229

บทที่ 10 การเคลื่อนที่แบบคาบ

ป ค.ศ. 1989 ใกลๆ กับซานฟรานซิสโก ประเทศสหรัฐอเมริกา เกิดแผนดินไหวขึ้น วัดการส่ันสะเทือนในมาตราริกเตอรได 7.1 เปนสาเหตุของความหายนะอยางใหญหลวง มีคนเสียชีวิต 67 คน บาดเจ็บอีกนับพันคน ภาพบนเปนทางดวนยาว 1.4 km ถลมและหักลงมาทับรถยนต และรถมอเตอรไซด บ้ีแบนอยูใตทางดวนไปหลายคัน อยางไรก็ตาม ทางดวนไมไดหักทั้งเสนทาง หักเพียงบางสวนเทานั้น จึงเกิดคําถามขึ้นวาทําไมทางดวนจึงหักเพียงแคความยาว 1.4 km นี้ แตสวนอ่ืนๆ ของทางดวนกลับไมเปนไร คลิกครับ

ในบทนี้เราจะศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุซึ่งมีลักษณะแบบซ้ําไปมาที่มีคาบเวลาแนนอนคาหนึ่ง การเคลื่อนที่แบบนี้มีชื่อเรียกวา การเคลื่อนท่ีแบบคาบ (harmonic motion : oscillation) ตัวอยางเชน การแกวงของลูกตุมนาฬิกา การเคลื่อนที่ของมวลผูกติดกับสปริงที่ปลายขางหนึ่งยึดไว การสั่นของสายกีตาร การสั่นของผลึกควอทซในนาฬิกาขอมือ การสั่นของโมเลกุลในวัตถุ และอื่น ๆ อีกมากมาย เราสามารถแบงการเคลื่อนที่แบบคาบออกเปน 3 ลักษณะดวยกันคือ

1. การเคลื่อนที่แบบคาบอยางงาย (Simple Harmonics Motion : SHM.) 2. การเคลื่อนที่แบบคาบที่ถูกหนวง (Damped Oscillation) 3. การเคลื่อนที่แบบคาบที่ถูกแรงบังคับ (Forced Oscillation)

10-1 การเคล่ือนที่แบบคาบอยางงาย_______________________________

เปนลักษณะการเคลื่อนที่แบบคาบที่มีแอมพลิจูด และคาบของการเคลื่อนที่คงที่ และเปนการเคล่ือนที่ที่เกิดจากแรงคืนตัวเพียงอยางเดียว เทอมตอไปนี้เราจะใชบอยครั้ง เพ่ืออธิบายการเคลื่อนที่แบบ SHM คาบ คือ เวลาที่ใชในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ แทนดวยสัญลักษณ τ (อานวา ทอ) ความถี่ คือ จํานวนรอบตอหนวยเวลา แทนดวยอักษร f ความถี่เปนสัดสวนกลับกับคาบ

f = τ1

มีหนวยเปนรอบตอวินาที เรียกใหมวาเฮิรตซ (Hz = 1s-1)

แอมพลิจูด คือ ระยะกระจัดสูงสุด แทนดวยอักษร A ดังนั้น ระยะกระจัดสูงสุดของการเคลื่อนที่ คือ 2A

ฟสิกสราชมงคล

230

รูป 10-1 การเคลื่อนที่ของมวลสปริงในแนวราบ

ใ เ าพิจารณาจากมวลที่ติดอยูปลายสปริงเบาดังแสดงในรูปท่ี 10 -1 สมมติมวลเคล่ือนที่ในแนวระดับ

าศจากความเสียดทานใดๆ และสปริงมีคานิจเปน k ที่ตําแหนง x = 0 เรียกวา ตําแหนงสมดุล ถาไมถูกรบกวน มวลจะอยูนิ่ง ณ ตําแหนงนี้ ถามวล m ถูกแรงจากภายนอกกระทําใหยืดออกไปเปนระยะ

ห ร

โดยปร

x จากตําแหนงสมดุลโดยสปริงจะพยายามคืนตัวดวยแรง xFv = - k xv ซึ่งเปนไปตามกฎของฮุค ( Hook’s Law ) เครื่องหมาย ( - ) หมายความวา มีทิศไปทางซาย ถาการกระจัด x เปนบวก และถา Fvมีทิศไปทางขวา การกระจัด x เปนลบ ซึ่งทั้งสอง

กรณีที่พูดถึงนี้ดูไดจากรูปที่ 10-1 ถาใชกฎขอที่สองของนิวตัน กรณีเคล่ือนที่ในทิศทาง x จะได

Fx = -kx = max

หรือ ax = m

kx− ................... (10-1)

ถา x = ± A (ระยะกระจัดสูงสุด) ความเรงจะสูงสุด = m

kA− และขณะวัตถุผานจุดสมดุล

ความเรงเปนศูนย แตความเร็วจะสูงสุด

รูป 10-2 พลังงานรวมของระบบ E = พลังงานศักย K + พลังงานจลน U สําหรับการเคลื่อนที่แบบ SHM เราสามารถใชกฎการอนุรักษพลังงานกับ SHM ได เพราะวาแรงยึดหยุนของสปริงเปนแรงอนุรักษ จากกฎการอนุรักษพลังงาน

พลังงานศักยยืดหยุน U = 2

1kx2 พลังงานจลน K =

2

1mv2

พลังงานรวม E = K + U = คงที่ตลอดการเคลื่อนที่

ฟสิกสราชมงคล

231

หรือ E = 2

1mv2 +

2

1kx2 = คงที่ตลอดการเคลื่อนที่

……….….......(10-2)

ระยะกระจัดสูงสุดของการเคลื่อนที่คือ ± A ณ จุดนี้ วัตถุจะมี v = 0 จึงไมมีพลังงานจลน เพราะฉะนั้นพลังงานรวมของระบบตรงจุดนี้ คือ

E = 2

1kA2 ……….….......(10-2a)

ดังนั้นพลังงานรวม ณ ตําแหนงใด ๆ

2

1mv2 +

2

1kx2 =

2

1kA2

ความเร็ว ณ ตําแหนงใด ๆ

v = ± 22 xAm

k−⋅ ................... (10-3)

กราฟรูป10-2 แกนดิ่งคือพลังงาน แกนนอนคือระยะกระจัด ณ ตําแหนงใดๆ ของการเคลื่อนที่ จากแกน x วัดขึ้นไปในแนวดิ่งถึงแนวเสนกราฟพาราโบลา คือ พลังงานศักย U จากแนวเสนกราฟพาราโบลาจนถึงเสน E คือพลังงานจลน K และเสนตรงบนสุด E คือ U + K ที่จุดสมดุล x = 0 วัตถุมีความเร็วสูงสุด vmax เน่ืองจากมีแตพลังงานจลนไมมีพลังงานศักยยืดหยุน จากสมการ (10-3) แทนคา x = 0 จะได

vmax = ± Am

k ................... (10-4)

สมการ (10-3) มีประโยชนมาก เปนสมการหาความเร็ว ณ ตําแหนงใด ๆ เราสามารถหา

ความสัมพันธระหวางตําแหนงกับเวลา ไดโดยการอินทิเกรต สมการ (10-3) โดยการแทน v ดวย dt

dx ตัด

เครื่องหมาย ± ออกจะได

dt

dx = 22 xA

m

k− ................... (10-5)

จัดรูปใหม ∫− 22 XA

dx = ∫ dt

m

k

อินทิเกรตเสร็จแลวจะได

sin-1

A

x = Ct

m

k+

C เปนคาคงที่ที่ไดจากการอินทิเกรต เปล่ียนขางหาระยะกระจัด x จะได

ฟสิกสราชมงคล

232

x = A sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + Ct

m

k ................... (10-6)

ระยะกระจัด เปนฟงกชันรูป sin (ไซน) กับเวลา เมื่อวัตถุเคล่ือนที่ครบ 1 รอบ มุมในวงเล็บของ

ฟงกชัน sin จะเพิ่มขึ้น 2π ถาเริ่มจับเวลา t = 0 คาบเวลา τ หาไดจาก

τm

k = 2π

τ = 2π k

m ................... (10-7)

ขอสังเกต คาบการเคลื่อนที่ไมขึ้นกับแอมพลิจูด หรือพลังงาน

ความถี่ f = τ1

= mk

2

1

π .................. (10-8)

ความถี่เชิงมุม (angular frequency) ω = 2πf แทน f จากสมการ (10-8) จะได

ω = m

k .................. (10-9)

แทน ω ลงในสมการ (10-6) และ (10-3) เพ่ือใหสมการกระชับขึ้นจะได

x = A sin (ωt + C) .................. (10-10)

v = ±ω 22 xA − .................. (10-11) ถามวลในสมการ (10-7) มาก การเคลื่อนที่จะชาลง คาบเวลาก็จะมากขึ้นนาแปลกใจที่วาคาบไมเกี่ยวของกับแอมพลิจูด ตัวอยางเชน ออกแรงดึงมวลใหมีระยะกระจัดคาหนึ่งแตมากพอสมควร แลวปลอยจะไดความถี่คาหนึ่ง ออกแรงดึงอีกทีใหมีระยะกระจัดนอยลงแลวปลอยก็จะไดความถี่เทากับความถี่แรก สรุปไดวา การเคลื่อนที่แบบ SHM แอมพลิจูดไมมีผลตอความถี่และคาบ ถาไมเชื่อคุณก็ลองเคาะสอมเสียง และลองสังเกตุดูจะพบวาไมวาจะเคาะดวยความแรงเทาไรก็ตามความถี่ของสอมเสียงก็ยังคงเดิม คาสูงสุดของ sin ในสมการ (10-10) คือ +1 และ –1 ดังนั้น คา x จะไมมีทางมากกวา A หรือนอยกวา - A ซึ่งก็คือ ระยะกระจัดสูงสุดของการเคลื่อนที่ กําหนดตําแหนงเริ่มตน x = A ที่เวลา t = 0 แทน

ลงในสมการ (10-10) จะได C = 2

π แทนคา C ลงในสมการ (10-10) จะไดระยะกระจัด ณ เวลาใด ๆ

x = A cos ωt .................. (10-12)

หยุดไวตรงนี้กอน ยอนกลับไปท่ีสมการ (10-1) แทน ax ดวย 2

2

dt

xd และ ω2 =

m

k จะได

ฟสิกสราชมงคล

233

2

2

dt

xd = -ω2x .................. (10-13)

จากการแกสมการ อนุพันธลําดับที่สอง ไดคําตอบหลายแบบดังนี้

x = A sin ωt .................. (10-14 a)

x = A cos ωt .................. (10-14 b)

x = A cos (ωt + θ0) .................. (10-14 c) ทดลองตรวจสอบคําตอบโดยการนําคําตอบจากสมการ (10-14) ไปแทนลงในสมการ (10-13) ถาสมการทางซายและขวาตรงกัน ก็แสดงใหเห็นวาเปนคําตอบของสมการจริง

A cos ωt A cos (ωt + θ0)

A sin ωt

รูป 10-3 กราฟคําตอบแบบตาง ๆ ของสมการ (10-13) คําตอบของสมการ (10-13) เปนคําตอบพ้ืนฐานของ SHM ถาเริ่มปลอยมวล ณ t = 0 ที่ระยะกระจัดเริ่มตน A ใหใชสมการ (10-14 b) แตถาเริ่มจับเวลา ณ t = 0 ที่ตําแหนงสมดุล x = 0 ซึ่งมีความเร็วเร่ิมตน v0 (ตําแหนงสมดุลความเร็ว v0 จะเปนความเร็วสูงสุด) ใหใชสมการ (10-14 a) ดังนั้นที่จุดสมดุล v0 กับ A มีความสัมพันธกันดังนี้

v0 = ωA สวนสมการ(10-14 c) ใชสําหรับเมื่อเริ่มจับเวลา t = 0 ขณะวัตถุอยูที่ระยะกระจัดเริ่มตน x0 และ

มีความเร็วเริ่มตน v0 ; θ0 เรียกวา มุมเริ่มตน แทนคา t = 0 ลงในสมการ (10-14 c) จะไดระยะกระจัดเริ่มตน

x0 = A cos(ωt + θ0) .................. (10-15) ความเร็ว v ณ เวลาใด ๆ หาไดจากการหาอนุพันธของสมการ (10-14 c) เทียบกับเวลาดังนี้

v = dt

dx = - ωA sin (ωt + θ0) .................. (10-16)

ฟสิกสราชมงคล

234

แทนคา t = 0 และแทน v = v0 จะได

v0 = -ωA sin θ0 .................. (10-17) กําจัดเทอม A ดวยการหารสมการ (10-17) ดวยสมการ (10-15) จะได

tanθ0 = 0

0

xvω− ................. (10-18)

กําจัดเทอม θ0 โดยยกกําลังสองสมการ (10-17) ยาย ω2 ไปหารสมการขางซาย และยกกําลัง

สองสมการ (10-15)บวกสมการทั้งสองเขาดวยกัน อาศัยกฎทางตรีโกณมิติ sin2 θ0 + cos2 θ0 = 1 ผลที่ไดคือ

A2 = 2

202

0

vx

ω+ .................. (10-19)

จาก U = 2

1kx2 แทน x = A cos (ωt + θ0) จะได

U = 2

1kA2 cos2 (ωt + θ0) .................. (10-20)

พลังงานจลนของอนุภาค K = 2

1mv2

จากสมการ (10-16) แทนลงไปในสมการบน

K = 2

1mω2A2 sin2 (ωt + θ0)

แต k = mω2

∴ K = 2

1kA2 sin2 (ωt + θ0) .................. (10-21)

เราจะไดพลังงานรวมของระบบ E = U + K

= 2

1kA2 cos2 (ωt + θ0) +

2

1kA2 sin2 (ωt + θ0)

= 2

1kA2 [cos2 (ωt + θ0) + sin2 (ωt + θ0) ]

= 2

1kA2 .................. (10-22)

ตรงกับสมการที่ (10-2a)

จากสมการ (10-20) จะเห็นไดวา cos2 (ωt + θ0) มีคามากที่สุดไดเพียง = 1 นั่นหมายถึง

พลังงานศักยสูงสุดของระบบตองเทากับ 2

1kA2 และจากสมการ (10-21) คา sin2(ωt + θ0) มีคามากที่สุด

ก็เพียง = 1 ฉะนั้น พลังงานจลนสูงสุดมีคาเทากับ 2

1kA2 เชนกัน แตเพราะ

2

1kA2 เปนคาคงที่ตลอดเสนทาง

การเคลื่อนที่ แสดงวาในขณะที่พลังงานจลนมากที่สุด พลังงานศักยจะตองนอยที่สุด คือเทากับศูนย และจะสลับกัน ทั้งพลังงานจลนและพลังงานศักยจึงเปนปริมาณที่ไมคงที่ขึ้นกับระยะกระจัดยกกําลังสอง

ฟสิกสราชมงคล

235

รูป 10-4 เปนกราฟของพลังงานศักย U พลังงานจลน (K) และพลังงานรวม (E) เทียบกับเวลาของการเคล่ือนที่แบบ SHM (a) (b)

รูป 10-4 U, K , E ของมวลเคลื่อนที่แบบ SHM เทียบกับเวลา ขอสังเกต ถาเริ่มจับเวลา t = 0 แอมพลิจูดยังไมเทากับระยะกระจัดเริ่มตน จากสมการ (10-19) แสดงวาวัตถุมีความเร็ว v0 แตถาเริ่มจับเวลา แอมพลิจูดเทากับระยะกระจัดเริ่มตน แสดงวาวัตถุหยุดการเคลื่อนที่ และกําลังเปล่ียนทิศทางการเคลื่อนที่ ข้ันตอนการแกปญหา SHM

1. เพ่ือใหปญหาชัดเจน ตองแยกปริมาณทางกายภาพและปริมาณที่ใชอธิบาย การ เคล่ือนที่ออกจากกัน ปริมาณทางกายภาพ เชน มวล (m) , คานิจของสปริง (k) , คาบ (τ), ความถี่ (f) และความเร็วเชิงมุม ω = 2πf สวนปริมาณที่ใชอธิบายการเคลื่อนที่ก็เชน แอมพลิจูด (A) , ความเร็วสูงสุด (vmax) , มุมเฟสเริ่มตน θ0 และปริมาณที่ใชแทนตําแหนง , ความเร็ว และความเรง ณ เวลาตาง ๆ 2. ถาเปนปญหาที่ตองการทราบ ตําแหนง, ความเร็ว และความเรง โดยไมเกี่ยวของ กับ เวลาใหใชสมการ (10-1) หรือ (10-3) ไดเลย

3. ถาเปนปญหาที่เกี่ยวของกับเวลา ใหใชสมการ (10-14) ดังนี้ ถาจับเวลาของวัตถุ ที่จุดสมดุล (x = 0) ความเร็วเริ่มตน v0 = ωA (ความเร็วสูงสุด)ใหใชสมการ (10-14 a) แตถาเริ่ม

จับเวลาที่ตําแหนงระยะกระจัดสูงสุด x0 = A ความเร็วเริ่มตนเปนศูนย ใหใชสมการ(10-14 b) สุดทายถาเริ่มจับเวลาที่ตําแหนงใด ๆ เฟสเริ่มตน คือ θ0 ใหใชสมการ (10-14 c)

4. หาพลังงานรวมโดยใช E = 2

1kA2

ฟสิกสราชมงคล

236

ตัวอยาง10-1 ใชแรง 4 N ดึงสปริงตามแนวราบ ทําใหสปริงยืดออก 0.02 m และนํามวล 2 kg ผูกติด

กับปลายสปริง ดึงใหสปริงยืด 0.04 m แลวปลอย จงหา ก. คานิจของสปริง ข. คาบและความถี่ของมวล 2 kg ค. ความเร็วสูงสุดของมวล ง. ความเรงสูงสุดของมวล จ. ความเร็วและความเรงของมวล เมื่อเคล่ือนที่ไดระยะครึ่งหนึ่งของระยะกระจัดสูงสุด ฉ. เวลาที่ใชในการเคลื่อนที่จากระยะกระจัดสูงสุดถึงตําแหนงครึ่งทาง

หลักการคํานวณ ก) คานิจของสปริง

k = x

F =

m0.02

N4 = 200 N⋅m-1

ข) คาบและความถี่ของมวล

τ = 2π k

m = 2π 1mN200

kg2−⋅

= s5

π = 0.628 s

f = τ1

= π5

s-1

= 1.59 s-1 = 1.59 Hz

ω = 2πf = m

k

= 10 s-1

ค) ความเร็วสูงสุด (vmax)

จาก v = ±ω 22 xA − ตําแหนงสมดุล x = 0 ความเร็วของมวลจะสูงสุด แทน x = 0

v = vmax = ± ωA = ± (10s-1)(0.04 m)

= ± 0.4 m⋅s-1

ง) ความเรงสูงสุด (amax) จากสมการ (10-1) และ (10-13)

ax = xm

k− = -ω2x

ตําแหนง x = ± A ความเรงของมวลจะสูงสุด

amax = ± ω2x = ±(10 s-1)2(0.04 m) = ±4.0 m.s-2

ฟสิกสราชมงคล

237

จ) คํานวณหาความเร็วและความเรงเมื่อมวลเคล่ือนที่ไดครึ่งทางของระยะกระจัด สูงสุด

แทน x = 2

A = 0.02 m ลงในสมการ (10-3) จะได

v = - (10s-1)2

m)(0.022

m)(0.04 −

= - ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

10

32m⋅s1

= 0.346 m⋅s-1

ax = -ω2x = -(10s-1)2(0.02 m)

= -2.0 m⋅s-2

ฉ) เวลาที่ใชในการเคลื่อนที่จากระยะกระจัดสูงสุดถึงครึ่งทาง ถาเริ่มจับเวลาที่ ตําแหนงระยะกระจัดสูงสุด

จาก x = Acos ωt

2

A = Acos(10s-1)t

cos(10s-1)t = 2

1

(10 s-1) t = cos-1

2

1 =

3

π

t = s30

π

ตัวอยาง10-2 ระบบ SHM ในตัวอยาง 10-1 เร่ิมตนที่ระยะกระจัด = 0.05 m วัตถุมีความเร็ว 2 m⋅s-1 จง

หาแอมพลิจูด มุมเริ่มตน และพลังงานรวมของการเคลื่อนที่ และเขียนสมการในรูปฟงกชันกับเวลา

หลักการคํานวณ จากสมการ (10-19)

A = 2

020

vx ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ω

+

=

2

1

12

s10

sm2m)(0.05 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+ −

−

= 0.206 m จากสมการ (10-18)

θ0 = tan-1 (0

0

xvω− )

ฟสิกสราชมงคล

238

= tan-1 (-m))(0.05s(10

sm21

1

−

−⋅)

= -76.00

= -1.33 rad จากสมการ (10-22) จะได

E = 2

1kA2 =

2

1(200 N⋅m-1)(0.206 m)2

= 4.24 J หรือจากสมการ (10-2)

E = 2

1 20

20 kx

2

1mv +

= 2

1(2 kg)(2 m⋅s-1)2 +

2

1(200 N⋅m-1)(0.05 m)2

= 4.24 J ไดคําตอบเทากัน แทนลงไปในสมการ (10-14 c) จะได x = (0.20 m) cos [(10s-1)t - 1.33 rad]

x P = k(Δl-x) P = kΔl Δ

รูป 10-5 แรงดึงกลับของสปริงเปนสัดสวนตรงกับระยะยืดจากตําแหนงสมดุล

การเคลื่อนที่ SHM ดังรูป 10-1 เปนมวลเคลื่อนที่บนพ้ืนระดับ แตถาเราหมุนระบบทวนเข็มไป 90o มวลกับสปริงก็จะหอยอยูในแนวดิ่ง ภายใตสนามโนมถวงของโลก ดังรูป (10-5b) มวล m แขวนอยูกับ

สปริงในสภาวะสมดุล สปริงจะยืดออกมา Δ l ฉะนั้น แรงดึงกลับของสปริง = k Δl จะเทากับน้ําหนัก mg เขียนเปนสมการไดดังนี้

k Δ l = mg

ฟสิกสราชมงคล

239

ขณะที่มวล m กระเดงขึ้นไปเปนระยะ x จากตําแหนงสมดุล ดังรูป10-5 c ระยะยืดจริงของสปริง

= Δ l - x ฉะนั้น แรงดึงกลับของสปริง = k(Δl-x) ซึ่งเปนแรงสุทธิที่กระทําบนวัตถุคือ

F = k (Δl-x) – mg = -kx เปนไปตามกฎของฮุคทุกๆ ตําแหนง

ตัวอยาง 10-3 แขวนมวล 5 kg กับสปริง ทําใหสปริงยืด 0.1 m ดึงสปริงลง 0.05 m และปลอย จง

หาแอมพลิจูด คาคงที่ของสปริง และความถี่ของ SHM นี้

หลักการคํานวณ แอมพลิจูด = 0.05 m

น้ําหนัก ( 5 kg)(9.8 m⋅s-2) ทําใหสปริงยืด 0.1 m ดังนั้น

k = lΔ

mg

= m)(0.1

)smkg)(9.8(5 2−⋅ = 490 N⋅m-1

τ = k

m2π

= 1mN490

kg52 −⋅π

= 0.635 s

f = τ1

= 1.57 Hz

การเคลื่อนที่แบบ SHM มีไดกรณีตาง ๆ ดังตอไปนี้

น้ําหนักถวง

(a) (b) (c) (d) (e)

รูป 10-6 (a) ลูกตุมนาฬิกา (b) มวลแขวนสปริงในแนวดิ่ง (c) แทงเหล็กยึดปลายขางเดียว (d) วัตถุที่ลอยอยูบนผิวน้ํา (e) ตาชั่งสมดุลแกวงขึ้นและลง

ฟสิกสราชมงคล

240

10-2 ลูกตุมนาฬิกาอยางงาย _____________________________________

แบบจําลองที่งายและเห็นชัดที่สุดของ SHM คือลูกตุมนาฬิกาอยางงาย (Simple Pendulum) ซึ่งประกอบดวยมวลขนาดเล็กผูกกับเชือกยาวแตมีน้ําหนักนอย ดึงมวลใหตึงเอียงไปขางใดขางหนึ่งและปลอยมวลจะเคลื่อนที่แบบ SHM ดังรูป 10-7แรงบนมวล m สามารถแตกออกเปนแรงในแนวสัมผัสและแรงในแนวรัศมีเฉพาะแรงแนวสัมผัสจะมีคาเทากับแรงดึงกลับ F ซึ่งก็คือ

F = - mg sinθ ................... (10-23) รูป 10-7 แผนภาพแทนแรงของลูกตุมนาฬิกา

เวลาทําการทดลอง ถาให θ เล็กมาก ๆ คา sinθ ≈ θ ตัวอยางเชน ถา θ = 0.1 เรเดียน (60)

sinθ = 0.0996 แตกตางกันเพียง 0.2% ประมาณไดวาเทากัน สมการ (10-23) จะเปน

F = - mgθ = -mg L

x

หรือ F = - xL

mg ................... (10-24)

สมการ (10-24) บอกใหเราทราบวา แรงดึงกลับเปนสัดสวนตรงกับระยะกระจัด x; L

mg เปน

คาคงที่ แทนดวย k จะได

ความถี่เชิงมุม ω = m

k =

m

mg/L =

L

g ................... (10-25)

ความถี่ f = πω2

= L

g

2

1

π ................... (10-26)

คาบ τ = ωπ2

= f

1 = 2π

g

L ................... (10-27)

ฟสิกสราชมงคล

241

ขอสังเกต ความถี่และคาบไมเกี่ยวของกับมวลของวัตถุ พิสูจนไดจากกฎขอท่ีสอง F = ma เพราะแรงดึงกลับ F เปนสัดสวนตรงกับมวล ฉะนั้น สมการทั้ง 2 ขางสามารถตัดมวลทิ้งไปได นักวิทยาศาสตรที่คนพบ กฎนี้คือ กาลิเลโอ เมื่อประมาณ 400 ปมาแลว จากสมการ (10-25) ถึง (10-24) คาบขึ้นอยูกับความยาวเชือกและคา g ถาเปล่ียนความยาวให

เพ่ิมขึ้น คาบก็เพ่ิมขึ้นตาม สวนคา g ปกติคงที่ ขณะทดลองเราให θ เล็กมาก ๆ แตถา θ มีขนาดใหญขึ้น

คาบเวลา τ จริง ๆ จะตองแทนดวย

τ = 2πg

L...)

2sin

42

31

2sin

2

1(1 4

22

222

2

2

+⋅⋅

++θθ

....... (10-28)

สมการบนสามารถหาคาบไดทุก ๆ คาของ θ ตัวอยางเชน θ = 15o แทนคาลงในสมการ (10-28) เทียบกับคาที่ไดจากสมการ (10-27) แตกตางกันเพียง 0.5% แตถาแทนมุมที่กวางกวานี้ คาผิดพลาดก็จะย่ิงสูงขึ้น ลูกตุมนาฬิกานี้สามารถนําไปประยุกตใชเปนเคร่ืองมือวัดคา g ตามตําแหนงตาง ๆ ของโลกไดเปนอยางดี นักธรณีวิทยานิยมใชกันมากเพื่อวิเคราะหหาแรธาตุที่อยูใตผิวโลกลงไป

การทดลองเสมือนจริง

การทดลองนี้เปนการหาความสัมพันธระหวางคาบ ความเรง ความยาวของสปริง มวล และคาคงที่ของสปริง สําหรับการเคลื่อนที่แบบซิมเปลฮารโมนิค ในหองทดลองนี้เปนการเคลื่อนที่ของมวลที่ติดกับสปริง และลูกตุมติดกับเชือก แบบธรรมดา (Simple) โดยกําหนดใหมุมของการแกวงมีคานอย ไมมีแรงเสียดทานของอากาศ ไมคิดมวลและแรงเสียดทานของสปริง กดที่กลองหรือท่ีนี่เพ่ือเขาสูการทดลอง

ฟสิกสราชมงคล

242

10-3 ฟสิกัลเพนดูลัม __________________________________________

รูป 10-8 ลูกตุมรูปรางไมแนนอนเอียงทํามุม θ ใด ๆ กับแนวดิ่งรอบจุดหมุน O ฟสิกัลเพนดูลัม (Physical pendulum) คือลูกตุมนาฬิกาในโลกแหงความเปนจริงเพราะลูกตุมมีขนาดไมไดเปนจุด แตถึงกระนั้นวิธีการคํานวณใชวิธีเดียวกันได ดังรูป 10-8 ลูกตุมรูปรางไมแนนอน

เอียงทํามุม θ ใด ๆ กับแนวดิ่งรอบจุดหมุน โดยไมมีแรงเสียดทาน จุดศูนยถวงอยูต่ํากวาและหางจากจุด

หมุน h ใหมวลของลูกตุม = m โมเมนตความเฉื่อยรอบจุดหมุน = Ι จะได

ทอรคบิดกลับ Γ = - (mg)(h sinθ) ................... (10-29)

หลังจากปลอยมวล มวลจะแกวงรอบจุดหมุน O เหมือนกับลูกตุมนาฬิกา ถาให θ มีขนาดเล็ก

มาก sinθ ≈ θ สมการ (10-29) เปล่ียนเปน Γ = -(mgh) θ , mgh = คาคงที่ แทนดวย k′

k′ = θ

Γ− = mgh

ความถี่เชิงมุม

ω = Ι

′k =

Ι

mgh ................... (10-30)

คาบ τ = 2π k′Ι

= 2π mgh

Ι .................. (10-31)

ฟสิกสราชมงคล

243

ตัวอยาง 10-4 แขวนไมเมตรที่ปลายขางหนึ่ง เหมือนรูป 10-8 จงหาคาบของการสั่น

หลักการคํานวณ จากตัวอยาง เราได Ι = 2mL3

1 , h =

2

L แทนคาลงไปในสมการ (10-31)

จะได τ = 2π L/2mg

mL1/3 2

= 2π g3

2L

= 2π )sm(9.8

m)(1

3

22-⋅

= 1.64 s

ตัวอยาง 10-5 ถาทราบคาบการสั่นของกานลูกสูบ จงหาโมเมนตความเฉื่อย

หลักการคํานวณ จากสมการ (10-31) ยายขางหาคา

Ι = 2

2

4

mgh

πτ

ถาเราตองการทราบโมเมนตความเฉื่อยของวัตถุที่ไมมีรูปทรง เปดตารางก็ไมมี กอนอ่ืนจะตองหาจุดศูนยถวงของวัตถุกอนดังรูป 10-10 เปนวิธีการหาจุดศูนยถวงอยางงายและมีประสิทธิภาพมาก ที่สุด

รูป 10-9 หาโมเมนตความเฉื่อยของ กานลูกสูบดวยวิธีการอื่น รูป 10-10 แขวนวัตถุดวยเชือก ลากเสนดิ่งมาตัดกัน จุดตัด ก็คือจุดศูนยถวงตามรูป จุดศูนยถวงอยูหางจากปลาย

บนซึ่งเปนจุดหมุน (h) = 0.2 m แกวงหาคาบได τ = 1.2 s

เสร็จแลวชั่งน้ําหนัก mg = 2kg× 9.8 m⋅s-2 = 19.6N แทนคา ลงไปในสมการบน จะได

Ι = 2

22

4

m))(0.2smkg)(9.8(2s)(1.2

π

⋅ −

= 0.143 kg⋅m2

ฟสิกสราชมงคล

244

บทความออนไลน

10- 4 จานหมุน _______________________________________________

นาฬิกาแบบลูกตุม

คุณเคยเห็นนาฬิการุนคุณปูหรือไม ที่มีลูกตุมแกวงไปมาอยูดานลาง และเข็มของนาฬิกาเดินตามจังหวะของการแกวงถาคุณไมกลัววานาฬิกาของคุณปูจะพัง ลองแกะเขาไปดู ภายในคุณจะไดเห็นสปริง และเกียร ดูสลับซับซอน อาจจะตกใจวามนุษยนี่หนอสามารถคิดอะไรที่สลับซับซอนไดปานนี้ ฟสิกสราชมงคลจะอธิบายการทํางานของนาฬิกาแบบลูกตุมนี้ และเปดเผยกลไกที่อยูภายในใหคุณไดเห็นวา มันเปนอยางไรอานตอครับ

รูป 10-14 คือจานหมุนติดกับแกนเหล็ก ที่ปลายบนยึดแนนกับเพดาน บิดจานไปที่ R แลวปลอย จานจะเคล่ือนที่สลับไปมา ระหวางจุด R และ Q โดยมี P เปนจุดกึ่งกลาง มุมของการ

บิดสูงสุด คือ θm ควรจะให θm มีคานอย ๆ ทอรคบนแกนเหล็กเปรียบไดกับแรงดึงกลับของสปริง ดังนั้น ทอรคที่เกิดขึ้นพยายามดึงจานใหกลับตําแหนงเดิมจึงเรียกวา ทอรคบิดกลับ

(restoring Torque) แทนดวยสัญลักษณ Γ

Γ = - k′θ ................... (10-32)

k′ คือคาคงที่การบิด

θ คือมุมบิด

รูป 10-14 จานหมุน (Torsion pendulum) จาก Γ = Ια = 2

2

dt

d θΙ

ฟสิกสราชมงคล

245

หรือ 2

2

dt

d θ =

Ι

θ′−

k = - ω2θ

เทียบกับสมการ (10-13) สามารถพิสูจนไดวา

τ = 2π k′Ι

................... (10-33)

ความถี่เชิงมุมω = Ι

′k ................... (10-34)

10-5 วงกลมเปรียบเทียบ_______________________________________

x = A cosθ

v||

Q A

P O θ

v = v|| sin θ

θ

Q

θ P a = a⊥

Q a

θ P cos θ

รูป 10-15 ตําแหนงของวัตถุของ SHM รูป 10-16 ความเร็วของ SHM รูป 10-17 ความเรงของ SHM

การเคลื่อนที่แบบซิมเปลฮารโมนิค (SHM) แสดงไดดวยวงกลมเปรียบเทียบ ซึ่งจะชวยเชื่อม SHM กับการเคลื่อนที่แบบวงกลมเขาดวยกัน แนวคิดพ้ืนฐานนี้แสดงอยูในรูป 10-15 ลองพิจารณาจุด Q ซึ่ง

หมุนทวนเข็มนาฬิกา บนวงกลมรัศมี A (เทากับแอมพลิจูดของ SHM) ดวยความเร็วเชิงมุมคงที่ ω (rad⋅s-1)

= dt

dθ เวกเตอร OQ มีชื่อเรียกวา เฟสเซอร (phasor) มีไวเพ่ือนําไปใชอธิบายฟงกชันที่เปล่ียนแปลงกับ

เวลาในลักษณะรูป sin และ cos จุด P เปนเงาของจุด Q บนแกน x ขณะที่ Q หมุน P ก็จะเคลื่อนที่อยูบนเสนผาศูนยกลางสลับไปมา ระยะกระจัด P จากจุดเริ่มตน O ณ เวลาใด ๆ แทนดวย x เขียนอยูในรูปของฟงกชันตรีโกณมิติไดดังนี้

x = A cosθ

ถากําหนดให t = 0 , θ = 0, θ เปล่ียนแปลงตามเวลา ดังสมการ

θ = ωt แทนคาลงในสมการบนจะได

x = A cos ωt ................... (10-35)

จาก ω = 2πf f = ความถี่ จะได

x = A cos 2πft ................... (10-36)

ฟสิกสราชมงคล

246

ความเร็วแนวสัมผัสที่จุด Q หาไดจาก v|| = ωA = 2πfA แตกความเร็วใหมาอยูบนแกน x จะไดความเร็วของจุด P คือ

v = -v|| sinθ = - ωAsinθ ................... (10-37)

v = - ωAsinωt ขณะที่ Q หมุนอยูเหนือเสนผาศูนยกลาง ความเร็วมีทิศพุงไปทางซาย จึงมีเครื่องหมายเปนลบ แตถา Q หมุนอยูใตเสนผาศูนยกลาง ความเร็วจะมีทิศพุงไปทางขวา คา v จะเปล่ียนเปนบวกอัตโนมัติเพราะ

sinθ เปนลบ ดังนั้น สมการ (10-37) คือความเร็วของจุด P ณ เวลาใด ๆ

ความเรงแนวตั้งฉากจาก a⊥ = A

v2II = ω2A

แตกความเรงใหมาอยูบนแกน x จะไดความเรงของจุด P คือ

ax = - a⊥ cosθ

ax = - ω2A cosωt ................... (10-38) ขณะที่ Q หมุนอยูทางซีกขวา เครื่องหมายลบแสดงใหเห็นวา ความเรงมีทิศพุงไปทางซาย แตถา Q หมุนไปอยูทางซีกซาย ความเรงก็จะมีทิศพุงไปทางขวา คา a จะเปล่ียนเปนบวกอัตโนมัติเพราะ

cosθ เปนลบ ดังนั้น สมการ (10-38) คือความเรงของจุด P ณ เวลาใด ๆ เพ่ือแสดงใหเห็นวา การเคลื่อนที่ของจุด P เปน SHM ใหแทนสมการ (10-35) ลงบนสมการ (10-38) จะได

a = - ω2x ................... (10-39) a มีเครื่องหมายเปนลบ แสดงวามีทิศตรงขามกับระยะกระจัด x เทียบกับสมการ (10-2) เหมือนกันทุกประการ ดังนั้น สรุปไดวา จุด P เคล่ือนที่แบบ SHM และมี

ω2 = m

k

ถาตําแหนงเริ่มตน เฟสเซอร OQ ทํามุม θ0 กับแกน +x ที่เวลาใด ๆ θ จะไมเทากับ ωt

แตจะเปน θ = θ0 + ωt ................... (10-40)

แทน ωt ดวย ωt + θ0 ลงในสมการ (10-35), (10-37) และ (10-38) จะเปล่ียนเปน

x = Acos (ωt + θ0)

v = -ωA sin (ωt + θ0) ................... (10-41)

ax = -ω2A cos (ωt +θ0) = - ω2x กําหนดให t = 0 ตําแหนงเริ่มตน = x0 และความเร็วเริ่มตน = v0 แทนลงไปในสมการบน

จะได x0 = Acosθ , v0 = -ωAsinθ0 ตรงกับสมการ (10-17) และ (10-19)

ฟสิกสราชมงคล

247

ตัวอยาง 10-6 จากตัวอยาง 10-1 ใหใชวงกลมเปรียบเทียบ ชวยคํานวณหาเวลาจาก x = A ไปยัง x =

2

A จากรูป 10-18 จุด Q จะหมุนไปทํามุม 60o กับระดับ

หลักการคํานวณ คาบเวลา (τ) = s5

π เวลาที่จุด Q หมุนไป 60o กับระดับ

s56

1⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ π⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ =

30

πs = 0.105 s

การทดลองเสมือนจริง

การเคลื่อนที่เปนวงกลมแบบสม่ําเสมอสัมพันธกับการเคลื่อนที่แบบซิมเปลฮารโมนิก ถาเรามองดานขางของการเคลื่อนที่แบบวงกลมเราจะเห็นมวลที่เคล่ือนที่เปนวงกลม เคล่ือนที่เหมือนกับการเคลื่อนที่ของกลองทางดานขวาและดานลาง ซึ่งเปนการเคลื่อนที่แบบซิมเปลฮารโมนิก กดปุม start เพ่ือทําใหภาพเคล่ือนไหว สังเกตที่จุดดําจะเห็นวาเคล่ือนที่เปนวงกลม กดที่นี่เพ่ือเขาสูการทดลอง

รูป 10-18 วงกลมเปรียบเทียบของตัวอยาง 10-4

Q

2 2 A A

o60 t = 0

ฟสิกสราชมงคล

248

10-6 การเคล่ือนที่แบบคาบที่ถูกหนวง___________________________

รูป 10-19 การเคลื่อนที่ SHM แบบหนวง b เปนคาคงที่บอกสภาพของระบบที่กําลังถูก

หนวง เสนกราฟ (รูปใหญ) b = 0.1 km และ

เสนกราฟ (รูปเล็ก) b = 0.4 km สวนเสน ประคือกราฟรูปเอกโปเนนเชียลเปนไปตาม

สมการ Ae-(b/2m)t ถา b = 2 km ความถี่จะเปนศูนยเรียกวา คาวิกฤติของการหนวง

ในกรณีที่พ้ืนไมมีแรงเสียดทาน SHM จะมีลักษณะแบบอุดมคติ พลังงานรวมของระบบคงที่ วัตถุจะเคล่ือนที่โดยมีแอมพลิจูดคงที่ตลอดกาล แตโลกแหงความเปนจริง พ้ืนผิวสัมผัสมีแรงเสียดทานเสมอ แอมพลิจูดของการแกวงจะคอยๆลดลงเพราะมีการสูญเสียพลังงาน เหตุผลที่ลูกตุมนาฬิกาแบบไขลานสามารถแกวงอยูไดก็เพราะใชพลังงานที่เก็บสะสมอยูภายในสปริงทดแทนพลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทานที่เฟอง แตเมื่อสปริงหรือลานนาฬิกาคายตัวจนหมด ไมมีพลังงานอื่นมาทดแทน การแกวงของลูกตุมนาฬิกาก็จะหยุด การลดลงของแอมพลิจูดอยางตอเนื่อง เรียกวา การหนวง (damping) ยกตัวอยางเชน การเคลื่อนที่ของวัตถุผานของเหลวที่มีความหนืด การลื่นไถลของลูกปนบนสารหลอล่ืน และระบบปองกันการสั่นสะเทือนของเครื่องจักรเปนตน การหนวงเปนสัดสวนตรงกับความเร็ว ถาความเร็วสูงขึ้น แรงหนวงก็จะสูงตามเขียนเปนสมการไดดังนี้ Fx = -kx - bv ................... (10-42) b เปนคาคงที่ขึ้นอยูกับชนิดของตัวกลางที่วัตถุพุงผาน (เครื่องหมายลบแสดงวามีทิศตานการเคล่ือนที่) จากกฎขอท่ีสองของนิวตัน F = max แทนลงในสมการ (10-42) จะได -kx - bv = max ................... (10-43)

หรือ -kx - dt

bdx =

2

2

dt

xmd

หลังจากแกสมการอนุพันธลําดับที่ 2 คําตอบคือ

x = Ae-(b/2m)t cos ω′t ................... (10-44)

ω′ คือ ความถี่เชิงมุมของการแกวงที่ถูกหนวง

ω′ = 2

2

4m

b

m

k− ................... (10-45)

ฟสิกสราชมงคล

249

การแกวงแบบถูกหนวงแตกตางจากการแกวงโดยไมมีการหนวง 2 แบบดวยกัน แบบแรก แอมพลิจูดจะลดลงอยางตอเนื่องตามรูปกราฟเอกโปเนนเชียล e-(b/2m)t ถา b มีคามาก แอมพลิจูดจะลดลงอยางรวดเร็ว

แบบที่สอง ω′ ≠ m

k

จากสมการ (10-45) ให ω′ = 0

m

k -

2

2

m4

b = 0 หรือ b = 4km ................... (10-46)

b = 4km ระบบจะหยุดการแกวงและเขาสูสภาวะสมดุลอยาง รวดเร็ว คานี้มีชื่อเรียกวา คาวิกฤติของการหนวง

b > 4km เรียกวา overdamp (โอเวอรแดมป)

b < 4km เรียกวา underdamp (อันเดอรแดมป)

ระบบปองกันการสั่นสะเทือนของรถยนต ตองมีตัวหนวงเพ่ือลดการสั่นสะเทือนลง ถาออกแบบในลักษณะของโอเวอรแดมป โดยให b มีคาสูงมากๆ สปริงจะแข็งจนเกินไปนั่งไมสบาย คลายกับการนั่งอยูบนกลองที่เคล่ือนที่ได ผูออกแบบจึงมักจะออกแบบใหเกิดอันเดอรแดมปเล็กนอย เพ่ือใหการสั่นสะเทือนเกิดขึ้นไดบาง แตจะตองถูกหนวงลงอยางรวดเร็ว อยางไรก็ตามถาอันเดอรแดมปมากจนเกินไป การแกวงของรถจะมากจนผูนั่งเกิดการวิงเวียนศีรษะได การขับขี่กเ็ปนไปดวยความลําบาก ลออาจจะลอยจากพื้น คลายกับการนั่งบนรถยนตที่แลนบนถนนลูกรังที่เต็มไปดวยหลุมกระนั้น

10-7 การเคล่ือนที่แบบคาบที่ถูกแรงบังคับ _________________________ รูป 10-20 กราฟแอมพลิจูด A ของระบบการแกวงที่ถูก

แรงบังคับกับอัตราสวนของความถี่เชิงมุมของแรงกระทําตอ

ความถี่เชิงมุมของระบบที่ไมมีการหนวง

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ω

ωd ;

ลักษณะของกราฟกําหนดดวยคาkm

b, กราฟของ b =

0.2 km จะสูงกวา b = 0.4 km b ยิ่งมีคามาก รูปกราฟจะเตี้ยและกวางขึ้น กราฟที่ไมมีความสูงเลยคือ b =

2 km ซึ่งเปนคาวิกฤติของความหนวง

ฟสิกสราชมงคล

ฟสิกสราชมงคล

250

เพ่ือใหการแกวงของระบบยังคงดําเนินตอไปสําหรับระบบที่มีการหนวง จําเปนที่จะตองใหแรงจากภายนอกมากระทํากับระบบ ตัวอยางเชน พ่ีเล้ียงแกวงชิงชาใหเด็ก ถาหยุดใหแรงชิงชาก็จะคอย ๆ หยุดแกวงในที่สุด พ่ีเล้ียงเด็กจะตองคอยผลักชิงชาตามจังหวะเพ่ือรักษาการแกวงอยูตลอดเวลาใหแรงภายนอก Fx

มีความถี่ ωd แอมพลิจูด Fmax เขียนเปนสมการไดวา

Fx = Fmax sin ωdt

โดยที่ ωd ไมจําเปนตองเทากับความถี่ของระบบ ω ถาเราเปลี่ยนความถี่ของแรง (ωd) แอมพลิจูดจะเปล่ียนแปลงอยางนาสนใจดังรูป (10-20) แอมพลิจูดของกราฟจะสูงที่สุดก็ตอเมื่อความถี่ของแรงที่ใชเทากับความถี่ของระบบ ลองเปรียบเทียบกับการแกวงชิงชา พ่ีเล้ียงตองใสแรงใหเขากับจังหวะของชิงชา จึงจะไมเหนื่อย เพียงออกแรงเบา ๆ ก็สามารถรักษาการแกวงไวได ในกรณีที่ความถี่ของแรงที่ใสเทากับความถี่ของระบบ แอมพลิจูดสามารถขึ้นไปไดสูงสุด เรียกวาระบบเกิดเรโซแนนท (resonance) หนังสือบางเลมเรียกวา อภินาท สวนเลมน้ีคําวาเรโซแนนทคอนขางคุนสายตากันแลวก็ขอทับศัพทไปเลย ฟสิกสเต็มไปดวยตัวอยางของปรากฏการณเรโซแนนท อาทิเชน การสั่นของรถยนตขณะที่มีความเร็วรอบคาหนึ่ง และการจูนหาคลื่นวิทยุเปนตน สําหรับกรณีหลังนี้อาจมองเห็นไดยากวาสัมพันธกับ เรโซแนนทไดอยางไร ในที่นี้ขออธิบายสั้น ๆ วา สถานีสงจะสรางความถี่คาหนึ่งผานออกไปทางสายอากาศอยูตลอดเวลา ผูจูนวิทยุหรือโทรทัศนจะตองปรับความถี่ของเครื่องรับใหตรงกับสถานีสง เพ่ือจะรับการถายเทพลังงานมาใหมากที่สุด ภาพและเสียงที่ไดจึงจะชัดเจน เรโซแนนทสามารถแสดงใหเห็นจริงไดจากการทดลองแบบงาย ๆ โดยการแขวนลูกตุมหลาย ๆ อันบนราวเดียวกันดังรูป (10-21) ถาทําใหลูกตุม P แกวง อันอื่นจะเร่ิมตนแกวงดวย ในบรรดาลูกตุมทั้งหา ลูกตุมอันที่สองจะมีแอมพลิจูดมากที่สุด เพราะมีความยาวเทากับลูกตุม P จึงมีการถายทอดพลังงานไดมากที่สุด

A B 5

4

P 3

2 1

รูป 10-21 ลูกตุมหลายลูกแขวนบนราวอันเดียวกัน

บทความออนไลน

วันที่ 19 กันยายน 1985 เกิดคล่ืนแผนดินไหว จุดศูนยกลางของแผนดินไหวอยูตามชายฝงตะวันตกของประเทศเมกซิโก แตปรากฏวาเมืองหลวงของประเทศเมกซิโก ที่หางจากจุดศูนยกลางของแผนดินไหวถึง 400 กิโลเมตรไดรับความเสียหายอยางรุนแรง อะไรเปนสาเหตุใหเกิดความเสียหายมากมายขนาดนี้ ทั้งๆที่บริเวณที่ใกลกับจุดศูนยกลาง การเสียหายเกิดขึ้นไมมากมายนัก นักฟสิกสตอบคําถามใหคุณได ลองอานดูครับ

251

บรรยายลงในกระดานฟสิกสราชมงคล

ภาพลูกเทนนิส กระทบกับไมแรกเก็ต จะสังเกตเห็นวาลูกเทนนิส ยุบตัว

ลง และสปริงกลับในทิศทางตรงกันขาม เราสามารถใชกฎการชนของโมเมนตัมอธิบายไดทั้งหมด ภาพสุดทายนาสนใจที่สุด วาดานบนของลูกเทนนิสมีการส่ันสะเทือน ปูดขึ้นมา คุณสามารถอธิบายปรากฏการณน

ี้ไดหรือไม และให

นักศึกษายกตัวอยางการเคลื่อนที่แบบซิมเปลฮารโมนิกมาสักหนึ่งตัวอยาง

คลิกเขาสูกระดานฟสิกสราชมงคลใหม

ทดสอบกอนและหลังเรียน (วิธีทํา ให ใสชื่อ สกุล เลือกวิชาที่สอบ และจํานวนขอ แตตองไมเกินจากที่

กําหนดไว เชน กําหนดไว 10 ขอ เวลาเลือกจํานวนขอ ใหเลือก 5 และ 10 ขอไมเกินจากนี้ เปนตน เมื่อทําเสร็จสามารถดูคะแนนจากรายละเอียดผูทําขอสอบไดทันที

การเคลื่อนที่แบบคาบ คลิกเขาสูทดสอบกอนและหลังเรียน

แบบฝกหัดทายบทพรอมเฉลย แบบฝกหัดทายบทพรอมเฉลย คลิกครับ

ฟสิกสราชมงคล

252

วิดีโอเพื่อการศึกษา

สะพานทาโคมาแนโรว ในอเมริกา พังทลายลงเนื่องจากลมที่พัดมากระทบกับสะพาน มีความถี่เทากับความถี่ธรรมชาติของการสั่นของสะพาน จึงทําใหสะพานแกวงแรงขึ้น จนพังในที่สุด. คลิกเพ่ือดูภาพยนตรและทฤษฎีการพังครับ

ในชวงตนค.ศ.1600 นักวิทยาศาสตรชาวอิตาเลียนไดคนพบปรากฏการณนาฉงน โดยการจับเวลาการแกวงของตะเกียงน้ํามัน เทียบกับการเตนของชีพจรของตัวเขาเอง เหตุการณในครั้งนั้น คือตนกําเนิดของนาฬิกาแบบลูกตุม คลิกครับ

ฟสิกสราชมงคล

253

แบบฝกหัดเรื่องการเคลื่อนที่แบบคาบ

1. วัตถุกอนหน่ึงเคล่ือนที่แบบ SHM ดวยแอมพลิจูด 0.5 m และคาบ 4π

s ณ ตําแหนงที่วัตถุมีการกระจัด

0.4 m วัตถุมีความเร็วกี่ m/s [ตอบ 2.4 s]

2. มวล 0.2 kg ผูกติดกับปลายขางหนึ่งของสปริงเคล่ือนที่แบบ SHM ในแนวราบดวยแอมพลิจูด 0.04 m

คานิจเทากับ 25 N/m จงหา

ก) ความถี่ของการแกวง [ตอบ 1.78 Hz]

ข) อัตราเร็วของมวลในขณะที่มวลนี้เคล่ือนที่ไปทางขวามือเปนระยะ 0.02 m [ตอบ 0.37 m/s] 3. ความเร็วสูงสุดของวัตถุที่กําลังแกวงแบบ SHM ดวยคาบของการแกวง 0.2 s และแอมพลิจูด 2 cm จะมี

คาเทากับเทาใด [ตอบ 20π cm/s]

4. การเคลื่อนที่แบบ SHM แทนดวยสมการ )6t10(sin10yπ

−= โดยที่ y มีหนวยเปนm t มีหนวยเปน

s และเฟสมีหนวยเปน rad จงคํานวณหา

ก) ความถี่และคาบ [ตอบ 1.6 Hz, 0.2π s] ข) การกระจัดสูงสุด [ตอบ 10 m] ค) อัตราเร็วสูงสุดและอัตราเรงสูงสุด [ตอบ 100 m/s, -1000 m/s2] 5. รถทดลองมวล 500 g ติดอยูปลายสปริง ในแนวราบ เมื่อดึงดวยแรง 5 N ในทิศขนานกับพ้ืน จะทําให

สปริงยืดออก 10 cm เมื่อปลอย รถจะเคลื่อนที่กลับไปมาบนพื้นเกล้ียงแบบ SHM ดวยคาบเทาใด [ตอบ 0.63 s]

6. นํามวลมาตรฐาน 1 kg แขวนกับสปริงเบา ปรากฏวามวลแกวงขึ้นลงดวยความถี่ 125 Hz ถานําวัตถุ

กอนหน่ึงมาแขวนแทนปรากฏวาวัตถุแกวงขึ้นลงดวยความถี่ 250 Hz จงหามวลของวัตถุนั้นเปนกี่ kg [ตอบ 0.25 kg]

7. มวล 2 kg เคล่ือนที่แบบ SHM ดวยแอมพลิจูด 0.03 m และคาบ 5.5 s จงหาอัตราเร็ว อัตราเรง

พลังงานจลน และพลังงานศักย

ก) ที่จุดกึ่งกลางของการเคลื่อนที่ [ตอบ 3.8 ×10-2 m/s, 0, 1.4 ×10-3 J]

ข) ที่จุดปลายของการแกวงกวัด [ตอบ 0, 4.8 ×10-2 m/s2, 1.4 × 10-3J]

ฟสิกสราชมงคล

254

8. จงหาความยาวของลูกตุมนาฬิกาอยางงายที่แกวงดวยความถี่ 12 รอบ/นาที [ตอบ 6.2 m] 9. ลูกตุมถูกแขวนดวยเชือกยาว 100 cm เมื่อจับลูกตุมใหเบนออกมาจากตําแหนงสมดุลเปนระยะ 5 cm

แลวปลอยใหแกวงอยางอิสระ ความเร็วสูงสุดในการแกวงจะมีคาเทากับกี่ cm/s [ตอบ 15.8 cm/s] 10. แทงโลหะเบามวล 2.5 kg ยาว 1.1 m ปลายขางหนึ่งตรึงไว ทําใหแทงโลหะแกวงไปมาในแนวดิ่ง สําหรับ

การแกวงที่มีแอมพลิจูดนอยๆ จงหา ก) คาบของการแกวง [ตอบ 1.72 s] ข) ความยาวของลูกตุมนาฬิกาอยางงายที่มีคาบเทากัน [ตอบ 0.733 m] 11. หากผูกมวล m ติดกับสปริงในแนวดิ่ง ดึงมวลเล็กนอยแลวปลอยใหส่ัน พบวาสปริงมีคาบของการสั่น 2

s ถาเพ่ิมมวลเขาไปอีก 2 kg สปริงจะมีคาบการสั่น 3 s จงหาขนาดของมวล m ในหนวย kg [ตอบ 1.6 kg] 12. แผนกลมแบนรัศมี r แกวงรอบปลายขางหนึ่ง จงหา

ก) คาบของการแกวง [ตอบ g2r3

2π ]

ข) ความยาวสมมูลของลูกตุมนาฬิกาอยางงาย [ตอบ r23

]

13. ถาตองการจะทําลูกตุมนาฬิกาขึ้นมาจากวัตถุมวล 500 g และเชือกที่เบามากโดยใหลูกตุมนี้แกวง

ครบรอบในเวลา 1 s พอดี ลูกตุมนาฬิกาจะตองมีความยาวเทาใด [ตอบ 0.253 m] 14. เชือกเสนหนึ่งผูกติดกับตรงกลางของดินสอแทงหนึ่งซึ่งมีมวล 0.1 kg ยาว 0.2 m ระบบมีการเคลื่อนที่

เชนเดียวกับลูกตุมบิดหมุน โดยคาบของการแกวงเปน 4 s

ก) จงหาคาคงตัวการบิดของเชือก [ตอบ 8×10-5 N⋅m⋅rad-1] ข) ถาแอมพลิจูดมีคาเทากับ 3 rad จงหาขนาดสูงสุดของแรงดึงกลับบนแทงดินสอนั้น

[ตอบ 2×10-4 N⋅m]

15. ถาสมการการเคลื่อนที่ของการแกวงแบบหนวงคือ )4t2(cose220x t2 π−= − จงหาแอมพลิจูด

คาบ และความถี่ของการแกวงที่เวลาใดๆ [ตอบ t2e220 − , π s, π1

Hz]

16. แขวนมวล 100 g ที่ปลายขางหน่ึงของสปริงท่ีมีมวลนอยมาก ดึงมวลจากตําแหนงสมดุล 10 cm แลวปลอย อัตราเร็วเชิงเสน ขณะเคล่ือนที่ผานสมดุลมีคาเทาใด ถาคาบของการแกวงมีคา 2 s [ตอบ 0.314 m/s]

ฟสิกสราชมงคล

255

17. มวล 1.5 kg ติดอยูกับสปริง k = 300 N / m มีแอมพลิจูดเริ่มตน 2 cm ก) จงหาคาบและพลังงานรวมเริ่มตน [ตอบ 0.444 s, 0.06 J]

ข) ถาพลังงานลดลงรอยละ 1 ในแตละคาบ จงหาคาคงตัวการหนวง b [ตอบ 8.1347 kg⋅s-1] 18. นาฬิกาแบบลูกตุม มีสายแขวนลูกตุมยาว 50 cm เมื่อแทนลูกตุมและสายแขวนลูกตุมดวยลวดสปริงท่ีมี

มวลแขวนอยู จะตองใชมวลคาเทาใด ถาคาคงตัวของสปริงมีคาเปน 134 N/m [ตอบ 6.7 kg] 19. เดิมสปริงยาว 16 cm เมื่อเอามวล 1 kg ไปแขวนหอยไว สปริงจะยาว 24 cm

ก) คาแรงคงตัวของสปริงเทากับเทาใด [ตอบ 122.5 N⋅m-1] ข) ถาเติมมวลอีก 0.5 kg สปริงจะยาวเทาใด [ตอบ 28 cm]

20. แขวนมวล 2 kg กับสปริง ทําใหสปริงยืดออก 0.25 m ถาออกแรงดึงสปริงใหยืดออกเพิ่มขึ้นอีก 0.1 m แลวปลอยสปริงจะใชเวลากี่วินาทีจึงจะกลับไปสูตําแหนงสมดุล [ตอบ 0.25 s]

ฟสิกสราชมงคล

หนังสืออิเล็กทรอนิกส

ฟสิกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสิกส 1 (ความรอน)

ฟสิกส 2 กลศาสตรเวกเตอร

โลหะวิทยาฟสิกส เอกสารคําสอนฟสิกส 1ฟสิกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสิกสดวยภาษา c ฟสิกสพิศวง สอนฟสิกสผานทางอินเตอรเน็ต

ทดสอบออนไลน วีดีโอการเรียนการสอน หนาแรกในอดีต แผนใสการเรียนการสอน

เอกสารการสอน PDF กิจกรรมการทดลองทางวิทยาศาสตร

แบบฝกหัดออนไลน สุดยอดสิ่งประดิษฐ

การทดลองเสมือน

บทความพิเศษ ตารางธาตุ)ไทย1) 2 (Eng)

พจนานุกรมฟสิกส ลับสมองกับปญหาฟสิกส

ธรรมชาติมหัศจรรย สูตรพื้นฐานฟสิกส

การทดลองมหัศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล

แบบฝกหัดกลาง

แบบฝกหัดโลหะวิทยา แบบทดสอบ

ความรูรอบตัวท่ัวไป อะไรเอย ?

ทดสอบ)เกมเศรษฐี( คดีปริศนา

ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร

คําศัพทประจําสัปดาห ความรูรอบตัว

การประดิษฐแของโลก ผูไดรับโนเบลสาขาฟสิกส

นักวิทยาศาสตรเทศ นักวิทยาศาสตรไทย

ดาราศาสตรพิศวง การทํางานของอุปกรณทางฟสิกส

การทํางานของอุปกรณตางๆ

การเรียนการสอนฟสิกส 1 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. การวัด 2. เวกเตอร3. การเคลื่อนท่ีแบบหนึ่งมิต ิ 4. การเคลื่อนท่ีบนระนาบ5. กฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน 6. การประยุกตกฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน7. งานและพลังงาน 8. การดลและโมเมนตัม9. การหมุน 10. สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง11. การเคลื่อนท่ีแบบคาบ 12. ความยืดหยุน13. กลศาสตรของไหล 14. ปริมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอท่ีหน่ึงและสองของเทอรโมไดนามิก 16. คุณสมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร

17. คลื่น 18.การสั่น และคลื่นเสียง การเรียนการสอนฟสิกส 2 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. ไฟฟาสถิต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตัวเก็บประจุและการตอตัวตานทาน 5. ศักยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหล็ก 8.การเหนี่ยวนํา9. ไฟฟากระแสสลับ 10. ทรานซิสเตอร 11. สนามแมเหล็กไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเห็น13. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตัม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นิวเคลียร

การเรียนการสอนฟสิกสท่ัวไป ผานทางอินเตอรเน็ต

1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตัม 4. ซิมเปลฮารโมนิก คลื่น และเสียง

5. ของไหลกับความรอน 6.ไฟฟาสถิตกับกระแสไฟฟา 7. แมเหล็กไฟฟา 8. คลื่นแมเหล็กไฟฟากับแสง9. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อะตอม และนิวเคลียร

ฟสิกสราชมงคล