ว า ร ส า ร ด น ต ร บ า น ส ม เ ด จ ฯ | 109

ความสมพนธขนคเสยงภายใตแนวคดทฤษฎเซต

Intervallic Relationship in Set Theory

วบลย ตระกลฮน*1

Wiboon Trakulhun *1

บทคดยอ

ความสมพนธขนคในมตตางๆ ภายใตแนวคดพนฐานทฤษฎเซตแตกตางจากวธคดตามแบบแผนระบบดนตรโทนลหรอดนตรองกญแจเสยงอยางสนเชง ซงสงผลโดยตรงตอการพจารณาความสมพนธระหวางโนตตางๆ โดยเฉพาะอยางยงประเดนดานระยะหางขนค นอกจากน ทฤษฎเซตไมใหความส าคญกบชนดหรอประเภทขนคตามพนฐานระบบดนตรโทนลหรอวธการประสานเสยงตามรปแบบดงเดมอกตอไป ไมวาจะเปนขนคเมเจอร ไมเนอร เพอรเฟก ออกเมนเทด หรอดมนชท ซงการพจารณาระยะหางขนคภายใตกรอบแนวคดทฤษฎเซตเปนการพจารณาจ านวนทงหมดของระยะหางครงเสยงระหวางโนต 2 ตวใดๆ โดยบทความวชาการบทนเปนการพจารณาความสมพนธขนคในประเดนตางๆ ไดแก ระยะหางขนค ความสมมาตรภายในหนงชวงคแปด วงจรขนค ขนคคอมพลเมนต ขนคของระดบเสยง และขนคของขนระดบเสยง

ค าส าคญ : ขนคของระดบเสยง / ขนคของขนระดบเสยง / ขนคคอมพลเมนต Abstract The intervallic relationship in set theory is completely different from that in tonal music. This directly affects the consideration of relationship between notes especially the interval. Besides, unlike the traditional harmony or common practice, the set theory does not emphasize the quality of the interval: major, minor, perfect, augmented, * corresponding author, email: wbtrakulhun@gmail.com 1 รองศาสตราจารย วทยาลยดนตร มหาวทยาลยรงสต 1 Associate Professor at Conservatory of Music, Rangsit University

110 | B a n s o m d e j M u s i c J o u r n a l

and diminished intervals. However, the intervallic relationship in set theory is to consider the number of semitone between the two notes. This academic article is to present the consideration of the intervallic relationship in the following issues: intervallic distance, equal divisions of the octave, interval cycle, intervallic complement, pitch interval, and pitch-class interval.

Keywords: Pitch Interval / Pitch-Class Interval / Intervallic Complement ระยะหางขนค (Intervallic Distance)

เนองจากแนวคดพนฐานหลายประการภายใตกรอบทฤษฎเซตแตกตางจากแบบแผนระบบดนตรโทนลหรอดนตรองกญแจเสยง (Tonal Music) ซงมผลกระทบโดยตรงตอความสมพนธระหวางโนตตาง ๆ โดยเฉพาะวธการพจารณาดานระยะหางขนค อยางไรกตาม ทฤษฎเซตยงคงใหความส าคญกบประเดนดงกลาว แตแนวคดและวธการอธบายความสมพนธนนแตกตางไป ระยะหางขนคบนพนฐานระบบดนตรโทนลหรอวธการประสานเสยงตามรปแบบดงเดม (Traditional Harmony) ก าหนดโดยตวเลขซงไดมาจากระยะหางระหวางล าดบขนของโนตตาง ๆ บนบนไดเสยง ไดอะทอนก (Diatonic Scale) พรอมกบชอทสอดคลองกบหนาทและความสมพนธระหวางโนตแตละตว เชน ระยะหางข นค 2 , 3 , 6 , และ 7 สามารถจ าแนก ความแตกตางออกเปน 4 ชนด ตามความแตกตางของระยะครงเสยง ไดแก เมเจอร ไมเนอร ออกเมนเทด และดมนชท สวนระยะหางขนค 1 , 4, 5, และ 8 จ าแนกออกเปน 3 ชนด ไดแก เพอรเฟก ออกเมนเทด และดมนชท แนวคดรวมถงวธการอธบายความสมพนธดานขนคของระบบโทแนลต (Tonality) ท าใหเกดขนคพองเสยง (Enharmonic Interval) เชน ขนคพองเสยงระหวางขนค A2 กบ m3 หรอขนค A5 กบ m6 เปนตน ความสมพนธลกษณะนกอใหเกดความแตกตางระหวางขนค เสยงกลมกลน และขนค เสยงกระดาง (Consonance and Dissonance) ถงแมจะมจ านวนระยะหางครงเสยง(Semitone) เทากนกตาม พจารณาเปรยบเทยบโดยการเลนแนวท านองหลาย ๆ รอบ (ตวอยาง ท 1) จะไดยนความแตกตางของขนค A2 กบ m3 ทเกดขนบนแนวท านองระหวาง

ว า ร ส า ร ด น ต ร บ า น ส ม เ ด จ ฯ | 111

หองท 8 และหองท 10-12 โดยขนคทงสองมระยะหาง 3 ครงเสยงเทากน แตใหความรสกเสยงกลมกลนและเสยงกระดางตางกน ตวอยางท 1 Symphony No. 40 in G Minor, K. 550: Mozart

ส าหรบแนวคดทฤษฎเซตนนก าหนดใหโนตพองเสยงตาง ๆ มความเทาเทยมกน จงท าใหความแตกตางระหวางขนคพองเสยงบนพนฐานแนวคดของระบบดนตรโทนลเดมไมสามารถน ามาใชอธบายไดอกตอไป ระยะหางขนคภายใตแนวคดทฤษฎเซตเปนการพจารณาจ านวนทงหมดของระยะหางครงเสยง ระหวางโนตใด ๆ เชน ระยะหางระหวางโนต E ถง C (ภายในชวงเสยงเดยวกน) เทากบ 8 ครงเสยง เปนตน (ตวอยางท 2a) โดยทระยะหางระหวางโนต E-Dbb, E-B#, Fb-C, หรอ Fb-B# เปนขนค พองเสยงทมคาเทากบ 8 ครงเสยงเชนกน (ตวอยางท 2b, c, d, e) ซงระยะหางขนคระหวางโนตแตละคดงกลาวจะมสถานะเทาเทยมกนภายใตนยามของทฤษฎเซต

ตวอยางท 2 ขนคพองเสยงทมระยะหาง 8 ครงเสยง

จากสาเหตและแนวคดเหลานสงผลไปยงความแตกตางระหวางขนคเสยงกลมกลน และขนคเสยงกระดาง ซงท าใหเกดความคลมเครอและไมชดเจน หรออาจกลาวไดวาไมมผลอกตอไปภายใตแนวคดทฤษฎเซต เพลง ‘Syncopation,’ No. 133 from Microkosmos Vol. V (1926-37) ของเบลา บารตอก (Béla Bartók) แสดงถงการสะกดขนคระหวางขนค m3 กบ A2 (ตวอยางท 3) โดยมระยะหาง 3 ครงเสยงเทากน และขนค m2 กบ A1 ซงมระยะหางเทากบ 1 ครงเสยงเทากน

112 | B a n s o m d e j M u s i c J o u r n a l

ตวอยางท 3 ‘Syncopation,’ No. 133 from Microkosmos Vol. V: Bartók

จากตวอยางท 3 ลองพจารณาแนวท านองบนกญแจเทรเบล โดยใหปรบโนตตว F# เปนโนต Gb ผลทไดจะใหความรสกแตกตางออกไป จากขนคเสยงกระดาง (A2) เปนขนคเสยงกลมกลน (m3) ภายใตระบบดนตรโทนล อยางไรกตามภายใตแนวคดทฤษฎเซต ไมไดใหความส าคญกบปรากฏการณหรอลกษณะเสยงประเดนดงกลาว โดยพจารณาวาขนคทงสองมสถานะเทาเทยมกน

ความสมมาตรภายในหนงชวงคแปด (Equal Divisions of the Octave) แนวคดหนงทนาสนใจส าหรบประเดนขนค คอ การแบงหนงชวงเสยงหรอหนงชวงคแปด (Octave) ออกเปนสวนๆ โดยใหมระยะหางขนคเทากน ระบบ โทแนลตนนเปนเรองยงยากถาตองการแบงหนงชวงคแปดออกเปนสวนยอยทมขนาดเทากน เนองจากวธคดพนฐานดานขนค และความแตกตางของลกษณะเฉพาะดานขนคพองเสยง แตเมอวธคดดงกลาวไมมความส าคญภายใตแนวคดของทฤษฎเซต จงท าใหสามารถวเคราะหประเดนดงกลาวไดสะดวกมากขน การแบงหนงชวงคแปดออกเปนสวนยอยทเทากนท าใหเกด “ความสมมาตรภายในหนงชวงคแปด” โดยแนวคดนไมจ าเปนตองค านงถงตวเลขและชอตามวธการคดขนคแบบระบบดนตรโทนลเดม เนองจากสามารถพจารณาเพยงจ านวนระยะหางครงเสยงเทานน เมอพจารณาภายในหนงชวงคแปด พบวามระยะครงเสยงจ านวนทงหมด 12 ครงเสยง ดงนนสดสวนทสามารถแบงใหเทากนได คอ จ านวนใด ๆ ทสามารถน ามาหาร 12 ไดจ านวนเตมลงตว คอ 12/2 = 6, 12/3 = 4, 12/4 = 3, 12/6 = 2, และ 12/12 = 1 โดยทความหมายของตวเลขเหลานสามารถอธบายไดดงน ยกตวอยางเชน 12/2 = 6 หมายถง ภายในหนงชวงเสยงมทงหมด 12 ครงเสยง สามารถแบงออกเปน 2 สวนเทาๆ กน โดยมระยะหางสวนละ 6 ครงเสยง หรอ 12/3 = 4 อธบายไดวาภายในหนงชวงเสยงแบงออกเปน 3 สวนยอยเทากน

ว า ร ส า ร ด น ต ร บ า น ส ม เ ด จ ฯ | 113

โดยทแตละสวนมระยะหางสวนละ 4 ครงเสยง หรอ 12/12 = 1 กลาวไดวาภายในหนงชวงเสยงแบงออกเปน 12 สวนยอยเทากน ซงแตละสวนมระยะหางเทากบครงเสยง เปนตน

ตวอยางท 4 ความสมมาตรภายในหนงชวงคแปด

ก. 12 สวนยอย ข. 2 สวนยอย ค. 3 สวนยอย

ง. 4 สวนยอย จ. 6 สวนยอย

ภาพท 1 ความสมมาตรภายในชวงคแปดเปรยบเทยบบนหนาปดนาฬกา

ตวอยางท 4 แสดงถงชวงระยะหางครงเสยงภายในหนงชวงคแปดทสมมาตรกน ซงเมอน าแนวคดนมาเปรยบเทยบขนระดบเสยงบนหนาปดนาฬกา (ภาพท 1) จะสามารถท าใหเหนภาพชวงระยะหางของแตละสวนทสมมาตรกนไดชดเจนขน ดงน ภาพท 1ก แบงเปน 12 สวนยอย สวนยอยละ 1 ครงเสยง ภาพท 1ข แบงเปน 2 สวนยอย สวนยอยละ 6 ครงเสยง ภาพท 1ค แบงเปน 3 สวนยอย สวนยอยละ 4 ครงเสยง ภาพท 1ง แบงเปน 4 สวนยอย สวนยอยละ 3 ครงเสยง ภาพท 1จ แบงเปน 6 สวนยอย สวนยอยละ 2 ครงเสยง

114 | B a n s o m d e j M u s i c J o u r n a l

แนวคดดานความสมมาตรโดยวธการดงกลาว อกทงคณสมบตของขนระดบเสยงซงไมจ าเปนตองค านงถงโนตพองเสยงและชวงคแปด ท าใหมผลโดยตรงตอขอจ ากดของจ านวนกลมโนตทสามารถเปนไปได ในทนหมายถงกลมโนตทไมมขนระดบเสยงซ ากน (ตวอยางท 5) กลาวคอ 1) กลมโนตทมจ านวนสมาชกขนระดบเสยงสบสองตวจะมเพยงกลมเด ยว (ตวอยางท 5a) โดยทขนระดบเสยงแตละตวมระยะหางครงเสยง (บนไดเสยง โครมาตก) 2) กลมโนตทมจ านวนสมาชกขนระดบเสยงหกตวจะม 2 กลม (ตวอยาง ท 5b) โดยทขนระดบเสยงแตละตวมระยะหาง 2 ครงเสยง หรอ 1 เสยง (บนไดเสยง โฮลโทน) 3) กลมโนตทมจ านวนสมาชกขนระดบเสยงสตวจะม 3 กลม (ตวอยางท 5c) โดยทขนระดบเสยงแตละตวมระยะหาง 3 ครงเสยง (คอรดทบเจดดมนชท) 4) กลมโนตทมจ านวนสมาชกขนระดบเสยงสามตวจะม 4 กลม (ตวอยาง ท 5d) โดยทขนระดบเสยงแตละตวมระยะหาง 4 ครงเสยง (คอรดหรอทรยแอดออกเมนเทด) 5) กลมโนตทมจ านวนสมาชกขนระดบเสยงสองตวจะม 6 กลม (ตวอยาง ท 5e) โดยทขนระดบเสยงแตละตวมระยะหาง 6 ครงเสยง (ขนคทรยโทน)

ตวอยางท 5 กลมโนตทเกดจากความสมมาตร

ว า ร ส า ร ด น ต ร บ า น ส ม เ ด จ ฯ | 115

วงจรขนค (Interval Cycle)

แนวคดส าหรบประเดน “วงจรขนค” คลายกบความสมมาตรภายในหนงชวงคแปด ตางกนเพยงวงจรขนคไมไดจ ากดอยเพยงระยะหนงชวงคแปดเทานน ซงความสมมาตรสามารถเกดขนไดภายในหนงชวงคแปด กลาวคอ ความสมมาตรดงกลาวขนระดบเสยงแรกจะยอนกลบมาอกครงภายในระยะหนงชวงคแปด เชน ความสมมาตรของระยะหาง 4 ครงเสยง (C-E-G#-C) เหนไดวาขนระดบเสยง C ยอนกลบมาภายในหนงชวงคแปด หรอความสมมาตรของระยะหาง 3 ครงเสยง (Eb-F#-A-C- Eb) เหนไดวาขนระดบเสยง Eb ยอนกลบมาภายในหนงชวงคแปด เปนตน ตามจรงแลวความสมมาตรภายในหนงชวงคแปดเปนสวนหนงของแนวคดดานวงจรขนค อยางไรกตาม เมอวงจรขนคไมไดจ ากดเพยงหนงชวงคแปด จงท าใหทกระยะหางครงเสยงใดๆ จะมคณสมบตของความสมมาตรเชนกน ลองพจารณาขนระดบเสยงทมระยะหางเทากบ 8 ครงเสยง เปรยบเทยบกบขนระดบเสยงทมระยะหางเทากบ 4 ครงเสยง (ตวอยางท 6a และ 6b) พบวา ตวอยางทงสองมสมาชกขนระดบเสยงเดยวกนทงหมด เพยงแตขนระดบเสยงแรกของตวอยางท 6a) กลบมาในระยะ 2 ชวงคแปด หรอพจารณาขนระดบเสยงทมระยะหางเทากบ 9 ครงเสยง เปรยบเทยบกบขนระดบเสยงทมระยะหางเทากบ 3 ครงเสยง (ตวอยางท 6c และ 6d) พบวาตวอยางทงสองมสมาชกขนระดบเสยงเดยวกนทงหมดเชนกน เพยงแตขนระดบเสยงแรกของตวอยางท 6c) กลบมาในระยะ 3 ชวงคแปด นอกจากน ลองนกภาพถงวงจรคหา (Cycle of Fifth) เมอพจารณาการเคลอนททง 2 ดาน (ตามเขมและทวนเขมนาฬกา) พบวา มระยะหาง 7 ครงเสยง (ตามเขม) และ 5 ครงเสยง (ทวนเขม) เมอครบหนงรอบนาฬกาขนระดบเสยงแรกยอนกลบมาอกครง

ตวอยางท 6 เปรยบเทยบวงจรขนค

116 | B a n s o m d e j M u s i c J o u r n a l

จากการเปรยบเทยบตามตวอยางท 6 แสดงใหเหนวาขนระดบเสยงทมจ านวนระยะหาง 8 ครงเสยง กบ 4 ครงเสยง และ 9 ครงเสยง กบ 3 ครงเสยง แตละคมความสอดคลองกนดานจ านวนและขนระดบเสยงทเปนสมาชกของวงจรขนคนนๆ โดยความสอดคลองลกษณะนเปนความสมพนธเชง “ขนคคอมพลเมนต (Intervallic Complement)” หรอ “ขนคพลกกลบ (Intervallic Inversion)” ลองนกภาพหนาปดนาฬกา เมอนบระยะหางตามและทวนเขมระหวางขนระดบเสยงใด ๆ จะไดตวเลข 2 คา ทเปนขนคคอมพลเมนต หรอขนคพลกกลบซงกนและกน จากเงอนไขดานความสมพนธเชงคอมพลเมนต และจ านวนขนคทม 12 ครงเสยงภายในหนงชวงคแปด (เนองจากความเทาเทยมกนของชวงคแปด) ท าใหสามารถพจารณาไดวาทกระยะหางครงเสยงใด ๆ จะมคณสมบตของความสมมาตร ตางกนเพยงจ านวนระยะชวงคแปดส าหรบการกลบมาของขนระดบเสยงแรก ซงท าให “วงจรขนค” มเพยง 6 แบบเทานน คอ วงจรขนคหาง 1 ครงเสยง (m2) คอมพลเมนตกบ 11 ครงเสยง (M7) วงจรขนคหาง 2 ครงเสยง (M2) คอมพลเมนตกบ 10 ครงเสยง (m7) วงจรขนคหาง 3 ครงเสยง (m3) คอมพลเมนตกบ 9 ครงเสยง (M6) วงจรขนคหาง 4 ครงเสยง (M3) คอมพลเมนตกบ 8 ครงเสยง (m6) วงจรขนคหาง 5 ครงเสยง (P4) คอมพลเมนตกบ 7 ครงเสยง (P5) วงจรขนคหาง 6 ครงเสยง (Tritone) คอมพลเมนตกบ6 ครงเสยง (Tritone) หมายเหต: ขนค M, m, และ P ในวงเลบขางตน แสดงเพอใหเขาใจระยะหาง ขนคงายขนเทานนไมมความหมายใดตอแนวคดทฤษฎเซต

ขนคของระดบเสยง (Pitch Interval) จากทไดกลาวขางตนแลววา ระยะหางขนคภายใตกรอบแนวคดทฤษฎเซตเปนการพจารณาจ านวนทงหมดของระยะหางครงเสยงระหวางโนตใด ๆ ดงนนขนคในทนจะเปนการพจารณาตามเงอนไขดงกลาว โดยละทงแนวคดของดนตรตามแบบระบบโทแนลตเดมออกไป ส าหรบการอธบายประเดน “ขนคของระดบเสยง (Pitch Interval ยอวา ip)” และ “ขนคของขนระดบเสยง (Pitch-Class Interval ยอวา i)” ผเขยนไดน าแนวคดของจอหน ราหน (John Rahn) มาใชเปนพนฐานในการอธบาย

ว า ร ส า ร ด น ต ร บ า น ส ม เ ด จ ฯ | 117

1. ขนคของระดบเสยงแบบก าหนดทศทาง ขนคของระดบเสยงแบบก าหนดทศทาง (Ordered Pitch Interval)2 น เปนการพจารณาจ านวนทงหมดของระยะหางครงเสยงระหวางระดบเสยง 2 ตว พรอมทงใหความส าคญกบทศทางการเคลอนทขนหรอลงจากระดบเสยงหนงไปสอกระดบเสยงหนง โดยใชสญลกษณเครองหมายบวก (+) แทนทศทางการเคลอนทขน และเครองหมายลบ (-) แทนทศทางการเคลอนทลง เครองหมายบวกและลบนเรยกวา “ทศทางหรอล าดบของขนค (Directed or Ordered Interval)” (Straus, 2005: 8) คาตวเลขดานบนของแนวท านองเพลงทอนท 2 จากบทประพนธ String Quartet No. 2, Op. 10 (1908) ของเชนแบรก (ตวอยางท 7) แสดงจ านวนระยะหางครงเสยงของระดบเสยงแตละคพรอมทงทศทางการเคลอนท โดยเม อใด กตามแนวท านองเคลอนทลงจะมเครองหมายลบน าหนาตวเลขแสดงระยะหางขนคเสมอ และเมอใดกตามแนวท านองเคลอนทขนจะมเครองหมายบวกน าหนาเชนกน อาท ระดบเสยง Ab เคลอนทลงไปหาระดบเสยง G ตามดวยระดบเสยง Bb ดงนนขนคของระดบเสยงแบบก าหนดทศทาง เทากบ -1 และ -9 ตามล าดบ จากนนเคลอนทขนไปยงระดบเสยง Bb ซงสงกวาหนงชวงคแปด ดงนนขนคของระดบเสยงแบบก าหนดทศทาง เทากบ +12 เปนตน ตวอยางท 7 เปรยบเทยบขนคของระดบเสยงแบบก าหนดทศทาง และไมก าหนดทศทาง

2 ค าวา “Ordered Pitch Interval” ควรหมายถง “ขนคของระดบเสยงแบบมนยล าดบ” แตเนองจาก การพจารณาประเดนนใหความส าคญกบทศทางการเคลอนท ผเขยนจงใหนยามวา “ขนคของระดบเสยงแบบก าหนดทศทาง” ทงนเพอใหสะดวกตอการท าความเขาใจในประเดนน

118 | B a n s o m d e j M u s i c J o u r n a l

2. ขนคของระดบเสยงแบบไมก าหนดทศทาง ขนคของระดบเสยงแบบไมก าหนดทศทาง (Unordered Pitch Interval)3 เปนการอธบายจ านวนระยะหางครงเสยงระหวางระดบเสยงสองตวเทานน โดยไมใหความส าคญกบทศทางการเคลอนท ดงนนคาจ านวนตวเลขของทงขนคของระดบเสยงแบบไมก าหนดทศทาง กบแบบก าหนดทศทางจงเปนคาตวเลขเดยวกน ตางกนเพยงไมมหรอมเครองหมายบวกหรอลบน าหนาคาตวเลขเทานน คาตวเลขดานลางของแนวท านอง (ตวอยางท 7) แสดงจ านวนระยะหางครงเสยงของระดบเสยงแตละคโดยไมค านงถงทศทางการเคลอนท

ขนคของขนระดบเสยง (Pitch-Class Interval) ระยะหางขนคของขนระดบเสยง สามารถพจารณาออกเปนแบบมนยล าดบ และไมมนยล าดบ (ดตวอยางท 8 ประกอบ) ควรระลกเสมอวาประเดนของ “ขนระดบเสยง” อยภายใตแนวคดพนฐานทฤษฎเซต ดงนนจงจ าเปนตองค านงถงเงอนไขอนๆ ทเกยวของมาประกอบ เชน ความเทาเทยมกนของชวงคแปด (Octave Equivalence) ความเทาเทยมกนของโนตพองเสยง (Enharmonic Equivalence) และคณสมบตของคามอดลส 12 หรอยอวา โมด 12 (Modulo 12 or Mod 12)4 1. ขนคของขนระดบเสยงแบบองตามล าดบ ขนคของขนระดบเสยงแบบองตามล าดบ (Ordered Pitch-Class Interval) เปนการพจารณาจ านวนทงหมดของระยะหางครงเสยงระหวางขนระดบเสยงตวหนงไปยงอกตวหนง ตามล าดบการเกดขนกอน-หลง ภายใตคณสมบต mod 12 ซงท าใหคาระยะหางมากทสดระหวางขนระดบเสยงสองตวจะไมเกน 11 ครงเสยง และเปนตวเลขจ านวนเตมบวกเสมอ ดงนนขนคแบบองตามล าดบขนระดบเสยงจะเปนตวเลขจ านวนเตมระหวาง 0-11 เทานน อนดบแรกลองยอนกลบไปนกภาพขนระดบเสยงบนหนาปดนาฬกา จากนนพจารณา 2 กรณตวอยางตอไปน กรณท 1) พจารณาขนระดบเสยง D ไปยง F# โดยถานบตามเขมนาฬกาจะไดคาตวเลขเทากบ +4 แตถานบยอนกลบทวนเขมนาฬกาจะไดคาตวเลขเทากบ -8 3 ผเขยนใหนยามค าวา “Unordered Pitch Interval” หมายถง “ขนคของระดบเสยงแบบไมก าหนดทศทาง” ดวยเหตผลเพอใหสอดคลองกบค าวา “Ordered Pitch Interval” 4 สามารถอานบทความทเกยวของไดจาก วารสารดนตรและการแสดง ปท 1(1): 8-23 และปท 2(1): 26-35, หรอวบลย ตระกลฮน. (2559). ดนตรศตวรรษท 20: แนวคดพนฐานทฤษฎเซต, กรงเทพฯ: ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

ว า ร ส า ร ด น ต ร บ า น ส ม เ ด จ ฯ | 119

ซงสามารถอธบายคาตวเลข +4 และ -8 ไดวาตวเลขทงสองเปนระยะหางจากขนระดบเสยง D และ F# อยางไรกตามตวเลขทงสองมความเทาเทยมกนภายใตคณสมบต mod 12 ดงนนระยะหางขนคของขนระดบเสยง D ไปยง F# ภายใตคณสมบต mod 12 จงเทากบ 4 กรณท 2) พจารณาขนระดบเสยง F# ไปยง D โดยทกรณนถานบตามเขมนาฬกาจะไดคาตวเลขเทากบ +8 แตถานบทวนเขมนาฬกาจะไดคาตวเลขเทากบ -4 ซงตวเลข +8 และ -4 มคาเทากนภายใตคณสมบต mod 12 เชนกน ดงนนระยะหางขนคของขนระดบเสยง F# ไปยง D ภายใตคณสมบต mod 12 จงเทากบ 8 จากทง 2 กรณสามารถอธบายไดวาระยะหางขนคทงสอง คอ ผลตางระหวางขนระดบเสยงตวแรก (a) และขนระดบเสยงตวหลง (b) หรอ

i (a,b) = b – a (mod 12) จากสตรดงกลาว ลองพจารณาขนคของขนระดบเสยง: 1) D - F# : 6 – 2 = 4 2) F# - D : 2 – 6 = -4 ดงนน -4 (mod 12) = 8 3) Ab - G : 7 – 8 = -1 -1 (mod 12) = 11 4) G - Bb : 10 – 7 = 3 5) A - F# : 6 – 9 = -3 -3 (mod 12) = 9 6) F# - C# : 1 – 6 = -5 -5 (mod 12) = 7 7) C - F#: 6 – 0 = 6 8) F# - C : 0 – 6 = -6 -6 (mod 12) = 6 ขอควรระวงและค าแนะน า จากวธการวเคราะหขนคแบบองตามล าดบขนระดบเสยงทกลาวมาขางตน อาจท าใหเกดความสบสนขนได เนองจากทศทางการเคลอนทขน-ลงของแนวท านอง และ/หรออนๆ ประเดนส าคญของหวขอนควรระลกอยเสมอวาเปนการพจารณาขนคของ “ขนระดบเสยง (Pitch-Class)” ซงอยภายใตขอบเขตทฤษฎเซต มใช “ระดบเสยง (Pitch)” ดงนนจงมประเดนอนทเกยวเนองกนทงความเทาเทยมกนของชวงคแปด และความเทาเทยมกนของโนตพองเสยง นอกจากน ยงเปนการพจารณาภายใตคณสมบตของคามอดลส 12 การพจารณาประเดนนอาจเปนการยงยากถาดจากโนตเพลงโดยตรง ดงนนส าหรบวธการวเคราะหขนคองตามล าดบขนระดบเสยงอยางงายและเรวทสด แนะน า

120 | B a n s o m d e j M u s i c J o u r n a l

ใหแทนขนระดบเสยงแตละตวดวยสญลกษณอกษร หรอตวเลข จากนนพจารณาจากขนระดบเสยงตวแรกไปยงขนระดบเสยงตวหลง โดยการนบขนทละครงเสยงบนลมนวเปยโนภายในหนงชวงคแปด หรอนบตามเขมนาฬกาภายในไมเกนหนงรอบเวลา หรอถาตองการพจารณาบนบรรทดหาเสน ใหเขยนขนระดบเสยงขนใหมโดยใหตวหลงใหสงกวาตวแรกภายในหนงชวงคแปดเสมอ จากนนใหนบขนทละครงเสยง ผลการนบของจ านวนระยะหางครงเสยงจากวธการเหลาน คอ “ขนคของขนระดบเสยงแบบองตามล าดบ”

2. ขนคของขนระดบเสยงแบบไมองล าดบ ข นค ของข น ระดบ เส ย งแบบไม อ งล าด บ (Unordered Pitch-Class Interval) เปนการพจารณาถงระยะหางครงเสยงทมขนาดเลกสดหรอใกลสดระหวางขนระดบเสยงสองตว ดงนนส าหรบประเดนนจงไมจ าเปนตองค านงล าดบการเกดขนกอน-หลงของขนระดบเสยงคนนๆ และไมตองค านงวาจะนบไปในทศทางใด ไมวาจะเปนการนบขนหรอนบลง (ตามเขมหรอทวนเขมนาฬกา) โดยใหพจารณาเฉพาะประเดนระยะหางแคบทสดระหวางขนระดบเสยง เทานนลองยอนกลบไปนกภาพขนระดบเสยงบนหนาปดนาฬกา จากนนพจารณา 2 กรณตวอยางเดมอกครง กรณท 1) พจารณาขนระดบเสยง D ไปยง F# โดยถานบตามเขมนาฬกาจะไดคาตวเลขเทากบ +4 แตถานบยอนกลบทวนเขมนาฬกาจะไดคาตวเลขเทากบ -8 ดงนนระยะหางขนคของขนระดบเสยง D ไปยง F# ทใกลทสดจงเทากบ 4

กรณท 2) พจารณาขนระดบเสยง F# ไปยง D โดยทกรณนถานบตามเขมนาฬกาจะไดคาตวเลขเทากบ +8 แตถานบทวนเขมนาฬกาจะไดคาตวเลขเทากบ -4 ดงนนระยะหางขนคของขนระดบเสยง F# ไปยง D ทใกลทสดจงเทากบ 4 เชนกน จากทง 2 กรณสามารถกลาวไดวาระยะหางขนคทงสอง คอ ผลตางทใกลทสดระหวางขนระดบเสยงตวท 1 (a) และขนระดบเสยงตวท 2 (b) โดยไมค านงถงทศทางการเคลอนท ดงนนขนคแบบไมองล าดบของขนระดบเสยง D-F# เทากบ F#-D

i (a,b) = คาทเลกทสดระหวาง b – a (mod 12) หรอ a – b (mod 12) จากสตรดงกลาว พจารณาขนคของขนระดบเสยง D - F# : 1) b - a (mod 12) F# - D : 6 – 2 = 4 หรอ a - b (mod 12)

ว า ร ส า ร ด น ต ร บ า น ส ม เ ด จ ฯ | 121

D - F# : 2 – 6 = -4 -4 (mod 12) = 8 ตวเลขจากการค านวณระยะหางขนคเปนคา 4 และ 8 เพราะฉะนนขนคทใกลทสดของขนระดบเสยง D - F# คอ 4 2) Ab - G : 7 – 8 = -1 -1 (mod 12) = 11 หรอ 8 – 7 = 1 เพราะฉะนนคาเลกทสด คอ 1 3) G - Bb : 10 – 7 = 3 หรอ 7 – 10 = -3 -3 (mod 12) = 9 เพราะฉะนนคาเลกทสด คอ 3 4) A - F# : 6 – 9 = -3 -3 (mod 12) = 9 หรอ 9 – 6 = 3 เพราะฉะนนคาเลกทสด คอ 3 5) F# - C# : 1 – 6 = -5 -5 (mod 12) = 7 หรอ 6 – 1 = 5 เพราะฉะนนคาเลกทสด คอ 5 6) Eb - B : 11 – 3 = 8 หรอ 3 – 11 = -8 -8 (mod 12) = 4 เพราะฉะนนคาเลกทสด คอ 4 จากกรณขางตนเหนไดวา ระยะหางขนคของขนระดบเสยงแตละค จะมจ านวน 2 คา คอ องตามล าดบและไมองล าดบการเกดขนกอน-หลง โดยขนคแบบไมองล าดบขนระดบเสยงนนเปนคาทเลกทสด อยางไรกตามระยะหางทง 2 คานน แทจรงแลวระยะหางขนคของขนระดบเสยงทมคามากกวา 6 เปนขนคคอมพลเมนต หรอขนคพลกกลบ ภายใตคณสมบต mod 12 นนเอง ดงนนขนคคอมพลเมนต คอ 0 = 12, 1 = 11, 2 = 10, 3 = 9, 4 = 8, 5 = 7, และ 6 = 6 ขอควรระวงและค าแนะน า วธการวเคราะหขนคแบบไมองล าดบขนระดบเสยง เปนการพจารณาขนคของ “ขนระดบเสยง” ซงอยภายในขอบเขตทฤษฎเซตเชนกน โดยวธการพจารณาประเดนนเปนการหาคาทเลกหรอใกลทสดระหวางขนระดบเสยงสองตว โดยไม

122 | B a n s o m d e j M u s i c J o u r n a l

จ าเปนตองค านงถงทศทางการเคลอนท หรอล าดบขนระดบเสยงกอนหลง ดงนนนนระยะหางขนคทเลกทสดในประเดนนจงไมเกน 6 หรอเปนคาระหวาง 0-6 เทานน ส าหรบวธการวเคราะหขนคไมองล าดบขนระดบเสยงอยางงายและเรวทสด แนะน าใหแทนขนระดบเสยงแตละตวดวยสญลกษณอกษร หรอตวเลข จากนนพจารณาจากขนระดบเสยงตวแรกไปยงขนระดบเสยงตวหลง โดยการนบขนหรอลงทละครงเสยงบนลมนวเปยโนภายในหนงชวงคแปด หรอนบตามเขมหรอทวนเขมนาฬกาภายในไมเกนหนงรอบเวลา ผลการนบของจ านวนระยะหางครงเสยงจากวธการเหลาน คาใดเปนคาเลกทสด คอ “ขนคของขนระดบเสยงแบบไมองล าดบ” ตวอยางท 8 เปรยบเทยบขนคของขนระดบเสยงแบบองตามล าดบ และแบบไมองล าดบ

พจารณาตวอยางท 8 แสดงการเปรยบเทยบขนคจากทอนท 2 ของบทประพนธ String Quartet No. 2, Op. 10 ของเชนแบรก เชนกน โดยคาตวเลขดานบนของแนวท านองแสดงจ านวนระยะหางครงเสยงองตามล าดบขนระดบเสยง สวนคาตวเลขดานลางของแนวท านองแสดงจ านวนระยะหางครงเสยงไมองล าดบขนระดบเสยง จากคาดงกลาวเหนไดวา ตวเลขดานบนและดานลางจะเปนตวเลขเดยวกน เมอเปนคาทนอยกวาหรอเทากบ 6 แตถาคาดานบนเปนคาระหวาง 7-11 คาดานลางจะเปนคาคอมพลเมนตของตวมนนนเอง จากการวเคราะหระยะหางขนคในประเดนตางๆ ทกลาวมาทงหมด เปนการพจารณาบนแนวท านองเดยวกน ดงนนจงสามารถน ามาสรปเปรยบเทยบใหเหนถงความแตกตางไดอยางชดเจน (แผนภมท 1) โดยระยะหางขนคสามารถอธบายได 4 วธ ดงตอไปน

ว า ร ส า ร ด น ต ร บ า น ส ม เ ด จ ฯ | 123

แผนภมท 1 เปรยบเทยบขนคแบบตางๆ Ordered Pitch Interval -1 -9 +12 -1 -3 -5 -11 +16 Unordered Pitch Interval 1 9 12 1 3 5 11 16 Ordered Pitch-Class Interval 11 3 0 11 9 7 1 4 Unordered Pitch-Class Interval 1 3 0 1 3 5 1 4

ระยะหางขนคทกลาวมาขางตนเปนการอธบายความสมพนธในประเดน ตางๆ ทแตกตางกน ซงไมสามารถกลาวไดวาวธการใดดกวาวธอน ขนอยกบวา ตองการอธบายความสมพนธในมตใด บางกรณผวเคราะหอาจใชมากกวา 1 วธ เพออธบายความสมพนธตาง ๆ เชน หากตองการอธบายโนต Ab-G (ตวอยางท 9) ดวยคา -13 หมายถง จ านวนระยะหางครงเสยงท เปนจรงพรอมทงทศทาง การเคลอนท ถาอธบายดวยคา 13 หมายถง จ านวนระยะหางครงเสยงโดยไมค านงถงทศทางการเคลอนท ถาอธบายดวยคา 11 หมายถง จ านวนระยะหางครงเสยงภายในขอบเขตความเทาเทยมกนของชวงคแปด และถาอธบายดวยคา 1 หมายถง ระยะหางใกลทสดของขนระดบเสยงทงสอง นอกจากน เมอผวเคราะหอธบายดวยคา -13 หรอ 13 ยงมความหมายนยถง “ระยะหางของระดบเสยง” แตถาอธบายดวยคา 11 หรอ 1 มความหมายนยถง “ระยะหางของขนระดบเสยง” อกดวย

ตวอยางท 9 ตวเลขระยะหางขนค -13, 13, 11, 1

จากทกลาวมาทงหมดแสดงใหเหนไดวา การพจารณาความสมพนธขนค ในมตตาง ๆ ภายใตแนวคดทฤษฎเซตแตกตางอยางสนเชงจากแบบแผนระบบดนตรโทนลหรอดนตรองกญแจเสยง โดยทฤษฎเซตนนไมใหความส าคญกบชนดหรอประเภทขนคตามวธการแบบดงเดม ไมวาจะเปนขนคเมเจอร ไมเนอร เพอรเฟก ออกเมนเทด หรอดมนชท ซงการพจารณาระยะหางขนคภายใตกรอบแนวคดทฤษฎเปนการพจารณาจ านวนทงหมดของระยะหางครงเสยงระหวางโนตใด ๆ นอกจากน ขนคของระดบเสยง ขนคของขนระดบเสยง และขนคคอมพลเมนต เปนพนฐานส าคญส าหรบการพจารณาประเดนอน ๆ ตอไป ไมวาจะเปนกลมของขนระดบเสยงหรอเซต (Pitch-Class Set or Set) รปปรกตของเซต (Normal Form or Normal

124 | B a n s o m d e j M u s i c J o u r n a l

Order) กลมเซต (Set Class) ไพรม (Prime Form) และอนๆ ดงนน การท าความเขาใจประเดนขนคในมตตางๆ ภายใตแนวคดทฤษฎเซตใหไดอยางถองแท จะชวยใหศกษาและสามารถท าความเขาใจกบประเดนอนไดงายยงขน

บรรณานกรม ณรงคฤทธ ธรรมบตร. (2552). การประพนธเพลงรวมสมย. กรงเทพฯ: ส านกพมพ

แหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย. วบลย ตระกลฮน. (2558). ความเทาเทยมกนของชวงคแปดและโนตพองเสยงบน

แนวคดพนฐานทฤษฎเซต. วารสารดนตรและการแสดง. 1(1), 8-23. _____. (2558). ดนตรศตวรรษท 20. กรงเทพฯ: ส านกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย. _____. (2559). ดนตรศตวรรษท 20: แนวคดพนฐานทฤษฎเซต. กรงเทพฯ:

ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย. _____. (2559). แนวคดพนฐานทฤษฎเซต: ขนระดบเสยง เลขจ านวนเตม และคา

มอดลส. วารสารดนตรและการแสดง. 2(1), 26-35. Chapman, A. (1981). Some Intervallic Aspects of Pitch-Class Relations.

Journal of Music Theory. 25(2), 275-290. Eckardt, J. (2005). Surface Elaboration of Pitch-Class Sets Using

Nonpitched Musical Dimensions. Perspectives of New Music. 43(1), 120-140.

Forte, A. (1973). The Structure of Atonal Music. New Haven, CT: Yale University Press.

Kostka, S. (2006). Materials and Techniques of Twentieth-Century Music. 3rded. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.

Morris, R. (1990). Pitch-Class Complementation and its Generalization. Journal of Music Theory. 34(2), 175-245.

Rahn, J. (1980). Basic Atonal Theory. New York: Longman. Roig-Francoli, M.A. (2008). Understanding Post-Tonal Music. New York:

McGraw-Hill. Straus, J.N. (2005). Introduction to Post-Tonal Theory. 3rded. Upper

Saddle River, NJ: Prentice Hall.