Aacap 15 Series de Tiempo y Pronosticos

7/31/2019 Aacap 15 Series de Tiempo y Pronosticos

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Objetivos

Contenido del capítulo

c a p í t u l o

• Aprender por qué los cambios en lospronósticos que tienen lugar entiempo constituyen una parte impor-tante de la toma de decisiones

• Entender las cuatro componentes deuna serie de tiempo

• Utilizar técnicas basadas en la regre-sión para estimar y pronosticar latendencia de una serie de tiempo

• Aprender cómo medir la componentecíclica de una serie de tiempo

• Calcular índices estacionales y usarlospara desestacionalizar una serie detiempo

• Ser capaces de reconocer una varia-ción irregular en una serie de tiempo

• Manejar simultáneamente las cuatro

componentes de una serie de tiempoy utilizar el análisis de series de tiem-po para pronosticar

15.1 Introducción 674

15.2 Variación en las seriesde tiempo 675

15.3 Análisis de tendencia 676

15.4 Variación cíclica 686

15.5 Variación estacional 691

15.6 Variación irregular 699

15.7 Problema que incluye a lascuatro componentes deuna serie de tiempo 699

15.8 Análisis de series de tiempoen pronósticos 707

• Estadística en el trabajo 708

• Ejercicio de base de datoscomputacional 709

• Del libro de texto al mundoreal 709

•Términos introducidos enel capítulo 15 710

• Ecuaciones introducidasen el capítulo 15 711

• Ejercicios de repaso 712

1515SERIES DE TIEMPO

Y PRONÓSTICOS



La administración de un campo de esquí tiene los siguientes datosacerca de la ocupación trimestral correspondientes a un periodode cinco años:

Año 1er. trim. 2o. trim. 3er. trim. 4o. trim.

1991 1,861 2,203 2,415 1,9081992 1,921 2,343 2,514 1,9861993 1,834 2,154 2,098 1,7991994 1,837 2,025 2,304 1,9651995 2,073 2,414 2,339 1,967

Con el fin de mejorar su servicio, la administración debe entender elpatrón estacional de la demanda de habitaciones. Con los métodos ana-

lizados en este capítulo, ayudaremos a la administración del hotel adiscernir ese patrón, si existe, y a utilizarlo para pronosticar la demandade habitaciones. ■

15.1 Introducción

Los pronósticos, o predicciones, son una herramienta esencial en cualquier proceso de toma de deci-siones. Sus aplicaciones varían desde la determinación de los requerimientos de inventario de unapequeña zapatería hasta la estimación de las ventas anuales de juegos de video. La calidad de los pro-nósticos que los administradores pueden realizar está estrechamente relacionada con la informaciónque puede extraerse y utilizarse a partir de los datos históricos. El análisis de series de tiempo es unmétodo cuantitativo que utilizamos para determinar patrones en los datos recolectados a través deltiempo. La tabla 15-1 es un ejemplo de datos de una serie de tiempo.

El análisis de series de tiempo se utiliza para detectar patrones de cambio en la información esta-dística en intervalos regulares. Proyectamos estos patrones para obtener una estimación para el fu-turo. En consecuencia, el análisis de series de tiempo nos ayuda a manejar la incertidumbre asociadacon los acontecimientos futuros.

Uso del análisis deseries de tiempo

Serie de tiempo parael número de buquescargados, en Morehead,

Carolina del Norte

Tabla 15-1

Año 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Número 98 105 116 119 135 156 177 208

Ejercicios 15.1

Conceptos básicos

■ 15-1 ¿Qué valor tienen los pronósticos en el proceso de toma de decisiones?■ 15-2 ¿Con qué propósito aplicamos el análisis de series de tiempo a datos recolectados durante un tiempo?■ 15-3 ¿Qué beneficios proporciona la determinación de patrones históricos?■ 15-4 ¿Cómo afectarán los errores en los pronósticos al gobierno de una ciudad?



15.2 Variación en las series de tiempoUtilizamos el término serie de tiempo para referirnos a cualquier grupo de información estadísticaque se acumula a intervalos regulares. Existen cuatro tipos de cambio o variación implicados en elanálisis de series de tiempo, éstos son:

1. Tendencia secular2. Fluctuación cíclica3. Variación estacional4. Variación irregular

Con el primer tipo de variación, la tendencia secular , el valor de la variable tiende a aumentar odisminuir en un periodo muy largo. El incremento estable en los costos de vida registrados en el Índi-ce de Precios al Consumidor (IPC) es un ejemplo de tendencia secular. De un año a otro, el costo de

vida varía bastante, pero si examinamos un periodo a largo plazo, nos damos cuenta que la tendenciatiende a aumentar de manera estable. La gráfica (a) de la figura 15-1 muestra una tendencia secularen una serie de tiempo creciente que fluctúa.

El segundo tipo de variación observado en una serie de tiempo es la fluctuación cíclica. El ejem-plo más común de fluctuación cíclica es el ciclo económico. A través del tiempo, hay años en los que

Fluctuación cíclica

Tendencia secular

Cuatro tipos de varia-ción en las series detiempo

Y

X

Serie de tiempo real

Tendencia secular

Tiempo en años

(a)

Y

X

Fluctuación cíclica

Línea de tendencia

Tiempo en años

(b)

Y

X

Variación estacional

Tiempo en años

(c)

Y

X

Variación irregular

Tiempo en años

(d)

FIGURA 15-1

Variación en lasseries de tiempo



el ciclo económico llega a un pico arriba de la línea de tendencia; en otros, es probable que la acti-vidad de los negocios disminuya abajo de la línea de tendencia. El tiempo que transcurre entre picosy depresiones es al menos un año, y puede llegar a ser hasta 15 o 20. La gráfica (b) de la figura 15-1ilustra un patrón típico de fluctuación cíclica arriba y abajo de la línea de tendencia secular. Obser-ve que los movimientos cíclicos no siguen ningún patrón regular, sino que se mueven de manera untanto impredecible.

El tercer tipo de cambio en los datos de una serie de tiempo es la variación estacional. Como ca-bría esperar, este tipo de variación implica patrones de cambio en el lapso de un año que tienden arepetirse anualmente. Por ejemplo, un médico puede esperar un aumento sustancial en el número decasos de gripe cada invierno y de afectados de tifoidea cada verano. Como se trata de patrones regu-lares son útiles al pronosticar el futuro. La gráfica (c) de la figura 15-1 muestra una variación esta-cional. Note cómo alcanza un pico cada cuarto trimestre del año.

La variación irregular es el cuarto tipo de cambio que ocurre en el análisis de las series de tiem-po. En muchas situaciones, el valor de una variable puede ser completamente impredecible cambian-do de manera aleatoria. Las variaciones irregulares describen esos movimientos. Los efectos que el

conflicto de Medio Oriente en 1973, la situación de Irán en 1979-1981, el colapso de la OPEP en1986 y la situación de Irak en 1990 tuvieron sobre los precios de la gasolina en Estados Unidos sonejemplos de variación irregular. La gráfica (d) de la figura 15-1 ilustra la variación irregular.

Hasta ahora, nos hemos referido a las series de tiempo como datos que presentan una de las cua-tro variaciones descritas. Sin embargo, en la mayor parte de los casos las series de tiempo contie-nen varias de estas componentes. Así, podemos describir la variación total en una sola serie de tiempoen términos de estas cuatro clases de variación. En las siguientes secciones examinaremos las cua-tro componentes y las formas en que medimos cada uno.

Ejercicios 15.2

Conceptos básicos

■ 15-5 Identifique las cuatro principales componentes de una serie de tiempo y explique el tipo de cambio, en eltiempo, al que se aplica.

■ 15-6 ¿Cuál de las cuatro componentes de una serie de tiempo se utilizaría para describir el efecto de las ventasnavideñas de una tienda departamental al menudeo?■ 15-7 ¿Cuál es la ventaja de descomponer una serie de tiempo en sus cuatro componentes?■ 15-8 ¿Cuál de las cuatro componentes de una serie de tiempo debería utilizar el Departamento de Agricultura

de Estados Unidos para describir un patrón climatológico de siete años?■ 15-9 ¿Cómo se explicaría una guerra en una serie de tiempo?■ 15-10 ¿Qué componente de una serie de tiempo explica el crecimiento y decrecimiento general de la industria

del acero en los dos últimos siglos?■ 15-11 Utilizando los cuatro tipos de variación, describa el comportamiento de los precios del petróleo crudo de

1970 a 1987.

15.3 Análisis de tendenciaDe las cuatro componentes de una serie de tiempo, la tendencia secular representa la dirección a lar-go plazo de la serie. Una manera de describir la componente que corresponde a la tendencia es ajus-tar visualmente una recta a un conjunto de puntos de una gráfica. Pero cualquier gráfica dada estará

sujeta a interpretaciones que varían de un individuo a otro. Podemos también ajustar una línea detendencia con el método de mínimos cuadrados, estudiado en el capítulo 12. En nuestro análisis, nosconcentraremos en el método de mínimos cuadrados, ya que el ajuste visual de una recta a una seriede tiempo no es un proceso completamente seguro.

Dos métodos paraajustar una líneade tendencia

Variación irregular

Variación estacional



Razones para estudiar las tendenciasExisten tres razones por las cuales resulta útil estudiar las tendencias seculares:

1. El estudio de tendencias seculares nos permite describir un patrón histórico. Existen mu-chos ejemplos en los que podemos utilizar un patrón del pasado para evaluar el éxito de una po-lítica anterior. Por ejemplo, una universidad puede evaluar la efectividad de un programa de

captación de estudiantes mediante el examen de sus tendencias en las inscripciones anteriores.2. El estudio de tendencias seculares nos permite proyectar patrones o tendencias pasados

al futuro. El conocimiento del pasado nos puede hablar en gran medida acerca del futuro. Porejemplo, el examen de la tasa de crecimiento de la población mundial puede ser de ayuda paraestimar la población en algún momento futuro dado.

3. En muchas situaciones, el estudio de la tendencia secular de una serie de tiempo nos per-

mite eliminar la componente de tendencia de la serie. Esto facilita el estudio de las otras trescomponentes de la serie de tiempo. Si deseamos determinar la variación estacional de la venta

de esquíes, por ejemplo, la eliminación de la componente de tendencia nos proporciona unaidea más precisa de la componente estacional.

Las tendencias pueden ser rectas o curvilíneas. Antes de examinar el método lineal o de línea rec-ta para describir tendencias, debemos recordar que algunas relaciones no toman esa forma. El au-mento de contaminantes en el ambiente sigue una curva de pendiente creciente parecida a la quemostramos en la gráfica (a) de la figura 15-2. Otro ejemplo común de una relación curvilínea es elciclo de vida de un nuevo producto comercial, que se ilustra en la gráfica (b) de la misma figura.Cuando se introduce en el mercado un nuevo producto, su volumen de ventas es bajo (I). Conforme

el producto adquiere reconocimiento y éxito, las ventas unitarias aumentan con una rapidez cada vezmayor (II). Después de que el producto se establece firmemente, sus ventas unitarias crecen con ra-pidez constante (III). Por último, cuando el producto llega al fin de su ciclo de vida, las ventas uni-tarias empiezan a disminuir (IV).

Ajuste de la tendencia lineal con el métodode mínimos cuadradosAdemás de las tendencias que se pueden describir por una curva, existen otras que se describen poruna línea recta. Éstas se conocen como tendencias lineales. Antes de desarrollar la ecuación para unatendencia lineal, necesitamos revisar la ecuación general para estimar una línea recta (ecuación 12-3):

Ecuación para estimar una recta ⎯→ Y ˆ ϭ a ϩ bX [12-3]

donde,

• Y ˆ ϭ valor estimado de la variable dependiente

• X ϭ variable independiente (tiempo en el análisis de tendencia)• a ϭ ordenada Y (el valor de Y cuando X ϭ 0)

• b ϭ pendiente de la recta de tendencia

Las líneas de tenden-cia toman diferentesformas

Tres razones para elestudio de las ten-dencias seculares

Y

X Tiempo

(b)

V e n t a s a n u a l e s e n

u n i d a d e s

IV

III

III

Y

X Tiempo

(a)

C o n t a m i n a c

i ó n

Tendencia delincremento decontaminaciónFIGURA 15-2

Relaciones de ten-dencia curvilínea



Podemos describir la tendencia general de muchas series de tiempo utilizando una línea recta. Pe-ro nos encontramos con el problema de buscar la recta, o ecuación, de mejor ajuste. Del mismo mo-do que en el capítulo 12, podemos utilizar el método de mínimos cuadrados para calcular la recta oecuación de mejor ajuste. En ese capítulo, vimos que la recta de mejor ajuste estaba determinada porlas ecuaciones 12-4 y 12-5, que representamos ahora como ecuaciones 15-1 y 15-2.

Búsqueda de la rectade tendencia de mejor ajuste

Pendiente de la recta de regresión de mejor ajuste

b ϭ [15-1]

Ordenada Y de la recta de regresión de mejor ajuste

a ϭ Y ෆ Ϫ bX ෆ [15-2]

⌺ XY Ϫ nX ෆ Y ෆᎏᎏ

⌺ X 2 Ϫ nX ෆ 2

donde,• Y ϭ valores de la variable dependiente

• X ϭ valores de la variable independiente

• Y ෆ ϭ media de los valores de la variable dependiente

• X ෆ ϭ media de los valores de la variable independiente

• n ϭ número de datos en la serie de tiempo

• a ϭ ordenada Y

• b ϭ pendiente

Con las ecuaciones 15-1 y 15-2 podemos establecer la recta de mejor ajuste para describir los da-tos de la serie. Sin embargo, la regularidad de los datos de la serie de tiempo nos permite simplificarlos cálculos de las ecuaciones 15-1 y 15-2 mediante el proceso que describiremos a continuación.

Traducción o codificación del tiempo

Normalmente, medimos la variable independiente tiempo en términos de semanas, meses o años.Afortunadamente, podemos convertir estas medidas tradicionales de tiempo a una forma que simpli-fica los cálculos. En el capítulo 3, llamamos codificación a este proceso. Para utilizar la codificaciónen este caso, encontramos el tiempo medio y luego restamos ese valor de cada uno de los tiempos dela muestra. Suponga que nuestra serie de tiempo consiste en tres puntos, 1992, 1993 y 1994. Si tu-viéramos que sustituir estas cantidades en las ecuaciones 15-1 y 15-2, veríamos que los cálculos re-sultantes son tediosos. En su lugar, podemos transformar los valores 1992, 1993 y 1994 en los valo-res correspondientes Ϫ1, 0 y 1, en donde 0 representa la media (1993), Ϫ1 representa el primer año(1992 Ϫ 1993 ϭ Ϫ1) y 1 el último año (1994 Ϫ 1993 ϭ l).

Cuando codificamos valores de tiempo es necesario tomar en cuenta dos casos. El primero es unaserie de tiempo con un número impar de elementos, como en el ejemplo anterior; el segundo, una se-rie de tiempo con un número par de elementos. Considere la tabla 15-2. En la parte a, a la izquierda,tenemos un número impar de años. En consecuencia, el proceso es el mismo que el que acabamosde describir utilizando los años 1992, 1993 y 1994. En la parte b, a la derecha, tenemos un número par de elementos. En casos como éste, cuando encontramos la media y la restamos de cada elemen-to, la fracción 1/2 se convierte en parte de la respuesta. Para simplificar el proceso de codificación yeliminar el 1/2, multiplicamos cada elemento de tiempo por dos. Denotaremos el tiempo “codifica-

do” o traducido con la letra minúscula x.Existen dos razones para hacer esta traducción del tiempo. Primero, elimina la necesidad de ele-

var al cuadrado números grandes como 1992, 1993 y 1994, etc. Este método también hace que el añomedio, x ෆ, sea igual a cero y permite simplificar las ecuaciones 15-1 y 15-2.

¿Por qué usarun código?

Manejo de númerospares e impares deelementos

Codificación de lavariable tiempopara simplificarlos cálculos



(a) Cuando hay un número impar de (b) Cuando hay un número par deelementos en la serie de tiempo elementos en la serie de tiempo

Tiempo Tiempo X X Ϫ X ෆ traducido o X X Ϫ X ෆ ( X Ϫ X ෆ) 2 traducido o

(1) (2) codificado (3) (1) (2) (3) codificado (4)

1989 1989 Ϫ 1992 ϭ Ϫ3 1990 1990 Ϫ 19921/2 ϭ Ϫ21/2 2 ϭ Ϫ51990 1990 Ϫ 1992 ϭ Ϫ2 1991 1991 Ϫ 19921/2 ϭ Ϫ11/2 2 ϭ Ϫ31991 1991 Ϫ 1992 ϭ Ϫ1 1992 1992 Ϫ 19921/2 ϭ Ϫ

1/2 2 ϭ Ϫ11992 1992 Ϫ 1992 ϭ 0 1993 1993 Ϫ 19921/2 ϭ

1/2 2 ϭ 11993 1993 Ϫ 1992 ϭ 1 1994 1994 Ϫ 19921/2 ϭ 11/2 2 ϭ 31994 1994 Ϫ 1992 ϭ 2 1995 1995 Ϫ 19921/2 ϭ 21/2 2 ϭ 51995 1995 Ϫ 1992 ϭ 3

⌺ X ϭ 13,944 x ෆ (el año medio) ϭ 0 ⌺ X ϭ 11,955 x ᎏ(el año medio) ϭ 0

X ෆ ϭ ᎏ

⌺

n

X ᎏ X ෆ ϭ ᎏ

⌺

n

X ᎏ

ϭᎏ13,

7

944ᎏ ϭᎏ

11,

6

955ᎏ

ϭ 1992 ϭ 19921/2

Ahora ya podemos regresar al cálculo de la pendiente (ecuación 15-1) y la ordenada Y (ecuación15-2) para determinar la recta de mejor ajuste. Como estamos utilizando la variable codificada x,sus-tituimos X y X ෆ por x y x

ෆ

en las ecuaciones 15-1 y 15-2. Entonces, como la media de nuestra variabletiempo codificada x ෆ es cero, podemos sustituir 0 por x ෆ en las ecuaciones 15-1 y 15-2, como sigue:

b ϭ [15-1]

ϭ ← Ά

ϭ ← x ෆ sustituida por 0⌺ xY Ϫ n0Y ෆᎏᎏ

⌺ x2

Ϫ n02

x ෆ (la variable codificada) sustituida

en lugar de X ෆ y x ෆ en lugar de X ෆ

⌺ xY Ϫ nx ෆY ෆᎏᎏ

⌺ x2 Ϫ nx ෆ2


⌺ X 2

Ϫ nX ෆ 2

Simplificación delcálculo de a y b

Traducción o codifica-ción de los valoresde tiempo

Tabla 15-2

Pendiente de la línea de tendencia para valores de tiempo codificados

b ϭ [15-3]⌺ xY ᎏ

⌺ x2

Ordenada Y de la recta de tendencia para valores de tiempo codificados

a ϭ Y ෆ [15-4]

La ecuación 15-2 cambia de la siguiente manera:a ϭ Y ෆ Ϫ bX ෆ [15-2]

ϭ Y ෆ Ϫ bx ෆ ← x ෆ en lugar de X ෆ

ϭ Y ෆ Ϫ b0 ← x ෆ sustituida por 0

Las ecuaciones 15-3 y 15-4 representan una mejora sustantiva respecto a las ecuaciones 15-1 y 15-2.



Cálculos intermediospara calcular latendencia

Tabla 15-3 X Y †

X X ෆ x xY x 2

(1) (2) (3) (3) 2 ϭ (4) (4) (2) (4)2

1988 98 1988Ϫ

1991

1

/2‡

ϭ Ϫ

3

1

/2Ϫ

3

1

/2 2ϭϪ

7Ϫ

686 491989 105 1989 Ϫ 19911/2 ϭ Ϫ21/2 Ϫ21/2 2 ϭϪ5 Ϫ525 25

1990 116 1990 Ϫ 19911/2 ϭ Ϫ11/2 Ϫ11/2 2 ϭϪ3 Ϫ348 9

1991 119 1991 Ϫ 19911/2 ϭ Ϫ1/2 Ϫ

1/2 2 ϭϪ1 Ϫ119 1

1992 135 1992 Ϫ 19911/2 ϭ1/2

1/2 2 ϭ 1 135 1

1993 156 1993 Ϫ 19911/2 ϭ 11/2 11/2 2 ϭ 3 468 9

1994 177 1994 Ϫ 19911/2 ϭ 21/2 21/2 2 ϭ 5 885 25

1995 208 1995 Ϫ 19911/2 ϭ 31/2 31/2 2 ϭ 7 01,456 049______ _____

⌺ X ϭ 15,932 ⌺Y ϭ 1,114 ⌺ xY ϭ 1,266 ⌺ x 2

ϭ 168

X ෆ ϭ ᎏ

⌺

n

X ᎏϭᎏ

15,

8

932ᎏϭ 1,9911/2

Y ෆ ϭ ᎏ

⌺

n

Y ᎏϭᎏ

1,1

8

14ᎏϭ 139.25

† Y es el número de b q es

Un problema que usa el método de mínimos cuadradosen una serie de tiempo (número par de elementos)Considere los datos de la tabla 15-1, que ilustran el número de buques cargados en la ciudad de Mo-rehead entre 1988 y 1995. En este problema, queremos encontrar la ecuación que describirá la ten-dencia secular de las cargas. Para calcular los valores necesarios para las ecuaciones 15-3 y 15-4, ob-

servemos la tabla 15-3.Podemos sustituir estos valores en las ecuaciones 15-3 y 15-4 para encontrar la pendiente y la or-

denada Y para la recta que describe la tendencia en las cargas de buques:

b ϭ [15-3]

ϭ

ϭ 7.536

y

a ϭ Y ෆ [15-4]

ϭ 139.25

Así, la ecuación lineal general que describe la tendencia secular en la carga de buques es

Y ˆ ϭ a ϩ bx [12-3]

ϭ 139.25 ϩ 7.536 x

donde,

• Y ˆ ϭ número estimado anual de barcos cargados

• x ϭ valor de tiempo codificado que representa el número de intervalos de mitad de año (el sig-no menos indica intervalos de mitad de año anteriores a 19911 / 2; el signo más indica inter-valos de mitad de año posteriores a 19911 / 2)

1,266ᎏ

168

⌺ xY ᎏ

⌺ x2

Búsqueda de lapendiente y laordenada Y

Uso del método demínimos cuadrados



Proyección con la ecuación de tendenciaUna vez desarrollada la ecuación de tendencia, podemos proyectarla para pronosticar la variable encuestión. En el problema de hallar la tendencia secular de las cargas de buques, por ejemplo, deter-minamos que la ecuación de tendencia secular apropiada es

Y ˆ ϭ 139.25 ϩ 7.536 x

Ahora suponga que deseamos estimar las cargas de buques para 1996. Primero, debemos conver-tir 1996 al valor de tiempo codificado (en intervalos de mitad de año).

x ϭ 1996 Ϫ 19911 / 2ϭ 4.5 años

ϭ 9 intervalos de mitad de año

Sustituyendo este valor en la ecuación correspondiente a la tendencia secular, obtenemos

Y

ˆ ϭ

139.25ϩ

67.82ϭ 139.25 ϩ 67.82

ϭ 207 barcos cargados

Por consiguiente, hemos estimado que se cargarán 207 barcos en 1996. Si el número de elemen-tos de nuestra serie de tiempo hubiera sido impar, no par, nuestro procedimiento hubiera sido el mis-mo, excepto que hubiéramos manejado intervalos de cada año, no intervalos de mitad de año.

Uso de una ecuación de segundo grado en una serie de tiempoHasta aquí hemos descrito el método de ajustar una recta a una serie de tiempo. Pero muchas seriesde tiempo se describen mejor por curvas que por rectas. En estos casos, el modelo lineal no descri-be de manera adecuada el cambio en la variable conforme pasa el tiempo. Para vencer este proble-ma, a menudo utilizamos una curva parabólica, que se describe matemáticamente por una ecuación

de segundo grado. Este tipo de curva se ilustra en la figura 15-3. La forma general para una ecua-ción de segundo grado estimada es:

Manejo de series detiempo descritas porcurvas

Uso de nuestra rectade tendencia parapronosticar

Forma general para una ecuación de segundo grado ajustada

Y ˆ ϭ a ϩ bx ϩ cx2 [15-5]

donde,

• Y ˆ ϭ estimación de la variable dependiente• a, b y c ϭ constantes numéricas• x ϭ valores codificados de la variable tiempo

Tiempo

U n i d a d d e m e d i d a

Curva parabólica

Ecuación general parauna curva parabólica:

Y = a + bx + cx 2

FIGURA 15-3Forma y ecuaciónde una curvaparabólica



De nuevo utilizamos el método de mínimos cuadrados para determinar la ecuación de segundogrado que describe el mejor ajuste. La derivación de la ecuación de segundo grado está más allá delpropósito de este libro; sin embargo, podemos determinar el valor de las constantes numéricas (a, b

y c) a partir de las siguientes tres ecuaciones:

Búsqueda de valorespara a , b y c

Coeficientes de mínimos cuadrados para una tendencia de segundo grado

Ecuaciones para encontrar

a , b y c para

ajustar una curva parabólica

⎯⎯⎯⎯⎯→

⌺Y ϭ an ϩ c⌺ x2 [15-6]

⌺ x2Y ϭ a⌺ x

2ϩ c⌺ x

4 [15-7]

b ϭᎏ⌺

⌺

x

x2

Y ᎏ [15-3]

Después de encontrar los valores de a, b y c resolviendo las ecuaciones 15-6, 15-7 y 15-3, de ma-nera simultánea, sustituimos estos valores en la ecuación 15-5 de segundo grado.

Al igual que en la descripción de una relación lineal, transformamos la variable independiente,tiempo ( X ), en una forma codificada ( x) para simplificar los cálculos. Ahora trabajaremos con un pro-blema en el cual ajustamos una parábola a una serie de tiempo.

Problema que involucra una tendencia parabólica(número impar de elementos en la serie de tiempo)

En los últimos años, la venta de relojes electrónicos de cuarzo ha aumentado con una rapidez sig-nificativa. La tabla 15-4 contiene información acerca de las ventas de estos artículos que será útilpara determinar la tendencia parabólica que describe la venta de relojes.

En la tabla 15-5 organizamos los cálculos necesarios. El primer paso en este proceso es traducirla variable independiente X en una variable de tiempo codificada x. Note que la variable codificada x está dada en intervalos de cada año, debido a que tenemos un número impar de elementos en nues-tra serie de tiempo. Así, no es necesario multiplicar la variable por 2.

Sustituyendo los valores de la tabla 15-5 en las ecuaciones 15-6, 15-7 y 15-3, obtenemos

247 ϭ 5a ϩ 10c 1 [15-6]565 ϭ 10a ϩ 34c 2 [15-7]

34b ϭᎏ2

1

2

0

7ᎏ 3 [15-3]

De 3 , vemos que

b ϭ 22.7

Se puede encontrar a y c al resolver las ecuaciones simultáneas 1 y 2 . Al hacerlo, se encuentraque a es 39.3 y c es 5.07.

Esto nos da los valores apropiados de a, b y c para describir la serie de tiempo presentada en latabla 15-4 mediante la ecuación:

Y ˆ ϭ a ϩ bx ϩ cx2 [15-5]

ϭ 39.3 ϩ 22.7 x ϩ 5.07 x2

Cálculo de a , b y c

por sustitución

Codificación de lavariable tiempo

Ventas anuales derelojes electrónicosde cuarzo

Tabla 15-4

X (año) 1991 1992 1993 1994 1995

Y (ventas unitarias en millones) 13 24 39 65 106



Se grafican los datos de los relojes para ver qué tan bien se ajusta la parábola desarrollada a la se-rie de tiempo. La figura 15-4 presenta esta gráfica.

Pronósticos basados en una ecuación de segundo gradoSuponga que deseamos pronosticar las ventas de relojes para 2000. Para hacer una predicción, de-bemos primero transformar 2000 en una variable codificada x restándole el año medio, 1993:

X Ϫ X ෆ ϭ x

2000 Ϫ 1993 ϭ 7

Después este valor codificado ( x ϭ 7) se sustituye en la ecuación de segundo grado que describe laventa de relojes:

Y ˆ ϭ 39.3 ϩ 22.7 x ϩ 5.07 x2

ϭ 39.3 ϩ 22.7(7) ϩ 5.07(7)2

ϭ 39.3 ϩ 158.9 ϩ 248.4

ϭ 446.6

Con base en la tendencia secular histórica, concluimos que las ventas de relojes deberá ser aproxi-madamente 446,600,000 unidades en 2000. Sin embargo, este pronóstico tan alto sugiere que debe-mos ser más cuidadosos al pronosticar con una tendencia parabólica que cuando trabajamos con unatendencia lineal. La pendiente de la ecuación de segundo grado de la figura 15-4 se incrementa con-tinuamente; en consecuencia, la parábola puede convertirse en un estimador pobre si intentamos pro-nosticar a un plazo mayor. Al utilizar el método de la ecuación de segundo grado, también debemosconsiderar factores que pueden estar frenando o invirtiendo la tasa de crecimiento de la variable.

En el ejemplo de la venta de relojes, podemos suponer que durante el periodo considerado, el

producto se encuentra en una etapa de crecimiento muy rápido de su ciclo de vida. Pero debemosdarnos cuenta de que a medida que el ciclo se acerca a la etapa de madurez, el crecimiento de las

Ser cuidadosos

al interpretar lapredicción

Para pronosticar

¿Se ajusta la curvaa los datos?

Cálculosintermediospara determinarla tendencia

Tabla 15-5 Y X X Ϫ X ෆ ϭ x x 2

x 4

xY x 2Y

(1) (2) (3) (3)2 (3)4 (3) (1) (3)2 (1)

13 1991 1991 Ϫ 1993 ϭ Ϫ2 4 16 Ϫ26 5224 1992 1992 Ϫ 1993 ϭ Ϫ1 1 1 Ϫ24 2439 1993 1993 Ϫ 1993 ϭ 0 0 0 0 065 1994 1994 Ϫ 1993 ϭ 1 1 1 65 65

106 01995 1995 Ϫ 1993 ϭ 2 04 16 212 424⌺Y ϭ 247 ⌺ X ϭ 9,965 ⌺ x

2ϭ 10 ⌺ x

4ϭ 34 ⌺ xY ϭ 227 ⌺ x

2Y ϭ 565

X ෆ ϭ ᎏ

⌺

n

X ᎏϭᎏ

9,9

5

65ᎏϭ 1993

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

20

4060

80

100

120

140

Y

X

Puntos reales

Tendencia parabólicaY = 39.3 + 22.7x + 5.07x

2

V e n t a s e n m i l l o n e s d e u n i d a d e s

1987 1989 1991 1993 1995 1997

Tiempo

FIGURA 15-4

Tendencia parabó-lica ajustada paralos datos de tabla15-4

t d di i i l áb l d i i ió C d l l di i



ventas puede disminuir y la parábola ya no predecir con precisión. Cuando calculamos predicciones,debemos considerar la posibilidad de que la línea de tendencia puede cambiar . Esta situación puedeocasionar un error significativo. Por tanto, es necesario poner una atención especial cuando se utili-za una ecuación de segundo grado como herramienta de pronóstico.

Ejercicios 15.3

Ejercicios de autoevaluación

EA 15-1 Robin Zill y Stewart Griffiths son los propietarios de una pequeña fábrica de mesas de masaje portátilesen Hillsborough, Carolina del Norte. Desde que inició la compañía, el número de mesas que han vendidoestá representado por esta serie de tiempo:

Año 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996Mesas vendidas 42 50 61 75 92 111 120 127 140 138

a) Encuentre la ecuación lineal que describe la tendencia del número de mesas vendidas por Robin y

Stewart.b) Estime sus ventas para 1998.

EA 15-2 El número de académicos que poseen computadoras personales en la Universidad de Ohio ha aumentadodrásticamente entre 1990 y 1995:

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995Número de PC 50 110 350 1,020 1,950 3,710

a) Desarrolle la ecuación de estimación lineal que mejor describa estos datos.b) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado que mejor describa los datos.

c) Estime el número de computadoras personales que habrá en uso en la universidad en 1999, utilizan-do ambas ecuaciones.

d) Si hay 8,000 académicos en la universidad, ¿qué ecuación es mejor pronosticador? ¿Por qué?

Aplicaciones

■ 15-12 Jeff Richards invirtió los ahorros de toda su vida e inició un negocio de limpieza de alfombras en 1986.Desde entonces, la reputación de Jeff se ha propagado y el negocio ha crecido. Los números promedio de

casas que ha limpiado por mes cada año son:Año 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996Casas limpiadas 6.4 11.3 14.7 18.4 19.6 25.7 32.5 48.7 55.4 75.7 94.3

a) Encuentre la ecuación lineal que describa la tendencia de estos datos.b) Estime el número de casas limpiadas mensualmente en 1997, 1998 y 1999.

■ 15-13 El dueño de la compañía Progressive Builders está examinando el número de casas solares que iniciaronsu construcción en la región durante los últimos siete meses:

Mes Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

Número de casas 16 17 25 28 32 43 50a) Grafique estos datos.b) Desarrolle la ecuación de estimación lineal que mejor describa estos datos, y grafique la recta en la

gráfica del inciso a) (una unidad de x igual a 1 mes).

Advertencia: “ningún árbol crece hasta

el cielo” es un proverbio de Wall Streetque significa que ningún precio de ac-ción sube para siempre. Esto también se

aplica a los pronósticos hechos con ecuaciones de segundo

grado. Extrapolar una tasa de crecimiento de una compañía

que comienza (que inicia con cero ventas de manera que undólar de venta se convierte de manera automática en una ta-sa de crecimiento infinito) es riesgoso. Las tasas inicialesde crecimiento rara vez continúan.

SUGERENCIAS

Y

SUPOSICIONES

) D ll l ió d ti ió d d d j d ib t d t fi



c) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado que mejor describa estos datos y grafique es-ta curva en la gráfica del inciso a).

d) Estime las ventas de marzo utilizando ambas curvas graficadas.■ 15-14 Richard Jackson desarrolló un ratón para computadora ergonómico en 1989 y las ventas han ido en aumen-

to desde entonces. A continuación se presentan datos en términos de miles de ratones vendidos por año.

Año 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996Número vendido 82.4 125.7 276.9 342.5 543.6 691.5 782.4 889.5

a) Desarrolle la ecuación de estimación lineal que mejor describa estos datos.b) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado que mejor describa estos datos.c) Estime el número de ratones que venderá en 1998 usando ambas ecuaciones.d) Si se supone que la tasa de crecimiento de las ventas de ratones decrecerá pronto con base en la ofer-

ta y la demanda, ¿qué modelo será un mejor pronosticador para su respuesta en c)?■ 15-15 Mike Godfrey, auditor de un sistema escolarizado de educación pública, ha revisado los registros de in-

ventario para determinar si las existencias reales de libros de texto son típicas. Las cantidades de inventa-rio siguientes corresponden a los cinco años anteriores:

Año 1991 1992 1993 1994 1995

Inventario (miles de dólares) $4,620 $4,910 $5,490 $5,730 $5,990

a) Encuentre la ecuación lineal que describa la tendencia en las existencias de inventario.b) Estime para el auditor el valor del inventario para el año 1996.

■ 15-16 La siguiente tabla describe los precios del correo de primera clase desde 1968 hasta 1996:

Año 1968 1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996Precio (ctvos.) 5 5 8 8 10 13 15 18 20 22 25 25 29 29 32

a) Desarrolle la ecuación de estimación lineal que mejor describa los datos.b) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado que mejor describa los datos.c) ¿Existe algún indicador en el entorno económico o político que sugiera que una de las dos ecuacio-

nes tiene mayor posibilidad de ser mejor pronosticador de los precios postales?■ 15-17 Ingeniería Environtech, una compañía especializada en la construcción de dispositivos de filtrado anticon-

taminante, ha registrado los siguientes niveles de ventas durante los últimos nueve años:

Año 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Ventas (cientos de miles de dólares) 13 15 19 21 27 35 47 49 57

a) Grafique los datos.b) Desarrolle la ecuación de estimación lineal que mejor describa estos datos y grafique la recta en la

gráfica del inciso a).c) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado que mejor describa los datos, y grafique la

ecuación en la gráfica del inciso a).d) ¿Según el conocimiento adquirido al respecto, el mercado favorece a b) o c) como el método de esti-

mación más preciso?■ 15-18 A continuación presentamos los datos que describen el índice de contaminación de aire [en partes por mi-

llón (ppm) de partículas en el aire] de una ciudad del oeste de Estados Unidos:Año 1980 1985 1990 1995Índice de contaminación 220 350 800 2,450

a) ¿Qué ecuación de estimación, lineal o de segundo grado, proporciona la mejor predicción de los ín-dices de contaminación de la ciudad?

b) Considerando el entorno económico, social y político, ¿cambiaría usted la respuesta del inciso a)?c) Describa cómo las acciones políticas y sociales podrían cambiar la efectividad de las ecuaciones de

estimación del inciso a).

■ 15-19 El Departamento Estatal de Vehículos estudia el número de muertes por accidentes de tránsito en el esta-do debido a conductores ebrios, y registró el número de muertes en los nueve años anteriores:

Año 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995Muertes 175 190 185 195 180 200 185 190 205

a) Encuentre la ecuación lineal que describe la tendencia en el número de muertes en accidentes de trán-sito en el estado debidas a conductores ebrios.

b) Estime el número de muertes en accidentes de tránsito debidas a conductores ebrios que se pueda es



b) Estime el número de muertes en accidentes de tránsito debidas a conductores ebrios que se pueda es-perar en 1996.

Soluciones a los ejercicios de autoevaluación

EA 15-1 a) Año 0 x 0 0Y 0 0 xY 0 x 2

1987 Ϫ9 142 Ϫ378 181

1988 Ϫ7 150 Ϫ350 1491989 Ϫ5 161 Ϫ305 1251990 Ϫ3 175 Ϫ225 1191991 Ϫ1 192 1Ϫ92 111

1992 111 111 11111 1111993 113 120 11360 1191994 115 127 11635 1251995 117 140 11980 149

1996 109 138 1,242 081110 956 1,978 330

a ϭ Y ෆ ϭᎏ91506ᎏϭ 95.6 b ϭᎏ

⌺

⌺

x

x

Y 2ᎏϭᎏ

13,93708ᎏ ϭ 5.9939

Y ˆ ϭ 95.6 ϩ 5.9939 x (donde 1991.5 ϭ 0 y unidades x ϭ 0.5 año)

b) Y ˆ ϭ 95.6 ϩ 5.9939(13) ϭ 173.5 mesasEA 15-2 Año 0 x 0 Y 00 xY 0 x

2 x 2Y x

4

1990 Ϫ5 50 Ϫ250 25 1,250 6251991 Ϫ3 110 Ϫ330 9 990 81

1992 Ϫ1 350 Ϫ350 1 350 11993 Ϫ1 1,020 1,020 1 1,020 11994 Ϫ3 1,950 5,850 9 17,550 811995 Ϫ5 3,710 118,550 25 1192,750 00625

Ϫ0 7,190 24,490 70 113,910 1,414

a) a ϭ Y ෆ

ϭᎏ

7,1

6

90ᎏ

ϭ 1,198.3333 b ϭᎏ

⌺

⌺

x

x

Y

2ᎏ

ϭᎏ

24

7

,4

0

90ᎏ

ϭ 349.8571

Y ˆϭ 1,198.3333 ϩ 349.8571 x (donde 1992.5 ϭ 0 y unidades de x ϭ 0.5 años)b) Las ecuaciones 15.6 y 15.7 se convierten en

⌺Y ϭ na ϩ c⌺ x2 7,190 ϭ 6a ϩ 70c

⌺ x2Y ϭ a⌺ x

2ϩ c⌺ x

4 113,910 ϭ 70a ϩ 1,414c

Al resolver estas ecuaciones simultáneas, se obtiene

aϭ

611.8750, cϭ

50.2679Y ˆϭ 611.8750 ϩ 349.8571 x ϩ 50.2679 x2

c) Pronóstico lineal: Y ˆ ϭ 1,198.3333 ϩ 349.8571(13) ϭ 5,746 PCs

Pronóstico de segundo grado: Y ˆ ϭ 611.8750 ϩ 349.8571(13)

ϩ 50.2679(169)

ϭ 13,655 PCsd) Ninguna de las dos es muy buena: la tendencia lineal no expresa la aceleración de la tasa de ad-

quisición de PCs de los académicos; la tendencia de segundo grado supone que la aceleracióncontinuará e ignora el hecho de que sólo hay 8,000 miembros del cuerpo docente.

15.4 Variación cíclicaLa variación cíclica es la componente de una serie de tiempo que tiende a oscilar arriba y abajo de lalínea de tendencia secular en periodos mayores que un año El procedimiento utilizado para identi

Definición devariación cíclica

Método de residuos



Método de residuosCuando observamos una serie de tiempo consistente en datos anuales, sólo se toman en cuen-

ta las componentes de tendencia secular, cíclica e irregular. (Esto es así porque la variación es-

tacional pasa por un ciclo completo y regular cada año y no afecta más un año que otro.) Da-do que podemos describir la tendencia secular utilizando una línea de tendencia, es posible aislar dela tendencia las componentes cíclica e irregular restantes. Supondremos que la componente cíclica

explica la mayor parte de la variación que quedó sin explicar por la componente de tendencia secu-lar. (Muchas series de tiempo reales no satisfacen esta suposición. Los métodos como el análisis deFourier y el análisis espectral pueden estudiar la componente cíclica de estas series de tiempo. Talesmétodos, sin embargo, están más allá del objetivo del presente libro.)

Si utilizamos una serie de tiempo compuesta por datos anuales, podemos encontrar la fracción dela tendencia dividiendo el valor real (Y ) entre el valor de tendencia correspondiente (Y ˆ) para cada valorde la serie de tiempo. Luego se multiplica el resultado de este cálculo por 100. Esto da la medida dela variación cíclica como un porcentaje de tendencia. Presentamos el proceso en la ecuación 15-8:

Expresión de la varia-ción cíclica como por-centaje de tendencia

Porcentaje de tendencia

ϫ 100 [15-8]Y ᎏ

Y ˆ

donde,

• Y ϭ valor real de la serie de tiempo• Y ˆ ϭ valor de tendencia estimado a partir del mismo punto de la serie de tiempo

Ahora aplicaremos este procedimiento.La cooperativa de comercialización de granjeros desea medir las variaciones en las cosechas de

trigo de sus miembros durante 8 años. La tabla 15-6 da el volumen de cereal cosechado cada uno de los8 años. La columna Y contiene los valores de la tendencia lineal para cada periodo. La recta de tenden-cia fue generada utilizando los métodos ilustrados en la sección 3 de este capítulo. Observe que enla gráfica del valor real (Y ) y del valor de tendencia (Y ˆ) para los 8 años, figura 15-5, los valores rea-les quedan por arriba y abajo de la recta de tendencia.

Ahora ya podemos determinar el porcentaje de tendencia para cada año de la muestra (columna4 de la tabla 15-7). En esta columna podemos ver la variación de las cosechas reales alrededor de latendencia estimada (98.7 a 102.5). Podemos atribuir estas variaciones cíclicas a factores como llu-vias y cambios de temperatura. Sin embargo, debido a que estos factores son relativamente impre-decibles, no podemos determinar un patrón específico futuro de variación con el método de residuos.

El residuo cíclico relativo es otra medida de la variación cíclica. En este método se encuentra el porcentaje de variación de la tendencia para cada valor. La ecuación 15-9 presenta la fórmula ma-temática para determinar los residuos cíclicos relativos. Igual que con el porcentaje de tendencia, es-

ta medida también es un porcentaje.

Expresión de las va-riaciones cíclicas entérminos de residuoscíclicos relativos

Interpretación de lasvariaciones cíclicas

Medición de lavariación

Grano recibido por lacooperativa de granjerosdurante ocho años

Tabla 15-6 X Y bushels reales ˆ Y bushels estimados

Año (decenas de miles) (decenas de miles)

1988 7.5 7.61989 7.8 7.81990 8.2 8.01991 8.2 8.2

1992 8.4 8.41993 8.5 8.61994 8.7 8.81995 9.1 9.0

R id í li l ti



donde,

• Y ϭ valor real de la serie de tiempo

• Y ˆ ϭ valor de tendencia estimado a partir del mismo punto de la serie de tiempo

La tabla 15-8 muestra los cálculos del residuo cíclico relativo para el problema de la cooperativa degranjeros. Observe que la forma fácil de calcular el residuo cíclico relativo (columna 5) consiste enrestar 100 del porcentaje de tendencia (columna 4).

Estas dos medidas de variación cíclica, porcentaje de tendencia y residuo cíclico relativo, son por-centajes de la tendencia. Por ejemplo, en 1993, el porcentaje de tendencia indicaba que la cosecha

real fue del 98.8% de la cosecha esperada para ese año. Para el mismo año, el residuo cíclico relati-vo indicó que la cosecha real estaba 1.2% por debajo de la cosecha esperada (un residuo cíclico re-lativo de Ϫ1.2).

A menudo, graficamos la variación cíclica como el porcentaje de tendencia. En la figura 15-6 seilustra cómo este proceso elimina la línea de tendencia y aísla la componente cíclica de la serie de

Gráfica de lavariación cíclica

Comparación de dosmedidas de variación

cíclica

Residuo cíclico relativo

ϫ 100 [15-9]Y Ϫ Y ˆᎏ

Y ˆ

7.4

7.6

7.8

8.0

8.2

8.4

8.6

8.8

9.0

9.2

199619951994199319921991199019891988

Fluctuaciones cíclicas arribade la línea de tendencia

Gráfica de puntosreales (Y )

Fluctuaciones cíclicasabajo de la líneade tendencia

Línea de tendencia

(gráfica deY

)

Tiempo

B u s h e l s ( d e c e n a s d e m i l e s )

ˆ

FIGURA 15-5

Fluctuaciones cícli-cas alrededor de lalínea de tendencia

Cálculo del porcentajede tendencia

Tabla 15-7ᎏ

Y

Y

ˆ ᎏ ϫ 100

X Y Bushels reales ˆ Y Bushels estimados Porcentaje de tendencia

Año ( 10,000) ( 10,000)

(1) (2) (3) (4) ϭ ᎏ

(

(

2

3

)

)ᎏ ϫ 100

1988 7.5 7.6 98.71989 7.8 7.8 100.01990 8.2 8.0 102.51991 8.2 8.2 100.0

1992 8.4 8.4 100.01993 8.5 8.6 98.81994 8.7 8.8 98.91995 9.1 9.0 101.1

tiempo. Debe resaltarse que los procedimientos analizados en esta sección pueden usarse sólo para



describir variaciones cíclicas pasadas y no para pronosticar variaciones cíclicas. La predicción de va-riaciones cíclicas requiere usar técnicas que van más allá del alcance de este libro.

FIGURA 15-6

Gráfica del porcen-taje de tendenciaalrededor de lalínea de tendenciapara los datos dela tabla 15-7

Cálculos de los residuos

cíclicos relativos

Tabla 15-8ᎏ

Y

ˆ Y ᎏ ϫ100 ᎏ

Y Ϫ

ˆ Y

ˆ Y ᎏϫ 100

Y Bushels ˆ Y Bushels Porcentaje de Residuo X reales estimados tendencia cíclico

Año ( 10,000) ( 10,000) relativo

(1) (2) (3) (4) ϭ ᎏ

(

(

2

3

)

)ᎏ ϫ 100 (5) ϭ (4) Ϫ 100

1988 7.5 7.6 98.7 Ϫ1.31989 7.8 7.8 100.0 0.01990 8.2 8.0 102.5 2.51991 8.2 8.2 100.0 0.01992 8.4 8.4 100.0 0.0

1993 8.5 8.6 98.8Ϫ

1.21994 8.7 8.8 98.9 Ϫ1.11995 9.1 9.0 101.1 1.1

98.0

98.5

99.0

99.5

100.0

100.5

101.0

101.5

102.0

102.5

103.0

19951994199319921991199019891988

Gráfica del porcentaje de tendencia

Línea detendencia

Tiempo

P o r c e n t a j e d e t e n d e n c i a

Recuerde que la variación crítica es lacomponente de una serie de tiempo que

oscila arriba y abajo de la tendencia li-neal durante periodos mayores que unaño. Advertencia: la variación estacional forma un ciclocompleto dentro de cada año y no afecta a un año más que

a otro. La variación cíclica se mide por dos métodos. El pri-mero expresa la variación como porcentaje de la tendencia,

de ahí su nombre de porcentaje de tendencia. El segundométodo (el residuo cíclico relativo) calcula la variación co-mo porcentaje de desviación desde la tendencia.

SUGERENCIAS

Y

SUPOSICIONES

Ejercicios 15.4

Ejercicios de autoevaluación

EA 15-3 La Western Natural Gas Company ha surtido 18, 20, 21, 25 y 26 mil millones de pies cúbicos de gas, res-pectivamente, en los años 1991 a 1995.

a) Encuentre la ecuación lineal de estimación que mejor describa estos datos.



b) Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos.c) Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos.d) ¿En qué años se presentó la mayor fluctuación en la tendencia? ¿Es ésta la misma para ambos mé-

todos?

Aplicaciones■ 15-20 La compañía de computación Microprocessing, especializada en ingeniería de software, ha recolectado

los siguientes registros de rendimientos para el periodo de 1989 a 1995.

Año 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995Recuperación (cientos de miles de dólares) 1.1 1.5 1.9 2.1 2.4 2.9 3.5

La ecuación de segundo grado que mejor describe la tendencia secular para estos datos es:

Y ˆ ϭ 2.119 ϩ 0.375 x ϩ 0.020 x2

, donde 1992 ϭ 0, y la unidad de x ϭ 1 añoa) Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos.b) Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos.c) Grafique el porcentaje de tendencia del inciso a).d) ¿En qué año se presentó la mayor fluctuación en la tendencia? ¿Es ésta la misma para ambos métodos?

■ 15-21 La tienda departamental BullsEye ha expandido su participación en el mercado durante los últimos 7 años,con las siguientes ventas brutas en millones de dólares:

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996Ventas 14.8 20.7 24.6 32.9 37.8 47.6 51.7

a) Encuentre la ecuación lineal de estimación que mejor describa estos datos.b) Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos.c) Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos.d) ¿En qué años ocurre la mayor fluctuación desde la tendencia y es la misma para ambos métodos?

■ 15-22 Joe Honeg, gerente de ventas responsable de la división de aparatos electrodomésticos de una gran com-pañía de productos de consumo, ha recogido los siguientes datos correspondientes a las ventas unitarias

de su división durante los últimos cinco años:Año 1991 1992 1993 1994 1995

Unidades (decenas de miles) 32 46 50 66 68

La ecuación que describe la tendencia secular para las ventas de aparatos electrodomésticos es

Y ˆ ϭ 52.4 ϩ 9.2 x, en la que 1993 ϭ 0, y la unidad de x ϭ 1 año

a) Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos.b) Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos.

c) Grafique el porcentaje de tendencia del inciso a).d) ¿En qué año ocurrió la mayor fluctuación en la tendencia? ¿Es la misma para ambos métodos?

■ 15-23 Suponga que es el administrador principal de presupuesto de una pequeña empresa cuyos requerimientosde financiamiento durante los últimos años fueron:

Año 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995Millones de dólares requeridos 2.2 2.1 2.4 2.6 2.7 2.9 2.8

La ecuación de tendencia que mejor describe los datos es

Y ˆ ϭ 2.53 ϩ 0.13 x, donde 1992 ϭ 0, y la unidad de x ϭ 1 año

a) Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos.b) Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos.c) ¿En qué año se presentó la mayor fluctuación en la tendencia? ¿Es ésta la misma para ambos métodos?d) Como administrador principal, ¿qué significaría esta fluctuación para usted y para las actividades que

realiza?■ 15-24 La Parallel Breakfast Foods tiene datos correspondientes al número de cajas de cereal que ha vendido en

Año 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995C j (d d il ) 21 0 19 4 22 6 28 2 30 4 24 0 25 0



Cajas (decenas de miles) 21.0 19.4 22.6 28.2 30.4 24.0 25.0

a) Encuentre la ecuación de estimación lineal que mejor describa los datos.b) Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos.c) Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos.d) ¿En qué año ocurrió la mayor fluctuación de la tendencia con cada medida de la variación cíclica? ¿Es

este año el mismo para ambas medidas? Explique su respuesta.■ 15-25 Wombat Airlines, una aerolínea australiana, ha reunido datos sobre el número de pasajeros que han vola-

do en sus aeronaves durante cada los últimos 5 años:

Año 1991 1992 1993 1994 1995Pasajeros (en decenas de miles) 3.5 4.2 3.9 3.8 3.6

a) Encuentre la ecuación lineal de estimación que mejor describa los datos.b) Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos.c) Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos.

d) Con base en los datos y en los cálculos anteriores, dé un resumen de una oración acerca de la posi-ción en que se encuentra la Wombat Airlines.

Soluciones a los ejercicios de autoevaluación

EA 15-3 Año x Y xY x 2 ˆ Y ᎏ

Y

ˆ Y ᎏϫ 100 ᎏ

Y Ϫ

ˆ Y

ˆ Y ᎏϫ 100

1991 Ϫ2 18 Ϫ36 4 17.8 101.12 1.12

1992 Ϫ1 20 Ϫ20 1 19.9 100.50 0.501993 0 21 0 0 22.0 95.45 Ϫ4.551994 1 25 25 1 24.1 103.73 3.731995 02 026 052 04 26.2 99.24 Ϫ0.76

0 110 21 10

a) a ϭ Y ෆ ϭᎏ1150ᎏϭ 22 b ϭᎏ

⌺

⌺

x

x

Y 2ᎏϭ ᎏ

2110ᎏϭ 2.1

Y ˆ ϭ 22 ϩ 2.1 x (donde 1993 ϭ 0 y unidad de x ϭ 1 año)

b) Vea en la penúltima columna de la tabla el porcentaje de tendencia.c) Vea en la última columna de la tabla el residuo cíclico relativo.d) La fluctuación más grande (por ambos métodos) fue en 1993.

15.5 Variación estacionalAdemás de la tendencia secular y de la variación cíclica, una serie de tiempo incluye la variación es-

tacional. Este tipo de variación se define como un movimiento repetitivo y predecible alrededor dela línea de tendencia en un año o menos. Con el fin de detectar la variación estacional, los interva-los de tiempo necesitan medirse en unidades pequeñas, como días, semanas, meses o trimestres.

Tenemos tres razones principales para el estudio de la variación estacional:

1. Podemos establecer el patrón de cambios pasados. Proporciona una forma de comparar dosintervalos de tiempo que de otro modo serían bastante disímiles. Si una escuela de capacita-ción de pilotos desea saber si una depresión en los negocios durante el mes de diciembre es

normal, puede examinar el patrón estacional en los años anteriores y encontrar la informaciónque necesita.

2. Es útil proyectar los patrones pasados al futuro. En el caso de decisiones de largo alcance,el análisis de tendencia secular puede resultar adecuado. Pero para decisiones a corto plazo, lahabilidad de pronosticar fluctuaciones estacionales a menudo es esencial. Considere una cade-na de venta de alimentos al mayoreo que desea mantener una existencia mínima adecuada en

Tres razones para elestudio de la varia-ción estacional

Definición de varia-

ción estacional

todos sus productos. La habilidad de pronosticar patrones de corto plazo, como la demanda deid d d l l d l i d il l d i i i



pavo en Navidad, dulces el Día del Niño o duraznos en verano, es útil para la administraciónde la cadena.

3. Una vez establecido el patrón estacional existente, podemos eliminar sus efectos de la se-

rie de tiempo. Este ajuste nos permite calcular la variación cíclica que se lleva a cabo cada año.Cuando eliminamos el efecto de la variación estacional de una serie de tiempo, hemos deses-

tacionalizado la serie.

Método de razón de promedio móvilCon el fin de medir la variación estacional, es común usar el método de razón de promedio móvil.Esta técnica proporciona un índice que describe el grado de variación estacional. El índice está ba-sado en una media de 100, con el grado de estacionalidad medido por las variaciones respecto a labase. Por ejemplo, si examinamos la estacionalidad de la renta de canoas en un hotel de veraneo, po-

dríamos encontrar que el índice del trimestre de primavera es 142. El valor 142 indica que el 142%de las rentas trimestrales promedio ocurre en primavera. Si la administración registró 2,000 rentas decanoas durante todo el año anterior, entonces la renta promedio por trimestre será 2,000/4 ϭ 500.Como el índice del trimestre de primavera es 142, estimamos el número de alquileres de canoas dela forma siguiente:

⏐⏐↓

500 ϫᎏ1

1

4

0

2

0ᎏϭ 710 ⎯⎯⎯→ ←⎯⎯⎯

El ejemplo con que abrimos el capítulo puede ilustrar el método de razón de promedio móvil. Elhotel de veraneo desea establecer el patrón estacional de demanda de cuartos por parte de susclientes. La administración desea mejorar el servicio al cliente y está considerando varios planes de

contratación de personal durante los periodos pico. La tabla 15-9 presenta la ocupación por trimes-tre, es decir, el número promedio de huéspedes durante cada trimestre de los últimos cinco años.Nos referiremos a la tabla 15-9 para exponer los seis pasos requeridos para el cálculo de un índi-

ce estacional.

1. El primer paso en el cálculo de un índice estacional consiste en calcular el total móvil de

4 trimestres para la serie de tiempo. Para hacerlo, calculamos el total de los valores para lostrimestres durante el primer año, 1991 en la tabla 15-9: 1,861 ϩ 2,203 ϩ 2,415 ϩ 1,908 ϭ

8,387. Un total móvil se asocia con el dato que ocupa el lugar medio del conjunto de valoresdel cual fue calculado. Como nuestro primer total de 8,387 se calculó a partir de cuatro datos,lo colocamos frente al punto medio de esos trimestres, de modo que queda en la columna 4 dela tabla 15- 10, entre los renglones 1991-II y 1991-III.

1. Encontramos el siguiente total móvil eliminando el valor de 1991-I, 1,861, y agregando elde 1992-I, 1,921. Al eliminar el primer valor y agregar el quinto, nos quedamos con cuatro trimes-tres en el total. Los cuatro valores sumados ahora son 2,203 ϩ 2,415 ϩ 1,908 ϩ 1,921 ϭ 8,447.

Paso 1: Calcule eltotal móvil de 4trimestres

Un ejemplo delmétodo de razón depromedio móvil

Uso del método derazón de promediomóvil para medir lavariación estacional

Renta estacionalizada

del trimestre de primavera

Índice del trimestre de primavera

Rentas promedio por trimestre

Serie de tiempo para laocupación del hotel

Tabla 15-9 Número de huéspedes por trimestreAño I II III IV

1991 1,861 2,203 2,415 1,9081992 1,921 2,343 2,514 1,9861993 1,834 2,154 2,098 1,7991994 1,837 2,025 2,304 1,965

Este total se coloca en la tabla 15-10 justo debajo del primer total trimestral, 8,347. Continua-mos con este procedimiento de “deslizar” el total de 4 trimestres por la serie de tiempo hasta



mos con este procedimiento de deslizar el total de 4 trimestres por la serie de tiempo hastaincluir el último valor de la serie. En el ejemplo, corresponde a las 1,967 habitaciones del cuar-to trimestre de 1995, el último número de la columna 3 de la tabla. El último elemento de la co-lumna de totales móviles es 8,793. Se encuentra entre los renglones de los trimestres 1995-II y1995-III, ya que se calculó con los datos de los 4 trimestres de 1995.

2. En el segundo paso, calculamos el promedio móvil de los 4 trimestres, dividiendo entre 4

cada uno de los totales. En la tabla 15-10, dividimos entre 4 los valores que se encuentran enla columna 4, para obtener los valores de la columna 5.

3. En el tercer paso, centramos el promedio móvil de 4 trimestres. Los promedios móviles dela columna 5 caen a la mitad de los trimestres. Tal vez sería mejor tener promedios móviles aso-ciados a cada trimestre. Con el fin de centrar nuestros promedios móviles, asociamos a cadatrimestre el promedio de los dos promedios móviles de 4 trimestres que caen justo arriba y aba-

jo de éste. Para el trimestre 1991-III, el promedio móvil centrado de 4 trimestres resultantees 2,104.25, es decir (2,096.75 ϩ 2,111.75)/2. Los otros elementos de la columna 6 se calculande la misma forma. En la figura 15-7 se ilustra cómo el promedio móvil suaviza los picos y losvalles de la serie de tiempo original. Las componentes estacional e irregular se suavizaron, y lalínea punteada resultante, representa las componentes cíclicas y de tendencia de la serie.

Paso 3: Centre elpromedio móvil de4 trimestres

Paso 2: Calcule elpromedio móvil delos 4 trimestres

Cálculo del promediomóvil centrado de 4 tri-mestres

Tabla 15-10 Paso 4:Porcentaje

Paso 3: del valorPaso 1: Paso 2: Promedio real respectoTotal Promedio móvil al promedio

móvil de móvil de los centrado de móvilAño Trimestre Ocupación 4 trimestres 4 trimestres 4 trimestres(1) (2) (3) (4) (5) ϭ (4) Ϭ 4 (6) (7) ϭ ᎏ

(

(

3

6

)

)ᎏ ϫ 100

1991 I 1,861

II 2,203III 2,415 8,387 2,096.75 2,104.250 114.8IV 1,908

8,447 2,111.752,129.250 89.6

1992 I 1,9218,587 2,146.75

2,159.125 89.0II 2,343

8,686 2,171.502,181.250 107.4

III 2,5148,764 2,191.00

2,180.125 115.3IV 1,986

8,677 2,169.252,145.625 92.6

1993 I 1,834 8,488 2,122.00 2,070.000 88.6II 2,154

8,072 2,018.001,994.625 108.0

III 2,0987,885 1,971.25

1,971.625 106.4IV 1,799

7,888 1,972.001,955.875 92.0

1994 I 1,8377,759 1,939.75

1,965.500 93.5II 2,025

7,965 1,991.252,012.000 100.6

III 2,3048,131 2,032.75

2,062.250 111.7

IV 1,965

8,367 2,091.75

2,140.375 91.8

1995 I 2,0738,756 2,189.00

2,193.375 94.5II 2,414

8,791 2,197.752,198.000 109.8

III 2,3398,793 2,198.25

IV 1,967

3. Suponga que trabajamos con los datos de admisión de la sala de urgencias de un hospital,y deseamos calcular los índices diarios En los pasos 1 y 2 calculamos los totales móviles y los

Algunas veces, es po-sible omitir el paso 3



y deseamos calcular los índices diarios. En los pasos 1 y 2, calculamos los totales móviles y lospromedios móviles de 7 días, y los promedios móviles ya quedan centrados (debido a que elpunto medio de un periodo de 7 días es el cuarto día). En este caso, el paso 3 no es necesario.Siempre que el número de periodos para los cuales queremos obtener índices sea impar (7 díasen una semana, 3 turnos en un día), podemos omitir el paso 3. Sin embargo, cuando el número

de periodos es par (4 trimestres, 12 meses, 24 horas), entonces debemos seguir el paso 3 paracentrar los promedios móviles obtenidos en el paso 2.4. Enseguida, calculamos el porcentaje del valor real con respecto al valor del promedio mó-

vil para cada trimestre de la serie de tiempo que tenga un elemento de promedio móvil de

4 trimestres. Este paso nos permite recuperar la componente estacional para los trimestres.Determinamos este porcentaje dividiendo cada uno de los valores trimestrales reales de lacolumna 3 de la tabla 15-10 entre los valores correspondientes del promedio móvil centrado de4 trimestres que se encuentran en la columna 6, y luego multiplicamos el resultado por 100. Por

ejemplo, encontramos que el porcentaje correspondiente a 1991-III es:

ϫ 100 ϭ ϫ 100

ϭ 114.8

5. Para reunir todos los porcentajes de los valores reales respecto a los valores del promedio

móvil de la columna 7 de la tabla 15-10, organícelos por trimestre. Luego calcule la media

modificada para cada trimestre. Esta media modificada se calcula descartando los valores másalto y más bajo de cada trimestre y promediando los valores restantes. La tabla 15-11 presentael quinto paso y el proceso para encontrar la media modificada.

3. Los valores estacionales recuperados de los trimestres, datos en la columna 7 de la tabla15-10, todavía contienen las componentes cíclica e irregular de la variación de la serie de tiem-po. Al eliminar los valores más alto y más bajo de cada trimestre, reducimos las variaciones cí-clica e irregular extremas. Cuando promediamos los valores restantes, suavizamos todavía másestas componentes. Las variaciones cíclica e irregular tienden a ser eliminadas mediante este

proceso, de modo que la media modificada es un índice de la componente estacional. (Algunosestadísticos prefieren utilizar la mediana en lugar de calcular la media modificada para obtenerel mismo resultado.)

Reducción de varia-ciones cíclica e irre-gular extremas

Paso 5: Reúna lasrepuestas del paso4 y calcule lamedida modificada

2,415ᎏᎏ

2,104.250

Realᎏᎏ

Promedio móvil

Paso 4: Calcule elporcentaje del valorreal respecto al valordel promedio móvil

sible omitir el paso 3

1,700

1,800

1,900

2,000

2,100

2,200

2,300

2,400

2,500

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV

O c u p a n t e s p o r t r i m e s t r e

1991 1992 1993 1994 1995 1996

Serie de tiempo original

2,198

Promedio móvil centrado delcuarto trimestre (columna6 de la tabla 15-10)

FIGURA 15-7

Uso de un prome-dio móvil parasuavizar la serie de

6. El paso final que se muestra en la tabla 15-12 es un ligero ajuste de la media modificada.

Note que los cuatro índices de la tabla 15-11 dan un total de 404.1. Sin embargo, la base de unPaso 6: Ajuste lamedia modificada



Note que los cuatro índices de la tabla 15 11 dan un total de 404.1. Sin embargo, la base de uníndice es 100. Entonces, los cuatro índices trimestrales deben dar un total de 400 y su media debeser 100. Para corregir este error, multiplicamos cada uno de los índices trimestrales de la tabla15-11 por una constante de ajuste. Este número se encuentra dividiendo la suma deseada de losíndices (400) entre la suma real (404.1). En este caso, el resultado es 0.9899. En la tabla 15-12se ve que multiplicar los índices por la constante de ajuste hace que den un total de 400. (Enocasiones, incluso después de haber hecho este ajuste, la media de los índices estacionales noes exactamente 100, debido a los errores de redondeo acumulados. Sin embargo, en este casola media es exactamente 100.)

Procedimiento seguidoen el paso 5 para calcu-

lar un índice estacional*

Tabla 15-11 Año Trimestre I Trimestre II Trimestre III Trimestre IV

1991 — — 114.8 89.6

1992 89.0 107.4 115.3 92.6

1993 88.6 108.0 106.4 92.01994 93.5 100.6 111.7 91.8

1995 094.5 109.8 .0— 0 .0— 0

182.5 215.4 226.5 183.8

Media modificada:

Trimestre I: ᎏ18

2

2.5ᎏϭ 91.25

Trimestre II: ᎏ2125.4ᎏϭ 107.70

Trimestre III: ᎏ22

2

6.5ᎏϭ 113.25

Trimestre IV: ᎏ18

2

3.8ᎏϭ 91.90

Total de índices ϭ 404.1

Procedimiento parael paso 6

Tabla 15-12 Trimestre Índices desajustados Constante de ajuste ϭ Índice estacional

I 91.25 0.9899 ϭ 90.3

II 107.70 0.9899 ϭ 106.6

III 113.25 0.9899 ϭ 112.1

IV 91.90 0.9899 ϭ ,091.0

Total de los índices estacionales ϭ 400.0

Media de los índices ϭᎏ40

4

0ᎏ

ϭ 100.0

Usos del índice estacional

El método de razón del promedio móvil que acabamos de estudiar, nos permite identificar la varia-ción estacional de una serie de tiempo. Los índices estacionales se utilizan para eliminar los efectosde estacionalidad de una serie de tiempo. A este proceso se le denomina desestacionalización de unaserie de tiempo. Antes de poder identificar la componente de tendencia o la cíclica de una serie detiempo, es necesario eliminar la variación estacional. Para desestacionalizar una serie de tiempo, di-

Desestacionalizaciónde una serie detiempo

*Los valores eliminados están tachados con una diagonal.



Primavera Verano Otoño Invierno

1992 87 106 86 125



1992 87 106 86 125

1993 85 110 83 1271994 84 105 87 1281995 88 104 88 124

Aplicaciones■ 15-26 El dueño de la empresa The Pleasure-Glide Boat ha recopilado las siguientes cifras trimestrales del nivel

de cuentas por cobrar durante los últimos 5 años (miles de dólares):


1991 102 120 90 781992 110 126 95 831993 111 128 97 861994 115 135 103 911995 122 144 110 98

a) Calcule un promedio móvil centrado de 4 trimestres.b) Encuentre el porcentaje de valores reales respecto al promedio móvil para cada periodo.c) Determine los índices estacionales y los índices estacionales modificados.

■ 15-27 Marie Wiggs, directora de personal de una compañía farmacéutica registró las siguientes tasas de ausen-tismo porcentual para cada trimestre de un periodo de 4 años:

Primavera Verano Otoño Invierno1992 5.6 6.8 6.3 5.21993 5.7 6.7 6.4 5.41994 5.3 6.6 6.1 5.11995 5.4 6.9 6.2 5.3

a) Elabore un promedio móvil centrado de 4 trimestres y grafíquelo junto con los datos originales.b) ¿Qué puede concluir acerca del ausentismo en el inciso a)?

■ 15-28 Utilice los siguientes porcentajes de promedios reales respecto a los promedios móviles que describen las

ventas estacionales de artículos deportivos en un periodo de 5 años, para calcular el índice estacional decada estación.

Año Béisbol Fútbol Básquetbol Jockey

1992 96 128 116 771993 92 131 125 691994 84 113 117 84

1995 97 118 126 89

1996 91 121 124 81■ 15-29 Un fabricante importante de resortes para automóvil ha determinado los siguientes porcentajes de prome-

dio real respecto al promedio móvil que describen las necesidades trimestrales de dinero en efectivo de lacompañía para los 6 años anteriores:


1990 108 128 94 701991 112 132 88 68

1992 109 134 84 731993 110 131 90 691994 108 135 89 681995 106 129 93 72

Calcule el índice estacional para cada trimestre. Comente su comparación con los índices que calculó enel ejercicio 15-26.

■ 15-30 El jefe de admisiones de una universidad ha recabado las siguientes cifras correspondientes a los ingre-sos por trimestre para los 5 años anteriores (cientos):




1991 220 203 193 84

1992 235 208 206 76

1993 236 206 209 731994 241 215 206 92

1995 239 221 213 115

a) Calcule un promedio móvil centrado de 4 trimestres.b) Encuentre el porcentaje del promedio real respecto al promedio móvil para cada periodo.c) Determine los índices estacionales y los índices estacionales modificados.

■ 15-31 El hotel Ski and Putt Resort, una combinación de montañas para esquiar y campo de golf, acaba de tabu-

lar los datos del número de clientes (en miles) que ha tenido durante cada estación en los últimos 5 años.Calcule el índice estacional para cada trimestre. Si el hotel contrata 15 personas en el verano, ¿cuál deberáser el número de empleados en el invierno, suponiendo que ambos deportes tienen iguales requerimien-tos de servicio?


1991 200 300 125 325

1992 175 250 150 375

1993 225 300 200 4501994 200 350 225 375

1995 175 300 200 350

■ 15-32 David Curl Builders recolectó datos trimestrales del número de casas que comenzó a construir durante losúltimos 5 años.


1991 8 10 7 51992 9 10 7 6

1993 10 11 7 6

1994 10 12 8 7

1995 11 13 9 8

a) Calcule el índice estacional para cada trimestre.b) Si las necesidades de capital de trabajo de la constructora tienen una relación directa con el número

de casas, ¿cuánto debe disminuir su capital de trabajo entre verano e invierno?

Solución al ejercicio de autoevaluación

EA 15-4 Año Primavera Verano Otoño Invierno

1992 87 106 86 125

1993 85 110 83 1271994 84 105 87 128

1995 88 104 88 124

Suma modificada 172 211 173 252

Media modificada 86 105.5 86.5 126

Índice estacional 85.15 104.46 85.64 124.75

La suma de las medias modificadas fue 404 de manera que el factor de ajuste fue 400/404 ϭ 0 9901 Los índices estacionales

15.6 Variación irregular



La última componente de una serie de tiempo es la variación irregular. Después de eliminar las varia-ciones de tendencia, cíclica y estacional de una serie de tiempo, todavía queda un factor impredecible.Por lo común, la variación irregular se presenta en intervalos cortos y sigue un patrón aleatorio.

Debido a lo impredecible de la variación irregular, no tenemos la intención de intentar describir-la de manera matemática. Sin embargo, a menudo podemos aislar sus causas. Por ejemplo, la crisis

financiera en la ciudad de Nueva York en 1975 fue un factor irregular que deprimió severamente elmercado de bonos municipales. En 1984, las temperaturas inusualmente bajas que se presentaron afinales de diciembre en los estados sureños de la Unión Americana fueron un factor irregular queaumentó significativamente el consumo de electricidad y de combustibles. La Guerra del Golfo Pér-sico de 1991 fue otro factor irregular que hizo aumentar significativamente el número de viajes poraire y mar durante meses, a medida que se trasladaban tropas y suministros al lugar del conflicto. Sinembargo, no todas las causas de la variación irregular se pueden identificar con tanta facilidad. Unfactor que permite a los administradores manejar la variación irregular es que, con el tiempo, estos

movimientos aleatorios tienden a contrarrestarse entre sí.

Dificultad paramanejar la variaciónirregular

Advertencia: la variación irregular esmuy importante, pero no se explica mate-máticamente. Es “lo que queda” despuésde eliminar la variación por tendencia,

cíclica y estacional de una serie de tiempo. En la mayoríade los casos, es difícil, si no imposible, pronosticar la varia-

ción irregular y nunca se intenta “ajustar una línea” para ex-plicarla. Sugerencia: a menudo se encontrará variación irre-gular reconocida con un pie de página o un comentario enuna gráfica. Ejemplos de esto serían “mercado cerrado porel día del trabajo” o “la Semana Santa cayó en marzo esteaño en lugar de abril”.

SUGERENCIAS

Y

SUPOSICIONES

Ejercicios 15.6

Conceptos básicos

■ 15-33 ¿Por qué no proyectamos la variación irregular al futuro?■ 15-34 ¿Cuáles de los siguientes incisos ilustran variaciones irregulares?

a) Una sequía larga que lleva a aumentar los precios de los alimentos.b) El efecto de la nieve sobre el negocio del esquí.c) Descuento, por única vez, en los impuestos federales para la adquisición de casas nuevas.d) El colapso en los precios del petróleo crudo al inicio de 1986.e) La reducción del uso de energía después del embargo petrolero de 1973.

■ 15-35 Haga una lista de cinco variaciones irregulares en series de tiempo con las que se encuentra como partede su rutina diaria.

■ 15-36 ¿Qué permite a los administradores manejar la variación irregular en las series de tiempo?

15.7 Problema que incluye a las cuatro componentesde una serie de tiempo

Para analizar un problema que involucra las cuatro componentes de una serie de tiempo, veremos elcaso de una compañía que se especializa en la producción de equipo para recreación. Para pronosti-car las ventas con base en sus patrones de ventas históricas, la compañía ha recolectado la informa-ción de la tabla 15-14. El procedimiento para describir esta serie de tiempo consistirá en tres etapas:

1. Desestacionalización de la serie de tiempo2. Desarrollo de la línea de tendencia3 Bú d d l i ió í li l d d d l lí d d i



3. Búsqueda de la variación cíclica alrededor de la línea de tendencia

Como los datos están disponibles por trimestre, primero debemos desestacionalizar la serie de tiem-po. Los pasos para hacerlo se muestran en las tablas 15-15 y 15-16. Estos pasos son los mismos queintrodujimos en la sección 15-5.

En la tabla 15-15 se tabularon los primeros cuatro pasos para el cálculo del índice estacional. Enla tabla 15-16 completamos el proceso.

Una vez calculados los índices estacionales trimestrales, podemos encontrar los valores desestacio-nalizados de la serie de tiempo dividiendo las ventas reales (tabla 15-14) entre los índices estacionales.La tabla 15-17 da el cálculo de los valores desestacionalizados de la serie de tiempo.

Paso 1: Cálculo deíndices estacionales

Búsqueda de losvalores desestacio-nalizados

Ventastrimestrales

Tabla 15-14 Ventas por trimestre (decenas de miles de dólares)Año I II III IV

1991 16 21 9 181992 15 20 10 18

1993 17 24 13 221994 17 25 11 211995 18 26 14 25

Cálculo de los primeroscuatro pasos para obte-ner el índice estacional

Tabla 15-15 Paso 4:

PorcentajePaso 2: Paso 3: del valor

Paso 1: Promedio Promedio real respectoTotal móvil de los móvil al promedio

móvil de 4 trimestres centrado de móvilAño Trimestre Ocupación 4 trimestres 4 trimestres(1) (2) (3) (4) (5) ϭ (6) (7) ϭ ᎏ

(

(

3

6

)

)ᎏ ϫ 100

1991 I 16II 21III 9

64 16.0015.875 56.7

IV 1863 15.75

15.625 115.2

1992 I 1562 15.50

15.625 96.0II 20

63 15.7515.750 127.0

III 10

63 15.75

16.000 62.5IV 18 65 16.25 16.750 107.5

1993 I 1769 17.25

17.625 96.5II 24

72 18.0018.500 129.7

III 1376 19.00

19.000 68.4IV 22

76 19.0019.125 115.0

1994 I 1777 19.25

19.000 89.5

II 25 75 18.75 18.625 134.2III 11

74 18.5018.625 59.1

IV 2175 18.75

18.875 111.3

1995 I 1876 19.00

19.375 92.9II 26

79 19.7520.250 128.4

III 1483 20.75

IV 25

(4)ᎏ

4

El segundo paso para describir las componentes de la serie de tiempo consiste en desarrollar lalínea de tendencia. Para ello aplicamos el método de mínimos cuadrados a la serie de tiempo deses-tacionalizada (después de haber traducido la variable estacional) La tabla 15 18 presenta los cálcu

Paso 2: Desarrollo dela línea de tendenciautilizando el método



tacionalizada (después de haber traducido la variable estacional). La tabla 15-18 presenta los cálcu-los necesarios para identificar la componente de tendencia.

Con los valores de la tabla 15-18, podemos encontrar la ecuación de la tendencia. De las ecuacio-nes 15-3 y 15-4, encontramos la pendiente y la ordenada Y de la recta de tendencia de la siguientemanera:

b ϭ [15-3]

ϭ

ϭ 0.16

a ϭ Y ෆ [15-4]

ϭ 18.0La línea de tendencia apropiada se describe utilizando la ecuación de la recta (ecuación 12-3), con

x en lugar de X :Y ˆ ϭ a ϩ bx [12-3]

ϭ 18 ϩ 0.16 x

420.3ᎏ

2,660

⌺ xY ᎏ⌺ x2

Pasos 5 y 6 en el cálculodel índice estacional

Tabla 15-16 Paso 5*

Año I II III IV

1991 — — 56.7 115.2

1992 96.0 127.0 62.5 107.5

1993 96.5 129.7 68.4 115.0

1994 89.5 134.2 59.1 111.3

1995 092.9 128.4 0—0 0—0

Suma modificada ϭ 188.9 258.1 121.6 226.3

Media modificada: Trimestre I:ᎏ1828.9ᎏ

ϭ 94.45

II: ᎏ25

2

8.1ᎏϭ 129.05

III: ᎏ12

2

1.6ᎏϭ 60.80

IV: ᎏ22

2

6.3ᎏϭ 113.15

397.45

Paso 6†

Factor de ajuste ϭᎏ39

4

7

0

.

0

45ᎏ = 1.0064

Trimestre Índices Factor de ajuste ϭ Suma de índices

I 94.45 1.0064 ϭ 95.1

II 129.05 1.0064 ϭ 129.9

III 60.80 1.0064 ϭ 61.2

IV 113.15 1.0064 ϭ 113.9

Suma de índices estacionales ϭ 400.1

* Ordene los porcentajes de la columna 7, tabla 15-15, por trimestre y encuentre la media modificada.** Corrección de los índices del paso 5.

de mínimos cuadrados

Se han identificado las componentes estacional y de tendencia de la serie de tiempo. A continua-ción, encontraremos la variación cíclica alrededor de la línea de tendencia. Esta componente se iden-tifica midiendo la variación desestacionalizada alrededor de la línea de tendencia En este problema

Paso 3: Búsqueda dela variación cíclica



tifica midiendo la variación desestacionalizada alrededor de la línea de tendencia. En este problema,calcularemos la variación cíclica en la tabla 15-19, usando el método de residuos.

Si suponemos que la variación irregular es, en general, de corto plazo y relativamente insignifi-cante, hemos descrito por completo la serie de tiempo de este problema utilizando las componentes

de tendencia, estacional y cíclica. En la figura 15-8 ilustramos la serie de tiempo original, su prome-dio móvil (que contiene tanto la componente de tendencia como la cíclica) y la línea de tendencia.Ahora, suponga que la administración del complejo de veraneo que hemos usado como ejemplo

desea estimar el volumen de ventas para el tercer trimestre de 1996. ¿Qué debe hacer la administra-ción?

1. Debe determinarse el valor desestacionalizado de las ventas del tercer trimestre de 1996,mediante la ecuación de tendencia, Y ˆ ϭ 18 ϩ 0.16 x. Esto requiere la codificación del tiempo,

1996-III. Ese trimestre (1996-III) es tres trimestres después de 1995-IV que, como se ve en latabla 15-18, tiene un valor de tiempo codificado de 19. Sumando 2 por cada trimestre, la admi-nistración encuentra que x ϭ 19 ϩ 2(3) ϭ 25. Sustituyendo este valor ( x ϭ 25) en la ecuaciónde tendencia se produce el siguiente resultado:

Y ˆ ϭ a ϩ bx

ϭ 18 ϩ 0.16(25)

ϭ 18 ϩ 4ϭ 22

Así, la estimación de ventas desestacionalizada para 1993-III es $220,000. Este punto se señalasobre la línea de tendencia en la figura 15-8.

Paso 1: Determina-ción del valor deses-

tacionalizado de lasventas para el perio-do deseado

Predicciones utili-zando una serie detiempo

Suposiciones acercade la variaciónirregular

Cálculo de los valoresdesestacionalizados dela serie de tiempo

Tabla 15-17Año Trimestre Ventas reales Ventas desestacionalizadas(1) (2) (3) (4) (5) ϭ (3) Ϭ (4)

1991 I 16 0.951 16.8II 21 1.299 16.2III 9 0.612 14.7IV 18 1.139 15.8

1992 I 15 0.951 15.8II 20 1.299 15.4III 10 0.612 16.3IV 18 1.139 15.8

1993 I 17 0.951 17.9II 24 1.299 18.5III 13 0.612 21.2IV 22 1.139 19.3

1994 I 17 0.951 17.9II 25 1.299 19.2III 11 0.612 18.0IV 21 1.139 18.4

1995 I 18 0.951 18.9II 26 1.299 20.0III 14 0.612 22.9IV 25 1 139 21 9

Índice estacionalᎏᎏᎏ

100

Identificación de

Tabla 15-18 Y Ventas

desestacionalizadas (1/2 x )

(columna 5 de la tabla Traducción o



2. Ahora la administración debe estacionalizar esta estimación multiplicándola por el índice esta-cional correspondiente al tercer trimestre, expresado como una fracción de 100:

⏐⏐↓

22 ϫ ᎏ6

1

1

0

.

0

2ᎏ ϭ 13.5 ⎯⎯⎯→ ←⎯⎯⎯

Con base en este análisis, la compañía estima que las ventas para el trimestre 1996-III serán de$135,000. Debemos aclarar, sin embargo, que este valor es solamente una estimación y no toma encuenta las componentes cíclica e irregular. Como hicimos notar, la variación irregular no se puedepronosticar matemáticamente. Recuerde también que el manejo de la variación cíclica fue meramen-te una descripción del comportamiento pasado y no un pronóstico del comportamiento futuro.

Precaución al utilizarla predicción

Paso 2: Estacionaliza-

ción de la estimacióninicial

Identificación dela componentede tendencia

(columna 5 de la tabla Traducción o

15-17) (decenas de codificación de laAño Trimestre miles de dólares) variable estacional x xY x

2

(1) (2) (3) (4) (5) ϭ (4) 2 (6) ϭ (5) (3) (7) ϭ (5)2

1991 I 16.8 Ϫ91

/2 Ϫ19 Ϫ319.2 361II 16.2 Ϫ8 1/2 Ϫ17 Ϫ275.4 289III 14.7 Ϫ7 1/2 Ϫ15 Ϫ220.5 225IV 15.8 Ϫ6 1/2 Ϫ13 Ϫ205.4 169

1992 I 15.8 Ϫ5 1/2 Ϫ11 Ϫ173.8 121II 15.4 Ϫ4 1/2 Ϫ 9 Ϫ138.6 81III 16.3 Ϫ3 1/2 Ϫ 7 Ϫ114.1 49IV 15.8 Ϫ2 1/2 Ϫ 5 Ϫ79.0 25

1993 I 17.9 Ϫ11

/2 Ϫ 3 Ϫ53.7 9II 18.5 Ϫ

1/2 Ϫ 1 Ϫ18.5 1Media 0*

III 21.2 1/2 1 21.2 1IV 19.3 1 1/2 3 57.9 9

1994 I 17.9 2 1/2 5 89.5 25II 19.2 3 1/2 7 134.4 49III 18.0 4 1/2 9 162.0 81IV 18.4 5 1/2 11 202.4 121

1995 I 18.9 6 1/2 13 245.7 169II 20.0 7 1/2 15 300.0 225III 22.9 8 1/2 17 389.3 289IV 21.9 9 1/2 19 0000000416.1 00000000361

⌺Y ϭ 360.9 ⌺ xY ϭ 420.3 ⌺ x 2

ϭ 2,660

Y ˆ ϭ ᎏ

⌺

n

Y ᎏ

Yϭᎏ36

200.9ᎏ

Y ϭ 18.0

*Asignamos la media de cero al valor en la mitad de los datos (1993-II 1/2) y luego medimos el tiempo traducido, x , por medios trimestres, debido aque tenemos un número par de periodos.

Estimación estacionalizada

Índice estacional para el trimestre III tomado del paso 6 de la tabla 15-16

Estimación de tendencia obte-nida con la ecuación 12-3

Tabla 15-19

Identificación de la

Y

Ventas ᎏ

Y

Y ˆ ᎏ ϫ 100

d t i li d



Identificación de lavariación cíclica

*El valor apropiado de x en esta ecuación se obtiene de la columna 5 de la tabla 15-18.

desestacionalizadas(columna 5,

Año Trimestre tabla 15-17) a ϩ bx ϭ Y ˆ * (15) ϭ ᎏ

(

(

3

4

)

)ᎏ ϫ 100

(1) (2) (3) (4)

1991 I 16.8 18 ϩ 0.16 (Ϫ19) ϭ 14.96 112.3II 16.2 18 ϩ 0.16 (Ϫ17) ϭ 15.28 106.0III 14.7 18 ϩ 0.16 (Ϫ15) ϭ 15.60 94.2IV 15.8 18 ϩ 0.16 (Ϫ13) ϭ 15.92 99.2

1992 I 15.8 18 ϩ 0.16 (Ϫ11) ϭ 16.24 97.3II 15.4 18 ϩ 0.16 ( Ϫ9) ϭ 16.56 93.0III 16.3 18 ϩ 0.16 ( Ϫ7) ϭ 16.88 96.6

IV 15.8 18 ϩ 0.16 ( Ϫ5) ϭ 17.20 91.9

1993 I 17.9 18 ϩ 0.16 ( Ϫ3) ϭ 17.52 102.2II 18.5 18 ϩ 0.16 ( Ϫ1) ϭ 17.84 103.7III 21.2 18 ϩ 0.16 ( 1) ϭ 18.16 116.7IV 19.3 18 ϩ 0.16 ( 3) ϭ 18.48 104.4

1994 I 17.9 18 ϩ 0.16 ( 5) ϭ 18.80 95.2II 19.2 18 ϩ 0.16 ( 7) ϭ 19.12 100.4

III 18.0 18 ϩ 0.16 ( 9) ϭ 19.44 92.6IV 18.4 18 ϩ 0.16 ( 11) ϭ 19.76 93.1

1995 I 18.9 18 ϩ 0.16 ( 13) ϭ 20.08 94.1II 20.0 18 ϩ 0.16 ( 15) ϭ 20.40 98.0III 22.9 18 ϩ 0.16 ( 17) ϭ 20.72 110.5IV 21.9 18 ϩ 0.16 ( 19) ϭ 21.04 104.1

Porcentaje de tendencia

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

2223

24

25

26

IVIIIIIIIVIIIIIIIVIIIIIIIVIIIIIIIVIIIIIIIVIIIIII

V e n t a

s ( d e c e n a s d e m i l e s d e d ó l a r e s )

x = 0

Promedio móvil centrado de4 trimestres (componentesde tendencia y cíclica)

Estimación de ventasdesestacionalizadaspara 1996-III ($220,000)

Serie de tiempode la tabla 15-14(las cuatro componentes)

Y = 18 + 0.16x

(sólo la tendencia)

ˆ

FIGURA 15-8

Serie de tiempo,línea de tendenciay promedio móvilcentrado de 4trimestres para losdatos de ventas

Un análisis completo de la serie de tiempointenta explicar la tendencia secular , lavariación cíclica y la variación estacio-

el comportamiento futuro. Sugerencia: la manera correcta deproceder al analizar todas las componentes de una seriede tiempo es primero desestacionalizar la serie de tiempo,

SUGERENCIAS

Y

SUPOSICIONES



Ejercicios 15.7

Ejercicio de autoevaluación

EA 15-5 Una comisión estatal designada para controlar el consumo de energía reunió los siguientes datos corres-pondientes al consumo de gas natural, en millones de pies cuadrados:

Año Invierno Primavera Verano Otoño

1992 293 246 231 2821993 301 252 227 2911994 304 259 239 2961995 306 265 240 300

a) Determine los índices estacionales y desestacionalice estos datos (usando un promedio móvil centra-do de 4 trimestres).

b) Calcule la recta de mínimos cuadrados que mejor describa esos datos.c) Identifique la variación cíclica de los datos con el método del residuo cíclico relativo.d) Represente gráficamente los datos originales, los datos desestacionalizados y la tendencia.

Aplicaciones

15-37 Una agencia de ecología ha observado la calidad del aire en Nueva York durante 5 años y ha reunido lossiguientes datos estacionales respecto a los contaminantes (en partes por millón) en el aire.


1992 452 385 330 3851993 474 397 356 3991994 494 409 375 4151995 506 429 398 4371996 527 454 421 482

a) Determine los índices estacionales y desestacionalice estos datos (usando un promedio móvil centra-do de 4 trimestres).

b) Calcule la recta de mínimos cuadrados que mejor describa estos datos.

c) Identifique la variación cíclica en estos datos con el método de residuos cíclicos relativos.d) Grafique los datos originales, los datos desestacionalizados y la tendencia.

■ 15-38 Los siguientes datos describen el desempeño de comercialización de un productor regional de cerveza:

Ventas por trimestre (cientos de miles de dólares)

Año I II III IV

1991 19 24 38 251992 21 28 44 231993 23 31 41 23

1994 24 35 48 21

a) Calcule los índices estacionales para estos datos. (Utilice un promedio móvil centrado de 4 trimestres.)b) Desestacionalice estos datos utilizando los índices del inciso a).

variación cíclica y la variación estacio

nal. Lo que queda es la variación irregu-

lar . Advertencia: aun el mejor análisis de series de tiempodescribe el comportamiento anterior y puede no pronosticar

de tiempo es primero desestacionalizar la serie de tiempo,después encontrar la línea de tendencia, luego calcular la va-riación alrededor de la línea de tendencia y, por último,identificar la variación irregular en lo que queda.

SUPOSICIONES

■ 15-39 Para el ejercicio 15-38:a) Encuentre la recta de mínimos cuadrados que mejor describa la tendencia en las ventas desestaciona-

lizadas de cerveza.b) Id ifi l í li i d i l l d l j d d i



b) Identifique la componente cíclica en esta serie de tiempo calculando el porcentaje de tendencia.

Solución al ejercicio de autoevaluación

EA 15-5 a) Uso Promedio Promedio Porcentaje de promedio Usoreal de móvil 4 móvil real respecto al Índice desesta-

Año Trimestre gasolina trimestres centrado promedio móvil estacional cionalizado

1992 Invierno 293 111.66 262.4037Primavera 246

263.00094.39 260.6208

Verano 231265.00

264.000 087.50 086.82 266.0677Otoño 282

266.50265.750 106.11 107.13 263.2316

1993 Invierno 301 265.50 266.000 113.16 111.66 269.5683Primavera 252267.75

266.625 094.51 094.39 266.9774Verano 227

268.50268.125 084.66 086.82 261.4605

Otoño 291270.25

269.375 108.03 107.13 271.63261994 Invierno 304

273.25271.750 111.87 111.66 272.2551

Primavera 259274.50

273.875 094.57 094.39 274.3935Verano 239

275.00274.750 086.99 086.82 275.2822

Otoño 296276.50

275.750 107.34 107.13 276.29981995 Invierno 306

276.75

276.625 110.62 111.66 274.0462

Primavera 265 277.75 277.250 095.58 094.39 280.7501Verano 240 086.82 276.4340Otoño 300 107.13 280.0336


1992 87.50 106.111993 113.16 94.51 84.66 108.03

1994 111.87 94.57 86.99 107.34

1995 110.62 95.58Suma modificada 111.87 94.57 86.99 107.34Índice estacional 111.66 94.39 86.82 107.13

La suma de las medias modificadas fue 400.77, de manera que el factor de ajuste 400/400.77 ϭ 0.99808. Los índices es-

tacionales se obtuvieron multiplicando las medias modificadas por este factor.

b, c) Tendencia ResiduoUso desestaciona- cíclico

desesta- lizada relativocionalizado Y

ˆ ϭ 270.7161

Año Trimestre (Y ) x xY x 2

ϩ 0.6301 x ϫ 100

1992 Invierno 262.4037 Ϫ15 Ϫ3936.0555 225 261.2646 Ϫ0.44Primavera 260.6208 Ϫ13 Ϫ3388.0704 169 262.5248 Ϫ0.73Verano 266.0677 Ϫ11 Ϫ2926.7447 121 263.7850 Ϫ0.87Otoño 263.2316 1Ϫ9 Ϫ2369.0844 81 265.0452 Ϫ0.68

1993 Invierno 269.5683 1Ϫ7 Ϫ1886.9781 49 266.3054 Ϫ1.23Primavera 266.9774 1Ϫ5 Ϫ1334.8870 25 267.5656 Ϫ0.22Verano 261.4605 1Ϫ3 Ϫ784.3815 9 268.8258 Ϫ2.74Otoño 271.6326 1Ϫ1 Ϫ271.6326 1 270.0860 Ϫ0.57

1994 Invierno 272.2551 Ϫ11 272.2551 1 271.3462 Ϫ0.33Primavera 274.3935 Ϫ13 823.1805 9 272.6064 Ϫ0.66Verano 275.2822 Ϫ15 1376.4110 25 273.8666 Ϫ0.52Otoño 276.2998 Ϫ17 1934.0986 49 275.1268 Ϫ0.43

Y Ϫ Y ˆ ᎏ

Y ˆ

Tendencia ResiduoUso desestaciona- cíclico

desesta- lizada relativocionalizado Y

ˆ ϭ 270 7161Y Y



cionalizado Y 270.7161Año Trimestre (Y ) x xY x

2ϩ 0.6301 x

ϫ 100

1995 Invierno 274.0462 9 2466.4158 81 276.3870 Ϫ0.85Primavera 280.7501 11 3088.2511 121 277.6472 Ϫ1.12Verano 276.4340 13 3593.6420 00169 278.9074 Ϫ0.89Otoño 280.0336 15 4200.5040 0,225 280.1676 Ϫ0.05

4,331.4571 0 856.9239 1,360

a ϭ Y ෆ ϭ ϭ 270.7161 b ϭ ϭ ϭ 0.6301

Y ϭ 270.7161 ϩ 0.6301x (donde 1993-IV 1 / 2 ϭ 0 y unidad de xϭ1 / 2 trimestre)

d)

856.9239ᎏ

1,360⌺ xY ᎏ

⌺ x24,331.4571ᎏᎏ

16

Y Ϫ Y ᎏ

Y ˆ

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

C o n s u m o d e g a s o l i n a

1992 1993 1994 1995

datos originales datos desestacionali zados•

••

••

• •

•

• •

• • • •

•

••

15.8 Análisis de series de tiempo

en pronósticosEn este capítulo hemos examinado las cuatro componentes de una serie de tiempo. Hemos descritoel proceso de proyectar la tendencia pasada y la variación estacional hacia el futuro, mientras toma-mos en consideración las imprecisiones inherentes de este análisis. Además, hicimos notar que apesar de que las componentes cíclica e irregular afectan el comportamiento, futuro, son factores errá-ticos y difíciles de utilizar para pronosticar.

Debemos estar conscientes de que el enfoque mecánico del análisis de series de tiempo está su-

jeto a errores y cambios considerables. Es necesario que los administradores combinen estos pro-cedimientos sencillos con el conocimiento de otros factores con el fin de desarrollar pronósticos fun-cionales. Los analistas revisan, actualizan y descartan constantemente sus pronósticos. Si deseamosmanejar con éxito el futuro, debemos hacer lo mismo.

Cuando utilizamos los procedimientos descritos en este capítulo, debemos poner especial aten-ción en dos problemas:

Limitaciones delanálisis estacional

1. En pronósticos, proyectamos la tendencia histórica y la variación cíclica al futuro. Debemospreguntarnos “¿qué tan regulares y duraderas fueron las tendencias pasadas?, ¿cuáles son lasposibilidades de que tales patrones estén cambiando?”

2. ¿Qué tan precisos son los datos históricos que utilizamos en el análisis de series de tiempo? Si



2. ¿Qué tan precisos son los datos históricos que utilizamos en el análisis de series de tiempo? Siuna compañía cambió de un sistema de contabilidad de inventario PEPS (primero en entrar, pri-mero en salir) a un sistema UEPS (último en entrar, primero en salir) en un periodo dentro deltiempo que se analiza, los datos (como las ganancias trimestrales) obtenidos antes y después

del cambio no son comparables y tampoco son muy útiles para pronosticar.

Advertencia: los administradores inteli-gentes se dan cuenta de que explicar lamayor parte de la variación en una seriede tiempo de datos históricos no signifi-

ca que este mismo patrón continuará en el futuro. Sugeren-cia: estos mismos administradores inteligentes combinan

todos los pronósticos disponibles de la serie de tiempo con

respuestas intuitivas para ampliar las preguntas de ¿qué pa-sa si...?, que siempre son parte de la planeación estratégica.Estas preguntas se refieren al entorno (sociológico, econó-mico, político) de negocios futuros y si cambiará en formasignificativa el entorno existente cuando se reunieron losdatos de la serie de tiempo.

SUGERENCIAS

Y

SUPOSICIONES

Ejercicios 15.8■ 15-40 Enumere cuatro errores que pueden afectar las predicciones con una serie de tiempo.■ 15-41 Cuando se utiliza una serie de tiempo para pronosticar el futuro, ¿qué garantías necesitamos en los datos

históricos en los que se basan nuestras predicciones?■

15-42 ¿Qué problemas pueden desarrollarse si utilizamos las cifras de inscripciones pasadas a la universidad pa-ra pronosticar las inscripciones futuras?■ 15-43 ¿De qué manera los pronósticos con series de tiempo manejarían cuestiones como las siguientes?

a) Cambios en la ley federal de recaudación de impuestos.b) Cambios en los sistemas de contabilidad.

Loveland ComputersCaso 15: Series de tiempo Lee Azko descansaba en subien ganada fama. El complicado análisis de regresión de losresultados de los gastos de publicidad había dado a SherrelWrigtht más confianza para utilizar el argumento de una me-

jor planeación. Incluso Walter Azko comenzó a reconocerque parte del éxito de marketing no dependía del azar, sino queexistían ciertas reglas.

“Nunca pude ver el valor de publicar anuncios de cinco oseis anuncios de una plana”, dijo el tío Walter mientras dabala vuelta a la esquina de la ‘oficina’ de Lee, un cubículo equi-pado con pocos muebles y una de las computadoras persona-les más grandes y rápidas de Loveland. “Gracias por mostrarque tenía razón. Estás a punto de hacerme creer también enesos anuncios de periódico tan caros.”

“¿Comentó algo Margot acerca de esos grupos de enfo-que?”, Lee andaba a la caza de otro cumplido.

“Vamos a ver ese asunto la semana próxima; es demasiadopronto para decir algo. Pero no te sientas libre todavía. Tengoun proyecto completamente nuevo para ti. Ve a ver a Gracia.”

Gracia Delaguardia se reía de un chiste. La risa se escu-chaba en todo el corredor. Gracia tenía una ‘verdadera’ofici-

na, con puerta. Lee la encontró mirando una gráfica junto conotro miembro del equipo Loveland.

“Lee, ven, déjame presentarte a Roberto Palomar. Bert esel encargado del banco de teléfonos, nuestro departamentode pedidos. Estábamos hablando de ti.”

“¿De eso se reían?”, Lee se sintió nervioso.“No, no. Mira esto. Bert está tratando de estimar el núme-

ro de vendedores por teléfono que necesitamos para atenderlos pedidos. Debemos planear la contratación...”

“E instalar suficientes líneas 800”, agregó Roberto, aquien todo el mundo llamaba Bert.

“Graficamos los datos trimestrales”, continuó Gracia, “y,como ingeniera, déjame decirte que puedo reconocer una ten-dencia no lineal cuando veo una”. Gracia señaló una curvaque se parecía a la trayectoria del transbordador espacial lle-gando a la órbita. “Desde luego, no nos quejamos de nuestrocrecimiento. Es bueno estar en un equipo que va ganando.”

“Pero si continuamos con esta tendencia”, intervino Bert,

deslizando una regleta sobre la gráfica, “dentro de 10 añostendremos que contratar a toda la población de Loveland, so-lamente para que atiendan nuestros teléfonos”. Con eso, Gra-

Estadística en el trabajo

cia y Bert se echaron a reír de nuevo. “Lee, ve bien esos nú-meros y di si no es cierto.”

“Bueno, no cabe duda de que hay una tendencia bastantefuerte”, observó Lee, enfatizando lo obvio. “¿Hay alguna es-

“Ah, sí. Los días lluviosos y los lunes”, respondió Bert.“Tenemos una regla empírica que dice que hacemos el doblede negocios en lunes que en martes. De modo que intentamosevitar hacer sesiones de entrenamiento o reuniones de perso-



pecie de estacionalidad?, es decir, ¿hay diferencias de un mesa otro?”

“Buena pregunta”, respondió Bert. “Estos totales por tri-mestre tienden a ocultar algo de las alzas y bajas mensuales.

Por ejemplo, agosto siempre está muerto, pues la gente estáde vacaciones. Pero diciembre es un mes muy pesado. Aunqueno estamos metidos en el negocio de los regalos de Navidad,algunos usuarios domésticos en verdad le piden a SantaClaus que les traiga una computadora Loveland. El principalefecto viene de los negocios pequeños, que desean registraren la contabilidad gastos de equipo antes del final del año,con el fin de pagar menos impuestos.”

“Y no me parece que el volumen de llamadas esté repar-

tido por igual entre todos los días de la semana”, se aventuróa decir Lee.

nal los lunes. En algunas ocasiones, el personal de supervi-sión atiende cualquier llamada, no importa lo que cueste. Siperdemos una llamada, un cliente potencial podría adquiriruna computadora de la competencia.

“Pero ahora siento que estamos en el momento en querealmente debo planear un poco mejor el número de trabaja-dores que debo tener disponibles. Si programo a demasiadagente, desperdiciamos dinero y los vendedores se aburren.Estarían mejor en su casa.”

“Bueno, creo que podría ayudarles”, se ofreció Lee.“Les diré lo que necesito.”

Preguntas de estudio: ¿Qué datos querrá examinar Lee?

¿Qué análisis llevará a cabo? ¿De qué manera utilizará Bertla información que obtenga Lee?

HH IndustriesLa siguiente semana, Stan pidió a Laurel pedirle algunos da-tos, para su próxima reunión de ventas. “En esas primeraspláticas que tuvimos sobre la historia de la compañía”, le dijo,“recordarás que te dije que los sellos y el equipo para sellar,nuestra línea de producción más extensa, son la piedra angu-lar de nuestras ventas. De hecho, es la línea de productos conla que, básicamente, el señor Douglas empezó el negocio.

Como están las cosas, también es la línea de productos quegenera nuestro mayor margen bruto. ¿Hay algo que puedashacer, como diagramas o gráficas, que pudiera ilustrar elcomportamiento de las ventas de sellos durante los últimos10 años o algo así? Tengo datos de las ventas por día o pormes con los que puedes trabajar”.

“¿Qué tal si desestacionalizo los datos para mostrar unatasa de crecimiento más precisa?”, sugirió Laurel. “Puedoutilizar las cifras de ventas mensuales y generar algunas grá-

ficas que muestren las tendencias. Calculando una estima-ción de mínimos cuadrados, también podría darte una herra-

mienta aproximada para que puedas pronosticar la venta desellos desestacionalizada para los años venideros. ¿Qué teparece?”

“Me perdí en la parte de los mínimos cuadrados”, admi-

tió Stan, “pero suena exactamente como lo que estoy buscan-do. Será interesante ver las ventas sin el efecto de las tempo-radas. ¿Podrías tener una primera información de las cifraspara el inicio de la siguiente semana?”.

“Claro que sí”, respondió Laurel. “Te traeré todo a tu ofi-cina el lunes o el martes.”

1. Haga un análisis de serie de tiempo de la ventas de se-llos durante los últimos 10 años. (Use los datos de ven-

tas del archivo CH15.xxx del CD que acompaña al li-bro.) Desestacionalice las ventas por mes, utilizando elmétodo de razón de promedio móvil (use un promediomóvil centrado de 12 meses). Luego encuentre la ecua-ción lineal de mínimos cuadrados que mejor describalos datos desestacionalizados.

2. Utilice los resultados para pronosticar las ventas de ca-da mes de 1994.

3. Observe los residuos asociados con la ecuación de re-

gresión lineal. ¿Existe algún patrón que pueda hacerlesospechar que una línea recta no es el mejor ajuste?

Ejercicio de base de datoscomputacional

Del libro de texto al mundo real

Industria pesquera en Islandia

El Ministerio de Pesca de Islandia ha desarrollado un mode-lo para facilitar la toma de decisiones en la administraciónpesquera. Se utiliza principalmente para la administración de

sistemas de cuota a corto plazo y para la planeación de inver-siones a largo plazo. Con este modelo se pueden hacer pro-nósticos acerca de la cantidad de pesca de bacalao y otrasespecies de aguas profundas con varios años de anticipación.

También puede obtenerse información de las ganancias y loscostos. El análisis reúne datos de varias variables, entre lasque podemos incluir la cantidad de peces en existencia al

principio del periodo de planeación y el tamaño y clasifica-ción de la flota de pesca. Algunos estudios recientes indicanque la flota de pesca es demasiado grande y, a menos que sepuedan tomar medidas adecuadas para limitar el volumen de

el tamaño de las flotas y su composición pueden ser adminis-tradas por medio del control del gobierno sobre préstamosbancarios e inversión en nuevos barcos.



puedan tomar medidas adecuadas para limitar el volumen depesca fuera de las costas de Islandia, la espina dorsal de laeconomía del país puede verse amenazada.

Antecedentes La pesca es la industria principal de la eco-nomía de Islandia; el pescado y sus productos representanaproximadamente el 70% de las exportaciones del país. Lasespecies de que desovan en aguas profundas son las más im-portantes en los mares de Islandia, y el bacalao representa el55% de esta pesca. Hasta 1976, cuando Islandia adquiriócompleta soberanía de sus áreas de pesca, los barcos extran-

jeros obtenían cerca de la mitad de la pesca total. Las com-pañías pesqueras islandesas empezaron a modernizar sus flotasen 1970, anticipándose al retiro de la competencia extranjera.Conforme las flotas fueron creciendo en tamaño y se volvie-ron más eficientes, surgieron preocupaciones con respecto ala protección del recurso.

Estimaciones del tamaño de los recursos existentes, he-chas en 1975, indicaban que la existencia de bacalao habíabajado a menos de la mitad de su promedio en la época de laposguerra. Además, la edad y la estructura de la pesca noeran favorables. A pesar del retiro de los barcos de pesca ex-tranjeros, el volumen de pesca total casi no disminuyó, estodebido a las técnicas y equipo modernos para pescar. Para1983, la pesca de bacalao alcanzó el nivel más bajo de todoslos tiempos. Las autoridades y la industria pesquera se die-ron cuenta de que la flota de pesca y, en consecuencia, el es-fuerzo de captura, eran demasiado grandes. Debía contener-se el crecimiento de las flotas de pesca. En un principio, elperiodo de captura se restringió haciendo más largas las va-caciones de Navidad y de Pascua para los pescadores, y se es-tablecieron topes al tiempo anual permitido de operación de

cada barco pesquero. En 1984, se introdujo un sistema gene-ral de cuotas.

Modelos de pesca En 1979, el Ministerio de Pesca organi-zó un grupo de trabajo integrado por miembros de la Univer-sidad de Islandia, el Instituto de Investigación Marina y otrosgrupos con el fin de desarrollar un modelo de captura de es-pecies de aguas profundas. El modelo sería una herramientade apoyo para la toma de decisiones de la administración, a

corto y largo plazos. La planeación a corto plazo incluye elcierre de áreas para la pesca, reglamentos sobre las dimensio-nes de malla de las redes y sistemas de cuotas. A largo plazo,

Datos sobre pesca Durante las últimas décadas, se han re-gistrado grandes cantidades de datos sobre la pesca en Islan-dia. Que el gobierno se haya involucrado en las transaccio-nes entre pescadores y la industria procesadora de productosmarinos ha hecho que sea benéfico para ambas partes que losinformes de volúmenes de pesca y otros datos sean correctos,de modo que se tiene datos muy confiables. Aunque los da-tos son precisos, existe aleatoriedad debido al impacto delclima inestable y el mal tiempo sobre las áreas de pesca. Se tie-nen cuatro grupos de datos: desembarques, tamaño de exis-tencias, potencia y selectividad de pesca y económicos. Deesta información, se pueden extrapolar las tendencias relati-vas a la captura esperada para una unidad de pesca dada, lasganancias o pérdidas esperadas para la flota y otras estadís-ticas, año por año. La comisión del gobierno usa como base1983 para comparar la producción sustentable para flotas dediferente tamaño y tipo. La producción sustentable o soste-nida se refiere a la captura equilibrada dados un esfuerzoconstante y los factores ambientales normales.

Resultados La conclusión principal del estudio fue que laflota de pesca es demasiado grande y que la existencia futu-

ra de peces está amenazada por los esfuerzos excesivos de losbarcos pesqueros. A pesar de que los problemas asociadoscon los recursos naturales renovables implican incertidum-bre y, a menudo, son impredecibles, el modelo de serie detiempo utilizado por el Ministerio de Pesca de Islandia pro-porcionó una herramienta para determinar la naturaleza y laseveridad del problema. Permitió también a los diseñadoresde estrategias concentrarse en las comparaciones de diferen-tes políticas mediante análisis de sensibilidad, más que en

buscar predicciones de valores absolutos. Al observar las ten-dencias en el tamaño de las existencias del recurso y en otrasvariables, los políticos pueden determinar los efectos quetendrán diferentes estrategias gubernamentales. En Islandia,los encargados de la toma de decisiones encontraron que lasestrategias anteriores no tuvieron éxito en disminuir el tama-ño de la captura, de modo que se impusieron los sistemas decuota y las limitaciones en la inversión para preservar la in-dustria pesquera del país.

Fuente: Thorkell Helgason y Snojolfur Olafsson, “An Icelandic Fishe-ries Model”, European Journal of Operational Research 33 (1988): 191-199.

Repaso del capítulo

● Términos introducidos en el capítulo 15

Codificación Método para convertir medidas tradicionalesde tiempo en una forma que simplifique los cálculos (a me-nudo se le conoce como traducción).

Desestacionalización Proceso estadístico utilizado paraeliminar los efectos de la estacionalidad de una serie detiempo.

Ecuación de segundo grado Forma matemática que se uti-liza para describir una curva parabólica que puede usarse enel análisis de tendencia de una serie de tiempo.

Fluctuación cíclica Tipo de variación que se presenta en

Residuo cíclico relativo Medida de la variación cíclica, uti-liza la desviación porcentual de cada valor de la serie respec-to a la tendencia.

Serie de tiempo Los datos acumulados a intervalos regula-



Fluctuación cíclica Tipo de variación que se presenta enuna serie de tiempo, en la cual el valor de la variable fluctúaalrededor de una línea de tendencia secular.

Media modificada Método estadístico utilizado en el análi-sis de series de tiempo. Descarta los valores más alto y másbajo cuando se calcula una media.

Método de razón de promedio móvil Método estadísticoempleado para medir la variación estacional. Usa un índiceque describe el grado de dicha variación.

Método de residuos Método para describir la componentecíclica de una serie de tiempo. Supone que la mayor parte de

la variación de la serie que no explica la tendencia secular sedebe a factores cíclicos.

Serie de tiempo Los datos acumulados a intervalos regulares y los métodos estadísticos utilizados para determinar pa-trones en esos datos.

Tendencia secular Tipo de variación en una serie de tiem-po. El valor de la variable que tiende a aumentar o disminuiren un periodo largo.

Variación estacional Patrones de cambio de una serie detiempo que ocurren en un año; patrones que tienden a repe-tirse cada año.

Variación irregular Condición de una serie de tiempo en laque el valor de una variable es completamente impredecible.

● Ecuaciones introducidas en el capítulo 15

■ 15-1 b ϭ

Esta fórmula, introducida en el capítulo 12 como la ecuación 12-4, nos permite calcular la pendiente dela línea de regresión de mejor ajuste para cualquier conjunto de datos de dos variables. Los símbolos X ෆ yY ෆ representan las medias de los valores de las variables independiente y dependiente, respectivamente; n

es el número de datos con los cuales se ajusta la línea.

■ 15-2 a ϭ Y ෆ Ϫ bX ෆ

Vimos esta fórmula como la ecuación 12-5. Nos permite calcular la ordenada Y de la recta de regresión

de mejor ajuste para cualquier conjunto de datos de dos variables.

■ 15-3 b ϭ

Cuando el tiempo medido en años individuales ( X ) se cambia a valores de tiempo codificados ( x) restan-do la media ( x ϭ X Ϫ X ෆ ), la ecuación 15-1, para la pendiente de la recta de tendencia se simplifica y seconvierte en la ecuación 15-3.

■ 15-4 a ϭ Y ෆ

De manera parecida, utilizar los valores de tiempo codificado también nos permite simplificar la ecuación

15-2 para obtener la ordenada de la recta de tendencia.■ 15-5 Y ˆ ϭ a ϩ bx Ϫ cx

2

En ocasiones deseamos ajustar una tendencia con una curva parabólica (o de segundo grado), en lugar deutilizar una línea recta (Y ˆ ϭ a ϩ bx). La forma general de una curva de segundo grado ajustada se obtie-ne incluyendo el término de segundo grado (cx2) en la ecuación de Y ˆ.

■ 15-6 ⌺Y ϭ an ϩ c⌺ x2

■ 15-7 ⌺ x2

Y ϭ a⌺ x2

ϩ c⌺ x4

Con el fin de encontrar una curva de segundo grado ajustada con el método de mínimos cuadrados, debe-mos resolver las ecuaciones simultáneas 15-6 y 15-7 para encontrar los valores de a y c. El valor b se ob-tiene de la ecuación 15-3.

■ 15-8 Porcentaje de tendencia ϭ ᎏ

Y

Y ˆᎏ ϫ 100

⌺ xY ᎏ⌺ x

2


⌺ X 2 Ϫ nX ෆ 2

Podemos medir la variación cíclica como un porcentaje de tendencia si dividimos el valor real (Y ) entreel valor de tendencia (Y ˆ ) y luego multiplicamos por 100.

■ 15-9 Residuo cíclico relativo ϭ ϫ 100Y Ϫ Y ˆᎏ

Y



Otra medida de la variación cíclica es el residuo cíclico relativo, que se obtiene dividiendo la desviaciónde la tendencia (Y Ϫ Y ˆ ) entre el valor de tendencia, y multiplicando el resultado por 100. El residuo cícli-

co relativo se puede obtener fácilmente si restamos 100 del porcentaje de tendencia.

● Ejercicios de repaso

■ 15-44 El número de personas admitidas a Valley Nursing Home por trimestre está dado en la siguiente tabla:


1992 29 30 41 431993 27 34 45 481994 33 36 46 511995 34 40 47 53

a) Calcule los índices estacionales para estos datos (use un promedio móvil centrado de 4 trimestres).b) Desestacionalice estos datos usando los índices del inciso a).c) Encuentre la recta de mínimos cuadrados que mejor describa las cifras de la tendencia desestaciona-

lizada.

■ 15-45 Wheeler Airlines, una línea aérea regional, ha estimado el número de pasajeros para el mes de diciembreen 595,000 (desestacionalizado). ¿Cuántos pasajeros debe prever la compañía si el índice estacional dediciembre es 128?

■ 15-46 Un grupo de investigación ecológica ha medido el nivel de contaminación por mercurio en el océano en cier-to punto de la costa este de Estados Unidos. Se encontraron los siguientes porcentajes de mercurio en el agua:

Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

1993 0.3 0.7 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.4 0.7 0.2 0.5

1994 0.4 0.9 0.7 0.9 0.5 0.8 0.7 0.7 0.4 0.6 0.3 0.41995 0.2 0.6 0.6 0.9 0.7 0.7 0.8 0.8 0.5 0.6 0.3 0.5

Construya un promedio móvil centrado de 4 meses y grafíquelo junto con los datos originales.■ 15-47 Un gerente de producción de una fábrica de papel canadiense ha acumulado la siguiente información que

describe la cantidad de papel (en millones de libras) procesado cada trimestre:


1992 3.1 5.1 5.6 3.6

1993 3.3 5.1 5.8 3.71994 3.4 5.3 6.0 3.81995 3.7 5.4 6.1 3.9

a) Calcule los índices estacionales de los datos (porcentaje del promedio real respecto al promedio mó-vil centrado).

b) Desestacionalice los datos utilizando los índices estacionales del inciso a).c) Encuentre la línea de mínimos cuadrados que mejor describa los datos.d) Estime la cantidad de libras de papel que serán procesadas durante la primavera de 1996.

■ 15-48 Describa algunas de las dificultades al usar una ecuación de estimación lineal para describir los datos si-guientes:a) Kilometraje de gasolina logrado por los automóviles estadounidenses.b) Número de muertos en accidentes de aviación comercial.c) La exportación de cereales de un solo país.d) El precio de la gasolina.

15-49 La empresa Magna International es una compañía canadiense dedicada a la manufactura de componentes

Y

una lista de las ganancias anuales de la compañía correspondientes a los 10 años anteriores (en millonesde dólares canadienses):

Año 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992

Ganancias 302.5 493.6 690.4 1,027.8 1,152.5 1,458.6 1,923.7 1,927.2 2,017.2 2,358.8



a) Encuentre la línea de tendencia de mínimos cuadrados para estos datos.b) Grafique los datos anuales junto con la línea de tendencia. ¿Las variaciones de la tendencia parecen

ser aleatorias o cíclicas?

c) Utilice un paquete de computación estadístico que obtenga regresión para encontrar la tendencia pa-rabólica de mejor ajuste para estos datos. ¿Es c, el coeficiente de x

2, significativamente diferente decero? ¿Cuál de los dos modelos de tendencia recomendaría usted para pronosticar las ganancias de Mag-na para 1993? Explique su respuesta.

d) Pronostique las ganancias de la empresa para 1993.■ 15-50 Comente las dificultades que tendría al utilizar una ecuación de estimación de segundo grado para pro-

nosticar el comportamiento del proceso que generó los datos siguientes:a) Ventas de computadoras personales en Estados Unidos.

b) Uso de juegos de video en Estados Unidos.c) Primas de seguros contra malas prácticas médicas.d) El número de graduados de maestría en administración de las universidades de Estados Unidos.

■ 15-51 La tabla siguiente muestra el número de franquicias de Beauty Bar, Inc. que opera al final de cada año:

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Número de franquicias 596 688 740 812 857 935

a) Encuentre la ecuación lineal que describa mejor esos datos.b) Estime el número de manuales de operaciones (uno por franquicia) que deba imprimirse en 1997.

■ 15-52 Un subsecretario asistente del Departamento de Comercio de Estados Unidos tiene los siguientes datos quedescriben el valor del grano exportado durante los últimos 16 trimestres (en miles de millones de dólares):

I II III IV

1992 1 3 6 41993 2 2 7 51994 2 4 8 51995 1 3 8 6

a) Determine los índices estacionales y desestacionalice los datos (utilice un promedio móvil centradode cuatro trimestres).

b) Calcule la recta de mínimos cuadrados que mejor describa los datos.c) Identifique la variación cíclica en los datos mediante el método del residuo cíclico relativo.d) Grafique los datos originales, los datos desestacionalizados y la tendencia.

■ 15-53 La tienda de bicicletas Richie Bell ha determinado, a partir de un análisis de tendencias pasadas, que lasventas de primavera (desestacionalizadas) deberán ser de 165 bicicletas. Si el índice estacional de prima-vera es 143, ¿cuántas bicicletas deberá vender la tienda esta primavera?

■ 15-54 En el momento de terminar el programa de autopistas interestatales de Estados Unidos, ¿de qué utilidad

serán los viejos datos a los fabricantes de equipo pesado de remoción de tierra cuando intentan pronosti-car sus ventas? ¿Qué nuevos datos sugeriría usted que utilizaran en su pronóstico?15-55 La manufactura de automóviles, a menudo, se cita como ejemplo de una industria cíclica (sujeta a cam-

bios de acuerdo con un ciclo económico subyacente). Considere la producción de automóviles en todo elmundo (en millones de unidades) y en la antigua Unión Soviética (en cientos de miles de unidades) du-rante el periodo de 1970 a 1990:

Año En el mundo En la URSS Año En el mundo En la URSS

1970 22.5 13.4 1981 27.5 13.2

1971 26.4 15.3 1982 26.6 13.11972 27.9 17.3 1983 30.0 13.21973 30.0 19.2 1984 30.5 13.31974 25.9 11.2 1985 32.3 13.31975 25.0 12.0 1986 32.9 13.3

(continúa )

Año En el mundo En la URSS Año En el mundo En la URSS

1976 28.8 12.4 1987 33.0 13.3

1977 30.5 12.8 1988 34.3 12.61978 31.2 13.1 1989 35.6 12.2



1979 30.8 13.1 1990 35.8 12.6

1980 28.6 13.3

a) Encuentre la recta de tendencia de mínimos cuadrados para los datos en el mundo.b) Grafique los datos del mundo y la recta de tendencia en la misma gráfica. ¿Las variaciones con res-pecto a la tendencia parecen ser cíclicas o aleatorias?

c) Grafique los residuos como porcentaje de la tendencia. ¿Aproximadamente qué tan largo es el cicloeconómico para estos datos?

d) Considere la producción de automóviles en la antigua URSS. Analice sus similitudes y diferenciascon los patrones que encontró en los incisos a), b) y c).

■ 15-56 La R.B. Fitch Builders ha construido el siguiente número de casas en los 8 años que lleva en el negocio:

Año 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995Casas construidas 12 11 19 17 19 18 20 23

a) Desarrolle una ecuación lineal de estimación para describir la tendencia del número de casas.b) ¿Cuántas casas deberá planear terminar la constructora para 1999?c) Junto con la respuesta al inciso b), ¿qué consejo daría usted a la R.B. Fitch acerca del uso de esta téc-

nica de pronósticos?■ 15-57 Como parte de una investigación realizada por un departamento federal referente a la sicología de la ac-

tividad criminal, una encuesta acerca del número de homicidios y de asaltos producidos en el curso de un

año produjo los siguientes resultados:Estación Primavera Verano Otoño Invierno

Número de homicidios y asaltos 31,000 52,000 39,000 29,000

a) Si los índices estacionales respectivos son 84, 134, 103 y 79, ¿cuáles son los valores desestacionali-zados de cada estación?

b) ¿Cuál es el significado del índice estacional de 79 para al invierno?■ 15-58 Las cifras porcentuales desestacionalizadas trimestrales de desempleo en cierto estado durante el periodo

1991-1995 son las siguientes:

I II III IV

1991 17.3 7.2 7.3 18.11992 18.7 9.2 9.8 10.5

1993 10.2 9.9 9.2 18.31994 17.6 7.4 7.5 17.61995 17.4 7.0 6.8 16.5

a) Encuentre la ecuación lineal que describe la tendencia de desempleo.b) Calcule el porcentaje de tendencia para los datos.c) Grafique la variación cíclica de las tasas de desempleo a partir del porcentaje de tendencia.

■ 15-59 El número de casos confirmados de SIDA reportados en una clínica de salud local durante el periodo de5 años de 1988 a 1992 fueron 2, 4, 7, 13 y 21, respectivamente.a) Desarrolle la recta de regresión lineal para estos datos.b) Encuentre la curva de segundo grado de mínimos cuadrados que se ajusta a los datos.c) Construya una tabla de los casos reales de cada año, las estimaciones lineales obtenidas con la regre-

sión del inciso a) y los valores de la curva de segundo grado del inciso b).d) ¿Qué regresión parece ser el mejor estimador?

■ 15-60 RJ’s Grocers ha agregado pollos enteros hervidos a su línea de comida para llevar, para los profesionalesocupados que no tienen tiempo de cocinar en casa. El número de pollos precocidos vendidos en las pri-meras 7 semanas es el siguiente:

Semana 1 2 3 4 5 6 7

a) Encuentre la recta de regresión lineal que mejor se ajuste a estos datos.b) Estime el número esperado de ventas en la semana 8.c) Con base en la estimación del inciso b) y los datos disponibles, ¿la regresión describe con exactitud

la tendencia de ventas para este producto?15-61 La compañía Walt Disney es una gran empresa de entretenimiento con tres rubros de negocios: películas



p y g p g py televisión, mercancías, y parques de diversiones y hoteles (PDH). Como muchas empresas, Disney in-forma trimestralmente la cantidad total de dinero que recibe cada uno de estos rubros. La expansión deinstalaciones en los dos parques de diversiones en Estados Unidos (Disneylandia en California y Walt Dis-ney World en Florida) y la adquisición de licencias y el ingreso por inversión en parques en Francia y Ja-pón, han ocasionado un crecimiento estable en los ingresos totales por PDH.

La siguiente lista de ingresos trimestrales (en millones de dólares) muestra el crecimiento de los ingre-sos durante la última década, que asciende a casi $1,000 millones por trimestre al final del año fiscal de laempresa en diciembre de 1992. (El año fiscal de la empresa Disney empieza en octubre, de modo que eltrimestre que termina en diciembre de 1992 es el primer trimestre del año fiscal 1993). Un analista que ob-serve este éxito notaría primero que algo del aumento podría atribuirse a la inflación. En consecuencia, losingresos también se dan en dólares constantes de 1982, es decir, deflacionados en un porcentaje equivalente

a la inflación desde 1982. Esto se logra dividiendo los ingresos reales entre el deflactor PIB del Departa-mento de Comercio de Estados Unidos y multiplicando el resultado por 100. (Éste aparentemente miste-rioso proceso tendrá más sentido si consulta la sección 16.1 del siguiente capítulo.)

Año fiscal Mesy trimestre final del Ingreso Deflactor Ingreso ende Disney trimestre real PIB dólares de 1982

1983-1 DIC 82 203.7 101.7 200.31983-2 MAR 83 239.7 102.5 233.9

1983-3 JUN 83 288.9 103.3 279.71983-4 SEP 83 298.8 104.2 286.81984-1 DIC 83 224.9 105.4 213.41984-2 MAR 84 244.3 106.5 229.41984-3 JUN 84 314.6 107.3 293.21984-4 SEP 84 313.6 108.2 289.81985-1 DIC 84 232.6 109.0 213.41985-2 MAR 85 270.0 109.7 246.11985-3 JUN 85 368.8 110.6 333.5

1985-4 SEP 85 386.1 111.3 346.91986-1 DIC 85 274.1 112.2 244.31986-2 MAR 86 360.2 112.4 320.51986-3 JUN 86 434.0 113.2 383.41986-4 SEP 86 455.6 114.6 397.61987-1 DIC 86 359.0 115.1 311.91987-2 MAR 87 414.8 116.0 357.61987-3 JUN 87 534.4 117.1 456.41987-4 SEP 87 526.0 117.9 446.1

1988-1 DIC 87 385.7 118.6 325.21988-2 MAR 88 438.0 119.2 367.41988-3 JUN 88 599.9 120.6 497.41988-4 SEP 88 618.4 121.9 507.31989-1 DIC 88 511.6 123.3 414.91989-2 MAR 89 580.1 124.5 465.91989-3 JUN 89 727.9 125.9 578.21989-4 SEP 89 775.8 126.9 611.31990-1 DIC 89 619.5 127.9 484.4

1990-2 MAR 90 710.2 129.7 547.61990-3 JUN 90 858.1 131.8 651.11990-4 SEP 90 831.8 138.0 602.81991-1 DIC 90 623.8 140.5 444.01991-2 MAR 91 671.0 141.0 475.9

(continúa )

Año fiscal Mesy trimestre final del Ingreso Deflactor Ingreso ende Disney trimestre real PIB dólares de 1982

1991-3 JUN 91 759.0 141.8 535.3



1991-4 SEP 91 810.8 142.7 568.21992-1 DIC 91 662.4 143.8 460.61992-2 MAR 92 774.1 144.7 535.0

1992-3 JUN 92 890.5 145.6 611.61992-4 SEP 92 996.2 146.5 680.0

Fuente: The Walt Disney Company, Informe anual de 1992.

a) Grafique los datos en dólares de 1982 y encuentre la recta de tendencia de mínimos cuadrados.b) Como debería esperarse, existe un fuerte patrón estacional en los ingresos por PDH; el trimestre de

diciembre muestra el ingreso más bajo y los mejores resultados por lo general se reportan en el tri-mestre de septiembre. Encuentre los índices estacionales por trimestre para los ingresos en dólares de1982, y utilícelos para desestacionalizar dichos ingresos.

c) Encuentre la línea de tendencia de mínimos cuadrados para los datos desestacionalizados.d) No podemos comparar directamente los valores r 2 de las líneas de tendencia de los incisos a) y c) por-

que la primera indica qué fracción de la variación de los ingresos reales se explica por la tendencia,mientras que la segunda nos dice qué fracción de la variación de los ingresos desestacionalizados seexplica por la tendencia. Para ver cuánta variación en los ingresos reales se explica por la tendencia y

por la estacionalidad, proceda de la siguiente manera:1) Utilice la línea de tendencia desestacionalizada para pronosticar los ingresos desestacionalizados

para los 40 trimestres.

2) Estacionalice de nuevo las predicciones multiplicándolas por el índice estacional apropiado y di-vidiéndolas entre 100.

3) Para cada trimestre, reste el ingreso real del pronóstico vuelto a estacionalizar para encontrar elerror del pronóstico.

4) Eleve al cuadrado estos errores y súmelos. Llame SCE* al resultado.5) Represente con SCT la suma total de los cuadrados de la línea de tendencia del inciso a). La frac-

ción de la variación de los ingresos reales explicada por la tendencia y por la estacionalidad es1 Ϫ SCE*/SCT. ¿Cuánto más de la variabilidad de los ingresos reales se explica al tomar en cuen-

ta la estacionalidad?e) De octubre de 1993 a septiembre de 1991, la afluencia a los parques de diversiones disminuyó por la

guerra del Golfo Pérsico, cuando el temor a ataques terroristas hacía que mucha gente se quedara ensus casas, y por la recesión en la economía de Estados Unidos. ¿Qué tipo de variaciones son éstas?

f) Utilice los pronósticos del inciso d) para estimar cuánto le costó a la empresa Disney la recesión y laguerra del Golfo, en cuanto al rubro PDH durante el año fiscal 1994.

g) Utilice el modelo que desarrolló en el inciso d) para pronosticar el ingreso total por PDH (en dólaresde 1982) para el año fiscal de la empresa correspondiente a 1993. ¿Hay alguna razón para preocupar-

se porque el pronóstico pueda no ser preciso? Explique su respuesta.h) ¿Qué información adicional necesitaría para convertir los pornósticos del inciso g) en dólares actuales?■ 15-62 El sistema de transporte de College Town recolectó información del número de pasajeros por estación du-

rante 1994 y 1995. Los datos desestacionalizados (en miles de pasajeros) son:


1994 593 545 610 5751995 640 560 600 555

a) Si los índices estacionales utilizados para desestacionalizar fueron 110, 73, 113 y 104, respectivamen-te, encuentre el número real de pasajeros (en miles) para estas ocho estaciones.

b) ¿En qué estación de 1995 se tuvo el menor número de pasajeros? ¿Y el mayor?c) Si la ecuación lineal de estimación para estos datos desestacionalizados es Y ˆ ϭ 584.75 Ϫ 0.45 x (con

x medida a medio trimestre y x ϭ 0 entre los trimestres de invierno de 1994 a primavera de 1995),¿cuál es el número esperado de viajes reales (en miles) para el otoño de 1996?

■ 15-63 Ferris Wheeler, director del parque de diversiones Whirly World, ha proporcionado los siguientes datos so-

Primavera Verano Otoño

1992 750 1,150 6801993 780 1,100 5801994 800 1,225 6101995 640 1,050 600



a) Calcule los índices estacionales para estos datos utilizando un promedio móvil de 3 periodos.b) Desestacionalice estos datos utilizando los índices estacionales obtenidos en el inciso a).

■ 15-64 El administrador de un restaurante desea mejorar el servicio que brinda a sus clientes y el horario de susempleados, basándose en la afluencia diaria de clientes durante las últimas cuatro semanas. El número declientes atendidos en el restaurante en ese periodo fue:

Lun. Mar. Mié. Jue. Vie. Sáb. Dom.

1 345 310 385 416 597 706 6532 418 333 400 515 664 761 702Semana3 393 387 311 535 625 711 5984 406 412 377 444 650 803 822

Determine los índices estacionales (diarios) para estos datos. (Utilice un promedio móvil de 7 días.)■ 15-65 Suponga que las ventas de televisores de una pequeña cadena de aparatos electrodomésticos durante 1991-

1995 fueron las siguientes:

Año 1991 1992 1993 1994 1995Ventas 230 250 265 300 310

a) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado para estos datos.b) ¿Qué indica la magnitud de los coeficientes a, b y c respecto a la elección de una ecuación de segun-

do grado para esos datos?■ 15-66 La compañía Zapit ha registrado las siguientes cifras (en cientos de miles) correspondientes a las ventas

totales en su línea de hornos de microondas durante los últimos 5 años:

Año 1991 1992 1993 1994 1995Ventas 3.5 3.8 4.0 3.7 3.9

La ecuación que describe la tendencia de estos volúmenes de ventas es

Y ˆ ϭ 3.78 ϩ 0.07 x, donde 1993 ϭ 0 y las unidades de x son años

a) ¿Qué año tuvo el más alto porcentaje de tendencia?b) ¿Qué año estuvo más cercano a la línea de tendencia?■ 15-67 Los siguientes datos muestran el número de casas listadas para venta, en miles, en el oeste de Estados Uni-

dos al final de cada trimestre:

Año Trimestre Casas listadas

1992 1 752 773 72

4 741993 1 732 743 774 73

1994 1 742 793 804 82

1995 1 80

a) Calcule los índices estacionales para cada trimestre. (Nota: debido a que esta serie de datos es corta,no descarte los valores extremos en el paso 5.)

b) Desestacionalice estos datos.c) Encuentre la recta de tendencia de mínimos cuadrados para los datos desestacionalizados.

Fuente: Real Estate Research Council of Northern California.

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