อกสารประกอบการสอนportal5.udru.ac.th/ebook/pdf/upload/174l64P0831cQ9lQ14Tl.pdfม มนต ของ รง สมด ลของอน ภาค

เอกสารประกอบการสอน

วชาสถตยศาสตร MT 02202

สทน พลบรณ วศ.ม.(วศวกรรมเครองกล)

คณะเทคโนโลย

มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน 2556

I

ค ำน ำ

เอกสารประกอบการสอนรายวชาสถตยศาสตร รหส MT02202 จดท าขนเพอใชประกอบ การเรยนการสอนประจ าสาขาวชาเทคโนโลยเครองกล คณะเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน เนอหาในเอกสารประกอบการสอนประกอบดวย พนฐานกลศาสตร เวกเตอรและระบบแรง โมเมนตของแรง สมดลของอนภาค สมดลของวตถแขงเกรง การวเคราะหโครงสราง จดศนยถวงและจดเซนทรอยด แรงเสยดทาน และ งานเสมอน รวมทงสน 9 บทเรยน โดยผเขยนไดเรยบเรยงจากต าราภาษาไทยและภาษาองกฤษหลายเลม เพอใหผเรยนมความเขาใจในเนอหาไดเปนอยางด ทงน ผเขยนไดยกตวอยางประกอบการค านวณทหลากหลายรปแบบของปญหา เพอใหผเรยนน าไปใชในการแกโจทยปญหาทายบทเรยนไดอยางมประสทธภาพ และ แตละบทเรยนจะมใบงานในการฝกปฏบตเพอใหนกศกษามความเขาใจในเนอหาของแตละบทเรยนไดดยงขน

ส าหรบเอกสารประกอบการสอนเลมนเสรจสมบรณไดตองขอขอบพระคณ ดร.ณตเทพ พทกษานรตน อธการบดมหาวทยาลยราชภฏอดรธาน รองศาสตราจารยสมชาย ชนวฒนาประณธ และรองอธการบดทกทาน คณบดคณะเทคโนโลย และรองคณบดทกทาน หวหนาสาขาวชาเทคโนโลยเครองกล และ คณาจารยทกทาน ทใหการสนบสนนในการจดท าเอกสารประกอบการสอนเลมน สดทายน คณงามความดทงหมดทเกดจากเอกสารประกอบการสอนเลมน ผเขยนขอมอบใหแดบดา มารดา บคคลอนเปนทรกและเคารพยงส าหรบผเขยน ตลอดจนขอมอบแดครอาจารยทกทานทไดประสทธประสาทวชาความรใหแกผเขยน จนท าใหเอกสารประกอบการสอนเลมนส าเรจลงไดดวยด

สทน พลบรณ มถนายน 2556

III

สารบญ หนา

ค าน า…………………………………………………………………………………………………………………………….……….I สารบญ………………………………………………………………………………………………………………………………..III สารบญรป…………………………………………………………………………………………………………………………..VII

สารบญตาราง………………………………………………………………………………………………………….…….…XVII

แผนบรหารการสอนประจ าวชา……………………………………………………………………………………………..1

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 1………………………………………………………………………………………..7

บทท 1 พนฐานกลศาสตร……………………………………………………………………………………………………9

1.1 บทน า………………………………………………………………………………………………………………9

1.2 กลศาสตรและววฒนาการ………………………………………………………………………………….9

1.3 แนวคดพนฐานทางกลศาสตร……………………………………………………………………………13

1.4 ปรมาณสเกลารและปรมาณเวกเตอร………………………………………….……………………..15

1.5 กฎการเคลอนทของนวตน………………………………………………………………………………..15

1.6 หนวยการวดทางกลศาสตร…………………………………………………………………………..….16 1.7 ขนตอนการวเคราะหปญหาทางกลศาสตร………………………………………………………….18 แบบฝกหดบทท 1…………………………………………………………………………………..…….23

บทสรป………………………………………………………………………………………………………..………..24

แบบทดสอบบทท 1……………………………………………………………………………………..………..25

เอกสารอางอง…………………………………………………………………………………………………..……26

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 2………………………………………………………………………………..…….27

บทท 2 เวกเตอรและระบบแรง…………………………………………………………………………………….…...29

2.1 บทน า………………………………………………………………………………………………….…………29

2.2 พนฐานของเวกเตอร…………………………………………………………………………………….….29 2.3 แรงในระบบ 2 มต……………………………………………………………………………….……….36

แบบฝกหดตอนท 1……………………………………………………………………………………..…50

2.4 แรงในระบบ 3 มต……………………………………………………………………….……………….54

แบบฝกหดตอนท 2………………………………………………………………………………………..63

บทสรป……………………………………………………………………………………………………………..…..67

แบบทดสอบบทท 2……………………………………………………………………………………………….68

เอกสารอางอง………………………………………………………………………………………………………..73

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 3……………………………………………………………………………………..75

บทท 3 โมเมนตของแรง………………………………………………………………………………………………..….77

3.1 บทน า………………………………………………………………………………………………………..…..77

3.2 การหาโมเมนตแบบสเกลาร………………...................................................................….77

3.3 ผลคณแบบเวกเตอร…………………………………………………………………………………………79

IV

สารบญ (ตอ) หนา

3.4 การหาโมเมนตดวยผลคณแบบเวกเตอร……………………………………………………….…….82 แบบฝกหดตอนท 1………………………………………….…………………………………………….93 3.5 โมเมนตของแรงคควบ……………………………………………………………………………………..97

แบบฝกหดตอนท 2………………………………………………………………………..…………….103

บทสรป…………………………………………………………………………………………………………..…..105

แบบทดสอบบทท 3……………………………………………………………………….……………………106

เอกสารอางอง…………………………………………………………………………………………..………….109

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 4…………………………………………………………………………..…….…111

บทท 4 สมดลของอนภาค……………………………………………….………………………………………………113

4.1 บทน า…………………………………………………………………………………………………..…….113

4.2 เงอนไขความสมดลของอนภาค……………………………………………………………………..113

4.3 การเขยนผงวตถอสระ………………………………………………………………………..…..…….113

4.4 สมดลในระบบ 2 มต………………………………………………………………………………….115

แบบฝกหดตอนท 1……………………………………………………………………………..……122

4.5 สมดลในระบบ 3 มต…………………………………………………………………………...…….126

แบบฝกหดตอนท 2………………………………………………………………………….......….135

บทสรป…………………………………………………....................................................................137

แบบทดสอบบทท 4…………………………………………………………………………………………...138

เอกสารอางอง…………………………………………………………………………………………………....141

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 5……………………………………………………………………………..…….143

บทท 5 สมดลของวตถแขงเกรง……………………………………………………………………………….………145

5.1 บทน า…………..……………………………………………………………………………………………..145

5.2 สมดลในระบบ 2 มต……………………………………………………………………..……………145

แบบฝกหดตอนท 1……………………………………………………………………………..……..156

5.3 สมดลในระบบ 3 มต…………………………………………………………………………..………159

แบบฝกหดตอนท 2……………………………………………………………….…….……………..170

บทสรป………………………………………………………………………………………………………….……173

แบบทดสอบบทท 5…………………………………………………………………………………..………..174

เอกสารอางอง…………………………………………………………………………………………………..….177

V


แผนบรหารการสอนประจ าบทท 6……………………………………………………………………………..….…179

บทท 6 การวเคราะหโครงสราง…………………………………………………………………………………….…181

6.1 บทน า……………………………………………………………………………………………….……...….181

6.2 โครงถกระนาบอยางงาย………………………..…………………………………………………….…181

6.3 วธการหาแรงในชนสวนโครงสราง…………………………………………………………….……..185

แบบฝกหดตอนท 1……………………………………………………………………………………199

6.4 โครงกรอบและเครองมอกล……………………………………………………………………….…..202

แบบฝกหดตอนท 2…………………………………………………………………………………...208

บทสรป……………………………………………………………………………………………………………….211

แบบทดสอบบทท 6……………………………………………………………………………………….…….212 เอกสารอางอง……………………………………………………………………………………………..……….215

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 7……………..…………………………………………………………..…..……217

บทท 7 จดศนยถวงและจดเซนทรอยด…………………………………………………………………..……..…219

7.1 บทน า………………………………………………………………………………………………………..…219

7.2 การหาจดศนยถวงและจดเซนทรอยด……………………………………………………...………219

แบบฝกหดตอนท 1……………………………………………………………………………………232

7.3 การหาจดศนยถวงและจดเซนทรอยดของวตถผสม………………………………………..….235

แบบฝกหดตอนท 2………………………………………………………………………….………..239

7.4 แรงกระท าเปนบรเวณ……………………………………………………………………………..…….242

แบบฝกหดตอนท 3……………………………………………………………………………..…….248

บทสรป…………………………………………………………………………………………………………..…..250

แบบทดสอบบทท 7…………………………………………………………………………………………….251

เอกสารอางอง……………………………………………………………………………………………….……..254

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 8…………………………………………………………………………..….……255

บทท 8 แรงเสยดทาน………………………………………………………………………………….……………….…257

8.1 บทน า…………………………………………………………………………………………………………..257

8.2 แรงเสยดทานแหง………………………………………………………………………………………….257

แบบฝกหดบทท 8…..…………………………………………………………………………………..269

บทสรป……………………………………………………………………………………………………..………..272

แบบทดสอบบทท 8…………………………………………………………………………………………….273

เอกสารอางอง…………………………………………………………………………………………….………..276

VI


แผนบรหารการสอนประจ าบทท 9…………………………………………………………………..………..……..277

บทท 9 งานเสมอน……………………………………………………………………………………………………….…279

9.1 บทน า…………………………………………………………………………………………………..………279

9.2 หลกการพนฐานของงานเสมอน…………………………………….………………………….…….279

9.3 งานเสมอนส าหรบระบบของวตถแขงเกรงทเชอมตอกน………………………..…………...283

แบบฝกหดตอนท 1…………………………………………………………….……………….……..291

9.4 เสถยรภาพ………………………………………………………………………………………….………..293

แบบฝกหดตอนท 2…………………………………………………………………………….……….304

บทสรป……………………………………………………………………………………………………….………306

แบบทดสอบบทท 9…………………………………………………………………………………….………307

เอกสารอางอง………………………………………………..……………………………………….……………309

บรรณานกรม……………………………………………………………………….………………………………….…..……311

ภาคผนวก…………………………………………………………………………………………………………………………313

ภาคผนวก ก ใบงาน………………………………………………………………………………..…………..315

ภาคผนวก ข เฉลยแบบฝกหด……………………………………………………………………………….389

ภาคผนวก ค เฉลยแบบทดสอบ……………………………………………………………………..……..393

ภาคผนวก ง จดเซนทรอยด……………………………………………………………………………..…..397

ภาคผนวก จ สตรแคลคลส…………………………………………………………………………………..399

VII

สารบญรป รปท หนา

1.1 อารคมดส…………………………………………………………………………………………………………..…..….10 1.2 กาลเลโอ กาลเลอ…………………………………………………………………………………………………...…..10 1.3 ครสเตยน ฮอยเกนส………………….…………………………………………………………………………………11

1.4 เซอร ไอแซค นวตน………………………………………………………………………………………….….………11 1.5 อลเบรต ไอนสไตน…….…………………………………………………..………………………………..…….…….12

1.6 มกซ พลงค………………………………………………………………………………………………………..………..12 1.7 แอรวน ชเรอดงเงอร………………………………………………………………………………………………...….13 1.8 เวรนเนอร ไฮเซนเบรก…………………………………………….…………………………………………..……….14

1.9 แรงดงดดระหวางวตถสองชน……………….……………………………………………………………………….15 1.10 ประกอบตวอยางท 1.3……………………………………………………………………………..……………..…..21 1.11 ประกอบตวอยางท 1.4…………………………………………………………………………………………..…….22

2.1 หลกการเขยนเวกเตอร…………………………………………………………………………………………………29

2.2 การบวกเวกเตอร…………………………………………………………………………………………………….…..30

2.3 การลบเวกเตอร………………………………………………………………………………………………….……….30 2.4 การหาขนาดและทศทางของเวกเตอรดวยสตรตรโกณมต………………………………………….……..30

2.5 การแตกเวกเตอร…………………………………………………………………………………………………………31

2.6 เวกเตอร 3 มต…………………………………………………………………………………………………….………32 2.7 ต าแหนงของเวกเตอร 3 มต…………………………………………………………………………………..……..33 2.8 เวกเตอรกระท าผานจดสองจด………………………………………………………………………………………33

2.9 การคณแบบสเกลารของเวกเตอร…………………………………………………………………………..………34 2.10 สวนประกอบของเวกเตอรทขนานและตงฉากกบเสนตรง……………………………………………..…..35 2.11 เวกเตอรของแรงในพกดฉาก………………………………………………………………………………..………..36 2.12 การแตกเวกเตอรของแรง……………………………………………………………………………………………...37

2.13 การบวกเวกเตอรของแรง………………………………………………………………………………………………37

2.14 การรวมเวกเตอรของแรงสามแรง……………………………………………………………………………..……39 2.15 ประกอบตวอยางท 2.1………………………………………………………………………………….………..……40 2.16 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.1……………………………………………………………………….………40 2.17 ประกอบตวอยางท 2.2…………………………………………………………………………………………….…..42

2.18 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.2…………………………………………………………………………..…..42 2.19 ประกอบตวอยางท 2.3…………………………………………………………………………………………….…..43

2.20 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.3…………………………………………………………………………..…..43 2.21 ประกอบตวอยางท 2.4…………………………………………………………………………………………....…..45

2.22 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.4………………………………………………………………………….…...45

2.23 ประกอบตวอยางท 2.5……………………………………………………………………………………...…………46

VIII

สารบญรป (ตอ) รปท หนา

2.24 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.5………………………………………………………………………….……47 2.25 ประกอบตวอยางท 2.6………………………………………………………………………..………………..……..48 2.26 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.6……………………………………………………………………….………48 2.27 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.1…………………………………………………………………………………..…..50

2.28 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.2…………………………………………………………………………….………...50

2.29 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.3……………………………………………………………………………………....50

2.30 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.4…………………………………………………………………………………….…51 2.31 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.5…………………………………………………………………………….…………51 2.32 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.6………………………………………………………………………………….……52 2.33 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.7……………………………………………………………………………….………52 2.34 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.8………………………………………………………………………………….……53 2.35 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.9………………………………………………………………………………….……53 2.36 การแตกแรงในระบบ 3 มต…………………………………………………………………………………………54

2.37 แนวแรงทกระท าผานวตถสองจด……………………………………………………………………………….…..55

2.38 วตถรบแรง 3 แรง………………………………………………………………………………………………….…..56

2.39 ประกอบตวอยางท 2.7………………………………………………………………………………….………..……56 2.40 ประกอบตวอยางท 2.8………………………………………………………………………………………..……….58

2.41 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.8………………………………………………………………………..……..58 2.42 ประกอบตวอยางท 2.9………………………………………………………………………………………..…..…..59

2.43 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.9……………………………………………………………………….………60 2.44 ประกอบตวอยางท 2.10……………………………………………………………………………………..………..61 2.45 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.10………………………………………………………………….………….61 2.46 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.10……………………………………………………………………….……..……..63

2.47 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.11………………………………………………………………………………..……63 2.48 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.12………………………………………………………………………………...…..64

2.49 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.13……………………………………………………………………………..….…..64

2.50 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.14……………………………………………………………………………….…….65 2.51 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.15………………………………………………………………………………...…..65

2.52 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.16……………………………………………………………………………...……..66

2.53 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.17…………………………………………………………………………….……….66 2.54 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.1…………………………………………………………………………..…..…….68

2.55 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.2……………………………………………………………………………...……..68

2.56 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.3……………………………………………………………………………………..69 2.57 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.4……………………………………………………………………………………..69

IX


2.58 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.5……………………………………………………………………..………………70

2.59 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.6………………………………………………………………....……………..…..70 2.60 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.7…………………………………………………………….………………..……..71 2.61 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.8………………………………………………………………………..……..…….71

2.62 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.9……………………………………………………………………………….…….72 2.63 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.10…………………………………………………………………….……..………72 3.1 การเกดโมเมนตและทศทางโมเมนตของแรง……………………………………………………………………78

3.2 การหาโมเมนตดวยทฤษฎของวารยอง…………………………………………………………….……………..79

3.3 คณสมบตการสลบทของผลคณแบบเวกเตอร…………………………………………………………………..80 3.4 ผลคณแบบเวกเตอรของเวกเตอรหนงหนวยในพกดฉาก……………………………………………………80

3.5 หลกความเขาใจกฎมอขวาอยางงาย…………………………………………………………………………..…..81 3.6 การหาโมเมนตดวยผลคณแบบเวกเตอร…………………………………………………………………….……82 3.7 ขนาดโมเมนตของแตละแกนในพกดฉาก…………………………………………………………………………83

3.8 การหาโมเมนตดวยทฤษฎวารยองในระบบ 3 มต……………………………………………………..……..84 3.9 ประกอบตวอยางท 3.1…………………………………………………………………………………………..…….84

3.10 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 3.1……………………………………………………………………………….84 3.11 ประกอบตวอยางท 3.2…………………………………………………………………………………………..…….85

3.12 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 3.2…………………………………………………………………………….…85 3.13 ประกอบตวอยางท 3.3………………………………………………………………………………………..…..…..86

3.14 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 3.3………………………………………………………………………..……..87 3.15 ประกอบตวอยางท 3.4…………………………………………………………………………………….……..……88

3.16 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 3.4………………………………………………………………………….……88 3.17 ประกอบตวอยางท 3.5…………………………………………………………………………………………....…..89

3.18 ประกอบตวอยางท 3.6…………………………………………………………………………………………..…….91

3.19 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 3.6……………………………………………………………………………….91 3.20 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.1…………………………………………………………………………………….…93 3.21 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.2………………………………………………………………………….……….…..93 3.22 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.3…………………………………………………………………………….…….…..94 3.23 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.4…………………………………………………………………………………...….94 3.24 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.5………………………………………………………………………………….……95 3.25 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.6…………………………………………………………………………………..…..95 3.26 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.7…………………………………………………………………………….………...96

3.27 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.8…………………………………………………………………………..…….…….96 3.28 แรงคควบ……………………………………………………………………………………………………………….…..97

X


3.29 การหาโมเมนตของแรงคควบ…………………………………………………………………………………………97

3.30 การหาขนาดและทศทางของโมเมนตของแรงคควบ………………………………………………….………98 3.31 การรวมโมเมนตของแรงคควบ……………………………………………………………………………………….98 3.32 หลกการยายแรงทกระท ากบวตถ……………………………………………………………………………………99

3.33 ประกอบตวอยางท 3.7…………………………………………………………………………………..…….………99 3.34 ประกอบตวอยางท 3.8…………………………………………………………………………………..…………..100 3.35 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 3.8………………………………………………………………………….….100 3.36 ประกอบตวอยางท 3.9………………………………………………………………………………………….……102 3.37 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 3.9…………………………………………………………………..…………102 3.38 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.9………………………………………………………………………………….….103 3.39 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.10……………………………………………………………………..………..…..103

3.40 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.11……………………………………………………………………………..…….104 3.41 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.12………………………………………………………………….………..………104 3.42 ประกอบแบบทดสอบขอท 3.1……………………………………………………………………….……..…..106 3.43 ประกอบแบบทดสอบขอท 3.2..............................................................................................106

3.44 ประกอบแบบทดสอบขอท 3.3…………………………………………………………………………..……….107

3.45 ประกอบแบบทดสอบขอท 3.4……………………………………………………………………….……..……107 3.46 ประกอบแบบทดสอบขอท 3.5……………………………………………………………………………..…….108 3.47 ประกอบแบบทดสอบขอท 3.6……………………………………………………………………………….…..108 4.1 การหาแรงทกระท าผานสปรง………………………………………………………………………………….….114 4.2 แรงดงกระท าผานเคเบล………………………………………………………………………………….…………114

4.3 การเขยนผงวตถอสระ…………………………………………………………………….…………………..……..115

4.4 แรงกระท ากบอนภาคในระนาบ xy …………………………………………………………………………….116

4.5 ประกอบตวอยางท 4.1……………………………………………………………………………………….……..117

4.6 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 4.1………………………………………………………………………..…..117

4.7 ประกอบตวอยางท 4.2………………………………………………………………………………………..…….118 4.8 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท .2……………………………………………………………………………….119

4.9 ประกอบตวอยางท 4.3………………………………………………………………………………………..…….120 4.10 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 4.3…………………………………………………………………..…………120 4.11 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.1…………………………………………………………………………………..…122 4.12 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.2……………………………………………………………………………….…….122 4.13 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.3………………………………………………………………………………..……123 4.14 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.4……………………………………………………………………….……….……123 4.15 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.5………………………………………………………………………….…….……124

XI


4.16 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.6……………………………………………………………………………...……..124 4.17 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.7……………………………………………………………………….……..……..125

4.18 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.8………………………………………………………………….…………..……..125

4.19 สมดลของอนภาคในระบบ 3 มต……………………………………………………….…..……………….……126 4.20 ประกอบตวอยางท 4.4……………………………………………………………………………………….………127

4.21 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 4.4……………………………………………………………………………..127 4.22 ประกอบตวอยางท 4.5……………………………………………………………………………………….….…..129

4.23 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 4.5……………………………………………………………………….…….129 4.24 ประกอบตวอยางท 4.6……………………………………………………………………………………………….130

4.25 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 4.6……….………………………………………………………………….…131

4.26 ประกอบตวอยางท 4.7……………………………………………………………………………………….………132

4.27 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 4.7……………………………………………………………………….…….133 4.28 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.9…………………………………………………………………………………..…135 4.29 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.10………………………………………………………………………………..….135 4.30 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.11……………………………………………………………………..……..……..136

4.31 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.12……………………………………………………………………………....…..136 4.32 ประกอบแบบทดสอบขอท 4.1…………………………………………………………………..……….……..138

4.33 ประกอบแบบทดสอบขอท 4.2……………………………………………………………………..……….…..138 4.34 ประกอบแบบทดสอบขอท 4.3………………………………………………………………………………..….139 4.35 ประกอบแบบทดสอบขอท 4.4……………………………………………………………………………..…….139 4.36 ประกอบแบบทดสอบขอท 4.5……………………………………………………………………………….…..140 4.37 ประกอบแบบทดสอบขอท 4.6……………………………………………………………………………..…….140 5.1 ประกอบตวอยางท 5.1………………………………………………………………………………………..…….148 5.2 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 5.1…………………………………………………………………………….148

5.3 ประกอบตวอยางท 5.2………………………………………………………………………………………..…….149 5.4 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 5.2………………………………………………………………………….…149

5.5 ประกอบตวอยางท 5.3………………………………………………………………………………………………150

5.6 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 5.3…………………………………………………………………………….150

5.7 ประกอบตวอยางท 5.4……………………………………………………………………………………..……….152

5.8 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 5.4………………………………………………………………………….…152

5.9 ประกอบตวอยางท 5.5………………………………………………………………………………………..…….153 5.10 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 5.5…………………………………………………………………….….……153 5.11 ประกอบตวอยางท 5.6………………………………………………………………………………………….……154 5.12 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 5.6……………………………………………………………………………..155

XII


5.13 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.1……………………………………………………………..…………………..….156 5.14 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.2………………………………………………………………………..………..….156 5.15 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.3…………………………………………………………………………………..…157 5.16 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.4……………………………………………………………………………………..157 5.17 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.5…………………………………………………………………………….…….…158 5.18 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.6………………………………………………………………………….…….……158 5.19 ประกอบตวอยางท 5.7………………………………………………………………………………………….……162 5.20 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 5.7………………………………………………………………………….….163 5.21 ประกอบตวอยางท 5.8………………………………………………………………………………….……………165

5.22 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 5.8……………………………………………………………………..………165 5.23 ประกอบตวอยางท 5.9………………………………………………………………………………………….……167 5.24 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 5.9………………………………………………………………………….….168 5.25 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.7……………………………………………………………………………….…….170 5.26 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.8……………………………………………………………………………….…….170 5.27 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.9………………………………………………………………………………….….171 5.28 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.10…………………………………………………………………………..……....171

5.29 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.11…………………………………………………………………………..……….172

5.30 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.12……………………………………………………………………………..…….172 5.31 ประกอบแบบทดสอบขอท 5.1……………………………………………………………………….……..……174 5.32 ประกอบแบบทดสอบขอท 5.2……………………………………………………………………………..….…174

5.33 ประกอบแบบทดสอบขอท 5.3…………………………………………………………………….………..……175 5.34 ประกอบแบบทดสอบขอท 5.4…………………………………………………………………..………….…..175 5.35 ประกอบแบบทดสอบขอท 5.5……………………………………………………………………………...…..176 5.36 ประกอบแบบทดสอบขอท 5.6…………………………………………………………………………..……...176

6.1 โครงสรางหลงคา…………………………………………………………………………..………………..…………181

6.2 โครงสรางสะพาน……………………………………………………………………………………………………....182

6.3 โครงถกทมการใชงานในปจจบน…………………………………………………………………………….……183 6.4 จดเชอมตอดวยหมนของโครงถก……………………………………………………………………..………….184

6.5 ชนสวนของโครงถกทรบแรงสองแรง………………………………………………………………………….…184

6.6 โครงถกอยางงาย…………………………………………………………………………………………...…..……..185

6.7 การหาแรงในโครงถกดวยวธแบบจด……………………………………………………………………..……..186

6.8 ประกอบตวอยางท 6.1……………………………………………………………………………………………...187

6.9 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 6.1………………………………………………………………………..…..187

6.10 ผลลพธของแรงทงหมดทกระท ากบชนสวนของตวอยางท 6.1………………………………………...189

XIII


6.11 ประกอบตวอยางท 6.2………………………………………………………………………………..……….…....189 6.12 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 6.2…………………………………………………………….……………….190

6.13 ขนตอนการหาแรงดวยวธแบบภาคตด………………………………………………………………………….193

6.14 ประกอบตวอยางท 6.3……………………………………………………………………………………………….194

6.15 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 6.3……………………………………………………………..………….…..194 6.16 ประกอบตวอยางท 6.4……………………………………………………………………………………………….196

6.17 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 6.4………………………………………………………………………..……196 6.18 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.1…………………………………………………………………………..…….…..199 6.19 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.2…………………………………………………………………………..…….…..199 6.20 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.3………………………..……………………………………………..……..…..…199

6.21 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.4…………………………………………………………………………….…….…200 6.22 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.5………………………………………………………………………….……..…..200 6.23 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.6……………………………………………………………………………..….…..200 6.24 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.7……………………………………………………………………………….….…201 6.25 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.8…………………………………………………………………………….…….…201 6.26 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.9………………………………………………………………………………..…...201 6.27 ประกอบตวอยางท 6.5………………………………………………………………………………………….……204 6.28 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 6.5…………………………………………………………………………..…204 6.29 ประกอบตวอยางท 6.6…………………………………………………………………………………………..…..206

6.30 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 6.6……………………………………………………………………..….…..207 6.31 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.10………………………………………………………………….…………..……208 6.32 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.11…………………………………………………………………….……..………208 6.33 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.12…………………………………………………………………………...………209 6.34 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.13……………………………………………………………………………...……209 6.35 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.14……………………………………………………………………………....…..210 6.36 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.15……………………………………………………………………………………210 6.37 ประกอบแบบทดสอบขอท 6.1…………………………………….………………………………………..……212 6.38 ประกอบแบบทดสอบขอท 6.2……………………………………………………………………………….…..212 6.39 ประกอบแบบทดสอบขอท 6.3……………………………………………………………………..…….……..213

6.40 ประกอบแบบทดสอบขอท 6.4………………………………………………………………….…………..……213 6.41 ประกอบแบบทดสอบขอท 6.5……………………………………………………………………….……...….214 6.42 ประกอบแบบทดสอบขอท 6.6……………………………………………………………………………………214 7.1 การหาจดศนยถวงของวตถ…………………………………………………………………………………..…….220 7.2 การหาจดศนยกลางมวลของวตถ………………………………………………………………………….……..220

XIV


7.3 การหาจดเซนทรอยดของปรมาตร…………………………………………………………………………………221

7.4 การหาจดเซนทรอยดของพนท…………………………………………………………………………..…….…..222 7.5 การหาจดเซนทรอยดของเสน……………………………………………………………………………..…..……223 7.6 ประกอบตวอยางท 7.1…………………………………………………………………………………………...…..224 7.7 ประกอบตวอยางท 7.2…………………………………………………………………………………………...…..225 7.8 ประกอบตวอยางท 7.3………………………………………………………………………………………..……...226

7.9 ประกอบตวอยางท 7.4………………………………………………………………………………………….…….228 7.10 ประกอบตวอยางท 7.5……………………………………………………………………………………….………230

7.11 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.1…………………………………………………………………………….…….…232 7.12 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.2………………………………………………………………………….……..…..232 7.13 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.3……………………………………………………………………………..….…..233 7.14 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.4……………………………………………………………………………………..233 7.15 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.5……………………………………………………………………….…………….234 7.16 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.6……………………………………………………………………………….…….234 7.17 ประกอบตวอยางท 7.6…………………………………………………………………………………………….…236

7.18 การแยกชนสวนประกอบตวอยางท 7.6…………………………………………………………………..……236 7.19 ประกอบตวอยางท 7.7…………………………………………………………………………………………..…..237

7.20 การแยกชนสวนประกอบตวอยางท 7.7………………………………………………………………………..238 7.21 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.7……………………………………………………………………………….…….239 7.22 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.8……………………………………………………………………….…………....239

7.23 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.9………………………………………………………………………….……..…..240 7.24 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.10……………………………………………………………………………….…..240 7.25 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.11……………………………………………………………………….……..……241 7.26 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.12………………………………………………………………………………..….241 7.27 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.13……………………………………………………………………………………241 7.28 ชนดของคานในทางสถตยศาสตร…………………………………………………………………………….…..242

7.29 คานทรบแรงกระท าเปนบรเวณ…………………………………….………………………………………..……243 7.30 แรงรวมของแรงกระท าเปนบรเวณทกระท ากบคาน……………………………………………………..…244 7.31 แรงกระท าเปนบรเวณทวไปทเกดขนกบคาน………………………………………………………….……..244

7.32 ประกอบตวอยางท 7.8……………………………………………………………………………………………....245

7.33 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 7.8………………………………………………………………………..……246 7.34 ประกอบตวอยางท 7.9………………………………………………………………………………………….……246 7.35 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 7.9……………………………………………………………………………..247

7.36 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.14……………………………………………………………………………………248

XV


7.37 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.15……………………………………………………………………..…………….248

7.38 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.16…………………………………………………………………………..……….248

7.39 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.17……………………………………………………………………………………249 7.40 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.18…………………………………………………………………………….……..249

7.41 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.19…………………………………………………………………………..……….249 7.42 ประกอบแบบทดสอบขอท 7.1……………………………………………………………………………….…..251 7.43 ประกอบแบบทดสอบขอท 7.2………………………………………………………………………………..….251 7.44 ประกอบแบบทดสอบขอท 7.3……………………………………………………………………………...…..252 7.45 ประกอบแบบทดสอบขอท 7.4…………………………………………………………………………..……….252 7.46 ประกอบแบบทดสอบขอท 7.5……………………………………………………………………………….…..253 7.47 ประกอบแบบทดสอบขอท 7.6……………………………………………………………………….……..……253 7.48 ประกอบแบบทดสอบขอท 7.7……………………………………………………………………………..…….253 8.1 กลไกการเกดแรงเสยดทานระหวางวตถผวแหง……………………………………………………………..258 8.2 ประกอบตวอยางท 8.1……………………………………………………………………………………………...261


8.4 ประกอบตวอยางท 8.2………………………………………………………………………………………………262

8.5 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 8.2…………………………………………………………………………….263 8.6 ประกอบตวอยางท 8.3………………………………………………………………………………………………263

8.7 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 8.3……………………………………………………………………..……..264

8.8 ประกอบตวอยางท 8.4………………………………………………………………………………………………265


8.10 ประกอบตวอยางท 8.5…………………………………………………………………………………………….…266

8.11 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 8.5…………………………………………………………………….……….267 8.12 ประกอบแบบฝกหดขอท 8.1……………………………………………………………………………….….…269 8.13 ประกอบแบบฝกหดขอท 8.2………………………………………………………………………….……..…..269 8.14 ประกอบแบบฝกหดขอท 8.3………………………………………………………………………………...…..270 8.15 ประกอบแบบฝกหดขอท 8.4…………………………………………………………………………………..…270 8.16 ประกอบแบบฝกหดขอท 8.5……………………………………………………………………………….…….271 8.17 ประกอบแบบฝกหดขอท 8.6………………………………………………………………………….……..…..271 8.18 ประกอบแบบทดสอบขอท 8.1……………………………………………………………………………..…….273 8.19 ประกอบแบบทดสอบขอท 8.2……………………………………………………………………………..…….273 8.20 ประกอบแบบทดสอบขอท 8.3……………………………………………………………………………...……274 8.21 ประกอบแบบทดสอบขอท 8.4…………………………………………………………………………..…….…274

8.22 ประกอบแบบทดสอบขอท 8.5…………………………………………………………………………...……..275

XVI


8.23 ประกอบแบบทดสอบขอท 8.6……………………………………………………………………………..…….275 9.1 งานทเกดจากแรง………………………………………………………………………………………………………279 9.2 งานทเกดจากโมเมนตของแรงคควบ………………………………………………………………………..…..280

9.3 การค านวณหางานจากเงอนไขของงานเสมอน………………………………………………………….…..281 9.4 การหางานเสมอนกบคานทรบแรง..........................................................................................282

9.5 ระบบของวตถแขงเกรงทมการเชอมตอกน……………………………………………………………………283 9.6 ประกอบตวอยางท 9.1………………………………………………………………………………………………285


9.8 ประกอบตวอยางท 9.2…………………………………………………………………………………………..….287 9.9 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 9.2…………………………………………………………………………….287 9.10 ประกอบตวอยางท 9.3…………………………………………………………………………………………….…289

9.11 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 9.3………………………………………………………………………….….289 9.12 ประกอบแบบฝกหดขอท 9.1…………………………………………………………………………….……….291 9.13 ประกอบแบบฝกหดขอท 9.2…………………………………………………………………………..……..….291 9.14 ประกอบแบบฝกหดขอท 9.3……………………………………………………………………………….….…292 9.15 ประกอบแบบฝกหดขอท 9.4…………………………………………………………………………….……….292 9.16 การหางานของการเคลอนทของกลอง…………………………………………………………………………..293 9.17 การหางานทเกดจากแรงของสปรง……………………………………………………………………………....294

9.18 พลงงานศกยของความโนมถวงของวตถ…………………………………………………………………….….295 9.19 พลงงานศกยของความยดหยนของสปรง……………………………………………………………………....296

9.20 การหาฟงกชนของศกยภาพของระบบ………………………………………………………………………….297

9.21 เสถยรภาพของความสมดลของแผนจาน……………………………………………………………………….299 9.22 กราฟฟงกชนศกยภาพของระบบ……………………………………………………………………………..…..300

9.23 ประกอบตวอยางท 9.4………………………………………………………………………………………….……301 9.24 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 9.4……………………………………………………………………………..301

9.25 ประกอบแบบฝกหดขอท 9.5……………………………………………………………………….……..……..304

9.26 ประกอบแบบฝกหดขอท 9.6………………………………………………………………………………...…..304 9.27 ประกอบแบบฝกหดขอท 9.7……………………………………………………………………………….…….305 9.28 ประกอบแบบฝกหดขอท 9.8………………………………………………………………………….……..…..305 9.29 ประกอบแบบทดสอบขอท 9.1………………………………………………………………………………...…307

9.30 ประกอบแบบทดสอบขอท 9.2……………………………………………………………………….…….…...307 9.31 ประกอบแบบทดสอบขอท 9.3……………………………………………………………………………..…….308 9.32 ประกอบแบบทดสอบขอท 9.4…………………………………………………………………………..……….308

XVII

สารบญตาราง ตารางท หนา

1.1 หนวยการวดพนฐานทางกลศาสตร………………………………………………………………………………..…16 1.2 การแปลงหนวยการวดระหวางหนวยสากลและหนวยองกฤษ……………………………………………...17

1.3 ค าอปสรรคของหนวยสากลทนยมใชในทางกลศาสตร…………………………………………………….…..17

5.1 รปแบบของแรงปฏกรยาทกระท ากบวตถแขงเกรงแบบ 2 มต……………………………………….…..145 5.2 แรงปฏกรยาทเกดขนกบจดรองรบแบบ 3 มตทแตกตางกน……………………………………….……..159

มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน อาจารย สทน พลบรณ

แผนบรหารการสอนประจ าวชา

รหสวชา MT02202

ชอวชา สถตยศาสตร (Statics) 3(2-2-5)

ค าอธบายรายวชา

ศกษาหลกการเบองตนของกลศาสตร แรง และโมเมนตของแรง ระบบแรง และผลลพธของระบบแรง การสมดลของอนภาคและวตถแขงเกรง การเขยนแผนภาพวตถอสระ การวเคราะหแรงในชนสวนของโครงสรางชนสวน ภาพวตถของเครองจกร แรงเสยดทาน จดศนยถวง จดเซนทรอยด งานเสมอน ความเสถยร

วตถประสงคทวไป

เพอใหผเรยนมความสามารถดงน 1. มความร ความเขาใจเกยวกบหลกเบองตนของกลศาสตร 2. สามารถหาแรงและโมเมนตของแรงในระบบได 3. สามารถหาแรงลพธและโมเมนตลพธทเกดในระบบได 4. มความร ความเขาใจเกยวกบความสมดลของอนภาคและวตถแขงเกรง 5. สามารถเขยนผงวตถอสระของแรงในระบบได 6. สามารถหาแรงในชนสวนของโครงสรางได 7. สามารถหาแรงเสยดทานทเกดขนในระบบได 8. มความร ความเขาใจเกยวกบจดศนยถวง จดเซนทรอยด ของอนภาค

9. มความร ความเขาใจเกยวกบงานเสมอน ความมเสถยรภาพของอนภาค

เนอหา บทท 1 พนฐานกลศาสตร 4 ชวโมง 1.1 บทน า 1.2 กลศาสตรและววฒนาการ

1.3 แนวคดพนฐานทางกลศาสตร 1.4 ปรมาณสเกลารและปรมาณเวกเตอร 1.5 กฎการเคลอนทของนวตน

1.6 หนวยการวดทางกลศาสตร 1.7 ขนตอนการวเคราะหปญหาทางกลศาสตร แบบฝกหดบทท 1

บทสรป

แบบทดสอบบทท 1

เอกสารอางอง

2 สถตยศาสตร

อาจารย สทน พลบรณ มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

บทท 2 เวกเตอรและระบบแรง 8 ชวโมง 2.1 บทน า 2.2 พนฐานของเวกเตอร

แบบฝกหดตอนท 1

2.3 แรงในระบบ 2 มต แบบฝกหดตอนท 2

2.4 แรงในระบบ 3 มต แบบฝกหดตอนท 3

บทสรป



บทท 3 โมเมนตของแรง 8 ชวโมง 3.1 บทน า 3.2 การหาโมเมนตแบบสเกลาร


3.3 ผลคณแบบเวกเตอร 3.4 การหาโมเมนตดวยผลคณแบบเวกเตอร


บทสรป



บทท 4 สมดลของอนภาค 8 ชวโมง 4.1 บทน า 4.2 เงอนไขความสมดลของอนภาค

4.3 การเขยนผงวตถอสระ


4.4 สมดลในระบบ 2 มต แบบฝกหดตอนท 2


บทสรป



แผนบรหารการสอนประจ าวชา 3


บทท 5 สมดลของวตถแขงเกรง 8 ชวโมง 5.1 บทน า 5.2 สมดลในระบบ 2 มต



บทสรป



บทท 6 การวเคราะหโครงสราง 8 ชวโมง 6.1 บทน า 6.2 โครงถกระนาบอยางงาย

6.3 วธการหาแรงในชนสวนโครงสราง แบบฝกหดตอนท 1

6.4 การหาแรงในโครงกรอบและเครองมอกล


บทสรป



บทท 7 จดศนยถวงและจดเซนทรอยด 8 ชวโมง 7.1 บทน า 7.2 การหาจดศนยถวงและจดเซนทรอยด


7.3 การหาจดศนยถวงและจดเซนทรอยดของวตถผสม


7.4 แรงกระท าเปนบรเวณ


บทสรป แบบทดสอบบทท 7


บทท 8 แรงเสยดทาน 4 ชวโมง 8.1 บทน า 8.2 ชนดของแรงเสยดทาน



8.3 แรงเสยดทานแหง แบบฝกหดบทท 8



บทท 9 งานเสมอน 8 ชวโมง 9.1 บทน า 9.2 หลกการพนฐานของงานเสมอน

9.3 หลกการพนฐานของงานเสมอนส าหรบระบบของวตถแขงเกรงทเชอมตอกน


9.4 เสถยรภาพของความสมดล




วธการสอนและกจกรรม

1. น าเขาสบทเรยนและบรรยายประกอบ Microsoft Word ของเนอหาในแตละบทเรยน

2. ใหนกศกษาไดซกถามเพมเตมในประเดนหรอหวขอทเขาใจไมชดเจน

3. แบงกลมนกศกษาท าแบบฝกหดทายบทเรยนเพอทบทวนความรในชนเรยน

4. แบงกลมนกศกษาเพอปฏบตตามใบงาน

5. มอบหมายงานใหท าเปนการบานเพอทบทวนความร 6. แบบทดสอบ

สอการเรยนการสอน

1. โปรแกรม Microsoft Word ใชประกอบการบรรยายเนอหา

2. เอกสารประกอบการสอนรายวชาสถตยศาสตร 3. เครองคอมพวเตอร 4. เครองฉายโปรเจคเตอร 5. ใบงาน

แผนบรหารการสอนประจ าวชา 5


การวดและการประเมนผล

การวดผล

1) คะแนนระหวางภาคเรยน (70%)

ความสนใจในการเรยน 5 คะแนน

แบบฝกหดทายบทเรยน 5 คะแนน

ใบงานสถตยศาสตร 20 คะแนน

ทดสอบยอย 20 คะแนน

ทดสอบกลางภาค 20 คะแนน

2) คะแนนปลายภาคเรยน (30%)

ทดสอบปลายภาค 30 คะแนน

รวม 100 คะแนน

การประเมนผล

คะแนนระหวาง 80 – 100 เกรด A

คะแนนระหวาง 75 – 79 เกรด B+

คะแนนระหวาง 70 – 74 เกรด B

คะแนนระหวาง 65 – 69 เกรด C+

คะแนนระหวาง 60 – 64 เกรด C

คะแนนระหวาง 55 – 59 เกรด D+

คะแนนระหวาง 50 – 54 เกรด D

คะแนนระหวาง 0 – 49 เกรด F




แผนบรหารการสอนประจ าบทท 1

พนฐานกลศาสตร

หวขอเนอหา

1.1 บทน า 1.2 กลศาสตรและววฒนาการ

1.3 แนวคดพนฐานทางกลศาสตร 1.4 ปรมาณสเกลารและปรมารเวกเตอร 1.5 กฎการเคลอนทของนวตน

1.5.1 กฎของนวตนทเกยวกบแรงดงดดระหวางมวล

1.5.2 น าหนกของวตถ 1.6 หนวยการวดทางกลศาสตร

1.6.1 การแปลงหนวยการวดทางกลศาสตร 1.6.2 ค าอปสรรคของหนวยการวดทางกลศาสตร 1.6.3 กฎการค านวณดวยค าอปสรรค

1.7 ขนตอนการวเคราะหปญหาทางกลศาสตร แบบฝกหดบทท 1

วตถประสงคเชงพฤตกรรม

เมอเรยนจบบทนแลวผเรยนควรมความรและทกษะดงน 1. อธบายปรมาณสเกลารและปรมาณเวกเตอร 2. สามารถอธบายกฎการเคลอนทของนวตน

3. สามารถค านวณหาน าหนกของวตถ 4. สามารถแปลงหนวยการวดทางวศวกรรมโดยใชค าอปสรรค

5. สามารถปฏบตการตามใบงานท 1

วธสอนและกจกรรมการเรยนการสอน

1. ผสอนน าเขาสบทเรยนโดยการสอบถามถงกฎการเคลอนทของนวตน

2. เฉลยกฎการเคลอนทของนวตนพรอมเขาสบทเรยนพนฐานกลศาสตร 3. ใหผเรยนสอบถามขอสงสยในประเดนทยงไมเขาใจ

4. แบงกลมท าแบบฝกหดเพอทบทวนความร 5. แบงกลมปฏบตตามใบงานท 1

6. มอบหมายงานเพอใหท าเปนการบานเพอเพมพนความร 7. แบบทดสอบ

8. เฉลยค าตอบแบบฝกหด

9. เฉลยค าตอบแบบทดสอบ




1. เอกสารประกอบการสอนวชาสถตยศาสตร บทท 1 เรอง พนฐานกลศาสตร 2. โปรแกรม Microsoft Word ใชประกอบการบรรยายเนอหา

3. เครองคอมพวเตอร 4. เครองฉายโปรเจคเตอร 5. ใบงานท 1



1. สงเกตการเขารวมกจกรรมกลมท าแบบฝกหด

2. จากการท าแบบฝกหด

3. จากการปฏบตตามใบงาน

4. จากการท าแบบทดสอบ


1. ท ากจกรรรมไดแลวเสรจตามเวลาทก าหนด

2. ท าแบบฝกหดไดถกตองไมนอยกวา 60 เปอรเซนต 3. ปฏบตตามใบงานไดส าเรจตามเวลา 4. ท าแบบทดสอบทายบทเรยนไดถกตองไมนอยกวา 60 เปอรเซนต

9

มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน อาจารยสทน พลบรณ

บทท 1 พนฐานกลศาสตร

1.1 บทน า ในบทนกลาวถงววฒนาการและแนวความคดพนฐานของกลศาสตร ความหมายของ ปรมาณสเกลารและปรมาณเวกเตอร ซงเปนปรมาณทางวศวกรรมทมความแตกตางกน ท าใหผศกษามความเขาใจและสามารถแยกปรมาณทงสองได อกทงยงศกษาถงกฎการเคลอนทของนวตน อนเปนกฎทมความส าคญมากส าหรบการศกษาวชาสถตยศาสตรและวชาพลศาสตร กลาวถงการหาน าหนกของวตถและหนวยของการวดทางวศวกรรม รวมทงไดศกษาถงหลกการแปลงหนวยการวดทางวศวกรรม สดทาย แนะน าหลกการพนฐานในการแกโจทยปญหาในทางวศวกรรม

1.2 กลศาสตรและววฒนาการ กลศาสตร (Mechanics) เปนวทยาศาสตรกายภาพแขนงหนงทศกษาเกยวกบการหยดนงอยกบทหรอการเคลอนทของวตถเมอถกแรงกระท า โดยทวไป กลศาสตรแบงเปน 3 แขนง ไดแก กลศาสตรของวตถแขงเกรง (rigid-body mechanics) กลศาสตรการเสยรปของวตถ (deformable-body mechanics) และ กลศาสตรของไหล (fluid mechanics) ในทนจะศกษากลศาสตรของวตถแขงเกรง ซงเปนพนฐานทส าคญในการศกษากลศาสตรการเสยรปของวตถและกลศาสตรของไหล และยงกวานน กลศาสตรของวตถแขงเกรงยงเหมาะกบการออกแบบและการวเคราะหชนสวนของโครงสราง สวนประกอบของเครองมอทางกลหรออปกรณทางไฟฟาทใชในงานทางวศวกรรม

กลศาสตรของวตถแขงเกรงแบงออกเปน 2 แขนง ไดแก สถตยศาสตร (Statics) ท าการศกษาเกยวกบความสมดลของวตถทงทอยนงหรอเคลอนทดวยความเรวคงทและพลศาสตร (Dynamics) จะศกษาเกยวกบการเคลอนทของวตถทมความเรง กลศาสตรเปนวทยาศาสตรกายภาพทเกาแกทสดแขนงหนงทเปนจดเรมตนส าหรบการศกษาทางดานวศวกรรมศาสตร โดยมววฒนามาจากการศกษาของ อารคมดส (287- 212 ปกอนครสตศกราช) กลาวถงกฎของคานดด (the law of lever) ซงสามารถน าไปใชประดษฐเครองผอนแรงชนดตางๆ นอกจากนอารคมดสยงคนพบ “การหาความถวงจ าเพาะ” (specific gravity) ของวตถทมรปรางขรขระไมเปนไปตามรปทรงทางเรขาคณตซงเรยกวา “หลกของอารคมดส” (Archimedes's principle) หลกการนมสาระส าคญวา “น าหนกของวตถทหายไปในน ายอมเทากบน าหนกของน าทถกวตถนนแทนท” และอารคมดสยงไดคนพบกฎของแรงลอยตว (Buoyancy) ทกลาววา “ถาวตถนนบางสวนจมอยในน าและบางสวนลอยอยเหนอน า น าหนกของวตถกอนนนจะเทากบน าหนกของน าทมปรมาตรเทากบสวนจมของวตถนน” จากหลกฐานและกฎเกณฑทบนทกไวท าใหอารคมดสไดรบการยกยองวาเปน “บดาแหงกลศาสตร” (the father of mechanics) กาลเลโอ กาลเลอ (1564-1642) ทดลองจบเวลาทลกตมแกวงไปและกลบ ผลการทดลองพบวาไดเวลาเทากนทกครงเมอเทยบกบจงหวะการเตนของหวใจ กาลเลโอจงตงชอการคนพบนวา กฎเพนดลม (Pendulum) หรอกฎการแกวงของลกตม ในป ค.ศ. 1584 กาลเลโอน าหลกการจากการ


อาจารยสทน พลบรณ มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

ทดลองครงนมาสรางเครองจบเวลา ซงตอมาในป ค.ศ. 1667 ครสเตยน ฮอยเกนส (Christian Huygens) ไดน ากฎนมาสรางนาฬกาลกตม (Pendulum clock) เรอนแรกไดส าเรจ

รปท 1.1 อารคมดส (ทมา : http://www.electron.rmutphysics.com/teaching-glossary/ index.php?option=com_content&task=view&id=2508&Itemid=11) เซอร ไอแซค นวตน (1642-1727) สรางกฎแรงโนมถวงสากลและกฎการเคลอนทของนวตนจากการสงเกตผลแอปเปลทตกจากตน เปนกฎวทยาศาสตรอนเปนเสาหลกของการศกษาวทยาศาสตรกายภาพ นวตนแสดงใหเหนวาการเคลอนทของวตถบนโลกและวตถบนทองฟาลวนอยภายใตกฎธรรมชาตชนดเดยวกน โดยแสดงใหเหนความสอดคลองระหวางกฎการเคลอนทของ ดาวเคราะหของเคปเลอรกบกฎแรงโนมถวงของตน ซงชวยยนยนแนวคดดวงอาทตยเปนศนยกลางจกรวาลและชวยใหการปฏวตวทยาศาสตรกาวหนายงขน และในเวลาตอมากฎนไดถกน ามาใชอยางแพรหลายโดยนกวทยาศาสตร เชน อลเบรต ไอนสไตน

รปท 1.2 กาลเลโอ กาลเลอ

(ทมา : http://www.lesa.biz/astronomy/cosmos/galileo)

http://www.electron.rmutphysics.com/teaching-glossary/

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B9%81%E0%B8%A3%E0%B8%87%E0%B9%82%E0%B8%99%E0%B9%89%E0%B8%A1%E0%B8%96%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%87%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%A5

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%99

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%99

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9F%E0%B9%89%E0%B8%B2

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%94%E0%B8%B2%E0%B8%A7%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%AB%E0%B9%8C

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%8E%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%94%E0%B8%B2%E0%B8%A7%E0%B9%80%E0%B8%84%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%B0%E0%B8%AB%E0%B9%8C

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%84%E0%B8%B4%E0%B8%94%E0%B8%94%E0%B8%A7%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%B2%E0%B8%97%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A2%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99%E0%B8%A8%E0%B8%B9%E0%B8%99%E0%B8%A2%E0%B9%8C%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A5

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%84%E0%B8%B4%E0%B8%94%E0%B8%94%E0%B8%A7%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%B2%E0%B8%97%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A2%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99%E0%B8%A8%E0%B8%B9%E0%B8%99%E0%B8%A2%E0%B9%8C%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A5

http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9B%E0%B8%8F%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%A7%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%A2%E0%B8%B2%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1

http://www.lesa.biz/astronomy/cosmos/galileo

http://www.lesa.biz/astronomy/cosmos/galileo/pic1.jpg?attredirects=0

http://www.lesa.biz/astronomy/cosmos/galileo/pic1.jpg?attredirects=0

บทท 1 พนฐานกลศาสตร 11


รปท 1.3 ครสเตยน ฮอยเกนส (ทมา : http://sarakadeeclub.blogspot.com/2013/07/blog-post_6210.html)

อลเบรต ไอนสไตน (1879-1955) เปนนกทฤษฎฟสกสชาวเยอรมนทมสญชาตสวสและอเมรกน (ตามล าดบ) ซงเปนทยอมรบกนอยางกวางขวางวาเปนนกวทยาศาสตรทยงใหญทสดในครสตศตวรรษท 20 เขาเปนผเสนอทฤษฎสมพทธภาพ และมสวนรวมในการพฒนากลศาสตรควอนตม และ จกรวาลวทยา เขาไดรบรางวลโนเบลสาขาฟสกสในป ค.ศ. 1921 จากการอธบายปฏกรยาโฟโต อเลกทรก และ จากการท าประโยชนแกทฤษฎฟสกส

รปท 1.4 เซอร ไอแซค นวตน (ทมา : http://writer.dek-d.com/oshitari/story/viewlongc.php?id= 417778&chapter=6)

http://sarakadeeclub.blogspot.com/2013/07/blog-post_6210.html

http://writer.dek-d.com/oshitari/story/viewlongc.php?id



รปท 1.5 อลเบรต ไอนสไตน (ทมา : http://megatopic.blogspot.com/2013/07/albert-einstein.html)

มกซ พลงค (1858 - 1947) เปนนกฟสกสชาวเยอรมน ผบกเบกการศกษาทฤษฎควอนตม อนเปนสวนส าคญในการศกษาฟสกสสมยใหม เขาไดตงทฤษฎฟสกสทส าคญตอฟสกสสมยใหม คอ กฎการแผรงสของวตถด าของพลงค รวมถงคาคงตวของพลงค ซงนบวาขาดไมไดเลยส าหรบการศกษากลศาสตรควอนตม มกซ พลงค ไดรบรางวลโนเบล สาขาฟสกส ประจ าป ค.ศ. 1918 (มอบใหเมอป ค.ศ. 1919) นอกจากน สมาคมฟสกสเยอรมนไดน าชอเขาไปตงชอรางวล “เหรยญมกซ พลงค” ซงเขาเปนผไดรบในปแรกรวมกบ อลเบรต ไอนสไตน เมอป ค.ศ. 1928

รปท 1.6 มกซ พลงค (ทมา : http://www.vcharkarn.com/vblog/59198)



รปท 1.7 แอรวน ชเรอดงเงอร (ทมา : http://www.manacomputers.com/erwin-schrodinger/)

แอรวน ชเรอดงเงอร (1887 - 1961) เปนนกทฤษฎฟสกสชาวออสเตรย มชอเสยงในฐานะผวางรากฐานกลศาสตรควอนตม โดยเฉพาะอยางยงสมการชเรอดงเงอร ซงท าใหเขาไดรบรางวลโนเบลสาขาฟสกส ในป ค.ศ. 1933 ตอมาป ค.ศ. 1935 หลงจากไดตดตอคบหาและเปนเพอนกบ อลเบรต ไอนสไตน และไดเสนอแนวคดการทดลองในจนตนาการ เรอง แมวของชเรอดงเงอร

เวรนเนอร ไฮเซนเบรก (1901- 1976) เปนนกฟสกสชาวเยอรมนทมชอเสยงทสดของวงการฟสกสโลก เขาไดรบรางวลโนเบลสาขาฟสกสประจ าป ค.ศ.1932 ขณะมอายเพยง 31 ป เปนผทมบทบาทส าคญตอการพฒนาทฤษฎควอนตม โดยเฉพาะอยางยง “The Uncertainty Principle” หรอ หลกความไมแนนอน ซงเปนหลกการส าคญของทฤษฎควอนตม และเปนสวนทท าใหไอนสไตน ไมสจะสบายใจ เพราะไอนสไตนไมชอบความไมแนนอน และเปนอปสรรคส าคญส าหรบการรวมแรงพนฐาน 4 ชนด เขาดวยกน

1.3 แนวคดพนฐานทางกลศาสตร กอนทจะศกษาวชากลศาสตรวศวกรรม ภาคสถตยศาสตร มความจ าเปนตองเขาใจแนวคด และค าจ ากดความพนฐาน ดงตอไปน

ปรภม (Space) เปนมตทระบต าแหนงของวตถ โดยสามารถบอกไดเปนพกด ดวยการวดอางองกบระบบพกดแบบตางๆ เชน ปญหาสามมต วดเปน zyx หรอ zr ส าหรบปญหาสองมตวดเปน yx หรอ r เปนตน เวลา (Time) เปนการวดความตอเนองของเหตการณ “เวลา” เปนปรมาณพนฐานทส าคญในการศกษาพลศาสตร แตไมจ าเปนตองค านงถงในการศกษาวชาสถตยศาสตร

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84.%E0%B8%A8._1887

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84.%E0%B8%A8._1961

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A1

http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%8A%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%AD%E0%B8%94%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%87%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%A5%E0%B9%82%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%A5%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%82%E0%B8%B2%E0%B8%9F%E0%B8%B4%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%AA%E0%B9%8C

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%A5%E0%B9%82%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%A5%E0%B8%AA%E0%B8%B2%E0%B8%82%E0%B8%B2%E0%B8%9F%E0%B8%B4%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%AA%E0%B9%8C

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%A5%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%B4%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%95_%E0%B9%84%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B9%8C%E0%B8%AA%E0%B9%84%E0%B8%95%E0%B8%99%E0%B9%8C

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%B1%E0%B8%A5%E0%B9%80%E0%B8%9A%E0%B8%B4%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%95_%E0%B9%84%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B9%8C%E0%B8%AA%E0%B9%84%E0%B8%95%E0%B8%99%E0%B9%8C



รปท 1.8 เวรนเนอร ไฮเซนเบรก (ทมา : http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/4/ 10-physicist/index5.htm) มวล (Mass) เปนปรมาณความเฉอยของวตถ เปนตวบอกถงความตานทานการเปลยนแปลงความเรวของวตถ มวลเมอพจารณาอกดานหนงไดเปน ปรมาณของสสารทอยในวตถ ส าหรบมวล 2

ชน จะมแรงดงดดระหวางกนเกดขนเสมอ ขนาดของแรงดงดดนจะขนอยกบขนาดของมวล โดยมวลขนาดใหญจะมแรงดงดดมากกวามวลขนาดเลก

แรง (Force) เปนการกระท าของวตถหนงตอวตถอน วตถทไดรบแรงกระท าจะเกดการเคลอนทไปตามทศทางทแรงกระท า เนองจากขนาด ทศทาง และต าแหนงทแรงกระท า มความส าคญตอวตถทไดรบแรง ดงนน แรงจงเปนปรมาณทมทงขนาดและทศทาง เรยกวา “ปรมาณเวกเตอร” อนภาค (Particle) เปนวตถทมมวลแตถอไดวามขนาดทเลกมากจนไมตองน ามาพจารณา เชน โลกมขนาดเลกมากเมอเปรยบเทยบกบขนาดของวงโคจรของโลก ดงนน โลกถอไดวาเปนอนภาคเมอท าการศกษาถงวงโคจรของโลก เมอวตถใดถกพจารณาวาเปนอนภาค หลกพนฐานทางกลศาสตรระบเอาไววารปรางของวตถนนไมตองน ามาพจารณาวเคราะหปญหา ดงนน อนภาคจงถอวามมวลรวมอยทจดเดยว

วตถแขงเกรง (Rigid body) ส าหรบวตถแขงเกรงเปนการรวมตวกนของอนภาคหลายอนภาค โดยอนภาคเหลานนมต าแหนงทแนนอนทงกอนและหลงถกแรงกระท า รปแบบนมความส าคญมากเพราะคณสมบตของวสดของวตถใดทถกสมมตใหเปนวตถแขงเกรงจะไมถกน ามาพจารณาเมอศกษาถงผลของแรงทกระท ากบวตถนน โดยทวไป การเสยรปทแทจรงเกดในโครงสรางเครองจกรกล กลไกของเครองจกรกลมขนาดทนอยมาก และ การสมมตใหเปนวตถแขงเกรงจงมความเหมาะสมส าหรบการวเคราะห

http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/4/



1.4 ปรมาณสเกลารและปรมาณเวกเตอร ปรมาณสเกลาร หมายถง ปรมาณทางฟสกสทระบใหทราบถงขนาด เชน เวลา ปรมาตร ความหนาแนน พลงงาน มวล และความยาว

ปรมาณเวกเตอร หมายถง ปรมาณทางฟสกสทตองระบใหทราบทงขนาดและทศทางถงจะเพยงพอ เชน การกระจด ความเรว ความเรง แรง โมเมนต และ โมเมนตม

1.5 กฎการเคลอนทของนวตน เซอร ไอแซค นวตน เปนนกวทยาศาสตรคนแรกทอธบายกฎพนฐานของการเคลอนทของอนภาคไดอยางถกตองและถกน ามาใชอยางกวางขวาง กฎของนวตนม 3 ขอ ดงน กฎขอท 1 กลาววา “อนภาคจะหยดนงอยกบทหรอเคลอนทไปดวยความเรวทคงทตราบทยง ไมมแรงมากระท ากบอนภาคนน” จากกฎขอท 1 ของนวตน สามารถเขยนเปนสมการไดเปน

0F

(1.1)

กฎขอท 2 กลาววา “ความเรงของอนภาคจะเปนสดสวนกบเวกเตอรของแรงทกระท ากบอนภาคและจะมทศทางเดยวกบเวกเตอรของแรงนน” จากกฎขอท 2 ของนวตน สามารถเขยนเปนสมการไดเปน

maF (1.2)

กฎขอท 3 กลาววา “แรงกรยาและแรงปฏกรยาระหวางพนผวสมผสของวตถใดๆจะมขนาดเทากน แตมทศทางตรงกนขาม และอยในแนวเดยวกน” 1.5.1 กฎของนวตนเกยวกบแรงดงดดระหวางมวล

กฎของนวตนเกยวกบแรงดงดดระหวางอนภาคสองอนภาคตามรปท 1.9 สามารถเขยนสมการไดเปน

2

21

r

mmGF (1.3)

โดยท F = เปนแรงดงดดระหวางอนภาคสองอนภาค, N G = คาคงตวของความโนมถวง,

23121073.66 skgmG

2,1 mm มวลของอนภาคทงสอง, kg

r รศมระหวางอนภาคทงสอง, m

รปท 1.9 แรงดงดดระหวางวตถสองชน



1.5.2 น าหนกของวตถ จากสมการแรงดงดดระหวางอนภาคสองอนภาคของนวตนดงสมการ (1.3) สามารถหาน าหนก W ของอนภาคใดๆทมมวล mm 1 ถาหากสมมตวาความหนาแนนของโลกมคาคงทและมมวล eMm 2 ถา r เปนระยะทางระหวางจดศนยกลางของโลกกบอนภาคใดๆ จะไดวา

2r

MmGW

e (1.4)

ก าหนดให 2rGMg e

ดงนน น าหนกของวตถหาไดจากสมการ

mgW (1.5)

โดยน าหนก W มหนวยเปนนวตน )(N เมอมวล m มหนวยเปนกโลกรม )(kg และความเรงเนองจากแรงดงดดของโลก g มคาเทากบ 9.81 หนวยเปน )( 2

sm ในระบบหนวยสากล และน าหนก W มหนวยเปนปอนด )(lb เมอมวล m มหนวยเปน slug ).( 2

ftslb และความเรงเนองจากแรงดงดดของโลก g มคาเทากบ 32.2 หนวยเปน )( 2

sft ในระบบหนวยองกฤษ

1.6 หนวยการวดทางกลศาสตร ในทางกลศาสตรมหนวยการวดพนฐานอย 4 ปรมาณ คอ ความยาว มวล แรง และ เวลา ส าหรบหนวยการวดทใชม 2 ระบบหนวย คอ หนวยสากล และ หนวยองกฤษ รายละเอยด แสดงดงตารางท 1.1 ตารางท 1.1 หนวยการวดพนฐานทางกลศาสตร หนวยการวด ความยาว เวลา มวล แรง หนวยสากล เมตร วนาท กโลกรม นวตน

m s kg N หนวยองกฤษ ฟต วนาท สลก ปอนด ft s slug lb

1.6.1 การแปลงหนวยการวดทางกลศาสตร ปรมาณในทางกลศาสตร แรง มวล และความยาว สามารถแปลงคาระหวางหนวยการวดไดดงตารางท 1.2



ตารางท 1.2 การแปลงหนวยการวดระหวางหนวยสากลและหนวยองกฤษ

ปรมาณ หนวยองกฤษ หนวยสากล

แรง lb1 N448.4 มวล slug1 kg594.14 ความยาว ft1 m305.0

1.6.2 ค าอปสรรคของหนวยการวดทางกลศาสตร ปรมาณในทางกลศาสตรจะมไดทงปรมาณมากหรอปรมาณนอย หนวยสากลนยมใช ค าอปสรรค (Prefix) แทนปรมาณเหลานน โดยค าอปสรรคในหนวยสากลทนยมใชในทางกลศาสตร แสดงไดดงตารางท 1.3 ตารางท 1.3 ค าอปสรรคของหนวยสากลทนยมใชในทางกลศาสตร เลขยกก าลง ค าอปสรรค สญลกษณ

910 จกะ G

610 เมกะ M

310 กโล k

210 เซนต c

310 มลล m

610 ไมโคร

910 นาโน n

1.6.3 กฎการค านวณดวยค าอปสรรค ส าหรบการค านวณทางวศวกรรมจะมเทอมของค าอปสรรคอยเสมอ ดงนน กฎการค านวณดวยเทอมทมค าอปสรรคลวนตองพจารณาเปนประเดนหลกโดยเฉพาะหนวยสากล 1) ปรมาณทประกอบดวยผลคณของหลายหนวยจะใชสญลกษณจด (dot) เพอแยกออกจากปรมาณทประกอบดวยค าอปสรรคทแตกตางกน เชน 22 smkgsmkgN ดงนน

sm หมายถง meter-second ขณะท sm หมายถง milli-second 2) เลขชก าลงของหนวยทประกอบดวยค าอปสรรคหมายความวา ทงหนวยและ ค าอปสรรค ตางมเลขชก าลงตวเดยวกน เชน NNNN 22 เชนเดยวกบ 2

mm หมายความวา mmmmmm 2)( 3) ขอยกเวนของหนวยพนฐาน กโลกรม kg โดยทวไปไมใชส าหรบค าอปสรรคทเปนตวหาร ในกรณปรมาณนนมหนวยหลายหนวย เชน จะไมเขยน mmN แตจะเขยนเปน mkN เชนเดยวกบ mgm จะเขยนเปน kgmM



4) เมอการค านวณมการกระจายเทอมของค าอปสรรคทงหมดอยในเทอมของฐาน 10 ยกก าลง ผลลพธสดทายตองเขยนใหอยในรปของค าอปสรรคตวเดยว ดงนน หลงจากการค านวณตองท าใหคาทไดอยระหวาง 0.1 และ 1000 อยางไรกตาม ค าอปสรรคกตองเลอกใหเหมาะสม เชน

mmN

mN

mN

mNnmkN

3

103

103000

106010506050

3

6

93

1.7 ขนตอนการวเคราะหปญหาทางกลศาสตร หลกการแกปญหาทางกลศาสตรใหมประสทธภาพ ใหผเรยนท าตามขนตอนดงน 1) อานโจทยใหเขาใจวาโจทยถามหาอะไร

2) รวบรวมขอมลทไดจากโจทยและเขยนไดอะแกรมตางๆทจ าเปน 3) ประยกตใชทฤษฏทเกยวของและใชหลกการทางคณตศาสตรทถกตองในการแกปญหา 4) แกปญหาจากสมการทได 5) ศกษาค าตอบทไดโดยอาศยหลกการทางดานวทยาศาสตรทมอยวามความเปนไปไดหรอไม แลวสรปค าตอบนน



ตวอยางท 1.1 จงแปลง hkm/5 ใหเปน sm / วธท า เนองจาก mkm 10001 และ sh 36001 ดงนน สามารถแปลงหนวยไดเปน

./39.1

3600

5000

3600

1

1

10005/5

Anssm

s

m

s

h

km

m

h

kmhkm

ตวอยางท 1.2 จงหาผลลพธและเขยนค าอปสรรคในแตละขอใหเหมาะสม GNmNa 650) 26.0400) MNmmb GgMNc 900/45) 3 วธท า ในตอนแรกใหแปลงแตละจ านวนใหอยในหนวยพนฐานแลวท าการค านวณ หลงจากนนใหเลอกค าอปสรรคทเหมาะสม a)

.300

10

1

10

110300

10300

1061050650

2

33

26

26

93

AnskN

N

kN

N

kNN

N

NNGNmN

ขอสงเกต: จะพบวา 2622 10 NkNkN



b)

.144

10144

1036.010400

106.0104006.0400

2

29

2123

2632

AnsNmG

Nm

Nm

NmMNmm

สามารถตอบไดอกรปแบบเปน

.144.010

1

10

11014410144 2

66

2929AnsMNm

N

MN

N

MNNmNm

c)

./50

1

10

11050

1

10

1105

/105109

1045

10900

1045

10900

1045

900

45

3

3

3

39

3

3

310

310

8

318

6

318

6

363

AnskgkN

kgN

kNN

kgN

kNN

kgNkg

N

kg

N

kg

N

Gg

MN



ตวอยางท 1.3 จงค านวณหาน าหนกของรถยนตในหนวยนวตนเมอรถยนตมมวล 1500 kg พรอมกนนใหแปลงหนวยมวลของรถยนตใหเปนหนวย slug และ ค านวณน าหนกในหนวยปอนด

รปท 1.10 ประกอบตวอยางท 1.3 (ทมา : http://www.macthai.com/2014/01/23/all-new-honda-city-2013-thai-with- siri-eye-free-iphone-ipad/) วธท า 1) จากความสมพนธ น าหนกของรถยนตจะได .1471581.91500 AnsNmgW 2) จากตารางท 1.2 จะไดวา มวล 1 slug เทากบ 14.594 kg ดงนน สามารถแปลงมวลของรถยนตใหเปนหนวย slug ไดเปน

.782.102594.14

11500 Ansslugs

kg

slugkgm

3) ค านวณน าหนกในหนวยปอนดไดจากความสมพนธ .33102.32782.102 AnslbmgW

หรอ สามารถค านวณไดจากตารางท 1.2 จะพบวา 1 lb เทากบ 4.448 N

.3310448.4

114715 Anslb

N

lbNW



ตวอยางท 1.4 จงใชกฎของแรงดงดดระหวางมวลของนวตนค านวณหาน าหนกของชายคนหนงทมมวล

kg70 ซงยนอยทผวโลก หลงจากนนท าการค านวณโดยใชความสมพนธ gmW เมอก าหนดใหมวลของโลกเทากบ kgme

2410976.5 และรศมของโลกเทากบ kmR 6371

รปท 1.11 ประกอบตวอยางท 1.4 (ทมา : http://region3.prd.go.th/Environment/index.php/2010-09-16-08-44-20/6- 2010-09-16-08-43-32.html) วธท า 1) หาน าหนกของชายคนนนโดยใชกฎของแรงดงดดระหวางมวลของนวตน จากสมการ (1.3) จะได

.688

106371

7010976.510673.623

2411

2AnsN

R

mGmW e

2) หาน าหนกของชายคนนนโดยอาศยสมการ (1.5) จะได .68781.970 AnsNgmW ขอสงเกต จากการค านวณน าหนกโดยใชสมการ (1.3) และ (1.5) ไดน าหนกแตกตางกน 1 N ถอวาแตกตางกนนอยเมอเปรยบเทยบกบน าหนกทค านวณได จงถอวายอมรบได ดงนน ในการค านวณหาน าหนกของวตถจงนยมค านวณโดยใชสมการ (1.5) จะมความสะดวกกวา



แบบฝกหดบทท 1 1.1 จงแปลงคาในหนวยสากล ใหอยในรปทถกตอง 1) MN 2) mN 3) 2

ksMN 4) mskN 1.2 จงแปลงคาในหนวยสากล ใหอยในรปทถกตอง 1) kg000431.0 2) N

3103.35 3) km00532.0 1.3 จงแปลงคาในหนวยสากล ใหอยในรปทถกตอง 1) msMg 2) mmN 3) skgmN 1.4 จงแปลงคาในหนวยสากล ใหอยในรปทถกตอง 1) skN 2) mNMg / 3) mskgMN 1.5 ถารถยนตคนหนงวงไปดวยความเรว hkm/88 จงหาความเรวของรถคนนในหนวย sm / 1.6 จงแปลงน าหนกของวตถใหอยในหนวยนวตน เมอทราบมวลของวตถ โดยใชทศนยม 3 ต าแหนง และใชค าอปสรรคทเหมาะสม 1) kg10 2) g5.0 3) Mg50.4 1.7 จงหาผลลพธสทธโดยใชทศนยม 3 ต าแหนงในหนวยสากล โดยใชค าอปสรรคทเหมาะสม 1) kNkmmg 0356.0/45354 2) msMg 20100453.0 3) mmMN 2.23/435 1.8 จงหามวลของวตถในหนวย kilogram เมอทราบน าหนก โดยใชทศนยม 3 ต าแหนง 1) mN20 2) kN150 3) MN60 1.9 จงหาผลลพธสทธโดยใชทศนยม 3 ต าแหนงในหนวยสากล โดยใชค าอปสรรคทเหมาะสม 1) 260.8631.0 kgMm 2) 32

4835 kgmm 1.10 จงหาผลลพธของ Nkgmm 6.3400457.0204 โดยใชทศนยม 3 ต าแหนง ในหนวย สากล และใชค าอปสรรคทเหมาะสม 1.11 จงหาน าหนกของคานในหนวยนวตนและปอนดเมอมวลของคานเทากบ kg75 1.12 จงหาน าหนกในหนวยนวตนของหญงคนหนงทมน าหนกเทากบ lb130 พรอมทงหามวล ของเธอในหนวย slug และ kilogram 1.13 จงบอกชนดของปรมาณทขดเสนใตวาเปนปรมาณสเกลารหรอปรมาณเวกเตอร พรอมใหเหตผล ประกอบการตดสนใจ

1) เมอตอนบายอาจารยใหทดลองการเกดโมเมนตมของวตถสองชนดทชนกน

2) นกฟตซอลทมชาตไทยคนหนงเตะบอลดวยความเรววดได hkm/90 3) นกศกษาคนหนงทดลองวดความหนาแนนของน าหวานชนดหนงได 3/215.1 mkg 4) นกมวยคนหนงออกแรงชกคตอสดวยขนาด N250 1.14 ใชแรงขนาด N125 ผลกกลองใบหนงทมมวล kg3 ใหวงไปตามราง อยากทราบวากลอง ใบนจะเคลอนทไปดวยความเรงขนาดเทาใด 1.15 จงอธบายกฎการเคลอนทของนวตนมาใหเขาใจพอสงเขป



บทสรป 1) วชาสถตยศาสตรเปนการศกษาถงวตถทอยนงหรอเคลอนทดวยความเรวคงท 2) อนภาคมมวลแตมขนาดทนอยมากจนไมตองพจารณาในการค านวณ 3) วตถแขงเกรงตองพจารณาขนาดและรปราง โดยรปรางไมเปลยนแปลงเมอถกแรงใดๆ กระท า 4) กฎการเคลอนทของนวตนม 3 ขอ

5) กฎการเคลอนทขอทสองของนวตนสามารถเขยนเปนสมการไดเปน amF 6) น าหนกของวตถใดๆสามารถค านวณไดจากสมการ gmW 7) ในหนวยสากลจะไดหนวยของแรงเปน นวตน ซงเปนหนวยทไดมาจากการผสมของหลายๆ หนวย แตหนวย เมตร วนาท และ กโลกรม เปนหนวยพนฐาน 8) ,,,,, mckMG และ n เปนค าอปสรรคทนยมใชในทางวศวกรรม

9) การค านวณเกยวกบหนวยการวดทางวศวกรรมตองท าการแปลงหนวยใหอยในรปท เหมาะสมเสมอ



แบบทดสอบบทท 1 1.1 สามารถบอกไดวาขอใดเปนปรมาณสเกลารและปรมาณเวกเตอรพรอมใหเหตผลประกอบ

1) เมอเชานายทองใสขบรถไปท างานดวยความเรว hkm/120 2) นายทองใสจอดรบเพอนคนหนงระหวางทางทมมวล kg65 3) ระหวางทางไดจอดซอน าอดลมมาฝากทท างานขวดหนงมปรมาตร CC120 4) ใกลไดเวลาท างานแลวเขาจงเรงเครองขนไปเปน 2/10 sm 5) รวมเวลาทเขาเดนทางมาท างานทงสน 55 นาท 1.2 จงใชสมการการเคลอนทของนวตนอธบายวาระหวางกลองบรรจเหลกเสนทมมวล kg120 และกลองดนสอสทมมวล kg61 กลองไหนจะวงไปดวยความเรงมากกวากน เมอออกแรงผลกกลองเทาๆกน 1.3 จงค านวณหามวลของเครองกลงในหนวยกโลกรม เมอเครองกลงมน าหนกเทากบ lb1500 พรอมทงหาน าหนกในหนวยนวตน 1.4 จงแปลงคาในหนวยสากลใหอยในรปทเหมาะสม 1) sMN / 2) sMNmg / 3) msmkN / 1.5 จงแปลงมวลของวตถใหอยในหนวย slug เมอทราบมวลของวตถ 1) kg5 2) g2.1 3) Mg12 1.6 จงหาผลลพธสทธโดยใชทศนยม 3 ต าแหนงในหนวยสากลและใชค าอปสรรคทเหมาะสม 1) mskNmg 3045/450 2) 2/550 mmskN 1.7 จงหาผลลพธสทธโดยใชทศนยม 3 ต าแหนงในหนวยสากลและใชค าอปสรรคทเหมาะสม 1) 2512/50 mmkNms 2) 22

45/3012 kNkgmm



เอกสารอางอง มนตร พรณเกษตร. (2554). กลศาสตรวศวกรรม : ภาคสถตยศาสตร. กรงเทพฯ : วทยพฒน. วระศกด กรยวเชยร และ คณะ. (2551). กลศาสตรวศวกรรม : ภาคสถตยศาสตร. กรงเทพฯ : วทยพฒน. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons. http://www.electron.rmutphysics.com/teaching- glossary/index.php?option=com_

content&task=view&id=2508&Itemid=11 http://www.lesa.biz/astronomy/cosmos/galileo http://writer.dek-d.com/oshitari/story/viewlongc.php?id=417778&chapter=6 http://megatopic.blogspot.com/2013/07/albert-einstein.html http://sarakadeeclub.blogspot.com/2013/07/blog-post_6210.html http://www.vcharkarn.com/vblog/59198 http://www.manacomputers.com/erwin-schrodinger http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/4/10-physicist/index5.htm http://www.macthai.com/2014/01/23/all-new-honda-city-2013-thai-with-siri-eye-free- iphone-ipad/ http://region3.prd.go.th/Environment/index.php/2010-09-16-08-44-20/6-2010-09-16- 08-43-32.html

http://www.lesa.biz/astronomy/cosmos/galileo

http://writer.dek-d.com/oshitari/story/viewlongc.php?id=417778&chapter=6%20%20

http://megatopic.blogspot.com/2013/07/albert-einstein.html

http://sarakadeeclub.blogspot.com/2013/07/blog-post_6210.html

http://www.vcharkarn.com/vblog/59198

http://www.manacomputers.com/erwin-schrodinger

http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/4/10-physicist/index5.htm



เวกเตอรและระบบแรง


2.1 บทน า 2.2 พนฐานของเวกเตอร 2.2.1 การเขยนเวกเตอร 2.2.2 การบวกเวกเตอร 2.2.3 การลบเวกเตอร 2.2.4 กฎของไซนและกฎของโคไซน 2.2.5 การแตกเวกเตอร 2.2.6 การหามมของเวกเตอร 2.2.7 การหาขนาดของเวกเตอร 2.2.8 การหาเวกเตอรหนงหนวย

2.2.9 เวกเตอรบอกต าแหนง 2.2.10 การคณแบบสเกลาร 2.3 แรงในระบบ 2 มต

2.3.1 สวนประกอบของแรงในพกดฉาก

2.3.2 การบวกเวกเตอรของแรง 2.3.3 แรงลพธของระบบ


2.4 แรงในระบบ 3 มต

2.4.1 สวนประกอบของแรงในพกดฉาก

2.4.2 เวกเตอรของแรงทกระท าผานจดสองจด

2.4.3 แรงลพธของระบบ



เมอเรยนจบบทนแลว ผเรยนควรมความรและทกษะดงน 1. สามารถระบขนาดและทศทางของเวกเตอรทกระท ากบจดใดๆได

2. สามารถบวกเวกเตอรและหาสวนประกอบของเวกเตอรดวยสตรตรโกณมตได 3. ค านวณหาขนาดและทศทางของแรงลพธทงระบบ 2 มต และ 3 มต ได 4. สามารถหาระยะระหวางจดสองจดดวยเวกเตอรบอกต าแหนงได 5. ประยกตใชผลคณแบบสเกลารในการหาขนาดของแรงลพธได




1. ผสอนน าเขาสบทเรยนและรายละเอยดของบทเรยนเกยวกบเรองเวกเตอร, ระบบแรงและการด าเนนการเกยวกบเวกเตอรและระบบแรงพรอมยกตวอยางอธบายการค านวณ

2. ใหผเรยนสอบถามขอสงสยในประเดนทยงไมเขาใจ

3. แบงกลมท าแบบฝกหดเพอทบทวนความร 4. มอบหมายงานการบานใหทบทวนความร 5. ปฏบตตามใบงานท 2 - 3

6. ท าแบบทดสอบ




1. เอกสารประกอบการสอนวชาสถตยศาสตร บทท 2


3. เครองคอมพวเตอร 4. เครองฉายโปรเจคเตอร 5. ใบงานท 2 - 3



1 จากการท าแบบฝกหด

2. จากการสงการบาน

3. การปฏบตตามใบงาน



1. ท าแบบฝกหดไดถกตองไมนอยกวา 80 เปอรเซนต 2. ท าการบานไดถกตองไมนอยกวา 75 เปอรเซนต 3. ปฏบตใบงานไดส าเรจตามเวลาทก าหนด

4. ท าแบบทดสอบทายบทเรยนไดถกตองไมนอยกวา 75 เปอรเซนต


บทท 2 เวกเตอรและระบบแรง

2.1 บทน า ในบทนกลาวถงพนฐานของเวกเตอร การบวกเวกเตอร การหาขนาดและมมของเวกเตอรโดยใชกฎของไซนและกฎของโคไซน การหาเวกเตอรหนงหนวย การหาเวกเตอรบอกต าแหนงและการหาเวกเตอรของแรงทกระท าผานจดสองจด การคณแบบสเกลารและการประยกต การหาสวนประกอบของแรงเมอทราบทศทางของแรงทกระท าและการหาแรงลพธทกระท าในระบบ 2 มต และ 3 มต

2.2 พนฐานของเวกเตอร ปรมาณเวกเตอรคอปรมาณทตองบงชทงขนาดและทศทางจงสามารถบอกปรมาณไดรายละเอยดเกยวกบการด าเนนการเกยวกบเวกเตอรจะไดกลาวถงอยางละเอยดในหวขอน 2.2.1 การเขยนเวกเตอร การเขยนเวกเตอรสามารถเขยนแทนดวยลกศรแสดงดงรปท 2.1 โดยความยาวของลกศรแสดงถงขนาดของเวกเตอร และ ทศทางของหวลกศรแสดงถงทศทางของเวกเตอร และ เปนมมทเวกเตอรกระท ากบแกนอางอง ในทน แกนอางองอยในแนวระดบ โดยเสนทบแสดงถงเวกเตอรทเปนบวก สวนเสนประแสดงถงเวกเตอรทเปนลบและเวกเตอรทงสองมขนาดเทากน แตมทศทางตรงขามกน โดยทศทางตรงขามกนแทนดวยเครองหมายลบส าหรบการค านวณเกยวกบเวกเตอร

รปท 2.1 หลกการเขยนเวกเตอร 2.2.2 การบวกเวกเตอร การบวกเวกเตอรจากรปท 2.2(ก) สามารถท าไดโดยการตอเวกเตอรเขาดวยกนโดยใชกฎของสเหลยมดานขนานหรอการตอเวกเตอรแบบหวตอหางทเปนไปตามกฎของสามเหลยมแสดง ดงรปท 2.2(ข) และ 2.2(ค), ตามล าดบ โดยสมการของการบวกเวกเตอรสามารถเขยนไดเปน

21 VVV (2.1)



จากการเปรยบเทยบผลของการบวกเวกเตอรจากรปท 2.2 พบวาล าดบของการบวกไมมผลตอค าตอบทได ดงนน สามารถบวกเวกเตอรไดเปน

1221 VVVVV (2.2)

รปท 2.2 การบวกเวกเตอร 2.2.3 การลบเวกเตอร การลบเวกเตอรสามารถท าไดโดยการบวกเวกเตอร )( 2V เขากบเวกเตอร )( 1V ดงรปท 2.3 โดยสมการของการลบเวกเตอรสามารถเขยนไดเปน

2121'

VVVVV (2.3)

รปท 2.3 การลบเวกเตอร 2.2.4 กฎของไซนและกฎของโคไซน หลงจากการรวมเวกเตอรโดยใชกฎของสามเหลยมจะไดผลลพธของเวกเตอรออกมาแสดงดงรปท 2.4 สามารถหาขนาดและทศทางของเวกเตอรไดโดยใชกฎของตรโกณมตดงน กฎของโคไซน : )cos(2222 ABBAC กฎของไซน :

)sin()sin()sin( CBA

รปท 2.4 การหาขนาดและทศทางของเวกเตอรดวยสตรตรโกณมต

บทท 2 เวกเตอรและระบบแรง 31


2.2.5 การแตกเวกเตอร จากรปท 2.5 พบวาเวกเตอร V ท ามมกบแกน X ดวยมม สามารถแตกเวกเตอร V ออกเปนสองเวกเตอรทตงฉากกนและกน สามารถเขยนสมการของการแตกเวกเตอรไดเปน )cos(VV x (2.4)

)sin(VV y (2.5)

รปท 2.5 การแตกเวกเตอร 2.2.6 การหามมของเวกเตอร จากรปท 2.5 มม ทเกดจากเวกเตอร V เทยบกบแนวแกน X สามารถหาไดจากสมการ

x

y

V

V1tan (2.6)

2.2.7 การหาขนาดของเวกเตอร จากรปท 2.5 สามารถเขยนเวกเตอร V ใหอยในเทอมของเวกเตอรหนงหนวย โดยก าหนดให i

แทนเวกเตอรหนงหนวยในแนวแกน x และ j

แทนเวกเตอรหนงหนวยในแนวแกน y สามารถเขยนเวกเตอร V ไดเปน jViVV yx

(2.7)

โดยสามารถหาขนาดของเวกเตอร V ไดจากสมการ 22

yx VVV (2.8)

2.2.8 การหาเวกเตอรหนงหนวย เวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอร V นยามโดยเปนอตราสวนระหวางเวกเตอร V กบขนาดของเวกเตอร V สามารถเขยนสมการไดเปน

V

Vn

โดยท n เปนเวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอร V



จากรปท 2.6 สามารถเขยนเวกเตอร V ใหอยในรปของผลรวมของเวกเตอรไดดงสมการ kVjViVV zyx

และขนาดของเวกเตอร V หาไดจาก 222

zyx VVVV ดงนน เวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอร V หาไดจากสมการ

222

zyx

zyx

VVV

kVjViVn

(2.9)

รปท 2.6 เวกเตอร 3 มต

2.2.9 เวกเตอรบอกต าแหนง เวกเตอรบอกต าแหนงมความส าคญเปนอยางมากเพราะสามารถใชในการหาเวกเตอรของแรงไดเมอทราบแนวกระท าของแรงผานจดสองจด ซงจะไดกลาวถงในหวขอถดไป เวกเตอรบอกต าแหนง r

กระท าผานจดเรมตนทจด O ไปยงต าแหนง ),,( zyxP ดงรปท 2.7 เวกเตอรบอกต าแหนง r

สามารถเขยนใหอยในรปของเวกเตอรในพกดฉากไดเปน kzjoyixr

00

หรอลดรปไดเปน kzjyixr

(2.10)



รปท 2.7 ต าแหนงของเวกเตอร 3 มต

โดยทวไปเวกเตอรบอกต าแหนงกระท าผานจดสองจดแสดงดงรปท 2.8 สามารถเขยนเวกเตอรบอกต าแหนงไดเปน ABr

โดยท A แสดงถงจดเรมตน และ B แสดงถงจดสนสด ดงนน เวกเตอรบอกต าแหนงระหวางจด A และ B สามารถเขยนไดเปน kzzjyyixxr ABABABAB

(2.11)

รปท 2.8 เวกเตอรกระท าผานจดสองจด 2.2.10 การคณแบบสเกลาร การคณแบบสเกลาร หรอ Dot Product เปนวธทสะดวกส าหรบการคณเวกเตอรในระบบแบบ 2 มต การคณแบบเสเกลารของเวกเตอร A และ B ดงรปท 2.9 เขยนแทนไดดวยสญลกษณ BA และอานวา “ A dot B ” ผลลพธของการคณแบบสเกลารเขยนไดเปน



cosBABA

(2.12) โดยท เปนมมระหวางเวกเตอร A และ B มคาอยระหวาง 1800 ผลลพธของผลคณแบบสเกลารเปนปรมาณสเกลาร

รปท 2.9 การคณแบบสเกลารของเวกเตอร 1) กฎการคณแบบสเกลาร 1) กฎการสลบท : ABBA 2) การคณดวยคาคงท : aBABaABAa 3) กฎการกระจาย : DABADBA 2) การคณแบบสเกลารของเวกเตอรหนงหนวย ผลลพธของการคณของเวกเตอรหนงหนวยในระบบพกดฉาก สามารถเขยนไดเปน 111 kkjjii

000 kjkiji

ดงนน สามารถเขยนการคณแบบสเกลารของเวกเตอร A

และ B ไดเปน

kkBAjkBAikBA

kjBAjjBAijBA

kiBAjiBAiiBA

kBjBiBkAjAiABA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

ผลลพธสดทายเขยนไดดงสมการ zzyyxx BABABABA

(2.13)

3) การประยกตใชการคณแบบสเกลาร การคณแบบสเกลารมการประยกตใชในทางกลศาสตรได 2 วธ ดงน (1) หามมระหวางเวกเตอรสองเวกเตอร พบวามม ทอยระหวางเวกเตอร A

และ B ตามรปท 2.9 สามารถหาไดโดยใชสมการ (2.12) และเขยนอยในรป



1800cos 1

BA

BA

โดยท BA

หาไดจากสมการ (2.13) เมอ 0BA จะได

900cos 1 สามารถสรปไดวา เวกเตอร A ตงฉาก (Perpendicular) กบเวกเตอร B

(2) หาสวนประกอบของแรงทขนานและตงฉากกบเสนตรง สวนประกอบของเวกเตอร A

ทขนานกบเสนตรง /aa แสดงดงรปท 2.10 ก าหนดโดย ||A เมอ cos|| AA

สวนประกอบนเปนการฉายภาพ (projection) ของเวกเตอร A ลงบนเสนตรง ถาทศทางของเสนตรง

เสนนนถกก าหนดโดยเวกเตอรหนงหนวย u เนองจากขนาดของเวกเตอรหนงหนวยมคาเทากบ 1 จง

สามารถหาขนาดของ ||A ไดโดยตรงจากการคณแบบสเกลาร uAAA

cos||

ในทนพบวาการฉายภาพแบบสเกลาร (Scalar Projection) ของเวกเตอร A

ไปยงเสนตรงใดๆ หาไดจากผลคณแบบสเกลารของเวกเตอร A และเวกเตอรหนงหนวย

u ซงเปนตวก าหนดทศทางของเสนตรงเสนนน ถาผลลพธทไดเปนบวกแสดงวา ||A มทศทางเดยวกบ u แตถาผลลพธเปนลบ แสดงวา ||A มทศทางตรงขามกบ u

โดยสามารถเขยนอยในรปของเวกเตอรไดเปน uuAA

)(||

สวนประกอบของเวกเตอร A ทอยในแนวตงฉากกบเสนตรง /

aa หาไดจากรปท 2.10 เนองจาก AAA

|| ดงนน ||AAA

โดยท A

หาได 2 วธ ดงน วธแรก หา จากผลคณแบบสเกลาร จะได AuA

1cos หลงจากนนหา A

จาก sinAA

อ กว ธ หน งห า ได เ ม อทร าบ ||A

โ ดย ใช ทฤษฎ ของสาม เหล ยมป ธ า โกร ส (Pythagorean’s theorem) สามารถเขยนสมการไดเปน ||

22AAA

รปท 2.10 สวนประกอบของเวกเตอรทขนานและตงฉากกบเสนตรง



2.3 แรงในระบบ 2 มต 2.3.1 สวนประกอบของแรงในพกดฉาก

รปท 2.11 เวกเตอรของแรงในพกดฉาก

แรง F ทกระท าตามรปท 2.11 สามารถแตกแรงและเขยนเปนสมการไดเปน

yx FFF

(2.14)

โดยท xF

และ yF

เปนสวนประกอบทางเวกเตอรของแรง F

ในทศทางแกน x และแกน y ตามล าดบ สามารถเขยนเวกเตอร F

ใหอยในรปผลคณระหวางขนาดของแรงและเวกเตอร

หนงหนวยของทศทาง ไดเปน jFiFF yx

(2.15)

โดยท xF และ yF เปนสวนประกอบทางสเกลารในทศทางแกน x และ แกน y

ของแรง F และ สวนประกอบทางสเกลารของแรงจะมคาเปนบวกหรอลบขนอยกบต าแหนงการวางของแรง F และจากรปท 2.11 สวนประกอบทางสเกลารในทศทางแกน x และ แกน y จะมคาเปนบวกทงค โดยสามารถหาขนาดและทศทางของ F ไดจากสมการ

x

y

y

yxx

F

FFF

FFFFF

1

22

tansin

cos

(2.16)

ตวอยางการแตกเวกเตอรของแรงแสดงไดดงรปท 2.12



sinFFx cosFFx cosFFy sinFFy

รปท 2.12 การแตกเวกเตอรของแรง 2.3.2 การบวกเวกเตอรของแรง เวกเตอรของแรง 1F และ 2F สามารถท าการบวกกนดวยกฎสเหลยมดานขนานหรอกฎของสามเหลยมแสดงดงรปท 2.13(ก) และ (ข), ตามล าดบ โดยผลลพธสามารถเขยนไดเปน 21 FFR (2.17) และสามารถหาขนาดของแรงลพธและทศทางทกระท าไดโดยอาศยกฎของโคไซนหรอกฎของไซน

รปท 2.13 การบวกเวกเตอรของแรง 2.3.3 แรงลพธของระบบ การรวมเวกเตอรของแรงมากกวาสองแรง วธทนยมและสะดวกคอการรวมแบบสเกลาร(scalar algebra) ท าไดโดยการแตกเวกเตอรของแตละแรง หลงจากนนน าเวกเตอรของแรงทแตกเวกเตอรมารวมกน รปท 2.14(ก) เปนการรวมกนของแรงสามแรง และ รปท 2.14(ข) เปนการแตกเวกเตอรของแตละแรง การรวมกนแบบเวกเตอรของแรงหาไดดงสมการ jFiFF yx

111

jFiFF yx

222



jFiFF yx

333

ดงนน เวกเตอรของแรงลพธ หาไดจาก

jFiF

jFFFiFFF

jFiFjFiFjFiF

FFFF

RyRx

yyyxxx

yxyxyx

R

321321

332211

321

จะไดผลลพธของแรงในแตละแกน ดงสมการ

yyyRy

xxxRx

FFFF

FFFF

321

321

)(

)(

ดงนน สรปหลกการหาแรงลพธในกรณทมแรงกระท าหลายๆแรงได ดงสมการ

yRy

xRx

FF

FF

(2.18)

โดยทผลลพธของแรงรวมในแตละแกนสามารถเขยนไดดงรปท 2.14(ค) และขนาดของแรงลพธรวม RF หาไดจาก 22

RyRxR FFF (2.19)

และมม ของแรงลพธรวม RF หาไดจาก

Rx

Ry

F

F1tan (2.20)



รปท 2.14 การรวมเวกเตอรของแรงสามแรง



ตวอยางท 2.1 ตะขอดงรปท 2.15 รบแรง 1F และ 2F จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธของแรงทงสอง

รปท 2.15 ประกอบตวอยางท 2.1 วธท า กฎของสเหลยมดานขนาน เรมจากลากเสนตอจากสวนหวของ 1F ทขนานกบ 2F และลากเสนจาก 2F ทขนานกบ 1F แรงลพธ RF จะไดจดตดกนทจด A ดงรปท 2.16 (ก) ตวแปรทไมทราบคาคอ RF และ

รปท 2.16 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.1 ตรโกณมต จากรปสเหลยมดานขนาน รปสามเหลยมเวกเตอรของแรงแสดงดงรปท 2.16 (ข) โดยใชกฎของโคไซนจะได



.213

6.212

4226.0300002250010000

115cos150100215010022

AnsN

N

N

NNNNFR

จากกฎของไซนสามารถหา ไดจาก

8.396394.0sin

6394.0

115sin6.212

150sin

115sin

6.212

sin

150

1

N

N

NN

ดงนน มม ของแรงลพธ RF เมอวดเทยบกบแนวระดบหาไดจาก .8.548.391515 Ans



ตวอยางท 2.2 จงหาขนาดของแรง F ดงรปท 2.17 และขนาดของแรงลพธ RF ถา RF อยในทศทางแกน y ทเปนบวก

รปท 2.17 ประกอบตวอยางท 2.2 วธท า

รปท 2.18 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.2 รวมแรงโดยใชกฎของสเหลยมดานขนานไดดงรปท 2.18 (ก) และแยกสามเหลยมของแรงออกมาพจารณาดงรปท 2.18 (ข) ดงนน ขนาดของแรง F และ RF หาไดโดยอาศยกฎของไซน

45sin

200

60sin

lbF

lbF 20045sin

60sin

lbF 200225.1 .245 AnslbF ขนาดของแรงลพธ RF หาไดจากกฎของไซน



45sin

200

75sin

lbFR

lbF 20045sin

75sin

lbF 200366.1 .273 AnslbF ตวอยางท 2.3 กลไกรบแรง 1F และ 2F ดวยขนาดและทศทางดงรปท 2.19 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธ

รปท 2.19 ประกอบตวอยางท 2.3 วธท า วธท 1 แบบสเกลาร แตกแรงของแตละแรงใหอยในแนวแกน x และ แกน y แสดงดงรปท 2.20 (ก) และท าการบวกแรงโดยคดทศทางทเปนบวกตามแนวแกน x และ แกน y จะไดวา

รปท 2.20 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.3



NNFFFRxxRx

45sin40030cos600;

NN 84.28262.519 N8.236 NNFFF RyyRy

45cos40030sin600; 84.282300 N8.582 เวกเตอรของแรงรวมแสดงดงรปท 2.20 (ข) และมขนาดเทากบ 22

8.5828.236 NNFR .629 AnsN จากเวกเตอรของแรงรวมรปท 2.20 (ข) หามม ไดจาก

.9.678.236

8.582tantan 11

AnsF

F

Rx

Ry

วธท 2 แบบเวกเตอร จากรปท 2.20 (ก) สามารถเขยนแตละแรงใหอยในรปของเวกเตอรไดเปน NjiF

30sin60030cos6001 NjiF

45cos40045sin4002 ดงนน แรงรวมหาไดจาก

jNN

iNNFFFR

45cos40030sin600

45sin40030cos60021

jNN

iNN

84.282300

84.28261.519

Nji }8.5828.236{ สวนขนาดและทศทางของเวกเตอร RF หาไดเชนเดยวกบวธแบบสเกลาร



ตวอยางท 2.4 ประแจทจด O รบแรงสามแรงและอยในระนาบเดยวกนแสดงดงรปท 2.21 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธ


รปท 2.22 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.4 แตละแรงสามารถแตกแรงใหอยในทศทางแกน x และแกน y แสดงดงรปท 2.22 (ก) และหาแรงรวมตามแนวแกน x ไดเปน

NN

NNNFFF RxxRx

2.3832.383

5

420045sin250400;



เครองหมายลบหมายความวา RxF กระท าในทศทางแกน x เปนลบ

และแรงรวมตามแนวแกน y หาไดจาก

N

NNFFF RyyRy

8.296

5

320045cos250;

เวกเตอรของแรงลพธแสดงดงรปท 2.22 (ข) และหาขนาดไดเปน 22

RyRxR FFF

228.2962.383 NN

.5.484 AnsN จากเวกเตอรของแรงลพทดงรปท 2.22 (ข) หาทศทางไดจาก

.8.372.383

8.296tantan 11

AnsF

F

Rx

Ry

ตวอยางท 2.5 แรง 1F , 2F และ 3F กระท าทจด A โดยมขนาดและทศทางดงรปท 2.23 จงหาสวนประกอบของแรงตามแนวแกน x และแกน y ของแรงทงสาม

รปท 2.23 ประกอบตวอยางท 2.5 วธท า สวนประกอบแบบสเกลารของแรง 1F แสดงดงรปท 2.24 (ก) จะไดวา



.5.49135cos60035cos11 AnsNFF x

.1.34435sin60035sin11 AnsNFF y

รปท 2.24 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.5 สวนประกอบแบบสเกลารของแรง 2F แสดงดงรปท 2.24 (ข) จะไดวา

.4004005

4500

5

422 AnsNNFF x

.3005

3500

5

322 AnsNFF y

จะสงเกตพบวามมของแรง 2F ไมตองค านวณ แตใช cosine และ sine จากสามเหลยม 3-4-5 แทน จากการสงเกตพบวาสวนประกอบตามแนวแกน x ของ 2F จะมคาเปนลบ สวนประกอบแบบสเกลารของแรง 3F หาไดจากการค านวณหามม จากรปท 2.24 (ค) จะพบวา

6.264.0

2.0tan 1

ดงนน .2.3586.26sin800sin33 AnsNFF x .3.7153.7156.26cos800cos33 AnsNNFF y



ตวอยางท 2.6 ตองการแตกแรงขนาด 50 lb ตามรปท 2.25 ใหอยในแนวเสนตรง /

aa และ /bb

1) จงหามม โดยใชสตรตรโกณมตเมอทราบขนาดของแรงทกระท าตามแนว /aa

เทากบ 35 lb 2) จงหาขนาดของแรงตามแนว /

bb

รปท 2.25 ประกอบตวอยางท 2.6 วธท า โดยใชกฎของสามเหลยม สามารถบวกเวกเตอรของแรงตามแนวแกน /

aa และ แกน /

bb ไดดงรปท 2.26

รปท 2.26 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.6 1) หามม โดยใชกฎของไซน จะได

4499.0

40sin50

35sin

40sin

50

sin

35



74.264499.0sin 1 และ จากกฎของสามเหลยมทวามมภายในรวมกนได 180 ดงนน มม หาไดจาก .3.11374.2640180 Ans

2) หาขนาดของแรงตามแนวแกน /

bb ไดจากกฎขอไซน

5040sin

3.113sin

40sin

50

sin

/

/

bb

bb

F

F

AnslbFbb

5.71/



แบบฝกหดตอนท 1 2.1 จากรปท 2.27 ก าหนดให 30 และ kNT 6 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธทวดในทศตามเขมนาฬกาจากแกน x ทเปนบวก

รปท 2.27 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.1 2.2 ชนสวนสองชนรบแรงดงและแรงกดกระท าทจด O ดงรปท 2.28 จงหาขนาดของแรงลพธ RF และมมของแรงลพธ กระท ากบแกน x ในทศทางทเปนบวก

รปท 2.28 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.2 2.3 จากรปท 2.29 ถา kNFB 2 และ แรงลพธกระท าในทศทางแกน u ทเปนบวก โดยใชสตรตรโกณมต จงหาขนาดของแรงลพธและมม

รปท 2.29 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.3



2.4 แรงสองแรงกระท ากบชนสวนดงรปท 2.30 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธดวยวธ 1) แบบสเกลาร 2) แบบเวกเตอร

รปท 2.30 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.4 2.5 แรง 1F และ 2F กระท ากบชนสวนดวยขนาดและทศทางดงรปท 2.31 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธโดยใชกฎของไซนและโคไซน




2.6 แรง P และ Q กระท าทจด A ดงรปท 2.32 โดยมขนาดของแรง lbP 15 และ lbQ 25 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธดวยวธ 1) แบบสเกลาร 2) แบบเวกเตอร

รปท 2.32 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.6 2.7 จากรปท 2.33 จงหาขนาดของแรงลพธและทศทางทวดตามเขมนาฬกาในแนวแกน x ทเปนบวก




2.8 จากรปท 2.34 ก าหนดให NF 6001 และ 30 จงหาขนาดของแรงลพธและทศทางวดตามเขมนาฬกาจากแกน x ทเปนบวก

รปท 2.34 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.8 2.9 จากรปท 2.35 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธทวดทวนเขมนาฬกาจากแกน x ทเปนบวก เมอก าหนดให NF 5001 และ 20




2.4 แรงในระบบ 3 มต 2.4.1 สวนประกอบของแรงในระบบ 3 มต ส าหรบปญหาทางวศวกรรมโดยสวนใหญจะเปนการวเคราะหแรงในระบบ 3 มต หรอพกดฉาก จ าเปนตองแตกแรงใหอยในสวนประกอบทตงฉากกนและกนแสดงดงรปท 2.36 โดยสามารถหาสวนประกอบของแรงไดดงสมการ

รปท 2.36 การแตกแรงในระบบ 3 มต

1coscoscos

cos

coscoscoscos

cos

222

222

zyx

zyx

F

zyxzz

kyxyy

zyxxx

kF

Fj

F

Fi

F

F

F

Fu

FFFFFF

kjiFFFF

kFjFiFFFF

(2.21)

โดยท kji ,, เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศทางแกน x , y และ z ตามล าดบ F เปนขนาดของแรง F

เปนเวกเตอรของแรง Fu

เปนเวกเตอรหนงหนวยของแรง



2.4.2 เวกเตอรของแรงทกระท าผานจดสองจด แนวแรง F กระท าผานแทง AB แสดงดงรปท 2.37 สามารถเขยนเวกเตอรของแรง F ใหอยในทศทางเดยวกบเวกเตอรบอกต าแหนง r ทผานจด A และ B โดยเขยนใหอยในรปของเวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอรบอกต าแหนง, rru /

ดงนน เวกเตอรของแรง F สามารถเขยนไดเปน

222

ABABAB

ABABABAB

zzyyxx

kzzjyyixxF

r

rFuFF

(2.22)

รปท 2.37 แนวแรงทกระท าผานวตถสองจด 2.4.3 แรงลพธของระบบ ส าหรบการหาแรงลพธในกรณทวตถรบแรง 3 แรงแสดงดงรปท 2.38 โดยสามารถหาเวกเตอรของแรงลพธไดเปน 321 FFFFFR

kFjFiF zyx (2.23)

โดยท xxxx FFFF 321 yyyy FFFF 321 zzzz FFFF 321

และสามารถหาขนาดของแรงลพธไดจาก

222 zyxR FFFF (2.24)



รปท 2.38 วตถรบแรง 3 แรง ตวอยางท 2.7 จงเขยนเวกเตอรของแรง F

ตามรปท 2.39 ใหอยในพกดฉาก

รปท 2.39 ประกอบตวอยางท 2.7 วธท า เนองจากทราบมมสองมม สวนมม ไมทราบคา ดงนน หามม ไดจากคณสมบต 1coscoscos 222 145cos60coscos 222 45cos60cos1cos 22 22

707.05.01cos 5.0 )5.0(cos 1



605.0cos 1 หรอ 1205.0cos 1 จากการสงเกตพบวา มม 60 มความเปนไปไดมากทสดเนองจาก xF

อยในแกน x

ดงนน สามารถเขยนเวกเตอรของแรง NF 200 ใหอยในพกดฉากไดเปน kFjFiFF coscoscos

kNjNiN )45cos200()60cos200()60cos200( .4.1410.1000.100 AnsNkji ขอสงเกต : สามารถพสจนหาขนาดของเวกเตอรของแรง F

ไดจากสมการ

2224.141100100 F

.200 AnsN พบวาขนาดของแรงทไดจากเวกเตอรของแรง F

มคาเทากบโจทยก าหนดมาให แสดงวา

เวกเตอรของแรง F

ทหามาไดถกตองแลว #



ตวอยางท 2.8 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธทกระท ากบแหวนตามรปท 2.40


รปท 2.41 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.8 เพราะวาแตละแรงอยในรปของเวกเตอรในพกดฉาก แรงลพธแสดงดงรปท 2.41 หาไดจาก lbkjilbkjFFFF R 10010050806021

lbkji 1804050 ขนาดของแรงลพธหาไดจาก 222

zyxR FFFF

2221804050

sAnlb .191



ทศทางของแรงลพธ ,, หาไดจากสวนประกอบของเวกเตอรหนงหนวยของแรงทกระท าในทศทางของเวกเตอร RF จะได

kjiF

Fn

R

RFR 0.191

180

0.191

40

0.191

50

kji 9422.02094.07261.0 ดงนน .8.742617.0cos Ans

.1022094.0cos Ans

.6.199422.0cos Ans

มมเหลานแสดงดงรปท 2.41 ตวอยางท 2.9 แรงสองแรงกระท ากบชนสวนดงรปท 2.42 จงหาทศทางของแรง 2F ทท าใหแรงลพธ RF อยในแนวแกน y ทเปนบวกและมขนาดเทากบ 800 N

รปท 2.42 ประกอบตวอยางท 2.9



วธท า

รปท 2.43 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 2.9 ในการแกปญหาแบบน แรงลพธ RF และสวนประกอบทงสองของแรง 1F และ 2F จะเขยนอยในรปแบบเวกเตอร แสดงดงรปท 2.43 สามารถเขยนสมการหาแรงลพธไดเปน 21 FFFR kFjFiFF 1111111 coscoscos

kji

120cos30060cos30045cos300 Nkji 1501501.212 kFjFiFF zyx 2222

เนองจากแรงลพธมขนาดเทากบ N800 และกระท าในทศทาง j จะได NjjNFR 800800 จากททราบวา 21 FFFR kFjFiFkjij zyx 2221501501.212800 kFjFiFj zyx 222 1501501.212800 ในการแกสมการขางบน ท าไดโดยการใหแตละเทอมของเวกเตอร ji , และ k ทงสองดานเทากน จะไดวา NFF xx 1.2121.2120 22 NFF yy 650150800 22

NFF zz 1501500 22 สามารถหามม 22 , และ 2 ไดจากสมการ .108:

700

1.212cos 22 Ans



.8.21:700

650cos 22 Ans

.6.77:700

150cos 22 Ans

ผลลพธทไดแสดงดงรปท 2.43 ตวอยางท 2.10 หนงยางเสนหนงถกตรงไวกบจด A และ B แสดงดงรปท 2.44 จงหาความยาวของหนงยางและทศทางซงวดจากจด A ไปยง B





แยกเวกเตอรบอกต าแหนงจากจด A และ B ดงรปท 2.45(ก) โดยเรมตนทจด A มพกดเปน(1m, 0, -3m) จะถกหกออกจากพกดของจดสนสดคอจด B ทมพกดเปน (-2m, 2m, 3m) จะไดเวกเตอรบอกต าแหนงเปน kmmjmmimmrAB 330212 mkji 623 สวนประกอบของเวกเตอร ABr

ชบอกถงทศทางและระยะทางของแตละแกนส าหรบระยะทางจากจด A ไปถงจด B เชน ระยะไปตามแกน x เปน mi3 ระยะไปตามแกน y เปน mj2 และระยะไปตามแกน z เปน mk6 ดงนน สามารถหาความยาวของหนงยางไดจาก .7623

222AnsmmmmrAB

เวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอร ABr หาไดจาก

kjir

ru

AB

AB

7

6

7

2

7

3

แตละสวนประกอบของเวกเตอรหนงหนวยจะแสดงถงทศทางของเวกเตอร .115

7

3cos 1

Ans

.4.737

2cos 1

Ans

.317

6cos 1

Ans

โดยมมของเวกเตอรแสดงดงรปท 2.45(ข)



แบบฝกหดตอนท 2 2.10 เสาไฟฟาตนหนงถกยดดวยเคเบลสามเสนดงรปท 2.46 จด D ถกยดไวกบพนอยางมนคงจนท าใหเกดแรงดง T ในเคเบล CD เทากบ 1.2 kN จงค านวณหาแรงดง T ใหอยในรปเวกเตอรหนงหนวย i, j และ k

รปท 2.46 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.10 2.11 จงเขยนแรง NF 750 ดงรปท 2.47 ใหอยในรปของเวกเตอรหนงหนวย




2.12 จงหาเวกเตอรบอกต าแหนงของ r ของเสนเชอกจากจด A ไปยงจด B ดงรปท 2.48 และหาขนาดของความยาวของเสนเชอก AB

รปท 2.48 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.12 2.13 เคเบล AB รบแรงดงขนาด kN2 จากจด A ดงรปท 2.49 จงเขยนเวกเตอรของแรงดงใหอยในพกดฉาก




2.14 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธทเกดจากแรงสองแรงดงรปท 2.50 เมอก าหนดให NP 600 และ NQ 450

รปท 2.50 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.14 2.15 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธทเกดจากแรงดงในเสนเชอกยดเสาไฟจราจรดงรปท 2.51




2.16 แรง NFAB 560 กระท าผานเคเบล AB แสดงดงรปท 2.52 จงเขยนเวกเตอรของแรงใหอยในพกดฉาก

รปท 2.52 ประกอบแบบฝกหดขอท 2.16 2.17 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธจากแรงกระท าดงรปท 2.53 ก าหนดให NP 145 และ

NQ 120




บทสรป 1) การบวกเวกเตอรสามารถท าไดเปน 1221 VVVVV 2) การบวกเวกเตอรดวยกฎการบวกแบบสามเหลยมสามารถหาขนาดและทศทางของเวกเตอรทไมทราบคาไดโดยใชตรโกณมต ดงน กฎของโคโซน : )cos(2222 ABBAC กฎของไซน :

)sin()sin()sin( CBA

3) แรงลพธของระบบหาไดจาก xRx FF yRy FF 22

RyRxR FFF

Rx

Ry

F

F1tan

4) เมอทราบเวกเตอรของแรง F สามารถหาขนาดของเวกเตอรไดจาก

222zyx FFFF

และหาเวกเตอรหนงหนวยไดจาก k

F

Fj

F

Fi

F

Fu zyx

F

และหามมทกระท าตามแนวแกน x , แกน y และ แกน z ไดจาก

F

F

F

F

F

F zyx cos;cos;cos

โดยมขอจ ากดวา 1coscoscos 222 5) เวกเตอรบอกต าแหนงระหวางจดสองจดหาไดจาก kzzjyyixxr ABABABAB

6) เวกเตอรของแรงทผานจดสองจดหาไดจาก

222

ABABAB

ABABABAB

zzyyxx

kzzjyyixxF

r

rFuFF

7) ผลคณแบบสเกลาร หาไดจาก cosBABA

zzyyxx BABABA มมระหวางเวกเตอรทงสองหาไดจาก

BA

BA

1cos



แบบทดสอบบทท 2 2.1 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธดงรปท 2.54 โดยวดในทศตามเขมนาฬกาจากแนวแกน x โดยใชวธกฎของไซนและโคไซน

รปท 2.54 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.1 2.2 ถาแรง 3 แรงกระท ากบชนสวนดวยขนาดและทศทางแสดงดงรปท 2.55 จงหาขนาดของแรง P เมอแรงลพธมขนาดไมเกน N2400

รปท 2.55 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.2



2.3 จากรปท 2.56 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธ R โดยวดในทศทางทวนเขมนาฬกาจากแนวแกน x ทเปนบวก

รปท 2.56 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.3 2.4 จากรปท 2.57 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธ R โดยวดจากแกน x ทเปนบวก




2.5 จงหาแรงลพธ R ทเกดจากสองแรงกระท าดงรปท 2.58 โดยเขยนใหอยในรปของเวกเตอรหนงหนวยตามแกน x และ y ในทศทางดงรป

รปท 2.58 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.5 2.6 แรงทง 3 กระท ากบชนสวนดงรปท 2.59 จงหาขนาดของแรงลพธและทศทางทวดในทศทางทวนเขมนาฬกาจากแนวแกน x ทเปนบวก




2.7 เสาสายสงโทรศพทรบแรงดวยขนาดดงรปท 2.60 จงเขยนเวกเตอรของแตละแรงใหอย ใน พกดฉาก โดยไมพจารณาผลทเกดจากขนาดของเสารบสง

รปท 2.60 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.7 2.8 จงหาขนาดของแรงลพธทเกดจาก 2 แรงกระท าทจด A ดงรปท 2.61




2.9 จงเขยนแรงลพธทเกดจากแรงสองแรงดงรปท 2.62 ใหอยในรปเวกเตอรพกดฉาก

รปท 2.62 ประกอบแบบทดสอบขอท 2.9 2.10 เชอกสามเสนถกยดตรงไวกบเสาดงรปท 2.63 ถา NFB 520 , NFC 680 และ

NFD 560 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธทเกดจากเชอกสามเสนกระท าทจด A




เอกสารอางอง มนตร พรณเกษตร. (2554). กลศาสตรวศวกรรม : ภาคสถตยศาสตร. กรงเทพฯ : วทยพฒน. วระศกด กรยวเชยร และ คณะ. (2551). กลศาสตรวศวกรรม : ภาคสถตยศาสตร. กรงเทพฯ : วทยพฒน. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons.





โมเมนตของแรง


3.1 บทน า 3.2 การหาโมเมนตแบบสเกลาร 3.2.1 โมเมนตของแรง 3.2.2 ทฤษฎวารยอง 3.3 ผลคณแบบเวกเตอร 3.3.1 ผลคณแบบเวกเตอร 3.3.2 กฎของผลคณแบบเวกเตอร 3.3.3 ผลคณแบบเวกเตอรของเวกเตอรหนงหนวยในพกดฉาก

3.4 การหาโมเมนตดวยผลคณแบบเวกเตอร 3.4.1 การหาโมเมนตของแรงดวยผลคณแบบเวกเตอร 3.4.2 ทฤษฎของวารยอง แบบฝกหดตอนท 1

3.5 โมเมนตของแรงคควบ

3.5.1 โมเมนตของแรงคควบแบบสเกลาร 3.5.2 โมเมนตของแรงคควบแบบเวกเตอร 3.5.3 การรวมโมเมนตของแรงคควบ

3.5.4 หลกการยายแรง แบบฝกหดตอนท 2


เมอเรยนจบบทนแลว ผเรยนควรมความรและทกษะดงน 1. อธบายองคประกอบส าหรบการเกดโมเมนตของแรง 2. ประยกตใชทฤษฎวารยองในการหาโมเมนตของแรง 3. สามารถใชผลคณแบบเวกเตอรหาโมเมนตของแรง 4. สามารถหาโมเมนตของแรงคควบทกระท ากบวตถ วธสอนและกจกรรมการเรยนการสอน

1. ผสอนน าเขาสบทเรยนโดยการสอบถามถงหลกการเกดโมเมนตของแรง 2. เฉลยหลกพนฐานส าหรบการเกดโมเมนตของแรงและเขาสเนอหา 3. ใหผเรยนสอบถามขอสงสยในประเดนทยงไมเขาใจ

4. แบงกลมท าแบบฝกหดเพอทบทวนความร 5. แบงกลมปฏบตตามใบงานท 4-5

6. มอบหมายงานเพอใหท าเปนการบานเพอเพมพนความร



7. แบบทดสอบ




1. เอกสารประกอบการสอนวชาสถตยศาสตร บทท 3 เรอง โมเมนตของแรง 2. โปรแกรม Microsoft Word ใชประกอบการบรรยายเนอหา

3. เครองคอมพวเตอร 4. เครองฉายโปรเจคเตอร 5. ใบงานท 4-5








1. ท ากจกรรรมไดแลวเสรจตามทก าหนด



บทท 3 โมเมนตของแรง

3.1 บทน ำ ในบทนกลาวถงการหาโมเมนตของแรงในระบบ 2 มต และ 3 มต ทฤษฎวารยอง ซงเปนหลกการหาโมเมนตของแรงทกระท าในระบบ วธการหาโมเมนตของแรงแบบสเกลารและแบบเวกเตอร การหาทศทางการหมนของโมเมนตรอบจดหรอรอบแกน และกลาวถงโมเมนตของแรงคควบ

3.2 กำรหำโมเมนตแบบสเกลำร 3.2.1 โมเมนตของแรง นอกจากแรงสามารถท าใหวตถเคลอนทไปตามทศทางทแรงกระท า แรงยงท าใหวตถหมนไปรอบแกนได ซงแกนทใชในการหมนของวตถอาจจะอยในแนวตงฉากหรอขนานกบทศทางทแรงกระท า ส าหรบการท าใหวตถหมนไปรอบแกนไดนเรยกวา โมเมนตของแรง และถกเรยกอกชอหนงวา ทอรค (Torque) การหาโมเมนตของแรงแบบสเกลารพจารณาจากรปท 3.1(ก) ออกแรงหมนในทศทางตงฉากกบประแจท าใหประแจหมนไปรอบทอในทศทางตงฉากกบแกนหมน ขนาดของโมเมนตขนอยกบขนาดของแรง F และระยะความยาวของประแจกบจดจบยด d จากรปท 3.1(ข) ออกแรง F กระท ากบวตถในระนาบ 2 มต ขนาดโมเมนตของแรงทท าใหวตถหมนรอบแกน OO ทตงฉากกบระนาบของวตถจะเปนสดสวนกบขนาดของแรงและระยะ d ซงเปนระยะทางทตงฉากจากแกนหมนถงจดทแรงกระท า ดงนน ขนาดโมเมนตหาไดจากสมการ dFM (3.1) โมเมนตเปนปรมาณเวกเตอรมทศทางตงฉากกบระนาบของวตถทรบแรง ทศทางของโมเมนต M ขนอยกบทศทางของแรง F ทท าใหวตถหมนไปโดยอาศยกฎมอขวาดงรปท 3.1(ค) ใชในการหาทศทางลพธของโมเมนตของแรง จากรปท 3.1(ข) โมเมนตของแรง F ทหมนรอบแกน

OO จะมทศทางลพธไปตามนวหวแมมอ สวนนวชแสดงถงทศทางของแรงทท าใหเกดโมเมนต โมเมนตของแรงในหนวยสากลเปน นวตน-เมตร mN สวนหนวยองกฤษ เปน ปอนด-ฟต ftlb เมอมแรงกระท ากบวตถในระนาบ ท าใหเกดโมเมนตรอบจด ซงใหโมเมนตลพธอยในทศทางตงฉากกบระนาบของวตถและผานจดทแรงกระท ากบวตถนน ดงนน โมเมนตของแรง F รอบจด A ด งรปท 3.1(ง ) จะมขนาดเทากบ dFM และมทศทางทวนเขมนาฬกา (counterclockwise) ทศทางของโมเมนตนยมบงชดวยเครองหมายทางคณตศาสตร โดยก าหนดใหเครองหมายบวก ( + ) แทนโมเมนตทวนเขมนาฬกา และ เครองหมายลบ ( - ) แทนโมเมนตตามเขม



นาฬกา จากเกณฑทก าหนดให รปท 3.1(ง) โมเมนตของแรง F หมนรอบจด A ในทศทางทวนเขมนาฬกา จงมคาเปนบวก

รปท 3.1 การเกดโมเมนตและทศทางโมเมนตของแรง 3.2.2 ทฤษฎวำรยอง หลกการพนฐานส าคญในการหาโมเมนตของแรงคอ ทฤษฎวารยอง (Varignon’s theorem) กลาววา “โมเมนตของแรงลพธรอบจดใดมคาเทากบผลรวมของโมเมนตของสวนประกอบของแรงรอบจดนน” เพอพสจนทฤษฎวารยอง พจารณาแรงลพธ R กระท ากบวตถในระนาบตามรปท 3.2 จะไดขนาดโมเมนตของแรงลพธ R รอบจด O เทากบ dR อยางไรกตาม พบวาระยะ d หาไดยากกวาระยะ p และ q ส าหรบแรงลพธ R สามารถแตกแรงออกเปนสวนประกอบ P และ Q ซงสามารถหาโมเมนตไดจาก QqPpdRMO โดยก าหนดใหโมเมนตตามเขมนาฬกามคาเปนบวก

บทท 3 โมเมนตของแรง 79


3.3 ผลคณแบบเวกเตอร 3.3.1 ผลคณแบบเวกเตอร ผลคณแบบเวกเตอร หรอ Cross Product เปนวธการค านวณทางเวกเตอรทชวยในการหาโมเมนตของแรงในระบบ 2 มต หรอ 3 มต ทสะดวกและเปนทนยมมาก จากรปท 3.1(ข) โมเมนตของแรง F หมนรอบจด A สามารถเขยนอยในรป Cross Product ไดเปน FrM

(3.2)

โดย r เปนเวกเตอรบอกต าแหนงซงวดจากจด A ไปยงต าแหนงใดๆของแรง F และ

ขนาดของโมเมนตสามารถเขยนอยในรป dFrFM sin (3.3)

รปท 3.2 การหาโมเมนตดวยทฤษฎของวารยอง 3.3.2 กฎของผลคณแบบเวกเตอร 1) กฎการสลบท ABBA แต ABBA คณสมบตการสลบทแสดงดงรปท 3.3 (ก) และ 3.3(ข) ตามล าดบ โดยใชกฎมอขวาพบวา AB ผลลพธเปนปรมาณเวกเตอรทมขนาดเทากนแตทศทางตรงขามกบ C นนคอ

CAB 2) กฎการคณคาคงท aBAaBABaABAa เมอ a เปนคาคงท 3) กฎการกระจาย DABADBA



รปท 3.3 คณสมบตการสลบทของผลคณแบบเวกเตอร ( ทมำ http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/7/vector/vector4.html)

3.3.3 ผลคณแบบเวกเตอรของเวกเตอรหนงหนวยในพกดฉำก จากรปท 3.4 สามารถหาผลคณแบบเวกเตอรของเวกเตอรหนงหนวยในพกดฉากได ตวอยางเชน ตองการหา ji ขนาดของผลลพธหาไดจาก 111190sin

ji และสามารถหาไดโดยตรงดวยกฎมอขวา แสดงดงรปท 3.4 จะพบวาทศทางของผลคณแบบเวกเตอรจะอยในทศ k ดงนน จะได kji 1 ในลกษณะเดยวกน จะได 0 iijkikji 0 jjkijikj 0 kkijkjik

รปท 3.4 ผลคณแบบเวกเตอรของเวกเตอรหนงหนวยในพกดฉาก ( ทมำ :: http://www.rmutphysics.com/CHARUD/oldnews/180/physics2/ Physics2_4.files/frame.htm#slide0129.htm)

http://www.rmutphysics.com/CHARUD/oldnews/180/physics2/



อยางไรกตาม ผลคณแบบเวกเตอรของเวกเตอรหนงหนวยในพกดฉาก สามารถหาไดโดยกฎมอขวาดวยความเขาใจอยางงายดงรปท 3.5 พบวาผลคณแบบเวกเตอรของสองเวกเตอรหมนไปในทศทางทวนเขมนาฬการอบวงกลม ผลลพธของเวกเตอรอยในทศทางเปนบวก เชน jik ในทางตรงขาม หากผลคณแบบเวกเตอรของสองเวกเตอรหมนไปในทศทางตามเขมนาฬการอบวงกลม ผลลพธของเวกเตอรอยในทศทางเปนลบ เชน jki

รปท 3.5 หลกความเขาใจกฎมอขวาอยางงาย

พจารณาผลคณแบบเวกเตอรของสองเวกเตอร A

และ B

สามารถเขยนอยในรปของเวกเตอรในพกดฉาก ไดเปน kBjBiBkAjAiABA zyxzyx

kiBAjiBAiiBA zxyxxx kjBAjjBAijBA zyyyxy kkBAjkBAikBA zzyzxz หาผลลพธและรวมเทอมของเวกเตอรหนงหนวย จะได kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzy

(3.4)

จากสมการ (3.4) สามารถเขยนอยในรปของ ดเทอรมแนนท (determinant) ไดเปน

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

(3.5)

ดงนน ในการหาผลคณแบบเวกเตอรของเวกเตอร A

และ B

สามารถท าไดดวย การหาดเทอรมแนนทโดยก าหนดใหแถวแรกเปนเวกเตอรหนงหนวย ji, และ k แถวทสองและสามใหแทนดวยสมประสทธในทศทาง yx, และ z ของเวกเตอร A

และ B

, ตามล าดบ



3.4 กำรหำโมเมนตดวยผลคณแบบเวกเตอร การหาขนาดโมเมนตของแรงในระบบ 2 มต นยมใชสมการ (3.1) เพราะมความสะดวกในการหาระยะจากจดหมนไปถงจดทแรงกระท าหรอ moment arm d แตปญหาของแรงในระบบ 3 มต เปนปญหาอยางมากในการหาระยะทกระท าของแรง ดงนน การหาขนาดโมเมนตโดยใชความรเรองผลคณแบบเวกเตอรจงมความส าคญเปนอยางมาก ซงจะกลาวถงในหวขอน 3.4.1 กำรหำโมเมนตของแรงดวยผลคณแบบเวกเตอร จากรปท 3.6 ทราบเวกเตอร r

ในแนวแกน x, y แล z สามารถเขยนเปนเวกเตอรบอกต าแหนง r

และทราบเวกเตอรของแรง F

ดงนน สมการโมเมนตของแรงกลายเปน

zyx

zyxO

FFF

rrr

kji

FrM (3.6)

โดยท zyx rrr ,, คอ สวนประกอบเวกเตอรบอกต าแหนงจากจด O ถงระยะของแรง ตามแนวแกน x, y และ z, ตามล าดบ

zyx FFF ,, คอ สวนประกอบเวกเตอรของแรงตามแนวแกน x, y และ z, ตามล าดบ

รปท 3.6 การหาโมเมนตดวยผลคณแบบเวกเตอร

จากสมการ (3.6) ผลลพธไดเปน kFrFrjFrFriFrFrM xyyxzxxzyzzyO

ซงผลลพธทไดพบวาเกดโมเมนตหมนรอบจด O ในทศทางแกน x, y และ z ดงน yzzyx FrFrM , zxxzy FrFrM , xyyxz FrFrM โดยมรายละเอยดแสดงดงรปท 3.7



รปท 3.7 ขนาดโมเมนตของแตละแกนในพกดฉาก

3.4.2 ทฤษฎวำรยอง จากทไดกลาวถงทฤษฎวารยองในการหาโมเมนตของแรงในระบบ 2 มต มาแลวพจารณารปท 3.8 ระบบประกอบดวยแรง 21 , FF และ 3F ผลรวมของโมเมนตรอบจด O สามารถหาไดจาก ......... 321321 FFFrFrFrFr Fr โดยอาศยผลคณแบบเวกเตอร สามารถหาโมเมนตหมนรอบจด O ไดจาก RrFrMO

(3.7)

จากสมการ (3.7) กลาวไดวา “ผลรวมของโมเมนตรอบจดใดของระบบทประกอบดวยแรงหลายแรงมคาเทากบโมเมนตทเกดจากแรงลพธของระบบนน” ซงเปนไปตามทฤษฎวารยอง



รปท 3.8 การหาโมเมนตดวยทฤษฎวารยองในระบบ 3 มต

ตวอยำงท 3.1 ก าหนดใหมม 45 จงหาขนาดและทศทางของโมเมนตของแรง kN4 หมนรอบจด A ดงรปท 3.9

รปท 3.9 ประกอบตวอยางท 3.1 วธท ำ




จากผงวตถอสระรปท 3.10 แตกแรงขนาด kN4 ออกเปน 2 สวนประกอบตามแนวแกน x และ y หลงจากนนหาโมเมนตรอบจด A โดยอาศยทฤษฎวารยองและก าหนดใหโมเมนตหมนทวนเขมนาฬกาเปนบวก จะได 345445.045cos4

sisnM A 49.827.1 22.7 mkN 22.7 (โมเมนตตามเขมนาฬกา) .Ans ตวอยำงท 3.2 แรงขนาด N100 กระท าทปลายชนงานดงรปท 3.11 จงหาโมเมนตของแรงหมนรอบจด O





จากผงวตถอสระรปท 3.12 แตกแรง N100 ออกเปน 2 สวนประกอบ หลงจากนนหาโมเมนตหมนรอบจด O โดยอาศยทฤษฎวารยองและก าหนดใหโมเมนตหมนตามเขมนาฬกาเปนบวก จะได 2)5/4(1005)5/3(100 OM

280560 mNMO 460 (โมเมนตตามเขมนาฬกา) .Ans

ตวอยำงท 3.3 รถขนของขนาดเลกพรอมน าหนกทบรรทกรวมมมวล kg50 และอยทจดศนยกลางมวล G ดงรปท 3.13 ถาโมเมนตลพธทกระท าดวยแรง F และน าหนกทบรรทกรอบจด A มคาเทากบศนย จงหาขนาดของแรง F

รปท 3.13 ประกอบตวอยางท 3.3 (ทมำ : http://www.mycutegraphics.com/graphics/valentines-day/ boy-pushing-wheelbarrow-of-hearts.html)



วธท ำ

รปท 3.14 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 3.3 จากผงวตถอสระรปท 3.14 แตกแรง F ออกเปน 2 สวนประกอบตามแนวตงฉากและขนานกบพนราบ หลงจากนนหาโมเมนตหมนรอบจด A โดยอาศยทฤษฎวารยองและก าหนดใหโมเมนตหมนทวนเขมนาฬกาเปนบวก จะได 3.081.9505.130sin15.130cos

FFM A 15.14775.0996.00 FF 15.147746.10 F

746.1

15.147F

.3.84 AnsN ดงนน ตองออกแรงขนของเทากบ N3.84 จงจะท าใหโมเมนตรอบจด A เทากบศนย



ตวอยำงท 3.4 จงหาขนาดของโมเมนตรอบจด O ของแรง N600 ตามรปท 3.15 โดยใช 2 แนวทางทตางกนในการค านวณ


รปท 3.16 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 3.4 )1 จากรปท 3.16(ก) หาระยะการเกดโมเมนตจากจด O ถงแรง N600 ไดจาก .35.440sin240cos4 md จาก dFM จะไดโมเมนตหมนตามเขมนาฬกาและมขนาดเทากบ .261035.4600 AnsmNMO )2 จากรปท 3.16(ข) แตกแรงทจด A ออกเปนสองสวนประกอบในพกดฉาก จะได NF 46040cos6001 NF 38640sin6002 โดยอาศยทฤษฎวารยอง จะไดโมเมนตรอบจด O หมนตามเขมนาฬกาและมขนาดเปน



.261023864460 AnsmNMO ขอสงเกต พบวาค าตอบจากสองแนวทางในการหามคาเทากน

ตวอยำงท 3.5 แรงดง T ขนาด kN10 กระท ากบเสาทต าแหนงบนสด A และถกยดกบพนทต าแหนง B ดงรปท 3.17 จงหาขนาดของโมเมนต zM ทเกดจากแรง T ในทศทางแกน z หมนรอบจด O

รปท 3.17 ประกอบตวอยางท 3.5 วธท ำ ในการหาโมเมนตในทศทางแกน z หมนรอบจด O จะใชวธผลคณแบบเวกเตอร ซงตองหาขนาดของเวกเตอรของแรง T และเวกเตอรของระยะทางจากจดหมน O ถงระยะใดๆของแนวกระท าของแรง T โดยในทนจะใชระยะจากจด O ไปยงจด A สามารถเขยนเปนเวกเตอรของระยะทางไดเปน jr OA 15 สวนเวกเตอรของแรง T หาไดจากความสมพนธดงน

222 91512

9151210

kjinTT AB

450

9151210

kji

kji

424.0707.0566.010



kji

24.407.766.5 โมเมนตของแรง T รอบจด O โดยวธผลคณแบบเวกเตอร หาไดจาก

24.407.766.5

0150

kji

TrM OAO

k

ji

1566.5007.7

024.466.50007.724.415

mkNki )9.846.63(

คาของ zM เปนปรมาณสเกลารของเวกเตอรโมเมนต OM

ในทศทางแกน z หาไดจาก

kMM Oz

ดงสมการ

kkiM z

9.846.63

.9.84 AnsmkN เครองหมายลบหมายความวาเวกเตอรของโมเมนต zM มทศทางไปยงแกน z ทเปนลบ โดยมขนาดเทากบ mkN 9.84



ตวอยำงท 3.6 จงหาโมเมนตของแรง BF หมนรอบจด O ดงรปท 3.18 โดยใชวธผลคณแบบเวกเตอร


วธท ำ




เวกเตอรบอกต าแหนงและเวกเตอรของแรงจากรปท 3.19 ในทนจะใชเวกเตอรบอกต าแหนง OAr หรอ OBr

เพอใชในการหาโมเมนตของแรง BF รอบจด O ดงนน เวกเตอรบอกต าแหนงหาไดจาก mkrOA ]6[ และ mjrOB ]5.2[ เวกเตอรของแรง BF เขยนไดเปน

2226005.200

6005.200780

kjiuFF ABBB

25.42

65.2780

kj

kj 65.2120 Nkj ]720300[ โมเมนตของแรง BF รอบจด O โดยวธผลคณแบบเวกเตอร

7203000

600

kji

FrM BOAB

k

ji

000300

07200630067200

mNi 1800 .80.1 AnsmkNi

หรอ คดจากเวกเตอรบอกต าแหนง mjrOB ]5.2[ จะได

7203000

05.20

kji

FrM BOBB

k

ji

5.200300

07200003007205.2

mNi 1800 .80.1 AnsmkNi



แบบฝกหดตอนท 1 3.1 แรงดงขนาด N90 กระท ากบแทง AB แสดงดงรปท 3.20 ทมความยาวเทากบ mm225 จงหาขนาดและทศทางของโมเมนตรอบจด B

รปท 3.20 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.1 3.2 ออกแรง NF 70 กระท าทจด B ดงรปท 3.21 จงหาขนาดและทศทางของโมเมนตของแรงหมนรอบจด A เมอก าหนดให 60,7.0,3.0,9.0 mcmbma




3.3 จงค านวณหาขนาดของโมเมนตของแรง N250 หมนรอบจดศนยกลางของ Bolt เมอออกแรงกระท าทปลายดามจบของประแจดงรปท 3.22

รปท 3.22 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.3 3.4 จงหาขนาดและทศทางของโมเมนตของแรง kNF 4 หมนรอบจด O ดงรปท 3.23




3.5 ออกแรงดง P เทากบ lb3 กระท ากบแทงเหลกทจด B ดงรปท 3.24 จงหาโมเมนตของแรง P หมนรอบจด A เมอ 30

รปท 3.24 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.5 3.6 จงหาเวกเตอรของโมเมนตหมนรอบจด O ทเกดจากแรง kNT 2.1 ดงรปท 3.25 โดยการใชระยะ OC และ OD จากจดหมนไปยงแนวกระท าของแรงเพอเปรยบเทยบผลลพธทได




3.7 จากรปท 3.26 จงหาโมเมนตของแตละแรงหมนรอบจด O โดยเขยนใหอยในรปของเวกเตอร

รปท 3.26 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.7 (ทมำ : http://www.makitathailand.com/p/153/dp-4700- %E0%B8%AA%E0%B8%A7%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B9 %84%E0%B8%9F%E0%B8%9F%E0%B9%89%E0%B8%B2-1_2) 3.8 จงหาโมเมนตของแรง F หมนรอบจด O ดงรปท 3.27 โดยเขยนใหอยในรปของเวกเตอร




3.5 โมเมนตของแรงคควบ แรงคควบ (Couple) หมายถง แรงสองแรงทขนานกน มขนาดเทากน แตมทศทางตรงกนขาม และหางกนดวยระยะ d ดงรปท 3.28 เนองจากผลลพธของแรงคควบจะมคาเทากบศนย ผลของแรงคควบจงท าใหเกดการหมนของวตถในทศทางทแรงกระท า

รปท 3.28 แรงคควบ โมเมนตทเกดจากแรงคควบ เรยกวา โมเมนตของแรงคควบ (Couple Moment) พจารณารปท 3.29 เวกเตอรบอกต าแหนง Ar และ Br วดจากจด O ถงจด A และ B ตามล าดบ ซงเปนจดการกระท าของแรง F และ F โมเมนตของแรงคควบรอบจด O หาไดจาก FrrFrFrM ABAB โดยท rrr AB หรอ AB rrr ดงนน จะไดโมเมนตของแรงคควบเปน FrM

รปท 3.29 การหาโมเมนตของแรงคควบ พบวา โมเมนตของแรงคควบเปนเวกเตอรอสระ (free vector) คอ โมเมนตของแรงคควบจะกระท าทต าแหนงใดของวตถกได เนองจาก M ขนอยกบเวกเตอรบอกต าแหนง r ซงเปนระยะหางระหวางแรงสองแรง 3.5.1 โมเมนตของแรงคควบแบบสเกลำร โมเมนตของแรงคควบ M ดงรปท 3.30 สามารถหาขนาดไดจากสมการ dFM (3.10)



โดยท F เปนขนาดของแรงเพยงแรงเดยว และ d เปนระยะหางทตงฉากระหวางแรงทงสอง สวนทศทางของโมเมนตของแรงคควบหาไดจากกฎมอขวา (right hand rule) นวหวแมมอแสดงถงทศทางลพธของโมเมนตของแรงคควบ สวนนวชแสดงถงการหมนไปของแรงคควบ โดยท M อยในทศทางตงฉากกบระนาบของแรงคควบเสมอ ดงรปท 3.30

รปท 3.30 การหาขนาดและทศทางของโมเมนตของแรงคควบ

3.5.2 โมเมนตของแรงคควบแบบเวกเตอร โมเมนตของแรงคควบสามารถเขยนใหอยในรปผลคณแบบเวกเตอรได ดงสมการ FrM

(3.11)

โดยสมการ (3.11) นยมแกปญหาในระบบ 3 มต 3.5.3 กำรรวมโมเมนตของแรงคควบ

ในการรวมโมเมนตของแรงคควบสามารถใชกฎการรวมกนของปรมาณเวกเตอร จากรปท 3.31 โมเมนตของแรงคควบ 1M เกดจากแรง 1F และ 1F รวมกบโมเมนตของแรงคควบ 2M เกดจากแรง 2F และ 2F ท าใหไดโมเมนตของแรงคควบลพธเปน M ซงเกดจากแรง F และ

F ดงนน การรวมโมเมนตของแรงคควบหลายแรงเขยนเปนสมการไดเปน FrM R (3.12)

รปท 3.31 การรวมโมเมนตของแรงคควบ



3.5.4 หลกกำรยำยแรง หลกการยายแรงสามารถท าไดทงในระบบ 2 มต หรอ 3 มต โดยหลกการยายแรงแสดงดงรปท 3.32 เมอจะยายแรง F ซงกระท าทจด A ไปไวทจด B ท าไดโดยการบวกแรง F และ

F ทจด B ท าใหเกดโมเมนตของแรงคควบ FrM ซงโมเมนตของแรงคควบนเกดจากแรง F และ F ในตอนเรมตน

รปท 3.32 หลกการยายแรงทกระท ากบวตถ

ตวอยำงท 3.7 จงหาโมเมนตของแรงคควบรวมทเกดจากแรงคควบสามแรง ดงรปท 3.33

รปท 3.33 ประกอบตวอยางท 3.7 วธท ำ จากรปท 3.33 จะไดระยะทางทตงฉากระหวางแรงคควบแตละคเปน ftdftd 3,4 21 และ ftd 53 โดยการพจารณาใหโมเมนตของแรงคควบหมนทวนเขมนาฬกามคาเปนบวก จะได



332211; dFdFdFMMM RR ftlbftlbftlb 530034504200 ftlb 950 .950 Ansftlb เครองหมายลบแสดงถงเกดโมเมนตของแรงคควบรวมในทศทางตามเขมนาฬกา ตวอยำงท 3.8

จงหาผลลพธของโมเมนตของแรงคควบทกระท ากบทอดงรปท 3.34





โมเมนตของแรงคควบ 1M เกดจากแรงกระท าทจด A และ B หาไดจาก mNmNdFM 60)4.0)(150(1 จากกฎมอขวา 1M จะกระท าในทศทาง i สงเกตไดจากรปท 3.35 (ก) ซงเขยนอยในรปเวกเตอรไดเปน mNiM

601

ส าหรบโมเมนตของแรงคควบ 2M สามารถหาไดจากการใชวธผลคณแบบเวกเตอรของแรงกระท าทจด C และ D ดงรปท 3.34 จะได CDC FrM

2 ดงนน

kjiFrM CDC

5

3125

5

41253.02

kji

751003.0

kiji

5.2230

mNkj

305.22

เนองจากโมเมนตของแรงคควบ 1M และ 2M เปนเวกเตอรอสระ จงสามารถน าไปรวมกนทจดใดกไดและผลรวมของโมเมนตของแรงคควบแบบเวกเตอรแสดงดงรปท 3.35 (ข) ดงนน ผลลพธของโมเมนตของแรงคควบหาไดจาก .305.226021 AnsmNkjiMMM R



ตวอยำงท 3.9

จงยายแรงในแนวระดบขนาด lb80 ไปกระท าทจด O ดงรปท 3.36 พรอมทงหาโมเมนตของแรงคควบ


รปท 3.37 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 3.9 การยายแรงไปกระท าทต าแหนง O ท าใหเกดโมเมนตของแรงคควบในทศทางทวนเขมนาฬกาดงรปท 3.37 และมขนาดเทากบ .62460sin980 AnsinlbM

ดวยเหตน แรงในตอนเรมตนขนาด lb80 ไดถกยายไปกระท าทจด O และเกดโมเมนตของแรงคควบดวยขนาด inlb 624 ดงรปท 3.37 ล าดบทสาม




3.9 จงหาโมเมนตของแรงคควบลพธทเกดจากแรงคควบกระท าดงรปท 3.38

รปท 3.38 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.9 3.10 ภาพดานบนของประตแบบหมนแสดงดงรปท 3.39 และมบคคลสองคนออกแรงกระท ากบประตและมขนาดเทากน ถาโมเมนตของแรงคควบลพธทกระท ากบประตทจด O เทากบ mN 25 จงหาขนาดของแรง F




3.11 ในขณะเลยวซาย ผขบขรถยนตออกแรงสองแรงขนาด kN5.1 กระท ากบพวงมาลยแสดงดงรปท 3.40 จงหาขนาดและทศทางของโมเมนตของแรงคควบทไดจากการหมนพวงมาลยน

รปท 3.40 ประกอบแบบฝกหดขอท 3.11 3.12 จากรปท 3.41 ก าหนดให NF 5001 และ NF 10002 , จงหาโมเมนตของแรงคควบลพธของแรงทงสาม โดยใชวธผลคณแบบเวกเตอร




บทสรป 1) โมเมนตของแรงทกระท ากบวตถหาไดจากสมการ dFM 2) กฎมอขวา กลาววา นวหวแมมอแสดงถงทศทางลพธของโมเมนต สวนนวช แสดงถงการหมนไปของแรง 3) การหาโมเมนตของแรงดวยวธผลคณแบบเวกเตอร เขยนสมการไดเปน FrM

4) ผลคณแบบเวกเตอรเขยนในรปดเทอรมแนนทไดเปน

zyx

zyxO

FFF

rrr

kji

FrM

5) ทฤษฎวารยอง เขยนสมการไดเปน RrFrMO

6) โมเมนตของแรงคควบเกดจากแรงคควบคณกบระยะหางทตงฉากระหวางแรงคควบนน เขยนสมการไดเปน dFM 7) หลกการยายแรงจะเกดโมเมนตของแรงคควบเสมอ



แบบทดสอบบทท 3 3.1 จงหาขนาดและทศทางของโมเมนตหมนรอบจด O ของแรง NF 300 ดงรปท 3.42

รปท 3.42 ประกอบแบบทดสอบขอท 3.1 3.2 จากรปท 3.43 จงหาโมเมนตลพธหมนรอบจด O ของแรง NF 5001 และ NF 6002




3.3 จงหาโมเมนตของแรงคควบลพธทกระท ากบคานดงรปท 3.44

รปท 3.44 ประกอบแบบทดสอบขอท 3.3 3.4 เสนลวด AE ถกยดไวทมม A และ E ของแผนเหลกดงรปท 3.45 เมอก าหนดใหเสนลวดมแรงกระท าเทากบ N435 จงหาโมเมนตทเกดจากแรงในเสนลวดหมนรอบจด O ก) เมอจดสนสดของแรงกระท าทมม A ข) เมอจดสนสดของแรงกระท าทมม E




3.5 สวนหนงของผนงคอนกรตถกยดไวชวคราวดวยเคเบลดงรปท 3.46 ถาขนาดของแรงดงในเคเบล BD มคาเทากบ N900 จงหาโมเมนตหมนรอบจด O ทเกดจากแรงในเคเบลกระท าทจด B

รปท 3.46 ประกอบแบบทดสอบขอท 3.5 3.6 แทงเหลกกลมมความยาว m6 ปลายดานหนงถกยดไวทจด A เคเบลท ามาจากลวดผกปลายอกดานทจด B ยดไวกบผนงทจด C ดงรปท 3.47 ถาทราบขนาดแรงดงในเคเบลเทากบ kN5.2 จงหาโมเมนตหมนรอบจด A ทเกดจากแรงในเคเบลกระท าทจด B ของแทงกลม




เอกสำรอำงอง มนตร พรณเกษตร. (2554). กลศำสตรวศวกรรม : ภำคสถตยศำสตร. กรงเทพฯ : วทยพฒน. วระศกด กรยวเชยร และ คณะ. (2551). กลศำสตรวศวกรรม : ภำคสถตยศำสตร. กรงเทพฯ : วทยพฒน. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons. http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/7/vector/vector4.htm http://www.rmutphysics.com/CHARUD/oldnews/180/physics2/Physics2_4.files/frame.h http://www.mycutegraphics.com/graphics/valentines-day/boy-pushing-wheelbarrow- http://www.makitathailand.com/p/153/dp-4700-%E0%B8%AA%E0%B8%A7%E0% B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8% 9F%E0%B9%89%E0%B8%B2-1_2

http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/7/vector/vector4.htm

http://www.rmutphysics.com/CHARUD/oldnews/180/physics2/Physics2_4.files/frame.htm#slide0129.htm

http://www.mycutegraphics.com/graphics/valentines-day/boy-pushing-wheelbarrow-%20of-hearts.html





สมดลของอนภาค


4.1 บทน า 4.2 เงอนไขความสมดลของอนภาค

4.3 การเขยนผงวตถอสระ

4.3.1 หลกการเขยนผงวตถอสระ

4.4 สมดลในระบบ 2 มต 4.4.1 สมการสมดล

4.4.2 ล าดบขนตอนการแกปญหา






เมอเรยนจบบทนแลว ผเรยนควรมความรและทกษะดงน 1. อธบายหลกความสมดลของอนภาคในระบบ 2 มต และ 3 มต

2. สามารถเขยนผงวตถอสระของอนภาคในระบบ 2 มต และ 3 มต 3. สามารถหาแรงเพอท าใหระบบ 2 มต และ 3 มต อยในสภาวะสมดล


1. ผสอนน าเขาสบทเรยนโดยการสอบถามถงหลกการเกดความสมดลของอนภาค

2. เฉลยหลกพนฐานการเกดความสมดลของอนภาคและเขาสเนอหา









1. เอกสารประกอบการสอนวชาสถตยศาสตร บทท 4 เรอง สมดลของอนภาค










1. ท ากจกรรรมไดแลวเสรจตามทก าหนด



บทท 4 สมดลของอนภาค

4.1 บทน า ในบทนกลาวถงเงอนไขความสมดลของอนภาคในระบบ 2 มต และ 3 มต เมอมแรงกระท ากบอนภาค การเขยนผงวตถอสระของอนภาคในระบบ 2 มต และ 3 มต ซงเปนสงทส าคญเพอน าไปใชในการหาความสมดลของอนภาค สดทายกลาวถงหลกการแกปญหาความสมดลของระบบ 2 มต และ 3 มต เพอหาสวนประกอบของแรงทท าใหระบบอยในสภาวะสมดล

4.2 เงอนไขความสมดลของอนภาค อนภาคอยในสภาวะสมดลระบบ 2 มต และ 3 มต เมออยในสภาวะหยดนงกจะหยดนงตลอดไปหรอเคลอนทไปดวยความเรวคงท ในขณะทมการเคลอนท ดงนน เพอใหวตถอยในสภาวะสมดลตองใชกฎการเคลอนทขอหนงของนวตนในการหาแรงลพธกระท ากบวตถมคาเปนศนย เขยนอยในรปสมการไดเปน

0F (4.1)

โดยท F คอผลรวมของแรงทกระท ากบอนภาค

4.3 การเขยนผงวตถอสระ ในการประยกตใชสมการสมดลของอนภาค มความจ าเปนตองเขยนแรงททราบคาและไมทราบคาทงหมดทกระท ากบอนภาค เรยกวา ผงวตถอสระ (free body diagram, FBD) จดเชอมตอระหวางอนภาคใหอยในสภาวะสมดลม 2 ชนด คอ สปรง และ เคเบล สปรง ใหสปรงมความยาวกอนการเสยรปเปน ol ใชในการเชอมตอกบอนภาค ท าใหสปรงมความยาวเปลยนแปลงไปตามแรง F ทกระท าดงรปท 4.1 โดยใหสปรงมคาคงทของสปรงหรอ stiffness, k ขนาดของแรงทกระท ากบสปรงจนท าใหสปรงมความยาวเปลยนแปลงไป olls สามารถหาขนาดของแรงไดจากสมการ skF (4.2) ถาระยะ s มคาเปนบวก แสดงวาสปรงยดออกเพราะถกแรงดง F แตถาระยะ s มคาเปนลบ แสดงวาสปรงหดตวเพราะถกแรงกด F โดยคา k มหนวยเปน mN / เคเบลและพลเลย ในทนจะไมคดน าหนกของสายเคเบล ดงนน จงก าหนดใหเคเบลรบแรงดงและมทศทางไปตามความยาวของเคเบล ปกตแลวเคเบลจะพาดผานพลเลยทไมคดแรงเสยดทานทมน าหนกคงท ท าใหเคเบลอยในสภาวะสมดล จากรปท 4.2 พบวาเคเบลรบแรงดง T ตลอดความยาวของเคเบลและท ามม กบแนวราบ



รปท 4.1 การหาแรงทกระท าผานสปรง (ทมา : http://th.88db.com/thailand/Bangkok-Area+Bang-Kho-Laem/Business- Services/Industrial-Products/ad-1463204/) 4.3.1 หลกการเขยนผงวตถอสระ การเขยนผงวตถอสระมขนตอนทส าคญ 3 ขนตอน คอ 1) เขยนรปวตถ เขยนวตถแยกออกจากสงรอบขางหรอเขยนเฉพาะรปรางของวตถ 2) เขยนแรงทงหมดทกระท า เขยนแรงกรยาหรอแรงปฏกรยาทกระท ากบวตถทงหมดทเปนไปได 3) ระบขนาดและทศทางของแรง ระบขนาดและทศทางของแรงททราบคาใหตรงกบชอทก าหนดไว พรอมทงระบชอของแรงทไมทราบขนาดและทศทางดวย

ตวอยางการเขยนผงวตถอสระแสดงดงรปท 4.3

รปท 4.2 แรงดงกระท าผานเคเบล (ทมา : http://science.howstuffworks.com/transport/engines-equipment/ pulley.html

บทท 4 สมดลของอนภาค 115


(ก) แรงกระท ากบอนภาคแรงเดยว

(ข) แรงกระท ากบอนภาคหลายแรง รปท 4.3 การเขยนผงวตถอสระ (ทมา : http://artytoy.tarad.com/product.detail_685082_th_4624301 )


อนภาคถกแรงกระท าในระนาบ xy ดงรปท 4.4 หลงจากนน แตกแรงแตละแรงใหอยในรปของเวกเตอรหนงหนวย i และ j แลวท าการรวมแรงทงหมดใหแรงลพธเทากบศนย สามารถเขยนสมการไดเปน 0F

0jFiF yx การท าใหสมการเวกเตอรขางบนเปนจรงได ตองท าใหผลรวมของแรงในแนวแกน x และ y มคาเทากบศนย ดงนน สมการสมดลของแรงในแตละแกนเทากบ

0

0

y

x

F

F (4.3)

ในการค านวณดวยสมการ (4.3) ตองค านงถงทศทางของแรงทกระท าในแนวแกน x และ y เปนส าคญ



รปท 4.4 แรงกระท ากบอนภาคในระนาบ xy 4.4.2 ล าดบขนตอนการแกปญหา

การแกปญหาสมดลของแรงทกระท ากบอนภาค มขนตอนดงน การเขยนผงวตถอสระ 1) เขยนพกด x, y ในต าแหนงทเหมาะสม 2) ระบชอใหกบแรงททราบและไมทราบขนาดและทศทาง 3) สมมตทศทางใหกบแรงทไมทราบคา การใชสมการสมดล 1) ประยกตใชสมการสมดล 0xF และ 0yF 2) ชนสวนมทศทางเปนบวกเมอชไปในแนวแกนทเปนบวก ตรงกนขาม ชนสวนมทศทางเปนลบเมอชไปในแนวแกนทเปนลบ 3) ถามแรงทไมทราบคามากกวา 2 แรง และ เกยวของกบสปรงใหใชสมการ

skF มาชวยในการแกปญหา

4) เนองจากขนาดของแรงมคาเปนบวกเสมอ ถาผลลพธจากการค านวณไดคาเปนลบแสดงวาทศทางของแรงตรงกนขามกบทแสดงในผงวตถอสระ



ตวอยางท 4.1

จงหาแรงดงในเคเบล BA และ BC เพอพยงทรงกระบอกกลมมวล kg60 ใหอยในต าแหนง ดงรปท 4.5

รปท 4.5 ประกอบตวอยางท 4.1 วธท า ผงวตถอสระ จากสภาวะสมดลท าใหน าหนกของทรงกระบอกกลมเกดแรงดงในเคเบล BD เทากบ NTBD 6.58881.960 แสดงดงรปท 4.6 (ก) สวนแรงดงในเคเบล BA และ BC สามารถหาไดโดยใชสมการสมดลทแหวน B ส าหรบผงวตถอสระแสดงดงรปท 4.6 (ข) ขนาดของ แรงดง AT และ CT ไมทราบคา แตทราบทศทาง

(ก) แรงกระท าทกลอง D (ข) แรงกระท าทแหวน B รปท 4.6 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 4.1



สมการสมดล ประยกตสมการสมดลตามแนวแกน x และ y จะได

05

445cos;0 ACx TTF

(1)

06.588

5

345sin;0 NTTF ACy

(2)

จดรปสมการ (1) จะได

45cos4

5CA TT

CA TT 8839.0 (3)

แทนสมการ (3) ลงในสมการ (2) จะได

06.5888839.05

345sin

NTT CC

06.5885303.0707.0 NTT CC 6.5882373.1 CT .47671.475 AnsNNTC แทนคา NTC 476 ลงในสมการ (3) จะได 4768839.0AT .420 AnsN ตวอยางท 4.2

กลองมวล kg200 ดงรปท 4.7 ถกยดดวยเชอก AB และ AC โดยเชอกแตละเสนสามารถ รบแรงไดสงสด kN10 กอนทจะขาด ถาเชอก AB ถกดงใหอยในแนวระดบเสมอ จงหามม นอยทสดทจะพยงกลองไวไดกอนเชอกขาด




วธท า ผงวตถอสระ จากรปท 4.8 มแรงสามแรงกระท าทแหวน A โดยขนาดของแรง DF เทากบน าหนกของกลอง คอ kNNFD 10196281.9200

รปท 4.8 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 4.2 สมการสมดล ประยกตใชสมการสมดลในแนวแกน x, y จะได

0cos;0 CBx FFF

cos

BC

FF (1)

01962sin;0 Cy FF (2)

จากสมการ (1) พบวา CF จะมคามากกวา BF เสมอ เนองจาก 1cos ดงนน เชอก AC จะมคามากทสดกอนเชอก AB ขาด ดงนน จงแทนคา kNFC 10 ในสมการ (2) จะได 01962sin1010 3 NN

1962.010000

1962sin

.31.111962.0sin 1Ans

แรงดงในเสนเชอก AB หาไดโดยการแทนคา และ CF ลงในสมการ (1) จะได

31.11cos

1010 3 BFN

31.11cos10000BF kN81.9 ขอสงเกต พบวาแรงดงในเชอก AB นอยกวาแรงดงในเชอก AC คอ kNkN 0.1081.9



ตวอยางท 4.3

จงหาความยาวของเชอก AC ทจะพยงหลอดไฟมวล kg8 ใหอยในต าแหนงดงรปท 4.9 เมอก าหนดให ความยาวของสปรง AB กอนการเสยรปเทากบ mlAB 4.0/ และ คา stiffness ของสปรงเทากบ mNk /300

รปท 4.9 ประกอบตวอยางท 4.3 (ทมา : http://www.banidea.com/lamp-vintage-diy-bootsngus/lamp-vintage-6/)

รปท 4.10 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 4.3 วธท า ผงวตถอสระ น าหนกของหลอดไฟมคาเทากบ NW 5.7881.98 และผงวตถอสระของแหวน A แสดงดงรปท 4.10 สมการสมดล ใชสมการในแนวแกน x, y จะได

030cos;0 ACABx TTF (1)



05.7830sin;0 NTF ACy

(2)

จากสมการ (2) จะได

30sin

5.78ACT

N157 แทนคา NTAC 157 ลงในสมการ (1) จะได 30cos)157(ABT N9.135 หาระยะยดของสปรงไดจากสมการ ABABABAB smNNskT /3009.135;

msAB 453.0300

9.135

ความยาวของระยะสปรงหลงการยดหาไดจาก ABABAB sll / mm 453.04.0 m853.0 ระยะทางในแนวระดบจาก C ไปยง B ดงรปท 4.9 หาไดจาก mlm AC 853.030cos2

30cos

853.02ACl

.32.1 Ansm



แบบฝกหดตอนท 1 4.1 ถากลองมน าหนกเทากบ kN75.2 จงเขยนผงวตถอสระและหาแรงตงในเสนเชอก AB และ AC ทท าใหกลองอยในสภาวะสมดลดงรปท 4.11

รปท 4.11 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.1 4.2 จากรปท 4.12 ถากลองมมวล kg5 ถกรองรบดวย Pulley B และ ความสงของระยะ

md 15.0 จงหา แรงดงในเสนเชอก AB และ BC เมอไมคดมวลของ Pulley และ เชอก




4.3 จงหาแรงดงในเสนเชอกแตละเสนเพอท าใหกลองมวล kg200 อยในสภาวะสมดลดงรปท 4.13 ก าหนดใหเชอก BC อยในแนวระดบเนองจากลกกลง C เชอก AB ยาว m5.1 และระยะ

my 75.0

รปท 4.13 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.3 4.4 ถาทรงกระบอก C มมวล kg40 จงเขยนผงวตถอสระและหามวลของทรงกระบอก A ทท าใหระบบอยในต าแหนงสมดลดงรปท 4.14




4.5 เชอก AB และ AC รองรบดวยมวลทมน าหนกเทากบ N200 ดงรปท 4.15 จงหาแรงดงในเชอกแตละเสน

รปท 4.15 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.5 4.6 ชนสวนของโครงถกอยในระนาบดงรปท 4.16 ถาใหแรงรวมจากแรงทงสามผานจด O จงเขยนผงวตถอสระและหาขนาดของแรง F และ T เมอก าหนดให 90




4.7 ถากลอง B มน าหนก kN1 และ กลอง C มน าหนก kN5.0 จงหาน าหนกของกลอง D และ มม เพอใหระบบอยในสภาวะสมดลดงรปท 4.17

รปท 4.17 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.7 4.8 จงหาแรงดงในเสนเชอก CA และ CB ทท าใหกลองมวล kg10 อยในสภาวะสมดลดงรปท 4.18 เมอก าหนดให 40




4.5 สมดลในระบบ 3 มต 4.5.1 สมการสมดล เงอนไขความสมดลของอนภาคในระบบ 3 มต สามารถเขยนสมการในรปของเวกเตอรไดเปน 0F

(4.4)

พจารณาจากรปท 4.19 สามารถแตกแรงใหอยในสวนประกอบของเวกเตอรหนงหนวยในแนวแกน x, y และ z จะไดวา 0kFjFiF zyx ดงนน จะไดสมการสมดลของอนภาคในระบบ 3 มต เปน

0

0

0

z

y

x

F

F

F

(4.5)

รปท 4.19 แสดงถงสมดลของอนภาคในระบบ 3 มต


การแกปญหาสมดลของแรงในระบบ 3 มต ส าหรบอนภาคมขนตอนไดดงน การเขยนผงวตถอสระ 1) เขยนพกด x, y และ z ในต าแหนงทเหมาะสม 2) ระบชอของแรงททราบและไมทราบขนาดและทศทาง 3) สมมตทศทางของแรงทไมทราบขนาด การใชสมการสมดล 1) ประยกตใชสมการสมดล 0xF , 0yF และ 0zF 2) ถาการแตกแรงออกเปนองคประกอบของแรงในแนวแกน x, y และ z กระท าไดยาก จะท าการเขยนแรงแตละแรงลงในผงวตถอสระในรปของ



เวกเตอรในพกดฉากแลวแทนคาในรปของเวกเตอรลงในสมการ 0F

หลงจากนน จดเทอมของเวกเตอรหนงหนวย ji, และ k ใหเทากบศนย แลวแกสมการหาคาตวแปรทไมทราบคา 3) ถาค าตอบทไดมคาเปนลบแสดงวาทศทางของแรงจะมทศทางตรงขามกบท สมมตไวในผงวตถอสระ

ตวอยางท 4.4 ออกแรงดง lb90 กระท ากบตะขอดงรปท 4.20 ถาแรงดงนถกรองรบดวยเคเบลสองเสนและสปรงทมคา stiffness ftlbk /500 จงหาแรงดงในเคเบลและระยะยดของสปรงทอยในสภาวะสมดล ก าหนดใหเคเบล AD อยในระนาบ yx และ เคเบล AC อยในระนาบ zx





วธท า ผงวตถอสระ จดเชอมตอจด A ถกน ามาใชในการวเคราะหความสมดล ผงวตถอสระแสดง ดงรปท 4.21 สมการสมดล เพอความสะดวกตองท าการแตกแรงใหอยในแกน x ,y และ z ตามล าดบ หลงจากนนใชสมการสมดลในแตละแกนในการแกปญหา โดยใหสวนประกอบของแรงทชไปตามแนวแกนทเปนบวกใหสวนประกอบของแรงนนมคาเปนบวก จะไดสมการสมดลเปน

0

5

430sin;0 CDx FFF

(1)

030cos;0 DBy FFF (2)

090

5

3;0 lbFF Cz (3)

จากสมการ (3) จดรปใหมเปน

3

590CF

.150 Anslb แทนคา lbFC 150 ลงในสมการ (1) จะได

05

415030sin

DF

30sin

430DF

.240 Anslb แทนคา lbFD 240 ลงในสมการ (2) จะได 030cos240

BF .8.207 AnslbFB ระยะยดของสปรงหาไดจาก ABB skF ABsftlblb /5008.207 ftlb

lbsAB

/500

8.207

.416.0 Ansft ขอสงเกต เนองจากผลลพธของแรงในเคเบลทงหมดมคาเปนบวกแสดงวาเคเบลแตละเสนรบแรงดงจากจด A ซงเปนไปตามรปท 4.21



ตวอยางท 4.5 โคมไฟมวล kg10 ถกแขวนไวดวยเชอกสามเสนทมความยาวเทากนดงรปท 4.22 จงหาระยะในแนวตงต าทสด )(s จากเพดาน ถาแรงทกระท าในเชอกแตละเสนไมเกน N50





วธท า ผงวตถอสระ เนองจากความสมดลดงรปท 4.23 ระยะ mmDCDBDA 600 ซงเปนไปตามความสมดลจาก 0xF และ 0yF แรงดง T ในเชอกแตละเสนมคาเทากน ดงนน มมระหวางเชอกแตละเสนกบแนวแกน z มคาเทากนคอ สมการสมดล ประยกตใชสมการสมดลตามแนวแกน z โดยให NT 50 จะได 081.910cos503;0 NNFz 1.98cos150

150

1.98cos 1

16.49 จากสามเหลยม AED ดงรปท 4.23 จะได

s

mm60016.49tan

16.49tan

600 mms

.519 Ansmm ตวอยางท 4.6 จงหาแรงดงในเชอกแตละเสนทใชในการดงกลองทมน าหนก lb40 ดงรปท 4.24




รปท 4.25 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 4.6 วธท า ผงวตถอสระ แสดงดงรปท 4.25 เปนผงวตถอสระของจด A ซงเปนจดรวมแรงทไมทราบคาของเชอกแตละเสน สมการสมดล เรมตนจากการเขยนแตละแรงใหอยในรปเวกเตอรในพกดฉาก เนองจากพกดของจด B และ C เปน ftftftB 8,4,3 และ ftftftC 8,4,3 จะได

222843

843 kjiFF BB

89

843 kjiFB

kFjFiF BBB 848.0424.0318.0

222843

843 kjiFF CC

89

843 kjiFC

kFjFiF CCC 848.0424.0318.0 iFF DD

lbkW 40

แทนคาลงในสมการสมดล จะได 0;0 WFFFF DCB

040848.0424.0318.0

848.0424.0318.0

kiFkFjFiF

kFjFiF

DCCC

BBB



รวมเทอมของเวกเตอรหนงหนวย kji ,, แลวใหเทากบศนย จะได 0318.0318.0;0 DCBx FFFF (1)

0424.0424.0;0 CBy FFF (2)

040848.0848.0;0 CBz FFF (3)

จดสมการ (2) จะได CB FF (4)

แทน CB FF ลงในสมการ (3) จะได 040848.0848.0 CC FF 40696.1 CF lbFC 6.23 .6.23 AnslbFF CB

แทน lbFF CB 6.23 ลงในสมการ (1) จะได 06.23318.06.23318.0 DF .0.15 AnslbFD ขอสงเกต พบวาขนาดของแรงทงสามมคาเปนบวกแสดงวาทศทางทไดเปนไปตามรปท 4.25 ตวอยางท 4.7 จงหาแรงดงในเชอกแตละเสนทรองรบไวดวยกลองมวล kg100 ดงรปท 4.26

รปท 4.26 ประกอบตวอยางท 4.7 (ทมา : http://www.gunsandgames.com/smf/index.php?topic=95200.0)



รปท 4.27 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 4.7 วธท า ผงวตถอสระ แรงดงในเชอกแตละเสนสามารถหาไดโดยการใชสมการสมดลทจด A ผงวตถอสระแสดงดงรปท 4.27 น าหนกของกลองหาไดจาก NW 98181.9100 สมการสมดล เรมตนจากการเขยนแรงดงในเชอกแตละเสนใหอยในรปของเวกเตอรในพกดฉาก ส าหรบ CF

และ DF

ซงมพกดเปน 2,2,1D จะได iFF BB

kFjFiFF CCCC

60cos135cos120cos kFjFiF CCC 5.0707.05.0

222221

221 kjiFF DD

kFjFiF DDD 667.0667.0333.0 NkW }981{

แทนคาลงในสมการสมดล จะได 0;0 WFFFF DCB

0981667.0667.0333.0

5.0707.05.0

kkFjFiF

kFjFiFiF

DDD

CCCB

รวมเทอมของเวกเตอรหนงหนวย kji ,, แลวใหเทากบศนย จะได 0333.05.0;0 DCBx FFFF (1)

0667.0707.0;0 DCy FFF (2)

0981667.05.0;0 DCz FFF (3)

จดสมการ (2) จะได DC FF

707.0

667.0



DC FF 943.0 (4)

แทนคา DC FF 943.0 ลงในสมการ (3) จะได 0981667.0943.05.0 DD FF 0981667.0471.0 DD FF 981138.1 DF .862 AnsNFD แทนคา NFD 862 ลงในสมการ (4) จะได 862943.0CF .813 AnsN แทนคา NFC 813 และ NFD 862 ลงในสมการ (1) จะได 0862333.08135.0 BF .694 AnsNFB ขอสงเกต จะพบวาขนาดของแรงทงสามมคาเปนบวกแสดงวาทศทางเปนไปตามรปท 4.27




4.9. จงหาขนาดของแรง 21, FF และ 3F ทท าใหอนภาคอยในสภาวะสมดลดงรปท 4.28

รปท 4.28 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.9 4.10. จงเขยนผงวตถอสระและหาแรงดงในเคเบล ACAB, และ AD ทท าใหระบบอยในสภาวะสมดลดงรปท 4.29




4.11. จากรปท 4.30 กลองน าหนก lb150 ถกยดไวดวยเชอก ACAB, และ AD จงหาแรงดงในเชอกแตละเสน

รปท 4.30 ประกอบแบบฝกหดขอท 4.11 4.12 จงเขยนผงวตถอสระและหาขนาดของแรงดงในเชอกแตละเสนทรองรบไวดวยกลองมวล

kg100 ใหอยในสภาวะสมดลดงรปท 4.31




บทสรป 1) เมออนภาคหยดนงหรอเคลอนทไปดวยความเรวคงท เรยกวาอนภาคอยในสภาวะสมดล สงผลใหแรงลพธทกระท ากบอนภาครวมกนเปนศนย เขยนเปนสมการได 0F

2) สภาวะสมดลในระบบ 2 มต เขยนสมการไดเปน 0,0 yx FF 3) แรงดงในเคเบลทมความยาวตอเนองทคลองผาน Pulley ทไมคดความเสยดทานจะมขนาดแรงดงคงทตลอดความยาวของเคเบล 4) เมอปญหาเกยวของกบสปรง สามารถหาระยะยดหรอระยะหดของสปรงไดจากสมการ

skF 5) สภาวะสมดลในระบบ 3 มต สมการสมดลอยในรปของเวกเตอรเขยนไดเปน 0F

6) สมดลในระบบ 3 มต แยกพจารณาในแตละแกน เขยนเปนสมการได

0,0,0 zyx FFF



แบบทดสอบบทท 4 4.1 จงเขยนผงวตถอสระและหาแรงดงในเสนเชอก AB และ AC ทจะตองพยงลกบอล D มวล

kg20 ใหอยในสภาวะสมดลดงรปท 4.32 ก าหนดให NF 300 และ md 1

รปท 4.32 ประกอบแบบทดสอบขอท 4.1 4.2 ออกแรงดง lbP 10 ในแนวตงทปลายเชอก AB ยาว ft2 และ สปรง AC ถาระยะทยงไมยดตวของสปรงเทากบ ft2 จงหามม ทท าใหระบบอยสภาวะสมดลดงรปท 4.33 ก าหนดให

ftlbk /15




4.3 ถาถงมน าหนก kN25.0 จงเขยนผงวตถอสระและหาแรงดงในเชอกแตละเสนทท าใหระบบอยในสภาวะสมดลดงรปท 4.34

รปท 4.34 ประกอบแบบทดสอบขอท 4.3 4.4 สปรงมคา stiffness mNk /800 และ ระยะทยงไมยดตวเทากบ mm200 จงหาแรงดงในเชอก BC และ BD เมอสปรงถกยดออกตามรปท 4.35




4.5. ถากลองมมวล kg50 จงหาแรงดงในเสนเชอกแตละเสนเพอท าใหระบบอยในสภาวะสมดล ดงรปท 4.36 เมอก าหนดให mx 2 และ mz 5.1

รปท 4.36 ประกอบแบบทดสอบขอท 4.5 4.6 จงเขยนผงวตถอสระและหาแรงดงในเคเบล ACAB, และ AD ทใชในการยกถงทรงกระบอกมวล kg75 ใหอยในสภาวะสมดลดงรปท 4.37




เอกสารอางอง มนตร พรณเกษตร. (2554). กลศาสตรวศวกรรม : ภาคสถตยศาสตร. กรงเทพฯ : วทยพฒน. วระศกด กรยวเชยร และ คณะ. (2551). กลศาสตรวศวกรรม : ภาคสถตยศาสตร. กรงเทพฯ : วทยพฒน. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons. http://th.88db.com/thailand/Bangkok-Area+Bang-Kho-Laem/Business- Services/Industrial-Products/ad-1463204/ http://science.howstuffworks.com/transport/engines-equipment/pulley.htm http://www.banidea.com/lamp-vintage-diy-bootsngus/lamp-vintage-6/ http://www.gunsandgames.com/smf/index.php?topic=95200.0 http://artytoy.tarad.com/product.detail_685082_th_4624301





สมดลของวตถแขงเกรง


5.1 บทน า 5.2 สมดลในระบบ 2 มต 5.2.1 ผงวตถอสระของวตถแขงเกรง 5.2.2 ขนตอนการเขยนผงวตถอสระ

5.2.3 สมการสมดล


5.3 สมดลในระบบ 3 มต 5.3.1 ผงวตถอสระของวตถแขงเกรง 5.3.2 สมการสมดล



เมอเรยนจบบทนแลว ผเรยนควรมความรและทกษะดงน 1. สามารถเขยนแผนผงวตถอสระของวตถแขงเกรงทรบแรงในสภาวะทแตกตางกนได 2. สามารถค านวณหาแรงทท าใหวตถแขงเกรงอยในสภาวะสมดล 2 มต ได 3. สามารถค านวณหาแรงทท าใหวตถแขงเกรงอยในสภาวะสมดล 3 มต ได วธสอนและกจกรรมการเรยนการสอน

1. ผสอนน าเขาสบทเรยนโดยการสอบถามถงหลกการเกดความสมดลของวตถแขงเกรง 2. เฉลยหลกพนฐานการเกดความสมดลของวตถแขงเกรงและเขาสเนอหา







1. เอกสารประกอบการสอนวชาสถตยศาสตร บทท 5 เรอง สมดลของวตถแขงเกรง 2. โปรแกรม Microsoft Word ใชประกอบการบรรยายเนอหา











1. ท ากจกรรรมไดแลวเสรจตามทก าหนด 2. ท าแบบฝกหดไดถกตองไมนอยกวา 80 เปอรเซนต 3. ปฏบตตามใบงานไดส าเรจตามเวลา 4. ท าแบบทดสอบทายบทเรยนไดถกตองไมนอยกวา 80 เปอรเซนต

บทท 5 สมดลของวตถแขงเกรง 145


บทท 5 สมดลของวตถแขงเกรง

5.1 บทน า ในบทนกลาวถงสมดลของวตถแขงเกรงในระบบ 2 มต และ 3 มต โดยเรมตนดวยหลก การเขยนผงวตถอสระซงเปนหวใจส าคญในการแกปญหาความสมดลของวตถแขงเกรง ตวอยางการเขยนผงวตถอสระเพอหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ เมอเขยนผงวตถอสระแลว ขนตอนตอไปคอ การเขยนสมการสมดลเพอหาแรงปฏกรยาทไดจากผงวตถอสระ โดยบทนจะน าเสนอสมการสมดล ในระบบ 2 มต และ 3 มต ของวตถแขงเกรง

5.2 สมดลในระบบ 2 มต 5.2.1 ผงวตถอสระของวตถแขงเกรง หวใจส าคญส าหรบการแกปญหาสมดลของวตถแขงเกรงคอการระบแรงทงหมดททราบคาและไมทราบคาทกระท ากบวตถแขงเกรง ดงนน การเขยนผงวตถอสระจงเปนสงทส าคญในการหาแรงเหลานน สามารถกลาวไดวา “การท าความเขาใจใหตลอดถงการเขยนผงวตถอสระเปนความส าคญพนฐานส าหรบการแกปญหาในทางกลศาสตร” ตารางท 5.1 แสดงถงรปแบบของแรงปฏกรยาทกระท ากบวตถในกรณทวตถรบแรงในสภาวะทแตกตางกน อนเปนรปแบบพนฐานในการเขยนผงวตถอสระเพอใชในการแกปญหาสมดล ของวตถแขงเกรง

ตารางท 5.1 รปแบบของแรงปฏกรยาทกระท ากบวตถแขงเกรงแบบ 2 มต

ชนดของการสมผสและแรงกระท า แรงกระท าบนผงวตถอสระ 1. เคเบลยดหยน สายพาน โซ หรอ เชอก กรณไมคดน าหนกเคเบล

กรณคดน าหนกเคเบล

2. ผวสมผสเรยบ

แรงจากเคเบลพจารณาเปนแรงดงและมทศออกจากวตถไปตามเคเบลเสมอ

แรงทผวสมผสเปนแรงกดและมทศทางตงฉากกบผวสมผสเสมอ



ตารางท 5.1 รปแบบของแรงปฏกรยาทกระท ากบวตถแขงเกรงแบบ 2 มต (ตอ) ชนดของการสมผสและแรงกระท า แรงกระท าบนผงวตถอสระ

3. ผวสมผสหยาบ

4. ผวสมผสลกกลง

5. ลกกลงไถลอยางอสระไปตามผวเรยบ

6. ขอตอหมดย า

7. จดรองรบยดแนน

ผวสมผสหยาบมแรงในทศทางขนานและตงฉากกบผวสมผส

ผวสมผสลกกลงมแรงกดในทศทางตงฉากกบผวสมผส

ลกกล งลนไถลไปบนผวเรยบจะรบแรงในแนวตงฉากกบการเคลอนท

หมดย าหมนอสระรบแรงปฏกรยาสองแรง

รบแรงในแนวแกนและแรงเฉอนพรอมทงโมเมนตของแรงคควบ (โมเมนตดด)



ตารางท 5.1 รปแบบของแรงปฏกรยาทกระท ากบวตถแขงเกรงแบบ 2 มต (ตอ) ชนดของการสมผสและแรงกระท า แรงกระท าบนผงวตถอสระ

8. รองรบดวยแรงโนมถวงของโลก

9. แรงทเกดจากสปรง

แรงลพธมคาเทากบ W=mg และกระท าทจดศนยกลางมวล

แรงจากสปรงเปนแรงดงเมอสปรงยดออกหรอเปนแรงกดเมอสปรงหดสนลง โดยขนาดของแรงเทากบคาคงทของสปรง,k คณกบระยะยดของสปรง, x

5.2.2 ขนตอนการเขยนผงวตถอสระ ในการเขยนผงวตถอสระส าหรบวตถแขงเกรงหรอกลมของวตถ มขนตอนดงน 1) เขยนรปรางภายนอกของวตถ 2) แสดงถงแรงหรอโมเมนตของแรงคควบททราบคาและไมทราบคาทงหมดทกระท า กบวตถ โดยพจารณาจากตารางท 5.1 3) ระบขนาดและทศทางของแรงหรอโมเมนตของแรงคควบททราบขนาดและทศทาง พรอมกนนใหตงชอแรงหรอโมเมนตของแรงคควบทไมทราบคา



ตวอยางท 5.1 จงเขยนผงวตถอสระของคานทรบแรงดงรปท 5.1 โดยก าหนดใหคานมมวลเทากบ m

รปท 5.1 ประกอบตวอยางท 5.1 วธท า ผงวตถอสระของคานทรบแรงแสดงดงรปท 5.2 พบวาทจดรองรบ A คานถกยดแนนไว ดงนน จงเกดแรงในแนวนอนและแนวตง คอ VF , และ สมมตใหเกดโมเมนตในทศทวนเขมนาฬกา M พรอมกนนเกดแรงเนองจากน าหนกของคานทจดกงกลางคานดวยขนาด mgW ในทนไดก าหนดแกน x และ แกน y เพอสะดวกในการค านวณ




ตวอยางท 5.2 จงเขยนผงวตถอสระของโครงถกทรบแรงดงรปท 5.3 โดยไมคดน าหนกเนองจากมวลของ โครงถก

รปท 5.3 ประกอบตวอยางท 5.2 วธท า ผงวตถอสระของโครงถกแสดงดงรปท 5.4 พบวา เมอไมคดน าหนกเนองจากมวลของโครงถก จงเขยนรปโครงถกเฉพาะภายนอกเทานน จดรองรบ A เปนแบบหมด จงมแรงในแนวนอนและแนวตงเปน xA และ yA ตามล าดบ สวนทจดรองรบ B เปนแบบลกกลงจงเกดแรงในแนวตงฉากกบจดรองรบเปน yB พรอมกนนไดก าหนดแกน x และ แกน y เพอใชในการค านวณ




5.2.3 สมการสมดล ในการพจารณาสมดลของวตถแขงเกรงในระบบ 2 มต จะไดสมการสมดลอยในรปดงน

0

0

0

o

y

x

M

F

F

(5.1)

โดยท xF และ yF แสดงถงผลรวมของแรงในแนวแกน x และ แกน y ทกระท ากบวตถ และ OM แสดงถงผลรวมของโมเมนตของแรงคควบและโมเมนตของแรงทงหมดทกระท ากบวตถในระนาบ xy และ หมนรอบจด O ตวอยางท 5.3 จงหาแรงปฏกรยาในแนวนอนและแนวตงทกระท ากบคานทจดรองรบ A และ B ดงรปท 5.5 โดยไมพจารณาน าหนกของคาน





ผงวตถอสระ พจารณาแรงทกระท ากบคานจากผงวตถอสระรปท 5.6 จะพบวาแรงขนาด N600 ไดแตกแรงออกเปนสวนประกอบในแนวแกน x และ แกน y เพอความสะดวกในการค านวณ

สมการสมดล หาแรง xB โดยการรวมแรงในแนวแกน x จะได

045cos600;0 xx BF

45cos600xB .424 AnsNBx หาแรง yA โดยการหาโมเมนตหมนรอบจด B โดยใหโมเมนตหมนทวนเขมนาฬกาเปนบวก จะได mmNM B 5)45sin600(2100;0 072.0)45cos600( mAm y

0)7(842121200 yA .319 AnsNAy หาแรง yB โดยการรวมแรงในแนวแกน y จะได NNFy

45sin600319;0 0200100 yBNN 0300424319 yB .405 AnsNBy ขอสงเกต สามารถตรวจสอบค าตอบไดโดยการหาโมเมนตหมนรอบจด A ใหโมเมนตทวนเขมนาฬกาเปนบวก จะได mNmNM A 245sin6002.045cos600;0 0772005100 mBmNmN y 07140050084884 mBy NBy 405 จะพบวาไดค าตอบเทากนทงสองวธ แสดงวาค าตอบทไดถกตองแลว



ตวอยางท 5.4 ชนสวนดงรปท 5.7 รองรบดวยหมดทจด A และวตถผวเรยบทจด B จงหาแรงปฏกรยาในแนวนอนและแนวตงฉากทจดรองรบ A


รปท 5.8 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 5.4 ผงวตถอสระ จากรปท 5.8 จะพบวา ทหมด A มแรงปฏกรยา xA และ yA สวนทจดรองรบ B

แรง BN จะอยในทศทางตงฉากกบชนสวน B สมการสมดล หาแรง BN โดยการใชโมเมนตหมนรอบจด A และใหโมเมนตทวนเขมนาฬกาเปนบวก 075.016090;0 mNmNmNM BA mNNm B 15075.0 .200 AnsNNB



หาแรง xA โดยการรวมแรงในแนวแกน x จะได

030sin200;0 NAF xx

.100 AnsNAx หาแรง yA โดยการรวมแรงในแนวแกน y จะได 06030cos200;0 NNAF yy

.233 AnsNAy ตวอยางท 5.5 จงหาแรงปฏกรยาในแนวนอนและแนวตงทจดรองรบ A และ แรงปฏกรยาในแนวตงฉากกบพนของจดรองรบ B เมอวตถรบแรงดงรปท 5.9





ผงวตถอสระ จากรปท 5.10 จะพบวาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A คอ xA และ yA สวนทจด

B จะเกดแรงปฏกรยาในแนวตงฉากกบพนเปน BN สมการสมดล หาแรง BN โดยใชโมเมนตหมนรอบจด A และใหโมเมนตทวนเขมนาฬกาเปนบวก จะได ftlbNftlbNM BBA 230sin630cos;0 03750 ftlb 0225012.5 BB NN

2.4

2250BN

.536 Anslb หาแรง xA โดยการรวมแรงในแนวแกน x จะได

030sin536;0

lbAF xx

.268 AnslbAx หาแรง yA โดยการรวมแรงในแนวแกน y จะได 075030cos536;0 lblbAF yy

0750464 lblbAy .286 AnslbAy ตวอยางท 5.6 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบของชนสวนรปท 5.11 เมอ collar ทจด A ถกตรงไวแนนและสามารถไถลไดเฉพาะในแนวตงตลอดความยาวของเพลา




รปท 5.12 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 5.6 วธท า ผงวตถอสระ จากรปท 5.12 จะพบวา แรงปฏกรยาทจดรองรบ A มเฉพาะแรง xA ในแนวนอน และโมเมนต AM สวนทจดรองรบ B เกดแรง BN ในแนวตงฉากกบลกกลง สมการสมดล หาแรง xA ไดจาก

.0;0 AnsAF xx

หาแรง BN ไดจาก 0900;0 NNF By .900 AnsNNB หาโมเมนต AM โดยการหาโมเมนตรวมรอบจด A และใหโมเมนตหมนทวนเขมนาฬกาเปนบวก จะได 045cos139005005.1900

mmNmNmNM A 0707.39005001350 mNmNmNM A mNM A 1486 แสดงวาโมเมนต AM ทเกดขนจรงเปนโมเมนตตามเขมนาฬกาและมขนาดเทากบ .49.11486 AnsmkNmNM A หรอ หาโมเมนต AM โดยการใหโมเมนตหมนรอบจด B และใหโมเมนตหมนทวนเขมนาฬกาเปนบวก จะได 050045cos15.1900 mNmmNM A

0500207.2900 mNM A mNM A 1486 แสดงวาโมเมนต AM ทเกดขนจรงเปนโมเมนตตามเขมนาฬกาและมขนาดเทากบ .49.11486 AnsmkNmNM A



แบบฝกหดตอนท 1 5.1 จงเขยนผงวตถอสระและหาแรงปฏกรยาในแนวนอนและแนวตงทจดรองรบ A และ แรงปฏกรยาทจด C เมอวตถรบแรงดงรปท 5.13

รปท 5.13 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.1 5.2 โครงถกระนาบดงรปท 5.14 รองรบดวยหมดทจด A และ ลกกลงทจด B จงเขยนผงวตถอสระและหาแรงปฏกรยาทจดรองรบทงสอง




5.3 จากรปท 5.15 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A เมอถกตรงไวกบพนอยางมนคงและไมคด ความหนาของคาน

รปท 5.15 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.3 5.4 จงเขยนผงวตถอสระและหาแรงปฏกรยาในแนวนอนและแนวตงทจดรองรบ A และ แรงดงในเสนเชอก BC ทใชในการพยงชนสวนดงรปท 5.16




5.5 คานรปตว I มวล 450 kg รองรบภาระดงรปท 5.17 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบทงสอง

รปท 5.17 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.5 5.6 โครงถกรองรบดวยหมดทจด C และ เคเบล AB ดงรปท 5.18 จงเขยนผงวตถอสระและหาแรงปฏกรยาทหมด C และ เคเบล AB




5.3 สมดลในระบบ 3 มต 5.3.1 ผงวตถอสระของวตถแขงเกรง ขนตอนแรกในการแกปญหาสมดลในระบบ 3 มต กคลายๆกบปญหาในระบบ 2 มต คอ การเขยนผงวตถอสระ ในตารางท 5.2 แสดงถงแรงปฏกรยาทเกดขนกบจดรองรบทแตกตางกนของวตถแขงเกรง ตารางท 5.2 แรงปฏกรยาทเกดขนกบจดรองรบแบบ 3 มตทแตกตางกน

จดรองรบ แรงปฏกรยา ตวแปรทไมทราบคา 1. เคเบล

2. จดรองรบผวเรยบ

3. ลกกลง

4. ขอตอแบบลกบอล

5. ขอตอแบบเจอนลแบรง

6. เจอนลแบรงทม เพลาสเหลยม

แรงจากเคเบลมทศทางออกจากเคเบล แรงปฏกรยาตงฉากกบผวสมผส

แรงปฏกรยาตงฉากกบผวสมผส

แรงปฏกรยาในแนว พกดฉาก 3 ทศทาง 4 ตวแปร คอ 2 แรงปฏกรยาและ 2 โมเมนตของแรงคควบในทศทางตงฉากกบเพลา 5 ตวแปร คอ 2 แรงปฏกรยาและ 3 โมเมนตของแรงคควบ



ตารางท 5.2 แรงปฏกรยาทเกดขนกบจดรองรบแบบ 3 มตทแตกตางกน (ตอ) จดรองรบ แรงปฏกรยา ตวแปรทไมทราบคา

7. ทรสตแบรง

8. ขอตอหมดผวเรยบ

9. บานพบ

10. จดรองรบยดแนน

5 ตวแปร คอ 3 แรงปฏกรยาและ 2 โมเมนตของแรงคควบ 5 ตวแปร คอ 3 แรงปฏกรยาและ 2 โมเมนตของแรงคควบ 5 ตวแปร คอ 3 แรงปฏกรยาและ 2 โมเมนตของแรงคควบ 6 ตวแปร คอ 3 แรงปฏกรยาและ 3 โมเมนตของแรงคควบ

(ทมา : Hibbeler. 2010 : 238) 5.3.2 สมการสมดล เงอนไขส าหรบใชในการแกปญหาสมดลในระบบ 3 มต เมอมแรงกระท ากบวตถ แขงเกรง สามารถเขยนใหอยในรปของเวกเตอรไดเปน

0

0

OM

F

(5.2)

โดยท 0F

คอ ผลรวมของแรงทกระท ากบวตถแขงเกรง 0OM

คอ ผลรวมโมเมนตของแรงคควบและโมเมนตของแรงทงหมดท กระท ากบวตถแขงเกรงรอบจด O ทอยบนวตถแขงเกรงหรอไม อยบนวตถแขงเกรง และสามารถเขยนสมการ (5.2) ใหอยในรปของเวกเตอรในพกดฉากของแตละแกนไดดงน 0kFjFiFF zyx



0kMjMiMM zyxO

พบวาเวกเตอร ji, และ k เปนอสระตอกน สามารถเขยนสมการใหอยในรปทสะดวกตอการค านวณไดเปน

0

0

0

z

y

x

F

F

F

(5.3)

และ

0

0

0

z

y

x

M

M

M

(5.4)

อาจกลาวไดวา สมดลของวตถแขงเกรงสามารถเกดขนไดเมอผลรวมของแรงและผลรวมของโมเมนตทกระท ากบวตถแขงเกรงมคาเทากบศนย



ตวอยางท 5.7 ปายโฆษณาขนาด m4.25.1 มน าหนกเทากบ N1200 และรองรบดวยขอตอแบบ ลกบอลทจด A และรองรบดวยเคเบลสองเสนดงรปท 5.19 จงหาแรงดงในเสนเชอกแตละเสนและแรงปฏกรยาทจดรองรบ A

รปท 5.19 ประกอบตวอยางท 5.7 วธท า ผงวตถอสระ รายละเอยดผงวตถอสระแสดงดงรปท 5.20 และสวนประกอบเวกเตอรของแรง

BDT และ ECT

สามารถเขยนใหอยในรปของแรงทไมทราบขนาด BDT และ ECT ตามขนตอนดงน

kmjmimDB

4.22.14.2 mBD 6.34.22.14.2

222 kmjmimCE

6.09.08.1

mEC 1.26.09.08.1222

ดงนน จะไดเวกเตอรของแรงเปน

6.3

4.22.14.2 kjiT

BD

DBTT BDBDBD

kjiTBD

3

2

3

1

3

2

1.2

6.09.08.1 kjiT

EC

CETT ECECEC



kjiTEC

7

2

7

3

7

6

รปท 5.20 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 5.7 สมการสมดล ในทนจะใชการวเคราะหแบบเวกเตอร จะได 01200;0 jNTTkAjAiAF ECBDzyx

0

7

2

3

2

12007

3

3

1

7

6

3

2

kTTA

jNTTAiTTA

ECBDz

ECBDyECBDx

1

และ 0FrM A

012002.1

7

2

7

3

7

68.1

3

2

3

1

3

24.2

jNim

kjiTimkjiTim ECBD

01440514.0771.06.18.0 kNjTkTjTkT ECECBDBD

รวมเทอมของเวกเตอรหนงหนวย 01440771.08.0514.06.1 kNTTjTT ECBDECBD

2



แกสมการโดยใหสมประสทธหนาเวกเตอรหนง j และ k

เทากบศนยในสมการ (2) จะไดสองสมการเพอใชในการหา BDT และ

ECT 0514.06.1 ECBD TT 3 01440771.08.0 NTT ECBD 4

ท าการคณสมการ (3) ดวย 771.0 จะได 0396.0234.1 ECBD TT 5 ท าการคณสมการ (4) ดวย 514.0 จะได 016.740396.0411.0 NTT ECBD 6 ท าการบวกสมการ (5) และ (6) จะได NTBD 16.740645.1 NTBD 450 .Ans แทนคา NTBD 450 ลงในสมการ (3) จะได 0514.04506.1 ECTN NTEC 8.1400 .Ans ในการหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A ท าไดโดยใหเทอมหนาสมประสทธเวกเตอรหนงหนวยเทากบศนย หลงจากนนแทนคา NTBD 450 และ NTEC 8.1400 ลงในสมการ (1) จะไดค าตอบเปน kNjNiNA

2.1007.4497.1500 .Ans



ตวอยางท 5.8 ถงใบหนงมน าหนก 75 lb ถกยดไวทจด A ดงรปท 5.21 จงหาแรงดงในเสนลวด AB และ AC เมอก าหนดใหจดรองรบเปนแบบลกบอลทจด O

รปท 5.21 ประกอบตวอยางท 5.8 วธท า ผงวตถอสระ รายละเอยดผงวตถอสระแสดงดงรปท 5.22




สมการสมดล ในทนจะใชการวเคราะหแบบเวกเตอร ดงนน จะได

AB

ABABAB

r

rFF

222362

362

ftftft

ftkjiFAB

7

362 ftkjiFAB

kFjFiF ABABAB7

3

7

6

7

2

และ

AC

AC

ACACr

rFF

222362

362

ftftft

ftkjiFAC

7

362 ftkjiFAC

kFjFiF ACACAC7

3

7

6

7

2

เพอความสะดวกโดยไมตองหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ O จงตองท าการหาโมเมนตหมนรอบจด O แทน จะได 0;0 WFFrM ACABAO

0757

3

7

6

7

2

7

3

7

6

7

26

kkFjFiFkFjFiFj ACACACABABAB

กระจายเทอมผลคณแบบเวกเตอร จะได

iFjkFjjFjiFj ACABABAB

7

26

7

36

7

66

7

26

07567

36

7

66

kjkFjjFj ACAC

ผลลพธของผลคณแบบเวกเตอร จะได 0)450(

7

18

7

12

7

18

7

12

iiFkFiFkF ACACABAB

07

12

7

12450

7

18

7

18

kFFiFF ACABACAB

จะได



04507

18

7

18;0 ACABx FFM (1)

00;0yM

07

12

7

12;0 ACABz FFM (2)

จดสมการ (2) จะได ACAB FF (3)

แทนคา ACAB FF ลงในสมการ (1) จะได

04507

18

7

18 ACAC FF

4507

36ACF

36

7450ACF

lbFAC 5.87 จะไดขนาดของแรงดงในเสนลวด AB และ AC เทากบ .5.87 AnslbFF ACAB ตวอยางท 5.9 แทง AB ดงรปท 5.23 มแรงขนาด 200 N กระท า จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบแบบลกบอลทจด A และ แรงดงในเคเบล BD และ BE




วธท า ผงวตถอสระ รปท 5.24 แสดงถงผงวตถอสระของแรงปฏกรยาทจด A และ B

รปท 5.24 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 5.9 สมการสมดล เขยนสมการของแตละแรงใหอยในรปเวกเตอรในพกดฉาก จะได kAjAiAF zyxA

iTT EE

jTT DD

NkF 200

จากสมการสมดล จะได 0;0 FTTFF DEA

0200 kjTiTkAjAiA DEzyx รวมเทอมของเวกเตอรหนงหนวย จะได 0;0 Exx TAF (1)

0;0 Dyy TAF (2)

0200;0 zz AF (3)

หาโมเมนตหมนรอบจด A จะได 0;0 DEBCA TTrFrM

เนองจาก BC rr

2

1 จะไดวา

0221200115.0 jTiTkjikkji DE กระจายผลลพธของแตละเทอม จะได



0221

221

200120012005.0

jTkjTjjTi

iTkiTjiTi

kkkjki

DDD

EEE

ผลลพธของผลคณแบบเวกเตอร จะได 0222200100 iTkTjTkTij DDEE

รวมเทอมของเวกเตอรหนงหนวย จะได 02002;0 Dx

TM (4)

02100;0 Ey TM (5)

02;0 EDz TTM (6)

ท าการแกสมการ ตามล าดบดงน จากสมการ (5) จะได .50 AnsNTE แทนคา NTE 50 ลงในสมการ (6) จะได .100 AnsNTD แทนคา NTE 50 ลงในสมการ (1) จะได .50 AnsNAx แทนคา NTD 100 ลงในสมการ (2) จะได AnsNAy 100 จากสมการ (3) จะได .200 AnsNAz ขอสงเกต เครองหมายลบ แสดงวา xA และ yA มทศทางตรงขามกบทแสดงในผงวตถอสระรปท 5.24



แบบฝกหดตอนท 2 5.7 จากรปท 5.25 จงเขยนผงวตถอสระและหาแรงดงในเสนเชอก ACAB, และ AD เมอกลองมมวลเทากบ kg50

รปท 5.25 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.7 5.8 แทงเหลกรบน าหนกทรงกระบอกเทากบ kg400 โดยถกยดไวดวยเคเบลจ านวนสามเสน ดงรปท 5.26 และทจดรองรบ O เปนแบบลกบอลอยในระนาบ yx จงหาแรงปฏกรยาท จดรองรบ O และแรงดงในเสนเชอกทงสาม




5.9 แทงกลมยาว m4.2 ถกรองรบทจด C ดวยลกบอลและเคเบล AD และ AE จงเขยนผงวตถอสระและหาแรงดงในเคเบลทรบแรงดงรปท 5.27

รปท 5.27 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.9 5.10 ทอนเหลกยาว m10 รบแรงขนาด kN4 ดงรปท 5.28 จงเขยนผงวตถอสระและหาแรงดงในเสนเชอกแตละเสนและแรงปฏกรยาทจดรองรบทเปนแบบลกบอลทจด A




5.11 แทงกลมยาว m12 รองรบแรงดงเคเบล CD ทอยในแนวระดบและรองรบดวยลกบอลทจด A และเคเบล BE และ BF ดงรปท 5.29 ก าหนดใหแรงดงในเคเบล CD เทากบ kN14 และขนานกบแนวแกน x )0( จงหาแรงดงในเคเบล BE และ BF พรอมทงแรงปฏกรยาทจดรองรบ A

รปท 5.29 ประกอบแบบฝกหดขอท 5.11 5.12 ถาไมพจารณามวลของแทงกลมเมอเปรยบเทยบกบน าหนกขนาด kN30 ทรองรบ ดงรปท 5.30 จงหาแรงดงในเคเบล 1T และ 2T พรอมทงหาแรงปฏกรยาทรองรบดวยลกบอล ทจด A




บทสรป 1) หวใจส าคญส าหรบการแกปญหาสมดลของวตถแขงเกรงคอการเขยนผงวตถอสระ 2) สมการสมดลของวตถแขงเกรงในระบบ 2 มต เขยนอยในรปของเวกเตอรไดเปน 0F

และ 0OM หรอ เขยนอยในรปแบบสเกลารไดเปน

0,0,0 oyx MFF 3) สมการสมดลของวตถแขงเกรงในระบบ 3 มต เขยนอยในรปของเวกเตอรไดเปน 0F

และ 0OM หรอ เขยนอยในรปแบบสเกลารไดเปน

0,0,0 zyx FFF และ 0,0,0 zyx MMM



แบบทดสอบบทท 5 5.1 เครนถกรองรบทจด C ดวยหมด และเชอก AB ดงรปท 5.31 ถาภาระทเครนรองรบมมวล 200 kg และอยทต าแหนง G จงหาแรงในเชอก AB และแรงปฏกรยาทจดรองรบ C เมอก าหนดใหระยะ x=5 m.

รปท 5.31 ประกอบแบบทดสอบขอท 5.1 5.2 เครนมมวล 1000 kg และยกน าหนกมวล 2400 kg โดยใชหมดยดทจด A และ ยดดวยลกกลงทจด B ก าหนดใหจดศนยกลางของเครนอยทจด G ดงรปท 5.32 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบทงสอง




5.3 จงหาคาของระยะ a ทท าใหแรงปฏกรยาทจด B มคาเทากบ N800 พรอมทงหาแรงปฏกรยาทจด A ของวตถดงรปท 5.33

รปท 5.33 ประกอบแบบทดสอบขอท 5.3 5.4 ถาไมคดแรงเสยดทานของ Pulley ทจด B ดงรปท 5.34 จงหาแรงดงในเสนเชอก ABD และ แรงปฏกรยาทจด C เมอรองรบดวยหมด ก าหนดให 40




5.5 แทงกลมยาว m6 ทต าแหนงปลายมแรงขนาด N455 กระท าดงรปท 5.35 ถกรองรบดวย ลกบอลทจด A และ เคเบล BD และ BE จงหาแรงดงในเคเบลแตละเสนและแรงปฏกรยาทจดรองรบ A

รปท 5.35 ประกอบแบบทดสอบขอท 5.5 5.6 ทอกลมยาว m2.1 รบแรงขนาด kN6.1 รองรบดวยลกบอลทจด C และเคเบลสามเสน

AEAD, และ BF ดงรปท 5.36 จงหาขนาดของแรงดงในเคเบลแตละเสนและแรงปฏกรยาทจดรองรบ C









การวเคราะหโครงสราง


6.1 บทน า 6.2 โครงถกระนาบอยางงาย

6.2.1 ขอก าหนดการออกแบบโครงถก

6.2.2 โครงถกอยางงาย

6.3 วธการหาแรงในชนสวนโครงสราง 6.3.1 วธแบบจด

6.3.2 วธแบบภาคตด


6.4 โครงกรอบและเครองมอกล

6.4.1 นยาม

6.4.2 ผงวตถอสระ

6.4.3 ขนตอนการหาแรงในโครงกรอบและเครองมอกล



เมอเรยนจบบทนแลว ผเรยนควรมความรและทกษะดงน 1. สามารถหาแรงในชนสวนของโครงถกดวยวธแบบจดได 2. สามารถหาแรงในชนสวนของโครงถกดวยวธแบบภาคตดได 3. สามารถหาแรงทกระท าในโครงกรอบและเครองมอกลได วธสอนและกจกรรมการเรยนการสอน

1. ผสอนน าเขาสบทเรยนโดยการสอบถามถงความรเบองตนเกยวกบโครงสราง 2. เฉลยความรเบองตนเกยวกบโครงสรางและเขาสเนอหา







1. เอกสารประกอบการสอนวชาสถตยศาสตร บทท 6 เรอง การวเคราะหโครงสราง 2. โปรแกรม Microsoft Word ใชประกอบการบรรยายเนอหา












บทท 6 การวเคราะหโครงสราง 181


บทท 6 การวเคราะหโครงสราง

6.1 บทน า ในบทนกลาวถงโครงถก (truss) และ โครงถกอยางงาย (simple truss) อนเปนชนสวนพนฐานทประกอบอยในโครงหลงคาหรอโครงสะพาน กลาวถงวธการหาแรงในโครงถกทนยมใชในการวเคราะหแรงในโครงสราง ประกอบดวยวธแบบจด และ วธแบบภาคตด โดยทวธแบบจดนยมใชเมอตองการหาแรงในทกชนสวนของโครงสราง สวนวธแบบภาคตดนยมใชเมอตองการหาแรงในชนสวนใดชนสวนหนงของโครงสราง นอกจากนยงไดกลาวถงโครงกรอบและเครองมอกล (frame and machine) ประกอบดวยชนสวนทรบแรงหลายแรง (multiforce members) รวมทงไดแสดงถงตวอยางของวธการหาแรงในโครงกรอบและเครองมอกล

6.2 โครงถกระนาบอยางงาย โครงถก (truss) เปนชนสวนของโครงสรางมลกษณะเปนชนสวนบางๆทประกอบเขาดวยกนทจดปลายของแตละชนสวน ชนสวนเหลานโดยทวไปจะเปนชนไมหรอแทงเหลก ซงโครงถกระนาบ (planar truss) จะเปนโครงถกทวางอยในระนาบเดยวและโดยทวไปจะใชเปนโครงหลงคาและสะพาน โครงถกทแสดงดงรปท 6.1(ก) เปนโครงถกทใชในโครงหลงคา พบวานาหนกของหลงคาจะกระจายไปยงโครงถกเปนจดหรอขอตอของหลงคา เนองจากนาหนกของหลงคาจะกระจายอยในระนาบเดยวกนดงรปท 6.1(ข) การวเคราะหถงแรงทกระทาในชนสวนโครงถกจงวเคราะหแบบ 2 มต

(ก) (ข) โครงถกของโครงสรางหลงคา การวเคราะหแรง 2 มต

รปท 6.1 โครงสรางหลงคา (ทมา : http://www.plakard.com/id-4de76f60e216a73304000050.html) ในกรณของโครงถกทใชทาโครงสะพานแสดงดงรปท 6.2(ก) พบวา นาหนกของสะพานจะถายเทมายงคานตามยาว หลงจากนน จะถายเทผานมายงคานตามขวางและ สดทายกจะถกถายเทไป



ยงจดเชอมตอของโครงถกแตละค คลายๆกบการวเคราะหโครงหลงคาคอแรงจะกระจายในระนาบแสดงดงรปท 6.2(ข) เมอโครงสะพานหรอโครงหลงคาทมความยาวมากจะรองรบปลายดานหนงไวดวย ลกกลง (roller) เพอรองรบการขยายตวของชนสวนอนเนองมาจากอณหภมหรอการรบนาหนก

(ก) โครงถกของโครงสรางสะพาน

(ข) การวเคราะหแรง 2 มต

รปท 6.2 โครงสรางสะพาน (ทมา : http://portal.rotfaithai.com/modules.php?name=Forums&file= viewtopic&t=1293) สาหรบตวอยางของโครงถกทมการใชงานแสดงดงรปท 6.3



รปท 6.3 โครงถกทมการใชงานในปจจบน (ทมา : วระศกด และคณะ 2551 : 109) 6.2.1 ขอก าหนดการออกแบบโครงถก ในการออกแบบชนสวนโครงถกและจดเชอมตอ มความจาเปนตองหาแรงทกระทาในแตละชนสวนเมอโครงถกรบแรง ในการนไดมขอกาหนด 2 ขอดงน 1) แรงทงหมดกระท าทจดเชอมตอของชนสวน ทงโครงสะพานและโครงหลงคาขอกาหนดนใชไดจรง เนองจากนาหนกของชนสวนโครงถกจะนอยมากเมอเทยบกบนาหนกทโครงถกตองรบเอาไว 2) ชนสวนเชอมตอกนดวยหมดผวเรยบ ขอตอทมการเชอมตอดวยหมดทปลายดานหนงเขากบแผนเหลก ดงรปท 6.4(ก) หรอ เชอมตอกนดวยหมดขนาดใหญหรอหมดระหวางชนสวนเหลานน ดงรปท 6.4(ข) ซงจะใหขอกาหนดทวาการเชอมตอเหลานเปนการเชอมตอกนดวยหมดเพอใหถอไดวามแรงกระทาผานจดศนยกลางจดเดยวกน



(ก) การเชอมตอหมดกบแผนเหลก (ข) การเชอมตอดวยหมดขนาดใหญ รปท 6.4 จดเชอมตอดวยหมดของโครงถก

จากขอกาหนดทง 2 ขอขางตน พบวาแตละชนสวนของโครงถกจะเปนชนสวนรบแรงสองแรง (two force member) หมายความวาแรงทกระทาผานจดปลายของชนสวนจะเปนแรงชนดเดยวกนตลอดชนสวนนน ตวอยางเชน ถาชนสวนรบแรงแลวมความยาวเพมขน (elongate) แสดงวาตลอดชนสวนนนจะรบแรงดง (tensile force, T ) ดงรปท 6.5(ก) ตรงกนขาม หากชนสวนนนรบแรงแลวมความยาวลดลง (shorten) แสดงวาตลอดชนสวนนนจะรบแรงกด (compressive force, C ) ดงรปท 6.5(ข) ในการออกแบบโครงถกจะพจารณาถงวาชนสวนจะรบแรงกดหรอแรงดงเปนหลก เพราะหากชนสวนรบแรงกดจะถกออกแบบใหมความหนามากกวาชนสวนทรบแรงดง เนองจากจะเกดการโกงงอไดเมอชนสวนถกแรงกด

รปท 6.5 ชนสวนของโครงถกทรบแรงสองแรง



6.2.2 โครงถกอยางงาย เมอชนสวนสามชนถกเชอมตอดวยหมดทตาแหนงจดปลายทงสามจะไดโครงถกทเรยกวา โครงถกแบบสามเหลยม (triangular truss) ซงถอไดวาเปนโครงถกทมความแขงเกรง (rigid frame) ดงรปท 6.6(ก) เมอประกอบชนสวนเพมเตมเขาไปทตาแหนง D ทาใหไดโครงถกทมขนาดใหญขน ดงรปท 6.6(ข) โดยสามารถเพมชนสวนจนทาใหโครงถกมขนาดใหญมากขนไดอยางนไปเรอยๆ ถาโครงถกถกขยายขนาดโดยเรมจากโครงถกสามเหลยมพนฐาน (basic triangular truss) ในลกษณะขางตน โครงถกทไดจะถกเรยกวา โครงถกอยางงาย (simple truss)

รปท 6.6 โครงถกอยางงาย

6.3 วธการหาแรงในชนสวนโครงสราง 6.3.1 วธแบบจด ในการวเคราะหหรอออกแบบโครงถก มความจาเปนอยางยงทจะตองทาการหาแรงในแตละชนสวนของโครงถก สาหรบวธทใชในการหาแรงในชนสวนของโครงถกวธหนงคอ วธแบบจด (method of joint) ซงเปนวธทใชเมอโครงถกอยในสภาวะสมดล สงผลใหจดตอแตละจดอยในสภาวะสมดลไปดวย ดงนน เมอเขยนผงวตถอสระของแตละจดตอเสรจแลว หลงจากนนกใชสมการสมดลของแรงเพอหาแรงทกระทาในแตละจดตอได เพราะวาชนสวนของโครงถกจะเปนชนสวนทรบแรงสองแรงตลอดชนสวน ดงนน จงสามารถใชสมการสมดล 0xF และ 0yF ในการหาแรงภายในของแตละชนสวนได ตวอยางการหาแรงในชนสวนโครงถก พจารณาหมดทจด B ของโครงถก ดงรปท 6.7(ก) ซงมแรง 3 แรงกระทาทหมดนคอ แรงขนาด N500 และแรงในชนสวน BA และ BC สวนผงวตถอสระของหมด B แสดงดงรปท 6.7(ข) พบวา BAF ดงออกจากหมดน หมายความวา ชนสวน BA รบแรงดง ในขณะท BCF กดเขาไปยงหมดน หมายความวา ชนสวน BC รบแรงกด ผลทเกดขนแสดงใหชดเจนดวยการแยกจดของหมดพรอมชนสวนขนาดเลกทเชอมตออยกบหมด แสดงดงรปท 6.7(ค) การถกกดหรอถกดงทแสดงยงชนสวนขนาดเลกเนองจากชนสวนนนรบแรงกดหรอแรงดง



(ข) ผงวตถอสระทจด B (ค) ผงวตถอสระพรอมหมดทจด B รปท 6.7 การหาแรงในโครงถกดวยวธแบบจด

เมอใชวธแบบจดหาแรงในชนสวนของโครงถก สามารถเรมตนไดจากจดตอททราบคาของแรงอยางนอยหนงแรง และ แรงทไมทราบคามากทสดสองแรง ดงรปท 6.7(ข) ซงสามารถประยกตใชสมการสมดล 0xF และ 0yF เปนสองสมการและมตวแปรทไมทราบคาอยสองตวแปร คาตอบจากสองสมการทไดน สามารถตรวจสอบคาของแรงทไมทราบขนาดและทศทางได ดงน โดยทวไป แรงทไมทราบขนาดและทศทางจะใชการสมมตในการคานวณ กลาวคอ เมอผลลพธทไดมคาเปนบวกแสดงวาทศทางทสมมตตามผงวตถอสระนนถกตองแลว แตหากผลลพธทได มคาเปนลบแสดงวาทศทางทถกตองจะมทศทางตรงขามกบผงวตถอสระ หลงจากไดทศทางทถกตองแลว นยมเขยนตวอกษรยอไวเพอแสดงถงชนดของแรงทกระทากบชนสวนในโครงถก เชน แรงดงใชตวอกษรยอเปน T และ แรงกดนยมใชตวอกษรยอเปน C



ตวอยางท 6.1 จงหาแรงภายในแตละชนสวนของโครงถกดงรปท 6.8 โดยใหแสดงวาชนสวนไหนรบแรงดงหรอแรงกด


(ก) ผงวตถอสระทจด B (ข) ผงวตถอสระทจด C (ค) ผงวตถอสระทจด A รปท 6.9 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 6.1 เพราะวาจะสามารถหาแรงภายในของชนสวนถกทจดเชอมตอได ตองเรมจากจดทมแรง ไมทราบขนาดและทศทางไมเกนสองคาและทราบขนาดและทศทางอยางนอยหนงคา ดงนน สามารถเรมตนหาแรงไดทจด B จด B ผงวตถอสระของจด B แสดงดงรปท 6.9 (ก) โดยสมมตให BAF เปนแรงดง และ BCF เปนแรงกด สามารถหาแรงไดจากสมการสมดล 045sin500;0

BCx FNF .)(1.707 AnsCNFBC



045cos;0 BABCy FFF

045cos)1.707( BAFN

.500 AnsTNFBA เนองจากทราบขนาดและทศทางของแรงในชนสวน BC แลว ดงนน จงสามารถหาแรงในชนสวน CA ดวยการคานวณทจด C และหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ จด C ผงวตถอสระแสดงดงรปท 6.9 (ข) โดยให CAF เปนแรงดง และ yC เปนแรงกด

045cos)1.707(;0 CAx FNF

.500 AnsTNFCA 045sin)1.707(;0

NCF yy .500 AnsNCy จด A สามารถหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A ดวยการใชผลลพธของแรง CAF และแรง BAF จากผงวตถอสระรปท 6.9 (ค) จะได

0500;0 xx ANF NAx 500 0500;0 yy ANF NAy 500

ขอสงเกต ผลลพธจากการคานวณแรงทงหมดแสดงดงรปท 6.10 พบวา ผงวตถอสระแตละจดไดแสดงถงชนสวนและแรงภายนอกทกระทากบชนสวนนน โดยทแตละชนสวนไดแสดงเฉพาะแรงทตาแหนงจดปลายเทานน



รปท 6.10 ผลลพธของแรงทงหมดทกระทากบชนสวนของตวอยางท 6.1 ตวอยางท 6.2 จงหาแรงในแตละชนสวนของโครงถกดงรปท 6.11




วธท า

(ก) ผงวตถอสระตลอดโครงถก

(ข) ผงวตถอสระจด A (ค) ผงวตถอสระจด D (ง) ผงวตถอสระจด C รปท 6.12 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 6.2 หาแรงปฏกรยาทจดรองรบ จากรปท 6.11 พบวาไมสามารถหาแรงภายในชนสวนทจดใดๆไดเพราะวาแตละจดมแรงทไมทราบคาเกนสองแรง จงจาเปนตองหาแรงปฏกรยาทจดรองรบเสยกอน โดยผงวตถอสระตลอดโครงถกแสดงดงรปท 6.12 (ก) จากสมการสมดล จะไดวา

0600;0 xx CNF NCx 600 0646003400;0 mAmNmNM yC NAy 600 0400600;0 yy CNNF NCy 200 สาหรบการหาแรงในชนสวนสามารถเรมตนหาไดจากจด A เนองจากมหนงแรงททราบคาและสองแรงทไมทราบขนาดและทศทาง



จด A จากผงวตถอสระรปท 6.12 (ข) ABF ถกสมมตใหรบแรงกด และ ADF ถกสมมตใหรบแรงดง จากสมการสมดล จะได 0

5

4600;0

ABy FNF

.750 AnsCNFAB

05

3750;0 NFF ADx

.450 AnsTNFAD จด D ผงวตถอสระดงรปท 6.12 (ค) เนองจากทราบคา ADF ซงรบแรงดง และหาผลรวมของแรงในแนวนอน จะได

05

3450600;0 DBx FNNF

NFDB 250 เครองหมายลบ แสดงวา กระทาในทศทางตรงขามกบผงวตถอสระ จะไดวา .250 AnsTNFDB ในการหา DCF สามารถทาไดโดยการใชทศทางทถกตองของ DBF ในผงวตถอสระ แลวใชสมการ 0yF หรอ ใชสมการนไดเลยและใหคงเครองหมายลบของแรง DBF ดงเดม

05

4250;0

NFF DCy

.200 AnsCNFDC จด C ผงวตถอสระแสดงดงรปท 6.12 (ง) ใชสมการสมดล จะได

0600;0 NFF CBx .600 AnsCNFCB 0200200;0 NNFy จากการตรวจสอบแรงในแนวแกน y เทากบศนยจรง แสดงวา แรงทคานวณมาทงขนาดและทศทางถกตองแลว ของฝากเพอทบทวนความเขาใจยงขน คอ ใหนกศกษาทาการวาดรปประกอบผลลพธของแรงทงหมดทกระทากบชนสวนของตวอยางท 6.2 ซงจะมลกษณะคลายกบตวอยางท 6.1



6.3.2 วธแบบภาคตด เมอมความจาเปนจะตองคานวณหาแรงในบางชนสวนของโครงถก สามารถหาแรงในโครงถกไดโดยใชวธแบบภาคตด (method of sections) ซงอาศยพนฐานทวา ถาโครงถกอยในสภาวะสมดลแลวชนสวนใดๆจะอยในสภาวะสมดลดวย วธแบบภาคตดจะใช “การตด” หรอ “ภาคตด”ชนสวนใดๆของโครงถกทสนใจหาแรงภายในออกเปน 2 สวน หลงจากนน จะใชสมการสมดลในการหาแรงภายในของชนสวนทถกตดออกมาดานใดดานหน ง เนองจากมสมการสาหรบหาแรงภายในอย เพยง 3 สมการ คอ 0,0 yx FF และ 0OM ทจะใชในการหาแรงภายในของภาคตดใดๆ ดงนน จงควรเลอกภาคตดทมชนสวนทไมทราบขนาดและทศทางของแรงไมเกน 3 ชนสวน ตวอยางเชน พจารณาโครงถกดงรปท 6.13(ก) ถาตองการหาแรงในชนสวน BC, GC และ GF ซงภาคตด aa เหมาะสมทสดในการหาแรง ซงผงวตถอสระของทงสองภาคตดแสดงดงรปท 6.13(ข) และ (ค) ตามลาดบ โดยสมมตใหแรงแตละชนสวนกระทาไปตามแนวของชนสวนในโครงถกนนๆ ดงนน แรงในชนสวนเดยวกนจะมขนาดเทากนแตมทศทางตรงกนขามเมออยคนละภาคตดซงเปนไปตามกฎ ขอทสามของนวตน ชนสวน BC และ GC ถกสมมตใหรบแรงดง และ ชนสวน GF ถกสมมต ใหรบแรงกด แรงในชนสวนทไมทราบขนาดและทศทาง GCBC FF , และ GFF หาไดโดยใชสมการสมดล 3 สมการ ตามผงวตถอสระรปท 6.13(ข) อยาไรกตาม ถาใชผงวตถอสระดงรปท 6.13(ค) แรงปฏกรยาทจดรองรบ yx DD , และ xE จะตองทราบเสยกอน เพราะวาสมการสมดลใชไดเพยง 3

สมการเทานน เมอใชสมการสมดลในการหาแรงจงควรพจารณาทจะใชเพอหาคาตอบไดดวยวธตรง (direct solution) สาหรบชนสวนทไมทราบแรง ตวอยางเชน พจารณาโครงถกภาคตด ดงรปท 6.13(ข) และหาโมเมนตหมนรอบจด C จะทาใหไดคาตอบโดยตรงของ GFF เนองจาก BCF และ GCF เกดโมเมนตเปนศนยหมนรอบจด C เชนเดยวกน BCF หาไดโดยตรงดวยการหาโมเมนตหมนรอบจด G สดทาย GCF หาไดโดยตรงดวยการรวมแรงในแนวตง เนองจาก BCF และ GFF ไมไดอยในทศทางในแนวตง การหาแรงไดโดยตรงจงเปนขอไดเปรยบหลก (main advantage) ของวธแบบภาคตด



(ก) เลอกภาคตดผานชนสวนทตองการหาแรง

(ข) ผงวตถอสระดานซายของภาคตดทเลอก

(ค) ผงวตถอสระดานขวาของภาคตดทเลอก

รปท 6.13 ขนตอนการหาแรงดวยวธแบบภาคตด



ตวอยางท 6.3 จงหาแรงในชนสวน GE, GC และ BC ของโครงถกทตดผานระนาบ a-a ดงรปท 6.14







ภาคตด aa ดงรปท 6.14 ถกเลอกเนองจากตดผานชนสวนทตองการหาแรงภายใน เพอทจะหาแรงโดยการใชวธภาคตด ในลาดบแรกจาเปนตองหาแรงปฏกรยาภายนอกทจด A หรอ D เนองจากจาเปนตองนาไปใชในการคานวณเมอเลอกใชภาคตดดานซายหรอดานขวา ของภาคตด aa ตามลาดบ ผงวตถอสระดงรปท 6.15 (ก) แสดงแรงปฏกรยาทจดรองรบทงสอง อาศยสมการสมดล จะได

0400;0 xx ANF NAx 400 034008120012;0 mNmNmDM yA NDy 900 09001200;0 NNAF yy NAy 300 ผงวตถอสระ สาหรบการวเคราะหหาแรงจะใชผงวตถอสระภาคตดดานซาย เนองจากมแรงกระทานอยกวาภาคตดดานขวา ดงรปท 6.15 (ข) สมการสมดล หาโมเมนตรอบจด G สวนแรง GEF และ GCF ไมทาใหเกดโมเมนตรอบจด G

และทาใหไดแรง BCF ไดโดยตรง จะไดวา 0340043003;0 mNmNmFM BCG .800 AnsTNFBC หาโมเมนตหมนรอบจด C จะทาใหไดแรง GEF โดยตรง 083003;0 mNmFM GEC .800 AnsCNFGE เนองจากแรง BCF และ GEF ไมมสวนประกอบในแนวตง ดงนน รวมแรงในแนวแกน y จะไดแรง GCF โดยตรง

05

3300;0

GCy FNF

.500 AnsTNFGC



ตวอยางท 6.4 จงหาแรงในชนสวน EF และ GI ของโครงถกดงรปท 6.16






(ข) แรงปฏกรยาทจดรองรบหลงคานวณ

(ค) ภาคตดดานซายทเลอก (ง) ภาคตดดานขาวทเลอก รปท 6.17 (ตอ) ผงวตถอสระ เพอหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ B และ J แสดงดงผงวตถอสระรปท 6.17 (ก) จากสมการสมดล จะได ftkipsftJM B 82832;0 010162428 ftkipsftkips kipsJ 33 kipsJ 33

016;0 xx BkipsF kipsBx 16 kipsBx 16 0282833;0 kipskipskipsBF yy kipsBy 23 kipsBy 23



ผงวตถอสระของแรงปฏกรยาทจดรองรบทถกตองทงขนาดและทศทางแสดงดงรปท 6.17 (ข) หาแรงในชนสวน EF ภาคตด nn ถกนามาพจารณาเพราะตดผานชนสวน EF และชนสวนทไมทราบแรงอกสองชนสวน หลงจากนน เลอกภาคตดทางดานซายมาใชในการคานวณหาแรงในชนสวน EF ดงรปท 6.17 (ค) และมแรงทไมทราบขนาดและทศทางสามแรง หาแรงในชนสวน EF โดยการรวมแรงในแนวตง จะได 02823;0 EFy FkipskipsF kipsFEF 5 เครองหมายลบแสดงวา EFF มทศทางตรงขามกบรปท 6.17 (ค) ดงนน EFF จงเปนแรงกด .5 AnsCkipsFEF หาแรงในชนสวน GI ภาคตด mm จากรปท 6.17 (ข) ถกนามาพจารณาเพราะตดผานชนสวน GI และชนสวนทไมทราบแรงอกสองชนสวน หลงจากนน เลอกภาคตดทางดานขวามาใชในการคานวณหาแรงในชนสวน GI ดงรปท 6.17 (ง) และมแรงทไมทราบขนาดและทศทางสามแรง หาแรงในชนสวน GI โดยการหาโมเมนตหมนรอบจด H จะได 0101683310;0 ftkipsftkipsftFM GIH

kipsFGI 4.10 .4.10 AnsCkipsFGI



แบบฝกหดตอนท 1 6.1 จงหาแรงภายในของทกชนสวนของโครงถกดงรปท 6.18 และใหระบดวยวาชนสวนไหนรบ แรงดงหรอแรงกด

รปท 6.18 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.1 6.2 จงหาแรงภายในของทกชนสวนของโครงถกดงรปท 6.19 และใหระบดวยวาชนสวนไหนรบแรงดงหรอแรงกด

รปท 6.19 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.2 6.3 จงหาแรงภายในของชนสวน AB และ AE ของโครงถกดงรปท 6.20 และใหระบดวยวาชนสวนไหนรบแรงดงหรอแรงกด




6.4 จงหาแรงภายในของชนสวน CE, BE และ BD ของโครงถกดงรปท 6.21 และใหระบดวยวาชนสวนไหนรบแรงดงหรอแรงกด


6.5 จงหาแรงภายในของชนสวน DG และ FH ของโครงถกดงรปท 6.22 (แนะนาใหใชภาคตด aa )

รปท 6.22 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.5 6.6 จงหาแรงภายในของแตละชนสวนของโครงถกดงรปท 6.23 และใหระบดวยวาชนสวนไหนรบแรงดงหรอแรงกด เมอกาหนดให kNP 21 และ kNP 5.12




6.7 จงหาแรงภายในของทกชนสวนของโครงถกดงรปท 6.24 และใหระบดวยวาชนสวนไหนรบแรงดงหรอแรงกด

รปท 6.24 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.7 6.8 จงหาแรงภายในของชนสวน BC, CF และ FE ของโครงถกดงรปท 6.25 และใหระบดวยวาชนสวนไหนรบแรงดงหรอแรงกด

รปท 6.25 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.8 6.9 จงหาแรงภายในของชนสวน BC, HC และ HG ของโครงถกดงรปท 6.26 และใหระบดวยวาชนสวนไหนรบแรงดงหรอแรงกด




6.4 โครงกรอบและเครองมอกล 6.4.1 นยาม

โครงกรอบและเครองมอกลเปนสองชนดของโครงสรางทชนสวนมการรบแรงหลายแรง โดยท โครงกรอบ (frame) เปนโครงสรางทถกออกแบบมาเพอการรบแรงและไมสามารถเคลอนทได ในขณะท เครองมอกล (machines) เปนโครงสรางทชนสวนสามารถเคลอนทไดและถกออกแบบมาเพอการสงถายแรงหรอโมเมนตของแรงคควบ 6.4.2 ผงวตถอสระ ในการหาแรงกระทาทขอตอและจดรองรบของโครงกรอบและเครองมอกล ตองทาการแยกชนสวนของโครงกรอบและเครองมอกลนนออกจากกน แลวทาการเขยนผงวตถอสระของแตละชนสวน โดยยดหลกการทสาคญดงน 1) แยกแตละชนสวนดวยการเขยนภาพรวมของชนสวน หลงจากนน ใหแสดงถงแรงและ/หรอ โมเมนตของแรงคควบทกระทากบชนสวนนน ทงทเปนแรงหรอโมเมนตของแรงคควบททราบและไมทราบขนาดและทศทาง โดยใหแยกไปตามแกน x และ แกน y ในระบบพกดฉาก แลวใชสมการสมดลเพอหาแรงและโมเมนตทไมทราบขนาดและทศทาง 2) ระบชนสวนทรบแรงสองแรงทงหมดของโครงสรางและแสดงผงวตถอสระของชนสวนทรบแรงสองแรงโดยมขนาดเทากนแตทศทางตรงกนขาม จากการพจารณาชนสวนรบแรงสองแรง สามารถหลกเลยงการแกปญหาดวยสมการสมดลทไมมความจาเปนได 3) แรงทกระทากบชนสวนคหนงๆจะมขนาดเทากนแตมทศทางตรงกนขาม 6.4.3 ขนตอนการหาแรงในโครงกรอบและเครองมอกล แรงปฏกรยาทเกดขนกบขอตอในโครงกรอบและเครองมอกลประกอบดวยชนสวนทรบแรงหลายแรง หาไดจากขนตอนดงน เขยนผงวตถอสระ 1) เขยนผงวตถอสระของโครงกรอบหรอเครองมอกล อาจจะเปนสวนใดสวนหนง หรอ ชนสวนแตละชนสวนกได โดยใหตรงกบคาตอบของปญหาใหมากทสด

2) เมอเขยนผงวตถอสระของกลมชนสวนของโครงกรอบหรอเครองมอกลแลวแรงทอยระหวางชนสวนทตดกนเหลานจะเปนแรงภายในและไมไดแสดงไวในผงวตถอสระเหลานดวย 3) แรงทอยในชนสวนคหนงๆจะมขนาดเทากนแตทศทางตรงกนขามทแสดงไวในผงวตถอสระของชนสวน 4) ชนสวนทรบแรงสองแรง โดยไมขนกบรปรางของชนสวน จะมขนาดของแรงเทากนแตมทศทางตรงกนขามเมอกระทาทจดปลายของชนสวนใดๆ 5) ในหลายกรณ สามารถระบทศทางของแรงทไมทราบขนาดทกระทากบชนสวนไดดวยการตรวจสอบทศทางทกระทากบชนสวน อยางไรกตาม หากการตรวจสอบทาไดยากสามารถใชการสมมตแทนได 6) จาไวเสมอวาโมเมนตของแรงคควบเปนเวกเตอรอสระ (free vector) และสามารถกระทาทจดใดๆของผงวตถอสระได ดงนน แรงซงเปนเวกเตอรแบบเลอนท (sliding vector) และ สามารถกระทาทจดใดๆในทศทางของแรงกได



สมการสมดล 1) นบจานวนของแรงทไมทราบขนาดและทศทาง แลวทาการเปรยบเทยบกบจานวนสมการสมดลทสามารถใชได โดยในระบบ 2 มต ม 3 สมการสมดลทสามารถใชไดในแตละชนสวน คอ 0,0 yx FF และ 0OM 2) รวมโมเมนตหมนรอบจดๆหนงทเปนจดเชอมตอของแนวกระทาของแรงทไมทราบขนาดและทศทางทเปนไปได 3) ถาคาตอบขนาดของแรงหรอโมเมนตของแรงคควบทไดมคาเปนลบ แสดงวา แรงหรอโมเมนตของแรงคควบจะมทศทางตรงขามกบทแสดงในผงวตถอสระ



ตวอยางท 6.5 จงหาสวนประกอบในแนวนอนและแนวตงของแรงทกระทาทหมด C ของชนสวน BC ของโครงกรอบดงรปท 6.27


(ก) ผงวตถอสระเมอพจารณาชนสวนรบแรงสองแรง

(ข) ผงวตถอสระเมอไมพจารณาชนสวนรบแรงสองแรง




แบบท 1 ผงวตถอสระ จากการตรวจสอบ พบวา ชนสวน AB เปนชนสวนทรบแรงสองแรง ซงผงวตถอสระแสดงดงรปท 6.28 (ก) สมการสมดล พบวา ชนสวน BC มแรงทไมทราบขนาดและทศทางอย 3 แรง คอ

xAB CF , และ yC โดยการใชสมการสมดล 3 สมการ จะได 0460sin22000;0 mFmNM ABC

mmNFAB 460sin/22000 NFAB 7.1154

060cos7.1154;0 xx CNF

.577 AnsNCx 0200060sin7.1154;0 yy CNNF

.1000 AnsNCy แบบท 2 ผงวตถอสระ เมอไมพจารณาวาชนสวน AB เปนชนสวนทรบแรงสองแรง การแกปญหากจะมความยงยากพอสมควร สาหรบผงวตถอสระแสดงดงรปท 6.28 (ข) สมการสมดล มตวแปรทไมทราบคาอย 6 ตวแปร สามารถแกไดโดยการใชสมการสมดลทง 3 สมการในแตละชนสวน พจารณาชนสวน AB จะได 060cos360sin3;0 mBmBM yxA

(1)

0;0

xxxBAF

xx BA (2)

0;0 yyyBAF

yy BA (3)

พจารณาชนสวน BC จะได 0422000;0 mBmNM yC NBy 1000 (4)

0;0

xxx CBF

xx CB (5)

02000;0 yyy CNBF

yy BNC 2000 (6)

แทนคา NBy 1000 ลงในสมการ (1) จะได 060cos3100060sin3 mNmBx



mNmBx 150060sin3 mmNBx

60sin3/1500 NBx 577 จากสมการ (5) จะไดวา .577 AnsNCx แทนคา NBy 1000 ลงในสมการ (6) จะได NNCy 10002000 .1000 AnsNCy

ตวอยางท 6.6 จงหาแรงดงในเคเบลและแรงดง P เพอใชในการดงภาระขนาด 600 N ดงรปท 6.29 โดยไมคดแรงเสยดทานของรอก

รปท 6.29 ประกอบตวอยางท 6.6 วธท า ผงวตถอสระ สาหรบผงวตถอสระของรอกแตละตวรวมทงหมดและแรงดงในเคเบลแตละเสนแสดงดงรปท 6.30 เนองจากเคเบลมความตอเนองทาใหตลอดทงเสนมแรงดงเทากบ P สวนขอตอทตออยระหวางรอก B และ C เปนชนสวนทรบแรงสองแรง และสมมตใหมแรงดงเทากบ T กระทาทขอตอ พบวาแรง P และ T มขนาดเทากนแตทศทางตรงกนขาม เมอกระทากบคนละชนสวนในผงวตถอสระ



รปท 6.30 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 6.6 สมการสมดล จะพบวามแรงไมทราบคาอย 3 แรง โดยพจารณารอกแตละตว จะได พจารณารอก A 06003;0 NPFy

.200 AnsNP พจารณารอก B 02;0 PTFy

.400 AnsNT พจารณารอก C 02;0 TPRFy

TPR 2 4002002 R .800 AnsNR



แบบฝกหดตอนท 2 6.10 จงหาแรงปฏกรยาในแนวนอนและแนวตงของจดรองรบทจด C ดงรปท 6.31

รปท 6.31 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.10 6.11 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบของหมด A และ B ของโครงกรอบดงรปท 6.32




6.12 จงหาแรงดง P ททาใหมวล 10 kg อยในสภาวะสมดลดงรปท 6.33

รปท 6.33 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.12 6.13 จงหาแรง P ทใชสาหรบยดมวลทมนาหนก 300 N ใหอยใหสภาวะสมดลดงรปท 6.34




6.14 จงหาแรง P ทตองใชในการพยงวตถทมมวล 100 kg ใหอยในสภาวะสมดลดงรปท 6.35

รปท 6.35 ประกอบแบบฝกหดขอท 6.14 6.15 จงหาแรง P ทตองใชในการพยงมวล 50 kg ใหอยในสภาวะสมดลดงรปท 6.36




บทสรป 1) โครงถกอยางงาย (simple truss) ประกอบไปดวยชนสวนสามชนทเชอมจดปลายเขาดวยกนโดยการใชหมด สามารถหาแรงในชนสวนไดดวยการสมมตวาเปนชนสวนทรบแรงสองแรง (two force member) ชนสวนเหลานนอาจจะรบแรงดงหรอแรงกดกได 2) การหาแรงในชนสวนของโครงถกดวยวธแบบจด (method of joint) นยมใชเมอตองการหาแรงในทกชนสวนของโครงถก โดยอาศยหลกการทวา ถาโครงถกอยในสภาวะสมดลแลวชนสวนในแตละขอตอกจะอยในสภาวะสมดลดวยเชนกน 3) เมอแยกและเขยนผงวตถอสระของแตละชนสวนของโครงถกแลว สามารถใชสมการสมดล 0xF และ 0yF ในการหาแรงในชนสวนได 4) เมอผลลพธทไดมคาเปนบวกแสดงวาทศทางเปนไปตามทกาหนดในผงวตถอสระ แตถาผลลพธทไดมคาเปนลบ แสดงวาทศทางทเปนไปไดจะตรงกนขามกบทแสดงในผงวตถอสระ 5) ชนสวนรบแรงสองแรง (two force member) หมายความวา ชนสวนใดทรบแรงดงกจะรบแรงดงตลอดความยาวของชนสวน เชนเดยวกน ชนสวนใดทรบแรงกดกจะรบแรงกดลอดความยาวของชนสวน 6) การหาแรงในชนสวนของโครงถกดวยวธแบบภาคตด (method of section) นยมใชเมอตองการหาแรงในชนสวนใดชนสวนหนงของโครงถก 7) การหาแรงดวยวธแบบภาคตดทาไดโดยการแบงภาคตดของโครงถกออกเปนสองสวนโดยใหผานชนสวนทตองการหาแรงในชนสวนนนๆ แลวทาการหาแรงในชนสวนจากภาคตดททราบจานวนของแรงในชนสวนทนอยทสด หลงจากนน ใชสมการสมดล 0,0 yx FF และ 0OM หาแรงในชนสวนทตองการ

8) โครงกรอบ (frame) เปนโครงสรางทถกออกแบบมาเพอการรบแรงและไมสามารถเคลอนทได ในขณะท เครองมอกล (machines) เปนโครงสรางทชนสวนสามารถเคลอนทไดและถกออกแบบมาเพอการสงถายแรงหรอโมเมนตของแรงคควบ 9) การหาแรงในโครงกรอบและเครองมอกล ทาไดโดยการแยกเขยนผงวตถอสระของแตละชนสวน แลวระบแรงทกระทาทจดรองรบใหครบถวน (หากม) หลงจากนนใชสมการสมดล

0,0 yx FF และ 0OM เพอหาแรงทไมทราบคาในแตละชนสวน



แบบทดสอบบทท 6 6.1 จงหาแรงในแตละชนสวนของโครงถกดงรปท 6.37 และใหระบดวยวาชนสวนใดรบแรงดงหรอแรงกด

รปท 6.37 ประกอบแบบทดสอบขอท 6.1 6.2 จงหาแรงในแตละชนสวนของโครงถกดงรปท 6.38 และใหระบดวยวาชนสวนใดรบแรงดงหรอแรงกด




6.3 จงหาแรงในชนสวน CD และ DF ของโครงสรางดงรปท 6.39

รปท 6.39 ประกอบแบบทดสอบขอท 6.3 6.4 จงหาแรงในชนสวน CD, CF และ FG ของโครงถกดงรปท 6.40 และใหระบดวยวาชนสวนใดรบแรงดงหรอแรงกด




6.5 โครงกรอบรบแรงดงรปท 6.41 จงหาแรงปฏกรยาในชนสวน ABC ทจด B และ C

รปท 6.41 ประกอบแบบทดสอบขอท 6.5 6.6 จงหาแรงปฏกรยาทลกกลงสาหรบโครงกรอบดงรปท 6.42




เอกสารอางอง มนตร พรณเกษตร. (2554). กลศาสตรวศวกรรม : ภาคสถตยศาสตร. กรงเทพฯ : วทยพฒน. วระศกด กรยวเชยร และ คณะ. (2551). กลศาสตรวศวกรรม : ภาคสถตยศาสตร. กรงเทพฯ : วทยพฒน. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons. http://www.plakard.com/id-4de76f60e216a73304000050.html http://portal.rotfaithai.com/modules.php?name=Forums&file=viewtopic&t=1293





จดศนยถวงและจดเซนตทรอยด


7.1 บทน า 7.2 การหาจดศนยถวงและจดเซนทรอยด 7.2.1 จดศนยถวง 7.2.2 จดศนยกลางมวล

7.2.3 จดเซนทรอยด




7.4 แรงกระท าเปนบรเวณ

7.4.1 ชนดของคาน

7.4.2 แรงกระท าเปนบรเวณ



เมอเรยนจบบทนแลว ผเรยนควรมความรและทกษะดงน 1. สามารถหาจดเซนทรอยดของพนทและปรมาตรได 2. สามารถหาจดเซทรอยดของพนทของวตถผสมได 3. สามารถหาแรงกระท าเปนบรเวณทกระท ากบคานได 4. สามารถหาแรงปฏกรยาทจดรองรบของคานทมแรงกระท าเปนบรเวณได วธสอนและกจกรรมการเรยนการสอน

1. ผสอนน าเขาสบทเรยนโดยการสอบถามถงความรเบองตนเกยวกบจดศนยถวงและ จดเซนทรอยด 2. เฉลยความรเบองตนเกยวกบจดศนยถวงและจดเซนทรอยดและน าเขาสเนอหา









1. เอกสารประกอบการสอนวชาสถตยศาสตร บทท 7 เรอง จดศนยถวงและจดเซนทรอยด 2. โปรแกรม Microsoft Word ใชประกอบการบรรยายเนอหา










บทท 7 จดศนยถวงและจดเซนทรอยด 219


บทท 7 จดศนยถวงและจดเซนทรอยด

7.1 บทน า ในบทนกลาวถงการหาจดศนยถวง (center of gravity) จดศนยกลางมวล (center of mass) และจดเซนทรอยด (centroid) ของวตถ ทงในกรณของวตถเชงเดยวและวตถผสม โดยการหา จดเซนทรอยดจะรวมการหาจดเซนทรอยดของเสน ของพนท และ ของปรมาตร ของวตถใดๆ ในทายสดกลาวถงการหาแรงกระท าเปนบรเวณ (distributed load) ทเกดขนกบคาน โดยจะกลาวถงการหาแรงรวมทเกดจากแรงกระท าเปนบรเวณพรอมทงหาต าแหนงของแรงรวมทได และสามารถหาแรงปฏกรยาทจดรองรบของคานไดโดยอาศยสมการสมดล

7.2 การหาจดศนยถวงและจดเซนทรอยด 7.2.1 จดศนยถวง วตถประกอบดวยการรวมกนของอนภาคจ านวนมากโดยแตละอนภาคมน าหนกเทากบ dW ดงรปท 7.1(ก) และน าหนกรวมของวตถจะผานจดทเรยกวา จดศนยถวง (center of gravity) G ดงรปท 7.1(ข) หาผลรวมของแรงในแนวแกน z จะได dWWFF zR ; หาต าแหนงของจดศนยถวงวดจากแกน y โดยการหาโมเมนตของน าหนก W รอบแกน y จากรปท 7.1(ข) ใหเทากบโมเมนตของน าหนกของทกๆอนภาคหมนรอบแกนเดยวกน ถาน าหนกของแตละอนภาค dW ตงอยทต าแหนง zyx ~,~,~ ดงรปท 7.1(ก) จะได dWxWxMM yyR

~; ในลกษณะเดยวกน โมเมนตรวมหมนรอบแกน x จะได dWyWyMM xxR

~; ขนตอนสดทาย ลองจนตนาการวาหมนระบบไป 90 รอบแกน y ดงรปท 7.1(ค) ผลรวมของโมเมนตหมนรอบแกน y จะได dWzWzMM yyR

~; ดงนน จะไดต าแหนงของจดศนยถวง G ตามแนวแกน yx, และ z เปน

dW

dWzz

dW

dWyy

dW

dWxx

~~~ (7.1)

โดยท zyx ,, คอ ระยะของจดศนยถวง G zyx ~,~,~ คอ ระยะของจดศนยถวงของแตละอนภาคของวตถ



(ก) อนภาคของวตถ (ข) จดศนยถวงของวตถ

(ค) หมนวตถรอบแกน y รปท 7.1 การหาจดศนยถวงของวตถ 7.2.2 จดศนยกลางมวล ในการศกษาผลทเกดจากพลศาสตร (dynamics response) หรอการเคลอนทดวยความเรงของวตถ มความจ าเปนตองหาต าแหนงของจดศนยกลางมวลของวตถ (body’s center of mass,

mC ) ดงรปท 7.2 หาไดโดยการแทนคา dmgdW ลงในสมการ (7.1) เนองจาก g เปนคาคงท จงลดรปสมการไดเปน

dm

dmzz

dm

dmyy

dm

dmxx

~~~ (7.2)

รปท 7.2 การหาจดศนยกลางมวลของวตถ



7.2.3 จดเซนทรอยด 1) จดเซนทรอยดของปรมาตร ถาวตถดงรปท 7.3 ท ามาจากวสดชนดเดยวกนทมความหนาแนน คงท ดงนน ปรมาตรขนาดเลกๆ Vd จะมมวลเปน Vdmd แทนคานลงในสมการ (7.2) สามารถหาต าแหนงของจดเซนทรอยด C ของวตถไดเปน

dV

dVzz

dV

dVyy

dV

dVxx

~~~ (7.3)

รปท 7.3 การหาจดเซนทรอยดของปรมาตร

2) จดเซนทรอยดของพนท ถาพนท วางอย ในระนาบ x-y และขอบเขตอย ในเสนโคง xfy ดงรปท 7.4(ก) สามารถหาจดเซนทรอยดไดโดยการอนทเกรตสมการ(7.3) และจดรปใหม จะไดเปน

dA

dAyy

dA

dAxx

~~ (7.4)

การอนทเกรตท าไดโดยการอนทเกรตหนงตวแปรเมอพนทเลกๆอยในพกดฉาก ตวอยางเชน ถาพนทเลกๆวางในแนวตงดงรปท 7.4(ข) พนทของชนสวนนหาไดจาก xdyAd และ จดเซนทรอยดของพนทอยทต าแหนง xx ~ และ 2/~ yy ถาหากพจารณาพนทในแนวนอนดงรปท 7.4(ค) จะได ydxAd และจดเซนทรอยดของพนทอยทต าแหนง 2/~ xx และ

yy ~



(ก) จดเซนทรอยดของพนท (ข) พนทอนทเกรตวางในแนวตง

(ค) พนทอนทเกรตวางในแนวนอน รปท 7.4 การหาจดเซนทรอยดของพนท

3) จดเซนทรอยดของเสน เมอเสนวางอยในระนาบ xy และอธบายเสนนดวยฟงกชนเสนโคง xfy ดงรปท 7.5(ก) สามารถหาจดเซนทรอยดไดจาก

dL

dLyy

dL

dLxx

~~ (7.5)

ในทน ความยาวของชนสวนเลกๆหาไดโดยอาศยทฤษฎปทาโกรส, 22

ydxdLd สามารถเขยนไดดงสมการ

2

2

2

2

dxdx

dydx

dx

dxLd

dxdx

dy

2

1

หรอ

2

2

2

2

dydy

dydy

dy

dxLd



dydy

dx

1

2

สามารถเลอกใชไดรปแบบใดรปแบบหนง ส าหรบการประยกตนนควรจะเลอกรปแบบทท าการอนทเกรตไดอยางงายจะเหมาะสมกวา ตวอยางเชน พจารณาเชอก ในร ปท 7.5(ข ) ท อธ บายด วย ฟ งก ชน 22 xy , ความยาวของช นส วน เท ากบ

dxdxdyLd2

/1 , และเนองจาก xdxdy 4/ ดงนน จะได dxxLd2

41 จดเซนทรอยดของเชอกเสนนอยทต าแหนง xx ~ และ yy ~

(ก) ต าแหนงจดเซนทรอยดของเสน

(ข) การเลอกรปแบบการอนทเกรต

รปท 7.5 การหาจดเซนทรอยดของเสน



ตวอยางท 7.1 จงหาจดเซนทรอยดของสวนของเสนโคงทแสดงดงรปท 7.6

รปท 7.6 ประกอบตวอยางท 7.1 วธท า โดยในทนเลอกใชพกดเชงขวในการแกปญหาเนองจากรปรางมลกษณะเปนเสนโคง ขนาดของชนสวน ชนสวนเลกๆของเสนโคงทเลอกแสดงดงรปท 7.6 โดยทชนสวนนมต าแหนงอยทจด ,R ความยาวและระยะของโมเมนต ความยาวของชนสวนเลกๆทเลอกมคา dRdL และจดเซนทรอยดอยต าแหนง cos~ Rx และ sin~ Ry การอนทเกรต, ประยกตใชสมการ (7.5) และท าการอนทเกรต จะได

Ld

dLxx

~

2/

0

2/

0

cos

dR

dRR

2/

0

2/

0

2 cos

dR

dR

.2

AnsR

x

Ld

dLyy

~



2/

0

2/

0

sin

dR

dRR

2/

0

2/

0

2 sin

dR

dR

.2

AnsR

y

ตวอยางท 7.2 จงหาระยะ y ทวดจากแกน x ถงจดเซนทรอยดของพนทของสามเหลยมดงรปท 7.7

รปท 7.7 ประกอบตวอยางท 7.2 วธท า ขนาดของชนสวน พจารณาพนทของชนสวนทมความหนาเทากบ dy และอยทต าแหนงตรงปลายทจด yx, ดงรปท 7.7 พ น ท แ ล ะ ร ะ ย ะ ก า ร เ ก ด โ ม เ ม น ต พ น ท ข อ ง ช น ส ว น ข น า ด เ ล ก ๆ เ ท า ก บ

dyyhh

bdyxdA และจดเซนทรอยดอยทต าแหนง yy ~ ทวดจากแกน x

การอนทเกรต ประยกตใชสมการ (7.4) และอนทเกรตเทยบกบตวแปร y จะได

dA

dAyy

~



h

h

dyyhh

b

dyyhh

by

0

0

bh

bh

2

16

1 2

.3

Ansh

ตวอยางท 7.3 จงหาจดเซนทรอยดของพนทหนงในสของวงกลมดงรปท 7.8

รปท 7.8 ประกอบตวอยางท 7.3 วธท า ขนาดของพนท พกดเชงขวถกน ามาพจารณาเนองจากขอบเขตของรปรางเปนวงกลม โดยเลอกชนสวนใหมรปรางเปนแบบสามเหลยมดงรปท 7.8 และชนสวนมจดรวมอยทจด ,R พนทและระยะการเกดโมเมนต พนทของชนสวนทเลอก หาไดจาก d

RRdRAd

22

1 2

และใชผลลพธทไดจากตวอยางท 7.2 ในการหาจดเซนทรอยดของพนทสามเหลยม จะไดชนสวนทเลอกมจดเซนทรอยดอยทต าแหนง cos

3

2~ Rx และ sin3

2~ Ry

การอนทเกรต ประยกตใชสมการ (7.4) และอนทเกรตเทยบกบตวแปร จะไดวา



A

A

Ad

Adx

x

~

2/

0

2

2/

0

2

2

2cos

3

2

dR

dR

R

2/

0

2/

0

cos3

2

d

dR

.3

4Ans

R

A

A

Ad

Ady

y

~

2/

0

2

2/

0

2

2

2sin

3

2

dR

dR

R

2/

0

2/

0

sin3

2

d

dR

.3

4Ans

R



ตวอยางท 7.4 จงหาต าแหนงของจดเซนทรอยดของพนทภายใตเสนโคงดงรปท 7.9

(ก) เลอกพนทในแนวตง (ข) เลอกพนทในแนวนอน

รปท 7.9 ประกอบตวอยางท 7.4 วธท า วธทหนง ขนาดของชนสวน ชนสวนขนาดเลกๆทมความหนาเทากบ dx แสดงดงรปท 7.9(ก) โดยชนสวนสมผสกบผวโคงทจด yx, และมความสงเทากบ y พนทและระยะการเกดโมเมนต พนทของชนสวนเลกๆมคาเทากบ dxydA และมจดเซนทรอยดอยทจด xx ~ และ 2/~ yy การอนทเกรต ประยกตใชสมการ (7.4) และอนทเกรตเทยบกบตวแปร x จะได

A

A

Ad

Adx

x

~

m

m

ydx

xydx

1

0

1

0

m

m

dxx

dxx

1

0

2

1

0

3

333.0

250.0

.75.0 Ansm



dA

dAyy

~

m

m

ydx

ydxy

1

0

1

0

2/

m

m

dxx

dxxx

1

0

2

1

0

22 2/

333.0

100.0

.3.0 Ansm วธทสอง ขนาดของชนสวน ชนสวนขนาดเลกๆทมความหนาเทากบ dy แสดงดงรปท 7.9(ข) โดยชนสวนสมผสกบผวโคงทจด yx, และมความยาวเทากบ x1 พนทและระยะการเกดโมเมนต พนทของชนสวนเลกๆมคาเทากบ dyxdA 1 และมจดเซนทรอยดอยทจด

2

1

2

1~ xxxx

และ yy ~

การอนทเกรต ประยกตใชสมการ (7.4) และอนทเกรตเทยบกบตวแปร จะได

A

A

Ad

Adx

x

~

m

m

dyx

dyxx

1

0

1

0

1

1]2/1[

m

m

dyy

dyy

1

0

1

0

1

12

1

333.0

250.0

.75.0 Ansm

dA

dAyy

~



m

m

dyx

dyxy

1

0

1

0

1

1

m

m

dyy

dyyy

1

0

1

0

2/3

1

333.0

100.0

.3.0 Ansm ตวอยางท 7.5 จงหาจดเซนทรอยด y ของปรมาตรทเกดจากการหมนกราฟพาราโบลาหนงรอบดงรปท 7.10

รปท 7.10 ประกอบตวอยางท 7.5 วธท า ขนาดของชนสวน เลอกขนาดของชนสวนเลกๆทมรปรางเปน แผนจานบางๆ (thin disk) ทมความหนาเทากบ dy โดยทแผนจานนสมผสกบผวโคงทจด zy,,0 และ รศมแผนจานเทากบ

zr



ปรมาตรและระยะการเกดโมเมนต ปรมาตรของชนสวนเลกๆท เลอกมค า เทากบ dyzdV

2 และมจดเซนทรอยดอยทจด yy ~ การอนทเกรต ประยกตสมการทสองของสมการ (7.3) และอนทเกรตเทยบกบตวแปร y จะได

V

V

dV

dVy

y

~

mm

mm

dyz

dyzy

100

0

2

100

0

2

mm

mm

dyy

dyy

100

0

100

0

2

100

100

.7.66 Ansmm



แบบฝกหดตอนท 1 7.1 จงหาต าแหนงของจดเซนทรอยด x และ y ของพนทภายใตเสนโคงดงรปท 7.11

รปท 7.11 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.1 7.2 จงหาต าแหนงของจดเซนทรอยด x และ y ของพนทเหนอเสนโคงดงรปท 7.12




7.3 จงหาต าแหนงของจดเซนทรอยด x ของพนทภายใตเสนโคงดงรปท 7.13

รปท 7.13 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.3 7.4 จงหาต าแหนงของจดเซนทรอยด y ของปรมาตรทหมนรอบแกน y ดงรปท 7.14




7.5 จงหาต าแหนงของจดเซนทรอยด x และ y ของพนทภายใตเสนโคงดงรปท 7.15

รปท 7.15 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.5 7.6 จงหาต าแหนงของจดเซนทรอยดในพกด x และ y ของพนทภายใตเสนโคงดงรปท 7.16 โดยเขยนใหอยในรปของ a และ b





วตถผสม (composite body) เปนวตถทประกอบขนจากวตถทมรปรางพนฐาน เชน สามเหลยม สเหลยม และ วงกลม เปนตน โดยสามารถแบงวตถชนดนออกเปนชนสวนตางๆได ถาทราบน าหนกและจดศนยถวงของวตถเหลานน สามารถหาจดศนยถวงของวตถผสมไดโดยใชสมการ (7.1) น ามาเขยนใหอยในรป

W

Wzz

W

Wyy

W

Wxx

~~~ (7.6)

โดยท zyx ,, เปนพกดของจดศนยถวง G ของวตถผสม zyx ~,~,~ เปนพกดของจดศนยถวง G ของแตละสวนประกอบของวตถผสม W เปนผลรวมของน าหนกของวตถผสมทงหมด

เมอวตถมความหนาแนนหรอน าหนกจ าเพาะคงท จดเซนทรอยดของวตถไมวาจะเปน จดเซนทรอยดของเสน จดเซนทรอยดของพนท จดเซนทรอยดของปรมาตร สามารถหาไดโดยอาศย สมการ (7.6) โดยแทนท W ดวย AL, และ V , ตามล าดบ โดยจดเซนทรอยดของวตถทมรปรางพนฐานหาไดจากภาคผนวก ง



ตวอยางท 7.6 จงหาจดเซนทรอยดของพนททไมไดแรเงาทมขนาดดงรปท 7.17

รปท 7.17 ประกอบตวอยางท 7.6 วธท า ท าการแยกสวนประกอบออกเปน 4 รป แสดงดงรปท 7.18 โดยจดเซนทรอยดของแตละรปหาไดจากภาคผนวก ง ขอสงเกต จะพบวาพนทของรปทแรเงา (หมายเลข 3 และ 4 ) จะมเครองหมายเปนลบแสดงดงตารางดานลาง

รปท 7.18 การแยกชนสวนประกอบตวอยางท 7.6



ชนสวน A x~ y~ Ax~ Ay~

2in in in 3

in 3in

1 120 6 5 720 600 2 30 14 10/3 420 100 3 -14.14 6 1.273 -84.8 -18 4 -8 12 4 -96 -32 รวม 127.9 959 650

ประยกตใชสมการ (7.6) จะได

A

Axx

~ .50.7

9.127

959Ansinx

A

Ayy

~ .08.5

9.127

650Ansiny

ตวอยางท 7.7 จงหาจดเซนทรอยดของพนททแรเงาดงรปท 7.19

รปท 7.19 ประกอบตวอยางท 7.7 วธท า ท าการแยกสวนประกอบออกเปน 3 รปแสดงดงรปท 7.20 (ก) และ (ข) โดยจดเซนทรอยดของแตละรปหาไดจากภาคผนวก ง ขอสงเกต จะพบวาพนทของรปหมายเลข 3 จะมเครองหมายเปนลบแสดงดงตารางดานลาง



(ก) ชนสวนพนทเปนบวก

(ข) ชนสวนพนทเปนลบ

รปท 7.20 การแยกชนสวนประกอบตวอยางท 7.7

ชนสวน A x~ y~ Ax~ Ay~

2m m m 3

m 3m

1 4.5 1 1 4.5 4.5 2 9 -1.5 1.5 -13.5 13.5 3 -2 -2.5 2 5 -4 รวม 11.5 -4 14

ประยกตใชสมการ (7.6) จะได

A

Axx

~ .348.0

5.11

4Ansmx

A

Ayy

~ .22.1

5.11

14Ansmy



แบบฝกหดตอนท 2 7.7 จงหาต าแหนงของจดเซนทรอยด y ของพนทภาคตดของคานดงรปท 7.21

รปท 7.21 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.7 7.8 จงหาต าแหนงของจดเซนทรอยด y ของพนททแรเงาดงรปท 7.22




7.9 จงหาต าแหนงของจดเซนทรอยด y ของพนททแรเงาดงรปท 7.23

รปท 7.23 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.9 7.10 จงหาต าแหนงของจดเซนทรอยดของพนททแรเงาดงรปท 7.24




7.11 จงหาต าแหนงของจดเซนทรอยดของพนททแรเงาดงรปท 7.25






7.4 แรงกระท าเปนบรเวณ คาน (Beam) เปนชนสวนของโครงสรางทตานทานการเกดการดด (bending) เมอถกแรงกระท า เนองจากคานมลกษณะเปนแทงยาว ดงนน จงอนมานไดวาแรงจะกระท าในแนวตงฉากกบคานเสมอ ในหวขอนจะกลาวถงแรงภายนอกและแรงปฏกรยาทจดรองรบของคานเทานน โดยไมพจารณาแรงภายในทเกดขนกบคาน

7.4.1 ชนดของคาน คานทมจดรองรบและสามารถหาแรงปฏกรยาทจดรองรบภายนอกไดดวยวธทางสถตยศาสตรจะเรยกวา คานทหาค าตอบไดดวยวธสถตยศาสตร (statically determinate beams) ดงรปท 7.28(ก) สวนคานทมจดรองรบมากกวาสมการสมดลทจะน ามาใชในการแกปญหาได จะเรยกวา คานทไมสามารถหาค าตอบไดดวยวธสถตยศาสตร (statically indeterminate beam) ดงรปท 7.28(ข) ในการหาแรงปฏกรยาทจดรองรบของคานนนจงตองพจารณาถงการเสยรปของคานเพมเตมกบสมการสมดล ในหวขอนจะกลาวถงเฉพาะคานทสามารถหาค าตอบไดดวยวธทางสถตยศาสตรเทานน

รปท 7.28 ชนดของคานในทางสถตยศาสตร นอกจากน คานยงแบงไดตามชนดของแรงภายนอกทกระท า คานดงรปท 7.28 เรยกวา คานรบแรงรวม (concentrated load) สวนคานดงรปท 7.29 เรยกวา คานรบแรงกระท า



เปนบรเวณ (distributed load) ความหนาแนนของแรง (intensity) w มหนวยเปนแรงตอความยาวของคาน โดยทความหนาแนนของแรงอาจจะมคาคงท, เปลยนแปลง, ตอเนอง หรอ ไมตอเนอง ความหนาแนนของแรงดงรปท 7.29 จะมคาคงทจาก C ถง D และ มการเปลยนแปลงจาก A ถง C และ D ถง B ความหนาแนนของแรงไมตอเนองทจด D โดยมการเปลยนขนาดอยางทนททนใด

รปท 7.29 คานทรบแรงกระท าเปนบรเวณ

7.4.2 แรงกระท าเปนบรเวณ ความหนาแนนของแรงทมคาคงทหรอมการเปลยนแปลงเปนเสนตรงเปนกรณศกษาทงายทสด รปท 7.30 แสดงถงแรงกระท าเปนบรเวณสามกรณทเกดขนมากทสดกบคานและไดแสดงถงแรงรวมของแรงกระท าเปนบรเวณในแตละกรณดวย ในกรณ (ก) และ (ข) ดงรปท 7.30 พบวาแรงรวม R คอพนทของความหนาแนนของแรง w และ แรงกระท าเปนบรเวณตลอดความยาว L ของคาน โดยแรงรวมนจะกระท าผานจดเซนทรอยดของพนทของแรงกระท าเปนบรเวณ ในกรณ (ค) ของรปท 7.30 ไดแบงพนทสเหลยมคางหมออกเปนพนทสเหลยมและพนทสามเหลยมและเกดแรงรวม 1R และ 2R ทจดเซนทรอยดของแตละพนท ส าหรบกรณของแรงกระท าเปนบรเวณทวๆไปทเกดขนกบคาน ดงรปท 7.31 เรมตนดวยการหาขนาดของแรงขนาดเลกๆ dxwdR แรงรวม R หาไดดวยการรวมขนาดของแรงขนาดเลกๆ เขยนอยในรป dxwR จากททราบวา แรงรวม R จะกระท าทจดเซนทรอยดของพนททพจารณา สามารถหาจดเซนทรอยดในพกด x ไดดวยหลกการของโมเมนต wdxxxR หรอ เขยนใหอยในรป

R

wdxxx

เมอท าการลดรปของแรงกระท าเปนบร เวณใหอย ในรปของแรงรวม เสมอน (equivalent concentrated load) แลว แรงปฏกรยาภายนอกทกระท ากบคานกสามารถหาไดโดยอาศยหลกการวเคราะหทางสถตยศาสตรทกลาวไวในบทท 4 และ บทท 5



(ก) ความหนาแนนเปนแบบสเหลยม (ข) ความหนาแนนเปนแบบสามเหลยม

(ค) ความหนาแนนเปนแบบสเหลยมคางหม

รปท 7.30 แรงรวมของแรงกระท าเปนบรเวณทกระท ากบคาน

รปท 7.31 แรงกระท าเปนบรเวณทวไปทเกดขนกบคาน



ตวอยางท 7.8 จงหาแรงรวมเสมอนและแรงปฏกรยาทจดรองรบส าหรบคานทรบแรงกระท าเปนบรเวณดงรปท 7.32


วธท า

พนทของแรงกระท าเปนบรเวณถกแบงออกเปนสองสวนคอ พนทสเหลยมและพนทสามเหลยม ดงรปท 7.33(ก) โดยแรงเสมอนคอพนททรบแรงและอยทต าแหนงของจดเซนทรอยดของพนททรบแรงนน เมอหาแรงรวมเสมอนของแรงกระท าเปนบรเวณเรยบรอยแลวใหน าแรงทไดมาเขยนลงในผงวตถอสระของคานโดยรวมแรงปฏกรยาทจดรองรบ A และ B ไวดวย ดงรปท 7.33(ข) จากหลกการสมดล จะได 084805120010;0 BA RM .984 AnslbRB 010512002480;0 AB RM .696 AnslbRA



(ก) การหาแรงรวมของแรงกระท าเปนบรเวณ

(ข) การหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ

รปท 7.33 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 7.8 ตวอยางท 7.9 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A ของคานทรบแรงดงรปท 7.34




วธท า

รปท 7.35 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 7.9 ค าคงท k ของแรงท กระท ากบคานหาได โดยให mNwo /1000 และ จะได

4/2 mNk ดงนน แรงรวมเสมอน R หาไดจาก dxwR

8

0

321000 dxx

N10048 หาระยะของจดเซนทรอยด x ของแรงรวมทกระท าไดจาก

R

wdxxx

8

0

32100010048

1dxxx

m49.4 หลงจากนนน าคาทไดไปเขยนผงวตถอสระ จะไดดงรปท 7.35 แลวหาแรงปฏกรยาจะได 049.410048;0 AA MM

.45115 AnsmNM A 010048;0 yy AF .10048 AnsNAy 0;0 xx AF .0 AnsAx



แบบฝกหดตอนท 3 7.14 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A และ B ของคานทรบแรงดงรปท 7.36

รปท 7.36 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.14 7.15 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A และ B ของคานทรบแรงดงรปท 7.37

รปท 7.37 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.15 7.16 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A ส าหรบคานทแรงกระท าเปนบรเวณและแรงรวมดง รปท 7.38




7.17 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A และ B ของคานทรบแรงดงรปท 7.39

รปท 7.39 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.17 7.18 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A ส าหรบคานทรบแรงดงรปท 7.40

รปท 7.40 ประกอบแบบฝกหดขอท 7.18 7.19 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A และ B ของคานทรบแรงดงรปท7.41




บทสรป 1) จดศนยถวงของวตถใดๆหาไดจาก

dW

dWzz

dW

dWyy

dW

dWxx

~~~

2) จดศนยกลางมวลของวตถใดๆหาไดจาก

dm

dmzz

dm

dmyy

dm

dmxx

~~~

3) จดเซนทรอยดของปรมาตรของวตถใดๆหาไดจากสมการ

dV

dVzz

dV

dVyy

dV

dVxx

~~~

4) จดเซนทรอยดของพนทของวตถทมรปรางทวไปหาไดจาก

dA

dAyy

dA

dAxx

~~

5) จดเซนทรอยดของเสนของวตถใดๆหาไดจาก

dL

dLyy

dL

dLxx

~~

6) จดเซนทรอยดของวตถผสมหาไดจากสมการ

W

Wzz

W

Wyy

W

Wxx

~~~

7) การหาแรงรวมเสมอนจากแรงกระท าเปนบรเวณหาไดจากสมการ dxwR หรอ เทากบพนทของแรงกระท าเปนบรเวณนนๆ 8) การหาต าแหนงของแรงรวมเสมอนทไดจากแรงกระท าเปนบรเวณหาไดจาก

R

wdxxx

หรอ เทากบ จดเซนทรอยดของรปรางของแรงกระท าเปนบรเวณนนๆ



แบบทดสอบบทท 7 7.1 จงหาจดเซนทรอยด yx, ของพนทภายใตเสนโคงดงรปท 7.42

รปท 7.42 ประกอบแบบทดสอบขอท 7.1 7.2 จงหาจดเซนทรอยด yx, ของพนทภายใตเสนโคงดงรปท 7.43




7.3 จงหาจดเซนทรอยด y ของพนทหนาตดของคานคอนกรตดงรปท 7.44

รปท 7.44 ประกอบแบบทดสอบขอท 7.3 7.4 จงหาจดเซนทรอยด yx, ของพนททแรเงาดงรปท 7.45




7.5 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A และ B ของคานทรบแรงดงรปท 7.46

รปท 7.46 ประกอบแบบทดสอบขอท 7.5 7.6 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A และ B ของคานทรบแรงดงรปท 7.47

รปท 7.47 ประกอบแบบทดสอบขอท 7.6 7.7 จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A และ B ของคานทรบแรงดงรปท 7.48







แรงเสยดทาน


8.1 บทน า 8.2 แรงเสยดทานระหวางวตถผวแหง 8.2.1 กลไกการเกดแรงเสยดทานระหวางวตถผวแหง 8.2.2 แรงเสยดทานสถต

8.2.3 แรงเสยดทานจลน 8.2.4 มมของแรงเสยดทาน

8.2.5 ประเภทของปญหาเกยวกบแรงเสยดทาน

แบบฝกหดบทท 8


เมอเรยนจบบทนแลว ผเรยนควรมความรและทกษะดงน 1. สามารถเขยนผงวตถอสระของแรงเสยดทานได 2. สามารถหาแรงเสยดทานทเกดขนกบวตถได 3. สามารถระบไดวาวตถอยในสภาวะสมดลหรอเคลอนทเมอมแรงเสยดทาน


1. ผสอนน าเขาสบทเรยนโดยการสอบถามถงความรเบองตนเกยวกบแรงเสยดทาน

2. เฉลยความรเบองตนเกยวกบแรงเสยดทานและน าเขาสเนอหา







1. เอกสารประกอบการสอนวชาสถตยศาสตร บทท 8 เรอง แรงเสยดทาน













บทท 8 แรงเสยดทาน 257


บทท 8 แรงเสยดทาน

8.1 บทน า ในบทนกลาวถงกลไกการเกดแรงเสยดทานระหวางวตถผวแหง (dry friction) ประกอบไปดวยแรงเสยดทานสถต (static friction) และแรงเสยดทานจลน (kinetic friction) โดยแสดงใหเหนวาแรงเสยดทานทงสองชนดนเกดขนไดอยางไรและเกดขนในเวลาเดยวกนหรอไม เมอวตถเกด การเคลอนทหลงจากถกแรงกระท า กลาวถงขนตอนการแกปญหาการเคลอนทของวตถเมอ ม แรงเสยดทานเขามาเกยวของ

8.2 แรงเสยดทานระหวางวตถผวแหง 8.2.1 กลไกการเกดแรงเสยดทานระหวางวตถผวแหง พจารณากลองมมวล m ถกวางอยบนพนราบดงรปท 8.1(ก) สมมตใหพนผวสมผสมความหยาบ ทดลองออกแรงในแนวระดบขนาด P โดยเพมคาของแรงขนเรอยๆจากศนยจนถงขนาดทสามารถท าใหวตถนเคลอนทและมความเรว ผงวตถอสระของกลองทรบแรง P แสดงดง รปท 8.1(ข) โดยทแรงเสยดทานในแนวระดบจากพนกระท ากบกลองมคาเทากบ F แรงเสยดทานนกระท ากบกลองในทศทางตรงกนขามกบการเคลอนทเสมอและมแรงในแนวตงฉาก N โดยในกรณนมคาเทากบ mg และแรงรวมเทากบ R ซงเปนผลรวมของแรง N และ F พนผวสมผสมความขรขระแสดงดงรปท 8.1(ค) ชวยท าใหเกดความเขาใจถงการกระท าของแรงเสยดทานไดดยงขน ทศทางของแรงปฏกรยาทกระท ากบกลอง 321 ,, RRR ไมไดขนอยกบพนผวสมผสเทานน แตยงขนอยกบการเสยรปของแตละต าแหนงของจดสมผสอกดวย แรงรวมในแนวตงฉาก N จงเปนผลรวมของสวนประกอบในแนว n ของ R และแรงเสยดทานรวม F จะเปนผลรวมของสวนประกอบในแนว t ของ R จากการทดลองและสามารถเขยนความสมพนธระหวางแรงเสยดทาน F ใหอยในรปของแรง P จะไดความสมพนธแสดงดงรปท 8.1(ง) เมอแรง P เทากบศนย จะอยในสภาวะสมดลนนคอไมมแรงเสยดทาน เมอแรง P เพมขน, แรงเสยดทานจะมขนาดเทากนแตมทศทางตรงขามกบแรง P ตราบเทาทกลองยงไมมการลนไถล ซงในชวงนกลองจะอยในสภาวะสมดล และแรงทกระท ากบกลองสามารถหาไดจากสมการสมดล จนในทสด เมอเพมแรง P จนท าใหกลองลนไถลและเคลอนทไปในทศทางทแรงกระท า ซงในชวงนจะท าใหแรงเสยดทานลดลงเลกนอยและทนททนใด และคอนขางเกอบคงทอยชวงหนง แตหลงจากนน จะลดลงมากเมอความเรวมคาเพมขน



(ก) การออกแรงดงวตถ (ข) ผงวตถอสระของการออกแรงดงวตถ

(ค) ความขรขระของพนผวสมผส (ง) ความสมพนธของแรงเสยดทาน รปท 8.1 กลไกการเกดแรงเสยดทานระหวางวตถผวแหง 8.2.2 แรงเสยดทานสถต ชวงบรเวณตามรปท 8.1(ง) จากเรมตนจนกระทงเรมเกดการลนไถลถกเรยกวาชวงของ แรงเสยดทานสถต (static friction) และคาของแรงเสยดทานในชวงนสามารถหาไดโดยอาศยสมการสมดล คาของแรงเสยดทานเรมตงแตศนยไปจนถงคามากทสด โดยจากการทดลองจะพบวา แรงเสยดทานมากทสด maxF เปนสดสวนโดยตรงกบแรงปฏกรยาในแนวดง N และเขยนใหอยในรปไดเปน NF smax (8.1)

โดยท s เรยกวาสมประสทธแรงเสยดทานสถต

จากสมการ (8.1) อธบายไดเพยงเฉพาะขอบเขตจ ากดหรอคาของแรงเสยดทานสถตทมากทสดและไมใชคาทนอยทสด ดงนน สมการนใชไดเฉพาะในกรณเรมเกดการเคลอนทดวยคาของแรงเสยดทานทมากทสด ส าหรบกรณของสมดลสถตคอยงไมเกดการเคลอนท แรงเสยดทานสถตหาไดจาก NF s



8.2.3 แรงเสยดทานจลน หลงจากเกดการลนไถล เงอนไขของแรงเสยดทานจลนจะถกน ามาพจารณาส าหรบการเคลอนท โดยทวไปแลว แรงเสยดทานจลนมคานอยกวาแรงเสยดทานสถตทมากทสด และสามารถหาแรงเสยดทานจลนไดจากสมการ NF kk (8.2)

โดยท k เรยกวา สมประสทธแรงเสยดทานจลนและโดยทวไป k มคานอยกวา s

8.2.4 มมของแรงเสยดทาน ทศทางของแรงลพธ R ดงรปท 8.1(ข) วดเทยบกบแรงในแนวตง N โดยหาไดจาก

NF /tan เมอแรงเสยดทานมคาเขาใกลคาสงสด maxF มม จะมคาสงสดเปน s ดงนน จะไดวา ss tan เมอวตถเกดการลนไถล มม จะมคาสงสดเปน k อนเปนผลมาจากแรงเสยดทานจลน ดงนน เขยนสมการไดเปน kk tan โดยทมม s และ k เรยกวา มมของแรงเสยดทานสถต (angle of static friction) และ มมของแรงเสยดทานจลน (angle of kinetic friction), ตามล าดบ 8.2.5 ประเภทของปญหาเกยวกบแรงเสยดทาน สามารถแยกประเภทของปญหาเกยวกบแรงเสยดทานระหวางวตถผวแหงออกเปน 3 ประเภท ซงการแกปญหาในขนตอนแรกจงตองท าการแยกประเภทของปญหาเสยกอน 1) ปญหาประเภททหนง ทราบเงอนไขของการเรมเคลอนทของวตถ ในกรณนวตถเกอบจะเรมเกดการลนไถล (slipping) และ แรงเสยดทานจะมคาเทากบคาสงสดของแรงเสยดทาน

NF Smax ทงนสมการสมดลยงสามารถใชในการหาค าตอบได 2) ปญหาประเภททสอง ไมทราบทงเงอนไขการเรมตนเคลอนทและเงอนไขของการเคลอนทของวตถ ในการหาแรงเสยดทานทเกดขนจรง จงควรสมมตให วตถอยในสภาวะสมดลแบบสถตและหลงจากนน ท าการหาแรงเสยดทาน F โดยใชสมการสมดล ซงมความเปนไปไดอย 3 แนวทาง คอ (2.1) NFF s max : ในทนจะพบวาแรงเสยดทานทไดยงสามารถท าใหวตถอยในสภาวะสมดไดตามทสมมตและแรงเสยดทานทเกดขนจรง F จะมคานอยกวาแรงเสยดทานสงสด maxF ทหาไดจากสมการ (8.1) และทงน แรงเสยดทานทเกดขนกบวตถคอแรงเสยดทาน F ทหาไดจากการใชสมการสมดล นนเอง



(2.2) NFF s max : เนองจากวาแรงเสยดทาน F เทากบคาของแรงเสยดทานสงสด maxF ท าใหการเคลอนทเกอบจะเรมตนขน การสมมตเงอนไขของสมดลแบบสถตยงสามารถใชได (2.3) NFF s max : เปนทชดเจนไดวา เงอนไขแบบนไมสามารถเกดขนไดจรง เพราะวาพนผวไมสามารถรองรบกบแรงเสยดทานคาสงสด Ns ได การสมมตเงอนไขใหอยในสภาวะสมดลจงไมสามารถใชไดเพราะการเคลอนทเกดขนแลว ดงนน แรงเสยดทาน F จงมคาเทากบ Nk จากสมการ (8.2)

3) ปญหาประเภททสาม มการเคลอนทสมพทธระหวางพนผวทงสองและทราบสมประสทธแรงเสยดทานจลน ปญหาประเภทน สามารถหาแรงเสยดทานไดโดยใชสมการ (8.2)



ตวอยางท 8.1 จงหาชวงคาของมวล

om ทท าใหกลองมวล kg100 ทแสดงดงรปท 8.2 ไมเรมเคลอนทขนและลงจากระนาบเอยงน เมอก าหนดใหสมประสทธแรงเสยดทานสถตส าหรบพนผวสมผสเทากบ 0.30


(ก) กลองเคลอนทขน (ข) กลองเคลอนทลง รปท 8.3 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 8.1 1) มวล

om มคามากทสดเมอกลองเคลอนทขนไปตามพนเอยง แรงเสยดทานทกระท ากบกลองจงมทศทางลงมาตามพนเอยง แสดงดงผงวตถอสระรปท 8.3 (ก) โดยทน าหนกของกลองหาไดจาก Nmg 98181.9100 จากสมการสมดล จะได 020cos)981(;0

NFy

NN 922 NNF s 27792230.0max

020sin98127781.9;0 ox mF

052.61281.9 om .4.62 Anskgmo



2) มวล om มคานอยทสดเมอกลองเคลอนทลงมาตามพนเอยง แรงเสยดทานทกระท ากบ

กลองจงมทศทางขนไปตามพนเอยง แสดงดงผงวตถอสระรปท 8.3 (ข) จากสมการสมดล จะไดวา

020sin98127781.9;0 ox mF

052.5881.9 om .96.5 Anskgmo ดงนน มวล

om จะมคาอยในชวง 5.96 kg ถง 62.4 kg จะท าใหกลองมวล 100 kg อยนงกบพนเอยงได

ตวอยางท 8.2 กลองดงรปท 8.4 มมวล kg20 ถามแรง NP 80 กระท ากบกลอง จงหาแรงเสยดทานและระยะของแรงในแนวตงฉากกระท าเพอใหกลองอยในสภาวะสมดล ก าหนดใหสมประสทธ ความเสยดทาน 3.0s

รปท 8.4 ประกอบตวอยางท 8.2 วธท า เขยนผงวตถอสระ จากรปท 8.5 พบวาแรงปฏกรยาในแนวตง

CN กระท าเปนระยะทาง x จากจดศนยถวงเพอปองกนการลนไถลเนองจากแรง P ทกระท า และ น าหนกของกลองเทากบ

Nmg 2.19681.920 ดงนน ตวแปรทไมทราบคา CNF , และ x คาหาไดจากสมการสมดล

สมการสมดล

030cos80;0 FNFx

NF 3.69 02.19630sin80;0 NNNF Cy

NNC 236



รปท 8.5 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 8.2 02.030cos804.030sin80;0 mNmNxNM CO

0856.1316236 x mmmx 08.900908.0 เนองจากระยะ x เปนลบ แสดงวา แรงปฏกรยาในแนวตง

CN จะกระท าทต าแหนงดานซายของจดศนยถวง จงจะไมเกดการลนไถล เนองจาก mx 4.0 ดงนน แรงเสยดทานสงสดทจะเกดขนทผวสมผสเทากบ NNNF Cs 8.702363.0max แตเนองจาก NNF 8.703.69 ดงนน กลองจงไมเกดการลนไถล

ตวอยางท 8.3 ออกแรง lb100 กระท ากบกลองทมน าหนก lb300 ดงรปท 8.6 โดยทสมประสทธของแรงเสยดทานระหวางพนผวสมผสเทากบ 25.0s และ 20.0k จงหาแรงเสยดทานทท าใหกลองอยในสภาวะสมดล




วธท า เขยนผงวตถอสระ ในตอนแรกจะหาแรงเสยดทานทท าใหกลองอยในสภาวะสมดล จงสมมตใหแรงเสยดทาน F มทศทางลงมาตามพนเอยง แสดงดงรปท 8.7 (ก)

(ก) สมมตใหกลองเคลอนทขน (ข) หลงค านวณกลองเคลอนทลง รปท 8.7 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 8.3 สมการสมดล จะได 0300

5

3100;0 FlblbFx

lbF 80 lbF 80 0300

5

4;0 lbNFy

lbN 240 lbN 240 แรงเสยดทาน F ทท าใหกลองอยในสภาวะสมดลมคาเทากบ lb80 ในทศทางขนไปตาม พนเอยงทางดานขวา นนหมายความวา กลองจะเคลอนทลงมาตามพนเอยง หาแรงเสยดทานสงสด ขนาดของแรงเสยดทานสงสดหาไดจากสมการ lblbNF s 6024025.0max เนองจากวาแรงเสยดทานทท าใหกลองอยในสภาวะสมดลเทากบ lb80 ซงมากกวาคาของแรงเสยดทานสงสดทจะเกดขนคอ lb60 ดงนน สภาวะสมดลจงไมมอยจรง ซงหมายความวากลองจะเคลอนทลงมาตามพนเอยง หาแรงเสยดทานทเกดขนจรง ขนาดของแรงเสยดทานทเกดขนจรงหาไดจาก lblbNF kactual 4824020.0 เนองจากกลองน าหนก lb300 เคลอนทลงมาตามพนเอยง ดงนน ทศทางของแรงเสยดทานทเกดขนจรงจงมทศทางขนไปตามพนเอยงดงรปท 8.7 (ข) และมขนาดเทากบ .48 AnslbFactual



ตวอยางท 8.4 บนไดมวล kg10 ดงรปท 8.8 ถกวางพาดไวกบผนงผวเรยบทจด B สวนทจด A ในแนวระดบผนงผวหยาบทมสมประสทธแรงเสยดทานสถต 3.0s จงหามมเอยงของบนได และแรงปฏกรยาทกระท ากบบนไดทจด B เมอบนไดเกอบจะลนไถล


รปท 8.9 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 8.4 เขยนผงวตถอสระ จากรปท 8.9 จะพบวาแรงเสยดทาน

AF มทศทางกระท าไปทางดานขวา เนองจากบนไดทจด A จะลนไถลไปทางดานซาย สมการสมดล เนองจากบนไดเกอบจะลนไถล ดงนน

AAsA NNF 3.0 สามารถหา AN ไดจากสมการ

081.910;0 NNF Ay

NN A 1.98



แทนคา NN A 1.98 จะได NNNF AsA 43.291.983.0 และหา BN ได

จาก

043.29;0 Bx NNF .4.2943.29 AnsNNNB สดทาย หามม ไดจากการรวมโมเมนตหมนรอบจด A จะได 0cos2]81.910[sin4)43.29(;0 mNmNM A

0cos)2.196(sin)72.117( cos)2.196(sin)72.117(

72.117

2.196tan

6667.1 6667.1tan 1 04.59 .0.59 Ans

ตวอยางท 8.5 วงลอไมมมวล kg200 ถกวางอยบนพนคอนกรตและพงอยกบผนงอฐบลอกดงรปท 8.10 ถาก าหนดใหสมประสทธความเสยดทานสถตทจด A และ B เทากบ 4.0

As และ 5.0Bs

ตามล าดบ จงหาแรง P ต าทสดทท าใหวงลอไมเกดการหมน




วธท า

รปท 8.11 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 8.5 เขยนผงวตถอสระ จากรปท 8.11 ผงวตถอสระของวงลอไม จะพบวา มแรงไมทราบคาอยทงหมด 5 ตวแปร คอ

ABA FNNP ,,, และ BF ซงสามารถหาไดโดยใชสมการสมดล 3 สมการ

และ สมการของแรงเสยดทานทจด A และ B สมการสมดลและสมการแรงเสยดทาน จากสมการสมดล จะไดวา

0;0 ABx NFF (1)

081.9200;0 NFNPF ABy (2)

01.04.04.0;0 mPmFmFM BAG (3)

จากสมการแรงเสยดทาน NF s จะไดวา

AAAsA NNF 4.0)( (4)

BBBsB NNF 5.0)( (5)

แทน BB NF 5.0 ลงในสมการ (1) จะได

05.0 AB NN

BA NN 5.0 (6) แทน

AA NF 4.0 ลงในสมการ (2) จะได 081.92004.0 AB NNP (7) แทน

AA NF 4.0 และ BB NF 5.0 ลงในสมการ (3) จะได

01.04.05.04.04.0 mPmNmN BA

01.020.016.0 PNN BA (8)



คณสมการ (7) ดวย 1.0 ตลอดสมการ จะได 02.19604.01.01.0 AB NNP (9) ท าการบวกสมการ (8) และ (9) จะได 02.1963.0)20.0( BA NN (10) แทนสมการ (6) ลงในสมการ (10) จะได 02.1963.05.0)20.0( BB NN 2.1964.0 BN NNB 5.490 แทน NNB 5.490 ลงในสมการ (6) จะได NNA 25.2455.4905.0 แทน NN A 25.245 และ NNB 5.490 ลงในสมการ (7) จะได 081.920025.2454.05.490 NNP .373.11373 AnsNkNP



แบบฝกหดบทท 8 8.1 ออกแรง lbP 85 กระท ากบกลองทมน าหนก lb200 ซงหยดนงอยกบทดงรปท 8.12 กอนถกแรงกระท า จงหาขนาดและทศทางของแรงเสยดทาน F ทพนกบกลองใบน

รปท 8.12 ประกอบแบบฝกหดขอท 8.1 8.2 จากรปท 8.13 ก าหนดใหน าหนกของกลอง lbWA 25 และ มม 30 จงหา ก) น าหนกทนอยทสดของกลอง B ทท าใหระบบอยในสภาวะสมดล ข) น าหนกทมากทสดของกลอง B ทท าใหระบบอยในสภาวะสมดล




8.3 ถาก าหนดใหสมประสทธแรงเสยดทานสถตระหวางผวสมผสทจด A และ B เทากบ 3.0s จงเขยนผงวตถอสระและหาแรงดง P ทมากทสดทท าใหวงลอไมมวล kg100 ไมเกดการหมน ดงรปท 8.14

รปท 8.14 ประกอบแบบฝกหดขอท 8.3 8.4 เมอทราบคาสมประสทธแรงเสยดทานสถตระหวางกลองน าหนก lb30 กบพนเอยงเปน

25.0s ดงรปท 8.15 จงหา ก) แรง P นอยทสดทท าใหกลองอยในสภาวะสมดล ข) มม




8.5 จากรปท 8.16 จงหาวากลองมวล kg10 อยในสภาวะสมดลหรอไม และใหหาขนาดและทศทางของแรงเสยดทาน เมอก าหนดให NP 40 และ 20

รปท 8.16 ประกอบแบบฝกหดขอท 8.5 8.6 จงเขยนผงวตถอสระและหาแรง P ขนาดต าสดทจะผลกกลองมวล kg50 ใหเคลอนทขนไปตามพนเอยงดงรปท 8.17 เมอก าหนดใหสมประสทธแรงเสยดทานสถตระหวางพนเอยงและกลองเทากบ 25.0s




บทสรป 1) แรงเสยดทานจะมทศทางตรงกนขามกบการเคลอนทของวตถ 2) แรงเสยดทานสถตสงสดเกดขนเมอวตถเรมเกดการลนไถลหาไดจากสมการ NF smax 3) แรงเสยดทานจลนเกดขนเมอวตถเกดการลนไถลหาไดจากสมการ NF kk 4) เทคนคการแกปญหาเกยวกบแรงเสยดทานท าไดดงน (1) ปญหาประเภททหนง, ทราบเงอนไขของการเรมเคลอนทของวตถ ในกรณนวตถเกอบจะเรมเกดการลนไถล (slipping) และ แรงเสยดทานจะมคาเทากบคาสงสดของแรงเสยดทาน

NF Smax ทงนสมการสมดลยงสามารถใชในการหาค าตอบได (2) ปญหาประเภททสอง, ไมทราบทงเงอนไขการเรมตนเคลอนทและเงอนไขของการเคลอนทของวตถ ในการหาแรงเสยดทานทเกดขนจรง จงควรสมมตใหวตถอยในสภาวะสมดลแบบสถตและหลงจากนน ท าการหาแรงเสยดทาน F โดยใชสมการสมดล ซงมความเปนไปไดอย 3 แนวทาง คอ 2.1 NFF s max : ในทนจะพบวาแรงเสยดทานทไดยงสามารถท าใหวตถอยในสภาวะสมดไดตามทสมมตไว และแรงเสยดทานทเกดขนจรง F จะมคานอยกวาแรงเสยดทานสงสด maxF ทหาไดจากสมการ (8.1) และทงน แรงเสยดทานทเกดขนกบวตถคอแรงเสยดทาน F ทหาไดจากการใชสมการสมดล นนเอง 2.2 NFF s max : เนองจากวาแรงเสยดทาน F เทากบคาของแรงเสยดทานสงสด maxF ท าใหการเคลอนทเกอบจะเรมตนขน การสมมตเงอนไขของสมดลแบบสถตยงสามารถใชได 2.3 NFF s max : เปนทชดเจนไดวา เงอนไขแบบนไมสามารถเกดขนไดจรง เพราะวาพนผวไมสามารถรองรบกบแรงเสยดทานคาสงสด Ns ได การสมมตเงอนไขใหอยในสภาวะสมดลจงไมสามารถใชไดเพราะการเคลอนทเกดขนแลว ดงนน แรงเสยดทาน F จงมคาเทากบ Nk จากสมการ (8.2)

(3) ปญหาประเภททสาม, มการเคลอนทสมพทธระหวางพนผวทงสองและทราบสมประสทธแรงเสยดทานจลน ปญหาประเภทน สามารถหาแรงเสยดทานไดโดยใชสมการ (8.2)



แบบทดสอบบทท 8 8.1 จงหาวาวตถอยในสภาวะสมดลดงรปท 8.18 หรอไม พรอมทงหาขนาดและทศทางของแรงเสยดทาน เมอก าหนดให 25 และ NP 750

รปท 8.18 ประกอบแบบทดสอบขอท 8.1 8.2 จงเขยนผงวตถอสระและหาสมประสทธแรงเสยดทานสถตทนอยทสดระหวางหลอดดายมวล

kg50 และผนงทไมท าใหหลอดดายเกดการลนไถลดงรปท 8.19




8.3 แรงขนาด N700 กระท ากบกลองมวล kg100 ดงรปท 8.20 โดยอยนงกอนทจะถกแรงกระท า จงหาขนาดและทศทางของแรงเสยดทานทกลองกระท ากบพน

รปท 8.20 ประกอบแบบทดสอบขอท 8.3 8.4 จากรปท 8.21 จงหาวาวตถอยในสภาวะสมดลหรอไม พรอมทงหาขนาดและทศทางของแรงเสยดทานเมอก าหนดให 35 และ NP 200




8.5 สมประสทธแรงเสยดทานระหวางกลองและพนมคาเปน 30.0s และ 25.0k เมอก าหนดให 65 ดงรปท 8.22 จงหาขนาดของแรง P นอยทสดทท าให ก) กลองเรมเคลอนทขน ข) กลองเคลอนทลง


8.6 จากรปท 8.23 เมอพจารณามม มคาไมเกน 90 จงหาคาของมม นอยทสดทท าใหกลองเคลอนทไปดานขวาเมอกลองมน าหนกเทากบ

ก) NW 75 ข) NW 100







งานเสมอน

หวขอเนอหา 9.1 บทน า 9.2 หลกการพนฐานของงานเสมอน

9.2.1 งานของแรง 9.2.2 งานของโมเมนตของแรงคควบ

9.2.3 งานเสมอน

9.2.4 พนฐานของงานเสมอน

9.3 งานเสมอนส าหรบระบบของวตถแขงเกรงทเชอมตอกน


9.4 เสถยรภาพ

9.4.1 แรงอนรกษ 9.4.2 พลงงานศกย 9.4.3 เกณฑก าหนดพลงงานศกยส าหรบความสมดล

9.4.4 เสถยรภาพของความสมดล



เมอเรยนจบบทนแลว ผเรยนควรมความรและทกษะดงน 1. สามารถเขยนผงวตถอสระของวตถแขงเกรงทเชอมตอกนเมอรบแรงได 2. สามารถค านวณหาเงอนไขทท าใหวตถแขงเกรงทเชอมตอกนอยในสภาวะสมดลได

3. สามารถระบถงความมเสถยรภาพของวตถแขงเกรงทเชอมตอกนได วธสอนและกจกรรมการเรยนการสอน

1. ผสอนน าเขาสบทเรยนโดยการสอบถามถงความรเบองตนเกยวกบงานเสมอน

2. เฉลยความรเบองตนเกยวกบงานเสมอนและน าเขาสเนอหา









1. เอกสารประกอบการสอนวชาสถตยศาสตร บทท 9 เรอง งานเสมอน











บทท 9 งานเสมอน 279


บทท 9 งานเสมอน 9.1 บทน า ในบทนกลาวถงงานเสมอนของแรงและโมเมนตของแรงคควบ หลกการพนฐานของงานเสมอนทเกดขนกบวตถ งานเสมอนทเกดขนกบวตถแขงเกรงทเชอมตอกนเปนระบบ เกณฑทท าใหระบบอยในสภาวะสมดลและหาความเสถยรภาพของต าแหนงสมดลทเกดขนกบวตถ

9.2 หลกการพนฐานของงานเสมอน 9.2.1 งานของแรง งานของแรงเกดขนเมอออกแรงกระท าและไดการกระจดในทศทางทแรงนนกระท า พจารณารปท 9.1(ก) ออกแรง F กระท าและไดการกระจด dr โดยแรงและการกระจดท ามมกนเทากบ ดงนน สวนประกอบของแรงในทศทางของการกระจดคอ cosF และสามารถหางานทเกดจากแรง F ไดเทากบ cosdrFUd (9.1) และสามารถหาไดจากผลคณของแรง F และสวนประกอบของการกระจดในทศทางทแรงกระท า cosdr ดงรปท 9.1 (ข) ถาใชนยามของผลคณแบบสเกลาร งานทเกดจากแรงเขยนอยในรปเปน rdFUd

(9.2)

จากสมการขางบนแสดงใหเหนวา งานเปนปรมาณสเกลารและคลายๆกบปรมาณ สเกลารชนดอน คอ มเพยงขนาด ในหนวย SI งานมหนวยเปน จล (joule) J ซงเกดจากผลคณของแรง N1 กบระยะการกระจด m1 ในทศทางทแรงกระท า mNJ 11

(ก) แตกแรงใหอยในทศทางการกระจด (ข) แตกการกระจดใหอยในแนวแรง รปท 9.1 งานทเกดจากแรง



9.2.2 งานของโมเมนตของแรงคควบ การหมนไปของโมเมนตของแรงคควบท าใหเกดงานได พจารณารปท 9.2 ถกกระท าโดยแรงคควบ F และ F จงท าใหเกดโมเมนตของแรงคควบ M ทมขนาดเทากบ rFM เมอวตถเคลอนทไปไดระยะการกระจดดงรป โดยจด A และ B เคลอนทไปเปนระยะการกระจด

Ard และ Brd ถงจดสดทายเปนจด A และ จด B , ตามล าดบ เนองจาก rdrdrd AB

โดยการเคลอนยายนเปนการเคลอนท (translation) ดวยระยะ Ard เมอจด A และจด B เคลอนยายไปทจด A และ B และเกดการหมน (rotation) รอบจด A ไปเปนมม d เทยบกบจด A เมอแรงคควบไมท าใหเกดงานระหวางการเคลอนท Ard เพราะวาแตละแรงเคลอนทไปไดระยะการกระจดเทากนในทศทางทตรงขามกน จงไมท าใหเกดงาน และในระหวางการหมนแรง F ไดการกระจดเปน drrd จ งท าให เกดงานเทากบ drFrdFUd เนองจาก

rFM ดงนน งานทเกดจากโมเมนตของแรงคควบ M หาไดจาก dMUd (9.3) ถาหาก M และ d มทศทางเดยวกน งานทไดจะมคาเปนบวก แตถาหากมทศทางตรงกนขาม งานทไดจะมคาเปนลบ

รปท 9.2 งานทเกดจากโมเมนตของแรงคควบ

9.2.3 งานเสมอน จากนยามงานของแรงและงานของโมเมนตของแรงคควบทเขยนอยในรปของการเคลอนททเกดขนจรง (actual movement) ทมระยะการกระจดเปน rd และ d หากพจารณาการเคลอนทในจนตนาการ (imaginary) หรอ การเคลอนทเสมอน (virtual movement) ของวตถทอยในสภาวะสมดลสถต (static equilibrium) ซงจะเขยนอยในรปของระยะการกระจดหรอการหมนทถกสมมตหรอไมเกดขนจรง โดยการเคลอนทนจะเขยนใหอยในรปของอนพนธอนดบหนงและใช



สญลกษณเปน r และ , ตามล าดบ ดงนน งานเสมอน (virtual work) ของแรงทท าใหเกดระยะการกระจดเสมอน r (virtual displacement) สามารถเขยนใหอยในรป rFU cos (9.4) ในลกษณะคลายๆกน เมอโมเมนตของแรงคควบทท าใหเกดการหมนเสมอน (virtual rotation) งานเสมอนเขยนอยในรป MU (9.5) 9.2.4 พนฐานของงานเสมอน หลกการพนฐานของงานเสมอนกลาวไววา ถาวตถอยในสภาวะสมดลแลวผลรวม ของงานเสมอนทกระท าโดยแรงหรอโมเมนตของแรงคควบมคาเทากบศนยส าหรบทกๆระยะ การกระจดเสมอนของวตถ เขยนเปนสมการไดเปน 0U (9.6) ตวอยางเชน พจารณาผงวตถอสระของอนภาค (ลกบอล) ทถกวางอยกบพน ดงรปท 9.3 ถาหากจะ “จนตนาการ” วาลกบอลเคลอนทลงดวยระยะการกระจดเทากบ y หลงจากนนก าหนดใหน าหนกท าใหเกดงานเสมอนในทศทางบวกเปน yW และแรงปฏกรยาในแนวตงฉากท าใหเกดงานเสมอนในทศทางลบเทากบ yN ส าหรบสภาวะสมดลจะไดวา ผลรวมของงานเสมอนมค า เท ากบศนย ด งนน 0 yNWyNyWU เนองจาก

0y ท าให NW ซงมคาเทากบการประยกตใชสมการ 0yF

รปท 9.3 การค านวณหางานจากเงอนไขของงานเสมอน



ในลกษณะคลายๆกน สามารถใชสมการของงานเสมอน 0U กบวตถแขงเกรงทมการรบระบบของแรงได โดยใหท าการแยกการเคลอนทแบบเสมอนไปตามทศทางแกน x และ y และการหมนแบบเสมอนรอบจดใดๆทตงฉากกบระนาบ xy ผานจด o โดยสามารถใชสมการสมดล 3 สมการในการหาค าตอบไดคอ 0,0 yx FF และ 0oM เมอใชสมการเหลานแลวจะไมรวมถงงานทเกดจากแรงภายในทกระท ากบวตถเนองจากวตถแขงเกรงไมเกดการเสยรป เมอรบแรงกระท าภายนอกและเมอวตถเคลอนทไปดวยระยะการกระจดเสมอนแลวแรงภายใน ทเกดขนกบวตถจะมคาเทากนแตมทศทางตรงกนขาม ดงนน งานทเกดจากแรงภายในจงไมตองน ามาพจารณา ตวอยางของการประยกตใชสมการดงกลาวขางตน พจารณาคานรบแรงอยางงาย ดงรปท 9.4(ก) โดยคานหมนไปดวยมมเสมอน รอบจด B ดงรปท 9.4(ข) สวนแรงทท าใหเกดงานมเพยงแรง P และ yA เทานน เนองจาก ly และ 2/ly ดงนน งานเสมอนทเกดขนจากแรงหาไดจาก 02/2/ lPlAlPlAU yy เนองจากวา 0 ดงนน จะได 2/PAy โดยไมรวมเทอม จะพบวาเทอมในวงเลบเปนผลมาจากการใชสมการ 0BM นนเอง จากสองตวอยางขางตน จะพบวาไมตองใชเงอนไขเพมเตมในการแกปญหาสมดลของอนภาคและวตถแขงเกรงเมอแกปญหาดวยหลกพนฐานของงานเสมอน

(ก) คานรบแรง

(ข) การหาการกระจดเสมอน

รปท 9.4 การหางานเสมอนกบคานทรบแรง



9.3 งานเสมอนส าหรบระบบของวตถแขงเกรงทเชอมตอกน วธของงานเสมอนถกใชเปนการเฉพาะส าหรบแกปญหาสมดลของระบบของวตถแขงเกรงทมการเชอมตอกนดงรปท 9.5

รปท 9.5 ระบบของวตถแขงเกรงทมการเชอมตอกน แตละระบบสามารถกลาวไดวามดกรขนความเสร (degree of freedom) เทากบหนง เนองจากกลไกสามารถระบพกดไดเพยงแค เทานน ในทางตรงกนขาม ดวยการระบดกรขน ความเสรไดเพยงหนงน สามารถใชความยาวของกลไกแทนได ซงสามารถระบต าแหนงของแรง F และ P ทกระท าได ในบทเรยนนจะพจารณาถงการประยกตใชหลกพนฐานของงานเสมอนกบระบบทประกอบไปดวยดกรขนความเสรเทากบหนงเทานน (one degree of freedom) เนองจากจะมความซบซอนนอยกวาและสามารถใชเปนพนฐานในการแกปญหาทมความซบซอนมาก รวมทงระบบทมดกรขนความเสรมากได โดยขนตอนในการแกปญหาของระบบของวตถแขงเกรงทมการเชอมตอกนทไมคดความเสยดทาน มขนตอนดงน 1) เขยนผงวตถอสระ (1.1) เขยนผงวตถอสระของระบบของวตถแขงเกรงทมการเชอมตอกนและก าหนดพกดเปน q (1.2) ระบ “ต าแหนงทมการเปลยนแปลง” ของระบบกบผงวตถอสระเมอระบบถกแรงกระท าใหมระยะการกระจดเสมอนในทศทางบวกเปน qd 2) หาระยะการกระจดเสมอน (2.1) แสดงพกดของต าแหนงเปน s ในผงวตถอสระ โดยแตละต าแหนงวดจากจดทอยนง (fixed point) ใหระบพกดเหลานมทศทางไปยงแรงทท าใหเกดงาน (2.2) แกนของแตละพกดจะขนาน (parallel) กบแนวการกระท าของแรง ดงนน งาน-เสมอนตลอดพกดทก าหนดสามารถค านวณได (2.3) หาความสมพนธของแตละพกดของต าแหนง s กบพกด q หลงจากนน หาอนพนธของความสมพนธทไดแลวแทนคาของแตละระยะการกระจดเสมอน s ในเทอมของ q



3) ใชสมการงานเสมอน (3.1) เขยนสมการงานเสมอน (virtual work equation) ส าหรบระบบทสมมตขนมา วามความเปนไปไดหรอไม โดยแตละพกดของต าแหนงทเปนไปได s ทถกแรงกระท าจนท าใหเกดระยะการกระจดเสมอนทเปนบวก s ถาหากวาแรงหรอโมเมนตของแรงคควบอยในทศทางเดยวกบทศทางของงานเสมอนทเปนบวกแลวงานทไดจะมคาเปนบวก หากเปนตรงกนขาม งานทไดจะมคาเปนลบ (3.2) เขยนงานของแตละแรงและโมเมนตของแรงคควบในสมการใหอยในเทอมของ q (3.3) รวมเทอมของระยะการกระจดเสมอนทสมมตขนมาทงหมด แลวท าการหาตวแปรทไมทราบคา ไมวาจะเปน แรง โมเมนตของแรงคควบ หรอ ต าแหนงของความสมดล q



ตวอยางท 9.1 จงหามม ส าหรบการคงอยในสภาวะสมดลของกลไก 2 ชนสวนดงรปท 9.6 ก าหนดใหแตละชนสวนมมวล kg10


รปท 9.7 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 9.1 เขยนผงวตถอสระ ระบบนมดกรขนความเสรเทากบหนงเทานน เนองจากต าแหนงของกลไกทงสองสามารถระบไดเพยงพกดเดยว )( q แสดงดงผงวตถอสระรปท 9.7 เมอมม มคาเปนบวก (ทศทางตามเขมนาฬกา) การหมนเสมอน (virtual rotation) เปน มเพยงแรง F และ แรงเนองจากน าหนก N1.98 ทงสองเทานนทท าใหเกดงาน (แรงปฏกรยา xD และ yD ถกยดอยกบท และ แรง yB ไมอยในทศทางการกระท าของแรง) หาระยะการกระจดเสมอน ถาพกดในตอนเรมตนถกก าหนดโดยวดจากหมด D ทถกยดแนนอยกบท ดงนน ต าแหนงของแรง F และ W สามารถระบดวยพกดบอกต าแหนงเปน Bx และ Wy ในการหางานตองใชพกดในทศทางทขนานกบทศทางการกระท าของแรง จงสามารถเขยนพกดบอกต าแหนงในเทอมของ และ หาอนพนธ จะไดวา



mxB cos12 mxB sin2 (1)

myW sin12

1 myW cos5.0 (2)

จากเครองหมายทแสดงในสมการและจากรปท 9.7 จะพบวาเมอมม เพมขนเปน จะท าใหระยะ Bx ลดลงและ ระยะ Wy เพมขน สมการของงานเสมอน ถาระยะการกระจดเสมอน Bx และ Wy เปนบวกทงค ดงนน แรง F และ W กท าใหเกดงานทเปนบวก เนองจากแรงและระยะการกระจดทเกดจากแรงนยอมอยในทศทางเดยวกน เพราะฉะนน สมการงานเสมอนส าหรบระยะการกระจด หาไดจาก 0;0 BWW xFyWyWU (3)

แทนคาจากสมการ (1) และ (2) ลงในสมการ (3) เพอทจะหาความสมพนธของระยะการกระจดเสมอนกบระยะการกระจดเสมอนทวๆไป จะได 0sin225cos5.01.98cos5.01.98 จะพบวา “งานเปนลบ” ทเกดจากการกระท าของแรง F (แรงมทศทางตรงขามกบระยะการกระจด) เกดขนจรงส าหรบสมการดานบนโดยสงเกตจาก “เครองหมายลบ” ของสมการ (1) หาค าตอบโดยการรวมเทอมของระยะการกระจดทวๆไป และ หาค าตอบในเทอมของ จะไดวา 0sin50cos1.98 เนองจากวา 0 0sin50cos1.98

50

1.98tan

50

1.98tan 1

.0.63 Ans



ตวอยางท 9.2 จงหาแรง P ในรปท 9.8 ทท าใหกลไกอยในสภาวะสมดล เมอ 60 โดยสปรงไมยดตวทมม 30 ทงนไมพจารณามวลของกลไก





เขยนผงวตถอสระ มเพยงแรง sF และ P เทานนทท าใหเกดงานเมอระยะการกระจดเสมอนเปนบวก ดงรปท 9.9 โดยทต าแหนงใดๆ สปรงถกยดออกไปดวยระยะ 30sin3.0sin3.0 mm เพราะฉะนน จะไดวา 30sin3.0sin3.0/5000 mmmNskFs N)750sin1500( หาระยะการกระจดเสมอน พกดบอกต าแหนง Bx และ Dx วดจากจดหยดนง A เปนต าแหนงของแรง sF และ P ตามล าดบ ซงพกดเหลานขนานกบแนวกระท าของแรงดวย เขยน Bx และ Dx ใหอยในเทอมของมม โดยใชกฎของตรโกณมต จะได sin3.0 mxB sin3.03 mxD sin9.0 m หาอนพนธของสมการขางบน จะไดระยะการกระจดเสมอนของจด B และ D เปน cos3.0Bx (1) cos9.0Dx (2) สมการงานเสมอน แรง P ท าใหเกดงานทเปนบวกเนองจากกระท าในทศทางของระยะ การกระจดเสมอนทเปนบวก แรงเนองจากสปรง sF ท าใหเกดงานทเปนลบเนองจากกระท าในทศทางตรงกนขามกบระยะการกระจดเสมอน ดงนน สมการงานเสมอนหาไดจาก 0;0 DBs xPxFU 0cos9.0cos3.0750sin1500 P 0cos9.0cos450225 Pnsi 0cossin4502259.0 P เนองจาก 0cos จะได 0sin4502259.0 P เมอ 60 จะไดแรง P 060sin4502259.0

P .183 AnsNP



ตวอยางท 9.3 ถากลองดงรปท 9.10 มมวล kg10 จงหาโมเมนตของแรงคควบ M ทท าใหระบบอยในสภาวะสมดล เมอ 60 โดยไมพจารณามวลของชนสวน


รปท 9.11 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 9.3 เขยนผงวตถอสระ เมอมม หมนไปดวยระยะการกระจดเสมอนเปนมม มเพยงโมเมนตของแรงคควบ M และน าหนกของกลองเทานนทท าใหเกดงาน ดงรปท 9.11 หาระยะการกระจดเสมอน พกดบอกต าแหนง Ey วดจากจดหยดนง B เปนต าแหนงของน าหนกของกลอง NN 1.9881.910 ในทน จะได



bmyE sin45.0 เมอ b เปนระยะคงท หาอนพนธของสมการขางบน จะได cos45.0 myE (1) สมการงานเสมอน ส าหรบสมการงานเสมอน จะกลายเปน 01.98;0 EyNMU แทนคาสมการ (1) ลงในสมการขางบน จะได 0cos45.01.98 mNM 0cos145.44 M เนองจาก 0 จะได 0cos145.44 M เมอ 60 จะได 060cos145.44

M .1.22 AnsmNM



แบบฝกหดตอนท 1 9.1 จงเขยนผงวตถอสระและหาขนาดของแรง P ทท าใหกลไกอยในสภาวะสมดลดงรปท 9.12 เมอ

60 ก าหนดใหแตละชนสวนมมวล kg10

รปท 9.12 ประกอบแบบฝกหดขอท 9.1 9.2 จงใชวธของงานเสมอนส าหรบหาโมเมนตของแรงคควบ M ทท าใหระบบอยในสภาวะสมดล ดงรปท 9.13




9.3 กลไกดงรปท 9.14 รบแรง kNP 2 จงเขยนผงวตถอสระและหามม ทท าใหระบบอยในสภาวะสมดล สปรงยงไมมการยดตวเมอมม 0 โดยทไมพจารณามวลของชนสวน

รปท 9.14 ประกอบแบบฝกหดขอท 9.3 9.4 แตละชนสวนของกลไกทงสองมมวล m และความยาว l โดยรบแรง P ดงรปท 9.15 จงเขยนผงวตถอสระและหามม ทท าใหระบบอยในสภาวะสมดล




9.4 เสถยรภาพ 9.4.1 แรงอนรกษ งานทเกดจากแรงขนอยกบต าแหนงในตอนเรมตนและต าแหนงสดทายเทานน โดยไมขนอยกบแนวการกระท าของแรง ดงนน จะเรยกแรงนวา แรงอนรกษ (conservative force) ซงน าหนกของวตถและแรงของสปรงเปนตวอยางของแรงอนรกษ น าหนก พจารณากลองทมน าหนก W เคลอนทไปตามเสนทางดงรปท 9.16(ก) เมอเคลอนทขนไปตามเสนทางไดระยะเทากบ rd จะไดงานมคาเปน rdWUd หรอ

ydWrdWUd cos แสดงดงรปท 9.16(ข) ในกรณน งานทไดมเครองหมายเปนลบเนองจาก W กระท าในทศทางตรงกนขามกบระยะ yd ดวยเหตน ถากลองเคลอนทจากจด A ถง จด B ทมความสงเทากบ h งานทไดเขยนอยในรปเปน

hWydWU

h

0

(9.7)

น าหนกของวตถใดๆถอวาเปนแรงอนรกษ เนองจากงานทไดจากน าหนกขนอยกบระยะการกระจดในแนวดง (vertical displacement) ของวตถเทานน ซงไมขนอยเสนทางการเคลอนทของวตถ

(ก) เสนทางการเคลอนทของกลอง (ข) แตกการกระจดอยในทศทางของแรง รปท 9.16 การหางานของการเคลอนทของกลอง แรงของสปรง พจารณาสปรงดงรปท 9.17 ทมระยะยดเทากบ sd งานทไดจากแรงของสปรงกระท าตอกลองมคาเปน sdsksdFUd s งานทไดมเครองหมายเปนลบเนองจาก sF กระท าในทศทางตรงขามกบระยะยดของสปรง sd ดงนน งานทไดจากแรง sF เมอกลองเคลอนทจาก 1ss ถง 2ss หาไดจาก

2

122

2

1

2

12

1

sksksdskU

s

s

(9.8)



ในทน งานทไดขนอยกบต าแหนงในตอนเรมตนและสดทายของสปรงเทานนคอ 1s และ 2s โดยวดจากต าแหนงของสปรงทยงไมยดตว เนองจากผลลพธทไดไมขนอยกบเสนทางการเคลอนทของกลอง ดงนน แรงของสปรงจงเปนแรงอนรกษดวย

รปท 9.17 การหางานทเกดจากแรงของสปรง

9.4.2 พลงงานศกย เมอแรงอนรกษกระท ากบวตถจะท าใหวตถนนมศกยภาพเพยงพอทจะท าใหเกดงานได ซงศกยภาพนจะวดออกมาในรปของ พลงงานศกย (potential energy) โดยขนอยกบต าแหนงของวตถเทยบกบจดอางองอยกบท พลงงานศกยของความโนมถวง (gravitational potential energy) ถาวตถอยเหนอจากแกนอางองในแนวนอนทอยกบทเปนระยะ y ดงรปท 9.18 น าหนกของวตถเกดพลงงานศกยของความโนมถวงทเปนบวก gV เนองจาก W มศกยภาพทจะท าใหเกดงานทเปนบวกเมอเคลอนทไปยงจดอางองทอยกบท ในท านองเดยวกน ถาวตถอยดานลางหางจากแกนอางองเปนระยะ y แลว gV จะมคาเปนลบเนองจากน าหนกท าใหเกดงานทเปนลบเมอวตถเคลอนทยอนกลบไปยงแกนอางอง โดยทจดอางองนให 0gV เมอวดระยะ y ดานบนใหเปนบวก แลวพลงงานศกยของความโนมถวงของน าหนกของวตถ W มคาเปน yWVg (9.9)

พลงงานศกยของความยดหยน (elastic potential energy) เมอสปรงยดออกหรอหดสนลงดวยระยะ s จากต าแหนงทยงไมมการยดตว พลงงานทถกเกบไวในสปรงเรยกวา พลงงานศกยของความยดหยน (elastic potential energy) ซงเขยนอยในรป

2

2

1skVe (9.10)



รปท 9.18 พลงงานศกยของความโนมถวงของวตถ พลงงานศกยของความยดหยนจะมคาเปนบวกเสมอ เนองจากแรงของสปรงกระท ากบวตถทเชอมตออยดวยกนท าใหเกดงานทเปนบวกกบวตถนนเหมอนกบแรงดงกลบไปยงต าแหนงทยงไมมการยดตวของสปรงดงรปท 9.19 ฟงกชนศกยภาพ (potential function) โดยทวไป ถาวตถรองรบทงแรงเนองจากความโนมถวงและแรงเนองจากสปรง พลงงานศกยหรอฟงกชนศกยภาพ V ของวตถสามารถเขยนอยในรปไดเปน eg VVV (9.11)

เมอท าการหาพลงงานศกย V โดยขนอยกบต าแหนงของวตถเทยบกบแกนอางองทเลอกใหมความเหมาะสมแลวใชสมการ (9.9) และ (9.10) ถาระบบประกอบดวยวตถแขงเกรงทไมมความเสยดทานโดยมดกรของขนความเสรเปนหนง นนคอ ต าแหนงทวดในแนวตงของวตถจากแกนอางอง ก าหนดใหมพกดเปน q ดงนน ฟงกชนศกยภาพของระบบสามารถเขยนไดเปน qVV สามารถหางานทท าไดจากน าหนกและแรงของสปรงทงหมดทกระท ากบระบบทเคลอนทจาก 1q ถง 2q โดยการหาอนพนธของ V ซงเขยนเปนสมการไดเปน 2121 qVqVU (9.12)



รปท 9.19 พลงงานศกยของความยดหยนของสปรง

ตวอยางเชน ฟงกชนศกยภาพส าหรบระบบทประกอบดวยกลองทมน าหนก W ซงรองรบดวยสปรงดงรปท 9.20(ก) สามารถเขยนพกด )( q ไดเปน y โดยวดจากต าแหนงแกนอางองทอยกบทซงเปนต าแหนงของสปรงทยงไมมการยดหยน ในทนเขยนไดเปน eg VVV

2

2

1ykyW (9.13)

ถากลองเคลอนทจาก 1y ถง 2y ประยกตใชสมการ (9.12) งานทไดจาก W และ

sF เขยนไดเปน 2121 yVyVU

22

2121

2

1yykyyW



(ก) สปรงรองรบกลองน าหนก W (ข) ผงวตถอสระของกลอง รปท 9.20 การหาฟงกชนของศกยภาพของระบบ

9.4.3 เกณฑก าหนดพลงงานศกยส าหรบความสมดล

ถาระบบทเชอมตอกนแบบไมคดความเสยดทานมดกรขนความเสรเทากบหนง และพกดของต าแหนงระบไดเปน q หลงจากนนวตถเคลอนทจาก q ถง qdq ดงนน สมการ (9.12) เขยนใหมเปน qdqVqVUd หรอ VdUd ถาระบบอยในสภาวะสมดลและมระยะการกระจดในแนวตงเปน q ซงมากกวาระยะการกระจดจรง qd ดงนนสมการดานบนจะกลายเปน VU แตจากหลกการพนฐานของงานเสมอนทวา 0U และจะไดวา 0V และ สามารถเขยนรปสมการใหมไดเปน

0/ qdqVdV แตเนองจาก 0q ดงนน สามารถเขยนความสมพนธไดเปน

0qd

Vd (9.14)

ในทนสามารถกลาวไดวา เมอระบบทมการเชอมตอกนแบบไมคดความเสยดทานของวตถแขงเกรงอยในสภาวะสมดลแลวอนพนธอนดบหนงของฟงกชนของศกยภาพจะมคาเปนศนย จากตวอยาง สมการ (9.13) สามารถหาต าแหนงสมดลของสปรงและกลองดงรปท 9.20(ก) ไดจาก

0 kyWyd

Vd

ในทน จะไดต าแหนงสมดล eqyy เปน



k

Wyeq

เชนเดยวกน จะไดผลลพธเทากนเมอใชสมการสมดล 0yF กบแรงทกระท าในผงวตถอสระของกลองแสดงดงรปท 9.20(ข) 9.4.4 เสถยรภาพของความสมดล ฟงกชนศกยภาพ V ของระบบสามารถใชในการหาความมเสถยรภาพของเกณฑของความสมดลได ซงถกแยกออกเปน มเสถยรภาพ (stable) เปนกลาง (neutral) หรอ ไมเสถยรภาพ (unstable) รายละเอยดดงตอไปน สมดลแบบมเสถยรภาพ (stable equilibrium) ระบบจะถกกลาววามเสถยรภาพ ถาระบบนนสามารถยอนกลบไปอยในต าแหนงในตอนเรมตนไดเมอเคลอนทไปไดระยะการกระจดเพยงเลกนอย ตวอยางแสดงดงรปท 9.21(ก) เมอแผนจานเคลอนทไปไดระยะการกระจดเพยงเลกนอย จดศนยกลางมวล G กสามารถหมนกลบมาอยในต าแหนงสมดลไดเสมอ ซงอยในต าแหนงต าทสดของการเคลอนท ซงเปนจดทพลงงานศกยของแผนจานมคาต าทสด สมดลแบบเปนกลาง (neutral equilibrium) ระบบจะถกกลาววาอยในสภาวะสมดลแบบเปนกลาง ถาระบบอยในสภาวะสมดลไดเสมอเมอระบบเคลอนทไปไดระยะการกระจดเพยงเลกนอยจากจดเรมตนในตอนแรก โดยทเงอนไขของความสมดลแบบน จะพบวาพลงงานศกยของระบบมคาคงท สมดลแบบเปนกลางแสดงดงรปท 9.21(ข) ซงแผนจานถกยดแนนดวยหมดไวทจด G ในทกครงทแผนจานหมนไป ต าแหนงสมดลต าแหนงใหมจะอยทเดมเสมอ และ พลงงานศกยไมเปลยนแปลง สมดลแบบไมเสถยรภาพ (unstable equilibrium) ระบบจะถกกลาววาไมมเสถยรภาพ ถาระบบไมมโอกาสมาอยในต าแหนงสมดลในตอนแรกได เมอเคลอนทไปไดระยะการกระจดเพยงเลกนอย โดยพลงงานศกยของระบบในเงอนไขนจะมคามากทสด ต าแหนงของสมดลแบบไมมเสถยรภาพของแผนจานแสดงดงรปท 9.21(ค) จะพบวา แผนจานหมนไปจากต าแหนงสมดลเมอจดศนยกลางมวลเปลยนต าแหนงไปเพยงเลกนอย ทต าแหนงสงสดน พลงงานศกยจะมคาสงสด ระบบทมดกรขนความเสรเปนหนง (one degree of freedom system) ถาระบบมดกรขนความเสรเปนหนงและต าแหนงของระบบนนถกระบดวยพกดเปน q ดงนน ฟงคชนศกยภาพ V ส าหรบระบบในเทอมของ q สามารเขยนเปนกราฟไดดงรปท 9.22 เมอพจารณาระบบอยในสภาวะสมดล ดงนน qdVd / แสดงถงความชนของฟงคชนตองมคาเทากบศนย ในการหาความเสถยรภาพทต าแหนงทมความสมดลตองใชการหาอนพนธอนดบทสองของฟงคชนศกยภาพ



(ก) สมดลแบบมเสถยรภาพ (ข) สมดลแบบเปนกลาง (ค) สมดลแบบไมเสถยรภาพ

รปท 9.21 เสถยรภาพของความสมดลของแผนจาน ถา 22 / qdVd มคามากกวาศนย ดงรปท 9.22(ก) พลงงานศกยของระบบจะมคานอยทสด ซงเปนการแสดงวาระบบมความสมดลในเงอนไขทเรยกวา มเสถยรภาพ ดวยเหตน สามารถสรปไดวา

0,02

2

qd

Vd

qd

Vd สมดลแบบมเสถยรภาพ (9.15)

ถา 22 / qdVd มคานอยกวาศนย ดงรปท 9.22(ข) พลงงานศกยของระบบจะมคามากทสด ซงเปนการแสดงวาระบบมความสมดลในเงอนไขทเรยกวา ไมมเสถยรภาพ สามารถสรปไดวา

0,02

2

qd

Vd

qd

Vd สมดลแบบไมเสถยรภาพ (9.16)

ถา 22 / qdVd มคาเทากบศนยและถาหากวาอนพนธอนดบทสงขนเรอยๆนนมคาเทากบศนยดวย ระบบนนจะกลาววาอยในสภาวะสมดลแบบเปนกลาง ดงรปท 9.22(ค) สามารถสรปไดวา

0...3

3

2

2

qd

Vd

qd

Vd

qd

Vd สมดลแบบเปนกลาง (9.17)

โดยเงอนไขนเกดขนไดกตอเมอฟงคชนศกยภาพของระบบมคาคงทเทานน



(ก) สมดลแบบมเสถยรภาพ (ข) สมดลแบบไมเสถยรภาพ (ค) สมดลแบบเปนกลาง รปท 9.22 กราฟฟงคชนศกยภาพของระบบ

ขนตอนการแกปญหา โดยการใชวธของพลงงานศกย ต าแหนงของความสมดลและความเสถยรภาพของวตถหรอระบบของวตถทมการเชอมตอกนและมดกรขนความเสรเปนหนงสามารถหาไดโดยใชขนตอนดงตอไปน 1) เขยนฟงกชนศกยภาพ (1.1) วาดระบบทระบดวยต าแหนงใดๆดวยพกด q (1.2) เขยนแกนอางองในแนวนอนผานจดหยดนงใดๆ และ เขยนพลงงานศกยของความโนมถวง gV ใหอยในเทอมของน าหนก W ของแตละชนสวนและระยะการกระจดในแนวตง y วดจากแกนอางอง จะได yWVg (1.3) เขยนพลงงานศกยของความยดหยน eV ของระบบในเทอมของระยะยด

s ของสปรง จะได 2

2

1skVe

(1.4) เขยนฟงกชนศกยภาพ eg VVV และเขยนพกดบอกต าแหนง y และ s ใหอยในเทอมของพกดเพยงอนเดยว q 2) หาต าแหนงสมดล (2.1) ต าแหนงสมดลของระบบสามารถหาไดดวยการหาอนพนธอนดบทหนงของ V และจดผลลพธใหมคาเทากบศนย, 0/ dqdV 3) หาความเสถยรภาพ (3.1) ความเสถยรภาพทต าแหนงสมดลสามารถหาไดดวยหาอนพนธอนดบทสองหรอมากกวาของฟงกชน V (3.2) ถาอนพนธอนดบทสองมคามากกวาศนยจะไดวาระบบอยในสภาวะสมดลแบบมเสถยรภาพ, ถาอนพนธทกๆอนดบมคาเทากบศนยจะไดวาระบบอยในสภาวะสมดลแบบเปนกลาง และ ถาอนพนธอนดบทสองมคานอยกวาศนยจะไดวาระบบอยในสภาวะสมดลแบบไมเสถยรภาพ



ตวอยางท 9.4 กลไกดงรปท 9.23 มมวลเทากบ kg10 ถาสปรงยงไมมการยดเมอมม 0 จงหามม ทท าใหระบบอยในต าแหนงสมดลและหาความเสถยรภาพของสมดลในต าแหนงนนดวย


รปท 9.24 ผงวตถอสระประกอบตวอยางท 9.4 หาฟงคชนศกยภาพ ส าหรบแกนอางองก าหนดเอาไวทต าแหนงต าสดของกลไก ดงรปท 9.24 เมอระบบอยในต าแหนงมมใดๆ สปรงมการเพมพลงงานศกยจากการยดตวออกและน าหนกของกลไกท าใหพลงงานศกยลดลงไป จะไดวา



eg VVV

2

2

1skyW

เนองจาก coslsl หรอ cos1 ls และ cos2/ly ดงนน

22 cos12

1cos

2

lk

lWV

หาต าแหนงสมดล หาไดโดยการหาอนพนธอนดบทหนงของฟงคชน V

0sincos1sin2

2

lklW

d

dV

หรอ จดรปใหมได

0sin2

cos1

W

lkl

สมการขางบนมความเปนไปไดเมอ 0sin .0 Ans

และ 0

2cos1

Wlk

kl

W

2cos1

kl

W

21cos

kl

W

21cos 1

6.02002

81.9101cos 1

.8.53 Ans



หาความเสถยรภาพ ท าไดโดยการหาอนพนธอนดบทสองของฟงคชน V จะได

sinsincoscos1cos2

2

2

2

klWl

d

Vd

แทนคามม 0 และ 8.53 ลงในสมการดานบน จะได

0sin0cos0cos16.02000cos2

6.081.910 22

0

2

2

d

Vd

043.29 สมดลแบบไมเสถยรทมม 0 .Ans

8.53sin8.53cos8.53cos16.0200

8.53cos2

6.081.910

22

8.53

2

2

d

Vd

651.0242.07238.17 091.46 สมดลแบบเสถยรทมม 8.53 .Ans



แบบฝกหดตอนท 2 9.5 สปรงมคาความแขงเทากบ mkNk /10 และยงไมมการยดตวเมอมม 45 ถากลไกอยในสภาวะสมดลดงรปท 9.25 เมอมม 60 จงหาน าหนกของทรงกระบอก D โดยไมคดน าหนกของชนสวนอน แทง AB สามารถเคลอนทในแนวระดบไดตลอดเวลาเนองจากปลอกไถลขนในแนวดงไดอยางอสระ

รปท 9.25 ประกอบแบบฝกหดขอท 9.5 9.6 จงหามม ทท าใหกลองมวล kg100 อยในสภาวะสมดลดงรปท 9.26 และหาความเสถยรภาพของแตละต าแหนง เมอก าหนดให mkNk /6 และความยาวของสปรงกอนยดตวเทากบ mm225




9.7 ถากลไกอยในสภาวะสมดลดงรปท 9.27 เมอ 30 จงหามวลของแทง BC ก าหนดใหคาความแขงเกรงของสปรง mkNk /2 และ สปรงยงไมยดตวเมอ 0 โดยไมพจารณามวลของกลไกน

รปท 9.27 ประกอบแบบฝกหดขอท 9.7 9.8 แทง OA รปแบบแนนอนมน าหนกเทากบ N100 และสปรงยงไมยดตวเมอแทง OA อยในแนวตง จงหาต าแหนงของ ทท าใหระบบอยในสภาวะสมดลดงรปท 9.28 พรอมทงหาความมเสถยรภาพของต าแหนงนนมาดวย




บทสรป 1) งานเสมอนทไดจากแรงหาไดจากสมการ rFU 2) งานเสมอนทไดจากโมเมนตของแรงคควบหาไดจากสมการ MU 3) หลกพนฐานของงานเสมอนกลาววาผลรวมของงานเสมอนทกระท าโดยแรงหรอโมเมนตของแรงคควบมคาเทากบศนย 0U 4) พลงงานศกยของความโนมถวงหาไดจากสมการ yWVg

5) พลงงานศกยของความยดหยนหาไดจากสมการ 2

2

1skVe

6) ฟงคชนศกยภาพหาไดจากสมการ eg VVV 7) เกณฑทใชในการก าหนดเงอนไขความสมดลของระบบวตถแขงเกรงทมการเชอมตอกน หา

ไดจากเงอนไขของสมการ 0qd

Vd

8) ระบบทมดกรขนความเสรเทากบหนงแบงความเสถยรภาพของระบบออกไดตามเงอนไขดงน

0,02

2

qd

Vd

qd

Vd สมดลแบบเสถยรภาพ

0,02

2

qd

Vd

qd

Vd สมดลแบบไมเสถยรภาพ

0...3

3

2

2

qd

Vd

qd

Vd

qd

Vd สมดลแบบเปนกลาง



แบบทดสอบบทท 9 9.1 จงเขยนผงวตถอสระและหามม ทท าใหแทงมวล kg50 อยในสภาวะสมดลดงรปท 9.29 โดยสปรงยงไมยดตวทมม 60

รปท 9.29 ประกอบแบบทดสอบขอท 9.1 9.2 กลไกดงรปท 9.30 รบแรง kNP 6 จงเขยนผงวตถอสระและหามม ทท าใหระบบอยในสภาวะสมดล โดยสปรงยงไมมการยดตวทมม 60 และไมพจารณามวลของกลไก




9.3 สปรงมระยะทยงไมยดตวเมอมม 90 ถกตออยกบกลไกดงรปท 9.31 จงหามม ทท าใหระบบอยในสภาวะสมดลและหาความเสถยรภาพของกลไกทต าแหนงนนดวย เมอแผนดสค A ถกตอดวยหมดย าทต าแหนง B และมน าหนกเทากบ N100

รปท 9.31 ประกอบแบบทดสอบขอท 9.3 9.4 แทงมน าหนกคงทเทากบ W จงหามม ทท าใหระบบอยในสภาวะสมดลดงรปท 9.32 โดยสปรงยงไมถกกดทมม 90 เมอไมมพจารณามวลของลกกลง








บรรณานกรม

มนตร พรณเกษตร. (2554). กลศาสตรวศวกรรม : ภาคสถตยศาสตร. กรงเทพฯ : วทยพฒน. วระศกด กรยวเชยร และ คณะ. (2551). กลศาสตรวศวกรรม : ภาคสถตยศาสตร. กรงเทพฯ : วทยพฒน. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons. http://www.electron.rmutphysics.com/teaching- glossary/index.php?option=com_

content&task=view&id=2508&Itemid=11 http://www.lesa.biz/astronomy/cosmos/galileo http://writer.dek-d.com/oshitari/story/viewlongc.php?id=417778&chapter=6 http://megatopic.blogspot.com/2013/07/albert-einstein.html http://sarakadeeclub.blogspot.com/2013/07/blog-post_6210.html http://www.vcharkarn.com/vblog/59198 http://www.manacomputers.com/erwin-schrodinger http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/4/10-physicist/index5.htm http://www.macthai.com/2014/01/23/all-new-honda-city-2013-thai-with-siri-eye-free- iphone-ipad/ http://region3.prd.go.th/Environment/index.php/2010-09-16-08-44-20/6-2010-09-16- 08-43-32.html http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/7/vector/vector4.htm http://www.rmutphysics.com/CHARUD/oldnews/180/physics2/Physics2_4.files/frame.h http://www.mycutegraphics.com/graphics/valentines-day/boy-pushing-wheelbarrow- http://www.makitathailand.com/p/153/dp-4700-%E0%B8%AA%E0%B8%A7%E0% B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8% 9F%E0%B9%89%E0%B8%B2-1_2 http://th.88db.com/thailand/Bangkok-Area+Bang-Kho-Laem/Business- Services/Industrial-Products/ad-1463204/ http://science.howstuffworks.com/transport/engines-equipment/pulley.htm http://www.banidea.com/lamp-vintage-diy-bootsngus/lamp-vintage-6/



บรรณานกรม (ตอ)

http://www.gunsandgames.com/smf/index.php?topic=95200.0 http://artytoy.tarad.com/product.detail_685082_th_4624301 http://www.plakard.com/id-4de76f60e216a73304000050.html http://portal.rotfaithai.com/modules.php?name=Forums&file=viewtopic&t=1293


ภาคผนวก




ภาคผนวก ก

ใบงาน



ใบงานท 1 การคานวณหาน าหนกของวตถ 319


ใบงานท 1

เรอง การคานวณหาน าหนกของวตถ วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล........................................................รหสนกศกษา........................................หอง................... วตถประสงค

1. เพอใหนกศกษาสามารถใชเครองชงน าหนกและสปรงวดแรงได 2. เพอใหนกศกษาสามารถแปลงหนวยของน าหนกของวตถได 3. เพอใหนกศกษาเปรยบเทยบน าหนกทไดจากสปรงวดแรงกบสมการหาน าหนกของวตถ

ทฤษฎทเกยวของ จากกฎของนวตนเกยวกบแรงดงดดระหวางอนภาคสองอนภาคสามารถหาแรงดงดดระหวางวตถใดๆกบโลกได นนคอการหาน าหนกของวตถใดๆ สาหรบการหาน าหนกของวตถคานวณไดจากสมการ mgW (1)

โดยท น าหนก W มหนวยเปนนวตน )(N มวล m มหนวยเปนกโลกรม )(kg และความเรงเนองจากแรงดงดดของโลก g มคาเทากบ 9.81 หนวยเปน )( 2

sm ในระบบหนวยสากล และน าหนก W มหนวยเปนปอนด )(lb มวล m มหนวยเปน slug ).( 2

ftslb และความเรงเนองจากแรงดงดดของโลก g มคาเทากบ 32.2 หนวยเปน )( 2

sft ในระบบหนวยองกฤษ

การแปลงหนวยของน าหนกของวตถระหวางหนวยนวตนและปอนด คอ น าหนก 1 ปอนด เทากบ 4.448 นวตน หรอ 1 นวตน เทากบ 0.225 ปอนด

วสดและอปกรณ 1. เครองชงน าหนกแบบดจตอล

2. สปรงวดแรงขนาด 10 นวตน

3. ประแจปากตาย

4. คมลอค

5. ไขควง 6. ประแจเลอน

7. ตลบเมตร

วธการทดลอง 1. นาประแจปากตายไปชงน าหนกดวยเครองชงดจตอลแลวบนทกน าหนกของประแจใน

หนวยกโลกรม



รปท 1 การชงน าหนกของประแจปากตายดวยเครองชงดจตอล

2. แปลงน าหนกทอานไดจากเครองชงดจตอลใหอยในหนวยนวตนโดยใชสมการ [1]

3. ชงประแจปากตายอกคร งดวยสปรงวดแรงแลวบนทกน าหนกทไดในหนวยนวตน

รปท 2 ชงประแจปากตายดวยสปรงวดแรง

4. แปลงน าหนกทอานจากสปรงวดแรงใหอยในหนวยปอนด

5. ทาการทดลองซ าขอ 1- 4 โดยเปลยนวตถเปน คมลอค ไขควง ประแจเลอน และ ตลบเมตร, ตามลาดบ

ใบงานท 1 การคานวณหาน าหนกของวตถ 319


รปท 3 แสดงคมลอค ไขควง ประแจเลอน และตลบเมตร ทใชในการทดลอง

6. คานวณหาความแตกตางของน าหนกของวตถแตละชนดทไดจากขอ 2 และ ขอ 3 แลวทาการเปรยบเทยบความแตกตางและสรปผลการทดลอง

ตารางบนทกผลการทดลอง

อปกรณ

เครองชง ดจตอล

สปรง วดแรง

หนวยปอนด

ความแตกตาง

(kg) (N) (N) (lb) (N)

ประแจปากตาย

คมลอค

ไขควง ประแจเลอน

ตลบเมตร



วเคราะหผลการทดลอง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สรป

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

ใบงานท 10 การสรางโครงถกอยางงาย 357



เรอง การสรางโครงถกอยางงาย วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล......................................................รหสนกศกษา........................................หอง........... ........ วตถประสงค 1. เพอใหนกศกษาสามารถออกแบบและสรางโครงถกอยางงายได

ทฤษฎทเกยวของ โครงถกระนาบอยางงาย

โครงถก (truss) เปนชนสวนของโครงสรางมลกษณะเปนชนสวนบางๆทประกอบเขาดวยกนทจดปลายของแตละชนสวน ชนสวนเหลานโดยทวไปจะเปนชนไมหรอแทงเหลก ซงโครงถกระนาบ (planar truss) จะเปนโครงถกทวางอยในระนาบเดยวและโดยทวไปจะใชเปนโครงหลงคาและสะพาน โครงถกทแสดงดงรปท 1(ก) เปนโครงถกทใชในโครงหลงคา พบวานาหนกของหลงคาจะกระจายไปยงโครงถกเปนจดหรอขอตอของหลงคา เนองจากนาหนกของหลงคาจะกระจายอยในระนาบเดยวกนดงรปท 1(ข) การวเคราะหถงแรงทกระทาในชนสวนโครงถกจงวเคราะหแบบ 2 มต

(ก) (ข) โครงถกของโครงสรางหลงคา การวเคราะหแรง 2 มต

รปท 1 โครงสรางหลงคา (ทมา : http://www.plakard.com/id-4de76f60e216a73304000050.html) ในกรณของโครงถกทใชทาโครงสะพานแสดงดงรปท 2(ก) พบวา นาหนกของสะพานจะถายเทมายงคานตามยาว หลงจากนน จะถายเทผานมายงคานตามขวางและ สดทายกจะถกถายเทไปยงจดเชอมตอของโครงถกแตละค คลายๆกบการวเคราะหโครงหลงคาคอแรงจะกระจายในระนาบแสดงดงรปท 2(ข) เมอโครงสะพานหรอโครงหลงคาทมความยาวมากจะรองรบปลายดานหนงไวดวย ลกกล ง (roller) เพอรองรบการขยายตวของชนสวนอนเนองมาจากอณหภมหรอการรบนาหนก



(ก) โครงถกของโครงสรางสะพาน

(ข) การวเคราะหแรง 2 มต

รปท 2 โครงสรางสะพาน (ทมา : http://portal.rotfaithai.com/modules.php?name=Forums&file= viewtopic&t=1293) ขอก าหนดการออกแบบโครงถก

ในการออกแบบชนสวนโครงถกและจดเชอมตอ มความจาเปนตองหาแรงทกระทาในแตละชนสวนเมอโครงถกรบแรง ในการนไดมขอกาหนด 2 ขอดงน 1) แรงทงหมดกระท าทจดเชอมตอของชนสวน ทงโครงสะพานและโครงหลงคาขอกาหนดนใชไดจรง เนองจากนาหนกของชนสวนโครงถกจะนอยมากเมอเทยบกบนาหนกทโครงถกตองรบเอาไว 2) ชนสวนเชอมตอกนดวยหมดผวเรยบ ขอตอทมการเชอมตอดวยหมดทปลายดานหนงเขากบแผนเหลก ดงรปท 3(ก) หรอ เชอมตอกนดวยหมดขนาดใหญหรอหมดระหวางชนสวนเหลานน ดงรปท 3(ข) ซงจะใหขอกาหนดทวาการเชอมตอเหลานเปนการเชอมตอกนดวยหมดเพอใหถอไดวามแรงกระทาผานจดศนยกลางจดเดยวกน



(ก) การเชอมตอหมดกบแผนเหลก (ข) การเชอมตอดวยหมดขนาดใหญ รปท 3 จดเชอมตอดวยหมดของโครงถก

จากขอกาหนดทง 2 ขอขางตน พบวาแตละชนสวนของโครงถกจะเปนชนสวนรบแรงสองแรง (two force member) หมายความวาแรงทกระทาผานจดปลายของชนสวนจะเปนแรงชนดเดยวกนตลอดชนสวนนน ตวอยางเชน ถาชนสวนรบแรงแลวมความยาวเพมขน (elongate) แสดงวาตลอดชนสวนนนจะรบแรงดง (tensile force, T ) ดงรปท 4(ก) ตรงกนขาม หากชนสวนนนรบแรงแลวมความยาวลดลง (shorten) แสดงวาตลอดชนสวนนนจะรบแรงกด (compressive force, C ) ดงรปท 4(ข) ในการออกแบบโครงถกจะพจารณาถงวาชนสวนจะรบแรงกดหรอแรงดงเปนหลก เพราะหากชนสวนรบแรงกดจะถกออกแบบใหมความหนามากกวาชนสวนทรบแรงดง เนองจากจะเกดการโกงงอไดเมอชนสวนถกแรงกด

รปท 4 ชนสวนของโครงถกทรบแรงสองแรง



6.2.2 โครงถกอยางงาย

เมอชนสวนสามชนถกเชอมตอดวยหมดทตาแหนงจดปลายทงสามจะไดโครงถกทเรยกวา โครงถกแบบสามเหลยม (triangular truss) ซงถอไดวาเปนโครงถกทมความแขงเกรง (rigid frame) ดงรปท 5(ก) เมอประกอบชนสวนเพมเตมเขาไปทตาแหนง D ทาใหไดโครงถกทมขนาดใหญขน ดงรปท 5(ข) โดยสามารถเพมชนสวนจนทาใหโครงถกมขนาดใหญมากขนไดอยางนไปเรอยๆ ถาโครงถกถกขยายขนาดโดยเรมจากโครงถกสามเหลยมพนฐาน (basic triangular truss) ในลกษณะขางตน โครงถกทไดจะถกเรยกวา โครงถกอยางงาย (simple truss)

รปท 5 โครงถกอยางงาย

วสดและอปกรณ 1. สปรงวดแรง 2. ไมไอศกรม 3. สกรขนาดเลก 4. ฐานรองรบโครงถก 5. ประแจปากเลอน ประแจปากตาย เลอย คอนตอกตะป

วธการทดลอง 1. นาไมไอศกรมทเตรยมไวมาทาการขนรปโครงถกอยางงายตามทไดออกแบบไวดงรปท 1(b) ใหยดดวยสกรขนาดเลกและจดขนรปเปนแบบ 3 มต โดยใชไมไอศกรมเปนคานเชอมตอระหวางระนาบของโครงถก 2. นาสปรงวดแรงยดไวทจดตอตรงกลางของคานและอกดานหนงของสปรงใหยดดวยประแจปากเลอน 3. อานคาของนาหนกจากสปรงทคานรองรบได 4. เปลยนจากประแจปากเลอนเปนประแจปากตาย เลอย และคอนตอกตะปแลวทาการทดลองซา และใหสงเกตดวยวาคานเสยรปไปหรอไม



ตารางบนทกผลการทดลอง อปกรณ น าหนกทรบได (N) สภาพของโครงถก

ประแจปากเลอน ประแจปากตาย

เลอย คอนตอกตะป

วเคราะหผลการทดลอง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................



สรป

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ใบงานท 11 การหาแรงในชนสวนของโครงถก 363



เรอง การหาแรงในชนสวนของโครงถก วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล......................................................รหสนกศกษา........................................หอง........... ........ วตถประสงค 1. เพอใหนกศกษาสามารถหาแรงในชนสวนของโครงถกได

ทฤษฎทเกยวของ วธทนยมใชในการค านวณหาขนาดและทศทางของแรงในชนสวนของโครงถกม 2 ชนด คอ 1. วธแบบจด

ในการวเคราะหหรอออกแบบโครงถก มความจ าเปนอยางยงทจะตองท าการหาแรงในแตละชนสวนของโครงถก ส าหรบวธทใชในการหาแรงในชนสวนของโครงถกวธหนงคอ วธแบบจด (method of joint) ซงเปนวธทใชเมอโครงถกอยในสภาวะสมดล สงผลใหจดตอแตละจดอยในสภาวะสมดลไปดวย ดงนน เมอเขยนผงวตถอสระของแตละจดตอเสรจแลว หลงจากนนกใชสมการสมดลของแรงเพอหาแรงทกระท าในแตละจดตอได เพราะวาชนสวนของโครงถกจะเปนชนสวนทรบแรงสองแรงตลอดชนสวน ดงนน จงสามารถใชสมการสมดล 0xF และ 0yF ในการหาแรงภายในของแตละชนสวนได ตวอยางการหาแรงในชนสวนโครงถก พจารณาหมดทจด B ของโครงถกดงรปท 1(ก) ซงมแรง 3 แรงกระท าทหมดนคอ แรงขนาด N500 และแรงในชนสวน BA และ BC สวนผงวตถอสระของหมด B แสดงดงรปท 1(ข) พบวา BAF ดงออกจากหมดน หมายความวา ชนสวน BA รบแรงดง ในขณะท BCF กดเขาไปยงหมดน หมายความวา ชนสวน BC รบแรงกด ผลทเกดขนแสดงใหชดเจนดวยการแยกจดของหมดพรอมชนสวนขนาดเลกทเชอมตออยกบหมด แสดงดงรปท 1(ค) การถกกดหรอถกดงทแสดงยงชนสวนขนาดเลกเนองจากชนสวนนนรบแรงกดหรอแรงดง

รปท 1 การหาแรงในโครงถกดวยวธแบบจด



(ข) ผงวตถอสระทจด B (ค) ผงวตถอสระพรอมหมดทจด B รปท 1 (ตอ)

เมอใชวธแบบจดหาแรงในชนสวนของโครงถก สามารถเรมตนไดจากจดตอททราบคาของแรงอยางนอยหนงแรง และ แรงทไมทราบคามากทสดสองแรง ดงรปท 1(ข) ซงสามารถประยกตใชสมการสมดล 0xF และ 0yF เปนสองสมการและมตวแปรทไมทราบคาอยสองตวแปร ค าตอบจากสองสมการทไดน สามารถตรวจสอบคาของแรงทไมทราบขนาดและทศทางได ดงน โดยทวไป แรงทไมทราบขนาดและทศทางจะใชการสมมตในการค านวณ กลาวคอ เมอผลลพธทไดมคาเปนบวกแสดงวาทศทางทสมมตตามผงวตถอสระนนถกตองแลว แตหากผลลพธทได มคาเปนลบแสดงวาทศทางทถกตองจะมทศทางตรงขามกบผงวตถอสระ หลงจากไดทศทางทถกตองแลว นยมเขยนตวอกษรยอไวเพอแสดงถงชนดของแรงทกระท ากบชนสวนในโครงถก เชน แรงดงใชตวอกษรยอเปน T และ แรงกดนยมใชตวอกษรยอเปน C 2 วธแบบภาคตด

เมอมความจ าเปนจะตองค านวณหาแรงในบางชนสวนของโครงถก สามารถหาแรงในโครงถกไดโดยใชวธแบบภาคตด (method of sections) ซงอาศยพนฐานทวา ถาโครงถกอยในสภาวะสมดลแลวชนสวนใดๆจะอยในสภาวะสมดลดวย วธแบบภาคตดจะใช “การตด” หรอ “ภาคตด”ชนสวนใดๆของโครงถกทสนใจหาแรงภายในออกเปน 2 สวน หลงจากนน จะใชสมการสมดลในการหาแรงภายในของชนสวนทถกตดออกมาดานใดดานหนง เนองจากมสมการส าหรบหาแรงภายในอย เพยง 3 สมการ คอ 0,0 yx FF และ 0OM ทจะใชในการหาแรงภายในของภาคตดใดๆ ดงนน จงควรเลอกภาคตดทมชนสวนทไมทราบขนาดและทศทางของแรงไมเกน 3 ชนสวน ตวอยางเชน พจารณาโครงถกดงรปท 2(ก) ถาตองการหาแรงในชนสวน BC, GC และ GF ซงภาคตด aa เหมาะสมทสดในการหาแรง ซงผงวตถอสระของทงสองภาคตดแสดงดงรปท 2(ข) และ (ค) ตามล าดบ โดยสมมตใหแรงแตละชนสวนกระท าไปตามแนวของชนสวนในโครงถกนนๆ ดงนน แรงในชนสวนเดยวกนจะมขนาดเทากนแตมทศทางตรงกนขามเมออยคนละภาคตดซงเปนไปตามกฎขอทสามของนวตน ชนสวน BC และ GC ถกสมมตใหรบแรงดง และ ชนสวน GF ถกสมมตใหรบแรงกด



แรงในชนสวนทไมทราบขนาดและทศทาง GCBC FF , และ GFF หาไดโดยใชสมการสมดล 3 สมการ ตามผงวตถอสระรปท 2(ข) อยาไรกตาม ถาใชผงวตถอสระดงรปท 2(ค) แรงปฏกรยาทจดรองรบ yx DD , และ xE จะตองทราบเสยกอน เพราะวาสมการสมดลใชไดเพยง 3

สมการเทานน เมอใชสมการสมดลในการหาแรงจงควรพจารณาทจะใชเพอหาค าตอบไดดวยวธตรง (direct solution) ส าหรบชนสวนทไมทราบแรง ตวอยางเชน พจารณาโครงถกภาคตด ดงรปท 2(ข) และหาโมเมนตหมนรอบจด C จะท าใหไดค าตอบโดยตรงของ GFF เนองจาก BCF และ GCF เกดโมเมนตเปนศนยหมนรอบจด C เชนเดยวกน BCF หาไดโดยตรงดวยการหาโมเมนตหมนรอบจด G สดทาย GCF หาไดโดยตรงดวยการรวมแรงในแนวตง เนองจาก BCF และ GFF ไมไดอยในทศทางในแนวตง การหาแรงไดโดยตรงจงเปนขอไดเปรยบหลก (main advantage) ของวธแบบภาคตด

(ก) เลอกภาคตดผานชนสวนทตองการหาแรง


รปท 2 ขนตอนการหาแรงดวยวธแบบภาคตด



(ค) ผงวตถอสระดานขวาของภาคตดทเลอก

รปท 2 (ตอ) วสดและอปกรณ 1. สปรงวดแรง 2. โครงถกทขนรปแลวเสรจจากใบงานท 10 3. ฐานรองรบโครงถก 4. ประแจปากเลอน ประแจปากตาย คอนตอกตะป วธการทดลอง 1. น าโครงถกทขนรปแลวเสรจจากใบงานท 10 มาท าการรบแรง โดยใชสปรงวดแรงยดกบฐานของโครงถกทขอตอต าแหนงตรงกลางและอกดานหนงจบยดกบประแจปากเลอน หลงจากนนปลอยประแจปากเลอนใหอยในสภาวะสมดล อานขนาดของแรงทวดได บนทกผลการทดลอง 2. ท าการค านวณหาขนาดของแรงในชนสวนของโครงถกแตละชนโดยใชวธทเหมาะสม โดยท าการหาขนาดและทศทางของแรงในชนสวนของโครงถกในระนาบแนวตงระนาบเดยว หลงจากนนบนทกผลการค านวณ 3. เปลยนชนดของอปกรณเปนประแจปากตายและคอนตอกตะป ท าการทดลองซ า



ตารางบนทกผลการทดลอง ชนดของอปกรณ ขนาดแรงทรองรบ

(N)

ขนาดและทศทางของแรง ในแตละชนสวน (N)

ประแจปากเลอน

ประแจปากตาย

คอนตอกตะป

วเคราะหผลการทดลอง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



สรป

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ใบงานท 12 จดเซนทรอยดของพนทของวตถ 369



เรอง จดเซนทรอยดของพนทของวตถ วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล......................................................รหสนกศกษา........................................หอง........... ........ วตถประสงค 1. เพอใหนกศกษาสามารถหาต าแหนงของจดเซนทรอยดของวตถทมรปทรงทางเรขาคณตได

ทฤษฎทเกยวของ จดเซนทรอยดของพนท ถาพนทวางอยในระนาบ x-y และขอบเขตอยในเสนโคง xfy ดงรปท 1(ก) สามารถหาจดเซนทรอยดไดโดยการอนทเกรตสมการ(7.3) และจดรปใหม จะไดเปน

dA

dAyy

dA

dAxx

~~ (1)

การอนทเกรตท าไดโดยการอนทเกรตหนงตวแปรเมอพนทเลกๆอยในพกดฉาก ตวอยางเชน ถาพนทเลกๆวางในแนวตงดงรปท 1(ข) พนทของชนสวนนหาไดจาก xdyAd และ จดเซนทรอยดของพนทอยทต าแหนง xx ~ และ 2/~ yy ถาหากพจารณาพนทในแนวนอนดงรปท 1(ค) จะได

ydxAd และจดเซนทรอยดของพนทอยทต าแหนง 2/~ xx และ yy ~

(ก) จดเซนทรอยดของพนท (ข) พนทอนทเกรตวางในแนวตง

(ค) พนทอนทเกรตวางในแนวนอน รปท 1 การหาจดเซนทรอยดของพนท ทงน จดเซนทรอยดของรปทรงทางเรขาคณตสามารถหาไดในภาคผนวก ง



วสดและอปกรณ 1. วตถรปรางวงกลม สามเหลยม สเหลยมจตรสและสเหลยมผนผาทท าจากแผนอะครลคใส

2. ฐานรองรบ 3. เวอรเนยร 4. ปากกาเขยนแผนใส

วธการทดลอง 1. น าฐานรองรบมาวางไวทโตะทดลองการหาจดเซนทรอยดของวตถ 2. น าวตถรปรางสเหลยมจตรสทท าจากแผนอะครลคใสมาวางไวตรงปลายเขมของฐานรองรบจนกระทงแผนใสอยในสภาวะสมดลแลวท าทหมายระบต าแหนงเอาไวดวยปากกาเขยนแผนใส 3. ท าการหาจดเซนทรอยดของวตถโดยวดระยะของทหมายในแนวแกน x และ y, ตามล าดบ หลงจากนน บนทกผลการทดลอง 4. ท าการหาจดเซนทรอยดของวตถโดยอาศยสตรส าเรจในภาคผนวก ง บนทกผลการค านวณและเปรยบเทยบคาทได

รปท 2 ระบต าแหนงเพอหาจดเซนทรอยด

5. เปลยนวตถทมรปรางเปนสามเหลยม วงกลม และ สเหลยมผนผา ท าการทดลองซ า

ใบงานท 12 จดเซนทรอยดของพนทของวตถ 371


รปท 3 วตถทใชในการทดลอง


วตถ จดเซนทรอยด จากการทดลอง จากการค านวณ

วงกลม x y

x y

สามเหลยม x y

x y

สเหลยมจตรส x y

x y

สเหลยมผนผา x y

x y



วเคราะหผลการทดลอง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...................................................................................................................

สรป

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ใบงานท 13 จดเซนทรอยดของพนทของวตถผสม 373



เรอง จดเซนทรอยดของพนทของวตถผสม วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล......................................................รหสนกศกษา........................................หอง........... ........ วตถประสงค 1. เพอใหนกศกษาสามารถระบต าแหนงจดเซนทรอยดของวตถผสมได

ทฤษฎทเกยวของ วตถผสม (composite body) เปนวตถทประกอบขนจากวตถทมรปรางพนฐาน เชน สามเหลยม สเหลยม และ วงกลม เปนตน โดยสามารถแบงวตถชนดนออกเปนชนสวนตางๆได ถาทราบน าหนกและจดศนยถวงของวตถเหลานน สามารถหาจดศนยถวงของวตถผสมไดโดยสามารถเขยนสมการใหอยในรป

W

Wyy

W

Wxx

~~ (1)

โดยท yx, เปนพกดของจดศนยถวง G ของวตถผสม yx ~,~ เปนพกดของจดศนยถวง G ของแตละสวนประกอบของวตถผสม W เปนผลรวมของน าหนกของวตถผสมทงหมด

เมอวตถมความหนาแนนหรอน าหนกจ าเพาะคงท จดเซนทรอยดของวตถไมวาจะเปน จดเซนทรอยดของเสน จดเซนทรอยดของพนท จดเซนทรอยดของปรมาตร สามารถหาไดโดยอาศย สมการ (1) โดยแทนท W ดวย AL, และ V , ตามล าดบ โดยจดเซนทรอยดของวตถทมรปรางพนฐานหาไดจากภาคผนวก ง ดงนน จดเซนทรอยดของพนทของวตถผสมสามารถเขยนเปนสมการอยในรป

A

Ayy

A

Axx

~~ (2)

วสดและอปกรณ 1. วตถรปรางครงวงกลมและสามเหลยม ครงวงกลมและสเหลยมจตรส และ ครงวงกลมและสเหลยมผนผาทท าจากแผนอะครลคใส

2. ฐานรองรบ 3. เวอรเนยร 4. ปากกาเขยนแผนใสแบบลบได



วธการทดลอง 1. น าฐานรองรบมาวางไวทโตะทดลองการหาจดเซนทรอยดของวตถ 2. น าวตถรปรางครงวงกลมและสเหลยมจตรสทท าจากแผนอะครลคใสมาวางไวตรงปลายเขมของฐานรองรบจนกระทงวตถอยในสภาวะสมดลแลวระบต าแหนงเอาไวดวยปากกาเขยนแผนใส

รปท 1 การหาจดเซนทรอยดระหวางครงวงกลมและสเหลยมจตรส

3. ท าการหาจดเซนทรอยดของวตถผสมโดยวดระยะของทหมายในแนวแกน x และ y, ตามล าดบ หลงจากนน บนทกผลการทดลอง 4. ท าการหาจดเซนทรอยดของวตถผสมโดยอาศยสตรส าเรจในภาคผนวก ง บนทกผลการค านวณและเปรยบเทยบคาทได 5. เปลยนวตถทมรปรางเปนครงวงกลมและสามเหลยม และ ครงวงกลมและสเหลยมผนผา ท าการทดลองซ า

รปท 2 วตถรปรางผสมทใชในการทดลอง

ใบงานท 13 จดเซนทรอยดของพนทของวตถผสม 375



วตถผสม จดเซนทรอยด

จากการทดลอง จากการค านวณ

ครงวงกลมและสามเหลยม x y

x y

ครงวงกลมและสเหลยมจตรส x y

x y

ครงวงกลมและสเหลยมผนผา x y

x y

วเคราะหผลการทดลอง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



สรป

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ใบงานท 14 การหาสมประสทธความเสยดทาน 377



เรอง การหาสมประสทธความเสยดทาน วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล.....................................................รหสนกศกษา........................................หอง............ ....... วตถประสงค 1. เพอใหนกศกษาสามารถหาสมประสทธความเสยดทานของวตถได

ทฤษฎทเกยวของ กลไกการเกดแรงเสยดทานระหวางวตถผวแหง พจารณากลองมมวล m ถกวางอยบนพนราบดงรปท 1(ก) สมมตใหพนผวสมผสมความหยาบ ทดลองออกแรงในแนวระดบขนาด P โดยเพมคาของแรงขนเรอยๆจากศนยจนถงขนาดทสามารถท าใหวตถนเคลอนทและมความเรว ผงวตถอสระของกลองทรบแรง P แสดงดงรปท 1(ข) โดยทแรงเสยดทานในแนวระดบจากพนกระท ากบกลองมคาเทากบ F แรงเสยดทานนกระท ากบกลองในทศทางตรงกนขามกบการเคลอนทเสมอและมแรงในแนวตงฉาก N โดยในกรณนมคาเทากบ mg และแรงรวมเทากบ R ซงเปนผลรวมของแรง N และ F พนผวสมผสมความขรขระแสดงดงรปท 1(ค) ชวยท าใหเกดความเขาใจถงการกระท าของแรงเสยดทานไดดยงขน ทศทางของแรงปฏกรยาทกระท ากบกลอง 321 ,, RRR ไมไดขนอยกบพนผวสมผสเทานน แตยงขนอยกบการเสยรปของแตละต าแหนงของจดสมผสอกดวย แรงรวมในแนวตงฉาก N จงเปนผลรวมของสวนประกอบในแนว n ของ R และแรงเสยดทานรวม F จะเปนผลรวมของสวนประกอบในแนว t ของ R จากการทดลองและสามารถเขยนความสมพนธระหวางแรงเสยดทาน F ใหอยในรปของแรง P จะไดความสมพนธแสดงดงรปท 1(ง) เมอแรง P เทากบศนย จะอยในสภาวะสมดลนนคอไมมแรงเสยดทาน เมอแรง P เพมขน, แรงเสยดทานจะมขนาดเทากนแตมทศทางตรงขามกบแรง P ตราบเทาทกลองยงไมมการลนไถล ซงในชวงนกลองจะอยในสภาวะสมดล และแรงทกระท ากบกลองสามารถหาไดจากสมการสมดล จนในทสด เมอเพมแรง P จนท าใหกลองลนไถลและเคลอนทไปในทศทางทแรงกระท า ซงในชวงนจะท าใหแรงเสยดทานลดลงเลกนอยและทนททนใด และคอนขางเกอบคงทอยชวงหนง แตหลงจากนน จะลดลงมากเมอความเรวมคาเพมขน



(ก) การออกแรงดงวตถ (ข) ผงวตถอสระของการออกแรงดงวตถ

(ค) ความขรขระของพนผวสมผส (ง) ความสมพนธของแรงเสยดทาน

รปท 1 กลไกการเกดแรงเสยดทานระหวางวตถผวแหง

แรงเสยดทานสถต

ชวงบรเวณตามรปท 1(ง) จากเรมตนจนกระทงเรมเกดการลนไถลถกเรยกวาชวงของ แรงเสยดทานสถต (static friction) และคาของแรงเสยดทานในชวงนสามารถหาไดโดยอาศยสมการสมดล คาของแรงเสยดทานเรมตงแตศนยไปจนถงคามากทสด โดยจากการทดลองจะพบวา แรงเสยดทานมากทสด maxF เปนสดสวนโดยตรงกบแรงปฏกรยาในแนวดง N และเขยนใหอยในรปไดเปน

NF smax (1)

โดยท s เรยกวาสมประสทธแรงเสยดทานสถต

จากสมการ (1) อธบายไดเพยงเฉพาะขอบเขตจ ากดหรอคาของแรงเสยดทานสถตทมากทสดและไมใชคาทนอยทสด ดงนน สมการนใชไดเฉพาะในกรณเรมเกดการเคลอนทดวยคาของแรงเสยดทานทมากทสด ส าหรบกรณของสมดลสถตคอยงไมเกดการเคลอนท แรงเสยดทานสถตหาไดจาก NF s



แรงเสยดทานจลน หลงจากเกดการลนไถล เงอนไขของแรงเสยดทานจลนจะถกน ามาพจารณาส าหรบการเคลอนท โดยทวไปแลว แรงเสยดทานจลนมคานอยกวาแรงเสยดทานสถตทมากทสด และสามารถหาแรงเสยดทานจลนไดจากสมการ

NF kk (2)

โดยท k เรยกวา สมประสทธแรงเสยดทานจลนและโดยทวไป k มคานอยกวา s

วสดและอปกรณ 1. กลองสเหลยมจตรสขนาด 10x10x10 เซนตเมตร 2. โตะทดลองความเสยดทาน

3. สปรงวดแรงขนาด 1000 กรม

4. แทงเหลกจ านวน 10 ชน

5. เครองชงดจตอล

6. แผนไมอด

7. แผนสงกะส 8. แผนเหลก

9. แผนอะลมเนยม

10. แผนแกวใส

วธการทดลอง 1. น าแทงเหลกจ านวน 10 ชน ไปชงน าหนกดวยเครองชงดจตอล แลวน ามาบรรจไวในกลองสเหลยมจตรสทวางไวทพนไมอด

2. น าสปรงวดแรงไปยดเขากบตะขอเกยวทกลองสเหลยมทบรรจแทงเหลก

3. คอยๆออกแรงดงสปรงวดแรงอยางชาๆแลวสงเกตพฤตกรรมการเคลอนทของกลองสเหลยมทบรรจแทงเหลก



รปท 2 การออกแรงดงกลองทบรรจแทงเหลกบนพนไมอด

4. เมอกลองสเหลยมทบรรจแทงเหลกเรมเคลอนทใหอานคาของแรงดงจากสปรงวดแรงแลวบนทกผลการทดลอง 5. ท าการค านวณหาสมประสทธความเสยดทานสถตของพนไมอด บนทกผลการค านวณ

6. ท าการทดลองซ าแตเปลยนพนจากไมอดเปนแผนสงกะส, แผนเหลก, แผนอะลมเนยมและแผนแกวใส

ตารางบนทกผลการทดลอง พนผว นาหนกแทงเหลก

(N)

แรงดงสปรง (N)

สมประสทธความเสยดทาน

แผนไมอด

แผนสงกะส

แผนเหลก

แผนอะลมเนยม

แผนแกวใส



วเคราะหผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

สรป

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



ใบงานท 15 เสถยรภาพของวตถ 383



เรอง เสถยรภาพของวตถ วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล......................................................รหสนกศกษา........................................หอง........... ........ วตถประสงค 1. เพอใหนกศกษาเขาใจและระบต าแหนงความมเสถยรภาพของวตถ

ทฤษฎทเกยวของ เสถยรภาพของความสมดล ฟงกชนศกยภาพ V ของระบบสามารถใชในการหาความมเสถยรภาพของเกณฑของความสมดลได ซงถกแยกออกเปน มเสถยรภาพ (stable) เปนกลาง (neutral) หรอ ไมเสถยรภาพ (unstable) รายละเอยดดงตอไปน สมดลแบบมเสถยรภาพ (stable equilibrium) ระบบจะถกกลาววามเสถยรภาพ ถาระบบนนสามารถยอนกลบไปอยในต าแหนงในตอนเรมตนไดเมอเคลอนทไปไดระยะการกระจดเพยงเลกนอย ตวอยางแสดงดงรปท 1(ก) เมอแผนจานเคลอนทไปไดระยะการกระจดเพยงเลกนอย จดศนยกลางมวล G กสามารถหมนกลบมาอยในต าแหนงสมดลไดเสมอ ซงอยในต าแหนงต าทสดของการเคลอนท ซงเปนจดทพลงงานศกยของแผนจานมคาต าทสด

สมดลแบบเปนกลาง (neutral equilibrium) ระบบจะถกกลาววาอยในสภาวะสมดลแบบเปนกลาง ถาระบบอยในสภาวะสมดลไดเสมอเมอระบบเคลอนทไปไดระยะการกระจดเพยงเลกนอยจากจดเรมตนในตอนแรก โดยทเงอนไขของความสมดลแบบน จะพบวาพลงงานศกยของระบบมคาคงท สมดลแบบเปนกลางแสดงดงรปท 1(ข) ซงแผนจานถกยดแนนดวยหมดไวทจด G ในทกครงทแผนจานหมนไป ต าแหนงสมดลต าแหนงใหมจะอยทเดมเสมอ และ พลงงานศกยไมเปลยนแปลง สมดลแบบไมเสถยรภาพ (unstable equilibrium) ระบบจะถกกลาววาไมมเสถยรภาพ ถาระบบไมมโอกาสมาอยในต าแหนงสมดลในตอนแรกได เมอเคลอนทไปไดระยะการกระจดเพยงเลกนอย โดยพลงงานศกยของระบบในเงอนไขนจะมคามากทสด ต าแหนงของสมดลแบบไมมเสถยรภาพของแผนจานแสดงดงรปท 1(ค) จะพบวา แผนจานหมนไปจากต าแหนงสมดลเมอจดศนยกลางมวลเปลยนต าแหนงไปเพยงเลกนอย ทต าแหนงสงสดน พลงงานศกยจะมคาสงสด

ระบบทมดกรขนความเสรเปนหนง (one degree of freedom system) ถาระบบมดกรขนความเสรเปนหนงและต าแหนงของระบบนนถกระบดวยพกดเปน q ดงนน ฟงคชนศกยภาพ V ส าหรบระบบในเทอมของ q สามารเขยนเปนกราฟไดดงรปท 2 เมอพจารณาระบบอยในสภาวะสมดล ดงนน qdVd / แสดงถงความชนของฟงคชนตองมคาเทากบศนย ในการหาความเสถยรภาพทต าแหนงทมความสมดลตองใชการหาอนพนธอนดบทสองของฟงคชนศกยภาพ



(ก) สมดลแบบมเสถยรภาพ (ข) สมดลแบบเปนกลาง (ค) สมดลแบบไมเสถยรภาพ

รปท 1 เสถยรภาพของความสมดลของแผนจาน

ถา 22 / qdVd มคามากกวาศนย ดงรปท 2(ก) พลงงานศกยของระบบจะมคานอยทสด ซงเปนการแสดงวาระบบมความสมดลในเงอนไขทเรยกวา มเสถยรภาพ ดวยเหตน สามารถสรปไดวา

0,02

2

qd

Vd

qd

Vd สมดลแบบมเสถยรภาพ (9.15)

ถา 22 / qdVd มคานอยกวาศนย ดงรปท 2(ข) พลงงานศกยของระบบจะมคามากทสด ซงเปนการแสดงวาระบบมความสมดลในเงอนไขทเรยกวา ไมมเสถยรภาพ สามารถสรปไดวา

0,02

2

qd

Vd

qd

Vd สมดลแบบไมเสถยรภาพ (9.16)

ถา 22 / qdVd มคาเทากบศนยและถาหากวาอนพนธอนดบทสงขนเรอยๆนนมคาเทากบศนยดวย ระบบนนจะกลาววาอยในสภาวะสมดลแบบเปนกลาง ดงรปท 2(ค) สามารถสรปไดวา

0...3

3

2

2

qd

Vd

qd

Vd

qd

Vd สมดลแบบเปนกลาง (9.17)

โดยเงอนไขนเกดขนไดกตอเมอฟงคชนศกยภาพของระบบมคาคงทเทานน



(ก) สมดลแบบมเสถยรภาพ (ข) สมดลแบบไมเสถยรภาพ (ค) สมดลแบบเปนกลาง รปท 2 กราฟฟงคชนศกยภาพของระบบ

วสดและอปกรณ 1. ขาตงชดทดลองหาความเสถยรภาพของวตถ 2. แผนจานกลมทเจาะรองไวต าแหนงดานบน ดานลางและตรงกลาง 3. แผนสเหลยมผนผาทเจาะรองไวต าแหนงดานบน ดานลางและตรงกลาง

วธการทดลอง 1. น าแผนจานกลมทเจาะรองไวดานบนไปยดไวกบเขมของขาตงชดทดลอง

รปท 3 การยดแผนจานกลมกบขาตง

2. ปลอยแผนจานกลมใหเคลอนทไดอยางอสระจนกระทงแผนจานกลมหยดนงแลวสงเกต ความสมดลของแผนจานกลม บนทกผลการทดลอง 3. เปลยนแผนจานกลมทเจาะรองไวต าแหนงตรงกลางและดานลาง แลวท าการทดลองซ า บนทกผลการทดลอง 4. ท าการทดลองซ าโดยเปลยนจากแผนจานกลมเปนแผนสเหลยมผนผาทเจาะรองไวต าแหนงดานบน ดานลางและตรงกลาง แลวบนทกผลการทดลอง



รปท 4 แผนจานกลมและแผนสเหลยมผนผาทเจาะรองส าหรบการทดลอง

ตารางบนทกผลการทดลอง วตถ ต าแหนงเจาะรอง ความสมดล

แผนจานกลม

ดานบน

ตรงกลาง ดานลาง

แผนสเหลยมผนผา ดานบน

ตรงกลาง ดานลาง




สรป ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



ใบงานท 2 การหาแรงลพธของแรง 2 แรง 321



เรอง การหาแรงลพธของแรง 2 แรง วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล...................................................รหสนกศกษา......................................หอง.......................... วตถประสงค 1. เพอใหนกศกษาสามารถหาแรงลพธโดยใชกฎของไซนและกฎของโคไซนได

ทฤษฎทเกยวของ หลงจากการรวมแรงโดยใชกฎของสามเหลยมจะไดผลของแรงลพธออกมาแสดงดงรปท 1 ซงสามารถหาขนาดและทศทางของแรงลพธโดยใชกฎของตรโกณมตดงน

กฎของโคไซน : )cos(2222 ABBAC กฎของไซน :

)sin()sin()sin( CBA

รปท 1 การหาขนาดและทศทางของแรงดวยสตรตรโกณมต

วสดและอปกรณ 1. สปรงวดแรงขนาด 1000 กรม 2 อน

2. ชดทดลองการหาแรงลพธ 3. ไมโปรแทรกเตอรวดมมแบบครง

วธการทดลอง 1. ใชสปรงวดแรงอนทหนงจบยดทต าแหนงปลายขาตงของชดทดลองแลวออกแรงดงขนใหม

ขนาดเทากบ 5 นวตน ท ามม กบแนวระดบเทากบ 15 บนทกคาของแรงและมม

2. ใชสปรงวดแรงอกอนหนงจบยดทต าแหนงปลายขาตงชดทดลองต าแหนงเดยวกบสปรงวดแรงอนแรก หลงจากนนออกแรงดงลงใหมขนาดเทากบ 10 นวตน ท ามม กบแนวดงเทากบ 30 บนทกคาของแรงและมม



รปท 2 แสดงทศทางของสองแรงทใชในการทดลอง

3. ท าการค านวณหาขนาดของแรงลพธทไดจากสองแรงนโดยใชกฎของไซนและกฎของโคไซน บนทกผลการค านวณ

4. เปลยนขนาดของแรงของสปรงอนทหนงเปน 8 และ 4 นวตน แรงของสปรงอนทสองเปน 6 และ 10 นวตน และมมของสปรงอนทหนงเปน 60 และ 45 มมของสปรงอนทสองเปน 30 และ 75 แลวท าการทดลองซ า

ตารางบนทกผลการทดลอง 1F (N) 2F (N) (องศา) (องศา) R (N)

วเคราะหผลการทดลอง …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….



สรป

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….






เรอง การหาแรงลพธของแรง 3 แรง วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล...........................................................รหสนกศกษา.....................................หอง................... วตถประสงค 1. เพอใหนกศกษาสามารถหาขนาดและทศทางของแรงลพธของแรง 3 แรงได

ทฤษฎทเกยวของ ส าหรบการรวมเวกเตอรของแรงมากกวาสองแรง วธทนยมและสะดวกคอการรวมแบบสเกลาร(scalar algebra) ท าไดโดยการแตกเวกเตอรของแตละแรง หลงจากนนน าเวกเตอรของแรงทแตกเวกเตอรมารวมกน รปท 1(ก) เปนการรวมกนของแรงสามแรง และ รปท 1(ข) เปนการแตกเวกเตอรของแตละแรง การรวมกนแบบเวกเตอรของแรงหาไดดงสมการ jFiFF yx

111

jFiFF yx

222

jFiFF yx

333

ดงนน เวกเตอรของแรงลพธ หาไดจาก

jFiF

jFFFiFFF

jFiFjFiFjFiF

FFFF

RyRx

yyyxxx

yxyxyx

R

321321

332211

321

จะไดผลลพธของแรงในแตละแกน ดงสมการ

yyyRy

xxxRx

FFFF

FFFF

321

321

)(

)(

ดงนน สรปหลกการหาแรงลพธในกรณทมแรงกระท าหลายๆแรงได ดงสมการ

yRy

xRx

FF

FF

(1)

โดยทผลลพธของแรงรวมในแตละแกนสามารถเขยนไดดงรปท 1(ค) และขนาดของแรงลพธรวม RF หาไดจาก



22RyRxR FFF (2)

และมม ของแรงลพธรวม RF หาไดจาก

Rx

Ry

F

F1tan (3)

รปท 1 การรวมเวกเตอรของแรงสามแรง

วสดและอปกรณ 1. สปรงวดแรงขนาด 1000 กรม จ านวน 3 ชน 2. ชดทดลองการหาแรงลพธของแรงสามแรง 3. ไมโปรแทรกเตอรวดมมแบบครงวงกลม

วธการทดลอง 1. ใชสปรงวดแรงชนทหนงจบยดทปลายขาตงของชดทดลองแลวออกแรงดงสปรงขนใหมขนาดเทากบ 5 นวตน ท ามม กบแนวระดบเทากบ 15 บนทกคาของแรงและมม 2. ใชสปรงวดแรงอกชนหนงจบยดทปลายขาตงชดทดลองแลวออกแรงดงสปรงขนใหมขนาดเทากบ 7 นวตน ท ามม กบแนวระดบเทากบ 45 บนทกคาของแรงและมม 3. ใชสปรงวดแรงชนสดทายจบยดทปลายขาตงชดทดลองแลวออกแรงดงสปรงลงมาใหมขนาดเทากบ 8 นวตน ท ามม กบแนวดงเทากบ 30 บนทกคาของแรงและมม



รปท 2 แสดงทศทางของแรงสามแรงทใชในการทดลอง

4. ใหแรงทงสามกระท าอยในระนาบเดยวกน หลงจากนน หาขนาดและทศทางของแรงลพธของแรงทงสาม บนทกผลการค านวณ

5. เปลยนขนาดของแรงเปน 3, 9 และ 10 และทศทางเปนมม 30 , 53 และ 60 , ตามล าดบ แลวท าการทดลองซ า ตารางบนทกผลการทดลอง

1F (N) 2F (N) 3F (N) (องศา) (องศา) (องศา) R (N) (องศา)

วเคราะหผลการทดลอง …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….



สรป

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

ใบงานท 4 การหาโมเมนตของแรง 329



เรอง การหาโมเมนตของแรง วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล......................................................รหสนกศกษา........................................หอง........... ........ วตถประสงค 1. เพอใหนกศกษาสามารถค านวณหาขนาดโมเมนตของแรงได

ทฤษฎทเกยวของ โมเมนตของแรง นอกจากแรงสามารถท าใหวตถเคลอนทไปตามทศทางทแรงกระท า แรงยงท าใหวตถหมนไปรอบแกนได ซงแกนทใชในการหมนของวตถอาจจะอยในแนวตงฉากหรอขนานกบทศทางทแรงกระท า ส าหรบการท าใหวตถหมนไปรอบแกนไดนเรยกวา โมเมนตของแรง และถกเรยกอกชอหนงวา ทอรค (Torque)

การหาโมเมนตของแรงแบบสเกลารพจารณาจากรปท 1(ก) ออกแรงหมนในทศทางตงฉากกบประแจท าใหประแจหมนไปรอบทอในทศทางตงฉากกบแกนหมน ขนาดของโมเมนตขนอยกบขนาดของแรง F และระยะความยาวของประแจกบจดจบยด d จากรปท 1(ข) ออกแรง F กระท ากบวตถในระนาบ 2 มต ขนาดโมเมนตของแรงทท าใหวตถหมนรอบแกน OO ทตงฉากกบระนาบของวตถจะเปนสดสวนกบขนาดของแรงและระยะ d

ซงเปนระยะทางทตงฉากจากแกนหมนถงจดทแรงกระท า ดงนน ขนาดโมเมนตหาไดจากสมการ dFM (1)

โมเมนตเปนปรมาณเวกเตอรมทศทางตงฉากกบระนาบของวตถทรบแรง ทศทางของโมเมนต M ขนอยกบทศทางของแรง F ทท าใหวตถหมนไปโดยอาศยกฎมอขวาดงรปท 1(ค) ใชในการหาทศทางลพธของโมเมนตของแรง จากรปท 1(ข) โมเมนตของแรง F ทหมนรอบแกน OO จะมทศทางลพธไปตามนวหวแมมอ สวนนวชแสดงถงทศทางของแรงทท าใหเกดโมเมนต โมเมนตของแรงในหนวยสากลเปน นวตน-เมตร mN สวนหนวยองกฤษ เปน ปอนด-ฟต ftlb

เมอมแรงกระท ากบวตถในระนาบ ท าใหเกดโมเมนตรอบจด ซงใหโมเมนตลพธอยในทศทางตงฉากกบระนาบของวตถและผานจดทแรงกระท ากบวตถนน ดงนน โมเมนตของแรง F รอบจด A ดงรปท (ง) จะมขนาดเทากบ dFM และมทศทางทวนเขมนาฬกา (counterclockwise)

ทศทางของโมเมนตนยมบงชดวยเครองหมายทางคณตศาสตร โดยก าหนดใหเครองหมายบวก ( + ) แทนโมเมนตทวนเขมนาฬกา และ เครองหมายลบ ( - ) แทนโมเมนตตามเขมนาฬกา จากเกณฑทก าหนดให รปท 1(ง) โมเมนตของแรง F หมนรอบจด A ในทศทางทวนเขมนาฬกา จงมคาเปนบวก



รปท 1 การเกดโมเมนตและทศทางโมเมนตของแรง

ทฤษฎวารยอง หลกการพนฐานส าคญในการหาโมเมนตของแรงคอ ทฤษฎวารยอง (Varignon’s theorem) กลาววา “โมเมนตของแรงลพธรอบจดใดมคาเทากบผลรวมของโมเมนตของสวนประกอบของแรงรอบจดนน” เพอพสจนทฤษฎวารยอง พจารณาแรงลพธ R กระท ากบวตถในระนาบตามรปท 2 จะไดขนาดโมเมนตของแรงลพธ R รอบจด O เทากบ dR อยางไรกตาม พบวาระยะ d หาไดยากกวาระยะ p และ q ส าหรบแรงลพธ R สามารถแตกแรงออกเปนสวนประกอบ P และ Q ซงสามารถหาโมเมนตไดจาก QqPpdRMO โดยก าหนดใหโมเมนตตามเขมนาฬกามคาเปนบวก



รปท 2 การหาโมเมนตดวยทฤษฎของวารยอง

วสดและอปกรณ 1. ชดทดลองการหาขนาดโมเมนต 2. กลองทรงลกบาศกเมตรขนาด 10x10x10 เซนตเมตร 3. แทงเหลก 10 ชน

4. สปรงวดแรง 5. ไมบรรทด

วธการทดลอง 1. น าแทงเหลกจ านวน 2 ชน บรรจลงในกลองสเหลยมทเตรยมไว 2. น าสปรงวดแรงมายดไวกบตะขอของกลองแลวน าไปยดไวกบคานทระยะหางจากจดหมน (L) เทากบ 50 เซนตเมตร

3. อานคาน าหนกของแทงเหลกทไดจากสปรงวดแรง บนทกขนาดของแรง 4. ท าการค านวณหาขนาดของโมเมนตของแรง บนทกผลการค านวณ

5. เพมจ านวนแทงเหลกครงละ 2 ชน จนถง 10 ชน ท าการทดลองซ า 6. ท าการทดลองซ าโดยการเปลยนระยะหางจากจดหมนไปเปน 40 เซนตเมตร และเพมจ านวนแทงเหลกครงละ 2 ชน จนถง 10 ชน บนทกผลการทดลอง



รปท 3 การทดลองหาขนาดโมเมนตของแรง

ตารางบนทกผลการทดลอง จ านวนแทงเหลก

(ชน) ขนาดของแรง (N) ระยะหาง (m) ขนาดโมเมนต

(N.m) 2

4

6

8

10

2

4

6

8

10



วเคราะหผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

สรป ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………........................................................................



ใบงานท 5 การหาโมเมนตของแรงคควบ 335



เรอง การหาโมเมนตของแรงคควบ วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล......................................................รหสนกศกษา........................................หอง........... ........ วตถประสงค 1. เพอใหนกศกษาสามารถค านวณหาขนาดโมเมนตของแรงคควบได

ทฤษฎทเกยวของ แรงคควบ (Couple) หมายถง แรงสองแรงทขนานกน มขนาดเทากน แตมทศทางตรงกนขาม และหางกนดวยระยะ d ดงรปท 1 เนองจากผลลพธของแรงคควบจะมคาเทากบศนย ผลของแรงคควบจงท าใหเกดการหมนของวตถในทศทางทแรงกระท า

รปท 1 แรงคควบ

โมเมนตทเกดจากแรงคควบ เรยกวา โมเมนตของแรงคควบ (Couple Moment) พจารณา รปท 2 เวกเตอรบอกต าแหนง Ar และ Br วดจากจด O ถงจด A และ B ตามล าดบ ซงเปนจดการกระท าของแรง F และ F โมเมนตของแรงคควบรอบจด O หาไดจาก FrrFrFrM ABAB โดยท rrr AB หรอ AB rrr ดงนน จะไดโมเมนตของแรงคควบเปน FrM

รปท 2 การหาโมเมนตของแรงคควบ



พบวา โมเมนตของแรงคควบเปนเวกเตอรอสระ (free vector) คอ โมเมนตของแรงคควบจะกระท าทต าแหนงใดของวตถกได เนองจาก M ขนอยกบเวกเตอรบอกต าแหนง r ซงเปนระยะหางระหวางแรงสองแรง โมเมนตของแรงคควบแบบสเกลาร โมเมนตของแรงคควบ M ดงรปท 3 สามารถหาขนาดไดจากสมการ dFM (1) โดยท F เปนขนาดของแรงเพยงแรงเดยว และ d เปนระยะหางทตงฉากระหวางแรงทงสอง สวนทศทางของโมเมนตของแรงคควบหาไดจากกฎมอขวา (right hand rule) นวหวแมมอแสดงถงทศทางลพธของโมเมนตของแรงคควบ สวนนวชแสดงถงการหมนไปของแรงคควบ โดยท M อยในทศทางตงฉากกบระนาบของแรงคควบเสมอ ดงรปท 3

รปท 3 การหาขนาดและทศทางของโมเมนตของแรงคควบ วสดและอปกรณ 1. สปรงวดแรงขนาด 1000 กรม จ านวน 2 อน

2. ชดทดลองโมเมนตของแรงคควบ

3. ตลบเมตร 4. ไมโปรแทรกเตอรวดมมแบบครงวงกลม

วธการทดลอง 1. น าสปรงวดแรงทงสองอนไปยดทจดปลายของชดทดลองโมเมนตของแรงคควบโดยใหสปรงมทศทางของการดงตรงขามกน

2. ออกแรงดงสปรงวดแรงทงสองอนท ามม )( เทากบ 90 องศา กบแนวแกนของชดทดลอง จนกระทงชดทดลองเรมหมน แลวบนทกคาของแรงดง

ใบงานท 5 การหาโมเมนตของแรงคควบ 337


รปท 4 การออกแรงดงหาโมเมนตของแรงคควบ

3. ท าการค านวณหาขนาดของโมเมนตของแรงคควบ บนทกผลการค านวณ

4. ท าการทดลองซ าโดยเปลยนมมจาก 90 เปน 75, 60, 45 และ 30 องศา แลวค านวณหาขนาดของโมเมนตของแรงคควบ ตารางบนทกผลการทดลอง

แรงดง (N)

มม )(

(องศา) ระยะหาง (d)

(m)

โมเมนตของแรงคควบ

(N.m)



วเคราะหผลการทดลอง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สรป

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ใบงานท 6 สมดลของอนภาค 2 มต 339



เรอง สมดลของอนภาค 2 มต วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล......................................................รหสนกศกษา........................................หอง........... ........ วตถประสงค 1. เพอใหนกศกษาสามารถหาแรงทท าใหอนภาคอยในสภาวะสมดลได

ทฤษฎทเกยวของ อนภาคอยในสภาวะสมดลแบบ 2 มต เมออยในสภาวะหยดนงกจะหยดนงตลอดไปหรอเคลอนทไปดวยความเรวคงทในขณะทมการเคลอนท ดงนน เพอใหวตถอยในสภาวะสมดลตองใชกฎการเคลอนทขอหนงของนวตนในการหาแรงลพธกระท ากบวตถมคาเปนศนย เขยนอยในรปสมการไดเปน

0F (1)

โดยท F คอผลรวมของแรงทกระท ากบอนภาค

สมการสมดล

อนภาคถกแรงกระท าในระนาบ xy ดงรปท 1 หลงจากนน แตกแรงแตละแรงใหอยในรปของเวกเตอรหนงหนวย i และ j แลวท าการรวมแรงทงหมดใหแรงลพธเทากบศนย สามารถเขยนสมการไดเปน 0F

0jFiF yx การท าใหสมการเวกเตอรขางบนเปนจรงได ตองท าใหผลรวมของแรงในแนวแกน x และ y มคาเทากบศนย ดงนน สมการสมดลของแรงในแตละแกนเทากบ

0

0

y

x

F

F (2)

ในการค านวณดวยสมการ (2) ตองค านงถงทศทางของแรงทกระท าในแนวแกน x และ y เปนส าคญ



รปท 1 แรงกระท ากบอนภาคในระนาบ xy ล าดบขนตอนการแกปญหา

การแกปญหาสมดลของแรงทกระท ากบอนภาค มขนตอนดงน การเขยนผงวตถอสระ

1) เขยนพกด x, y ในต าแหนงทเหมาะสม 2) ระบชอใหกบแรงททราบและไมทราบขนาดและทศทาง 3) สมมตทศทางใหกบแรงทไมทราบคา การใชสมการสมดล

1) ประยกตใชสมการสมดล 0xF และ 0yF 2) ชนสวนมทศทางเปนบวกเมอชไปในแนวแกนทเปนบวก ตรงกนขาม ชนสวนมทศทางเปนลบเมอชไปในแนวแกนทเปนลบ

วสดและอปกรณ 1. ขาตงชดทดลองสมดลของอนภาค 2 มต 2. สปรงวดแรงขนาด 1000 กรม 1 อน 3. กลองอะลมเนยมขนาด 10x10x10 เซนตเมตร 4. แทงเหลกจ านวน 8 ชน 5. เครองชงดจตอล 6. ไมโปรแทรกเตอรวดมมแบบครงวงกลม 7. ลวด

วธการทดลอง 1 น าแทงเหลก 1 ชน ไปชงน าหนกดวยเครองชงดจตอล บนทกน าหนก



รปท 2 การชงแทงเหลกดวยเครองชงดจตอล

2. น าแทงเหลกทชงน าหนกแลวไปวางไวในกลองสเหลยมจตรสทยดไวกบลวดทขาตงของชดทดลอง แลวน าสปรงวดแรงมายดไวกบตะขอทยดไวกบกลอง

รปท 3 แทงเหลกทบรรจไวในกลอง

3. ออกแรงดงสปรงวดแรงใหขนานกบแนวระดบจนกระทงลวดทยดกบขาตงท ามมกบแนวดง )( เทากบ 45 องศา แลวบนทกขนาดของแรงของสปรงวดแรง F



รปท 4 การออกแรงดงกลองทบรรจแทงเหลก

4. ท าการค านวณหาขนาดของแรงดงในลวด T ทยดกบขาตง 5. ท าการทดลองซ าโดยการเพมแทงเหลกทละชนจนถง 8 ชน

รปท 5 แทงเหลกทใชในการทดลอง



ตารางบนทกผลการทดลอง จ านวน

แทงเหลก (ชน)

น าหนกบรรจ ในกลอง

(N)

มม )( (องศา)

แรงดงสปรง (N)

แรงดงในลวด T

(N)

1 2 3 4 5 6 7 8

วเคราะหผลการทดลอง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



สรป

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….




เรอง สมดลของอนภาค 3 มต วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล......................................................รหสนกศกษา........................................หอง........... ........ วตถประสงค 1. เพอใหนกศกษาค านวณหาแรงทท าใหระบบอยในสภาวะสมดล 3 มตได

ทฤษฎทเกยวของ สมการสมดล

เงอนไขความสมดลของอนภาคในระบบ 3 มต สามารถเขยนสมการในรปของเวกเตอรไดเปน 0F

(1)

พจารณาจากรปท 1 สามารถแตกแรงใหอยในสวนประกอบของเวกเตอรหนงหนวยในแนวแกน x, y และ z จะไดวา 0kFjFiF zyx ดงนน จะไดสมการสมดลของอนภาคในระบบ 3 มต เปน

0

0

0

z

y

x

F

F

F

(2)

รปท 1 แสดงถงสมดลของอนภาคในระบบ 3 มต



ล าดบขนตอนการแกปญหา

การแกปญหาสมดลของแรงในระบบ 3 มต ส าหรบอนภาคมขนตอนไดดงน การเขยนผงวตถอสระ

1) เขยนพกด x, y และ z ในต าแหนงทเหมาะสม 2) ระบชอของแรงททราบและไมทราบขนาดและทศทาง 3) สมมตทศทางของแรงทไมทราบขนาด การใชสมการสมดล

1) ประยกตใชสมการสมดล 0xF , 0yF และ 0zF 2) ถาการแตกแรงออกเปนองคประกอบของแรงในแนวแกน x, y และ z กระท าไดยาก จะท าการเขยนแรงแตละแรงลงในผงวตถอสระในรปของ เวกเตอรในพกดฉากแลวแทนคาในรปของเวกเตอรลงในสมการ 0F

หลงจากนน จดเทอมของเวกเตอรหนงหนวย ji, และ k ใหเทากบศนย แลวแกสมการหาคาตวแปรทไมทราบคา 3) ถาค าตอบทไดมคาเปนลบแสดงวาทศทางของแรงจะมทศทางตรงขามกบท สมมตไวในผงวตถอสระ

วสดและอปกรณ 1. สปรงวดแรง 2 อน 2. ขาตงชดทดลองสมดลของอนภาค 3 มต 2 ชด

3. กลองอะลมเนยมขนาด 10x10x10 เซนตเมตร 4. แทงเหลกจ านวน 8 ชน 5. เครองชงดจตอล

6. ไมโปรแทรกเตอรวดมมแบบครงวงกลม 7. ลวด

วธการทดลอง 1. บรรจแทงเหลกจ านวน 1 ชน ทผานการชงน าหนกดวยเครองชงดจตอลเรยบรอยแลวลงในกลองอะลมเนยมทยดไวกบลวดและสปรงวดแรง ซงไดท าการยดไวกบขาตงของชดทดลองทงสองขาตง



รปท 2 แทงเหลกทบรรจในกลองขณะท าการทดลอง

2. น าสปรงวดแรงอกชนหนงมายดไวกบตะขอทยดไวกบกลองทบรรจแทงเหลกแลวท าการออกแรงดงใหขนานกบแนวระดบจนมมของลวดกระท ากบแนวดง )( เทากบ 45 องศา แลวท าการบนทกขนาดของแรงดงในสปรงวดแรงทใชในการดงกลอง )( 1F และสปรงทยดกบขาตง )( 2F

รปท 3 การออกแรงดงกลองทบรรจแทงเหลก

3. ท าการค านวณหาขนาดของแรงดงในลวดทยดกลองไว )(T บนทกผลการค านวณ 4. ท าการทดลองซ าโดยเพมแทงเหลกทละชนจนถง 8 ชน



ตารางบนทกผลการทดลอง จ านวน

แทงเหลก

(ชน)

น าหนก

ในกลอง (N)

1F (N) 2F (N) (องศา) T (N)

1 2 3 4 5 6 7 8

วเคราะหผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… สรป

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ใบงานท 8 สมดลของวตถ 2 มต 349



เรอง สมดลของวตถ 2 มต วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล......................................................รหสนกศกษา........................................หอง........... ........ วตถประสงค 1. เพอใหนกศกษาเขาใจและสามารถระบเงอนไขทท าใหวตถแขงเกรงอยในสภาวะสมดล ทฤษฎทเกยวของ ในการพจารณาสมดลของวตถแขงเกรงในระบบ 2 มต จะไดสมการสมดลอยในรปดงน

0

0

0

o

y

x

M

F

F

(1)

โดยท xF และ yF แสดงถงผลรวมของแรงในแนวแกน x และ แกน y ทกระท ากบวตถ และ OM แสดงถงผลรวมของโมเมนตของแรงคควบและโมเมนตของแรงทงหมดทกระท ากบวตถในระนาบ xy และ หมนรอบจด 1m

วสดและอปกรณ 1. ชดทดลองสมดลของวตถแขงเกรง 2 มต

2. ไมบรรทด 3. แทงเหลกขนาดเลกจ านวน 10 ชน


วธการทดลอง 1. น าฐานชดทดลองวางไวทพนโตะทดลองสมดลของวตถแขงเกรงแลวน าไมบรรทดมาวางไวทฐานชดทดลองโดยวางไวตรงกงกลางฐาน 2. น าแทงเหลกจ านวน 1 ชน มาวางไวทต าแหนงปลายสดทางดานซายของไมบรรทดใหมระยะหางจากจดหมน 15 เซนตเมตร 3. หลงจากนนใหน าแทงเหลกไปวางทางดานขวาของไมบรรทดต าแหนงทท าใหระบบอยในสภาวะสมดล



รปท 1 การวางแทงเหลกเมอวางไมบรรทดทจดกงกลางฐาน

4. เมอระบบอยในสภาวะสมดลใหน าแทงเหลกทางดานซายและขวาของจดหมนไปชงน าหนกดวยเครองชงดจตอล บนทกผลการทดลอง 5. ใหค านวณหาโมเมนตหมนทวนเขมและตามเขมนาฬกา บนทกผลการค านวณ

6. ท าการทดลองซ าโดยใหเลอนไมบรรทดออกไปทางดานขวามอทงหมด 5 ครง โดยมระยะหางของการเลอนครงละ 2 เซนตเมตร แลววางแทงเหลกจนท าใหระบบอยในสภาวะสมดล บนทกผลการทดลอง

รปท 2 การจดวางแทงเหลกเมอเปลยนระยะจากจดหมน



ตารางบนทกผลการทดลอง 1m

(N) 2m

(N) 1L

(m) 2L

(m) โมเมนตตามเขมนาฬกา

(N.m)

โมเมนตทวนเขมนาฬกา

(N.m)




สรป

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….




เรอง สมดลของวตถ 3 มต วชา สถตยศาสตร ชอ – สกล......................................................รหสนกศกษา........................................หอง........... ........ วตถประสงค 1. เพอนกศกษาสามารถหาแรงทท าใหระบบอยในสภาวะสมดล 3 มต

ทฤษฎทเกยวของ เงอนไขส าหรบใชในการแกปญหาสมดลในระบบ 3 มต เมอมแรงกระท ากบวตถแขงเกรง สามารถเขยนใหอยในรปของเวกเตอรไดเปน

0

0

OM

F

(1)

โดยท 0F

คอ ผลรวมของแรงทกระท ากบวตถแขงเกรง 0OM

คอ ผลรวมโมเมนตของแรงคควบและโมเมนตของแรงทงหมดท กระท ากบวตถแขงเกรงรอบจด O ทอยบนวตถแขงเกรงหรอไม อยบนวตถแขงเกรง และสามารถเขยนสมการ (1) ใหอยในรปของเวกเตอรในพกดฉากของแตละแกนไดดงน 0kFjFiFF zyx

0kMjMiMM zyxO

พบวาเวกเตอร ji, และ k เปนอสระตอกน สามารถเขยนสมการใหอยในรปทสะดวกตอการค านวณไดเปน

0

0

0

z

y

x

F

F

F

(2)

และ

0

0

0

z

y

x

M

M

M

(3)

อาจกลาวไดวา สมดลของวตถแขงเกรงสามารถเกดขนไดเมอผลรวมของแรงและผลรวมของโมเมนตทกระท ากบวตถแขงเกรงมคาเทากบศนย



วสดและอปกรณ 1. ชดทดลองสมดลพรอมขาตง 3 อน

2. สปรงวดแรง 2 ชน

3. แผนเหลกสามเหลยมมมฉากขนาด 30x40x50 เซนตเมตร หนา 2 มลลเมตร

4. เชอก

5. แทงเหลก 10 ชน


วธการทดลอง 1. น าแผนเหลกสามเหลยมมมฉากไปยดตดกบสปรงวดแรงสองชนแลวน าไปยดไวกบขาตงของชดทดลอง 2. น าเชอกผกเขากบขาตงและน ามายดไวกบแผนเหลกทยดไวกบสปรงวดแรง พยายามรกษาระดบใหอยระนาบเดยวกน

3. น าแทงเหลกสองชนทชงน าหนกดวยเครองชงดจตอลแลวมาวางไวบนพนผวของแผนเหลก โดยวางไวทต าแหนงตรงกลางของแผนเหลก

รปท 1 การหาแรงดงในเชอก

4. อานคาของแรงดงในสปรงวดแรงทงสอง บนทกผลการทดลอง 5. ค านวณหาขนาดของแรงดงในเชอก (T)

6. ท าการทดลองซ าโดยเพมจ านวนของแทงเหลกทละ 2 ชน ไปจนถง 10 ชน



รปท 2 แทงเหลกทใชในการทดลอง

ตารางบนทกผลการทดลอง จ านวนแทงเหลก (ชน)

น าหนกแทงเหลก (N)

1F (N) 2F (N) T (N)

2

4

6

8

10

วเคราะหผลการทดลอง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



สรป

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………….


ภาคผนวก ข เฉลยแบบฝกหด




1. 1.1) N 1.2) mMN / 1.3) 2/ sN 1.4) sMN / 3. 3.1) skgM / 3.2) mNk / 3.3) skgNk / 5. sm /44.24

7. 7.1) Nmkg /447.0 7.2) skg 910.0 7.3) mGN /750.18 9. 9.1) 2/532.8 kgkm 9.2) 32750.134 kgm 11. lb41.165

13. 13.1) ปรมาณเวกเตอร, โมเมนตม เพราะตองมขนาดและทศทาง 13.2) ปรมาณเวกเตอร, ความเรว เพราะตองมขนาดและทศทาง 13.3) ปรมาณสเกลาร, ความหนาแนน เพราะมเพยงขนาด

13.4) ปรมาณเวกเตอร, แรง เพราะตองมขนาดและทศทาง 13.5) ปรมาณสเกลาร, ปรมาตร เพราะมเพยงขนาด


2.1 03.3,67.8 kNR

2.3 6.78,92.3 kNR

2.5 58.81,94.217 NR

2.7 33.11,19.338 NR

2.9 92.87,53.1030 NR

2.11 kNkjiT

962.0642.0320.0

2.13 mrmkjir ABAB 78.6,}63{

2.15 24.28,73.65,47,76,22.940 NR

2.17 NkjiFAB

16.16092.47924.240


3.1 mNM B 01.13 (โมเมนตตามเขมนาฬกา) 3.3 mNMo 35.46 (โมเมนตตามเขมนาฬกา) 3.5 inlbM A 03.16 (โมเมนตทวนเขมนาฬกา) 3.7 mNkjiMOA

3918 mNkjiMOA

305.718

3.9 mNM R 740 (โมเมนตตามเขมนาฬกา)

เฉลยแบบฝกหด 391


3.11 mkNMo 3.0 (โมเมนตทวนเขมนาฬกา)


4.1 kNTkNT ACAB 59.2,39.2

4.3 NTNT BCAB 18.3398,3924

4.5 NTT ACAB 125

4.7 kNWD 15.1,34.64

4.9 NFNFNF 87.775,31.879,52.465 321

4.11 lbFlbFlbF ADACAB 19.346,33.242,63.161


5.1 kNAkNAkNC yx 4,0.8,31.11

5.3 NANAmNM yxA 800,41.346,3900

5.5 NBNAA yx 99.3717,71.2854,0

5.7 NTNTT ADACAB 21.156,31.234

5.9 kNTkNT AEAD 98.2,12.2

5.11 kNjiAkNTT BFBE

4.227,5.17


6.1 )(225,0),(20.318),(20.318),(225 TNFFTNFCNFTNF BCDBDCADAB

6.3 )(67.666),(33.533 CNFTNF AEAB

6.5 )(8.1),(8.1 TkNFCkNF FHDG

6.7 )(88.983),(5.1028),(5.262),(5.437 TNFCNFCNFTNF ADACBCAB

),(5.262 CNFCD

6.9 )(5.37),(02.48),(75 TkNFTkNFCkNF HGHCBC

6.11 NBNBNANA yxyx 9.876,32.506,9.76,32.506

6.13 NP 100

6.15 NP 75.81




7.1 756.0,55.1 yx

7.3 8/5ax

7.5 mymx 29.0,8.0

7.7 mmy 5.237

7.9 mmy 47.17

7.11 mmymmx 73.117,63.243

7.13 cmycmx 17.5,67.5

7.15 NRNR BA 38.29,12.23

7.17 NRNR BA 650,900

7.19 NRNR BA 370,1430


8.1 lbF 85 มทศทางไปดานซาย

8.3 NP 62.342

8.5 อยในสภาวะสมดล, NF 04.4


9.1 NP 32.28

9.3 2.77

9.5 kNW 376.1

9.7 kgm 10.7


ภาคผนวก ค เฉลยแบบทดสอบ




1.1 ปรมาณเวกเตอร, ความเรว เพราะตองมทงขนาดและทศทาง 1.2 ปรมาณสเกลาร, มวล เพราะมเพยงขนาด

1.3 ปรมาณสเกลาร, ปรมาตร เพราะมเพยงขนาด

1.4 ปรมาณเวกเตอร, ความเรง เพราะตองมทงขนาดและทศทาง 1.5 ปรมาณสเกลาร, เวลา เพราะมเพยงขนาด

3 kgm 680 และ NW 6670 5.1) slugm 343.0 5.2) slugm

51022.8 5.3) slugm 25.822

7.1) 2/7.166 mNms 7.2) 22 /133.2 kNkgm


2.1 78.166,70.91 NR

2.3 06.26,43.17 kNR

2.5 NjiR

62.24483.88

2.7 NkjiFNkjiF BDAc

25.14575.785.52,25.17425.1745.43

2.9 NkjiR

2.5789.858.16


3.1 mNMO 72.36

(โมเมนตทวนเขมนาฬกา) 3.3 mkNM R 20 (โมเมนตตามเขมนาฬกา) 3.5 mNkjiM

5.11925.20021602


4.1 NFNF ACAB 08.266,39.99

4.3 kNFkNFkNFkNF EDEBBCBA 15.0,22.0,35.0,43.0

4.5 NFNFNF ADACAB 53.283,36.305,39.523

เฉลยแบบทดสอบ 395



5.1 NCNCNT yxAB 33.345,15.2884,52.3693

5.3 NANAmma yx 300,800,33.213

5.5 NkjiANTNT BEBD

13.13019.117101.195,6.390,6.780


6.1 )(0.9),(0.4),(0.4,)0.5 CkNFTkNFCkNFTkNF BDABDEBE

)(16,)15 CkNFTkNF CDAD

6.3 )(9,)12 CkNFTkNF CDDF

6.5 NCNCNBNB yxyx 75,100,75,100


7.1 mymx 86.0,4.2

7.3 cmy 15.19

7.5 54/15,54/12 LwRLwR oBoA 7.7 kNRkNR BA 88.2,44.1


8.1 NF 6.172

8.3 NF 379 , ทศไปทางดานซาย

8.5 NPbNPa 94.228),21.403)


9.1 3.56

9.3 45.38 05.179/ 22 dVd ระบบมความเสถยรภาพ



มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน .. อาจารย สทน พลบรณ

ภาคผนวก ง

จดเซนทรอยด


อาจารย สทน พลบรณ . มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

ตารางท ง.1 แสดงจดเซนทรอยดของรปทางเรขาคณต

รปราง จดเซนทรอยด พนทครงวงกลม

34ry

พนทหนงในสของวงกลม

34ryx

พนทสวนหนงของวงกลม

sin

3

2 rx

พนทสามเหลยม

3

bax

3

hy

พนทสเหลยมผนผา

2

bx

2

ay

(ทมา : Meriam et al. 2013: 497)


ภาคผนวก จ สตรแคลคลส



อนพนธของฟงกชน

1 nn

nxdx

dx

dx

duv

dx

dvu

dx

uvd

)(

2

v

dx

dvu

dx

duv

dx

v

ud

xdx

xdcos

sin

xdx

xdsin

cos

xdx

xd 2sectan

การอนทเกรต

1

1

n

xdxx

nn

xx

dxln

a

edxe

axax

)1(2

axa

edxxe

axax

xxdx cossin

xxdx sincos

xxdx tansec2 ตรโกณมต 1cossin 22 1tansec 22 1cotcsc 22

cossin22sin 22 sincos2cos sincoscossinsin sinsincoscoscos

Documents

อกสารประกอบการสอนportal5.udru.ac.th/ebook/pdf/upload/174l64P0831cQ9lQ14Tl.pdfม มนต ของ รง สมด ลของอน ภาค