1

ABECEDA RAĈUNALA

PRIKAZ BROJEVA I ZNAKOVA U

RAĈUNALU

2

Dekadski brojevni sustav neprikladan je za raĉunalo!

Trebalo bi naĉiniti elektroniĉki element koji je ustanju prikazati 10 diskretnih stanja

KOMPLICIRANO I SKUPO!

Jednostavno i jeftino rješenje:

bistabil

= elektronički element koji je u mogućnosti spremiti dva diskretna stanja.

3

Binarni brojevni sustav - znamenke su 0 i 1

BIT (engl. BInary digiT = binarna znamenka)

je jedinica za informaciju.

To moņe biti jedna

znamenka binarnog broja,

jedan impuls u impulsno

kodiranoj poruci ili temeljna

(najmanja, nedjeljiva)

jedinica za koliĉinu

informacije.

Najĉeńće se pod bitom podrazumijeva

jedna binarna znamenka

koja moņe biti 0 ili 1.

Binarna odluka s dva stanja:

da/ne,

istina/laņ,

ukljuĉeno/iskljuĉeno i

sl.

4

Registar (obiĉno 16, 32, 64 bistabila)

1 0 0 1 1 0 0 0

8 binarnih znamenki predstavlja jedanbajt (engl. byte).

16, 32 i 64 bita (1 rijeĉ)

5

1 KB = 1024 bajta =1024 bajta

1 MB = 1024 · 1024 bajta =1048576 bajta

1 GB = 1024 · 1024 · 1024 bajta =1073741824 bajta

1 TB = 1024 · 1024 · 1024· 1024 bajta =1099511627776 bajta

kilobajt, megabajt, gigabajt, terabajt

1 MB = 1024 KB, 1 GB = 1024 MB …1 GB = 1024·1024 KB = 1048576 KB

Zašto je pretvornik 1024?

zbog binarne naravi računala 1024 = 210

6

Brojevi u raĉunalu

Cijele brojeve (engl. integer) u raĉunalu

jednostavno zapińemo binarno.

Odabiremo broj raspoloņivih binarnih

mjesta (bitova) za prikaz broja.

Svaki bit u raĉunalu realizira se

bistabilom, a nekoliko njih ĉini registar.

7

Primjer: 8-bitni registar

Negativni binarni brojevi

0 0 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 0 1

DOGOVOR!

? krajnji lijevi bit je

1 ako je broj negativan, ili 0 ako je broj pozitivan

+21

Rezultat nije 0!

-21

Provjerimo: 21-21=21+(-21) ? 0

0 0 0 1 0 1 0 1

+ 1 0 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 0

Ovakav zapis negativnog broja

neprimjeren je za računanje!

8

Negativni binarni brojevi

DOGOVOR!

Dekadski

brojBinarni prikaz

127 01111111

126 01111110

125 01111101

… …

3 00000011

2 00000010

1 00000001

0 00000000

Dekadski

brojBinarni prikaz

-1 11111111

-2 11111110

-3 11111101

… …

-125 10000011

-126 10000010

-127 10000001

-128 10000000

9

Uoči: 21+(- 21)=0

00010101+ 11101011

1 00000000

Negativni brojevi prikazuju tzv. tehnikom dvojnog komplementa:

– nule pretvaramo u jedinice, a jedinice u nule (komplement)

– zatim tom komplementu dodajemo 1 (dvojni komplement)

21(10) → 00010101(2)

Dvojni komplement:

00010101

11101010+ 1

11101011

11101011(2) → - 21(10)

Negativni binarni brojevi

10

Razlomljeni binarni brojevi

"binarna toĉka" decimalni zarez (toĉka)

4.35 (10) = 4 100 + 3 10-1 + 5 10-2

0,35(10)

≈ 0,010110011…(2)

0,35∙2=0,7

0,7∙2=1,4

0,4∙2=0,8

0,8∙2=1,6

0,6∙2=1,2

0,2∙2=0,4

0,4∙2=0,8

0,8∙2=1,6

0,6∙2=1,2

…

4 (10) = 100 (2)

0,010110011(2)= 1·2-2+1·2-4+1·2-5+1·2-8+1· 2-8 = 0,349609375(10)

4.35 = 4+0.35

11

4.35 (10) ≈ 100,010110011… (2)

zapis sa stalnom toĉkom (ili fiksnim zarezom)

Koliko je?

0,00000000000000000000000011

1100000000000000000000000

12

2,3E+142,3E-14

Tehnika kliznog ili pomiĉnog zareza

230000000000000(10)=2,3·1014

0,000000000000023 (10)=2,3·10-14

PRAKTIĈNIJE

2,3 10-14

mantisa

baza

eksponent

13

Binarni brojevi i mnoņenje s 2n i 2-n

Binarni broj se mnoņi s potencijama baze 2 tako da se

binarna toĉka pomakne odgovarajući broj mjesta desno ili

lijevo, zavisno da li je predznak eksponenta pozitivan ili

negativan.

1 . 01 22 1 0 1

1 . 01 2-2 0 . 0 1 01

14

Realni brojevi standardne preciznosti

IEEE Standard 754 propisuje naĉin zapisa realnih (decimalnih) brojeva u

raĉunalu uz korińtenje tehnike pomiĉnog zareza.

Za prikaz brojeva u standardnoj jednostrukoj toĉnosti prema tom standardu

raĉunalo koristi 32 bita.

predznak

KARAKTERISTIKA(eksponent+127)

(8 bita)

MANTISA bez vodeće jedinice

(23 bita)

31 30 … 23 22 21 …. 1 0

Predznak: 1 – negativan broj, 0 – pozitivan broj

Eksponentu se dodaje 127 da bismo u prikazu izbjegli negativne

eksponente!

15

Primjer: Zapis broj 9.75 u raĉunalu.

9.7510 1001.112 20 1.001112 23

Normalizacijom svakog binarnog broja (osim nule) dobit ćemo broj oblika:

1.xxxxxxxxxx

Vodeća jedinica ne pohranjuje se u računalu i naziva se skrivenim bitom (hidden bit)!

UŠTEDA NA PROSTORU!

16

Predznak = 0 (pozitivan broj)

Binarni eksponent = 3

Karakteristika = 3 + 127 = 130 = (1000 0010)2

Mantisa (cijela) 1.00111

Mantisa (bez skrivenog bita) 00111

predznak

KARAKTERISTIKA(eksponent+127)

(8 bita)

MANTISA bez vodeće jedinice

(23 bita)

0 10000010 00111000000000000000000

ili heksadekadski:

9.75(10) + 1.00111(2) 23

0100 0001 0001 1100 0000 0000 0000 0000

4 1 1 C 0 0 0 0

17

Raspon i toĉnost realnih brojeva

predznak

KARAKTERISTIKA(eksponent+127)

(8 bita)

MANTISA bez vodeće jedinice

(23 bita)

31 30 … 23 22 … 0

Raspon binarnog eksponenta: od -126 do 127

Raspon karakteristike: broj od 0 do 255

Kada je K = 0 i svi bitovi mantise nula, radi se o broju nula

Kada je K = 255 i svi bitovi mantise nula, radi se o prikazu +∞ ili -∞

ovisno o predznaku

Najmanji pozitivni broj 0 koji se moţe prikazati je: 0.000000000000000000000012-126 što iznosi 1.40129846432481710-45

Najveći pozitivan broj:

1.111111111111111111111112127 2128 = 3.402823669209 1038

Točnost: 24 binarne znamenke (jedna cjelobrojna i 23 znamenke iz mantise

razlomljenog dijela)

18

Realni brojevi dvostruke toĉnosti

Za zapis koristimo 64 bita:

• 1 za predznak

• 11 za karakteristiku (eksponent +1023)

• 52 za mantisu (bez vodeće jedinice iz cijelog dijela broja)

predznak

KARAKTERISTIKA(eksponent+127)

(8 bita)

MANTISA bez vodeće jedinice

(23 bita)

63 62 … 52 51 21 …. 1 0

19

Raspon i toĉnost prikazivanja realnih brojeva dvostruke

preciznosti

KarakteristikeRaspon karakteristike: od 0 do 2047

Raspon binarnog eksponenta: od -1022 do 1023

Najmanji pozitivni broj 0 koji se moţe prikazati je:

0.0000 ...001 2-1022 ńto je 4.9406 10-324

Najveći pozitivan broj:

1.1111.....1111112 21023 21024 = 1.797693134862316*10308

Točnost: 53 binarne znamenke

20

Prikaz slova i ostalih znakova

Koliko znakova moramo prikazati?

– 26 velikih slova engleske abecede

– 26 malih slova engleske abecede

– 10 znamenaka

– operatori, interpunkcije, upravljaĉki znakovi …

Postupak pridjeljivanja simbola (binarnih

nizova) pojedinim znakovima naziva se

kodiranje, a tako dobiven skup

dogovorenih simbola kôd.

kombinacija nula i jedinica

Za njihov prikaz je dovoljan 1 bajt!?

21

Prikaz slova i ostalih znakova

ASCII kôd (ISO-7 standard):

7 bita za informaciju + 1 bit za paritet

27 = 128 različitih znakova

? Paritet

Omogućuje otkrivanje jednostruke pogreške pri prijenosu informacija

22

7-bitni ASCII kod

(0-31 dekadski)

Znakovi za upravljanje ulazno-izlaznim ureĊajima raĉunala

dekadski binarno znak

0 00000000 NULL

7 00000111 BELL zvučni signal

8 00001000 BSbrisanje prethodnog znaka

…

10 00001010 LF novi redak

…

12 00001100 FF nova stranica

23

7 - bitni ASCII kod

• Znakovi koji se mogu tiskati (32-127 dekadski)

32: praznina33: ! …40: ( 41: ) 42: * 43: + 44: , 45: − 46: . 47: / 48: 0 49: 1 50: 2 51: 3 52: 4 53: 5 54: 6 55: 7

56: 8 57: 9 …64: @ (Ţ)65: A 66: B 67: C 68: D 69: E 70: F 71: G 72: H 73: I 74: J 75: K 76: L 77: M 78: N 79: O

80: P 81: Q …88: X 89: Y 90: Z 91: [ (Š)92: \ (Đ)93: ] (Ć)94: ^ (Ĉ)95: _96: ` (ţ)97: a 98: b 99: c 100: d 101: e 102: f 103: g

104: h105: i …112: p 113: q 114: r 115: s 116: t 117: u 118: v 119: w 120: x 121: y 122: z 123: { (š)124: | (Ċ)125: } (ć)126: ~ (ĉ)127: DEL

24

7 - bitni ASCII kod

dekadski binarno znak

40 00101000 (

65 01000001 A

97 01100001 a

Znakovi naše abecede

Nańi znakovi (ĉ,ć,Ċ,ń,ņ) prvi standard – YUASCII CROSCII

Raspored u ASCII tablici: ĉ: 126 ( ~ ), Ĉ: 94 ( ^ )

ć: 125 ( } ), Ć: 93 ( ] )

Ċ: 124 ( | ), Đ: 92 ( \ )

ń: 123 ( { ), Ń: 91 ( [ )

ņ: 96 ( ` ), Ņ: 64 ( @ )

25

Problem prikaza internacionalnih znakova

RJEŃENJE: 8-bitni ASCII kôd 28 = 256 razliĉitih znakova

Nańi su znakovi smjeńteni u podruĉje 128-255.

Korištenje naših znakova olakšale su “hrvatske” tipkovnice.

2 standarda:

Central European (Windows 1250) i

Central European (ISO 8852).

Osobna računala s Windows okruženjem - nekoliko načina prikaza naših znakova.

8-bitni ASCII kôd nije dovoljan za prikaz znakova svih jezika u svijetu (kineska, japanska slova?)

UNICODE: 1 znak 16 bita 216 = 65536 različitih znakova

26

8-bitni ASCII kod0 Null 32 <SPACE> 64 @ 96 ` 128 Ç 160 á 192 └ 224 Ó

1 ◚ 33 ! 65 A 97 a 129 ü 161 í 193 ┴ 225 ß

2 ◛ 34 " 66 B 98 b 130 é 162 ó 194 ┬ 226 Ô

3 ◡ 35 # 67 C 99 c 131 â 163 ú 195 ├ 227 Ń

4 ◢ 36 $ 68 D 100 d 132 ä 164 Ą 196 ─ 228 ń

5 ◠ 37 % 69 E 101 e 133 ů 165 ą 197 ┼ 229 ņ

6 ◟ 38 & 70 F 102 f 134 ć 166 Ņ 198 Ă 230 Š

7 • 39 ' 71 G 103 g 135 ç 167 ž 199 ă 231 š

8 ◘ 40 ( 72 H 104 h 136 ł 168 đ 200 ╚ 232 Ŕ

9 ○ 41 ) 73 I 105 i 137 ë 169 Ē 201 ╔ 233 Ú

10 ◙ 42 * 74 J 106 j 138 Ő 170 ¬ 202 ╩ 234 ŕ

11 ◞ 43 + 75 K 107 k 139 ő 171 ź 203 ╦ 235 Ű

12 ◝ 44 , 76 L 108 l 140 î 172 Č 204 ╠ 236 ý

13 ◣ 45 - 77 M 109 m 141 Ź 173 ş 205 ═ 237 Ý

14 ◤ 46 . 78 N 110 n 142 Ä 174 « 206 ╬ 238 ţ

15 ◜ 47 / 79 O 111 o 143 Ć 175 » 207 ¤ 239 ´

16 ► 48 0 80 P 112 p 144 É 176 ░ 208 đ 240 ­

17 ◄ 49 1 81 Q 113 q 145 Ĺ 177 ▒ 209 Đ 241 ˝

18 ↕ 50 2 82 R 114 r 146 ĺ 178 ▓ 210 Ď 242 ˛

19 ‼ 51 3 83 S 115 s 147 ô 179 │ 211 Ë 243 ˇ

20 ▄ 52 4 84 T 116 t 148 ö 180 ┤ 212 ď 244 ˘

21 § 53 5 85 U 117 u 149 Ļ 181 Á 213 Ņ 245 §

22 ▬ 54 6 86 V 118 v 150 ļ 182 Â 214 Í 246 ÷

23 ↖ 55 7 87 W 119 w 151 Ś 183 ē 215 Î 247 ¸

24 ↑ 56 8 88 X 120 x 152 ś 184 Ş 216 Ĕ 248 °

25 ↓ 57 9 89 Y 121 y 153 Ö 185 U 217 ┘ 249 ¨

26 → 58 : 90 Z 122 z 154 Ü 186 ║ 218 ┌ 250 ˙

27 ← 59 ; 91 [ 123 { 155 Ť 187 ╗ 219 █ 251 ű

28 ↗ 60 < 92 \ 124 | 156 ť 188 ╝ 220 ▄ 252 Ŗ

29 ↔ 61 = 93 ] 125 } 157 Ł 189 Ż 221 Ţ 253 ŗ

30 ▲ 62 > 94 ^ 126 ~ 158 × 190 ż 222 Ů 254 ■

31 ▼ 63 ? 95 _ 127 <DEL> 159 ĉ 191 ┐ 223 ▀ 255

27

Ńto smo nauĉili?

1. Koliko mjesta u memoriji raĉunala zauzima

tvoje ime?

2. Pomoću ASCII tablice zapińi svoje ime kako ga

pohranjuje raĉunalo (kombinacijom nula i

jedinica).

3. Svaki znak u svom imenu zapińi

heksadekadski.

4. Koliko bitova je potrebno za pohranu imena

svih uĉenika razreda?

28

Ńto smo nauĉili?

5. Proĉitaj ńto pińe u raĉunalu:

“Pred vama je ĉitav svijet i ĉeka vas!”

00100010 01010000 01110010 01100101 01100100

00100000 01110110 01100001 01101101 01100001

00100000 01101010 01100101 00100000 11101000

01101001 01110100 01100001 01110110 00100000

01110011 01110110 01101001 01101010 01100101

01110100 00100000 01101001 00100000 11101000

01100101 01101011 01100001 00100000 01110110

01100001 01110011 00100001 00100010

29

Zapamti!

• BIT

• bajt

• KB, MB, GB, TB Brojevi u raĉunalu

?

Znakovi u raĉunalu

kod – kodiranje - kodovi

ASCII kod

30

ABECEDA RAĈUNALA

BROJEVNI SUSTAVI

1010(2)

12(8)

A(16)

31

Brojevi i njihov zapis

EGIPĆANI

BABILONCI

KINEZIINDIJANCI (MAYA)

32

Brojevni sustav

= naĉin zapisivanja i tumaĉenja

brojeva

Uobiĉajeni simboli (znamenke)

rimski

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

I,V,X,L,C,D,M

arapski

33

Brojevni sustavi

POZICIJSKINEPOZICIJSKI

XX 22

10 i 10 su 20

rimski arapski

dvije desetice i

dvije jedinice

22=2101+2100

34

Napińi svoju godinu roĊenja

• rimski

• arapski

Zadatak:

35

Danas koristimo

pozicijske (poloņajne) brojevne sustave.

U zapisu broja vaņan je poloņaj znamenke.

…znzn-1zn-2…z1z0..z-1z-2…z-n

23404.4555

najznaĉajnija

znamenka

najmanje znaĉajna

znamenka

4 stotice 4 jedinice 4 desetinke

36

BROJEVNI SUSTAV BAZA SUSTAVA MOGUĆE ZNAMENKEprimjer zapisa

broja

heksadekadski 160,1,2,3,4,5,6,7,8,9

A,B,C,D,E,F*F

dekadski 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 15

binarni 2 0,1 1111

oktalni 8 0,1,2,3,4,5,6,7 17

*A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)

15(10)=1111(2)=17(8)=F(16) 37

732(8) =7·82 + 3·81 + 2·80 = 7·64 + 3·8 + 2·1 = 448 + 24 + 2 =

= 474(10)

1101101(2) = 1·26+1·25+0·24+1·23+1·22+0·21+1·20 =

= 1·64+1·32+0·16+1·8+1·4+0·2+1·1 =

= 64+32+8+4+1

= 109(10)

1A3D (16) = 1·163 + 10·162 + 3·161 + 13·160 =

= 4096 + 10·256 + 3·16 + 13·1 =

= 4096 + 2560 + 48 + 13 =

= 6717(10) 38

… 4 3 2 1 0

1 3 4 2 4(b) = 1·b4 + 3·b3 + 4·b2 + 2·b1 + 4·b0= … (10)

Dekadski zapis broja iz sustava s bazom b

Broj raspisujemo po potencijama baze

uvaņavajući teņine (ili poloņaj) pojedine

znamenke.

39

ĈOVJEK

dakadski brojevni sustavRAĈUNALO

binarni brojevni

sustav

kraći zapisoktalno

heksadekadski

40

prirodni

broj

rimski

brojevi

dekadski binarno oktalno heksade-

kadski

nula 0 0 0 0

jedan I 1 1 1 1

dva II 2 10 2 2

tri III 3 11 3 3

ĉetiri IV 4 100 4 4

pet V 5 101 5 5

šest VI 6 110 6 6

sedam VII 7 111 7 7

osam VIII 8 1000 10 8

devet IX 9 1001 11 9

deset X 10 1010 12 A

jedanaest XI 11 1011 13 B

dvanaest XII 12 1100 14 C

trinaest XIII 13 1101 15 D

ĉetrnaest XIV 14 1110 16 E

petnaest XV 15 1111 17 F

41

Pretvorba cjelobrojne vrijednosti iz dekadskog

brojevnog sustava u neki drugi

Primjer 1. Broj 77(10) zapińi binarno.

77(10) = ? (2)

0

77 : 2 = 38 1

38 : 2 = 19

19 : 2 = 9 1

9 : 2 = 4 1

4 : 2 = 2 0

2 : 2 = 1 0

1 : 2 = 0 1

77(10) = 1001101 (2)

42

Primjer 2. Broj 77(10) zapińi oktalno.

77(10) = ? (8)

1

77 : 8 = 9 5

9 : 8 = 1

1 : 8 = 0 1

77(10) = 115 (8)

Primjer 3. Broj 77(10) zapińi heksadekadski.

77(10) = ? (16)

4

77 : 16 = 4 13

4 : 16 = 0

77(10) = 4D (16)

D

43

Pretvorba broja iz oktalnog brojevnog

sustava u binarni

1. grupiramo binarne znamenke u skupine po tri poĉevńi zdesna

2. ako broj znamenaka nije cjelobrojni vińekratnik od tri,

nadopunimo ga nulama s lijeve strane

3. svaku grupu binarnih znamenki zamijenimo odgovarajućom

oktalnom znamenkom

4. naniņemo redom dobivene oktalne znamenke

Primjer: Broj 10111(2) zapińimo oktalno.

010 111 → 10111(2) =27(8)

2 7

44

Obrnuto:

Svaku oktalnu znamenku zadanog broja zapińemo

pomoću tri binarne znamenke; vodeće nule izbacimo

te spojivńi binarne znamenke dobit ćemo binarni

zapis oktalnog broja.

Primjer: Broj 263(8) zapińimo binarno.

2 6 3 → 263(8) =10110011(2)

010 110 011

binarni

zapis

oktalni

zapis

000 0

001 1

010 2

011 3

100 4

101 5

110 6

111 7

45

Pretvorba broja iz heksadekadskog

brojevnog sustava u binarni

1. grupiramo binarne znamenke u skupine po ĉetiri poĉevńi

zdesna

2. ako broj znamenaka nije cjelobrojni vińekratnik od ĉetiri,

nadopunimo ga nulama s lijeve strane

3. svaku grupu binarnih znamenki zamijenimo odgovarajućom

heksadekadskom znamenkom

4. naniņemo redom dobivene heksadekadske znamenke

Primjer: Broj 11011(2) zapińimo heksadekadski.

0001 1011 → 11011(2) =1B(16)

1 B (11)

46

Obrnuto:

Svaku heksadekadsku znamenku zadanog broja

zapińemo pomoću ĉetiri binarne znamenke; vodeće

nule izbacimo te spojivńi binarne znamenke dobit

ćemo binarni zapis heksadekadskog broja.

Primjer: Broj 263(16) zapińimo binarno.

2 6 3 → 263(16) =1001100011(2)

0010 0110 0011

47

binarni zapisHeksadekadski

zapisbinarni zapis

heksadekadski

zapis

0000 0 1000 8

0001 1 1001 9

0010 2 1010 A

0011 3 1011 B

0100 4 1100 C

0101 5 1101 D

0110 6 1110 E

0111 7 1111 F

48

Pretvorba broja iz oktalnog brojevnog sustava u heksadekadski i obrnuto

koristimo

binarni brojevni sustav

Kako?

Zadatak: Broj 237(8) zapińi heksadekadski.

49

2 3 7

010 011 111

Zadatak: Broj 237(8) zapińi heksadekadski.

0 9 F(15)

237(8) = 10011111(2) = 9F(16)

Obrnutim postupkom provjeri svoj rezultat!

50

Ńto smo nauĉili?

• Ńto je brojevni sustav?

• Kakvi su to pozicijski brojevni sustavi?

• Ńto odreĊuje brojevni sustav?

• Koje brojevne sustave ste upoznao na

danańnjem satu?

51

1. Broj 234(10)

a) binarno zapisujemo kao _____________ .

b) oktalno zapisujemo kao _____________ .

c) heksadekadski zapisujemo kao _______ .

Sad znam!

2. Koji je od navedenih brojeva najveći

45(10), 110111(2), 77(8), 2C(16)?

11101010

352

EA

110111(2)= 55(10)

77(8)= 63(10)

2C(16) = 44(10)

52

BINARNI RAĈUN

ABECEDA RAĈUNALA

53

Binarne znamenke 0,1

Binarno ZBRAJANJE

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 2

1 + 1 = 10

2 (10) =10 (2)

54

10011(2) + 1011(2)

01111

1101+

11001

11

Koliko je ?

10011(2) + 1011(2) =11110(2)

1 + 1 + 1 = 11

Binarno:

55

Binarne znamenke 0,1

0 0 = 0

0 1 = 0

1 0 = 0

1 1 = 1

Binarno MNOŽENJE

56

1001(2)·101(2)

Koliko je ?

1001(2)·101(2) =101101(2)

101101

101·1001

+0

1001

57

Binarno ODUZIMANJE

1110101(2) -1001(2) =1101100(2).

Koliko je ? 1110101(2) -1001(2)

1 00111 111 00-

0011011

58

1110111

Binarno ODUZIMANJE

Oduzimanje svodimo na zbrajanje: a-b = a+(-b).

U binarnom brojevnom sustavu negativni brojevi predočavaju se

dvojnim komplementom.

1110101

+ 1110111

11101100

Dvojni komplement pribrojimo umanjeniku te

odbacimo krajnju lijevu jedinicu.

- dobili smo dvojni komplement

+ 1Komplementu pribrojimo 1

1110110Odredimo komplement umanjitelja

(umjesto 0 pišemo 1 i obrnuto)

00010011110101Umanjitelju s lijeve strane dopińemo nule (ako je

potrebno) tako da umanjenik i umanjitelj imaju

jednak broj znamenki.

1110101(2) -1001(2) =1101100(2).

Postupak:Koliko je ? 1110101(2) -1001(2)

59

Binarno DJELJENJE

Uzastopno oduzimanje!

60

Što smo nauĉili?

Zbroji, oduzmi i pomnoņi brojeve:

1000111(2) i 1011(2)

PROVJERI DOBIVENE REZULTATE DEKADSKI!

61

ABECEDA RAĈUNALA

MATEMATIĈKA LOGIKA

BOOLEOVA ALGEBRA

(Engleska, 1815-1864)

Istina?

62

IZJAVA (SUD)

Danas je ponedjeljak.

Koji je danas dan?

istinita izjava

laņna izjava

2 < 3 je ISTINITA izjava

2 = 4 je LAŅNA izjava

63

ISTINA = 1

LAŢ = 0

Izjavu ”7 je paran broj” oznaĉit ćemo slovom a.

Pońto je izjava laņna, pridruņujemo joj vrijednost 0.

a := 0

Kažemo da varijabli a pridružujemo vrijednost 0.

Logiĉki sudovi (izjave)

64

Brojeve u matematici povezujemo aritmetiĉkim operatorima (+,-,,:)

2 + 3 = 5

Logiĉke sudove (izjave) povezujemo

logiĉkim operatorima.

“Broj je manji od 3 ili veći od 10.”

“Srednjońkolac sam i imam mnogo prijatelja.”NE

I

ILI

Logiĉki izrazi

65

Negacija (logiĉko NE)

Simbol:

a a

1 0

0 1

Negacija istinite izjave je laņna

izjava i obratno.

Izjava a

je istinita.

Izjava a

je laņna.

TABLICA ISTINE

Negacija izjave "x = 0" je "x 0" .

66

Konjunkcija (logiĉko I) - logiĉko mnoţenje

Simbol:

a b ab

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Izjava a b je istinita samo

ako su obe izjave istinite.

10 0 i 5 >3

10 > 0 i 5 >3

LAŅNA izjava

ISTINITA izjava

67

Disjunkcija (logiĉko ILI) - logiĉko zbrajanje

Simbol:

a b ab

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Izjava a b je laņna samo

ako su obe izjave laņne.

10 0 ili 5 > 3

10 > 0 ili 5 >3

10 0 ili 5 < 3

ISTINITA izjava

ISTINITA izjava

LAŅNA izjava

68

Ponovimo

Tablica istine:

001100

110011

100110

101001

ababbaba

69

Zadatak:

Odredi tablicu istine za sloņeni logiĉki izraz: a b c

010000

000100

010010

000110

0

0

1

0

a b c

1

0

1

0

c

0

1

0

1

c

001

001

111

111

a bba

70

a b c

broj 10

a b c a b c a b c

1 1 0 1 1 1

a b C

broj nije djeljiv s 2broj < 100i i nije

Provjeravamo da li je broj dvoznamenkasti i neparan!

71

Ńto smo nauĉili?

1. Potraņi u svom udņbeniku svojstva logiĉkih

operacija.

2. Tablicom istine provjeri De Morganova pravila.

3. Pokuńaj pronaći ńto je to tautologija?

72

Zapamti!

• Izjava (sud)

• Logiĉke

operacije

Tablice istine

I, ILI, NE

73

ABECEDA RAĈUNALA

LOGIĈKI SKLOPOVI

74

O ĉemu će biti rijeĉi?

• Iako je sklopovlje elektroniĉkog raĉunala vrlo sloņeno,

osnovni elementi od kojih je graĊeno raĉunalo relativno

su jednostavni i ograniĉeni na nekoliko osnovnih tipova.

Sloņeni sustavi grade se spajanjem vińe osnovnih

elemenata - logiĉkih sklopovi (ili vrata).

Osnovni logiĉki sklopovi vezani su uz osnovne

logiĉke operacije, a njihovo se ponańanje opisuje

tablicom istinitosti (ili tablicom stanja).

Osnovni logiĉki sklopovi mogu imati jedan ili vińe

ulaza i jedan izlaz.

75

NE sklop (engl. inverter)

a y

1 0

0 1

76

I sklop (engl. AND)

a b y

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

77

ILI sklop (engl. OR)

a b ab

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

78

Ponovimo

Tablica istine:

001100

110011

100110

101001

ababbaba

79

Sloţeni logiĉki sklopovi

Spajanjem osnovnih logiĉkih sklopova dobivamo sloņene

logiĉke sklopove.

Upute za izradu sloţenih logiĉkih sklopova:

Koristeći svojstva logiĉkih operacija pojednostavi logiĉku operaciju

ńto je vińe moguće.

Izdvoji dva dijela logiĉkog izraza i uoĉi osnovni logiĉki operator koji

ih povezuje. Izraz predoĉi logiĉkim sklopom s dva ulaza.

Ponovi postupak za svaki od ulaza dobivenoga logiĉkog sklopa

promatrajući ulazni logiĉki izraz kao posebnu logiĉku operaciju.

Postupak ponavljaj za svaki ulaz sve dok na ulazu logiĉkog sklopa

ne budu osnovni operandi.

80

Ńto smo nauĉili?1. Odredi tablicu istine za sloņeni logiĉki izraz:

a b c

010000

000100

010010

000110

0

0

1

0

a b c

1

0

1

0

c

0

1

0

1

c

001

001

111

111

a bba

81

Ńto smo nauĉili?

2. Nacrtaj logiĉki sklop za sloņeni logiĉki izraz:

a b c

Sjeti se postupka!

Y=a b c

Moņe li crteņ biti jednostavniji?

82

Ńto smo nauĉili?

3. Ispuni tablicu istine koja odgovara nacrtanom

logiĉkom sklopu?

83

Rješenje:

101000

101100

101010

111110

0

0

0

1

y

0

0

0

1

b c

0

1

0

1

c

001

001

011

011

aba

y=a ( b c)

Koji će biti

rezultat ako su

ulazni podaci

1,1,0?

84