Mat

emat

ikai

sta

tiszt

ika

elıad

ás,

föld

tudo

mán

yi B

Sc

(geo

lógu

s sz

akirá

ny)

2014/2015 2. félév

6. elıadás

Kon

fiden

cia

inte

rval

lum

�Def.: 1-α

megbízhatóságúkonfidencia

intervallu

m: Olyan intervallu

m, mely

legalább 1-α

valószínőséggel tartalm

azza a

keresett paramétert.

12

((

)(

))1

,P

TT

ϑϑ

αϑ

<<

≥−

∀∈

Θξ

ξ

Pél

da (

norm

ális

elo

szlá

s)

�A Gyorskenyér Kft automata kenyérsütı

készülékei egyszerre 100 kenyeret sütnek

ki. Ezek tömegei grammban m

érve

N(m

,102) eloszlással közelíthetıek, ahol

m a kezelı

beállításától függ. Egy

ellenırzésnél megmérték m

ind a 100

kenyér tömegét. Az átlag 990 g volt.

Készítsünk 95%-os megbízhatóságú

konfidencia intervallu

mot m-re!

Kon

fiden

cia

inte

rval

lum

nor

mál

is

elos

zlás

vár

ható

érté

kére

(is

mer

t sz

órás

ese

tén)

2

1

11

22

1 1

,...

,~

(,

),is

mer

t,(

)

1,

1,

1

ny

Nm

uy

Pu

mu

nn

Pm

un

Pm

un

αα

α α

ξξ

σσ

σσ

ξξ

α

σξ

α

σξ

α

−−

− −

Φ=

⇒

−<

<+

=−

>−

=−

<+

=−

Kon

fiden

cia

inte

rval

lum

vár

ható

érté

kre

(ism

ert s

zórá

s es

etén

)

22

1,.

..,

,,

,is

mer

t

11

1.

ni

iE

mD

Pm

nn

ξξ

ξξ

σσ

σσ

ξξ

αα

α

==

⇒

−<

<+

≥−

10%

1,64

3,16

5%1,

964,

47

2,50

%2,

246,

32

1%2,

5810

,00

12

uα

−

1 αα

Kon

fiden

cia

inte

rval

lum

”so

k”m

egfig

yelé

s es

etén

22

1

11

22

,...,

,is

mer

t

~1

.

ni

D

Pu

mu

nn

αα

ξξ

ξσ

σσ

ξξ

α−

−

=⇒

−<

<+

−

Pél

dák

(mily

en v

alós

zínő

ségg

el

szül

etik

fiúg

yerm

ek?)

�Svájcban 1871 és 1900 között a 2.644.757

megszületett gyerm

ekbıl 1.359.671 fiú

és

1.285.086 lány volt.

�Fiúk relatív gyakorisága így 0,5141.

1(1

)4

~2

()

12

2

Ese

tünkben

0,9

973 v

alósz

ínősé

ggel

0,5

132

0,5

150

pp

uu

Pp

un

n

p

ξξ

−≤

⇒

−<

<+

Φ−

≤≤

Kon

fiden

cia

inte

rval

lum

nor

mál

is

elos

zlás

vár

ható

érté

kére

(is

mer

etle

n sz

órás

ese

tén)

�Ha a szórás nem ism

ert, becsüljük

�Tétel (biz. nélkül): norm

ális eloszlású

minta esetén a m

intaátlag és a

tapasztalati szórás független

�n-1 szabadságfokút (Student) eloszlás:

()

n

n

n

tn

XX

X

,N

XX

X

~/

...

)10(

,...,

,

22 1

0

10

++

fü

gget

len

Kon

fiden

cia

inte

rval

lum

nor

mál

is

elos

zlás

vár

ható

érté

kére

(is

mer

etle

n sz

órás

ese

tén)

(fo

lyt.)

()

()

()

()

22

22

11

12

11,

1,1

1,1

22

1,1

1,1

,...,

~(

,),

...

/(

1)

~

()

1,

1,

1

nn

n

nn

y

nn

n n

Nm

n

nm

t

Pt

ty

Pt

mt

nn

Pm

tn

Pm

tn

αα

α α

ξξ

σσ

ξξ

ξξ

ξ σ

σσ

ξξ

α

σξ

α

σξ

α

−

−−

−−

−−

−−

−−

=−

++

−−

⇒

− <=

−<

<+

=−

>−

=−

<+

=−

ɶ

ɶ

ɶɶ

ɶ ɶ

Pél

da (

keny

ér. f

olyt

.)

�Tegyük fel most, hogy nem ism

erjük

Gyorskenyér Kft kenyereinek szórását. Az

átlag 990 g volt.

�Ismert 10 szórásnál 991,6 g volt a 95%-

os megbízhatóságúfelsıkonfidencia

határ.

�Amennyiben a korrigált tapasztalati

szórás is 10, akkor ez a határ csak kis

mértékben változik (991,8 g).

�Azonban 50-es korrigált tapasztalati

szórásnál ez az érték 999 g-ra változik.

ués

teg

yütth

atók

öss

zeha

sonl

ítása

15%

1,64

((1

,64)

95%

)u

−=

Φ=

1,1

5%

nt−

−n

26,

31

32,

92

42,

35

52,

13

101,

83

201,

73

501,

68

100

1,66

1000

1,65

Mindenhol azt olvasni, hogy a napi/heti/havi bad beat nem „számít”,

sokkal fontosabb a hosszútáv, amikor a m

atematikai esély érvényesül.

Jelenlegi eredményeink m

ennyire reálisak? Mikor ésszerőbb inkább

felhagyni a pókerrel? M

ikor lehetünk optimisták? Mekkora játékszám

szükséges ennek m

egállapítására?

Most bemutatok egy idevágótáblázatot, amely 95% pontossággal

megadja a jelenlegi játékszámod és nyerési %

-od alapján, hogy a jelen

eredményeid m

ennyire lehetnek valósak. (Pl. Ha 60%-os vagy 100 játék

után, akkor a valós nyerési százalékod igen nagy (95%-os)

valószínőséggel 50,4-69,6% között van.) Igaz, csak három -50-55-

60 %

-os -mutatóval dolgozik, de attól még igencsak hasznos a jövıbeni

tervek m

egalapozottságához.

http://w

ww.pokerakademia.com/poker_blogok/hideyoshi/mi_szamit_hosszutavnak_a_hu_sng_ban/

A táblázat helyességét

nem ellenıriztem! /AM/

After polling 1000 eligible voters, the Star-Tribune

Newspaper reported that 55% of Americans would

vote for James Bean and 45% for John F Daniels

+/-

3%.

Hip

otéz

isvi

zsgá

lat

�H0nullhipotézis (jelezni akarjuk, ha nem

igaz)

�H1ellenhipotézis

�Gyakran paraméterekkel fogalm

azzuk

meg:

00

11

01

: :

H H

ϑ ϑ

∈Θ

∈Θ

ΘΘ

=Θ

∪

Pél

dák

�Igaz-e, hogy 0,5 valószínőséggel születik

fiúgyerm

ek?

�H0: 0,5 valószínőséggel születik

fiúgyerm

ek

�H1: nem 0,5 valószínőséggel születik

fiúgyerm

ek

0 1

:0,5

:0,5

Hp

Hp

= ≠

Pél

dák

(fol

yt.)

�Mi lehet egy vezetı

által okozott károk

számának eloszlása?

�H0: a kárszám Poisson eloszlású

�H1: a kárszám nem Poisson eloszlású

Kár-

szám

01

23

45

67>7

Össze-

sen

Veze-

tık

száma

129524

16267

1966

211

31

51

10

148006

Ki t

anul

jobb

an?

Jegy

Fér

fiNı

Öss

zese

n

147

451

211

112

311

213

49

211

58

210

Öss

zese

n86

1197

Átla

g2,

12,

72,

1

2009. január 5-ei vizsga

H0: A nık jobban tanulnak

Lehe

tség

es h

ibák

�Elsıfajú

hiba: H0igaz, de elutasítjuk

�Másodfajú

hiba: H0hamis, de

elfogadjuk

�Döntésünknek a m

egfigyelésektıl

kell függnie.

�Mintateret 2 részre osztjuk:

elfogadási és elutasítási

tartományra.

Ala

pfog

alm

ak

�Emlékeztetı: �mintatér: a m

inta lehetséges

értékeinek halm

aza.

���

XeU X

k

�Xk: azon lehetséges értékek halm

aza, amelyek

megfigyelése esetén elutasítjuk a nullhipotézist.

�Gyakran statisztika segítségével határozzuk m

eg:

1,

()

0,

k k

T∈

=

∉

xX

xx

X

Lehe

tség

es h

ibák

�Elsıfajú

hiba: H0igaz, de elutasítjuk

�Másodfajú

hiba: H0hamis, de elfogadjuk

Akt

uális

hel

yzet

A n

ullh

ipot

ézis

ig

azA

nul

lhip

otéz

is

ham

is

Dön

tés:

Elfo

gadj

uk a

nu

llhip

otéz

ist

Hel

yes

dönt

ésM

ásod

fajú

hiba

Elu

tasí

tjuk

a nu

llhip

otéz

ist

Elsıfa

júhi

baH

elye

s dö

ntés

Ala

pfog

alm

ak

�Emlékeztetı:

Xmintatér: a m

inta lehetséges

értékeinek halm

aza.

�X

=XeU X

k

�Xk: azon lehetséges értékek halm

aza, amelyek

megfigyelése esetén elutasítjuk a nullhipotézist.

�Gyakran statisztika segítségével határozzuk m

eg:

1,

()

0,

k k

T∈

=

∉

xX

xx

X

Elsıfa

júhi

ba v

alós

zínő

sége

()

()

0

0 a

pró

ba

terj

edel

me,

ha

min

den

-r

a

X

a p

rób

a sz

ignif

ikan

cias

zin

tje

(más

kép

p:

a p

róba

pon

tos

terj

edel

me)

,

sup

X

k

k

P

P

ϑ

ϑϑα

ϑ

α

α

α∈

Θ

∈Θ

∈≤

∈=

ξ

ξ

Pél

da (

egye

tlen

meg

figye

lés)

H0: a m

egfigyelés N(4,1) eloszlású

Pél

da (

sörö

k m

egkü

lönb

özte

tése

)

�Ki tudják-e választani a különbözı

sört?

�24 emberen kísérleteztek.

01

11

:,

:3

3H

pH

p=

>

Az

elos

zlás

H0

eset

én

Krit

ikus

tart

omán

y m

egvá

lasz

tása

Más

odfa

júhi

ba v

alós

zínő

sége

()

1X

,e

P ϑϑ

∈∈

Θξ

Pél

da (

sörö

s)

�p=0.5 esetén a

másodfajú

hiba

valószínősége

Erı

függ

vény

()

()

1

A p

róba

erıfü

ggvén

ye

()=

X1-

X,

ke

PP

ϑϑ

βϑ

ϑ∈

=∈

∈Θ

ξξ

U-p

róba

2

1

00

10

10

10

0

0

01,.

..,

~(

,),

ism

eret

len

, is

mer

t.

: :(k

étold

ali

elle

nh

ipoté

zis)

':(e

gyold

ali

elle

nh

ipoté

zis)

'':(e

gyo

ldal

i el

lenh

ipo

tézi

s)

~(0

,1)

~,1

nN

mm

Hm

m

Hm

m

Hm

m

Hm

m

mU

n

HU

N

mm

HU

Nn

ξξ

σσ

ξ

σ

σ

= ≠ < >

−= ⇒

−

⇒

()

()

()

()

()

()

()

()

()

00

0

12

11

12

22

12

0

11

11

22

22

pró

ba

(két

old

ali

elle

nhip

oté

zis)

()

X: X

1

11

11

.2

2

()

X

11

1

y

k

mk

m

mk

m

mm

m

U

uy

xm

nu

PP

Uu

uu

mP

PU

u

mm

mP

uU

uP

un

nu

P

α

αα

α

α

αα

αα

σ

αα

α

β

ξ

σσ

−

−−

−

−

−−

−−

−

Φ=

−

=≥

⇒

∈=

≥=

−Φ

+Φ

−=

=−

−+

−−

=

=∈

=≥

=

−−

−−

<<

=−

−<

+<

=

−−x

ξ

ξ

00

11

22

00

01

12

2

11,

n

mm

mm

mu

nn

un

mm

mm

un

un

mm

αα

αα

ξ

σσ

σ

σσ

−−

→∞

−−

−−

−−

<<

−=

−−

−Φ

−+

Φ−

−

→

≠