ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric Functions) · ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจานวนจริงหรือมุม

ฟงกชนตรโกณมต (Trigonometric Functions) อ.ภานวฒน เกยรตนฤมล

1 ไมมสงยงใหญสงไหนทจะส ำเรจได โดยปรำศจำกควำมกระตอรอรน

ฟงกชนตรโกณมต

(Trigometric Functions) 1. วงกลมหนงหนวย

วงกลมหนงหนวยเปนวงกลมทมจกศนยกลางทจด (0,0) จดก าเนด รศมยาว 1 หนวย และม

ความสมพนธวา

1, 22 yxRRyx

หนงรอบของวงกลม คอ 2 เรเดยน = …………………….

เรเดยน = …………………… 2

เรเดยน = ……………………

3

เรเดยน = ……………………. 4

เรเดยน = ……………………..

6

เรเดยน = …………………….

……………………………………

……………………………………

……………………………………

……………………………………

…………………………………….



การเปลยนหนวยระหวางองศาและเรเดยน

เปลยนหนวยองศาเปนเรเดยน คณองศาดวย 180

เรเดยน

ตวอยาง

1. 30 องศา =………………………………………………………………………….………………………………………..

2. 45 องศา =………………………………………………………………………….………………………………………..

3. 90 องศา =…………………………………………………………………………….……………………………………..

แบบฝกหด 2.1 1) จงเปลยนมมเรเดยนตอไปน เปนมมองศา

1.1 2 เรเดยน =…………………………………………………………………………………………………………………..

1.2 3

1 เรเดยน =…………………………………………………………………………………………………………………..

1.3 4

1 เรเดยน =…………………………………………………………………………………………………………………..

1.4 3

2 เรเดยน =…………………………………………………………………………………………………………………..

1.5 4

3 เรเดยน =…………………………………………………………………………………………………………………..

1.6 6

17 เรเดยน =……………………………………………..…………………..………………………………………………..

1.7 5

22 เรเดยน =………………………………………………………..…………………………………………………………..

2) จงเปลยนมมองศา ตอไปน เปนมมเรเดยน

2.1 15 องศา =………………………………………………………………………….………………………………………..

2.2 75 องศา =………………………………………………………………………….………………………………………..



2.3 105 องศา =…………………………………………………………………………….……………………………………..

2.4 120 องศา =………………………………………………………………………….………………………………………..

2.5 135 องศา =………………………………………………………………………….………………………………………..

2.6 150 องศา =………………………………………………………………………….………………………………………..

2.7 210 องศา =………………………………………………………………………….………………………………………..

2.8 225 องศา =………………………………………………………………………….………………………………………..

2.9 240 องศา =………………………………………………………………………….………………………………………..

2.10 300 องศา =…………………………………………………………………………….……………………………………..

2.11 315 องศา =……………………………………………………………………………….…………………………………..

2.12 330 องศา =………………………………………………………………………….………….…………………………….. 2. จดปลายสวนโคง ก าหนดวงกลม 1 หนวย



ตวอยาง จงแสดงวธหา จดปลายสวนโคง หนวยทก าหนดใหวา จะตกอยบนสวนโคงในควอดรนดใด ของวงกลมหนงหนวย 1. 120 2. 20 ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ………………………………………………………..

3. 4

33 4.

4

21

……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ………………………………………………………..

แบบฝกหด 2.2 จงแสดงวธหา จดปลายสวนโคง หนวยทก าหนดใหวา จะตกอยบนสวนโคงในควอดรนดใด ของวงกลม

หนงหนวย

1.1) เมอ 6

11 1.2) เมอ

3

29

……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ………………………………………………………..

1.3) เมอ 6

87 1.4) เมอ

3

101

……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ………………………………………………………..

1.5) เมอ 6

17 1.6) เมอ

4

21

……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ………………………………………………………..



1.7) เมอ 3

29 1.8) เมอ

4

38

……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. ……………………………………………………….. 1. จดปลายของความยาวสวนโคง 3 ควรอยทใด

…………………………………………………………………………………………………………

2. จดปลายของความยาวสวนโคง 6 ควรอยทใด

…………………………………………………………………………………………………………

3. จดปลายของความยาวสวนโคง 2

5 ควรอยทใด

…………………………………………………………………………………………………………



…………………………………………………………………………………………………………



…………………………………………………………………………………………………………



…………………………………………………………………………………………………………



…………………………………………………………………………………………………………



…………………………………………………………………………………………………………



3. การหาคา sin และ cos บนพกดจดปลายของแกนพกดฉาก

ให (x,y) เปนจดบนกราฟของวงกลม 1 หนวย

และจาก yy

1sin

xx

1cos

จะไดวา sin,cos, yx

สรป*** cos คอ คาของ x

และ sin คอ คาของ y

ตวอยาง จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนจรง ตอไปน

1) 2

sin

…………………………………………………………………………………………………………………..……

2)

2sin

……………………………………………………………………………………………………………………

3) 5sin ……………………………………………………………………………………………………………….……..…

4) 2

3cos

………………………………………………………………………………………………………………………

5) 4cos …………………………………………………………………………………………………………………



แบบฝกหด 2.3 จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจ านวนจรง ตอไปน

1) 2

5sin

…………………………………………………………………………………………………………………..………

2)

2sin

………………………………………………………………………………………………………………………

3) 5sin ……………………………………………………………………………………………………………….…………

4) 2

5cos

…………………………………………………………………………………………………………………………

5) 8cos ………………………………………………………………………………………………………………….…

6)

2

3sin

…………………………………………………………………………………………………………………

7)

2

5sin

…………………………………………………………………………………………………………………

8) 2

cos

…………………………………………………………………………………………………………………………

9) 3cos ………………………………………………………………………………………………………………….… 10) 3sin ………………………………………………………………………………………………………………….…

4. การหาคา sin และ cos ทจดปลาย 3

,4

,6

ในการหาคา sin และ cos สงแรกทเราตองรคอ การหาต าแหนงของมม และเครองหมายของคา sin

และ cos ในในควอดรนด (Q) ตางๆ



การหาคา sin และ cos ทจดปลาย 6


1) 6

5sin

……………………………………….…

6

5cos

..............................................................................................

2)

6sin

………………………………………

6cos

........................................................................................


1. 6

5sin

……………………………………….…

6

5cos

........................................................................................

2. 6

7sin

……………………………………….…

6

7cos

........................................................................................

3. 6

11sin

……………………………………….

6

11cos

.....................................................................................

4.

6

5sin

……………………………………

6

5cos

.................................................................................

5.

6

7sin

……………………………………

6

7cos

.................................................................................

6.

6

11sin

……………………………………

6

11cos

.................................................................................

7.

6

13sin

……………………………………

6

13cos

.................................................................................

จ า!!!!!!

…………………………………………

…………………………………………





1. 4

3sin

……………………………………….…

4

3cos

..............................................................................................

2.

4sin

………………………………………

4cos

........................................................................................


1. 4

3sin

……………………………………….…

4

3cos

........................................................................................

2. 4

5sin

……………………………………….…

4

5cos

........................................................................................

3. 4

7sin

……………………………………….

4

7cos

........................................................................................

4. 4

9sin

………………………………………..

4

9cos

.......................................................................................

5.

4sin

……………………………………

4cos

.................................................................................

6.

4

3sin

……………………………………

4

3cos

.................................................................................

7.

6

7sin

……………………………………

6

7cos

.................................................................................

จ า!!!!!!

…………………………………………

…………………………………………





1. 3

2sin

……………………………………….…

3

2cos

..............................................................................................

2.

3sin

………………………………………

3cos

........................................................................................


1. 3

2sin

……………………………………….…

3

2cos

........................................................................................

2. 3

4sin

……………………………………….…

3

4cos

........................................................................................

3. 3

5sin

……………………………………….

3

5cos

........................................................................................

4. 3

7sin

………………………………………..

3

7cos

.......................................................................................

5.

3sin

……………………………………

3cos

.................................................................................

6.

3

2sin

……………………………………

3

2cos

.................................................................................

7.

3

7sin

……………………………………

3

7cos

.................................................................................

จ า!!!!!!

…………………………………………

…………………………………………



แบบฝกหด 2.7 จงหาคาของฟงกชนไซนและโคไซน ทต าแหนงของจดปลายสวนโคง หนวยตอไปน

1.1 เมอ 6

5 จะได

6

5cos

………………………………………………………………………………

และ 6

5sin

………………………………………………………………………………

1.2 เมอ 6

7 จะได ………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………………

1.3 เมอ 6

11 จะได ………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………………

1.4 เมอ 6

17 จะได …………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………………

1.5 เมอ 6

35 จะได …………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………………

1.6 เมอ 6

5 จะได …………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………………

1.7 เมอ 6

35 จะได …………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………………

1.8 เมอ 6

55 จะได ………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………………



1.9 เมอ 4

3 จะได

4

3cos

………………………………………………………………………………

และ 4

3sin

………………………………………………………………………………

1.10 เมอ 4

5 จะได ………………………………………………………………………………………………

และ ……………………………………………………………………………………………….

1.11 เมอ 4

7 จะได ………………………………………………………………………………………………

และ ………………………………………………………………………………………………

1.12 เมอ 4

15 จะได ………………………………………………………………………………………………

และ ………………………………………………………………………………………………

1.13 เมอ 4

35 จะได ………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………………

1.14 เมอ 4

5 จะได …………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………………

1.15 เมอ 4

35 จะได …………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………………

1.16 เมอ 4

55 จะได …………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………………



1.17 เมอ 3

2 จะได

3

2cos

………………………………………………………………………………

และ 3

2sin

…………………………………………………………………………………

1.18 เมอ 3

4 จะได ………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………………

1.19 เมอ 3

5 จะได ………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………………

1.20 เมอ 3

16 จะได ………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………………

1.21 เมอ 3

35 จะได ………………………………………………………………………………………………

และ …………………………………………………………………………………………..……

1.22 เมอ 3

85 จะได ……………………………………………………………………………………………

และ ………………………………………………………………………………………………

1.23 เมอ 3

155 จะได ………………………………………..……………………………………………………

และ ………………………………………………………………………………………………

1.24 เมอ 3

212 จะได ……………………………………………………………………………………………

และ ……………………………………………………………………………………………………



แบบฝกหด 2.8 1) จงหาคาของฟงกชนไซนและโคไซน ทต าแหนงของจดปลายสวนโคง หนวยตอไปน

1.1

4

29cos

……………………………………………………………………………………………………………

1.2

6

29sin

......................................................................................................................................................................

1.3

3

35sin

………………………………………………………………………………………………………………

1.4

2

37cos

……………………………………………………………………………………………………………..

1.5 4

23cos

……………………………………………………………………………………………………………………

1.6 3

38sin

……………………………………………………………………………………………………………………

1.7

6sin

……………………………………………

6cos

……………………………………………

1.8

3

2sin

…………………………………………

3

2cos

…………………………………………

1.9

4

7sin

…………………………………………

4

7cos

…………………………………………

1.10

3

4sin

……………………………………… .

3

4cos

…………………………………………

1.11

6

5sin

………………………………………

6

5cos

……………………………………………

1.12

4

3sin

…………………………………… .

4

3cos

…………………………………………

1.13

4

5sin

……………………………………

4

5cos

……………………………………………



แบบฝกหด 2.9 1) จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม ตอไปน

1.1 135sin =……………………………………………….. 1.2 120cos =………………..…………..………………….

=………………..…………..…………………. =………………..…………..…………………

=………………..…………..…………………. =………………..…………..………………….

1.3 150tan =……………………………………………….. 1.4 225sec =………………..…………..…………………..

=………………..…………..…………………. =………………..…………..………………….

=………………..…………..…………………. =………………..…………..………………….

1.5 240csc =……………………………………………….. 1.6 300cot =………………..…………..…………………..

=………………..…………..…………………. =………………..…………..………………….

=………………..…………..…………………. =………………..…………..………………….

1.7 210sin =………………………………………….. 1.8 315cos =…………..…………..…………………..

=………………..…………..…………… =………………..…………..………………….

=………………..…………..……………… =………………..…………..………………

1.9 450tan =…………………………………….. 1.10 240sec =………………..…………..……………

=………………..…………..…………………. =………………..…………..………………….

=………………..…………..…………………. =………………..…………..………………….

1.11 480csc =……………………………………..….. 1.12 510cot =………………..…………..……………

=………………..…………..…………… =………………..…………..………………….

=………………..…………..……………… =………………..…………..………………



5. ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจ านวนจรงหรอมม

1. ความสมพนธของ BAsin และ BAsin

ตวอยาง จงหาคาของ

1. 15sin

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

2. 75sin

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกหด 2.10 จงหาคาของ

1. 35sin

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………



2. 105sin

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

3. 135sin

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

2. ความสมพนธของ BAcos และ BAcos

ตวอยาง จงหาคาของ

1. 15cos

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

2. 75cos

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………



แบบฝกหด 2.11 จงหาคาของ

1. 35cos

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

2. 105cos

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

3. 135cos

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

3. ความสมพนธของ BAtan และ BAtan

ในสวนของ tan ใหนกเรยนไปศกษาดวยตวเองนะครบ



6. อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต

arcsine

ฟงกชน arcsine คอ เซตของคอนดบ (x,y) โดยท x = sin y และโดเมนคอ

2,

2

y เขยนแทนดวย

xy arcsin หรอ xy 1sin

arccos

ฟงกชน arccos คอ เซตของคอนดบ (x,y) โดยท x = cos y และโดเมนคอ ,0y เขยนแทนดวย

xy arccos หรอ xy 1cos

arctan

ฟงกชน arctan คอ เซตของคอนดบ (x,y) โดยท x = tan y และโดเมนคอ

2,

2

y เขยนแทนดวย

xy arctan หรอ xy 1tan

ตวอยาง จงหาคาของฟงกชนอนเวอรส จากขอตอไปน

1) 2

1sin 1y

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

2) 2

2cos 1y

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….



3)

2

3sin 1y

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกหด 2.12 จงหาคาของฟงกชนอนเวอรส ของฟงกชนตรโกณมตตอไปน

1) 1sin 1 2) 2

1cos 1

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

3) )1(tan 1 4) 3tan 1

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

5) 2

2cos 1 6)

2

1sin 1

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………



7)

2

3sin 1 8)

2

2cos 1

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

ขอควรทราบ

1) อนเวอรสของฟงกชน จะเปนฟงกชนกตอเมอ ฟงกชนเดมเปนฟงกชน 1-1

2)...เนองจากฟงกชนตรโกณมตไมเปนฟงกชน 1-1 ดงนนอนเวอรสของฟงกชนตรโกณมตจงไมเปนฟงกชน

คณสมบตทส าคญของฟงกชนอนเวอรส

1) xx 1sinsin หรอ xx sinsin 1

2) xx 1coscos หรอ xx coscos 1

3) xx 1tantan หรอ xx tantan 1

4) xx 1csccsc หรอ xx csccsc 1

5) xx 1secsec หรอ xx secsec 1

6) xx 1cotcot หรอ xx cotcot 1

ตวอยาง จงหาคาของฟงกชนอนเวอรส จากขอตอไปน

1)

2

2sinsin 1 2) 1sincos 1

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………



แบบฝกหด 2.13 จงหาคาของฟงกชนอนเวอรส ของฟงกชนตรโกณมตตอไปน

1)

2

1sinsin 1 2) 1coscos 1

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

3)

3

1tancos 1 4) 1cossin 1

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

5)

cos2

1sin 1 6)

3

2sincos 1

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

7) 3tan2sin 1 8) 1sin2cos 1

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………

………………………………………………………………………. …………………………………………………………………



มอกหลายเรองทนกเรยนตองไปศกษาเองนะครบ.....

เอกลกษณตรโกณมต

สมการตรโกณมต

กฎของไซนและโคไซน การหาระยะทางและความสง



ตารางการสงงานเรองฟงกชนตรโกณมต

วน/เดอน/ป งาน ลายเซนผปกครอง ลายเซนคร แบบฝกหดท 2.1 แบบฝกหดท 2.2 แบบฝกหดท 2.3 แบบฝกหดท 2.4 แบบฝกหดท 2.5 แบบฝกหดท 2.6 แบบฝกหดท 2.7 แบบฝกหดท 2.8 แบบฝกหดท 2.9 แบบฝกหดท 2.10 แบบฝกหดท 2.11 แบบฝกหดท 2.12 แบบฝกหดท 2.13

ประโยชนของการตรงตอเวลา

1.ท าใหเรามนสยขยนขนแขงเอาการเอางานอยางจรงจง

2.ฝกใหเราเปนคนกระตอรอรนมชวตชวา

3.ท าใหเรามความซอตรงตอตวเองรกษาเกยรตยศของตนเอง

4.ท าใหเราท างานไดสะดวกรวดเรวเรยบรอยและมผลด

5.หนาทการงานประสบความส าเรจชวตกาวหนา

6.สามารถก าหนดกจกรรมตางๆ ทเราจะกระท าไดในแตละวนท าใหชวตมระเบยบและมวนยกบตนเอง

7.เปนทเชอถอและไวใจของคนอน

Documents

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric Functions) · ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจานวนจริงหรือมุม