Aktivni filtri

129

Glava 6

AKTIVNI FILTRI

6.1 GRADIVNI BLOKOVI AKTIVNIH RC FILTARA Posmatrajmo linearne, vremenski invarijantne filtre sa koncentrisanim

parametrima. Primarni gradivni blokovi ovakvih filtara su otpornik, kondenzator, kalem i

operacioni pojačavač.

RIV = LsIV = V I Cs=

( )

1 2

0 2 1

0

,in

I I

Z

V A V V A

= =→ ∞

= − → ∞

Sekundarni gradivni blokovi se dobiju kombinovanjem primarnih gradivnih

blokova i njihov broj sve više raste sa napretkom tehnologije.

Analogni filtri

130

6.1.1 Kontrolisani izvori

Naponom kontorlisan naponski izvor (NKNI)

a) invertujući

IRV 11 =

2 2V R I= −

22 1

1

RV V

R= −

Slika 6.1 Naponom kontorlisan naponski izvor (a) blok šema, (b) inverujući, (c) neinverujući

b) neinvertujući

1 1V R I=

( )2 1 2V R R I= +

1 22 1

1

R RV V

R

+=

Aktivni filtri

131

Naponom kontorlisan strujni izvor (NKSI)

Slika 6.2 Naponom kontorlisan strujni izvor (a) blok šema, (b) sa uzemljenim opterećenjem, (c) sa neuzemljenim opterećenjem

a) sa uzemljenim opterećenjem

Uz pretpostavku da je

4231 RRRR = , imamo:

22111 IRIRV +=

( ) 02314 =−+ IIRIR

3 31 2

4 4

R RI I I

R R= −

2422313114 IRRIRRIRRVR +−=

2

11

31

4

R

VIV

RR

RI =⇒=

b) sa neuzemljenim opterećenjem

111 IRV =

( )1312 IIRIR −=

( ) 13

323132 I

R

RRIIRIRR

+=⇒=+

1

11 R

VI =

131

32 VRR

RRI

+=

Analogni filtri

128

Strujom kontorlisan naponski izvor (SKNI) i strujom kontorlisan strujni izvor (SKSI)

Realizacija strujom kontrolisanih izvora se izvodi ubacivanjem otpornika

AR male otpornosti, u granu sa kontrolišućom strujom da se ostvari pad napona, a zatim se realizuju naponom kontrolisani izvori.

Ovo su nerecipročne mreže sa dva para krajeva.

Slika 6.3 Strujom kontorlisan naponski izvor (SKNI) i njegova realizacija, te

strujom kontorlisan strujni izvor (SKSI) i njegova realizacija

6.1.2 Žirator

Žirator je mreža sa dva para krajeva opisana sa

⋅

−=

2

1

2

1

2

1

0

0

V

V

g

g

I

I

i može se realizovati pomoću dva NKSI, kao na slici.

Slika 6.4 Žirator – blok šema i realizacija

Aktivni filtri

129

Pokažimo da mreža na slici zaista predstavlja žirator:

)7( 0

)5(

0

)1( 0

2651

6776

462472

15353

1551

11314431

241

…

…

=++−−=⇒=

−=⇒−=

−=−=⇒=+

=⇒=

+=−=⇒+=

=++−

VRIRIV

IIRIRI

IIIIIIR

VIIRIRI

R

VIRIV

R

VIIIIIII

VRIV

R

VIVVRIV

VVRIRIVVR

VIIIII

R

VIVVRIV

122221

214211

112426

212111

0

0)7(

)5(

0)1(

=⇒=+−+−

=++++−−⇒

++=+=⇒

−=⇒=+++−⇒

⋅

−=

2

1

2

1

01

10

V

V

R

RI

I

Iz rezultujuće matrice vidimo da se radi o žiratoru gdje je R

gg1

21 −== .

Pri realizaciji aktivnih filtara žirator se koristi da zamijeni kalem.

22

12

21

CsVI

gVI

gVI

−=−=

= ⇒

Lssg

CZ

VCs

gI

ICs

gI

ul =

=

=

−=

2

1

2

1

21

Analogni filtri

130

Slika 6.5 Realizacija uzemljenog kelema pomoću žiratora Zbog toga što se žirator realizuje sa uzemljenim krajevima 1’ i 2’ dobili

smo uzemljeni kalem. Tipična realizacija lebdećeg kalema je data na sljedećoj slici.

Slika 6.6 Realizacija lebdećeg kelema pomoću žiratora

Pokažimo da su mreže na Slici 6.6 ekvivalentne: Za drugu mrežu koja prikazuje lebdeći kalem vrijedi:

121

21

LsIVV

II

=−−=

Iz jednačina žiratora za prvu mrežu imamo:

'1 1

`2 1

I gV

I gV

=

= −

'1 2

'2 2

I gV

I gV

=

= − ( )'

2'1

'1

'2

1II

CsVV +−==

( )212211

'212

'2

'1

21

g

CLsI

g

CVVI

g

CsCsVVVgII

II

=⇒

=−⇒−=−=−=+

−=

Aktivni filtri

131

6.1.3 Negativni konvertor impedanse (NIC)

1 2

1 2

1 0

0

V V

I Ik

= ⋅

Slika 6.7 Negativni konvertor impedanse: simbol i šema za odreñivanje ulazne impedanse

Pronañimo ulaznu impedansu negativnog konvertora impedanse:

1 2

1 2

2 2

1 21

1 2

L

L

V V

I kI

V Z I

V V ZZ

I kI k

=== −

= = = −

Negativni konvertor impedanse se može realizovati ka na Slici 6.8.

Slika 6.8 Realizacija negativnog konvertora impedanse Za mrežu na Slici 6.8 vrijedi:

Analogni filtri

132

1 1 2 2

1 2

2 21 2

1 1

R I R I

V V

R RI I k

R R

==

= ⇒ =

te ona zaista realizuje negativni konvertor impedanse.

6.1.4 Generalisani konvertor impedanse

Generalisani konvertor impedanse je mreža sa dva para krajeva opisana

jednačinama:

( )

⋅

−=

2

2

1

1 10

0

I

V

sf

k

I

V

Slika 6.9 Generalisani konvertor impedanse: simbol i šema za odreñivanje ulazne impedanse

Odredimo ulaznu impedansu generalisanog konvertora impedanse

opterećenog impedansom LZ :

( )22

21

21

IZV

sf

II

kVV

L−=

−=

=

⇒ ( )

( ) LZskfZ

I

Vskf

I

VZ

=

−==

1

2

2

1

11

Dakle, ulazna impedansa je proizvod opteretne impedanse i neke

unutrašnje impedanse. ( )sf je impedansna transformaciona funkcija, k se najčešće normalizuje na 1.

Aktivni filtri

133

Na Slici 6.10. je data realizacija generalisanog konvertora impedanse sa

1=k i ( )53

42

ZZ

ZZsf = .

Slika 6.10 Generalisani konvertor impedanse Iz jednačina koje opisuju mrežu se vidi da se zaista radi o generalisanom

konvertoru impedanse:

242

531

13

22

4

5

24

532534

13

233312

21

IZZ

ZZI

IZ

ZI

Z

Z

IZ

ZIIZIZ

IZ

ZIIZIZ

VV

−=

−=

=⇒=

−=⇒−=

=

Ako je 22 RZ = , 33 RZ = , 44 RZ = , sC

Z5

5

1= i ako su sekundarni

krajevi zatvoreni otpornikom 6R imamo sCR

RRRZ 5

3

6421 = . Dakle,

Analogni filtri

134

generalisanim konvertorom impedanse realizujemo uzemljeni kalem

induktivnosti 3

5642

R

CRRRL = , Slika 6.11.

Slika 6.11 Realizacija uzemljenog kalema pomoću generalisanog konvertora

impedanse

6.1.5 Frekvencijski zavisan negativni otpornik (FDN R)

Ovo je mreža sa jednim parom krajeva sa impedansom ( )Ds

sZ2

1= , gdje

je D pozitivna konstanta, dimenzije 2F . U ustaljenom prostoperiodičnom režimu impedansa ( )sZ od FDNR postaje

( )D

jZ2

1

ωω −=

što je ekvivalentno otporniku negativne otpornosti koja zavisi od učestanosti. Realizuje se tako što se primarni krajevi GIC-a opterete kondenzatorom:

Aktivni filtri

135

Slika 6.12 Frekvencijski zavisan negativni otpornik

Za GIC sa 22 RZ = , 33 RZ = , 44 RZ = , sC

Z5

5

1= vrijedi

1 23

1 22 4 5

1 0

0

V VR

I IR R C s

= ⋅ −

1 11

1V I

C s= −

22

2

VZ

I= ( )2 2

2 4 1 5 3

1

/Z

R R C C R s=

Poznato je da se kalemovi veoma teško realizuju u obliku integrisanih kola.

Uzemljeni kalem se može projektovati sa žiratorom i kondenzatorom, bez mnogo problema, ali lebdeći kalem koji se tako realizuje aktivno je veoma nestabilan, osjetljiv i nije mnogo praktičan.

Jedan od načina da se izbjegnu kalemovi u kolu je mehanizam skaliranje impedanse, skalirajućim faktorom s1 . Ovaj metod se svodi na sljedeće: u zadatoj funkciji mreže, koja bi trebalo da se realizuje kao RLC kolo, svaki kalem se zamijeni otpornikom otpornosti [ ]ΩL , svaki otpornik kondenzatorom

kapacitivnosti [ ]FR1 , a svaki kondenzator sa FNDR impedanse ( )Cs21 . Tako dobijamo mrežu bez kalemova. Prenosne funkcije transmitanse napona ili struja su bezdimenzionalne veličine tako da ovo skaliranje ne utiče na oblik prenosne funkcije, tj. polazna prenosna funkcija i prenosna funkcija ovako dobijene mreže su jednake.

Analogni filtri

136

6.1.6 Integrator

Za invertujući integrator sa slike 6.13 vrijedi:

Slika 6.13 Integrator

01

0 =+

=

VICs

RIVi

⇒ iVRCs

V1

0 −=

za s

VVRC i−=⇒= 01

6.1.7 Diferencijator

Za invertujući diferencijator sa slike 6.14 vrijedi:

Slika 6.14 Diferencijator

Aktivni filtri

137

0

1

0 =+

=

VRI

ICs

Vi ⇒ iRCsVV −=0

za isVVRC −=⇒= 01

6.1.8 Sabirač

Ovo je mreža sa više izvoda, čiji je izlaz težinska suma ulaza.

Slika 6.15 Sabirač

1

1

0

0

0

mk

k k

nk

k k

f

V VI

R

E V

r

V V R I

=

=

−=

− =

− + =

∑

∑

Označimo ∑=

=n

k krg

1

1, ∑

==

m

k kRG

1

1, pa je ∑∑

===⇒=

n

k k

kn

k k

k

gr

EVgV

r

E

11

,

GVR

VIGVI

R

V m

k k

km

k k

k −=⇒+= ∑∑== 11

.

Analogni filtri

138

k

m

k k

fk

n

k k

fk

m

k k

fk

n

k k

fn

k k

kf V

R

RE

gr

GRV

R

RE

gr

GR

gr

EIRVV ∑∑∑∑∑

=====−

+=−+=−=

111110

1

Ako je 0=nE , tj. ako je posljednji otpornik vezan za masu kao na

Slici 6.16, što je često slučaj, imamo:

k

m

k k

fk

n

k k

f VR

RE

gr

GRV ∑∑

=

−

=

−+

=1

1

10

1

0 1 2 11 2 1

1f f fR R R GV V V E

R R gr

+= − − + ,

21

11

rrg += ,

21

11

RRG +=

Slika 6.16 Jedna izvedba sabirača

Aktivni filtri

139

6.2 REALIZACIJE AKTIVNIH FILTARA

Aktivni filtri se mnogo koriste u komunikacionim sistemima, TV, radiju,

telefoniji, primarno u niskofrekvencijskoj oblasti aplikacija gdje primjena kalemova nije pogodna zbog ogromne veličine i lošeg kvaliteta.

Kao i pasivni, i aktivni filtri aproksimiraju željenu funkciju prenosa

( ) ( )( ) 01

11

011

1

bsbsbs

asasasa

sD

sNsH

nn

n

mm

mm

++++++++== −

−

−−

⋯

⋯, nm≤

koja se može predstaviti preko proizvoda prenosnih funkcija prvog i drugog reda

( )0

01

i

iii bs

asasH

++= i ( )

012

012

2

ii

iiii bsbs

asasasH

++++=

Postoje dva pristupa realizaciji aktivnih filtara:

1. direktni metod, 2. kaskadni metod. Direktna realizacija podrazumijeva da se realizuje kompletna funkcija. To

je moguće izvesti na nekoliko načina. Jedan od njih se zasniva na postupku koji se koristi pri realizaciji pasivnih mreža. Od ostalih metoda, zadržaćemo se na metodi varijabli stanja.

Kaskadnim metodom se realizuje funkcija prenosa kaskadnim vezivanjem sekcija prvog i drugog reda.

6.2.1 DIREKTNA REALIZCIJA PREKO PASIVNIH MREŽA

Željena funkcija prenosa se prvo razmatra kao da će biti realizovana

pasivnim mrežama, a zatim se koristi simulacija induktiviteta ili metod skaliranja impedanse.

Analogni filtri

140

Simulacija induktiviteta

Svaki kalem u pasivnoj mreži se realizuje preko kombinacije žirator-kondenzator. Kao element imamo ljestvičasti filtar male strukturalne osjetljivosti. U praksi se primjenjuje samo ako su svi kalemovi uzemljeni.

Primjer: Realizovati VP Butterworth-ov filtar petog reda sa graničnom učestanošću

sKrad /1 zatvoren sa obe strane otpornicima Ω= KRs 1 i Ω= KRe 1 .

Prvo realizujemo normalizovani pasivni NP (NP prototip) Butervortov

filtar petog reda Darlingtonovom procedurom:

Slika 6.17 NP prototip Frekvencijskom transformacijom NP u VP dobijamo filtar na Slici 6.18:

Slika 6.18 Normalizovani VP filtar

Slika 6.19 VP filtar

Aktivni filtri

141

Primijetimo da su vrijednosti induktiviteta velike, a radi se o tipičnoj operaciji za niske učestanosti. Realizujući kalem preko žiratora i kondenzatora,

odabirajući 310−=g ( [ ]HgCL 2= ) dobijamo aktivni VP filtar prikazan na Slici 6.20.

Slika 6.20 VP aktivni filtar

Druga moguća realizacija kalemova preko GIC ( sCR

RRRZ 5

3

6421 = ) sa

Ω=== KRRR 1342 , i FC µ15 = prikazana je na sljedećoj slici.

Slika 6.21 Aktivni VP filtar

GIC

GIC

GIC

Analogni filtri

142

Metod skaliranja impedanse

Metod skaliranja impedanse se zasniva na dijeljenju svake impedanse

pasivne RLC mreže sa s, što znači da svaki kalem od [ ]HL mijenjamo

otpornikom od [ ]ΩL , otpornik od [ ]ΩR kondenzatorom od [ ]FR/1 , a

kondenzator od [ ]FC sa FDNR od [ ]2FC . FDNR koji se realizuje preko GIC-a čiji su primarni krajevi zatvoreni kondenzatorom je uzemljena komponenta, pa se ovaj metod može koristiti samo ako su svi kondenzatori uzemljeni.

Primjer: Realizovati NF Butterworth-ov filtar petog reda sa graničnom učestanošću

od sKrad /1 . NP Butervortov filtar petog reda se realizuje kao pasivni filtar, a zatim se

skaliranjem impedanse sa s dobije mreža bez kalemova, sa FDNR. Da bismo dobili razumljive vrijednosti elemenata uvodi se dodatno skaliranje impedanse sa 610 . Dobijena mreža je prikazana na Slici 6.22.

Slika 6.22 Aktivni NP Butervortov filtar petog reda realizovan pomoću FDNR

Često je nepoželjno da se na izlazu mreže nalazi kondenzator. Da bi ovo

izbjegli, posmatrajmo mrežu na Slici 6.23, odnosno GIC opterećen na sekundarnim krajevima sa LZ .

Aktivni filtri

143

Slika 6.23 GIC opterećen sa LZ

Ulazna impedansa ove mreže je Lul ZZZ

ZZZ

53

42= .

Pretpostavimo da su elementi GIC-a: 22 RZ = , 33 RZ = , sCZ 44 1= ,

55 RZ = , tako da je ulazna impedansa

Lul Zs

kZ = ,

453

2

CRR

Rk = .

Sada je jasno da kondenzator možemo realizovati tako da sekundarne krajeve GIC-a sa Slike 6.23 opteretimo otpornikom.

Analogni filtri

144

Slika 6.24 Realizacija kondenzatora putem GIC-a

Za realizaciju kondenzatora FC 6101 −⋅= treba biti

6

2

543 101 −=⇒=L

L RR

RCRkRC .

Slika 6.25 Aktivni NP Butervortov filtar petog reda realizovan pomoću FDNR i opterećen otpornikom

Lul ksZZ = , 5

432

R

RCRk =

22 RZ = , 44 RZ = , 55 RZ = , sCZ 33 1= LLul ksZZsR

RCRZ =⋅=⇒

5

432

Aktivni filtri

145

6.2.2 DIREKTNA REALIZACIJA PREKO VARIJABLI STANJA

Posmatrajmo kolo na slici, gdje svi označeni naponi predstavljaju napone

čvorova prema masi. Pretpostavimo da je n neparan cio broj. Ako je nparno, tada se otpornik nR vezuje na čvor B umjesto na čvor A.

Slika 6.26 Struktura aktivnog filtra koja se dobije metodom varijabli

stanja

Jednačine koje opisuju kolo su:

( ) ( ) nknkn

kk VRCsRCsVV −−+ −=−= 11 , 1,,3,2,1 −= nk …

RCC

R

V

R

V

R

V

R

V

R

VsVC

R

V

R

V

R

VRV

n

ni

a

a

n

naa

=

=

++++++

+++−=

−

−

1

3

3

1

1

011

1

1

4

4

2

2

0⋯

⋯

Na osnovu toga je

( ) ( ) ( )0

1 2

1 2

nn n n

i n

V G

V RCs G RCs G RCs G− −= −

+ + + +⋯,

dalje je i

i RG

1= , ni ,,2,1,0 …= .

Analogni filtri

146

Primijetimo da funkcija prenosa ne zavisi od aR , tako da aR može

poprimiti proizvoljnu konačnu vrijednost različitu od nule. Ako nV uzimamo kao izlazni napon, tada kolo na slici predstavlja NF filtar

koji možemo koristiti za realizciju Butterworth-ovih, Chebyshev-ljevih ili Bessel-ovih NF filtara. Ali, ako posmatramo relacije izmeñu kV , nk ,,2,1 …= i

iV imamo

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) n

nnn

knkn

i

k

GRCsGRCsGRCs

RCsG

V

VsH

++++−−== −−

−−∧

⋯2

21

1

01,

kada je n neparno. Ako je n parno, nR se vezuje na čvor B i rezultujuća prenosna funkcija je

( ) ( )( ) ( ) ( ) n

nnn

knkn

i

k

GRCsGRCsGRCs

RCsG

V

V

++++−−= −−

−−

⋯2

21

1

01, nk ,,2,1 …= .

Primijetimo da su nazivnici identični za svako nk ,,2,1 …= . Prema tome,

da bi smo realizovali proizvoljnu funkciju

( )01

11

011

1

bsbsbs

asasasasH

nn

n

mm

mm

++++++++= −

−

−−

⋯

⋯

potrebno je dodati samo kolo za sumiranje.

Aktivni filtri

147

Primjer: Realizovati filtar sa jednolikim oscilacijama u PO sa sljedećim zahtjevima:

1. propusni opseg do s

krad1

2. maksimalno slabljenje unutar PO je 0.1dB

3. minimalno slabljenje za s

krad6≥ω je dB40 .

Rješenje: Postavljene zahtjeve zadovoljava Čebiševljev filtar sa 3=n , pa je

prenosna funkcija željenog filtra data sa

( ) ( ) ( ) ( ) 6381.1106296.2109388.110

6381.132333 +++

=sss

sH

Jednostavnim poreñenjem sa prenosnom funkcijom filtara koji se realizuju metodom varijabli stanja, uz 3=n imamo:

31 10 FC RC −= =

6381.10 =G ili 6105.00 =R Ω

9388.11 =G ili 5158.01 =R Ω

6296.22 =G ili 3803.02 =R Ω

6381.13 =G ili 6105.00 =R Ω

Da izbjegnemo veliko rasijanje vrijednosti otpornika, izaberimo Ω= 5.0aR , Ω= 5.0R , FC 3102 −⋅= .

Rezultujuće kolo je prikazano na Slici 6.27, a na Slici 6.28 je kolo koje se dobije skaliranjem impedanse faktorom 10K. Napomenimo da su prenosne funkcije oba kola jednake.

Analogni filtri

148

Slika 6.27 NP Čebiševljev filtar trećeg reda realizovan metodom varijabli stanja

Slika 6.28 Filtar sa Slike 6.27 nakon skaliranja impedanse faktorom 10K

Aktivni filtri

149

6.2.3 KASKADNA REALIZACIJA

Prenosna funkcija se realizuje kaskadnim vezivanjem niza filtarskih sekcija

prvog i drugog reda. Na ovaj način se problem realizacije opšte prenosne funkcije svodi na realizaciju bikvadratne funkcije:

( )01

201

22

bsbs

asasasH

++++=

Da bi zadovoljili zahtjeve za korektnim kaskadnim vezivanjem, svaka sekcija mora imati veliku ulaznu, a malu izlaznu impedansu. To se obezbjeñuje korištenjem operacionih pojačavača.

Slika 6.29 Kaskadna realizacija

Prenosne funkcije filtara drugog reda

Posebno važna klasa aktivnih mreža realizuje prenosne funkcije drugog reda

( ) ( )( )( )( )21

212

012

012

2

psps

zszsa

bsbs

asasasH

++++=

++++= .

Pod zajedničkim nazivom bikvadratne funkcije one služe kao osnovni gradivni blokovi za širok dijapazon aktivnih filtara.

Ako se radi o realnim koeficijentima, polovi *12 pp = i nule, *

12 zz = dolaze u konjugovano – kompleksnim parovima, pa možemo pisati

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 22 2 2

1 1 1

2 2 22 21 1 1

2Re Re Im

2Re Re Im

zz

z

pp

p

s ss z s z z q

H s K Ks p s p p

s sq

ω ω

ωω

+ + + + + = = + + + + +

.

Analogni filtri

150

Poslednja notacija je stantardna notacija bikvadratnih funkcija jer jasno identificira važne parametre filtra. Pojačanje jednosmjerne komponente i asimptotsko pojačanje za ∞→ω su dati sa

( )

=

2

2

1010 log200log20p

zKjHωω

( ) KjH 1010 log20log20 =∞

Funkcija pojačanja dostiže svoj maksimum približno na frekvenciji pola

( ) ( )21

21 ImRe ppp +=ω

što je radijalna udaljenost od ishodišta do lokacije pola. Frekvencija zω odreñuje približno tačku u kojoj funkcija pojačanja ima

minimum

( ) ( )21

21 ImRe zzz +=ω

što je radijalna udaljenost od ishodišta do lokacije nule. Visina maksimuma na pω odreñena je faktorom kvaliteta pola pq , koji je

definisan sa

( )( ) ( )

( )1

21

21

1 Re2

ImRe

Re2 p

pp

pq p

p

+==

ω,

a dubina minimuma na zω je odreñena faktorom kvaliteta nule

( )( ) ( )

( )1

21

21

1 Re2

ImRe

Re2 z

zz

zq z

z

+==

ω.

Faktor kvaliteta pola odgovara oštrini pika u frekvencijskoj karakteristici. Pri oštrijim pikovima trajanje prelaznog procesa je duže zbog malih vrijednosti realnog dijela pola.

U mnogim slučajevima imamo ∞=zq , tj., ( ) 0Re 1 =z i ( )1Im zz =ω je učestanost na kojoj imamo nulto pojačanje (beskonačno slabljenje).

Aktivni filtri

151

Nekoliko specijalnih slučajeva opšte bikvadratne funkcije je od posebne važnosti:

- ako je 012 == aa , ( )sH je NP filtar drugog reda sa funkcijom prenosa

oblika

( )2

2 2

pNP

pp

p

KH s

s sq

ωω

ω=

+ +

Napomenimo da ( )NPH s ima dvostruku nulu za ∞→s , DC pojačanje

( )0NPH j K= , i da za pωω >> ( )NPH jω opada sa faktorom 21 ω ili

40dB po dekadi. 2411 pp qKqM −=

21 1 2M P pqω ω= −

Slika 6.30 NP filtar

- ako je 001 == aa , ( )sH dobivamo prenosnu funkciju VP filtra

( )2

2 2VP

pp

p

KsH s

s sq

ωω

=+ +

gdje je K pojačanje kad ∞→ω .

( )ωjH raste na niskim frekvencijama kao 2ω , dakle 40dB po dekadi.

2411 pp qKqM −=

Analogni filtri

152

2211 pPM q−= ωω

Slika 6.30 VP filtar

- ako je 002 == aa dobijemo propusnik opsega

( )22p

p

p

p

p

PO

sq

s

sq

K

sH

ωω

ω

++=

gdje je ( )POK H jω= pojačanje u sredini propusnog opsega.

( )sHPO ima jednostruke nule za 0=s i ∞=s , tako da za pωω << raste

a za pωω >> pada sa 20dB po dekadi i ima bekonačno slabljenje za 0=s i

∞=s . Za velike vrijednosti q faktora, tj. 1>>pq , ( )ωjH PO je približno

simetrično oko pω .

Aktivni filtri

153

Slika 6.31 Filtar propusnik opsega - ako je 01 =a dobijemo nepropusnik opsega

( ) ( )22

22

22

02

2

pp

p

z

pp

pNO

sq

s

sK

sq

s

asasH

ωω

ω

ωω

++

+=

++

+=

gdje je ( )∞= jHK NO visokofrekvencijsko pojačanje.

Primijetimo da NO ili “notch” filtar ima beskonačno slabljenje (nulu

transmisije) za zωω = , i da su oštrina ureza kao i visina susjedne izbočine

kontrolisani sa pq . Za pz ωω > imamo niskopropusni “notch”, za pz ωω <

visokopropusni, a za pz ωω = simetrični “notch” filtar.

Analogni filtri

154

Slika 6.32 Filtri nepropusnici opsega

( )21 pzpKqM ωω−≈ , ( )2 2

11

1 2M P

z p pqω ω

ω ω≈ +

−

.

Ako želimo ekvilizator faze, odnosno kašnjenja, trebamo odrediti

koeficijente tako da je

( )1

1

11

2

2

22

22

++

+−=

++

+−=

np

n

np

n

pp

p

pp

p

SO

sq

s

sq

s

K

sq

s

sq

s

KsH

ωω

ωω

gdje je K frekvencijski nezavisno pojačanje, a pn ss ω= normalizovana

frevkencija. Faza i kašnjenje su dati sa

( )21

2n

pnnSO

qarctg

ωω

ωφ−

−=

( ) ( ) ( ) ( )222

2

,1

12

pnn

n

pnSOpnSOn

qq ωωωωτωωτ

+−

+⋅== ,

pn ω

ωω = .

Faza i kašnjenje zavise od pq . Maksimalno glatka kriva kašnjenja se

postiže sa 31=pq i predstavlja dobru aproksimaciju konstantnog kašnjenja

u opsegu 10 <≤ nω , a za 31>pq krive kašnjenja imaju pik na

Aktivni filtri

155

2411 pn q−≈ω vrijednosti ppSO q ωτ 4max, ≈ . Može se pokazati da je

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nSOnnNOnnPOnnVFnnNFn ωτωτωτωτωτ ,,,,, 5.0==== .

Slika 6.33 Svepropusnik opsega

Analogni filtri

156

Slika 6.34 Grupno kašnjenje (pq je parametar)

Sa Slike 6.34 je vidljivo da za veliko pq imamo velika izobličenja,

odnosno znatna odstupanja od željenog konstantnog kašnjenja. Svrha ekvilizatora kašnjenja je da unesu dodatno kašnjenje tako da ukupno kašnjenje bude što više glatko u frekventnom području od interesa. Za ove proračune je najčešće potrebna pomoć računara, a za mala odstupanja %2010−≈∆ ττ može pomoći i dijagram.

Aktivni filtri

157

Realizacija bikvadratne funkcije

Posmatrajmo mrežu na Slici 6.35.

Slika 6.35 Realizacija bikvadratne funkcije Prenosne funkcije ove mreže su:

( ) ( )( )

,,

0

, , ; ,k lkk l

l

N sVT s k c d l a b

V D s= = = =

Jednostavnom analizom dobijamo:

( ) [ ] [ ]

( )( )

0

1( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1

( ) ( )

da ca i db cb o

o da ca

icb db

V T s T s V T s T s VA s

V T s T sH s

V T s T sA s

= − + −

−= =− +

Iz poslednje jednačine se jasno vidi da nam treba RC mreža drugog reda da realizujemo bikvadratnu prenosnu funkciju H(s).

Primijetimo da su nule prenosne funkcije odreñene direktnim putem kroz RC mrežu, dok polove odreñuje povratna veza.

Generisanje nula prenosne funkcije

Sopstvene učestanosti mreže (polovi) H(s) se pronalaze iz jednačine:

Analogni filtri

158

( )1

( ) ( ) 0cb dbT s T sA s

− + =

i ne zavise od priključka a, tj. od od dovedenog ulaza Vi. Podsjetimo se da smo polove tražili pod uslovom da je Vi=0, dok nule prenosne funkcije zavise od mjesta gdje dovedemo ulazni signal (brojnik H(s) zavisi od priključka a). Stoga:

-nule prenosne funkcije se mogu kreirati bez narušavanja polova, dovodeći ulazni signal na bilo koji priključak koji je prethodno bio vezan na masu.

U praksi to znači sljedeće: ako pronañemo mrežu sa željenim polovima možemo kreirati nule transmisije uklanjajući (djelimično ili potpuno) vezu nekog elementa sa mase i dovoñenjem ulaza na novoformirani priključak.

Generisanje polova prenosne funkcije Razdvojimo RC mrežu na dvije mreže kao Slici 6.36.

Slika 6.36 Generisanje polova prenosne funkcije Lako se pokaže da je:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2

2 11 2

1

1 10, *

O fe O cb O

cb fe cb fe

V T V T VA s

D s D sT s T s N s D s N s D s

A s D s D s A s

= ⋅ − ⋅ ⇒

− + = ⋅ − ⋅ + =

Gdje su jiT , prenosne funkcije mreža sa dva para krajeva. Ovo svoñenje mreže

sa 3 para krajeva na 2 mreže sa dva para krajeva ima za posljedicu povećanje reda polinoma u nazivniku, tako da sada imamo 4 pola. Čak i ako se mreže

Aktivni filtri

159

projektuju da budu jednake, u praksi to nikad nije moguće postići i uvijek je

21 DD ≠ . Zbog toga, da bi dalje pojednostavili postupak biramo da jedna

mreža, recimo 2RC , bude nezavisna od učestanosti, kao što je prikazano na Slici 6.37.

Slika 6.37 ENF konfiguracija Sada je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

11

1

1 1 1 10cb cb

D sK KT s N s D s

K A s D s K A s

− −− + = − + =

Ovako ostvarena povratna sprega, kao što ćemo kasnije vidjeti, utiče na poboljšanje Q faktora. Pošto se dovodi na «-» ulaz, ovakvu konfiguraciju nazivamo poboljšana negativna povratna sprega (enhancement negative feedback, ENF).

Ako umjesto mreže 2RC pretpostavimo da mreža 1RC ne zavisi od učestanosti, imamo poboljšanu pozitivnu povratu spregu (EPF- enhancement positive feedback), prikazanu na Slici 6.38.

Analogni filtri

160

Slika 6.38 EPF konfiguracija Teorem: Polovi mreže koja se sastoji od jednog OPAMP-a i RC mreže neće se

promijeniti ako istovremeno zamijenimo ulazne priključke OPAMP-a, te izlaz OPAMP-a i masu.

Ovaj proces se naziva koplementarna transformacija, a dobijena mreža komplementarna mreža.

Provjerimo teorem na mreži datoj na Slici 6.39.

Slika 6.39 Komplementarna transformacija

Aktivni filtri

161

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

10

1 1

1 1 **

1 1 11 1

fg cg

fe fg ge fgfg fe

ge ge eg

cg gb cgcbcg cb

gb gb bg

fg cg fe cb cb fe

T s T sA s

V V V VT T

V V V

V V VVT T

V V V

T s T s T s T s T s T sA s A s A s

− + =

+= = = − = −

+= = = − = −

− + = − − − + = − +

Dakle, krakteristične jednačine ove dvije mreže su jednake. Mreža na Slici 6.38 dobijena je komplementarnom transformacijom mreže

na Slici 6.37. Dakle, ENF i EPF konfiguracija imaju jednake sopstvene učestanosti.

Struktura RC mreže Zadržaćemo se sada na strukturi RC mreže. Posmatraćemo ENF

konfiguraciju. Pošto razmatramo filtre drugog reda prenosna funkcija RC mreže mora biti oblika:

( ) ( )( )

22 1 0

2 21 11

cbcb

p

N sa s a s aT s

D ss sq

ω ω

+ += =+ +

gdje je qp<0.5 jer polovi RC mreže moraju biti jednostruki i ležati na negativnom dijelu realne ose u s-ravni.

Polovi cijele mreže su nule funkcije:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

1 1 1 1 1cb cb

K KT s N s D s

K A s K A s D s

− −− + = − −

Uz prepostavku da pojačanje operacionog pojačavača ne zavisi od učestanositi i oznaku:

Analogni filtri

162

0

1 1Kk

K A

−= −

imamo:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 212 1 0 0 0 0 1

0 1

1 1

2 212 0 1 0 0 0 1

1

11 0 2

2 2 20 0 1 00

2 0 2 0

1 1

2 0 2 0

.

pcb

p

p

a s a s a k s k s kqN s k D s

D s D s

a k s a k s a kq

D s

a kq a k

s s s sa k a k Q

D s D s

a k a k

ω ω

ω ω

ωω ω ω

+ + − − −−

= =

− + − + −

= =

−−+ + + +

− −= =

− −

Mijenjajući nazivnik funkcije prenosa prethodnim izrazom, dobijamo:

( ) ( )( )

[ ] ( )12 0

2 200

1( ) ( )

( ) ( )1

( ) ( )

da cada ca

cb db

T s T s D sN s T s T s a k

H sD s T s T s s s

A Q

ω ω

−− −= = =

− + + +.

Kako je pojačanje OPAMP-a A parametar visoke varijabilnosti potrebno je

ω0 učiniti nezavisnim od A. Kako se poreñenjem iz prethodnih jednačina vidi da je:

22 0 0 10

2 0

a k

a k

ωω −=−

,

to je moguće na dva načina. Prvi način, ako postavimo a2=a0=0 tako da Tcb bude propusnik opsega,

dovodi do toga da su polovi polinoma D(s) u desnoj poluravni i ENF filtar neće biti stabilan.

Zato biramo drugu mogućnost: 20 2 1a a ω= , tako da je:

Aktivni filtri

163

( )2 21

1

22 21

1

,zcb

p

s sq

T s as s

q

ω ω

ω ω

+ +=

+ +

11 0

0

2 0

11 0 1 2,

p

z

a kq

Q a k

a aq

ωω

ωω ω

−=

−

= =

0

2 0

, 11

z z

p

q qQ q

k qqa k

= = −−

−

Primijetimo da uslov Q>0, uz a2>k0 , zahtjeva da bude:

0

2 0

1qk

a k<

−, odnosno:

2 2

1 11 1p p

z z

q qa a

K A q q> − − ≈ −

Ova razmatranja izvedena su pod pretpostavkom da pojačanje OPAMP-a A ne zavisi od učestanosti, što je daleko od onog što imamo u praksi.

Primijetimo da je frekvencija pola ω0 identična frekvenciji pola ω1 RC mreže, te je odreñena samo pasivnim komponentama. Svi dobri aktivni filtri treba da budu projektovani tako da imaju ove osobine.

Slična analiza se može sprovesti i za EPF konfiguraciju:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22 1 0

2 2111

11

( )

1 1 1 1 1

cgcg

p

cg cg

N s a s a s aT s

D s s sq

D s T s N s D sK A s K A s D s

ω ω

+ += =+ +

= − − = − +

Analogni filtri

164

1

22 0 1 10

2 1

1 1k

K A

a k

a k

ωω

= +

−=−

birajući a2=a0=0 imamo:

( )

1

2 211

0 11

1

1,

1

zcg s

p

z

sq

Ts s

q

Q qk

qk

ω

ω ω

ω ω

=+ +

= = −−

Za stabilnost je potrebno Q>0, tj. q>(1-k1)/k1, ili:

1 1 p z

z p

q qK

K A q q

+ > ≈ <

Ako bi izabrali 20 2 1a a ω= može se pokazati da iz uslova stabilnosti Q>0

dobijamo:

2

1 1 z

p

qa

K A q+ <

Kako prilikom dovoñenja napajanja A raste od 0 do neke velike vrijednosti očito je da prethodnu jednačinu nije moguće trenutno zadovoljiti (kolo može prooscilovati). Prema tome, EPF konfiguracije realizujemo RC mrežama tipa propusnika opsega.

REALIZACIJA RC MREŽE Za realizaciju bikvadratne funkcije RC mreže:

( ) ( )( )

22 1 0

2 2111

p

N s a s a s aT s

D s s sq

ω ω

+ += =+ +

prilikom realizacije aktivnih filtara biramo 20 2 1a a ω= ili a2=a0=0

Aktivni filtri

165

Uvedimo pojam opterećene premoštene T mreže koja je ”komplementarna sama sebi”, tj. mreža i njen komplement koji se dobiju zamjenom izlaza i mase imaju istu topologiju, datu na Slici 6.40.

Slika 6.40 Premoštena T mreža Prenosne funkcije su:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )( ) ( )

2 3 4 1 2 3

1 2 3 4 5 3 1 2

1 3 5 1 2 3

1 2 3 4 5 3 1 2

( )cb

cb

cgcg

N s Y Y Y Y Y YT s

D s Y Y Y Y Y Y Y Y

N s YY Y Y Y YT s

D s Y Y Y Y Y Y Y Y

+ + += =

+ + + + +

+ + += =

+ + + + +

Za generisanje nula prenosne funkcije bikvadratne sekcije potrebno je ukloniti dijelove admitansi sa mase kao što je prikazano na Slici 6.41.

Analogni filtri

166

Slika 6.41 Generisanje nula Odgovarajuće prenosne funkcije su:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

1 1 3 5 5 1 2 30

1 2 3 4 5 3 1 2

2 2 3 4 4 1 2 30

1 2 3 4 5 3 1 2

|

|

b

g

cca V

a

cca V

a

YY Y Y Y YVT s

V Y Y Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y YVT s

V Y Y Y Y Y Y Y Y

β β

β β

=

=

+ + += =

+ + + + +

+ + += =

+ + + + +

Kako bismo ralizovali prenosnu funkciju ENF aktivnog filtra:

( )2 21

1

22 21

1

zcb

p

s sq

T s as s

q

ω ω

ω ω

+ +=

+ +

Aktivni filtri

167

moraju koeficijetni uz najviše stepene polinoma u brojniku Ncb(s) i nazivniku D(s) biti jednaki. Razumljivo je prihvatiti Y5=0 jer ta impedansa utiče samo na D(s). Uz Y5=0 imamo dvije opcije za generisanje Tcb(s):

A)

( ) ( )( )

( ) ( )

1 1 2 2 3 3 4 4

22 3 2 3 4 1 4

22 3 1 4 3 4 2 1 4

1 1 32

2 3 1 4 3 4 2 1 4

, , ,

cb

ca

Y G Y C s Y C s Y G

C C s C C G s G GT s

C C s G G C G C s G G

G C sT s

C C s G G C G C s G G

β

= = = =

+ + +=

+ + + +

=+ + + +

Poredeći sa izrazom za ENF bikvadratnu funkciju:

( )2 21

1

22 21

1

zcb

p

s sq

T s as s

q

ω ω

ω ω

+ +=

+ +

imamo:

( )

( )

( )

( )

1 4 1 42 1 42 1

2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 1 4

1 4

2 3

0

2 214 1 0

2 3 2

2 200

0 1

/ /1, , ,

/ / / / 1 /

/1

1 /

1

111

1 11

,1 1

z p

z

p

ca

icb

z

G G G GG Ga q q

C C C C C C C C C C G G

q G Gq

q C C

KTV

H sKV K T

K

GKs G s

C C CH s

s sQ

qQ

K q

ω

α α

β ωα

α ω ω

ω ω

= = = =+ + +

= − =+

−= = −

− −−

+ + + − + =

+ +

= =− −

Analogni filtri

168

Slika 6.42 ENF filtar B)

( ) ( )( )

( ) ( )

1 1 2 2 3 3 4 4

21 4 2 3 4 2 3

21 4 2 3 4 1 3 2 3

1 1 32

1 4 2 3 4 1 3 2 3

, , ,

cb

ca

Y C s Y G Y G Y C s

C C s G G C s G GT s

C C s G G C C G s G G

C G sT s

C C s G G C C G s G G

β

= = = =

+ + +=

+ + + +

=+ + + +

U ovom slučaju imamo:

Aktivni filtri

169

( )

( )

( )

( )

1 4 1 42 2 32 1

1 4 2 3 3 2 2 3 3 2 1 4

1 4

2 3

2 22 3 31 0

1 4

2 200

0 1

/ /1, , ,

/ / / / 1 /

/1

1 /

1

111

1

,1 1

z p

z

p

ca

cb

z

C C C CG Ga q q

C C G G G G G G G G C C

q C Cq

q G G

KT

H sKK T

K

G G GKs s

C CH s

s sQ

qQ

K q

ω

α α

β ωα

α ω ω

ω ω

= = = =+ + +

= − =+

−= −

− −−

+ + + − + =

+ +

= =− −

Analogni filtri

170

Slika 6.43 ENF konfiguracija

Aktivni filtri

171

Razmotrimo sada realizaciju EPF prenosne funkcije propusnika opsega. Uz Y5=0 imamo:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1 3

1 2 3 4 1 2 3

2 2 3 4 4 1 2 30

1 2 3 4 1 2 3

|g

cgcg

cca V

a

N s YYT s

D s Y Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y YVT s

V Y Y Y Y Y Y Y

β β=

= =+ + + +

+ + += =

+ + + +

Opet postoje dvije mogućnosti za kreiranje prenosne funkcije filtra: A)

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

1 1 2 2 3 3 4 4

3 12

2 3 2 3 4 1 3 1 4

22 2 3 4 4 2 3 1

0 22 3 2 3 4 1 3 1 4

4 1 4 12 1 41

2 3 4 1 2 33 2 3 2

4

, , ,

|

/ / 1, ,

1 / 1 // /

1

g

cg

cca V

a

z p

z

p

Y G Y C s Y C s Y G

C G sT s

C C s C C G G C s G G

C C s G C C s GVT s

V C C s C C G G C s G G

G G G GG Gq q

C C G G C CC C C C

q Gq

q

β β

ω

=

= = = =

=+ + + +

+ + + = =+ + + +

= = =+ +

= − =

( )( ) ( ) ( )

2

1 3

2 212 4 4 4 0

2 3 20

2 200

0 1

1

1 1

1

1

i

z

C

G C

Gs G s

C C CVH s K

V s sQ

K

K

qQ

q K

η β η β η η β ω

ω ω

η α

ω ω

+

− + + − + + −

= = −+ +

−=

=

=+ −

Analogni filtri

172

Slika 6.44 EPF filtar

Aktivni filtri

173

B)

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

1 1 2 2 3 3 4 4

1 32

1 4 2 3 4 1 3 2 3

24 1 4 2 3 4 2 2 3

0 21 4 2 3 4 1 3 2 3

2 3 2 32 2 31

1 4 4 1 2 31 4 1 4

, , ,

|

/ / 1, ,

1 / 1 // /

1

g

cg

cca V

a

z p

z

p

Y C s Y G Y G Y C s

C G sT s

C C s G G C C G s G G

C C s G G C s G GVT s

V C C s G G C C G s G G

G G G GG Gq q

C C C C G GC C C C

qq

q

β β

ω

=

= = = =

=+ + + +

+ + + = =+ + + +

= = =+ +

= − =

( )( ) ( ) ( )

4 2

1 3

2 22 3 34 4 2 0

1 40

2 200

0 1

1

1, ,

1

i

z

C G

C G

G G Gs s

C CVH s K

V s sQ

qKQ

K q K

η β η β η η β ω

ω ω

ω ω η α

+

+− + − + + − = = −

+ +

−= = =+ −

Analogni filtri

174

Slika 6.45 EPF filtar

Aktivni filtri

175

6.3 OSJETLJIVOST Sinteza mreže obuhvata: (1) izbor odgovarajuće konfiguracije mreže, gdje, posebno kod

projektovanja aktivnih filtara, postoje brojne mogućnosti; (2) izračunavanje nominalnih vrijednosti elemenata; (3) selekcija, iz mnoštva raspoloživih konfiguracija, one konfiguracije koja

će u praksi, sa realnim komponentama, najmanje odstupati od nominalnih vrijednosti (fabričke tolerancije, odstupanja sa temperaturom, hemijske promjene tokom godina...).

Budući da svi koeficijenti, pa prema tome i nule i polovi prenosne funkcije ( )sH , zavise od elemenata kola, očekivati je da filtar odstupa od onog što je

projektovano. Veličina greške zavisi od toga kolike su tolerancije komponenti i od toga kako su performanse kola osjetljive na te tolerancije.

Neka je x jedna od komponenti. Bilo koji kriterij performansi P zavisi od x , tj. ( )xPP = . Ako se mjera performansi odnosi na funkciju ( )sH

(magnitudu ili fazu), onda je P funkcija učestanosti ( )xsPP ,= . Intuitivno

prihvatljiv matematički metod za odreñivanje odstupanja P prouzrokovanog greškom 0xxdx −= dat je razvojom u Tejlorov red ( )xsP , oko nominalne

vrijednosti komponente 0x :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅⋅⋅+∂

∂+∂

∂+= 2

2

2

0

00

,

2

1,,, dx

x

xsPdx

x

xsPxsPxsP

xx

Ako podrazumijevamo da je 1/ 0 <<xdx i da zakrivljenost ( )xsP , u

okolini 0x nije ”suviše velika”, možemo zanemariti drugi i više izvode u

razvoju u red pa imamo:

( ) ( ) ( ) ( )dx

x

xsPxsPdxxsPxsP

x0

,,,, 000 ∂

∂≈−+=∆

U većini situacija više nas zanima relativna promjena nego apsolutna promjena P∆ prouzrokovana apsolutnom promjenom dx.

Zato normalizujemo ( )

( ) ( )( )

00

0

0

0

0

,

,,

,

x

dx

x

xsP

xsP

x

xsP

xsP

x∂∂⋅≈

∆

gdje član

Analogni filtri

176

( )( ) ( )

( )0 0

0

0

0

, ln

, lnPx

x x

x

PP s x d Px PS

xP s x x d xx

∂∂

= ⋅ = =∂∂

nazivamo osjetljivošću na male promjene jednog parametra. PxS nam neposredno daje relativnu promjenu

x

dxS

P

P px≈∆

često označenu kao varijabilnost nekog kriterija performansi P . Dakle relativna promjena P je P

xS puta veća od relativne promjene

parametra x od koga P zavisi. Evidentno je da ”dobra” kola imaju malu osjetljivost na svoje elemente, pa

se mogu ugraditi jeftiniji elementi sa većim tolerancijama. Primjer: Kolo na slici 3.48. realizuje PO drugog reda sa centralnom učestanošću

kHzf 30 = i faktorom kvaliteta 20=Q . Izračunaj osjetljivost 0ωxS , Q

kS i H

kS , gdje x označava bilo koju pasivnu komponentu, a K je naponsko

pojačanje.

Slika 6.46 Aktivni filtar propusnik opsega

Aktivni filtri

177

Rješenje:

( )

2112

2

1

1

2

1

1

1121

ττττ

τ

+

−⋅−+

⋅−

−==

Kss

s

K

K

V

VsH , 11 CR=τ ,

22 CR=τ . Centralna frekvencija je

212

21

0

11

RRC==

ττω

a faktor kvaliteta

( )12 2 −−=

Kr

rQ , 12

2 RRr = .

Primijetimo da 0ω ne zavisi od pojačanja K , pa je 00 ≡ωkS ,

2

10

0

0 −=∂∂⋅=

i

iR R

RS

i

ωω

ω , 10

0

0 −=∂∂⋅=

C

CSC

ωω

ω .

Da su kondenzatori bili različiti ( 21 CC ≠ , 2211

0

1

CRCR=ω ) imali bi

5.00 −=ωiCS . Korisno je primjetiti da 0ω mora biti obrnuto proporcionalno

kvadratnom korijenu iz proizvoda dvije vremenske konstante. Prema tome 0.5 je minimalna vrijednost osjatljivosti 0ω na pasivne komponente u bilo kom

aktivnom filtru. Vratimo se na izraz za Q . Kako r i K mogu biti proizvoljno izabrani

uvešćemo ograničenje 15.0 2 +> rK jer Qmora biti pozitivno.

Ako izaberemo 32

11

−−=⇒=

K

KQr , i 151250 =− KK za 20=Q .

( )( ) 115321

0

−=−−

−=∂∂⋅=

K

QK KK

K

K

Q

Q

KS

tako da vrlo mala promjena pojačanja od recimo %25.0 rezultuje u promjeni Q za %29 ! Ova situacija je potpuno neprihvatljiva jer se u praksi teško postiže dobra stabilnost pojačanja.

Napomenimo da je osjetljivost funkcija nominalnih vrijednosti elemenata. U našem slučaju R je u zavisnosti od r kojeg smo proizvoljno postavili na 1. Ostavljajući da r bude slobodan parametar, izračunajmo osjetljivost

Analogni filtri

178

( )21−−=

K

KrQSQ

K

uz napomenu da su K i r vezani relacijom

rQrK

12

1

12

−=−

te je

+−−+=22

21

2141

rr

Q

rQrSQ

K .

Sad vidimo da se mnogo bolji rezultati postižu sa većim vrijenostima r ,

npr. za 9.56 −≈⇒= QKSr .

Da bi dovršili projektovanje, biramo 6=r , kHzf 30 = i nFC 5= , pa

imamo:

CfR

01

1π

= , Ω== kRrR 66.6312

2 , 18.22=K .

Pojačanje je povećano, ali još uvijek lako realizibilno.

Konačno, računamo HkS :

( )( ) ( )

QK

Hk S

Q

Q

KS

20

2220

20

1

1

ωωωωωω

+−+

−−=

što se mora tačno izračunati u frekventnom području od interesa. Iako osjetljivost performansi na jedan parametar R

xS zanemaruje uticaj

ostalih parametara, ipak je korisno da se odredi najkriti čnija (i najmanje kritična) komponenta kola.

Dok je osjetljivost data sa

( ) ( )( )ln

lnP xx

d Px dPS

P dx d x= ⋅ =

semirelativna mjera osjetljivosti data je sa

( )

dx

dPxQ xP

x =

i često je vrlo korisna, recimo, kad nas ne zanima relativna, već apsolutna promjena P , kao što je slučaj kod pomjeraja polova i nula u s-ravni.

Aktivni filtri

179

Važne osobine: ( ) ( ) ( ) 2121

21Px

Px

PPx SSSxPxPxP +=⇒⋅=

( ) ( ) ( ) 212121

Px

Px

PPx SSSxPxPxP −=⇒=

( )( ) Yx

PY

xYPx SSS ⋅=

Npr. ako nula zω ”notch” filtra zavisi od proizvoda otpornika R i

kondenzatora C čije vrijednosti zavise od temperature, osjetljivost nule od tepmerature je

z z zR C

T R T C TS S S S Sω ω ω= ⋅ + ⋅ . Primjer: Pronaći relaciju izmeñu temperaturnih koeficijenata otpornika Rα i

kondenzatora Cα , tako da pri projektovanju aktivnog filtra tehnologijom tankog

filma frekvencija pola 22110 1 CRCR=ω bude neosjetljiva na varijacije

temperature. Rješenje: U opštem slučaju, za ( )ji CR ,00 ωω =

j

j

i

i

CT

jC

RT

iRT SSSSS ⋅+⋅= ∑∑ 000 ωωω

Kako se svi otpornici u ovoj tehnologiji rade na istom substratu i istim materijalima, svi otpornici imaju istu temperaturnu zavisnost

( )[ ]00 1 TTRR Rii −+= α .

Slično vrijedi za kondenzatore ( )[ ]00 1 TTCC Cii −+= α

gdje je 0T nominalna radna temperatura.

Prema tome

0

0

TdT

dR

R

TS R

T

i

i

RT

i α=⋅= , 0TS CCT

i α= ,

pa je

CRj

CCi

RRT jiSTSTS αααα ωωω −=⇒+= ∑∑ 000

00 .

Analogni filtri

180

Dakle, treba odabrati materijal takav da temperaturni koeficijenti otpornika i kondenzatora zadovoljavaju uslov CR αα −= , i tada je promjena

00 =dTdω .

OSJETLJIVOST FUNKCIJE PRENOSA

11 1 0

11 1 0

...( )( )

( ) ...

m mm m

n nn

a s a s a s aN sH s

D s s b s b s b

−−

−−

+ + + += =+ + + +

Ako pretpostavimo da oba polinoma N i D zavise od elementa kolax , onda je:

1 1( )H N D

x x x

N DS S S x

N x D x

∂ ∂= − = −∂ ∂

Na primjer, ako samo jedan koeficijent, recimo ib zavisi od x , onda je: i

i

bH D Dx x b xS S S S= − = −

1i

D ib iS b s

D=

1D i ii ix i

i

b bx xS b s s

D b x D x

∂ ∂= ⋅ =∂ ∂

Ako više koeficijenata zavisi od parametra x , vrijedi:

jH j iix

j i

a bx xS s s

N x D x

∂ ∂= −∂ ∂∑ ∑ (*)

gdje sumiramo po svim koeficijentima koji zavise od x .

Vidjeli smo da osjetljivost funkcije prenosa na neki od elemenata

možemo računati preko osjetljivosti koeficijenata polinoma. Osim toga, možemo se pitati kakav je uticaj pomijeranja polova i nula na osobine funkcije prenosa. Pronañimo logaritam unkcije prenosa yapisane u faktorizovanom obliku:

Aktivni filtri

181

( ) ( )1 1

ln ln ln ln , /m n

i i m ni i

H K s z s p K a b= =

= + − − − =∑ ∑

gdje K , iz i ip zavise od x . Deriviranjem i množenjem sa x :

1 1

i iz pm nH K x xx x

i ii i

Q QS S

s z s p= =

= − +− −∑ ∑

što nam pokazuje da je uticaj pomijeranja nula i polova na funkciju mreže najveći na učestanostima koje su bliske nulama i polovima.

Primijetimo da HXS ima polove na svim mjestima gdje su polovi i nule

prenosne funkcije, te da poslednji izraz predstavlja razvoj HXS na parcijalne

razlomke sa rezidumima izXQ i ip

XQ . HXS → ∞ za fizičke učestanosti i Ziz jω= , a isto je jako velika u blizini

polova sa velikim faktorom kvaliteta Q , jer su takvi polovi blizu jω ose pa je

| |ij pω − malo.

OSJETLJIVOST KORIJENA FUNKCIJE PRENOSA Vidjeli smo da se osjetljivost funkcije prenosa može izraziti preko

semirelativne osjetljivosti nula i polova:

,i ip zi ix x

p zQ x Q x

x x

∂ ∂= =∂ ∂

Za polinome reda višeg od četiri teško je eksplicitno izraziti iz i ip u

zavisnosti od elemenata kola. Izjednačavajući ranije odreñene izraze za H

XS dobijamo:

1 1

1 1( )

i iz pm mK N Dx xx x x

i ii i

Q Q N DS S S x

s z s p N x D x= =

∂ ∂− + = − = −− − ∂ ∂∑ ∑

pa je:

1 1lim ( ) lim

i

i i

px

s p s pi

QN Dx

N x D x s p→ →

∂ ∂− =∂ ∂ −

gdje smo koristili činjenicu da je ( )ipx iQ s p− dominantan član u razvoju.

Ako se sjetimo da je ip nula polinoma ( )D s , tada ( )1/ /D D x∂ ∂ dominira

nad ( )1/ /N N x∂ ∂ pa imamo:

Analogni filtri

182

lim 0i

i

px

s pi

Qx D

D x s p→

∂ + = ∂ −

( ) ( ),1lim

( , )i

i

px is p

D s xQ x s p

D s x x→

∂ = − ∂

U nekim situacijama, računanje se može još više pojednostaviti sa:

( ) ( ), ,lim lim

i is p s pi

D s x D s x

s p s→ →

∂=

− ∂

tako da je:

( )( )

, /lim

, /i

i

px

s p

D s x xQ x

D s x s→

∂ ∂= − ∂ ∂

Slično odreñujemo osjetljivost nula:

( ) ( ) ( )( )

, , /1lim lim

( , ) , /i

i i

zx i

s z s z

N s x N s x xQ x s z x

N s x x N s x s→ →

∂ ∂ ∂ = − − = − ∂ ∂ ∂

Ako je x jedan od koeficijenata polinoma ( )sD , jx b= , imamo specijalni

slučaj / jjD b s∂ ∂ = i

( ) ( )lim lim, , /

i

ji i

jjp j i

b js p s p

j j

b ss pQ b s

D s b D s b s→ →

−= − = − ∂ ∂

( ) ( )lim lim, , /

i

ji i

jjz j i

b js Z s z

j j

a ss zQ a s

N s a N s a s→ →

−= − = − ∂ ∂

Ovo vrijedi samo za jednostruke korijene. Višestruki korijeni se u filtrima rijetko javljaju izuzev 0s= i s= ∞ pa to

nećemo ni razmatrati. Jednom kad je poznata osjetljivost može se aproksimativno odrediti

pomak korijena. Neka je 0pxQ poznato, tada je nova lokacija pola:

01 0 0 0

px

dxp p dp p Q

x= + ≈ +

Aktivni filtri

183

Primjer: Data je funkcija mreže NF filtra

( ) ( )( )2 2

5 3 2

1.4314 2 3

4.5817 14.473 11.210 8.5883

s sH s

s s s s

+ +=

+ + + +

sa polovima:

1 2,3

4,5

2.63759 0.184484 1.33914

0.787586 1.33914

p p j

p j

= − = − ±= − ±

Ako se funkcija realizuje kao aktivni filtar i ako koeficijenti uz 4s i 2s zavise od pojačanja K OPAMP-a kao:

( )

4.5817 23.6721 11.24

14.473 38.08684 1 0.62

K

K

= −

= −

sa nominalnom vrijednošću 10 == KK , odrediti osjetljivost pola sa

najvećim faktorom kvaliteta i njegovu novu lokaciju kad se K mijenja za 3%± u odnosu na svoju nominalnu vrijednost.

Rješenje: Pol 2p je najbliži ishodištu pa ima najveći Q:

( )

( )

4 2

4 3 2

, 23.672138.08684 062

1.24,

5 18.3268 28.4151 28.946 11.210

D s Ks s

KD s K

s s s ss

∂= − + ⋅

∂∂

= + + + +∂

Izračunavajući ove vrijednosti za 20 0.18448 1.14676s p j= = − +

( )

( )20

20, 2.33984 10.7035

,| 9.99696 1.09942p

D p Kj

KD s K

js

∂= −

∂∂

= − +∂

tako da je:

( )( )

2

2

, /lim 0.3476 1.0323

, /pK

s p

D s K KQ K j

D s K s→

∂ ∂= − = − ∂ ∂

a nova lokacija 22 20 2 20

pK

dKp p dp p Q

K= + ≈ +

Analogni filtri

184

pa za:

116.1174.003.1,03.0 2 jpKKdK +−=⇒==

178.1195.097.0,03.0 2 jpKKdK +−=⇒=−=

MULTIPARAMETARSKA OSJETLJIVOST Da bi dobili realniju sliku o ponašanju filtra pod uticajem tolerancija

elemenata, moramo uzeti u obzir da funkcija mreže zavisi od mnogo parametara odnosno elemenata , 1,2,...,ix i K= , koji svi istovremeno utiču na ponašanje filtra.

Ako mjera performansi P zavisi od K parametara i ako je:

1 2 ...T

kx x x=X ,

onda je:

0

01 1 0

1 0

|i

i

i

K ki i

x ii ii i ix

KP ix

i i

x dxP PdP dx P

x P x x

dxdPS

P x

= =

=

∂ ∂= ⋅ = ∂ ∂

≈

∑ ∑

∑

gdje se osjetljivosti računaju oko nominalne tačke

0 10 20 0...T

kx x x=X

Definišući vektore:

1 2

1 2

10 20 0

...

ˆ ...

K

P P Px x x

T

K

K

S S S

dx dx dxd

x x x

=

=

PXS

X

možemo pisati u kompaktnoj formi:

( ) ˆTdPd

P≈ ⋅P

XS X

Aktivni filtri

185

6.3.1 PROIZVOD POJAČANJA I OSJETLJIVOSTI

Pojačanje operacionog pojačavača u otvorenoj petlji je veoma veliko i sa velikom varijabilnošću dA A. Zbog toga se pri projektovanju filtara koriste pojačavači sa povratnom spregom koja smanjuje pojačanje na neku manju vrijednost µ sa manjom varijabilnošću dµ µ .

Varijabilnost pojačanja kola povratne veze ENF i EPF filtara je manja od varijabilnosti pojačanja operacionog pojačavača u otvorenoj vezi.

Posmatrajmo prvo pojačavač sa povratnom spregom kod ENF filtra prikazan na Slici 6.47.

−

+ izlV

( )1K R−R

ulV

Slika 6.47 Pojačavač sa povratnom spregom kod ENF filtra Pojačanje ovog pojačavača je:

( )( ) ( )1 1

izl

ul

V s KA

V s K A Kµ = =

− −.

Znajući da je u praksi K A≪ , pojačanje je približno jednako:

1 1

K

Kµ ≈

−.

Osjetljivost pojačanja pojačavača sa povratnom spregom na promjenu pojačanja operacionog pojačavača je:

( )1

221 1 1

21 1 1 11

µ µ µ µµ µ µ

∂ − = ⋅ = ⋅ = − ⋅ = − ≈ − ∂ − − − A

A A K A K AS

A A A KK A K.

Varijabilnost pojačanja povratne sprege iznosi:

Analogni filtri

186

111 2 2

1 1µµ µ

µ= = − ≈ −

−A

d dA dA K dAS

A A K A.

Dakle, uz uslov K<<A koji je u praksi uvijek zadovoljen, varijabilnost pojačanja pojačavača sa povratnom spregom je manja od varijabilnosti pojačanja operacionog pojačavača u otvorenoj vezi.

Uz pretpostavku da neki kriterij performansi filtra P zavisi od pojačanja povratne sprege, osjetljivost tog kriterija performansi na promjenu pojačanja operacionog pojačavača A se može izraziti preko njegove osjetljivosti na promjenu pojačanja u povratnoj sprezi:

1

1 1

1P P PA AS S S S

Aµ

µ µµ= = − ,

pa je varijabilnost posmatranog kriterija performansi:

1

1 1 11 2 2P P P PA A

dP dA dA dA dAS S S S

P A A A Aµ

µ µ µµ= = = − = −Γ .

Dakle, varijabilnost je proporcionalna faktoru 1 11

P PSµ µµΓ = koji nazivamo

proizvod pojačanja i osjetljivosti, i člana 2AdA koji zavisi samo od

upotrijebljenog operacionog pojačavača. Zato se 1

PµΓ koristi kao mjera za

poreñenje različitih struktura filtara, pri čemu se smatra da je bolja ona realizacija koja ima manju apsolutnu vrijednost proizvoda pojačanja i osjetljivosti.

Varijabilnost se može izraziti i preko umnoška faktora P PK KKSΓ = i člana

2AdA :

( ) ( )

( )1 11 12 2

2 2.

P P P KA K

P PK K

dP dA dA dAS S S S

P A A AdA dA

KSA A

µ µµ µ= = − = − =

= = Γ

Vrijedi da je 1

P PKµΓ = Γ , te se pri optimizaciji ENF filtara umjesto

1

PµΓ

može koristiti PKΓ .

Za pojačavač sa povratnom spregom kod EPF filtra prikazan na Slici 6.48, uz K A≪ , odgovarajuće pojačanje i njegova osjetljivost na promjenu pojačanja operacionog pojačavača su:

Aktivni filtri

187

2 1 /izl

K Aul

V KK

V K Aµ = = ≈

+≪

,

( )2

222 2 2

22 2 2

A

A A K A KS

A A A AK A

µ µ µ µµ µ µ

∂ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ≈ ∂ +.

Varijabilnost pojačanja pojačavača sa povratnom spregom kod EPF filtara je manja od varijabilnosti pojačanja operacionog pojačavača u otvorenoj vezi i iznosi:

222 2 2

2A

d dA dA dAS K

A A Aµµ µ

µ= = ≈ .

Osjetljivost nekog kriterija performansi filtra P na promjenu pojačanja operacionog pojačavača A izražena preko njegove osjetljivosti na promjenu pojačanja 2µ pojačavača sa povratnom spregom je:

2

2 2

2P P PA AS S S S

Aµ

µ µµ= = ,

te je varijabilnost jednaka umnošku faktora 2 2

2P PSµ µµΓ = koji nazivamo

proizvod pojačanja i osjetljivosti, i člana 2AdA :

2

2 2 22 2 2P P P PA A

dP dA dA dA dAS S S S

P A A A Aµ

µ µ µµ= = = = Γ .

−

+izlV

( )1K R−

R

ulV

Slika 6.48 Pojačavač sa povratnom spregom kod EPF filtra Kod pojačavača koji se koristi kod EPF filtra, vodeći računa da je

21KSµ = ,

varijabilnost se može izraziti i preko umnoška faktora P PK KKSΓ = i člana

2AdA :

Analogni filtri

188

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2

P P P K P PA K K K

dP dA dA dA dA dAS KS KS S KS

P A A A A Aµ µ= = = = = Γ

pa je, prema tome:

2µΓ = ΓP PK .

Dakle, apsolutna vrijednost varijabilnosti je proporcionalna faktoru P PK KK SΓ = koji nazivamo proizvod pojačanja i osjetljivosti, i člana 2AdA

koji zavisi samo od upotrebljenog OPAMP-a. Zato se proizvod pojačanja i osjetljivostu koristi kao mjera za poreñenje različitih filtarskih struktura.

Na primjer, pretpostavimo da imamo OPAMP sa 410A = i

/ 60%dA A= . Neka jedan filtar ima osjetljivost 6PSµ = uz potrebno pojačanje

95µ = , a drugi filtar ima veću osjetljivost 38PSµ = , ali je potrebno manje

pojačanje, 4µ = . Varijabilnosti su:

1) 495 6 0.6 10 3.4%dP

P−= ⋅ ⋅ ⋅ =

2) 44 38 0.6 10 0.91%dP

P−= ⋅ ⋅ ⋅ =

što pokazuje da je drugi filtar pogodniji iako ima 6 puta veću osjetljivost. Da bi smanjili varijabilnost potrebno je izabrati OPAMP sa što većim

pojačanjem. (zbog 2AdA ) Pri projektovanju filtara potrebno je voditi računa da osjetljivosti budu što

manje. Budući da postoji odreñen stepen slobode pri izboru vrijednosti elemenata pri projektovanju ENF i EPF filtara, vrši se optimizacija tako da se minimizira proizvod pojačanja i osjetljivosti, pri čemu se vodi računa i o osjetljivostima na pasivne komponente.

Izborom 20 2 1a a ω= kod ENF i 0 2 0a a= = kod EPF filtra je postignuto da

frekvencija pola 0ω ne zavisi od pojačanja operacionog pojačavača A i odnosa otpornika K u otpornom dijelu pasivne mreže, te su odgovarajuće osjetljivosti jednake nuli: 0 00, 0A KS Sω ω= = . Osjetljivost frekvencije pola 0ω na promjenu

vrijednosti neke od pasivnih komponenti filtra, označene sa x , je 0 0.5xSω =

ako otpornici, odnosno kondenzatori, imaju različite vrijednosti, a 0 1xSω = u

slučaju jednakih vrijednosti otpornika, odnosno kondenzatora.

Aktivni filtri

189

6.4 AKTIVNI R-FILTRI

Amplitudna karkteristika operacionog pojačavača nije nezavisna od

učestanosti. Ona opada na visokim frekvencijama, te se, posebno za visokofrekventne aplikacije, moraju uzeti u obzir neidealne osobine operacionog pojačavača. ModelirajućI OPAMP sa

( )ss

AsA t

a

a ωωω ≈

+= 0

primijetimo da prenosna funkcija OPAMPA uključuje efekat RC mreže sa jednim kondenzatorom što nas navodi na zaključak da možemo projektovati bikvadratno kolo sa otpornicima i dva operaciona pojačavača, bez kondenzatora. Ova klasa filtara nazivaju se aktivni R filtri. Uvedeni su najviše radi pojednostavljivanja realizacije filtra u obliku integrisanih kola, te poboljšanih niskofrekventnih performansi jer je realniji model OPAMP-a direktno uključen u projektovanje.

Jedna od realizacija aktivnog R filtra, pomoću koje se, pogodnim postavljanjem parametara, realizuje NF ili PO filtarska funkcija prikazana je na sljedećoj slici.

Slika 6.49 Aktivni R-filtar

Analogni filtri

190

Prenosne funkcije su:

( )2

54

4322

21

54

4

1tt

tNF

GGG

GGs

G

Gs

G

G

GG

G

V

V

ωω

ω

+++

⋅+

−= ,

( )2

54

4322

1

1tt

tPO

GGG

GGs

G

Gs

sG

G

V

V

ωω

ω

+++

−= ,

321 GGGG ++=

Frekvencija pola i Q faktor su dati sa:

( )54

430 GGG

GGt +

= ωω , 54

43

GG

GGGQ

+= .

Sve pasivne osjetljivosti su veoma male i 10 =ωωt

S .