Click here to load reader

Agrégation des préférences et décision collective

  • View
    215

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Agrégation des préférences et décision collective

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    AGRGATION DES

    PRFRENCES ET

    DCISION COLLECTIVECours 6b

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Prsentation

    Je souhaite raliser une mthode automatique de

    construction demploi du temps.

    Chaque agent a son utilit propre. Indpendamment de la

    mthode, quelle solution choisir?

    Comment agrger les prfrences des agents?

    Comment les agrger pour former une fonction duilit globale

    (bien-tre social)?

    Comment les agrger pour dcider de faon collective? (vote)

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Agrgation des prfrence : Bien-tre

    social Seule certitude: la solution sera un optimum de Pareto

    Sinon, on pourrait par dfinition trouver une solution qui serait meilleur pour un agent et aussi bonne pour les autres.

    Avantage de loptimum de Pareto: on ne compare jamais les valeurs des utilits de deux agents, seul lordre est considr La fonction dutilit peut tre une fonction dutilit ordinale.

    Les fonctions de bien-tre social suppose de pouvoir comparer les utilits (contrairement aux fonctions de vote) Affecter une utilit de 12,5 au lieu de 12 peut avoir un impact sur le rsultat de

    laffectation mme si cela ne change rien lordre des prfrences

    Cela nest pas gnant lorsquil est possible dassocier une valeur montaire une solution (par exemple en ou entre entreprises)

    J1 100 12 80 43

    J2 10 12 1 30

    J3 15 20 2 50

    J4 2 15 85 10

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Dcision collective

    Prsentation

    Bien-tre social

    Fonction utilitariste

    Fonction galitaire

    Fonction litiste

    Fonction quitable

    Dcision collective

    Mthodes de vote

    Paradoxes

    Votes pondrs

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Fonction utilitariste

    Dfinition:

    Avantages:

    Simple calculer

    (Relativement) simple optimiser (linaire)

    Naturelle dans de nombreux cas (par exemple quand les utilits

    sont montaires)

    volution connue de faon dcentralise

    Limites

    Pas de dimension galitaire

    (1000,0) est prfr (499,499)

    u2

    u1

    J1 100 12 80 43

    J2 10 12 1 30

    J3 15 20 2 50

    J4 2 15 85 10

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Exemple: la valorisation du temps de

    transport Extrait du rapport danalyse socio-conomique du

    Tramway T3:

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Fonction galitaire

    Prsentation

    Avantages

    Le plus faible est favoris

    Limites

    Mme pas un ordre lexicographique

    Calcul global ncessaire

    (100,100) est prfr (10000000,99)

    J1 100 12 80 43

    J2 10 12 1 30

    J3 15 20 2 50

    J4 2 15 85 10

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Fonction litiste

    Prsentation

    Avantages

    Peut tre utile dans le cas dagents artificiels, si lobjectif doit tre

    rempli quel que soit lagent

    Limites

    (10,0,0,0) meilleur que (9,9,9,9)

    Calcul global ncessaire

    J1 100 12 80 43

    J2 10 12 1 30

    J3 15 20 2 50

    J4 2 15 85 10

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Bien tre de Nash

    Prsentation

    Avantages Intermdiaire entre galitaire et utilitariste

    Leffet dun changement individuel sur la fonction global peut tre dduit localement Ce nest pas vrai pour le min et le max

    Dans ce cas, la fonction globale na jamais besoin dtre calcule

    Limites Complexe optimiser de faon centralis

    J1 100 12 80 43

    J2 10 12 1 30

    J3 15 20 2 50

    J4 2 15 85 10

    Util 127 59 168 133

    Max 100 20 85 50

    Min 2 12 1 10

    Nash 30000 43200 13600 645000

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Exemple dapplication aux SMA: utilisation du

    bien tre de Nash dans un rseau dchange [Nongaillard 2010,2011,2012]

    tude de leffet du rseau et des rgles dchange sur la fonction de bien-

    tre.

    Les agents font des changes (n:n) ou des dons (0:n) de biens.

    Les agents sociaux maximisent lutilit globale, les agents rationnels, leur

    propre utilit

    Efficacit des ngociations (bien etre de Nash et bien tre galitaire):

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Dcision collective

    Prsentation

    Bien-tre social

    Fonction utilitariste

    Fonction galitaire

    Fonction litiste

    Fonction quitable

    Dcision collective

    Mthodes de vote

    Paradoxes

    Votes pondrs

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Dcision collective: mthodes de vote

    Objectif

    3 candidats, 1000 votants.

    Qui choisir?

    Quelles procdure de slections choisir?

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Exemple 2

    J > B >C 71B > J > C 18B > C > J 38C > B > J 63

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Exemple simple

    Qui gagne?

    N votant

    O: Ensemble de candidats

    1 2 3

    W1 A B C

    W2 C A B

    W3 B C A

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Condition de Condorcet

    Condition de Condorcet: Si un candidat x est choisi, alors

    pour tout autre candidat y, il doit y avoir au moins 50%

    des votants qui prfrent x y.

    Lensemble de Condorcet est lensemble des candidats

    qui remplissent la condition de Condorcet.

    A > B > C > A

    1 2 3

    W1 A B C

    W2 C A B

    W3 B C A

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Ensemble de Smith

    Lensemble de Smith est le plus petit ensemble de candidats S vrifiant,

    Chacun des candidat de lensemble respecte la condition de Condorcet si on exclue les meilleurs.

    Si lensemble de Condorcet nest pas vide, ils sont identique

    Si lensemble est vide, lensemble de Smith contient le top cycle

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Mthodes de votes simples

    Un homme = Une voix lection uninominale un tour

    Ex: senat amricain

    Le gagnant est celui qui a le plus de voix

    Peu de pouvoir dexpression

    Un homme = n voix (il peut voter pour autant de candidats quil veut) Toujours peu dexpression (pas de classement)

    Bonnes proprits globales si cest suffisant

    Uninominal avec limination: chaque votant a une voix. Achaque tour, le candidat avec le moins de voix est limin Ex: Jeux olympiques

    Extension: lection uninominale 2 tours

    J > B >C 71B > J > C 18B > C > J 38C > B > J 63

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Mthode de Borda

    Principe: Chaque votant fourni un classement complet

    Le candidat class ime a n-i points (n-1 points pour le 1er, )

    Le vainqueur est le candidat avec le plus de points

    Mthode de Nanson Identique Borda, mais limine le dernier candidat et recalcule

    jusqu ce qui nen reste quun

    Avantage: Donne un candidat de lensemble de Condorcet sil est non vite, et de Smith sinon

    Ex proche: lection du ballon dor 2010 5*208 votants

    5 premiers classs

    J > B >C 71B > J > C 18B > C > J 38C > B > J 63

    J 160

    B 246

    C 164

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Exemples de problmes

    499 agents: a b c

    3 agents: b c a

    498 agents: c b a

    b est le vainqueur de Condorcet

    Le vote simple donne a

    Le vote simple avec limination donne c

    Borda et Nanson donnent b

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Exemple de problme

    Sensibilit un mauvais candidat:

    35 agents: a c b

    33 agents: b a c

    32 agents: c b a

    Simple?

    Simple avec limination?

    Borda?

    Nanson?

    Et si on retire c?

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Exemple 2: Sondage post-election avril 2012

    Simple?

    Simple avec limination?

    Simple 2 tours (uninominal 2 tours)

    Borda?

    Nanson?

    JLM FH FB NS MLP

    JLM 10,8 66 17 1 0 10JLM>FH>MLP>FB>NS

    FH 28,6 5,1 82 2,1 2 5FH>JLM>MLP>FB>NS

    FB 8,9 3 9 67 12 6FB>NS>FH>MLP>JLM

    NS 27 0 1 4 84 10NS>MLP>FB>FH>JLM

    MLP 19 0 2 0,1 2,1 96MLP>NS>FN>FB>JLM

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Cas extrme

    Retirer un candidat inverse le classement de Borda:

    3 agents: a b c d

    2 agents: b c d a

    2 agents: c d a b

    c b a d (13/12/11/6)

    Si on retire d:

    a b c (8/7/6)

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Thorme dimpossibilit de Arrow

    Si il y a plus de 3 candidats Il est impossible de dfinir une fonction

    de choix social W qui respecte les conditions suivantes:

    Optimalit de Pareto (EP):

    Si pour tout votant i o1io2 alors o1Wo2

    Indpendance aux alternatives irrelevantes (IAI): Le classement de

    W ne doit dpendre que des classements des agents pour que a W b change, il faut que la relation de prfrence entre a et b change

    pour au moins un agent

    Non dictatoriale (ND):

    Il nexiste pas un agent dont lordre des prfrence dtermine exactement lordre

    W.

  • Master IAC 2013 - 2014Philippe Caillou

    Solutions

    Relcher une hypothse

    Utiliser une mthode de ranking

    Les votants et les candidats sont les mmes

    Voter pour/contre: un homme = n voix

    Chacun ralise une partition de O

    Respecte les trois proprits

  • Master

Search related