Embed Size (px)
Citation preview
ฟงักช์นัตรโีกณมติิ 1. ทบทวนความรูเ้บือ้งตน้
ถ้าให้ ABC เป็นสามเหลีย่มท่ีมีมุม C เป็นมุมฉาก และมี a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ตามล าดับ
B
c a
A b C
อตัราสว่นตรโีกณมติ ิsin = cos = tan = cosec = sec = cot =
2. การวดัมมุ 2.1 การวัดมุมในทิศทวนเข็มนาฬิกา
2.2 การวัดมุมในทิศตามเข็มนาฬิกา
3. หนว่ยของมมุ 3.1 องศา
1 องศา = 60 ลิบดา เขียนด้วย 1o=60’
1 ลิบดา = 60 ฟลิิปดา เขียนแทนด้วย 1’=60”
3.2 เรเดียน
ก าหนดวงกลมมีจดุศูนย์กลางท่ี O มีรัศมี r หน่วย และ เป็นมุมท่ีจุดศนูย์กลางรองรับด้วยสว่นโค้งท่ียาว a
= ความยาวของส่วนโค้งที่รองรับมุม
รัศมีของวงกลม [เรเดียน]
=
[เรเดยีน]
โดยทั่วๆ ไป การเขียนขนาดมุมเป็นเรเดียนมักจะไม่เขียนหน่วยก ากับ
การแปลงเรเดยีนใหเ้ปน็องศา
= 1 0
1 = 1 0
= 1 =
4. วงกลมหนึง่หนว่ย
มุม 0o 30o 45o 60o 90o sin
cos
tan
cosec
sec
cot
แบบฝกึหดัที1่ 1. จงหาพิกดั (Coordinate) ของจดุตอ่ไปนี ้
1.1 (-
)
1.2 ( 1 )
1.3 (-1
)
2. จงหา ซึ่ง - เมื่อ มี โคออร์ดิเนท ดังนี ้
2.1 (√
- √
)
2.2 (-1 0)
2.3 (√
1
)
มมุ
ทวนเข็มเป็น +
ตามเข็มเป็น -
เอกลกัษณต์รโีกณ
=1 =1 =1
=1 =1 =1
ฟงัก์ชนัตรโีกณมติขิองมมุของรูปสามเหลีย่มมมุฉาก
Ex. ABC มีด้าน b ยาว 0√ มุม A กาง 30 และมุม B กาง 60 จงหาด้าน a และด้าน c
B
a c
C b A
Ex สามเหลี่ยมดา้นเทา่รปูหนึ่งแนบในวงกลม ซึ่งมสีี่เหลี่ยมจัตุรัสลอ้มรอบ ถ้าด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวดา้นละ 10 นิ้ว จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี ้
D P C
A B
Q R
แบบฝกึหดัที2่
1. สามเหลีย่ม ABC รปูหนึ่ง ก าหนดให้ A=30 , C=90 และดา้น a = √ จงหามุม B และด้านของสามเหลี่ยมอีกสองดา้น
2. ชายคนหนึ่งยืนอยูบ่นหนา้ผาสูง 100 ฟุต เห็นกองหินสองกองบนพื้นดินเบื้องล่างในแนวเดียวกัน ถ้ามุมกดลงของกองหินท้ังสองเป็น 60 และ 45 ตามล าดบั อยากทราบว่าหินสองกองนั้นอยู่ห่างกันเท่าไร
ตรโีกณมติแิละการประยกุต ์ฟงักช์ันตรโีกณมติิของผลบวกและผลตา่งของจ านวนจรงิหรอืมมุ
ให้ เป็นจ านวนจริงสองจ านวนหรือมุมสองมุม จะได้ความสัมพันธ์ ต่อไปนี้
( )=
( )=
( )=
( )=
Ex 1 จงหาค่าของ , 10
=
10 =
( )= 1
( )=
1
( )= 1
( )= 1
Ex 3 จงหาค่าของ (-1 )
Ex 4 ก าหนด =
และ =
1
1
จงหาค่าของ ( - )
การเปลีย่นฟังกช์ันผลบวกหรอืผลตา่งใหเ้ป็นผลคณู
= (
) (
)
= (
) (
)
= (
) (
)
= (
) (
)
= ( ) ( )
= ( ) ( )
= ( ) ( )
= ( ) ( )
Ex 1 จงหาค่าของ 0 - 0 -√ 10
ฟงักช์ันตรโีกณมติิของจ านวนจรงิหรอืมมุ 2A
=
= {
11
=
1
= 1
Ex 1 ก าหนด =
จงหา
Ex 2 ก าหนด =
จงหาค่าของ (
) เมื่อ เป็นมุมแหลม
สตูรเกีย่วกับฟงักช์ันตรโีกณมติมิมุ 3A ,
=
=
=
1
=
1
= √1
= √1
= √1 1
=
1 =
1
ฟงัก์ชนัอนิเวอรส์ของฟงักช์นัตรโีกณมติิ เราสามารถจ ากัดโดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ เพือ่ให้เป็นฟังก์ชัน 1-1 และสามารถหาอินเวอร์สฟังก์ชันได้ จึงมีการจ ากัดโดเมนและเรนจ์ ดังตารางต่อไปนี้
ฟังก์ชัน โดเมน เรนจ์
sin [
] [ 1 1]
cos
[0 ] [ 1 1]
tan (
) R
cot
(0 ) R
sec [0
) (
] ( 1] [1 )
cosec [
0) (0
] ( 1] [1 )
ถ้าให้ = {( ) = [-
]} อินเวอร์สของฟังก์ชนั f คือ
-1= {( ) = [-
]} และเขียน x=siny ในเทอมของ y เป็น y=arcsinx
หรือ y=sin-1x (อ่านว่า อาร์คไซน์เอ็กซ์) ในท านองเดียวกัน arccos แทนอินเวอร์สของ cos arctan แทนอินเวอร์สของ tan arccot แทนอินเวอร์สของ cot arcsec แทนอินเวอร์สของ sec arccosec แทนอินเวอร์สของ cosec
ตารางแสดงอนิเวอรส์ของฟงักช์นัตรโีกณมติ ิพรอ้มโดเมนและเรนจ์
ฟังก์ชัน โดเมน เรนจ์ sin
[ 1 1]
[
]
cos
[ 1 1] [0 ]
tan
R (
)
cot R (0 ) sec ( 1] [1 ) [0
) (
]
cosec ( 1] [1 ) [
0) (0
]
หมายเหต ุ
1. arcsinx อาจเขียนแทนดว้ย sin-1=x
arccosx อาจเขียนแทนดว้ย ..............
arctanx อาจเขียนแทนดว้ย ..............
arccotx อาจเขียนแทนดว้ย ..............
arcsecx อาจเขียนแทนดว้ย ..............
arccosec อาจเขียนแทนดว้ย ..............
แบบฝึกหัดที3่ จงหาค่าของ
1. (1
)
2. (√
)
3. ( (
))
สมการตรโีกณมติ ิ
Ex - - =0
กฎของโคไซนแ์ละไซน ์กฎของโคไซน ์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a,b,c เป็นความยาวของดา้นตรงข้ามมุม A,B,C ตามล าดบั จะไดว้่า
C
b a
A B
c
= -
= -
= -
กฎของไซน ์
ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a,b,c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A,B,C ตามล าดับ
จะได้
=
=
หรือ อาจเขียนเป็น
=
=
เราสามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหลีย่มใดๆ ไดด้ังนี ้
ถ้า ABC เป็นรปูสามเหลีย่มใดๆ ที่ a,b และ c เป็นความยาวของด้านตรงขา้มมุม A,B และ C ตามล าดบั
พื้นที่ =1
ตารางหน่วย
พื้นที่ =1
ตารางหน่วย
พื้นที่ =1
ตารางหน่วย
Ex ก าหนด a=3 , c=5 และ B=120 จงหา b
= -
แบบฝกึหดัที4่
1. ก าหนด a=15, b=7, c=13 จงหามุม C
2. ในสามเหลี่ยม ABC ซึ่งมีมุม A และ B เป็นมุมแหลม ถ้า
=
=
1 และถ้า ยาว 1 นิ้ว จงหาความยาวดา้น
แบบฝกึหดัที5่
1. ณ จุดโคนเสาต้นหนึ่ง จะมองเห็นมุมยกขึ้นของยอดหอคอยเท่ากบั 45 และจากยอดของเสานั้น ซึ่งสูง 10 เมตร มุมยกขึ้นของยอดหอคอยเท่ากับ 30 ดังนั้นหอคอยสูงเท่าไร
