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“Análisis de perfiles aerodinámicos mediante un método de paneles” Diego Lodares / Juan Manzanero 3º Curso. Especialidad: CTA

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AERODINÁMICA: MÉTODOS

NUMÉRICOS

Práctica nº 1: Análisis de perfiles

aerodinámicos mediante un

método de paneles

Diego Lodares Gómez DNI: 53816452-V

Juan Manzanero Torrico DNI: 04857557-W

Especialidad: CTA


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INTRODUCCIÓN

El siguiente informe recoge los resultados obtenidos tras el análisis del perfil

aerodinámico NACA 6300 aplicando un método de paneles (solución discretizada).

Se trata de un método numérico que encuentra su fundamento en la discretización de las

ecuaciones que permiten el cálculo de las cargas aerodinámicas sobre un perfil inmerso en un

fluido que se puede considerar potencial, volando en régimen subsónico e incompresible a

bajos valores del ángulo de ataque, es decir, las ecuaciones de la Teoría Potencial Linealizada.

Estas ecuaciones reducen el cálculo de las velocidades en la superficie del perfil a determinar

una distribución de torbellinos situados en el esqueleto de dicho perfil, que previamente ha

sido discretizado en un número finito de paneles.

Cada panel queda comprendido entre dos nodos, de tal forma que las incógnitas del modelo

resultan la intensidad de los torbellinos en cada nodo, y se aproxima la intensidad de dichos

torbellinos en cada panel mediante interpolación lineal de los correspondientes valores en sus

nodos anexos.

El problema resuelto por el método de los paneles es el llamado Problema Directo, de tal

forma que a partir de la línea de curvatura, el ángulo de ataque, y la velocidad de vuelo se

obtienen las magnitudes deseadas tras la resolución del algoritmo que caracteriza este

método.

Para conseguir una mayor generalidad en el análisis, se ha procedido a la adimensionalización

de las magnitudes mediante una dimensión característica. Para las longitudes se ha empleado

la cuerda del perfil, mientras que para velocidades se utiliza la velocidad de la corriente sin

perturbar, .

De esta forma la variable de longitud empleada,

,estará comprendida entre 0 (Borde de

ataque) y 1 (Borde de salida).

ANÁLISIS DE LA GEOMETRÍA DEL PERFIL

Para el desarrollo del trabajo se ha estudiado el comportamiento del ya citado perfil cuya

denominación es NACA 6300. Debido a que el método de paneles hace uso de la teoría

potencial linealizada, el espesor contribuye mediante un efecto de segundo orden, así que

únicamente se resuelve el problema antisimétrico o sustentador a partir de la línea media del

perfil.

La línea media de los perfiles tipo NACA se obtienen mediante dos parábolas tangentes en el

punto de máxima curvatura. En este caso, los valores numéricos utilizados han sido:


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De esta forma, introduciendo los parámetros en la expresión general que hace uso de la

condición de tangencia se obtiene la línea de curvatura representada:

RESOLUCIÓN DEL PERFIL MEDIANTE EL MÉTODO DE PANELES

Para la aplicación del método de paneles, en primer lugar se debe concretar la distribución

nodal de la que se va a hacer uso. Cualitativamente, como las mayores variaciones de las

magnitudes tienen lugar en los bordes de salida y de ataque, lo óptimo será disponer de una

mayor concentración de nodos en esta zona. Para evitar definir funciones a trozos, lo más

sencillo es el empleo de una distribución cosenoidal, de tal forma que automáticamente esta

función cumple con el requerimiento ya mencionado.

El número de nodos empleados es de 101 (de tal forma que el número de paneles es 100), ya

que así se obtiene un compromiso entre precisión de cálculo y exigencias computacionales.

Así, el perfil queda discretizado de la siguiente manera:

Figura 1: Línea media del perfil

Figura 2: Discretización de la línea media


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1) Distribución de sustentación a lo largo de la cuerda del perfil

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones que permiten determinar la distribución de

torbellinos para los ángulos de ataque pedidos ( es posible el cálculo de las

correspondientes distribuciones de sustentación del perfil:

Figura 3: Distribuciones de sustentación para distintos ángulos de ataque.

Puede observarse que en ninguno de los casos el perfil vuela al ángulo de ataque ideal, ya que

aparece la singularidad de tipo

haciendo divergir la solución al infinito. Para los

valores el coeficiente que marca el carácter de la singularidad es negativo y para

el coeficiente de la singularidad es positivo.

Además se cumple que el coeficiente de sustentación Cl (x) se anula en el borde de salida, de

tal forma que efectivamente se verifica la hipótesis de Kutta impuesta en el modelo.

Por último, en la figura también se ofrece la solución cuando el perfil vuela al ángulo de ataque

ideal, de tal forma que efectivamente la distribución de sustentación se anula en el borde de

ataque evitando la singularidad.

2) Coeficientes de fuerzas y momentos globales del perfil

Integrando la distribución de sustentación (es decir, sumando en el modelo numérico) a lo

largo de toda la cuerda es posible obtener el coeficiente global de sustentación del perfil y los


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coeficientes de momento aerodinámico respecto del centro aerodinámico (el cual resulta

independiente del ángulo de ataque de vuelo) y respecto del borde de ataque. Además se ha

calculado la posición del centro de presiones, definido como aquel punto en el que se

encuentra aplicada la sustentación (no se obtiene componente de momento).

Los resultados se recogen en la siguiente tabla:

α= -5 α= 0 α= 5

CL 0.0826 0.6309 1.1791

Cmac -0.1342 -0.1342 -0.1342

Cmba -0.1548 -0.2919 -0.4290

xcp/c 1.8749 0.4627 0.3638

Su representación gráfica se muestra a continuación:

Figura 4: Coeficiente de sustentación global Cl frente a ángulo de ataque.

Figura 5: Coeficiente de momento respecto al borde de ataque en función del ángulo de ataque.


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Figura 6: Coeficiente de momento respecto al centro aerodinámico

en función del

ángulo de ataque del perfil. Puede observarse cómo se mantiene constante sea cual sea dicho ángulo.

Figura 7: Posición del centro de presiones en función del ángulo de ataque del perfil. Tiende a infinito cuando se cumple que el coeficiente de

sustentación global del perfil tiende a cero, es decir, cuando la línea de sustentación nula tiene la dirección de la corriente incidente y α=-αLSN.


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En primer lugar, puede señalarse que la curva CL(α) preserva el carácter rectilíneo

característico de la teoría potencial linealizada.

También destaca la independencia del momento respecto al centro aerodinámico del ángulo

de ataque, tal y como anuncia su definición.

Por último, destacar que para α= -5 la posición del centro de presiones queda fuera del

esqueleto del perfil, esto no debe resultar una controversia, ya que es el punto en el cual

queda aplicada la distribución de sustentación, y no tiene por qué tratarse de un punto del

esqueleto.

3) Coeficientes característicos de la curva de sustentación del perfil

Aplicando las ecuaciones del método de paneles es posible calcular los coeficientes de la curva

de sustentación del perfil CL(α). Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

CL0 CLα αLSN (rad)

0.6309 6.2829 0.1004

TEORÍA POTENCIAL LINEALIZADA

En el siguiente apartado, se llevará a cabo un análisis análogo al anterior, pero aplicando las

expresiones propias de la teoría potencial linealizada de perfiles delgados volando en régimen

subsónico, utilizando el programa MATLAB para el cálculo de los coeficientes de los

desarrollos en serie trigonométricos propios de esta teoría.

Figura 8: Línea de sustentación nula. Cuando se cumpla la igualdad α=-αLSN, el coeficiente de sustentación global del perfil será nulo.


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a) Distribución de sustentación a distintos ángulos de ataque

Como se puede observar, la distribución correspondiente al ángulo de ataque ideal es la única

que evita la singularidad en el origen. Los resultados obtenidos mediante esta teoría se

asemejan en gran manera a aquellos fruto del método de paneles:

b) Cálculo de coeficientes aerodinámicos y posición del centro de presiones

La siguiente tabla muestra una comparación entre los dos métodos considerados:

Figura 9: Distribución de sustentación para el perfil volando a distintos ángulos de ataque (teoría potencial linealizada).

Figura 10: Comparación entre las distribuciones obtenidas para un ángulo de ataque de 5°.


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α= -5° α= 0° α= 5°

Cl T.P.L. 0.0827 0.6310 1.1793

M. Paneles 0.0826 0.6309 1.1791

Cmac T.P.L. -0.1342 -0.1342 -0.1342

M. Paneles -0.1342 -0.1342 -0.1342

Cmba T.P.L. -0.1549 -0.2919 -0.4290

M. Paneles -0.1548 -0.2919 -0.4290

xcp/c T.P.L. 1.8734 0.4627 0.3638

M. Paneles 1.8749 0.4627 0.3638

Puede concluirse que las soluciones obtenidas se hallan comprendidas en un aceptable

margen de confianza, ya que en un análisis de esta naturaleza basta con una precisión de dos

decimales para las magnitudes.

A continuación se muestran las representaciones gráficas de dichas magnitudes:

Figura 11: Coeficiente de sustentación global Cl en función del ángulo de ataque (teoría potencial linealizada).

Figura 12: El coeficiente de momento de cabeceo respecto al centro aerodinámico es independiente del ángulo de ataque del perfil.


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c) Cálculo de Cl0, Clα y línea de sustentación nula

La aplicación de la teoría potencial linealizada conduce a los siguientes resultados:

Teoría potencial linealizada Método de paneles

Cl0 0.6310 0.6309

Clα 6.2832 6.2829

αLSN (rad) 0.1004 0.1004

Puede comprobarse como los valores obtenidos mediante cada método son muy similares. De

hecho, la pendiente de la línea de sustentación del perfil (Clα) calculada a través de la teoría

potencial se aproxima más a su valor teórico (2π). Debería coincidir exactamente de no ser por

los errores de truncación propios de todo programa de cálculo numérico como MATLAB.

Figura 13: Coeficiente de momento calculado en el borde de ataque del perfil frente a ángulo de ataque (teoría potencial linealizada).

Figura 14: Posición del centro de presiones del perfil en función del ángulo de ataque(teoría potencial linealizada).


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Figura 15: Línea de sustentación nula calculada a través de la teoría potencial linealizada de perfiles.

INFLUENCIA DEL NÚMERO DE PANELES

Para evaluar el efecto del número de paneles en la solución del método se ha elevado su

número en un orden de magnitud, es decir, tomando 1000 paneles (frente a los 100 que se

tomaron en el análisis anterior).

Una vez resuelto de nuevo el problema con 1000 paneles, se extraen los datos numéricos

precisos (con un mayor número de cifras significativas para facilitar la comparación posterior)

para ver cómo han cambiado, y a su vez compararlos con la teoría potencial linealizada para

comprobar qué método resulta más preciso.

α= -5 α= 0 α= 5

CL 0.082660099913571 0.630971210921254 1.179282321928934

Cmac -0.134187989580943 -0.134188129368810 -0.134188269156679

Cmba -0.154853014559336 -0.291930932099124 -0.429008849638913

Xcp/c 1.873370764386313 0.462669178951743 0.363788078275599

Solución de la teoría potencial linealizada:

α= -5 α= 0 α= 5

CL 0.0826610288380190 0.630972384454094 1.179283740070170

Cmac -0.134188203313414 -0.134188203313414 -0.134188203313414

Cmba -0.154853460522918 -0.291931299426937 -0.429009138330956

Xcp/c 1.873355106992032 0.462668900604122 0.363787885607097

De esta forma, puede calcularse el error relativo a la teoría potencial linealizada:


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- Para N=1000:

ERROR α= -5 α= 0 α= 5

CL 1.123775569994e-05 1.859879876477e-06 1.202544551060e-06

Cmac 1.592781373059e-06 5.510514484530e-07 4.906784945618e-07

Cmba 2.879907114019e-06 1.258268005172e-06 6.729274917199e-07

Xcp/c 8.357942507183e-06 6.016129894049e-07 5.296176963367e-07

- Para N=100:

ERROR α= -5 α= 0 α= 5

CL 0.00112730355851456 0.000185924274416939 0.000119938983933838

Cmac 0.000157244897415810 5.36427751444799e-05 4.99593471258165e-05

Cmba 0.000286699619785070 0.000125120185393774 6.67971047666224e-05

Xcp/c 0.000841552623997118 6.08153960815134e-05 5.31482537148721e-05

Se comprueba la tendencia esperada: Al aumentar el número de paneles la solución tiende

asintóticamente a la de la teoría potencial linealizada. Este resultado no resulta sorprendente

ya que el método de los paneles es la resolución numérica de las ecuaciones de la TPL, por lo

que al tomar un mayor número de paneles se describe de forma más precisa la geometría de la

curvatura.

También ocurre algo similar con los valores obtenidos para los parámetros característicos de

la curva de sustentación:

CL0 CLα αLSN (rad)

N=100 0.630855071371338 6.282908809083086 0.100399862731999

N=1000 0.630971210921254 6.283182504173865 0.100422148236161

TPL 0.630972384454094 6.283185307179587 0.100422373940349

INFLUENCIA DE LA FORMA DE DISTRIBUCIÓN DE LOS PANELES

Para evaluar la repercusión que una distribución distinta de los nodos utilizados para

discretizar el perfil puede tener sobre los resultados obtenidos, se ha optado por representar

las distribuciones de sustentación disponiendo los nodos de distintas formas, manteniendo el

número de paneles constante e igual a 100.


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a) Nodos equiespaciados:

Los resultados numéricos del análisis se recogen en las siguientes tablas comparativas:

Nodos equiespaciados Distribución original (cosenoidal)

Cl0 0.6277 0.6309

Clα 6.2707 6.2829

αLSN (rad) 0.0997 0.1004

α= -5° α= 0° α= 5°

Cl Nodos equiespaciados

0.0805 0.6277 1.1749

Distribución cosenoidal

0.0826 0.6309 1.1791

Cmac Nodos equiespaciados

-0.1333 -0.1333 -0.1333


-0.1342 -0.1342 -0.1342

Cmba Nodos equiespaciados

-0.1535 -0.2902 -0.4270


-0.1548 -0.2919 -0.4290

xcp/c Nodos equiespaciados

1.9068 0.4624 0.3634


1.8749 0.4627 0.3638

Figura 16: Los nodos equiespaciados no son adecuados para representar la tendencia al infinito que la distribución de sustentación a lo largo del perfil muestra en el borde de ataque.


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b) Nodos concentrados en el centro:

Los resultados obtenidos para esta distribución son:

Nodos concentrados Distribución original (cosenoidal)

Cl0 0.6259 0.6309

Clα 6.2639 6.2829

αcl=0 (rad) 0.0994 0.1004

α= -5° α= 0° α= 5°

Cl Nodos concentrados

0.0793 0.6259 1.1726


0.0826 0.6309 1.1791

Cmac Nodos concentrados

-0.1328 -0.1328 -0.1328


-0.1342 -0.1342 -0.1342

Cmba Nodos concentrados

-0.1527 -0.2893 -0.4259


-0.1548 -0.2919 -0.4290

xcp/c Nodos concentrados

1.9250 0.4622 0.3632


1.8749 0.4627 0.3638

Figura 17: La ausencia de suficientes nodos en el entorno del borde de ataque hace que la forma de la distribución sea aún más inexacta: la tendencia al infinito de la curva

solamente llega a sugerirse tímidamente.


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COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON OTROS MÉTODOS

Previamente se ha comparado los resultados obtenidos mediante el método de los paneles

con los resultados analíticos de la teoría potencial linealizada, comprobando la veracidad de la

solución obtenida hasta cierto grado de aproximación, y viendo cómo a medida que se

aumenta el número de paneles se reduce la diferencia con la analítica.

A continuación se presenta la comparación de los resultados del método de paneles, más

concretamente la curva CL(α) con el programa JAVAFOIL.

Se han introducido en el programa los datos relativos a la línea media del perfil NACA 6300. Es

necesario señalar que no se le ha dado espesor al perfil, para poder establecer una

comparación en igualdad de condiciones con la curva obtenida a través del método de paneles

utilizado anteriormente.

Figura 18: coeficiente de sustentación global frente a

ángulo de ataque (mostrado en este caso en grados

sexagesimales). Caso sin viscosidad. Re=9x106.

Figura 19: coeficiente de sustentación global frente a ángulo de ataque (de nuevo,

en grados sexagesimales). Caso con viscosidad. Re=

9x106.


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Cabe destacar que no aparecen diferencias notables entre los casos con y sin viscosidad. Es

decir, para un número de Reynolds igual a 9x106 la introducción o no de fenómenos viscosos

no afecta en exceso a la curva Cl (α). Por otra parte, estas dos curvas han perdido su carácter

lineal, hecho debido sin duda a que el programa JAVAFOIL lleva a cabo un tratamiento más

complejo que la teoría potencial linealizada de perfiles. Sin embargo, en un entorno de la

abcisa α=0 todas las gráficas llegan a ser muy similares entre sí, llegando incluso a tener la

misma ordenada en el origen ( que, en el caso de la teoría potencial linealizada, se calcularía

como 2·π·αLSN). Esta última apreciación se erige como importante reivindicación de la validez

de la teoría potencial linealizada y los métodos de paneles asociados a ella para pequeños

ángulos de ataque, ofreciendo resultados satisfactorios de una forma rápida y relativamente

sencilla.

CONCLUSIONES

El método de paneles resulta un esquema numérico gratamente sorprendente en cuanto a la

fidelidad de los resultados que obtiene tras escasas operaciones de cálculo. Así, se ve que con

100 paneles obtenemos resultados totalmente válidos, ya que a lo largo del curso de

aerodinámica básica se ha recomendado con insistencia una precisión de dos decimales para

las magnitudes obtenidas.

En cuanto a las limitaciones que presenta este método, resultan las mismas que las que

presenta la teoría de la que proviene: la incapacidad de simular desprendimientos de capa

límite, el fenómeno de entrada en pérdida, no calcular resistencia viscosa ni de forma, etc.

Figura 20: coeficiente de sustentación global en función del ángulo de ataque (en radianes), aplicando el método de paneles con N=100.

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