สรุปเข้มคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ... · 2020. 5. 22. · จุด1 , y(x 1) ถึงเส้นตรง Ax + By + C = 0 คือ A2 B2 Ax1

สรปเขมคณตศาสตร เลม 2 http://www.pec9.com บทท 6 เรขาคณตวเคราะห

1

บทท 6 เรขาคณตวเคราะห

6.1 ความรเบองตนเกยวกบเรขาคณตวเคราะห 6.1.1 ระยะทางระหวางจดสองจด

หากจด (x1 , y1) และ (x2 , y2) เปนจด 2 จด ระนาบ XY และ d เปนระยะหางระหวางจดทงสองนน เราสามารถหาระยะหางระหวางจดทงสอง ( d ) ไดดงน

กรณท 1 ถา x1 = x2 จะไดวา d = y1 – y2 ถา y1 = y2 จะไดวา d = x1 – x2 ( คอน าคทตางกนมาลบกนแลวถอดคาสมบรณ )

กรณท 2 ถา x1 x2 และ y1 y2

จะไดวา d = 2)2y1(y2)2x1(x

1. ระยะหางระหวางจด 2 จดตอไปน มขนาดเทากบเทาใด ( ก ) P1 (2 , 4 ) , P2 (2 , 7) ( ข ) P1 (3 , 7) , P2 (6 , 7) 1. ( ก ) 3 หนวย ( ข ) 3 หนวย 2. ( ก ) 3 หนวย ( ข ) 0 หนวย 3. ( ก ) 0 หนวย ( ข ) 3 หนวย 4. ( ก ) 0 หนวย ( ข ) 0 หนวย

2. ระยะหางระหวางจด 2 จดทก าหนดให มขนาดเทากบขอใดตอไปน ( ก ) P1 (4 , 5) , P2 (1 , 1) ( ข ) P1 (7 , –3) , P2 (4 , –1) 1. ( ก ) 3 หนวย ( ข ) 13 หนวย 2. ( ก ) 3 หนวย ( ข ) 3 หนวย 3. ( ก ) 5 หนวย ( ข ) 13 หนวย 4. ( ก ) 5 หนวย ( ข ) 3 หนวย

Y

X

(x2 , y2)

d (x1 , y1)

x1 x2

y1

y2


2

6.1.2 จดกงกลางระหวางจดสองจด

หากจด (x1 , y1) และ (x2 , y2) เปนจด 2 จด ระนาบ XY และ ( x , y ) เปนจดกงกลางระหวางจดทง สองนน เราสามารถหาจดกงกลาง ( x , y ) ไดดงน

( x , y ) = 22y+1y

, 22x+1x

3. วงกลมวงหนงมจดปลายเสนผานศนยกลางอยทจด (–4 , 6) และ (5 , –2) แลวจดศนยกลาง วงกลมวงนคอขอใดตอไปน 1. ( 2

1 , 2 ) 2. (– 21 , 3 ) 3. ( 2

9 , 2 ) 4. (– 29 , 3 )

6.1.3 จดซงแบงเสนตรงออกเปนอตราสวนตางๆ

หากจด (x1 , y1) และ (x2 , y2) เปนจด 2 จด ระนาบ XY และ ( x , y ) เปนจดซงแบงเสนตรงทเชอม จดสองจดนน ออกเปนอตราสวนความยาว m1 และ m2 ดงรป เราสามารถหาจดแบง ( x , y ) ไดดงน

( x , y ) =

2m1m1y2m2y1m

, 2m1m

1x2m2x1m

4. พกดของจดแบงระหวางจด (1 , 2) และ (5 , 3) ซงแบงระยะทางระหวางจด 2 จดเปน อตราสวน 2 : 3 โดยจดนอยใกลจด (5 , 3) มากกวาจด (1 , 2) พกดจดดงกลาวคอขอใด 1. ( 2

13 , 217 ) 2. ( 3 , 2

5 ) 3. ( 513 , 5

17 ) 4. ( 3 , 213 )

Y

X

(x2 , y2)

(x1 , y1)

y , x

Y

X

(x2 , y2)

(x1 , y1) y , x

m1

m2


3

6.1.4 ความชนของเสนตรง เราสามารถหาความชนของเสนตรงใด ๆ ไดจาก

m = 1x2x1y2y

เมอ m คอความชนเสนตรง

(x1 , y1) , (x2 , y2) คอจดทเสนตรงนนผาน

หรอ m = tan

เมอ คอมมทเสนตรงเอยงกระท ากบแกน + X ในทศทวนเขมนาฬกา

5. เสนตรงเสนหนงมความเอยงเปนมม 60o จะมความชนเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 1.414 3. 1.732 4. 2

6. เสนตรงทผานจดทก าหนดใหตอไปน ขอใดตอไปนมความชนต าทสด 1. (2 , 6) , (0 , 0) 2. (3 , 4) , (6 , –5) 3. (3 , 5) , (4 , 5) 4. (4 , 6) , (4 , 7)

6.1.5 เสนขนานและเสนตงฉาก ทฤษฎบทเกยวกบเสนขนาน เสนตรงสองเสนท ไมขนานกบแกน Y จะขนานกน กตอเมอความชน ของเสนตรงทงสองเทากน

ทฤษฎบทเกยวกบเสนตงฉาก เสนตรงสองเสนท ไมขนานกบแกน Y จะตงฉากกน กตอเมอ ผลคณของ ความชนของเสนตรงทงสองเทากบ –1

m1 m2 = –1

m1 m2

m1 = m2

m1 m2

Y

X

(x2 , y2)

(x1 , y1)


4

7. เสนตรงทตงฉากกบเสนตรงทมความชนตอไปน ในขอมความชนต าทสด 1. 4 2. 4

3 3. 65 4. 4

1

มมระหวางเสนตรง 2 เสนตดกน หาไดจากสมการ

tan = เรมตน

m . สดทาย

m 1เรมตน

m สดทาย

m

เมอ คอมมทวดจากเสนตรงความชน mเรมตน ทวนเขมนาฬกาไปถงเสนตรงทมความชน mสดทาย

8. เสนตรง L1 มความชน –1 เสนตรง L2 มความชน 0 มมซงวดจากเสนตรง L1 ทวน เขมนาฬกาไปถงเสนตรง L2 มขนาดเทากบขอใดตอไปน

1. 30o 2. 45o 3. 60o 4. 90o

6.1.6 ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรง ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรง คอความสมพนธทเมอน าไปเขยนกราฟ แลวจะไดกราฟเปนรปเสนตรง ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทนาสนใจในระดบนม 5 รปแบบ ไดแก ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงรปแบบท 1 x = a เมอ a คอ จ านวนจรงใด ๆ

m2

m1


5

สมบตของเสนตรงทเขยนไดจากสมการน 1) เสนตรงนจะขนานแกน Y 2) เสนตรงนจะตดแกน X ณ. จดท x = a

ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงรปแบบท 2 y = b เมอ b คอ จ านวนจรงใด ๆ สมบตของเสนตรงทเขยนไดจากสมการน

1) เสนตรงนจะขนานแกน X 2) เสนตรงนจะตดแกน Y ณ. จดท y = b

ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงรปแบบท 3 y – y1 = m (x – x1)

เมอ m คอความชนเสนตรง (x1 , y1) คอจดทเสนตรงนนผาน

9. เสนตรงตอไปนมความชน และผานจดในขอใดตอไปน ก. (y – 6) = 4 (x –8) ข. (y + 7) = 4 x 1. ก. 4 , (8 , 6) ข. 4 , (0 , –7) 2. ก. 4 , (0 , 6) ข. 4 , (8 , –7) 3. ก. 2 , (8 , 6) ข. 2 , (0 , –7) 4. ก. 2 , (0 , 6) ข. 2 , (8 , –7) 10. เสนตรง 4 (y + 5) = 8 (x + 9) มความชนและผานจดในขอใดตอไปน 1. 8 , (–9 , –5) 2. 8 , (9 , 5) 3. 2 , (–9 , –5) 4. 2 , (9 , 5)

(x1 , y1) m


6

11. ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด (3 , 1) และมความชน 21 คอขอใดตอไปน

1. x – 2y – 1 = 0 2. x + 2y – 1 = 0 3. 2x – 4y – 1 = 0 4. 3x – 6y – 2 = 0

12. ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงซงผานจด (–1 , –4) และตงฉากกบเสนตรงซงผานจด (–1 , 3) และ (–2 , –2) คอขอใดตอไปน 1. x – 5y + 21 = 0 2. x – 5y – 21 = 0 3. x + 5y + 21 = 0 4. x + 5y – 21 = 0

ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงรปแบบท 4 y = m x + C เมอ m คอความชนเสนตรง C คอระยะตดแกน Y

X

Y

(0 , C)C


7

13. จากสมการเสนตรงตอไปน จงหาความชนเสนตรงและจดตดแกน Y

( ก ) y = 4 x + 6 ( ข ) y = 23 x – 4

1. ( ก ) 4 , (6 , 0) ( ข ) 23 , (–4 , 0) 2. ( ก ) 4 , (0 , 6) ( ข ) 2

3 , (0 , –4) 3. ( ก ) –4 , (6 , 0) ( ข ) – 2

3 , (–4 , 0) 4. ( ก ) –4 , (0 , 6) ( ข ) – 23 , (0 , –4)

14. จากสมการเสนตรง 4 y = 8 x – 4 จงหาความชนเสนตรงและจดตดแกน Y 1. –2 , (–1 , 0) 2. –2 , (0 , –1) 3. 2 , (–1 , 0) 4. 2 , (0 , –1)

ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงรปแบบท 5 Ax + By + C = 0 เมอ ความชน (m) = – BA

15. ความชนของเสนตรง 2x – 3y = 6 , จดตดแกน X และแกน Y คอขอใดตอไปน 1. 3

2 , (3 , 0) , (0 , –2) 2. 32 , (8 , 0) , (0 , –2)

3. 41 , (3 , 0) , (0 , –2) 4. 4

1 , (8 , 0) , (0 , –2)


8

16. ความชนของเสนตรง x = 4 และจดตดแกน X และแกน Y คอขอใดตอไปน 1. 0 , (4 , 0) , หาไมได 2. 0 , หาไมได , (0 , –2) 3. หาไมได , (4 , 0) , หาไมได 4. หาไมได , หาไมได , (0 , –2)

17. สมการเสนตรงทผานจด (7 , 5 ) และขนานกบเสนตรง x + 2y + 12 = 0 คอขอใดตอไปน

1. x + 2y + 17 = 0 2. x + 2y – 17 = 0v 3. x – 2y + 17 = 0 4. x – 2y – 17 = 0

18. สมการของเสนตรงทผานจด (3 , 2) และตงฉากกบเสนตรง x + 2 y + 12 = 0 คอขอใด ตอไปน 1. 2x + y + 4 = 0 2. 2x + y – 4 = 0 3. 2x – y + 4 = 0 4. 2x – y – 4 = 0


9

6.1.7 ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด และระยะหางระหวางเสนตรงทขนานกน ระยะหางระหวางจดกบเสนตรง คอระยะ ทวดจากจดไปตกตงฉากกบเสนตรง ระยะระหวาง จด (x1 , y1) ถงเสนตรง Ax + By + C = 0 คอ

2B2AC1By1Axd

19. ระยะระหวางเสนตรง 6 x – 8 y + 4 = 0 กบจด (2 , –3) คอขอใดตอไปน 1. 2 2. 4 3. 6 4. 8

ระยะระหวางเสนตรงทขนานกน คอระยะ ทวดจากเสนตรงเสนแรกไปตกตงฉากกบเสนตรง เสนท 2 ระยะระหวางเสนตรง Ax + By + C1 = 0 กบเสนตรง Ax + By + C2 = 0 คอ

d = 2B2A2C1C

20. ระยะระหวางเสนคขนาน 3x – 4y – 7 = 0 , 6x – 8y + 16 = 0 คอขอใดตอไปน 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5

(x1, y1)

d

Ax + By + C = 0


10

6.2 ภาคตดกรวย 6.2.1 วงกลม วงกลม (circle ) คอเซตของจดทงหมดในระนาบทหางจากจดจดหนงทตรงอยกบทเปนระยะทางคงตว จดทตรงอยกบทนเรยกวา จดศนยกลาง (center) ของวงกลม และระยะทางคงตวดงกลาวเรยกวารศม (radius) ของวงกลม สมการวงกลมรปแบบมาตรฐานคอ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 เมอ (h , k) คอจดศนยกลางวงกลม r คอรศมวงกลม 21. วงกลมตอไปนมจดศนยกลาง ( C ) และรศม ( r ) ตรงกบขอใดตอไปน ก) (x , y) ( x – 3)2 + (y – 4)2 = 49 ข) (x , y) x2 + (y + 5)2 = 6 1. ก) C = (3 , 4) , r = 49 ข) C = (0 , –5) , r = 6 2. ก) C = (3 , 4) , r = 7 ข) C = (0 , –5) , r = 6 3. ก) C = (–3 , –4) , r = 49 ข) C = (0 , 5) , r = 6 4. ก) C = (–3 , –4) , r = 7 ข) C = (0 , 5) , r = 6

r

(h , k)


11

22. วงกลมตอไปนมจดศนยกลาง ( C ) และรศม ( r ) ตรงกบขอใดตอไปน ก) (x , y) x2 + y2 = 4 ข) (x , y) 4 x2 + 4 (y + 2)2 = 25 1. ก) C = (0 , 0) , r = 4 ข) C = (0 , –2) , r = 4

25 2. ก) C = (0 , 0) , r = 4 ข) C = (0 , 2) , r = 4

25 3. ก) C = (0 , 0) , r = 2 ข) C = (0 , –2) , r = 5

2 4. ก) C = (0 , 0) , r = 2 ข) C = (0 , 2) , r = 5

2

23. วงกลม ( x , y) x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 มจดศนยกลาง( C ) และรศม ( r ) ตรงกบ ขอใดตอไปน 1. C = (–3 , 2) , r = 4 2. C = (–3 , 2) , r = 8 3. C = (3 , –2) , r = 4 4. C = (3 , –2) , r = 8

24. วงกลม ( x , y) x2 + y2 + 4y = 0 มจดศนยกลาง( C ) และรศม ( r ) ตรงกบขอใด 1. C = (0 , –2) , r = 4 2. C = (0 , –2) , r = 2 3. C = (0 , 2) , r = 4 4. C = (0 , 2) , r = 2


12

ขนตอนการหาสมการวงกลม 1) หาคา h , k จากจดศนยกลางวงกลม และ r จากรศมวงกลม 2) น าคา h , k , r ทไดแทนคาลงในสมการวงกลมรปมาตรฐาน (x – h)2 + (y – k)2 = r2

25. จงหาสมการของวงกลมทมจดศนยกลางอยท ( 2 , –1 ) และรศมเทากบ 3 1. x2 + y2 – 4x + 2y + 4 = 0 2. x2 + y2 – 4x + 2y + 12 = 0 3. x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 4. x2 + y2 – 4x + 2y – 12 = 0 26(แนว Pat1) ให a , b และ c เปนจ านวนจรง ถาวงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0 มจดศนย กลางท (2 , 1) และมเสนตรง x – y + 2 = 0 เปนเสนสมผสวงกลมแลวa b cเทากบเทาใด 1. 4 2. 8 3. 10 4. 15


13

6.2.2 พาราโบลา พาราโบลา (parabola) คอเซตของจดทงหมดในระนาบซงหางจากจด F ทตรงอยกบจด

หนงและเสนตรง l ทตรงอยกบทอกเสนหนงเปนระยะทางเทากน จดทตรงอยกบทน เรยกวา โฟกส และเสนตรงทตรงอยกบทนเรยกวาเสนบงคบ หรอไดเรกตรกซ ของพาราโบลา สมการพาราโบลารปแบบมาตรฐานม 2 รปแบบ ไดแก

รปแบบท 1 (x – h)2 = 4 c (y – k) สมการแบบนเมอน าไปเขยนกราฟ จะได กราฟเปนรปเสนโคงเรยกเสนโคงพาราโบลาซง อาจจะหงายหรอคว ากได ขนกบคา c กลาวคอ ถา c มคาเปนบวกเสนโคงจะหงาย ถา c มคาเปนลบเสนโคงจะคว า เสนตรงทแบงครงรปในแนวดง เรยก แกนสมมาตร จดวกกลบของเสนโคงเรยก จดยอด (A) ซงหาพกดไดจาก จดยอด (A) = ( h , k ) จดบนแกนสมมาตรในพนทเสนโคงลอมหางจากจดวกกลบเปนระยะเทากบ c เรยกจดโฟกส ซงหาพกดไดจาก จดโฟกส (F) = ( h , k+c ) เสนตรงซงตงฉากกบแกนสมมาตรอยดานตรงกนขามกบจดโฟกสและหางจากจดวกกลบเปนระยะเทากบ c เรยกเสนบงคบ หรอไดเรกตรกซ ซงหาสมการเสนนไดจาก y = k – c เสนตรงทลากตงฉากแกนสมมาตรผานจดโฟกสไปยงเสนโคงพาราโบลาทงสองซก เรยกเลตสเรกตม ( latus rectum ) เสนนจะมความยาวเทากบ | 4 c | ความพเศษของพาราโบลาคอ ถาลากเสนตรงจากจดโฟกสไปตดเสนโคงพาราโบลา ณ.

จดใดๆ กได ใหเปนเสนตรง l1 แลวลากเสนตรงจากจดตดเสนโคงนไปต งฉากกบเสน

ไดเรกตรกซ ใหเปนเสนตรง l2 จะไดวาความยาวของเสนตรง l1 กบ l2 จะยาวเทากนเสมอ

แกนสมมาตร

เสนไดเรกตรกซ y = k – c

Y

X

จดโฟกส (F) = ( h , k+c )

จดยอด (A) = ( h , k )

เลตสเรกตม ยาว = | 4c |

k

c

c

k+c

k–c

h

l1

l2


14

รปแบบท 2 (y – k)2 = 4 c (x – h) สมการแบบนเมอน าไปเขยนกราฟ จะได กราฟเปนรปเสนโคงพาราโบลาซงอาจจะตะแคง เปดไปดานขวา หรอดานซายกได ขนกบคา c กลาวคอ ถา c มคาเปนบวกเสนโคงจะเปดขวา ถา c มคาเปนลบเสนโคงจะเปดซาย เสนตรงทแบงครงรปในแนวนอน เรยก แกนสมมาตร จดยอด (A) หาพกดไดจาก จดยอด (A) = ( h , k ) จดโฟกส (F) หาพกดไดจาก จดโฟกส (F) = ( h+c , k ) หาสมการไดเรกตรกซ ไดจาก x = h – c ความยาวเลตสเรกตม = | 4 c |

ฝกท า จงเตมค าลงในชองวางในรปตอไปนใหถกตอง

(x – h)2 = 4 c (y – k) (y – k)2 = 4 c (x – h)


ไดเรกตรกซ

F = ( h+c , k) A = ( h , k)

x = h – c

Y

X


k c c

h+c h–c h

แกน............... เสน...................

Y

X

จด..............

จด......................

เสน................

เส

เสน...................

จด............. จด..........

Y

X

เสน.....................

แกน....................


15

ฝกท า จงเขยนสตรในรปตอไปนใหถกตองและสมบรณ

(x – h)2 = 4 c (y – k) (y – k)2 = 4 c (x – h)

สรปเกยวกบสมการพาราโบลารปมาตรฐาน

รปแบบท 1 (x – h)2 = 4 c (y – k) รปแบบท 2 (y – k)2 = 4 c (x – h)

@ ถา c มคาเปนบวกเสนโคงจะหงาย ถา c มคาเปนลบเสนโคงจะคว า @ จดยอด (A) = ( h , k ) @ จดโฟกส (F) = ( h , k+c ) @ สมการเสนแรกตรกซหาจาก y = k – c @ ความยาวเลตสเรกตม = | 4 c |

@ ถา c มคาเปนบวกเสนโคงจะเปดขวา ถา c มคาเปนลบเสนโคงจะเปดซาย @ จดยอด (A) = ( h , k ) @ จดโฟกส (F) = ( h+c , k ) @ สมการไดเรกตรกซหาจาก x = h – c @ ความยาวเลตสเรกตม = | 4 c |


เสนไดเรกตรกซ y = k – c

Y

X

จดโฟกส (F) = ( h , k+c )

จดยอด (A) = ( h , k )


k

c

c

k+c

k–c

h

l1

l2


ไดเรกตรกซ

F = ( h+c , k) A = ( h , k)

x = h – c

Y

X


k c c

h+c h–c h

ไดเรกตรกซหาจาก.....................

Y

X

F = ..............

A = ....................

เลตสยาว = ........

ไดเรกตรกซหาจาก

F = .............. A = ..............

.......................

X

เลตสยาว = ........

Y


16

ฝกท า จงหาจดยอด จดโฟกส สมการไดเรกตก และความยาวเลตส จากสมการพาราตอไปน 1. ( x – 7 )2 = 12 ( y – 5 ) 2. y2 = 6 ( x + 4 ) 3. x2 = 8 y

สมการพาราโบลารปทวไปม 2 รปแบบ ไดแก รปแบบท 1 Ax2 + Dx + Ey + F = 0 รปแบบท 2 Cy2 + Dx + Ey + F = 0 จากสมการพาราโบลารปทวไปทงสองแบบนเราสามารถหาคาตางๆ ของพาราโบลาไดดงน วธท 1 เปลยนสมการจากรปทวไปใหเปนรปมาตรฐาน โดยใชวธก าลงสองสมบรณ แลวจงหาคาตางๆ ของพาราโบลาจากสมการรปมาตรฐานนน ดงแสดงในโจทยถดไป วธท 2 ใชสตรลดตอไปน จากสมการรปแบบท 1 Ax2 + Dx + Ey + F = 0 หาคา h ไดจาก h = A 2

D หาคา k ไดโดยแทนคา x ในสมการรปแบบท 1 ดวยคา h ทหามาได แลวแกสมการหาคา y คา k จะมคาเทากบคา y ทค านวณไดนนเสมอ


17

หาคา c ไดจาก c = A4 E

ถา c มคาเปนบวกเสนโคงจะหงาย , ถา c มคาเปนลบเสนโคงจะคว า สดทาย จดยอด (A) = ( h , k ) จดโฟกส (F) = ( h , k+c ) สมการเสนแรกตรกซหาจาก y = k – c ความยาวเลตสเรกตม = | 4 c | จากสมการรปแบบท 2 Cy2 + Dx + Ey + F = 0 หาคา k ไดจาก k = C 2

E หาคา h ไดโดยแทนคา y ในสมการรปแบบท 2 ดวยคา k ทหามาได แลวแกสมการหาคา x คา h จะมคาเทากบคา x ทค านวณไดนนเสมอ หาคา c ไดจาก c = C4

D ถา c มคาเปนบวกเสนโคงจะเปดขวา , ถา c มคาเปนลบเสนโคงจะเปดซาย สดทาย จดยอด (A) = ( h , k ) จดโฟกส (F) = ( h + c , k ) สมการเสนแรกตรกซหาจาก x = h – c ความยาวเลตสเรกตม = | 4 c |

ฝกท า จงหาจดยอด จดโฟกส สมการไดเรกตกและความยาวเลตส จากสมการพาราตอไปน 1. y2 – 6y – 4x – 3 = 0 2. 2x2 – 12x – 16y + 66 = 0


18

27. พาราโบลา y = 42x + x + A มกราฟผานจด (2 , 0) จดโฟกสของพาราโบลานคอ

1. ( –2 , –3) 2. ( –2 , 3) 3. ( 2 , –3) 4. ( 2 , 3) ขนตอนการหาสมการพาราโบลา

1) เขยนรปเสนโคงพาราโบลาคราวๆ แลวเลอกใชสมการมาตรฐาน โดย ถาเสนโคงคว าหรอหงายใหใชสมการ (x – h)2 = 4 c (y – k) ถาเสนโคงตะแคงใหใชสมการ (y – k)2 = 4 c (x – h)

2) หาคา h , k จากจดยอด และหาคา c ( c คอระยะหางจากจดยอดถงจดโฟกส หรอจากจดยอดไปตงฉากกบเสนไดเรกตรกซ ) ระวงวา ถากราฟคว า หรอ ตะแคงเปดซาย c จะมคาเปนลบ

ถากราฟหงาย หรอ ตะแคงเปดขวา c จะมคาเปนบวก 3) แทนคา h , k , c ลงในสมการมาตรฐานทเลอก แลวท าสมการใหอยในรปทวไป

28. สมการของพาราโบลาซงมจดยอดอยท (3 , 4) และจดโฟกสอยท (1 , 4) คอขอใดตอไปน 1. y2 + 8x – 8y – 8 = 0 2. y2 + 6x – 8y – 6 = 0 3. y2 + 8x – 8y + 8 = 0 4. y2 + 6x – 8y + 6 = 0


19

29. สมการของพาราโบลาซงมไดเรกตรก คอเสนตรง y = –4 และโฟกสอยทจด (2 , –2 ) คอ ขอใดตอไปน 1. x2 – 4x – 4y – 8 = 0 2. x2 – 8x – 8y – 8 = 0 3. x2 – 4x – 4y + 8 = 0 4. x2 – 8x – 8y + 8 = 0

30(แนว En) ให C เปนวงกลม x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0 มจดศนยกลางอยทจด ( h , k ) และมรศม r และ P เปนพาราโบลาซงม (h , k) เปนจดยอดและ x = r แลวจดในขอใด ตอไปนอยบน P 1. (6 , 0) 2. (4 , 0) 3. (0 , 6) 4. (0 , 4)


20

6.2.3 วงร วงร (ellipse ) คอเซตของจดทงหมดในระนาบซงผลบวกของระยะทางจากจดใดๆ ไปยงจด F1 และ F2 ทตรงอยกบทมคาคงตว โดยคาคงตวนตองมากกวาระยะหางระหวางจดทตรงอยกบททงสองจดนน จดสองจดทตรงอยกบทนเรยกวาโฟกส ของวงร สมการวงรรปแบบมาตรฐานม 2 รปแบบ ไดแก

รปแบบท 1 1 2b2)k y ( 2a

2) h x (

สมการแบบนเมอน าไปเขยนกราฟ จะไดกราฟเปนรปวงรวางตวยาวไปตามแนวราบ

เสนตรงทแบงครงรปตามแนวยาว เรยก แกนเอก ซงจะมความยาว = 2a เสนตรงทแบงครงรปตามแนวกวาง เรยก แกนโท ซงจะมความยาว = 2b จดตดแกนเอกและแกนโทจะเปนจดศนยกลางวงร ซงหาพกดไดจาก C = ( h , k ) ปลายแกนเอกทงดานซายและขวาจะอยหางจากจดศนยกลางเทากบ a เทากน เรยกจดปลายนวาจดยอด ซงหาพกดไดจาก A = ( h+a , k ) และ A/ = ( h–a , k ) ปลายแกนโททงดานบนและลางอยหางจากจดศนยกลางเทากบ b เทากน มจด 2 จดอยบนแกนเอกหางจากจดศนยกลางไปทางดานซายและขวาเทากบ c เทากน จดทงสองนเรยกจด โฟกส ซงหาพกดไดจาก F = ( h+c , k ) และ F/ = ( h–c , k ) เมอ c2 = a2 – b2 หากลากเสนตรงจากจดโฟกสแรก F ไปยงจดบนเสนโคงวงร ณ.จดใดๆ กได ใหเปน

เสนตรง l1 แลวลากเสนตรงจากจดตดเสนโคงนไปยงจดโฟกสทเหลอ F/ ใหเปนเสนตรง l2

จะไดวาความยาวของเสนตรง l1 + l2 จะมคาคงทเสมอ เรยกคาคงทนวาผลบวกคงตวซงจะมคาเทากบ 2a เสมอ

แกนเอก

แกนโท

C = ( h , k ) * * F/=( h–c , k ) F=( h+c , k ) A=( h+a , k ) A/=( h–a ,k)

X

l1 l2

Y


21

รปแบบท 2 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

สมการแบบนเมอน าไปเขยนกราฟ จะไดกราฟเปนรปวงรวางตวยาวตามแนวดง

@ แกนเอกขนานแกน y มความยาวเทากบ 2a @ แกนโทขนานแกน x มความยาวเทากบ 2b @ จดศนยกลาง = ( h , k) @ จดยอด A = ( h , k+a) และ A/ = ( h , k – a) @ จดโฟกส F = ( h , k+c) และ F/ = ( h , k – c) @ ผลบวกคงตว = 2 a

เกยวกบวงรทงสองแบบ

1. a2 b2 เสมอ 2. c2 = a2 – b2

เมอ c = ระยะหางจากจดศนยกลางถงโฟกส 3. ความเยองศนยกลาง (e) = ac

3.1 0 < e < 1 3.2 ถา e มคามาก วงรจะมความรมาก ถา e มคานอย วงรจะมความรนอย คอเกอบกลม

e = 0.95

e = 0.1

F/=( h , k–c )

F=( h , k+c )

A=( h , k+a )

A/=( h , k–a )

แกนเอก

แกนโท C=( h , k

*

*

X

Y


22

ฝกท า จงเตมค าลงในชองวางในรปตอไปนใหถกตอง

1 2b2)k y ( 2a

2) h x ( 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

สรปเกยวกบสมการวงรรปมาตรฐาน


2) h x ( รปแบบท 2 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

@ แกนเอกขนานแกน X ยาวเทากบ 2a @ แกนโทขนานแกน Y ยาวเทากบ 2b @ จดศนยกลาง C = ( h , k) @ จดยอด A = ( h + a , k) และ A/ = ( h – a , k) @ จดโฟกส F = ( h + c , k) และ F/ = ( h – c , k) @ ผลบวกคงตว = 2 a

@ แกนเอกขนานแกน Y ยาวเทากบ 2a @ แกนโทขนานแกน X ยาวเทากบ 2b @ จดศนยกลาง C = ( h , k) @ จดยอด A = ( h , k + a) และ A/ = ( h , k – a) @ จดโฟกส F = ( h , k + c) และ F/ = ( h , k – c) @ ผลบวกคงตว = 2 a

แกน........

แกน.......

* *จด......... จด......... จด......... จด......... จด......... แกน.....

แกน.......

จด.....

จด.....

จด.....

จด.....

จด.....

แกนเอก แกนโท

C = ( h , k ) F/=( h–c ,k ) F=( h+c ,k )

A=( h+a ,k ) A/=( h–a , k ) แกนเอก

แกนโท

A=( h , k+a )

A/=( h , k–a )

F/=( h , k–c )

F=( h , k+c )

C=( h , k)


23


1 2b2)k y ( 2a

2) h x ( 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

ฝกท า จากสมการวงรตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอดความยาวแกนเอก ความยาว แกนโท ผลบวกคงตวของระยะจากจดใดๆ ไปยงโฟกสทงสอง และความเยองศนยกลาง

1. 1 = 21025) (y + 28

23) (x 2. 16 x2 + 25 (y + 7)2 = 400

* *A/=........ F/=......... F=......... A=......... C = ……

A=.......

F=.......

F/=....... A/=.......

C=......


24

สมการวงรรปทวไป คอ Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 เมอ A.C > 0 จากสมการวงรรปทวไป สามารถเปลยนใหเปนรปมาตรฐานได 2 วธ ไดแก วธท 1 ใชก าลงสองสมบรณ ดงแสดงในโจทยตวอยางถดไป วธท 2 ใชสตรลดตามขนตอนตอไปน ขนท 1 หาจดศนยกลางวงร ( h , k) โดย h = A 2

D และ k = C 2E

ขนท 2 ตรวจสอบคา Ah2 + Ck2 – F ถา Ah2 + Ck2 – F < 0 สมการนไมใชสมการวงร ถา Ah2 + Ck2 – F > 0 สมการนเปนสมการวงร ขนท 3 กรณท 1 ถา A.C = Ah2 + Ck2 – F เขยนสมการรปมาตรฐานโดยไขวสมประสทธของ x2 (A) กบสมประสทธ ของ y2 (C) ไปเปนตวหารของเทอม (x – h)2 กบ (y – k)2 ดงน

1 A2) k y ( C

2) h x ( ควรเปรยบคาของ A กบ C วาคาไหนมากกวากน และ a2 = คาของตวทมากกวาของ A กบ C b2 = คาของตวทนอยกวาของ A กบ C

กรณท 2 ถา A.C Ah2 + Ck2 – F เขยนสมการรปมาตรฐานจะไดดงน 1

2) k y ( 2) h x (

CF2Ck2Ah

AF2Ck2Ah

ควรเปรยบคา

AF2Ck2Ah กบ

CF2Ck2Ah วาคาไหนมากกวากน

และ a2 = คาของตวทมากกวาของ

AF2Ck2Ah กบ

CF2Ck2Ah

b2 = คาของตวทนอยกวาของ

AF2Ck2Ah กบ

CF2Ck2Ah


25

ฝกท า จากสมการวงรตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอดความยาวแกนเอก ความยาว แกนโท ผลบวกคงตวของระยะจากจดใดๆ ไปยงโฟกสทงสอง และความเยองศนยกลาง 1. 9x2 + y2 – 18x – 6y + 9 = 0 2. 4x2 + 9y2 – 48x – 72y + 144 = 0

31(แนว En) พนทของสามเหลยมทมจดยอดเปนจดก าเนด และจดโฟกสทงสองของวงร x2 + 2y2 +4x – 4y – 2 = 0 มคาเทากบเทาใด


26

ขนตอนการหาสมการวงร 1) วาดรปวงรคราว ๆ แลวเลอกใชสมการวงรโดย

หากวงรวางตวอยในแนวนอนใชสมการ 1 2b2) k y ( 2a

2) h x (

หากวงรวางตวอยในแนวดงใชสมการ 1 2b2) h x ( 2a

2) k y (

2) ตองหาคา h , k ซงอาจหาไดจากจดศนยกลาง และคา a , b ซงอาจหาไดจาก ความยาวแกนเอก = 2a ความยาวแกนโท = 2b ผลบวกคงตว = 2a ความเยองศนยกลาง (e) = ac

c2 = a2 – b2

เมอ c คอระยะหางจากจดศนยกลางถงจดโฟกส 3) น าคา h , k , a , b แทนลงในสมการทเลอกใช แลวท าสมการใหอยในรปทวไป

32. สมการวงรซงมโฟกสหนงอยท (–8 , 1) แกนโทยาว 4 หนวย จดศนยกลางคอ (0 , 1) คอ ขอใดตอไปน 1. x2 + 17y2 – 34y – 51 = 0 2. x2 + 17y2 – 34y + 51 = 0 3. y2 + 17x2 – 34x – 51 = 0 4. y2 + 17x2 – 34x + 51 = 0


27

33. สมการวงรซงมจดโฟกสหนงอยท (3 , 3) จดศนยกลางอยบนแกน Y จดยอดหนงอยท (–5 , 3) คอขอใดตอไปน 1. 16x2 + 25y2 –150y – 50 = 0 2. 16x2 + 25y2 – 150y – 175 = 0 3. 16y2 + 25x2 –150x + 50 = 0 4. 16y2 + 25x2 – 150x + 175 = 0 34. สมการวงรซงมโฟกสอยท (0 , 2) และ (0 , –2) ผลบวกคงตวเทากบ 6 คอขอใดตอไปน 1. 5x2 + 9y2 – 45 = 0 2. 5x2 + 9y2 + 45 = 0 3. 5y2 + 9x2 – 45 = 0 4. 5y2 + 9x2 + 45 = 0


28

35(แนว PAT1) วงรรปหนงมโฟกสอยทจด (3 , 0) และผานจด (2 , 221 ) จดในขอใดตอไปน

อยบนวงรทก าหนด

1. (–4 , 0) 2. (0 , 225 ) 3. (6 , 0) 4.(0 , –3 2 )

6.2.4 ไฮเพอรโบลา ไฮเพอรโบลา (hyperbolae ) คอเซตของจดทงหมดในระนาบซงผลตางของระยะทางจากจดใดๆ ไปยงจด F1 และ F2 ทตรงอยกบทมคาคงตว โดยคาคงตวนตองนอยกวาระยะหางระหวางจดทตรงอยกบททงสอง จดสองจดทตรงอยกบทนเรยกวาโฟกส ของไฮเพอรโบลา สมการไฮเพอรโบลารปแบบมาตรฐานม 2 รปแบบ ไดแก


2) h x (

เมอเขยนกราฟ จะไดกราฟเปนรปไฮเพอรโบลาวางตวเปดไปตามแนวราบ

เสนตรงทแบงครงรปตามแนวขวางกลางรป เชอมระหวางจดวกกลบของเสนโคงทงสองดาน เรยก แกนตามขวาง ซงจะมความยาว = 2a

Y

X

เสนก ากบ

เสนก ากบ

C=( h , k )F/=( h–c , k ) F=( h+c , k ) A=( h+a , k ) A/=( h–a , k ) * *

แกนสงยค

แกนตามขวาง

l1 l2


29

เสนตรงทแบงครงรป และตงฉากกบแกนตามขวางเรยก แกนสงยค ซงจะมความยาว = 2b จดตดแกนตามขวางและแกนสงยคจะเปนจดศนยกลางไฮเพอรโบลา ซงหาพกดไดจาก C = ( h , k ) จดวกกลบของเสนโคงทงดานซายและขวาจะอยตรงปลายแกนตามขวาง หางจากจดศนยกลางเทากบ a เทากน เรยกจดยอด หาพกดไดจาก A = ( h+a , k ) และ A/ = ( h–a , k ) มจด 2 จดอยในแนวแกนตามขวางหางจากจดศนยกลางไปทางดานซายและขวาเทากบ c เทากน จดทงสองนเรยกจดโฟกส ซงหาพกดไดจาก F = ( h+c , k ) และ F/ = ( h–c , k ) เมอ c2 = a2 + b2 หากลากเสนตรงจากจดโฟกสแรก F ไปยงจดบนเสนโคงไฮเพอรโบลา ณ.จดใดๆ กได

ใหเปนเสนตรง l1 แลวลากเสนตรงจากจดตดเสนโคงนไปยงจดโฟกสทเหลอ F/ ใหเปน

เสนตรง l2 จะไดวา l1 – l2 จะมคาคงทเสมอ เรยกคาคงทนวาผลตางคงตวซงจะมคาเทากบ 2a เสมอ เสนทะแยงทลากผานจดศนยกลางไปสมผสเสนโคงไฮเพอรโบลาเรยกเสนก ากบ ซงหาสมการเสนก ากบไดจาก ( y – k ) = ab ( x – h )

รปแบบท 2 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

เมอเขยนกราฟ จะไดกราฟเปนรปไฮเพอรโบลาวางตวเปดไปตามแนวดง

แกนตามขวาง

X

Y

แกนสงยค

เสนก ากบ เสนก ากบ

* F/=( h , k–c

* F=( h , k+c )

A/=( h , k–a )

C=( h , k )

A=( h , k–a )


30

@ แกนตามขวางขนานแกน y มความยาวเทากบ 2a @ แกนสงยคขนานแกน x มความยาวเทากบ 2b @ จดศนยกลาง = ( h , k) @ จดยอด A = ( h , k+a) และ A/ = ( h , k–a) @ จดโฟกส F = ( h , k+c) และ F/ = ( h , k–c) @ ผลตางคงตว = 2 a @ สมการเสนก ากบหาไดจาก ( y – k ) = b

a ( x – h )

เงอนไขของสมการไฮเพอรโบลาทงสองกรณ c2 = a2 + b2 เมอ c = ระยะหางจากจดศนยกลางถงโฟกส ฝกท า จงเตมค าลงในชองวางในรปตอไปนใหถกตอง

1 2b2)k y ( 2a

2) h x ( 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

เสน...............

จด...............

แกน.......

แกน..............

เสน...............

จด............... จด...............

จด............... จด...............

เสน...............

จด...............

แกน.......

แกน..............

เสน...............

จด...............

จด...............

จด............... จด...............


31


1 2b2)k y ( 2a

2) h x ( 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

สรปเกยวกบสมการไฮเพอรโบลารปมาตรฐาน


2) h x ( รปแบบท 2 1 2b2) h x ( 2a

2)k y (

@ แกนตามขวางขนานแกน X ยาวเทากบ 2a @ แกนสงยคขนานแกน Y ยาวเทากบ 2b @ จดศนยกลาง C = ( h , k) @ จดยอด A = ( h + a , k) และ A/ = ( h – a , k) @ จดโฟกส F = ( h + c , k) และ F/ = ( h – c , k) @ ผลตางคงตว = 2 a @ สมการเสนก ากบ ( y – k ) = ab ( x – h )

@ แกนตามขวางขนานแกน Y ยาวเทากบ 2a @ แกนสงยคขนานแกน X ยาวเทากบ 2b @ จดศนยกลาง C = ( h , k) @ จดยอด A = ( h , k + a) และ A/ = ( h , k – a) @ จดโฟกส F = ( h , k + c) และ F/ = ( h , k – c) @ ผลตางคงตว = 2 a @ สมการเสนก ากบ ( y – k ) = b

a ( x – h )

C = ( h , k ) F/=( h–c ,k ) F=( h+c ,k )

A=( h+a ,k ) A/=( h–a , k )

A=( h , k+a )

A/=( h , k–a ) F/=( h , k–c )

F=( h , k+c )

C=( h , k)

A=....... F=.......

F/=....... A/=.......

C=...... A/=........

F/=......... F=......... A=.........

C = ……


32

เงอนไขของสมการไฮเพอรโบลาทงสองกรณ c2 = a2 + b2 เมอ c = ระยะหางจากจดศนยกลางถงโฟกส

ฝกท า จากสมการไฮเพอรโบลานจงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอด ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกนสงยค และ ผลตางคงตวของระยะจากจดใดๆ ไปยงโฟกสทงสอง

1. 1 = 2102) 5 (y

2823) (x 2. 16 y2 – 25 (x + 7)2 = 400

สมการไฮเพอรโบลารปทวไป คอ Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 เมอ A.C < 0 จากสมการวงรรปทวไป สามารถเปลยนใหเปนรปมาตรฐานได 2 วธ ไดแก วธท 1 ใชก าลงสองสมบรณ ดงแสดงในโจทยตวอยางถดไป วธท 2 ใชสตรลดตามขนตอนตอไปน ขนท 1 หาจดศนยกลางไฮเพอรโบลา ( h , k) โดย h = A 2

D และ k = C 2E

ขนท 2 ตรวจสอบคา Ah2 + Ck2 – F ถา Ah2 + Ck2 – F = 0 สมการนไมใชสมการไฮเพอรโบลา ถา Ah2 + Ck2 – F 0 สมการนเปนสมการไฮเพอรโบลา


33

ขนท 3 กรณท 1 ถา | A.C | = Ah2 + Ck2 – F เขยนสมการรปมาตรฐานโดยไขวสมประสทธของ x2 (A) กบสมประสทธของ y2 (C) (ไขวเฉพาะขนาดของ A , C เครองหมาย ไมตองไขว ) ไปเปนตวหารของเทอม (x – h)2 กบ (y – k)2 ดงน

1 A2) k y ( C

2) h x ( ควรเปรยบคาของ A กบ C วาคาไหนมคาเปนลบ และ a2 = ขนาดของตวทเปนบวกของ A กบ C b2 = ขนาดของตวทเปนลบของ A กบ C

กรณท 2 ถา | A.C | Ah2 + Ck2 – F เขยนสมการรปมาตรฐานจะไดดงน 1

2) k y ( 2) h x (

CF2Ck2Ah

AF2Ck2Ah

ควรเปรยบคา

AF2Ck2Ah กบ

CF2Ck2Ah วาคาไหนมากกวากน

และ a2 = ขนาดของตวทเปนบวกของ

AF2Ck2Ah กบ

CF2Ck2Ah

b2 = ขนาดของตวทเปนลบของ

AF2Ck2Ah กบ

CF2Ck2Ah

ฝกท า จากสมการไฮเพอรโบลาน จงบอกจดศนยกลาง ความยาวแกนตามขวาง แกนสงยค จดยอด จดโฟกส ผลตางคงตว และสมการเสนก ากบ

1. y2 – 6x2 + 2y + 36x = 59 2. 2x2 – 3y2 – 20x – 24y – 4 = 0


34

ขนตอนการหาสมการไฮเพอรโบลา 1) วาดรปวงรคราว ๆ แลวเลอกใชสมการไฮเพอรโบลาโดย

หากวงรวางตวอยในแนวนอนใชสมการ 1 2b2) k y ( 2a

2) h x (

หากวงรวางตวอยในแนวดงใชสมการ 1 2b2) h x ( 2a

2) k y (

2) ตองหาคา h , k ซงอาจหาไดจากจดศนยกลาง และคา a , b ซงอาจหาไดจาก ความยาวแกนตามขวาง = 2a ความยาวแกนสงยค = 2b ผลตางคงตว = 2a

c2 = a2 + b2 เมอ c คอระยะหางจากจดศนยกลางถงจดโฟกส 3) น าคา h , k , a , b แทนลงในสมการทเลอกใช แลวท าสมการใหอยในรปทวไป

36. สมการไฮเพอรโบลาซงมจดศนยกลาง (0 , 0) จดยอดหนง (–2 , 0) และจดโฟกสหนง (4 , 0) คอขอใดตอไปน 1. 3x2 – y2 – 4 = 0 2. 3x2 – y2 – 12 = 0 3. x2 – 3y2 – 4 = 0 4. x2 – 3y2 – 12 = 0


35

37. สมการไฮเพอรโบลาซงมจดศนยกลางอยทจด (–7 , 0) โฟกสหนงอยทจดก าเนดแกนตาม ขวางยาว 6 หนวย คอขอใดตอไปน 1. 40x2 – 9y2 + 560x + 40 = 0 2. 40x2 – 9y2 + 560x + 1600 = 0 3. 40x2 – 9y2 + 560x – 40 = 0 4. 40x2 – 9y2 + 560x – 1600 = 0 38. สมการไฮเพอรโบลาซงมจดยอดอยทจด (4 , 0) และ (4 , 4) แกนสงยคยาว 4 หนวย คอ ขอใดตอไปน 1. y2 – 4y – x2 + 8x + 8 = 0 2. y2 – 4y – x2 + 8x + 16 = 0 3. y2 – 4y – x2 + 8x – 8 = 0 4. y2 – 4y – x2 + 8x – 16 = 0


36

หลกการพจารณารปกราฟจากสมการ จากสมการในรป Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

1) ถา A และ C เปนศนยพรอมกน กราฟจะเปนรปเสนตรง 2) ถา A C = 0 เปนสมการพาราโบลา

3) ถา A = C เมอ A 0 และ C 0 เปนรปวงกลม 4) ถา A C และ AC > 0 เปนรปวงร

5) ถา A C และ AC < 0 เปนรปไฮเพอรโบลา

ฝกท า จงบอกวาสมการตอไปนเปนสมการของภาคตดกรวยรปใด 1. 25x2 + 16y2 – 100x + 96y – 156 = 0 2. 4x2 + 4y2 – 4x + 1 = 0 3. y2 + 2x – 6y + 9 = 0 4. 22x2 + 7y2 + 6 = 0 5. 2x2 – 4y2 + 6 = 0 6. 3y2 – 6x2 – 6x + 7y + 9 = 0


37

39. สมการเสนสมผสกราฟวงกลม x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 ท จด (6 , 0) คอขอใด ตอไปน 1. 4x + 3y + 24 = 0 2. 4x + 3y – 24 = 0 3. 3x + 4y + 24 = 0 4. 3x + 4y – 24 = 0 40. สมการเสนตรงทสมผสกราฟพาราโบลา y = x2 – 3x – 4 ทจด (2 , –6) คอขอใดตอไปน 1. y = x – 4 2. y = x – 8 3. y = x + 4 4. y = x + 8

41. สมการของเสนสมผสกราฟวงร 1 = 92x 25

2y ทจด 3 , 512 คอขอใดตอไปน 1. 60x + 27y + 225 = 0 2. 60x + 27y – 225 = 0 3. 60x + 27y + 500 = 0 4. 60x + 27y – 500 = 0


38

42. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = r = (x , y) x2 + y2 = 25 คอขอใดตอไปน 1. Dr = [–5 , 5] , Rr = [–5 , 5] 2. Dr = [0 , 5] , Rr = [–5 , 5] 3. Dr = [–5 , 5] , Rr = [ 0 , 5 ] 4. Dr = [0 , 5] , Rr = [0 , 5]

43. โดเมนและเรนจของความสมพนธ r = (x , y) y = 2x25 คอขอใดตอไปน 1. Dr = [–5 , 5] , Rr = [–5 , 5] 2. Dr = [0 , 5] , Rr = [–5 , 5] 3. Dr = [–5 , 5] , Rr = [ 0 , 5 ] 4. Dr = [0 , 5] , Rr = [0 , 5]


39

เฉลยบทท 6 เรขาคณตวเคราะห

1. ตอบขอ 1. 2. ตอบขอ 3. 3. ตอบขอ 1. 4. ตอบขอ 3. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 4. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 1. 10. ตอบขอ 3. 11. ตอบขอ 1. 12. ตอบขอ 3. 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบขอ 4. 15. ตอบขอ 1. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 1. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 2. 20. ตอบขอ 2. 21. ตอบขอ 2. 22. ตอบขอ 3. 23. ตอบขอ 3. 24. ตอบขอ 2. 25. ตอบขอ 3. 26. ตอบขอ 1. 27. ตอบขอ 1. 28. ตอบขอ 1. 29. ตอบขอ 1. 30. ตอบขอ 3. 31. ตอบ 2 32. ตอบขอ 1. 33. ตอบขอ 2. 34. ตอบขอ 3. 35. ตอบขอ 1. 36. ตอบขอ 2. 37. ตอบขอ 2. 38. ตอบขอ 4. 39. ตอบขอ 2. 40. ตอบขอ 2. 41. ตอบขอ 2. 42. ตอบขอ 1. 43. ตอบขอ 3.


40

ตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 6 เรขาคณตวเคราะห ชดท 1

6.1 ความรเบองตนเกยวกบเรขาคณตวเคราะห

6.1.1 ระยะทางระหวางจดสองจด

1(En 21) A , B และ C เปนจดยอดของรปสามเหลยม ทก าหนดใหดงรปโดยมดาน BC ขนานกบแกน X พนทของ ABC มคาเทากบ 1. 1 ตารางหนวย 2. 21 ตารางหนวย 3. 10 ตารางหนวย 4. หาไมได เพราะจดยอด A , B และ C บอกมาไมสมบรณ

6.1.2 จดกงกลางระหวางจดสองจด

2(มช 35) ก าหนด P(–1 , 0) , R(8 , 0) , S(0 , 6) เปนจดยอดของรปสามเหลยมรปหนง Q เปนจดกงกลางของดาน RS ใหPQ แทนความยาวของสวนของเสนตรง PQ จะได PQ เทากบขอใดตอไปน 1. 34 2. 18 3. 34 4. 25

6.1.3 จดซงแบงเสนตรงออกเปนอตราสวนตางๆ 6.1.4 การหาพนทรปหลายเหลยม 6.1.5 จดตดเสนมธยฐานของรปสามเหลยม

6.1.6 ความชนของเสนตรง

3(มช 35) ให A เปนจดตดของเสนตรง x = 2 และ y = 5 เสนตรง L ทมความชนเทากบ 12

ตดกบเสนตรง x = 2 ทจด B และตดกบเสนตรง y = 5 ทจด C(6 , 5) รปสามเหลยม ABC จะมพนทเทากบกตารางหนวย

A ( , 4) Y

X

C (4, –2) B (–3, )

0


41

6.1.7 เสนขนานและเสนตงฉาก 6.1.8 ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรง

4(En 38) ให A(–1 , 2) , B(3 , 0) และ C(5 , 4) เปนจดยอดท งสามของสามเหลยม ABC สมการของเสนตรงทมความชนเทากบ 1 และผานจดตดกนของเสนมธยฐานของ สามเหลยม ABC ตรงกบขอใดตอไปน 1. 3x – 3y – 1 = 0 2. 3x – 3y + 1 = 0 3. 3x – 3y – 2 = 0 4. 3x – 3y + 2 = 0

5(มช 37) ก าหนด L เปนเสนตรงทผานจด P (–5, 4) และ Q (–1, –2) จงหาสมการเสนตรง ทผานจดกงกลางของ P และ Q และตงฉากกบเสนตรง L 1. x + 3y + 0 = 0 2. 3x – 5y – 15 = 0 3. x + y – 6 = 0 4. 2x – 3y + 9 = 0

6(En 26) เสนตรงซงตงฉากและแบงครงสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจด (–1 , 3) และจด (5 , 7) คอกราฟของ 1. 2y + 3x – 8 = 0 2. 2y + 3x – 3 = 0

3. 2y + 3x – 16 = 0 4. 3 + 2x – 19 = 0

7(มช 34) ให L คอเสนตรง 3 (y – 1) = –2 (x – 2) จงหาสมการเสนตรงทตงฉากกบ L ม ระยะตดแกน Y เปน –2 1. 3x – 2y – 4 = 0 2. 3x – 2y – 8 = 0 3. 3x + 2y – 4 = 0 4. 3x + 2y – 8 = 0

8(En 21) จากรป L1 และ L2 เปนสวนของเสนตรงทตงฉากซงกนและกน ถา y = mx + c เปนสมการของเสนตรง L2 c จะมคาเทากบ

32 4.23 3.

23 2.32 1.

y

0

L2

(0.–3)

L1

(–2, 0) (1, 0) x


42

9(En 29) ก าหนดให L เปนเสนตรงทผานจด (1 , 6) และตงฉากกบเสนตรง 2x + 3y – 7 = 0 ผลบวกของระยะตดแกน X กบระยะตดแกน Y ของ L จะมคาเทากบ 1. – 3

5 2. 23 3. 2

25 4. 3 50

10(En 40) ใหเสนตรง 1 ผานจด (5 , 2) และ (1 , –6) เสนตรง 2 ผานจด (3 , –1) และม ความชน –1 ถา (a , b) เปนจดตดของเสนตรงทงสอง แลว a + b มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –2 2. –1 3. 1 4. 2

11(En41 ต.ค) ก าหนดให a เปนจ านวนจรง และ A(a , 1) , B(–5 , –4) , C(1 , –2) และ D(2 , 3) เปนจดยอดของรปสเหลยมดานขนาน ABCD ถา เปนเสนตรงทตงฉากกบ AC และ ผานจดกงกลางของดาน AC แลวสมการของเสนตรง คอสมการในขอใดตอไปน 1. 5x – 3y + 6 = 0 2. 5x – 3y – 6 = 0 3. 5x + 3y + 9 = 0 4. 5x + 3y – 9 = 0

12(En 36) ก าหนดให A (a , 3) , B (7 , –3) และ C (–4 , –2) เปนจดยอดของสามเหลยมทมมม A เปนมมฉาก ถา a > tan 60o แลวสมการเสนตรงทผานจด A และ C คอขอใดตอไปน 1. x – y + 2 = 0 2. 5x – 6y + 8 = 0 3. 5x – 4y + 12 = 0 4. 7x – 5y + 18 = 0

6.1.9 ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด และระยะหางระหวางเสนตรงทขนานกน

13(มช 34) ให L คอ เสนตรง 3x – 4y + 12 = 0 และ P มโคออรดเนต (3, 2) ก. ระยะหางระหวางเสน L กบจด P คอ……………… ข. สมการเสนตรงทผานจด P และขนานกบ L คอ…………….

1. ก) 2.6 หนวย ข) 3x–4y–1 = 0 2. ก) 2.5 หนวย ข) 3x–4y–1 = 0 3. ก) 2.4 หนวย ข) 3x–4y–1 = 0 4. ก) 2.3 หนวย ข) 3x–4y–1 = 0

14(En48 ม.ค.) ขอใดตอไปน ผด 1. เสนตรง y = 3x + 2 ขนานกบเสนตรง 3x – y – 4 = 0 2. เสนตรง y + 5x + 8 = 0 ตงฉากกบเสนตรง 5y = x + 3


43

3. ระยะหางระหวางจด (0 , 0) กบเสนตรง 3x + 4y – 10 = 0 เทากบ 2 4. ระยะหางระหวางเสนตรง x – 2y + 5 = 0 กบเสนตรง x – 2y – 5 = 0 เทากบ 2

6.2 ภาคตดกรวย

6.2.1 วงกลม 15(En 37) ถา O เปนจดก าเนด และ P เปนจดศนยกลางของวงกลม x2 + 4x + y2 – 8y + 11 = 0 แลวสมการของเสนตรง OP และสมการของวงกลมทม OP เปนเสนผานศนยกลาง คอขอใดตอไปน 1. y = 4x และ x2 + 2x + y2 – 4y = 10 2. y = –4x และ x2 + 2x + y2 – 2y = 0 3. y = 2x และ x2 + 2x + y2 – 4y = 10 4. y = –2x และ x2 + 2x + y2 – 4y = 0

16(En 35) เสนตรง ผานจดศนยกลางของวงกลม x2 – 2x + y2 + 10y – 39 = 0 และ ขนานกบเสนสมผสของวงกลมนทจด (2 , 3) แลวจดในขอใดตอไปนอยบนเสนตรง 1. (4 , – 8

43 ) 2. (5 , – 29 ) 3. (2 , –13) 4. (3 , –11)

17(แนว Pat1) ให a , b และ c เปนจ านวนจรง ถาวงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0 มจดศนยกลางท (2 , 1) และมเสนตรง x – y + 2 = 0 เปนเสนสมผสวงกลม แลว 2a – b + 2c เทากบเทาใด 1. 5 2. 10 3. 13 4. 15

18(แนว Pat1) วงกลมรปหนงมจดศนยกลางอยทจด (2 , 1) ถาเสนสมผสวงกลมทจด x = 1 เสนหนงมความชนเทากบ 3

1 แลวจดในขอใดตอไปนอยเสนรอบวงของวงกลมทก าหนด

1. (3 , 0) 2. (1 , 0) 3. (0 , 1) 4. (0 , 3)

19(En44 ม.ค) ก าหนดให เปนเสนตรงทผานจด (1 , 4) และมความชนเทากบ 43 ถา

เสนตรง สมผสวงกลม C ซงมจดศนยกลางทจด (1 , 2) แลวจดใดตอไปนเปนจดบน วงกลม C 1. (1 , 52 ) 2. (1 , 5

16 ) 3. ( 513 , 2) 4. ( 5

3 , 2)


44

20(En 26) วงกลมวงหนงสมผสกบเสนตรง 2x – y + 1 = 0 ทจด (2 , 5) และจดศนยกลางของ วงกลมนอยบนเสนตรง x + y = 9 วงกลมนมสมการ 1. x2 + y2 – 6x – 6y + 25 = 0 2. x2 + y2 – 12x – 6y + 209 = 0 3. x2 + y2 – 12x – 6y + 25 = 0 4. 9x2 + 9y2 – 60x – 102y + 209 = 0

21(แนว Pat1) เสนตรง L1 และ L2 สมผสวงกลม (x – 5)2 + y2 = 20 ทจด P และ Q ตามล าดบ และจดศนยกลางของวงกลมอยบนเสนตรงทผานจด P และ Q ถา L1 ม สมการเปน x – 2y + 5 = 0 แลวจดในขอใดตอไปนอยบนเสนตรง L2 1. (0 , 5) 2. (8 , 0) 3. (0 , –8) 4. (15 , 0)

\22(En 38) ก าหนดให L เปนเสนตรงทมความชนเปน – 34 ผานจดศนยกลางของวงกลม

x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 และตดวงกลมทจด A และ B ถาจด C มพกดเปน (–1 , –2) แลวพนทสามเหลยม ABC เทากบขอใดตอไปน 1. 3

5 2. 3 3. 9 4. 635

23(แนว Pat1) ก าหนดให A = { (x , y) x2 + y2 = 1} และ B = { (x , y) x2 + y2 – 10x – 10y + 49 = 0} ถา p A และ q B แลว ระยะหางทเปนไปไดมากทสดระหวางจด p และ q เทากบ ขอใดตอไปน 1. 5 2 หนวย 2. 2+5 2 หนวย 3. 2 5 หนวย 4. 5+2 5 หนวย

6.2.2 พาราโบลา

24(แนว Pat1) จดยอดของพาราโบลา y2 + 2y – x – 2 = 0 อยหางจากเสนตรง y = 3x เทากบ 1. 10

1 2. 102 3. 10

4 4. 108

25(แนว Pat1) ระยะหางระหวางจดโฟกสของพาราโบลา y2 = –8 x กบเสนตรง 2x – y – 6 = 0 เทากบขอใดตอไปน

1. 2 5 หนวย 2. 5 2 หนวย 3. 52 หนวย 4. 5

2 หนวย


45

26(มช 31) ถา AD เปนเสนมธยฐานเสนหนงของสามเหลยมทมจดยอดอย ท A(2 , 8) , B(0 , 0) C(6 , 2) แลวระยะทางระหวางจด D และจดโฟกสของพาราโบลา (x – 1)2 = 16(y – 1) คอ 1. 1 2. 5 3. 2 4. 2 5

27(En 38) ขอใดตอไปนเปนสมการของเสนตรงทผานจด (1 , 6) และผานจดโฟกสของพารา- โบลา y2 – 4y – 4x = 8 1. 3x – 4y + 21 = 0 2. 4x – 3y + 14 = 0 3. 7x + 2y – 19 = 0 4. 2x + 7y – 44 = 0

28(En48 ม.ค.) ก าหนดใหพาราโบลารปหนงมสมการเปน y2 – 4y – 16 x – 12 = 0 ถา เปนเสนตรงทผานโฟกสของพาราโบลารปน และตงฉากกบเสนตรง 3x – 2y + 5 = 0 แลวระยะตดแกน Y ของเสนตรง มคาเทากบเทาใด

29(แนว Pat1) เสนตรงเสนหนงผานจดก าเนด และจดยอดของพาราโบลา y2 – 4y + 4x = 0 และตดเสนไดเรกตรกซทจด (p , q) แลว 5p – q มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

30(En44 ต.ค) ก าหนดให P เปนพาราโบลา y2 – 2y – 8x – 7 = 0 ซงม l เปนเสน ไดเรกตรกซ สมการวงกลมซงมจดศนยกลางอยทจดโฟกสของ P และม l เปนเสนสมผส คอขอใดตอไปน

1. x2 + y2 + 2x – 2y – 14 = 0 2. x2 + y2 + 2x – 2y – 2 = 0

3. x2 + y2 + 2x + 2y – 2 = 0 4. x2 + y2 – 2x – 2y – 14 = 0

31(En 35) ให P เปนพาราโบลาซงมจด (1 , 3) เปนจดโฟกส และเสนตรง x = –5 เปน ไดเรกตรกซ ถาเสนตรงซงลากผานจดโฟกสขนานกบไดเรกตรกซไปตด P ทจด A และ จด B แลวสมการของวงกลมทม AB เปนเสนผานศนยกลางคอขอใดตอไปน

1. x2 + y2 – 2x – 6y – 26 = 0 2. x2 + y2 – 2x – 6y – 39 = 0

3. x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0 4. x2 + y2 – 2x – 6y – 6 = 0


46

32(แนว Pat1) วงกลม C มจดศนยกลางทจดก าเนด และผานจดโฟกสของพาราโบลาซงม สมการเปน (x – 2)2 = 8y โดยเสนไดเรกตรกซของพาราโบลาตดวงกลม C ทจด P และ จด Q ถาจด R อยทบนพาราโบลาและอยหางจากจดโฟกสเปนระยะทาง 3 หนวยแลว สามเหลยม PQR มพนทเทากบขอใดตอไปน 1. 6 หนวย 2. 8 หนวย 3. 10 หนวย 4. 12 หนวย

33(En42 ต.ค.) ถา A เปนจดบนวงกลม x2 + y2 + 4x – 6y + 11 = 0 ซงอยใกลกบจดโฟกส F ของพาราโบลา x2 – 12x + 4y + 52 = 0 มากทสด แลวระยะระหวางจด A กบ F มคา เทากบขอใดตอไปน

1. 7 2 2. 8 2 3. 7 2 – 2 4. 8 2 – 2

34(มช 39) จงหาสมการพาราโบลาทมจดยอดอยทจดศนยกลางของวงกลม x2 – 4x + y2 + 2y + 4 = 0 และโฟกสอยทจด (2 , 1) 1. x2 – 4x + 8y + 12 = 0 2. x2 + 2x – 8y + 17 = 0 3. x2 + 2x + 8y – 15 = 0 4. x2 – 4x – 8y – 4 = 0

35(En 36) สมการพาราโบลาซงมเสนตรง y = 5 เปนเสนไดเรกตรกซ และมโฟกสอยทจด ศนยกลางของวงกลม x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0 คอขอใดตอไปน 1. x2 – 6x + 12 y – 15 = 0 2. x2 – 6x – 12y + 33 = 0 3. x2 – 6x + 12y + 21 = 0 4. x2 – 6x – 12y – 3 = 0

36(En43 ม.ค.) ให C เปนวงกลม x2 + y2 – 2x –4y – 20 = 0 มจดศนยกลางอยทจด (h , k) และมรศม r สมการพาราโบลาซงม (h , k) เปนจดยอด และ x = r เปนสมการ ไดเรกตรกซคอขอใดตอไปน 1. y2 –4y + 20x –16 = 0 2. y2 + 4y – 16x –12 = 0 3. y2 –4y + 16x –12 = 0 4. y2 – 4y + 16x –14 = 0

37(แนว Pat1) พาราโบลามจดยอดท (–1 , 0) และมจดก าเนดเปนโฟกส ถาเสนตรง y = x – 2 ตดพาราโบลาทจด P และจด Q แลวระยะทางระหวางจด P กบจด Q เทากบเทาใด 1. 6 2 2. 8 2 3. 6 4. 8


47

6.2.3 วงร

38(En 23) ก าหนดสมการวงร 2022) (y 36

21) (x = 1 จดโฟกสทงสองของวงรนอยทจด 1. (–5 , –2) และ (7 , –2) 2. (–4 , –2) และ (4 , –2) 3. (–3 , –2) และ (5 , –2) 4. (–3 , 2 ) และ (5 , 2)

39(มช 32) 4x2 + 2y2 + 4x + 4y – 5 = 0 เปนสมการของวงรทมจดศนยกลางอยท……….. และแกนเอกยาวเทากบ…………..… 1. (– 1

2 , –1 ) กบ 4 2. ( 12 , –1 ) กบ 4

3. (– 12 , 1 ) กบ 8 4. ( 1

2 , 1 ) กบ 8

40(มช 34) จดโฟกสของวงร x2 + 2y2 – 4y = 0 อยหางจากจด (0 , 2) เปนระยะเทากบ…. 1. 2 2. 2 3. 2 2 4. 4

41(En 39) เสนตรงทผานจดศนยกลางของวงร 4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0 และตง ฉากกบเสนตรง 3x + 4y = 5 มสมการเปนขอใดตอไปน 1. 4x – 3y + 12 = 0 2. 4x – 3y – 12 = 0 3. 4x – 3y – 36 = 0 4. 4x – 3y + 36 = 0

42(En42 ต.ค.) พนทของสามเหลยมทมจดยอดเปนจดก าเนด และจดโฟกสทงสองของวงร x2 + 2y2 + 4x – 4y – 2 = 0 มคาเทากบกตารางหนวย

43(En 37) ระยะหางระหวางเสนคขนานทท ามม 45o กบแกน X และผานจดโฟกสทงสอง ของวงร x2 – 4x + 3y2 – 2 = 0 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2 2. 4 2 3. 2 4. 4

44(มช 31) วงกลมทสมผสกบเสนตรง 4x – 3y + 10 = 0 และมจดศนยกลางรวมกบวงร (x – 5)2 + 2 (y – 5)2 = 10 จะมสมการเปนขอใด

1. x2 + y2 – 10x – 10y – 9 = 0 2. x2 + y2 – 10x – 10y + 41 = 0

3. x2 + y2 – 10x – 10y + 25 = 0 4. x2 + y2 + 10x + 10y + 41 = 0


48

45(แนว Pat1) วงกลมวงหนงมจดศนยกลางอยทจดศนยกลางของวงรทมสมการเปน 9x2 + 4y2 – 36x – 24y + 36 = 0 ถาวงกลมวงนสมผสกบเสนตรงทผานจด (1 , 3) และ (5 , 0) แลวรศมของวงกลมวงนเทากบขอใดตอไปน 1. 5

3 2. 54 3. 87 4. 13

9

46(En42 ม.ค.) วงรวงหนงมจดศนยกลางท (3 , 1) จดโฟกสจดหนงท (5 , 1) และสมผสแกน Y ทจด (0 , 1) สมการของวงกลมทมจดศนยกลางท (–2 , 1) และมรศมเทากบครงหนงของความ ยาวแกนโทของวงรคอขอใดตอไปน 1. x2 + y2 + 4x – 2y = 0 2. x2 + y2 + 4x – 2y – 1 = 0

3. x2 + y2 + 4x – 2y –4 = 0 4. x2 + y2 + 4x – 2y – 15 = 0

47(มช 38) พาราโบลาซงมไดเรกตรกซคอเสนตรง x = 4 และมจดยอดอยทจดศนยกลางของ วงร x2 + 2y2 – 2x + 8y = 0 จะมสมการตรงกบขอใด 1. y2 + 4y + 12x 8 = 0 2. y2 + 4y – 12x + 16 = 0

3. x2 – 2x + 12y + 25 = 0 4. x2 – 2x – 12y – 23 = 0

48(En41 ต.ค.) สมการของพาราโบลาทมจดยอดเปน (0 , –1) และผานจดโฟกสทงสองของวงร 3x2 + 4y2 – 16y + 4 = 0 ผานจดในขอใดตอไปน

1. ( 32 , 1) 2. ( 2

3 , 1) 3. ( 21 , 0) 4. ( 3

1 , 0)

49(En 40) สมการของพาราโบลาทมแกนพารา (แกนสมมาตร) อยบนแกน X มจดยอดอยทจด ก าเนด และผานจดโฟกสทงสองของวงร 4x2 + 3y2 – 16x + 4 = 0 คอสมการในขอใด 1. y2 = x 2. y 2 = 4x 3. 2y2 = x 4. 8y2 = x

50(En48 ม.ค.) ก าหนดใหเสนตรง x = y ตดวงร 4

21 y 921 x = 1 ทจด A และ B

ถา F1 และ F2 เปนจดโฟกสของวงรน แลว AF1 + AF2 + BF1 + BF2 มคาเทากบเทาใด

51(มช 31) วงรทมจดโฟกสอยท (5 , –3) และ (–1 , –3) และผานจด (2 , 1) จะจดยอดเปน..… 1. (7 , –3) , (–3 , –3) 2. (7 , 3) , (–3 , 3) 3. (–7 , –3) , (3 , –3) 4. (–7 , 3) , (3 , 3)

A


49

52(En41 เม.ย.) ให A และ B เปนจดโฟกสและจดยอด (ตามล าดบ) ของพาราโบลา x2 – 8x + 4y + 4 = 0 ถาวงรมจดศนยกลางอยท A และจดโฟกสจดหนงอยท B โดยท จดยอดจดหนงอยบนเสนตรง y = 4 แลวสมการวงรคอขอใดตอไปน

1. (x – 4)2 + 222)(y = 1 2. 2

24)(x + (y –2)2 = 1

3. 324)(x + 4

22)(y = 1 4. 424)(x + 3

22)(y = 1

53(แนว Pat1) วงรรปหนงมโฟกสอยทจด (3 , 0) และผานจด (2 , 221 ) จดในขอใด

ตอไปนอยบนวงรทก าหนด

1. (–4 , 0) 2. (0 , 225 ) 3. (6 , 0) 4. (0 , –3 2 )

54(แนว Pat1) วงร E มโฟกสทงสองอยบนวงกลม C ซงมสมการเปน x2 + y2 = 1 ถา E สมผสกบ C ทจด (1 , 0) แลวจดในขอใดตอไปนอยบนวงร E 1. ( 2

1 , 23 ) 2. ( 2

1 , 25 ) 3. ( 3

1 , 32 ) 4. ( 3

1 , 34 )

55(En46 ม.ค) ให E เปนวงรซงผลบวกของระยะทางจากจดใดๆ บนวงร E ไปยงจด (–3 , 2) และ (5 , 2) เทากบ 12 หนวย ถา A และ B เปนจดยอดของวงร E และวงร E ตดแกน Y ทจด C และ D แลวพนทของรปสเหลยม ABCD เทากบขอใดตอไปน

1. 10 5 ตารางหนวย 2. 20 5 ตารางหนวย

3. 10 7 ตารางหนวย 4. 20 7 ตารางหนวย

56(แนว Pat1) ถา k , และ m เปนจ านวนจรงทท าใหวงร kx2 + y2 – 72x –24y + m = 0 มจดศนยกลางอยทจด (4 , 3) และสมผสแกน Y แลวขอใดตอไปนถก

1. ความยาวแกนเอกเทากบ 8 หนวย 2. ความยาวแกนโทเทากบ 5 หนวย 3. ระยะหางระหวางจดโฟกสทงสองเทากบ 54 หนวย 4. จด (2 , 6) อยบนวงร


50

6.2.4 ไฮเพอรโบลา

57(En 23) ถาจด (h , k) เปนจดกงกลางระหวางจดยอดทงสองของไฮเพอรโบลา ซงมสมการ x2 – 4y2 + 24y – 32 = 0 ดงนนจด (h , k) คอ 1. (0 , 3) 2. (0 , –3) 3. (3, 0) 4. (–3, 0)

58(En 32) ถาภาคตดกรวยมสมการเปน 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0 แลวระยะทาง จากโฟกสถงเสนตรง 2x + 3y – 5 = 0 เทากบเทาใดตอไปน

1. 131 และ

1319 2.

136 และ

1324

3. 139 และ

1311 4.

1314 และ

1316

59(มช 33) จงหาสมการเสนตรงทลากผานจดศนยกลางของไฮเพอรโบลา x2 – 4y2 + 2x = 35 และตงฉากกบเสนตรง y = 2x 1. x + 2y + 1 = 0 2. x + 2y + 5 = 0 3. 2x + y + 1 = 0 4. 2x + y + 5 = 0

60(มช 38) จงหาสมการเสนตรงทตงฉากกบแกน X และผานจดโฟกสทอยควอดรนตทหนง ของไฮเพอรโบลา 2 (x – 1)2 – (y – 1)2 = 6 1. x = 2 2. x = 4 3. x = 6 4. x = 8

61(En47 ต.ค.) ก าหนดให A เปนจดๆ หนงบนไฮเพอรโบลา 11622y

921x ถา

ระยะหางระหวางจด A และจดโฟกสจดหนงของไฮเพอรโบลา คอ 3 หนวยแลว ระยะหางระหวางจด A กบจดโฟกสอกจดหนงของไฮเพอรโบลา มคาเทากบกหนวย

1. 9 2. 8 3. 4 4. 5

62(แนว Pat1) ถาเสนก ากบของไฮเพอรโบลา 16x2 – 9y2 + 3x + 36y = 164 ตดแกน X ท จด x1 , x2 แลวระยะหางระหวาง x1 , x2 ยาวกหนวย 1. 1 2. 3 3. 7 4. 10


51

63(En 36) ผลบวกของระยะทางจากจดโฟกสทงสองของไฮเพอรโบลา 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0 ไปยงเสนตรง 3x + 4y – 8 = 0 มคาเทาใด 1. 6 2. 8 3. 4 4. 5

64(En41 เม.ย.) ก าหนดให F เปนจดโฟกสในควอดรนตทหนงของไฮเพอรโบลา 4x2 – 5y2 – 8x + 20y – 36 = 0 วงกลมซงมจดศนยกลางอยท F และสมผสแกน X ม สมการเปนขอใดตอไปน

1. x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 2. x2 + y2 – 4x – 4y + 8 = 0 3. x2 + y2 – 8x – 4y + 4 = 0 4. x2 + y2 – 8x – 4y + 16 = 0

65(En42 ม.ค.) ถาไฮเพอรโบลา H มสมการเปน 16x2 – 64x – 9y2 – 80 = 0 แลววงรทมจด ยอดอยทจดโฟกสทงสองของ H และมแกนโทคอแกนสงยคของ H มสมการเปนขอขอใด ตอไปน 1. 16x2 – 64x + 25y2 – 464 = 0 2. 16x2 – 64x + 25y2 – 336 = 0 3. 25x2 – 100x + 16y2 – 464 = 0 4. 25x2 – 100x + 16y2 – 336 = 0

66(แนว Pat1) ใหวงร E มโฟกสอยทจดยอดของไฮเพอรโบลา x2 – y2 = 1 ถา E ผานจด (0 , 1) แลวจดในขอใดตอไปนอยบนวงร E

1. (1, – 22 ) 2. (1, 2 ) 3. (1, – 2

1 ) 4. (1, 23 )

67(En 38) ไฮเพอรโบลาทมจดยอดท (3 , 2) และ (3 , –4) โฟกสท (3 , –6) มสมการตรงกบ ขอใดตอไปน

1. 9

23 x 16

21 +y = 1 2. 9

23 x 16

21 y = 1

3. 16

23 x 9

21 y = 1 4. 16

23 x 9

21 y = 1

68(มช 31) ไฮเพอรโบลาทมความยาวของแกนสงยคเปน 6 และมจดยอดอย แกน Y จดยอดร เปนจดปลายทงสองเสนผานศนยกลางของวงกลม x2 + (y – 5)2 = 25 จะมสมการเปน

1. 1 92x

2525)(y 2. 1 36

2x25

25)(y

3. 1 2525)(y

92x 4. 1 25

25)(y362x


52

69(En 37) ก าหนดให E เปนวงรซงมสมการเปน 6x2 + 5y2 + 12x – 20y – 4 = 0 และ H เปนไฮเพอรโบลาซงมจดศนยกลางรวมกบ E มจดยอดทบจดโฟกสของ E และมความ ยาวแกนสงยคเทากบความยาวแกนโทของ E ขอใดตอไปนคอสมการของไฮเพอรโบลา H 1. x2 – 5y2 – 2x – 20y + 14 = 0 2. x2 – 5y2 + 2x + 20y – 14 = 0 3. x2 – 5y2 + 2x + 20y – 18 = 0 4. 5x2 – y2 – 2x + 20y + 18 = 0

70(En45 ต.ค) ถาไฮเพอรโบลา H มจดศนยกลางอยทจดศนยกลางของวงร 4x2 + 9y2 – 8x – 36y + 4 = 0 จดยอดอยทจดโฟกสทงสองจดของวงรน และผาน จด (5 , 5) แลวจดโฟกสของไฮเพอรโบลา H คอจดในขอใดตอไปน 1. 1 – 11

7 , 2 และ 1 + 117 , 2

2. 1 – 118 , 2 และ 1 + 11

8 , 2

3. 1 – 119 , 2 และ 1 + 11

9 , 2

4. 1 – 1110 , 2 และ 1 + 11

10 , 2

71(En 35) ก าหนดให R เปนเซตของจ านวนจรง ถา r = {(x , y) R x R 9x2 + 4y2 –18x + 16y – 11 = 0} แลว Dr Rr เทากบขอใด

ตอไปน 1. [–1 , 3] 2. [–5 , 1] 3. [–1 , 1] 4. [–5 , 3]

72(แนว Pat1) ก าหนดให S = [–2 , 2] และ r = {(x , y) S x S x2 + 2y2 = 2} ชวงในขอใดตอไปนไมเปนสบเซตของ Dr – Rr 1. (–1.4 , –1.3) 2. (–1.3 , –1.2) 3. (1.2 , 1.4) 4. (1.4 , 1.5)


53

เฉลยตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 6 เรขาคณตวเคราะห ชดท 1

1. ตอบขอ 2. 2. ตอบขอ 1. 3. ตอบ 4 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 4. 6. ตอบขอ 3. 7. ตอบขอ 1. 8. ตอบขอ 1. 9. ตอบขอ 2. 10. ตอบขอ 4 11. ตอบขอ 1. 12. ตอบขอ 2. 13. ตอบขอ 1. 14. ตอบขอ 2. 15. ตอบขอ 4. 16. ตอบขอ 1. 17. ตอบขอ 1. 18. ตอบขอ 3. 19. ตอบขอ 1. 20. ตอบขอ 3. 21. ตอบขอ 4. 22. ตอบขอ 3. 23. ตอบขอ 2. 24. ตอบขอ 4. 25. ตอบขอ 1. 26. ตอบขอ 4. 27. ตอบขอ 2. 28. ตอบ 4 29. ตอบขอ 3. 30. ตอบขอ 4. 31. ตอบขอ 1. 32. ตอบขอ 1. 33. ตอบขอ 1. 34. ตอบขอ 4. 35. ตอบขอ 1. 36. ตอบขอ 3. 37. ตอบขอ 2. 38. ตอบขอ 3. 39. ตอบขอ 1. 40. ตอบขอ 2. 41. ตอบขอ 2. 42. ตอบ 2 43. ตอบขอ 1. 44. ตอบขอ 2. 45. ตอบขอ 1. 46. ตอบขอ 1. 47. ตอบขอ 1. 48. ตอบขอ 1. 49. ตอบขอ 3. 50. ตอบ 12 51. ตอบขอ 1. 52. ตอบขอ 3. 53. ตอบขอ 1. 54. ตอบขอ 4. 55. ตอบขอ 4. 56. ตอบขอ 3. 57. ตอบขอ 1. 58. ตอบขอ 1. 59. ตอบขอ 1. 60. ตอบขอ 2. 61. ตอบขอ 2. 62. ตอบขอ 2. 63. ตอบขอ 1. 64. ตอบขอ 4. 65. ตอบขอ 2. 66. ตอบขอ 1. 67. ตอบขอ 4. 68. ตอบขอ 1. 69. ตอบขอ 2. 70. ตอบขอ 4. 71. ตอบขอ 3. 72. ตอบขอ 4.


54

สรปเขมคณตศาสตร เลม 3 http://www.pec9.com บทท 7 ฟงกชนเอกซโปแนนเชยลและลอการทม

1

บทท 7 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม

7.1 เลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนตรรกยะ บทนยำม ถา a เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวกแลว an = a . a . a . a ……… a a0 = 1 เมอ a ≠ 0 a– n = na

1 เมอ a ≠ 0

เรยก an วาเลขยกก าลง เรยก a วาฐานของเลขยกก าลง เรยก n วาเลขชก าลง

เชน 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3

บทนยำม ถา a เปนจ านวนจรง และ p , q เปนจ านวนเตมท (p , q) = 1 , q > 0

และ q1a R โดยเมอ p < 0 แลว a ตองไมเปน 0

qpa = ( q1a ) p

ทฤษฏบท ให m , n เปนจ านวนตรรกยะ และ am , an , bn เปนจ านวนจรง จะได 1. am . an = am+n

2. nama = am–n เมอ a ≠ 0

3. (am)n = am n 4. (a.b)n = an . bn

5. nba =

nbna เมอ b ≠ 0

กฏเกยวกบเลขยกก ำลง (เพมเตม) (x2 – y2) = (x – y) (x + y) ผลตางก าลง 2 (x3– y3) = (x – y) (x2 + xy+ y2) ผลตางก าลง 3 (x3 + y3) = (x + y) (x2 – xy+ y2) ผลบวกก าลง 3

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

ก าลงสองสมบรณ

n ตว


2

7.2 รำกท n ในระบบจ ำนวนจรงและจ ำนวนจรงในรปกรณฑ

บทนยำม เมอ n เปนจ านวนเตมบวกทมากกวา 1 a และ b เปนจ านวนจรง แลว รากท n ของ a จะเทากบ b กตอเมอ bn = a

นนคอ n a = b กตอเมอ bn = a

เชน 2 25 = 5 เพราะ 52 = 25

3 64 = –4 เพราะ (–4)3 = –64

4 81 = 3 เพราะ 34 = 81

สมบตเกยวกบรำกท n ทควรร

1. n x เมอ n เปนจ านวนเตมค ใหตอบเฉพาะค าตอบทเปนบวกเทานน

เชน 2 25 = 5 เทานน

2. ถา x < 0 แลว n x จะคดได 2 กรณ ดงน

n x จะหาคาจ านวนจรงไมได ถา n เปนเลขค เชน 2 9 หาคาไมได

n x จะหาคาได ถา n เปนเลขค เชน 3 8 = –2

3. n x = n1x เชน 3 8 = 31

8 เปนตน

ลองพจารณา 3 35 = 31

)3(5 = 5 จ างาย ๆ 3 35 = 5

4. ( n x )n = x เชน ( 7 3 )7 = 3

x เมอ n เปนเลขค เชน 3 38 = –8

x เมอ n เปนเลขค เชน 2 26 = –6 = 6

6. n

yx = n y

n x เมอ x > 0 และ y > 0 และ n เปนจ านวนเตมบวกทไมใช 1

n x y = n x n y ถา x < 0 และ y < 0 จะใชได เมอ n เปนจ านวนเตมบวกค

5. n nx =


3

1. คาของ 61)7a ( )9 3a(61)

4 3a( เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. a 3. 83

a 4. 85

a 2. ผลบวกค าตอบของสมการ 9x + 11 = x มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 7 2. 16 3. 17 4. 23

7.3 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล บทนยำม ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอฟงกชน f = { (x , y) R x R y = ax เมอ a > 0 และ a 1 }

ขอควรทรำบ 1) ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลม 2 แบบไดแก

1.1 ฟงกชนเพม 1.2 ฟงกชนลด

ฟงกชนน เมอ x เพมขนคา y จะเพม ตาม จะเกดเมอ a > 1 เชน y = 2x

ฟงกชนน เมอ x เพมขนคา y จะลดลง จะเกดเมอ 0 < a < 1

Y

X (0 , 1)

Y

X

(0 , 1)


4

2) โดเมนของฟงกชนเอกซโพแนนเซยล คอเซตของจ านวนจรง เรนจของฟงกชนเอกซโพแนนเซยล คอเซตของจ านวนจรงบวก

ฝกท ำ. ฟงกชนตอไปนเปนฟงกเอกซโพแนนเชยลหรอไม 1) y = 5x 2) y = ( 2

3 )x 3) y = 0x 4) y = –0.5x 5) y = 1x

ฝกท ำ. ฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด

1) y = 5x 2) y = ( 71 )x 3) y = x2 4) y = (sin 45)x 5) y = x21

วธกำรแกสมกำรเอกซโพแนนเชยล

ขนท 1 ท าใหฐานเทากน ขนท 2 ตดฐานทง คดเฉพาะตวชก าลงทเหลอ

3. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ 8 ( 29x ) = 64 (x + 3) เทากบเทาใด


5

วธแกอสมกำรเอกซโพแนนเชยล ขนท 1 ท าใหฐานเทากน ขนท 2 ตดฐานทง คดเฉพาะตวชก าลงทเหลอ แตระวงวา หาก 0 < ฐาน < 1 ตองเปลยนเครองหมายอสมการเสมอ ( เปลยนจากมากกวาเปนนอยกวา หรอเปลยนจากนอยกวาเปนมากกวา )

4. คาของ x ทสอดคลองกบอสมการ 16x > 4 เปนสบเซตของชวงขอใดตอไปน 1. (– , –3] 2. (–3 , –1 ] 3. (–1 , 0] 4. (0 , )

5(แนว En) คาของ x ทสอดคลองกบอสมการ 43x2x21 < 9x

21 เปนสบเซตของขอใด

ตอไปน 1. (– , –1 ) 2. (– , –2 ) 3. (–1 , 1 ) 4. ไมมมขอทถกตอง

7.4 ฟงกชนลอกำรทม

พจารณาตวอยางตอไปน จาก 34 = 81 อาจเขยนเปน 4 = log3 81

จาก 23 = 8 อาจเขยนเปน 3 = log2 8

จาก log2 16 = 4 อาจเขยนเปน 16 = 24

จาก log10 100 = 2 อาจเขยนเปน 100 = 102


6

ฝกท ำ. จงเขยนสมการตอไปนใหอยในรปลอการทม

1. 42 = 16 2. 32

27 = 9 3. ( 21 )2 = 4

1 4. 2–6 = 641 5. 31 = 3

ฝกท ำ. จงเปลยนใหอยในรปเลขยกก าลง 1. log10 100 = 2 2. log5 1 = 0 3. log3 3 = 1 4. 25

51log = –3 5. log2 32 = 5

จากฟงกชนเอกซโพเนนเชยล ax = y เมอ a > 0 และ a 1

อนเวอรสของฟงกชนนคอ ay = x เมอ a > 0 และ a 1 ซงอาจเขยนรปใหมเปน y = loga x เมอ a > 0 และ a 1 ฟงกชนอนเวอรสของฟงกชนเอกซโพแนนเซยลน เรยกฟงกลอกำรทม

บทนยำม ฟงกชนลอการทม คอ { (x , y) R+ x R y = loga x เมอ a > 0 และ a 1 } เปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกโพเนนเชยล

{ (x , y) R x R y = ax เมอ a > 0 และ a 1 }

ขอควรทรำบเกยวกบฟงกชนลอกำรทม 1) ฟงกชนลอการทม ม 2 แบบไดแก 1.1) ฟงกชนเพม

คอ ฟงกชนซงเมอคา x เพมแลว คา y จะเพมตามเกดเมอ a > 1

Y

X (1 , 0)


7

1.2) ฟงกชนลด คอ ฟงกชนซงเมอคา x เพมแลว คา y จะลดลงเกดเมอ 0 < a < 1

2) โดเมนของฟงกชนลอการทม คอจ านวนจรงบวก

เรนจของฟงกชนลอการทม คอจ านวนจรง

สมบตของลอกำรทม 1. loga (M.N) = loga M + loga N

2. loga )NM( = loga M – loga N

3. loga Mx = x loga M 4. Mxa

log = x1 loga M

5. Mxalog = x1M alog

6. loga M = xMxalog

7. loga a = 1 8. log a 1 = 0 9. Maloga = M

10. logN M = NalogMalog

11. loga N1 = Na1

log

12. loga b = ablog1

13. loga x = loga y กตอเมอ x = y

6. ก าหนดให y = log381 + log232 + 6441log

แลว คาของ y เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 3 3. 6 4. 7

Y

X(1 , 0)

หมายเหต ; loga 0 = หาไมได log0 a = หาไมได log1 a = หาไมได


8

7. ก าหนดให y = log216 + log3( 91 ) + 23log9 แลว คาของ y เทากบขอใดตอไปน

1. 5 2. 5 3. 6 4. 7

8. ก าหนดให A = 2)3log 29log 581log (181 แลว คาของ A เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 4

81 3. 4405 4. 4

581

9. ก าหนดให A = log321 + log318 – log37 + log39 – log36 แลว คาของ A เทากบขอใด ตอไปน 1. 0 2. 2 3. 4 4. 6


9

7.5 กำรหำคำลอกำรทม ลอการทมทใชมากในการค านวณคอ ลอกำรทมสำมญ (common logarithm) ลอกำรทมสำมญ คอลอการทมทมฐานเปน 10 เชน log10a การเขยนลอการทมสามญ อาจไมตองเขยนแสดงฐาน 10 ละไวในฐานทเขาใจกได เชน log10 a = log a เปนตน

ลองพจำรณำและจดจ ำตวอยำงตอไปน log 10 = log10 10 = 1 log 100 = log 102 = 2 log 10 = 2(1) = 2 log 1000 = log 103 = 3 log 10 = 3(1) = 3 log 0.01 = log 10–2 = –2 log 10 = –2(1) = –2 log 1 = log10 1 = 0

10. log 35 + log 6 – log 7 + log 10 – log 3 มคาเทากบเทาใด

11(แนว มช) 6 log 5 – log 4 + log 108 log 2 มคาเทากบเทาใด

7.6 กำรเปลยนฐำนลอกำรทม

การเปลยนฐานลอการทมจากฐานเดมไปเปนฐานอนๆ สามารถท าไดโดยใชสมบตตอไปน

logN M = N alogM alog

เชน log3 2 = 3 10log2 10log

= 0.47710.3010 = 0.6309


10

12. log2 10 + log2 9 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3.3219 2. 3.1700 3. 6.6438 4. 6.4919 ลอกำรทมธรรมชำต ( ลอกำรทมแบบเนเปยร ) คอลอการทมฐาน e เมอ e คอจ านวนธรรมชาตซงเทากบ 2.71828 ลอการทมฐาน e อาจเขยนใหอยในรป ln กได เชน loge a = ln a ตวอยำงกำรหำคำลอกำรทมธรรมชำต

ln 2 = loge2 = elog 2log = 2.71828log

2log = 0.43430.3010 = 0.6931

13. ก าหนดให A = ln2 + ln10 – ln20 และ B = e (ln5 + ln4 – ln2) แลว A + B มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5 2. 10 3. 20 4. 25

7.7 สมกำรเอกซโพเนนเชยลและสมกำรลอกำรทม

14. ค าตอบของสมการ 5 log 5 x – 3 log 3 9 = 2 log 5 x มคาเทากบเทาใด


11

15. ค าตอบทมากทสดของสมการ log4 log3 log2 2x)2(x7log

7

= 0 มคาเทากบเทาใด

16. ผลบวกของค าตอบของสมการ log (x – 2) = log x – log 2 เทากบขอใด 1. 0 2. 2 3. 4 4. 6 17. ผลบวกของค าตอบของสมการ log (x + 2) + log (3x – 4) = log (1 + 2x) เทากบขอใตอไปน 1. – 3 2. 0 3. 3 4. 3


12

18. คา x ทสอดคลองกบสมการ (log3 5) (log5 10) (log10 x) = 4 เปนสบเซตของชวงขอใด ตอไปน 1. (– , 2] 2. (2 , 6 ] 3. (6 , 10] 4. (10 , )

19. ในชวงเปด (a , b) เปนเซตค าตอบของอสมการ log16 x + log4 x + log2 x 7 แลว a + b มคาเทาใด 1. 13 2. 16 3. 29 4. 32 20. ชวงค าตอบของอสมการ 15)(2x)(log

31 0 คอขอใดตอไปน

1. (– , 7.5) 2. (7.5 , 8) 3. (7.5 , ) 4. (– , 7.5) (8 , )


13

21. ผลบวกของ x ทสอดคลองกบสมการ 3x = 310 – 3–x เทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. 0 3. 1 4. 2 22. ผลบวกของค าตอบของสมการ log3 x + 4 logx 3 = 5 เทากบขอใดตอไปน 1. 36 2. 62 3. 84 4. 256 23. คาของ x จากสมการ 5x = 4x+1 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2log 3 1

2log 2 2. 3log 1

2log 2 3. 2log 3 1

2log 2 4. 3log 1

2log 2


14

เฉลยบทท 7 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอกำรทม

1. ตอบขอ 3. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบ 5 4. ตอบขอ 4. 5. ตอบขอ 4. 6. ตอบขอ 3. 7. ตอบขอ 3. 8. ตอบขอ 3. 9. ตอบขอ 3. 10. ตอบ 2 11. ตอบ 6 12. ตอบขอ 4. 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบ 25 15. ตอบ 4. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 3. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 2. 20. ตอบขอ 2. 21. ตอบขอ 2. 22. ตอบขอ 3. 23. ตอบขอ 3.


15

ตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 7 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม ชดท 1

7.1 เลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนเตม

1(มช 36) ก าหนดให 1b)1a(3)ba(3 . a)1b(3

= 3k จงหาคาของ k

1. a 2. a – 1 3. a + 1 4. 1

7.2 รำกท n ในระบบจ ำนวนจรงและจ ำนวนจรงในรปกรณฑ

2(En43 ต.ค.) ก าหนดให A = x x – 4 > 5 B = x 3x – x 1 ขอใดตอไปนถก 1. A B = (– , –1) (1 , ) 2. ( A B) = (9 , )

3. B – A = [1 , 9) 4. A – B = (– , –1)

7.3 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

3(แนว Pat1) ให A = 3

5 7 , B = 3

7 5 , C = 3 75 , D = 3 57 ขอใดตอไปนมคานอยทสด 1. A 2. B 3. C 4. D 4(มช 34) ถา 4x + 22x = 8 แลว (3x)x เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5แนว Pat1) ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลว คาของ x อยในชวงใดตอไปน 1. [0 ,1) 2. [1 , 2) 3. [2 , 3) 4. [3 , 4) 6(En43 ม.ค.) ถา x เปนรากของสมการ 23x–1 . 6x . 255x–1 = 75x แลว x มคาเทากบเทาใด


16

7(En41 เม.ย.) ถา A = {x R ( 32 )x (1 – x) > 4

9 } แลวเซต B เปนชวงใดตอไปนทท าให

B A = 1. (–2 , –1) 2. (–1 , 0) 3. (0 , 1) 4. (1 , 2)

8(แนว PAT1) ให R แทนเซตของจ านวนจรง ถา A เปนเซตค าตอบของอสมการ

5)(x353)232(5x

53 แลว A เปนสบเซตในขอใดตอไปน

1. {xR (5x – 1) (x–3) < 0} 2. {xR (4x – 1) (x–4) < 0} 3. {xR (2x – 1) (x–5) < 0} 4. {xR (x – 1) < 2}

7.4 ฟงกชนลอกำรทม

9(แนว En) ถา a , b , c และ d เปนจ านวนจรงบวก ซงไมเทากบ 1 แลว dcba เปน

ค าตอบของสมการใด 1. loga [logb (logc x)] = d 2. logb [logc (logd x)] = a 3. logc [logb (loga x)] = d 4. logd [logc (logb x)] = a

7.5 กำรหำคำลอกำรทม

7.6 กำรเปลยนฐำนลอกำรทม

10(แนว 9 สำมญ) คาของ )8 3log(32log เทากบเทาใด

11(En 38) ก าหนดให log 3 = c คาของ 3 33log 9 91log – log 0.81 เทากบขอใดตอไปน

1. 34 – 4c 2. 3

4 + 4c 3. 38 – 4c 4. 3

8 + 4c

12 (En42 ม.ค.) log10 28 – 325101log +

1001log 91 มคาเทาใด

13(มช 36) ก าหนดให log273 = a , log2b = –3 และ logc 49 = –2

จงหาคาของ a + b + c

14(แนว 9 สำมญ) (log7 125) (log5 49) มคาเทากบเทาใด


17

15(แนว Pat 1) ก าหนดให a , b , c > 1 ถา loga d = 30 , logb d = 50 และ logabc d = 15 แลวคาของ logc d เทากบขอใดตอไปน 1. 75 2. 90 3. 120 4. 150

7.7 สมกำรเอกซโพเนนเชยลและสมกำรลอกำรทม

16(แนว 9 สำมญ) คาของ x ทสอดคลองกบสมการ log4 x = log9 3 + log3 9 มคาเทากบ เทาใด

17(แนว 9 สำมญ) ถา log [ x + 27log3 2 ] = 1 แลว x4 มคาเทากบเทาใด

18(En41 เม.ย.) ผลบวกของค าตอบท งหมดของสมการ

343x 2x

121log

31log

41log = 0

เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

19(En41 ต.ค.) เซตค าตอบของสมการ log2(x2 – x –4)2 = log0.1(0.01) เปนสบเซตของเซตใน ขอใดตอไปน 1. R – [–2 ,2] 2. R – [–1 , 3] 3. [–4 , 2] 4. [–3 , 3]

20(แนว Pat 1) 1 4x)(92log x)(42log อยในชวงใดตอไปน

1. [–10 , –6) 2. [–6 , –2) 3. [–2 ,2) 4. [2 ,6) 21(แนว Pat1) รากทมคานอยทสดของสมการ 2log(x – 2) 2log(x – 3) = 2log2 มคาเทาใด

22(En 38) ถา A และ B เปนเซตค าตอบของสมการ และ ตามล าดบดงน log (x – 2) + log (x + 2) – log 5 = 0 (log34) (log45) (log5x) = 1 แลวขอใดตอไปนถก 1. A = B 2. A B = 3. A เปนสบเซตแทของ B 4. B เปนสบเซตแทของ A


18

23(แนว Pat1) ถา x และ y เปนจ านวนจรงบวกและสอดคลองกบสมการ 0y

21log x

21log 2y)(x22log

แลว 2yx – 8 เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 8 3. 10 4. 17

24(แนว 9 สำมญ) ถา S = { x x เปนจ านวนเตมทสอดคลองกบอสมการ log x (x – 15) 2 } แลวจ านวนสมาชกของเซต S เทากบขอใดตอไปน 1. 8 2. 10 3. 12 4. 15 5. 26

25(En44 ต.ค.) ในชวงเปด (a , b) เปนเซตค าตอบของอสมการ log (3x + 4) log (x – 1) + 1 แลว a + b มคาเทากบเทาใด

26(En44 ม.ค.) ก าหนดให A เปนเซตค าตอบของอสมการ log4 log3 log2 (x2 + 2x) 0 จ านวนเตมทเปนสมาชกของ A มทงหมดกจ านวน

27(แนว 9 สำมญ) คาในขอใดตอไปนเปนค าตอบของสมการ 2x . 2x+1 . 2x+2 = 4x + 4x+1 + 4x+2 1. log2 10

21 2. log2 821 3. log2 6

21 4. log2 421 5. log2 2

21

28(En 38) คา x ทสอดคลองกบสมการ 9x – 23log x 3 = –1 อยในเซตใดตอไปน 1. (–3 , –1) 2. (–1 , 1) 3. (1 , 2) 4. (2 , 3)

29(แนว 9 สำมญ) ผลคณของค าตอบของสมการ 4x + 24 = 65(2x – 1) เทากบขอใดตอไปน 1. –5 2. –4 3. 2

3 4. 4 5. 5

30(En 36) ก าหนดให x เปนจ านวนจรงบวก ซงสอดคลองสมการ 2x = 3

10 – 2–x และ y = log64 log86 log108 คาของ x y เทากบขอใดตอไปน 1. 2 log 3 2. –2 log 3 3. 2 log 2 4. –2 log 2


19

31(แนว PAT1) ก าหนดให A แทนเซตค าตอบของสมการ 3(1+2x) + 9(2–x) = 244 แลวเซต A เปนสบเซตของชวงใดตอไปน 1. (–1 , 4) 2. (–2 , 0.5) 3. (–3 , 0) 4. (0 , 5) 5. (3 , 7)

32(En42 ต .ค.) ก าหนดให A =

)x 5(3253)2x(35 |R x 21

ผลบวกของสมาชก

ทงหมดของ A มคาเทากบเทาใด

33(En 36) ก าหนดให A =

)21(x

22732] )21x

2 ( 912x[23 x แลวผลบวก

ของสมาชกทงหมดของ A มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 4 2. 6 3. 8 4. 10

34(แนว 9 สำมญ) ผลคณของค าตอบทงหมดของสมการ log2 x + 6 logx 2 – 5 = 0 เทากบขอใดตอไปน

1. 8 2. 10 3. 12 4. 16 5. 32

35(แนว Pat1) ค าตอบทเปนจ านวนเตมของสมการ log3x + logx3 = 310 มคาเทากบขอใด

36(แนว Pat1) ผลบวกของค าตอบทงหมดของสมการ log 3 x = 1 + log x 9 อยในชวงใด ตอไปน 1. [0 , 4) 2. [4 ,8) 3. [8 ,12) 4. [12 ,16)

37(แนว Pat1) ก าหนด logy x + 4 logx y = 4 แลว logy x3 มคาเทาใด

38(En 40) ผลบวกของรากของสมการ 2 log3x – 2 logx2

9 + 3 = 0 มคาใกลเคยงขอใดมากทสด

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

39(แนว 9 สำมญ) ผลคณของค าตอบของสมการ 641] x 2[logx มคาเทากบเทาใด


20

40(แนว Pat1) ให R แทนเซตของจ านวนจรง

ให A = xR x2 + 4 3x 2x > 3x + 2 แลวจ านวนเตมทเปนสมาชกของเซต A/ มกจ านวน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

41(แนว Pat1) ถา 4x–y = 128 และ 32x+y = 81 แลวคาของ y เทากบขอใดตอไปน 1. –2 2. –1 3. 1 4. 2

42(แนว Pat1) ก าหนดให x , y > 0 ถา xy = yx และ y = 5x แลวคาของ x อยในชวงใด ตอไปน 1. [0 , 1) 2. [1, 2) 3. [2 , 3) 4. [3, 4)

เฉลยตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย

บทท 7 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม ชดท 1

1. ตอบขอ 2. 2. ตอบขอ 4. 3. ตอบขอ 3. 4. ตอบขอ 3. 5. ตอบขอ 2. 6. ตอบ 0.25 7. ตอบขอ 1. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 3. 10. ตอบ 3 11. ตอบขอ 1. 12. ตอบ 1 13. ตอบ 1.125 14. ตอบ 6 15. ตอบขอ 1. 16. ตอบ 0032.00 17. ตอบ 16 18. ตอบขอ 3. 19. ตอบขอ 4. 20. ตอบขอ 3. 21. ตอบ 4. 22. ตอบขอ 1. 23. ตอบขอ 2. 24. ตอบขอ 2. 25. ตอบ 3. 26. ตอบ 4. 27. ตอบขอ 2. 28. ตอบขอ 2. 29. ตอบขอ 1. 30. ตอบขอ 1. 31. ตอบขอ 1. 32. ตอบ 1 33. ตอบขอ 1. 34. ตอบขอ 5. 35. ตอบ 27 36. ตอบขอ 3. 37. ตอบ 6 38. ตอบขอ 2. 39. ตอบ 0.50 40. ตอบขอ 4. 41. ตอบขอ 2. 42. ตอบขอ 2.

สรปเขมคณตศาสตร เลม 3 http://www.pec9.com บทท 8 ฟงกชนตรโกณมต

1

บทท 8 ฟงกชนตรโกณมต

8.1 ฟงกชนไซนและโคไซน

การก าหนดคาของฟงกชนตรโกณมต ท าไดโดยใชวงกลมรศมยาว 1 หนวย ซงมจดศนยกลางอยทจด (0 , 0) ซงจะเรยกวาวงกลมหนงหนวย (The unit circle) หากเราวดความยาวเสนโคงจากจดตดแกน +X ทวนเขมนาฬกาไปจนครบ 1 รอบ จะไดว า ความยาวเสนโคง 1 รอบ = เสนรอบวง = 2 R = 2 (1) = 2 ดงนน ความยาวเสนโคงครงรอบวงกลม = ความยาวเสนโคง 4

1 รอบวงกลม = 2π

ความยาวเสนโคง 43 รอบวงกลม = 2

3π และทจดนาสนใจอนๆ ความยาวเสนโคงจะเปน ดงรป ความยาวสวนโคงดงกลาวนจะมหนวย เปนเรเดยน

ฝกท ำ. จากรปทก าหนด จงเตมความยาวเสนโคง ของวงกลมหนงหนวยซงวดจากจดตดแกน +X ทวนเขมนาฬกาไปจนถงจดทก าหนดใหนน

ความยาวสวนโคงบนวงกลมหนงหนวย สามารถเทยบเปนมมองศาได โดยถอหลกวา 2 เรเดยน ( 1 รอบวงกลม ) มขนาดเทากบ 360o ดงนน เรเดยน จงมขนาดเทากบ 180o จากหลกการดงกลาวเราน าไปใชเปลยนความยาวสวนโคงเปนมมองศา หรอเปลยนมมองศาเปนความยาวสวนโคง ไดดงตวอยางตอไปน ตวอยำง จงหาวาความยาวสวนโคง 6

π เรเดยน มขนาดเทากบกองศา

แนวคด ใหเปลยน เรเดยน เปน 180o ไดโดยตรงดงน

6π = 6

180 = 30o


2

ตวอยำง จงหาวา 150o มคาเทากบกเรเดยน แนวคด ใหคณดวย 180

π ดงน

150o = 150o x 180π = 6

5π เรเดยน

ฝกท ำ. จากรปทก าหนด จงเตมความยาวเสนโคง ของวงกลมหนงหนวยซงวดจากจดตดแกน +X ทวนเขมนาฬกาไปจนถงจดทก าหนดใหนน ทงในรปแบบ เรเดยน และมมเปนองศา ฝกท ำ. จงหาวาความยาวสวนโคงเปนเรเดยนตอไปน มขนาดเทากบกองศา

1. 3 2π 2. 6

5π 3. 3 11π 4. 4

แนวคด

ฝกท ำ. จงหาเปลยนมมขนาดตอไปนใหเปนความยาวสวนโคง ( เรเดยน ) 1. 300o 2. –315o 3. 120o 4. –510o

แนวคด

เมอพจารณาพกด ( x , y ) ของจดซงมความยาวสวนโคง ใดๆ บนวงกลมหนงหนวย จะพบวา ในควอรดรนตท 1 0o < < 90o และ คา x เปนบวก คา y เปนบวก ในควอรดรนตท 2 90o < < 180o และ คา x เปนลบ คา y เปนบวก ในควอรดรนตท 3 180o < < 270o และ คา x เปนลบ คา y เปนลบ ในควอรดรนตท 4 270o < < 360o และ คา x เปนบวก คา y เปนลบ


3

ฝกท ำ. จงค าลงในชองวางใหถกตองและสมบรณ

ฟงกชนโคไซน คอเซตของคอนดบ ( , x ) ฟงกชนไซน คอเซตของคอนดบ ( , y ) เขยนแทนดวย x = cos และ y = sin เมอ ( x , y ) เปนจดปลายสวนโคงทยาว หนวย บนวงกลมหนงหนวย

เชนจากรปจะไดวา sin 0o = 0 cos 0o = 1 sin 90o = 1 cos 90o = 0 sin 180o = 0 cos 180o = –1 sin 270o = –1 cos 270o = 0

sin 30o = 21 cos 30o = 2

3

+Y

+X X

Y

( , ) ( , )

( , ) ( , )


4

sin 45o = 22 cos 45o = 2

2

sin 60o = 23 cos 60o = 2

1

ฝกท ำ. จงเตมค าลงในชองวางใหถกตองและสมบรณ

ฝกท ำ. จงหาคาตรโกณมตตอไปน sin 0o = cos 0o = sin 90o = cos 90o = sin 180o = cos 180o = sin 270o = cos 270o = sin 30o = cos 30o = sin 45o = cos 45o = sin 60o = cos 60o = โปรดสงเกต 1) เนองจากวงกลมหนงหนวยมรศมยาว 1 หนวย ดงนน – 1 x 1 จงไดวา – 1 cos 1 และ – 1 y 1 จงไดวา – 1 sin 1 2) จากสมการกลมซงมรศมยาว 1 หนวย จดศนยกลางอยทจด (0 , 0)

x2 + y2 = 1 จงไดวา cos2 + sin2 = 1

Y

X 1

1

–1

–1


5

8.2 คำของฟงกชนไซนและโคไซน

วธกำรหำคำ sin และ cos ทวไป ขนท 1 ถา มคาเปนลบ ใหใชสตรตอไปน sin ( – ) = – sin และ cos ( – ) = cos ขนท 2 ถา มคามากกวา 360o ใหน า ลบออกดวย 360o ซ าเรอยๆ จนกวา จะมคานอยกวา 360o แลวจงน าคาทเหลอไปคดตอ ขนท 3 ถา อยในควอรดรนต 2 ใหใชสตร sin = sin ( 180o – ) และ cos = – cos ( 180o – ) ถา อยในควอรดรนต 3 ใหใชสตร sin = – sin ( – 180o ) และ cos = – cos ( – 180o ) ถา อยในควอรดรนต 4 ใหใชสตร sin = – sin ( 360o – ) และ cos = cos ( 360o – ) ตวอยำง จงหาคาของ cos (–690o) แนวคด ขนท 1 มคาเปนลบ ใหใชสตร cos (–) = cos cos (–690o ) = cos 690o ขนท 2 ทอน ใหนอยลงโดยลบออกดวย 360o cos (690o ) = cos ( 690o – 360o ) = cos 330o ขนท 3 330o อยในควอดรนตท 4

จะไดวา cos 120o = cos ( 360o– 330o ) ] = cos 30o = 23

ตวอยำง จงหาคาของ sin (–570o) แนวคด ขนท 1 มคาเปนลบ ใหใชสตร sin (–) = – sin sin (–570o ) = – sin 570o ขนท 2 ทอน ใหนอยลงโดยลบออกดวย 360o –sin (570o ) = – sin ( 570o – 360o ) = – sin 210o ขนท 3 210o อยในควอดรนตท 3 จะไดวา – [sin 210o ] = – [ –sin ( 210o–180o ) ] = sin 30o = 2

1


6

ตวอยำง จงหาคาของ cos 150o แนวคด 150o อยในควอดรนตท 2

ดงนน cos 150o = – cos ( 180o – 150o ) = – cos 30o = – 23

ตวอยำง จงหาคาของ sin 240o แนวคด 240o อยในควอดรนตท 3

ดงนน sin 240o = – sin ( 240o – 180o ) = – sin 60o = – 23

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. sin 120o 2. sin 210o 3. sin 315o

แนวคด

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. cos 120o 2. cos 210o 3. cos 315o แนวคด

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. sin 495o 2. cos 510o 3. cos 540o แนวคด

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. cos (–315o) 2. sin (–120o) 3. sin (–690o)

แนวคด


7

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. )6

17(sin π 2. )4 29( cos π 3. )34(sin π

แนวคด

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. 34 cos π 2. 35sin π 3. 611 cos π

แนวคด

ฝกท ำ. จงหาจ านวนจรง มาหาจ านวนทท าให sin = 1

8.3 ฟงกชนตรโกณมตอนๆ

ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ ทควรรจกไดแก tangent = tan = θ cos

sin θ เมอ cos 0

cotangent = cot = θtan 1 = θ

θcin

cos เมอ sin และ cos 0

secant = sec = θ cos1 เมอ cos 0

cosecant = cosec = θsin 1 เมอ sin 0

คำ tan ทควรจดจ ำ tan 0o = 0 , tan 90o = หาคาไมได , tan 180o = 0 , tan 270o = หาคาไมได tan 30o = 3

1 , tan 45o = 1 , tan 60o = 3


8

วธกำรหำคำ tan ทวไป ขนท 1 ถา มคาเปนลบ ใหใชสตรตอไปน tan ( – ) = – tan ขนท 2 ถา มคามากกวา 360o ใหน า ลบออกดวย 360o ซ าเรอยๆ จนกวา จะมคานอยกวา 360o แลวจงน าคาทเหลอไปคดตอ ขนท 3 ถา อยในควอรดรนต 2 ใหใชสตร tan = – tan ( 180o – ) ถา อยในควอรดรนต 3 ใหใชสตร tan = tan ( – 180o ) ถา อยในควอรดรนต 4 ใหใชสตร tan = – tan ( 360o – ) ตวอยำง จงหาคาของ tan ( –570o ) แนวคด ขนท 1 เนองจาก มคาเปนลบ จงใชสตร tan ( – ) = – tan ดงนน tan ( –570o ) = – tan (570o ) ขนท 2 ทอน ใหนอยลงโดยลบออกดวย 360o จะได 570o – 360o = 210o ขนท 3 210o อยในควอดรนตท 3 ดงนน tan (150o ) = – tan ( 180o – 150o ) ] = – tan 30o = – 3

1

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. tan 120o 2. tan 210o 3. tan 315o แนวคด

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. tan 480o 2. tan (–570o) 3. tan (–675o) แนวคด


9

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. sec 150o 2. sec (–240o) 3. sec (–330o)

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1. csc 120o 2. csc (–210o) 3. csc (–315o)

1(แนว มช) sin ( 6π ) – cos ( 6

5π ) tan ( 6 7 π ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 33

2(แนว มช) 425 cot 310 sec 67 cosec π ππ มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 4 3. 8 4. 0 ควำมเกยวพนธของฟงกชนตรโกณทควรทรำบ cos2 + sin2 = 1 cos2 = 1 – sin2

cos = θ2sin1 sin2 = 1 – cos2

sin = θ2cos1 sec2 = 1 + tan2 csc2 = 1 + cot2


10

sin ( ) เมอ n เปนจ านวนเตมค – sin ( ) เมอ n เปนจ านวนเตมค

cos ( ) เมอ n เปนจ านวนเตมค – cos ( ) เมอ n เปนจ านวนเตมค

Co – Function sin A = cos ( 90o – A ) เชน sin 20o = cos 70o

tan A = cot ( 90o – A ) เชน tan 10o = cot 80o sec A = cosec ( 90o – A ) เชน sec75o = cosec15o tan A . tan( 90o – A ) = 1 เชน tan 20o tan70o = 1 cot A . cot( 90o – A ) = 1 เชน cot 10o cot 80o = 1

ฝกท ำ. จงเตมค าตอบทถกตอง cos2 + sin2 = cos2 = cos = sin2 = sin = sec2 = csc2 = 3. ก าหนดให 0 < < 2

π และ cos = 0.6 แลว คาของ sin (–) มคาเทากบขอใด 1. –0.8 2. –0.6 3. 0.6 4. 0.8 4. จากขอทผานมา คาของ tan + sec มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0.33 2. 0.50 3. 2 4. 3

cos ( n ) =

sin ( n ) =


11

5. ก าหนดให 0 < < 2π และ sin = 0.6 แลว คาของ cos + sin (–) เทากบขอใด

1. –0.2 2. 0.2 3. 0.6 4. 0.8

ฝกท ำ. จงเตมค าลงในชองวางตอไปน cos (2 + 2

π ) = sin (4 + 6

π ) = cos (3 + 2

π ) = sin (7 + 4

π ) = cos (6 – 2

π ) = cos (8 – 4

π ) = cos (7 – 4

π ) = sin (180o + 50o ) =

cos (360o + 25o ) =

6. ก าหนดให 0 < < 2π และ cos = 0.20 แลว คาของ sin (3 – ) + cos ( – ) ม

คาเทากบขอใดตอไปน 1. –0.98 2. –0.78 3. 0.20 4. 0.78

ฝกท ำ. เตมค าลงในชองวางใหสมบรณ 1 sin 40o = cos …… 2 tan 40o = cot ….. 3 sec 40o = cosec……. 4 cos 10o = ..…. 80o 5 cot 20o = ….. 70o 6 cosec30o = …. …60o

7. B) 2( cos π มคาเทากบขอใดตอไปน

1. sin B 2. –sin B 3. cos B 4. –cos B


12

8.4 ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสำมเหลยมมมฉำก

พจารณารปสามเหลยมมมฉากดงรป ก าหนดให ความยาวดานตรงขามมมฉาก = ฉาก ความยาวดานตรงขามมม = ขาม ความยาวดานตรงประชดมม = ชด

จะไดวา sin = ฉากขาม

cos = ฉากชด

tan = ชดขาม

8(แนว มช) ถา น.ส. กอยยนอยทจด A หางจากตนไม 150 เมตร แลวสงเกตเหนวามมระหวาง พนดนและยอดของตนไม

ทมความสง h คอ 30o (ดงรป) ขอใดคอความสง h ของตนไม

1. 50 2. 50 3 3. 150 3 4. 450 3 9. ตกสองหลงทมหลงคาเรยบตงอยหางกน 60 ฟต

จากหลงคาของตกทเตยกวา ซงสง 40 ฟต มมท วดจากหลงคาของตกทเตยกวาไปยงหลงคาของ ตกทสงกวามขนาด 40o ดงรป ตกทสงกวาจะ มความสงเทากบกฟต (tan40o = 0.8391 ) 1. 80.2 2. 85.5 3. 90.3 4. 95.8

60 ฟต 40o

40 ฟต

ฉาก

ชด

ขาม

A 150 ม.

30o ตนไม

h


13

10. ก าหนดให 0 < < 2π และ sin = 5

4 แลว sec + cosec มคาเทากบขอใด 1. 5

3 2. 54 3. 5

7 4. 1235

11. ก าหนด sin = 53 และ 2

< < จงหาคาของ cos .tan เทากบขอใดตอไปน

1. 53 2. – 54 3. 20

31 4. 2012

12. ก าหนด cos = – 54 และ < < 23 จงหาคาของ sin . tan

1. – 53 2. 51 3. – 20

12 4. 2012

13. ก าหนดให 23π < < 2 และ tan = – 3

1 แลว 2 cos + cot มคาเทากบขอใด

1. 15103 2. 15103 3. 515103 4. 5

15103


14

14. ก าหนด sin > 0 โดยท cos = – 53 แลว จงหาคาของ sec + cosec

1. – 124 2. 12

4 3. – 125 4. 12

5

15. ก าหนด sin < 0 โดยท cos = 54 แลว จงหาคาของ 4 cot

1. – 5 2. –3 3. – 316 4. 12

5

8.5 กรำฟของฟงกชนตรโกณมต

พจำรณำกรำฟฟงกชน y = sin x

จากลกษณะของกราฟ y = sin x เราสรปไดดงน 1. กราฟเปนลกคลน ผานจด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง 3. เรนจของฟงกชน คอ [ –1 , 1 ] นนคอ –1 sin x 1 4. คาบมความยาว = 2 5. แอมปลจดของฟงกชน = 1 (แอมปลจด อาจจะเรยกวาเปนความสงของคลนไซนกได )


15

พจำรณำกรำฟฟงกชน y = cos x จากลกษณะของกราฟ y = cos x เราสรปไดดงน 1. กราฟเปนลกคลน ไมผานจด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง 3. เรนจของฟงกชน คอ [ –1 , 1 ] นนคอ – 1 cos x 1 4. คาบมความยาว = 2 5. แอมปลจดของฟงกชน = 1

พจำรณำกรำฟฟงกชน y = tan x

จากลกษณะของกราฟ y = tan x เราสรปไดดงน 1. กราฟเปนลกคลน ผานจด (0 , 0) 2. โดเ มนของฟงกชน คอ { x | x R และ x n + 2

π เมอ n I } 3. เรนจของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง นนคอ – < tan x < 4. คาบของฟงกชนยาว = 5. แอมปลจดของฟงกชนไมม เพราะฟงกชนไมมคาสงสด และต าสด


16

พจำรณำกรำฟฟงกชน y = cosec x

จำกลกษณะของกรำฟ y = cosec x เรำสรปไดดงน 1. กรำฟไมผำนจด (0 , 0)

2. โดเมนของฟงกชน คอ { x | x R และ x n เมอ n I }

3. เรนจของฟงกชน คอ y 1 หรอ y – 1

4. คำบของฟงกชนยำว = 2 5. แอมปลจดของฟงกชนไมม

พจำรณำกรำฟฟงกชน y = sec x

จากลกษณะของกราฟ y = sec x เราสรปไดดงน

1. กราฟไมผานจด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชน คอ { x | x R และ x n + 2

π เมอ n I } 3. เรนจของฟงกชน คอ y 1 หรอ y – 1 4. คาบของฟงกชนยาว = 2 5. แอมปลจดของฟงกชนไมม


17

พจำรณำกรำฟฟงกชน y = cot x จากลกษณะของกราฟ y = cot x เราสรปไดดงน 1. กราฟไมผานจด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชน คอ { x | x R และ x n เมอ n I } 3. เรนจของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง นนคอ – cot x 4. คาบของฟงกชนยาว = 5. แอมปลจดของฟงกชนไมม เพราะฟงกชนไมมคาสงสดและต าสด

ฟงกชนตรโกณมตทกฟงกชนเปนฟงกชนทเปนคาบ คอสามารถแบงแกน X ออกเปนชวงยอย โดยทความยาวของแตละชวงยอยเทากน และกราฟในแตละชวงยอยมลกษณะเหมอนกน คำบ ( period ) ของฟงกชน คอความยาวของชวงยอยทสนทสดซงแตละชวงยอยนนมกราฟเหมอนกน แอมพลจด ( amplitude ) ของฟงกชนคอคาทเทากบครงหนงของคาสงสดลบดวยคาต าสดของฟงกชน


18

การหาคาบและแอมปลจด ของฟงกชนตรโกณมต ก าหนดให a , b , c และ d เปนคาคงทใดๆ และ b > 0

16. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = 4 sin x เทากบขอใดตอไปนตอไปน 1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 4 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได 3. คาบ = , แอมปลจด = 4 4. คาบ = , แอมปลจด = หาคาไมได

17. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = 4 cos ( 2x – 2 ) + 4 เทากบขอใดตอไปนตอไปน

1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 4 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได 3. คาบ = , แอมปลจด = 4 4. คาบ = , แอมปลจด = หาคาไมได

18. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = –3 tan 2

1 x เทากบขอใดตอไปนตอไปน 1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 4 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได 3. คาบ = , แอมปลจด = 4 4. คาบ = , แอมปลจด = หาคาไมได

ล าดบ รปทวไปอยางงาย สตรหาคาบ สตรหาแอมปลจด

1. y = a sin bx b 2π a

2. y = a cos bx b 2π a

3. y = a cosec bx b 2π ไมม

4. y = a sec bx b 2π ไมม

5. y = a tan bx bπ ไมม

6. y = a cot bx bπ ไมม


19

19. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = 41 cosec ( 3

1 x + 6π ) เทากบขอใดตอไปนตอไปน

1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 2 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได 3. คาบ = 6 , แอมปลจด = 2 4. คาบ = 6 , แอมปลจด = หาคาไมได

20. คาบ และแอมปลจดของฟงกชน y = 21 sec ( 2x – 3

π ) + 1 เทากบขอใดตอไปนตอไปน 1. คาบ = 2 , แอมปลจด = 4 2. คาบ = 2 , แอมปลจด = หาคาไมได 3. คาบ = , แอมปลจด = 4 4. คาบ = , แอมปลจด = หาคาไมได

8.6 ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตำงของจ ำนวนจรงหรอมม

ฟงกชนของผลบวกหรอผลตำง cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B sin (A + B) = sin A cos B + sin B cos A sin (A – B) = sin A cos B – sin B cos A

tan (A + B) = B tan A tan 1B tan Atan

tan (A – B) = B tan A tan 1B tan Atan

cot (A + B) = A cot B cot1 B cot A cot

cot (A – B) = A cot B cot1 B cot A cot


20

ฟงกชนทใชเปลยนผลคณเปนผลบวก 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B) ฟงกชนทใชเปลยนผลบวกเปนผลคณ sin A + sin B = 2 sin 2

BA . cos 2BA

sin A – sin B = 2 cos 2BA . sin 2

BA cos A + cos B = 2 cos 2

BA . cos 2BA

cos A – cos B = – 2 sin 2BA . sin 2

BA ฟงกชนทมมมเปน 2A sin 2A = 2 sin A cos A sin 2A = A2 tan 1

A tan 2

cos 2A = cos2A – sin2A cos 2A = 2 cos2A – 1 cos 2A = 1 – 2 sin2A tan 2A = A2 tan 1

A tan 2

cot 2 A = A cot 21 A 2cot

ฟงกชนทมมมเปน 2

A

sin 2A = 2

cosA 1

cos 2A = 2

cosA 1

tan 2A = A cos 1

cosA 1


21

ฝกท ำ. เตมค าลงในชองวางใหสมบรณ ค าตอบ (รอบ 1) ค าตอบ (รอบ 2)

cos(A + B ) cos(A – B ) sin(A + B ) sin(A – B )

= = = =

= = = =

21. sin 15o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 426 2. 4

26 3. 423 4. 4

23

22. cos 75o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 426 2. 4

26 3. 423 4. 4

23

23. คาของ cos( 9π ) cos ( 18

π ) – sin ( 9π ) sin ( 18

π ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. 0 3. 21 4. 2

3

ฝกท ำ. เตมค าลงในชองวางใหสมบรณ ค าตอบ (รอบ 1) ค าตอบ (รอบ 2) ค าตอบ (รอบ 3)

tan(A + B )

tan (A – B )

cot(A + B )

cot (A – B )

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=


22

24. จงพจารณาขอความตอไปน ก. tan (45o + A) = tanA 1

tanA 1 ข. otan25otan20 1

otan25otan20

= 1

ขอความตอไปนขอใดถก 1. ก. ถก ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด


2 sinA cosB 2 cosA sinB 2 cosA cosB 2 sinA. sinB

= …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A + B) – ……..(A – B) = …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A – B) – ……..(A + B)

= …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A + B) – ……..(A – B) = …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A – B) – ……..(A + B)


2 sinA . cosB 2 cosA. sinB 2 cosA. cosB 2 sinA. sinB

= ……………………………………. = ……………………………………. = ……………………………………. = …………………………………….

= ………………………………………. = ………………………………………. = ………………………………………. = ……………………………………….

25. จงหาคาของ 2 sin75o cos15o

1. 23 1 2. 2

3 1 3. 23 2 4. 2

3 2

26. จงหาคาของ sin 45o . cos 15o

1. 4 1 3 2. 4

1 3 3. 2 1 3 4. 2

1 3


23


sinA + sinB

sinA – sinB

cosA + cosB

cosA – cosB

= 2…….. 2BA ……… 2

BA = 2…….. 2

BA ……… 2BA

= 2…….. 2BA ……… 2

BA = –2…….. 2

BA ……… 2BA

= = = =

27. จงหาคาของ sin 75o + sin 15o

1. – 2 2 2. 2

2 3. – 2 6 4. 2

6

28. จงหาคาของ cos 75o – cos 15o

1. – 2 2 2. 2

2 3. – 2 6 4. 2

6


sin2A sin2A cos2A cos2A cos2A tan2Acot2A


24

29. ถา cos x = 73 แลว cos 2x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 4931 2. – 25

7 3. 4931 4. 25

7 30. ถา sin x =

54 แลว cos 2x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 4931 2. – 25

7 3. 4931 4. 25

7

31. ถา tan x = 21 แลว tan 2x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 43 2. – 3

4 3. 43 4. 3

4


sin 2A

cos 2A

tan 2A

=

=

=

=

=

=

=

=

=


25

32. คาของ cos 15o เทากบขอใดตอไปน

1. 32 2. 32 3. 232 4. 2

32

33(แนว มช) ถา cos 70o = k เมอ k เปนคาคงตว แลว sin 35o มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 21 k 2. – 2

1 k 3. 2 k 1 4. – 2

k 1

8.7 เอกลกษณและสมกำรตรโกณมต

8.7.1 เอกลกษณ เอกลกษณตรโกณมต คอสมการตรโกณมตซงเปนจรงเสมอ เชน cos2 + sin2 = 1 สมการนเปนจรงเสมอไมวา จะมคาเปนเทาใดกตาม สมการนจงเรยกเอกลกษณตรโกณมต

34. พจารณาขอความตอไปน a) tan cot – cos2 = sin2 b) cos ( tan + cot ) = csc c) csc x – sin x = cos x cot x ขอความทก าหนดน เปนจรงกขอ 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


26

35. พจารณาขอความตอไปน (ก) tan2 – sin2 = tan2 sin2 (ข) sin2 tan + cos2 cot + 2 sin cos = tan + cot ขอใดถกตอง 1. (ก) ถก (ข) ถก 2. (ก) ถก (ข) ผด 3. (ก) ผด (ข) ถก 4. (ก) ผด (ข) ผด

36. ถา A + B + C = 180o จงพจารณาขอความตอไปน

(ก) sin A = sin (B + C) (ข) cos A = – cos(B + C) ขอใดถกตอง 1. (ก) ถก (ข) ถก 2. (ก) ถก (ข) ผด 3. (ก) ผด (ข) ถก 4. (ก) ผด (ข) ผด

8.7.2 สมกำรตรโกณมต สมการตรโกณมต คอสมการทมฟงกชนตรโกณมตปรากฏอย ขนตอนการแกสมการตรโกณมตเบองตน

ขนท 1 หาวาค าตอบจะอยในควอดรนตทเทาใด ขนท 2 หาค าตอบพนฐาน โดยไมตองสนใจคาบวกและลบของฟงกชนตรโกณมต ขนท 3 หาค าตอบจรงในควอดรนตทหาไวจาก ในควอรดรนต 1 = ทไดจากขน 2 ในควอรดรนต 2 = 180o – ทไดจากขน 2 ในควอรดรนต 3 = 180o + ทไดจากขน 2 ในควอรดรนต 4 = 360o – ทไดจากขน 2


27

ตวอยำง จงแกสมการ sin = – 23

แนวคด ขนท 1 เนองจากคา sin เปนลบ แสดงวา อยในควอดรนตท 3 และ 4

ขนท 2 คดเฉพาะ sin = 23

จะได = 60o ขนท 3 ในควอรดรนต 3 = 180o + ทไดจากขน 2 = 180o + 60o = 240o ในควอรดรนต 4 = 360o – ทไดจากขน 2 = 360o – 60o = 300o ดงนน เซตค าตอบ คอ { 240o , 300o }

ตวอยำง จงแกสมการ tan = 1 แนวคด ขนท 1 เนองจากคา tan เปนบวก แสดงวา อยในควอดรนตท 1 และ 3 ขนท 2 คดเฉพาะ tan = 1 จะได = 45o ขนท 3 ในควอรดรนต 1 = ทไดจากขน 2 = 45o ในควอรดรนต 3 = 180o + ทไดจากขน 2 = 180o + 45o = 225o ดงนน เซตค าตอบ คอ { 45o , 225o }

ฝกท ำ. ถา 0o 360o แลว จงแกสมการตอไปน

1. sin = 21 2. cos = – 2

3 3. tan = – 3

ฝกท ำ. ถา 0o 360o แลว จงแกสมการตอไปน

1. sin = – 23 2. cos = 2

1 3. tan = 1

ฝกท ำ. ถา 0o 360o แลว จงแกสมการตอไปน 1. sin = 1 2. sin = 0 3. sin = –1 4. cos = 1 5. cos = 0 6. cos = –1


28

ฝกท ำ. ถา 0o 360o แลว จงแกสมการตอไปน 1. sec = –2 2. cot = 3

1 3. cosec = – 32

37. ถา 0o 360o แลวผลบวกค าตอบของสมการ 2 sin – 1 = 0 คอขอใดตอไปน 1. 90o 2. 180o 3. 270o 4. 360o

38. ถา 0o 360o แลวสมการ 3 tan2 – 1 = 0 มค าตอบกจ านวน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

39. คาของ x จากสมการ 4 cos x = 3 sec x เมอ 0o x 360o มกจ านวน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

40. คา ทเปนค าตอบของสมการ sin2 – 3cos2 = 0 เมอ 90o 180o มกจ านวน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


29

41. ถา 0 2 แลว ค าตอบของสมการ 2 cos2 + cos = 0 คอเซตขอใดตอไปน 1. { 2

π , 32π , , 3

5π } 2. { 3π , 3

2π , 34π , 3

5π }

3. { 2π , 2

3π , 32π , 3

4π } 4. { 2π , 3π , 4π , 6π }

42. ถา 0 2 แลวสมการ 2 sin2 – sin – 1 = 0 จะมค าตอบทงหมดกค าตอบ 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

43. ถา 0 2 แลวสมการ 2 sin2 – 3 cos = 3 จะมค าตอบทงหมดกค าตอบ 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

เทคนค กำรแกสมกำรตรโกณมตของมม 2 , 3 , 4 , …… ขนท 1 หาคา n ในชวง 0 x 2 กอน ขนท 2 หากตองการหาค าตอบของ n ใหน า 2 , 4 , 6 , ..... , 2n บวกมมจากขน 1 ขนท 3 น า 2 , 3 , 4 , .... , n หารตลอด


30

44. ถา 0 x 2 แลว ผลบวกค าตอบของสมการ sin 3x = 0 มคาเทากบขอใด 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5

45. ถา 0 x 2 แลว ผลบวกค าตอบของสมการ 2 cos 2x = 1 มคาเทากบขอใด 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5

8.8 ตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต

f = { (x , y) y = sin x , – 2π x 2

π } ฟงกชนไซน f–1 = { (x , y) x = sin y , – 2

π y 2π } ฟงกชนอารคไซน

f–1 = { (x , y) y = arcsin x , – 2π y 2

π } ฟงกชนอารคไซน

g = { (x , y) y = cos x , 0 x } ฟงกชนโคไซน g–1 = { (x , y) x = cos y , 0 y } ฟงกชนอารคโคไซน g–1 = { (x , y) y = arccos x , 0 y } ฟงกชนอารคโคไซน

h = { (x , y) y = tan y , – 2π x 2

π } ฟงกชนแทนเจนต h–1 = { (x , y) x = tan y , – 2

π y 2π } ฟงกชนอารคแทนเจนต

h–1 = { (x , y) y = arctan x , – 2π y 2

π } ฟงกชนแทนเจนต

สตรส ำหรบหำคำ arc ของจ ำนวนจรงทมคำเปนลบ arccos ( –x ) = 180o – arccos ( x ) arcsin ( –x ) = – arcsin ( x ) = 360o – arcsin ( x ) arctan ( –x ) = – arctan ( x ) = 360o – arctan ( x )


31

สตรส ำหรบหำคำ arccot , arcsec , arccosec arccot (x) = arctan ( x1 )

arcsec (x) = arccos ( x1 ) arccosec (x) = arcsin ( x1 )

สตรทควรทรำบเกยวกบ arc

arcsin (x) = arccos ( 2x1 )

arccos (x) = arcsin ( 2x1 ) sin (arcsin x) = x เมอ –1 x 1 cos (arccos x) = x เมอ –1 x 1 tan (arctan x) = x เมอ – x +

arcsin (sin x) = x เมอ – 2π x 2

π

arccos (cos x) = x เมอ 0 x arctan (tan x) = x เมอ – 2

π x 2π

arcsin x + arccos x = 2π

arctan x + arccot x = 2π

arcsec x + arccosec x = 2π

arctan A + arctan B = arctan A.B 1B A

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน

1) arcsin ( 21 ) 2) arccos ( 2

3 ) 3) arctan ( 31 )

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1) arcsin (1) 2) arcsin (0) 3) arcsin (–1) 4) arccos (1) 5) arccos (0) 6) arccos (–1)


32


1) arcsin (– 22 ) 2) arctan (–1) 3) arccos (– 2

2 )

ฝกท ำ. จงหาคาตอไปน 1) arcsec (2) 2) arccosec ( 3

2 ) 3) arccot ( 3 )

46. คาของ tan (arccos 23 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 31 2. 1 3. 3 4. หาคาไมได

47. คาของ cos (arctan 512 ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 13

5 2. 1312 3. 12

5 4. 1 48. คาของ sin (arctan [– 9

40 ]) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. – 41

40 2. – 419 3. 41

40 4. 419


33

49. คาของ tan (arccos [– 4140 ]) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 4041 2. – 40

9 3. 4041 4. 41

9

50(แนว มช) sin [ 2 arctan (– 125 ) ] มคาเทากบคาในขอใด

1. – 1312 2. 13

12 3. 169120 4. – 169

120

51(แนว En) cos (2 arcsin 3

1 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 31 2. 2

1 3. 2 4. 3


1) tan arc tan (–1) 2. tan arc cot (– 3 ) 3) cos arc sec (– 1213 )

4) sin arc cosec 2 5) cos arc sin 54 6) sin arc cos 5

4

7) cos – arc cos x 8) cos (arccos 7 ) 9) sin (arccosec 91 )


34

52(แนว มช) arcsin (sin 150o) มคาเทากบคาในขอใด 1. 30o 2. 150o 3. 210o 4. 330o

53(แนว En) sec 21 (arcsin 5

3 + arccos 53 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2 2. 3 3. 1 + 2 4. 2 + 3

54(แนว En) tan 21 (arcsec 54 + arccosec 54 ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 55(แนว En) ถา arccos x – arcsin x = 6

π แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2

1 3. 1 4. 2


35

56(แนว A–Net) sin (arctan 2 + arctan 3) เทากบขอใดตอไปน 1. – 2

1 2. – 21 3. 2

1 4. 21

8.9 กฏของโคไซนและไซน

พจารณาสามเหลยมทมมมเปน A , B , C และมดานตรงกนขามแตละมมยาวเทากบ a , b และ c ตามล าดบ ดงรป

กฎของไซน กลำววำ Csin

c Bsin b sinA

a

กฎของโคไซนกลำววำ a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b 2 = a2 + c2 – 2ac cos B c 2 = a 2 + b2 – 2ab cos C สตรส ำหรบหำพนทรปสำมเหลยม พนท ABC = 2

1 ab sin C พนท ABC = 2

1 bc sin A พนท ABC = 2

1 ac sin B

57. ในรปสามเหลยม ABC ถา A = 120o , B = 45o , b = 5 2 แลว a มคา เทากบขอใดตอไปน

1. 5 2. 5 3 3. 10 4. 10 3

a = ?

45 o 120 o b = 5 2

A B

A

B

C

a

b

c


36

58. ในสามเหลยม ABC ถา a = 2 , b = 2 2 และ A = 30o แลว แลวมม B มขนาดเทาใด 1. 45o 2. 90o 3. 135o 4. ขอ 1. และขอ 2. ถก

59. ในรปสามเหลยม ABC ถา A = 60o , b = 40 และ c = 60 แลว a มคาเทากบขอใด 1. 10 2. 10 7 3. 20 4. 20 7 60. ในรปสามเหลยม ABC ถา B = 120o , a = 4 และ c = 6 แลว b มคาเทากบขอใด 1. 2 2. 2 19 3. 4 4. 4 19


37

8.10 กำรหำระยะทำงและควำมสง

61. พเชษฐยนอยหางจากตกหลงหนง 18 เมตร มองเหนยอดตกและเสาอากาศซงอยบนยอดตกเปน มมเงย 30o และ 60o ตามล าดบ แลวความสงของเสาอากาศในหนวยเปนเมตร

1. 6 2 2. 6 3 3. 12 2 4. 12 3

62. เรอสองล าทอดสมออยหางกน 60 เมตร และอยในแนวเสนตรงเดยวกบประภาคาร ทหารใน เรอแตละล ามองเหนยอดประภาคารเปนมมเงย 45o และ 30o จงหาวาเรอล าทอยใกลประภาคาร อยหางจากประภาคารกเมตร

1. 10 ( 3 +1 ) 2. 20 ( 3 +1 ) 3. 30 ( 3 +1 ) 4. 40 ( 3 +1 )


38

เฉลยบทท 8 ฟงกชนตรโกณมต

1. ตอบขอ 2. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 1. 4. ตอบขอ 4. 5. ตอบขอ 2. 6. ตอบขอ 4. 7. ตอบขอ 1. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 3. 10. ตอบขอ 4. 11. ตอบขอ 1. 12. ตอบขอ 1. 13. ตอบขอ 4. 14. ตอบขอ 3. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 1. 17. ตอบขอ 3. 18. ตอบขอ 2. 19. ตอบขอ 4. 20. ตอบขอ 4. 21. ตอบขอ 1. 22. ตอบขอ 1. 23. ตอบขอ 4. 24. ตอบขอ 1. 25. ตอบขอ 4. 26. ตอบขอ 1. 27. ตอบขอ 4. 28. ตอบขอ 1. 29. ตอบขอ 1. 30. ตอบขอ 2. 31. ตอบขอ 4. 32. ตอบขอ 3. 33. ตอบขอ 3. 34. ตอบขอ 4. 35. ตอบขอ 1. 36. ตอบขอ 1. 37. ตอบขอ 2. 38. ตอบขอ 4. 39. ตอบขอ 4. 40. ตอบขอ 1. 41. ตอบขอ 3. 42. ตอบขอ 3. 43. ตอบขอ 3. 44. ตอบขอ 4. 45. ตอบขอ 3. 46. ตอบขอ 1. 47. ตอบขอ 1. 48. ตอบขอ 1. 49. ตอบขอ 2. 50. ตอบขอ 4. 51. ตอบขอ 1. 52. ตอบขอ 1. 53. ตอบขอ 1. 54. ตอบขอ 2. 55. ตอบขอ 2. 56. ตอบขอ 2. 57. ตอบขอ 2. 58. ตอบขอ 4. 59. ตอบขอ 4. 60. ตอบขอ 2. 61. ตอบขอ 4. 62. ตอบขอ 3.


39

ตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 8 ฟงกชนตรโกณมต ชดท 1

8.1 ฟงกชนไซนและโคไซน

8.2 คำของฟงกชนไซนและโคไซน

8.3 ฟงกชนตรโกณมตอนๆ

8.4 ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสำมเหลยมมมฉำก 1(มช 33) ถา sin = – 5

3 และ tan > 0 แลวคาของ sec – cosec เทากบขอใดตอไปน

1. 121 2. 12

5 3. 127 4. 12

11

8.5 กรำฟของฟงกชนตรโกณมต

8.6 ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตำงของจ ำนวนจรงหรอมม

2(En41 เม.ย.) tan 1211 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 3 11

2. 3 1

3 1 3. 3 1

3 1 4. 3 1

3

3(แนว Pat 1) ถา cos – sin = 35 แลวคาของ sin 2 เทากบขอใดตอไปน

1. 134 2. 13

9 3. 94 4. 9

13

4(แนว Pat 1) คาของ ocos10ocos30osin10

osin30 เทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. 1 3. 2 4. –2

5(แนว Pat 1) ถา 1 – cot 20o = 25 cot 1x แลว x มคาเทาใด

6(En48 ม.ค.) ถา A 2cos3A 2cos A 2sin

3A 2sin = 2 แลว cos 2A มคาเทากบขอใดตอไปน

31 4. 2

1 3. 21 2. 4

1 1.

7(En46 ต.ค.) ถา Bsin Asin = 3

2 และ B cosA cos = 2

1 แลว tan2 B มคาเทากบขอใด

ตอไปน 1. 4 2. 2

3 3. 1 4. 32


40

8(En 38) ก าหนดให cos ( + ) = 1034 3 และ cos ( – ) = 10

34 3 คา ข อ ง sin 2 sin 2 เทากบขอใดตอไปน

1. 25312 2. 25

36 3. 2536 4. 25

312

9(En44 ต.ค.) ถา sin 15o + sin 55o = x และ cos 15o + cos 55o = y แลว (x + y)2 – 2xy เทากบขอใดตอไปน 1. 4 cos2 20o 2. 2 cos2 20o

3. 4 cos2 40o 4. 2 cos2 40o

10(En 40) ก าหนดให 5 cos 3A cosA + 5 sin 3A sin A = –3 เมอ 0 A 2

ขอใดตอไปนคอคาของ tan A 1. 1

2 2. 1 3. 32 4. 2

8.7 เอกลกษณและสมกำรตรโกณมต

8.7.1 เอกลกษณ 8.7.2 สมกำรตรโกณมต

11(En 40) ก าหนดให x 0 , 4 เซตค าตอบของสมการ cos x = 3 (1 – sin x) คอ ขอใดตอไปน 1. 6

13 ,65 ,6

2. 613 ,2 ,6

5 3. 2

5 ,613 ,2 ,6

4. 45 ,2 ,6

5 ,6

12(En42 ต.ค.) cos A 0 A 34 และ 5 – 3 sin 3A มคามากทสด เปนสบเซตของ

เซตในขอใดตอไปน

1. { – 21 , 0 , 2

3 } 2. { – 23 , – 2

1 , 0 }

3. { 0 , 21 , 2

3 } 4. { – 23 , – 2

1 , 23 }

8.8 ตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต

13(มช 31) arcsin 1 + arcsin (– 21 ) + arctan ( 3

1 ) มคาเทากบขอใด

1. 2 2. 3

3. 32 4. 6

5


41

14(มช 35) + arccos 23 + arctan (–1) มคาเทากบ ...............

1. 2 2. 3

3. 127π 4. 12

11π

15(มช 41) จงหาคาของ )2

3( arccos

1)arcsin( )21arcsin(

1. –1.6 2. –0.8 3. 0.8 4. 1.6

16(En46 ต.ค.) 1 + cos ( 2 + (arccos 54 – arctan 3

4 ) ) เทากบเทาใด

17(แนว Pat1) ถา (sin + cos )2 = 23 เมอ 0 4

แลว arccos (tan 3) มคา เทาใด

18(En48 ม.ค.) ถา tan (arccos x) = – 3 แลว คาของ x sin (2arccos x) เทากบขอใดตอไปน

43 4. 2

1 3. 21 2. 4

31.

19(En41 เม.ย.) ให arccos 54 + arcsin 1312 + X = 2

แลว tan X มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 63

16 2. 636 3. 63

16 4. 636

20(En 39) คาของ

5

1arcsin 2tan เทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. 1 3. 43 4. – 4

3

21(En47 ม.ค.) คา sin 21arctan 2 + cot2 3

1arcsin เทากบเทาใด

22(มช 26) จงหาคา sin (2 tan–1 x2 )

1.

4x 1

22x

2.

2x 1

22x

3.

2x 12x

4.

4x 1

42x

23(En 39) คาของ tan [ 2 arcsin (– 51 ) ] เทากบขอใดตอไปน

1. – 1 2. 1 3. 34 4. – 3

4

24(มช 34) จงหาคา sin [2 arccos (– 53 ) ]

1. 2516 2. 25

24 3. 2516 4. 25

24

25(En41 ต.ค.) sec (2 arcsin 31 ) มคาเทากบเทาใด


42

26(En42 ม.ค.) ให A เปนเซตค าตอบของสมการ cos (2 arc sin x) + 2 = 4 sin2 (arc cos x) ขอใดตอไปนคอผลคณของสมาชกในเซต A 1. – 4

1 2. – 41 3. 4

1 4. 41

27(En46 ม .ค .) ถา arccos x – arcsin x = 6π แลว arccos x – arctan 2x มคาเทากบขอใด

ตอไปน 1. 12

2. 125 3. 12

7 4. 1211

28(แนว Pat1) ถา arcsin (5x) + arcsin (x) = 2π แลวคาของ tan ( arcsin x ) เทากบขอใด

ตอไปน 1. 51 2. 3

1 3. 31 4. 2

1

29(แนว Pat1) ให –1 x 1 เปนจ านวนจรงซง arccos x – arcsin x = 2552 แลว

คาของ sin ( 2552 ) เทากบขอใดตอไปนไป

1. 2x 2. 1 – 2x2 3. 2x2 – 1 4. –2x

30(En 38) เซตค าตอบของสมการ arctan (1 + x) + arctan (1 – x) = 4 เปนสบเซตของ

เซตในขอใดตอไปน 1. (–4, 0) 2. (–3, 1) 3. (–2, 2) 4. (–1, 3)

31(En 40) จ านวนสมาชกของเซตค าตอบของสมการ arccos (x – x2) = arcsin x + arcsin(x – 1) เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

8.9 กฏของโคไซนและไซน

32(แนว Pat1) ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม A เทากบ 60o , BC = 6 และ AC = 1 คาของ cos (2B) เทากบขอใดตอไปน

1. 41 2. 2

1 3. 23 4. 4

3

33(En47 ต.ค.) ก าหนดใหรปสามเหลยม ABC มดาน BC ยาว 3 หนวย ดาน AC ยาว

2 หนวย ถามม B = arctan

31 แลวคาของ sin (A + B) + sin (A – B) เทากบเทาใด


43

34(En41 เม.ย.) ให ABC เปนสามเหลยมดงรป คา sin22B เทากบในขอใดตอไปน

1. 283

2. 287

3. 2812

4. 2821

35(แนว Pat 1) ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมและ D เปนจดกงกลาง BC ถา AB = 4 หนวย AC = 3 หนวย และ AD = 2

5 หนวย แลวดาน BC ยาวเทากบขอใดตอไปน 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6

เฉลยตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 8 ฟงกชนตรโกณมต ชดท 1

1. ตอบขอ 2. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 3. 4. ตอบขอ 3. 5. ตอบ 2 6. ตอบขอ 1. 7. ตอบขอ 2. 8. ตอบขอ 4. 9. ตอบขอ 1. 10. ตอบขอ 4. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 2. 13. ตอบขอ 1. 14. ตอบขอ 4. 15. ตอบขอ 4. 16. ตอบ 1.28 17. ตอบ 0 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบขอ 4. 21. ตอบ 8.8 22. ตอบขอ 1. 23. ตอบขอ 4. 24. ตอบขอ 4. 25. ตอบ 3 26. ตอบขอ 2. 27. ตอบขอ 1. 28. ตอบขอ 1. 29. ตอบขอ 2. 30. ตอบขอ 3. 31. ตอบขอ 1. 32. ตอบขอ 4. 33. ตอบ 0.75 34. ตอบขอ 1. 35. ตอบขอ 3.

A

B C

5 7

8

สรปเขมคณตศาสตร เลม 3 http://www.pec9.com บทท 9 เวกเตอรในสามมต

1

บทท 9 เวกเตอรในสามมต

9.1 ระบบพกดฉากสามมต

รปภาพตอไปน เปนรปแสดงพกดฉากสามมตตามกฏมอขวา

แกน +Z จะมทศไปตามนวหวแมมอ แกน +X จะมทศตามหนามอ แกน +Y จะมทศมาตามแขนขวา ดงรป จด ( x , y , z ) คอจดซงอยหางจากจด O มาตามแนวแกน X เทากบ x หนวย

และอยหางจากจด O มาตามแนวแกน Y เทากบ y หนวย และอยหางจากจด O มาตามแนวแกน Z เทากบ z หนวย

การหาระยะระหวางจด 2 จด บนพกดสามมต หากจด ( x1 , y1 , z1) และ ( x2 , y2 , z2) เปนจดซงอยบนพกด 3 มต ระยะหาง ระหวางจดทงสองสามารถหาคาไดจากสมการ

d = 2)2z1(z2)2y1(y2)2x1(x

เมอ d คอระยะหางระหวางจดทงสองนน

Z

Y

X

O

( x , y , z )


2

9.2 เวกเตอร

ปรมาณเวกเตอร คอปรมาณทตองบอกทงขนาด และทศทางจงจะสมบรณ ปรมาณสเกลลาร คอปรมาณทบอกขนาดเพยงอยางเดยวกสมบรณได

โดยทวไปแลวเราจะใชลกศรเขยนแทนเวกเตอรทงขนาดและทศทางของเวกเตอร และใชอกษรแทนจดเรมตนกบจดสดทายของเวกเตอร และอาจใชอกษรจดเรมตนกบจดสดทายนนมาเขยนเปนชอของเวกเตอรกได นอกจากนการเรยกชอของเวกเตอรนน อาจใชอกษรเพยงตวเดยวแทนชอของเวกเตอรกไดดงรป AB อานวา "เวกเตอรเอบ" CD อานวา "เวกเตอรเอบ" u อานวา "เวกเตอรย" v อานวา "เวกเตอรว"

ส าหรบความยาวของเวกเตอรใดๆ อาจเขยนแทนดวย ไดเชน AB แทนความยาวของเวกเตอร AB

u แทนความยาวของเวกเตอร u เวกเตอรศนย ( Zero Vector ) คอเวกเตอรทมขนาดเทากบ 0 และมทศใดๆ กได เขยนแทนดวยสญลกษณ 0

นยามเบองตนของเวกเตอร นยาม 1 u และ v จะขนานกนกตอเมอ u และ v มทศเดยวกนหรอตรงกนขาม

นยาม 2 u และ v จะเทากนกตอเมอ เวกเตอรทงสองมขนาดเทากนและมทศเดยวกน นยาม 3 นเสธของ u คอเวกเตอรทม ขนาดเทากบขนาดของ u แตมทศทางตรงกน ขามกบขนาดของ u เขยนแทนดวย – u

A

B C

D u

v


3

โปรดสงเกต 1) u จะขนานกบ – u เสมอ 2) ปกตแลว u – u ยกเวน u = 0 จะไดวา u = – u

3) – AB = BA – DC = CD PQ = – QP

ST = – TS

การบวกเวกเตอร

นยาม ถาจดปลายของ u เปนจดเดยวกบจดตงตนของ v แลว u + v คอเวกเตอรซงมจดตงตนเปนจดเดยวกบจดตงตนของ u และมจดสนสดเปนจดจดเดยวกบจดสนสดของ v ตวอยาง

คณสมบตของการบวกเวกเตอร ให u , v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ในระนาบ แลว (1) u + v เปนเวกเตอรในระนาบเดยวกบ u , v

(2) u + v = v + u (3) ( u + v ) + w = u + ( v + w )

(4) 0 + u = u และ u + 0 = u (5) u + (– u ) = 0 และ (– u ) + u = 0 (6) ถา u = v แลวจะได u + w = v + w (7) u k ไมมความหมาย เมอ k เปนสเกลลาร เชน u + 8 ไมมความหมาย

การลบเวกเตอร นยาม ให u และ v เปนเวกเตอรใดๆ ในระนาบ แลว u – v และ u + (– v ) จะเหนวาการลบเวกเตอร กคอการบวกดวยนเสธของ เวกเตอรนนๆ นนเอง


4

ฝกท า. จงเขยนเวกเตอร PQ ใหอยในรปผลบวก ลบ ของเวกเตอร a , b หรอ c 1. 2. 3. 4.

PQ =................ PQ =................ PQ =................ PQ =................

1. จากรปหกเหลยมดานเทามมเทา ขอใดตอไปนไมถกตอง 1. AB + BC = AC 2. AE + ED = AB+ BD 3. AF + FE + ED = AC + CD 4. AC + CD + DE = AF + FD

2. ก าหนดจด A , B , C , D , E และ F บนระนาบ จงพจารณาขอความตอไปน (ก) DC + BA + CB + AD = 0 (ข) AB + DE + BC + EF + CA + FD = 0 (ค) AB – DC + BC – FE + DE – AF 0

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ขอความ (ก) – (ค) ถกเพยง 1 ขอ 2. ขอความ (ก) – (ค) ถกเพยง 2 ขอ 3. ขอความ (ก) – (ค) ถกทกขอ 4. ขอความ (ก) – (ค) ผดทกขอ การคณเวกเตอรดวยสเกลลาร

นยาม ให a เปนจ านวนจรงและ u เปนเวกเตอร ผลคณระหวาง a และ u เปนเวกเตอรทเขยนแทนดวย a u โดยท

1) ถา a > 0 แลว a u จะมขนาดเทากบ a u และมทศทางเดยวกบ u

2) ถา a < 0 แลว a u จะมขนาดเทากบ a u และมทศตรงกนขามกบ u

3) ถา a = 0 แลว a u = 0

F C

E D

A B

P

Q

a

b a

b

c a

b

c

P

Q

a

b P

Q

P Q


5

คณสมบตของการคณเวกเตอรดวยสเกลาร ให u และ v เปนเวกเตอรใดๆ a และ b เปนจ านวนจรง แลว (1) a u เปนเวกเตอร

(2) a (b u ) = ( a b) u = b (a u ) (3) (a + b) u = a u + b u

(4) a ( u + v ) = a u + a v (5) 1 u = u

3. ในรป ABC เสน AD เปนเสนมธยฐาน BA = a และ BD = b จงหาวา CA คอขอใด 1. a 2. a – b 3. a – 2 b 4. a + 2 b

4. จากรป DC : BD = 1 : 2 จงเขยน AD ในเทอม ของ u และ v

1. 3 2 vu 2. 3

2 vu

3. 2 uv 4. 2

uv

5. ถา AC : CB = 5 : 2 แลว จงเขยน OC ในรป ของ u และ v

1. 3 5 2 vu 2. 3

2 vu

3. 7 5 2 vu 4. 7

2 vu

A C B

O

5 2

u v


6

6(แนว Pat 1) ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทม D เปนจดบนดาน AC และ F เปนจดบน ดาน BC ถา AD = 4

1 AC , BF = 31 BC และ DF = a AB + b BC แลว

4a + 24b เทากบเทาใด

9.3 เวกเตอรในระบบพกดฉาก 9.3.1 เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต

ในระบบพกดฉากสองมตนน เราอาจเขยนสญลกษณแทนเวกเตอรใดๆ ในรป

y

x

โดยท x คอความยาวจากจดเรมตนถงจดสดทายของเวกเตอรในแนวนอน ถา x มคาเปนบวกแสดงวามทศไปทางขวามอ ถามคาเปนลบแสดงวามทศไปทางซายมอ และ y คอความยาวจากจดเรมตนถงจดสดทายของเวกเตอรในแนวดง ถา y มคาเปนบวกแสดงวามทศขนไปดานบน ถามคาเปนลบแสดงวามทศลงไปทางดานลาง ตวอยาง

ถาเวกเตอร AB มจดเรมตนอยทจด A (x1 , y1) และจดสดทายอยท B (x2 , y2) จะไดวา

AB =

1 y2y1x2x

A (x1 , y1)

B (x2 , y2)


7

ฝกท า. จงวาดรปคราวๆ ของเวกเตอรตอไปน

1.

3

2 2.

1

4 3.

4

2 4.

5

2

7. ก าหนดจด A (1 , 2) และ B (3 , 4) แลว AB เทากบขอใดตอไปน

1.

3

2 2.

1

4 3.

2

2 4.

2

2

9.3.2 เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต จะเขยนอยในรป

z

y

x

เมอ x คอความยาวตามแนวแกน X จากจดเรมตน

y คอความยาวตามแนวแกน Y จากจดเรมตน

z คอความยาวตามแนวแกน Z จากจดเรมตน

ถา A ( x1 , y1 , z1) และ B ( x2 , y2 , z2) เปนจดตงตนและจดปลายของ AB ใดๆ แลว

จะไดวา AB =

1z2z1y2y1x2x

8. ให P มพกดเปน (3 , 4 , –4 ) และ Q มพกดเปน (5 , 0 , 7 ) แลว PQ คอขอใดตอไปน

1.

11

4

2

2.

11

4

2

3.

11

4

2

4.

11

4

2


8

บทนยาม เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

การเทากน

d

c

b

a

กตอเมอ a = c และ b = d

f

e

d

c

b

a

กตอเมอ a = d , b = e และ c = f

การบวกเวกเตอร

db

ca

d

c

b

a

fc

eb

da

f

e

d

c

b

a

การลบเวกเตอร

db

ca

d

c

b

a

fc

eb

da

f

e

d

c

b

a

การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

b

a

b

a

เมอ เปนจ านวนจรงใดๆ

c

b

a

c

b

a

เวกเตอรศนย

เวกเตอรศนยคอ

0

0 เวกเตอรศนยคอ

0

0

0

9. ก าหนดให CD =

1

3

และ C (2 , 3) แลวพกดของจด D เทากบขอใดตอไปน

1. (1 , 4) 2. (–1 , 4) 3. (1 , –4) 4. (–1 , –4)

10. ก าหนดให A (–1 , 3) , B (x , y) , C (4 , 6) และ AB =

45

แลว BC เทากบ

เวกเตอรขอใดตอไปน

1. BC = 1

10

2. BC =

110

3. BC =

110 4. BC =

110


9

9.3.3 เวกเตอรหนงหนวย เวกเตอรหนงหนวย คอเวกเตอรทมความยาวหนงหนวยไมวาจะมทศใดกตาม

ในระบบพกดฉากสองมตเวกเตอรหนงหนวยทควรรจกไดแก i =

01 และ j =

10

ควรทราบวา

ba = a i + b j

ในระบบพกดฉากสามมต เวกเตอรหนงหนวยทควรรจกไดแก

i =

0

0

1

, j =

0

1

0

และ k =

1

0

0

ควรทราบวา

c

b

a

= a i + b j + c k

11. OA =

41 , OB =

23 , O เปนจดก าเนดในระบบแกนมมฉาก แลว AB เทากบ

เวกเตอรขอใดตอไปน 1. –2 i + 2 j 2. 2 i – 2 j 3. 2 i + 2 j 4. –2 i – 2 j

12. ก าหนดให OA =

100 ; OB =

2218 และ P เปนจดๆ หนงบน AB และ

AP : PB = 1 : 3 แลว OP เทากบขอใดตอไปน

1. 12 i + 18 j 2 . j 715 i 7

54 3. 3 i + 17 j 4. j 13 i 29


10

9.3.4 เวกเตอรทขนานกน

ถา

ba ขนานกบ

dc จะไดวา b

a = dc

และ ถา

c

b

a

ขนานกบ

f

e

d

จะไดวา a : b : c = d : e : f

13. ก าหนดให u = a i – 2 j และ v = 2 i – 3 j ถา u ขนานกบ v แลว a มคา เทากบขอใดตอไปน 1. 3

4 2. 43 3. 3

2 4. 23

14. ก าหนดให u = a i + 3 j + b k , v = 2 i – 2 j + k ถา u ขนานกบ v แลว 2 a + b มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –6 2. – 2

15 3. 6 4.

9.3.5 ขนาดของเวกเตอร ก าหนด ความยาวของ u เขยนแทนดวย u

และ ถา u =

ba แลว u =

b

a

= 2 b 2a

ถา u =

c

b

a

แลว u =

c

b

a

= 2c 2 b 2a


11

ฝกท า. จงหาขนาดของเวกเตอรตอไปน

31

12

65

43

, , ,

15. ขนาดของเวกเตอร

3

1

1

มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 5 2. 10 3. 11 4. 13

16. ถา u = a i + 12 j และ u = 13 แลว a เทากบขอใดตอไปน 1. 5 2. 5 3. 10 4. 10

ควรทราบเพมเตม

เวกเตอรทมความยาว k หนวย = k u

u


u


u

17. เวกเตอรทมขนาด 10 หนวย และทศเดยวกบ 3 i – 4 j คอขอใดตอไปน 1. 3 i + 4 j 2. 3 i – 4 j 3. – 3 i + 4 j 4. – 3 i – 4 j

และมทศทางเดยวกบ u

และมทศทางตรงขามกบ u

และขนานกบ u


12

18(แนว Pat1) ก าหนดให j4 i 3 u ถา j b i a w โดยท w มทศตรงกนขามกบ u และ w = 10 แลว a – b เทากบเทาใด

19. ให u =

2

1 , v =

2

3 แลวเวกเตอร 2 หนวย และมทศทางเดยวกบ u – 2 v คอ

เวกเตอรในขอใดตอไปน 1. 29

10 i + 294 j 2. 29

10 i – 294 j

3. – 2910 i + 29

4 j 4. – 2910 i – 29

4 j

20(แนว En) ก าหนดให ABC เปนสามเหลยมม D เปนจดบนดาน AB ซงแบง AB เปน

อตราสวน AD : DB = 3 : 2 , CA = 3 i – 2 j และ CB = 2 i + 3 j แลว 5 CD เทากบขอใดตอไปน

1. 9 2. 11 3. 13 4. 14


13

9.3.6 โคไซนแสดงทศทาง

ถา u =

c

b

a

โคไซนแสดงทศทางของ u คอจ านวนสามจ านวนเรยงล าดบดงน

au

,

bu

,

bu

โดยท u 0

21. ก าหนดให a = 3 i + 4 j + 5 k โคไซนแสดงทศทางของ a คอขอใดตอไปน 1. 2

3 , 24 , 2

5 2. 53 , 54 , 1

3. 253 , 25

4 , 255 4. 2

3 , 2 , 25

เวกเตอรสองเวกเตอร จะมทศทางเดยวกน กตอเมอ มโคไซนแสดงทศทางชดเดยวกน และจะมทศทางตรงกนขาม ตอเมอโคไซนแสดงทศทางเทยบแตละแกนของเวกเตอรหนงเปนจ านวนตรงขามกบโคไซนแสดงทศทางของอกเวกเตอรหนง

ฝกท า. จงตรวจสอบวาเวกเตอรตอไปน คใดมทศเดยวกน ก. เวกเตอร PQ มจดเรมตนท P ( 1 , 2 , 3 ) และ จดสนสดท Q (2 , –3 , 5) ข. เวกเตอร OR ซงมจดเรมตนทจดก าเนดและจดสนสดท R (–3 , 15 , –6 ) ค. a = 2 i – 10 j + 4 k

9.4 ผลคณเชงสเกลาร

ผลคณเชงสเกลลารของ u และ v เขยนแทนดวย v u

ถา u =

b

a และ v =

y

x

จะไดวา u v = a x + b y

ถา u =

c

b

a

และ v =

z

y

x

จะไดวา u v = a x + b y + c z


14

22(แนว En) ถา C เปนจดกงกลางของเสนตรงทเชอมจด A (3 , –1) และ B (–1 , 3) แลว เวกเตอรทมขนาดเทากบ CB AC และมทศทางเดยวกบ AB คอขอใดตอไปน 1. –4 i + 4 j 2. 4 i – 4 j

3. –4 2 i + 4 2 j 4. 4 2 i – 4 2 j

สมบตทส าคญของผลคณเชงสเกลาร 1. ให u , v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ในสองมต หรอสามมต และ a เปนสเกลารจะไดวา 1.1 u . v = v . u

1.2 w. uv. u )wv( . u 1.3 )v.(a u v . )u(a )v . ua( 1.4 0 u 0 .

1.5 2 u u . u 1.6 k . kj. ji . i = 1

0 k . jk . ij . i 2. ถา เปนมมระหวาง u และ v ซง 0 180o แลว u . v = vu cos

( มมระหวางเวกเตอร หมายถงมมทไมใชมมกลบ ซงมแขนของมมเปนรงสทขนาน และม ทศทางเดยวกนกบเวกเตอรทงสอง)

3. ถา u และ v เปนเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนย u ตงฉากกบ v กตอเมอ u . v = 0

23. ให u เปนเวกเตอรทมความยาว 12 หนวย และ v เปนเวกเตอรซงยาวหนงหนวย และ v ท ามม 60o กบ u จงหา u v

1. 4 2. 6 3. 8 4. 10


15

24. ให a = i – j , b = 4 i ถา เปนมมระหวาง a และ b แลวคาของ คอขอใด 1. 0o 2. 30o 3. 45o 4. 60o

25. จงหาคา a ทท าใหเวกเตอร a1

ตงฉากกบเวกเตอร 61-

1. 6 2. 61 3. –6 4. – 6

1

26(แนว มช) ให j4 i3 A จงหาเวกเตอรหนงหนวยทตงฉากกบ A

1.

3/54/5

2.

3/54/5 3.

3/54/5

4. ขอ 1. และขอ 2.

27(แนว En) พจารณาขอความตอไปน เมอ v , u เปนเวกเตอร ถา u = v 0 แลว ( u – v ) . ( u + v ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2

28(แนว En) ให a = 3 i + 4 j และ a ( a – b ) = 23 ถา เปนมมระหวาง a และ b

แลว b cos มคาเทาใด 1. 5

13 2. 59 3. 5

7 4. 52


16

ควรทราบเพมเตม

1) 2vu = 2u + 2v + 2 u v

2) 2vu = 2u + 2v – 2 u v

3) 2vu + 2vu = 2 2u + 2 2v

4) 2vu – 2vu = 4 u v

5) ( u + v ) ( u – v ) = 2u – 2v

29. ถา u = 10 , v = 6 , u – v = 14 แลว มมระหวาง u . v มคาเทากบขอใด 1. 30 2. 60 3. 80 4. 90

30. ถา u + v + w 0 , u = 5 , v = 12 และ w = 13 แลวมมระหวาง u กบ v มคากองศา 1. 30o 2. 60o 3. 90o 4. 120o

31(แนว En) ถา vu = 5 และ u = 2 และมมระหวาง u และ v เปน 60 องศา แลว v u + เทากบขอใดตอไปน 1. 7 2. 12 3. 29 4. 39

32(แนว En) ถา u + v = 32 และ u – v = 24 แลว u . v เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 6 3. 8 4. 12


17

u

v

u x v

33(แนว En) ถา u = 4 , v = 3 และ u + v = 14 แลว u – v เทากบขอใด 1. 6 2. 14 3. 11 4. 2

11

34(แนว Pat 1) ก าหนดให u และ v เปนเวกเตอรทมขนาดหนงหนวย ถาเวกเตอร 3 u + v ตง ฉากกบเวกเตอร u + 3 v แลวเวกเตอร u – v มขนาดเทากบขอใดตอไปน 1. 3 หนวย 2. 3 2 หนวย 3. 2.4 หนวย 4. 3.2 หนวย

9.5 ผลคณเชงเวกเตอร

บทนยาม ผลคณเชงเวกเตอรของเขยนแทนดวย u x v อานวาเวกเตอรยครอสเวกเตอรว

ถา

3a2a1a

u และ

3b2b1b

v

แลว u x v =

1b2a2b1a3b1a1b3a2b3a3b2a

หรอ u x v = k 2b1b2a1a

j 3b1b3a1a

i 3b2b3a2a

ทศทางของ u x v สามารถหาไดจาก กฎมอขวา โดยแบมอขวาแลวกางหวแมมอออก ใชนวทงสชไปตามทศของ u แบหนามอไป ตามทศของ v แลวนวหวแมมอจะชไปตามทศ ของ u x v ดงรป


18

35. ก าหนดให k4 j3 iv , k 3i u แลว u x v มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 9 i + 7 j – 3 k 2. –9 i + 7 j – 3 k

3. 9 i – 7 j – 3 k 4. –9 i – 7 j – 3 k

สมบตทส าคญของผลคณเชงเวกเตอร 1. ก าหนด u , v , w เปนเวกเตอรใดๆ ในสามมต และ k เปนจ านวนจรงใด ๆ 1.1 u x v = – ( v x u )

1.2 ( u + v ) x w = ( u + w ) + ( v x w ) 1.3 u x ( v + w ) = ( u + v ) + ( u x w )

1.4 u x (k v ) = k( u x v ) 1.5 (k u ) x v = k( u x v )

1.6 u x u = 0 1.7 ji k , i k j , kj i xxx

2. ให u , v , w เปนเวกเตอรใด ๆ ในสามมต จะไดวา u .( v x w ) = ( u x v ). w 3. ถา u 0 และ v 0 จะไดวา v uvx u sin

เมอ เปนมมระหวาง u และ v , 0o 180 o 4. ให u และ v เปนเวกเตอรในสามมต ซงไมใชเวกเตอรศนยและไมขนานกน

จะไดวา u x v ตงฉากกบ u และ v

36(แนว Pat1) ก าหนดให k3 i u kx j 2 v เมอ x เปนจ านวนจรง

และ k j i 3 w ถา u , v และ w อยบนระนาบเดยวกนแลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –12 2. –8 3. 8 4. 16


19

การใชเวกเตอรในการหาพนทของรปสเหลยมดานขนาน จากรป เปนมมระหวาง u กบ v

u sin คอสวนสงของรปสเหลยมดานขนาน ดงนน พนทสเหลยมดานขนาน = ฐาน x สง = v u sin = vx u

37. ก าหนดให AB = k4 j3 i และ AD = k j2 i3 แลวพนทของรปสเหลยม ดานขนาน ABCD มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5 3 2. 11 3 3. 8 4. 10 38(แนว มช) ก าหนดหมอนสามเหลยมดงรป ถา AB = –4 k3ji และ k2ji2 AC แลว ปรมาตรของหมอนสามเหลยมเทากบขอใด 1. 7.5 ลกบาศกฟต 2. 15 ลกบาศกฟต 3. 22.5 ลกบาศกฟต 4. 30 ลกบาศกฟต

sin v

u

v

A

B

C 2 ฟต


20

การใชเวกเตอรในการหาปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน

จะไดวา ปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตน = | )rx v( . u | ขอสงเกต 1) )ux r( . v)vx u( . r)rx v( . u

2) ถา u , v และ r อยบนระนาบเดยวกน แลวจะไดวา u .( v x r ) = 0 3) จากเวกเตอร 3 เวกเตอรใดๆ ถาทราบวาเวกเตอรเทากนสองเวกเตอร

ผลคณของ u .( v x v ) = v .( r x r ) = r ( u x u ) = 0

39. ทรงสเหลยมดานขนานทม u = i + j , v = j+ k , r = i + k เปนดานจะมปรมาตรก ลกบาศกหนวย 1. 2.0 2. 4.0 3. 5.5 4. 6.07

ก ำหนดทรงสเหลยมดำนขนำนซงม r และ v, u เปนดำน ดงรป

v x r

u

h

v r


21

เฉลยบทท 9 เวกเตอรในสามมต

1. ตอบขอ 4. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 4. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบ 1 7. ตอบขอ 3. 8. ตอบขอ 1. 9. ตอบขอ 2. 10. ตอบขอ 3. 11. ตอบขอ 2. 12. ตอบขอ 4. 13. ตอบขอ 1. 14. ตอบขอ 2. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 2. 17. ตอบขอ 2. 18. ตอบ 2 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบขอ 3. 21. ตอบขอ 3. 22. ตอบขอ 3. 23. ตอบขอ 2. 24. ตอบขอ 3. 25. ตอบขอ 2. 26. ตอบขอ 4. 27. ตอบขอ 2 28. ตอบขอ 4. 29. ตอบขอ 1. 30. ตอบขอ 3. 31. ตอบขอ 4. 32. ตอบขอ 1. 33. ตอบขอ 1. 34. ตอบขอ 4. 35. ตอบขอ 2. 36. ตอบขอ 4. 37. ตอบขอ 2. 38. ตอบขอ 2. 39. ตอบขอ 1.


22

ตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 9 เวกเตอรในสามมต ชดท 1

9.1 ระบบพกดฉากสามมต

9.2 เวกเตอร 1(แนว Pat 1) ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทม D เปนจดบนดาน AC และ F เปนจดบน ดาน BC ถา AD = 4

1 AC , BF = 31 BC และ DF = a AB + b BC แลว b

a เทากบเทาใด

2(En42 ม.ค.) ก าหนดให ABC เปนสามเหลยมใด ๆ และ E เปนจดทท าให CE = 2 BA ถา BE = a CB + b CA เมอ a , b เปนคาคงตวแลว b – a คอคาในขอใดตอไปน 1. –1 2. 2 3. 3 4. 5

3(แนว Pat 1) ให ABCD เปนรปสเหลยมดานขนาน M เปนจดบนดาน AD ซง AM = 51 AD และ N เปนจดบนเสนทแยงมม AC ซง AN = 6

1 AC ถา MN = a AB + b AD แลว a + b เทากบขอใดตอไปน 1. 15

2 2. 51 3. 31 4. 1

4(En 35) ให ABCD เปนสเหลยมจตรส และ M , N เปนจดกงกลางของดาน BC และ CD ตามล าดบให u = AM และ v = AN แลว AB เทากบขอใดตอไปน

1. 23 u – 2

1 v 2. 23 u – v 3. 3

2 u – 21 v 4. 3

4 u – 32 v

9.3 เวกเตอรในระบบพกดฉาก 9.3.1 เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต 9.3.2 เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต 9.3.3 เวกเตอรหนงหนวย 9.3.4 เวกเตอรทขนานกน 9.3.5 ขนาดของเวกเตอร 5(En 39) ก าหนดให ABC เปนสามเหลยมม D เปนจดบนดาน AB ซงแบง AB เปน

อตราสวน AD : DB = 3 : 2 และ CA = 3 i – 2 j และ CB = 2 i + 3 j แลว CD เทากบขอใดตอไปน

1. 59 2. 511 3. 5

13 4. 514


23

6(En 44 ม.ค.) ให A , B , C เปนจดในระนาบ และ O เปนจดก าเนด โดยท OA = 3 i – 2 j และ OB = 2 i + 5 j ถา AC = 3

2 AB แลว OC 2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 9

113 2. 998 3. 9

193 4. 9153

7(มช 41) ก าหนดให u = – i + 2 j และ v = i + 3 j จงหาเวกเตอรหนวยทมทศทางตรง ขามกบเวกเตอร 3 u – v

1. 54 i + 5

3 j 2. 54 i – 5

3 j 3. – 54 i + 5

3 j 4. – 54 i – 5

3 j

8(มช 35) จงหาเวกเตอรทมขนาด 4 หนวย และขนานกบผลบวกของเวกเตอร

a =

32

และ b =

0 1

1.

322

2.

322

3.

322

4. ขอ 1 และ 2.

9(แนว Pat1) ก าหนดให j4 i 3 u ถา j b i a w โดยท w มทศทางเดยวกนกบ u และ w = 10 แลว a + b เทากบเทาใด

10(En 39) ก าหนดให A , B และ C คอ จดทมพก ดเปน (–5 , 0) , (3 , 6) และ 51 ,52 ตามล าดบ ถา D (a , b) เปนจดทท าให CD มทศทางเดยวกบ AB และขนาดของ CD เทากบ 2 แลว a + b เทากบขอใดตอไปน 1. 3 2. 6 3. 5

29 4. 571

11(มช 32) เวกเตอร j4 i2 u และ j n3m i nm v คา m และ n เปนคาทท า ใหเวกเตอร v มขนาดเปน 2 เทาของเวกเตอร u และมทศทางตรงกนขามกบทศทางของ เวกเตอร u แลว m n มคาเทากบเทาใด

12(En48 ม.ค.) ก าหนดให w, v, u เปนเวกเตอรทสอดคลองกบสมการ 0 w2 v5 u

โดยท j4 i3 u และ u ตงฉากกบ v ถา เปนมมระหวาง u และ w แลว คาของ w cos เทากบเทาใด


24

9.3.6 โคไซนแสดงทศทาง

9.4 ผลคณเชงสเกลาร

13(En 36) ก าหนดให u =

5

2 , v =

2

1 ถา u . w = –11 และ v . w = 8 แ ลว

w – v มคาเทาใดตอไปน 1. 2 2. 3 3. 5 4. 7

14(En 37) ถา C เปนจดกงกลางของเสนตรงทเชอมจด A(3 , –1) และ B(–1 , 3) แลวเวกเตอร ทมขนาดเทากบ CB AC และมทศทางเดยวกบ AB คอขอใดตอไปน 1. –4 i + 4 j 2. 4 i – 4 j

3. –4 2 i + 4 2 j 4. 4 2 i – 4 2 j

15(En 40) ก าหนด A (1 , –1) , B(5 , –4) และ P(2 , 3) เปนจดในระนาบ XY ถา Q เปนจดในระนาบ XY ท AB2PQ แลว BQ . AP เทากบขอใดตอไปน 1. –9 2. –1 3. 9 4. 1

16(En 40) ให j3iv , jiu แลว เวกเตอร w ในขอใดตอไปนมขนาด

2 หนวย และ w . v v . u

1. j3i452

2. j3i452

3. ji526

2 4. ji526

2

17(มช 38) ก าหนดให A (2 ,–1) , B (–2 , 2) เปนจด 2 จด และ C เปนอกจดหนงทท าให AC เปนเวกเตอรหนงหนวย AC ท ามม 60o กบ AB จงหา AC AB 1. 0 2. 2.5 3. 5 4. 10

18(En43 ม.ค.) ก าหนดให u = j 3 i , v = 2 j i ถา เปนมมระหวาง ( u + v ) และ ( u – v ) แลว cos มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5

1 2. 52 3. 51 4. 52

19(En41 ต.ค.) ให j b i a u โดย a > 0 ถา u ตงฉากกบเวกเตอร j 2 i แลว มมระหวางเวกเตอร u กบเวกเตอร j i 3 (มมแหลม) มขนาดกองศา


25

20(En 44 ต.ค.) ก าหนดใหจด A(1 , 1) , B(4 , 10) , C(7 , 9) และ D เปนจดทอย บนดาน AB

โดยท AB

AD = 3

2 ถา คอมมระหวาง CA และ DC แลว cos คอคาในขอใดตอไปน

1. 52 2. 10

2 3. 52 4. 10

2

21(En 36) จด A และจด B มพกดเปน (3 , 0) และ (4 , 1) ตามล าดบ และ AC เปนเวกเตอร ทเกดจากการหมนเวกเตอร AB ทวนเขมนาฬกาไป 120o ถา (a , b) เปนพกดของจด C แลว a + b จะมคาเทาใด

22(มช 50) ก าหนดจด P(0 , –1 , 3) จด Q (a , 1 , 0) และจด R (a , –3 , a+3) เมอ a เปน จ านวนจรง ถาเวกเตอร PQ ตงฉากกบเวกเตอร PR แลว จงหาคาของ a ทมากทสด

23(En 32) ก าหนดให u = a i + b j โดยท b > 0 ถาเวกเตอร u ตงฉากกบเวกเตอร j2 i และมม เปนมมเวกเตอร u ท ากบเวกเตอร j i แลว 9 tan เทากบขอใด 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

24(En 46 ต.ค.) ก าหนดเวกเตอร a , b , c ดงน a = 4 i – 2 j , a + b = 6 i + 4 j และ c = c1 i + c2 j โดยท c1 > 0 , c2 > 0 และ | c | = 2 17 ถา c ตงฉากกบ ( a – b ) แลว c1 + c2 มคาเทากบเทาใด

25(มช 39) ก าหนดให u และ v เปนเวกเตอร ถา u = 2 , v = 3 และ vu = 7 จงหามมระหวางเวกเตอร u และ v 1. 30o 2. 60o 3. 120o 4. 150o

26(En 39) ถา vu = 5 และ u = 2 และมมระหวาง u และ v เปน 60 องศา แลว v u + เทากบขอใดตอไปน 1. 7 2. 12 3. 29 4. 39


26

27(En41 เม.ย.) ก าหนดให A และ B คอจด (–10 , 0) และ (2 , 4) ตามล าดบ แบงสวนของ

เสนตรง AB ทจด C ดวยอตราสวน CB

AC = 3

1 ถา O คอจดก าเนดแลว โคไซนของมม COB

มคากบขอใดตอไปน 1. 10

2 2. 101 3. 10

1 4. 102

28(En41 เม.ย.) ให a = 2 i – j , b = i + 2 j ถา c เปนเวกเตอรหนงหนวยซงท ามมกบ เวกเตอร a เทากบทท ากบเวกเตอร b แลว c คอเวกเตอรในขอใดตอไปน 1. ) j 3 i (10

1 2. ) j 3 i (101

3. ) j i (3101 4. ) j i (310

1

29(En 46 ม.ค) ถา U = 4 i

+ 3 j

, V = U และ U + V = 8 แลว U

. V มคาเทาใด

30(En42 ม.ค.) ถา u + v = 5 2 และ u – v = 26 แลว u . v เทากบขอใดตอไปน 1. 3 2. 6 3. 8 4. 12

31(En 35) ถา u = 4 , v = 3 และ u + v = 6 แลว u – v เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 14 3. 11 4. 2

11

32(En 44 ต .ค .) ก าหนดให U = 22 , U + V = 5 , U – V = 4 ถา เปนมม

ระหวาง U และ V แลว อยในชวงใดตอไปน 1. 0 , 6

2. 6 , 4

3. 4 , 3

4. 3 , 2

33(En42 ต.ค.) ถา u และ v ท ามมกน 60o และ u + v = 37 , u – v = 13 แลว u + v มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5 2. 7 3. 37 4. 50

34(En43 ม.ค.) ก าหนดให u – v = 3 และ u . v = –2 จงพจารณาขอความตอไปน ก. u + v เปนเวกเตอรหนงหนวย ข. u 2 + v 2 = 3 ขอใดตอไปนถกตอง


27

1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

35(En 38) ก าหนดให j 4 + i 3 a และ baa = 23 ถา เปนมมระหวาง a และ b แลว b cos มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –0.4 2. –0.2 3. 0.2 4. 0.4

36(แนว Pat 1) ก าหนดให u และ v เปนเวกเตอรทมขนาดหนงหนวย ถาเวกเตอร u + 2 v ตงฉากกบเวกเตอร 2 u + v แลว u . v เทากบขอใดตอไปน 1. – 54 2. 0 3. 51 4. 5

3

37(แนว Pat 1) ก าหนดให u และ v เปนเวกเตอรทมขนาดหนงหนวย ถาเวกเตอร 3 u + v ตง ฉากกบเวกเตอร u + 3 v แลวเวกเตอร 5 u – v มขนาดเทากบขอใดตอไปน 1. 3 หนวย 2. 3 2 หนวย 3. 4 หนวย 4. 4 2 หนวย

38(แนว Pat1) ให u และ v เปนเวกเตอรทไมเทากบเวกเตอรศนยซง u ตงฉากกบ v และ u + v ตงฉากกบ u – v พจารณาขอความตอไปน ก. u + 2 v ตงฉากกบ 2 u – v ข. u = v ขอใดตอไปนเปนจรง


9.5 ผลคณเชงเวกเตอร

39(แนว Pat1) ก าหนดให k3 i u kx j 2 v เมอ x เปนจ านวนจรง

และ k j i 3 w ถา u , v และ w อยบนระนาบเดยวกนแลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –12 2. –8 3. 8 4. 16


28

40(มช 50) ก าหนดหมอนสามเหลยมดงรป ถา AB = –4 k3ji และ k2ji2 AC แลว ปรมาตรของหมอนสามเหลยมเทากบขอใด 1. 7.5 ลกบาศกฟต 2. 15 ลกบาศกฟต 3. 22.5 ลกบาศกฟต 4. 30 ลกบาศกฟต

41(แนว Pat1) ให u = a i

+ b j

+2 k

และ v = 2a i

– 3b j

โดยท a , b เปนจ านวน เตมบวก และ เปนมมระหวาง u และ v ถา u = 3 และ cos = 3

1 แลว u x v ม คาเทากบขอใดตอไปน 1. 6 i

+ 8 j

– 10 k

2. –6 i

–8 j

+ 10 k

3. 12 i

+ 4 j

– 10 k

4. –12 i

–4 j

+ 10 k

เฉลยตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 9 เวกเตอรในสามมต ชดท 1

1. ตอบ 9 2. ตอบขอ 4. 3. ตอบขอ 1. 4. ตอบขอ 4. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 1. 7. ตอบขอ 2. 8. ตอบขอ 4. 9. ตอบ 14 10. ตอบขอ 1. 11. ตอบ 3 12. ตอบ 2.5 13. ตอบขอ 1. 14. ตอบขอ 3. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 1. 17. ตอบขอ 2. 18. ตอบขอ 1. 19. ตอบ 45 20. ตอบขอ 1. 21. ตอบ 2 22. ตอบ 4 23. ตอบขอ 3. 24. ตอบ 10 25. ตอบขอ 3. 26. ตอบขอ 4. 27. ตอบขอ 2. 28. ตอบขอ 3. 29. ตอบ 7 30. ตอบขอ 2. 31. ตอบขอ 2. 32. ตอบขอ 2. 33. ตอบขอ 2. 34. ตอบขอ 2. 35. ตอบขอ 4. 36. ตอบขอ 1. 37. ตอบขอ 4. 38. ตอบขอ 1. 39. ตอบขอ 4. 40. ตอบขอ 2. 41. ตอบขอ 1.

A

B

C 2 ฟต

สรปเขมคณตศาสตร เลม 4 http://www.pec9.com บทท 10 จ านวนเชงซอน

1

บทท 10 จ ำนวนเชงซอน

10.1 การสรางจ านวนเชงซอน

จ านวนเชงซอน คอจ ำนวนทเขยนอยในรปของคอนดบ (a , b) เมอ a และ b เปนจ ำนวนจรงใดๆ จ ำนวนเชงซอนสำมำรถแบงไดเปน 3 ประเภทยอย ไดแก 1. จ านวนจนตภาพ คอจ ำนวนเชงซอน (a , b) ซงมคำ a 0 และ b 0 ( คอคอนดบทไมอยบนแกน X และแกน Y ) เชน (4 , 5) , (6 , 14) เปนตน 2. จ านวนจนตภาพแท คอจ ำนวนเชงซอน (a , b) ซงมคำ a = 0 ( คอคอนดบทอยบนแกน Y พอด ) เชน (0 , 4) , (0 , –12) เปนตน 3. จ านวนจรง คอจ ำนวนเชงซอน (a , b) ซงม คำ b = 0 (คอ คอนดบทอยบนแกน X พอด ) เชน (3 , 0) , (–5 , 0) เปนตน หมายเหต กรณทเปนจ ำนวนจรง (a , 0) อำจเขยนเปน a กได เชน (3 , 0) อำจเขยนเปน 3 หรอ (–5 , 0) เขยนเปน –5 เปนตน

จ ำนวนจนตภำพแท i คอคอนดบ (0 , 1) ขอตองรเกยวกบ i 1. คำของ i ตอไปนเปนคำพนฐำนทส ำคญ ควรจ ำใหแมน i2 = (0 , 1) x (0 , 1) = ( [0x0 – 1x1] , [0x1 + 1x0] ) = (–1 , 0) = – 1 i3 = ( i )( i2 ) = ( i ) (–1) = –i i0 = +1

ส าหรบคา i ยกก าลงสง สามารถหาคาไดโดยท าตามขนตอนตอไปน ขน 1 ใหน ำหลกสบและหลกหนวยของเลขชก ำลงมำหำรดวย 4 เพอหำเศษทเหลอ ขน 2 ใหหำคำ i ยกก ำลงเศษทเหลอจำกขน 1 มำใชเปนค ำตอบ

ตวอยาง จงหำคำ i8759 แนวคด ขนท 1 ใหน ำหลกสบและหลกหนวยของเลขชก ำลง คอ 59 มำหำรดวย 4 เพอหำเศษ 4

59 = 14 เศษ 3

-2 4 -2

2

4 Y

X

(3 , 2) (2 , 0) 2

(-3 , 0)

(0 , 4)

(0 , -3)


2

ขนท 2 จะไดวำ i8759 = i3 = –i

2. จ ำนวนเชงซอน (a , b) สำมำรถเขยนไดเปน a + bi ได และเรำจะเรยก a วำเปนสวนจรง ( Re ) และเรยก b วำเปนสวนจนตภาพ ( Im ) ของจ ำนวนเชงซอน ตวอยาง (2 , 3) = 2 + 3i สวนจรง คอ 2 , สวนจนตภำพคอ 3 4 , –9) = 4 – 9i สวนจรง คอ 4 , สวนจนตภำพคอ –9 (0 , 8) = 0 + 8i = 8i สวนจรง คอ 0 , สวนจนตภำพคอ 8 (7 , 0) = 7 + 0i = 7 สวนจรง คอ 7 , สวนจนตภำพคอ 0

3. กำรบวก กำรลบ กำรคณ จ ำนวนเชงซอนทอยในรป a + bi สำมำรถท ำไดโดยใชวธของพชคณตธรรมดำดงตวอยำงตอไปน ตวอยาง จงหำผลลพธของ (3 –2i ) + (4 + 3i ) – 6i แนวคด (3 –2i ) + (4 + 3i ) – 6i = ( 3 + 4 ) + (–2i + 3i – 6i) = 7 – 5i

ตวอยาง จงหำผลลพธของ (3 – 2i) . (4 + 3i) แนวคด (3 – 2i).(4 + 3i) = 12 + 9i – 8i – 6i2 = 12 + i –6 (–1) = 18 + i

4. หำก a + bi = c + d i จะไดวำ a = c และ b = d

1. i24 + i177 + i258 + i4803 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. i 3. 1 + i 4. 1 – i

2. i3 + i4 + i5 + i6 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1 2. –1 3. 0 4. 2


3

3(แนว En) คำของ i8 + i9 + i10 + i11 + i12 + i13 +… .. .. + i80 + i81 เทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. i 3. 1 + i 4. 1 – i

4. ผลลพธของ (7 – 11i) – (2 + 3i ) เทำกบขอใดตอไปน

1. 5 + 14i 2. 5 – 14i 3. –5 + 14i 4. –5 – 14i

5. ผลลพธของ (3 + 2i ) . ( 4 + 7i ) เทำกบขอใดตอไปน 1. 2 + 29i 2. 2 – 29i 3. –2 + 29i 4. –2 – 29i

6. ก ำหนดให 2a + b i = 10 คำ a และ b ทสอดคลองกบสมกำรนเทำกบขอใด 1. a = 5 , b = 5 2. a = 5 , b = 0 3. a = –5 , b = 5 4. a = –5 , b = 0


4

10.2 สมบตพชคณตของจ านวนเชงซอน

คณสมบตการบวกและการคณจ านวนเชงซอน

ถำ C เปนเซตของจ ำนวนเชงซอน และ Z1 , Z2 , Z3 เปนสมำชกของ C ล าดบท คณสมบต การบวก การคณ

1 ปด Z1+ Z2 C Z1 Z2 C 2 กำรสลบท Z1+ Z2 = Z2+ Z1 Z1 Z2 = Z2 Z1 3 กำรเปลยนกลม (Z1+ Z2)+ Z3 = Z1+ (Z2+ Z3 ) (Z1Z2)Z3 = Z1(Z2Z3) 4 เอกลกษณ คอ 0

เพรำะ Z + 0 = Z และ 0 + Z = Z

คอ 1 เพรำะ Z . 1 = Z และ 1 . Z = Z

5 ตวผกผน ตวผกผนกำรบวกของ Z คอ ( –Z )

เพรำะ Z + (–Z) = 0

ตวผกผนกำรคณของ Z คอ Z–1

เพรำะ Z( Z–1 ) = 1

ตวผกผนกำรบวกของ a + bi = – (a + bi) = –a – bi

หำก z = a + bi ตวผกผนกำรคณของ Z = Z–1 = 2 b2a

bi a

ตวอยาง จงหำตวผกผนกำรบวกของจ ำนวนเชงซอน 5 – 4 i แนวคด ตวผกผนกำรบวกของ 5 – 4i = – (5 – 4i) = –5 + 4 i

ตวอยาง จงหำตวผกผนกำรคณของจ ำนวนเชงซอน 3 + 4i

แนวคด (3 + 4 i)–1 = 2423i4 3

= i 25

4 253

7. จงหำตวผกผนกำรบวกของจ ำนวนเชงซอนตอไปน ก. –4 – 3i ข. 2 + i 1. ก. –4 + 3i ข. 2 – i 2. ก. 4 – 3i ข. –2 + i 3. ก. 4 + 3i ข. –2 – i 4. ก. –4 – 3i ข. 2 – i


5

8. ตวผกผนกำรคณของจ ำนวนเชงซอน –4 – 3i มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 25

4 + 253 i 2. – 25

4 + 253 i 3. 4 + 3 i 4. –4 + 3 i

9. ตวผกผนกำรคณของจ ำนวนเชงซอน 3 + 5i มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 34

3 – 345 i 2. – 34

3 – 345 i 3. –3 + 5 i 4. –3 – 5 i

สงยคของจ านวนเชงซอน นยาม สงยคของจ ำนวนเชงซอน a + bi คอจ ำนวนเชงซอน a – bi เขยนแทนสงยคของจ ำนวนเชงซอน a + bi ดวย bi a จำกบทนยำมจะได i b a = a – bi

ฝกท า. จงหำคำตอไปน 1. 3i 4 = …………….. 2. 2i 8 = ……………..

3. 8i 9 = …………….. 4. 3i 6 = …………….. 5. 9i = …………….. 6. 7 = ……………..

สมบตของสงยคของจ ำนวนเชงซอน ให z , z1 และ z2 เปนจ ำนวนเชงซอน จะไดวำ

1) Re(z) = 21 (z + z ) และ Im(z) = 2i

1 (z – z )

2) z = z 3) ) z1 ( = z

1 เมอ z 0

4) 2z1z = 2z1z 5) 2z1z = 2z1z

6) 2z1z = 2z1z

7)

2z1z

= 2z1z เมอ z2 0

8) n) z ()nz (


6

10. ผลลพธของ 2i 14i 3

มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 511 + 52 i 2. 511 – 52 i 3. 53 + 54 i 4. 5

3 – 54 i

11. จ ำนวนเชงซอน z ทสอดคลองกบสมกำร ( 2 – i ) z = 4 + 2 i คอขอใดตอไปน 1. 6 + 8 i 2. 6 – 8 i 3. 5

6 + 58 i 4. 5

6 – 58 i

12. ถำจ ำนวนเชงซอน z ทสอดคลองกบสมกำร z ( 1 + i ) = 4 แลว z คอขอใดตอไปน 1. 2 + 2 i 2. 2 – 2 i 3. 2

1 + 21 i 4. 2

1 – 21 i

จ าใหแมน (1 + i)2 = 2 i และ (1 – i)2 = –2i

13. คำของ 100

i 2

1 2

1

เทำกบขอใดตอไปน

1. 1 2. –1 3. i 4. –i


7

จ าใหแมน ( a + b 3 i )3 = (–8) a3 ( a 3 + b i )3 = (–8)(b i)3

ตวอยาง ( 1 + 3 i )3 = (–8) (1)3 = –8

( – 21 + 2

3 i )3 = (–8) (– 21 )3 = (–8) (– 8

1 ) = 1

( 3 3 + 2 i )3 = (–8) (2 i)3 = (–8) ( 8 i3) = (–8) ( – 8 i ) = 64 i

(– 23 – 2

1 i )3 = (–8) (– 21 i)3 = (–8) (– 8

1 i3) = (–8) (– 81 i ) = i

14(แนว En) ให Z = –1 – 3 i แลว Z6 – Z 6 เทำกบเทำใด

15(แนว En) ถำ 2 z3 = 1 + 3 i แลว 27z i18z

มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 21 + 2

1 i 2. 21 – 2

1 i 3. 2 + 2 i 4. 2 – 2 i

10.3 รากทสองของจ านวนเชงซอน

ก ำหนดจ ำนวนเชงซอน z = a + b i และ ให 2b2ar จะไดวำรำกทสองของ z คอ

i2a r

2a r

i2a r

2a r

เมอ b 0

เมอ b 0


8

16. จงหำรำกท 2 ของ 3 + 4 i

1. (2 + i) 2. (2 – i) 3. (3 + 6 i ) 4. (3 – 6 i ) 17(แนว มช) ผลคณค ำตอบของสมกำร x2 + 1 – i 3 = 0 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1 + i 3 2. 1 – i 3 3. 2 + 2 i 3 4. 2 – 2 i 3

10.4 กราฟและคาสมบรณของจ านวนเชงซอน

จ ำนวนเชงซอน 3 + 2i แทนไดดวยจด ( 3 , 2 ) หรอแทนดวยเวกเตอรทมจด ( 0 , 0 ) เปนจดเรมตน และจด ( 3 , 2 ) เปนจดเรมตน และจด ( 3 , 2 ) เปนจดสนสด สวนจ ำนวนเชงซอนอนๆ เชน –3 , 2i , 4 – i , –2 + 3i อำจเขยนแทนไดดงรป คำของจ ำนวนเชงซอน a + b i ใดๆ คอควำมยำวจำกจด (0 , 0) ตรงไปถงจดจ ำนวนเชงซอนนน ๆ บนระนำบ XY คำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน a + b i เขยนแทนดวย a + b i ซงหำคำไดจำก

a + b i = 2b2a

(0,2) (3,2) (–2,3)

(–3,0) 0 (4 ,–1)

(0,2) (3,2) (–2,3)

(–3,0) 0 (4 ,–1)

X

Y

X

Y


9

ฝกท า. จงหำคำตอไปน 1. 4 + 3 i = ………………… ………………… ………………… 2. 6 – i = ………………… ………………… …………………

3. 8 = ………………… ………………… ………………… 4. –7 = ………………… ………………… …………………

5. 5 i = ………………… ………………… ………………… 6. 3 i = ………………… ………………… ………………… 7. –8 i = ………………… ………………… …………………

คณสมบตส าคญของคาสมบรณของจ านวนเชงซอน ให z และ w เปนจ ำนวนเชงซอนใดๆ แลว

(1) | z | 0 เสมอ (7) wz = w z เมอ w 0

(2) | z | = | –z | = z = z (8) | z + w | | z | + | w |

(3) z2 = z . z หรอ | z | = zz (9) | z – w | | z | – | w | (4) nz = | z |n เมอ n เปนจ ำนวนเตม (10) | z | = 0 กตอเมอ z = 0

(5) 1 z = 1z = z 1 เมอ z 0 (11) สวนจรงของ z | z |

(6) | z w | = | z | | w | และสวนจนตภำพของ z | z |

18(แนว En) ถำ z เปนจ ำนวนเชงซอนซง z 0 และ (5 – 12i) z2 (–3 + 4i) = 130 z แลว z ( คำสมบรณของ z ) มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 2 2. 21 3. 2

1 4. 2


10

19(แนว En) ถำ z เปนจ ำนวนเชงซอนซง (7 – 24 i) (3 + 4 i ) z4 = 500 แลว z . z มคำเทำใด

20(แนว มช) ก ำหนดให z = x + y i เปนจดใดๆ บนระนำบเชงซอน จะไดว ำกรำฟของ สมกำร z – i = 2 เปนกรำฟรปใดตอไปน 1. เสนตรง 2. วงกลม 3. วงร 4. ไฮเพอรโบลำ

10.5 จ านวนเชงซอนในรปเชงขว

จ ำนวนเชงซอน a + bi อำจเขยนใหอยในรปเชงขวไดดงน a + bi = r . (cos + i sin )

เมอ r = a + bi = 2 b 2a เรยกวำ argument of z ซงหำคำไดจำก

กรณท 1 หำก z อยในควอดรนท 1 กรณท 2 หำก z อยบนแกน X พอด = 0o = tan –1 ab หำก z อยบนแกน Y พอด = 90o

หำก z อยในควอดรนท 2 หำก z อยบนแกน –X พอด = 180o = 180o – tan –1 ab หำก z อยบนแกน –Y พอด = 270o

หำก z อยในควอดรนท 3 = 180o + tan –1 ab

หำก z อยในควอดรนท 4 = 360o – tan –1 ab

Y

X X

Y

0o 90o

180o 270o


11

21. รปเชงขวของจ ำนวนเชงซอน 1 + i คอขอใดตอไปน 1. 3 2 (cos 45o + i sin 30o) 2. 3 2 (cos 315o + i sin 315o) 3. 2 (cos 45o + i sin 45o) 4. 2 (cos 315o + i sin 315o) 22. รปเชงขวของจ ำนวนเชงซอน –2 + 2 3 i คอขอใดตอไปน 1. 4 (cos 120o + i sin 120o) 2. 4 (cos 210o + i sin 210o) 3. 10 (cos 120o + i sin 120o) 4. 10 (cos 210o + i sin 210o) 23. รปเชงขวของจ ำนวนเชงซอน –5 3 – 5 i คอขอใดตอไปน 1. 4 (cos 120o + i sin 120o) 2. 4 (cos 210o + i sin 210o) 3. 10 (cos 120o + i sin 120o) 4. 10 (cos 210o + i sin 210o) 24. รปเชงขวของจ ำนวนเชงซอน 3 – 3 i คอขอใดตอไปน 1. 3 2 (cos 45o + i sin 30o) 2. 3 2 (cos 315o + i sin 315o) 3. 2 (cos 45o + i sin 45o) 4. 2 (cos 315o + i sin 315o)


12

25. รปเชงขวของจ ำนวนเชงซอน –3i คอขอใดตอไปน 1. (cos 90o + i sin 90o) 2. 3 (cos 90o + i sin 90o) 3. (cos 270o + i sin 270o) 4. 3 (cos 270o + i sin 270o)

การคณ และการหาร จ านวนเชงซอนในรปเชงขว ทฤษฎบท ให z1 = r1 (cos 1 + i sin 1) และ z2 = r2 (cos 2 + i sin 2)

จะไดวำ 1. z1 . z2 = r1 . r2 [cos (1+2) + i sin (1+ 2)] 2. 2z1 = 2r

1 (cos 2 – i sin 2)

3. 2z1z = 2r1r [cos(1– 2) + i sin (1– 2)]

4. 1z = r1 [cos(–1) + i sin (–1)]

26. ถำก ำหนด z1 = 2 (cos 25o + i sin 25o) และ z2 = 3 (cos35o + i sin35o) แลวคำของ z1 . z2 เทำกบขอใดตอไปน 1. 3 + 3 3 i 2. 3 – 3 3 i 3. –3 + 3 3 i 4. –3 – 3 3 i

27. ถำก ำหนด z1 = 6 (cos110o + i sin110o) และ z2 = 2 (cos80 + i sin80)

แลวคำของ 2z1z เทำกบขอใดตอไปน

1. 3 + 3 3 i 2. 3 – 3 3 i 3. 3 23 + 2

3 i 4. 3 23 – 2

3 i


13

การยกก าลง จ านวนเชงซอนในรปเชงขว ทฤษฎบท ถำ z = r . (cos + i sin ) และ n เปนจ ำนวนเตมบวก

จะได zn = rn . (cos n + i sin n)

28. ถำ z = 2 (cos 30o + i sin 30o) แลวคำของ z3 เทำกบขอใดตอไปน 1. 3 + i 2. 3 – i 3. 8 i 4. –8 i

29(แนว En) ให Z1 = cos12o + i sin 12o และ Z2 = –cos 16o – i sin 16o แลวสงยคของ

2Z1Z15 เทำกบขอใดตอไปน

1. 2i3 1 2. 2

i3 1 3. 2i i3 4. 2

i i3

10.6 รากท n ของจ านวนเชงซอน

ทฤษฎบท ถำ z = r . (cos + i sin )

แลวรำกท n ของ z = rn k)no360n(sin ik)n

o360n( cos เมอ k 0 , 1 , 2 ,…, n –1


14

30. เซตค ำตอบทสอดคลองกบรำกท 3 ของ –64 คอขอใดตอไปน 1. { 2 + 2 3 i , –5 , –2 + 2 3 i } 2. { 2 + 2 3 i , –6 , 2 – 2 3 i } 3. { 2 + 2 3 i , –7 , –2 + 2 3 i } 4. { 2 + 2 3 i , –4 , 2 – 2 3 i } 31. ค ำตอบในควอดรนตท 2 ของสมกำร z4 = 2 + 2 3 i คอขอใดตอไปน 1. 2 (cos 105o + i sin 105o) 2. 2 (cos 135o + i sin 135o) 3. 2 (cos 105o + i sin 105o) 4. 2 (cos 135o + i sin 135o)

10.7 สมการพหนาม

กำรแกสมกำรพหนำมในระบบจ ำนวนเชงซอนสำมำรถท ำไดหลำยวธ เชนกำรแยกตวประกอบ กำรใชสตร กำรจดใหเปนก ำลงสองสมบรณ เปนตน รำยละเอยดของกำรแกสมกำรพหนำมใหศกษำจำกตวอยำงตอไปน

32. ก ำหนดให x เปนรำกของสมกำร x2 – 6x + 45 = 0 แลวคำของ | x | เทำกบขอใด 1. 3 2. 5 3. 3 5 4. 5 5


15

33(แนว Pat1) ก ำหนดให z1 , z2 , z3 เปนรำกของสมกำร z3 – 2z2 + 2z = 0 แลว | z1 | + | z2 | + | z3 | มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –2i 2. 1 – i 3. 1 + i 4. 2i

34(แนว En) ก ำหนดให A = { xC x3 – 2x2 + 9x – 18 = 0 } B = { xC x4 – 81 = 0 } เซต B – A เทำกบขอใดตอไปน 1. {–3 , –2 , 3} 2. {–3 , 2 , 3} 3. {2 , 3} 4. {3 , –3} 35(แนว Pat1) จ ำนวนเชงซอน z = 1 + i เปนค ำตอบของสมกำรในขอใดตอไปน 1. z4 – 2z2 + 4z = 0 2. z4 – 2z2 – 4z = 0 3. z4 +2z2 – 4z = 0 4. z4 + 2z2 + 4z = 0


16

โดยทวไปแลวสมกำรพหนำมดกรสง ( ตวแปรยกก ำลงสง ) มกจะมค ำตอบหลำยค ำตอบ หำกตองกำรหำวำ เมอน ำค ำตอบทงหมดมำบวกกนหรอมำคณกน จะไดคำเทำใด อำจหำไดจำกสตรตอไปน

ผลบวกของค ำตอบ = 1 ธพจนท สมประสท

2 ธพจนท สมประสท

ผลคณของค ำตอบ = (–1)ก ำลงสงสดของพหนำม (1 ธพจนท สมประสท

คาคงตว )

36. ให และ เปนค ำตอบของสมกำร z2 + (2i – 3) z + (5 – i) = 0 แลวขอใดถก 1. + = 3 – 2i ; = 5 – i 2. + = –1 + 4i ; = –5 – i 3. + = –1 + 2i ; = 1 + 5 i 4. + = –3 – 4i ; = –1 + 5 i

37(แนว มช) ถำ 2i เปนค ำตอบหนงของสมกำร x3– 3x2 + 4x –12 = 0 แลว จงหำผลบวกของ ค ำตอบทเหลอทงหมดของสมกำรน 1. 3 + 2i 2. 3 – 2i 3. 1 + i 2. 1 – i


17

ทฤษฎบท ก ำหนด P(x) = 0 เปนสมกำรพหนำมก ำลง n เมอ n 1 และม “สมประสทธของตวแปรเปนจ ำนวนจรง” “ ถำ a + b i เปนรำกของสมกำร แลว a – b i จะเปนรำกของสมกำรดวย เมอ a และ b เปนจ ำนวนจรง โดยท b 0 ”

ทฤษฎบท ก ำหนด P(x) = 0 เปนสมกำรพหนำมก ำลง n เมอ n 1 และม “สมประสทธของตวแปรเปนจ ำนวนตรรกยะ” “ ถำ a + b เปนรำกของสมกำร แลว a – b กจะเปนรำกของสมกำรดวย เมอ a เปนจ ำนวนตรรกยะ และ b เปนจ ำนวนอตรรกยะ ”

38. สมกำรทมจ ำนวนเชงซอน 8 + 3 i และ 8 – 3 i เปนค ำตอบของสมกำร คอสมกำรใด 1. x2 + 16x + 67 = 0 2. x2 – 16x – 67 = 0 3. x2 + 16x – 67 = 0 4. x2 – 16x + 67 = 0

39. ก ำหนด x3 + ax2 – bx + c = 0 โดยท a , b , c เปนจ ำนวนจรง ถำ 1 + 2 i และ –1 เปนค ำตอบของสมกำรน แลวคำ a + b + c เทำกบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3 3. 5 4. 7

40(แนว Pat1) ฟงกชน f (x) = x3 + ax2 + bx + c ม (x – [1 + i] ) และ (x + 2) เปนตว ประกอบของ f(x) แลว (x – 1) หำร f (x) เหลอเศษเทำไร


18

เฉลยบทท 10 จ ำนวนเชงซอน

1. ตอบขอ 1. 2. ตอบขอ 3. 3. ตอบขอ 3. 4. ตอบขอ 2. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 3. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 1. 10. ตอบขอ 2. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 1. 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบ 0 15. ตอบขอ 2. 16. ตอบขอ 1. 17. ตอบขอ 2. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบ 2 20. ตอบขอ 2. 21. ตอบขอ 3. 22. ตอบขอ 1. 23. ตอบขอ 4. 24. ตอบขอ 2. 25. ตอบขอ 4. 26. ตอบขอ 1. 27. ตอบขอ 3. 28. ตอบขอ 4. 29. ตอบขอ 2. 30. ตอบขอ 4. 31. ตอบขอ 3. 32. ตอบขอ 3. 33. ตอบขอ 4. 34. ตอบขอ 4. 35. ตอบขอ 1. 36. ตอบขอ 1. 37. ตอบขอ 2. 38. ตอบขอ 4. 39. ตอบขอ 1. 40. ตอบ 3


19

ตะลยขอสอบเขำมหำวทยำลย บทท 10 จ ำนวนเชงซอน ชดท 1

10.1 การสรางจ านวนเชงซอน

10.2 สมบตพชคณตของจ านวนเชงซอน

1(En44 ม.ค.) ก ำหนดให z = i9 + i10 + … + i126 เมอ i2 = –1 แลว 2z–1 เทำกบขอใดตอไปน 1. 1 + i 2. 1 – i 3. –1 + i 4. –1 – i

2(En41 ต.ค.) ถำ Z เปนจ ำนวนเตมเชงซอนซง (1+ i) ( 1Z ) = –1 แลวสวนจรงของ จ ำนวน เชงซอน Z (Z– Z )15 เทำกบขอใด

1. – 23 2. 2

3 3. – 21 4. 2

1

3(En 38) สวนจรงของจ ำนวนเชงซอน 12i 1

2i คอขอใดตอไปน

1. –64 2. –16 3. 16 4. 64

4(En44 ต.ค.) ให Z = –1 – 3 i แลว Z6 + Z 6 เทำกบเทำใด

5(En44 ม.ค.) ถำ 2 z3 = 1 + 3 i และ 27z i18z

= a + bi เมอ a , b เปนจ ำนวนจรง แลว

a + b มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2

10.3 รากทสองของจ านวนเชงซอน 6(มช 37) จงหำเซตค ำตอบของสมกำร x2 + 1 – i 3 = 0 โดยเขยนค ำตอบในรป a + bi

1.

i 2

6 22 2.

i 2

6 22

3. i 21 2

1 4. i 21 2

1

10.4 กราฟและคาสมบรณของจ านวนเชงซอน 7(En 35) ให z1 และ z2 เปนจ ำนวนเชงซอนใดๆ และ 1z เปนสงยคของจ ำนวนเชงซอน z1

จงพจำรณำขอควำมตอไปน ก. 1z = z1 ข. z1 + z2 = z1 + z2 ค. z1. z2 = z1 . z2


20

ขอใดตอไปนถก 1. ขอ ก หรอ ขอ ข หรอขอ ค ถกเพยงขอเดยว 2. ขอ ก และ ขอ ข เทำนนทถก 3. ขอ ข และ ขอ ค เทำนนทถก 4. ขอ ก และ ขอ ค เทำนนทถก

8(มช 31) i) (1 i)6(i) (1 ) i4 (3 i) 3 (2

มคำเทำกบ ..............

9(En 39) ถำ z เปนจ ำนวนเชงซอนซง z 0 และ (5 – 12i) z3 (–3 + 4i) = 130 z แลว z (คำสมบรณของ z) มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 2 2. 2

1 3. 21 4. 2

10(แนว En) ถำ z เปนจ ำนวนเชงซอนซง (7 – 24i ) (3 + 4i ) z6 = 1 แลว z z มคำ เทำใด 1. 0.2 2. 0.3 3. 0.4 4. 0.5

11(แนว Pat1) ก ำหนดให z เปนจ ำนวนเชงซอนซง z4 + 1 = 0 คำของ z1z 2 จะเทำกบ

ขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

12(แนว Pat1 ) ให z1 , z2 เปนจ ำนวนเชงซอนซง z1z2 = 2i และ 11z = cos 6

– i sin 6

z1 + 23 z2 2 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 4 2. 5 3. 7 4. 8

13(En47 ต.ค.) ถำ z = 2i3 แลวคำของ

2

23z6ziz

เทำกบเทำใด

14(แนว Pat1) ก ำหนดให z1 , z2 เปนจ ำนวนเชงซอนซง 2z1z = 3 และ z1 z 2 = 3 + 4i

คำของ 2

2z2

1z เทำกบขอใดตอไปน

1. 3 2. 4 3. 5 4. 6


21

15(แนว PAT1) ก ำหนดให z1 และ z2 เปนจ ำนวนเชงซอนซง z1 + z2 2 = 5 และ z1 – z2 2 = 1 คำของ z1 2 + z2 2 เทำกบขอใดตอไปน

1. 3 2. 6 3. 9 4. 12

16(En46 ต.ค.) ให z = a + bi ซง b > 0 ถำ z สอดคลองกบ 64 2z32 4z 2z

= 1 และ

z z = 61 แลว a + b มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12

17(มช 34) ให z = x + iy เปนจดใด ๆ บนระนำบเชงซอน จะไดวำกรำฟของสมกำร z + 1 – i = 2 เปนกรำฟรปใดตอไปน 1. เสนตรง 2. วงกลม 3. วงร 4. ไฮเพอรโบลำ

18(แนว Pat1) กรำฟของสมกำร (z + i ) ( z – i ) = 4 เปนรปใดตอไปน 1. เสนตรง 2. วงกลม 3. วงร 4. ไฮเพอรโบลำ

10.5 จ านวนเชงซอนในรปเชงขว

19(มช 42) ให z = )osin56 io(cos562)osin80 io(cos808

สวนจรงของ z5 คอคำในขอใดตอไปน

1. 316 2. –16 3. 16 4. 316

20(En43 ม .ค .) Z1 = cos12o + i sin 12o และ Z2 = –cos 16o – i sin 16o แลว 2Z1Z15


1. 2i3 1 2. 2

i3 1 3. 2i i3 4. 2

i i3

21(En43 ต.ค.) ก ำหนดให z1 และ z2 เปนจ ำนวนเชงซอนท 2 z1 2z = 1 + 2z และ

z1 = (cos 18 + i sin 18

)6 ขอใดตอไปนคออนเวอรสกำรคณของ z2

1. 2i 3 2

1 2. 2i 3 2

1 3. i 3 4. – i 3

22(En42 ต.ค.) ถำ z = –2 + 2 3 i เมอ i2 = –1 แลว z17 อยในควอดรนตในขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4


22

23(En 39) ก ำหนดให i23

21 = z สวนจรงของ 5z 1

1+


1. –1 2. – 12 3. 1

2 4. 1

24(En41 เม.ย.) ถำ z1 และ z2 เปนจ ำนวนเชงซอนซง z1 = cos 16 + isin 16

4 และ

1z2 i2 2z แลว z2 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 1 2. –1 3. i 4. – i

10.6 รากท n ของจ านวนเชงซอน

25(En 40) รำกท 6 ของ –64 ทไมเปนจ ำนวนจรง เปนจรงตำมขอใดตอไปน 1. ม 4 รำก คอ 3 i และ 2i 2. ม 4 รำก คอ 1 3i และ –1 3i 3. ม 6 รำก คอ 1 3i , –1 3i และ 2i 4. ม 6 รำก คอ 3 i , – 3 i และ 2i

26(En46 ม.ค.) ก ำหนดให z1 , z2 , z3 เปนรำกของสมกำร (1 – i ) z3 = 2 โดยท z1 , z2 , z3 อยในควอดรนตท 1 , 2 , 3 ตำมล ำดบ z1 z3 + 2

2z เทำกบขอใดตอไปน

1. –2i 2. 2i 3. –2 4. 2

27(En47 ม.ค.) ถำ Z1 และ Z2 เปนรำกของสมกำร ( Z – 2 3 )3 = –8i ซงมขนำดเปน จ ำนวนเตมแลว Z1 + Z2 เทำกบขอใดตอไปน

1. – 3 – i 2 3 – i 3. 3 3 – i 4. 3 3 + i

28(En45 ม.ค.) ก ำหนดให z เปนจ ำนวนเชงซอน ถำ –1 + 3 i เปนรำกท 5 ของ z แลว รำก ท 2 ของ z คอจ ำนวนในขอใดตอไปน

1. 2 2 (– 3 – i) , 2 2 ( 3 + i ) 2. 2 2 (–1 – 3 i ) , 2 2 (1 + 3 i ) 3. 2 2 (– 3 + i ) , 2 2 ( 3 – i ) 4. 2 2 (–1 + 3 i ) , 2 2 (1 – 3 i )


23

10.7 สมการพหนาม

29(แนว Pat1) ก ำหนดให z เปนจ ำนวนเชงซอนซง z 0 มอำรกวเมนตอยในชวง (0 , 2π )

และสอดคลองกบ z3 – 2z2 + 2z = 0 แลว 2) z (4z มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. –2i 2. 1 – i 3. 1 + i 4. 2i

30(En41 เม.ย.) ก ำหนดให A = { xC x3 – 2x2 + 9x – 18 = 0 } B = { xC x4 – 81 = 0 } เซต B – A เทำกบขอใดตอไปน 1. {–3 , –2 , 3} 2. {–3 , 2 , 3} 3. {2 , 3} 4. {3 , –3}

31(มช 36) ถำ Z3 – 3Z2 + 5Z – 3 = 0 ม Z1 , Z2 , Z3 เปนรำกของสมกำรแลว จงหำ Z1 + Z2 + Z3

32(มช 40) ถำ 2i เปนค ำตอบหนงของสมกำร x3– 3x2 + 4x –12 = 0 แลว จงหำผลบวกของ ค ำตอบทเหลอทงหมดของสมกำรน

33(แนว PAT1) เซตค ำตอบของสมกำร z2 + z + 1 = 0 เมอ z เปนจ ำนวนเชงซอน คอเซตใน ขอใดตอไปน

1. { 22 + 2

2 i , 22 – 2

2 i } 2. { – 22 + 2

2 i , – 22 – 2

2 i }

3. { 21 + 2

3 i , 21 – 2

3 i } 4. { – 21 + 2

3 i , – 21 – 2

3 i }

34(แนว PAT1) เซตค ำตอบของสมกำร z2 + z + 1 = 0 เมอ z เปนจ ำนวนเชงซอน คอเซตในขอ ใดตอไปน

1. {–cos120o – i sin120o , cos60o + i sin60o } 2. {cos120o + i sin120o , cos60o + i sin60o } 3. {–cos120o – i sin120o , –cos60o – i sin60o } 4. {cos120o + i sin120o , –cos60o – i sin60o }


24

35(En42 ต.ค.) พจำรณำขอควำมตอไปน ก. ถำ A = {xR (1 + i) x3 + (1 + 2 i) x2 – (1 + i) x – (1 + 2 i) = 0} แลว A [–1.5 , 1.5] ข. ถำ z เปนจ ำนวนจรงซง z6 = 8

1 i แลว z เทำกบ 21

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด

3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

36(En48 ม.ค.) พจำรณำขอควำมตอไปน ก. เซตค ำตอบของ x4 – 2x3 + x2 + 4x – 6 = 0 คอ { 2 , – 2 , 1 + 2 i , 2 + i }

ข. 6

2i 3 1

6 2

i 3 1

2

ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

37(En46 ม.ค.) ก ำหนดให a , b เปนจ ำนวนจรง และ f(x) = x4 – 6x3 + 15x2 + ax + b ถำ จ ำนวนเชงซอน 1 + i และ 2 + i เปนรำกของ f(x) แลว a + b มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. –10 2. –8 3. 8 4. 100

38. ก ำหนด ax3 + bx2 + cx + d = 0 โดยท a , b , c , d เปนจ ำนวนเตมท 1 < a < 3 ถำ 1 – i และ 2

1 เปนค ำตอบของสมกำรน แลวคำของ a + b + c + d เทำกบขอใด ตอไปน 1. –1 2. 1 3. 2 4. 4

39(แนว Pat1) ฟ งกชน f(x) = x3 + ax2 + bx + c ม (x – 1 + i ) และ (x + 2) เปนตว ประกอบของ f(x) แลว (x – 3) หำร f (x) เหลอเศษเทำไร

40(En44 ต.ค.) ถำ 43 + 4

39 i เปนค ำตอบหนงของสมกำร ax2 – 3x + c = 0 โดยท a และc เปนจ ำนวนจรงแลว เศษทเหลอจำกกำรหำร ax2 – 3x + c ดวย x + 2 เทำกบขอใด ตอไปน

1. 8 2. 12 3. 16 4. 20


25

เฉลยตะลยขอสอบเขำมหำวทยำลย บทท 10 จ ำนวนเชงซอน ชดท 1

1. ตอบขอ 4. 2. ตอบขอ 4. 3. ตอบขอ 1. 4. ตอบ 128 5. ตอบขอ 2. 6. ตอบขอ 1. 7. ตอบขอ 4. 8. ตอบ 5 9. ตอบขอ 3. 10. ตอบขอ 1. 11. ตอบขอ 2. 12. ตอบขอ 3. 13. ตอบ 0.5 14. ตอบขอ 1. 15. ตอบขอ 1. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 2. 18. ตอบขอ 2. 19. ตอบขอ 2. 20. ตอบขอ 1. 21. ตอบขอ 4. 22. ตอบขอ 3. 23. ตอบขอ 3. 24. ตอบขอ 1. 25. ตอบขอ 4. 26. ตอบขอ 1. 27. ตอบขอ 4. 28. ตอบขอ 4. 29. ตอบขอ 4. 30. ตอบขอ 4. 31. ตอบ 3 32. ตอบ 3 – 2i 33. ตอบขอ 4. 34. ตอบขอ 4. 35. ตอบขอ 3. 36. ตอบขอ 3. 37. ตอบขอ 2. 38. ตอบขอ 2. 39. ตอบ 25 40. ตอบขอ 4.

ตวสบายคณต เลม 4 http://www.pec9.com บทท 12 ความนาจะเปน

1

บทท 12 ความนาจะเปน

12.1 กฏเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

การค านวณหาจ านวนวธทจะจดเรยงสงของตางๆ นน อาจท าไดหลายวธ เชนการเขยนแผนภาพตนไม หรอการใชกฎการนบ เปนตน กฎการนบเบองตนไดแก

กฎขอท 1 ถามงาน 2 ชน แตละชนท าได n1 และ n2 วธ ตามล าดบ จะไดจ านวนวธ เรยงสบเปลยนทงหมดเทากบ n1 x n2 วธ

กฎขอท 2 ถามงาน k ชน แตละชนท าได n1 , n2 , … จนถง nk วธ ตามล าดบ จะ ไดจ านวนวธเรยงสบเปลยนทงหมดเทากบ n1 x n2 x … x nk วธ

ตวอยาง นายสมชาตมกางเกง 2 ตว คอสแดง และสเหลอง มเสออก 3 ตว สมวง สเขยว และสฟา นายสมชาตจะใสเสอและกางเกงสลบไปมาเปนชดๆ ไดทงหมดกชด แนวคด วธท 1 เขยนแผนภาพตนไม

จากแผนภาพ จะไดวาสามารถสวมเสอและกางเกงทมสลบไปมาได 6 ชด วธท 2 ใชกฎการนบ โจทยขอนมงานทตองท า 2 งาน จ านวนแนวคดงานแตละงานมดงตาราง

งาน เลอกกางเกง เลอกเสอ จ านวนวธ 2 3

สดทายจะไดวา จ านวนวธเรยงสบเปลยน ( จ านวนชด ) = 2 x 3 = 6 วธ (ชด)

กางเกงสแดง

เสอสมวง

เสอสเขยว

เสอสฟา

กางเกงสเหลอง

เสอสมวง

เสอสเขยว

เสอสฟา


2

1. นายเอกบรษมกางเกง 2 ตว คอสแดง สเหลอง และมเสออก 5 ตว สมวง สเขยว สขาว สสม และสฟา นายเอกบรษจะใสเสอและกางเกงสลบไปมาเปนชดๆ ไดทงหมดกชด 1. 5 2. 7 3. 8 4. 10

2(แนว En) ในการเลอกตงคณะกรรมการนกเรยนจากผสมครเขารบการเลอกตง 6 คน จะมวธเลอก ประธาน รองประธาน และเลขานการไดกวธ ถาผสมครคนหนงไมสมครทจะเปนประธาน

3. มเลข { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } จะสรางเลข 3 หลก โดยไมซ าไดกแบบ

1. 12 2. 24 3. 48 4. 64

12.2 แฟกทอเรยล

บทนยาม เมอ n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล n หรอ n แฟกทอเรยลหมายถงผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง n แฟกทอเรยล n หรอ n แฟกทอเรยล เขยนแทนดวย n! นนคอ n = n (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) ……3 . 2 . 1

ตวอยาง 5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120


3

4 = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 3 = 3 . 2 . 1 = 6 2 = 2 . 1 = 2 1 = 1 = 1 0 = 1 ( เปนสงทนกคณตศาสตรตกลงกนไว )

–1 = หาคาไมได ( แฟกทอเรยลจะหาคาไดตองเปนแฟกทอเรยลของจ านวนเตมบวกเทานน )

4. จงเขยนจ านวนตอไปน ในรปไมมแฟกทอเรยล ! 5! 7

1. 35 2. 42 3. 48 4. 64

5. จงเขยน ! 2) (n !n

ในรปไมมแฟกทอเรยล

1. (n + 2) (n + 1) 2. (n + 1) n 3. n (n – 1) 4. (n – 1) (n – 2)

6. คา n จากสมการ !n ! 2) (n = 42 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –8 2. 5 3. –8 , 5 4. ไมมขอใดถก

12.3 วธเรยงสบเปลยน

วธการเรยงสบเปลยน ( Permutation ) เปนการจดเรยงสงของโดยถอล าดบหรอต าแหนงของสงของเปนส าคญ หากมการสลบล าดบหรอต าแหนงของสงของ จะถอวารปแบบการจดเรยงมการเปลยนแปลงไปดวย


4

ตวอยางเชน มดนสอส 3 แทงซงมสตางกนไดแก สแดง สเขยว สมวง หากน ามาเรยงหนากระดานบนโตะ จะเรยงสลบสบเปลยนไปมาได 6 แบบ ดงน แบบท 1) แดง เขยว มวง แบบท 2) แดง มวง เขยว แบบท 3) มวง แดง เขยว แบบท 4) มวง เขยว แดง แบบท 5) เขยว แดง มวง แบบท 6) เขยว มวง แดง จากตวอยางนจะเหนไดวา ในการจดเรยงแตละรปแบบนน หากต าแหนงของดนสอตางกน จะถอวาเปนการจดเรยงคนละแบบกนทนท การจดเรยงสงของโดยถอต าแหนงของสงของเปนส าคญเชนน จะเรยกเปนการเรยงสบเปลยน ( Permutation ) หมายเหต หากการจดเรยงสงของไมถอล าดบหรอต าแหนงของสงของเปนส าคญ จะเรยกเปนการจดหม( Combination ) เชนการจดดนสอส 9 แทง ใสถงถงละ 3 แทง เปนตน

7. ขอใดตอไปน ไมถอวาเปนการเรยงสบเปลยน ( Permutation ) 1. ปลกตนไม 5 ตน เรยงหนากระดาน 2. นกวง 5 คน วงเขาเสนชยไดอนดบตางๆ 3. เลอกประธานและรองประธาน จากกรรมการ 8 คน 4. ถงใบหนงมลกแกวส 15 ลกตางๆ กน เอามอก าขนมา 3 ลกโดยสมพรอมกน

3.3.1 วธเรยงสบเปลยนเชงเสน ตวอยางของเรยงสบเปลยนเชงเสนเชน การเรยงสงของเปนแถวหนากระดาน หรอการสลบสบเปลยนตวอกษรในค าวา ANT เปนตน ซงการค านวณหาจ านวนรปแบบของการเรยงสบเปลยนเชงเสนอาจท าไดโดยใชกฎตอไปน กฎขอท 3 หากมสงของ n ชน แลวน ามาเรยงทละ n ชน จะได จ านวนวธเรยงสบเปลยน = Pn , n = n !

8. นกวงแขง 4 คน จะวงเขาเสนชยอนดบตางๆ กน ไดทงหมดกวธ

1. 12 2. 24 3. 36 4. 42


5

9. จ านวนวธทแตกตางกนทจะจดเรยงตวอกษรจากค าวา PHYSIC ใหเปนค าใหมโดยใชตวอกษร ทงหมด (ไมสนใจความหมายของค า) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 120 2. 240 3. 360 4. 720

กฏขอท 4 หากมสงของ n ชน แลวน ามาเรยงทละ r ชน จะได จ านวนวธเรยงสบเปลยน = P n , r = r)!(n

n!

10. จ านวนวธทจะจดเรยงนกเรยนชาย 7 คน เขาแถวหนากระดานทละ 3 คน มคาเทากบขอใด 1. 120 2. 210 3. 320 4. 480 11. ในการวงแขงมผวง 5 คน แตวงถงเสนชยเพยง 3 คน อยากทราบวาจะมผชนะท 1 , 2 และ 3 ไดกวธ

1. 24 2. 36 3. 60 4. 64 12. มต าแหนงงานวางอย 5 ต าแหนง ส าหรบชาย 3 ต าแหนง ส าหรบหญง 2 ต าแหนง ถาม ผสมครเปนชาย 7 คน หญง 4 คน จะมวธบรรจคนเหลานนเขาท างานไดกวธ 1. 1280 2. 2520 3. 3080 4. 4220


6

13. มชาย 3 คน และหญง 2 คน จ านวนวธทจะจดใหคนทง 5 มายนเปนแถว โดยทชายทง 3 คน ตองยนตดกน และหญง 2 คน ยนตดกน มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 24 2. 36 3. 60 4. 64

14(แนว A–Net) จดคน 6 คน ซงมนาย A , B และ C รวมอยดวย เขานงเรยงกนเปนแถวตรงโดยท B ตองนงระหวางกลาง A กบ C เสมอ จ านวนวธการจดทนงดงกลาวมคาเทากบขอใด 1. 24 2. 36 3. 48 4. 64

15. น าตนมะมวง 4 ตน มะปราง 2 ตน มาเรยงเปนแนวตรงโดยมะปรางทง 2 ตน เรยงตดกน จะเรยงไดทงหมดกวธ 1. 120 2. 240 3. 480 4. 720 16. จากขอทผานมา ถาตองการใหมะปรางทง 2 ตน ตองไมเรยงตดกน จะเรยงไดทงหมดกวธ 1. 120 2. 240 3. 480 4. 720


7

กฎขอท 5 หากตองการเรยงสงของทไมแตกตางกนทงหมด จะได จ านวนวธ เรยงสบเปลยน = !k...n !2 n. !1n

n!

เมอ n คอจ านวนสงของทงหมด n1 คอจ านวนซ าสงของท 1 n2 คอจ านวนซ าสงของท 2 nk คอจ านวนซ าสงของท k

17. จ านวนวธทจะจดเรยง ตวอกษร E E E U U U U P P โดยไมสนใจความหมายของค าท ได มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 630 2. 1260 3. 2520 4. 5040 3.3.2 วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม กฎขอท 6 การเรยงสงของ n สง เปนวงกลมจะไดวา จ านวนวธ = (n – 1) !

18(แนว En) จะจดคน 7 คน เขานงประชมโตะกลมไดกวธ 1. 24 2. 120 3. 240 4. 720

19(แนว En) มหนงสอภาษาไทย วทยาศาสตร คณตศาสตร วชาละ 3 เลม ซงตางกนหมด ตอง การจดหนงสอทงหมดลอมเปนรปวงกลม โดยใหหนงสอวชาเดยวกนอยตดกนเสมอ จะท าให ทงหมดกวธ 1. 16 2. 54 3. 432 4. 1296


8

20. ครอบครวหนงม พอ แม และ ลกอก 3 คน จะจดคนทงหมดนงรบประทานอาหารรอบโตะ กลมไดทงสนกวธ เมอก าหนดวาลกคนเลกตองนงระหวางพอกบแมเสมอ 1. 4 2. 12 3. 24 4. 48

21(แนว มช) มตนมะมวง 5 ตน และตนชมพ 2 ตน ซงแตละตนแตกตางกนหมด ถาน าตน ไมทงหมดมาปลกรอบสนามหญา โดยใหตนชมพท งสองตนอยตดกนจะมวธปลกกวธ

22(แนว มช) จากขอทผานมา ถาน าตนไมทงหมดมาปลกรอบสนามหญา โดยไมใหตนชมพอย ตดกนจะมวธปลกกวธ

กฎขอท 7 หากตองการเรยงสงของ n สงเปนวงกลมทละ r สง จะได

จ านวนวธ = r! r)(n n!


9

23(แนว En) บอปลาแหงหนงเปนวงกลม อนญาตใหเขาตกปลาไดทละ 4 คน โดยใหนงอยรอบบอ ถาครอบครวหนงมากน 6 คน จะจดคนในครอบครวน นงรอบบอตกปลาไดกวธ 1. 15 2. 24 3. 45 4. 90

สรปสตรเกยวกบการเรยงสบเปลยน การเรยงสบเปลยน (Permutation)

เสนตรง

ม n ชนเรยงทละ n จ านวนวธ = Pn.n = n! ม n ชนเรยงทละ r ชน จ านวนวธ = P n, r = r)!(n

n!

เรยงสงของทไมแตกตางกนทงหมด จ านวนวธ = !k.....n !2 n. ! 1n

n!

เมอ n คอ จ านวนสงของทงหมด n1 คอ จ านวนซ าสงของท 1 n2 คอ จ านวนซ าสงของท 2

nk คอ จ านวนซ าสงของท k วงกลม

ม n ชนเรยงทละ n ชน จ านวนวธ = ( n – 1)!

ม n ชนเรยงทละ r ชน จ านวนวธ = r! r)(n

n!


10

12.4 วธจดหม

การจดหม ( Combination ) เปนการจดเรยงสงของนนๆ ไมถอล าดบหรอต าแหนงของสง ของเปนส าคญ การค านวณหาจ านวนวธของการจดหมสงของตางๆ สามารถใชกฎตอไปนได

กฎขอท 8 ถาเราน าสงของ n สง มาจดหมทละ r สง หรอเรยกอกอยางวา Combination n , r จะไดวา

จ านวนวธจดหม = nr = r!r)!(n n!

หมายเหต nr อาจเขยนเปน nCr หรอ nCr หรอ Cn , r อานวา “คอมไบนาชนเอนอาร”

24. จ านวนวธทจะเลอกคณะกรรมการ 3 คน จากคณะกรรมการ 8 คน จะเทากบขอใดตอไปน 1. 28 2. 56 3. 48 4. 96

25. บนเสนรอบวงของวงกลมวงหนงมจด 7 จด จะสรางรปเหลยมบรรจในวงกลมโดยใชจด เหลานเปนจดยอดมมไดทงหมดกรป 1. 35 รป 2. 64 รป 3. 99 รป 4. 121 รป 26. มจดอย 7 จด ในจดเหลานม 4 จด อยในแนวเสนตรงเดยวกน ถาโยงเขาดวยกนแลวจะเกด สามเหลยมมากทสดไดกรป 1. 18 2. 28 3. 31 4. 35


11

27(แนว En) มหนงสอภาษาไทย 6 เลม และภาษาองกฤษ 4 เลม ซงแตกตางกนหมด ตองการ เลอกหนงสอภาษาไทย 3 เลม และภาษาองกฤษ 2 เลม จะท าไดกวธ 1. 60 2. 80 3. 100 4. 120

28. มดนสอสตางๆ 9 แทง จะใหเดก 3 คน โดยจะใหคนโต 4 แทง คนกลาง 3 แทง คนเลก 2 แทง จะมวธใหกวธ 1. 240 2. 630 3. 1260 4. 2520 29. มหมวกสขาว 6 ใบ และสด า 5 ใบ จ านวนวธทจะหยบหมวก 4 ใบ แลวไดหมวกเปนส เดยวกน มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 18 2. 20 3. 75 4. 330 30(แนว มช) มลกแกวสแดง 6 ลก สขาว 6 ลก สมเลอกมา 10 ลก จ านวนวธทจะหยบไห ลกแกวสแดงอยางนอย 5 ลก เทากบขอใดตอไปน 1. 1.5 2. 36 3. 41 4. 51


12

31. กลองใบหนงมสลาก 12 ใบ เปนสลากทถกรางวล 4 ใบ นอกนนเปนสลากทไมถกรางวล จ านวนวธทหยบสลาก 3 ใบ แลวถกรางวลอยางนอย 1 ใบ ตรงกบคาในขอใดตอไปน 1. 4 2. 80 3. 110 4. 164 32. มคน 8 คน เปนชาย 3 คน หญง 5 คน เลอกคนมาคราวละ 4 คน ทกครงทเลอกตองมชาย อยดวยเสมอจะท าไดกวธ 1. 60 2. 65 3. 70 4. 75

12.5 ทฤษฏบททวนาม

ทฤษฏบททวนาม เมอ a , b เปนจ านวนจรง และ n , r เปนจ านวนเตมบวกใดๆ โดย 0 r n จะไดวา

(a + b)n = an + 1n

an –1 b +

2n

an –2 b2 + … +

rn

an –r b r +…. +

1 n n

-

a b n –1 + bn

ส าหรบ rn

เรยกสมประสทธทวนาม

ขอสงเกตจาก (a + b)n 1. จ านวนพจนทไดทงหมด = n + 1 พจน 2. ในพจนท n ใดๆ เลขชก าลงของ b = n – 1 เลขชก าลงของ a + เลขชก าลงของ b = n

สมประสทธทวนาม = 1 n n

-


13

ฝกท า จงใชทฤษฎบททวนามในการกระจาย (a + 2b)4

33(แนว มช) พจนท 5 ของการกระจาย 6 3

1 32 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 72960 2. 729

120 3. 729160 4. 729

240

34. ในการกระจาย (2a – b)8 พจนทม b5 คอพจนในขอใดตอไปน 1. –448 a3 b5 2. –56 a3 b5 3. –78 a3 b5 4. –92 a3 b5

35. ในการกระจาย (x2 + x1 )12 พจนทไมม x คอพจนทเทาใด 1. 7 2. 8 3. 9 4. 10


14

12.6 ความนาจะเปนและกฏทส าคญบางประการของความนาจะเปน

12.6.1 การทดลองสม ปรภมตวอยาง เหตการณ และความนาจะเปน การทดลองสม หมายถงการทดลองหรอการกระท าซงทราบวาผลลพธทไดจากการทดลองนนอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถระบไดแนชดวาในการทดลองแตละครงจะเกดผลลพธอะไรจากผลลพธทงหมดเหลานน เชน การโยนเหรยญ การโยนลกเตา เปนตน ปรภมตวอยาง ( Sample space ) หมายถงเซตของผลลพธทอาจจะเกดขนไดทงหมดจากการทดลองสม และเปนสงทเราสนใจ แตละสมาชกของปรภมตวอยางเรยกวา จดตวอยาง เหตการณ (Event) คอสบเซตของปรภมตวอยาง ถา S เปนปรภมตวอยาง ซงเปนเซตจ ากด ซงแตละผลลพธใน S มโอกาสเกดขนเทา ๆ กน และ E เปนเหตการณซง E S ถาให P(E) แทนความนาจะเปน (Probability) ของเหตการณ E แลวจะไดวา

P(E) = S ตวอยางกในปรภมจ านวนสมาชE ณกในเหตการจ านวนสมาช

นนคอ P(E) = (S)n (E)n

36. นายวทย ซอเลขทาย 2 ตวไว 3 หมายเลข คอ 02 , 45 และ 85 ความนาจะเปนทนายวทย จะถกเลขทาย 2 ตว ในงวดนมคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0.01 2. 0.03 3. 0.1 4. 0.3 37(แนว มช) บรษทขายรถยนตแหงหนง พบวาจ านวนลกคาทซอรถยนตจ านวน 200 คน ซอ รถยนตสตางๆ ดงน

ส ขาว บรอนซ แดง ด า น าเงน จ านวนลกคา 60 35 25 38 42

ความนาจะเปนทลกคาคนหนงทเดนเขามาในบรษทน แลวเลอกซอรถยนตสขาวหรอสแดง คอ คาในขอใดตอไปน 1. 0.175 2. 0.190 3. 0.365 4. 0.425


15

38(แนว Pat1) ในการโยนลกเตา 2 ลกหนงครง ความนาจะเปนทจะไดลกเตาลกหนงขนแตมไม เกน 3 และแตมรวมเปน 7 เทากบขอใดตอไปน 1. 3

1 2. 41 3. 6

1 4. 121

39. ในกลองใบหนงมหลอดไฟอย 5 หลอด มหลอดดอย 3 หลอด หลอดเสยอย 2 หลอด ถา หยบหลอดไฟฟาขนมาโดยสม 2 หลอด ความนาจะเปนทจะไดหลอดเสย 1 หลอด และได หลอดด 1 หลอด มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0.40 2. 0.45 3. 0.55 4. 0.60

40(แนว En) มผชาย 7 คน ผหญง 3 คน สมเลอกคนในกลมนมา 2 คน ความนาจะเปนทจะสม เลอกไดผชาย 1 คน และผหญง 1 คน เทากบขอใดตอไปน

1. 211 2. 10

1 3. 92 4. 15

7


16

41(แนว En) ในการเลอกกรรมการนกเรยนจ านวน 4 คน จากผสมครซงประกอบดวยชาย 4 คน และหญง 2 คน ความนาจะเปนทคณะกรรมการชดนจะประกอบดวยนกเรยนชายไมนอยกวา 3 คน เทากบขอใดตอไปน 1. 15

7 2. 158 3. 15

9 4. 1510

42(แนว มช) มถง 2 ใบ มลกแกวอย ถงละ 7 ลก ถงใบแรกมลกแกวสเขยว 3 ลก สแดง 2 ลก และสขาว 2 ลก ถงใบทสองมลกแกวสเขยว 3 ลก สแดง 3 ลก และสขาว 1 ลก ถาสมหยบ ลกแกวจากแตละถง ถงละ 1 ลก ความนาจะเปนทจะไดถงละ 1 ลก ความนาจะเปนทจะได ลกแกวสเหมอนกนเปนเทาไร 1. 49

14 2. 4915 3. 49

17 4. 4934

43(แนว En) ในจ านวนเดก 12 คน มเดกสายตาปกต 8 คน สายตาสน 4 คน ถาเลอกเดก 5 คน โดยการสมจากเดกเหลานแลว ความนาจะเปนทจะมเดกสายตาสนอยในกลมทเลอกเทากบขอใด 1. 99

35 2. 9947 3. 99

63 4. 9992


17

44. ถงใบหนงมกระดมสขาว 2 เมด สมวง 3 เมด หยบกระดมอยางสมครงละ 1 เมด 2 ครง โดยหยบกระดมเมดแรกแลวไมใสคนถง จงหาความนาจะเปนทจะไดกระดมทงสองเมดตางสกน 1. 103 2. 53 3. 52 4. 54

45. จดชาย 5 คน ยนเรยงเปนแถวแนวตรง ความนาจะเปนทชาย 2 คน ทก าหนดตองยนตดกน เสมอมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 51 2. 52 3. 5

3 4. 54

12.6.2 กฎส าคญบางประการของความนาจะเปน กฎขอท 1 ถา A และ B เปนเหตการณใดๆ ทเปนสบเซตของแซมเปลสเปซ S แลว P(A B ) = P (A) + P (B) – P (A B) กฎขอท 2 ถา A และ B เปนเหตการณใดๆ ทไมเกดรวมกน แลวจะไดวา P(A B ) = P (A) + P (B)

กฎขอท 3 ถา A เปนเหตการณใดๆ ทเปนสบเซตของแซมเปลสเปซ S แลว P(A/ ) = 1 – P (A )


18

46. ก าหนดความนาจะเปนของเหตการณ A , B และ A B ดงน P(A) = 0.5 , P(B) = 0.3 , P (A B) = 0.1

แลว P (A/ B/) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0.01 2. 0.03 3. 0.1 4. 0.3

47. ให A และ B เปนเหตการณใดๆ ในแซมเปลสเปซ ถา P(A) = 0.71 , P(B) = 0.50 และ P(A B) = 0.23 แลวคาของ P(A/ B/) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0.02 2. 0.12 3. 0.20 4. 0.98

48(แนว En) ให A และ B เปนเหตการณใดๆ โดยท P(A) = 0.7 , P(B) = 0.4 และ P(A/ B/) = 0.2 แลว P(A B) เทากบขอใดตอไปน 1. 0.1 2. 0.3 3. 0.8 4. 0.9


19

49. จากการส ารวจประชากรของหมบานแหงหนง ปรากฏวาความนาจะเปนของครอบครวทท า สวนล าไยเทากบ 0.5 ความนาจะเปนของครอบครวทท าสวนลนจเทากบ 0.7 ความนาจะเปน ของครอบครวทท าสวนล าไยและสวนลนจเทากบ 0.3 ถาหมบานแหงนประชากรอย 200 ครอบครวแลว จ านวนครอบครวทท าสวนล าไยหรอสวนลนจเทากบขอใดตอไปน 1. 200 2. 180 3. 140 4. 120 50(แนว มช) ถาในการสมมนาครงหนง พบวามผเขารวมสมมนาประมาณ

50% มองเหนตวหนงสอบนกระดานไมชด 60% ไดยนค าบรรยายไมชด อก 20% มองเหนตวหนงสอบนกระดานและไดยนค าบรรยายไมชดทง 2 อยาง

จากการคดเลอกสมผเขารวมสมมนาครงนมาคนหนง จงหาความนาจะเปนทผเขารวมสมมนาคนน จะมองเหนตวหนงสอบนกระดานและไดยนค าบรรยายชดทง 2 อยาง

51. ในการสอบครงหนง ความนาจะเปนทนายสมชายจะสอบผานวชาคณตศาสตรมคาเทากบ 0.6 ความนาจะเปนทจะสอบผานวชาองกฤษเปน 0.4 ถาความนาจะเปนในการสอบผานอยางมาก 1 วชาเปน 0.7 แลวความนาจะเปนทเขาจะสอบผานอยางนอย 1 วชา มคาเทากบขอใด 1. 0.7 2. 0.6 3. 0.5 4. 0.4


20

52. ชาย 12 คน ไปรบประทานอาหารทรานแหงหนง ถามผสงขาวผด 8 คน กวยเตยวผด 4 คน และสงทงขาวผดและกวยเตยวผด 2 คน ความนาจะเปนในการทชายคนใดคนหนงจะสงขาว ผดหรอกวยเตยวผดมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 9

2 2. 65 3. 9

4 4. 209

53(แนว En) นกเรยนกลมหนง 100 คน มผชอบกฬา 50 คน ชอบดนตร 30 คน ชอบกฬาและ ดนตร 10 คน ความนาจะเปนทจะมผชอบกฬาหรอดนตรมคาเทาไร 1. 0.8 2. 0.7 3. 0.6 4. 0.3

54. ในการแขงขนตอบปญหามผแขงขน 3 คนคอ A , B และ C ถา A มโอกาสชนะเปน 2 เทาของ B และ B มโอกาสชนะเปน 2 เทาของ C ถามผชนะเพยงคนเดยว ความนาจะเปนท A หรอ B เปนผชนะมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 52 2. 54 3. 74 4. 76


21

เฉลยบทท 12 ความนาจะเปน

1. ตอบขอ 4. 2. ตอบ 100 3. ตอบขอ 3. 4. ตอบขอ 2. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 4. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 4. 10. ตอบขอ 3. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 2. 13. ตอบขอ 1. 14. ตอบขอ 3. 15. ตอบขอ 2. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 2. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบขอ 4. 21. ตอบ 240 22. ตอบ 480 23. ตอบขอ 4. 24. ตอบขอ 2. 25. ตอบขอ 3. 26. ตอบขอ 3. 27. ตอบขอ 4. 28. ตอบขอ 3. 29. ตอบขอ 2. 30. ตอบขอ 4. 31. ตอบขอ 4. 32. ตอบขอ 2. 33. ตอบขอ 1. 34. ตอบขอ 1. 35. ตอบขอ 3. 36. ตอบขอ 2. 37. ตอบขอ 4. 38. ตอบขอ 3. 39. ตอบขอ 4. 40. ตอบขอ 4. 41. ตอบขอ 3. 42. ตอบขอ 3. 43. ตอบขอ 4. 44. ตอบขอ 2. 45. ตอบขอ 2. 46. ตอบขอ 4. 47. ตอบขอ 1. 48. ตอบขอ 2. 49. ตอบขอ 2. 50. ตอบ 0.1 51. ตอบขอ 1. 52. ตอบขอ 2. 53. ตอบขอ 2. 54. ตอบขอ 4.


22

ตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 12 ความนาจะเปน ชดท 1

12.1 กฏเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

1(En 21) ในการเลอกคณะกรรมการชดหนงซงประกอบดวยประธาน รองประธาน เหรญญก และ เลขานการ โดยใหกรรมการแตละคนด ารงต าแหนงไดเพยงต าแหนงเดยว ถามผ สมคร เลอกตง 6 คน ผลการเลอกตงกรรมการชดน อาจมแตกตางไดทงหมดกวธ 1. 360 2. 240 3. 120 4. 24

2(En48 ม.ค.) ในคณะกรรมการนกเรยนจ านวน 10 คน จะมวธเลอกประธาน รองประธาน แ ล ะ เลขานการไดกวธ ถากรรมการคนหนงไมสมครทจะเปนประธาน

3(En 26) รถยนตคนหนงมทนงขางหนา 2 ท และขางหลง 1 ท ถามคนทงหมด 6 คน ซง 2 คน ขบรถไดจะจดใหคนเขานงรถไดกวธ 1. 120 วธ 2. 40 วธ 3. 20 วธ 4. 6 วธ

4(En 34) นาย ก , ข และ ค จะขนลฟท ซงมทงหมด 3 ตว จ านวนวธทนาย ก. และ ข. ขน ดวยกน แตนาย ค. ขนคนเดยว มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 6 2. 7 3. 8 4. 9

5(En43 ม.ค.) ถาตองการเขยนจ านวนทม 7 หลก โดยใชตวเลขโดด 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 และให ม เลขโดด 3 , 4 , 5 อยตดกนตรงกลางระหวางเลขโดดคและเลขโดดค โดยแตละจ านวนไมม เลขซ า แลวจะเขยนไดทงหมดเปนจ านวนเทากบขอตอไปน 1. 8 2. 16 3. 24 4. 48

6(En43 ต.ค.) จ านวนเลขสามหลกซงหารดวย 5 ลงตว และตวเลขหลกสบแตกตางจากตวเลข หลกรอยมจ านวนทงหมดเทาใด

7(มช 40) จ านวนเตม 4 หลก ทมคาระหวาง 2000 ถง 5000 โดยแตละหลก ไมมตวเลขใดซ า กนเลยจะมกจ านวน


23

8(En47 ม.ค.) วธในการเขยนจ านวนคทมสามหลกจากตวเลข 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 โดยทหลกรอย และหลกหนวยเปนตวเลขทแตกตางกน และมคาไมนอยกวา 200 มจ านวนวธเทากบขอใด ตอไปน 1. 72 2. 71 3. 60 4. 59

9(En 39) จ านวนเตมคซงอยระหวาง 100 และ 999 ซงมหลกหนวยหรอหลกรอยเปนจ านวน เฉพาะ มจ านวนทงหมดเทากบเทาใด 1. 350 2. 380 3. 470 4. 500

10(แนว Pat1) จากเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 7 , 8 ตองการสรางจ านวนคบวก 4 หลก โดยแตละ จ านวนทสรางขนไมมเลขโดดในหลกใดทซ ากนเลย จะมจ านวนวธทสรางไดเทากบขอใด 1. 180 2. 156 3. 144 4. 136

12.2 แฟกทอเรยล

11. 2)!(n 2)!(n เทากบขอใด

1. n(n – 2)(n2 – 1) 2. n(n2 – 1)(n2 – 4) 3. (n – 1)n (n + 1)(n + 2) 4. (n – 2)(n – 1)(n)(n + 1)

12. 2)(n!1)!(n 1)!(n มคาเทากบขอใด

1. n 1n 2. 1n n 3. n 1n 4. 1n n 13. 3)(n!

n!1)!(n 1)!(n มคาตรงกบขอใด

1. 1 2. n 1n 3. 1 4. n2

12.3 วธเรยงสบเปลยน 14(แนว Pat1) จดคน 8 คน ซงม A , B และ C รวมอยดวย เขานงเรยงกนเปนแถวตรง โดยท C นงกลางตดกบ A และ B เสมอ จ านวนวธการจดทนงดงกลาวมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 360 2. 720 3. 1080 4. 1440

15(En 21) นกเรยนคนหนงมต าราวทยาศาสตร 4 เลมตางๆ กน คณตศาสตร 3 เลมตางๆ กน ภาษาองกฤษ 2 เลมทตางกน และภาษาไทย 1 เลม เขาจะมวธเรยงต าราบนชนไดตางๆ กนก วธ ถาเขาตองการใหต าราเรยนในหมวดวชาเดยวกนอยตดกนดวย 1. 288 2. 12600 3. 6912 4. 24


24

16(En 20) จะจดคน 5 คน เขานงประชมโตะกลมไดกวธ 1. 230 2. 60 3. 24 4. 12

17(มช 41) การแขงขนกฬาชนดหนงในระดบประเทศ มก าหนด 3 วน ซงมประเทศผเขาแขงขน ทงหมด 5 ประเทศ เจาภาพจดธงประจ าชาตทง 5 บนอฒจนทรตามก าหนดดงน วนท 1 จดเรยงเปนเสนตรงตามล าดบตวอกษรแรกของชอประเทศ (ซงไมซ ากน) วนท 2 จดเรยงคละกนเปนวงกลม วนท 3 จดเรยงเปนเสนตรงโดยใหธงชาตทมสแดงเปนสวนประกอบอยตดกน ซงม

3 ประเทศ ทธงประจ าชาตมสแดงเปนสวนประกอบ จงหาจ านวนวธทงหมดในการจดธงของการแขงขนตลอด 3 วนน 1. 60 2. 62 3. 864 4. 1728

18(แนว Pat 1) คณลง คณปา ลกชาย และลกสาว มาเยยมครอบครวเราซงม 4 คน คอ คณพอ คณแม ตวฉน และนองชาย ในการจดทนงรอบโตะอาหารกลมทม 8 ทนง โดยใหคณลงนง ตดกบคณพอ คณปานงตดกบคณแม ลกชายของคณลงนงตดกบนองชายของฉน และลกสาว ของคณลงนงตดกบฉน จะมจ านวนวธจดไดเทากบขอใดตอไปน 1. 48 วธ 2. 96 วธ 3. 192 วธ 4. 288 วธ

19(En42 ต.ค.) ในการประชมครงหนงมผแทนจาก 3 ประเทศ เขารวมประชม โดยมผ แทน ประเทศละ 3 คน จ านวนวธท งหมดทจะจดใหผแทนแตละประเทศตองนงตดกนในการ ประชมโตะกลมเทากบเทาใด

20(En 38) ในโรงเรยนแหงหนง ตวแทนนกเรยนจากชนมธยมศกษาปท 4 , 5 และ 6 ชนปละ 3 คน ตองท าการประชมเพอเตรยมการแสดงส าหรบงานคนสเหยาของโรงเรยน จ านวนวธ ท จ ะจดผเขารวมประชมทงหมดนงรอบโตะกลม โดยทตวแทนทมาจากชนปเดยวกนตองนง ต ด ก นเทากบขอใดตอไปน

1. 16 2. 54 3. 432 4. 1296

21(En 39) มลกแกว 7 ลก ซงมสตางกนหมดโดยมสแดง สขาว สน าเงน และสอน ๆ จ านวนวธ จะวางเรยงลกแกวเปนวงกลมโดยใหสน าเงนเรยงอยตดกบสขาวและตดกบสแดงเทากบขอใด 1. 24 2. 48 3. 120 4. 240


25

22(มช 39) โตะประชมรปครงวงกลมทนงอย 9 ท จดใหผเขารวมประชมทงหมด 9 คน โดยให ประธานนงตรงกลางโตะ และรองประธานกบเลขานการนงขนาบ 2 ขางประธาน จะสามารถ จดไดกวธ

1. 8! 2. 6! 3. 6! + 2 4. 2 (6!)

23(มช 38) มตนมะมวง 5 ตน และตนชมพ 2 ตน ซงแตละตนแตกตางกนหมด ถาน าตนไม ทงหมดมาปลกรอบสนามหญาโดยไมใหตนชมพอยตดกนจะมวธปลกกวธ

24(En41 เม.ย.) จงหาจ านวนวธทงหมดในการจดชาย 5 คน และหญง 5 คน ใหนงรอบโตะกลม โดยใหชายหญงนงสลบกน และนาย ก. จะตองนงตดกบนางสาว ข.

25(En44 ม.ค.) พจารณาขอความตอไปน ก. จ านวนวธในการจดเดก 5 คน และผใหญ 5 คน ถายรปหม โดยใหเดกยนแถวหนาและ ผใหญยนแถวหลงเทากบ 5! 5! ข. จ านวนวธในการจดชาย 6 คน หญง 6 คน นงโตะกลม 2 โตะทตางกนซงมโตะละ 6 ทนง โดยทชายและหญงนงแยกโตะกน เทากบ 5! 5! ขอใดตอไปนถก


12.4 วธจดหม

26(แนว Pat1) มทมฟตบอลทงหมด 7 ทม ตองการจดการแขงขนแบบพบกนหมด (แตละทม ตอง ลงแขงกบทมอนทกทม) จะตองจดการแขงขนกนด

27(En 40) ในการแขงขนฟตบอล คณะกรรมการจดการแขงขนจดใหมการแขงขนแบบพบกน หมด ปรากฏวาจะตองจดให มการแขงขนทงหมด 36 ค การแขงขนนมทมเขารวมแขงขนจ านวนเทากบขอใดตอไปน

1. 6 2. 8 3. 9 4. 12


26

28(En45 ม.ค.) ก าหนดจด 10 จด บนแผนกระดาษ ม 4 จดอยบนเสนตรงเดยวกน นอกนนไมม 3 จดใด อยบนเสนตรงเดยวกน จ านวนรปสามเหลยมทเกดจากการลากเสนตรงเชอมจดท

ก าหนดให เทากบขอใดตอไปน 1. 80 2. 106 3. 116 4. 120

29(มช 43) โรงเรยนแหงหนงมผสมครเปนกรรมการนกเรยนจ านวน 8 คน โดยเปนนกเรยนหญง 3 คน ชาย 5 คน จงหาจ านวนวธทจะจดผสมครใหเปนกรรมการนกเรยน โดยคณะกรรมการ

ชดนมจ านวน 5 คน ประกอบดวยหญง 2 คน และชาย 3 คน 1. 15 2. 30 3. 45 4. 120

30(มช 33) ถาตองการคดเลอกนกเรยนจากตวแทนนกเรยน 3 กลม โดยเลอก 1 คน จาก 10 คน ในกลมทหนง เลอก 2 คน จาก 15 คน ในกลมทสอง และเลอก 3 คน จาก 20 คน ใน กลมทสามจะมวธการเลอกไดเทากบกวธ

1. 1000 2. 13420 3. 56360 4. 1197000

31(En 37) โรงงานแกะสลกไมแหงหนงมคนงาน 15 คน เปนหญง 6 คน ชาย 9 คน ผจดการ รบงานมา 3 ชนด โดยงานชนดทหนงใชคนงานหญง 3 คน โดยงานชนดทสองใชคนงานชาย 5 คน สวนงานชนดทสามใชคนงานชายหรอหญงกไดจ านวน 3 คน จ านวนวธท ผจ ดการจะ เลอกคนงานใหแกะสลกไมเทากบขอใดตอไปน 1. 37800 2. 68250 3. 75600 4. 88200

32 (แนว Pat1) มสงของซงแตกตางกนอย 8 ชน ตองแบงใหคน 2 คน คนหนงได 6 ชน และอก คนหนงได 2 ชน จะมจ านวนวธแบงกวธ

33(มช 45) มหาวทยาลยแหงหนง จดหลกสตรอบรมบณฑตวางงาน 3 หลกสตร โดยหลกสตรท หนงรบได 7 คน หลกสตรทสองรบได 3 คน และหลกสตรทสามรบได 2 คน ในการจดบณฑตวางงาน 12 คน เขาอบรมใน 3 หลกสตรดงกลาว จะไดทงหมดกวธ

1. 42 2. 5040 3. 7920 4. 60480


27

34(En46 ม.ค.) มคนงานหญง 6 คน และคนงานชาย 8 คน ซงมนายด ารวมอย ดวย ถาจะเลอก คนงาน 4 คน ไปท างานทตางกน 4 ประเภท โดยใหเปนหญง 2 คน เปนชาย 2 คน และ ให มนายด าอยใน 4 คนนดวย จ านวนวธการเลอกคนงานดงกลาวเทากบขอใดตอไปน 1. 1920 วธ 2. 2400 วธ 3. 2520 วธ 4. 2880 วธ

35(En 36) จากอาจารย 4 คน นกเรยนชาย 5 คน นกเรยนหญง 2 คน ตองการเลอกตวแทน 4 คน โดยใหมอาจารย 1 คน และนกเรยนหญงอยางนอย 1 คน จ านวนวธเลอกเทากบในขอใด ตอไปน 1. 20 2. 80 3. 100 4. 204

36(มช 37) ในการสอบวชาคณตศาสตรครงหนง ก าหนดใหผเขาสอบท าขอสอบ 10 ขอ จากขอสอบ ทงหมด 12 ขอ และผเขาสอบตองท าขอสอบ สอบอยางนอย 5 ขอ จาก 6 ขอแรก ดงนนจ านวนวธทงหมดทผเขาสอบจะเลอกท าขอสอบเทากบขอใด

1. 1.5 2. 36 3. 41 4. 51

37(En46 ต.ค.) ขอสอบชดหนงม 2 ตอน ตอนละ 4 ขอ มค าสงใหผสอบท าขอสอบตอนทหนง อยางนอย 1 ขอ และท าขอสอบตอนทสอง 2 ขอ จ านวนวธทผสอบจะท าขอสอบชดเทากบ เทาใด

38(En 36) ขอสอบปรนยวชาหนงม 6 ขอ ขอท 1 และขอท 2 มคะแนนเตมขอละ 3 คะแนน ขอ อน ๆ มคะแนนเตมขอละ 1 คะแนน หากนกเรยนตอบขอใดถกตอง จะไดคะแนนเตมในขอนน หากตอบผดจะไดคะแนน 0 จ านวนวธทนกเรยนจะท าคะแนนวชานได 60 เปอรเซนตพอด เทากบในขอใดตอไปน 1. 6 2. 7 3. 8 4. 9

39(En 40) คร 3 คน พานกเรยน 6 คน ไปเขาคายวชาการ ซงตองพกในบานหลงหนงทมหอง นอน 3 หอง หองเลกอยได 2 คน หองกลางอยได 3 คน และหองใหญอยได 4 คน ถา ตองการใหคร 3 คนพกในหองเดยวกน จะมวธการแบงคนเขาพกไดทงหมดกวธ

12.5 ทฤษฏบททวนาม 40(มช 35) จงหาพจนท 4 ของการกระจาย 6 3

1 32

1. 72916 2. 729

120 3. 729160 4. 729

240


28

41(มช 32) ในการกระจาย 12

3y1 3y

พจนทไมม y ปรากฏอยคอพจนท .....

42(En42 ม.ค.) ถา a และ b เปนสมประสทธของ x–2 และ x4 ของการกระจาย x4 – 22x

1 10 ตามล าดบ แลว ba เทากบขอใดตอไปน

1. – 72 2. – 21 3. – 3

1 4. – 154

43(En44 ม .ค .) ก าหนดให n เปนจ านวนเตมบวก ซงท าใหพจน ทไม ม x ในการกระจาย (x2+ 2x

1 )n คอพจนท 9 สมประสทธ x15 ในการกระจายนเทากบเทาใด

12.6 ความนาจะเปนและกฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน

44(มช 32) ชน ม. 6 ของโรงเรยนหนงมนกเรยนหญง 30 คน นกเรยนชาย 20 คน ในจ านวนนม นกเรยนทสวมแวนตาเปนนกเรยนหญง 12 คน และเปนนกเรยนชาย 8 คน ถาสมนกเรยนจากชนน 1 คน ความนาจะเปนทไดนกเรยนชายสวมแวนตาเทากบ

45(มช 43) บรษทขายรถยนตแหงหนงพบวา จ านวนลกคาทซอรถยนตจ านวน 200 คน ซอ รถยนตสตางๆ ดงน

ส ขาว บรอนซ แดง ด า น าเงน จ านวนลกคา 60 35 25 38 42

ความนาจะเปนทลกคาคนหนงทเดนเขามาในบรษทน แลวเลอกซอรถยนตสบรอนซหรอ สด า คอคาในขอใด 1. 0.175 2. 0.190 3. 0.365 4. 0.730

46(En 39) ลกเตาลกหนงถกถวงน าหนกใหแตมคแตละหนา มโอกาสเกดขนเปนสองเทาของแตมค แตละหนา ความนาจะเปนทโยนลกเตา 1 ครง ไดแตมเปน 1 หรอแตมคเทากบขอใด

1. 32 2. 4

3 3. 97 4. 8

5

47(En43 ม.ค.) ในการทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครง ความนาจะเปนทผลบวกของแตมบน หนาลกเตาทงสองลกจะเปนเลขหารดวย 4 ไมลงตว มคาเทากบเทาใด


29

48(แนว Pat1) ในการโยนลกเตา 2 ลกหนงครง ความนาจะเปนทจะไดลกเตาลกหนงขนแตมไม นอยกวา 4 และแตมรวมเปน 7 เทากบขอใดตอไปน 1. 3

1 2. 41 3. 6

1 4. 121

49(มช 39) สมบตและสมชาตเลนเกมโดยแตละครงโยนลกเตาคนละลก ถาแตมทเกดขนรวมกนได 4 หรอ 7 สมบตจะเปนผชนะ แตถาแตมทเกดขนทรวมกนได 6 หรอ 11 สมชาตจะเปนผชนะ ผลนอกจากนถอวาเสมอกน ถามการโยนทงหมด 72 ครง คาดวาจะเสมอกนกครง

1. 21 2. 40 3. 42 4. 44

50(En 33) ในการเลอกจ านวนเตมหนงจ านวนจากจ านวนเตมตงแต 10 ถง 59 จะไดความนาจะ เปนทเลขจ านวนนนหารดวย 7 ลงตวหรอเปนเลขคเทากบ ขอใดตอไปน

1. 0.36 2. 0.50 3. 0.58 4. 0.64

51(En 40) สลากชดหนงม 10 ใบ มหมายเลข 1 – 10 ก ากบ ความ น าจะเป น ท จะห ยบ ส ลาก พรอมกน 3 ใบ โดยใหม แตมรวมกนเปน 10 และไมมสลากใบใดทหมายเลขสงกวา 5 ม คาเทากบขอใดตอไปน 1. 60

1 2. 401 3. 30

1 4. 201

52(แนว Pat1) กลองใบหนงมบตร 10 ใบ แตละใบมหมายเลข 0 , 1 , 2 , ... , 9 บตรละหนง หมายเลข ถาหยบบตรจากกลองพรอมกน 3 ใบ ความนาจะเปนทจะไดแตมรวมกนมากกวา 10 และทกใบเปนหมายเลขค มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 12

1 2. 151 3. 20

1 4. 301

53(En 21) ในการตอบปญหารายการหนง มผตอบถก 10 คน เปนชาย 7 คน หญง 3 คน ใน การใหรางวลซงมเพยง 2 รางวล ใชวธการจบสลากซอผตอบถก ความนาจะเปนทผไดรบ รางวลเปนชาย 1 คน และหญง 1 คน เทากบขอใดตไปน

1. 211 2. 10

1 3. 92 4. 15

7

54(En41 เม.ย.) สลากชดหนงม 10 ใบ มหมายเลข 1 – 10 ก ากบ ถาตองการหยบสลาก 8 ใบ พรอมกน โดยใหสลากทมหมายเลขต ากวา 5 อย 3 ใบเทานน แลวความนาจะเปนทจะหยบ สลากดงกลาวมคาเทากบขอใด 1. 9

2 2. 158 3. 35

2 4. 15611


30

55(มช 36) รานจ าหนายผาไหมไทยแหงหนง พบวาจากการสงซอผาไหมมารนหนงจ านวน 10 ผน ม 2 ผน ทมรอยต าหน ถาสมหยบผาไหมไทยในรนนมา 5 ผน จงหาความนาจะเปนทจะไดผาไหมทมรอยต าหนเพยงผนเดยว

56(แนว Pat1) ถงใบหนงบรรจลกแกวสขาว 5 ลก สเขยว 4 ลก และสเหลอง 3 ลก ถาหยบ ลกแกวจากถงทละลก 3 ครงโดยไมใสคน แลวความนาจะเปนทจะหยบไดลกแกว ลกทหนง สองและสาม เปนสขาว สเขยว และสเหลอง ตามล าดบเทากบขอใดตอไปน 1. 21

1 2. 221 3. 22

3 4. 253

57(แนว Pat 1) ขาวสารบรรจถงแลวกองหนงประกอบดวย ขาวหอมมะล 4 ถง ขาวเสาไห 3 ถง ขาวขาวตาแหง 2 ถง และขาวเหนยว 1 ถง สมหยบขาวจากกองนมา 4 ถง ความ นาจะเปนทจะไดขาวครบทกชนดเทากบขอใดตอไปน

1. 354 2. 35

3 3. 52 4. 41

58(มช 35) มถง 2 ใบ มลกแกวอย ถงละ 7 ลก ถงใบแรกมลกแกวสเขยว 3 ลก สแดง 2 ลก และสขาว 2 ลก ถงใบทสองมลกแกวสเขยว 3 ลก สแดง 3 ลก และสขาว 1 ลก ถาสมหยบลกแกวจากแตละถง ถงละ 1 ลก ความนาจะเปนทจะไดถงละ 1 ลก ความนาจะเปนทจะไดลกแกวสเหมอนกนเปนเทาไร

1. 4914 2. 49

15 3. 4917 4. 49

34

59(แนว Pat1) ในกลองใบหนงมถงเทาสขาว 4 ค สด า 3 ค และสน าเงน 2 ค แตไมไดจดเรยง ไวเปนค ๆ ถาสมหยบถงเทามา 2 ขาง ความนาจะเปนทจะไดถงเทาสเดยวกนเทากบขอใด ตอไปน 1. 2

1 2. 32 3. 153

43 4. 15349

60(มช 39) นกกฬาชาย 14 คน ประกอบดวยนกกฬาวายน า 5 คน นกกฬาฟตบอล 6 คน และ นกกฬาตะกรอ 3 คน ถาสมเลอกตวแทนมา 3 คน จงหาความนาจะเปนทจะไดตวแทนทง 3 คน เปนนกกฬาประเภทเดยวกน

36431 4. 364

71 3. 18215 2. 182

35 1.


31

61(แนว Pat1) กลองใบหนงบรรจหลอดไฟ 12 หลอด เปนหลอดช ารด 3 หลอด ถาหยบ หลอดไฟจากกลองมา 4 หลอด แลวความนาจะเปนทจะไดหลอดช ารดไมเกน 1 หลอด เทากบขอใดตอไปน 1. 3

1 2. 41 3. 99

14 4. 5542

62(En41 เม.ย.) ในการเลอกกรรมการนกเรยนจ านวน 4 คน จากผสมคร 6 คน ซงประกอบดวย ชาย 4 คน และ หญง 2 คน ความนาจะเปนทคณะกรรมการชดนจะประกอบดวยนกเรยนชาย ไมนอยกวา 3 คน เทากบขอใดตอไปน 1. 15

7 2. 158 3. 15

9 4. 1510

63(En48 ม.ค.) กลองใบหนงมลกบอลสด า 4 ลก และสแดง 6 ลก ถาสมหยบลกบอลจาก กลองใบนมา 3 ลก ความนาจะเปนทจะไดลกบอลสละอยางนอยหนงลกเทากบขอใด ตอไปน 1. 0.78 2. 0.80 3. 0.82 4. 0.84

64(แนว Pat1) ถงใบหนงบรรจลกกวาดรสสตรอเบอร 5 ลก รสชอคโกแลต 4 ลก รสกาแฟ 2 ลก และรสมนท 2 ลก หากสมหยบลกกวาดจากถงใบนมา 3 ลก ความนาจะเปนทจะหยบไดลกกวาดตางรสกนทงหมด เทากบขอใดตอไปน

1. 14357 2. 143

58 3. 14359 4. 143

60

65(En44 ต.ค.) หางสรรพสนคาแหงหนงจดรายการสมนาคณแกลกคา โดยจะใหลกคาทกคนสม หยบคปองสวนลดได 2 ใบ จากกลองซงมคปองทงหมด 12 ใบ ซงมคปองมลคา 50 บาท 5 ใบ

คปองมลคา 100 บาท 3 ใบ คปองมลคา 200 บาท 3 ใบ และคปองมลคา 500 บ า ท 1 ใ บ ความนาจะเปนทลกคาคนหนงจะสมหยบคปอง 2 ใบ และไดคปองทมมลคาสวนลดรวมมากกวา 300 บาท มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 6611 2. 66

14 3. 6620 4. 66

23

66(En42 ม.ค.) ถงใบหนงมลกแกวขนาดเดยวกนอย 10 ลก เปนสแดง 3 ลก สขาว 5 ลก สด า 2 ลก สมหยบลกแกวจากถงสองครงๆละลก โดยไมใสคน ความนาจะเปนทจะหยบไดลกทสองเปนสแดงเทากบขอใดตอไปน

1. 31 2. 10

3 3. 10027 4. 100

33


32

67(En43 ต.ค.) ในการจดคน 6 คน ซงมนาย ก และนาย ข รวมอยดวย เขาพกในหอง 3 หอง โดยทหองทหนงพกได 3 คน หองทสองพกได 2 คน และหองทสามพกได 1 คน ความ นาจะเปนทนาย ก และ นาย ข จะไดพกหองเดยวกนเทากบขอใดตอไปน 1. 15

1 2. 153 3. 15

4 4. 155

68(แนว Pat 1) สมครและสมานกบเพอน ๆ รวม 7 คน ไปเทยวตางจงหวดดวยกน ในการคางแรม ทมบานพก 3 หลง หลงแรกพกได 3 คน สวนหลงทสองและหลงทสามพกไดหลงละ 2 คน ซงแตละหลงมความแตกตางกน พวกเขาจงตกลงทจะจบสลากวาใครจะไดพกทบานหลงใด ความนาจะเปนทสมครและสมานจะไดพกบานหลงเดยวก นในหลงทหนงหรอหลงทสาม เทากบ ขอใดตอไปน 1. 21

4 2. 215 3. 21

8 4. 2110

69(En42 ต.ค.) ในจ านวนเดก 12 คน มเดกถนดซาย 4 คน ถาเลอกเดก 5 คน โดยการสมจาก เดกเหลาน แลวความนาจะเปนทจะมเดกถนดซายอยในกลมทเลอกเทากบขอใดตอไปน 1. 99

35 2. 9947 3. 99

63 4. 9992

70(En41 ต.ค.) ชาย 3 คน และหญง 3 คน เขาควในแถวเดยวกนเพอซอตวภาพยนตร ความนาจะ เปนทหญงทง 3 คน จะยนเรยงตดกนทงหมดในแถวทคาเทากบเทาใด

71(En 21) สาม ภรรยา 5 ค นงเกาอรอบโตะกลม ความนาจะเปนทสามคนทหนงจะนงตดกบ ภรรยาของเขาเทากบ 1. 9

2 2. 51 3. 21 4. 20

9

72(En46 ม.ค.) นายกวและนายขจรไดรบเชญไปงานเลยง ซงมผไดรบเชญทงหมด 20 คน เจาภาพ จด (โดยสม) ใหผรวมงานนงโตะกลม 2 โตะ ๆ ละ 10 ทนง ความนาจะเปนทนายกวและนาย ขจรจะไดนงตดกนในโตะตวเดยวกนเทากบขอใดตอไปน

1. 191 2. 19

2 3. 92 4. 9

4

73(En47 ต.ค.) ในการออกรางวลเลขทายสองตวของลอตเตอรรฐบาล ความนาจะเปนทรางวลเลข ทายสองตวมหลกสบเปน เลขทมากกวาหรอเทากบ 7 หรอหลกหนวยเปนเลขทนอยกวาหรอ เทากบ 2 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0.40 2. 0.51 3. 0.54 4. 0.60


33

74(En42 ต.ค.) กลองใบหนงบรรจขนมชน 24 ชน แตละชนม 4 ชน ๆ ละส ซงมสเขยว ขาว แดง เหลอง และการเรยงล าดบสของแตละชนทง 24 ชน แตกตางกนหมด ถาหยบขนม 1 ชน จากกลองนโดยสม แลวความนาจะเปนทชนทหยบไดมสองชนบนไมใชสแดงและไมใชสเหลองเทากบ ขอใดตอไปน

1. 241 2. 12

1 3. 61 4. 4

1

75(En47 ม.ค.) ในการเลอกประธาน รองประธาน และเหรญญก จากนกเรยนชาย 6 คน และ นกเรยนหญง 4 คน ซงมนายก าธรรวมอยดวย ความนาจะเปนทการเลอกครงนนายก าธรได เปนประธาน และมนกเรยนหญงไดรบเลอกอยางนอยหนงคนเทากบขอใดตอไปน 1. 180

13 2. 36013 3. 45

2 4. 454

76(En 40) ให A และ B เปนเหตการณใด ๆ โดยท P(A) = 0.5 , P(B) = 0.6 และ P(A/ B/) = 0.2 แลว P(A B) เทากบขอใดตอไปน 1. 0.1 2. 0.3 3. 0.8 4. 0.9

77(En44 ต.ค.) ก าหนดความนาจะเปนของเหตการณ A, B และ A B ดงน P(A) = 0.5 , P(B) = 0.3 , P(A B) = 0.1 P (A B) มคาเทากบเทาใด

78(En 39) ความนาจะเปนทสมศกดสอบผานวชาคณตศาสตรและวชาเคมเปน 32 และ 9

4

ตามล าดบ ถาความนาจะเปนทเขาจะสอบผานทงสองวชานเปน 14 แลว ความนาจะเปนทเขา

จะสอบไมผานทงสองวชานเทากบขอใดตอไปน 1. 4

3 2. 3631 3. 9

1 4. 365

79(En 20) ในจ านวนนกเรยน ม.ศ. 5 จ านวน 100 คน มผชอบกฬา 50 คน ชอบดนตร 30 คน ชอบกฬาและดนตร 10 คน ความนาจะเปนทจะมผชอบกฬาหรอดนตรมคาเทาไร

1. 0.8 2. 0.7 3. 0.6 4. 0.3


34

80(มช 36) ถาในการสมนาครงหนงพบวา มผเขารวมสมมนาประมาณ 50% มองเหนตวหนงสอ บนกระดานไมชด 60% ไดยนค าบรรยายไมชด อก 20% มองเหนตวหนงสอบนกระดานและไดยนค าบรรยายไมชดทง 2 อยาง จากการคดเลอกสมผเขารวมสมมนาครงนมาคนหนง จงหาความนาจะเปนทผเขารวมสมมนาคนน จะมองเหนตวหนงสอบนกระดานและไดยนค า บรรยายชดทง 2 อยาง

81(มช 40) ถาในการสมมนาครงหนง มผเขารวมฟงทมองเหนค าอธบายบนกระดานไมชด 45% ไดยนค าอธบายไมชด 35% อก 25% มองเหนค า อธบายบนกระดานและไดยนค าอธบายไมชดทง 2 อยาง ถาเลอกสมผเขารวมสมมนาครงนมาคนหนง ความนาจะเปนทผเขารวมสมมนาคนนจะมองเหนค าอธบายบนกระดานและไดยน ค าอธบายไดชดทง 2 อยาง คอขอใด

1. 0.20 2. 0.45 3. 0.55 4. 0.80

82(En 40) ผลการสอบวชาคณตศาสตรและวชาเคมของนกเรยนกลมหนง ปรากฏวา 13 ของ

นกเรยนท งหมดสอบผานคณตศาสตร และ 815 ของนกเรยนทงหมดสอบผานเคม ถาความ

นาจะเปนของนกเรยนคนหนงในกลมนทจะสอบผานอยางมากหนงวชาเปน 45 แลวความ

นาจะเปนทเขาจะสอบผานอยางนอยหนงวชาเทากบขอใดตอไปน 1. 3

2 2. 151 3. 51 4. 15

13

83(En44 ม.ค.) ความนาจะเปนทนกเรยนคนหนงสอบผานวชาคณตศาสตรเทากบ 52 และสอบ

ผานวชาภาษาองกฤษเทากบ 31 ถาความนาจะเปนในการสอบผานอยางมากหนงวชาเทากบ

1513 แลวความนาจะเปนทเขาจะสอบผานอยางนอยหนงวชา เทากบขอใดตอไปน

1. 157 2. 15

4 3. 53 4. 5

1

84(En45 ม.ค.) ชมรมกฬาของโรงเรยนแหงหนงมสมาชกทงหมด 80 คน สมาชกทกคนตองเลน กฬาอยางนอยหนงอยางและมสมาชกเปน นกฟตบอล 49 คน

นกบาสเกตบอล 40 คน นกเทนนส 33 คน

นกกฬาทงสามอยาง 5 คน นกเทนนสอยางเดยว 10 คน นกบาสเกตบอลอยางเดยว 13 คน

นกบาสเกตบอลและนกเทนนส 13 คน


35

ความนาจะเปนในการเลอกประธาน รองประธาน และเลขานการของชมรมต าแหนงละ 1 คน จากสมาชกทงหมด โดยทประธานตองเปนนกกฬาทงสามอยาง และรองประธานจะตองเปน นกกฬา อยางนอย 2 อยาง เทากบขอใดตอไปน

1. 3169 2. 31611 3. 63215 4. 632

23

85(En41 ต.ค.) ในการสรางเมตรกซในรปแบบ

x20

y12x แบบสม โดย x และ y เปน

สมาชกของเซต {–2 , –1 , 0 , 1 , 2} ความนาจะเปนทจะไดเมตรกซเอกฐานมคาเทากบขอใด ตอไปน 1. 25

2 2. 253 3. 52 4. 5

3

86(En44 ม.ค.) ในการสรางเมทรกซในรป

1 x x

4 x 2x แบบสม โดยท x { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }

ความนาจะเปนทจะไดเมทรกซเอกฐานเทากบเทาใด


36

เฉลยตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 12 ความนาจะเปน ชดท 1

1. ตอบขอ 1. 2. ตอบ 648 3. ตอบขอ 2. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 4. 6. ตอบ 324 7. ตอบ 1512 8. ตอบขอ 3. 9. ตอบขอ 1. 10. ตอบขอ 2. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบขอ 1. 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบขอ 4. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 2. 18. ตอบขอ 1. 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบขอ 3. 21. ตอบขอ 2. 22. ตอบขอ 4. 23. ตอบ 480 24. ตอบ 1152 25. ตอบขอ 2. 26. ตอบ 21 27. ตอบขอ 3. 28. ตอบขอ 3. 29. ตอบขอ 2. 30. ตอบขอ 4. 31. ตอบขอ 4. 32. ตอบ 28 33. ตอบขอ 3. 34. ตอบขอ 3. 35. ตอบขอ 3. 36. ตอบขอ 4. 37. ตอบ 90 38. ตอบขอ 4. 39. ตอบ 75 40. ตอบขอ 3. 41. ตอบ 7 42. ตอบขอ 1. 43. ตอบ 27.5 44. ตอบ 0.16 45. ตอบขอ 3. 46. ตอบขอ 3. 47. ตอบ 0.75 48. ตอบขอ 3. 49. ตอบขอ 2. 50. ตอบขอ 3. 51. ตอบขอ 1. 52. ตอบขอ 3. 53. ตอบขอ 4. 54. ตอบขอ 2. 55. ตอบ 0.56 56. ตอบขอ 2. 57. ตอบขอ 1. 58. ตอบขอ 3. 59. ตอบขอ 4. 60. ตอบขอ 4. 61. ตอบขอ 4. 62. ตอบขอ 3. 63. ตอบขอ 2. 64. ตอบขอ 2. 65. ตอบขอ 2. 66. ตอบขอ 2. 67. ตอบขอ 3. 68. ตอบขอ 1. 69. ตอบขอ 4. 70. ตอบ 0.2 71. ตอบขอ 1. 72. ตอบขอ 2. 73. ตอบขอ 2. 74. ตอบขอ 3. 75. ตอบขอ 3. 76. ตอบขอ 2. 77. ตอบ 0.9 78. ตอบขอ 4. 79. ตอบขอ 2. 80. ตอบ 0.1 81. ตอบขอ 2. 82. ตอบขอ 1. 83. ตอบขอ 3. 84. ตอบขอ 1. 85. ตอบขอ 4. 86. ตอบ 0.4

Documents

สรุปเข้มคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ... · 2020. 5. 22. · จุด1 , y(x 1) ถึงเส้นตรง Ax + By + C = 0 คือ A2 B2 Ax1