AÇÕES DE CONTROLE - fem.unicamp.brem621/aulas/aula17/acoesdecont.pdf · Controlador PID. Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP Ações comuns de controle Ações mais

Controle de Sistemas Mecânicos - DMC - UNICAMP

AÇÕES DE CONTROLEAÇÕES DE CONTROLE

■ Ações de Controle■ Relação Controlador/Planta■ Controlador proporcional■ Efeito integral■ Efeito derivativo■ Controlador PID


Ações comuns de controleAções comuns de controle

Ações mais comuns:• tipo liga-desliga (duas posições)• proporcional• proporcional-integral• proporcional-derivativo• proporcional-integral-derivativo

K(s) P(s)

R(s) E(s) U(s) Y(s)

-

■ Ação de controle: o tipo de processamento que o controladorrealiza sobre o sinal de erro para gerar o sinal aplicado à planta


Controle em malha fechadaControle em malha fechada

■ Cálculo da função de transferência de malha fechada

G(s)

R(s) E(s) Y(s)

-

)()()())(1(

)()()()()(

)()()(

)()()(

sRsGsYsG

sYsGsRsGsY

sYsRsE

sEsGsY

=+−=

−==

)()(1

)()( sR

sG

sGsY

+=


Achando a FT de malha fechadaAchando a FT de malha fechada

■ Considerando o numerador e o denominador da FT

G(s)

R(s) E(s) Y(s)

-

)(1

)(

)(

)(

sG

sG

sR

sY

+=

)()(

)(

)(

)(

sNsD

sN

sR

sY

+=

)()(

1

)()(

)(

)(

sD

sNsD

sN

sR

sY

+=


Possui duasposições fixas

Elementoatuante

Geralmente sãosolenóides

• Intervalo de tempoentre ligado e desligado

<>

=0 )(desligado M

0 (ligado) M

2

1

E

EU

• Faz com que a saída docontrolador mantenhaseu valor atual até que osinal erro atuante tenhaatingido um certo valor

Ação de duas posições (liga-desliga)Ação de duas posições (liga-desliga)

P(s)

R(s) E(s) U(s) Y(s)

-

histerese diferencial

Obs: É um métodoprimitivo de controle


Exemplo: Sistema de controle de nível de líquidoExemplo: Sistema de controle de nível de líquido

Quanto menor ointervalo diferencial

Maior é a freqüência demovimentos Liga-Desliga


■ A ação de controle é proporcional ao erro

Ação ProporcionalAção Proporcional

Kp

R(s) E(s) U(s)

Y(s)-

)()( teKtu p=

pKsE

sU =)(

)(


■ A ação de controle é proporcional à integral do erro■ É sempre usada em conjunto com a ação proporcional

( ) ( )∫=t

I dtteKtu0

( )( ) s

K

sE

sU I=

Ação IntegralAção Integral

R(s) E(s) U(s)

Y(s)-s

KI


■ A ação de controle é proporcional ao erro e à sua integral

( )( ) s

KsK

sE

sU IP +=

Ação Proporcional IntegralAção Proporcional Integral

R(s) E(s) U(s)

Y(s)-s

KK I

P +


■ Ação de controle é proporcional à derivada do erro■ É sempre usada em conjunto com a ação proporcional

(obs: notar que é uma FT imprópria)

( ) ( )dt

tdeKtu D=

( )( )

sKsE

sUD=

Ação DerivativaAção Derivativa

R(s) E(s) U(s)

Y(s)-

sKD


■ Ação de controle é proporcional ao erro e à derivadado erro (também imprópria)

( )( )

sKKsE

sUDp +=

Ação Proporcional DerivativaAção Proporcional Derivativa

R(s) E(s) U(s)

Y(s)-

sKK DP +


■ Ação de controle é proporcional ao erro, à integral e àderivada do erro (controlador PID) (também imprópria)

( )( ) s

KsKsK

sE

sU IPD ++=2

Ação Proporcional Integral DerivativaAção Proporcional Integral Derivativa

R(s) E(s) U(s)

Y(s)-s

KsKK I

DP ++


Calcular a resposta ao degrau unitário de um sistema em malhafechada com realimentação unitária para controladoresproporcional (P) e proporcional derivativo (PD) para uma plantaque representa uma inércia J.

( )2

1

)(

)(

JssU

sYsP ==

Exemplo: Controle de posição de uma inérciaExemplo: Controle de posição de uma inércia

θ= ��JT


■ O DB abaixo representa o controlador proporcional comrealimentação unitária negativa

R(s) E(s) U(s) Y(s)

-

PK 2

1

Js

Exemplo: Diagrama de blocos controlador PExemplo: Diagrama de blocos controlador P


■ Fechando a malha do DB anterior encontra-se aseguinte FT

■ Observa-se que houve uma variação• no ganho estático

• um deslocamento do pólo

Exemplo: FT de malha fechadaExemplo: FT de malha fechada

1)0( ==sR

Y

J

Kj p±=λ

∞== )0(sU

Y

0=λ

p

p

KJs

K

sR

sY

+=

2)(

)(


■ Considerando a TL do degrau (1/s), a resposta seráportanto

■ Encontrando a TIL, obtém-se

Exemplo: Resposta ao degrau unitárioExemplo: Resposta ao degrau unitário

0p/cos1 ≥

tt

J

K- p

)()(

)(2

p

p

KJss

K

sR

sY

+=


■ A curva do gráfico apresenta a resposta ao degrau para dois valores daconstante proporcional (Kp=2 e Kp=20), considerando J = 1.

A resposta oscilacom freqüênciamaior quantomaior é o Kpe o sobressinalé grande

Exemplo: Traçando as respostasExemplo: Traçando as respostas



R(s) E(s) U(s) Y(s)

-

sKK DP + 2

1

Js

Exemplo: Diagrama de blocos controlador PDExemplo: Diagrama de blocos controlador PD





Exemplo: FT de malha fechada com controlador PDExemplo: FT de malha fechada com controlador PD

1)0( ==sR

Y

J

JKKK pDD

2

42 −±−=λ

∞== )0(sU

Y

0=λ

pD

pD

KsKJs

KsK

sR

sY

++

+=

2)(

)(



■ Traçando a resposta ao degrau com o comando step■ Exercício: fazer o mesmo com o Simulink

Exemplo 9.1: Resposta ao degrau unitárioExemplo 9.1: Resposta ao degrau unitário

)()(

)(2

pD

pD

KsKJss

KsK

sR

sY

++

+=


■ A curva do gráfico apresenta a resposta ao degrau para Kp=20 e doisvalores da constante derivativa (Kd=2 e Kp=10), considerando J = 1.

A oscilação daresposta diminuicom Kd

Exemplo 9.1: Traçando as respostasExemplo 9.1: Traçando as respostas


Calcular a resposta ao degrau unitário de um sistema em malhafechada com realimentação unitária e controlador proporcionalpara a planta de primeira ordem com ganho estático k econstante de tempo τ . Repetir para um controlador PI e PD.

( )1)(

)(

+τ==

s

k

sU

sYsP

Exemplo 9.1: Planta de primeira ordemExemplo 9.1: Planta de primeira ordem



R(s) E(s) U(s) Y(s)

-

PK1+s

k

τ

Exemplo 9.1: Diagrama de blocosExemplo 9.1: Diagrama de blocos





( )

( ) 1p

p

K kY s

R s s K kτ=

+ +

Exemplo 9.1: FT de malha fechadaExemplo 9.1: FT de malha fechada

kK

kKs

R

Y

p

p

+==

1)0(

τλ

kK p+−=

1

ksU

Y == )0(

τ−=λ 1



■ Encontrando a TIL, obtém-se

• notar que (TVF)

)1()(

kKss

kKsY

p

p

++=

τ


( )( )

0p/11

1

≥

−

+=

+−

tekK

kKty

tkK

p

pp

τ

)( em a equivale)( em 0 tytssYs ∞→→


■ As curvas do gráfico abaixo apresentam a resposta ao degrau para doisvalores da constante proporcional (2 e 20), considerando k = 1 e τ = 2.

A resposta é tantomais rápida quantomaior é o Kp.O erro estacionáriotambém diminui como aumento do Kp.

Exemplo 9.1: Traçando as respostasExemplo 9.1: Traçando as respostas


■ Os diagramas abaixo são também p/ os mesmos valores de Kp

Observar que o pólopara o Kp = 20 é defreqüência bem maiorque a do primeirocaso (10.5>1.5)

Exemplo 9.1: Diagramas de BodeExemplo 9.1: Diagramas de Bode


Exemplo 9.1: Programa no MATLABExemplo 9.1: Programa no MATLAB

■ tau=2;

■ k=1;

■ Kp=2;

■ nmf=[Kp*k];

■ dmf=[tau 1+Kp*k];

■ t=0:0.05:5;w=logspace(-1,2,400);

■ smf=tf(nmf,dmf);

■ y=step(smf,t);

■ figure(1), subplot(211),plot(t,y)

■ title(’Efeito do controladorproporcional Kp=2’)

■ figure(2), subplot(211),bode(smf,w), xlabel(’’)

■ Kp=20;

■ nmf=[Kp*k];


■ t=0:0.05:5;


■ y=step(smf,t);

■ figure(1), subplot(212),plot(t,y)

■ title(’Efeito do controladorproporcional Kp=20’)

■ xlabel(’Tempo (s)’)

■ figure(2), subplot(212),bode(smf,w)


■ Diagrama de blocos

Exemplo 9.2: Controlador PIExemplo 9.2: Controlador PI

R(s)

E(s)

U(s) Y(s)

-

PK

1+s

k

τ

s

K I


■ Fechando a malha, obtém-se

– Observe que•• aumentou a ordem do sistema em malha fechadaaumentou a ordem do sistema em malha fechada

•• surgiu um zerosurgiu um zero

( )( ) kKskKs

kKksK

sR

sY

IP

IP

++++=

)1(2τ



■ Considerando:

Observar o efeitoda integral doerro ao longodo tempo noerro estacionário

5,0/0;2;1;2 ==== IP KKkτ

Exemplo 9.2: Controlador PIExemplo 9.2: Controlador PI


■ Os diagramas abaixo p/ valores de Ki=0/0.5

Raízes Ki=0-1.50

Raízes Ki=0.5 -1.3090 -0.1910Zero em-0.250



Exemplo 9.2: Programa MATLABExemplo 9.2: Programa MATLAB

■ tau=2;

■ k=1;

■ Kp=2;

■ Ki=0;

■ nmf=[Kp*k ];


■ t=0:0.05:6;


■ figure(1)

■ y=step(smf,t);

■ subplot(211), plot(t,y)

■ axis([0 6 0 1])

■ title(’resposta ao degrauki=0’)


■ Ki=0.5;

■ nmf=[Kp*k Ki*k];

■ dmf=[tau 1+Kp*k Ki*k];


■ figure(1)

■ y=step(smf,t);


■ axis([0 6 0 1])

■ title(’resposta ao degrauki=0.5’)



■ Diagrama de blocos

Exemplo 9.3: Controlador PDExemplo 9.3: Controlador PD

R(s)

E(s)

U(s)

-

PK

1+s

k

τ

sK D


■ Fechando a malha, obtém-se (FTMF)

Observe que

– surgiu um zero

– variou a posição do pólo


( ) kKskK

kKsK

sR

sY

pD

pD

++++

=1

)(

)(

)(

τ

D

P

K

Kz −=

kK

kK

D

p

++

−=τ

λ1


■ Considerando:

Observar o efeito de KdNo tempo de subida

5,0/0;2;1;2 ==== DP KKkτ



■ Considerando:

Observar o efeito nosdiagramas de Bode donovo zero

5,0/0;2;1;2 ==== DP KKkτ


Pha

se (

deg)

; M

agni

tude

(dB

)

Efeito da ação derivativa Kd=0

-20

-10

10-1

100

101

-80-60-40-20

Frequency (rad/s ec)

Pha

se (

deg)

; M

agni

tude

(dB

)

Efeito da ação derivativa Kd=0,5

-14-12-10

-8-6-4

10-1

100

101

102

-30-20-10


Exemplo 9.3: Programa MATLABExemplo 9.3: Programa MATLAB

■ tau=2;

■ k=1;

■ Kp=2;

■ Kd=0;

■ nmf=[Kd*k Kp*k];

■ dmf=[(tau+Kd*k) 1+Kp*k];

■ t=0:0.05:6;


■ y=step(smf,t);


■ axis([0 6 0 1])

■ title(’resposta ao degraukd=0’)


■ title(’Efeito do controladorPI Kp=2 Kd=0’)

■ Kd=0.5;

■ nmf=[Kd*k Kp*k];

■ dmf=[(tau+Kd*k) 1+Kp*k];


■ t=0:0.05:6;

■ figure(1)

■ y=step(smf,t);


■ axis([0 6 0 1])

■ title(’resposta ao degrauki=0.5’)


■ title(’Efeito do controladorPI Kp=2 Kd=0.5’)


Calcular a resposta ao degrau unitário de um sistema em malha fechadacom realimentação unitária e controlador PD para a planta descrita pelaequação abaixo. Considerar um fator de amortecimento de 0,1 e umafreqüência natural de 2 rad/s. A FTMF deve apresentar um fator deamortecimento de 0,5 e uma frequência natural de 5 rad/s.

22

2

2)(

nn

n

sssP

ω+ζω+ω=

Exemplo 9.4: Planta de segunda ordemExemplo 9.4: Planta de segunda ordem

Y(s)R(s)

E(s)

U(s)

-

PK

( )P s

sK D


■ Diagrama de Blocos

■ FT de malha fechada

Exemplo 9.4: Exemplo 9.4: ControladorControlador PD PD

( )( ) )1()2(

)(222

2

pnnDn

nPD

KsKs

KsK

sR

sY

+++++=

ωωζωω

R(s) E(s) Y(s)

-

22

2

2

)(

nn

nPD

ss

KsK

ωζωω

+++


■ Considerando a FT

■ e os valores desejados, obtém-se o seguinte sistema:


( )( ) )1()2(

)(222

2

PnnDn

nPD

KsKs

KsK

sR

sY

+ω+ω+ζω+ω+=

55.022*2

5)1(*

2

222

=ω××=ωζ=ω+ζω

=ω=+ω

efefefnDn

efPn

K

K

15,1

25,5

==

D

P

K

K


■ Resposta ao degrau■ wn=2; zeta=0.1;■ Kp=5.25; Kd=0;■ b0=wn^2; a0=b0; a1=2*zeta*wn;■ np=[b0]; dp=[1 a1 a0];■ t=0:0.05:5;■ pl=tf(np,dp);y=step(pl,t);

■ nmf=[Kd Kp]*b0;■ dmf=[1 a1+Kd*b0 a0+Kp*b0];■ smf=tf(nmf,dmf); yp=step(smf,t);■ Kd=1.15; nmf=[Kd Kp]*b0;■ dmf=[1 a1+Kd*b0 a0+Kp*b0];■ smf=tf(nmf,dmf); ypd=step(smf,t);

■ figure(1), plot(t,y,t,yp,t,ypd)■ legend(‘y’,’yp’,’ypd’)

Observar que:

- KP aumenta a freq. natural

- KD aumenta o amortecimento



0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

■ Considerando o erro e suaderivada, desenhados nafigura ao lado, além dassaídas controladasanteriores, observa-se que:- O pico do erro

coincide com osobressinal quandoKD = 0

- o sinal da derivadado erro antecipa opico, permitindoassim a suaatenuação


Derivada do erro

Resposta p

Resposta pd

erro p


Para a planta abaixo, projetar um controlador PD de modo que o fatorde amortecimento e a freqüência natural de malha fechada sejamrespectivamente 0,707 e 10 rad/s.

Exercício 9.1: Projeto de controlador PDExercício 9.1: Projeto de controlador PD

Y(s)R(s)

E(s)

U(s)

-

PK

sK D

)1(

1

+ss


■ Diagrama de Blocos

■ Fechando a malha, obtém-se (FTMF)


( )2

( )

( ) 1D p

D p

K s KY s

R s s K s K

+=

+ + +

R(s) E(s) Y(s)

-( )

( )

1D PK s K

s s

++


■ Considerando a FT

■ e os valores desejados, obtém-se o seguinte sistema:


2 100

1 2 2 0.707 10 14.14

P ef

d ef ef

K

K

ω

ζ ω

= =

+ = = × × =

100

13,14P

d

K

K

==

( )2

( )

( ) 1D p

D p

K s KY s

R s s K s K

+=

+ + +


■ Resposta ao degrau■ Kp=100; Kd=13.14;

■ np=[1]; dp=[1 1 0];

■ sys=tf(np,dp);

■ nmf=[Kd Kp];

■ dmf=[1 1+Kd Kp];

■ t=0:0.05:2; yp=step(sys,t);

■ smf=tf(nmf,dmf); yf=step(smf,t);

■ figure(1), plot(t,yp,t,yf)


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