1

เฉลยวชาคณตศาสตร

1. ถา =

จงหาคาของ

ก. 2x ข.

ค.

ง.

ตอบ ง.

แนวคด จากโจทยทก าหนดให =

จะไมทราบดานชดดานเดยว ก าหนดใหเปน ดาน a

จากทฤษฎบทพทากอรส จะไดวา

จะได =

=

=

=

2. จงหาคาของ sin2

-

csc2

+ cos2

+ sec2

- tan2 (

ก.

ข. 1 ค.

ง. 2

ตอบ ข. 1

แนวคด จาก sin2

-

csc2

+ cos2

+ sec2

- tan2

= (sin2

+ cos2

) -

csc2

+ (sec2

- tan2

)

= 1 -

csc2

+ 1

= 2 -

csc2

= 2 -

= 2 – 1 = 1

3. รปสามเหลยม ABC ม a, b, c เปนความยาวของดานตรงขามมม A, B, C ตามล าดบ ถา Cos B =

และ

(a + b + c)( a – b + c) = 30 แลว ac มคาเทากบขอใด

ก. 12 ข. 20 ค.

ง.

a

2

ตอบ ก. 12 แนวคด จาก ------------- (1) จาก

----------------- (2)

(1)=(2) ;

4. ก าหนดให

จงหาคาของ

ก. ข. ค. ง.

ตอบ ก.

แนวคด หา

จาก

ดงนน

หา จาก

ดงนน

5. ให x และ y เปนจ านวนจรง จงหาคาของ

และ xy จากสมการตอไปน

และ = ก.

ข.

ค.

ง.

ตอบ ข.

แนวคด จาก ………………. (1) = ………………………… (2)

3

แปลงสมการ (1); (34)2x-y = 35 =>> 38x-4y = 35

จะไดวา 8x - 4y = 5 ……………. (3) แปลงสมการ (2) ; (สามารถแปลงเลขฐานเปน 2หรอ4กไดนะครบ) ในทนเราจะแปลงเลขฐานเปน 2; (24)x-y = 26 =>> 24x-4y = 26 จะไดวา 4x - 4y = 6………………… (4)

(3) - (4); 4x = -1 =>> x =

น า x แทน ใน (4); y =

ดงนน

=

=

=

และ xy =

=

6. ก าหนดให A=

B= - + +

จงหาคาของ ก. 1 ข. -1 ค. 3 ง. -3 ตอบ ก. 1 แนวคด จาก A=

สามารถแปลงไดเปน ; A=

ดงนน A= = ………………. *** จาก B= - + + สามารถแปลงเปน;

B=

จะได B =

ดงนน B=

……………………..***

เพราะฉะนน =

7. ถา และ 18

27z

a bii z

เมอ a, b เปนจ านวนจรงแลว a + b มคาเทาใด

ก.

ข. 0 ค.

ง. 1

ตอบ ข. 0

4

แนวคด หา 18z และ 27z โดยอาศยหลกของทฤษฎของเดอมวร

ให 32 1 3z i

3 1 3

2 2z i

หา r;

221 3

2 2r

ดงนน 1r

หา tan ;

32tan 312

ดงนน 3

จะได 3 (1) cos sin

3 3z i

….. Polar form

นนคอ 18 3 6 6 6( ) (1) cos sin

3 3z z i

และ 27 3 9 9 9 9( ) (1) cos sin

3 3z z i

18

27

1

11

2

za bi

i z

ii

1 1,

2 2a b

ดงนนจะได

1 10

2 2a b

5

8. ถา z เปนจ านวนเชงซอน ซง 0z และ 3(5 12 ) ( 3 4 ) 130i z i z แลว z มคาเทาใด

ก. 2 ข. -2 ค. ง.

ตอบ ค. แนวคด จากโจทยใหหา | z | ดงนนใส | | ใหหมดแลวจดรป

3(5 12 ) ( 3 4 ) 130i z i z

3(5 12 ) ( 3 4 ) 130i z i z

2 2 3 2 25 12 ( 3) 4 130z z

3(13) | | (5) 130 | |z z

2| | 2z

| | 2z

1

เฉลยวชาฟสกส 1. ถาความเรวตนของน าทฉดขนในแนวดงมคาเทากบ 8 m/s จงหาความสงของน าทพงขนไปในอากาศ

ก. 1.5 m ข. 3.2 m ค. 4.8 m ง. 5.0 m เฉลย ข. 3.2 m แนวคด วธท 1 จากกฎอนรกษงาน – พลงงาน

= + = +

+ 0 = 0 + mgh

= gh

= 10h

h = 3.2 m วธท 2 หาระยะสงสดจาก v2 = u2 + 2aS

0 = 82 + 2(-10)h 20h = 64 h = 3.2 m 2. กลองหนก 15 นวตน ถกลากไปตามพนทมสมประสทธความเสยดทาน 0.1 โดยแรง P=50 นวตน ทท ามม θ = 60 องศา ดวยความเรวคงท 3 กโลเมตรตอชวโมง เปนเวลา 1 นาท งานทเกดจากแรงลากกลองเปนเทาไร

ก. 1250 J ข. 1375 J ค. 1500 J ง. 1625 J

เฉลย ก. 1250 J

แนวคด จาก

=

เมออตราเรวคงท จะไดวา v=

ซง v = 3 km/hr = (3)(

= (

จงได = Fv

θ

P

2

หางาน(W) จาก W = Pt

= (Fv (t)

= (50)(

(

)(60)

w = 1250 J 3. วตถกอนหนงเดมอยนง ตอมาระเบดเปน 2 ชนสวนเทาๆ กน พบวาชนสวนท1 มมวล 2 kg และมอตราเรวเปน 5 m/s จงหาอตราเรวของชนสวนท 2 วาเปนเทาใด

ก. 2 m/s ข. 3 m/s ค. 5 m/s ง. 10 m/s เฉลย ค. 5 m/s แนวคด จาก กอนระเบด หลงระเบด

ดงนน 4. ในการชนอยางไมยดหยนของมวล T และมวล m ดงแสดงในรปความเรวหลงชนของ m มขนาดเทาเดมแตกลบทศ จงหา v มคาเทาใด

ก.

ข.

ค.

ง.

S

u

T

v

T

u

m

u

m

กอนชน

หลงชน

3

เฉลย ก.

แนวคด จาก กอน หลง

5. คลนน าขบวนหนงเคลอนทจากน าตนมาน าลก โดยรงสของคลนตกกระทบท ามม 60 องศา กบรอยตอระหวางน าตนกบน าลก ถาความยาวคลนในน าลกเปน 3 เทาของน าในน าตน จงหามมหกเห

ก. 30o ข. 37o ค. 45o ง. 60o เฉลย ง. 60o แนวคด Snell’s Law มมในกฎของสเนลลตองเปนมมตกกระทบ (ซงท ากบเสนแนวฉาก)

จะได 2 1 1 1

1 2 2 2

sin

sin

n v

n v

1

2 1

sin 30

sin 3

2

112

sin 3

2

3sin

2

2 60

60o

30o

2

น าตน v นอย

น าลก v มาก

4

6. โทรโกะไปเทยวทะเล มองเหนคลนน าเคลอนทเขาฝง ผานก าแพงทอยไกลจากฝง 20 m ซงปลายดานในของก าแพงหางกน 50 cm ท าใหเกดการแทรกสอดขน ถาระยะระหวางปฏบพแรกทชายฝงเทากบ 8 m คลนน ามความยาวคลนเทาใด ถาสมมตใหความลกของน าเทากนตลอดจนถงฝง

ก. 1 m ข.

m ค.

15

1 m ง.

m

เฉลย ค. 15

1 m

แนวคด การแทรกสอดผานชองแคบเดยว หาแนวปฎบพจาก

= (n +

)

= 1.5

ตอบ =

m

7. ทอณหภม 30 oc สอมเสยงอนหนงเกดสนพองครงแรกในหลอดก าทอนปลายปดหนงขาง ทระยะความยาวนอยทสด 25 cm สอมเสยงอนนใหความถเทาใด

ก. 340 Hz ข. 349 Hz ค. 698 Hz ง. 1400 Hz เฉลย ข. 349 Hz แนวคด จากสตร จะได ดงนน

จากโจทย ระยะทนอยทสด คอ

มคา 25 cm

ทอปลายปด

cm 8 m

A

1

A1

20 m

50 cmcmcmcmcmcmcmcmcmcmccmcm

คลนน า ก าแพง ชายฝง

5

1 m

แทนคา

8. รถไฟขบวนหนงก าลงเคลอนทเขาสชานชาลาสถาน ดวยอตราเรว 30 m/s พรอมทงเปดหวดซงมความถ 100 Hz รถยนตคนหนงก าลงวงสวนทางกบรถไฟบนถนนขนานกบทางรถไฟดวยอตราเรว 50 m/s จงหาความถทปรากฎของเสยงหวดตอคนขบรถคนนน (ก าหนด อตราเรวเสยงในอากาศ 350 m/s)

ก. 93.8 Hz ข. 100 Hz ค. 105 Hz ง. 125 Hz เฉลย ง. 105 Hz แนวคด วเคราะหโจทย โจทยเปนลกษณะการเกด Doppler โดยผฟงและแหลงก าเนดเสยงวงเขาหา

กน จากสตร

คอ ความถของแหลงก าเนด เปนสงทตองการหา u คอ ความเรวตวกลาง จากโจทยคอ อากาศ มคา เทากบ 350 m/s v0 คอ ความเรวของผฟง จากโจทยคอ รถ มคาเทากบ 50 m/s vs คอ ความเรวของแหลงก าเนด จากโจทย คอ รถไฟ มคาเทากบ 30 m/s fs คอ ความถของแหลงก าเนด จากโจทยคอ หวดรถไฟ มคาเทากบ 100 Hz

แทนคาในสตร

จะได

ดงนน

1

เฉลยวชาเคม 1. ก ำหนดให (1) ผงแมกนเซยม (2) กรดไฮโดรคลอรก

(3) น ำตำลกลโคส (4) โซเดยมไฮโดรเจนคำรบอเนต (5) ยสต (6) ไอรออน (II) ซลไฟด (7) กรดน ำสม (8) ซลเวอรไนเตรต

จงเลอกขอทมปฏกรยำเปนระบบเปดและระบบปดตำมล ำดบ ก. 1 + 2 และ 2 + 6 ข. 3 + 5 และ 4 + 7 ค. 2 + 4 และ 1 + 2 ง. 3 + 5 และ 8 + 2

เฉลย ง. 3 + 5 และ 8 + 2 แนวคด (2+6) FeS(s) + HCl(aq)FeCl2(s) + H2S(g) ระบบเปด

(2+4)NaHCO3(aq) + HCl(aq) NaCl(aq) + CO2(g) + H2O(l) ระบบเปด (3+5)C6H12O6(s) + ยตส 2C2H5OH(aq) + 2CO2(g) ระบบเปด (4+7)NaHCO3(aq) + CH3COOH(aq) CH3COONa(aq) + CO2(g) + H2O(l) ระบบเปด (8+2)AgNO3(s) + HCl(aq) AgCl(s) + HNO3(aq) ระบบปด

2. พจำรณำปฏกรยำ 2A(s) B(s) + 3C(s) + D(g) จำกกำรทดลองพบวำ สำร A หนก 60 กรม สลำยตวให B 18 กรม C 36 กรมและแกส D ปรมำตร 3.36 dm3 ทSTP คำมวลโมเลกลของสำร A B C D ในขอใดตอไปนถกตอง (เกดในระบบปด)

ก. A = 200, B = 60, C = 120, D = 20 ข. A = 200, B = 120, C = 80, D = 40 ค. A = 400, B = 120, C = 240, D = 40 ง. A = 400, B = 200, C = 80, D = 20

เฉลย ข. A = 200, B = 120, C = 80, D = 40 แนวคด หำมวลของ D โดยใชกฎทรงมวล จะไดวำ

มวลA =มวลB+มวลC+มวลD มวลD = 60-18-36 = 6 กรม หำมวลโมเลกลของDดงน สำร D 3.36 dm3 หนก 6 กรม สำร D 22.4 dm3 หนก 40 กรม พจำรณำสมกำรทโจทยใหมำ 2A(s) B(s)+3C(s)+D(g) จำกกฏสดสวนคงท 2A B + 3C +D 60/2A = 18/B = 36/3C = 6/40

2

จะไดวำ A=200, B=120, C=80, D=40

3. ถำตองกำรน ำแขงแหงปรมำตร 2.5 dm3 1 กอน จะตองใช CO2 ทบรรจในถงจ 50 dm3 ทควำมดน 15 atm

อณหภม 0 0C จ ำนวนกถง (ก ำหนดควำมหนำแนนของน ำแขงแหงเปน 0.88 g/cm3 มวลโมเลกล CO2 = 44) ก. 1.5 ข. 1.7 ค. 2.0 ง. 2.25

เฉลย ก. 1.5

แนวคด PV =

RT

15(50) =

(0.082)(273)

g = 1474 g ซงกคอน ำหนกใน 1 ถง

D =

0.88=

m = 2,200 g บรรจ 1,474 g ใช 1 ถง

บรรจ 2,200 g ใช

(2,200) = 1.5 ถง

4. ถำตองกำรใหปรมำตรของแกสสมบรณท STP เพมขนเปน 4 เทำ โดยกำรลดควำมดนลง 25% จะตองปลอยใหแกสนใหอยทอณหภมกองศำเซลเซยส

ก. 0 ข. 273 ค. 546 ง. 819 เฉลย ค. 546

แนวคด

=

=

T2 = 819 K 819 K = 546 oC

5. แกสไฮโดรเจนคลอไรดหนก 1.46 กโลกรม น ำไปละลำยน ำจนไดกรดไฮโดรคลอรก 10 กรดนมควำมเขมขนเทำใด (ก ำหนดมวลโมเลกล H = 1, Cl = 35.5)

ก. 0.146 g/dm3 ข. 14.6% โดยมวล ค. 4 mol/dm3 ง. 0.4 mol/dm3 เฉลย ค. 4 mol/dm3

3

แนวคด โจทยขอนเปนกำรเตรยมสำรละลำยไฮโดรคลอรก โดยเตรยมจำกแกสไฮโดรเจนคลอไรดจ ำนวน n โมล น ำไปละลำยน ำจนไดสำรละลำยทมควำมเขมขน N mol/dm3 แตมจ ำนวนโมล n โมลเทำเดม (สำรละลำยยงคงมโมเลกลของ HCl เทำเดมถงแมจะเตมน ำลงไป)

จำกเดมแกส HCl มจ ำนวน n โมล

n =

=

,V หนวย cm3

N = 4 mol/dm3

6. กำรถลงแรทองแดงคำลโคไพไรตตำมสมกำรเคม 6CuFeS2 + 15O2 6Cu + 6FeO + 12SO2

ถำแรทองแดงชนดนหนก 1,840 กโลกรม จะเกดแกส SO2 ออกสบรรยำกำศเทำไหร (ก ำหนด มวลโมเลกล Cu = 64, Fe = 56, S = 32, O = 16)

ก. 1.28 x 103 กรม ข. 1.28 x 104 กรม ค. 1.28 x 105 กรม ง. 1.28 x 106 กรม

เฉลย ง. 1.28 x 106 กรม แนวคด เทยบจ ำนวนโมลของ CuFeS2 กบ SO2 จำกสมกำรจะเหนวำ CuFeS2 จ ำนวน 6 โมลจะท ำ

ใหเกด SO2 จ ำนวน 12 โมล 6CuFeS2 + 15O2 6Cu + 6FeO + 12SO2

g = 1280 × 103 กรม g = 1.28 × 106 กรม 7. จำกปฏกรยำ A + B C ไดผลกำรทดลองดงน

กำรทดลองท 1 [A] [B] เวลำ (นำท) [C] (mol/dm3) I 4.00 2.00 4 3.2 II 8.00 2.00 2 3.2 III 8.00 4.00 5 32.0

จงหำคำคงท (K) ของปฏกรยำ ก. 0.025 ข. 0.05 ค. 0.1 ง. 2

4

เฉลย ข. 0.05 แนวคด จำกผลกำรทดลองทไดสำมำรถหำอตรำกำรเกดปฏกรยำไดดงน

กำรทดลองท

R=[C]/t

I 3.2/4 = 0.8 II 3.2/2 = 1.6 III 32.5/5 = 6.5 6.4

กฏอตรำมสมกำรดงน R = k[A]m[B]n หำคำ m, n กอน 1) พจรำณำตำมตำรำง จำกกำรทดลองท I และ II เมอให [B] คงทคอ 2.00

mol/dm3 จะพบวำ [A] เพมขนจำก 4.0 เปน 8.0 mol/dm3 ( 2 เทำ ) จะพบวำอตรำกำรเกดปฎกรยำ เพมขนจำก 0.8 เปน 1.6 mol/dm3 ( 2 เทำ )

จะไดวำ 2m = 21 m =1 2) พจำรณำตำมตำรำง จำกกำรทดลองท II และ III เมอให [A] คงทคอ 8.00

mol/dm3 จะพบวำ [B] เพมขนจำก 2.0 เปน 4.0 mol/dm3 ( 2 เทำ ) จะพบวำอตรำกำรเกดปฎกรยำ เพมขนจำก 1.6 เปน 6.4 mol/dm3 (4 เทำ )

จะไดวำ 2n = 22 n =2 3) จะไดสมกำร R = k[A]1[B]2 หำคำ K จำกปฏกรยำใดกได (เลอกปฏกรยำ

ท I) แทนคำจะไดวำ 0.8 = K [4]1[2]2 K = 0.05 (mol)-2/(dm3)-2(min)

8. A B เปนปฏกรยำทกำรเปลยนแปลงพลงงำนดงกรำฟน

ในปฏกรยำด ำเนนไปขำงหนำแตละขนตอนควรมลกษณะอยำงไร

B A

ขนท 1

กำรด ำเนนไปของปฏกรยำ

พลงงำน ขนท 2

ขนท 3

5

ขอ ขนท 1 ขนท 2 ขนท 3 ก. เกดเรว คำยพลงงำน เกดชำ คำยพลงงำน เกดเรวปำนกลำง ดดพลงงำน ข. เกดเรว คำยพลงงำน เกดเรว คำยพลงงำน เกดชำ ดดพลงงำน ค. เกดชำ ดดพลงงำน เกดเรว ดดพลงงำน เกดชำ คำยพลงงำน ง. เกดเรว คำยพลงงำน เกดชำ คำยพลงงำน เกดเรวปำนกลำง คำยพลงงำน

เฉลย ก. แนวคด กำรจะดวำขนตอนใดเกดจำกหรอเรวดไดจำกพลงงำนกอกมมนต (Ea) ของแตละขนตอน

ดงภำพ

จำกหลกกำรทวำ Ea สงปฏกรยำจะเกดชำ จำกภำพจะเหนวำ Ea2 > Ea3 > Ea1 ดงนน

ขนตอนท 2 เกดชำทสด ตำมดวยขนตอนท 3 สวนขนตอนท 1 เกดเรวทสด ขอ ข. และ ค. จงผด กำรจะดขนตอนใดเปนปฏกรยำดดหรอคำยพลงงำน ใหดทพลงทจดตนปลำยของแตละขนตอน

ขนตอนท 1 จะเหนวำทจด A มพลงงำนมำกกวำจด M ดงนนปฏกรยำตองคายพลงงานออกเพอใหมพลงงำนเทำกบจด M

ขนตอนท 2 จด M มพลงงำนมำกกวำจด N ดงนนปฏกรยำตองคายพลงงานออกเพอใหมพลงงำนเทำกบจด N และขนตอนท 3 จด N มพลงงำนนอยกวำจด B ดงนนปฏกรยำตองดดพลงงานเขำเพอใหม

พลงงำนเทำกบจด B ดงนนค ำตอบทถกตองคอขอ ก.

B A

ขนท 1

กำรด ำเนนไปของปฏกรยำ

พลงงำน ขนท 2

ขนท 3

Ea1

Ea2

Ea3

M

N