1

การอธบายขอมลการใชมาตรการเชงตวเลข

ลกใหญของทมเบสบอล ท าใหราคาตวมราคาเฉลยสงสด แลวถาคณเปนหนงในสองทมอยาง New York Mets หรอ Yankees ซงเปนหนงในทมทใหญทสดในโลก แลวครงหนงคณเคยดการเลนใน Los Angeles หรอไม ? ถายง มนเปนเรองจรงททมเบสบอลลกใหญอยาง Boston Red Sex มราคาตวโดยเฉลยสงสดอยท ( $ 40.77 ) และในป 2004 ใน Chicago Cub เฉลยสงสดคอ $ 28.4 ดรายละเอยดใน กรณศกษาท 3 – 1 และในบทท 2 จะไดกลาวถงวธการสรปขอมลโดยใชวธการทแตกตางกน พรอมกบแสดงขอมลในรปของกราฟ ซงเปนองคประกอบหนงทางสถต เพราะมนเปนเรองของตวเลขทจะสามารถอธบายถงลกษณะของชดขอมล โดยการใชมาตรการเชงตวเลข เชน การอธบายเกยวกบการกระจายขอมล และเทคนคการกระจายขอมลซงมความ ส าคญมาก ในบทท 2 นจะชวยใหเราไดเรยนรขอมลในรปของกราฟทเกยวกบรายไดของบคคลในครอบครวทมการกระจายอยางปกต ( เรมกระจายจาก 0 ) สามารถใชการอธบายขอมลโดยใชมาตรการเชงตวเลขเพอใชในการกระจายดงกลาวได โดยศกษารายละเอยดเพมเตมได ( ภาพท 3.1.1 ) ซงในบทนจะอภปรายโดยรวมในรปแบบของ 1. การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง 2. การวดการกระจาย 3. การวดต าแหนง 3.1 การอธบายมาตรการการวดแนวโนมเขาสสวนกลางของขอมลแบบไมจดกลม

เรามกจะเคยเหนการแสดงขอมลโดยการอธบายขอมลการใชมาตรการในการสรปเชงตวเลขของขอมลปกต ทเรยกวา การวดแนวโนมเขาสสวนกลางในรป Histrogram หรอการแจกแจงความถ ในรปโคง ซงสวนนจะกลาวถง 3 มาตรการในการอธบายแนวโนมเขาสสวนกลาง ซงประกอบไปดวย คาเฉลย คามธยฐาน และฐานนยม นอกจากน ในการวดแนวโนมเขาสสวนกลาง คาเฉลยของน าหนก และ คาเฉลยเรขาคณต ซงจะอธบายในแบบฝกหด ในสวนนจะทราบเกยวกบวธการค านวณ ขอมลแบบไมจดกลมโดยใชมาตรการเหลานตอไป ในบทท 2 ขอมลของแตละกลม ของประชากรหรอกลมตวอยาง เรยกวา ขอมลแบบไมจดกลม ซงสามารถจดกลมขอมลและน าเสนอในรปแบบของตารางแจกแจงความถ คาเฉลย หรอ คาเฉลยเลขคณต สวนมากนยมใชเปนเครองมอในการหาความโนมเอยงเขาสสวนกลาง โดยในหนงสอเลมนจะกลาวเกยวกบการค านวณหาคาเฉลยเลขคณตส าหรบขอมลทไมไดจดกลม โดยคาเฉลย คอคาทไดจากการเอาผลรวมของขอมลทงหมดหารดวยจ านวนขอมลทงหมด

ผลรวมของขอมลทงหมด -------------------------------

จ านวนขอมลทงหมด คาเฉลยทค านวณไดจากตวอยางขอมล จะใชสญลกษณแทนดวย x ( อานวา X บาร ) และ

คาเฉลยทไดจากประชากร จะใชสญลกษณแทนดวย µ จากเนอหาในบทท 2 ส าหรบจ านวนขอมล

คาเฉลย =

2

ทงหมดของกลมตวอยางจะถกเขยนแทนดวย n และ จ านวนประชากร จะถกเขยนแทนดวย N สวนในเนอหาบทท 1 ไดกลาวเกยวกบตวแปรทถกแทนดวย คา X ของผลรวมของขอมลทงหมด ทถกแทนดวยสตรดงตอไปน การหาคาเฉลยของขอมลทยงไมไดแจกแจงความถ

คาเฉลยส าหรบขอมลประชากร N

x

คาเฉลยส าหรบขอมลกลมตวอยาง n

xx

เมอ x คอ ผลรวมของขอมลทงหมด N คอ ขนาดของประชากร n คอ ขนาดของตวอยาง µ คอ กลมประชากร และ x คอ กลมตวอยาง

ตวอยางท 3.1 ตารางแสดงจ านวนเหยอผเคราะหรายจากการถกโกง ใน 6 รฐ ป 2004

ชอรฐ จ านวนเหยอผรบเคราะหจากการถกโกง California

Florida Illinois

New York Ohio Texas

43,839 16,062 11,138 17,680 6,956

26,454 วธท า ใหหา จ านวนขอมลทงหมดของการถ กโกงของเหยอผรบเคราะหจากการถกโกงใน 6 รฐในป 2004 โดยให x แทนคารฐทง 6 รฐ

X1 = 43,839 , X2=16,062 , X3=11,138 , X4 = 17,680 , X5=6,956 , X6=26,454 ซง X1 = 43,839 แทนคาขอมล ของ เหยอผเคราะหรายจากการถกโกงทงหมดในรฐ

California X2 = 16,062 แทนคาขอมลของเหยอผเคราะหรายจากการถกโกงทงหมดในรฐ Florida และแทนคา x ของรฐอนๆของขอมลทงหมด ทง 6 รฐ จะได x = X1+ X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 43,839 + 16,062 + 11,138 + 17,680 + 6,956 + 26,454 = 122,129 จากผลรวมทงหมดของทง 6 รฐ ขอมลกลมตวอยาง มทงหมด 6 คา , n = 6 แทนคา x และ n ในกลมตวอยางของจ านวนขอมลทงหมดของเหยอผรบเคราะหจากการถกโกงในรฐทง 6 รฐ ในป 2004

x 83.354,206

129,122

n

x

3

ดงนน จ านวนขอมลทงหมดของเหยอผรบเคราะหจากการถกโกงในป 2004 ของรฐทง 6 รฐ คอ 20,354.83

ตวอยางท 3-2 ขอมลดงตอไปน คอ อายของ ลกจางจ านวน 8 คนทท างานอยในบรษทเลกแหงหนง ดงน

53 32 61 27 39 44 49 57 จงหาคาเฉลยของอายของลกจางทงหมดเหลาน

วธท า ใหน าเอาขอมลรวมทงหมดของอายลกจางในบรษทนมารวมกนซงหมายถงกลมประชากร ดงน N = 8

x = 53 + 32 + 61 + 27 + 39 + 44 + 49 +57 = 362 คาเฉลยของประชากรดงกลาว คอ

25.428

362

N

x

ป

ดงนน คาเฉลยของอายของลกจางในบรษทเลกๆแหงน คอ 45.25 ป หรอ 45 ป 3 เดอน พจารณาจากตวอยางท 3 – 2 ถาเราใชขอมลของกลมตวอยางจากบรษทแหงน เพยง 3 ขอมล

และค านวณหาคาเฉลยของอายทง 3 คน คาเฉลยนกจะถกแทนคา โดย

x สมมตวา ผลรวมของกลมตวอยางน คอ 32 , 39 และ 57 คาเฉลยส าหรบกลมตวอยางนคอ

67.423

573932x

ป

ถาเราใชกลมตวอยางเปนขอมลของลกจางบรษทนอก 3 คน คา x จะมความแตกตางกน สมมตผลรวมของกลมตวอยางขอมลท 2 น คอ 53 , 27 , และ 44 คาเฉลยส าหรบกลมตวอยางน คอ

33.413

442753

x ป

สรป คอ เราสามารถหาคาเฉลยของกลมประชากร คอ ทไดจากคาคงท ทไดจากคาเฉลย

ของกลมตวอยาง

x หลาย ๆ กลม คาของ

x ส าหรบกลมตวอยางนนรวมกน คอ ประชากรของกลมตวอยางนน

ตวอยางท 3-3 ตารางแสดงรายการ 6 ผมใจบญ ทรวมบรจาคในชวงระยะเวลาหนงของชวงชวต จนถงป 2004 ( ลานดอลลาร )

4

ตารางท 3-3 รายชอผมใจบญทไดบรจาค ผบรจาค จ านวนทบรจาค ( ลานดอลลาร)

Bill and Melinda Gates Warren Buffett George Soros

Michael and Susan Dell Walton Family

Ted Turner

27,976 2,730 5,171 1,230 1,000 1,200

ขอสงเกต จากขอมลการบรจาค ของผมใจบญ ขอมลของ Bill and Melinda Gates มการบรจาคมากทสด เมอเปรยบเทยบกบผบรจาคอนๆ ดงนน ใหเอาคาทงหมดมารวมกนแลวหาคาเฉลย วธท า ถาเราไมรวมระยะเวลาของการบรจาคทไดรบจาก Bill and Melinda Gates แตคดเอาจาก เพยง 5 ผบรจาค จะได

คาเฉลย 20.2266$5

331,11

5

12001000123051712730

ลานดอลลาร

และเมอเทยบกบการหาคาเฉลยจากผบรจาคทงหมด จะไดดงน

คาเฉลย 17.6551$6

307,39

6

12001000123051712730976,27

ลานดอลลาร

ดงนน ชวงของระยะเวลาในการบรจาคของ Bill and Melinda Gates ท าใหคาเฉลยสามารถเพมขนเกอบ 3 เทา เพราะสามารถเปลยนคาจาก $ 226.20 ลานดอลลาร ถง $ 6,551.17 ลานดอลลาร

3.1.2 คามธยฐาน เปนอกวธหนงทใชวดหาคาความโนมเอยงเขาสสวนกลาง ดงค าจ ากดความดงน นยาม มธยฐาน คอ ขอมลชดใดชดหนงของคาขอมลทมต าแหนงอยตรงกลางของชดขอมล เมอน าชดขอมลนนมาจดเรยงล าดบจากคานอยไปหาคามาก ดงนนจะมขอมลอยครงหนงทนอยกวาคามธยฐาน และมขอมลอกครงหนงทมากกวาคามธยฐาน การค านวณหาคามธยฐานม 2 ขนตอนในการค านวณ คอ

- ใหเรยงล าดบชดขอมลจากนอยไปหามาก - หาคากลางของขอมลทไดถกจดเรยงไว

ตวอยาง 3 – 4 จากขอมล ของน าหนก ( ปอนด ) ในการลดน าหนก 5 คน ของสมาชกชมรมสขภาพในระยะเวลา 2

เดอน ดงน 10 5 19 8 3

5

จงหาคามธยฐาน จากโจทย จดเรยงล าดบขอมลทมอยจากนอยไปหามาก ดงน

3 5 8 10 19 เพราะจากขอมลทมอยทง 5 ขอมล คาทอยตรงกลางคอต าแหนงท 3 คอคามธยฐาน

3 5 8 10 19

Median การลดน าหนกของสมาชกทง 5 คน ของสมาชกชมรมสขภาพมคากงกลางอยท 8 ปอนด / น าหนก

ตวอยางท 3 – 5 ตารางท 3.3 ตารางการแสดงขอมลการขโมยรถทงหมดในระหวางป 2003 ของ 12 เมอง

ขอมล 3.3 การขโมยรถทงหมดในป 2003 ใน 12 เมอง

ชอเมอง จ านวนรถทถกขโมย Phoenix-Mesa , Arizona Washington D.C Miami Florida Atianta Georgia Chicago Illinosis Kansas Gity Kansas Baltimore , Maryland Detroit Michigan ST.Louis Missouri Las Vegas Nevada Newark New Jersey Dallas Texas

40,769 33,956 21,088 29,920 42,082 11,669 13,435 40,197 18,215 18,103 14,413 26,343

จงหาคามธยฐานของขอมลตอไปน วธท า ใหเรยงล าดบขอมลทมอยนจากนอยไปหามาก ดงน 11,669 13,435 14,413 18,103 18,215 21,088 26,343 29,920 33,956 40,197 40,769 42,082

จากขอมลทงหมด 12 ขอมล คามธยฐานจะตองหาโดยเอาคาทอยตรงกลางช ดขอมล 2 คารวมกน มาตงแลวหารดวย 2 กจะไดคามธยฐานเปนคากลาง

6

คามธยฐานอยระหวางต าแหนงท หก กบ เจด จากการจดเรยงขอมล คอ 21,088 และ 26,343 จากการค านวณ ดงน 11,666 13,435 14,413 18,215 21,088 26,343 29,920 40,197 40,769 42,082 คามธยฐาน คอ

Median

Median = 50.715,232

431,47

2

343,26088,21

ดงนน จ านวนการขโมยรถทงหมดในป 2003 ส าหรบ 12 เมอง น คอ 23,715.50 การหาคามธยฐานโดยใชวธ histrogram อาจท าใหไดรบขอมลของคามธยฐานทถกตองมากยงขน ประโยชนของคามธยฐานเปนเครองมอวดเพอหาคาแนวโนมเขาสสวนกลางโดยคามธยฐานจะมความถกตองมากกวา 3.1.3 ฐานนยม ในทางสถต มความหมายทแสดงถงคาทมความถสงทสด นยาม ฐานนยม คอ คาของขอมลตวหนง ซงเปนขอมลตวทมคาความถสงทสด ตวอยางท 3- 6 จงหาขอมลความถของการเดนรถทมความเรว 8 ไมล / ชวโมง จากขอมลดงน

77 82 74 81 79 84 74 78 จงหาคาฐานนยม วธท า คาของ 74 มอย 2 คา สวนคาอนๆมเพยงคาเดยวเทานน แสดงวา 74 มความถเยอะทสด คอ คาฐานนยม เพราะฉะนน

ฐานนยม = 74 ไมล / ชวโมง จากการหาคา คาเฉลยและคามธยฐานจะมค าตอบเพยงคาเดยวตางจากคาฐานนยม หากขอมลชดใดมค าตอบ เพยงเดยวเรยกวา Unimodal หากขอมลชดใดมค าตอบ2 คา เรยกวา Bimodal หากขอมลชดใดมค าตอบมากวา 2 คา เรยกวา Mulimodal

ตวอยางท 3 -7 จากรายไดของ 5 ครอบครวในปลาสดทสมเลอก คอ $ 46,150 , $ 95,750 ,$ 64,985 , $87,490 , และ $ 53,740 จงหาคาฐานนยม ตอบ คาแตละคาในขอมลดงกลาวนเกดขนเพยงคาเดยวเทานนขอมลนจงไมมฐานนยม

7

ตวอยางท 3 – 8 ราคาของโทรทศนยหอเดยวกน 8 เครองทถกคนพบ คอ $ 895 , $ 886 , $ 903 , $895 ,$870 , $905 ,$870 , และ $ 899 จงหาฐานนยม

ตอบ ขอมลนมคเกดขน 2 ครง คอ $ 895 และ $870 สวนคาอนเกดขนเพยงคาเดยว ขอมลนจงมคาฐานนยม 2 คา คอ $ 895 และ $ 870

ตวอยางท 3-9 จากการสมเลอกอายของนกเรยนจากหอง 10 คน คอ 21 , 19 , 27 , 22 , 29 , 19 ,25 21 ,22 และ 30 จงหาคาฐานนยม

ตอบ ขอมลนมฐานนยม 3 ตว คอ 19 , 21 , และ 22 คาทง 3 คามความถเยอะทสด 2 คอครง จากการค านวณหาคาฐานนยมส าหรบขอมลเชงปรมาณและขอมลเชงคณภาพ แตการหาคาเฉลยและคามธยฐาน ส าหรบขอมลเชงปรมาณเทานน

ตวอยาง 3 – 10 จากสถานภาพของนกเรยน 5 คน ซงเปนตวแทนสมาชกของสภานกเรยนอาวโสของวทยาลย ประกอบไปดวย นสตป 2 , นสตป3 , นสตป1 , นสตป3 จงหาฐานนยม

ตอบ นสตป 3 เพราะมคาความถสงสดจากในกลม ในขอนเราไมสามารถทจะค านวณหาคาเฉลยและคามธยฐานได

กลาวโดยสรป เราไมสามารถทจะสรปไดวา การวดหาคาแนวโนมเขาสสวนกลางของขอมลทง 3 วธ วธไหนคอวธทดทสด เพราะมนขนอยกบโจทยภายใตสถานการณทแตกตางกน ซงเปนไปไดวาการหาคาเฉล ย คอวธทไดรบความนยมในการวดหาคาแนวโนมเขาสสวนกลางมากทสด เพราะสามารถหาคากงกลางได คาเฉลยมประโยชนในการค านวณหาผลรวมของแตละคา มธยฐาน คอ การวดหาคาผลรวมของผลตางของขอมลแตละคา สวนฐานนยม คอ การหาคาความถของขอมลตว หนงทมความถสงสด ซงไมคอยไดใชมากนก 3.1.4 ความสมพนธระหวาง คาเฉลย คามธยฐาน และฐานนยม จากบทท 2 การหาคาจ านวนขอมลทงหมดดวย histrogram จะเปนการแสดงถงลกษณะของรปเสนโคงของการแจกแจงความถ เพออธบายความสมพนธของคาเฉ ลย คามธยฐาน และฐานนยม ในรปแบบของเสนโคง ได ดงน

1. เพอหาคาเฉลย คามธยฐาน และคาฐานนยม สามารถอธบายดวยรปแบบของเสนโคงการแจกแจงความถ ( ดงรป 3.2 ) คาเฉลย คามธยฐาน และฐานนยม

8

รปภาพ 3.2 คาเฉลย คามธยฐาน และฐานนยม ซงแสดงดวยขอมลรปแบบ Histrogram และ

เสนโคงการแจกแจงความถ

2. รปแบบ histrogram ของเสนโคงการแจกแจงความถ ( รป 3.3 ) คาเฉลย มคามากทสด ฐานนยมมคานอยทสด และคามธยฐาน เปน คาทเบยงเบนส าหรบขอมลน ( ฐานนยมเกดขนทโคงน ) คาเฉลยมคามากทสดในกรณทสงนนมความเหมาะสม

รปท 3.3 คาเฉลย คามธยฐาน คาฐานนยม รปแบบ histrogram และเสนโคงการแจกแจงความถทมความเบ

3. histrigram และเสนโคงการแจกแจงความถทมความเบ ( ภาพท 3.4 ) คาเฉลยมคานอยทสด และฐานนยม คอ คาทมคามากทสด ความเบของคามธยฐานระหวางขอมลทงสองน มความเบ ทางซาย เปนขอมลหางเดยว

9

3.2 การวดการกระจายของขอมลแบบไมจดกลม การวดแนวโนมเขาสสวนกลางของคาเฉลย มธยฐาน และฐานนยมของขอมลชดเดยวกบ ขอมลทม 2 ชด ทมคาเฉลยเดยวกน แตอาจจะมการกระจายของขอมลทตางกนโดยการสงเกตจากขอมลทก าหนดจากมากไปนอย พจารณาขอมล 2 ชดตอไปน เปนขอมลของวยแรงงานทท างานอยในบรษทขนาดเลก 2 บรษท

บรษทท 1 : 47 38 35 40 36 45 39 บรษทท 2 : 70 33 18 52 27 อายโดยเฉลยของวยแรงงานในบรษททง 2 บรษทน เดมอยท 40 ป ถาเราไมทราบอายเฉลย

ของวยแรงงานของบคคลในขอมลของบรษทท 2 จะบอกไดวาอายเฉลยของวยแรงงานทง 2 บรษทนใกลเคยงกน โดยการกระจายของขอมลอายของวยแรงงานทง 2 บรษททคลายกน ซงเราสามารถสงเกตไดโดยรปแบบงานทเหมาะกบวยของแตละบรษททมความแตกตางกนมาก ตามทแสดงในแผนภาพของคนในวยท างานของทง 2 บรษท ซงอายของคน แตละวยในบรษททแตกตางกนมาก

ดงนน คาเฉลย คามธยฐาน ฐานนยม จงไมเพยงพอทจะน าขอมลมากระจาย เราจงตองวดเพอหาขอมลทเปลยนแปลงบางประการเพอชวยในการเรยนรเกยวกบการวดการกระจายขอมล ทเรยกวาการวดการกระจายแนวโนมเขาสสวนกลาง โดยสวนทจะกลาวถงม 3 หวขอเกยวกบการวดการกระจาย คอการหาคาพสย คาความแปรปรวน และสวนเบยงเบนมาตรฐาน

3.2.1 คาพสย

พสย คอ คาความแตกตางระหวางคาสงสด กบคาต าสดของขอมลชดหนงๆเขยน เปนสตร ไดดงน

พสย = คาสงสด – คาต าสด

ตวอยาง 3 – 11 พนททกตารางไมลของทศทง 4 ทศ ของ สหรฐอเมรกา

10

ตารางท 3 – 4

รฐ พนททงหมด Arkansas Louisiana Oklahoma

Texas

53,182 49,651 69,903

267,277 วธท า ก าหนดใหพนทโดยรวมทมากทสดของรฐเปน 267,277 ตารางไมลและพนทนอยทสด คอ 49 ,651 ตารางไมล เปนดงน

พสย = คาสงสด – คาต าสด = 267,277 - 49,651 = 217.626 ตารางไมล

ดงนน พนททงหมดของทง 4 รฐ มชวงพสย คอ 217 ,626 ตารางไมล คาเฉลยของพสยในตาราง 3.11 ตวอยางของ รฐ Taxasa มพนทรวม 267,277 ตารางไมล จะม

ชวงพสยต าสด คอ 217,626 ตารางไมลท 20,252 ตารางไมล คาพสยไมสามารถวดการกระจายของขอมลชดนได 3.2.2 ความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐาน การวดการกระจายโดยใชพสยเปนการวดการกระจายของขอมล โดยใชคาเพยง 2 คา ซงมขอจ ากดในการใชมาก การวดการกระจายของขอมลโดยใชความเบยงเบนควอไทลกมขอเสยในประเดนทวาไมไดใชขอมลทงหมดมาค านวณ ใชเฉพาะขอมลทมคาใกลเคยงกนหรอเทากบต าแหนงทของควอไ ทลทหนงและทสามเทานน จงเปนการวดการกระจายทไมละเอยดนก สวนการวดการกระจายโดยใชความเบยงเบนเฉลยไดพยายามแกขอเสยของพสยและความเบยงเบนควอไทลโดยน าทกคาของขอมลมาค านวณ แตมปญหาในเรองของการใชเครองหมายสมบรณ ( Absolut ) ซงท าใหคาทไดลดความนาเชอถอลงไป นกสถตจงไดคดวธการวดการกระจายอกวธหนงขน คอ สวนเบยงเบนมาตรฐาน

2 =N

)x( 2 และ

1n

xxs

2

2

2 ความแปรปรวนของประชากร 2s ความแปรปรวนของกลมตวอยาง คาของ x - µ หรอ x – x ในสตรขางตนน เรยกวาคาเบยงเบนของคา x จากคาเฉลยของ

ผลรวมของคา x มคาเทากบ 0 เชน 0)x( และ 0)xx(

11

สมมตวาคะแนนมดเทอมของกลมตวอยางของนกเรยน 4 คน เปน 82 , 95 , 67 , และ 92 จงหาคะแนนเฉลยของนกเรยน 4 คนน

x = 844

92679582

คาเบยงเบนของคะแนนเฉลยของนกเรยนทง 4 คนน ทค านวณไดเปนดงตา ราง ท 3.5 ผลรวมของคาเบยงเบนของคา x จากคาเฉลยทมคาเทากบ 0 ท 0xx ดงตารางการค านวณหาคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐาน ดงน

ตาราง ท 3.5

x xx 82 95 67 92

82-84 = -2 95-84=+11 67-84=-17 92-84=+8

0)xx( จากการค านวณดวยวธงายๆโดยการค านวณหาคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐาน

โดยใชสตรวธการดงน จากสตรดานบนโดยมการแกไขปญหานโดยดดแปลสตรขางตนใหอยในรปคะแนนดบ ซงสรป

สตรไดดงน

2 =

N

N

xx

2

2

และ s2 =

1n

n

xx

2

2

2 ความแปรปรวนของประชากร s2 ความแปรปรวนของกลมตวอยาง

สวนเบยงเบนมาตรฐาน คอ รากทสองของความแปรปรวน

สวนเบยงเบนประชากร : = 2 สวนเบยงเบนกลมตวอยาง : s = 2s

สวนใหญสตรความแปรปรวนของประชากร แทนคาดวย N แตความแปรปรวนของกลมตวอยาง แทนคาดวย n-1 ตวอยางท 3-12

ตารางแสดงรายการของนตยสาร Forbes เกยวกบความร ารวยของประชากรในโลก โดยมทรพยสนทงหมด ( พนลานดอลลาร ) จ านวน 5 คน ( USA วนท 11 มนาคม 2005 )

12

Billinaire Total Wealth ( billions of dollars )

Bill Gates Helen Walto Michael Dell Keilth Rupert Murdooh George Soros

46.5 18.0 16.0 7.8 7.2

แสดงความแปรปรวน และสวนเบยงเบนมาตรฐานส าหรบขอมลน

วธท า ให x แทนคา ทรพยสนทงหมด ( พนลานดอลลาร ) ใน x และ 2x เพอค านวณคาผลรวมในตารางท 3.6

x X2

46.5 18.0 16.0 7.8 7.2

2,162.25 324.00 256.00 60.84 51.84

x = 95.5 2x = 2,854.93

ตอไปจะเปนการค านวณเพอหาคาความแปรปรวน สตรในการค านวณหากลมตวอยาง คอ n-1 โดย n คอคาความแปรปรวนของกลมตวอยาง

ขนท 1 การค านวณหาผลรวม ในตารางท 3.6 คอ 95.5 ขนท 2 ผลรวมก าลงสอง การหาคาของ 2x โดยขนตอนนจะปรากฏอยในสวนท 2 ของตารางท 3.6 โดยคา 2x มคา = 2854.93 ขนท 3 การตรวจสอบความแปรปรวน โดยการแทนคาทงหมด ลงในสตรการหาความแปรปรวน โดยการแทนคาของขอมลของ

ทรพยสนของกลมตวอยาง ดงสตรตอไปน

13

72.2574

182405285493

15

5

5.95285493

1n

n

xx

s

22

2

ขนท 4 การหาคาความเบยงเบนมาตรฐาน ความเบยงเบนมาตรฐาน หาไดจากรากทสองของความแปรปรวน s = 72.257 = 16.05366 =$16.05 billion คาเบยงเบนมาตรฐานของทรพยสนของบคคลทง 5 คน นคอ $ 16.05

ขอสงเกต ม 2 วธ ดงน 1. การหาคาความแปรปรวน และสวนเบยงเบนมาตรฐาน คาเศษของความแปรปรวนทแทนคาใน

สตรไมควรทจะตดคาลบ เพราะโดยปกตแลวคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐาน มคาเปน บวก แตถาขอมลใดมความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐานมคาเปนศนย ( 0 ) ถาอายของกลมตวอยางทง 4 คน มอายเดยวกน คอ 35 ป แลวคาขอมลทง 4 ชด คอ

35 35 35 35 เราค านวณหาคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลโดยมคาเปน 0

2. หนวยวดความแปรปรวนจากในตารางของขอมลดงกลาว จะอยในรปแบบของ squared การค านวณหาคาความแปรปรวนในตวอยางท 3 – 12 มคาเปนพนลานดอลลาร คาความแปรปรวนของทรพยสนของบคคลทง 5 ในตวอยางท 3 – 12 เปน 257.72 พนลานดอลลาร แตหนวยวดของความเบยงเบนมาตรฐานใชหนวยวดเดม เนองจากวาคาของความเบยงเบนมาตรฐานจะไดจากรากทสองของความแปรปรวน

ตวอยางท 3 -13 ขอมลตอไปนเปนการเสยภาษของพนกงานบรษทขนาดเลก 6 คน ทงหมด 2005 ราย ( พนลานดอลลาร )

48.50 38.40 65.50 22.60 79.80 54.60 ค านวณหาคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐาน

วธท า ให x แทนคาของการเสยภาษของพนกงานบรษทน และใหหา คาx และ 2x จากตาราง 3. 7

14

ตารางท 3.7 x x2

48.50 38.40 65.50 22.60 79.80 54.60

2352.25 1474.56 4290.25 510.76

6368.04 2981.16

x = 309.40 x2 = 17,977.02

จากขอมลของรายไดของพนกงานบรษททงหมดน จงค านวณหาคาความแปรปรวนของ

ประชากรจากสตรตอไปน

0489.3376

6

)40.309(02.977,17

N

N

)x(x

22

2

2

สวนเบยงเบนมาตรฐานไดจากรากทสองของคาความแปรปรวน มคาเปน บวก 0489.337 = $ 18.359 thousand = $ 18.59

คาเบยงเบนมาตรฐานของรายไดพนกงานทงหมด 2005 ( ดอลลาร ) คอ $ 18,359 ผลรวมของ x จะไดคาแตกตางกบ (x )2 โดยคา x

2 คาของ x ไดจากคาของ (x )2 จากการถอดรากออก x

3.2.3 คาพารามเตอรของประชากรและคาสถต คาของการวดในรปตวเลขเชน คาเฉลย คามธยฐาน ฐานนยม คาพสย และความแปรปรวนหรอคาเบยงเบนมาตรฐาน การค านวณหาคาของขอมลประชากร เรยกวา พารามเตอรของประชากร ( ตวเลขของประชากร ) การวดคาของชดขอมลกลมตวอยาง เรยกวา คาสถต ดง นน คา และ จะแทนคาของกลมประชากร x และ s แทนคาสถตของกลมตวอยาง โดย x = 20,354 ในตวอยางท 3 – 1 เปนขอมลสถตของกลมตวอยาง และ = 45.25 ป ในตวอยางท 3 – 2 เปนขอมลตวเลขของกลมประชากร ในขณะเดยวกน s $ 16.05 พนลาน ในตวอยางท 3-12 เปนกลมตวอยางของสถต และ = $ 18,359 ในตวอยางท 3 -13 เปนกลมตวเลขของประชากร

15

3.3 คาเฉลย ความแปรปรวน และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ของขอมลแบบจดกลม 3.3.1 คาเฉลยของขอมลแบบจดกลม จากทไดเรยนรมาแลวใน 3.1.1 คาเฉลยจะไดมาจากคาของผลรวมทงหมดหารดวยจ านวนขอมล แตถาขอมลอยในรปของตารางความถทไมทราบจ านวนในกรณดงกลาวน เราไมอาจทราบผลรวมของขอมลได เราอาจจะใชวธการโดยการประมาณคาของผลรวมเหลาน โดยใชสตรการค านวณหาคาเฉลยขอมลแบบการค านวณหาคาเฉลยส าหรบขอมลแบบจดกลม

คาเฉลยของขอมลประชากร N

mf

คาเฉลยของขอมลกลมตวอยาง n

mfx

เมอ m เปนคา จดกงกลางของแตละชน และ f คอคาของความถ

การค านวณหาคาเฉลยของขอมลแบบจดกลม การหาจดกงกลางของความถแตละชน จะเทากบmf ของคาขอมลทงหมด ใหพจารณาขอมลของคาเฉลยของผลรวม ดงตอไปน

ตวอยางท 3 – 14 ตารางท 3.8 การแจกแจงความถของการบนทกเวลาการออกจากบานของพนกงานบรษท 25 คน เพอไปท างานยงบรษท ตารางท 3.8

การบนทกเวลา ( นาท ) จ านวนพนกงานพนกงานบรษท 0 ถง 10

10 ถง 20 20 ถง 30 30 ถง 40 40 ถง 50

4 9 6 4 2

จงค านวณหาคาเฉลยของขอมล

วธท า จากชดขอมลรวมทงหมดของพนกงานบรษท 25 คน จดเปนกลมประชากร จากตารางท 3. 9 จากผลรวมของ mf ของตารางท 3.9 คอผลรวมของความถทงหมด

16

ตารางท 39

วน เวลาทบนทก (นาท) f m mf 0 ถง 10

10 ถง 20 20 ถง 30 30 ถง 40 40 ถง 50

4 9 6 4 2

5 15 25 30 45

20 135 150 140 90

N = 25 mf = 535 การค านวณหาคาเฉลย ขนแรกตองหาจดกงกลางของแตละชน โดยเรมจาก 0 ในตารางท 3.9 คา

ของ 0 ของแตละความถทปรากฏในตารางจะเทากน โดยผลรวมmf ทบนทกโดยเวลา ( นาท ) ของพนกงานทง 25 คน คาเฉลยจะไดจากผลรวมจากสตร

25

535

N

mf

= 21.40 นาท

ดงนน จากขอมลพนกงานบรษทมการใชเวลาเพอเดนทางไปท างานทบรษทโดยเฉลยอยท 21.40 นาท

คาของ 20 , 135 , 150 , และ 90 ในชอง mf ตารางท 4 ของตาราง ท 3.9 เปนการแสดงใหรคาความถทพนกงานบรษทใชจาก 0 ถง 10 นาท ตอวน ถาเราสมมตเวลาเปนตว แปร และกระจายขอมลของพนกงานบรษทดวยคาทเทากน จากชวง 0 – 10 ( จาก0 - 15 ) ตวแปรคาเฉลย ของพนกงานทง 4 คน เปนดงน 4 x 5 = 20 ครง คอการใชเวลาโดยประมาณของพนกงานบรษท ทง 4 คน ในขณะเดยวกน เมอพนกงาน 9 คน มการใชเวลา จาก 10 ถง 20 นาท ตอ วน และรวมเวลาทใชทงหมดของพนกงานทง 9 คน โดยประมาณ จะเทากบ 135 นาท ตอ วน สวนคาอนๆทมการบนทกเวลาของพนกงานบรษทเหลาน ซงมกระจายในแตละชน ใหเอาเวลามารวมกนทงหมด ทง 25 คน ดงนน คาเฉลยโดยประมาณจะเปน 21.40 นาท ซงอาจจะไมใชคาทแนนอน เราสามารถทจะหาคาเฉลยทแนนอ เมอรเวลาทแนนอนของพนกงานบรษททง 25 คน ตวอยางท 3-15 ตารางท 3.10 ใหแจกแจงคาความถของจ านวนใบสงทไดรบในแตละวนทผานมาของส านกงานรบสงจดหมายในชวง 50 วนทผานมา

17

ตารางท 3.10

จ านวนใบสง จ านวนวน 10 – 12 13 – 15 16 – 18 19 - 21

4 12 20 14

จากโจทย เนองจากชดขอมลทมเพยง 50 วน เปนผลรวมของกลมตวอยาง ดงแสดงใน ตารางท 3.11 จ านวนใบสง f m mf

10-12 13 -15 16-18 19-21

4 12 20 14

11 14 17 20

44 168 340 280

n = 50 mf = 832 คาเฉลยของกลมตวอยาง คอ

50

832

N

mfx

= 16.64 รายการ

ในชวง 50 วนน บรษทมใบสงการรบสงจดหมายโดยเฉลย 16.64 ตอวน

3.3.2 คาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลแบบจดกลม

สตรตอไปน เปนสตรพนฐานทใชในการค านวณหาคาประชากร และความแปรปรวนของกลมตวอยางแบบจ ากดกลม

N

)m(f 2

2 และ

1n

)xm(fs

2

2

เมอ 2 คอความแปรปรวนของประชากร 2s คอ ความแปรปรวนของกลมตวอยาง และ m คอ กงกลางของแตละชน ในกรณ ทคาความเบยงเบนมาตรฐานเปนรากทสองของความแปรปรวน

เมอมการแทนคาในสตรอกครง เพอค านวณหาคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐาน ของตารางท 3. 12 และสวนของตารางภาคผนวก ท 3.1 ซงอยทายบท ทแสดงถงการใชสตรพนฐาน เพอหาคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐานส าหรบขอมลแบบจ ากดกลม

18

สตรในการค านวณหาสวนเบยงเบนมาตรฐานส าหรบขอมลแบบจ ากดกลม

N

N

)mf(fm

2

2

2

และ 1n

n

)mf(fm

s

2

2

2

เมอ 2 คอ ความแปรปรวนของกลมประชากร 2s คอ ความแปรปรวนของกลมตวอยาง และ m คอ คากงกลาง สวนคาเบยงเบนมาตรฐาน ไดจากรากทสองของความแปรปรวน

สวนเบยงเบนของกลมประชากร : 2

สวนเบยงเบนของกลมตวอยาง : 2ss

ตวอยางท 3-16 และ ตวอยางท 3 – 17 ในการค านวณหาคาความแปรปรวน และสวนเบยงเบนมาตรฐาน

ตวอยางท 3- 16

ขอมลตอไปน เปนขอมลทยกมาจาก ขอ 3.8 ตวอยางท 3 – 14 ใหกระจายขอมลความถในการบนทกเวลาของแตละวน ( นาท ) ทออกจากบานของพนกงานบรษท ทง 25 คน

การบนทกเวลา ( นาท ) จ านวนพนกงานพนกงานบรษท

0 ถง 10 10 ถง 20 20 ถง 30 30 ถง 40 40 ถง 50

4 9 6 4 2

จงค านวณหาคาความแปรปรวนและคาเบยงเบนมาตรฐาน

ขนตอนทง 4 ขนตอนน เปนวธการค านวณหาคาความแปรปรวน และสวนเบยงเบนมาตรฐานส าหรบขอมลแบบจ ากดกลม ดงแสดงในตารางท 3.12

19

วน เวลาทบนทก (นาท)

f m mf fm2

0 ถง 10 10 ถง 20 20 ถง 30 30 ถง 40 40 ถง 50

4 9 6 4 2

5 15 25 30 45

20 135 150 140 90

100 2025 3750 4900 4050

N = 25 mf = 535 fm2 =14,825

ขนตอนท 1 ค านวณหาคา mf คา m คอคาจดกงกลางของแตละชน (จากในตารางท 3.12) และจากนน

คณ midpoints กบชนทตรงกนของแตละความถชน ( ในแถวทส). จะไดคา mf ดงน

mf = 535 ขนตอนท 2 เมอหาคา fm2 จากตารางแตละชนแลว กคณนคา ยกก าลงสอง ของ m โดยความถตรงกน

คอลมนทหาในตาราง 3.12( ผลรวมของผลตภณฑเหลาน (ทเปนผลรวมของคอลมนทหา) ให mf. ดงนน fm2 = 14,825

ขนตอนท 3 ค านวณคาความแปรปรวน จากขอมลของพนกงานบรษททง 25 คน ซงเปนตวแทนกลมประชากร สมารถค านวณหาคาความแปรปรวน จากสตรดงน

N

N

)mf(fm

2

2

2

= 25

25

)535(825,14

2

= 04.13525

3376

ขนตอนท 4 ค านวณคาสวนเบยงเบนมาตรฐาน เนองจากขอมลชดรวมทงหมดซงเปนพนกงานบรษท ทง 25 คนจดเปนกลมประชากร. ดงนน

เราจงใชสตรในการหาความแปรปรวนของประชากร สวนมาตรฐานเบยงเบนของเวลา (บวก) ซงไดจากรากทสองของความแปรปรวน

2 = 04.135 = 11.62 นาท คาเบยงเบนมาตรฐานของการบนทกเวลารายวนส าหรบพนกงานเหลานคอ 11.62 นาท

จากทไดทราบแลววา คาความแปรปรวนและเบยงเบนมาตรฐานทค านวณใน ขอ 3 ดงตวอยางท 3 - 16 ขอมลทใชในการจดกลมมคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐานทแนนอน โดยคาความ

20

แปรปรวนและสวนเบยงเบนของขอมลแบบจ ากดกลมในการบนทกเปนรายวนของทง 25 คน ตวอยางท 3 - 17

ขอมลตอไปนเปนขอมลเดมจากตารางท 3.10 และตารางท 3-15 ซงเปนตวอยางในการหาความถของขอมลค าสงทไดรบในแตละวนของส านกงานรบสงจดหมายในชวง 50 วนทผานมา

จ านวนรายการค าสง f

10 – 12

13 – 15

16 – 18

19 – 21

4

12

20

14

จงค านวณหาคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐาน

วธท า ทงหมดเปนขอมลทใชส าหรบการค านวณหาคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐาน ทมอยแลวในตาราง 3.13

ตารางท 3.13 จ านวนใบสง f m mf fm2

10-12 13 -15 16-18 19-21

4 12 20 14

11 14 17 20

44 168 340 280

484 2352 5780 5600

n = 50 m = 832 fm2 =14,216

จากตวอยางขอมลทง 50 ขอมล ใชแทนคาในสตรเพอค านวณหาคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐาน

1n

n

)mf(fm

s

2

2

2

= 150

50

)832(216,14

2

= 7.5820

สตรในการหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน 2ss = 5820.7 = 2.75 รายการ

จากการค านวณคาสวนเบยงเบนมาตรฐานของจ านวนใบสงททางส านกงานบรการรบสงจดหมายไดรบในชวง 50 วนทผานมา มคาเปน 2.75

21

3.4 การใชสวนเบยงเบนมาตรฐาน โดยการใช คาเฉลย และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ทงนสามารถหาคาสดสวนหรอคารอยละจากหนวยสงเกตทปรากฏอยในชวงของคาเฉลย ขอสรปนไดบรรยายผานทฤษฏบทของ Chebyshev และ กฎเชงประจกษ (Empirical rule) ทงสองเปนการใชสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3.4.1 ทฤษฏบทของ Chebyshev โดยใหมขอบเขตภายใตโคงระหวาง 2 ทศทาง แบงกลางระหวางคาเฉลย ทงสองในระยะทางทเทากน นยาม ทฤษฏบทของ Chebyshev จ านวนใด ๆ แทนดวย k โดยมคามากสดเปน 1 และนอยสดเปน (1-1/k2) คาขอมลอยภายในสวนเบยงเบนมาตรฐาน รป 3.5 แสดงภาพ ทฤษฏบทของ Chebyshev ตวอยาง ถาให k = 2 จะได

75.25.14

11

2

11

k

11

22 หรอ 75%

ดงนน จากทฤษฏบทของ Chebyshev คาต าสด .75 หรอ 75% ของขอมลทอยภายในทงสอง ของสวนเบยงเบนมาตรฐาน แสดงในรป 3.6 ในขอถดไป ถา k = 3 จะได

89.11.19

11

3

11

k

11

22 หรอ 89 % โดยประมาณ

22

ดงนน จากทฤษฏบทของ Chebyshev คาต าสด .89 หรอ 89 % ของขอมลทอยภายในทงสอง ของสวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลย แสดงในรป 3.7 ในขอถดไป ถงแมวา ในรป 3.5 – 3.7 เราตองใชประชากรของคาเฉลย และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ทฤษฏบทประยกตใชไดทงประชากรและกลมตวอยาง ขอสงเกต ของทฤษฏบทของ Chebyshev เปนการประยกตใชรปรางการกระจายแบบตาง ๆ อยางไรกตาม ทฤษฏบทของ Chebyshev สามารถใชไดเฉพาะคา k > 1 ทงนเพราะวา หาก k = 1 จะท าให คาของ 1-1/k2 เปน ศนย และเมอ k < 1 คาของ 1-1/k2 เปนลบ ตวอยาง 3-18 จ านวนเฉลยของความดนเลอด ของกลมผหญง 4000 คน โดยความดนเลอดสงจากจ านวนทพบเปน 187 คาเบยงเบนมาตรฐานเปน 22 ใหใช ทฤษฏบท Chebyshev หาคารอยละทนอยทสดจากกลมผหญงระหวาง 143 และ 231 วธท า ใ ห และ เปน คาเฉลย และ สวนเบยงเบนมาตรฐาน ตามล าดบ 187 และ 22 จากโจทยใหหา คารอยละของกลมผหญงทไดรบการตรวจความดน ในระหวางความดน 143 และ 231 ขนแรก ก าหนด k และแบง 2 ชวง คอ 143 และ 231 เปน 44 โดยคดจากคาเฉลย

23

143-187=-44 231-187 = 44 143 187 231 คา k หาไดจากน าคาจากการลบจากระยะทางจากจดคาเฉลยหารดวยสวนเบยงเบนมาตรฐาน

222

44k

75.25.14

11

2

11

k

11

22 หรอ 75%

ดงนน จากทฤษฏบท Chebyshev คาต าสดเปน 75% ของผหญงทระดบความดน 143 และ 231 คารอยละแสดงดงรป 3.8 3.4.2 กฏเชงประจกษ (Empirical rule) อยางไรกตาม ทฤษฏบท Chebyshev สามารถใชไดกบรปทรงหลากหลายได ซง กฏเชงประจกษ (Empirical rule) สามารถใชไดเพยงชนของการแจกแจงทเรยกวา การแจกแจงแบบรประฆงคว า ดงรป 3.9 ซงจะกลาวตอไปในบทท 6 ทซงเรยกวา โคงปกต ในสวนนจะกลาวเพยงกฏ 3 ขอของโคงเทานน กฏเชงประจกษ (Empirical rule) ใชส าหรบการแจกแจงรประฆงคว า หรอรปคลายระฆงคว า 1. มขอมล 68.26 % มคาระหวาง คาทหางจากคาเฉลยอย 1 เทา ของสวนเบยงเบนมาตรฐาน 2. มขอมล 95.44 % มคาระหวาง คาทหางจากคาเฉลยอย 2 เทา ของสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3. มขอมล 99.74 % มคาระหวาง คาทหางจากคาเฉลยอย 3 เทา ของสวนเบยงเบนมาตรฐาน

24

ตวอยาง 3-19 ก าหนดใหการแจกแจงอายจากกลมตวอยาง 5000 คน เปนแบบรประฆงคว า โดยมคาเฉลย 40 ป สวนเบยงเบนมาตรฐาน 12 ป รอยละโดยประมาณของคนทมอายระหวาง 16 และ 64 ป วธท า เราใชกฏเชงประจกษ (Empirical rule) ได เพราะ โจทยก าหนดอายเปนแบบการแจกแจงแบบโคงรประฆงคว า

40x

ป และ 12s ป แบงออกเปนสองสวน คอ 16 และ 64 ไดคา 24 เทา ๆ กน โดยคดจากคาเฉลย ให หาร 24 ดวย 12 นนคอ 2s

แสดงดงรป 3.10 พนทจาก 16 ไปยง 64 คอ พนท s2x

ถง s2x

เพราะวาพนทภายใน 2 สวนเบยงเบนมาตรฐานโดยประมาณเปน 95 % คดจาก 95% ของ 5000 คน ทมอายอยในชวง 16 ถง 64 ป

25

3.5 การวดต าแหนง การวดต าแหนง เปนการก าหนดต าแหนงของคาหนง ๆ ทมความสมพนธกบคาอน ๆ ในกลมตวอยางหรอประชากรของขอมลนน มการวดต าแหนงหลากหลาย อยางไรกตาม ในภาคนจะกลาวถงเฉพาะ ควอไทล เปอรเซนตไทล และต าแหนง เปอรเซนตไทล 3.5.1 ควอไทล และ คาพสยระหวางควอไทล ควอไทล คอ หลกส าคญของการวดซงไดถกแบงออกเปนสสวนเทา ๆ กน และมสามชวง ประกอบไปดวย 1Q , 2Q ,

3Q เรยกวา ควอไทลทหนง ควอไทลทสอง และควอไทลทสามตามล าดบ นยาม ควอไทล คอ การแบงคาพสยออกเปน 3 ต าแหนง มจ านวน 4 สวนของขอมล ในสวนของควอไทลทสองตรงกบคามธยฐาน ในสวนของควอไทลทหนงเปนกลางกงกลางของหนวยสงเกตทนอยกวาคามธยฐาน และในควอไทลทสามเปนคากงกลางของหนวยสงเกตทมคามากกวาคามธยฐาน รป 3.11 อธบายต าแหนงทงสามควอไทล ในชนทหนงทนอยกวา 1Q มคา โดยประมาณคา 25 % และ 75% เปนคาทสงกวา 1Q ในควอไทลทสองมการแบงชวงเทา ๆ กน สองชวง ดงนนในสวนของควอไทลทสองนนกคอคามธยฐาน และโดยประมาณ 75% มคาขอมลนอยกวา 3Q และ โดยประมาณ25% มากกวา 3Q ความแตกตางระหวางคา ควอไทลทหนงและควอไ ทลทสามของขอมล เรยกวา คาพสยระหวางควอไทล (IQR) การค านวณคาพสยระหวางควอไทล ผลตางระหวางคาควอไทลทสามกบคาควอไทลทหนง นนคอ IQR = คาพสยระหวางควอไทล = 13 QQ ตวอยางท 3-20 และ 3-21 แสดงใหเหนถงการค านวณคาควอไทลและคาพสยควอไทล ตวอยาง 3-20 จากตาราง 3.3 ในตวอยาง 3-5 แสดงถงจ านวนรถทถกขโมยระหวางป 2003 ใน 12 เมอง แสดงตารางดานลาง

26

ชอเมอง จ านวนรถทถกขโมย

Phoenix-Mesa , Arizona Washington D.C Miami Florida

Atianta Georgia Chicago Illinosis

Kansas Gity Kansas Baltimore , Maryland

Detroit Michigan ST.Louis Missouri Las Vegas Nevada

Newark New Jersey Dallas Texas

40,769 33,956 21,088 29,920 42,082 11,669 13,435 40,197 18,215 18,103 14,413 26,343

a. หาคาของควอไทลทสาม จ านวนรถทถกขโมย 40197 ทความสมพนธกบควอไทลนทไหน b. หาคาพสยระหวางควอไทล วธท า a. เรมตนใหเรยงล าดบจากมากไปหานอย และใหค านวณหาคาควอไทลทงสามตามดานลาง 11669 13435 14413 18103 18215 21088 26343 29920 33956 40197 40769 42082

2

1810314413Q1

2

2634321088Q2

2

4019733956Q3

16258 50.23715 50.37076 b. คาพสยระหวางควอไทลโดยใหคด จากผลตางของควอไทลทสามกบควอไทลทหนง IQR = คาพสยระหวางควอไทล = 13 QQ = 37076 – 16258 = 20818 คน

27

ตวอยาง 3-21 อายของลกจางจ านวน 9 คนของบรษทประกนภย 47 28 39 51 33 37 59 24 33 a. หาคาควอไทลทงสาม และอาย 28 ป อยในระดบใดของชดขอมลอายของลกจางในจ านวน 9 คน b. หาคาพสยระหวางควอไทล เรมตนใหเรยงล าดบขอมลจากนอยไปมากตามล าดบ และใหค านวณควอไทลทสามตามดานลาง

24 28 33 33 37 39 47 51 59

2

3328Q1

37Q 2

2

5147Q3

ดงนนคาของทงสามควอไทล คอ 5.30Q1 ป 37Q 2 ป 49Q3 ป อาย 28 ป เปนชวงอายต าสด 25% ของอาย b. คาพสยระหวางควอไทล คอ IQR = คาพสยระหวางควอไทล = 13 QQ = 49 – 30.5 = 18.5 ป 3.5.2 เปอรเซนตไทล และ ต าแหนงเปอรเซนตไทล เปอรเซนตไทล คอ การวดโดยการแบงชนภายในของจ านวนขอมล 100 สวนเทา ๆ กน ซงม 99 เปอรเซนตไทล ต าแหนงเปอรเซนตไทลท k ใหแทนดวย kP เมอคา k อยในภาคแบง 1 ถง 99 ยกตวอยาง ต าแหนงเปอ รเซนตไทลท 25 เขยนแทนดวย 25P จากรป 3.12 แสดงใหเหนต าแหนงเปอรเซนตไทลทง 99

28

ดงนนต าแหนงเปอรเซนตไทลท k ( kP ) สามารถก าหนดคาของขอมลเปน k% ของการวดเปนคาทเลกกวาคาของ kP และ (100-k)% ของการวดเปนคาทมากกวาคาของ kP คาโดยประมาณของต าแหนงเปอรเวนตไทลท k ไดอธบายไดดงน การค านวณคา เปอรเซนตไทล คาต าแหนงเปอรเซนตไทลท k โดยประมาณ เขยนแทนดวย kP

kP =

100

kn

เมอให k แทนจ านวนใด ๆ ในต าแหนงของเปอรเซนตไทล และ n เปนจ านวนในกลมตวอยาง ตวอยาง 3-22 ไดอธบาย วธการในการค านวณหาคาต าแหนงเปอรเซนตไทล ตวอยาง 3-22 อางองจากขอมลของรถทถกขโมย ใน 12 เมอง ป 2003 ในตวอยาง3-20 ใหหาคาต าแหนงเปอรเซนตไทลท 42 และใหแปลความหมายของต าแหนงเปอรเซนตไทลท 42 วธท า จากตวอยาง 3-20 เรยงล าดบขอมลจากนอยไปหามากได ดงน 11669 13435 14413 18103 18215 21088 26343 29920 33956 40197 40769 42082 ต าแหนงเปอรเซนตไทลท 42 เปน

04.5

100

1242

100

kn

คา 5.04 ใหคดเปน 5 โดยประมาณ ในชนของขอมลนน 18215P45 คน ดงนน โดยประมาณ 42% ของจ านวนรถทถกขโมยนนคอ 18215 หรอ รถทถกขโมยต ากวา และ 58% ทสถตสงกวา 18215 คน ในการค านวณหาต าแหนงเปอรเซนตไทลโดยเฉพาะ คา iX ของขอมลใหใชรปแบบตามดานลาง ต าแหนงเปอรเซนตไทลของ iX ใหเปนคารอยละของขอมลซงจ านวนนอยกวา iX การหาคาต าแหนงเปอรเซนตไทล ต าแหนงเปอรเซนตไทลของ iX = จ านวนคาทนอยกวา iX x 100

จ านวนคาของขอมลทงหมด

29

ตวอยาง 3-23 อางองจากขอมลของรถทถกขโมย ใน 12 เมอง ป 2003 ในตวอยาง3-20 ใหหาคาต าแหนงเปอรเซนตไทลของรถทถกขโมย จ านวน 29920 ใหแปลความหมายของต าแหนงเปอรเซนตไทลท 42 วธท า จากตวอยาง 3-20 เรยงล าดบขอมลจากนอยไปหามากได ดงน 11669 13435 14413 18103 18215 21088 26343 29920 33956 40197 40769 42082 ในขอมล คาท 7 จาก 12 คา เปนจ านวนนอย กวา 29920 ดงนน

ต าแหนงเปอรเซนตไทลของ 29920 = 33.5810012

7 %

3.6 BOX-and-Whisker Plot การน าเสนอเปนอกแบบหนงในรปของกราฟฟกทใชการวด 5 อยางประกอบ คอ คามธยฐาน ควอไทลท 1 ควอไทลท2 ควอไทลท3 คาต าสดและคาสงสดของขอมลระหวาง ภายใตและบน inner fence BOX-and-Whisker Plot สามารถท าใหเรามองเหนไดในสวนของ คากลางของขอมล การกระจายของข อมล คา outlier และ Extremes ค าอธบาย เปน plot ทแสดงใหเหนคากลางขอมล การกระจาย และการเบของขอมล สามารถทจะวาด BOX-and-Whisker Plot ไดโดยใชคามธยฐาน ควอไทลท 1 ควอไทลท 2 ควอไทลท 3 คาต าสดและคาสงสดของขอมลระหวาง ภายใตและบน inner fence ตวอยาง 3-24 จ านวนขอมลจากกลมตวอยาง (ในหนวย100 ดอลลาร) 35 29 44 72 34 64 41 50 54 104 39 58 ใหสราง BOX-and-Whisker Plot จากขอมลทใหมา วธท า หลกการสราง BOX-and-Whisker Plot มทง 5 ขนตอน ขนตอนท 1 ใหเรยงล าดบขอมลจากนอยไปหามาก และค านวณคามธยฐาน คาควอไทลท1 ควอไทลท3 คาพสยระหวางควอไทลของขอมล 29 34 35 39 41 44 50 54 58 64 72 104

30

คามธยฐาน 472/5044 372/3935Q1 612/6458Q3 IQR 243761QQ 13 ขนตอนท 2 หาจดซง IQR5.1 ต ากวา 1Q และ IQR5.1 อยเหนอคา

3Q สองจดนเรยกวา lower inner fences และ upper inner fences ตามล าดบ IQR5.1 36245.1 lower inner fences 1363736Q1 และ upper inner fences 97366136Q3 ขนตอนท 3 ก าหนดคาสงสดและต าสดภายใน สอง inner fences จากตวอยางทแสดงไดคา คาต าสด inner fences = 29 คาสงสด inner fences = 72 ขนตอนท 4 ใหวาดเสนแนวขวาง และสวนแบง จากคาขอมล และวาดตอเปนรปกลอง และทางดานซายของการกระจาย คอคาควอไทลท1 ทางดานขวาของการกระจายคอคาควอไทลท 3 และใหวาดเสนตงตรงทคามธยฐาน ผลของขนตอนนแสดงดงรป 3.13

31

ขนตอนท 5 ใหลากเสนทงสองนนคอคาทเลกทสดและคาทใหญทสด ภายในสอง inner fences คอ 29 และ 72 จากขนตอนท 3 สองเสนทลากออกจากกลอง เรยกวา whiskers มคาหนงทอยตางจาก สอง inner fences แสดงสญลกษณนนคอเรยกวา Outlier จากรป 3.14 จากการคาสอง inner fencesทปรากฏอย เรยกวา Outlier แบงชนดของ Outlierออกเปน mild และ extreme หาก เปนคาต ากวาของ outer fence IQR0.3 อยต ากวา คาควอไ ทลท 1 และคาสงกวาของ outer fence IQR0.3 อยเหนอไปกวา คาควอไทล ท 3 หาคา outer fence เปน -35 และ 133 และ 104 อยนอก กวางออกไป แตคา กวางของ outer fence มนคอ mild outlier

อภฐานศพท การแจกแจงแบบ Bimodal การแจกแจงชนดหนงทมคาฐานนยม 2 คา box-and-whisker plot การลากเสนแบบหนงทแสดงใหเหนคากลาง การกระจายและความเบของขอมล โดยใชคามธยฐาน ควอไทลทหนง ควอไทลทสาม คาทเลกทสด และใหญทสดอยระหวาง คาทต าลงมาและคาทอยเหนอ inner fences

ทฤษฏบท Chebyshev จ านวน k ใด ๆ ทมคามากวา 1 และนอยกวา

2k

11 ทคามการแจกแจง

แบบตาง ๆ ซงอยใน k สวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลย สมประสทธของการกระจาย เปนคาเฉลยของสวนเบยงเบนมาตรฐานเมอก าหนดใหคาเฉลยเปน 100 กฏเชงประจกษ (Empirical rule) ใชส าหรบขอมลทมการแจกแจงแบบโคงระฆงคว า 68 % อยในชวง

ถง และ 95% อยในชวง 2 ถง 2 และ 99.7% อยในชวง 3

ถง 3

32

คาควอไทลทหนง คาพสยของขอมลทอยนอยกวาประมาณ 25% และ 75% ซงเปนคามากกวา นนคอคาทมขนาดเลกกวาคามธยฐาน คาเฉลยเรขาคณต คาทรากท n ของผลคณของขอมลทกตว คาพสยระหวาควอไทล ผลตางของควอไทลทหนงกบควอไทลทสาม

Lower inner fence คาของชดขอมลมคาเทากบ IQR5.1 อยลาง(ต ากวา)คาควอไทลท 1 Lower outer fence คาของชดขอมลมคาเทากบ IQR0.3 อยลาง(ต ากวา)คาควอไทลท 1 คาเฉลย การวดคาแนวโนมเขาสศนยกลางชนดหนง หาคาโดยการผลรวมของขอมลทงหมด หารดวยจ านวนของขอมลทงหมด การวดคาแนวโนมเขาสศนยกลาง การวดทอธบายถงการแจกแจงลกษณะเขาสศนยกลาง นนคอ คาเฉลย คามธยฐาน และฐานนยม การวดการกระจาย เปนการวดทบอกถงการกระจายของการแจกแจง นนคอ คาพสย ความแปรปรวน และสวนเบยงเบนมาตรฐาน การวดต าแหนง เปนการก าหนดต าแหนงของคาหนง ๆ ทมความสมพนธกบคาอน ๆ ในกลมตวอยางหรอประชากรของขอมลนน มการวดต าแหนงหลากหลาย อยางไรก ตาม ไดแก ควอไทล เปอรเซนตไทล และต าแหนง เปอรเซนตไทล คามธยฐาน คาทอยตรงกลางหรอกงหลางของตวเลขทเรยงล าดบคามธยฐาน อาจเปนคาทตรงกบคาตรงของขอมล หรออาจเปนคาเฉลยของคาทอยตรงกลาง 2 คา ฐานนยม คาทมความถสงสดของขอมล การแจกแจงแบบ Mulimodal การแจกแจงทมคามากวา 2 คาฐานนยม คาพารามเตอร คาค านวณทไดจากกลมประชากร

33

ต าแหนงเปอรเซนตไทล ต าแหนงของพสยของชดขอมลหนงเปนคารอยละของขอมล เปอรเซนไทล มจ านวน 99 คา จากชวงหนงทถกแบงออกเปน 100 สวนเทา ๆ กน ควอไทล การแบงชวงการวดออกเปนสสวนเทา ๆ กน พสย ผลตางของขอมลทมคาสงสดกบขอมลทมคาต าสดของขอมลชดนน ควอไทลทสอง คากลางทแบงครงระหวางควอไทลทหนงกบควอไทลทสาม แบงเปน 2 สวน ๆ ละ 50% คาควอไทลทสองเหมอนกบคามธยฐาน สวนเบยงเบนมาตรฐาน รากทสองของก าลงสองเฉลยของสวนเบยงเบนระหวางคาขอมลแตละตวกบคาเฉลยของงขอมลชดนน ๆ คาสถต เปนคาค านวณของกลมตวอยาง ควอไทลทสาม คาพสยของขอมลทอยนอยกวาประมาณ 75% และ 25% ซงเปนคามากกวา นนคอคาทมขนาดเลกกวาคามธยฐาน คาเฉลย Tremmed k% ของคาเฉลย Tremmed โดยการปรบ k% ใหมคาเลกลงและใหญขน จากขอมลในการค านวณเฉลยจะคงคา (1-2k)% การแจกแจงแบบ Unimodal การแจกแจงทมคาฐานนยมเพยง 1 คา Upper inner fence คาของชดขอมลมคาเทากบ IQR5.1 อยเหนอคาควอไทลท 3

Upper outer fence คาของชดขอมลมคาเทากบ IQR0.3 อยเหนอคาควอไทลท 3 ความแปรปรวน คาการวดการกระจาย น าหนกเฉลย คาเฉลยของขอมลซงเปฯทไดก าหนดความแตกตางของน าหนก กอนทจะค านวณหาคาเฉลย

34

ภาคผนวก A3.1.1 หลกพนฐานส าหรบคาความแปรปรวน และสวนเบยงเบนมาตรฐานในกรณไมจดกลม ตวอยาง 3-25 หลกการค านวณในกรณไมจดกลม จากหวขอ 3.2.2 สตรพนฐานส าหรบคาความแปรปรวนในกรณไมจดกลม

N

x2

2 และ

1n

xx

s

2

2

ซง 2 เปนความแปรปรวนของประชากร และ 2s เปนความแปรปรวนของกลมตวอยาง ในกรณเปนสวนเบยงเบนมาตรฐานใหท าเปนรากทสองในสวนความแปรปรวน ตวอยาง 3.25 จากตวอยาง 3.12 ตารางแสดงรายการของนตยสาร Forbes เกยวกบความร ารวยของประชากรในโลก โดยมทรพยสนทงหมด ( พนลานดอลลาร ) จ านวน 5 คน ( USA วนท 11 มนาคม 2005 ) ใหค านวณคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐาน

วธท า ใหก าหนดคา X แทนความร ารวยของประชากรในโลก โดยมทรพยสนทงหมด ( พนลานดอลลาร ) จากตาราง 3.14 แสดงการค านวณคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐาน

x xx 2xx

46.5 18.0 16.0 7.8 7.2

46.5-19.1 = 27.4 18.0-19.1 = -1.1 16.0-19.1 = -3.1 7.8-19.1 = -11.3 7.2-19.1 = -11.9

750.76 1.21 9.61

127.69 141.61

x = 95.5 2

xx 88.1030

ขนท 1 หาคาเฉลยจากสตร

1.195

5.95

n

xx

ขนท 2 ค านวณ

xx ผลแสดงดงตาราง 3.14

ขนท 3 น าคา

xx มายกก าลงสองจะได 2xx และหาผลรวมทง สามแถว

35

ขนท 4 หาคาผลรวมในแถวทสามจะได

2xx 88.1030

ขนท 5 หาคาความแปรปรวนของกลมตวอยางหารดวย n-1 จะได

72.25715

88.1030

1n

xxs

2

2

ขนท 6 หาสวนเบยงเบนมาตรฐานของกลมตวอยางโดยใสคารากทสองของคาความแปรปรวน

05.1605366.1672.257s A3.1.2 หลกพนฐานส าหรบคาความแปรปรวน และสวนเบยงเบนมาตรฐานในกรณจดกลม ตวอยาง 3-26 สตรทใชหลกพนฐานส าหรบคาความแปรปรวน และสวนเบยงเบนมาตรฐานในกรณไมจดกลม

N

mf2

2 และ

1n

xmfs

2

2

ซง 2 เปนความแปรปรวนของประชากร และ 2s เปนความแปรปรวนของกลมตวอยาง m เปนจดกงกลางของชน และ f คอความถของชน ตวอยาง 3-26 ในตวอยาง 3-17 ใหใชสตรค านวณสน ๆ หาคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐาน ของจ านวนรายการเมลในแตละวนทไดรบ คดจ านวนเปนเวลาท ผานมา 50 วน วธท า การค านวณหาคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐานปรากฏดงตาราง 3.15 จ านวนรายการ

f m mf m-

x 2xm 2

xmf

10-12 13-15 16-18 19-21

4 12 20 14

11 14 17 20

44 168 340 280

-5.64 -2.64 .36 3.36

31.8096 6.9696 .1296 11.2896

127.2384 83.6352 2.5920 158.0544

n = 50 mf 5200.371xmf2

36

มขนตอนดงน ขนตอนท 1 หาคาจดกงกลางของชน ก าหนดคา m และ f หาคา mf จากตาราง คา 832mf ขนตอนท 2 หาคาเฉลยจากสตร

64.1650

832

n

mfx

ขนตอนท 3 ค านวณคา

xm เปนผลตางของคา m กบคาเฉลย

ขนตอนท 4 ใหยกก าลงสองคา

xm เปน 2xm

เรยกวาการแจกแจงก าลงสอง ทปรากฏในแถวทหก ขนตอนท 5 ใหคณการแจกแจงก าลงสองกบผลรวของความถ 5200.371xmf

2

ขนตอนท 6 หาความแปรปรวนของกลมตวอยางโดยการหาร 2

xmf กบ n-1 ดงน

1n

xmfs

2

2

5820.7

150

5200.371

ขนตอนท 7 หาสวนเบยงเบนมาตรฐานของกลมตวอยางโดยใสคารากทสองของคาความแปรปรวน

75.2582.7ss 2