Actividad 6 - Universidad Autónoma de Nuevo Leónjagarza.fime.uanl.mx/Agosto/Agosto 2015/Actividades/A6/activ6 juni… · Actividad 6, septiembre 2015 , Sistemas Digitales y Electrónica

FIME UANL M.C. Juan Ángel Garza Garza

Actividad 6, septiembre 2015 , Sistemas Digitales y Electrónica Digital I

1

Actividad 6 (cuenta para la aplicación del Artículo 23) El propósito de esta actividad contar con una guía de estudios que te permitan prepárate para próximo examen. La entrega de este documento es el día correspondiente a él examen de medio curso y antes de presentarlo.

Temas y ponderación del examen de medio termino

Sistemas Numéricos Conversiones entre los sistemas numéricos de notación posicional 6%

Álgebra Booleana

Operadores (And, Or, Not, Nand, Nor, Exor y Exnor)

Símbolo, característica, expresión matemática, Tabla de verdad

Propiedades Distributiva, Asociativa y Conmutativa e Identidades

Circuito, Ecuación, Tabla de verdad y Diagrama de tiempos

Teorema de D’ Morgan

Minitermino forma SOP (And/Or)

Maxitermino forma POS (Or/And)

Ocho Formas estándar

40%

Minimización de Funciones Booleanas

Manipulación Algebraica

Mapas de Karnaugh POS y SOP

34%

Planteamiento del problema y Tabla de verdad 20

Índice Pag.

Lista de verificación (checklist) ........................................................................................... 2

Calendario .......................................................................................................................... 2

1.- Sistemas numéricos ...................................................................................................... 3

2 Resumen conceptual ....................................................................................................... 4

3.- Identidades ................................................................................................................... 6

4.- Operadores Lógicos ...................................................................................................... 7

5.- Operaciones Booleanas. ............................................................................................... 7

6.- Representación gráfica de las ecuaciones .................................................................... 8

7 Identificación de funciones Booleanas ............................................................................. 9

8. - Manipulación algebraica ............................................................................................. 10

9.- Mapas de Karnaugh .................................................................................................... 14

10 Las ocho formas estándar ........................................................................................... 19

11.- Problema propuesto .................................................................................................. 20

12.- Conclusiones de la actividad ..................................................................................... 25

Formulario ........................................................................................................................ 26



2

Lista de verificación (checklist)

No Tema Respuestas Cotejado

Portada

1 Sistemas Numéricos a b c d e Pag. 3

2 Crucigrama Pag. 4

3 Identidades 1 2 3 4 5 6 Pag. 6

4 Operadores Lógicos a b c d Pag. 7

5 Operaciones Booleanas a b c Pag. 7

6 Representación gráfica de las ecuaciones

A B Pag. 8

S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4

7 Identificación de Funciones Booleanas

a b c Pag. 9

8 Manipulación Algebraica 1 2 3 4 5 6

9 Mapas de Karnaugh F1 F2 F3 F4

10 8 Formas estándar Pag. 19

11 Problema propuesto

Diagrama de bloques Pag .21

Tabla de verdad Pag. 22

Ecuaciones mínimas SOP y POS por K Map (tres)

Pag .23

Diagramas Pag. 24

Forma And/Nor Pag. 25

Conclusiones Pag. 26

Calendario

Lunes Martes Miercoles Jueves Viernes Sábado Domingo

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 10

21 22 23

24

M1

25

M2

26 27

28

M3

29

M4



3

1.- Sistemas numéricos

a) ¿Selecciona el valor en decimal del siguiente número en hexadecimal 19D(16)

A B C D

514 413 154 415

b) ¿Selecciona el valor en octal del siguiente número en decimal 455(10)

A B C D

409 707 704 470

c) ¿Selecciona el valor en binario del siguiente número en hexadecimal 19F(16)

A B C C

110010111 101101111 110011111 111000100

d) Convierte los siguientes números a decimal y ordénalos de mayor a menor

a) 110011111(2)

b) 636(8)

c) 18F(16)

d) 444(5)

Mayor Menor

e) Efectué las siguientes conversiones sin importar el orden.

4A (11) = N(2) = N(5) = N(7) = N(16)

N11 N2 N5 N7 N16

4A



4

2 Resumen conceptual

Con el propósito de recordar las definiciones de los términos y conceptos utilizados en el curso resuelva el siguiente crucigrama.



5

Vertical

1. Operación Booleana de una sola entrada y su propósito es negar.

3. Propiedad del algebra booleana en donde A+B = B+A.

4. Su salida es uno cuando cualquier entrada es cero.

5. Forma matemática en donde se expresan varios miniterminos Suma de Productos

7. Dicho de un instrumento de medida: Que la representa mediante variables continuas, análogas a las magnitudes correspondientes.

8. La salida es cero cuando cualquiera de sus entradas es cero.

9. Tierra o terminal negativa iniciales.

10. Siglas de Zero Insertion Force

11. La salida es cero solamente cuando todas sus entradas son cero.

13. Opción entre dos cosas, una, otra o ambas.

16. Hardware Description Language iniciales.

19. Sistema de numeración, que tiene como base el número 16.

24. Extensión del archivo de captura esquemática.

26. Representación de una función boolaneana por medio de una tabla de ?

28. Comando para obtener la simulación de un diseño test_?

30. La salida es uno cundo un número impar de variables de entrada es igual a uno.

32. Nombre de proceso en donde se enlazan la captura esquemática con el dispositivo.

33. Modo de escritura numérica en el cual, cada dígito posee un valor diferente que depende de su posición relativa. Notación?

34. Nombre del programa con el que se realiza la captura esquemática.

36. Diodo emisor de luz iniciales en inglés.

40. Recurso para comprobar el buen funcionamiento de un diseño antes de implementarlo físicamente.

41. Términos algebraicos que tengan las mismas letras y con igual exponente.

43. Teorema que establece que AB+AĆ+BC = AB+AĆ.

Horizontal

2. Es una técnica matemática, que consiste la descomposición de una expresión en factores.

6. Propiedad del algebra booleana en donde A(B C) = (A B) C.

12. Reducir la ecuación lo más posible.

14. Extensión del archivo JEDEC con el cual programaos el dispositivo.

15. Programmable Logic Devices, dispositivo logico programable

17. Advanced Boolean Expression Language (iniciales).

18. Nombre del creador del algebra booleana

20. Sistema numérico de base diez.

21. Terminal de un circuito integrado en inglés.

22. Procedimiento gráfico para la simplificación de funciones Booleanas mapa de ?.

23. Forma matemática en donde se expresan varios maxiterminos Productos de Suma.

25. Extensión del archivo de texto para la simulación.

27. Procedimiento que se sigue en las ciencias para hallar la verdad y enseñarla.

28. Voltaje de Corriente Continua iniciales

29. Sistema numérico compuesto de dos elementos.

31. Matriz Lógica Genérica

35. Sistema de numeración Posicional: Que tiene como base el número ocho.

37. Joint Electron Device Engineering Council

38. Su salida es cero cuando cualquier entrada es uno.

39. Era de la Información y las Telecomunicaciones, 'Era ?.

40. Conjunto de cosas que relacionadas entre sí ordenadamente contribuyen a determinado objeto.

42. Nombre del creador del teorema de D' Morgan.

44. Confirmar la veracidad o exactitud de algo.

45. Es la forma de identificar una operación booleana en un diagrama esquemático.

46. Considerado como el creador de la era digital Claude E. ?

47. Circunstancia para que un evento ocurra.

48. Término producto (AND) que contiene todas las variables de la función ya sea en su forma normal (afirmada) o complementada. (Negada)



6

3.- Identidades

Obtenga la Ecuación y el Valor de la salida para las siguientes identidades

Ecuación Valor de salida

Ejemplo

A + B + A’ 1

1

(A + B’ + C + 0’)’

2

3

4

5

6



7

4.- Operadores Lógicos

Considerando las operaciones And, Or, Nand, Nor y Exor todas ellas de tres

entradas resuelva lo siguiente:

a) Si las entradas son A=0, B=0 y C=0. Que operadores tendrán la salida igual a

uno:

A b c d

Nand y OR And y Nor Nor y Nand Nand y Exor

b) Si solo una de las tres entradas A, B o C toma el valor de uno:

A b c d

Nand, And y Exor And, Nor y Exor Nand, Or y Exor Nor, Or y Exor

c) Si dos de las tres entradas A, B o C toma el valor de uno:

A b c d

Or y Exor And y Exor Nand, y Or And y Or

d) Si las tres entradas A, B o C toman el valor de uno A=1, B=1 y C=1:

A b c d

Or y Exor, Nand And, Exor y Or Nand, Or y Exor And y Or y Nor

5.- Operaciones Booleanas.

Identifique la operación y dibuje el símbolo correspondiente a cada una de las siguientes aseveraciones:

Símbolo

a La Salida es Alta solamente cuando sus tres entradas son Bajas.

B La Salida es Baja cuando cualquiera de sus cuatro entradas es Baja

c La Salida es Alta solamente cuando sus dos entradas son diferentes



8

6.- Representación gráfica de las ecuaciones

Considere en los siguientes diagramas de tiempos las entradas A, B y C y S1, S2,

S3, y S4 como salidas, determine a que función booleana corresponde cada una de las

salidas mencionadas, tome en cuenta que las entradas no están en orden numérico.

Ejemplo:

S1 = A’ + B’ + C

S2 = A B C

S3= A’ B’ C’ o ( A+B+C)’

S4 = A’B’C’+ A’BC’+ AB’C+ ABC’ o C’

S1 __________________________

S2 __________________________

S3___________________________

S4 __________________________

S1 __________________________

S2 __________________________

S3___________________________

S4 __________________________



9

7 Identificación de funciones Booleanas

Seleccione la respuesta correcta de las siguientes proposiciones:

a) La función booleana F(x,y,z) =∑m (0, 2, 3, 7) puede ser expresada por:

x’y’z’ + x’yz’ + x’yz

x’y’z’ + x’yz’ + xyz

x’z’ + yz

x’z + yz’

b) .- La función F(A, B,C) = (A+B)(A’+C)(B+C) es igual a:

(A+B)(A+C’)

(A+B)(A’+C)

(A+B)(A’+C’)

(A+B’)(A’+C)

c) .- La función F(X,Y) = X’ + X Y’ es igual a:

Y’ + X’ Y

Y + X Y’

X + X’ Y

X’ + X Y



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8. - Manipulación algebraica

Recursos para la minimización de funciones Booleanas

Por medio de la manipulación algebraica se puede simplificar una Función Booleana y obtener una mínima expresión que contenga menos términos o menos variables que la función original, para reducir así la complejidad del circuito a implementar, los recursos disponibles de este método algebraico se listan a continuación:

a) Identidades de los operadores. b) Factorización para la minimización. c) Duplicando un término ya existente d) Propiedad Distributiva. e) Teorema del Consenso. f) Teorema de D´Morgan. g) Equivalencias de Exor y Exnor en la forma AON (And, Or y Not).

b).- Factorización para la minimización, se efectúa entre dos términos semejantes y cuando solo cambia una variable y esta variable se elimina.

B A + B A’= B (A+A’)= B

c).- Propiedad Distributiva

X+YZ = (X+Y) (X+Z) X(Y+Z)= X Y + X Z

e).-Teorema de D´Morgan

And AB = (A´+B’)’ And por Nor negando las entradas

Nor (A+B) = A’ B’ Nor por And negando las entradas

Or A+B = (A’ B’)’ Or por Nand negando las entradas

Nand (AB)’ = A’+ B’ Nand por Or negando las entradas

f).- Equivalencias del Exor y Exnor

A B = A’ B + A B’ (A B)’ = A’ B’ + A B



11

Obtenga la mínima expresión de los siguientes problemas por medio de

manipulación algebraica y compruebe el resultado con la solución propuesta.

1 Resultado

A’ + B’ + C + D

Procedimiento:

2 Resultado

F (A, B, C, D) = (A’+B+C’+D’)(A+B+C)(A+C+D’)(C’D’)’ A C ’D+ B C + C D’+A’ C

Procedimiento



12

3 Solución

A’B’C+(A+B+C’)’+A’B’C’D A’ B’ (C + D)

Procedimiento

4 Solución

F(X,Y,Z) = X’ Y’ Z’ + X’ Y’ Z+ X’ Y Z’ + X’ Y Z +X Y Z X´+ Y Z

Procedimiento



13

5 Solución

Z= XY’+X’Y’Q = Y’ (X+Q)

Procedimiento

6 Solución

a´bć + a’ c d’ + b d a’ c + b d

Procedimiento



14

9.- Mapas de Karnaugh

Simplifique las siguientes funciones por mapas de Karnaugh obteniendo la mínima

expresión en las en las formas SOP (agrupando unos) y POS (agrupando ceros) y

compruebe sus resultados por medio del software LogicAid.

F1 (A,B,C,D) = m ( 2, 5, 7, 13, 15)



15

F2 (A,B,C,D) =m ( 2, 3, 7, 11, 15)



16

F3 (A,B,C,D) =A’ B + B’ C’ D’ + A C’ D + A C



17

F4 (A,B,C,D) = (B + D’ ) ( A’ +B’ +C )( A +B +C)( B +D)

I



18

Identifique cada uno de los resultados con los obtenidos en los Mapas

anteriormente resueltos

F? Resultados SOP y POS

A C D + A'B D + A' B' C D'

B D' + B'D + A B' + B'C'

A C + A D + B'C'D' + A'B

A'B D + A C D + A' B' C D'

A B' + B C + B D + A'C'D'

B C + A'B

B D' + B'D + A D' + C'D'

(A'+C)(A'+D)(B'+D)(A+B+D')(C+D)

(B'+ D') (A + B + C'+ D)

(A'+B'+C+D)(A+B+C')(A+B+D')

(B+C)(A'+C)(A'+D)(B'+D)(A+B+D')

(A+B+D') (A'+B'+C+D)(A+B+C')

C D + A' B'C

B D' + B'D + A B' + B'C'

B (A'+ C )

C (A'+ D ) (B'+ D )

B D' + B'D + A D' + C'D'

(A + B + C'+ D) (B'+ D')



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10 Las ocho formas estándar

Actividad: Obtenga las ecuaciones mínimas y el diagrama en las formas estándar

And/Or, Or/And y And/Nor de la siguiente función:

a).- FX (A, B, C)= (A +C) (C + B) (A’ + B)

Forma Ecuación Mínima Diagrama

And/Or

Or/And

And/Nor



20

11.- Problema propuesto

Diseñe un sistema electrónico digital para controlar el llenado de un tanque de agua.

Se dispone de 2 sensores ubicados a distintos niveles, N1 inferior, N2 superior, estos presentan un nivel lógico “1” a su salida cuando les toca el agua, además hay una válvula de consumo cuya posición también es V=1 válvula abierta y V=0 cerrada. También se cuenta con un interruptor principal P de modo que P=1 el sistema esta encendido y P=0 el sistema está totalmente apagado.

Para el llenado del tanque se dispone de 2 bombas A y B,

El llenado del tanque debe hacerse de la siguiente manera:

a) Si el nivel del agua está por debajo de los dos sensores, deben funcionar ambas bombas.

b) Si el nivel del agua está entre sensores y la válvula está abierta, deben funcionar ambas bombas.

c) Si el nivel del agua está entre sensores y la válvula está cerrada, sólo debe funcionar la bomba A.

d) Si el nivel llega al sensor superior (tanque lleno), deben estar ambas bombas apagadas.

e) En el caso que se detecte solo agua en el sensor superior N2 las bombas se apagaran y activara una señal de Alarma Al.

Para este diseño obtenga:

1.- El Dibujo del Diagrama de bloques



21

2.- La tabla de verdad.

Entradas Salidas

m P N2 N1 V AL BA BB

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15



22

3 .- Las Ecuaciones Mínimas

.Para cada una de las tres salidas obtenga las ecuaciones mínimas SOP y POS utilizando mapas de Karnaugh.



23

4.- Diagrama esquemático

Dibuje el diagrama esquemático de los dos resultados mínimos obtenidos.



24

5.- Las ecuaciones Mínimas

Obtenga las ecuaciones y dibuje los Diagramas de la forma estándar And/Nor partiendo de los resultados mínimos SOP y POS.



25

12.- Conclusiones de la actividad



26

Formulario

1.- Sistemas numéricos

Métodos:

N(x) →N(10) Multiplicar por la Base y Sumar (para números enteros)

N(x) →N(10) Fórmula General (preferentemente para números con decimales)

N(10) →N(X) Residuos (para números enteros)

N(10) →N(X) Extracción de potencias (preferentemente para números con decimales)

N(2) ↔N(8) O N(2) ↔N(16) Múltiplo

2.- Algebra Booleana a).- Identidades

AND OR

A A=A A+ A=A

A 0 =0 A +0 =A

A 1 =A A +1 =1

A A’ =0 A + A’ =1

b).- Factorización para la minimización Se efectúa entre dos términos semejantes y cuando cambia solo una variable y

esta variable se elimina: A B C D+ A’ B C D= B C D (A +A’)= B C D

c).- Duplicando un término ya existente A+A=A,

AB’+ AB’+ AB’= AB’ d).- Propiedad Distributiva

X+YZ = (X+Y) (X+Z) X(Y+Z)= XY+XZ

d).-Teorema del consenso

And/Or Or/And

AB+A’C+BC = AB + A’C (A+B)(A’+C)(B+C)= (A+B)(A’+C)



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f).-Teorema de D´Morgan

And AB = (A´+ B’)’

And por Nor negando las entradas

Or A+B = (A’ B’)’

Or por Nand negando las entradas

Nor (A+B)’ = A’B’

Nor por And negando las entradas

Nand (A B)’ = A’+ B’

Nand por Or negando las entradas

g).- Igualdades del Exor y Exnor

A B = A’ B + A B’

(A B)’ = A’ B’ + A B



28

h) Mapas de Karnaugh

Reglas para el uso del Kmap

1.- Formar el menor número de grupos

2.- Cada grupo lo más grande posible

3.- Todos los unos deberán de ser agrupados

4.- Un solo uno puede formar un grupo

5.- Casillas de un grupo pueden formar parte de otro grupo

Grupo = Unos adyacentes enlazados (paralelogramos) en una cantidad igual a

una potencia entera de dos, eje. (1, 2, 4, 8,…).

Dos Variables Tres Variables Cuatro Variables

4.- Las ocho formas estándar

Minitérminos (SOP) Maxitérminos (POS)

And/Or

Or/And

Nand/Nand Nor/Nor

Or/Nand And/Nor

Nor/Or Nand/And



29

Ejemplo: obtener las formas And/Or, Or/And y And/Nor de la siguiente función

Booleana:

m A B C S

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

2 0 1 0 1

3 0 1 1 0

4 1 0 0 1

5 1 0 1 1

6 1 1 0 0

7 1 1 1 1

Obteniendo las ecuaciones a partir de la tabla de verdad:

a) Miniterminos (unos de FS) en las formas canónica y SOP (And/Or)

b) Maxitérminos (ceros de FS) en sus formas canónica y POS (Or/And)

a) b)

FS (A,B,C) =∑m(1,2,4,5,7)

FS (A,B,C) = A’B’C+A’BC’+AB’C’+AB’C+ABC

FS (A,B,C) = πm(0,3,6)

FS (A,B,C) =(A+B+C)(A+ B’+ C’)(A’+B’+C)



30

También se pueden expresar las formas SOP y POS en forma simplificada por medio de mapas de Karnaugh (o LogicAid)

FS (A,B,C) = A C + A B’ +A’B C’ + B’C FS (A,B,C) =(A’+B’+C)(A+B’+C’)(A+B+C)

Para obtener la forma And/Nor partimos de la forma Or/And aplicando el teorema de

D’morgan en los dos niveles como se indica a continuación.

1.- Or por Nand negando las entradas

2.- And por Nor negando las entradas

3.- Se cancelan los negados al mismo nivel

(ABC’)’(A’BC)’ (A’B’C’)’ [(ABC’)’’+(A’BC)’’+ (A’B’C’)’’]’ [(ABC’)+(A’BC)+ (A’B’C’)]’

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