรกซคอ กลมของจานวนจรง หรอ
จานวนเชงซอน มาจดเรยงเปนรปสเหลยมผนผาเปน
แถวตามแนวนอน (Horizontal) และ แนวตง (Vertical)
ซงมแถวตามแนวนอนเรยกวา แถว (Row) และตาม
แนวตงเรยกวา หลก (Column)
โดยทวไปนยมใชในรปตอไปนแทน
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
ใชสญลกษณ เปน หรอ ij m nA a
× = nmA ×
เมทรกซทม 1 แถวและ n หลก เรยก เมทรกซ
แถว เชน
เมทรกซทม m แถวและ 1 สดมภ เรยก เมทรกซ
หลก เชน
[ ]835 −
−835
เมทรกซจตรส (Square Matrix) คอ เมทรกซทม
จานวนแถวเทากบจานวนหลก (m=n) หรอเรยกวา
เมทรกซอนดบ n มรปทวไปคอ
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
สมาชกทอยในตาแหนง i=j เรยก เสนเสนทแยงมมหลก
เมทรกซศนย (Zero Matrix หรอ Null Matrix)
คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนศนยหมด เชน
O = หรอ 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
เมทรกซทแยงมม(Diagonal Matrix) คอเมทรกซ
จตรสทมสมาชกทกตวทไมไดอยบนเสนทแยงมมหลก
มคาเปนศนยทงหมด เชน
2 0 0
0 3 0
0 0 4
4 0 0 0
0 3 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
หรอ
เมทรกซเชงสเกลาร(Scalar Matrix) คอเมทรกซ
ทแยงมมทมสมาชกทกตวบนเสนทแยงมมหลกมคาเทากน
ทงหมด เชน
4 0 0
0 4 0
0 0 4
5 0 0 0
0 5 0 0
0 0 5 0
0 0 0 5
หรอ
เมทรกซเอกลกษณ (Identity Matrix หรอ
Unit Matrix) คอ เมทรกซทแยงมมทมสมาชกทกตวบน
เสนทแยงมมหลกมคาเทากบ 1 ทงหมด ใชสญลกษณ
I หรอ In แทนเอกลกษณเมทรกซอนดบ n เชน
I3 = หรอ I4 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Ex. A =
3 2 0 1
7 1 6 4
เปนเมทรกซขนาด _________ แถว
_________ หลก
เขยนดวยสญลกษณ _____________
Ex. จงบอกประเภทและอนดบของเมทรกซลกษณะ
พเศษตอไปน
1. O = 0 0 0
0 0 0
2. A = 1
8
2. พชคณตของเมทรกซ
2.1 การเทากนของเมทรกซ (Equal Matrix)
ถา และ
จะได A = B กตอเมอ m = p และ n = q
และ aij = bij ทกคาของ i และ j
ij m nA a
× = ij p q
B b×
=
2.2 การบวกลบเมทรกซ (Matrix Addition or Subtraction)
ให และ
แลว A + B = C
โดยท
ij m nA a
× = ij p q
B b×
=
ij ij ijm n m nC c a b
× × = = ±
2.3 การคณเมทรกซ
การคณเมทรกซดวยสเกลาร (Scalar Multiplication)
ให และ k เปนสเกลาร ดงนน
นนคอ เปนการนา k คณกบสมาชกทกตวในเมตรกซ
เชน a b
c d
ka kb
kc kd k =
ij m nA a
× =
ij m nkA ka
× =
Ex. A = 1 -5 3
4 1 0
จงคานวณหา 4A , -3A
วธทา
−=
)0(4)1(4)4(4)3(4)5(4)1(4
4A
−=
041612204
−−−−−−−
=−)0(3)1(3)4(3)3(3)5(3)1(3
3A
−−
−−=
03129153
Ex. จงหาผลคณของเมตรกซ AB เมอ
วธทา
=
−−=
371402
,325
110321
BA
−++−+++−++−+++++
=)3)(3()1)(2()0)(5()7)(3()4)(2()2)(5()3)(1()1)(1()0)(0()7)(1()4)(1()2)(0(
)3)(3()1)(2()0)(1()7)(3()4)(2()2)(1(AB
−−=
7323
1131
3. ชนดของเมทรกซ
3.1 เมทรกซสลบเปลยน (Transposed Matrix)
ถา แลว เมทรกซสลบเปลยนของ A
คอ และใชสญลกษณ AT หรอ A'
แทนเมทรกซสลบเปลยนของ A
ij m nA a
× =
ij n mA a
× =
A = เชน a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a41 a42 a43 4x3
A T =
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 3x4
Ex. จงหาเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซตอไปน
A =
B =
C =
4 4 -1
2 3 -4
-7 2 3
1 2
3 0
-4 7
2
8
2
AT = 1 3 42 0 7
−
BT = 4 2 74 3 21 4 3
− − −
CT = [ ]2 8 2
3.4 เมทรกซสามเหลยม (Triangular Matrix)
เมทรกซสามเหลยมบน (Lower Triangular Matrix) คอ
เมทรกซจตรสใดๆ ทมสมาชกทกตวทอยเหนอเสนทแยงมมหลก
เปนศนยหมด
เมทรกซสามเหลยมลาง (Upper Triangular Matrix) คอ
เมทรกซจตรสใดๆ ทมสมาชกทกตวทอยใตเสนทแยงมมหลก
เปนศนยหมด
ดเทอรมแนนตของเมทรกซ
ดเทอรมแนนตของเมทรกซ det(A) หรอ มความสาคญในการ
คานวณทางคณตศาสตร วธคานวณหาดเทอรมแนนตมหลายวธดงน
1. การหาโดยตรง (ในกรณของเมทรกซขนาดเลก) เชน
cbadAdcba
A −=
= )det(,
เมทรกซขนาด 2x2 (หาดเทอรมแนนตไดในกรณของเมทรกซจตรสเทานน)
เมทรกซขนาด 3x3
33
22
11
333
222
111
bababa
cbacbacba
A
=
123123123
321321321)det(bacacbcba
bacacbcbaA−−−
++=
เมทรกซทมขนาดมากกวานจะทาแบบนไมได ตองใชวธกระจาย cofactor เทานน
การหา Determinant โดยใชวธการกระจาย Cofactor
Cofactor (Cij ) หาไดจาก Matrix A ถกตดแถวท i และ หลก ท j
ออกไปแลวหาดเทอรมแนนตของเมทรกซทเหลอ (จะมขนาดเลกลง
เสมอ) แลวนา cofactor มาหาคาดเทอรมแนนท
ตวอยางท 1. จงหาคาของ C12 และ C23
2 1 09 4 65 3 8
A =
หาคา C12 ตองตดแถวท 1 และ Column ท 2 ออก จะได
2 1 09 4 65 3 8
9 65 8
คณขางหนาดวย (-1)(1+2) จะได
( )(1 2)12
9 61 42
5 8A += − = −
ตวอยางท 1. (ตอ)
หาคา C23 ตองตดแถวท 2 และ หลก ท 3 ออก จะได
2 1 09 4 65 3 8
2 15 3
คณขางหนาดวย (-1)(2+3) จะได
( )(2 3)23
2 11 1
5 3A += − = −
การกระจาย Cofactor เราสามารถเลอกวาจะใชแถวหรอ หลก ใดกได
แตการคานวณจะงายขนถาเราเลอกแถวหรอ หลก ทมสมาชกเปน 0 อย
มาก
การหาคาตอบของระบบสมการเชงเสนดวยเมทรกซ
วธการหาคาตอบของระบบสมการเชงเสนม 3 วธคอ
1 ใช Inverse matrix เหมาะกบระบบทมสมการจานวนไมมาก (2-3 สมการ)
2 ใช Cramer’s rule เหมาะกบระบบทมสมการจานวนไมมาก
3 ใชวธการของ Gauss-Elimination ซงเหมาะกบระบบทมสมการจานวนมาก
ตวอยางท 5. จงหาคาตอบของระบบสมการโดยใช Cramer’s rule
3 04 0
5
x y zy zx y z
+ − =− =− − =
วธทา 1. เขยนโจทยใหอยในรป Matrix
1 1 3 00 1 4 01 1 1 5
xyz
− − = − −
เมทรกซของ
สมประสทธ
เวคเตอรทราบ
คา
เวคเตอรไม
ทราบคา
2. หา Determinant ของ A
1 1 3det( ) 0 1 4 6
1 1 1A
−= − = −
− −
3. หาคา x โดย
0 1 30 1 45 1 1 5
det( ) 6x
A
−−
− −= =
เวคเตอรทราบคา
แทน สปส ของ x
4. หาคา y โดย เวคเตอรทราบคา
แทน สปส ของ y 1 0 30 0 41 5 1 10
det( ) 3y
A
−−−
= = −
5. หาคา z โดย เวคเตอรทราบคา
แทน สปส ของ z 1 1 00 1 01 1 5 5
det( ) 6z
A−
= = −
จะเหนวธของ Crammer rule ตองหาดเทอรมแนนทหลายครง จงไมเหมาะกบ
ระบบสมการเชงเสนทมหลายตวแปร (มากกวา 3)