ARMIN HERZER

A B L E I T U N G Z W E I E R S E L B S T D U A L E R , Z U M SATZ

VON PAPPOS ~ Q U I V A L E N T E R SC H L IE SSU N G SSA , TZE

AUS D E R K O N S T R U K T I O N VON D U A L I T A . T E N

0. E I N L E I T U N G

In der klassischen synthetischen Geometrie der Ebene spielte die Frage nach der Konstruktion 'allein mit dem Lineal' eine groBe RoUe. In diesem Sinne erwiesen sich etwa die projektiven Kollineationen der Ebene als konstruier- bar, da man das Bild eines gegebenen Punktes unter einer gegebenen Pro- jektivit/it nur durch die Operationen des 'Schneidens und Verbindens' erhalten kann.

Diese Fragestellung 1/iBt sich auf den Verband der Unterr/iume einer projektiven Geometrie verallgemeinem und zugleich in der Weise pr/izi- sieren, dab man Konstruierbarkeit mithilfe der Verbandsoperationen geeignet definiert.

Im folgenden wird eine Konstruktion yon gewissen Dualitfiten, insbeson- dere von Nullsystemen, behandelt. In naheliegender Weise ergeben sich aus dieser zwei Reihen selbstdualer ScblieBungss/itze (S,.k) und (S*), deren Aquivalenz zum Satz yon Pappos erwiesen wird. Sie stehen im Zusammen- hang mit zwei Reihen zum Satz yon Pappos/iquivalenter SchlieBungss/itze, die von K. B. Leisenring in [6] angegeben wurden, und beantworten die dort aufgeworfene Frage nach einer selbstdualen Form dieser Sfitze. W/ih- rend in [6] (ebenso wie in [1]) die Beweise mithilfe des GraBmann-Kalkiils durchgefiihrt werden, ergibt sich [tier nebenbei ein mehr synthetischer Beweis dieser S~itze von Leisenring, der auch fiir nicht zu sehr ausgeartete F/file in der einen Richtung ausgefiihrt wird.

Die Darstellung versucht, so viel wie m6glich 'synthetisch' (d.h. unmit- telbar aus der Verbandsstruktur der projektiven Geometrie) abzuleiten. Um dem Leser jedoch aufwendige und umst/indliche Betrachtungen zu ersparen, wurde an entscheidenden Stellen auf den zugrundeliegenden Vektorraum zuriickgegriffen.

Bezeichnungen und Voraussetzungen

Ist n e i n e natiirliche Zahl und K ein (nicht notwendig kommutativer) KSrper, so heiBt L=L(K, n) Projektiver Raum fiber K vom Range n, 1 falls L isomorph ist zum Verband der Unterr/iume des (bis auf Isomorphie ein-

1 In dieser Arbeit werden ausschlicBlich Projektiv¢ R~ume von endlichem Rang betrachtet.

Geometriae Dedicata 2 (1973) 283-310. All Rights Reserved Copyright © 1973 by D. Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland

284 A R M I N H E R Z E R

deutig bestimmten) Links-K-Vektorraumes V vom Range n. Wir k6nnen dann gegebenenfalls die Elemente yon L mit den Unterr~iumen yon V identifizieren und schreiben 0 fiir das kleinste und V fiir das gr6Bte Element; sind A und B aus L, so bezeichne A + B bzw. A c~ B ihre kleinste obere bzw. grt~Bte untere Schranke. Die auf L gegebene Halbordnung wird durch ~< be- zeichnet. In diesen wie in den meisten grundlegenden Definitionen richtet sich dieser Beitrag nach Baer [2]; einige fiir das folgende unentbehrliche Ergebnisse und Begriffe seien noch gesondert erw~ihnt.

Ist AeL , so ist r(A) der Rang yon A (als Unterraum yon V). Elemente vom Rang 1 heiBen Punkte, Elemente vom Rang 2 heiBen Geraden, solche vom Rang 3 heiBen Ebenen, Elemente vom Korang 1 heiBen Hyperebenen, und solche vom Korang 2 heiBen Ko-Geraden.

St~indig wird implizit die Rangformel benutzt:

r ( A ) + r ( B ) = r ( A + B ) + r ( A c ~ B ) f/Jr A , B ~ L .

(1") unter einem Gleichheitszeichen besagt: Diese Identit/it beruht auf dem modularen Gesetz:

(1") A + ( B c ~ C ) = ( A + B ) t a C ffir A , B , C ~ L , falls A<<.C.

Dagegen weist (2*) auf die Benutzung der folgenden Formel b_in:

(2*) N (A + B,) = A + B, ftir / = 1 / - -1

A, Bi~L , falls A c ~ ( i f ~ B / ) = 0 .

Zur Formulierung des Satzes von Pappos vgl. [2], Chapter III, Appendix II. Wichtig ist der folgende Satz von Hilbert:

ERGEBNIS 1. ([2], S.72) 1st L fin Projektiver Raum vom Rang n>~ 3 fiber K, so gilt in L genau dann der Satz yon Pappos, wenn K kommutativ ist.

In L gilt der Sechzehn-Punkte-Satz ([5], §4.2.), falls folgendes gilt: Sind Ai, Bj, i , j= 1, 2, 3, 4, paarweise verschiedene Geraden von L, die nicht in finer Ebene liegen, und sind die Elemente Pi~=A~nBj fiir ( i , j )#(4, 4) siimtlich Punkte, so ist auch P44 fin Punkt.

ERGEBNIS 2. (Satz von Dandelin; [5], Theorem 4.2.1. vgl. [3], 35.) Fiir einen Projektiven Raum L vom Range n >i 4 ist der Sechzehn-Punkte- Satz gleichwertig zum Satz yon Pappos.

Kollineationen bzw. Dualit~iten sind stets als Automorphismen bzw. Antiautomorphismen des Verbandes L zu verstehen.

Eine Kollineation a heiBt Perspektivit~it, falls es fine Hyperebene H gibt

ZUM SATZ VON PAPPOS AQUIV. $CHLIESSUNGSS,~TZE 285

mit X ' = X fiir alle X e L mit X<~H. Ist aul3erdem noch a # l , so gibt es einen eindeutig bestimmten Punkt S (das 'Zentrum von a') mit Y" = Y f'tir YeL mit S <<. Y ([2], VII.5. Lemma 1).

PG(L) ist die Kollineationsgruppe von L, welche von allen Perspekti- vit/iten erzeugt wird; ihre Elemente heil3en Projektivit/iten oder projektive Kollineationen.

ERGEBNIS 3. Eine Kollineation (Dual#at) a ist bereits gegeben, wenn fiir ein festes W eL mit W # V die Bilder P* aller Punkte P eL mit P ~ W bekannt sind.

Wir iiberlassen die Verifikation dieses Ergebnisses dem Leser. Fiir die folgenden Definitionen verwenden wir Begriffe aus der allgemeinen

Algebra; man vergleiche dazu etwa [4], insbesondere §3 und §8. Zu L geh/Srt die folgende Algebra 9~(L): Die Elemente von 9~(L) sind die Elemente von L, und die (fundamentalen) Operationen von 9.I(L) sind genau die beiden Abbildungen L x L ~ L, die durch

und durch

x + r

(X, Y)~-~ X c~ Y

definiert sind. Damit ist dann auch festgelegt, was unter den algebraiscben Operationen und den algebraischen Funktionen yon 9/(L) zu verstehen ist.

Es seien Y und X1,..., Xm Elemente von L. Man nennt Y aus (X1,..., Xm) konstruierbar, falls es eine (m-stellige) algebraische Operation g von 9I(L) gibt mit

r = g ( x , . . . . , x . ) .

Es sei a eine Kollineation oder Dualit~it yon L. Man nennt a On L) kon- struierbar, wenn es einen Unterraum W ~ V, IV# V, und eine (einstellige) algebraische Funktion f yon 9.I(L) gibt, so dab fiir alle Punkte P a L mit P ~ Wgilt

p" = f ( P ) .

Dabei heiflt a vermittels (Vl ..... I'm) konstruierbar, falls es eine algebraisch¢ Operation g von 9/(L) gibt mit

f ( z ) = a z ) .

Wir sagen dann auch, dab a dureh (Y1, ..., V,~) konstruierbar ist. Eine Gruppe yon Kollineafionen (und Dualit/iten) heiBt konstruierbar,

wenn sie yon konstruierbaren Kollineationen (und Dualit/iten) erzeugt wird.

286 ARMIN H E R Z E R

(Man sieht, dab die mittlere dieser Definitionen durch Ergebnis 3. motiviert ist.) Mit denselben Hilfsmitteln lieBe sich aueh der Begriff des SchlieBungs- satzes definieren; wir verzichten darauf und verweisen auf die konkreten Beispiele im Verlaufe der Arbeit.

ERGEBNIS 4. Die Gruppe PC(L) ist konstruierbar. Ist n/imlich a eine Perspektivit/it mit Zentrum S, so gibt es nach Definition

eine Hyperebene H, die mater a punktweise lest bleibt. W/ihlt man nun einen festen Pmakt P mit S ~ P ~ H, so gilt ffir jeden Punkt Q mit Q ~ S+ P :

Q" = (((Q + P) n H) + P ') n (S + Q).

Zum Schlul3 noch einige Ergebnisse fiber projektive Dualit~iten, wozu auch ein Hilfssatz zu rechnen ist.

G und G' seien Geraden yon L. Es bezeictme (G) die Menge der Punkte P yon L mit P ~< G. Eine Abbildung yon (G) auf (G') heil3t projektiv, wenn sie yon einer Projektivit/it induziert wird. Eine Dualit/it x heiBt projektiv, wenn es Geraden G und G' mit G ~ c~ G'= 0 gibt, so daB die Abbildung yon (G) auf (G'), definiert durch P ~ P~ n G, projektiv ist.

ERGEBNIS 5. ([7], IV, Satz 3.1) Eine Kollineation o~ istgenau dannprojektiv, wenn es eine Gerade G gibt, so daft ~ eine projektive Abbtldung yon (G) auf ( G') induziert.

ERGEBNIS 6. ([7], IV, Beweis zu Satz 7.1) Ist x eine projektive Dualitat, so gilt fiir beliebige Geraden G, G' mit G~nG'=0, dafl die durch P ~--~ P~ c~ G ' definierte Abbildung yon (G) auf (G') projektiv ist.

HILFSSATZ. Die projektiven Dualit~ten bilden mit den Projektivitiiten zusammen eine Gruppe.

Beweis. Jedenfalls bildet PG(L) bereits ein¢ Gruppe. (1) Sei x eine projektive Dualit/it, und Gt, G~ seien G-eraden mit G~ n Gz =

= 0, so dab die Abbildung

x - I projektiv ist. Es ist V= 0 ~-' = G 1 + G2 , also Gx n G~-' = 0. Sei Q ein Punkt yon G2 und Q =P~n G2. Dann ist

Q'-' n 61 = (P + 6~-') n 61

= P + n (1")

= P .

Also ist r-1 ebenfalls projektiv.

ZUM SATZ VON PAPPOS AQUIV. SCHLIESSUNGSS.~TZE 287

(2) Seien r und 2 projektive Dualit~iten; seien G1, G2, G 3 Geraden mit G~ c~ G2 = 0 = G~ c~ G3. Die Abbildungen

(~)-* ( 6 0 ; Q ~ Q" n 63

sind projektiv (Ergebnis 6). Also ist auch die Komposition aus diesen, n~imlich die Abbildung

(G,) ~ (G3); P ~ ( e ~ ~ G2) ~ ~ G3 projektiv.

Nun ist G~ c~ G~x= (G2 + G~) ~= V~=O; also kSnnen wir speziell G3 = G~ x w/ihlen. Dann ist P~X< G3, und daher ist

(P" ~ G2) * ~ G, = (P'* + G~) ~ G 3

= P ~ + (G~ ~ G3) (I*)

= e,~.

Mithin induziert die Kollineation x2 eine projektive Abbildung von (G1) auf (G~ a) und ist daher nach Ergebnis 5 selber projektiv.

(3) Ist ~e PC(L) und x eine projektive Dualit~it, so dab fiir Geraden G, G' mit G" c~ G' = 0 die Abbildung

(G) --* (G'); Q ~ Q'~ c~ G'

projektiv ist, so ist auch die Abbildung

( G : ' ) - . (G'); e ~ P,~ ~ G'

projektiv. Also ist auch ?x eine projektive Dualit/it. SchlieBlich ist auch x~ = (~ - ix- 1)- 1 eine projektive Dualit/it.

Die Gruppe der Projektivit/iten und projektiven Dualit/iten wird mit PD(L ) bezeichnet.

ERGEBNIS 7. ([7], IV, Satz 7.2, [2], S.102) Ist tc eine projektive Dualit/it yon L = L(K, n), n >. 3, so ist K kommutativ und es gibt auf dem zugeh~rigen K-Vektorraum V eine Bilinearform ( , ) , so daft (u) <<. (w) ~ gleichbedeutend ist mit (u, w)= O.

Eine solche Form nennen wir eine zu x geh~rende Bilinearform und x die durch ( , ) induzierte Dualit~it. Eine Bilinearform ( , ) heiBt symmetrisch, falls (u, w)=(w,u) fiir alle u, w e V gilt; sie heist antisymmetrisch, falls (u, w)= - (w, u) und (w, w)=0 fiir alle u, we V gilt.

Es sei 6 eine Dualit~it von L. Ein Punkt P yon L heiBt N-Punkt, (beziiglich 6), falls P ~< p6 gilt. Ein Element U e L heil3t N-Raum (N-Gerade usw.), wenn

2 8 8 A R M I N H E R Z E R

jeder Punkt von U ein N-Punkt ist. Ferner heil3t U isotrop, falls U c~ U e ~ 0 ist, und U heil3t nicht-isotrop, falls U n Ue=0 ist. Die Dualit~it t~ heillt Polaritiit, falls/~2 = 1 gilt, und ~ heil3t Nullsystem, falls ganz Vein N-Raum ist.

ERGEBNIS 8. ([7], IV, Satz 8.1) Die projektiven Polaritfiten sind genau die Dualitiiten mit symmetrischer oder antisymmetrischer Bilinearform.

ERGEBNIS 9. ([2], IV. 2. Lemma 1, IV. 3. Korollar 1) Die Nullsysteme sind genau die Polaritiiten mit antisymmetrischer Bilinearform.

1. E I N E K O N S T R U I E R B A R E D U A L I T . ~ T IM P A P P U S ' S C H E N

P R O J E K T I V E N R A U M

DEFINITION 1. Eine Dualit~it 6 yon L=L(K, n) heil3t G-Dualit~it, falls es in L einen Punkt P und (beziigl. 6) nicht-isotrope N-Geraden G~, i=

~i= 1 Gi = V und = 1,..., n - 1 gibt mit n- i n= 1 Oi= l Gt=P" Seien Q~ von P verschiedene Punkte mit Q~<~G~; dann ist

n - 1 n - 1 n - 1

V = E G,= E (P + Q,)=P + ~, Q, i=1 i l l iffil

und es gibt cinc Basis (v~) i-- 1, 2,..., n yon V, so dab Qt= (v(), i-- 1, 2,..., n - 1 und P = (vn) wird. Wir wollcn eine auf dicse Wcise gcwonnene Basis ein Grundsystem (erg. von Vektoren) zu 6 nennen, die zugehiSrigen Geraden G~ = P + Qi die Grundgeraden.

SATZ 1. Genau dann existiert in dem Projektiven Raume L yon endlichem Range n >t 3 eine G-Dualitiit, wenn in L der Satz yon Pappos gilt.

Beweis. Da die Gerade G i nicht-isotrop ist, gilt G~c~G~=O. Fiir einen Punkt R mit R<<.GI ist R<<,R ~, da R e i n N-Punkt ist; beides zusammen erzwingt R e c~ G~ = R. Also ist die Abbildung

(o,)-, (G,); R R

die Identit/it, also eine projektive Abbildung; mithin ist t5 eine projektive Dualit/it. Nach Ergebnis 7 und Ergebnis 1 gilt dann in L der Satz von Pappos.

Gilt umgekehrt in L=L(K, n) mit n~> 3 der Satz von Pappos, dann ist (Ergebnis 1) K kommutativ und durch Bilinearformen auf V werden Duali- t/iten von L induziert (Ergebnis 7). Ist (v,) i= 1, 2, ..., neine Basis von V und ist aueK , i,j= 1, 2,..., n mit det((a~l))~0, so wird durch

(v,, o j ) = a , j

Z U M SATZ VON P A P P O S AQUIV. $CH LIESSU N G SS~ ,TZE 289

schon eindeutig eine Bilinearform auf V definiert. Nun seien die ats noch so gew~ihlt, dab

a u = 0 ffir i = l , 2 , . . . ,n ,

0 ~ a t , = - a , t ffir i = 1 , 2 .... , n - 1

gilt. Wegen n>~ 3 ist das stets mSglich. Die so definierte Bilinearform in- duziert dann, wie man leicht sieht, eine G-Dualiffit mit den Grundgeraden Gt = (vt, v . ) .

Sei 6 eine G-Dualiffit yon L u n d ~/=5 -~. Dann ist q ebenfalls eine G- Dualiffit zu denselben Grundgeraden G~. Sei At=G~, dann folgen ftir die Elemente A~ die zu den Gt dualen Relationen: Es ist r ( A t ) = n - 2 und

71 At = (q = O, = V ' = 0 . t= l t= l \ t = l

Ferner ist

H : = E At= E GT= Gs = P" t= l t= l \ t = l

eine Hyperebene yon L u n d es gilt P <<. H, da P ein N-Punkt ist. Es ist Gs c~ At = 0, da Gt nicht-isotrop ist, daher ist G~ ~ H. Wendet man umgekehrt auf die beiden Seiten der Gleichung p6 n G~ = P die Dualiffit r/an, so erh~ilt man P+As=H, also gilt auch P ~At.

Diese Feststellungen motivieren die folgende

DEFINITION 2. Die Elemente P, H, Gs, At, i= 1, 2, ..., n - 1 von L bilden ein D-Gestell ~3 = (P, H, Gs, Ai), wenn folgendes gilt: Es ist P ~<H, wobei P ein Punkt und Heine Hyperebene ist; es ist Gt eine Gerade mit P ~< Gs und Gt ~ H fiir i= 1, 2, ..., n - 1, und es gilt ~ - ~ Gi = V; es ist As eine Ko-Gerade mit P ~g A~ und As ~< H ftir i= 1, 2, ..., n - 1, und es gilt n,=,"- a At=0.

SATZ 2. Zu jeder G-Dual#lit 6 des Projektiven Raumes L vom Range n >t 3 gibt es ein D-Gestell ~ = (P, H, Gi, At), so daft 6 dutch ~ schon eindeutig bestimmt und vermittels ~3 konstruierbar ist.

Beweis. Seien Gt die zu der G-Dualiffit 5 gehSrigen Grundgeraden, und H _ ~ . = I A seit/=5-1. DefiniertmandannAt=G~,sowieP=('lTS-~Gi und - ~ = z l,

so ist ~3 = (P, H, Gi, At)jedenfalls ein D-Gestell. Ftir i= l, 2, ..., n - 1 sei nun K seine Hyperebene mit As<,.Kt aber K i t H .

Dann ist P ~g Ks, sonst folgte wegen P ~g Ai mit der Rangformel, dab Ki = As + + P = H gilt.

Wegen P <~ Gtist daher Gt ~ Ks und also Qs:= Gi c~ K, ein Punkt. Wegen Asc~Gs=O ist Qs~_At, also Kt=Ai+Qi. Nun ist wegen Qi<<.Gi

290 A R M I N H E R Z E R

auch Qt<<. Q~, da Gt eine N-Gerade ist. Folglich ist

Qt ~< Q~ c~ G t = (Qt + At)' = K[ ,

und aus der Gleichheit der RAnge folgt dann

(1) K~ = Qt-- Ks c~ Gt.

Nun sei R e i n Punkt von L mit R~H; daher ist Kt:=R+At fiir i= 1, 2, ..., ~n-1 A " t - n - 1 eine Hyperebene yon L. Weiter folgt mit (2*) wegen R n v.~t= t s ) -

= R c ~ H = 0 auch

(2) r t = n (R A, = R . fffil fffil = t

Aus (1) und (2) zusammen ergibt sich

R 6 = Ks = Kf \ i l l f = l n - 1 n - 1

= E (rt Gs) = E ((R + At) G0. S=I /=1

Nach Ergebnis 3 ist dadurch ~ auf L schon eindeutig definiert, uad nach Definition ist 3 (vermittels ~)) konstruierbar.

Ist ~ eine G-DualitAt uad ~ = (P, H, Gs, At) ein D-Gestell mit

n - 1

R '= ~ ((R +As) riGs) f f i ra l lePunkte R~L mit R~gH, /ffil

so sagen wir, daft ~ zu ~ geh6rt. Satz 2 1Al3t sich teilweise umkehren:

SATZ 3. Sei L ein Projektiver Raum yon endlichem Rang n >I 3, in dem der Satz yon Pappos gilt. Dann gibt es zu jedem D-Gestell ~ eine G-Dualitat

so, daft ~ zu ~ geh~rt. Beweis. Sei ~=(P ,H, Gs, As) das vorgegebeae D-Gestell. Offenbar

geniigt es dann, eine DualitAt ~/nachzuweisen, so dab fiir i= 1, 2 .... , n - I stets G t eine nieht-isotrope N-Gerade beziiglieh ~/ ist und auBerdem noch G~ = A~ gilt. Denn dana geh~rt ~ zu t/- ~. Seien Qs voa P versehiedene Punkte mit Qt<,.Gt, und (vt)t= 1 ..... , sei eine Basis von V mit Qt=(vs) fflr i = l , 2 , . . . , n - 1 , und P=(v.). Nach Ergebnis 1 ist der zu L=L(K,n) gehSreade KSrper K kommutativ. Wir wollen eine zu dieser Basis geh5rende Gram'sche Matrix (at j) konstruieren, so dab die durch (ao) definierte Bilinearform eine DualitAt ~/mit den geforderten Eigenschaften induziert. Wir definieren noch die Hyperebeaea Ks: = A s + Qv

Z U M S A T Z V O N P A P P O S A Q U I V . S C H L I E S S U N G S S A T Z E 291

Sei V* der Dualraum von V und sei ( f i ) die zu (vs) duale Basis, so dab also vsfj=~ij ist. Ist UeL, also U ein Unterraum von V, so bezeichnct U ± den Unterraum allcr a e V* mit ug=O fiir allc uEU. Die Unterr~umc K~ L und H i yon V* haben den Rang 1, da Ks und H Hypercbencn in V sind. Sei Ki=(gi) und H=(g,) mit gi=~=tfjcjs fiir i = l , 2 , . . . , n . Wcgcn P~Ks ist c,~=v,gs#O, und wegen Qi~H ist auch cs,=vtg,~O. Daher kSnnen wir (¢twa bei festgchaltenem g,) ftir i=1 , 2,..., n - 1 die gt so normieren, daft gilt

(1) 0 # c t . = - cns.

Wegen Qs<~Ks und P<~H gilt ferner wegen, cu=vigs auch

(2) c~s = 0 .

Schliel31ich ist

K, c~ H = A (Ks c~ H) z = N A, = O; \ i = 1 S=l (I*)t=1

daher ist auch

V* = 01 = Ki c~ H = ( g l , g 2 , ' " , On>, \ \ 1 = 1

d.h. (#f)i= 1,2 ..... n bildet eine Basis yon V* und folglich ist

(3) det ((cu)) # 0.

Definiert man die Matrix (as j) durch

au=csj ffir i , j = l , 2,...,n,

so wird wegen (3) in der Tat durch

(vi, v j ) = a q fiir i , j = l , 2 ..... n

auf V eine Bilinearform definiert, und wegen (1) und (2) besitzt die von dieser Bilinearform induzierte Dualitiit ~/ in G~=Qs+P fiir i=1 , 2,.. . ,

W n n - 1 nicht-isotrope N-Geraden. Ist nun we V und = ~y= 1 c f j, so erhalten wir

=1 j = l

= (j=~-~,I CjVj) gS = W~, "

2 K, f l H-----(A~+QO f~ H = A ~ + ( Q , fl H ) = A , .

292 ARMIN HERZER

Ist weK~, dann folgt wegen glEK~, dab gilt

(w, v~) = wg~ = O.

Da Ks eine Hyperebene ist, besagt diese Formel aber, dab

(4) Q~ = Ks

gilt. Ebenso erhalten wir fiir weH wegen gneH ± nun (w, vn)=wg~=O, und daraus wie oben, dab ebenfalls gilt

(5) Pn = H.

Mit (4) und (5) ergibt sich schlieBlich

G ~ = ( Q s + P ) ~ = Q T c ~ P ~ = K , c ~ H = A s. (1")

KOROLLAR. Die Gruppe PD(L) ist konstruierbar. Beweis. Gilt in L nicht der Satz von Pappos, so ist PD(L)=PG(L).

Aber nach Ergebnis 4 ist PG(L) konstruierbar. Nun gelte in L der Satz yon Pappos. Nach Satz 1 ist dann PD(L)#

~PG(L) - die Endlichkeit des Ranges ist vorausgesetzt. Da das Produkt zweier Dualitfiten eine Kollineation ist, hat PG(L) den Index 2 in PD(L), d.h. alle projektiven Dualit/iten liegen in einer einzigen Nebenklasse von PG(L). Daher geniigt es, eine konstruierbare Dualit/it nachzuweisen, was in diesem Falle durch Satz 1 und Satz 2 sofort geleistet wird.

2. E I N SATZ VON LEISENRING UND EIN ENTSPRECHENDER

SELBSTDUALER SCHLIESSUNGSSATZ

DEFINITION 3. Sei L ein Projektiver Raum vom Range n>~3. Die Elemente H, P~, Aij, H~j, Qt, Rj fiir i,j= 1, 2 ..... n ergeben ein Gebilde ~, wenn folgendes gilt: Es ist Heine Hyperebene und Ps ein Punkt, und es ist

es ist

• P j = H jffil j e t

fiir i = 1 , 2 ..... n;

Atj = ~ ek k=l kv~i k¢j

fiir i # j ,

also A~j=Aj~; ferner ist Hf~ eine Hyperebene mit A~j<~H,j und H~j#H

Z U M SATZ V O N P A P P O $ ~,QUIV. SCHLIESSUNGSS.~TZE 293

(bier diirfen H o und H/~ verschieden sein); schlieBlich ist

Qi= ~'~ Hij u n d Rj= ~ H U. j r 1 i=1 j#i i#j

Wir bemerken, dab Q~ und Rj Punkte (auBerhalb H) sind. Dies sei far den Punkt Rj gezeigt. Da der Rang eines Unterraumes durch den Schnitt mit einer Hyperebene hSchstens um 1 vermindert wird, gilt jedenfalls

r(Rj) = rC=f~ 1 Hij) ~> 1.

Andererseits zeigen wir, dab Rj • H = 0 gilt. Wir betrachten die Elemente A~ als Hyperebenen in Bezug auf H. Angenommen far ein k mit 1 <~k<~n und k # j w/ire

N A U <. Akj, i=1 i;~ j

dann folgte

Pk <~ ~'~ Aij ~ Akj i=l

und damit der Widerspruch

~ P~ = Akj #-H. i=1

Also folgt

und damit auch n n

Rj N H ~- N (Hij I~ H) = N hij = O. i= 1 (1.) i= 1

Der yon K. B. Leisenring in [6], S.36 (Theorem C) angegebene Satz lautet: Genau dann gilt in L der Satz yon Pappos, wenn fiir jedes Gebilde ~ = ( H , Pi, A~j, Q. Rj) yon L gilt:

Wir wollen hier unter Zuhilfenahme einer G-Dualit/it zeigen, dab aus dem

294 ARMI~ HERZER

Satz yon Pappos der Lcisenfing'sche Satz fiir Gebilde ~ spczieller Form folgt. Aus diesen lassen sich s/imtliche Gebilde ~ mithilfe verschiedener Kunstgriffc zuriickfiihren, woraufjedoch an dieser Stelle nicht eingegangen werden soft.

SATZ 4. (Leiscndng) Sei L ein Projektiver Raum yore Range n >I 3, in dem der Satz yon eappos gilt. Ferner sei ein Gebilde ~ = (H, P~, A~j, H~j, Q~, R~) yon L gegeben, fiir welches noch zusiitzlich/-/2:= ~-11 R~ eine Hyperebene ist

n--1 und P , ~ H 2 gilt. Dann ist auch H1:=~ t= 1 Q~ eine Hyperebene und es gilt P~ ~ H 1. Ferner gilt genau dann R, <<. 1-12, wenn auch Q, <~ H 1 gilt.

Beweis. F t i r j = l , 2,..,, n - 1 sei

n--1

1=1

Es ist r (G~) >i 2, a l~r

Gjn H,j = r~ Hu = Rj t f f i l

ist ein Punkt; also ist Gj eine Gerade. Wir wollen zcigcn, daft ~3= (P., H, GI, As.) tin D-Gcst¢ll yon List. Es ist P. ~< H, wobei P. ein Punkt und Heine Hypcrebene ist, ferner ist G~ vine Gerade und At. vine Ko-Gerad¢. FLir 1 <~ i < j ~< n - 1 ist P. ~< Atj = Aj~, dahcr gilt

n - I

P.~< N A,~= 6j. 1=1

Wegen Rj#P~ ist Gj=Pn+Rj, und daher gilt auch n - I n - I

G j = P . + ~ R j f P . + H 2 f V , j = l j = l

da nach Voraussetzung/-/2 Hyperebene ist mit P,:~Hv Weitcr ist G ~ H und P,:~AI,, und es giltA~,~<Hund "-~ N ~= 1Al, = 0. Also ist in der Tat ~ ein D-Gesteft. Nach Satz 3 existiert in L eine G-Dualit~t 6, zu der ~ geh0rt. Wir wollen einige Bilder yon 8 berechnen. Es ist

n - I n - I n - I

Q'. = Z (CAt. + ~,) ~ G~) = Z W,I ~ 61) = Z R, = ~2. I=1 I l l 1=I

Wir zeigen nun, dab Q~ = HI. ist. Sei n--1

Atj.= E P~. k - 1

k # J

Dann gilt

Z U M S A T Z V 0 N P A P P O S A Q U I V . S C H L I E S S U N G S S . ~ T Z E 295

(Qi + Ay.) c~ Hij = ((Qi + Aijn) + P~) c~ H~j

= (Qi + A,j.) + (P, n Hi] ) (1")

= Q~ + Au.

<~ Qi + A~. = H~..

Wegen Gj <~ Hq folgt for j = 1, 2,..., n - 1

(Q, + Aj.) n Gy <~ (Qi + Ayn) n Hij <~ n , . . also auch

n--I QS = Z ((Q, + Aj.) n Gj) ~< H,.;

jffil

da Q] eine Hyperebene sein muB, folgt schlieBlich

Q~ = n~..

Daraus erhalten wir aber

(n~l )~ n- 1 n- 1 Ha= Q, = ('] Qf= N H, , ,=R n,

\ i=l i = I i=l

d.h. H~ ist eine Hyperebene, Nun ist ~/=fi-1 ebenfalls eine G-Dualit/it mit den Grundgeraden G,. Wegen R. ~ H und R~ = HI ist daher St: =/-/1 n G~ # # P.. WAre P.<~H1, so folgte daraus der Widerspruch

n - 1 n - 1

V= ~ G,=P.+ ~ S~<.H~. tffil i=1

Gilt schlieBlich Q. ~</-/i, so folgt daraus

R~ H~ a = <~ Q,, =H2,

und umgekehrt folgt aus R, ~</-/2 auch

Q. = H~2 <~ R~n = HI.

Wir definieren nun einen selbstdualen SchlieBungssatz.

DEFINITION 4. In einem Projektiven Raum L vom Range n I> 3 bezeichne (S,,k) fiir 3 <~k <~n folgenden SchlieBungssatz: Fiir 1 <~i <~n- 1, 1 <~ j <~k seien P, H, Gi, A, Qtj, Ho, Kj, RI Elemente von L mit folgenden Eigen- schaften: Es ist (P, H, Gi, Ai) ein ~3-Gestell von L; es ist Q~j ein Punkt mit Qij<~Gi und P #Qtj; es ist Htj eine Hyperebene mit Ai<~Hu und H # H o ;

296 ARMIN HERZER

es ist Qu<<.H~j, und schliel31ich ist

n-1 n-1 Kj = E Q'J und Rj = ~ H~j.

i=1 /=1

Dann ist k- 1 k- 1 Rk ~< ~ = 1 Rd gleichwertig zu A j = 1 Kj ~< K k.

SATZ 5. Es sei L ein Projektiver Raum vom Range n>~3. Genau dann gilt in L der Schlieflungssatz (S,.k), wenn in L der Satz yon Pappos gilt.

Beweis. Zuerst gelte in L der Satz von Pappos, und P, H, Gl, Af, Qij, Hu, K~, Rj seien gem/iB Def. 4 vorgegeben. Nach Satz 3 gibt es eine G- Dualit~it t~, so dab das D-GesteU (P, H, G~, Al) zu t5 geh~rt. Nach Formel (1) im Beweis zu Satz 2 gilt insbesondere Hu = Qo, und daher gilt auch

R~= H,~ = H,5 = E Qq=KJ" \ i = I /=I i=1

Ist nun ~-k-~ ~ j = t R~, so folgt daraus

j = l j--1

und umgekehrt folgt ans ~ - ~ Kj<<.K k mit ~/=6 -1 auch

ca ). Rk=KZ~< r j = E K~j= X Rj. \ j = l j = l j = l

Nun sei umgekehrt in L die Giiltigkeit yon (S.,k) fiir ein k mit 3~<k~<n vorausgesetzt. Ist 3 < k , so folgt aus (S.,k) aber (S.,k-1): Sind die Vorans- setzungen von (S,,k-1) gem. Def. 4 erfiillt und gilt etwa "'k-1"~/.,1=1 ~'j, SO fiige man noch R o = R 1 sowie Qio, H~o, Ko mit den entsprechenden Eigen- schaften hinzu. Es folgt K o =K1. Jetzt sind die Voraussetzungen yon (S,.k)

D ~ " ~ k - 2 k-2 gegeben, und a u s , "k- 1 ~- Z.d = o Rj folgt mit (S,, k) nun ~ j = o Kj <. Kk- 1, also k 2 auch ~j-- 1 Kj <. Kk- 1. Entsprechend beweist man die umgekehrte Richtung. -

Daher geniigt es, zu zeigen, dab aus (S,,3) tier Satz yon Pappos folgt. In einer Ebene E von L seien die Voraussetzungen des Satzes von Pappos

wie folgt gegeben: Fiir i= 1, 2, 3 seien P~, R~, C i Punkte von E fiJr welche gilt P1 ~ P2, R1 ~ R2, Pa ~< P1 + P2, R3 <~ R1 + R2, P3 ~ R1 + R2, R3 2~ P1 + P2, PI~Pa#P2 , R I~Ra~R2 , CI=(Pj+Rk)c~(Pk+Rj) fiir i , j , k = l , 2 , 3 und i # j # k # i . Es ist zu zeigen, dab alas (S,,3) auch die SchluBfolgerung des Satzes von Pappos folgt, niimlich

C 3 ~ C 1 -I- C 2 •

Zun~ehst verschaffen wir uns geeignete Elemente yon L, die die Voraus- setzungen von (S.,3) erfiiUen; dabei soll P=P3 sein, und fiir i=l~, 2 sei

Z U M SATZ VON P A P P O S .Z, QUIV. $ C H L I E S S U N G S S A T Z E 297

P1 ( ~< A1 ) P3( = P) P2 (~ A2)

Fig. 1.

Gi=Ri+Pa. Es gibt eine Hyperebene H von L mit PI+P2<~H und E$H, sowie Geraden Gi, 3<<.i<<.n-1, und Ko-Geraden As, l<~i<~n-1, mit PI<<.A1, und P2<~A2, so dab (Pa, H, Gi, As) ein D-Gestell yon L bildet: Ist (vi) i= 1, 2,..., neine Basis von V mit Pj = <vj> ffir j = 1, 2 und E = <vl, vz, vn>, so setze man etwa Gl=(vl+v2, v.>, Gi=<vl+v2, vs+vn> fiir 2<<.i<~n--1, sodaB also P3=<vl+v2> wird; weiter kann man dann setzen Ax = (vl, vjl3<~j<~n-1),A2=(vy[2<~j<~n-1),Ai=(vl+v,, VsI2<~j<~ <~n-l, j#i> fi~r 3<~i<~n-1, sodaB also H=(vj]l<<.j<~n-l> wird.

Setzt man ferner Hi~--As+ R j, Qq=HijnGs, K _ v , - a j - z . , i= l Qu und Rj= = A~'- i Hu, so sind alle Voraussetzungen ffir (S,. 3) gem. Def. 4 erfiillt, und wegen R3 ~< R1 + R2 gilt daher auch

KI caK2~<K3.

Als niichstes untersuchen wir den Schnitt dieser Elemente mit E, um dadurch die SehluBfolgerung des Satzes yon Pappos zu gewinnen. Da P3 kein Punkt der Hyperebenen Hsj und K s ist, aber P3 ~< E gilt, folgt: Die Schnitte yon E mit diesen Hyperebenen sind stets Geraden. Wit berechnen jetzt Qo fiir i= 1, 2 u n d j = 1, 2, 3.

Ffir i - 1, 2 ist

Qu= Uu c~ G s = (R s + Ai) ca G, = R s + (A s ca G,) = R i. (1")

Fi~r i, j = 1, 2 mit i # j ist

gs j = n , j n c i = (As + R j ) ~ ( e ~ G,) =

= ( ( a , + R j) ~ V.) ca G, = (I", + R j) ~ G, .

298 ARMIN HERZER

Wegen Qu ~ QJJ ist daher Qo + QJJ =Pl + Rj. Folglich ist

K j n E = Qkj c ~ E = Q ~ + Q j j = P ~ + R j ,

r l ~ K~ n E -- (v~ + R1) ~ ( e l + R~) = C~.

F ~ i, j = 1, 2 und i ~ j ist weiterhin

Q,~ -- n,~ n o , = (A, + R~) ~ ( e n G,) --

= ((A, + R3) c~ E) c~ G, = (P, + R3) c~ (Pa + R,) =

-- Cj,

K 3 0 E -- Qk3 t~ E = Q13 "1- Q23 = c2 '1- c1 \ k : 1

Nun gilt (K~ nK2)nE<~K~ hE, und daher ist

d.h. in L gilt der Satz von Pappos. Bemerkung. Dieser Beweis zeigt nebenbei, dab der Satz von Pappos

mit einer speziellen Form von (Saa) zusammenf/illt.

3. KONSTRUKTION VON NULLSYSTEMEN UND EIN

DAZUGEHORIGER SELBSTDUALER SCHLIESSUNGSSATZ

Gibt es G-Dualit/iten, die Polarit~ten sind, und wie sehen solche aus? Antwort gibt

SATZ 6. Die Menge der G.Dualitaten, die zugleich Polaritaten aind, wird genau yon den Nullsystemen gebildet.

Beweis. Es sei 6 eine G-Dualitfit von L=L(K, n) mit 6 2 = 1. Nach Ergebnis 8 wird 6 durch eine symmetrische oder antisymmetrische Bilinearform ( , ) induziert. Aber diese muB auf einem Grundsystem (v~) von t~ die Bedingun- gen (v~, v~) = 0 fiir 1 ~< i ~< n und 0 ~ (v~, v . ) = - (vn. v,) tar 1 ~< i ~< n - 1 erfiillen, kann also nur antisymmetrisch sein (auch bei Charakteristik 2 yon K). Nach Ergebnis 9 ist darm 6 ein Nullsystem.

Ist umgekehrt 6 ein Nullsystem, dann nach Ergebnis 9 eine Poladt~t. Ist V=(vl, v2)~)...~)(vn_l, v,) eine Zeflegung yon V in eine direkte Summe hyperbolischer Ebenen und setzt man G~= (v~, ~ = 1 v j ) f'tir i= I, 2 , . . . , n - I , so ist G~ eine nicht-isotrope N-Gerade yon 6, und es gilt ~ - ~ G, = V und 1")~- ~ G, = P mit P = ( ~ = t v~); also ist/i eine G-Dualit/it mit den Grundgeraden G~.

ZUM SATZ VON PAPPOS .~QUIV. SCHLIESSUNGSSATZE 299

Im folgenden wird die Frage beantwortet, welche besonderen Eigenschaften ein D-Gestell besitzt, das zu einem NuUsystem gehOrt.

DEFINITION 5. Es sei L ein Projektiver Raum vom Range n. Die Elemente P, H, At, Gi, i=1, 2,..., n - l , von L bilden ein N-Gestell 9~= (P, H, As, Gt) yon L, wenn folgendes gilt:

(1)

(2)

9~ ist ein D-Gestell yon L.

Es ist G~ + A~j = Gj + A U

ffir

Bemerkung. ist n~mlich

(2') & r~ E~j = Aj n E~j

Wir beweisen (2)=~(2'). Sei H v = G t + A i j . Aus (2) folgt Gj<,.Htj, also

H U = Gj + G t + A U = E U + A U .

Es ist G t c~ A U = 0, dahcr

r (Hu) = r (G~) + r (Aij)

= 2 + ( n - 3 ) = n - 1 .

Sei Tlj = Atj n E U. Aus der Rangformel

n = (n - 3) + 3 = r(A,j) + r(Eu) = r(Htj ) + r(Tu) ,

folgt r ( r t j )= 1. Es ist As+ Etg = F , daher gilt

r (A t c~ Eij ) -- r(At) + r(Eu) - r(F')

= ( n - 2 ) + 3 - n = l .

Wegen T o <~ A i c~ E U und der Gleichheit der R~inge folgt

At c~ Eij = Tij.

Vertauschen von i und j ergibt ebenso

Aj n Etj = Tsj.

Damit ist (2') aus (2) bewiesen.

mit .4 U = A~ t~ Aj

i , j = 1 , 2 ..... n - 1 und i # j .

Ein N-C_restell ist selbstdual definiert. ,~quivalent zu (2)

mit E U = G ~ + G j , i , j = I , 2 .... , n - 1

und i v~ j .

Die umgekehrte Richtung geht analog.

300 ARMIN H E R Z E R

SATZ 7. Genau dann ist eine G-Dualit?it ~ yon L ein Nullsystem, wenn ~ durch ein N-Gestell konstruierbar ist.

Beweis. Es sei 3 ein NuUsystem yon L u n d ~ = (P, H, Gi, As) ein zu gehSriges D-Gestell.

Sei Tsj=A~c~Ei~, dann ist Ts~=Gs+As~. Da ~ ein Nullsystem ist, gilt T~j ~< T~; also gilt

A s ca E,j <~ A, n TiJ = A s c~ (G, + Afj) = A,~ + (G, c~ A,) = Aij , (1")

und daraus folgt

As ca Esj = Afj c~ As n Esj = A~ s c~ E~j = A~ ca E~.

Das letzte Gleichheitszeichen gilt wegen der Symmetrie in i und j. Wenden wir ~ auf die beiden Seiten der letzten Gleichung an, erhalten

wir die/iquivalente Gleichung

G~ + Atj = G~ + A~.

Damit ist gezeigt: Ein D-Gestell, durch das ein Nullsystem konstruierbar ist, ist sogar ein N-Gestell.

Nun sei umgekehrt 9~ = (P, H, Gt, As) ein N-Gestell, und ~ sei die vermittels 9~ in seiner Eigenschaft als D-Gestell konstruierbare G-Dualit/it.

Sei Hi j = Gi +Asj. Wie in der Bemerkung nach Def. 5 gezeigt, ist H~j eine Hyperebene. Es ist

H~j + Ps= Gs + A~j + Ps = G~ + Aj = V;

daher ist Hsj c~Ps = 0. Ftir i= 1, 2 .... n - 1 , seien Qs Punkte mit Qs ~< Gs und Q s # P .

Sei K s = A i + Qv Da 9~ ein zu 6 gehtidges D-Gestell ist, folgt

Ks = Q~-'.

Nun gilt aber fiir i # j, i , j = 1, 2, ..., n - 1

(Q, + A~) n n 0 = (Q, + A,j + Pl) c~ H,j

= (Qs + a,~) + (e, ca n,~) (1")

= Qt + Asj <~ Q~ + Al = Ks.

Die Bedingung 2. des N-Gestells 9~ impliziert nun Gj<<.H~j. Daher gilt

(Q~ + A j) ca ~j < (Q, + A j) n n,~ = ~,, n - - 1

Q~ = ~. ( ( Q i + Aj) ca Gj) <<. K s = Q~-'. . i l l

Z U M SATZ VON P A P P O S * Q U I V . S C H L I E S S U N G S S ~ T Z E 301

Wegen der Gleichheit der RAnge folgt

Ki = K~ ~ ffir i=1,2 .... , n -1.

Nun sei S ein Punkt von L mit S:gH. Da ~2 eine Kollineation ist, gilt dann

S = f] (S + As)= ~ Kt = f] Kf 2= = S ~'. i=1 i=1 i f 1 \ i = 1

Mit Ergebnis 3 folgt

~2= 1,

und nach Satz 6 ist daher b ein Nullsystem.

Nun ein weiterer von Leisenring in [6], S.38 (Theorem A') angegebener Satz: Sei L yon geradem Rang n >1 4. Genau dann gilt in L der Satz yon Pappos, wenn fiir jedes Gebilde ~=(H, Pt, A u, at, R~) yon L mit Htj=H~, fiir i, j = l , 2 , . . . n und i> j (und daher auch Q~=Rt fiir i = l , 2,...,n) gilt, daft R1, R2,..., R, abhfingig sind.

Wir zeigen bier unter Benutzung von Satz 7 die eine Richtung des Beweises fiir Gebilde ~ spezieller Art (auf die sich jedoch die iibrigen im oben zitierten zweiten Satz von Leisenring vorkommenden Gebilde £ zuriickfiihren lassen).

SATZ 8. (Leisenring) Sei L ein Projektiver Raum yon geradem Range n >I 4, in welchem der Satz yon Pappos gilt. Fiir ein Gebilde 9~ = (H, Pt, Atj, H~j,

• .', = ~ j = t Rj Qt, Rj) gelte H~j=Hjtfiiri, j = l , 2 , n m i t i > j . WeiterseiK: n-1 eine Hyperebene mit Pn ~-K. Dann gilt

R n < K .

Beweis. Da die Voraussetzungen von Satz 4 zutreffen, k/Snnen wir auch wie im Beweis zu Satz 4 folgern, dab (P~, H, Gt, Ate) mit Gj= 1"]~.-~ H u ein D-Gestell ist. Wir wollen zeigen, da$ es sich sogar um ein N-Gestell handelt.

Sei A~j~ = At. n Aj~. Dann gilt

G t + Atjn "=-- R i + P~ + Atjn = R t + Ai j = Hj i

= H u = Rj + A U = R j + P~ + At j n = Gj + Aun .

Das ist abet genau die erforderliche Relation. Also ist (Pn, H, Gi, Ai,) ein N-Gestell.

Da in L der Satz von Pappos gilt, ist damit eine G-Dualitiit t~ konstruierbar und diese ist sogar ein Nullsystem.

Wie im Beweis zu Satz 4 gezeigt, ist Q~=~.-~ Rt=K.

302 ARMIN H E R Z E R

Wegen Ho=Hj~ ist aber Q,,=R,,; und weil ~ ein NuUsystem ist, ist R, ~ R,. Wir erhalten:

<<.R,=Q,=K. Rn a a

Bemerkung. Die Einschr/inkung yon Satz 8 anf Projektive R/iume geraden Ranges ist an sich tiberfli~ssig, denn in Projektiven R/iumen un- geraden Ranges kann nicht gleichzeitig K: =~-_-] Rj eine Hyperebene und P . ~ K sein (sonst w/ire der Beweis zu Satz 8 anwendbax und wir erhielten ein NuUsystem in einem Projektiven Ranm ungeraden Ranges).

Ist L ein pappos'scher Projektiver Raum von geradem Rang, so existiert gewil3 ein N-Gestell (es existiert ein Nullsystem und zu diesem geht~rig ein D-GesteU). Wir zeigen, dab die Existenz eines N-GesteUs unabh/ingig vom Satz yon Pappos ist. Wegen einer sp/iter benftigten Anwendung beweisen wir gleich etwas mehr.

SATZ 9. Es sei L ein Projektiver Raum yon geradem Pang n>~4, und P, H, G,_I, Al fiir i= 1, 2, ..., n - 1 seien Elemente mit den Bezeichnungen und Eigenschaften yon Def. 2. Fiir i=1, 2,..., n - 2 sei

i, = { i + 1, falls i ungerade, - I, falls i gerade.

Es sei Ao= Atc~Aj, und Hw= Hv~ seien Hyperebenen mit P + A, , <~Hw, wobei jedoch G,_ 1 ~ Hw und H~r # H gilt. Setzt man noch

n--1

Pc = A Aj J=1 j o t

und definiert

G~ : = ((7._, + e,,) • H w fQr i = 1, 2,..., n - 2,

so bildet ~ = ( P , H, Gl, At) ein N-Gestell. Beweis: 1. ~ ist ein D-Gestell. Die Bedingungen fiber P, H, A t und G._ 1

folgcn aus der Wahl dieser Elemente. Aus ["~- I Ai=O folgt P~:~A~, daher gilt

n--1 P,:~ ~ Pj ffir i = 1 , 2 ..... n - 1 .

j = l

Also sind PI, P2, P.-1 unabh/ingig, und es ist .-1 .... H = ~]~ ~= 1 P~. Nun ist P r ein Punkt, der weder in H u, noch in G._, liegt; daher ist G.-x +Pr eine Ebene, die nicht in Hi,, liegt, also Gt=(G._x+Pv)nHu, eine Gerade.

Z U M S A T Z V O N P A P P O S .~QUIV. S C H L I E S S U N G S S ~ T Z E 303

Wegen P ~<H w und P ~<Gn-t gilt auch P ~<Gi. Es ist Gn_ t +Pv =G~+Pv. W/ire Gt ~< H, so folgte G,_ 1 <~ Gi +Pi, ~< H; also gilt Gt ~ H. Wegen G,_ 1 ~Hw, ist GI#G~_I, daher gilt G,_I+Pv=Gn_I+Gi und Pv<<.GI+Gn_I. Es folgt

n - 1 n - 2 n - 2

E G,= + E (G,+ + E e,,= t = l i = t i = l

= G , - 1 + A n - 1 = V .

2. Es gilt G i + Aij = Gj + AO fiir i, j = 1, 2,..., n - 1 mit i # j. Es geniigt zu zeigen: Gj ~< Gt + A~j.

1. Fall: n - 1 ~ {i , j } . O . B . d . A . se i i = n - 1. Es ist

Gj <~ P j, + G._ 1 <~ A j, ._ t + Gn-1.

2. Fall: j=i ' . Es ist

Gy <~ Htj = Atj + Gi.

3. Fall: Sonst. Es gilt Pv+Pj,<~Aiy; beachte Pl, + G~_ 1 =Pv + Gv Also ist

Gj <~ P j, + G,_ 1 <~ Py' + Pv + G,_ 1

= Pj' + Pv + Gt <<- Alj + Gi.

Zum Schlu8 dieses Absclmitts wieder ein entsprechender selbstdualer SchlieBungssatz.

DEFINITION 6. In einem Projektiven Raum L yon geradem Range n t> 4 bezeiclme (S*) den folgenden SchlieBungssatz: Fiir i= 1, 2, ..., n - 1 seien P, H, Gl, At, Qi, Hi, K, R Elemente von L mit folgenden Eigenschaften: Es ist (P, H, Gi, At) ein N-Gestell von L; es ist Qt ein Punkt mit Qi<~Gl und P#Qi; es ist Hi eine Hyperebene mit A~<<.H~ und H # H t ; es ist QI<~Hi, und schlieBlich ist K vn-1 =/..,t=i Ql und R= A~- ~ Hv Dann gilt

R ~ K .

SATZ 10. Es sei L ein Projektiver Raum yon geradem Rang n>>.4. Genau dann gilt in L der Schlieflungssatz (S*), wenn in L der Satz yon Pappos gilt.

Beweis. In L gelte der Satz yon Pappos und L sei von geradem Rang n~>4. Die Elemente P, H, Gi, Al, Hi, K, R mSgen die Voraussetzungen von (S*) gem. Def. 6 erfiillen. Nach Satz 3 gibt es eine G-Dualit~t (5, welche vermittels (P, H, Gi, At) konstruierbar ist. Wie im Beweis zu Satz 5 ergibt sich dann, dab Ra=K gilt. Da aber (P, H, G, At) ein N-Gestell ist, ist nach Satz 7 sogar ein Nullsystem; insbesondere gilt R ~< R a Insgesamt ergibt

304 ARMIN H E R Z E R

d a s

R<~K.

Nun gelte umgekehrt in L der SchlieBungssatz (S*); insbesondere ist also L yon geradem Range n ~> 4. Wir betrachten zuerst den Fall n = 4, auf den wir dann den allgemeinen Fall zuriickfiihren.

1. Fall: n - 4

Wir zeigen, dab aus (S*) der Sechzehn-Punkte-Satz folgt; aus diesem folgt dann nach Dandelin (vgl. Ergebnis 2) der Satz yon Pappos.

Seien also paarweise verschiedene Gerade BI, B2, B3, Ba und C1, C2, C3, (7, gegeben, die nicht in einer Ebene liegen, wobei Psi: = B t n Cj fiir i , j= !, 2, 3, 4 mit ( i , j )~ (4, 4) ein Punkt ist. Wir haben unter Voraussetzung yon (S~) zu zeigen, dab auch P44 ein Punkt ist, oder - was dasselbe ist - dab die Geraden B4 und C4 einen Schnittpunkt besitzen. Um die Voraussetzungen von (S*)gem. Def. 6 herzustellen, definieren wir:

P = P12, H = B 2 + C2, Qt = P, t , Q2 = P14,

Q3 = P43, G~ = P + Qs, i = 1, 2, 3,

Al = P2x + P32, A2 = B2, A3 = P23 + Pa2, Ht = As + Qt, 3

K = ~ Q~, R = P3,. i = l

Es ist nachzupriifen, dab (P, H, Gl, As, Ql, H~, K, R) die Voraussetzungen von (S*) erfiillt.

(1) (P, H, Gi, As) ist ein D-Gestell. Ffir n=4 ist eine Hyperebene eine Ebene und eine Ko-Gerade eine Gerade. P=P12 ist ein Punkt und H = B2 + + C2 eine Ebene, da sich die Geraden B2 und C2 in P22 schneiden. Es ist P =P12 ~< C2 ~< B2 + C2 = H. Die Punkte Q~ sind yon P verschieden, daher sind GI=P+Qi Gerade mit P<~Gv Ftir i=1 ,3 wiirde G~<~H implizieren

Cs = Qs+P2~ ~< G~ + B2 ~< H;

wegen C2 <~ H h/itte Cs mit (72 einen Schnittpunkt. G2 ~< H erg/ibe

B1 = P12 + P1, = P + Q2 = G2 <~ H;

wegen B2 ~< H h/itten B1 und B2 einen Schnittpunkt. A~, A2, A3 sind Gerade. Es ist Az=B2<~H und fiir i= 1, 3 ist

As = P2s "1- Pa2 ~< B2 + C2 = H;

es ist A1 c~ A 2 c~ A3 = 0 und

~1 + G2 + G3 = ( e + Q2) + (Q1 + t2~) = n~ + 8 , - v ,

da B 1 und B, keinen Schnittpunkt haben.

Z U M SATZ VON P A P P O S ~QUIV. S C H L I E S S U N G S S A T Z E 305

B4 /°3

/ " O

Fig. 2.

Es ist P~-A2=B2; wegen P<~B 1 h/itten sonst B1 und B 2 einen Schnitt- punkt. Fiir i= 1, 3 implizierte P ~< As den Widerspruch P2i <<. Ai =P+P32 = Cz.

(2) Es gilt: Gt+A~j=Gj+A u. A u ist ein von Gi verschiedener Punkt. Also ist obige Forderung ~iquivalent mit der Forderung Au ~< G~ + Gg. Nun gilt

A13 =P32 ~<C2 =P+P42<~P+B4<<.P+Q1 +Qa = Gl + G3,

und fiir i= 1, 3 ist

A2~ = P2~ ~< Ci = Qi+ P , ~< Q~+ B1 = Q~+ P + Q2 = Gi + G2.

(3) Die sonstigen Bedingungen. Aus den Definitionen der Elemente folgt bereits, dab Qi ein Punkt ist mit Qi<~Gi und Qi~ P. Wegen Qiz~H, also Qiz~Ai, ist Hi=Q~+A i eine Ebene, und wegen Qi<~Hi, abet Qiz~H, gilt auch H~#H. Wegen der Definition K = ~ = 1 Qi gilt r(K)~<3, und wegen K + P = ~ = x G~= V gilt r(K)~>3; also ist auch K eine Ebene. Bleibt noch zu zeigen, dab O~=1 H~=R ist. Es geniigt R<~H~ zu zeigen flit i=l , 2, 3; denn dann folgt wegen R ~ H - R<<.H fiihrt z.B. auf den Widersprueh, dab B 2 und B 3 in einer Ebene liegen - und H = ~ = 1 A i mit (2*)

3 3 3

(-] Hi= 0 (R + A,)= R + 0 AI= R. i = 1 t = l (2*) i = l

In der Tat ist

P34 <~ C4 = Q2 + P24 <~ Q2 + B2 = Q2 + A2 = H2,

und fiir i= 1, 3 ist

P34 <~ B3 = P32 + P3t <~ P32 + Ci = P3z + P2i + Q~

= At = Qi = Hr.

306 ARMIN H E R Z E R

Da alle Voraussetzungen erfiillt sind, folgt mit (S*) nun

R <~K.

Also liegen die beiden Geraden B4 = Qt + Q3 und C4 = Q2 + R in derselben Ebene K und besitzen daher einen Schnittpunkt.

Bemerkung. Der SchlieBungssatz (S*) Nllt mit dem Satz veto MSbius'- schen Doppeltetraeder a zusammen (wie das auch bei dem zweiten Satz von Leisenring der Fall ist): Ein erstes Tetraeder habe die Ecken P, Q~ und daher die Seiten K, G~+ Gj. Von dem zweiten Tetraeder sei die Seite H, die mit P inzidieren soil, und die in H gelegenen Ecken A~j gegeben, fiir die gelten soU A~j<<.G~+Gj. Nun sei H~ die weitere Seite des zweiten Tetraeders, deren beide in H gelegenen Ecken den Index i enthalten. Durch die Bedingung Q~ ~< H~ sind dann die iibfigen Seiten des zweiten Tetraeders schon eindeutig bestimmt und ebenso seine letzte Ecke R. Es folgt R ~< K, also die Existenz des Doppeltetraeders, falls in L der Satz von Pappos gilt und umgekehrt.

2. Fall: n >i 6

Sei M ein Unterraum von V veto Range 4, und mit L' werde der Projektive Raum bezeichnet, dessen Elemente die Unterr/iume von M sind. Da der Satz fiir n = 4 schon bewiesen ist, geniigt es jetzt zu zeigen: Gilt (S*) fiir L, so gilt (S*) fiir L'. In den folgenden Ausfiihrungen steht k stets fiir die Indices 1, 2. Fiir i= 1, 2, 3 seien P, H', G'~, A~, Q~, H'i, R', K' Elemente aus L', die den Vorraussetzungen yon (S*) gem. Def. 6 entsprechen. Sei

3

P; = N J = t

Es gibt Vektoren %EM, so dag gilt

p P = (vs>, P~ = (°k), Pa -- (or + v2 + vs).

Sei W ein Komplement zu M in V und (v~),~f~n_ t eine Basis yon W. Wir definieren

Pk = e~,, G._ t = G~,

P~_I= vj , P~=(v~+I) fftr 3 ~ < f ~ < n - 2 ,

I - - 1

As= ~ Pj ffir i = 1 , 2 , .... n - 1 . j=X jOl

a Zu diesem Begriff vergleiche man etwa [3], VIH

ZUM SATZ VON PAPPOS ~QUIV. SCHLIESSUNGSSATZE 307

Leichte Rechnungen im Vektorraum V ergebon dann r(At )=n-2 und P ~ A t f f i r l<~i<~n-1 sowie .-1 (]t=l At=O.

Sei H = H' + W, dann ist Heine Hyperebene von L mit P ~ H und At ~< H; insbesondere ist A k = A'k + W und A._ ~ = A[ + W. Wenn wir noch bemerken, daft G,_ tSH ist, dann sind fiir L sowic fiir die Element¢ P, H, G,_~, At die Voraussetzungen des Satzes 9 gegeben, und wir kSnnen demnach diese Elemente zu einem N-Gestell erg~nzen. Nach den Voraussetzungen tiber G~ ist (mit der Definition von k' wie in Satz 9)

H~2 : = AI2 + G~ = A12 + G~,

G'k ~ Ak3 + G'3 = Pk" + Gn-l"

Da H~2 eine Hyperebene yon L' ist, ist H~2+ W eine Hyperebene von L. Man setzt nun in Satz 9 speziell//12 =H~2 + W und erh~ilt

6~ = (G,_~ + P~.) n H~2

= (G~ + P~.) n U~2

= GI + (P~. n Hx2) (1")

=G~.

Nun sei K-- K' + W und Ql = Gt ta K. Wegen P <~ Gt, aber P ~ K ist dann Qt ein Punkt. Insbesondere ist (mit (1")) Qk=Q'k und Q,_t=Q'a. Sei noch

R= ntffit H~, dann efftillen die Elemente P, H, Gl, At, Qt, Hl=At+Qt und , - t Hi, K, R offenbar die Voraussetzungen des SchlieBungssatzes (S*) in L, und es folgt

R <~K, (R + W) raM <~Kr~M=(K' + W)r~M

= K' + (Wta M)= K'. (1")

Wenn wir noch zeigen kSnnen, dab (R + W)c~ M = R' ist, sind wir fertig. Wegen W r~ H' = 0 ist mit (2*)

At n A~ n A,_~ = (W + ~ ) n (W + A~) n (W + A~)

= W + (A~ n ~ n A~) = W. (2*)

und aus demselben Grunde ist wegen R n H = 0 auch

H 1 ( 3 H 2 NHn_ t =(R-FA1) N(R+A2)~(R+An_t) = R + (At ta A 2 N An_t) (2*)

= R + W .

3 0 8 A R M I N H E R Z E R

Wegen Ak = A~ + W und Qk = Q~, gilt auch H k = H~ + W, und entsprechend gilt H,_t=H]+W; daraus folgt mit (1") umgekehrt H~=H~c~M und HI = H,_ 1 c~ M. Daher erhalten wir schlieBlich

(R + w) c~ M = (nx n H~ n H.-1) ~ M

= (H 1 n M) c~ (H 2 rn M) c~ (Hn_ 1 c~ M) 3

= n H ; = R ' . i---1

Also gilt in L' der SchlieBungssatz (S*), und daher gilt in L der Satz von Pappos.

A N H A N G . B E S O N D E R E F O R M E N D E R G E B I L D E

(H, P~, AU, H~I, Q~, Rj) sei ein Gebilde ~ eines pappusschen Projektiven Raumes L vom Range n I> 3, fiir das gilt:/-/2:= ~ - i Rj ist eine Hyperebene mit P, £//2. Wie wirkt sich auf dieses Gebilde aus, wenn noch einige der Punkte P, in/-/2 liegen? Hier gilt der

SATZ. Liegt R~<<.H 2 undP~<<.H2fiir i= 1 .... , k, so gilt .-1 Q.~<~i=k+l Q~ und umgekehrt.

Beweis. Aus

n - 1 k

N H~,=R~+ ~ Pi<~H2 t = k + l 1:=1

folgt unter Benutzung der nach Satz 4 existierenden Dualitfit 6

Q.=H~2-'<~ H,, = E Hi~-'= E e," \ [ = k + l t = k + l [=k+ l

Sei umgekehrt n- t Q,<~ ~=k+ l Q~. Dann folgt

k n - 1 n - 1

R,+EP~= n H , , = N i = l i = k + l i : k + l

('f )' Qf = Q, ~< Q~ = H2.

\ i = k + 1

Eine zweite Frage. Wir gehen von der speziellen Form des Gebildes ~ in der Voraussetzung von Satz 8 aus; der Rang n von L sei jedoch ungerade. Gibt es Beispiele, in denen Rt, R2 .... , Rn unabh/ingig sind?

Nach der Bemerkung zu Satz 8 ist dies tiberhaupt nur m0glich, falls fiir i= 1, 2,..., n gilt

j = l

ZUM SATZ VON PAPPOS .~QUIV. SCHLIESSUNGSS~,TZE 309

Wir wollen jetzt ein entsprechendes Beispiel konstruieren; die Giiltigkeit des Satzes von Pappos sei wieder vorausgesetzt.

Es sei L ein Projektiver Raum vom Range 2 k = n + l , in welchem ein Nullsystem J existiert, und 9~= (P, H, G~, At) sei ein zu 6 gehOrendes N- Gestell. Sei iiberdies

und

P~ := (~ Aj f/Jr i = 1, 2, ..., n, j = l j~i

H i j : = G i - I - A i j = G j + h i j fiir i # j , i , j = l , 2 ..... n.

Nun gehen wir zum Quotienten LIP iiber durch die Abbildung L ~ L/P; B~-*B'=B+P. Diese Abbildung ist ein Homomorphismus, der die Ver- bandsrelationen erh~ilt. Wir zeigen, dab H . . . . , Pi, A~j, Hiy, ~' -- R'~ -,,,,- ~' i, j = 1, 2, ..., n, i # j ein Gebilde ~ von LIP mit H~j=HyI ergibt. Zur Berechnung des Ranges r ' in L/P gilt die Formel: r ' (B ' )=r (B+P)-1 . Von daher sieht man, dal3 alle aufgefiihrten Elemente den richtigen Rang haben. Es ist

H;~= HjI# H---

i ]=1

Py = P + Pj = H = H , j = l j = l jq:i jq~i

Rj = 0 Hi5 = Hij = G j = G;, /=1 i= l i~j t~j

H', H~} = Hji. In der Tat ist

' i R j = G j = V = V ' . j = l

Es ist der Rang von LIP gleich 2 k - 1 = n, also ungerade. In L errechnen wir mithilfe des Nullsystems ~:

P, <<. P~ = Aj = A~ = G j , j = l j = t j = l j~i j~i j ~ l

daher erhalten wir in L/P, wie es sein muB

P[~< ~ Rj ffir i = l , 2 , . . . ,n . j = l jq:i

A,'~ <~ Hi'j,

B I B L I O G R A P H I E

[1] M. W. AI Dhahir, 'A Simplified Proof of the Pappus-Leisenring Theorem', Mich. Math. J, 4 (1957), 225-226.

[2] R. Baer, Linear Algebra and Projective Geometrie, Academic Press 1952.

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[3] W. Blaschke, Projektive Geometrie 3 Aufl., Birkhfiuser 1954. [4] G. Graetzer, Universal Algebra, van Nostrand 1968. [5] A. Heyting, Axiomatic Projective Geometrie, Groningen-Amsterdam 1963. [6] K.B. Leisenring, 'A Theorem in Projective n-Space Equivalent to Commutativity',

Mich. Math. J. 2 (1953/54), 35-40. [7] H. Lenz, Vorlesungen iiber Projektive Geometrie, Leipzig 1965.

Ansehrift des Verfassers: Armin Herzer, Math. Institut der Ioh. Gutenberg Universit~t, 65 Mainz, Saarstr. 21, Bundesrepublik Deutschland

(Eingegangen am 29. 2. 1972).