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ACTIVIDAD Nº 01 SISTEMA DE UNIDADES. FACTORES NUMÉRICOS DE

CONVERSIÓN. ECUACIONES DIMENSIONALES

1. Las computadoras usan comúnmente muchos millones de transistores, cada transistor ocupa un área de aproximadamente mmmx 1266 101010 −−− = ¿Cuántos de estos transistores pueden acomodarse en un chip de silicio de 21cm ? Las computadoras de generaciones futuras pueden explotar un acomodo tridimensional de los transistores. Si cada transistor tiene un espesor de

m710− ¿Cuántos transistores podrían acomodarse en un cubo de silicio de 31cm ?

2. Los núcleos de todos los átomos tienen aproximadamente la misma densidad de masa. El núcleo de un átomo de cobre tiene una masa de kgx 251006.1 − y un radio de mx 15108.4 − . El

núcleo de un átomo de plomo tiene una masa de kgx 25105.3 − . ¿Cuál es su radio? El núcleo de

un átomo de oxígeno tiene una masa de kgx 26107.2 − . ¿Cuál es su radio? Suponga que los núcleos son esféricos.

3. Las unidades inglesas usan la libra ordinaria, llamada también libra avoirdupois, para especificar la masa de la mayoría de clases de cosas; sin embargo, a menudo se usa la libra troy para medir piedras preciosas, metales preciosos y medicinas donde 1 libra troy = 0.82286 libras avoirdupois. Si adoptamos estas libras diferentes, ¿cuántos gramos hay en una libra troy de oro?, y ¿cuántos en una libra avoirdupois de plumas?

4. La pica es una unidad de longitud que usan los impresores y los diseñadores de libros; 1 pica

6

1= pulgada, que es la distancia estándar entre una línea de dos tipos producida en una

máquina de escribir y la siguiente línea (a reglón seguido). ¿Cuántas picas de longitud y

anchura mide una hoja estándar de papel de 11 pulgadas de largo y 2

18 pulgadas de ancho?

5. Cuando se diluye una muestra de sangre humana hasta 200 veces su volumen inicial y se

examina microscópicamente en una capa de 0.10 mm de espesor, se encuentra un promedio de 30 glóbulos rojos por cada 100 x 100 µm² (a) ¿Cuántos de estos glóbulos rojos hay en un mm3 de sangre? (b) Los glóbulos rojos de la sangre tienen un promedio de vida de 1 mes y el volumen de sangre de un adulto es de aproximadamente 5 litros. ¿Cuántos glóbulos rojos se generarán cada segundo en la médula ósea de un adulto?

6. Cuando se diluye una muestra de sangre humana hasta 200 veces su volumen inicial y se examina microscópicamente en una capa de 0.10 mm de espesor, se encuentra un promedio de 30 glóbulos rojos por cada 100 x 100 µm² (a) ¿Cuántos de estos glóbulos rojos hay en un mm3 de sangre? (b) Los glóbulos rojos de la sangre tienen un promedio de vida de 1 mes y el volumen de sangre de un adulto es de aproximadamente 5 litros. ¿Cuántos glóbulos rojos se generarán cada segundo en la médula ósea de un adulto?

7. Cuando dos placas de vidrio húmedas se mantienen juntas, al sumergirlas en agua se observa que el agua asciende hasta una altura h dentro del espacio entre las dos placas. Esta altura está relacionada con la distancia d entre las placas; la tensión superficial σ ; la densidad del

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fluido ρ y el ángulo de contacto φ , a través de la expresión: dg

hρ

φσ cos2= . Determine el

espaciamiento entre las placas, si se tiene que para una altura de 49 pies el ángulo de contacto es 0° y la tensión superficial del agua es de 5x10-3 lbf/pie ( =aguaρ 1 g/mL; =g 32.2

pies/s2)

8. Una partícula de radio 0.04 pulg, que se desplaza en el seno de un fluido (agua), desarrolla una potencia motriz de 6.711x10-3 HP. Determine la velocidad de la partícula en pies/s. La viscosidad del agua es 0.105x10-2 kg.m-1.s-1 (Observación: La potencia motriz se utiliza para vencer la resistencia hidrodinámica al movimiento. Al utilizar la Ley de Stokes para describir la fuerza de resistencia resulta que la potencia necesaria para moverse a velocidad v , es:

26 RvP πµ= )

9. El ascenso capilar tiene un gran interés en el transporte de fluidos en los seres vivos. Este efecto es proporcional a la tensión superficial σ . Mostar mediante el análisis dimensional, que

el ascenso o descenso es proporcional a gr

hρσ

≈ , siendo r el radio del capilar, ρ la densidad

del líquido y g la aceleración de la gravedad [Observación: La tensión superficial se define como la fuerza por unidad de longitud (N/m)]

10. Una gota puede vibrar alrededor de su forma esférica de equilibrio. Estos movimientos pueden caracterizarse mediante la densidad ρ , la tensión superficial σ del líquido que la compone, y del radio R de la gota. Demostar que las frecuencias deben tener la forma:

2

1

3

≈

Rf

ρ

σ [Observación: La tensión superficial se define como la fuerza por unidad de

longitud (N/m)]

11. Nuestro Sol tiene un radio de mx 8100.7 y una masa de kgx 30100.2 . ¿Cuál es la densidad promedio? Exprese su respuesta en gramos por centímetro cúbico.

12. Los púlsares o estrellas de neutrones tiene comúnmente un radio de 20 km y una masa igual a la masa del Sol )100.2( 30kgx ¿Cuál es la densidad promedio de un púlsar como estos? Exprese su respuesta en toneladas métricas por centímetro cúbico.

13. Fuerza de arrastre: Cuando un cuerpo esférico se mueve en un fluido a velocidad elevada, la fuerza de resistencia )(F , es proporcional al cuadrado de la velocidad )( 2v . Deducir mediante análisis dimensional la dependencia de esta fuerza con la viscosidad µ ; densidad ρ del líquido; y radio r de la esfera.

14. Para grandes velocidades la fuerza de arrastre, viene dado por: fxa AvCF2

2

1ρ= , donde xC

representa el Coeficiente de arrastre, y fA el Área frontal en la que el flujo de fluido incide.

Determine el valor de este coeficiente de resistencia para un objeto que se mueve en el agua (Densidad del agua = 1 g/cm3), y desarrolla sólo un 60% de su potencia útil: 0.54 HP. La velocidad es de 500 cm/s y su sección máxima en la dirección del movimiento es 15.5 pulg2. (Observación: La potencia mecánica para un movimiento uniforme se define como el producto de la Fuerza por la Velocidad)

15. Ley de Poiseuille: La pérdida de carga )(A para un Flujo de Fluidos en una tubería, es proporcional al caudal (Q ). Deducir mediante análisis dimensional la dependencia de ésta

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pérdida de carga con la viscosidad µ ; densidad ρ del líquido; y radio r del tubo cilíndrico.

[Observación: l

PA

∆= , donde =−=∆ 21 PPP Caída de presión, y =l Longitud de la tubería]

16. El flujo de un fluido laminar en una tubería, establece que la pérdida de carga viene

determinado por:

=

4

8

r

QA

µπ

, donde Q representa el caudal, µ la viscosidad y r el radio

de la tubería. Determine el valor de este radio para un fluido que desarrolla una velocidad de 1060.3 l/s. La pérdida de carga es de 89.58 Pa/m y la Viscosidad del agua es de 0.105x10-1 g.cm-1s-1; (Observación: 1l = 103 cm3)

17. La ecuación empírica: RTbn

V

V

naP =

−

+

2

, donde: P es la Presión, V es el volumen y

n el número de moles, representa la ecuación de estado de muchos gases ideales. Determine las dimensiones y unidades de las constantes a y b

18. El Efecto Fotoeléctrico es descrito por la ecuación: 20

2

1)( mvffh =− , donde 0f es la

frecuencia umbral del material, m es la masa del electrón y v su velocidad. Determine la dimensión y la unidad de h , denominada constante de Planck.

19. El aislante térmico usado en construcción suele especificarse en términos de su valor R ,

definido como k

d, donde d es el espesor del aislante en pulgadas y k es la conductividad

térmica. Por ejemplo, 3.0 pulg de espuma plástica tendría un valor R de 3.0/0.30 = 10, donde, en unidades inglesas, 30.0=k Btu.pulg/(pies2.h.ºF). Este valor se expresa como

10−R . ¿Qué espesor de (a) Espuma de poliestireno y (b) Madera pino, daría un valor R de 10−R ?, sí: kEspuma de poliestireno = 1.0x10-5 kcal/(m.s.ºC); kMadera pino = 2.9x10-5 kcal/(m.s.ºC)

[Observación: La transferencia de calor por contacto directo entre objetos que están a diferentes temperaturas se denomina conducción de calor. La tasa de flujo de calor por

conducción está dada por: d

TkA

t

Q ∆=

∆

∆]

20. El aislante térmico usado en construcción suele especificarse en términos de su valor R ,

definido como k

d, donde d es el espesor del aislante en pulgadas y k es la conductividad

térmica. Por ejemplo, 3.0 pulg de espuma plástica tendría un valor R de 3.0/0.30 = 10, donde, en unidades inglesas, 30.0=k Btu.pulg/(pies2.h.ºF). Este valor se expresa como

10−R . ¿Qué espesor de (a) aglomerado y (b) tabique, daría un valor R de 10−R ?, sí: kAglomerado = 1.4x10-5 kcal/(m.s.ºC); kTabique = 17x10-5 kcal/(m.s.ºC) [Observación: La transferencia de calor por contacto directo entre objetos que están a diferentes temperaturas se denomina

conducción de calor. La tasa de flujo de calor por conducción está dada por: d

TkA

t

Q ∆=

∆

∆]

21. [A] En la biblia, Noé debe construir un arca de 300 cúbitos de largo, 50.0 cúbitos ancho y

30.0 cúbitos de altura. Los registros históricos indican que un cúbito mide media yarda. (a) ¿Qué dimensiones tendría el arca en metros? (b) ¿Qué volumen tendría el arca en metros cúbicos? Para aproximar suponga que el arca es un paralelepípedo. [B] La densidad del mercurio metálico es de 13.6 g/cm3. (a) Exprese esta densidad en kg/m3. (b) ¿Cuántos kilogramos de mercurio se necesitarían para llenar un recipiente de 0.250 L?

22. [A] El túnel del Canal, o “Chunnel”, que cruza el canal de la Mancha entre Gran Bretaña y Francia tiene 31 mi de longitud. (En realidad, hay tres túneles individuales.) Un tren de

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transbordo que lleva pasajeros por el túnel viaja con una rapidez media de 75 mi/h en promedio, ¿cuántos minutos tarda el tren en cruzar el Chunnel en un sentido? [B] El material sólido más ligero es el aerogel de sílice, cuya densidad típica es de aproximadamente 0.10 g/cm3. La estructura molecular del aerogel de sílice suele incluir 95% de espacio vacío. ¿Qué masa tiene 1 m3 de aerogel de sílice?

23. La distancia entre dos átomos o moléculas contiguas en una sustancia sólida, puede estimarse calculando dos veces el radio de una esfera con volumen igual al volumen por átomo del material. Calcule la distancia entre los átomos contiguos en (a) Hierro y (b) sodio. La densidad de ambos son 7870 kg/m3 y 1013 kg/m3 respectivamente; la masa de un átomo de hierro es 9.27x10-26 kg, y la masa de un átomo de sodio es 3.82x10-26 kg.

24. Los granos de arena fina de las playas de California tienen un radio promedio de 50 mµ . ¿Qué masa de granos de arena tendrá un área superficial total igual a la de un cubo exactamente 1 m en un borde? La arena se compone de dióxido de silicio, 1 m3, el cual tiene una masa de 2600 kg.

25. Durante la noche, una inhalación contiene cerca de 0.3 L de oxígeno (2

O , 1.43 g/L a temperatura y presión ambiente). Cada exhalación contiene 0.3 L de dióxido de carbono (

2CO , 1.96 g/L a temperatura y presión ambiente). ¿Cuánto peso en libras se pierde con la

respiración en una hora de sueño?

26. El valor de la aceleración de la gravedad para cualquier latitud φ está dada por:

)0053.01(7807.9 2φseng += m/s2, donde el efecto de la rotación de la tierra, así como el hecho de que la Tierra no es esférica, se han tomado en cuenta. Si se ha establecido oficialmente que la masa de una barra de oro es de 2 kg, determine con cuatro dígitos de precisión su masa en kilogramos y su peso en newton a una latitud de: (a) 0º, (b) 45º, (c) 60º

27. La rapidez con que fluye el calor por conducción entre dos capas paralelas se expresa por la

relación:

2

2

1

1

12 )(

k

L

k

L

TTA

t

Q

+

−=

∆

∆, donde: =Q Calor, =t Tiempo, =T Temperatura, =L Longitud.

Determine la ecuación dimensional de la constante de conductividad )(k

28. La velocidad crítica cv a la cual el flujo de un líquido a través de un tubo se convierta en turbulento, depende de la viscosidad η , de la densidad ρ del fluido, del diámetro D del tubo y de una constante adimensional k . Determine la expresión final a partir de la siguiente fórmula empírica: zyx

c Dkv .ρη=

29. La presión (P) que ejerce un chorro de agua sobre una pared vertical viene dada por la siguiente fórmula empírica: Zyx AdkQP = , siendo: =k Constante numérica; =d Densidad del agua; =A Área de la placa; =Q Caudal =Área x Velocidad. Determinar la expresión final de dicha fórmula.

30. (a) Una muestra de tetracloruro de carbono, un líquido que solía usarse para el lavado en seco, tiene una masa de 39.73 g y volumen de 25.0 mL a 25ºC. Calcule su densidad a esa temperatura. ¿El tetracloruro de carbono flota en agua? (Los materiales menos densos que el agua flotan en ella) (b) La densidad del platino es de 21.45 g/cm3 a 20ºC. Calcule la masa de 75.00 cm3 de platino a esa temperatura. (c) La densidad del magnesio es de 1.738 g/cm3 a 20ºC. Calcule el volumen de 87.50 g de este metal a esa temperatura.