Adherence Et Frottement

Mécanique modélisation

ADHÉRENCE ET FROTTEMENT

MÉCANIQUE :

ADHÉRENCE ET FROTTEMENTS

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1 PRÉSENTATION

1.1 Résumé

Le présent document présente les actions mécaniques de contacts que sont les phénomènes d'adhérence et de frottement.

1.2 Objectif du thème

À l'issue de ce thème, vous devrez connaître les principaux effets de l'adhérence, du frottement (effets néfastes et bénéfiques), leurs applications et la modélisation élémentaire de ces effets.

1.3 Pré-requis

Géométrie (angles, trigonométrie), actions mécaniques et leurs modélisation (vecteur-force, moment, torseur statique), statique (principe fondamental de la statique, statique graphique).

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2 INTRODUCTION

Jusqu'à ce point de la formation, les liaisons mécaniques ont été considérées comme idéales, et en particulier sans frottement. Ainsi, un degré de liberté ne peut être bloqué que par un contact, et si un mouvement est possible entre les deux pièces selon un axe, on ne peut pas transmettre d'effort selon cet axe (voir l'exemple figure 1-1).

Degrés de liberté : Action de contact :

Translation possible selon l'axe x, rotation possible

selon l'axe x :

[Tx Rx0 00 0 ]

Effort transmissible linéairement selon y et z

(forces), et en rotation selon y et z (moments) :

{0 0Y MZ N }

Fig. 1-1 Modélisation d'une action de contact sans frottement

Dans la réalité, on sait que même si l'ajustement est glissant, deux pièces peuvent gripper, se bloquer. C'est l'effet de l'adhérence et du frottement.

L'adhérence et le frottement sont parfois bénéfique, parfois un problème :– ils permettent la marche, les déplacements des véhicules : sans adhérence, c'est comme si l'on

vivait en permanence sur une patinoire ;– il permet de tenir les objets en main, de faire des nœuds : sans adhérence, c'est comme si tout

était enduit d'huile ;– le frottement et l'adhérence sont utilisés dans les freins, les embrayages, les limiteurs de couple ;– le frottement est la cause de l'usure, de l'échauffement en fonctionnement, il réduit le rendement,

il cause des pertes de puissance.Le frottement n'est pas « bien » ou « mal », c'est un phénomène naturel qu'il faut connaître pour pouvoir le prévoir et l'utiliser.

La science du frottement s'appelle la tribologie.Ce thème est assez long, car les applications sont nombreuses. Le but est de montrer comment, à

partir des deux lois fondamentales, on trouve les formules pour ces applications. Vous n'avez pas à savoir démontrer les différentes formules, mais il est important de comprendre d'où viennent les formules « toutes faites » que vous utilisez.

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3 DIFFÉRENTS TYPES DE FROTTEMENT

3.1 Objectif

Le but de cette section est de recenser différentes situations type.

3.2 Développement

On distingue les frottements fluides des frottements solides.Le frottement fluide, c'est le frottement entre un objet (solide) et un fluide (liquide ou gaz) :

– c'est le frottement de l'air qui ralentit les objets : parachutisme, difficulté qu'a un cycliste à pédaler contre le vent, conception des formes de carrosseries de voiture pour diminuer la consommation d'essence (Cx), … ; c'est aussi lui qui crée le phénomène de portance qui permet aux avions et hélicoptères de voler ;

– c'est le frottement de l'eau qui fait qu'il est difficile de nager à contre courant, aussi lui qui ralentit les liquides dans les canalisations, causant les pertes de charge et les turbulences ;

– c'est le frottement de l'huile qui permet l'atténuation des mouvements dans un amortisseur.Le frottement solide est le frottement entre deux objets (solides). On distingue :

– l'adhérence, parfois appelé frottement statique : les deux objets sont immobiles l'un par rapport à l'autre ;

– le frottement, ou frottement dynamique : les objets sont en mouvement relatif (glissement, pivotement).Nous n'étudierons ici que les cas de l'adhérence et du frottement solide.

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4 CAUSE DE L'ADHÉRENCE ET DU FROTTEMENT

4.1 Objectif

Le but de cette section est de mettre en évidence la cause de l'adhérence et du frottement.

4.2 Développement

De nombreux matériaux ont une tendance naturelle à s'attirer entre eux. On peut mettre ce phénomène en évidence par des expériences simples :– tremper l'extrémité d'un sucre dans un café (« canard », voir figure 2-1) : on voit le café monter

dans le sucre ; le sucre attire le café vers le haut, cette force est plus forte que le poids ;– remplir un verre transparent d'eau : on voit que l'eau remonte légèrement (moins d'un

millimètre) le long de la paroi, le verre attire l'eau vers le haut ; c'est encore plus flagrant lorsque l'on a un récipient de petit diamètre, comme un tube à essais (formation d'un ménisque, voir figure 2-2).

On parle de « capillarité ».

Fig. 2-1 Canard dans le café : le café monte dans le sucre

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Fig. 2-2 Ménisque dans un tube à essais : l'eau remonte le long de la paroi

C'est cette attirance naturelle entre matériaux qui crée l'adhérence et le frottement. Le collage est un cas extrême de l'adhérence.

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5 PHÉNOMÉNOLOGIE DE L'ADHÉRENCE ET DU FROTTEMENT

5.1 Objectif

Le but de cette section est de décrire la manière dont agissent l'adhérence et le frottement.

5.2 Développement

5.2.1 Transition de l'adhérence au glissement

On veut déplacer une armoire en la poussant (voir figure 5.1). Lorsque l'on pose les mains, la force que l'on exerce est nulle. Puis, on pousse de plus en plus fort. Au moment où l'armoire commence à bouger, on s'aperçoit que l'on a besoin de pousser moins fort pour maintenir le mouvement. Si l'on réduit la force de poussée, le mouvement s'arrête, on se retrouve à nouveau en situation d'adhérence.

De ceci, on peut déduire trois choses :– il y a une force minimale à appliquer pour vaincre l'adhérence ;– il y a une force minimale à appliquer pour maintenir le mouvement, pour vaincre le frottement ;– la force pour vaincre le frottement est plus faible que la force pour vaincre l'adhérence.

Fig. 5-1 Déplacer une armoire en la poussant : une illustration de la transition entre adhérence et glissement

Pour déplacer l'armoire, mieux vaut la vider… Si l'armoire est pleine, cela augmente la force nécessaire pour vaincre l'adhérence et le frottement. Par ailleurs, il est plus facile de pousser une armoire sur du carrelage que sur du linoléum, et il est encore plus facile de pousser l'armoire si l'on met des patins en PTFE (Téflon®, type Glisdome de l'entreprise Pakameco-Erels). De ceci, on déduit que :

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– le frottement et l'adhérence augmentent avec la charge ;– le frottement et l'adhérence dépendent de la nature des matériaux en contact.

5.2.2 Résistance au roulement

Il est difficile de pousser une armoire de quelques dizaines de kilogrammes. Une voiture fait environ une tonne et pourtant on arrive à la pousser sur du plat (frein à main desserré et boîte de vitesse au point mort). On voit que la résistance au roulement est beaucoup plus faible que la résistance au glissement. C'est la raison pour laquelle il vaut mieux utiliser des systèmes roulants (roulements à bille, à rouleaux ou coniques, vis à bille, …) que des systèmes glissants, lorsque le surcoût engendré est compatible avec le cahier des charges.

5.2.3 Angle de glissement

Considérons une caisse chargée posée sur une table inclinable. Pour les faibles inclinaisons, la caisse va rester immobile, il y a adhérence. À partir d'une certaine inclinaison, la caisse va se mettre à glisser. On remarque que l'angle à partir duquel se produit le glissement ne dépend pas du poids de la caisse.

Fig. 5-2 Glissement d'un objet à partir d'une certaine inclinaison

Cet angle limite conditionne, par exemple, l'angle d'inclinaison maximale d'une route, d'un tapis convoyeur, …

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6 MODÉLISATION DE L'ADHÉRENCE

6.1 Objectif

Le but de cette section est de décrire la manière dont on modélise le phénomène d'adhérence.

6.2 Développement

6.2.1 Modélisation d'un appui

Dans le cas d'un appui — appui ponctuel, appui linéaire ou appui plan —, la force de contact qu'exerce un objet sur un autre est notée habituellement R (comme « réaction »). Dans le cas d'un contact sans adhérence, la force est perpendiculaire au plan d'appui. Lorsque l'on considère l'adhérence, cette force peut prendre une direction quelconque.

On décompose R en (voir figure 6-1) :– une composante perpendiculaire au plan notée N , la « composante normale » ;– une composante parallèle au plan notée T , la « composante tangentielle ».

Fig. 6-1 Modélisation de l'action de contact dans le cas d'un appui avec frottement : action globale R du support (gauche), décomposée en une composante normale N et une

composante tangentielle T (droite)

La composante normale N empêche l'objet de « passer à travers » le support ; la composante tangentielle T s'oppose au glissement.

Note : dans la modélisation classique des liaisons mécanique, on considère que les efforts s'appliquent au centre de la liaison, c'est-à-dire au centre de la surface de contact, et l'on a une force et un couple. Ici, nous considérons une force seule mais s'appliquant en un point différent de la surface. Les deux modélisations sont équivalentes, le couple de la

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modélisation « liaison mécanique » est tout simplement le moment de la force « modélisation adhérence » par rapport au centre.

Fig. 6-2 Deux modélisations équivalentes des actions mécaniques sur un appui plan

6.2.2 Modélisation analytique de l'adhérence

Il y a adhérence tant que l'intensité ∥T∥ de la force tangentielle est inférieure à une certaine valeur qui est proportionnelle à l'intensité ∥N∥ de la force d'appui (action normale) :

condition d'adhérence (loi de Coulomb) : ∥T∥s⋅∥N∥ .

où le coefficient μs (lettre grecque mu), également noté fs, est une constante appelée « coefficient d'adhérence » ou « facteur d'adhérence », et parfois « coefficient de frottement statique » ; il est sans unité. On peut aussi écrire :

condition d'adhérence (loi de Coulomb) : ∥T∥∥N∥

s .

La force limite entre adhérence et glissement vaut donc

∥T limite∥=s⋅∥N∥ ,

on retrouve le fait que la force limite augmente avec la charge (plus ∥N∥ est grand, plus ∥T∥ est grand).

Ce coefficient d'adhérence dépend de la nature des matériaux en contact : en effet, comme nous l'avons vu à la section 4.2 p. 5, l'adhérence est un phénomène d'attraction entre les matériaux, il dépend donc logiquement des matériaux.

Par contre, il ne dépend pas de l'aire de contact. Intuitivement, on serait tenté de dire que plus la surface de contact est grande, plus plus il y a adhérence ; cependant, la force d'appui se répartit sur une plus grande aire (notion de pression, voir figure 6-3), les deux phénomènes se compensent.

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Fig. 6-3 Plus la surface de contact est grande, plus la charge est répartie

Le coefficient d'adhérence dépend de l'état de surface des solides, mais assez peu. On aurait envie de dire que « les pièces glissent mieux si la surface est lisse », mais c'est faux : plus une surface est lisse, plus l'adhérence est forte. En effet, dans le cas d'un état de surface médiocre, il n'y a contact qu'entre les aspérités résiduelles des surfaces, la surface réellement en contact est donc plus faible que la surface mesurable (voir figure 6-4). C'est la raison pour laquelle en Formule 1 on monte des pneus lisses lorsqu'il ne pleut pas, et de même, les chaussons d'escalade ont des semelles lisses. Les dessins des semelles et pneus servent uniquement à évacuer l'eau (qui joue un rôle de lubrifiant) ; de même, le moletage sert à évacuer la transpiration et la graisse des mains.

Par ailleurs, si la surface des deux solides est très lisse, l'air ne peut plus se glisser entre les solides, la pression de l'air — environ 10 kN/m2 — sur les faces extérieures n'est plus compensée, on a un effet ventouse qui s'ajoute à la charge normale.

Dans la pratique, le coefficient d'adhérence dépend peu de l'état de surface, on ne prend donc en général pas en compte cet état de surface.

Fig. 6-4 Surface de contact réelle entre deux solides : effet des aspérités, les points de contact sont indiqués en rouge, l'air peut se glisser entre les aspérités

De même, la forme des surfaces — disque, carré, … — n'a pas d'influence.Le tableau 6-1 donne quelques valeurs de coefficients d'adhérence. Plus le coefficient est élevé,

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plus l'adhérence est forte (plus le contact s'oppose au glissement). Les valeurs vont typiquement de 0,04 à 0,8 ; pour les contacts métal sur métal, cela va typiquement de 0,1 à 0,2.

Tab. 6-1 Quelques valeurs de coefficients d'adhérence (surfaces sèches)

Matériaux en contact Coefficient d'adhérence(μs ou fs)

Angle d'adhérence(φs)

PTFE (Téflon®) sur acier 0,04 2 °

acier sur bronze 0,11 à 0,16 6 à 9 °

acier sur acier 0,18 10 °

acier sur fonte 0,19 11 °

métal sur bois 0,5 à 0,6 27 à 31 °

bois sur bois 0,65 33 °

pneu sur route sèche 0,8 39 °

6.2.4 Modélisation géométrique de l'adhérence

À la limite de l'adhérence, la composante tangentielle de l'action de contact est donc proportionnelle à la composante normale. On en conclue que le vecteur R fait toujours le même angle φs avec la normale au plan de contact (voir figure 6-5).

Fig. 6-5 À la limite du glissement, la direction de l'action de contact R par rapport à la normale au plan est constante : plus la charge est importante, plus il faut pousser fort

On définit le cône d'adhérence comme étant le cône de révolution dont :

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– le sommet est le point d'application de l'action de contact R ;– l'axe est la normale au plan de contact ;– le demi-angle au sommet est l'angle d'adhérence φs.Alors :– si le vecteur force R est dans le cône d'adhérence, il y a adhérence, le système est en

l'équilibre ;– si le vecteur force R est sur le cône d'adhérence, on est à la limite entre adhérence et

glissement, le système est à l'équilibre strict ;– si le vecteur force R est en dehors du cône d'adhérence, il y a glissement.

Fig. 6-6 Cône d'adhérence : transition entre adhérence et glissement lorsque la force de poussée F augmente

On a par ailleurs

tans=∥T∥∥N∥

soit tans=s

donc

s=arctan s

arctan étant la fonction arc tangente, c'est-à-dire la réciproque de la fonction tangente, habituellement notée Atan ou tan-1 sur les calculatrices.

6.2.5 Effet de la lubrification

La lubrification consiste à interposer un produit entre les surfaces au contact. La plupart du

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temps, le lubrifiant est un liquide (eau, huile) mais cela peut aussi être une « pâte » (gel, graisse) ou des particules solides (graphite, nitrure de bore).

Le lubrifiant s'interpose entre les matériaux, et affaiblit leur attirance naturelle. Il réduit donc le coefficient d'adhérence, comme le montre le tableau 6-2.

Tab. 6-2 Comparaison des coefficients et angles d'adhérence à sec et lubrifié

Matériaux en contact à sec lubrifié

acier sur bronze 0,11 à 0,16 (6 à 9 °) 0,1 (6 °)

acier sur acier 0,18 (10 °) 0,12 (7 °)

acier sur fonte 0,19 (11 °) 0,1 (6 °)

métal sur bois 0,5 à 0,6 (27 à 31 °) 0,1 (6 °)

bois sur bois 0,65 (33 °) 0,2 (11 °)

6.3 Arc-boutement

L'arc-boutement est un phénomène de coincement dû à l'adhérence. C'est le cas typique du tiroir : lorsqu'on l'ouvre, il bascule légèrement, si l'on se contente de pousser, on ne peut pas le fermer, car en poussant on augment la force normale donc la force d'adhérence. Il faut le lever pour réduire l'adhérence et ensuite pousser. Pour éviter ce problème, on fait des tiroirs à galet pour supprimer le frottement.

Fig. 6-7 Arc-boutement d'un tiroir

D'un point de vue de la conception, le problème risque de survenir lorsque l'on fait un guidage court en translation.

Pour un facteur d'adhérence μs donné, l'arc-boutement est une condition exclusivement géométrique.

Une règle empirique de conception est d'avoir un guidage d'une longueur égale à deux fois le diamètre. Cette règle est valable lorsque la force est axiale. Si la force n'est pas parallèle à l'axe de la glissière où si elle est décalée par rapport à l'axe, il faut étudier le système de manière plus précise. Pour éviter l'arc-boutement, on peut :– diminuer le facteur d'adhérence, par exemple en changeant de matériau (bague en bronze, en

PTFE), en lubrifiant, en remplaçant le glissement par du roulement (galet, douille à bille) ;– augmenter la longueur du guidage, par exemple en ajoutant des patins ou des galets au bout d'un

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bras (ce qui limite la quantité de matière nécessaire pour la pièce) ; on utilise en général la règle empirique du « 2:1 », la longueur de guidage est égale à la moitié du porte-à-faux ;

– en changeant le point d'application de la force, en la recentrant ; par exemple, dans un système bielle-piston, le pivot entre la bielle et le piston se trouve au centre du guidage avec la chemise.

Fig. 6-8 Méthodes pour éviter l'arc-boutement, de gauche à droite : arc-boutement, augmentation de la longueur du guidage, recentrage de l'action mécanique

Fig. 6-9 Solutions pratiques pour éviter l'arc-boutement : emplacement de l'articulation piston-bielle (haut), adjonction d'un patin de guidage (bas)

On peut vouloir provoquer volontairement l'arc-boutement, par exemple :– un nœud sur une corde, certains systèmes de réglage de sangles ;– les roues libres : la rotation dans un sens provoque l'arc-boutement et donc le verrouillage entre

l'axe et le moyeu, tandis que la rotation dans l'autre sens provoque la libération du système ;

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– systèmes de verrouillage rapide des roues de vélo : l'arc-boutement empêche la manette de basculer en position desserrée, système de blocage en position ouverte des trains d'atterrissage d'avion, système de verrouillage des serrages pneumatiques (maintien en position de pièces pour effectuer des opérations, p. ex. usinage) ;

– systèmes d'attache débrayables, comme par exemple pour les perches de téléski (brevet Pomagalski, 1937) ;

– système empêchant le dossier d'un siège de voiture de basculer en cas de choc (brevet Faurécia FR 2857305) ;

– il existe aussi des système permettant de faire coulisser un objet puis de le bloquer en position d'un simple geste.

Fig. 6-10 Systèmes utilisant le coinçage par arc-boutement : ratelier porte-objets (haut), fixation débrayable pour perche de téléski Pomagalski (bas)

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Fig. 6-11 Roue libre : le mouvement relatif de la bague extérieure (tambour) et de l'arbre-came provoque un couplage par arc-boutement des rouleaux dans un sens, et une désolidarisation

dans l'autre

6.4 Exemples de résolution de problèmes

6.4.1 Glissement sur un plan incliné

Reprenons le cas de la section 6.2.1 p. 9. Une caisse en bois ayant un poids de 20 daN est posée sur plan incliné en acier ayant d'un angle α par rapport à l'horizontale. Le facteur d'adhérence μs

vaut 0,5, et on suppose que la caisse ne risque pas de basculer. À partir de quelle angle d'inclinaison la caisse va-t-elle glisser ?

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Fig. 6-12 Présentation du problème 6.3.1 : caisse sur un plan incliné

1. Bilan des actions mécaniques : la caisse est soumise à une action à distance, son poids P , et à une action de contact, l'action du support R . On est dans le cas d'un problème à deux forces, on a donc évidemment R=−P .

Tab. 6-3 Tableau initial de bilan des forces du problème 6.3.1

Force Point d'application Direction/sens Intensité

P G ↓ 20 daN

R A? ↑ 20 daN

2. Résolution graphique : à la limite du glissement, R fait un angle de =tan 0,5=27 ° avec la normale au plan. Comme R est verticale, le plan fait donc un angle α = 27 ° avec l'horizontale.

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Fig. 6-13 Solution du problème 6.3.1

6.4.2 Glissement ou basculement sur un plan horizontal

On veut pousser une caisse en bois de 1,5 m de haut et 1 m de large ayant un poids de 20 daN sur un parquet également en bois. On veut savoir quelle force minimale il faut appliquer pour la faire glisser, et où appliquer la force pour qu'elle ne bascule pas.

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Fig. 6-14 Présentation du problème 6.3.2

1. Détermination de la force minimale pour faire glisser la caisse : isolons la caisse (cf. figure 6-15) ; elle est soumise à son poids P , à l'action du sol R — qui se décompose en sa composante tangentielle T et normale N — et à la force de poussée F ;

Tab. 6-4 Tableau initial de bilan des forces du problème 6.3.2


P G ↓ 20 daN

F B? → ?

R A? ↖ 33 ° avec Oy ?

La résolution graphique est immédiate puisque l'on connaît la direction des trois forces.Analytiquement, le principe fondamental de la statique (PFS) indique :∑ F extérieures=0 soit PFR=0 ou encore PF NT=0 (cette dernière forme

est plus pratique ici) ;si l'on projette sur les axes, on a :projection sur y : P N =0 , soit N=−P et ∥N∥=∥P∥ = 20 daN ;projection sur x : FT =0 , soit F=−T et ∥F∥=∥T∥ ;d'après la loi de Coulomb (p. 10) et la table 6-1 (p. 12), on a :∥T∥=s⋅∥N∥=0,65×20 = 13 daN ;

il faut donc pousser la caisse avec une force minimale de 13 daN pour la faire glisser.

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Fig. 6-15 Isolement de la caisse

2. Détermination de la position de la poussée : nous proposons une résolution graphique et une résolution analytique ; – résolution graphique : on est dans le cas d'un problème à trois forces P , F et R

non parallèles (la décomposition de R n'est pas intéressante ici), les forces sont donc concourantes ;la condition de stabilité est que le point d'application de R doit être dans la surface de contact entre la caisse et le sol ; si ce point est à l'extérieur, la caisse bascule ; à la limite du glissement, la force R fait un angle de 33 ° avec la verticale ; ces trois conditions permettent de construire graphiquement la solution : à la limite du basculement, le point d'application est à la limite de la caisse, on trace donc une droite passant par ce point et faisant un angle de 33 ° avec la verticale ; l'intersection de cette droite avec la droite d'action du poids (droite verticale passant par le centre de gravité G) donne le point de concours des forces I ; on sait donc qu'à la limite du basculement, la droite d'action de F passe par I ; la précision de la résolution dépend de l'échelle, pour une échelle de 1:10, on trouve une hauteur comprise entre 720 et 820 mm ; si on pousse au-dessus de cette ligne, la caisse bascule ;

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Fig. 6-16 Résolution graphique

Tab. 6-5 Tableau final de bilan des forces du problème 6.3.2


P G ↓ 20 daN

F y = 0,77 m à la limite → 13 daN

R x = 1 m à la limite ↖ 33 ° avec y 23,9 daN

– résolution analytique : les vecteurs force ont donc pour composantes

P 0−20 , F 13

0 et R−1320 (en daN) ;

à la limite du basculement, l'action du sol R s'applique au bord droit de la caisse, le point A de coordonnées (1;0) (en mètres) ; la force de poussée F s'applique au point B de coordonnées (0;yB) où yB est une inconnue ; calculons les moments pas rapport au point B (le moment le plus compliqué à calculer est celui de R puisque cette force est « en diagonale », on s'arrange donc pour que son

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moment soit nul) :M B P =0,5×20 = 10 daN∙m, M B F =−y×13 et M B R =0 ;

le principe fondamental de la dynamique (PFS) nous donne :

∑M B F extérieures=0 soit M B P M B F M B R =0ou encore 10−13 y0=0 , ce qui nous donney = 10/13 = 0,769 m = 769 mm.

Remarquons que la hauteur limite du point d'application B de la poussée ne dépend que de la largeur de l'objet et du facteur d'adhérence.

6.5 Bilan

Plus la force normale N qu'exerce un objet sur une surface est importante, plus le système s'oppose au glissement : il y a adhérence tant que la force tangentielle ne dépasse pas :

∥T∥s⋅∥N∥

L'adhérence entre deux matériaux s'exprime par le coefficient d'adhérence ou facteur d'adhérence, appelé μs ou fs, qui ne dépend que des matériaux en contact, et un peu de leur état de surface.

On peut aussi exprimer l'adhérence par l'angle d'adhérence φs :

tans= s .

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7 MODÉLISATION DU FROTTEMENT

7.1 Objectif

Le but de cette section est de décrire la manière dont on modélise le phénomène de frottement dynamique.

7.2 Développement

Le frottement est très semblable à la situation d'adhérence : c'est le même phénomène qui intervient (affinité entre les matériaux).

7.2.1 Modélisation analytique du frottement

Lorsqu'il y a glissement entre solides, l'action de contact s'oppose au mouvement. La force de contact tangentielle T a une norme constante :

∥T∥=d⋅∥N∥

où le coefficient μd, également noté fd, est une constante appelée « coefficient de frottement » ou « facteur de frottement », et parfois « coefficient de frottement dynamique » ; il est sans unité. On peut aussi écrire :

∥T∥∥N∥

=d .

Le facteur de frottement est plus faible que le facteur d'adhérence :

ds

en effet, le frottement provoque un échauffement et des vibrations qui modifient les conditions de contact. De fait, il varie avec la vitesse relative des deux objets. Cependant, pour les vitesse de glissement faibles, les coefficients d'adhérence et de frottement sont très proches et dans de nombreux cas, on estime que la valeur est la même :

d≃ s .

Tab. 7-1 Comparaison des coefficients et angles d'adhérence de frottement à sec pour des vitesses de glissement faibles

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Matériaux en contact adhérence frottement

acier sur bronze 0,11 à 0,16 (6 à 9 °) 0,1 (6 °)

acier sur acier 0,18 (10 °) 0,15 (9 °)

acier sur fonte 0,19 (11 °) 0,16 (9 °)

métal sur bois 0,5 à 0,6 (27 à 31 °) 0,2 à 0,5 (11 à 27 °)

bois sur bois 0,65 (33 °) 0,2 à 0,4 (11 à 22 °)

Fig. 7-1 Variation du facteur de frottement avec la vitesse de glissement

7.2.3 Modélisation géométrique du frottement

Comme pour l'adhérence, on peut tracer un cône de frottement dont le demi-angle au sommet est l'angle de frottement φd :

d=arctand

La force de contact est toujours sur le cône.

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7.2.4 Effet de la lubrification

Comme pour l'adhérence, la lubrification diminue le coefficient de frottement.

Tab. 7-2 Comparaison des coefficients et angles de frottement à sec et lubrifié

Matériaux en contact à sec lubrifié

acier sur bronze 0,1 (6 °) 0,09 (5 °)

acier sur acier 0,15 (9 °) 0,04 à 0,08 (2 à 5 °)

acier sur fonte 0,16 (9 °) 0,04 à 0,08 (2 à 5 °)

métal sur bois 0,2 à 0,5 (11 à 27 °) 0,02 à 0,08 (1 à 5 °)

bois sur bois 0,2 à 0,4 (11 à 22 °) 0,04 à 0,16 (2 à 9 °)

Par ailleurs, la lubrification sert aussi à évacuer la chaleur produite par le frottement et éventuellement les produits d'usure (« limaille »).

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8 RÉSISTANCE AU PIVOTEMENT

8.1 Objectif

Le but de cette section est d'appliquer le modèle vu précédemment au pivotement entre deux solides (articulations, paliers, freins, limiteurs de couple, embrayages, vis).

8.2 Développement

8.2.1 Pivotement avec contact latéral

Considérons un contact cylindre/cylindre avec jeu ; les cylindres ont un rayon R. Ce cas représente les paliers lisses et des articulations (pivot, pivot glissant, rotule).

On isole la pièce mâle, celle-ci est soumise à une charge radiale F 1 supposée ici verticale, et à l'action de contact de la pièce femelle F 2 qui lui est égale et opposée.

Au repos, la zone de contact entre les pièces est situé en bas sous l'effet de la charge radiale. Si la pièce mâle est soumise à un couple M, le point de contact va se décaler, la pièce mâle va rouler tout en maintenant l'adhérence (voir figure 8-1) ; le mouvement est très faible et il n'y a pas encore pivotement. D'un point de vue statique, la distance d entre les lignes d'action de F 1 et de F 2 crée un couple F 1×d qui s'oppose au moment.

Fig. 8-1 Déplacement du point d'application lorsque l'on exerce un couple

À la limite du pivotement, F 2 est sur le cône d'adhérence dont l'axe est normal au plan tangent au cylindre, c'est-à-dire passe par le centre (voir figure 8-2).

Si l'on fait varier la direction de la charge radiale F 1 , on trouve que la ligne d'action de

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F 2 passe par un cercle de centre O et de rayonr=R sins≃Rs

si μs est faible (voir le cours de mathématiques sur le développement limité des fonctions sinus et tangente, sin x≃tan x≃ x si x est en radians).

Fig. 8-2 Situation à la limite du pivotement : la droite d'action est tangent au cercle de rayon r=R sins

Cela permet la résolution graphique. Le principal problème est de déterminer de quel côté se trouve le point d'application de F 2 .

Par ailleurs, si le coefficient de frottement est faible, alors φs l'est aussi et donc la décomposition de F 2 en une composante normale et tangentielle donne :– N≃F 2=F1 ;– T= N≃ F1 .Le couple résistant maximum vaut donc

M max=R×T ≃RF 1 .

Certains freins utilisent le principe du frottement sur la surface latérale d'un cylindre :– freinage sur la roue (freins à sabot) des voitures à cheval et des trains ;– freinage sur l'axe ;– freinage à tambour.

On contrôle la force de pression normale N , et la force tangentielle T provoque un couple de freinage

C fr=±r⋅s⋅N .

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Fig. 8-3 Frottement périphérique

La puissance transmise est donc :

p=C fr⋅=±r⋅s⋅N⋅

et si le mouvement a une amplitude angulaire θ, le travail de la force de frottement vaut

W =C fr⋅=±r⋅ s⋅N⋅ .

8.2.2 Pivotement avec contact en bout

Ce cas représente les paliers en butée, des embrayages et des limiteurs de couple.Dans le cas du glissement linéaire entre deux solides, l'aire et la forme de la surface de contact

importent peu. Le cas est différent dans le cas du pivotement lorsque le contact est en bout.Supposons que la zone de contact soit un disque de rayon R et de diamètre D. L'aire de contact

vaut

S= D2

4.

La force axiale F se répartit sur cette surface, créant une pression

P= FS

.

Un petit élément de surface dS situé à une distance r du centre a une force normale

dN =P⋅dS

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et donc une force tangentielle valant

dT =dN=P dS ,

μ étant le coefficient d'adhérence ou de frottement selon le cas considéré (statique ou dynamique). Cette force tangentielle un un moment par rapport au centre

dM=r×dT=rP dS.

Pour avoir le moment résistant total, il faut sommer tous ces moments élémentaires :

M=∫ dM=∫ rP dS=P∫ r dS .

soit

M= P2R3

3= F

R2

2 R3

3

donc

M=23F R=1

3F D .

Si la surface de contact est une couronne de diamètre extérieur D et de diamètre intérieur d, on obtient :

M=23F

R3−r3

R2−r 2=13 F

D3−d3

D2−d 2 .

Les disque freins à disques et freins de bicyclette utilisent le frottement sur le flasque de la roue. Le calcul, dans son principe, est similaire.

On commande la force de pression N de la plaquette de frein sur le disque (ou du patin de frein sur la jante). La surface frottante est un secteur du disque (voir figure 8-4), on peut considérer que l'on a une force unique s'appliquant en un point unique situé à une distance r de l'axe de rotation, r étant déterminé grâce à l'intégrale ; on se retrouve avec des formules similaires au cas précédent :

C fr=±r⋅s⋅N , p=±r⋅s⋅N⋅ et W=±r⋅s⋅N⋅ .

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Fig. 8-4 Frottement sur un secteur du flasque

8.2.3 Pivotement d'une vis

Nous étudions ici le cas des systèmes à vis : vis d'assemblage, liaison hélicoïdale, système vis-pignon.

Dans le cas d'une vis de diamètre D et de pas p, la zone de contact est le filet. On peut voir le filet comme une rampe qui s'enroule. pour simplifier, nous considérons les vis à filet carré ; cette rampe fait un angle α avec la section droite de la vis. La pente se calcule facilement (voir figure 8-5) :– un tour de filet a à peu près une longueur πD (périmètre de la vis) ;– en un tour, on monte de p ;

– donc, on a tan≃ pD⇒≃arctan p

D .

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Fig. 8-5 Géométrie du filet de la vis : développement du filet

Considérons une petite portion dS du filet. On a une force de contact d R qui fait un angle φ avec la normale au filet, qui elle-même fait un angle α avec la verticale — dans le cas statique, on a l'angle φs à la limite du glissement, et dans le cas dynamique, on a l'angle φd durant tout le mouvement. On peut négliger la largeur du filet, donc les forces de frottement sont toutes à une distance D/2 de l'axe de la vis.

Dans le cas du vissage ou du dévissage, on exerce une force F dirigée dans le sens de la vis, c'est-à-dire vers le bas pour le dessin que nous avons fait.. La force R d'adhérence ou de frottement s'oppose au mouvement (voir figure 8-5) :– pour le vissage, la force R fait un angle φ - α avec la verticale ;– pour le dévissage, la force R fait un angle φ + α avec la verticale.

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Fig.8-6 Force d'adhérence ou de frottement dans le cas du vissage et du dévissage

La composante verticale de R s'oppose à F , on a donc :

F=R cos ± .

La composante horizontale de R constitue le couple de serrage (statique) ou le couple résistant (dynamique). Cette composante vaut

R x=R sin±= Fcos

±×sin±=F tan± .

Comme la force se trouve à une distance D/2 de l'axe, le couple vaut :

– M= D2×F tan − pour le vissage ;

– M= D2×F tan pour le dévissage.

Intuitivement, on retrouve le fait que le vissage est plus facile car la vis avance dans le sens de la force de pression (on a un signe moins, sin(φ – α) < sin(φ + α)).

La formule est plus compliquée si le filet n'est pas carré, ce qui est le cas général.Certaines vis sont réversibles, c'est-à-dire que l'on peut faire tourner la vis en appuyant dessus.

C'est le cas par exemple de certaine toupies (jouet) qui tournent lorsque l'on appuie dessus, ou de certaines mèches manuelles. Il faut pour cela que l'angle α soit important ; les vis ressemblent à un listel (partiel latérale d'un foret) ou aux tire-bouchons dont la partie centrale est pleine.

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Fig. 8-6 Toupie à pression utilisant la réversibilité de la vis

Dans certains cas, la réversibilité est problématique. Certaines vis à bille sont réversibles, en raison de la faible résistance.– Si α < φ, la vis est irréversible ;– si α > φ, la vis est réversible.

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9 RÉSISTANCE AU ROULEMENT

9.1 Objectif

Le but de cette section est de décrire le phénomène de résistance au roulement (roulement à billes, roulement à aiguilles, roulement conique, butée à bille, vis à bille).

9.2 Développement

9.2.1 Phénoménologie de la résistance au roulement

Bien qu'il ressemble fortement aux problèmes d'adhérence et de frottement, le phénomène de résistance au roulement a une nature différente. Il ne résulte pas d'une affinité entre les matériaux, mais de la déformation élastique de la matière.

Le phénomène est identique en statique ou en dynamique.Considérons le contact d'une bille ou d'un cylindre (roue, galet, …) sur un plan. Sous l'effet de

l'appui, le plan se déforme et vient former un bourrelet. C'est le franchissement de ce bourrelet qui constitue la résistance au roulement.

Fig. 9-1 Bourrelet de matière provoquant la résistance au roulement ; sollicitation par une force (centre) ou par un couple (droite)

9.2.2 Modélisation de la résistance au roulement

La résistance au roulement dépend de l'élasticité des matériaux, du rayon de la bille ou du cylindre, de la rugosité des surfaces et de la vitesse de roulement (en dynamique, le bourrelet n'est pas symétrique). Elle est donnée par la distance δ entre le centre de la liaison (point de contact entre les pièces s'il n'y avait pas de déformation) et le point d'application de l'action du support.

Il y a roulement si cette distance dépasse le coefficient de résistance au roulement δlim :

condition de roulement : lim

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Fig. 9-2 Coefficient de résistance au roulement

Tab. 9-1 Quelques valeurs de coefficients de résistance au roulement

Matériaux en contact Coefficient de résistance au roulementδlim (mm)

fonte sur acier 0,5

acier sur acier 0,4

pneu sur bitume 20 à 30

Considérons le cas d'une bille ou d'un cylindre de rayon r que l'on veut faire rouler sou l'effet d'une force F (schéma du milieu de la figure 9-1, schéma de gauche de la figure 9-2). On est en présence de trois forces concourantes. On en déduit que le triangle des forces est quasiment semblable au triangle formé par le centre A de la bille, le point de contact théorique B et le point du bourrelet à franchir C (voir figure 9-3).

Fig. 9-3 Détermination du facteur de frottement de roulement

En particulier, on a

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∥F∥∥P∥

≃r

soit ∥F∥≃r×∥P∥

On définit le facteur de frottement de roulement fr :

f r=r

et l'on a donc à la limite du roulement :

∥F∥= f r×∥P∥

Tab. 9-2 Quelques valeurs de coefficients d'adhérence

Dispositif Facteur de frottement de roulementfr

roulement à billes 0,0015

roulement à rouleaux 0,002

roulement à aiguilles 0,004

9.3 Bilan

La résistance au roulement suit une loi similaire à la résistance au frottement : il y a roulement si

∥T∥ f r⋅∥N∥

mais contrairement à la résistance au glissement :– le phénomène n'a pas la même nature, donc les coefficients sont différents ; il est environ 25 fois

plus faible dans le cas du roulement (fs = 0,1 pour un contact acier-bronze lubrifié, fr = 0,004 pour un roulement à aiguilles) ;

– le facteur de frottement est le même en statique et en dynamique (mais il évolue avec la vitesse de roulement) ;

– la lubrification n'a pas d'influence sur le roulement proprement dit (mais il permet de diminuer le frottement entre les billes et la cage).

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10 SYNTHÈSE

10.1 Objectif

Le but de cette section est de rappeler succinctement les principaux résultat du thème.

10.2 Développement

Adhérence

À la limite de l'adhérence, on a :

T= s N

avec– N : force normale (en N) ;– T : force tangentielle (en N) ;– μs : coefficient d'adhérence (sans unité).

D'un point de vue géométrique, l'action de contact R= NT se trouve sur le cône d'adhérence dont le demi-angle au sommet φs est appelé angle d'adhérence :

s=tans et s=arctan s

Frottement dynamique

On a une action de contact constante :

T = d N

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avec– N : force normale (en N) ;– T : force tangentielle (en N) ;– μd : coefficient de frottement (sans unité).

D'un point de vue géométrique, l'action de contact R= NT se trouve sur le cône de frottement dont le demi-angle au sommet φd est appelé angle de frottement :

d=tand et d=arctand

On a par ailleurs :

μd < μs et φd < φs,

mais on considère souvent que

d≃s et d≃s .

Basculement

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ANNEXES

Bibliographie

– D. SPENLÉ, R. GOURHANT, Guide du calcul en mécanique, éd. Hachette technique (Paris), 2003, ISBN 2-01-16-8835-3, p. 42-50, 99-111

– J.-L. FANCHON, Guide de mécanique — Sciences et technologies industrielles, éd. Nathan/VUEF (Paris), 2004, ISBN 2-09-178965-8, p. 77-92

– P. Agati, Y. Brémont, G. Delville, Mécanique du solide — Applications industrielles, éd. Dunod (Paris), 2003, ISBN 2-10-007945-X, p. 126-131

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Index

Aadhérence................................................................................................................................................

angle...............................................................................................................................................12coefficient...................................................................................................................................... 10cône................................................................................................................................................13effet.................................................................................................................................................. 3facteur d'.........................................................................................................................................25loi de Coulomb...............................................................................................................................10

aire de contact.....................................................................................................................................10angle.......................................................................................................................................................

de frottement.................................................................................................................................. 26angle d'adhérence....................................................................................................................................

valeurs............................................................................................................................................12valeurs à sec et lubrifié.................................................................................................................. 14

arc tangente.........................................................................................................................................14arc-boutement..................................................................................................................................... 15Bbasculement........................................................................................................................................ 20

condition limite.............................................................................................................................. 23Ccapillarité.............................................................................................................................................. 5coefficient...............................................................................................................................................

d'adhérence.................................................................................................................................... 10coefficient d'adhérence...........................................................................................................................

définition .......................................................................................................................................10valeurs................................................................................................................................. 12, 37 svvaleurs à sec et lubrifié.................................................................................................................. 14

coefficient de résistance au roulement....................................................................................................définition........................................................................................................................................37

composante.............................................................................................................................................tangentielle.......................................................................................................................................9

cône.........................................................................................................................................................de frottement.................................................................................................................................. 26

cône d'adhérence.................................................................................................................................13Coulomb.................................................................................................................................................

loi d'adhérence............................................................................................................................... 10Dd'adhérence.............................................................................................................................................

facteur............................................................................................................................................ 10

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définition.................................................................................................................................................coefficient de frottement................................................................................................................ 25facteur de frottement......................................................................................................................25

Eembrayage.............................................................................................................................................3état de surface..................................................................................................................................... 11Ffacteur d'adhérence............................................................................................................................. 10facteur de frottement de roulement.....................................................................................................38fd.........................................................................................................................................................25frein.......................................................................................................................................................3frottement...............................................................................................................................................

coefficient...................................................................................................................................... 25effet.................................................................................................................................................. 3facteur............................................................................................................................................ 25fluide................................................................................................................................................ 4

fs.............................................................................................................................................................définition........................................................................................................................................10valeurs............................................................................................................................................12valeurs à sec et lubrifié.................................................................................................................. 14

Llimiteur de couple................................................................................................................................. 3loi de Coulomb.......................................................................................................................................

adhérence....................................................................................................................................... 10lubrification.................................................................................................................................. 14, 27Nnormale (composante).......................................................................................................................... 9Ppivotement.......................................................................................................................................... 28pression...............................................................................................................................................10Ssurface.....................................................................................................................................................

aire de contact................................................................................................................................ 10état de............................................................................................................................................. 11

Ttribologie...............................................................................................................................................3Vvaleurs.....................................................................................................................................................

angle de frottement........................................................................................................................ 25coefficient de frottement................................................................................................................ 25facteur de frottement......................................................................................................................25

vitesse de glissement.......................................................................................................................... 25

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variation du facteur de frottement..................................................................................................26μμd........................................................................................................................................................ 25μs........................................................................................................................................................ 10


φφd........................................................................................................................................................26φs........................................................................................................................................................ 12


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Table des matières

1 Présentation....................................................................................................................................... 21.1 Résumé.......................................................................................................................................21.2 Objectif du thème.......................................................................................................................21.3 Pré-requis................................................................................................................................... 2

2 Introduction....................................................................................................................................... 33 Différents types de frottement........................................................................................................... 4

3.1 Objectif...................................................................................................................................... 43.2 Développement.......................................................................................................................... 4

4 Cause de l'adhérence et du frottement............................................................................................... 54.1 Objectif...................................................................................................................................... 54.2 Développement.......................................................................................................................... 5

5 Phénoménologie de l'adhérence et du frottement..............................................................................75.1 Objectif...................................................................................................................................... 75.2 Développement.......................................................................................................................... 7

5.2.1 Transition de l'adhérence au glissement.............................................................................75.2.2 Résistance au roulement.....................................................................................................85.2.3 Angle de glissement........................................................................................................... 8

6 Modélisation de l'adhérence.............................................................................................................. 96.1 Objectif...................................................................................................................................... 96.2 Développement.......................................................................................................................... 9

6.2.1 Modélisation d'un appui..................................................................................................... 96.2.2 Modélisation analytique de l'adhérence........................................................................... 106.2.4 Modélisation géométrique de l'adhérence........................................................................126.2.5 Effet de la lubrification.................................................................................................... 14

6.3 Arc-boutement......................................................................................................................... 156.4 Exemples de résolution de problèmes..................................................................................... 18

6.4.1 Glissement sur un plan incliné......................................................................................... 186.4.2 Glissement ou basculement sur un plan horizontal..........................................................20

6.5 Bilan.........................................................................................................................................247 Modélisation du frottement............................................................................................................. 25

7.1 Objectif.................................................................................................................................... 257.2 Développement........................................................................................................................ 25

7.2.1 Modélisation analytique du frottement............................................................................ 257.2.3 Modélisation géométrique du frottement......................................................................... 267.2.4 Effet de la lubrification.................................................................................................... 27

8 Résistance au pivotement................................................................................................................ 288.1 Objectif.................................................................................................................................... 288.2 Développement........................................................................................................................ 28

8.2.1 Pivotement avec contact latéral........................................................................................28

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8.2.2 Pivotement avec contact en bout......................................................................................308.2.3 Pivotement d'une vis........................................................................................................ 32

9 Résistance au roulement.................................................................................................................. 369.1 Objectif.................................................................................................................................... 369.2 Développement........................................................................................................................ 36

9.2.1 Phénoménologie de la résistance au roulement............................................................... 369.2.2 Modélisation de la résistance au roulement..................................................................... 369.3 Bilan.................................................................................................................................... 38

10 Synthèse.........................................................................................................................................4010.1 Objectif.................................................................................................................................. 4010.2 Développement...................................................................................................................... 40

Adhérence.............................................................................................................................40Frottement dynamique..........................................................................................................40Basculement......................................................................................................................... 41

Annexes.............................................................................................................................................. 42Bibliographie................................................................................................................................. 42Index.............................................................................................................................................. 43

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Documents

Adherence Et Frottement