Abschlussprüfung 2010 - machmermadde.files.wordpress.com · Aufgabe A 2 Haupttermin Seite - 3 - A 2.3 Auf der Grünfläche wird eine große kreisförmige Skateranlage angelegt. Im

Abschlussprüfung 2010

an den Realschulen in Bayern

Mathematik II

Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: _______________________________ Vorname: _____________________________

Klasse: ________________ Platzziffer: _________________ Punkte: _________________

Aufgabe A 1 Haupttermin

A 1.0 Das radioaktive Cäsium-137 wird in der Medizin eingesetzt. Es zerfällt in das

stabile Barium-137. Für eine Anfangsmasse von 40 g Cäsium-137 lässt sich die

nach x Jahren noch nicht zerfallene Masse y g durch die Funktion f mit der Glei-

chung xy 40 0,9772= ⋅ mit 0 0G IR IR+ +

= ×I darstellen.

A 1.1 Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Ganze gerundet.

Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f in das Koordinatensystem. 2 P

A 1.2 Geben Sie mithilfe des Graphen zu f an, nach wie vielen Jahren die noch nicht zer-

fallene Masse 18 g ist. 1 P

A 1.3 Cäsium-137 zerfällt mit einer Halbwertszeit von 30 Jahren, das heißt nach jeweils

30 Jahren hat sich die noch nicht zerfallene Masse halbiert.

Begründen Sie, nach wie vielen Jahren die noch nicht zerfallene Masse ein Achtel

der Anfangsmasse von 40 g ist. 2 P

x 0 10 20 30 40 50 60

x40 0,9772⋅

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

x

y

O


Seite - 2 -

A 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt den

Plan einer viereckigen Grünfläche.

Gegeben sind folgende Maße:

AB 78,0 m= ; BC 105,0 m= ;

BS 35,0 m= ; BAD 74= °S ;

DBA 48= °S ; CBD 63= °S .

Runden Sie im Folgenden auf eine

Stelle nach dem Komma.

A 2.1 Zeichnen Sie das Viereck ABCD im Maßstab 1:1000 und zeichnen Sie den Punkt

S [BD]∈ ein. 2 P

A 2.2 Viele Fußgänger benutzen eine Abkürzung über die Grünfläche, sodass sich bereits

ein Trampelpfad gebildet hat, der zwischen den Punkten B und D im Plan verläuft.

Berechnen Sie die Länge der Strecke [BD]. 2 P

D

A B

C

S


Seite - 3 -

A 2.3 Auf der Grünfläche wird eine große kreisförmige Skateranlage angelegt.

Im Plan bildet der Mittelpunkt M der Strecke [SC] den Mittelpunkt des Kreises k.

Der Kreis k berührt die Strecke [BC] im Punkt E.

Zeichnen Sie die Strecke [ME] und den Kreis k in die Zeichnung zu 2.1 ein.

Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt A des Kreises k.

[Teilergebnis: SC 94,4 m= ] 5 P


Seite - 4 -

A 3 Stehaufmännchen

Die nebenstehende Skizze zeigt den

Axialschnitt des Grundkörpers eines

Stehaufmännchens.

MS ist die Symmetrieachse.

Es gilt: MB 6,0 cm= ; r MB MC= = ;

Es gilt: AB 1, 4 cm= ; BSC 50= °S .

Berechnen Sie das Volumen V des

Grundkörpers. Runden Sie auf eine


5 P

B

A P N

M

Q D

C

S

r



Mathematik II

Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten

Aufgabe B 1 Haupttermin

B 1.0 Die Parabel p hat den Scheitel S (2 |8) und verläuft durch den Punkt C (4 | 7) . Sie

hat eine Gleichung der Form 2y ax bx c= + + mit G IR IR= ×I und a IR \{0}∈ ;

b, c IR∈ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 1.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel p die Gleichung 2y 0,25x x 7= − + +

hat.

Zeichnen Sie die Parabel p für x [ 2; 8]∈ − in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; <<3 x 9− ; <<2 y 9− . 4 P

B 1.2 Punkte 2

nB (x | 0,25x x 7)− + + auf der Parabel p sind für x 4> zusammen mit dem

Punkt C und Punkten An die Eckpunkte von Dreiecken AnBnC mit n nA B 6 LE= .

Die Punkte An und Bn haben dieselbe Ordinate y.

Zeichnen Sie das Dreieck A1B1C für x = 7 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

Begründen Sie sodann, dass das Dreieck A1B1C nicht gleichseitig ist. 4 P

B 1.3 Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke AnBnC

in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Bn gilt:

2A(x) (0,75x 3x) FE= − . 2 P

B 1.4 Der Flächeninhalt des Dreiecks A2B2C beträgt 12 FE.

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B2. 3 P

B 1.5 Im Dreieck A3B3C ist der Punkt 3 3 3F [A B ]∈ der Fußpunkt der Höhe [F3C]. Der

Winkel F3CB3 hat das Maß 32°.

Zeichnen Sie das Dreieck A3B3C in das Koordinatensystem zu 1.1 ein und

berechnen Sie sodann die x-Koordinate des Punktes B3. 4 P



Mathematik II

Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein

Schrägbild der Pyramide ABCDS,

deren Grundfläche das Drachenvier-

eck ABCD mit der Geraden AC als

Symmetrieachse ist.

Die Spitze S der Pyramide ABCDS

liegt senkrecht über dem Diagonalen-

schnittpunkt M des Drachenvierecks

ABCD.

Es gilt: AC 12 cm= ; BD 8 cm= ;

Es gilt: AM 4 cm= ; CS 10 cm= .


B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke [AC] auf der

Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt C liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: 1

q2

= ; 45ω = ° .

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [MS] und das Maß des Winkels SCM.

[Ergebnisse: MS 6 cm= ; SCM 36,87= °S ] 4 P

B 2.2 Der Punkt R [MS]∈ mit MR 1,5 cm= ist der Mittelpunkt der Strecke [FG] mit

F [BS]∈ und G [DS]∈ . Es gilt: FG || BD .

Zeichnen Sie die Strecke [FG] in das Schrägbild zu 2.1 ein und berechnen Sie

sodann die Länge der Strecke [FG].

[Ergebnis: FG 6 cm= ] 2 P

B 2.3 Die Punkte F und G sind zusammen mit dem Punkt E [AS]∈ die Eckpunkte des

Dreiecks EFG, wobei gilt: ER || AM .

Zeichnen Sie das Dreieck EFG in das Schrägbild zu 2.1 ein und ermitteln Sie

sodann rechnerisch den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide EFGS am

Volumen der Pyramide ABDS. 4 P

B 2.4 Punkte Pn liegen auf der Strecke [CS], wobei die Winkel SPnR das Maß ϕ haben

mit ]26,25 ;126,87 [ϕ∈ ° ° .

Zeichnen Sie das Dreieck P1SR für 100ϕ = ° in das Schrägbild zu 2.1 ein.

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [RP1] und den Flächeninhalt des Drei-

ecks P1SR.

[Ergebnis: 1RP 3,66 cm= ] 3 P

B 2.5 Der Abstand des Punktes P2 von der Geraden AC ist 3 cm.

Zeichnen Sie den Punkt P2 in das Schrägbild zu 2.1 ein und berechnen Sie sodann

das Maß des Winkels SP2R. 4 P

A

B

C

D

S

M



Mathematik II

Lösungsmuster und Bewertung

120 Minuten

Aufgaben A 1 - 3 Haupttermin

FUNKTIONEN

A 1.1

Graph zu f

2

L4

K5

L4

K4

A 1.2 y 18= x 35= (im Rahmen der Ablesegenauigkeit) Nach ca. 35 Jahren.

1

L4

K4

A 1.3 Die noch nicht zerfallene Masse ist nach 30 Jahren die Hälfte, nach weiteren

30 Jahren ein Viertel und nach wiederum 30 Jahren ein Achtel der Anfangsmasse

von 40 g Cäsium-137.

Demzufolge ist die noch nicht zerfallene Masse nach 90 Jahren ein Achtel der

Anfangsmasse von 40 g.

2

L4

K1

K5

EBENE GEOMETRIE

A 2.1 Zeichnung im Maßstab 1: 2000

D

A B

C

S

M

E

k

2

L3

K4

x 0 10 20 30 40 50 60

x40 0,9772⋅ 40 32 25 20 16 13 10

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

x

y

O

�

A 2.2 ADB 180 74 48= ° − ° − °S ADB 58= °S

BD 78,0 m

sin 74 sin 58=

° ° BD 88, 4 m=

2

L2

K2

K5

A 2.3 Einzeichnen der Strecke [ME] und des Kreises k

2 2SC 35,0 105,0 2 35,0 105,0 cos 63 m= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° SC 94,4 m=

sin SCB sin 63

35,0 m 94,4 m

°=

S SCB ]0 ;117 [∈ ° °S

SCB 19,3= °S

ME

sin19,30,5 94,4 m

°=⋅

ME 15,6 m=

2 2A 15,6 m= ⋅π 2A 764,5 m=

5

L3

K4

L2

K2

K5

RAUMGEOMETRIE

A 3 Kugel Zylinder Kegel

1V V V V

2= ⋅ + +

3 2 21 4 1

V MB MB AB NP SN2 3 3

= ⋅ ⋅ ⋅π + ⋅π ⋅ + ⋅ ⋅π ⋅

MB

tan BSMMS

=S 6,0 cm

MS50

tan2

=°

MS 12,9 cm=

NP MS MN

MB MS

−=

11,5NP 6,0 cm

12,9= ⋅ NP 5,3 cm=

3 2 2 31 4 1V 6,0 6,0 1, 4 5,3 11,5 cm

2 3 3

= ⋅ ⋅ ⋅π + ⋅π ⋅ + ⋅ ⋅π ⋅

3V 949,0 cm=

5

L2

K2

K3

K5

19

Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere

Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte

bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind

Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend

ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.

Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu

Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.



Mathematik II


120 Minuten


FUNKTIONEN

B 1.1 S (2 |8) p∈ und C (4 | 7) p∈ :

27 a (4 2) 8= ⋅ − + a IR \{0}∈

a 0,25⇔ = − IL { 0,25}= −

p:

2y 0, 25 (x 2) 8= − ⋅ − + G IR IR= ×I

p2:2y 0, 25 (x 4x 4) 8= − ⋅ − + +

p2:2y 0,25x x 7= − + +

4

L4

K5

L4

K4

B 1.2 Einzeichnen des Dreiecks A1B1C

Wenn das Dreieck A1B1C gleichseitig wäre, dann wäre die Länge der Höhe

1ch 3 3 LE= (da 1 1A B 6 LE= ).

Im Dreieck A1B1C gilt jedoch:

2

1B (7 | 0,25 7 7 7)− ⋅ + + 1B (7 |1,75)

1ch 5,25 LE⇒ =

Das Dreieck A1B1C ist somit nicht gleichseitig. 4

L3

K4

L3

K1

K5

p

A1 B1

C

B3 A3 �

F3

32°

1

1

x

y

O

B 1.3 nn n C B

1A A B (y y ) LE

2 = ⋅ ⋅ −

21A(x) 6 7 ( 0,25x x 7) FE

2 = ⋅ ⋅ − − + + x 4> ; x IR∈

2A(x) (0,75x 3x) FE= −

2

L4

K2

K5

B 1.4 20,75x 3x 12− = x 4> ; x IR∈

. . .

(x 2, 47 ) x 6,47⇔ = − ∨ = IL {6,47}=

2B (6,47 | 3,00)

3

L4

K5

B 1.5 Einzeichnen des Dreiecks A3B3C

3CBm tan(180 (90 32 ))= °− °− °

3CBm 1,60= −

CB3: y 1,60 (x 4) 7= − ⋅ − + G IR IR= ×I

CB3: y 1,6x 13,4= − +

20,25x x 7 1,6x 13,4− + + = − + x 4> ; x IR∈

. . .

(x 4 ) x 6, 4⇔ = ∨ = IL {6,4}=

4

L3

K4

L4

K2

K5

17










Mathematik II


120 Minuten


RAUMGEOMETRIE

B 2.1

P1100°

C

P2

A

B

D

M

S

R

F

G

E

2 2MS 10 (12 4) cm= − − MS 6 cm=

6 cm

tan SCM8 cm

=S SCM 36,87= °S SCM ]0 ;90 [∈ ° °S

4

L3

K4

L2

K2

K5

B 2.2 Einzeichnen der Strecke [FG]

SR 6 cm 1,5 cm= − SR 4,5 cm=

FG 4,5 cm

8 cm 6 cm= FG 6 cm=

2

L3

K4

L2

K2

K5

B 2.3 Einzeichnen des Dreiecks EFG

ER 4,5 cm

4 cm 6 cm= ER 3 cm=

3

Pyramide ABDS

1 1V 8 4 6 cm

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3

Pyramide ABDSV 32 cm=

3

Pyramide EFGS

1 1V 6 3 4,5 cm

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3

Pyramide EFGSV 13,5 cm=

L3

K4

L2

K2

K5

3

3

13,5 cm0,42

32 cm=

Der Anteil beträgt 42%.

4

B 2.4 Einzeichnen des Dreiecks P1SR

1RP 4,5 cm

sin(180 (90 36,87 )) sin100=

° − °+ ° ° 1RP 3,66 cm=

1P SR 1 1

1A RP SR sin P RS

2∆ = ⋅ ⋅ ⋅ S

1P RS 180 (100 53,13 )= ° − ° + °S 1P RS 26,87= °S

1

2

P SR

1A 3,66 4,5 sin 26,87 cm

2∆ = ⋅ ⋅ ⋅ °

1

2

P SRA 3,72 cm∆ =

3

L3

K4

L2

K2

K5

B 2.5 Einzeichnen des Punktes P2

2

3 cmsin 36,87

CP° = 2CP 5,00 cm=

2 2

2RP 4,5 (10 5,00) 2 4,5 (10 5,00) cos53,13 cm= + − − ⋅ ⋅ − ⋅ °

2RP 4, 27 cm=

sin sin 53,13

4,5 cm 4, 27 cm

ϕ °= ]26,25 ;100 [ϕ∈ ° °

57,47ϕ = °

4

L3

K4

L2

K2

K5

17










Mathematik II

Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: _______________________________ Vorname: _____________________________


Aufgabe A 1 Nachtermin

A 1.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild

des Würfels ABCDEFGH, dem eine Pyramide

ADHES einbeschrieben ist. Die Spitze S der

Pyramide ADHES liegt auf der Kante [BC] des

Würfels ABCDEFGH.

Es gilt: AB 6 cm= ; BS 3 cm= .

A 1.1 Berechnen Sie das Maß α des Winkels HSE. Runden Sie auf zwei Stellen nach

dem Komma. 4 P

A 1.2 Kreuzen Sie an, um wie viel Prozent das Volumen des Würfels ABCDEFGH

größer ist als das Volumen der einbeschriebenen Pyramide ADHES. 1 P

33,3% 66,6% 133,3% 166,6% 200% 300%

_ _ _ _

A B

C

S

D

E F

GH


Seite - 2 -

A 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt

den Grundriss einer Bühne, wel-

cher durch die Strecken [EA],

[AB] und [BC] sowie den Kreis-

bogen »CE begrenzt wird.

Der Punkt D liegt auf der Strecke

[BE] und ist der Mittelpunkt

des Kreises mit dem Radius

r DE DC= = .

Gegeben sind folgende Maße:

EA 8,00 m= ; AB 6,00 m= ;

BE 10,80 m= ; DAE 45= °S ;

CBE 56= °S .


A 2.1 Zeichnen Sie den Grundriss der Bühne im Maßstab 1:100 . 2 P

BA

C

D

E


Seite - 3 -

A 2.2 Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecke [DE] gilt:

DE 5,78 m= .

[Teilergebnis: AEB 33,17= °S ] 3 P

A 2.3 Der Kreissektor, der durch die Strecken [ED] und [DC] sowie den Kreisbogen »CE

begrenzt wird, dient als Hebebühne für Showeffekte.

Berechnen Sie den Flächeninhalt A dieses Kreissektors.

[Teilergebnis: DCB 46,06= °S ] 4 P


Seite - 4 -

A 3.0 Gegeben sind die Funktion f mit der Gleichung 3

yx

= mit G IR IR+ +

= ×I und das

Quadrat ABCD mit den Eckpunkten A (0 | 4) , B( 4 | 0)− , C(0 | 4)− und D(4 | 0) .

Graph zu f

A 3.1 Der Graph zu f schneidet die Gerade AD in den Punkten S1 und S2.

Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Koordinaten der Punkte S1 und S2 gilt:

1S (3 |1) ; 2S (1 | 3) . 2 P

A 3.2 Die Punkte S1 und S2 sind zusammen mit den Punkten S3 und S4 die Eckpunkte des

Rechtecks S1S2S3S4, wobei die Punkte S3 und S4 auf der Geraden BC liegen.

Zeichnen Sie das Rechteck S1S2S3S4 in das Koordinatensystem zu 3.0 ein und

berechnen Sie sodann den Flächeninhalt A des Rechtecks S1S2S3S4. 3 P

1

1

x

y

O

A

B

C

D



Mathematik II

Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten

Aufgabe B 1 Nachtermin

B 1.0 Die Parabel p hat eine Gleichung der Form 2y 0,25x bx c= + + mit G IR IR= ×I

und b, c IR∈ . Die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel p mit der x-Achse

sind 2 und 6. Die Gerade g hat die Gleichung y 0,25x 4= − mit G IR IR= ×I .


B 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die Glei-

chung 2y 0,25x 2x 3= − + hat.

Zeichnen Sie die Parabel p und die Gerade g für x [ 2; 10]∈ − in ein Koordinaten-

system.


B 1.2 Punkte 2

nB (x | 0,25x 2x 3)− + auf der Parabel p und Punkte nC (x | 0, 25x 4)− auf

der Geraden g haben dieselbe Abszisse x und sind zusammen mit Punkten An und

Dn die Eckpunkte von Parallelogrammen AnBnCnDn. Die x-Koordinate der Punkte

Dn, die ebenfalls auf der Geraden g liegen, ist um 3 größer als die Abszisse x der

Punkte Cn.

Zeichnen Sie das Parallelogramm A1B1C1D1 für x 1= − und das Parallelogramm

A2B2C2D2 für x = 6 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein. 2 P

B 1.3 Unter den Parallelogrammen AnBnCnDn hat das Parallelogramm A0B0C0D0 den

minimalen Flächeninhalt.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms A0B0C0D0.

[Teilergebnis: 2

n nB C (x) (0,25x 2,25x 7) LE= − + ] 4 P

B 1.4 Zeigen Sie rechnerisch, dass die Winkel DnCnBn stets das Maß 75,96° besitzen. 2 P

B 1.5 Punkte En, die wie die Punkte Dn auf der Geraden g liegen, sind zusammen mit den

Punkten An und Dn die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken AnDnEn mit den

Hypotenusen [AnDn].

Zeichnen Sie das Dreieck A1D1E1 für x 1= − und das Dreieck A2D2E2 für x 6= in

das Koordinatensystem zu 1.1 ein. 1 P

B 1.6 Für die Dreiecke A3D3E3 und A4D4E4 gilt: 3 3 4 4D E D E 1,00 LE= = .

Berechnen Sie die zugehörigen Werte für x. 3 P



Mathematik II

Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild

der Pyramide ABCDS, deren Grundfläche das

gleichschenklige Trapez ABCD mit AB || CD ist.

Der Punkt E ist der Mittelpunkt der Strecke [AB],

der Punkt F ist der Mittelpunkt der Strecke [CD].

Der Punkt N liegt auf der Strecke [EF].

Die Spitze S der Pyramide ABCDS liegt senk-

recht über dem Punkt N.

Es gilt: AB 12 cm= ; CD 6 cm= ; EF 8 cm= ;

Es gilt: EN 3 cm= ; SN 8 cm= .


B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke [EF] auf der

Schrägbildachse und der Punkt E links vom Punkt F liegen soll.


q2

= ; 45ω = ° .

Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels SFN und die Länge der Strecke [SF].

[Ergebnisse: SFN 57,99= °S ; SF 9,43 cm= ] 4 P

B 2.2 Eine Parallele zur Geraden AB durch den Punkt N schneidet die Strecke [AD] im

Punkt G und die Strecke [BC] im Punkt H.

Zeichnen Sie die Strecke [GH] in das Schrägbild zu 2.1 ein und zeigen Sie sodann

durch Rechnung, dass für die Länge der Strecke [GH] gilt:

GH 9,75 cm= . 3 P

B 2.3 Das Dreieck GHF ist die Grundfläche von Pyramiden GHFPn, deren Spitzen Pn auf

der Strecke [SF] liegen.

Für die Pyramide GHFP1 gilt: 1FP 7,5 cm= .

Zeichnen Sie die Pyramide GHFP1 in das Schrägbild zu 2.1 ein.

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [NP1] und das Maß des Winkels FNP1.

[Ergebnis: 1NP 6,44 cm= ] 3 P

B 2.4 Berechnen Sie das Volumen der Pyramide GHFP1.

Bestimmen Sie sodann durch Rechnung den prozentualen Anteil des Volumens der

Pyramide GHFP1 am Volumen der Pyramide ABCDS. 4 P

B 2.5 Für die Länge der Strecken [NPn] gilt: nNP x cm= (x IR )+∈ .

Für x 4,5= erhält man die Pyramide GHFP2 und die Pyramide GHFP3.

Zeichnen Sie die Strecken [NP2] und [NP3] in das Schrägbild zu 2.1 ein.

Für x ]4,24; 5[∈ erhält man jeweils zwei Pyramiden.

Begründen Sie, warum es für x 4,24= und für x 5= jeweils nur eine Pyramide

gibt. 3 P

A

BC

D

N

S

FE



Mathematik II


120 Minuten

Aufgaben A 1 - 3 Nachtermin

RAUMGEOMETRIE

A 1.1 EB AB 2= ⋅ EB 8,49 cm=

2 2 2

ES EB BS= + ES 9,00 cm=

3 cm

sin2 9,00 cm

α= 38,94α = ° ]0 ;180 [α∈ ° °

4

L2

K2

K5

A 1.2 200% 1

L1

K2

K6

EBENE GEOMETRIE

A 2.1

2

L3

K4

A 2.2 DE EA

sin DAE sin EDA=

S S

EDA 180 DAE AED= ° − −S S S

2 2 2

AB EA BE 2 EA BE cos AEB= + − ⋅ ⋅ ⋅ S

2 2 28,00 10,80 6,00

cos AEB2 8,00 10,80

+ −=

⋅ ⋅S AEB ]0 ;180 [∈ ° °S

AEB 33,17= °S

EDA 180 45 33,17= °− °− °S EDA 101,83= °S

8,00 sin 45

DE msin101,83

⋅ °=

° DE 5,78 m=

3

L2

K2

K5

A B

C

D

E

A 2.3 2 CDE

A DE360

= ⋅π ⋅°

S

CDE 180 BDC= ° −S S

BDC 180 CBD DCB= ° − −S S S

sin DCB sin CBD

BE DE DC=

−

S S DC DE=

5,02 sin 56

sin DCB5,78

⋅ °=S DCB ]0 ;124 [∈ ° °S

DCB 46,06= °S

BDC 180 56 46,06= ° − ° − °S BDC 77,94= °S

CDE 180 77,94= ° − °S CDE 102,06= °S

2 2102,06A 5,78 m

360

°= ⋅π⋅

° 2A 29,75 m=

4

L2

K2

K5

FUNKTIONEN

A 3.1 AD: y x 4= − + G IR IR= ×I

3

x 4x= − + x IR+

∈

. . .

x 1 x 3⇔ = ∨ = IL {1; 3}=

1S (3 |1) ; 2S (1 | 3)

2

L4

K5


1 2 2 3A S S S S= ⋅ 2 3S S AB=

2 2 2 2A (1 3) (3 1) ( 4 0) (0 4) FE= − + − ⋅ − − + − A 16 FE=

3

L3

K4

L2

K2

K5

19








1

1

x

O

A

B

C

D

Graph zu f S1

S2

S3

S4

y



Mathematik II


120 Minuten


FUNKTIONEN

B 1.1 Die beiden Schnittpunkte der Parabel p mit der x-Achse haben die y-Koordinate 0:

2

2

0 0,25 2 b 2 c

0 0,25 6 b 6 c

= ⋅ + ⋅ +

∧ = ⋅ + ⋅ + b, c IR∈

b 2

c 3

= −⇔

∧ = IL(b | c) {( 2 | 3)}= −

p: 2y 0,25x 2x 3= − + G IR IR= ×I

5

L4

K5

L4

K4

B 1.2 Einzeichnen der Parallelogramme A1B1C1D1 und A2B2C2D2

2

L3

K4

1

1

x

y

O

A1

p

g

B1

C1 D1

B2

C2

A2

D2

E1

E2 �

�

B 1.3 2

n nB C (x) [0,25x 2x 3 (0,25x 4)] LE= − + − − x IR∈

2

n nB C (x) (0,25x 2,25x 7) LE= − +

n n n nParallelog ramme A B C D n nA B C (3 LE)= ⋅

n n n n

2

Parallelog ramme A B C DA (x) (0,25x 2,25x 7) 3 FE= − + ⋅ x IR∈

n n n n

2

Parallelog ramme A B C DA (x) (0,75x 6,75x 21) FE= − +

…

Der minimale Flächeninhalt beträgt 5,81 FE (für x 4,5= ).

0 0 0 0Parallelog ramm A B C DA 5,81 FE=

4

L4

K2

K5

B 1.4 gtan mϕ = [0 ;180 [ \{90 }ϕ∈ ° ° °

tan 0,25ϕ = 14,04ϕ = °

n n nD C B 90 14,04= ° − °S n n nD C B 75,96= °S

2

L2

K2

K5

B 1.5 Einzeichnen der Dreiecke A1D1E1 und A2D2E2

1

L3

K4

B 1.6 n n n nn n n n n

n n nn n

D E D Ecos E D A A D

cos E D AA D= ⇔ =S

S

n n n n n nE D A D C B=S S n n n nA D B C=

2 1,000, 25x 2, 25x 7

cos 75,96− + =

° x IR∈

. . .

x 1,54 x 7,46⇔ = ∨ = IL {1,54; 7,46}=

3

L4

K2

K5

17










Mathematik II


120 Minuten


RAUMGEOMETRIE

B 2.1

A

B

C

D

FN

H

G

E

S

P1

z. B. P2

z. B. P3

8 cm

tan SFN(8 3) cm

=−

S SFN 57,99= °S SFN ]0 ;90 [∈ ° °S

2 2SF 8 (8 3) cm= + − SF 9,43 cm=

4

L3

K4

L2

K5

B 2.2 Einzeichnen der Strecke [GH]

Es sei der Punkt K der Fußpunkt des Lotes vom Punkt C auf die Gerade AB;

der Punkt L sei der Fußpunkt des Lotes vom Punkt H auf die Gerade AB.

3 cm

GH 12 cm 2tan HBL

= − ⋅S

HBL ]0 ;90 [∈ ° °S

8 cm

tan CBK0,5 (12 6) cm

=⋅ −

S CBK ]0 ;90 [∈ ° °S

CBK 69, 44= °S

3 cm

GH 12 cm 2tan 69,44

= − ⋅°

GH 9,75 cm=

3

L3

K4

L2

K2

K5

B 2.3 Einzeichnen der Pyramide GHFP1

2 2 2

1 1 1 1NP FP NF 2 FP NF cos P FN= + − ⋅ ⋅ ⋅ S

2 2

1NP 7,5 (8 3) 2 7,5 (8 3) cos57,99 cm= + − − ⋅ ⋅ − ⋅ ° 1NP 6,44 cm=

1 1

1 1

sin FNP sin P FN

FP NP=

S S 1FNP ]0 ;90 ]∈ ° °S

1FNP 80,94= °S

3

L3

K4

L2

K2

K5

B 2.4 1Pyramide GHFP 1

1 1V GH NF d(P ; NF)

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1d(P ; NF)sin 57,99

7,5 cm° = 1d(P ; NF) 6,36 cm=

1

3

Pyramide GHFP

1 1V 9,75 (8 3) 6,36 cm

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

1

3

Pyramide GHFPV 51,68 cm=

3

Pyramide ABCDS

1 1V (12 6) 8 8 cm

3 2= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 3

Pyramide ABCDSV 192 cm=

3

3

51,68 cm0,27

192 cm=


4

L2

K2

K5

B 2.5 Einzeichnen der Strecken [NP2] und [NP3]

Die Punkte Pn sind die Schnittpunkte der Strecke [SF] mit einem Kreis k mit dem

Mittelpunkt N und dem Radius r x cm= (x IR )+∈ .

Für x 4,24= gilt: r d(N; SF)= .

Denn: d(N; SF)

sin 57,995 cm

° = d(N; SF) 4,24 cm=

Somit ist die Gerade SF eine Tangente an den Kreis k. Es gibt nur einen Berühr-

punkt und folglich nur eine Pyramide.

Für x 5= gilt: r NF= .

Die Gerade SF ist zwar eine Sekante, jedoch ist einer der beiden Schnittpunkte

mit dem Kreis k der Punkt F, sodass es nur eine Pyramide gibt.

3

L3

K4

L3

K1

K5

17








Abschlussprüfung 2011 an den Realschulen in Bayern Mathematik II

Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: _______________________________ Vorname: _____________________________



A 1.0 In Deutschland wächst derzeit mehr Holz nach als geschlagen wird. Der Besitzer

eines Waldes mit einem Holzbestand von 5 000 m3 rechnet mit einer jährlichen

Wachstumsrate von 4,5%. Der Holzbestand y m3 nach x Jahren lässt sich demzu-

folge durch die Funktion f mit der Gleichung xy 5000 1,045= ⋅ mit 0 0G IR IR+ +

= ×I

beschreiben.

A 1.1 Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Tausender gerundet.

Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f in das Koordinatensystem. 2 P

A 1.2 Geben Sie mithilfe des Graphen zu f an, nach wie vielen Jahren der Holzbestand

erstmals mehr als 10 000 m3 ist. 1 P

A 1.3 Berechnen Sie, auf Kubikmeter gerundet, um wie viel der Holzbestand nach

32 Jahren gestiegen ist. 2 P

x 0 10 20 25 30 35 40

x5000 1,045⋅

5 x

y

O

10 000


Seite - 2 -

A 2.0 Das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basis [AC] ist die Grundfläche einer

Pyramide ABCS. Die Spitze S der Pyramide ABCS liegt senkrecht über dem Mit-

telpunkt M der Strecke [AC].

Es gilt: AC 8 cm= ; AB 10 cm= ; MS 9 cm= .


In der Zeichnung gilt: 1

q2

= ; 45ω = ° .

A

B

C

M

S

A 2.1 Ermitteln Sie durch Rechnung die Länge der Strecken [BM] und [BS] sowie das

Maß ϕ des Winkels MBS.

[Ergebnisse: BM 9,17 cm= ; BS 12,85 cm= ; 44,46ϕ = ° ] 3 P


Seite - 3 -

A 2.2 Punkte Pn liegen auf der Strecke [BS] mit nBP x cm= , 0 x 12,85< < ; x IR∈ . Sie

sind die Spitzen von Pyramiden CASPn.

Zeichnen Sie für x 4= die Pyramide CASP1 und die zugehörige Höhe [P1F1], deren

Fußpunkt F1 auf der Strecke [MS] liegt, in das Schrägbild zu 2.0 ein.

Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramide CASP1. 4 P

A 2.3 Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken [MPn] in Abhängig-

keit von x gilt:

2

nMP (x) x 13,09x 84,09 cm= − + . 2 P


Seite - 4 -

A 3 Frau Recht-Eck möchte ihr Grundstück mit

der Flur-Nr. 712/84 (siehe nebenstehende

Skizze), welches die Seitenlängen 60,00 m,

70,00 m und 80,00 m hat, gegen ein recht-

eckiges Grundstück mit dem gleichen Flä-

cheninhalt eintauschen.

Die Länge des rechteckigen Grundstücks

soll 1,5-mal so groß wie die Breite sein.

Berechnen Sie die Seitenlängen des recht-

eckigen Grundstücks. Runden Sie auf zwei

Stellen nach dem Komma. 5 P

712/84


Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 1.0 Die Parabel p verläuft durch die Punkte P (5 | 1)− und Q( 2 | 0,75)− . Sie hat eine

Gleichung der Form 2y ax bx 2,75= + + mit G IR IR= ×I und a IR \{0}∈ ; b IR∈ .

Die Gerade g hat die Gleichung y 0,5x 5= − + mit G IR IR= ×I .

B 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für a und b, dass die Parabel p die Glei-

chung 2y 0,25x 0,5x 2,75= − + + hat.

Zeichnen Sie die Parabel p sowie die Gerade g für x [ 4; 7]∈ − in ein Koordinaten-

system.


B 1.2 Punkte 2

nA (x | 0,25x 0,5x 2,75)− + + auf der Parabel p und Punkte

nC (x | 0,5x 5)− + auf der Geraden g haben dieselbe Abszisse x. Sie sind zusammen

mit Punkten Bn und Dn die Eckpunkte von Rauten AnBnCnDn mit n nB D 5 LE= .

Zeichnen Sie für x 1= − die Raute A1B1C1D1 und für x 3,5= die Raute A2B2C2D2

in das Koordinatensystem zu 1.1 ein. 2 P

B 1.3 Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Diagonalen [AnCn] in Abhängigkeit

von der Abszisse x der Punkte An gilt:

2

n nA C (x) (0, 25x x 2, 25) LE= − + . 1 P

B 1.4 Unter den Diagonalen [AnCn] hat die Diagonale [A0C0] die minimale Länge.

Berechnen Sie den zugehörigen Wert von x und die Länge der Diagonale [A0C0].

Begründen Sie sodann, dass es unter den Rauten AnBnCnDn keine Raute mit dem

Flächeninhalt 3 FE gibt. 3 P

B 1.5 Die Rauten A3B3C3D3 und A4B4C4D4 sind Quadrate.

Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten der Punkte A3 und A4. Runden Sie

auf zwei Stellen nach dem Komma. 3 P

B 1.6 Die Diagonalen der Rauten A5B5C5D5 und A6B6C6D6 schneiden sich jeweils auf der

x-Achse.

Berechnen Sie die x-Koordinaten der Punkte A5 und A6. Runden Sie auf zwei Stel-

len nach dem Komma. 4 P


Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0

Die nebenstehende Skizze zeigt die

Bastelvorlage für solch ein Tischset.

Die Grundfigur ist ein gleichschenk-

liges Trapez ABCD mit AB || CD.

Der Schnittpunkt der beiden Diagona-

len [AC] und [BD] ist der Punkt E.

Die „Ausschneidelinie“ verläuft ent-

lang dreier Kreisbögen.

Es gilt:

• Der Kreisbogen GH mit G [EC]∈ und H [ED]∈ hat den Mittelpunkt E und

berührt die Seite [CD] im Punkt K.

• Der Kreisbogen GF mit F [BC]∈ hat den Mittelpunkt C.

• Der Kreisbogen IH mit I [AD]∈ hat den Mittelpunkt D.

Ferner gilt: AB 60,0 cm= ; AD 35,0 cm= ; BAD 75= ° .

Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

B 2.1 Zeichnen Sie das Trapez ABCD mit den Kreisbögen IH , GH und GF im Maß-

stab 1: 5 . 2 P

B 2.2 Vor dem Ausschneiden werden einzelne Maße überprüft.

Berechnen Sie die Länge der Strecke [AC], das Maß des Winkels BAC sowie die

Länge der Strecke [CD].

[Ergebnisse: AC 61,1cm= ; BAC 33,6= ° ; CD 41,8 cm= ] 4 P

B 2.3 Ein Teil des Tischsets wird farblich abgesetzt.

Ermitteln Sie durch Rechnung die Länge der Strecke [EK] sowie den Flächeninhalt

des Kreissektors, der durch die Strecken [HE] und [EG] sowie den Kreisbogen GH

begrenzt wird.

[Ergebnisse: EK 13,9 cm= ; 2

Sektor GEHA 190, 2 cm= ] 3 P

B 2.4 Das Tischset wird mit einer Borte eingefasst.

Bestimmen Sie rechnerisch den Umfang u der Figur, die durch die Strecken [IA],

[AB] und [BF] sowie die Kreisbögen GF , GH und IH begrenzt wird. 4 P

B 2.5 Das fertig gebastelte Set liegt ausgebreitet auf einem Tisch.

Berechnen Sie den Flächeninhalt A der vom Tischset bedeckten Fläche.

[Teilergebnis: 2

Sektor GCFA 78, 2 cm= ] 4 P

Selbst gebasteltes

Tischset aus Filz

A B

E

FIH G

D CK



5 x

y

O

10 000

Aufgaben A 1 - 3 Haupttermin

FUNKTIONEN

A 1.1

Graph zu f

2

L4

K5

L4

K4

A 1.2 y 10000= x 16= (im Rahmen der Ablesegenauigkeit) Nach 16 Jahren.

1

L4

K4

A 1.3 32y 5000 1,045= ⋅ y 20450=

20450 5000 15450− =

Nach 32 Jahren ist der Holzbestand um 15 450 m3 gestiegen.

2

L4

K2

K5

RAUMGEOMETRIE

A 2.1

2

2 1BM 10 8 cm

2

= − ⋅

BM 9,17 cm=

2 2BS 9 9,17 cm= + BS 12,85 cm=

9 cm

sin12,85 cm

ϕ= 44,46ϕ= ° ]0 ;90 [ϕ∈ ° °

3

L2

K5

x 0 10 20 25 30 35 40

x5000 1,045⋅ 5 000 8 000 12 000 15 000 19 000 23 000 29 000


A

B

C

M

S

P1 F1

1Pyramide CASP 1 1

1 1V AC MS P F

3 2

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 1P F (12,85 4) cm

9,17 cm 12,85 cm

−= 1 1P F 6,32 cm=

1

3

Pyramide CASP

1 1V 8 9 6,32 cm

3 2

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1

3

Pyramide CASPV 75,84 cm=

4

L3

K4

L2

K2

K5

A 2.3 2 2

nMP (x) 9,17 x 2 9,17 x cos 44,46 cm= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° 0 x 12,85< < ; x IR∈

2

nMP (x) x 13,09x 84,09 cm= − +

2

L4

K5

EBENE GEOMETRIE

A 3 Das rechteckige Grundstück habe die Länge a und die Breite b;

ϕ sei das Maß des Winkels, welcher der längsten Seite des Grundstücks mit der

Flur-Nr. 712/84 gegenüberliegt.

21a b 60,00 70,00 sin m

2⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ϕ a 1,5 b= ⋅

2 2 260,00 70,00 80,00

cos2 60,00 70,00

+ −ϕ =

⋅ ⋅ ]0 ;180 [ϕ∈ ° °

75,52ϕ = °

2 211,5 b 60,00 70,00 sin 75,52 m

2⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ °

b 36,82 m= a 55,23 m= 5

L2

K2

K3

K5

19











FUNKTIONEN

B 1.1 P (5 | 1) p− ∈ und Q( 2 | 0,75) p− ∈ :

2

2

1 a 5 b 5 2,75

0,75 a ( 2) b ( 2) 2,75

− = ⋅ + ⋅ +

∧ = ⋅ − + ⋅ − +

a IR \{0}∈ ; b IR∈

a 0,25

b 0,5

= −

⇔

∧ =

IL(a | b) {( 0,25 | 0,5)}= −

p: 2y 0,25x 0,5x 2,75= − + + G IR IR= ×I

4

L4

K5

L4

K4

1

1

x

y

O

p

g

A1 A2

B1 D1

C1

B2

C2

D2

B 1.2 Einzeichnen der Rauten A1B1C1D1 und A2B2C2D2 2

L3

K4

B 1.3 2

n nA C (x) 0,5x 5 ( 0,25x 0,5x 2,75) LE = − + − − + + x IR∈

2

n nA C (x) (0, 25x x 2, 25) LE= − +

1

L4

K5

B 1.4 2

n nA C (x) (0, 25x x 2, 25) LE= − + x IR∈

. . .

Für x 2= gilt: 0 0A C 1, 25 LE= .

n n n nRauten A B C D n n

1A A C (5 LE)

2= ⋅ ⋅

Folglich hat die Raute A0B0C0D0 unter den Rauten AnBnCnDn den minimalen

Flächeninhalt.

0 0 0 0Raute A B C D

1A 1,25 5 FE

2= ⋅ ⋅

0 0 0 0Raute A B C DA 3,125 FE=

Es gibt unter den Rauten AnBnCnDn keine Raute mit dem Flächeninhalt 3 FE. 3

L4

K5

L4

K1

K5

B 1.5 n n n nA C B D=

20,25x x 2,25 5− + = x IR∈

. . .

x 1,87 x 5,87⇔ = − ∨ = IL { 1,87; 5,87}= −

z. B.: 3A ( 1,87 | 0,94)− ; 4A (5,87 | 2,93)−

3

L4

K2

K5

B 1.6 Die Punkte Mn seien die Schnittpunkte der Diagonalen der Rauten AnBnCnDn.

2

n

1M x 0,5x 5 (0,25x x 2,25)

2

− + − ⋅ − +

x IR∈

210,5x 5 (0,25x x 2,25) 0

2− + − ⋅ − + = x IR∈

. . .

x 5,57 x 5,57⇔ = − ∨ = IL { 5,57; 5,57}= −

4

L4

K2

K5

17











EBENE GEOMETRIE

B 2.1

2

L3

K4

B 2.2 BC AD= BC 35,0 cm=

CBA BAD= CBA 75= °

2 2AC 60,0 35,0 2 60,0 35,0 cos75 cm= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° AC 61,1cm=

sin BAC sin 75

35,0 cm 61,1cm

°=

BAC 33,6= ° BAC ]0 ;105 [∈ ° °

2 2CD 35,0 61,1 2 35,0 61,1 cos(75 33,6 ) cm= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° − °

CD 41,8 cm=

4

L2

K2

K5

B 2.3 DCA BAC= DCA 33,6= °

EK

tan 33,60,5 41,8 cm

° =⋅

EK 13,9 cm=

2

Sektor GEH

GEHA EK

360= ⋅ π ⋅

°

GEH 180 2 33,6= ° − ⋅ ° GEH 112,8= °

2 2

Sektor GEH

112,8A 13,9 cm

360

°= ⋅ π ⋅

°

2

Sektor GEHA 190, 2 cm=

3

L2

K2

K5

A B

CD

E

FGH

I

K

B 2.4 u IA AB BF GF GH IH= + + + + + IA BF= und IH GF=

u AB 2 BF 2 GF GH= + ⋅ + ⋅ +

13,9 cm

sin 33,6EC

° = EC 25,1cm=

GC (25,1 13,9) cm= − GC 11,2 cm=

BF (35,0 11,2) cm= − BF 23,8 cm=

ACB 180 (75 33,6 )= ° − ° + ° ACB 71,4= °

71,4 112,8

u 60,0 2 23,8 2 2 11,2 2 13,9 cm360 360

° ° = + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅π⋅ + ⋅ ⋅π ⋅

° °

u 162,9 cm=

4

L2

K2

K5

B 2.5 Trapez ABCD DEC Sektor GCF Sektor GEHA A A 2 A A

∆= − − ⋅ +

2

Trapez ABCD

1 1A 60,0 35,0 sin 75 41,8 35,0 sin(180 75 ) cm

2 2

= ⋅ ⋅ ⋅ ° + ⋅ ⋅ ⋅ ° − °

2

Trapez ABCDA 1720,8 cm=

2

DEC

1A 41,8 13,9 cm

2∆

= ⋅ ⋅ 2

DECA 290,5 cm∆

=

2 2

Sektor GCF

71,4A 11,2 cm

360

°= ⋅ π ⋅

° 2

Sektor GCFA 78, 2 cm=

2A (1720,8 290,5 2 78,2 190,2) cm= − − ⋅ +

2A 1464,1cm=

4

L2

K2

K5

17









Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: _______________________________ Vorname: _____________________________



A 1 Eierbecher

Die nebenstehende Skizze zeigt

den Axialschnitt eines massiven

Eierbechers aus Holz.

MS ist die Symmetrieachse.

Es gilt:

AB 9,0 cm= ; DC 4,0 cm= ;

BAD 52= ° ; r ED EC= = .

Berechnen Sie das Volumen V des Eierbechers. Runden Sie auf eine Stelle nach

dem Komma. 5 P

A M B

E CD

S

r


Seite - 2 -

A 2.0 Gegeben ist das Trapez ABCD mit

BC || AD und BC AD< (siehe

nebenstehende maßstabsgetreue

Skizze).

Es gilt:

AB 7,5 cm= ; CD 8 cm= ;

AD 10 cm= ; BAD 80= ° .

Runden Sie im Folgenden auf eine


A 2.1 Zeichnen Sie das Trapez ABCD. 1 P

A 2.2 Bestimmen Sie durch Rechnung die Länge der Strecke [BD].

[Ergebnis: BD 11,4 cm= ] 1 P

BC

D A


Seite - 3 -

A 2.3 Ermitteln Sie rechnerisch die Länge der Strecke [BC].

[Ergebnis: BC 5,6 cm= ] 4 P

A 2.4 Begründen Sie, dass die Flächeninhalte der Dreiecke ABD und BCD im gleichen

Verhältnis stehen wie die Längen der Seiten [AD] und [BC]. 3 P


Seite - 4 -

A 3.0 In einem Labor wird Jod-124 hergestellt. Dieses zerfällt unter Aussendung radioak-

tiver Strahlung. Werden fünf Mikrogramm Jod-124 eingelagert, so lässt sich die

nach x Tagen noch vorhandene Masse y Mikrogramm durch die Funktion f1 mit der

Gleichung xy 5 0,8409= ⋅ mit 0 0G IR IR+ +

= ×I darstellen.

A 3.1 Ergänzen Sie die Wertetabelle auf eine Stelle nach dem Komma gerundet.

Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f1 in das Koordinatensystem. 2 P

A 3.2 Geben Sie mithilfe des Graphen zu f1 an, nach wie vielen Tagen die noch vorhan-

dene Masse erstmals weniger als drei Mikrogramm ist. 1 P

A 3.3 Jod-124 zerfällt mit einer Halbwertszeit von vier Tagen. Nach jeweils vier Tagen

hat sich folglich die noch vorhandene Masse halbiert.

Kreuzen Sie an, welcher prozentuale Anteil der eingelagerten Masse Jod-124 nach

16 Tagen noch vorhanden ist. 1 P

40% 25% 16% 6,25% 0,3125% 0,25%

A 3.4 In einem Krankenhaus wurde ebenfalls Jod-124 eingelagert. Die nach x Tagen noch

vorhandene Masse y Mikrogramm lässt sich hier durch die Funktion f2 mit der

Gleichung xy 1 0,8409= ⋅ mit 0 0G IR IR+ +

= ×I darstellen.

Geben Sie an, welche Masse Jod-124 im Krankenhaus eingelagert wurde. 1 P

x 0 2 4 6 8 10 12

x5 0,8409⋅

1

1

x

y

O


Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 1.0 Die Parabel p besitzt den Scheitel S(4 | 7) . Sie hat eine Gleichung der Form 2y 0,25x bx c= − + + mit G IR IR= ×I und b, c IR∈ . Die Gerade g hat die Glei-

chung y 0,5x 1= − mit G IR IR= ×I .

B 1.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel p die Gleichung 2y 0,25x 2x 3= − + +

hat.

Zeichnen Sie die Parabel p und die Gerade g für x [ 3; 10]∈ − in ein Koordinaten-

system.


B 1.2 Die Parabel p und die Gerade g schneiden sich in zwei Punkten A und C.

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der beiden Schnittpunkte.

[Teilergebnis: Ax 2= − ; Cx 8= ] 2 P

B 1.3 Punkte 2

nD (x | 0,25x 2x 3)− + + auf der Parabel p sind für 2 x 8− < < zusammen

mit den Punkten A und C sowie Punkten Bn die Eckpunkte von Drachenvierecken

ABnCDn mit der gemeinsamen Symmetrieachse g.

Zeichnen Sie das Drachenviereck AB1CD1 für x 0,5= − in das Koordinatensystem

zu 1.1 ein.

Begründen Sie, dass die Geraden BnDn stets die Steigung 2− haben. 2 P

B 1.4 Unter den Drachenvierecken ABnCDn besitzt das Drachenviereck AB0CD0 den

maximalen Flächeninhalt.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drachenvierecks AB0CD0.

[Teilergebnis: n n

2

Drachenvierecke AB CDA (x) ( 2,5x 15x 40) FE= − + + ] 4 P

B 1.5 Die Seite [AB2] des Drachenvierecks AB2CD2 verläuft parallel zur x-Achse.

Zeichnen Sie das Drachenviereck AB2CD2 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

Bestimmen Sie sodann durch Rechnung das Maß α des Winkels B2AD2. Runden

Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

[Ergebnis: 53,13α = ° ] 2 P

B 1.6 Ermitteln Sie rechnerisch die x-Koordinate des Punktes D2. Runden Sie auf zwei

Stellen nach dem Komma. 3 P


Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schräg-

bild der Pyramide ABCS, deren Grundfläche

das gleichschenklige Dreieck ABC mit der

Basis [AC] ist.

Der Mittelpunkt der Strecke [AC] ist der

Punkt D. Die Spitze S der Pyramide ABCS

liegt senkrecht über dem Punkt D.

Es gilt:

AC 12 cm= ; DB 9 cm= ; BS 12 cm= .


B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei die Strecke [DB] auf der

Schrägbildachse und der Punkt D links vom Punkt B liegen soll.


q2

= ; 45ω = ° .

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [DS] und das Maß ϕ des Win-

kels SBD.

[Ergebnisse: DS 7,94 cm= ; 41,41ϕ = ° ] 4 P

B 2.2 Auf der Kante [BS] der Pyramide ABCS liegen Punkte Pn. Der Punkt P1 mit

1BP 6 cm= ist Eckpunkt des Dreiecks RP1Q mit R [AS]∈ und Q [CS]∈ . Es gilt:

RQ || AC. Der Punkt T [DS]∈ ist der Mittelpunkt der Strecke [RQ]. Der Win-

kel SP1T hat das Maß 65°.

Zeichnen Sie das Dreieck RP1Q und den Punkt T in das Schrägbild zu 2.1 ein. 1 P

B 2.3 Ermitteln Sie rechnerisch die Länge der Strecke [ST].

[Ergebnis: ST 5,93 cm= ] 2 P

B 2.4 Das Dreieck RQS ist die Grundfläche der Pyramide RQSP1 mit der Höhe [H1P1],

deren Fußpunkt H1 auf der Strecke [ST] liegt.

Zeichnen Sie die Höhe [H1P1] in das Schrägbild zu 2.1 ein und berechnen Sie so-

dann das Volumen der Pyramide RQSP1.

[Ergebnis: 1

3

Pyramide RQSPV 39,85 cm= ] 4 P

B 2.5 Bestimmen Sie durch Rechnung den prozentualen Anteil des Volumens der Pyra-

mide RQSP1 am Volumen der Pyramide ABCS. 2 P

B 2.6 Der Flächeninhalt des Dreiecks TP2S ist um die Hälfte größer als der Flächeninhalt

des Dreiecks TP1S.

Begründen Sie, dass die Länge der Strecke [P2S] folglich um die Hälfte größer ist

als die Länge der Strecke [P1S].

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [DP2]. 4 P

A

C

BD

S



Aufgaben A 1 - 3 Nachtermin

RAUMGEOMETRIE

A 1 großer Kegel kleiner Kegel Kugel

1V V V V

2= − − ⋅

2 2 31 1 1 1 1 4 1

V AB MS DC ES DC3 2 3 2 2 3 2

= ⋅ ⋅ ⋅ π ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ π ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ π

MS

tan MASAM

= MS 4,5 tan 52 cm= ⋅ ° MS 5,8 cm=

ES DC

MS AB=

4,0ES 5,8 cm

9,0= ⋅ ES 2,6 cm=

2 2 3 31 1 1 4

V 4,5 5,8 2,0 2,6 2,0 cm3 3 2 3

= ⋅ ⋅ π ⋅ − ⋅ ⋅ π ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ π

3V 95,3 cm=

5

L2

K2

K3

K5

EBENE GEOMETRIE

A 2.1

1

L3

K4

A 2.2 2 2BD 7,5 10 2 7,5 10 cos80 cm= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° BD 11,4 cm=

1

L2

K5

A 2.3 2 2 2

AB AD BD 2 AD BD cos ADB= + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 210 11, 4 7,5

cos ADB2 10 11, 4

+ −=

⋅ ⋅ ADB ]0 ;180 [∈ ° °

ADB 40,4= °

CBD ADB= CBD 40,4= °

L2

K2

K5

A

BC

D

sin DCB sin 40,4

11,4 cm 8 cm

°=

DCB 112,5= ° DCB ]80 ;139,6 [∈ ° °

BDC 180 (40,4 112,5 )= ° − ° + ° BDC 27,1= °

2 2BC 8 11,4 2 8 11,4 cos 27,1 cm= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° BC 5,6 cm=

4

A 2.4 ABD

BCD

1AD d(B;AD)

A 21A

BC d(D;BC)2

∆

∆

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅

Aus BC || AD folgt: d(B;AD) d(D;BC)= .

Somit gilt: ABD

BCD

A AD

A BC

∆

∆

= .

3

L3

K1

K5

FUNKTIONEN

A 3.1

Zeichnung im Maßstab 1: 2

Graph zu f1

1

1

x

y

O

2

L4

K5

L4

K4

A 3.2 y 3= x 3= (im Rahmen der Ablesegenauigkeit) Nach drei Tagen.

1

L4

K4

A 3.3 6,25%

1

L1

K5

A 3.4 Im Krankenhaus wurde ein Mikrogramm Jod-124 eingelagert.

1

L4

K5

19








x 0 2 4 6 8 10 12

x5 0,8409⋅ 5 3,5 2,5 1,8 1,3 0,9 0,6




FUNKTIONEN

B 1.1 S(4 | 7) p∈ :

p:

2y 0,25 (x 4) 7= − ⋅ − + G IR IR= ×I

p2:2y 0,25 (x 8x 16) 7= − ⋅ − + +

p2:2y 0,25x 2x 3= − + +

4

L4

K5

L4

K4

B 1.2 20,25x 2x 3 0,5x 1− + + = − x IR∈

. . .

x 2 x 8⇔ = − ∨ = IL { 2; 8}= −

A ( 2 | 2)− − ; C(8 | 3)

2

L4

K5

1

1

x

y

O

p

D2

g

D1

B1

B2 A

C

B 1.3 Einzeichnen des Drachenvierecks AB1CD1

Für die Drachenvierecke ABnCDn gilt: n nn n B D ACB D AC m m 1⊥ ⇔ ⋅ = − .

Aus ACm 0,5= folgt: n nB Dm 2= − .

2

L3

K4

L3

K1

K5

B 1.4 n n nDrachenvierecke AB CD ACDA 2 A

∆= ⋅

10

AC5

→ =

; n 2

x 2AD (x)

0,25x 2x 5

→ + =

− + + 2 x 8− < < ; x IR∈

n nDrachenvierecke AB CD 2

10 x 21A (x) 2 FE

5 0,25x 2x 52

+= ⋅ ⋅

− + + 2 x 8− < < ; x IR∈

n n

2

Drachenvierecke AB CDA (x) 10 ( 0,25x 2x 5) 5 (x 2) FE = ⋅ − + + − ⋅ +

n n

2

Drachenvierecke AB CDA (x) ( 2,5x 15x 40) FE= − + +

…

Der maximale Flächeninhalt beträgt 62,5 FE (für x 3= ).

0 0Drachenviereck AB CDA 62,5 FE=

4

L4

K2

K5

B 1.5 Einzeichnen des Drachenvierecks AB2CD2

ACtan m2

α= ]0 ;180 [α∈ ° °

tan 0,52

α= 53,13α = °

2

L3

K4

L2

K2

K5

B 1.6 2ADm tan 53,13= °

2ADm 1,33=

AD2: y 1,33 (x 2) 2= ⋅ + − G IR IR= ×I

AD2: y 1,33x 0,66= +

21,33x 0,66 0,25x 2x 3+ = − + + 2 x 8− < < ; x IR∈

. . .

(x 2 ) x 4,68⇔ = − ∨ = IL {4,68}=

3

L4

K2

K5

17











RAUMGEOMETRIE

B 2.1

A

B

C

D

H1

R

S

Q

T

P1

2 2DS 12 9 cm= − DS 7,94 cm=

9 cm

cos12 cm

ϕ = 41,41ϕ = ° ]0 ;90 [ϕ∈ ° °

4

L3

K4

L2

K5

B 2.2 Einzeichnen des Dreiecks RP1Q und des Punktes T

1

L3

K4

B 2.3 1

ST (12 6) cm

sin 65 sin P TS

−=

°

1P TS 180 65 (90 41,41 )= ° − ° − ° − ° 1P TS 66,41= °

6 sin 65

ST cmsin 66,41

⋅ °=

° ST 5,93 cm=

2

L2

K2

K5

B 2.4 Einzeichnen der Höhe [H1P1]

1Pyramide RQSP 1 1

1 1V RQ ST H P

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

RQ 5,93 cm

12 cm 7,94 cm= RQ 8,96 cm=

1 1H Psin(90 41,41 )

(12 6) cm° − ° =

− 1 1H P 4,50 cm=

1

3

Pyramide RQSP

1 1V 8,96 5,93 4,50 cm

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1

3

Pyramide RQSPV 39,85 cm=

4

L3

K4

L2

K2

K5

B 2.5 3

Pyramide ABCS

1 1V 12 9 7,94 cm

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3

Pyramide ABCSV 142,92 cm=

3

3

39,85 cm0,28

142,92 cm=


2

L2

K2

K5

B 2.6 2 1TP S TP SA 1,5 A∆ ∆= ⋅

2 1

1 1ST P S sin(90 ) 1,5 ST PS sin(90 )

2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ° − ϕ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ° − ϕ

2 1P S 1,5 PS = ⋅

2P S 1,5 (12 6) cm= ⋅ − 2P S 9 cm=

2 2

2DP (12 9) 9 2 (12 9) 9 cos 41,41 cm= − + − ⋅ − ⋅ ⋅ ° 2DP 7,04 cm=

4

L3

K1

K5

L2

K2

K5

17









Prüfungsdauer:

150 Minuten

A B

C

E

D

Name: Vorname:

Klasse: Platzziffer: Punkte:


A 1 Die nebenstehende Skizze zeigt den Plan

eines dreieckigen Grundstücks ABC. Zum

Bau einer neuen Straße muss ein Teil des

Grundstücks abgetreten werden. Dabei

verkürzen sich die Seiten [AB] und [AC]

jeweils um ein Sechstel ihrer ursprünglichen

Länge auf die Seiten [AD] und [AE].

Es gilt: AB 60 m ; BC 45 m ; AC 51 m .

Berechnen Sie den Inhalt DBCEA der abgetretenen Fläche und geben Sie an, um wie

viel Prozent sich das Grundstück verkleinert hat.

[Teilergebnis: BAC 46,97 ]

5 P


Seite - 2 -

A 2.0 Das Drachenviereck ABCD mit der Symmetrieachse AC ist die Grundfläche der

Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Diagonalenschnitt-

punkt M des Drachenvierecks.

Es gilt: AC 14 cm ; AM 6 cm ; BD 12 cm ; MS 10 cm .



q2

; 45 ; [AC] liegt auf der Schrägbildachse.

A

B

C

D

M

S

A 2.1 Berechnen Sie das Maß des Winkels CAS und die Länge der Strecke [AS].

[Ergebnisse: 59,04 ; AS 11,66 cm ]

2 P

Aufgabe 2 Haupttermin

Seite - 3 -

A 2.2 Punkte nP liegen auf der Strecke [AS] mit n<<AP x cm , 0 x 11,66 ; x IR .

Zeichnen Sie den Punkt 1P für x 2,5 und die Strecke 1[P C] in die Zeichnung

zu 2.0 ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke 1[P C] und das Maß des

Winkels 1P CA .

3 P

A 2.3 Unter den Strecken n[P C] hat die Strecke 2[P C] die minimale Länge.

Berechnen Sie die Länge der Strecke 2[AP ] .

1 P

A 2.4 Berechnen Sie den Flächeninhalt ABSA des Dreiecks ABS.

3 P


Seite - 4 -

A 3.0 Niger ist ein Staat in Westafrika. Zu Beginn des Jahres 2010 lebten dort etwa

15,5 Millionen Menschen. Unter der Annahme einer gleichbleibenden jährlichen

Wachstumsrate lässt sich die Einwohnerzahl y Millionen nach x Jahren nähe-

rungsweise durch die Funktion f mit der Gleichung xy 15,5 1,035 mit

0 0G IR IR I beschreiben.

A 3.1 Um wie viel Prozent wächst nach dieser Annahme ab dem Jahresbeginn 2010 die

Einwohnerzahl in Niger jährlich?

1 P

A 3.2 Ergänzen Sie die Wertetabelle auf eine Stelle nach dem Komma gerundet. Zeich-

nen Sie sodann den Graphen zu f in das Koordinatensystem.

2 P

x 0 5 10 15 20 25 30

x15,5 1,035

O x5

y

10

A 3.3 Geben Sie mithilfe des Graphen zu f an, nach wie vielen Jahren die Einwohner-

zahl von Niger 25 Millionen betragen würde.

1 P

A 3.4 Berechnen Sie auf Millionen gerundet, wie viele Einwohner Niger bei gleich blei-

bender jährlicher Zuwachsrate zu Beginn des Jahres 2064 haben würde.

1 P


Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 1.0 Die Parabel p verläuft durch die Punkte P( 5 | 19) und Q(7 | 5) . Sie hat eine

Gleichung der Form 2y 0,25x bx c mit G IR IR I und b,c IR . Die

Gerade g ist festgelegt durch die Punkte R(0 | 2,5) und S(5 | 0) .

B 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die

Gleichung 2y 0,25x 2,5x 0,25 hat und bestimmen Sie die Gleichung der

Geraden g. Zeichnen Sie sodann die Parabel p für x [0;12] und die Gerade g in

ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; <<1 x 14 ; <<7 y 7

5 P

B 1.2 Punkte nA (x | 0,5x 2,5) auf der Geraden g und Punkte 2

nD (x | 0,25x 2,5x 0,25) auf der Parabel p haben dieselbe Abszisse x und

sind zusammen mit Punkten nB und nC die Eckpunkte von Trapezen

n n n nA B C D .

Es gilt: n n n n[A B ] || [C D ]; n n nB A D 90 ; n nA Bx x ; n nA B 4 LE und

n nC D 2 LE .

Zeichnen Sie die Trapeze 1 1 1 1A B C D für x 2 und 2 2 2 2A B C D für x 9 in das

Koordinatensystem zu 1.1 ein.

2 P

B 1.3 Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt A der Trapeze

n n n nA B C D in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte nA gilt:

2( )A(x) 0,75x 9x 8,25 FE

2 P

B 1.4 Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von x es Trapeze n n n nA B C D gibt.

2 P

B 1.5 Unter den Trapezen n n n nA B C D besitzt das Trapez 0 0 0 0A B C D den maximalen

Flächeninhalt.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Trapezes 0 0 0 0A B C D und den zugehörigen

Wert für x.

2 P

B 1.6 Bestimmen Sie im Trapez 2 2 2 2A B C D aus Aufgabe 1.2 rechnerisch das Maß des

Winkels 2 2 2C B A . Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

Begründen Sie sodann, dass es kein Trapez n n n nA B C D gibt, für das gilt:

n n nC B A 75 .

4 P


Bitte wenden!


B 2.0 Nebenstehende Skizze zeigt einen kreissektorförmigen

Sonnenfächer, der Balkone vor Sonne, Wind und

neugierigen Blicken schützen soll. Zwei Stäbe zwischen

den Punkten D und B sowie zwischen den Punkten E

und B teilen den Sonnenfächer in drei kongruente

Teilsektoren.

Es gilt: BC 110,0 cm ; b 201,6 cm ist die Länge des

Bogens CA ; D CA ; E CA .

Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem

Komma.

B 2.1 Berechnen Sie das Maß des Winkels CBA . Zeichnen Sie den Kreissektor

BCA mit dem Mittelpunkt B und dem Radius BC sowie die Strecken [DB] , [EB]

und [AC] im Maßstab 1:10.

[Ergebnis: 105,0 ]

3 P

B 2.2 Um die Stabilität des Sonnenfächers zu erhöhen, wird zwischen den Punkten A und

C eine Stange eingezogen, die um 5% kürzer ist als die Strecke [AC] .

Bestimmen Sie rechnerisch die Länge dieser Stange.

2 P

B 2.3 An den Punkten B und C wird der Sonnenfächer an einer Mauer fest verankert.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für den Abstand d des Punktes A zu dieser Mauer

gilt: d 106,3cm .

2 P

B 2.4 Die Strecke [AC]schneidet die Strecke [DB] im Punkt G und die Strecke [EB] im

Punkt F. Berechnen Sie die Länge der Strecke [GB] sowie den Flächeninhalt

BGFA des Dreiecks BGF.

[Ergebnisse: GB 70, 2cm ; 2

BGFA 1413,3 cm ]

4 P

B 2.5 Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt CDGA der Figur CDG, die durch den

Kreisbogen CD sowie die Strecken [DG] und [GC] begrenzt wird.

[Ergebnis: 2

CDGA 1481, 2 cm ]

2 P

B 2.6 Der Sonnenfächer soll zweifarbig gestaltet werden. Dazu werden die Flächen der

Figur CDG , der Figur EAF und des Dreiecks BGF entsprechend der Skizze

dunkel abgesetzt.

Zeigen Sie rechnerisch, dass der helle Teil um mehr als 40% größer ist als der

dunkle Teil. 4 P

C

B

A

D

E

G

F



Aufgaben A 1-3 Haupttermin

EBENE GEOMETRIE

A 1 DBCE ABC ADEA A A

ABC

1A AB AC sin BAC

2

2 2 2

BC AB AC 2 AB AC cos BAC BAC ]0 ; 180 [

2 2 260 51 45

cos BAC2 60 51

BAC 46,97

2

ABC

1A 60 51 sin 46,97 m

2 2

ABCA 1118, 42 m

2

2 2

DBCE

5A 1118,42 m 1118,42 m

6

2

DBCEA 341,74 m

341,74

0,311118,42

Das Grundstück hat sich um 31% verkleinert.

5

L 2

K 2

K 5

RAUMGEOMETRIE

A 2.0

A

B

C

D

M

S

P1

Zeichnung im Maßstab 1:2

A 2.1 10

tan6

59,04 ]0 ; 90 [

2 2AS 10 6 cm AS 11,66 cm

2

L 2

K 5

A 2.2 Einzeichnen des Punktes 1P und der Strecke 1[P C]

2 2

1P C 14 2,5 2 14 2,5 cos 59,04 cm 1P C 12,89 cm

1sin P CA sin 59,04

2,5 cm 12,89 cm

1P CA 9,57 1P CA ]0 ; 90 [ 3

L 3

K 4

L 2

K 2

K 5

A 2.3 Die Strecke 2[P C] hat die minimale Länge, wenn 2[P C] [AS]

2APcos 59,04

14cm 2AP 7, 20cm

1

L 3

K 1

K 2

A 2.4 ABS

1A AB d S; AB

2

2 2AB 6 6 cm AB 8,49 cm

22d S; AB 10 0,5 8, 49 cm d S; AB 10,86 cm

ABS

1A 8,49 cm 10,86 cm

2 2

ABSA 46,10 cm

3

L 2

K 2

K 3

K 5

FUNKTIONEN

A 3.1 Die Bevölkerungszahl wächst jährlich um 3,5 %. 1

L 1

K 5

A 3.2

L 4

K 5

x 0 5 10 15 20 25 30

x15,5 1,035 15,5 18,4 21,9 26,0 30,8 36,6 43,5

O x5

y

10

Graph zu f

2

L 4

K 4

A 3.3 y 25 x 14 (Im Rahmen der Ablesegenauigkeit) Nach 14 Jahren.

1

L 4

K 4

A 3.4 x 54

54y 15,5 1,035 y 99

99 Millionen Einwohner zu Beginn des Jahres 2064.

1

L 4

K 2

K 5

19











FUNKTIONEN

B 1.1 P ( 5 | 19) p und Q(7 | 5) p :

2

2

19 0, 25 ( 5) b ( 5) c

5 0, 25 7 b 7 c

b, c IR

b 2,5

c 0,25

IL(b | c) {(2,5 | 0, 25)}

g: y 0,5x 2,5 G IR IR I

x

y

1O

1 A1 B1

C1D1

A2 B2

C 2D2

gp

Zeichnung im Maßstab 1:2 5

L 4

K 5

L 4

K 4

B 1.2 Einzeichnen der Trapeze 1 1 1 1A B C D und 2 2 2 2A B C D

2

L 3

K 4

B 1.3 n n n nA B C D n n n n n nA 0,5 A B C D A D

2

n nA D (x) 0,25x 2,5x 0,25 0,5x 2,5 LE x IR

2

n n( )A D (x) 0, 25x 3x 2,75 LE

2( ) ( )A(x) 0,5 4 2 0,25x 3x 2,75 FE x IR

2( )A(x) 0,75x 9x 8,25 FE

2

L 4

K 5

B 1.4 Zwischen den beiden Schnittpunkten von p und g gibt es Trapeze n n n nA B C D .

p g

20,25x 2,5x 0,25 0,5x 2,5 x IR

. . .

x 1 x 11 IL {1;11}

Für x 1; 11 gibt es Trapeze n n n nA B C D .

2

L 3

K 2

K 5

B 1.5 2( )A(x) 0,75x 9x 8,25 FE x 1;11

. . .

0 0 0 0A B C DA 18,75 FE für x 6 .

2

L 4

K 5

B 1.6 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

d C ; [A B ]tan C B A

A B C D

2 2 2

2 2tan C B A

4 2

2 2 2C B A 63,43

Für x 6 erhält man die maximale Streckenlänge 0 0A D und somit auch das

maximale Maß des Winkels 0 0 0C B A .

2

0 0( )A D 0, 25 6 3 6 2,75 LE 0 0A D 6, 25 LE

0 0 0

6,25tan C B A

4 2

0 0 0C B A 72,26

Es kann kein Trapez n n n nA B C D mit dem Winkelmaß n n nC B A 75 geben.

4

L 2

K 2

K 5

L 4

K 1

K 2

K 5

17










EBENE GEOMETRIE

B 2.1 201,6 2 110,0360

105,0

3

L 2

K 2

K 5

L 3

K 4

B 2.2 AC 0,95

2 2AC 110,0 110,0 2 110,0 110,0 cos105,0 cm AC 174,5cm

174,5cm 0,95 165,8cm

2

L 2

K 2

K 5

B 2.3 d

sin(180 )AB

AB BC

d 110,0cm sin(180 105,0 ) d 106,3cm

2

L 2

K 2

K 5

C

B

A

D

E

B 2.4 GB BC

sin GCB sin BGC

GCB ACB ACB 0,5 180 105,0 ACB 37,5

1

BGC 180 37,5 105,03

BGC 107,5

110,0 cm sin 37,5

GBsin107,5

GB 70,2cm

BGFA 0,5 GB FB sin GBF mit FB GB

2

BGFA 0,5 70,2 70,2 sin 35,0 cm 2

BGFA 1413,3cm

4

L 2

K 2

K 5

B 2.5 CDG Sektor BCD BCGA A A

2 2

CDG

35,0A 110,0 0,5 110,0 70,2 sin 35,0 cm

360

2

CDGA 1481,2cm

2

L 2

K 2

K 5

B 2.6 Sektor BCA CDG EAF BGF

CDG EAF BGF

A A A A

A A A

2 2

Sektor BCA

105,0A 110,0 cm

360

2

Sektor BCAA 11087,2cm

EAF CDGA A

11087,2 2 1481,2 1413,3

1,52 1481,2 1413,3

Der helle Teil ist um mehr als 40% größer als der dunkle Teil.

4

L 2

K 1

K 2

K 5

17









Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: Vorname:



A 1 Die nebenstehende Skizze zeigt das Drachenviereck

ABCD mit der Symmetrieachse AC.

Es gilt: AB 8 cm ; BAD 50 ; CBA 100 .

Der Kreisbogen DB hat den Mittelpunkt C und

schneidet die Strecke [AC] im Punkt G. Der Kreisbogen

EF mit E [AB] und F [AD] hat den Mittelpunkt A

und berührt den Kreisbogen DB im Punkt G.

A B

C

D

F

E

G

Berechnen Sie die Länge der Strecke [BC] und bestimmen Sie sodann durch

Rechnung den Umfang der Figur BGE, die durch die Kreisbögen EG , GB sowie

die Strecke [BE] begrenzt wird. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

[Teilergebnis: BC 4,13 cm ]

5 P


Seite - 2 -

A 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein

Schrägbild des geraden Prismas

ABCDEF mit dem gleichseitigen Drei-

eck ABC als Grundfläche. Die Strecke

[GH] mit G [DE] und H [FE] ist

parallel zur Strecke [DF]. Die Punkte K

und L sind die Mittelpunkte der Stre-

cken [DF] und [GH]. Die Fläche DGHF

ist die Grundfläche der Pyramide

DGHFB mit der Spitze B.

Es gilt:

AB 6 cm ; AD 6 cm ; KL 2 cm .

Runden Sie im Folgenden auf eine Stel-

le nach dem Komma.


q2

; 45

D

A

B

C

E

F

G

H

LK

A 2.1 Berechnen Sie das Volumen der Pyramide DGHFB.

[Teilergebnisse: GH 3,7cm ; EL 3,2cm ]

3 P


Seite - 3 -

A 2.2 Berechnen Sie das Maß des Winkels LBK.

3 P

A 2.3 Das Dreieck GEH ist die Grundfläche der Pyramide GEHB mit der Spitze B.

Berechnen Sie die Oberfläche O dieser Pyramide.

3 P


Seite - 4 -

A 3.0 Der Wert eines zwei Jahre alten Gebrauchtwagens beträgt derzeit 12750 €. Seit

dem Neukauf hat das Fahrzeug jährlich 16 % an Wert verloren. Bei gleichblei-

bendem prozentualen Wertverlust lässt sich nach x Jahren der Zeitwert y € des

Wagens durch die Funktion f mit der Gleichung xy 12750 0,84 mit

0 0G IR IR I beschreiben.

A 3.1 Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Ganze gerundet.

Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f in das Koordinatensystem.

x 0 2 4 6 8 10

x12750 0,84

O x1

y

2000

2 P

A 3.2 Das Auto soll mit einem Zeitwert von 5000 € verkauft werden. Geben Sie mithilfe

des Graphen zu f an, wie viele Jahre man mit dem Verkauf noch warten muss.

1 P

A 3.3 Berechnen Sie den Wert des Autos beim Neukauf auf ganze Euro gerundet.

2 P


Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 1.0 Die Parabel p verläuft durch die Punkte P( 2 | 3) und Q(3 | 4,5) . Sie hat eine

Gleichung der Form 2y ax bx 3 mit G IR IR I , a IR \{0} und b IR .

Die Gerade g ist festgelegt durch die Punkte A( 1| 3) und D(12 | 3,5) mit

G IR IR I .


B 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für a und b, dass die Parabel p die

Gleichung 2y 0,5x 2x 3 hat und bestimmen Sie sodann die Koordinaten

des Scheitelpunktes S der Parabel p. Zeichnen Sie die Parabel p für x [ 3; 6] in

ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; <<4 x 7 ; <<8 y 6

4 P

B 1.2 Berechnen Sie die Gleichung der Geraden g und zeichnen Sie diese in das


[Ergebnis: g : y 0,5x 2,5 ] 2 P

B 1.3 Begründen Sie rechnerisch, dass sich die Parabel p und die Gerade g in zwei

Punkten schneiden.

2 P

B 1.4 Punkte 2

n( )B x | 0,5x 2x 3 und nC auf der Parabel p sind zusammen mit dem

Punkt A( 1| 3) Eckpunkte von Dreiecken n nAB C . Die x-Koordinate der Punkte

nC ist um 3 kleiner als die Abszisse x der Punkte nB .

Zeichnen Sie die Dreiecke 1 1AB C für x 1,5 und 2 2AB C für x 5 in das


Zeigen Sie sodann, dass für die Koordinaten der Punkte nC in Abhängigkeit von

der Abszisse x der Punkte nB gilt: 2

n( )C x 3 | 0,5x 5x 7,5

3 P

B 1.5 Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Dreiecks 1 1AB C .

3 P

B 1.6 Im Dreieck 2 2AB C aus 1.4 besitzt der Winkel 2 2B AC das Maß .

Berechnen Sie .

3 P


Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0 Die Grundfläche des Erlebnisbeckens eines

Schwimmbades hat die Form eines Trapezes

mit angrenzendem Kreissektor. Teile des

Bodens sollen farbig gestaltet werden. In

nebenstehender Skizze sind die geplanten

Farbbereiche dargestellt.

Es gilt: [AB] || [CD] ; AB 60 m ;

AC 58 m ; AD 40 m ; BAD 60 .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen

nach dem Komma.

A B

CD

G

F

E

B 2.1 Zeichnen Sie das Trapez ABCD im Maßstab 1: 500 . Berechnen Sie das Maß des

Winkels DCA und den Abstand der beiden parallelen Seiten [AB] und [CD].

[Ergebnis: DCA 36,67 ; d [AB];[CD] 34,64 m ]

4 P

B 2.2 Durch den trapezförmigen Bereich ABCD des Bodens soll ein blauer Streifen mit

den parallelen Begrenzungslinien [ED] und [BF] verlaufen. Dabei gilt: E [AB]

mit EB 10m und F [CD] .

Zeichnen Sie die Begrenzungslinien [ED] und [BF] in die Zeichnung zu 2.1 ein und

berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ED].

[Ergebnis: ED 45,83m ]

2 P

B 2.3 Berechnen Sie den Flächeninhalt des blauen Streifens EBFD .

[Ergebnis: 2

EBFDA 346,40m ]

2 P

B 2.4 Der kreissektorförmige Bereich CGF mit dem Mittelpunkt C wird in türkiser

Farbe gestaltet. Dabei schneidet der Kreis um C mit dem Radius CF die Seite

[BC] im Punkt G.

Tragen Sie den Kreisbogen GF in die Zeichnung zu 2.1 ein und berechnen Sie

sodann das Maß des Winkels ACB .

[Ergebnis: ACB 74,58 ]

3 P

B 2.5 Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecke [DC] gilt: DC 26,52m .

Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des türkisfarbenen Kreissektors.

[Ergebnis: 2

Sektor CGFA 592, 42 m ]

3 P

B 2.6 Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der farbigen Flächen an der Gesamtfläche

des Beckenbodens.

3 P



Aufgaben A 1-3 Nachtermin

EBENE GEOMETRIE

A 1

BC AB

sin 0,5 BAD sin 180 CBA (0,5 BAD)

8cm sin 25

BCsin 55

BC 4,13 cm

u EG GB BE

EAGEG 2 AG

360

AG AC GC mit GC BC 4,13 cm

2 2AC 8 4,13 2 8 4,13 cos100 cm AC 9,62 cm

25EG 2 9,62 cm 4,13 cm

360

EG 2, 40 cm

GCBGB 2 BC

360

55GB 2 4,13 cm

360

GB 3,96 cm

u 2, 40 cm 3,96 cm 8 cm 9,62 cm 4,13 cm u 8,87 cm

5

L 2

K 2

K 5

RAUMGEOMETRIE

A 2.1 1 1V DF GH KL EB

3 2

GH EL

DF EK

0,5 6 3 2 6GH cm

0,5 6 3

GH 3,7 cm

31 1V 6 3,7 2 6 cm

3 2 3V 19,4 cm

3

L 3

K 2

L 2

K 5

A 2.2 LBK EBK EBL

0,5 6 3

tan EBK6

EBK 40,9

0,5 6 3 2

tan EBL6

EBL 28,0

LBK 40,9 28,0 LBK 12,9

3

L 3

K 2

L 2

K 5

A 2.3 1 1 1

O GH EL GH BL 2 EG BE2 2 2

mit EG GH

und 2 2

BL EL BE 22BL 0,5 6 3 2 6 cm BL 6,8 cm

21 1 1O 3,7 0,5 6 3 2 3,7 6,8 2 3,7 6 cm

2 2 2

2O 40,7 cm

3

L 2

K 5

FUNKTIONEN

A 3.1

L 4

K 5

x 0 2 4 6 8 10

x12750 0,84 12750 8996 6348 4479 3160 2230

O x1

y

2000

Graph zu f

2

L 4

K 4

A 3.2 y 5000 x 5,4 (Im Rahmen der Ablesegenauigkeit)

Man muss noch 5,4 Jahre warten.

1

L 4

K 4

A 3.3 Wert des Autos vor einem Jahr: 10,84 y 12750 1y 15179

Wert des Autos vor zwei Jahren: 20,84 y 15179 2y 18070

Der Wert des Autos betrug 18070 € .

2

L 4

K 2

K 5

19










FUNKTIONEN

B 1.1 P ( 2 | 3) p und Q (3 | 4,5) p :

2

2

3 a ( 2) b ( 2) 3

4,5 a 3 b 3 3

{ }a IR \ 0 ,b IR

a 0,5

b 2

IL(a | b) {( 0,5 | 2)}

S(2 | 5)

4

L 4

K 5

L 4

K 4

x

y

1O

1

A

B1

C1

B2

C2

g

p

B 1.2 ( )A 1| 3 g und ( )D 12 | 3,5 g

g : y mx t m, t IR

3,5 ( 3)

m12 ( 1)

m 0,5

3 0,5 ( 1) t t 2,5

g : y 0,5x 2,5

Einzeichnen der Gerade g

2

L 4

K 4

K 5

B 1.3 p g

20,5x 2,5 0,5x 2x 3 x IR

. . .

D 13, 25 D 0 Es gibt 2 Lösungen und damit 2 Schnittpunkte.

2

L 4

K 1

K 5

B 1.4 Einzeichnen der Dreiecke 1 1AB C und 2 2AB C

2

nC x 3 | 0,5 x 3 2 x 3 3 nC p ; x IR

2

nC x 3 | 0,5x 5x 7,5

3

L 3

K 4

K 5

B 1.5 1B 1,5 | 4,88 1C 1,5 | 1,13

1

1,5 ( 1)AB

4,88 ( 3)

1

2,5AB

7,88

1

1,5 ( 1)AC

1,13 ( 3)

1

0,5AC

1,87

2,5 0,51

A FE7,88 1,872

A 4,31 FE

3

L 2

K 2

K 5

B 1.6 2B 5 | 0,5 2C 2 | 5

21 ABtan m

2AB

0,5 3m

5 1

1 30,26

22 ACtan m

2AC

5 3m

2 1

2 69,44

2 1 39,18

3

L 2

K 2

K 5

17










EBENE GEOMETRIE

B 2.1

sin DCA sin ADC

AD AC

DCA ]0 ; 60 [

40 sin(180 60 )

sin DCA58

DCA 36,67

d [AB];[CD]

sin BADAD

d [AB];[CD] 40m sin 60 d [AB]; [CD] 34,64 m

4

L 3

K 3

K 4

L 2

K 2

K 5

B 2.2 Eintragen der Strecken [ED] und [BF]

2 2ED (60 10) 40 2 (60 10) 40 cos60 m ED 45,83m 2

L 3

K 4

L 2

K 5

B 2.3 EBFDA EB d D; [AB] mit d D; [AB] d [AB]; [CD]

EBFDA 10 m 34,64 m 2

EBFDA 346,40m

2

L 2

K 2

K 5

A B

CD

G

F

E

B 2.4 Eintragen des Kreissektors

sin ACB sin BAC

AB BC

mit BAC DCA ACB ]0 ;90 [

2 2BC 60 58 2 60 58 cos36,67 m BC 37,17 m

60 sin 36,67

sin ACB37,17

ACB 74,58

3

L 3

K 3

K 4

L 2

K 2

K 5

B 2.5 2 2DC 58 40 2 58 40 cos(60 36,67 ) m DC 26,52 m

2

Sektor

GCFA CF

360

CF DC DF

2 2

Sektor

360 36,67 74,58A (26,52 10) m

360

2

SektorA 592,42 m

3

L 2

K 2

K 5

B 2.6 Sektor EBFD

ABCD Sektor

A A

A A

2

ABCDA 0,5 (60 26,52) 34,64 m 2

ABCDA 1498,53 m

592,42 346,40

0,451498,53 592,42

Der prozentuale Anteil beträgt 45% .

3

L 2

K 2

K 5

17









Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: Vorname:



A 1.0 Die nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt einer

massiven Edelstahlniete mit der Symmetrieachse MS.

Es gilt:

AB CD 8,00 mm ; MS 28,00 mm ;

GN 5,33 mm ; EF 14,00 mm .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem

Komma.

A 1.1 Berechnen Sie das Volumen V der Edelstahlniete.

[Ergebnisse: GM 9,33 mm ; 3V 1595,81 mm ]

4 P

A 1.2 Bestimmen Sie rechnerisch die Masse der Edelstahlniete, wenn 1 cm3 Edelstahl

eine Masse von 7,85 g hat.

1 P

A BS

G

CDN

MF E


Seite - 2 -

A 2.0 Die Parabel p mit dem Scheitel S 2 | 5 hat eine Gleichung der Form 2y 0,25x bx c mit G IR IR I und b,c IR . Die Gerade g hat die Glei-

chung y 0,5x 1 mit G IR IR I .


1

O x

y

1-5 -1

-1

-5

5

p

P

Q

g

A 2.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel p die Gleichung 2y 0,25x x 4

hat.

1 P


Seite - 3 -

A 2.2 Die Gerade g schneidet die Parabel p in den Punkten P und Q.

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte P und Q.

3 P

A 2.3 Punkte 2nA x | 0,25x x 4 auf der Parabel p und Punkte nB x | 0,5x 1 auf

der Geraden g haben dieselbe Abszisse x und sind für 8,39 x 2,39 zusammen

mit Punkten nC die Eckpunkte von Dreiecken n n nA B C . Die Punkte nC liegen auf

der Geraden g, wobei die Abszisse der Punkte nC um 3 kleiner ist als die Abszis-

se x der Punkte nA und nB . Zeichnen Sie für 1x 4 das Dreieck 1 1 1A B C und für

2x 1 das Dreieck 2 2 2A B C in das Koordinatensystem zu 2.0 ein.

2 P

A 2.4 Zeigen Sie, dass für die Punkte nC in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte

nA und nB gilt: nC x 3 | 0,5x 2,5

1 P

A 2.5 In allen Dreiecken n n nA B C haben die Winkel n n nC B A das gleiche Maß.

Berechnen Sie das Maß der Winkel n n nC B A .

2 P


Seite - 4 -

A 3.0 Die nebenstehende Skizze verdeutlicht die

Funktionsweise einer Bahnschranke. 1[MS ]

stellt die Schranke in geöffnetem Zustand dar,

2[MS ] zeigt sie in geschlossenem Zustand.

Der Bogen 1 2S S beschreibt den Weg, den die

Schrankenspitze beim Schließen und Öffnen

zurücklegt. Der Punkt M ist der Drehpunkt der

Schranke und bildet zusammen mit dem Punkt

F die Strecke [MF] (Schrankenfuß).

Es gilt:

1 2MS MS 7,00 m ; 1 2S S 8,85 m ; MF 1,10 m .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma. A 3.1 Berechnen Sie das Maß des Winkels 1 2S MS und sodann die Länge b des Bo-

gens 1 2S S .

[Teilergebnis: 78,42 ]

3 P

A 3.2 Herr Lute überquert mit einem 4,00 m hohen LKW den Bahnübergang. Er fährt

einen halben Meter am Schrankenfuß [MF] der geöffneten Schranke vorbei.

Überprüfen Sie rechnerisch, ob dabei die Schranke beschädigt wird und begrün-

den Sie Ihre Antwort.

2 P

S

M

F

S

2

1



Aufgaben A 1-3 Haupttermin

RAUMGEOMETRIE

A 1.1 2 2 2

AB 1 EF 1 CDV MS MN GM GN

2 3 2 3 2

GM EF

GN CD

GM 14,00mm

5,33mm 8,00mm GM 9,33 mm

MN 9,33 5,33 mm MN 4,00 mm

2 2 2

38,00 1 14,00 1 8,00V 28,00 4,00 9,33 5,33 mm

2 3 2 3 2

3V 1595,81 mm

4

L 3

K 2

K 5

A 1.2 3

3

gm 1,59581cm 7,85

cm m 12,53 g

1

L 2

K 5

FUNKTIONEN

A 2.0

1

O x

y

1-5 -1

-1

-5

5

p

P

Q

g

A1

B 1

C 1

B 2

C2

A2

A 2.1 2

p : y 0, 25 x 2 5 G IR IR I

…

2p : y 0,25x x 4

1

L 4

K 5

A 2.2 p g

20,25x x 4 0,5x 1 x IR

...

x 8,39 x 2,39

P 8,39 | 5, 20 Q 2,39 | 0, 20

3

L 4

K 2

K 5

A 2.3 Einzeichnen der Dreiecke 1 1 1A B C und 2 2 2A B C .

2

L 3

K 4

A 2.4 nC x 3 | 0,5 x 3 1 x IR

nC x 3 | 0,5x 2,5

1

L 3

K 5

A 2.5 gtan m mit gm 0,5 [0 ;180 [

26,57 180 153,43

n n nC B A 360 90 153,43 n n nC B A 116,57

2

L 2

K 2

K 5

EBENE GEOMETRIE

A 3.1 2 2 2

1 2 1 2 1 2S S MS MS 2 MS MS cos ]0 ;180 [

2 2 27,00 7,00 8,85

cos2 7,00 7,00

78,42b 2 7,00m

360

b 9,58 m

3

L 2

K 2

K 5

A 3.2 4,00 1,10 m

tan 78,42d

d 0,59m

Ja, die Schranke wird beschädigt, weil der Abstand zum Schrankenfuß mehr als

0,59 m sein muss.

2

L 2

K 1

K 3

K 5

19









Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 1.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der

Pyramide ABCDS, deren Grundfläche die Raute

ABCD ist. Die Spitze S der Pyramide ABCDS

liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt

M der Raute ABCD.

Es gilt: AB 7,5 cm ; BD 9 cm ; MS 6 cm .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach

dem Komma.

B 1.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Strecke [AC] gilt: AC 12cm .

Zeichnen Sie sodann das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke

[AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt C liegen soll.


q ; 45 .2

3 P

B 1.2 Berechnen Sie das Maß des Winkels SBA sowie den Flächeninhalt A des

Dreiecks ABS.

[Teilergebnis: SBA 68,94 ]

4 P

B 1.3 Verlängert man die Höhe [MS] über S hinaus um x cm, so erhält man Punkte nS .

Verkürzt man gleichzeitig die Diagonale [AC] der Grundfläche von den Punkten

A und C aus um jeweils 0,5x cm , so erhält man Punkte nA und nC mit

x 0;12 und x IR .

Die Punkte nA , B, nC und D sind die Eckpunkte der Grundflächen von

Pyramiden n n nA BC DS mit den Spitzen nS .

Zeichnen Sie die Pyramide 1 1 1A BC DS für x 2 in das Schrägbild zu 1.1 ein.

1 P

B 1.4 Zeigen Sie, dass sich das Volumen V der Pyramiden n n nA BC DS in Abhängigkeit

von x wie folgt darstellen lässt: 2 3V x 1,5x 9x 108 cm .

Unter den Pyramiden n n nA BC DS besitzt die Pyramide 2 2 2A BC DS das maximale

Volumen. Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x und das Volumen maxV der

Pyramide 2 2 2A BC DS .

3 P

B 1.5 Das Volumen der Pyramide 3 3 3A BC DS beträgt 70 % des Volumens der

Pyramide ABCDS. Ermitteln Sie durch Rechnung den zugehörigen Wert von x.

3 P

B 1.6 Der Winkel 4 4 4C A S der Pyramide 4 4 4A BC DS hat das Maß 60°. Berechnen Sie

den zugehörigen Wert für x.

3 P

A

B

C

D

M

S




Raumgeometrie

B 1.1 AC 2 AM

2 2AM 7,5 4,5 cm AM 6cm

AC 12cm

A

B

C

D

M

S

S1

1A

C1

3

L 2

K 5

L 3

K 4

B 1.2 2 2 2

AS AB BS 2 AB BS cos SBA

2 2AS 6 6 cm AS 8,49cm

22BS 6 9 : 2 cm BS 7,5cm

2 2 28,49 7,5 7,5 2 7,5 7,5 cos SBA SBA 68,94

2

ABS

1A 7,5 7,5 sin 68,94 cm

2 2

BSA 26,25cm

4

L 2

K 2

K 5

B 1.3 Einzeichnen der Pyramide 1 1 1A BC DS

1

L 3

K 4

B 1.4 31 1V x 12 2 0,5x 9 6 x cm

3 2

x ] 0;12 [; x IR

...

2 3V(x) 1,5x 9x 108 cm

...

3

maxV 121,5 cm für x 3

3

L 4

K 2

K 5

B 1.5 3

ABCDS

1 1V 12 9 6 cm

3 2 3

ABCDSV 108 cm

3 2 30,70 108 cm 1,5x 9x 108 cm x ] 0;12 [; x IR

. . .

x 8,53 x 2,53 IL {8,53}

3

L 4

K 2

K 5

B 1.6 4 4 4 4 4MA S C A S

44 4

4

MStan MA S

A M

6 x

tan 606 0,5x

x ] 0;12 [; x IR

. . .

x 2,35 IL {2,35}

3

L 4

K 2

K 5

17









Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt das gleichschenklige Trapez

ABCD mit AB CD .

Es gilt: AB 10 cm ; AD 6,5 cm ; d [AB]; [CD] 6 cm .


B 2.1 Zeichnen Sie das Trapez ABCD mit den Diagonalen [AC] und [BD].

2 P

B 2.2 Berechnen Sie das Maß des Winkels BAD, sowie die Längen der Strecken [AC]

und [CD].

[Teilergebnisse: AC 9,60 cm ; CD 5cm ]

3 P

B 2.3 Der Schnittpunkt E der Diagonalen [AC] und [BD] ist der Mittelpunkt eines

Kreises k, der die Grundlinie [AB] im Punkt T berührt. Dieser Kreis schneidet die

Diagonale [AC] im Punkt S und die Diagonale [BD] im Punkt R.

Zeichnen Sie den Kreisbogen SR und die Punkte E und T in die Zeichnung zu 2.1

ein.

1 P

B 2.4 Ermitteln Sie durch Rechnung den Flächeninhalt des Kreissektors, der durch die

Strecken [RE], [ES] und den Kreisbogen SR begrenzt wird.

[Ergebnisse: ET 4cm ; AET 51,34 ; 2SektorA 14,34 cm ]

4 P

B 2.5 Bestimmen Sie rechnerisch den Umfang u der Figur, die durch die Strecken [RD],

[DS] und den Kreisbogen SR begrenzt wird.

[Teilergebnis: DE 3,20 cm ]

4 P

B 2.6 Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Flächeninhalt A der Figur aus 2.5 mehr als die

Hälfte des Flächeninhaltes des Trapezes beträgt. 3 P

A B

CD




EBENE GEOMETRIE

B 2.1

A B

CD

E

S R

T

2

L 3

K 4

B 2.2 6

sin BAD6,5

BAD 67,38

2 2BD 10 6,5 2 10 6,5 cos 67,38 cm mit AC BD AC 9,60 cm

2 2CD 10 2 6,5 6 cm CD 5cm

3

L 2

K 2

K 5

B 2.3 Einzeichnen des Kreisbogens SR und der Punkte E und T

1

L 3

K 4

B 2.4 2

Sektor

2 AETA ET

360

ET 10cm

5cm6cm ET

ET 4 cm

5

tan AET4

AET 51,34

2 2

Sektor

2 51,34A 4 cm

360

2

SektorA 14,34cm

4

L 2

K 2

K 5

B 2.5 u RD DS SR

RD DE ER

2 2DE 2,5 2 cm DE 3,20cm

RD 3,20 4 cm RD 7,20cm

2 2DS 4 3,20 2 4 3,20 cos 180 2 51,34 cm DS 4,54cm

2 51,34SR 2 4cm

360

SR 7,17 cm

u 18,91cm

4

L 2

K 2

K 5

B 2.6 Figur EDS SektorA A A

EDS

1A 3,20cm 4cm sin 180 2 51,34

2

2

EDSA 6,24cm

2 2

FigurA 6, 24 cm 14,34 cm 2

FigurA 20,58cm

2

Trapez

10 5A 6cm

2

2

TrapezA 45cm

2

Trapez

1A 22,5cm

2 Figur Trapez

1A A

2

Der Flächeninhalt der Figur aus 2.5 beträgt weniger als die Hälfte des

Flächeninhalts des Trapezes.

3

L 2

K 1

K 2

K 5

17









Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: Vorname:



A 1 Die nebenstehende Skizze zeigt die Figur,

die zum Einbau einer Küchenspüle aus

einer Arbeitsplatte ausgesägt werden

muss. Die Figur wird begrenzt durch die

Kreisbögen BC und DA sowie die

parallelen Strecken [AB] und [DC].

Die Kreise 1 1 1k M ; r M A und

2 2 2k M ; r M B berühren sich im Punkt

1 2E M M .

Es gilt: 1 2M A M B 25 cm ; AB CD 20 cm .

Berechnen Sie den Flächeninhalt der ausgesägten Figur.

[Teilergebnis: 1AM F 53,13 ]

5 P

D C

A B

M M1 2

EF


Seite - 2 -

A 2.0 Gegeben sind die Parabel p mit der Gleichung 21y x 3 3

2 und die Gerade g

mit der Gleichung 2

y x 0,53

mit G IR IR I .

A 2.1 Zeichnen Sie die Parabel p und die Gerade g für x [0; 8] in das Koordinaten-

system.

1

O x

y

51

-1

5

10

-1

2 P

A 2.2 Punkte 2

n

1A x x 3 3

2

auf der Parabel p und Punkte n

2C x x 0,5

3

auf

der Geraden g haben jeweils dieselbe Abszisse x und sind mit Punkten nB für

x ] 0,28; 7,05 [ Eckpunkte von Dreiecken n n nA B C .

Es gilt: n n

5A B

3

.

Zeichnen Sie das Dreieck 1 1 1A B C für x 1,5 in das Koordinatensystem zu 2.1

ein.

1 P


Seite - 3 -

A 2.3 Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Länge der Seiten n n[A C ] in Abhängig-

keit von der Abszisse x der Punkte nA wie folgt darstellen lässt:

2

n n

1 11A C (x) x x 1 LE

2 3

.

2 P

A 2.4 Unter den Dreiecken n n nA B C hat das Dreieck 0 0 0A B C den maximalen Flächenin-

halt. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks 0 0 0A B C und geben Sie den zu-

gehörigen Wert für x an.

4 P


Seite - 4 -

A 3.0 Die Firma Hannsolar stellt Solarlampen her. Die ne-

benstehende Skizze zeigt den Axialschnitt ABCDE

einer Solarlampe mit AN als Symmetrieachse.

Es gilt:

AM 14,5 cm ; DF 9,5 cm ; EF 3,8 cm ; CFD 104 ;

[EB] [DC]| | .


A 3.1 Berechnen Sie die Längen der Strecken [CD] und [EM].

[Ergebnis: CD 15,0 cm ; EM 3,0 cm ]

2 P

A 3.2 Bestimmen Sie rechnerisch den Oberflächeninhalt der Solarlampe.

3 P

A

B

CND

EM

F



Aufgaben A 1-3 Nachtermin

EBENE GEOMETRIE

A 1 Figur Kreissektor TrapezA 2 A 2 A

2

1 1 2Figur 1

DM A M M ABA 2 AM 2 AF

360 2

1 1M F M E 0,5 AB 1M F 15 cm

11

1

M Fcos AM F

M A 1AM F 53,13

1DM A 253,74

2 2

1 1AF M A M F AF 20 cm

2 2

Figur

253,74 2 25 20A 2 25 2 20 cm

360 2

2

FigurA 4167,87 cm

5

L 2

K 2

K 3

K 5

FUNKTIONEN

A 2.1

1

O x

y

51

-1

5

10

-1

p

g

A1

B1

C1


2

L 4

K 4

A 2.2 Einzeichnen des Dreiecks 1 1 1A B C

1

L 3

K 4

A 2.3 2

n n

2 1A C (x) x 0,5 x 3 3 LE

3 2

x IR

. . .

2

n n

1 11A C (x) x x 1 LE

2 3

2

L 3

K 5

A 2.4 n n nA B C n n n n nA (x) 0,5 A C (x) d B ; A C

n nn n n B Ad B ; A C x x LE n n nd B ; A C 5 LE

n n n

2

A B C

1 11A (x) 0,5 x x 1 5 FE

2 3

x ] 0,28; 7,05 [

n n n

2

A B CA (x) 1,25x 9,17x 2,5 FE

…

0 0 0A B CA 14,32 FE für x 3,67

4

L 4

K 2

K 5

RAUMGEOMETRIE

A 3.1 2 2CD 9,5 9,5 2 9,5 9,5 cos104 cm CD 15,0 cm

CFD EMsin

2 EF

EM 3,0 cm

2

L 2

K 2

K 5

A 3.2

2

1 CDO EM EA DC DF EM EF

2 2

2 2EA 14,5 3,0 cm EA 14,8 cm

2

215O 3,0 14,8 0,5 15,0 9,5 3,0 3,8 cm

2

2O 504,2 cm

3

L 3

K 2

K 5

19









Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 1.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der

Pyramide ABCDS, deren Grundfläche das Drachen-

viereck ABCD mit der Symmetrieachse AC ist. Die

Spitze S der Pyramide ABCDS liegt senkrecht über

dem Diagonalenschnittpunkt M des Drachenvierecks

ABCD.

Es gilt: AC 14 cm ; BD 9 cm ; AM 4 cm ; MS 8 cm .


B 1.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke [AC] auf

der Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt C liegen soll.


q ; 452

.

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [CS] und das Maß des Winkels SCA.

[Ergebnisse: CS 12,81cm ; SCA 38,66 ]

4 P

B 1.2 Punkte nF [MC] sind die Mittelpunkte der Strecken n n[E G ] mit n n[E G ] [BD] .

Es gilt: nE [BC] , nG [DC] und nMF x cm mit 0 x 10 ; x IR .

Zeichnen Sie für x 4 die Strecke 1 1[E G ] in das Schrägbild zu 1.1 ein und be-

rechnen Sie sodann die Länge der Strecken n n[E G ] in Abhängigkeit von x.

[Ergebnis: n nE G (x) 0,9x 9 cm ]

2 P

B 1.3 Die Strecken n n[E G ] legen zusammen mit dem Punkt A Dreiecke n nAE G fest.

Sie sind Grundflächen von neuen Pyramiden n nAE G S .

Zeichnen Sie die Pyramide 1 1AE G S in das Schrägbild zu 1.1 ein und zeigen Sie

sodann rechnerisch, dass für das Volumen der Pyramiden n nAE G S in Abhängig-

keit von x gilt: 2 3V(x) 1,2x 7,2x 48 cm .

3 P

B 1.4 Die Pyramide 2 2AE G S besitzt unter den Pyramiden n nAE G S das maximale Volu-

men. Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x und das Volumen der Pyramide

2 2AE G S.

2 P

B 1.5 Das Volumen der Pyramide 3 3AE G S ist um 75 % kleiner als das Volumen der

Pyramide ABCDS. Ermitteln Sie durch Rechnung den zugehörigen Wert für x.

3 P

B 1.6 Das Dreieck 4SF C ist gleichschenklig mit der Basis [CS] . Berechnen Sie, für

welchen Wert von x man dieses Dreieck erhält. 3 P

B

A C

D

S

M




Raumgeometrie

B 1.1

B

A C

D

S

M

G1

E 1

F 1

22CS 8 14 4 cm CS 12,81cm

8

tan SCA14 4

SCA 38,66

4

L 3

K 4

L 2

K 5

B 1.2 Einzeichnen der Strecke 1 1[E G ]

n n14 4 x cmE G (x)

9 cm 14 4 cm

x ]0;10[; x IR n nE G (x) 0,9x 9 cm

2

L 3

K 4

L 2

K 2

K 5

B 1.3 Einzeichnen der Pyramide 1 1AE G S

n n n

1 1V E G AM MF MS

3 2

31 1V(x) 0,9x 9 4 x 8 cm

3 2

x ]0;10[; x IR

. . .

2 3V(x) 1,2x 7,2x 48 cm

3

L 3

K 4

L 3

K 2

K 5

B 1.4 2 3V(x) 1,2x 7,2x 48 cm x ]0;10[; x IR . . .

3

maxV 58,8 cm für x 3

2

L 4

K 2

K 5

B 1.5 3

ABCDS

1 1V 14 9 8 cm

3 2 3

ABCDSV 168 cm

3 2 31 0,75 168 cm 1,2x 7,2x 48 cm x ]0;10[; x IR . . .

x 6,74 x 0,74 IL {6,74}

3

L 4

K 2

K 5

B 1.6 4 4F C SF

2 210 x x 8 x ]0;10[; x IR . . .

x 1,8 IL {1,8}

3

L 2

K 2

K 5

17









Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt den Plan eines

viereckigen Grundstücks ABCD. Das Rechteck

EFGH stellt die Grundfläche einer Doppelhaus-

hälfte dar, wobei [FG] [BC] und E [BD] .

Es gilt:

AB 20,00 m ; AD 23,00 m ; DC 17,00 m ;

BAD 78 ; DCB 90 ; EF 7,00 m ;

FG 10,00 m .


nach dem Komma.

B 2.1 Zeichnen Sie das Viereck ABCD mit dem Rechteck EFGH im Maßstab 1: 200 .

4 P

B 2.2 Von der Hausecke E zur Grundstücksecke B verläuft ein Entwässerungsrohr. Be-

rechnen Sie die Länge der Strecke [BE].

[Ergebnisse: BD 27,16 m ; BE 11,18 m ]

3 P

B 2.3 Bestimmen Sie rechnerisch den Abstand der Hauswand [HG] von der Grundstück-

grenze [DC].

[Teilergebnis: BC 21,18 m ]

2 P

B 2.4 An der Ecke A des Grundstücks soll ein Gartenteich angelegt werden. Im Plan zeigt

die Figur AKL, die von den Strecken [LA] , [AK] sowie dem Kreisbogen KL mit

dem Mittelpunkt M begrenzt wird, die Lage des Gartenteichs.

Dabei gilt: L [AD] ; K [AB] ; M [AB] ; AM 3,00 m ; MK ML 5,00 m .

Zeichnen Sie den Punkt M und den Kreisbogen KL in die Zeichnung zu 2.1 ein.

Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt der Figur AKL.

[Ergebnisse: LMA 66,06 ; 2

AKLA 31,71 m ]

5 P

B 2.5 Bestimmen Sie rechnerisch den prozentualen Anteil der Restfläche des Grund-

stücks (ohne Haus und Gartenteich) an der Gesamtfläche des Grundstücks ABCD.

Runden Sie auf ganze Prozent. 3 P

A B

C

D

EF

GH

M K

L




EBENE GEOMETRIE

B 2.1

A B

C

D

EF

GH

M K

L

4

L 3

K 4

B 2.2 BE EF

BD DC

2 2BD 20,00 23,00 2 20,00 23,00 cos 78 m BD 27,16m

BE 7,00m

27,16m 17,00m BE 11,18m

3

L 2

K 2

K 5

B 2.3 GC BC BF FG

2 2BC 27,16 17,00 m BC 21,18m

2 2BF 11,18 7,00 m BF 8,72m

GC 2,46m

Der Abstand der Hauswand von der Grundstücksgrenze beträgt 2,46 m .

2

L 2

K 3

K 5

B 2.4 Einzeichnen des Punktes M und des Kreisbogens KL

AKL AML Sektor KMLA A A

2

AKL

1 KMLA AM ML sin LMA MK

2 360

sin ALM sin 78

3,00m 5,00m

ALM 35,94

LMA 180 78 35,94 LMA 66,06

KML 180 66,06 KML 113,94

2 2

AKL

1 113,94A 3,00 5,00 sin 66,06 5,00 m

2 360

2

AKLA 31,71m

5

L 3

K 4

L 3

K 2

K 5

B 2.5 Restfl. ABCD AKL EFGHA A A A

2

ABCD

1 1A 20,00 23,00 sin 78 17,00 21,18 m

2 2

2

ABCDA 405,00 m

2

Restfl.A 405,00 31,71 10,00 7,00 m 2

Restfl.A 303,29 m

Restfl.

ABCD

A 303,29

A 405,00 Restfl.

ABCD

A0,75

A

Der prozentuale Anteil beträgt 75% .

3

L 2

K 2

K 5

L 1

K 5

17









an den Realschulen in Bayern Mathematik II

Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: Vorname:



A 1 Die nebenstehende Skizze dient als Vorlage für eine Pflanz-

schale. Sie zeigt den Axialschnitt ABCDEF eines Rotati-

onskörpers mit der Rotationsachse KL.

Es gilt:

BC 1,4 dm; CD 4,0 dm; GH 0,6 dm; EBA 35 .

Begründen Sie rechnerisch, ob der Inhalt eines 20-Liter-Sackes Erde vollständig

in die Pflanzschale gefüllt werden kann. [Teilergebnis: LH 1,4 dm ]

5 P

. . .

.

.

A

B

CD

E

F

L

H

K

G


Seite - 2 -

A 2.0 Die Zeichnung zeigt das Trapez ABCD mit [AB] [CD].

Es gilt: CD 8 cm; AD 6 cm; BC 7 cm; DCB 130 .

Runden Sie im Folgenden alle Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.

A 2.1 Berechnen Sie die Länge der Diagonalen [BD], das Maß des Winkels CBD

und das Maß des Winkels BAD.

[Ergebnisse: BD 13,60 cm; 26,79 ; 63,29 ]

5 P

A B

CD

E

G

K

HF

.


Seite - 3 -

A 2.2 Die Diagonale [BD] berührt den Kreisbogen FG im Punkt E.

Ermitteln Sie rechnerisch den Radius CE des Kreissektors CFG.

[Ergebnis: CE 3,16 cm ]

1 P

A 2.3 Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhaltes A der grauen Figur, die

durch die Kreisbögen FG, HK und die Strecken [FH] und [GK] begrenzt wird, am

Flächeninhalt des Trapezes ABCD. Es gilt: FH GK 1cm .

3 P


Seite - 4 -

A 3.0 In einem Labor wird der Zerfall von Milchschaum untersucht.

Bei anfänglich 80 cm³ Milchschaum lässt sich der Zerfall dieses Milchschaums

x Minuten nach Versuchsbeginn durch die Funktion f mit der Gleichung xy 80 0,815 mit 0 0G IR IR I annähernd beschreiben, wobei y cm³ das Volu-

men des verbleibenden Milchschaums darstellt.

A 3.1 Ergänzen Sie die Wertetabelle zur Berechnung des Volumens des verbleibenden

Milchschaums. Runden Sie dabei auf ganze Kubikzentimeter und zeichnen Sie so-

dann den zugehörigen Graphen zu f in das Koordinatensystem ein.

O x

y

1 5 10

10

50

80

x 0 1 2 3 5 8 12 x80 0,815

2 P

A 3.2 Bestimmen Sie mit Hilfe des Graphen, nach welcher Zeit noch 35 cm³ des anfäng-

lichen Milchschaumvolumens von 80 cm³ vorhanden sind.

Antwort: _______________________________________ 1 P

A 3.3 Berechnen Sie, wie viele Kubikzentimeter Milchschaum nach zehn Minuten aus

den ursprünglich 80 cm³ zerfallen sind.

2 P



Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 1.0 Die Parabel 1p verläuft durch die Punkte P( 2 | 2) und Q (8 | 3) . Sie hat eine

Gleichung der Form 2y ax bx 3 mit a IR \{0}, b IR und G IR IR I .

Die Parabel 2p besitzt die Gleichung 21 1y x x 2

8 2 mit G IR IR I .

B 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für a und b, dass die Parabel 1p die Glei-

chung 21y x 2x 3

4 besitzt. Zeichnen Sie sodann die Parabeln 1p und 2p

für

x [ 2; 9] in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; 3 x 10 ; 3 y 8 .

4 P

B 1.2 Punkte 2

n

1A x x 2x 3

4

auf der Parabel 1p und Punkte 2

n

1 1C x x x 2

8 2

auf der Parabel 2p haben dieselbe Abszisse x. Sie sind zusammen mit Punkten nB

und nD für x ] 1,61; 8,28[ Eckpunkte von Rauten n n n nA B C D mit den Diagona-

lenschnittpunkten nM .

Für die Länge der Diagonalen n n[B D ] gilt: n nB D 5 LE .

Zeichnen Sie die Rauten 1 1 1 1A B C D für x = 1 und 2 2 2 2A B C D für x = 7 in das Ko-

ordinatensystem zu B 1.1 ein.

2 P

B 1.3 Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Diagonalen n n[A C ] in Abhän-

gigkeit von der Abszisse x der Punkte nA gilt:

2

n nA C (x) 0,375x 2,5x 5 LE .

1 P

B 1.4 Unter den Rauten n n n nA B C D gibt es Rauten 3 3 3 3A B C D und 4 4 4 4A B C D , für die gilt:

3 3 4 4A B A B 4 LE.

Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte 3 4A und A .

Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

4 P

B 1.5 Unter den Diagonalen n n[A C ] hat die Diagonale 0 0[A C ] die maximale Länge. Be-

rechnen Sie die Länge der Strecke 0 0[A C ] und den zugehörigen Wert für x.

Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt der Raute 0 0 0 0A B C D .

Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. [Ergebnis: 0 0A C 9,17 LE ]

3 P

B 1.6 Begründen Sie rechnerisch, dass für das Maß der Winkel n n nA D M gilt:

n n nA D M 65 .

3 P



Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild

der Pyramide ABCDS, deren Grundfläche die

Raute ABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt

M ist.

Die Spitze S der Pyramide ABCDS liegt senk-

recht über dem Punkt M.

Es gilt: AC 12 cm; BD 8 cm; MS 9 cm.


nach dem Komma.

B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke [AC] auf der



q ;2

.

Bestimmen Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecke [AS] und das Maß des

Winkels CAS.

[Ergebnis: 56,31 ]

4 P

B 2.2 Für Punkte Pn auf der Strecke [AS] gilt: nAP x x cm mit x IR und

<0 < x 10,82 . Die Punkte nP sind Spitzen von Pyramiden ABDPn.

Zeichnen Sie die Pyramide ABDP1 und die dazugehörige Höhe 1 1[H P ] mit dem

Höhenfußpunkt 1H [AM] für x 5 in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [MP1] und das Volumen der Pyramide

ABDP1.

[Teilergebnisse: 1 1 1MP 5,26 cm; H P 4,16 cm ]

4 P

B 2.3 Bestimmen Sie durch Rechnung den prozentualen Anteil des Volumens der Pyra-

mide ABDP1 am Volumen der Pyramide ABCDS.

2 P

B 2.4 Zeichnen Sie das Dreieck MCP1 in das Schrägbild zu B 2.1 ein und berechnen Sie

sodann dessen Flächeninhalt.

3 P

B 2.5 Die Strecke 0[MP ] besitzt unter den Strecken n[MP ] die minimale Länge.

Zeichnen Sie diese Strecke in das Schrägbild zu B 2.1 ein und berechnen Sie deren

Länge.

Begründen Sie sodann, dass es unter den Dreiecken nBDP kein Dreieck mit einem

Flächeninhalt von 218 cm gibt.

4 P

A.

B

C

D

S

M




Aufgaben A 1–3 Haupttermin

RAUMGEOMETRIE

A 1 VSchale = VZylinder + Vgroßer Kegel – Vkleiner Kegel

LH

tan352 dm

LH 1,4 dm

LG 1,4 0,6 dm LG 0,8 dm

0,8 dm

tan35AG

AG 1,1dm

2 2 2 3

Schale

1 1V 2 1,4 2 1,4 1,1 0,8 dm

3 3

3

SchaleV 22,4 dm

Die Schale kann den Inhalt eines 20-Liter-Sackes Erde fassen, denn es gilt:

322,4 dm 22,4 und 22,4 20 l l l . 5

L 3

K 1

K 2

K 5

EBENE GEOMETRIE

A 2.1 2 2 2

BD DC CB 2 DC CB cos DCB BD 13,60 cm

2 2 2

CD BC BD 2 BC BD cos ]0 ;50 [

2 2 27 13,60 8

cos2 7 13,60

26,79

sin sin DBA

BD AD

]0 ; 90 [

DBA CBA

CBA 180 DCB CBA 50

DBA 23,21

sin sin 23,21

13,60 cm 6 cm

63,29

5

L 2

K 2

K 5

A 2.2 CE

sinBC

CE 7 cm sin 26,79 CE 3,16 cm

1

L 2

K 5

A 2.3 2 2130 130

A CE (CE FH)360 360

2A 6,04 cm

2

ABCDA 0,5 8 7 sin130 0,5 6 13,60 sin(180 (63,29 23,21 )) cm

2

ABCDA 62,17 cm

6,04

0,097262,17

Der prozentuale Anteil liegt bei 9,72 %.

3

L 2

K 2

K 5

FUNKTIONEN

A 3.1

Graph zu f

O x

y

1 5 10

10

50

80

x 0 1 2 3 5 8 12 x80 0,815 80 65 53 43 29 16 7

2

L 4

K 4

K 5

A 3.2 Im Rahmen der Ablesegenauigkeit: Nach 4 Minuten.

1

L 4

K 4

A 3.3 10y 80 0,815 y 10

Es sind 70 cm³ Milchschaum zerfallen. 2

L 4

K 2

K 3

19












FUNKTIONEN

B 1.1 P( 2 | 2) und 1Q(8 | 3) p a IR \ 0 ; b IR

2

2

2 a ( 2) b ( 2) 3

3 a 8 b 8 3

1a

4

b 2

2

1

1p : y x 2x 3

4 G IR IR I

O 1 x

y

1

p

p1

A1

B1

C1

D1

M1

A2

C2

D2

M2B2

2

4

L 4

K 5

L 4

K 4

B 1.2 Einzeichnen der Rauten 1 1 1 1A B C D und 2 2 2 2A B C D 2

L 3

K 4

B 1.3 2 2

n n

1 1 1A C x x 2x 3 x x 2 LE

4 8 2

x IR; x ] 1,61; 8,28[

2

n nA C x 0,375x 2,5x 5 LE

1

L 4

K 5

B 1.4 3 3 4 4A M A M

2 2

3 3A M 4 2,5 LE 3 3A M 3,12 LE

3 3 4 4 3 3A C A C 2 A M 3 3A C 6,24 LE

26,24 0,375x 2,5x 5

x IR; x ] 1,61; 8,28[

x 0,54 x 6,13 IL 0,54; 6,13

3A 0,54 4,01 ; 4A 6,13 5,87

4

L 4

K 2

B 1.5 0 0A C 9,17 LE für x 3,33

0 0 0 0A B C D

1A 9,17 5 FE

2

0 0 0 0A B C DA 22,93 FE

3

L 4

K 5

B 1.6 Der Winkel n n nA D M hat sein größtes Maß, wenn die Diagonale n n[A C ] ihre

maximale Länge erreicht.

Für x 3,33 gilt: 0 0A C 9,17 LE

0 0A M 4,59 LE

0 0 0

4,59tan A D M =

2,5

0 0 0A D M 61,42

Das größtmögliche Maß der Winkel n n nA D M beträgt 61,42°, somit sind die

Winkelmaße n n nA D M stets kleiner als 65°.

3

L 3

K 1

K 2

17












RAUMGEOMETRIE

B 2.1 Zeichnen des Schrägbilds der Pyramide ABCDS

A

B

C

D

S

M

.

.

P1

P0

H1

2 2AS (0,5 12) 9 cm AS 10,82 cm

9

tan0,5 12

56,31

4 P

L3

K4

L 2

K 5

B 2.2 Einzeichnen der Pyramide 1ABDP und der zugehörigen Höhe 1 1[H P ]

2 2

1MP 6 5 2 6 5 cos56,31 cm 1MP 5,26 cm

1

3

ABDP 1 1

1 1V BD AM H P cm

3 2

1 1H Psin56,31

5 cm 1 1H P 4,16 cm

1

3

ABDP

1 1V 8 6 4,16 cm

3 2

1

3

ABDPV 33,28 cm

4 P

L 3

K 4

L 3

K 2

K 5

B 2.3 3

ABCDS

1 1V 12 8 9 cm

3 2 3

ABCDSV 144 cm

33,28

0,2311144

Der Anteil beträgt 23,11 %. 2 P

L 2

K 5

B 2.4 Einzeichnen des Dreiecks 1MCP .

1MCP 1 1

1A MP MC sin CMP

2

1

4,16sin P MA

5,26 1P MA 52,27

1CMP 180 52,27 1CMP 127,73

1

2

MCP

1A 5,26 6 sin127,73 cm

2

1

2

MCPA 12,48 cm

3 P

L 3

K 4

L 2

K 5

B 2.5 Einzeichnen der Strecke 0[MP ]

0MPsin56,31

6 cm 0MP 4,99 cm

2

min

1A 4,99 8 cm

2 2

minA 19,96 cm

Da der minimale Flächeninhalt 219,96 cm beträgt, gibt es kein Dreieck nBDP mit

einem Flächeninhalt von 218 cm .

4 P

L 3

K 4

L 3

K 1

K 2

17










Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: Vorname:



A 1.0 Angler verwenden sogenannte „Schwimmer“, die an der

Angelschnur befestigt sind.

Die nebenstehende Skizze dient als Vorlage für einen solchen

Schwimmer. Sie zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers,

der durch die Strecken [DA], [AB], [BC] und den Kreisbogen CD mit dem Radius r begrenzt wird. HG ist die Rotationsachse.

Es gilt:

CD 4,0 cm; EF 6,0 cm; AB 1,0 cm; r FC FD; [AB] [CD].

A 1.1 Berechnen Sie das Volumen V des Schwimmers.

Runden Sie dabei auf eine Stelle nach dem Komma. [Teilergebnis: EH 2,0 cm ]

4 P

A 1.2 Bei diesem Schwimmer hat 31cm eine durchschnittliche Masse von 0,530 g.

Bestimmen Sie rechnerisch die Masse dieses Schwimmers.

1 P

.

A BE

C

G

FD .

H


Seite - 2 -

A 2.0 Die Zeichnung zeigt den Plan eines Blumenbeets in der Form eines gleichschenk-

ligen Dreiecks ABC mit der Basis [AC] und der Höhe [BM] im Maßstab 1:100.

Es gilt: AC 12,00 m; BM 8,00 m; DE DF 2,50 m.


. .

.A

B

CH M G

D

EF

A 2.1 Berechnen Sie das Maß des Winkels ACB.

[Ergebnis: = 53,13°]

1 P

A 2.2 Berechnen Sie den Radius r MD und die Bogenlänge b des Halbkreises GH .

[Ergebnis: MD 3,83 m ]

3 P


Seite - 3 -

A 2.3 Die Fläche des Blumenbeetes, die in der Zeichnung von [FC], [CH], GH, [GA],

[AE] und EF begrenzt wird (graue Fläche), soll mit Rosenstöcken bepflanzt wer-

den. Eine beauftragte Gärtnerei plant für die Bepflanzung fünf Rosenstöcke je

Quadratmeter.

Berechnen Sie die Anzahl der Rosenstöcke, die hierfür benötigt werden.

5 P


Seite - 4 -

A 3.0 Herr Merad kaufte sich am 1. April 2014 ein gebrauchtes Wohnmobil zum Preis

von 36 000 EUR. Ein Gutachter erklärt ihm, wie sich der Restwert des Fahrzeuges

pro Jahr ermitteln lässt.

Den Restwert y Euro nach x Jahren berechnet er näherungsweise mit der Funktion f

mit der Gleichung x

0 0y 36000 0,91 mit G IR IR I .

A 3.1 Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Tausender gerundet. Zeichnen Sie sodann den

zugehörigen Graphen zu f in das Koordinatensystem ein.

x 0 1 2 3 5 7 9 11

y

O x 1

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y

2 P

A 3.2 Geben Sie mit Hilfe des Graphen zu f an, nach wie vielen Jahren der Restwert

erstmals 17 000 EUR unterschreitet.

Nach _____ Jahren

1 P

A 3.3 Berechnen Sie auf Tausender gerundet, wie hoch der gesamte Wertverlust des

Wohnmobils vom 1. April 2014 bis zum 1. April 2027 sein wird.

2 P



Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 1.0 Die Punkte P( 5 | 3,4) und Q(2 | 0,6) liegen auf der Parabel p mit einer

Gleichung der Form 2y 0,4x bx c mit G IR IR I und b,c IR.

Die Gerade g hat die Gleichung y 0,2x 6 mit G IR IR I .

B 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die

Gleichung 2y 0,4x 0,8x 2,6 hat.

Zeichnen Sie sodann die Parabel p für x [ 5; 3] sowie die Gerade g in ein

Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; < <6 x 6 ; < <4 y 8

4 P ,

B 1.2 Punkte 2

nB (x | 0,4x 0,8x 2,6) auf der Parabel p und Punkte nD (x | 0,2x 6)

auf der Geraden g haben dieselbe Abszisse x mit x ] 5; 3[ und sind zusammen

mit den Punkten A( 5 | 5) g und C(3 | 2) die Eckpunkte von Vierecken n nAB CD .

Zeichnen Sie das Viereck 1 1AB CD für x 2 in das Koordinatensystem zu B 1.1

ein.

1 P

B 1.3 Bestätigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt A der Vierecke n nAB CD in

Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte nB gilt:

2A(x) (1,6x 4x 13,6) FE.

4 P

B 1.4 Unter den Vierecken n nAB CD besitzt das Viereck 0 0AB CD den minimalen Flä-

cheninhalt.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks 0 0AB CD und den zugehörigen Wert

für x.

2 P

B 1.5 Die Vierecke 2 2AB CD und 3 3AB CD sind Trapeze mit 2 2AD B C beziehungs-

weise 3 3AD B C .

Zeichnen Sie die Trapeze 2 2AB CD und 3 3AB CD in das Koordinatensystem zu

B 1.1 ein.

2 P

B 1.6 Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte 2B und 3B . Runden Sie auf zwei Stel-

len nach dem Komma.

[Teilergebnis: 2B C : y 0,2x 1,4 ]

4 P



Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein

Schrägbild der Pyramide ABCDS, deren

Grundfläche das Drachenviereck ABCD

mit der Symmetrieachse AC und dem Di-

agonalenschnittpunkt M ist.

Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht

über M.

Es gilt: 9AC cm; 3AM cm;

8BD cm und 7MS cm.

Runden Sie im Folgenden auf

zwei Stellen nach dem Komma.

B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS , wobei [AC] auf der



q2

; 45

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [CS] und das Maß des Win-

kels SCA. [Ergebnisse: 9,22CS cm; 49,40 ]

4 P

B 2.2 Punkte nP [CS] sind zusammen mit den Punkten M und C Eckpunkte von Drei-

ecken nMCP . Es gilt: nCP x x cm mit 0 x 9,22; x IR .

Zeichnen Sie für x = 6 das Dreieck 1MCP in das Schrägbild zu B 2.1 ein und be-

rechnen Sie sodann die Länge der Strecke 1[MP ].

2 P

B 2.3 Das Dreieck 2MCP ist rechtwinklig mit der Hypotenuse [MC]. Ermitteln Sie durch

Rechnung, für welchen Wert von x man das Dreieck 2MCP erhält.

1 P

B 2.4 Im Dreieck 3MCP hat der Winkel 3MP C das Maß 100°.

Zeichnen Sie das Dreieck 3MCP in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke 3[CP ] und den Flächeninhalt des Drei-

ecks 3MCP . [Ergebnis: 3CP 3,10 cm]

3 P

B 2.5 Für Punkte nQ gilt: n n nQ [MC] und [P Q ] [MC] . Die Dreiecke nBQ D sind die

Grundflächen von Pyramiden n nBQ DP mit den Spitzen nP .

Zeichnen Sie die Pyramide 1 1BQ DP in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

Zeigen Sie sodann, dass für das Volumen V der Pyramiden n nBQ DP in Abhängig-

keit von x gilt: 2 3V x 0,66x 6,08x cm .

[Teilergebnis: n nP Q x 0,76 x cm ]

5 P

B 2.6 Begründen Sie durch Rechnung, dass es unter den Pyramiden n nBQ DP keine mit

einem Volumen von 15 cm3 gibt.

2 P

A

B

C

D

M

S




Aufgaben A 1–3 Nachtermin

RAUMGEOMETRIE

A 1.1

2 2 3

1 CD 1 AB 1 4 CDV FH E H

3 2 3 2 2 3 2

EH EH EF

AB CD

EH EH 6,0 cm

1,0 cm 4,0 cm

EH 2,0 cm

2 2 31 4,0 cm 1 1,0 cm 1 4 4,0 cm

V 8,0 cm 2,0 cm3 2 3 2 2 3 2

3V 49,7 cm

4

L 3

K 2

K 5

A 1.2 m 49,7 0,530 g m 26,3 g 1

L 2

K 5

EBENE GEOMETRIE

A 2.1 8,00

tan6,00

53,13

1

L 2

K 5

A 2.2 MD BM BD

DFsin 90

BD

2,50 mBD

sin36,87

BD 4,17 m

MD 3,83 m

b 0,5 2 3,83 m b 12,03 m

3

L 3

K 2

K 5

A 2.3 ABC Halbkreis DBF SektorA A A 2 A A

2

ABCA 0,5 12,00 8,00 m 2

ABCA 48,00 m

2 2

HalbkreisA 0,5 3,83 m 2

Halbkr.A 23,04 m

BDF 90 90 BDF 53,13

2

DBFA 0,5 2,50 8,00 3,83 sin53,13 m 2

DBFA 4,17 m

2 2

Sektor

53,13A 2,50 m

360

2

SektorA 2,90 m

2A 22,42 m

2

2

522,42 m 112,1

m

Es werden 112 (113) Rosenstöcke für die Beetfläche benötigt.

5

L 2

K 3

K 5

FUNKTIONEN

A 3.1

Graph zu f

O x 1

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y

x 0 1 2 3 5 7 9 11

y 36 000 33 000 30 000 27 000 22 000 19 000 15 000 13 000

2

L 4

K 4

A 3.2 Im Rahmen der Ablesegenauigkeit: Nach ca. 8 Jahren

1

L 4

K 4

A 3.3 13y 36000 0,91 y 11000

Vom 1. April 2014 bis zum 1. April 2027 beträgt der Wertverlust 25 000 EUR. 2

L 4

K 5

19












FUNKTIONEN

B 1.1 P( 5 | 3,4) und Q(2 | 0,6) p b,c IR

2

2

3,4 0,4 ( 5) b ( 5) c

0,6 0,4 2 b 2 c

b 0,8

c 2,6

2p : y 0,4x 0,8x 2,6 G IR IR I

1O x

y

1

g

p

A

BC

D

1

B2

B3

1D2

D3

4

L 4

K 5

L 4

K 4

B 1.2 Einzeichnen des Vierecks 1 1AB CD 1

L 3

K 4

B 1.3 n nAB C ACDA A A

n 2

x 5AB x

0,4x 0,8x 2,4

n

x 5AD x

0,2x 1

x IR; x ] 5; 3[

8

AC3

2

x 5 8 8 x 51A(x) FE

0,4x 0,8x 2,4 3 3 0,2x 12

2A(x) (1,6x 4x 13,6) FE

4

L 4

K 2

K 5

B 1.4 2A(x) 1,6x 4x 13,6 FE x IR; x ] 5; 3[

minA 11,1 FE für x 1,25

2

L 4

K 5

B 1.5 Einzeichnen der Trapeze 2 2AB CD und 3 3AB CD 2

L 4

K 4

B 1.6 2 2 3g B C, B C B C

2B C : y 0,2 x 3 2 2B C : y 0,2x 1,4 G IR IR I

2 2 3B C p B ; B

20,2x 1,4 0,4x 0,8x 2,6 x IR; x ] 5; 3[

20,4x x 1,2 0

...

x 3,39 x 0,89 IL 3,39; 0,89

2 3B 3,39 | 0,72 ; B 0,89 |1,57 4

L 4

K 2

K 5

17












RAUMGEOMETRIE

B 2.1 Zeichnen des Schrägbilds der Pyramide ABCDS

A

B

C

D

M

S

P1

P3

Q1

CM AC AM CM 6 cm

2 2CS 6 7 cm CS 9,22 cm

7

tan SCA6

SCA 49,40 SCA ]0 ; 90 [

4 P

L3

K4

L 2

K 5

B 2.2 Einzeichnen des Dreiecks 1MCP

2 2 2

1 1 1MP CP CM 2 CP CM cos SCA

2 2

1MP 6 6 2 6 6 cos49,40 cm 1MP 5,01cm

2 P

L 3

K 4

L 2

K 5

B 2.3 x cm

cos49,406 cm

0 x 9,22; x IR

x 3,90 1 P

L 2

K 5

B 2.4 Einzeichnen des Dreiecks 3MCB

3

3

CP 6 cm

sin CMP sin100

3CMP 180 100 49,40 3CMP 30,60

3CP 3,10 cm

3

2

MCP

1A 3,10 6 sin 49,40 cm

2

3

2

MCPA 7,06 cm

3 P

L 3

K 4

L 3

K 2

B 2.5 Einzeichnen der Pyramide 1 1AQ DP

n n n

1 1V BD MQ P Q

3 2

0 x 9,22; x IR

n n

n

P Qsin SCA

CP n nP Q x 0,76 x cm

n nMQ MC Q C

n n n

MC MS

Q C P Q nQ C x 0,65 x cm

nMQ x 6 0,65 x cm

31 1V x 8 6 0,65 x 0,76 x cm

3 2

…

2 3V x 0,66x 6,08x cm

5 P

L 3

K 4

L 4

K 2

K 5

B 2.6 2 3V x 0,66x 6,08x cm 0 x 9,22; x IR

…

maxV 14,00 cm³ für x 4,61

Da das maximale Volumen 314,00 cm beträgt, kann es unter den Pyramiden

n nBQ DP keine mit dem Volumen 315 cm geben.

2 P

L 4

K 1

K 2

17










Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: Vorname:



A 1.0 Die Skizze zeigt den Grundriss eines Hafenbeckens.

Ein Schiff befindet sich an der Position S.

Es gilt:

BAC 58 ; ACB 16 ; SBA 68 ;

AB 182 m ; AC 635 m ; BS 353 m .

Runden Sie im Folgenden auf ganze Meter.

A 1.1 Berechnen Sie die Länge der Strecke BC . Ergebnis : BC 560 m

1 P

A 1.2 Bestimmen Sie durch Rechnung, wie weit die Position S vom Punkt C entfernt ist.

Teilergebnis: CBS 38 ; Ergebnis :SC 356 m

2 P

A 1.3 Das Schiff entfernt sich von C, bis es die Position P erreicht. P liegt auf der

Halbgeraden CS und hat die kleinstmögliche Entfernung zum Punkt A.

Berechnen Sie die Länge der Strecke AP .

2 P

A

B C

S


A 2.0 Gegeben sind die Parabel p mit 2y 0,25(x 3) 2,5 und die Gerade g mit

y 0,5x 4 G IR IR I .

A 2.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Gleichung der Parabel p auf die Form 2y 0,25x 1,5x 4,75 bringen lässt und zeichnen Sie die Parabel p für x 1; 7

und die Gerade g in das Koordinatensystem ein.

1

1

O

y

x

3 P

A 2.2 Punkte nA (x | 0,5x 4) auf der Geraden g und Punkte 2

nD (x | 0,25x 1,5x 4,75)

auf der Parabel p haben dieselbe Abszisse x und sind Eckpunkte von Rechtecken

n n n nA B C D mit n n n nA B 1,5 A D .

Zeichnen Sie das Rechteck 1 1 1 1A B C D für x 5 in das Koordinatensystem zu A 2.1 ein.

1 P


A 2.3 Berechnen Sie die Länge der Seiten n nA D der Rechtecke n n n nA B C D in Abhängigkeit

von der Abszisse x der Punkte nA und ermitteln Sie sodann rechnerisch den Umfang

u x der Rechtecke n n n nA B C D . [Ergebnis: 2u(x) (1,25x 10x 43,75) LE ]

2 P

A 2.4 Die Rechtecke 2 2 2 2A B C D und 3 3 3 3A B C D haben einen Umfang von 28,75 LE.

Berechnen Sie die zugehörigen Werte für x.

2 P

A 2.5 Um wieviel Prozent nimmt der Flächeninhalt A der Rechtecke n n n nA B C D aus A 2.2 zu,

wenn man die Seitenlänge n nA D verdoppelt?

Kreuzen Sie an.

100 % 150 % 200 % 300 %

1 P ,


A 3.0 Die nachfolgende Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers mit der Rotations-

achse ME und dient als Vorlage für eine Lampe, die aus einer Plexiglasscheibe und einem

Lampenschirm besteht.

Es gilt: AB 45 cm; BC 2 cm; KL 36 cm; ME 13,5 cm; MF 12 cm.

Für den Durchmesser GH des Halbkreisbogens HG gilt: GH 9 cm.


Plexiglasscheibe

Lampenschirm

A B

CD K L

HG

M

N

E

F

A 3.1 Berechnen Sie das Volumen V der Plexiglasscheibe.

1 P

A 3.2 Ermitteln Sie rechnerisch den Inhalt A der Außenfläche des Lampenschirms.

4 P



Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 1.0 Die Skizze zeigt das Fünfeck ABCDE, das den

Grundriss eines Badezimmers darstellt.

Es gilt:

AC 6,00 m; AE 2,25 m; CD 3,60 m;

CBA 90 ; BAE 85 ;

BAC DCA 36,87 .


dem Komma.

B 1.1 Berechnen Sie jeweils die Länge der Strecken [AB] und [BC].

Ergebnisse: AB 4,80 m; BC 3,60 m 2 P

B 1.2 Zeichnen Sie den Grundriss des Badezimmers im Maßstab 1 : 50 und begrün-

den Sie, dass die Geraden AB und CD parallel zueinander sind. 3 P

B 1.3 Ermitteln Sie rechnerisch jeweils die Länge der Strecken EC und ED .

Teilergebnis: DCE 16,44 ; Ergebnisse: EC 4,80 m; ED 1,69 m 4 P

B 1.4 Der Kreis um D mit dem Radius DE schneidet die Strecke DC im Punkt F.

Zeichnen Sie den zugehörigen Kreisbogen EF in die Zeichnung zu B 1.2 ein

und berechnen Sie sodann das Maß des Winkels EDF.

Ergebnis: EDF 126,42 2 P

B 1.5 Im Bereich, der durch die Strecken FD und DE sowie durch den Kreisbo-

gen EF begrenzt ist, wird eine Dusche errichtet. Die restliche Bodenfläche

wird gefliest.

Ermitteln Sie den Flächeninhalt A des zu fliesenden Bodens. 4 P

B 1.6 Der Punkt P mit P EF kennzeichnet die Lage des Abflusses der Dusche.

Dabei hat P die minimale Entfernung zum Punkt D.

Zeichnen Sie die Strecke EF und den Punkt P in die Zeichnung zu B 1.2 ein

und bestimmen Sie sodann durch Rechnung die Länge der Strecke PD . 2 P

A B

CD

E



Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide

ABCDS , deren Grundfläche das Quadrat ABCD ist.

Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittel-

punkt M der Strecke AD .

N ist der Mittelpunkt der Strecke BC .

Es gilt: AB 8 cm; SNM 55 .


B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke MN auf

der Schrägbildachse und der Punkt M links vom Punkt N liegen soll.


q ; 452

.

Berechnen Sie sodann die Höhe MS der Pyramide ABCDS und die Länge der

Strecke SN . Ergebnisse: MS 11,43 cm; SN 13,95 cm 4 P

B 2.2 Punkte nP auf der Strecke SN mit nP S x x cm mit x IR und x 0;13,95

sind die Spitzen von Pyramiden nBCMP . Punkte

nF sind die Fußpunkte der Pyra-

midenhöhen n nP F .

Zeichnen Sie für x 5 die Pyramide 1BCMP zusammen mit ihrer Höhe 1 1P F in

das Schrägbild zu B 2.1 ein. Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels 1SP M .

1Teilergebnis : MP 7,88 cm 4 P

B 2.3 Zeigen Sie, dass für das Volumen V der Pyramiden nBCMP in Abhängigkeit von x

gilt: 3V x 8,75x 121,92 cm . 3 P

B 2.4 Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von x das zugehörige Volumen der

Pyramiden nBCMP mehr als 34 % des Volumens der Pyramide ABCDS beträgt. 3 P

B 2.5 Unter den Punkten nP hat der Punkt

2P die kürzeste Entfernung zu M.

Zeichnen Sie die Pyramide 2BCMP in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke 2MP sowie den zugehörigen Wert

für x. 3 P

A B

CD

M N

S



Lösungsmuster

und Bewertung

Aufgaben A 1–3 Haupttermin

EBENE GEOMETRIE

A 1.1 BC 182 m

sin58 sin16

BC 560 m

1

L 2

K 5

A 1.2 2 2 2

SC BS BC 2 BS BC cos CBS

CBA 180 58 16 CBA 106

CBS 106 68 CBS 38

2 2SC 353 560 2 353 560 cos38 m SC 356 m 2

L 2

L 3

K 2

K 5

A 1.3 AP

sin SCB 16635m

sin SCB sin 38

353 m 356 m

SCB 37,62

APsin 37,62 16

635m AP 234 m

2

L 2

K 2

K 5

FUNKTIONEN

A 2.1

1

1

O

y

x

D1

A1B1

C1

p

g

L 3

K 4

2y 0,25(x 3) 2,5 G IR IR I

2y 0,25(x 6x 9) 2,5 2y 0,25x 1,5x 4,75 3

L 4

K 5

A 2.2 Einzeichnen des Rechtecks 1 1 1 1A B C D 1

L 3

K 4

A 2.3 n n n nu 2 (A D 1,5 A D ) n nu 5 A D

n nn n A DA D (y y ) LE

2

n nA D x 0,5x 4 0,25x 1,5x 4,75 LE x IR

2

n nA D x 0,25x 2x 8,75 LE

2u x 5 0,25x 2x 8,75 LE x IR

2u x 1,25x 10x 43,75 LE 2

L 4

K 2

K 5

A 2.4 21,25x 10x 43,75 28,75 x IR

...

x 2 x 6 IL 2; 6

2

L 4

K 5

A 2.5 300 %

1

L 4

K 2

RAUMGEOMETRIE

A 3.1 21

V AB BC2

2

31V 45 2 cm

2

3V 3180,86 cm 1

L 2

K 3

K 5

A 3.2 Kegel groß Kegel klein Kugel

1A M M O

2

MK 36 cm : 2 MK 18 cm

2 2FK 12 18 cm FK 21,63 cm

NH 9 cm : 2 NH 4,5 cm

22FH 4,5 4,5 13,5 12 cm FH 5,41cm

2 21A 18 21,63 4,5 5,41 4 4,5 cm

2

2A 1273,90 cm 4

L 2

K 2

K 3

K 5

19




Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,

entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.







EBENE GEOMETRIE

B 1.1 ABcos36,87

6 m AB 4,80 m

BCsin36,87

6 m BC 3,60 m

2 L 2

K 5

B 1.2

A B

CD

E

F

P

DCA BAC AB CD Wechselwinkel an parallelen Geraden 3 L 3

K 4

K 1

B 1.3 2 2EC 2,25 6 2 2,25 6 cos 85 36,87 m EC 4,80 m

2 2ED 4,80 3,60 2 4,80 3,60 cos DCE m

DCE 36,87 ECA

sin 85 36,87sin ECA

2,25 m 4,80 m

ECA 20,43

DCE 36,87 20,43 DCE 16,44

2 2ED 4,80 3,60 2 4,80 3,60 cos16,44 m ED 1,69 m

4

L 2

K 2

K 5

B 1.4 Einzeichnen des Kreisbogens EF

2 2 2

EC ED CD 2 ED CD cos EDF

2 2 24,80 1,69 3,60 2 1,69 3,60 cos EDF

EDF 126,42 2

L 3

K 4

K 5

B 1.5 ABCDE SektorA A A

2

ABCDE

1A 4,80 3,60 6 2,25 sin 85 36,87 1,69 3,60 sin126,42 m

2

2

ABCDEA 16,11 m

2

Sektor

126,42A 1,69 m²

360

2

SektorA 3,15 m

2A 16,11 3,15 m 2A 12,96 m 4

L 2

K 3

K 5

B 1.6 Einzeichnen der Strecke EF und des Punktes P

PDcos 0,5 126,42

1,69 m PD 0,76 m

2

L 2

K 2

K 4

17






Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Ver-

zerrungen der Zeichnungen führen kann.





RAUMGEOMETRIE

B 2.1

A B

CD

M N

S

P1

F1

P2

MStan55

8 cm MS 11,43 cm

8 cmcos55

SN SN 13,95 cm

4

L 3

L 4

L 2

K 5

B 2.2 Einzeichnen der Pyramide 1BCMP

2 2 2

1 1 1 1 1MS P M PS 2 P M PS cos SP M

MSN 180 90 55 MSN 35

2 2

1MP 11,43 5 2 11,43 5 cos35 cm 1MP 7,88 cm

2 2 2

111,43 7,88 5 2 7,88 5 cos SP M 1SP M 123,55 4

L 3

K 4

L 2

K 5

B 2.3 2

n n

1 1V x AB F P

3 2

n n

n

F Psin 55

NP

nNP x 13,95 x cm x IR ; x 0;13,95

n nF P x 0,82x 11,43 cm x IR ; x 0;13,95

2 31 1V x 8 0,82x 11,43 cm

3 2 x IR ; x 0;13,95

3V x 8,75x 121,92 cm 3

L 4

K 2

K 5

B 2.4 3

ABCDS

1V 8 8 11,43 cm

3 3

ABCDSV 243,84 cm

3V x 0,34 243,84 cm

8,75x 121,92 82,91 x IR ; x 0;13,95

...

x 4,46 IL x x 4,46

3

L 4

K 2

K 5

B 2.5 Einzeichnen der Pyramide 2BCMP

2MPsin55

8 cm 2MP 6,55 cm

13,95 xcos55

8

x IR ; x 0;13,95 IL 9,36

3

L 3

L 4

K 4

K 5

17










Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: Vorname:



A 1.0 Die nebenstehende Figur ist durch den Kreisbogen

BC mit dem Radius r MC und die Strecken AB

und AC begrenzt.

Es gilt: AB 6 cm; MB 4 cm; BMC 58 .


A 1.1 Bestimmen Sie rechnerisch das Maß des Winkels BAC

Teilergebnis : AC 5,34 cm

3 PA 1.2 Berechnen Sie den Umfang u der Figur.

2 P

AM

B

C


A 2.0 Im folgenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f mit der Gleichung 4

yx

mit G IR IR I dargestellt.

x

y

O 1

1

Graph zu f

A 2.1 Punkte n

4Q x

x

auf dem Graphen zu f sind zusammen mit den Punkten O 0 0 und

P 3 1 die Eckpunkte von Dreiecken nOPQ .

Zeichnen Sie für x 2 das Dreieck 1OPQ in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein und

überprüfen Sie rechnerisch, ob das Dreieck 1OPQ gleichseitig ist.

3 P


A 2.2 Berechnen Sie das Maß des Winkels 1POQ auf zwei Stellen nach dem Komma ge-

rundet.

2 P

A 2.3 Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt A der Dreiecke nOPQ in Abhängigkeit

von der Abszisse x der Punkte nQ .

2 P

A 2.4 Existiert unter den Dreiecken nOPQ ein rechtwinkliges Dreieck mit OP als Hypote-

nuse? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe einer Zeichnung in A 2.0.

2 P


A 3.0 Die Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rota-

tionskörpers mit der Rotationsachse MS.

Sie dient als Vorlage für einen Kerzenständer

aus Edelstahl.

Es gilt:

MS 4,5 cm; AB 7,5 cm; EF HG 2 cm;

DI CJ 4 cm; EH FG 1,5 cm .


A 3.1 Berechnen Sie die Länge der Strecke MK . [Ergebnis: MK 2,1cm ]

2 P

A 3.2 Ermitteln Sie rechnerisch den Oberflächeninhalt O des Kerzenständers.

3 P

A M B

C

DE

FG

H SI

J

NK



Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 1.0

Für das Viereck ABCD gilt: AB 10 cm ; BC 8 cm ; AD 6 cm ;

CBA 90 ; BAD 120 .


B 1.1 Zeichnen Sie das Viereck ABCD und berechnen Sie sodann die Länge der

Strecke BD und das Maß des Winkels DBA .

[Ergebnisse: BD 14 cm; DBA ] 4 P

B 1.2 Berechnen Sie den Umfang u des Vierecks ABCD. 2 P

B 1.3 Der Kreis um A berührt die Strecke BD im Punkt F und schneidet die Stre-

cke AB im Punkt G.

Zeichnen Sie die Strecke AF und den zugehörigen Kreisbogen GF in die

Zeichnung zu B 1.1 ein.

Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt A der Figur, die durch die Stre-

cken GB , BF und den Kreisbogen GF begrenzt wird.

[Teilergebnis: AF 3,71cm ] 4 P

B 1.4 Punkte nH auf der Strecke BD mit nH B x x cm bilden für x 0;14

und x IR zusammen mit dem Punkt C Strecken nH C .

Zeichnen Sie die Strecke 1H C für x = 6 in die Zeichnung zu B 1.1 ein.

Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für die Länge der Strecken nH C in Ab-

hängigkeit von x gilt: 2nH C x x 5,94x 64 cm . 2 P

B 1.5 Unter den Strecken nH C hat die Strecke 0H C die minimale Länge.

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x und die Länge der Strecke 0H C . 2 P

B 1.6 Überprüfen Sie durch Rechnung, ob das Dreieck BCF gleichschenklig ist. 3 P

Bitte wenden!



Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0 Das Drachenviereck ABCD ist die Grundfläche der Pyra-

mide ABCDS. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht

über dem Schnittpunkt M der Diagonalen des Drachenvier-

ecks ABCD (siehe Skizze).

Es gilt: AC 10 cm ; BD 8 cm ; AM 3 cm ; MS 9 cm .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem

Komma.

B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke AC auf

der Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt C liegen soll.


q2

; 45 .

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke SC und das Maß des

Winkels SCA .

[Ergebnisse: SC 11,40 cm und SCA 52,13 ] 4 P

B 2.2 Auf der Strecke AS liegt der Punkt P mit SP 4 cm . Punkte nQ auf der Seiten-

kante SC bilden zusammen mit den Punkten P und S Dreiecke nPQ S .

Im Dreieck 1PQ S gilt: 1PQ SC ; im Dreieck 2PQ S gilt: 2PQ AC .

Zeichnen Sie die Dreiecke 1PQ S und 2PQ S in das Schrägbild zu B 2.1 ein. 1 P

B 2.3 Berechnen Sie die Länge der Strecke 1SQ .

Teilergebnis : ASC 56,30 2 P

B 2.4 Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Dreiecks 2PQ S . 3 P

B 2.5 Im Dreieck 3PQ S hat der Winkel 3Q PS das Maß 77°. Der Punkt 3Q ist die

Spitze der Pyramide 3ABCDQ mit dem Höhenfußpunkt 3F und der Höhe 3 3F Q .

Zeichnen Sie die Pyramide 3ABCDQ mit der Höhe 3 3F Q in das Schrägbild zu

B 2.1 ein und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke 3 3F Q . 4 P

B 2.6 Berechnen Sie das Volumen der Pyramiden nABCDQ in Abhängigkeit von der

Länge der Strecke nSQ mit nSQ x x cm und x IR; x 0;11, 40 . 3 P

A

B

C

D

S

M



Lösungsmuster

und Bewertung

Aufgaben A 1–3 Nachtermin

EBENE GEOMETRIE

A 1.1 sin BAC sin CMA

MC AC

CMA 180 58 CMA 122

2 2

AC AM MC 2 AM MC cos CMA

AM AB MB AM 2 m

2 2AC 2 4 2 2 4 cos122 m AC 5,34 m

sin BAC sin122

4 m 5,34 m

BAC 39,44

3

L 2

L 3

K 5

A 1.2 BCu AB b AC

BC

2 4 58b m

360

BC

b 4,05 m

u 6 4,05 5,34 m u 15,39 m 2

L 2

K 3

K 5

FUNKTIONEN

A 2.1

x

y

O 1

1

Graph zu f

P

Q1

Einzeichnen des Dreiecks 1OPQ

L 3

K 4

22OP 3 1 LE OP 10 LE

2 2

1PQ 3 2 1 2 LE 1PQ 10 LE

2 2

1OQ 2 2 LE 1OQ 8 LE

1Das Dreieck OPQ ist nicht gleichseitig. 3

L 2

K 5

K 6

A 2.2 1 1 2POQ 1 1x Achse;OQ und 2 OP; x Achse

1tan 1 1 45

2

1tan

3 2 18,43

1POQ 18, 43 1POQ 63,43 2

L 2

K 4

A 2.3

3 x

1A x FE4

2 1x

x IR

1 12A x 1 x FE

2 x

6 1A x x FE

x 2

2

L 4

K 2

K 5

A 2.4 Einzeichnen des Thaleskreises über OP

Der Thaleskreis über OP schneidet den Graphen der Funktion f nicht.

Somit gibt es unter den Dreiecken nOPQ kein rechtwinkliges Dreieck mit der

Hypotenuse OP . 2

L 3

K 1

K 4

RAUMGEOMETRIE

A 3.1 MS MK CJ

MS AB

4,5 cm MK 2,4 cm MK 2,1cm 2

L 2

K 5

A 3.2 2 2

AB DI AB CJ CJ EHO AS JS 2 SK 2 EF

2 2 2 2 2 2

2 2

AS 0,5 AB MS AS 5,9 cm

2 2

JS 0,5 CJ MS MK JS 3,1cm

2O 146,4 cm 3

L 2

K 3

K 5

19




Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,








EBENE GEOMETRIE

B 1.1

A B

C

D

F

G

H1

2 2 2

BD AB AD 2 AB AD cos BAD

2 2BD 10 6 2 10 6 cos120 cm BD 14 cm

sin DBA sin BAD

AD BD

sin DBA sin120

6 cm 14 cm

DBA

4

L 2

L 3

K 4

K 5

B 1.2 u AB BC CD AD

2 2 2

CD BD BC 2 BD BC cos CBD

2 2CD 14 8 2 14 8 cos 90 21,79 cm CD 13,30 cm

u 10 8 13,30 6 cm u 37,30 cm

2

L 2

K 2

K 5

B 1.3 Einzeichnen des Kreisbogens GF und der Strecke AF

AFsin DBA

AB

AF 10 sin 21,79 cm AF 3,71cm

ABF Sektor GFAA A A

2 21 90 21,79A 3,71 10 sin 90 21,79 3,71 cm

2 360

2A 9,03cm 4

L 3

K 4

L 2

K 5

B 1.4 Einzeichnen der Strecke 1H C

2 2 2

n n nH C H B BC 2 H B BC cos CBD

2 2

nH C x x 8 2 x 8 cos 90 21,79 cm x IR ; x 0;14

2

nH C x x 5,94x 64 cm

2

L 3

K 4

L 4

K 5

B 1.5 xcos 90 21,79

8 x IR ; x 0;14

x 2,97 IL 2,97

2

0H C 2,97 2,97 5,94 2,97 64 cm 0H C 7,43 cm 2

L 3

K 5

B 1.6 BFcos 21,79

10 cm BF 9,29 cm

2FC 9,29 5,94 9,29 64 cm FC 9,75 cm

BC BF FC Das Dreieck BCF ist nicht gleichschenklig. 3

L 3

K 2

K 5

17












RAUMGEOMETRIE

B 2.1

A

B

C

D

S

M

P

Q1

F3

Q2

Q3

MC 7 cm

2 2SC 7 9 cm SC 11,40 cm

9tan SCA

7 SCA 52,13

4

L 3

K 4

L 2

K 5

B 2.2 Einzeichnen der Dreiecke 1PQ S und 2PQ S 1 L 3

K 4

B 2.3 1SQ

cos ASCPS

ASC 180 MAS SCA

9

tan MAS3

MAS 71,57

ASC 180 71,57 52,13 ASC 56,30

1SQcos56,30

4 cm 1SQ 2,22 cm

2

L 2

K 2

K 5

B 2.4 2 2

1A SP PQ sin Q PS

2

2SQ P SCA 52,13

2PQ 4 cm

sin 56,30 sin 52,13

2PQ 4, 22 cm

2Q PS MAS 2Q PS 71,57

21A 4 4,22 sin 71,57 cm

2 2A 8,01cm

3

L 2

K 2

K 5

B 2.5 Einzeichnen der Pyramide 3ABCDQ mit der Höhe 3 3F Q

3 3

3

F Qsin SCA

SC SQ

3SQ P 180 77 56,30 3SQ P 46,70

3SQ 4 cm

sin 77 sin 46,70

3SQ 5,36 cm

3 3F Q

sin 52,1311, 40 5,36 cm

3 3F Q 4,77 cm

4

L 3

K 4

K 5

B 2.6 n n

1 1V x AC BD F Q

3 2

n nF Qsin52,13

11,40 x cm

x IR ; x 0;11,40

n nF Q x 9,00 0,79x cm

31 1V x 10 8 9,00 0,79x cm

3 2 x IR ; x 0;11,40

3V x 120 10,53x cm 3

L 4

K 2

K 5

17










Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: Vorname:



A 1.0 Der Wertverlust verschiedener E-Bike-Modelle liegt zwischen 14 und 33 Prozent jähr-

lich. Der Restwert y Euro des E-Bikes „Blitz“ (Neupreis 3500 Euro) nach x Jahren lässt

sich näherungsweise durch die Funktion xf: y 3500 0,85 0G IR IR I bestimmen.

A 1.1 Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Ganze gerundet und zeichnen Sie sodann den

Graphen der Funktion f in das Koordinatensystem.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x3500 0,85

O

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

2 P

A 1.2 Berechnen Sie den Wertverlust des E-Bikes „Blitz“ in Euro nach den ersten drei

Jahren.

1 P

A 1.3 Ermitteln Sie mithilfe des Graphen der Funktion f nach welcher Zeit sich der

Wert des E-Bikes „Blitz“ halbiert hat.

2 P


A 2.0 Die Zeichnung zeigt das Trapez ABCD mit AB CD .

Es gilt: AB 9 cm; CD 4,5 cm; AL 3 cm; DL 4 cm .

A B

CD

L


A 2.1 Berechnen Sie das Maß des Winkels ADC.

2 P

A 2.2 Verlängert man die Seite AB über B hinaus um x cm und verkürzt gleichzeitig

die Strecke DL von D aus um x cm, so entstehen für x IR; x 0 ;4 Trapeze

n n nAB C D mit n n nAB C D und n nC D 4,5 cm .

Zeichnen Sie das Trapez 1 1 1AB C D für x 2 in die Zeichnung zu A 2.0 ein. 1 P

A 2.3 Geben Sie den Wert für x an, für den man das gleichschenklige Trapez 2 2 2AB C D

erhält.

1 P


A 2.4 Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Trapeze n n nAB C D in Abhängigkeit von x.

2 2Ergebnis : A x 0,5x 4,75x 27 cm

2 P

A 2.5 Begründen Sie durch Rechnung, dass es unter den Trapezen n n nAB C D für

x 0; 4 kein Trapez mit einem Flächeninhalt von 228 cm gibt.

3 P


A 3.0 Eine Schreinerei stellt Spielzeugkreisel aus Holz her.

Die nebenstehende Zeichnung des Axialschnitts eines

Rotationskörpers mit der Rotationsachse BM dient als

Vorlage für solche Spielzeugkreisel.

Es gilt: AC 5 cm ; BM 4,5 cm ;

AN BN ; BFE 77 .


A 3.1 Berechnen Sie die Länge der Strecke FM und die Länge der Strecke GN .

Ergebnisse : FM 1,04 cm; GN 0,58 cm

2 P

A 3.2 Berechnen Sie das Volumen V eines solchen Spielzeugkreisels.

3 P

A

B

CD

M EF

G N



Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 1.0 Die Parabel p mit dem Scheitel S 4 | 2 hat eine Gleichung der Form

2y 0,25x bx c mit G IR IR I und b, c IR .


B 1.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel p die Gleichung 2y 0,25x 2x 2 hat.

Zeichnen Sie sodann die Parabel p sowie die Gerade g für x 1;11 in ein

Koordinatensystem ein.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; < < < <1 x 11; 3 y 11 3 P

B 1.2 Die Punkte A 0 | 2 und C 10 | 7 sind die Schnittpunkte der Parabel p mit der

Geraden g. Sie sind zusammen mit Punkten 2

nB x | 0,25x 2x 2 auf der

Parabel p Eckpunkte von Drachenvierecken n nAB CD mit der Geraden g als

Symmetrieachse.

Zeichnen Sie das Drachenviereck 1 1AB CD für x 6 in das Koordinatensystem zu

B 1.1 ein und geben Sie das Intervall für x an, für das es Drachenvierecke

n nAB CD gibt. 2 P

B 1.3 Zeigen Sie rechnerisch, dass das Drachenviereck 1 1AB CD bei 1B rechtwinklig ist. 3 P

B 1.4 Unter den Drachenvierecken n nAB CD gibt es die Drachenvierecke 2 2AB CD und

3 3AB CD , bei denen die Eckpunkte 2B und 3B auf der x-Achse liegen.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte 2B und 3B . 2 P

B 1.5 Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt A der Drachenvier-

ecke n nAB CD in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte nB gilt:

2A x 2,5x 25x FE . 3 P

B 1.6 Unter den Drachenvierecken n nAB CD gibt es die Raute 4 4AB CD .

Zeichnen Sie die Raute 4 4AB CD mit dem Diagonalenschnittpunkt M in das

Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

Ermitteln Sie sodann rechnerisch die Gleichung der Geraden 4MB .

Teilergebnis: M 5 | 4,5 4 P


Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0 Das rechtwinklige Dreieck ABC mit der

Hypotenuse BC ist die Grundfläche der Pyra-

mide ABCS (siehe Skizze).

Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt A.

Es gilt: AC 10 cm; AB 7 cm; AS 9 cm.


dem Komma.

B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei die Strecke AC auf der

Schrägbildachse und der Punkt C links vom Punkt A liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: q 0,5; 45 .

Bestimmen Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecke CS und das Maß des

Winkels ACS. Ergebnisse: CS 13,45 cm; 41,99 4 P

B 2.2 Für Punkte nF auf der Strecke AC gilt: nAF (x) x cm mit x IR und

0 x 10 . Die Punkte nF sind Eckpunkte von Rechtecken n n nAD E F mit

n nD AB und E BC .

Zeichnen Sie das Rechteck 1 1 1AD E F für x 4 in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecken n nE F in Abhängigkeit von x und

ermitteln Sie rechnerisch den Wert für x, für den man das Quadrat 0 0 0AD E F erhält.

n nErgebnis: E F (x) ( 0,7x 7) cm 4 P

B 2.3 Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Rechtecke n n nAD E F in Abhängigkeit

von x.

Bestimmen Sie sodann den Wert für x, für den der Flächeninhalt der Rechtecke

n n nAD E F maximal wird. 2 P

B 2.4 Der Punkt T liegt auf der Strecke CS mit TS 2 cm . T ist die Spitze von Pyrami-

den n n nAD E F T mit den Rechtecken n n nAD E F als Grundflächen und der Höhe h.

Zeichnen Sie die Pyramide 1 1 1AD E FT und die Höhe h in das Schrägbild zu B 2.1

ein. Zeigen Sie sodann, dass gilt: h 7,66 cm . 3 P

B 2.5 Begründen Sie, dass für das Maß der Winkel nTF C gilt: < 138,01 .

Berechnen Sie anschließend die untere Intervallgrenze für .

Teilergebnis: AT 7,80 cm 4 P

A

B

C

S



Lösungsmuster

und Bewertung

Aufgaben A 1 – 3 Haupttermin

FUNKTIONEN

A 1.1

O

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

Graph zu f

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

y 3500 2975 2529 2149 1827 1553 1320 1122 954

2

L 4

K 4

K 5

A 1.2 Wertverlust: 3500 2149 Euro 1351 Euro 1 L 2

K 5

A 1.3 Im Rahmen der Zeichengenauigkeit: nach 4,3 Jahren.

2

L 4

K 2

K 6

EBENE GEOMETRIE

A 2.1 3tan 904

126,87 2 L 2

K 5

A 2.2

A B

CD

L B

CD1 1

1 1 L 3

K 4

A 2.3 x 1,5 1

L 3

K 4

A 2.4 21A x 9 x 4,5 4 x cm2

x IR;x 0 ;4

…

2 2A x 0,5x 4,75x 27 cm 2

L 4

K 5

A 2.5 228 0,5x 4,75x 27 x IR;x 0 ;4

...

x 0,22 x 9,28 IL

Unter den Trapezen n n nAB C D gibt es keines mit dem Flächeninhalt 2A 28 cm . 3

L 4

K 1

K 2

RAUMGEOMETRIE

A 3.1 4,5 cmtan 77

FM FM 1,04 cm

2,5 cmtan 77

GN GN 0,58 cm 2

L 2

L 3

K 5

A 3.2 Halbkugel Kegel groß Kegel kleinV V V V

3

2 21 4 AC 1 1 ACV FM BM GN

2 3 2 3 3 2

3 2 2 31 4 1 1V 2,5 1,04 4,5 0,58 2,5 cm

2 3 3 3

3V 36,94 cm 3 L 2

L 3

K 5

19

Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten

die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben

darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige

Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu

bepunkten.

Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der

Zeichnungen führen kann.





FUNKTIONEN

B 1.1 S(4 | 2) p

2y 0,25 x 4 2 G IR IR I

2p : y 0,25x 2x 2

x

y

O 1

1

p

g

A

C

B

B

DD

M

1

1 4

4

3

L 4

K 5

L 4

K 4

B 1.2 Einzeichnen des Drachenvierecks 1 1AB CD

Drachenvierecke n nAB CD für x 0;10 2

L 3

K 4

K 1

B 1.3 1B 6 | 1

1AB1 2m

6 0

1AB

1m

2

1B C

7 1m

10 6

1B Cm 2

1 1AB B Cm m 1 1 1 1Das Drachenviereck AB CD ist bei B rechtwinklig. 3

L 3

K 2

K 5

B 1.4 nAB CA 2 A

n 2

xAB x

0,25x 2x

10

AC5

x IR

2

x 101A x 2 FE2 0,25x 2x 5

x IR ; x 0;10

2A x 2,5x 25x FE 3

L 4

K 2

K 5

B 1.5 20 0,25x 2x 2 x IR ; x 0;10

...

2 3x 1,17 x 6,83 2 3B 1,17 | 0 ; B 6,83 | 02

L 2

K 5

B 1.6 Einzeichnen der Raute 4 4AB CD und des Diagonalenschnittpunkts M

M 5 | 4,5

AC gm m 0,5

4MBm 2

Gerade 4MB : y 2 x 5 4,5 G IR IR I

y 2x 14,5 4

L 2

K 2

K 4

K 5

17


die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf

jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrech-

ner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.







RAUMGEOMETRIE

B 2.1

A

B

C

S

F

DE

1

1

1

T

h

2 2CS 10 9 cm CS 13,45 cm

9tan10

41,99 4

L 3

K 4

L 2

K 5

B 2.2 Einzeichnen des Rechtecks 1 1 1AD E F

n nE F x 10 x cm

7 cm 10 cm

x IR; 0 x 10

n nE F (x) ( 0,7x 7) cm

x 0,7x 7 G IRI

x 4,12 IL 4,12 4

L 3

K 4

L 4

K 5

B 2.3 2A(x) x 0,7x 7 cm x IR; 0 x 10

2 2A(x) 0,7x 7x cm

maxA für x 5 2 L 4

K 5

B 2.4 Einzeichnen der Pyramide 1 1 1AD E FT und der zugehörigen Höhe h

hsinCT

h sin 41,99 13,45 2 cm h 7,66 cm

3

L 3

K 4

K 5

B 2.5 180 (Innenwinkelsumme)

138,01

Die untere Intervallgrenze ergibt sich für nF A .

hsin TAC

AT

22AT 10 13,45 2 2 10 13,45 2 cos41,99 cm

AT 7,80 cm

7,66sin TAC

7,80 TAC 79,13

4

L 2

L 3

K 1

K 2

17









Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: Vorname:



A 1.0 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung 3yx

mit G IR IR I .

A 1.1 Ergänzen Sie die Wertetabelle auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f in das Koordinatensystem.

x 0,5 1 2 3 4 5 6 8

3x

2 P

A 1.2 Punkte n3A x |x

auf dem Graphen zu f besitzen dieselbe Abszisse x wie Punkte

nB auf der Geraden g mit der Gleichung y 1 mit G IR IR I .

Für x IR sind die Punkte nA und nB Endpunkte von Strecken n nA B .

Zeichnen Sie die Gerade g sowie die Strecke 1 1A B für x 3 in das

Koordinatensystem zu A 3.1 ein. 1 P

A 1.3 Unter den Strecken n nA B gibt es die Strecke 2 2A B mit 2 2A B 6 LE .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x.

2 P


A 2.0 Die Skizze zeigt ein vereinfachtes Modell einer Windkraftanlage. Die drei Rotor-

blätter sind so angeordnet, dass sie eine drehsymmetrische Figur ergeben.

Ein Mast dient zur Aufhängung der Rotorblätter.

Der Rotordurchmesser beträgt 164 Meter (siehe Skizze).

Masth

öhe

Gesam

thöhe

Rotordurchmesser

.

A 2.1 Für das Rotorblatt werden in 10 Minuten 121 Umdrehungen gezählt.

Berechnen Sie, welchen Weg s die Spitze eines Rotorblattes nach einer Stunde

unter denselben Bedingungen zurückgelegt hat.

Runden Sie das Ergebnis auf ganze Kilometer.

3 P


A 2.2 Die Skizze zeigt, wie die Rotorblätter in einem

rechteckigen Feld in einer Montagehalle lagen, als

man sie probeweise aneinander montierte.

Berechnen Sie die Seitenlängen l und b dieses

rechteckigen Feldes.

Runden Sie auf ganze Meter.

3 P

A 2.3 Die Sonne steht so, dass der Schatten des Ro-

torblattes, dessen Spitze senkrecht nach oben

zeigt, 25 m lang ist. Der Schatten des Mastes

endet in einer Entfernung von 42 m vom Mit-

telpunkt des Mastes (siehe Skizze).

Berechnen Sie die Gesamthöhe h der Wind-

kraftanlage. Runden Sie auf ganze Meter.

3 P

l

b

42 m 25 m

.


A 3.0 Die nebenstehende Skizze zeigt den

Axialschnitt eines Rotationskörpers mit der

Rotationsachse 1M S.

Es gilt: 1 1 1r AM M B ; 1r 2 cm ;

2 2 2r EM M D ; 2r 4 cm ;

EF CD 3,2 cm .

A 3.1 Berechnen die die Länge der Strecken 2FM und 1SM .

2 1Ergebnisse : FM 0,8 cm; SM 10 cm

2 P

A 3.2 Berechnen Sie den Oberflächeninhalt O des Körpers, der durch Rotation an der

Achse 1M S entsteht. Runden Sie dabei auf eine Stelle nach dem Komma.

3 P

M

MA B

C

DE

F

r

r

S

1

1

2

2



Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 1.0 Die Parabel 1p mit dem Scheitel S 0,5 |1 hat eine Gleichung der Form

2y 0,5x bx c G IR IR; b IR; c IR I .

Die Parabel 2p hat die Gleichung 2y 0,5x 3 G IR IR I . Runden Sie im

Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel 1p die Glei-

chung 2y 0,5x 0,5x 1,125 hat. Zeichnen Sie sodann die Parabeln 1p und 2p

für x 2; 4 in ein Koordinatensystem ein.


B 1.2 Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts T der Parabeln 1p und 2p . 3 P

B 1.3 Punkte 2

nA x | 0,5x 3 auf der Parabel 2p haben dieselbe Abszisse x wie Punkte

2

nB x | 0,5x 0,5x 1,125 auf der Parabel 1p . Sie sind für x 3,75 zusammen

mit Punkten nC die Eckpunkte von Dreiecken n n nA B C .

Die Punkte nC liegen auf der Parabel 2p , wobei die Abszisse der Punkte nC stets

um 2 größer ist als die Abszisse x der Punkte nA .

Zeichnen Sie das Dreieck 1 1 1A B C für x 1,5 und das Dreieck 2 2 2A B C für x 1

in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

Zeigen Sie sodann, dass sich die Koordinaten der Punkte nC in Abhängigkeit von

der Abszisse nA wie folgt darstellen lassen: 2

nC x 2 | 0,5x 2x 5 . 3 P

B 1.4 Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecke n nA B in Abhän-

gigkeit von der Abszisse x der Punkte nA gilt:

n nA B x 0,5x 1,875 LE . 1 P

B 1.5 Unter den Dreiecken n n nA B C gibt es das rechtwinklige Dreieck 3 3 3A B C mit der

Hypotenuse 3 3A C .

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes 3B . 3 P

B 1.6 Unter den Dreiecken n n nA B C gibt es das gleichschenklige Dreieck 4 4 4A B C mit

der Basis 4 4A B .

Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für x. 4 P


Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild des Prismas

ABCDEF, dessen Grundfläche das gleichschenklige Dreieck

ABC mit der Basis BC ist. Der Punkt D liegt senkrecht über

dem Punkt A. Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Strecke

BC und der Punkt G ist der Mittelpunkt der Strecke EF .

Es gilt: BC 14 cm ; AM 10 cm ; AD 6 cm.


B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEF, wobei die Strecke AM auf

der Schrägbildachse und der Punkt A links von M liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: q 0,5 ; 45 .

Zeichnen Sie sodann die Strecke AG in das Schrägbild ein und berechnen Sie

deren Länge sowie das Maß des Winkels AGM.

[Ergebnis: 59,04 ] 4 P

B 2.2 Ebenen, die zur Grundfläche ABC parallel sind, schneiden AG in Punkten nP ,

BE in Punkten nQ , CF in Punkten nR und MG in Punkten nN .

Es gilt: nGN x x cm mit x IR sowie 0 x 6 .

Der Punkt M ist die Spitze von Pyramiden n n nP Q R M mit Dreiecken n n nP Q R als

Grundfläche.

Zeichnen Sie die Strecke GM , den Punkt 1N sowie die Pyramide 1 1 1PQ R M für

x 3 in das Schrägbild zu B 2.1 ein. 2 P

B 2.3 Zeigen Sie rechnerisch, dass sich das Volumen V der Pyramiden n n nP Q R M in Ab-

hängigkeit von x wie folgt darstellen lässt: 2 3V x 3,90x 23,38x cm .

n nTeilergebnis: P N x 1,67x cm 2 P

B 2.4 Unter den Pyramiden n n nP Q R M hat die Pyramide 0 0 0P Q R M das maximale Volu-

men.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide 0 0 0P Q R M kleiner

ist als das Volumen des Prismas ABCDEF. 3 P

B 2.5 Die Pyramiden 2 2 2P Q R M und 3 3 3P Q R M haben jeweils ein Volumen von 37,5 cm .

Berechnen Sie die zugehörigen Werte für x. 2 P

B 2.6 Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken nP M in Abhängigkeit von x gilt:

2

nP M 3,79x 12x 36x cm .

Unter den Strecken nP M hat die Strecke 4P M die minimale Länge.

Zeichnen Sie die Strecke 4P M in das Schrägbild zu B 2.1 ein und berechnen Sie

deren Länge. 4 P

A

B

M

C

D

E

F

G



Lösungsmuster

und Bewertung

Aufgaben A 1 – 3 Nachtermin

FUNKTIONEN

A 1.1

x

y

O 1

1

Graph zu f

g

A

B

1

1

x 0,5 1 2 3 4 5 6 8

3x

6 3 1,5 1 0,75 0,6 0,5 0,38

2 L 4

K 4

A 1.2 Einzeichnen der Geraden g und der Strecke [ ]1 1A B 1

L 3

K 4

A 1.3 2 2A B 6 LE=

( )3 1 6x− − = G IR+=I

...

x 0,6⇔ = { }IL 0,6=

2

L 4

K 2

K 5

EBENE GEOMETRIE

A 2.1 Wegstrecke s der Spitze des Rotorblatts in einer Stunde:

s 121 6 164 m= ⋅ ⋅ ⋅ s 374051 m=

Eine Rotorblattspitze legt eine Strecke von 374 km in dieser Stunde zurück. 3

L 2

K 5

A 2.2 Länge l des Feldes:

( ) ( ) ( )22b 82 0,5 164 2 0,5 164 0,5 164 cos120 m= + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ° b 142 m=

Breite b des Feldes:

0,5 164 m 0,5 164 m cos60= ⋅ + ⋅ ⋅ °l 123 m=l 3

L 2

K 2

K 5

A 2.3 Gesamthöhe h der Windkraftanlage:

Mast Rotorblatth h h= +

Masth 42 m

82 m 25 m= Masth 138 m=

( )h 138 82 m= + h 220 m= 3

L 3

K 2

K 3

RAUMGEOMETRIE

A 3.1 2 2FM EM EF= − ( )2FM 4 3,2 cm= − 2FM 0,8 cm=

1SM 4 cm

2 cm 0,8 cm= 1SM 10 cm=

2 L 2

K 5

A 3.2 2 2AS 2 10 cm= + AS 10,2 cm=

2 2SF 0,8 4 cm= + SF 4,1cm=

Kugel klein Kegel groß Kegel klein Kreisr in g Kugel groß

22 2 2

1 1 2 2 2 2

O M M A O

O 0,5 4 r r AS M C SF r M C 0,5 4 r= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

( )2 2 2 2 2O 0,5 4 2 2 10,2 0,8 4,1 4 0,8 0,5 4 4 cm= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

2O 227,7 cm= 3

L 2

L 3

K 2

K 5

19

Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die

jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht

verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,


Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen

führen kann.





FUNKTIONEN

B 1.1 ( ) 1S 0,5 |1 p∈

( )2y 0,5 x 0,5 1= − + G IR IR= ×I

... 2

1p : y 0,5x 0,5x 1,125= − +

3

L 4

K 5

L 4

K 4

B 1.2 1 2p p :∩

2 20,5x 0,5x 1,125 0,5x 3− + = + G IR=I

...

x 3,75⇔ = − { }IL 3,75= − ( )T 3,75 |10,03− 3

L 4

K 2

K 5

B 1.3 Einzeichnen der Dreiecke 1 1 1A B C und 2 2 2A B C

( )( )2

nC x 2 | 0,5 x 2 3+ ⋅ + + x IR; x 3,75∈ > − ( )2

nC x 2 | 0,5x 2x 5+ + + 3

L 3

K 4

K 5

B 1.4 ( ) ( )( )2 2

n nA B x 0,5x 3 0,5x 0,5x 1,125 LE= + − − + x IR; x 3,75∈ > −

( ) ( )n nA B x 0,5x 1,875 LE= + 1 L 4

K 5

B 1.5 3 3B Cy y=

2 20,5x 0,5x 1,125 0,5x 2x 5− + = + + x IR; x 3,75∈ > −

...

x 1,55⇔ = − { }IL 1,55= −

( )3B 1,55 | 3,10− 3

L 4

K 2

K 5

B 1.6 4M ist der Mittelpunkt der Strecke [ ]4 4A B und es gilt:

4 4C My y .=

n

2 2

M

0,5x 3 0,5x 0,5x 1,125y

2

+ + − += x IR; x 3,75∈ > −

n

2

My 0,5x 0,25x 2,06= − +

2 20,5x 2x 5 0,5x 0,25x 2,06+ + = − + G IR; x 3,75= > −I

...

x 1,31⇔ = − { }IL 1,31= − 4

L 4

K 2

K 5

17











RAUMGEOMETRIE

B 2.1

2 2AG 10 6 cm= + AG 11,66 cm=

10tan

6ϕ = 59,04ϕ = °

4

L 3

L 4

L 2

K 5

B 2.2 Einzeichnen der Strecke [ ]GM , des Punktes 1N und der Pyramide 1 1 1PQ R M 2 L 3

K 4

B 2.3 n n n

1 1V P N BC N M

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )n nP N x x cm

10 cm 6 cm= x IR; 0 x 6∈ < < ( )n nP N x 1,67x cm=

( ) ( ) 31 1V x 1,67x 14 6 x cm

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − x IR; 0 x 6∈ < <

( ) ( )2 3V x 3,90x 23,38x cm= − + 2

L 3

L 4

K 2

K 5

B 2.4 0 0 0

3

P Q R MV 35,04 cm=

3

ABCDEF

1V 14 10 6 cm

2= ⋅ ⋅ ⋅ 3

ABCDEFV = 420 cm

420 35,040,9166

420

−=

Das Volumen der Pyramide ist um 91,66 % kleiner als das Volumen des Prismas. 3

L 2

L 3

K 2

K 5

B 2.5 27,5 3,90x 23,38x= − + x IR; 0 x 6∈ < <

...

x 0,34 x 5,65⇔ = ∨ = { }IL 0,34; 5,65= 2

L 2

L 4

K 2

K 5

B 2.6 ( ) ( ) ( )2 2

nP M x 1,67x 6 x cm= + − x IR; 0 x 6∈ < <

( ) 2

nP M x 3,79x 12x 36 cm= − +

Einzeichnen der Strecke [ ]4P M

4P M 5,15 cm= 4

L 2

L 4

K 2

K 4

K 5

17









Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: Vorname:



A 1.0 Ein 90 °C heißes Getränk wird zur Abkühlung ins Freie gestellt. Nach x Minuten beträgt

die Temperatur des Getränks y °C. Die Funktion f mit der Gleichung xy 90 0,94 mit

0G IR IR I beschreibt näherungsweise den Abkühlvorgang in den ersten 20 Minuten.


Graphen zu f in das Koordinatensystem ein.

x 0 5 10 15 20 x90 0,94

O x

y

2

10

50

90

10 20 2 P

A 1.2 Geben Sie an, um wie viel Prozent das Getränk pro Minute kälter wird.

1 PA 1.3 Ermitteln Sie mithilfe des Graphen zu f, nach wie vielen Minuten die Temperatur

des Getränks noch 40 °C beträgt.

1 PA 1.4 Um wie viel Prozent ist die Temperatur des Getränkes nach sechs Minuten insge-

samt gesunken? Kreuzen Sie den zutreffenden Wert an.

31 % 36 % 41 % 69 % 1 P


A 2.0 Das Rechteck ABCD mit AB 12 cm und BC 7 cm ist die Grundfläche der

Pyramide ABCDS (siehe Zeichnung). Die Spitze S liegt senkrecht über dem

Mittelpunkt E der Strecke AD mit ES 7 cm . Der Punkt F ist der Mittelpunkt

der Strecke BC .


A 2.1 Berechnen Sie das Maß des Winkels SFE sowie die Länge der Strecke FS .

Ergebnisse: 30,26 ; FS 13,89 cm

2 P

A 2.2 Der Punkt P liegt auf der Strecke EF mit EP 5 cm . Für Punkte nM auf der

Strecke FS gilt: nFM x x cm mit x 13,89 und x IR . Die Punkte nM

sind die Mittelpunkte von Strecken n nQ R mit nR CS , nQ BS und

n nQ R BC .

Die Punkte P, nR und nQ sind die Eckpunkte von Dreiecken n nPR Q .

Zeichnen Sie das Dreieck 1 1PR Q für x 3 in das Schrägbild zu A 2.0 ein. 1 P

A B

CD

E F

S


A 2.3 Der Punkt 2M auf der Strecke FS liegt senkrecht über dem Punkt P.

Zeichnen Sie 2M und das Dreieck 2 2PR Q in das Schrägbild zu A 2.0 ein.

Bestimmen Sie sodann durch Rechnung den zugehörigen Wert für x und die

Länge der Strecke 2 2R Q . 2 2Ergebnis: R Q 2,92 cm

3 P

A 2.4 Das Dreieck 2 2PR Q ist die Grundfläche der Pyramide 2 2PR Q F .

Ermitteln Sie rechnerisch den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide

2 2PR Q F am Volumen der Pyramide ABCDS.

3 P


A 3.0 Die Figur ABCD dient als Schnittvorlage für

eine Glasscheibe (siehe Skizze).

Der Kreisbogen CD hat den Punkt B als Mit-

telpunkt und den Radius r BC .

Es gilt: AB 50,0 cm ; BC 60,0 cm ;

CBA 90 ; BAD 120 .

Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach

dem Komma.

A 3.1 Berechnen Sie die Länge der Strecke DA .

Teilergebnis: DBA 13,8 ; Ergebnis: DA 16,5 cm

3 P

A 3.2 Die Glasscheibe wird aus einer quadratischen Glasplatte herausgeschnitten. Dazu

bewegt sich ein Laserschneider mit einer Geschwindigkeit von 30 cm pro Sekunde

entlang des Kreisbogens CD und der Strecke DA .

Berechnen Sie die hierfür benötigte Zeit.

2 P

A B

C

D



Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 1.0 Die Parabel p verläuft durch die Punkte P 3 | 0 und Q 5 | 0 . Sie hat eine Glei-

chung der Form 2y a x 0,5x c mit G IR IR I und a IR \ 0 , c IR .


B 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für a und c, dass die Parabel p die Gleichung 2y 0,25x 0,5x 3,75 hat.

Zeichnen Sie sodann die Gerade g sowie die Parabel p für x 4; 7 in ein


Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; 5 x 8; 5 y 5 4 P

B 1.2 Punkte 2nA x | 0,25x 0,5x 3,75 auf der Parabel p und Punkte nB x | 0,1x 2

auf der Geraden g haben dieselbe Abszisse x.

Sie sind zusammen mit Punkten nC und nD für x 3,74; 6,14 die Eckpunkte von

Parallelogrammen n n n nA B C D .

Die Punkte nC liegen ebenfalls auf der Geraden g. Dabei ist die Abszisse x der Punkte

nC jeweils um 2 größer als die Abszisse x der Punkte nB .

Zeichnen Sie die Parallelogramme 1 1 1 1A B C D für x 2 und 2 2 2 2A B C D für x 3 in

das Koordinatensystem zu B 1.1 ein. 2 P

B 1.3 Berechnen Sie die Länge der Strecken n nA B in Abhängigkeit von der Abszisse x der

Punkte nA .

2n nErgebnis: A B x 0,25x 0,6x 5,75 LE 2 P

B 1.4 Überprüfen Sie rechnerisch, ob es unter den Parallelogrammen n n n nA B C D ein Paralle-

logramm mit einem Flächeninhalt von 13 FE gibt. 3 P

B 1.5 Unter den Parallelogrammen n n n nA B C D gibt es die Rauten 3 3 3 3A B C D und 4 4 4 4A B C D .

Berechnen Sie die x-Koordinaten der Punkte 3A und 4A auf zwei Stellen nach dem

Komma gerundet. n nTeilergebnis: B C 2,01 LE 4 P

B 1.6 Begründen Sie, dass es unter den Parallelogrammen n n n nA B C D kein Rechteck gibt. 2 P



Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0 Gegeben ist das Dreieck ABC mit

AB 10 cm , AC 8 cm und BC 9,5 cm .

Der Punkt D ist der Fußpunkt des Lotes vom

Eckpunkt A auf die Seite BC (siehe Skizze).


nach dem Komma.

B 2.1 Zeichnen Sie das Dreieck ABC und die Strecke AD . 1 P

B 2.2 Berechnen Sie das Maß des Winkels CBA, das Maß des Winkels BAD und die

Länge der Strecke AD . Ergebnisse: 48,36 ; 41,64 3 P

B 2.3 Der Punkt G auf der Verlängerung der Strecke BC über C hinaus ist ein Eckpunkt

des Dreiecks ABG. Der Winkel BAG hat das Maß 70°.

Zeichnen Sie das Dreieck ABG und berechnen Sie die Länge der Strecke CG . 4 P

B 2.4 Im Dreieck ABD berührt der Inkreis k die Seite AB im Punkt E und die Seite AD

im Punkt F.

Zeichnen Sie den Inkreis k mit seinem Mittelpunkt M und die Strecken ME und

MF in die Zeichnung zu B 2.1 ein. 2 P

B 2.5 Berechnen Sie das Maß des Winkels AMB und den Inkreisradius r ME.

Ergebnisse: 135 ; r 2,06 cm 3 P

B 2.6 Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Flächenstücks AEF, das vom Kreisbogen FE

sowie von den Strecken EA und AF begrenzt wird.

4 P

A B

C

G

D

M

k



Lösungsmuster

und Bewertung

Aufgaben A 1 – 3 Haupttermin

FUNKTIONEN

A 1.1

O x

y

2

10

50

90

10 20

Graph zu f


x 0 5 10 15 20

x90 0,94 90 66 48 36 26

2

L 4

K 4

K 5

A 1.2 Das Getränk kühlt pro Minute um 6 % ab. 1 L 4

K 5

A 1.3 Im Rahmen der Zeichengenauigkeit: Nach 13 Minuten 1 L 4

K 4

A 1.4 31 % 1 L 4

K 2

RAUMGEOMETRIE

A 2.1

A B

Q

P

RM

Q

R

MC

D

E F

S

1

1

1

2

2

2


7tan

12 30,26

2 2FS 12 7 cm FS 13,89 cm 2 L 2

K 5

A 2.2 Einzeichnen des Dreiecks 1 1PR Q 1 L 3

K 4

A 2.3 Einzeichnen des Punktes 2M und des Dreiecks 2 2PR Q

12 5cos30,26

x

x 13,89 und x IR x 8,10

2 213,89 8,10 cmR Q

7 cm 13,89 cm

2 2R Q 2,92 cm

3

L 3

L 2

K 4

K 5

A 2.4 3

ABCDS

1V 12 7 7 cm

3 3

ABCDSV 196 cm

2 2PR Q F 2 2 2

1 1V R Q PM PF

3 2

2 2

2PM 8,10 7 cm 2PM 4,08 cm

2 2

3

PR Q FV 13,90 cm

2 2PR Q F

ABCDS

V 13,90

V 196 prozentualer Anteil: 7,09 %

3

L 2

K 2

K 5

EBENE GEOMETRIE

A 3.1 2 2 2

DA AB BD 2 AB BD cos DBA

BD BC 60 cm

Im Dreieck ABD gilt:

sin ADB sin120

50 60

ADB 60 ADB 46,2

DBA 180 120 46,2 DBA 13,8

2 2DA 50 60 2 50 60 cos13,8 cm DA 16,5 cm 3

L 2

K 2

K 5

A 3.2 90 13,8

b 2 60 cm360

b 79,8 cm

79,8 16,5t s

30

t 3,2 s

Der Laserschneider benötigt 3,2 Sekunden. 2

L 2

K 2

K 5

19

Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils

angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht

verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,


Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen

führen kann.





FUNKTIONEN

B 1.1 P 3 | 0 und Q 5 | 0 p

2

2

0 a 3 0,5 ( 3) c

0 a 5 0,5 5 c

a IR \ 0 , c IR

...

a 0,25

c 3,75

IL a | c 0,25 | 3,75

2p: y 0,25x 0,5x 3,75 G IR IR I

1

1O x

y

p

g

B

A D

CB

AD

C1

2

1

1

1

2

2

2

4

L 4

K 5

L 4

K 4

B 1.2 Einzeichnen der Parallelogramme 1 1 1 1A B C D und 2 2 2 2A B C D 2 L 3

K 4

B 1.3 2

n nA B x 0,25x 0,5x 3,75 0,1x 2 LE x IR; x 3,74; 6,14

2

n nA B x 0,25x 0,6x 5,75 LE 2

L 2

L 4

K 5

B 1.4 2A x 0,25x 0,6x 5,75 2 FE x IR; x 3,74; 6,14

2A x 0,5x 1,2x 11,5 FE

20,5x 1,2x 11,5 13 x IR; x 3,74; 6,14

...

D 1,56 D 0 IL

Unter den Parallelogrammen n n n nA B C D gibt es keines mit einem Flächeninhalt von

13 FE. 3

L 2

L 4

K 1

K 2

B 1.5 n n n nA B B C

22

n nB C 2 2 0,1 LE n nB C 2,01 LE

20,25x 0,6x 5,75 2,01 x IR; x 3,74; 6,14

...

x 2,85 x 5,25 IL 2,85; 5,25 4

L 2

L 4

K 2

K 5

B 1.6 Da die Geraden n nA B parallel zur y-Achse verlaufen und die Steigung der Geraden

n nB C ungleich Null ist, gilt n n n|C B A 90 .

Daraus folgt, dass es unter den Parallelogrammen n n n nA B C D kein Rechteck gibt. 2

L 3

K 1

K 6

17











EBENE GEOMETRIE

B 2.1

A B

C

G

D

F

M

E

k

1

L 3

K 4

B 2.2 2 2 2

AC AB BC 2 AB BC cos

2 2 28 10 9,5 2 10 9,5 cos 48,36

90 48,36 41,64

ADsin48,36

10 cm AD 7,47 cm

3

L 2

K 2

K 5

B 2.3 Einzeichnen des Dreiecks ABG

CG BG BC

BG 10 cm

sin 70 sin AGB

AGB 180 70 48,36 AGB 61,64

BG 10 cm

sin 70 sin 61,64

BG 10,68 cm

CG 10,68 9,5 cm CG 1,18 cm 4

L 3

L 4

K 2

K 5

B 2.4 Einzeichnen des Inkreises k mit dem Mittelpunkt M sowie den Strecken ME und

MF 2

L 3

K 4

B 2.5 180 0,5 48,36 0,5 41,64 135

rsin 0,5

BM

BM 10 cm

sin 0,5 41,64 sin135

BM 5,03 cm

rsin 0,5 48,36

5,03 cm r 2,06 cm

3

L 3

K 2

K 5

B 2.6 AEMF SektorA A A

2 FMEA 2 0,5 AE r r

360

rtan 0,5 41,64

AE AE 5,42 cm

FME 360 2 90 41,64 FME 138,36

2 2138,36A 2 0,5 5,42 2,06 2,06 cm

360

2A 6,04 cm

4

L 2

L 3

K 2

K 5

17









Prüfungsdauer:

150 Minuten

Name: Vorname:



A 1.0 Die Intensität von Licht, das in einen See einfällt, nimmt prozentual mit zunehmender

Wassertiefe ab. Eine Messung hat ergeben, dass sich in x Metern Wassertiefe die ver-

bleibende Lichtintensität y Prozent näherungsweise durch die Funktion xf : y = 100 0,915 + +

0 0G = IR × IRI bestimmen lässt.

A 1.1 Geben Sie an, um wie viel Prozent die Lichtintensität nach der Funktion f pro Me-

ter Wassertiefe abnimmt.

1 P


Graphen der Funktion f in das Koordinatensystem ein.

x 0 2,5 5 10 15 20 25 30 x100 0,915

y

xO 5 10 15 20 25 30

20

40

60

80

100

2 P

A 1.3 Ermitteln Sie mithilfe des Graphen zu f, bei welcher Wassertiefe die Lichtintensi-

tät nur noch 50 % beträgt.

1 PA 1.4 An einem anderen See wurde zur gleichen Zeit in 18 Meter Wassertiefe eine ver-

bleibende Lichtintensität von 22 % gemessen. Überprüfen Sie durch Rechnung, ob

an diesem See dieselben Bedingungen, wie in A 1.0 beschrieben, herrschen.

1 P


A 2.0 Das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basis BC ist die Grundfläche der

Pyramide ABCS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Basis

BC (siehe Zeichnung). Es gilt: BC 12 cm ; AM 8 cm ; MS 11cm .


A

B

C

S

M

A 2.1 Berechnen Sie die Länge der Strecke AS und das Maß des Winkels ASM.

Ergebnisse: AS 13,60 cm; 36,03

2 P


A 2.2 Die Strecke PQ mit P BS und Q CS ist parallel zur Strecke BC .

Der Punkt D ist der Mittelpunkt der Strecke PQ mit MD 4 cm .

Zeichnen Sie die Strecke PQ in das Schrägbild zu A 2.0 ein und berechnen Sie

deren Länge. Ergebnis: PQ 7,64 cm

2 P

A 2.3 Punkte nR auf der Strecke AS mit nAR x x cm 0x 13,60; x IR bilden

zusammen mit den Punkten P und Q Dreiecke nPQR .

Zeichnen Sie das Dreieck 1PQR für x 9 in das Schrägbild zu A 2.0 ein und

bestimmen Sie sodann durch Rechnung das Maß des Winkels 1SDR .

1Teilergebnis: DR 4,25 cm

3 P

A 2.4 Das Dreieck PQS ist die Grundfläche von Pyramiden nPQSR .

Zeichnen Sie die Höhe h der Pyramide 1PQSR mit dem Höhenfußpunkt 1F in das

Schrägbild zu A 2.0 ein. Ermitteln Sie sodann die Länge der Strecken n nR F der

Pyramiden nPQSR in Abhängigkeit von x.

2 P


A 3.0 Die nebenstehende Skizze zeigt die gleich-

seitigen Dreiecke ABC und FGC mit den

zugehörigen Höhen CD und CE .

Es gilt: F AC ; G BC ; AB FG ;

CD FG E ;

CE 2,3 3 cm ; DE 2 CE .

A 3.1 Berechnen Sie die Seitenlänge a des gleichseitigen Dreiecks ABC.

Ergebnis: a 13,8 cm

2 P

A 3.2 Der Kreisbogen PQ mit dem Mittelpunkt C und dem Radius CD schneidet die

Seite AC im Punkt P und die Seite BC im Punkt Q.

Berechnen Sie den Flächeninhalt A der grau markierten Fläche, die durch die

Strecken PA , AB , BQ und den Kreisbogen PQ begrenzt ist und ermitteln Sie

sodann den prozentualen Anteil des Flächeninhalts A am Flächeninhalt des Drei-

ecks ABC.

3 P

A B

C

F GE

D

QP



Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 1.0 Die Parabel p verläuft durch die Punkte P 9 | 44 und Q 6 |14 . Sie hat eine

Gleichung der Form 2y 0,4x bx c mit G IR IR I und b, c IR .

Die Gerade g hat die Gleichung y 0,2x 0,5 mit G IR IR I .


B 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die Glei-

chung 2y 0,4x 0,8x 4,4 hat.

Zeichnen Sie sodann die Gerade g sowie die Parabel p für x 3; 5 in ein



B 1.2 Punkte nB und nD sind zusammen mit Punkten nA x | 0,2x 0,5 auf der Gera-

den g und Punkten 2nC x | 0,4x 0,8x 4,4

auf der Parabel p die Eckpunkte

von Drachenvierecken n n n nA B C D mit den Geraden n nA C als Symmetrieachse.

Es gilt: n n

2A B

3

.

Zeichnen Sie das Drachenviereck 1 1 1 1A B C D für x 2,5 und das Drachenvier-

eck 2 2 2 2A B C D für x 2,5 in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein. 2 P

B 1.3 In allen Drachenvierecken n n n nA B C D haben die Winkel n n nB A D das gleiche

Maß .

Berechnen Sie das Maß der Winkel n n nB A D . 2 P

B 1.4 Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt A der Drachenvierecke

n n n nA B C D in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte nA gilt:

2A x 0,8x 2x 7,8 FE. 2n nTeilergebnis: A C x 0,4x x 3,9 LE

Unter den Drachenvierecken n n n nA B C D hat das Drachenviereck 0 0 0 0A B C D den

minimalen Flächeninhalt.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drachenvierecks 0 0 0 0A B C D und den zuge-

hörigen Wert für x. 4 P

B 1.5 Begründen Sie, dass für 3 3 4 4A C A C 6 LE die Drachenvierecke Rauten sind.

Ermitteln Sie die x-Werte der Punkte 3A und 4A . 3 P

B 1.6 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Punkte nB , nC und nD nicht gemeinsam

auf einer Geraden liegen können. 2 P



Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten


B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt den Plan eines

Gartengrundstücks ABCD.

Es gilt: AB 9,0 m ; BC 8,0 m ; AE 3,5 m

BAD 60 ; CBA 80 ; DEA 90 .


B 2.1 Zeichnen Sie das Viereck ABCD im Maßstab 1:100. 2 P

B 2.2 Die dreieckige Gartenfläche AED, die im Plan durch die Strecken AE , ED und

DA begrenzt ist, soll geschottert werden. Eine Metallschiene, im Plan durch ED

gekennzeichnet, soll verhindern, dass sich der Schotter im ganzen Grundstück verteilt.

Zum Nachbargrundstück wird entlang der im Plan durch AD gekennzeichneten

Strecke ein Sichtschutz errichtet.

Berechnen Sie die Länge der Strecken ED und AD .

Teilergebnis: ED 6,1 m 2 P

B 2.3 Die im Plan durch das Viereck EBCD dargestellte Fläche soll aus einem Rasenstück

und einem Beet bestehen.

Bestimmen Sie rechnerisch die Länge der Strecke EC sowie den Flächeninhalt 1A

des Vierecks EBCD.

Ergebnis: EC 8,9 m; Teilergebnis: BEC 62,3 4 P

B 2.4 Der Kreis mit dem Mittelpunkt E hat den Radius r ED und schneidet die Strecke

BC im Punkt F. Das Beet wird durch den Kreisbogen FD sowie durch die Strecken

DC und CF begrenzt.

Zeichnen Sie den Kreisbogen FD in die Zeichnung zu B 2.1 ein. 1 P

B 2.5 Das Beet aus B 2.4 wird entlang des Kreisbogens FD und der Strecke DC mit ei-

nem Schneckenschutzzaun geschützt.

Berechnen Sie die benötigte Länge des Zauns.

Teilergebnis: BEF 37,4 5 P

B 2.6 Berechnen Sie den Flächeninhalt 2A des Beetes. 3 P

AE

B

C

D



Lösungsmuster

und Bewertung

Aufgaben A 1 – 3 Nachtermin

FUNKTIONEN

A 1.1

8,5 % 1 L 4

K 5

A 1.2

y

O 5 10 15 20 25

20

40

60

80

100

30 x

Graph zu f

x 0 2,5 5 10 15 20 25 30

x100 0,915 100 80 64 41 26 17 11 7

2

L 4

K 4

K 5

A 1.3 Im Rahmen der Zeichengenauigkeit: nach 8 Metern. 1 L 2

K 4

A 1.4 18100 0,915 20,21 |20,21 22 Es herrschen andere Bedingungen. 1

L 4

K 1

K 5

RAUMGEOMETRIE

A 2.1 2 2AS 8 11 cm AS 13,60 cm

8tan

11 36,03 2

L 2

K 5

A 2.2 Einzeichnen der Strecke PQ

Zeichnung im Maßstab 1 : 2

11 4 cmPQ

12 cm 11cm

PQ 7,64 cm

2

L 3

K 4

K 5

A

B

C

S

M

R

P

D

Q

1 F1

ϕ

δ

A 2.3 Einzeichnen des Dreiecks 1PQR

1 1

sin sin

R S DR

2 2

1DR 11 4 13,60 9 2 11 4 13,60 9 cos36,03 cm

1DR 4,25 cm

sin sin36,03

13,60 9 4,25

90 39,54

3

L 2

L 3

K 4

K 5

A 2.4 Einzeichnen der Höhe h mit dem Höhenfußpunkt 1F

n nR F xsin36,03

13,60 x cm

0x 13,60; x IR

n nR F x 8,00 0,59x cm 2

L 3

L 4

K 4

K 5

EBENE GEOMETRIE

A 3.1 1

CD a 32

CD 3 CE CD 6,9 3 cm

16,9 3 cm a 3

2 a 13,8 cm 2

L 2

K 2

K 5

A 3.2 2

2a 60A 3 CD

4 360

2 2

213,8 60A 3 6,9 3 cm

4 360

2A 7,68 cm

22

ABC

13,8A 3 cm

4 2

ABCA 82,46 cm

ABC

A 7,68

A 82,46 prozentualer Anteil: 9,31 %

3 L 2

K 2

K 5

19


die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben

darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige

Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu

bepunkten.







FUNKTIONEN

B 1.1 P 9 | 44 und Q 6 |14 p

2

2

44 0,4 ( 9) b ( 9) c

14 0,4 6 b 6 c

b, c IR

...

b 0,8

c 4,4

IL b | c 0,8 | 4,4

2p: y 0,4x 0,8x 4,4 G IR IR I

x

y

1

1

O

p

g

A1

B1

C1

D1

A 2

B 2

C2

D2

4

L 4

K 5

L 4

K 4

B 1.2 Einzeichnen der Drachenvierecke 1 1 1 1A B C D und 2 2 2 2A B C D 2 L 3

K 4

B 1.3 2

tan2 3

67,38

2

L 2

L 4

K 2

K 5

B 1.4 n n n n

1A B D A C

2

2

n nA C x 0,4x 0,8x 4,4 (0,2x 0,5) LE x IR

2

n nA C x 0,4x x 3,9 LE

21A x 2 2 0,4x x 3,9 FE

2 x IR

2A x 0,8x 2x 7,8 FE

…

minA 6,55 FE für x 1,25 4

L 2

L 4

K 1

K 2

B 1.5 Drachenvierecke sind Rauten, wenn sich die Diagonalen gegenseitig halbieren. Da

die y-Werte der Punkte nB und nD um 3 größer sind als die y-Werte von nA , müs-

sen die y-Werte von nC insgesamt um 6 größer sein als die y-Werte von nA .

3 3 4 4A C A C 6 LE

26 0,4x x 3,9 x IR

...

x 1,36 x 3,86 IL 1,36; 3,86 3

L 3

K 2

K 5

B 1.6 Liegen die Punkte nA , nB und nD auf einer gemeinsamen Geraden, so muss für

die Strecke n nA C gelten: n nA C 3 LE .

20,4x x 3,9 3 x IR

...

D 0,44 D 0 IL

Die Punkte nB , nC und nD liegen nicht auf einer gemeinsamen Geraden. 2

L 3

K 2

K 5

17











EBENE GEOMETRIE

B 2.1

AE

B

F

C

D

2 L 3

K 4

B 2.2 EDtan 60

3,5 m ED 6,1 m

2 2AD 6,1 3,5 m AD 7,0m 2

L 2

K 5

B 2.3 1

1 1A AB AE BC sin CBA EC ED sin CED

2 2

22EC 8 9 3,5 2 8 9 3,5 cos80 m EC 8,9 m

sin BEC sin80

8 8,9

BEC 90 BEC 62,3

CED 90 62,3 CED 27,7

2

1

1 1A 9 3,5 8 sin80 8,9 6,1 sin 27,7 m

2 2

2

1A 34,3 m

4

L 2

L 3

K 2

K 5

B 2.4 Einzeichnen des Kreisbogens FD

1

L 3

K 4

B 2.5 b CD

FED

b 2 ED360

FED 90 BEF

BEF 180 CBE EFB

sin EFB sin80

9 3,5 6,1

mit EF ED und EFB 100

EFB 62,6

BEF 37,4

FED 52,6

52,6

b 2 6,1 m360

b 5,6 m

2 2CD 6,1 8,9 2 6,1 8,9 cos27,7 m CD 4,5 m

5,6 4,5 m 10,1 m 5

L 2

L 3

K 2

K 5

B 2.6 2

2

1 1 FEDA EF EC sin FEC EC ED sin CED ED

2 2 360

FEC 62,3 37,4 FEC 24,9

2 2

2

1 1 52,6A 6,1 8,9 sin 24,9 8,9 6,1 sin 27,7 6,1 m

2 2 360

2

2A 7,0 m 3

L 2

L 3

K 2

K 5

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Abschlussprüfung 2010 - machmermadde.files.wordpress.com · Aufgabe A 2 Haupttermin Seite - 3 - A 2.3 Auf der Grünfläche wird eine große kreisförmige Skateranlage angelegt. Im