TALLINNA ÜLIKOOL

MATEMAATIKA-LOODUSTEADUSKOND

INFORMAATIKA OSAKOND

Ainar Nõmm

Ruutfunktsioon ja tema graafik Proseminaritöö

Juhendaja: Jaagup Kippar

Tallinn 2006

Sisukord Sissejuhatus ................................................................................................................................ 3 Õppematerjali tutvustus.............................................................................................................. 4

Mis on ruutfunktsioon ............................................................................................................ 4 • Mis on ruutfunktsioon ................................................................................................ 4 • Ruutfunktsioon y = a x ² .......................................................................................... 4 • Ruutfunktsioon y = a x ² + c ................................................................................... 5 • Ruutfunktsioon y = a x ² + b x ............................................................................... 5 • Ruutfunktsioon y = a x ² + b x + c ......................................................................... 5

Ruutfunktsiooni graafik.......................................................................................................... 6 • Ruutfunktsiooni y = a x ² graafik.............................................................................. 6 • Ruutfunktsiooni y = a x ² + c graafik ....................................................................... 7 • Ruutfunktsiooni y = a x ² + b x graafik .................................................................... 7 • Ruutfunktsiooni y = a x ² + b x + c graafik.............................................................. 7 • Viete’i teoreem........................................................................................................... 8 • Joonised...................................................................................................................... 9

Ülesanded. ............................................................................................................................ 10 • Excel......................................................................................................................... 11

Esimene tööleht ............................................................................................................ 11 Teine tööleht................................................................................................................. 12 Kolmas tööleht ............................................................................................................. 13

• Ristsõna .................................................................................................................... 15 • Joonis2...................................................................................................................... 15 • Test ........................................................................................................................... 16 • Harjutusülesanded .................................................................................................... 17

Õppematerjali analüüs.............................................................................................................. 18 Mõningaid internetis leiduvaid õppematerjale ......................................................................... 19

Näited Miksikese ülesannetest ............................................................................................. 19 Koolielu materjalid............................................................................................................... 21 Teised ruutfunktsiooni leheküljed........................................................................................ 22

Interneti lehekülgedel leiduvate tööde ja käesoleva õppematerjali võrdlus............................. 23 Kokkuvõte ................................................................................................................................ 24 Kasutatud kirjandus.................................................................................................................. 25

2

Sissejuhatus Proseminaritöö raames on loodud arvutipõhine õppekeskkond üheksandale klassile

teemal „Ruutfunktsioon ja ruutfunktsiooni graafik”. Õppekeskond koosneb

õppematerjalidest, milles on kirjeldatud ruutfunktsioone ja nende graafikute

joonestamist ning harjutusülesannetest. Töölehed on loodud

programmeerimiskeeltega Java, HTML, PHP ja MYSQL ning programmidega MS

Excel, Hot Potatoes, MYSQL.

Õppematerjal on kõigile kättesaadav veebilehelt

http://www.tlu.ee/~ainar/pro.

Õppematerjal on mõeldud matemaatika tundide mitmekesistamiseks ja huvitavamaks

muutmiseks, samuti õpetaja abistamiseks ning õpilastele iseseisva töö tegemiseks.

Õpetaja võib programme seinale projekteerida ning neid õpilastega üheskoos

arutada, luua seoseid ning tulla uutele järeldustele. Õppematerjali on hea kasutada

ka juhul, kui õpetaja ei saa tundi mingil põhjusel läbi viia ning õpilased vajavad

seetõttu iseseisvat tööd. Samuti on seda hea kasutada õpilastel, kes soovivad

iseseisvalt antud teemaga tegeleda.

Proseminaritöö teksti osas tutvustatakse proseminaritöö jaoks valminud

õppematerjali ja räägitakse selle kasutusvõimalustest, antakse ülevaade kõikidest

programmidest ning selgitatakse, kus neid on kasutatud. Vaadeldakse loodud

õppematerjali tugevaid ja nõrku külgi, mis on seotud antud töös kasutatud

programmidega. Tutvume ka mõningate internetis leiduvate sama teema kohta

leiduvaid õppematerjalidega. Seejärel võrdleme neid loodud õppekeskkonna

materjaliga.

3

Õppematerjali tutvustus

Proseminaritöö käigus valminud õppematerjal moodustab terviku, kus õpilane saab

lühiülevaate ruutfunktsiooniga seonduvast. Õpilasel on võimalik õppida iseseisvalt

selgeks ruutfunktsioonid , , ning

. Samas on ka ülevaade nende funktsioonide graafikute

joonestamisest ning tähtsamatest mõistetest.

2axy = caxy += 2 bxaxy += 2

cbxaxy ++= 2

Õppekeskkond on jagatud kolmeks suuremaks pealkirjaks: Mis on ruutfunktsioon,

Ruutfunktsiooni graafik ja Ülesanded.

Mis on ruutfunktsioon

Selle pealkirja alla on paigutatud kõikide ruutfunktsioonide tutvustused,

lühikirjeldused ning lihtsamad näited arusaamiseks ruutfunktsiooni kui seose

olemusest.

• Mis on ruutfunktsioon

Meeldetuletus varem õpitud funktsioonidest ning seletatakse ära, mida endast

kujutab ruutfunktsioon.

• Ruutfunktsioon y = a x ²

Kindlasti kõige lihtsamini arusaadav osa õpilastele. Sisse on toodud kõrvuti näited

ruudu pindala ning ringi pindala valemite kohta ning on lisatud seletus, kuidas need

kaks valemit on seotud ruutfunktsiooniga.

Leheküljel leiab vastuse küsimustele: Mida endast kujutab ruutfunktsioon y = a x ² .

Mis on funktsiooni väärtus ja argument? Mida nimetatakse funktsiooni

määramispiirkonnaks ja väärtuste piirkonnaks.

4

Leheküljel on võimalik ka õpilasel lisada enda välja mõteldud elulisi ülesandeid, mida

saavad kõik hiljem lahendada.

• Ruutfunktsioon y = a x ² + c

Leheküljel jätkub eelmisest leheküljest saadud teadmiste abil uue ruutfunktsiooni

ülesehitus. Eelmise teema näidetest aretatakse välja ruutfunktsioon y = a x ² + c .

Õpilasele esitatakse pidevalt väljakutseid, mida lahendades jõuab õpilane ise

vastusteni, ehitades lahendused ülesse oma varasematele teadmistele.

Leheküljel on võimalik õpilasel ka ise lisada elulisi ülesandeid lahendamiseks, mida

saavad kõik hiljem lahendada.

• Ruutfunktsioon y = a x ² + b x

Veelkord saab õpilane kinnituse, et ta on tegelenud ruutfunktsioonidega juba sellest

ajast peale, kui ta õppis selgeks ruudu pindala valemi. Funktsioon samastatakse

valemiga. Ruutfunktsiooni y = a x ² + b x õppimine toimub läbi näite, kinnitades

pidevalt õpilasele, et ta teab mis asi on ruutfunktsioon y = a x ² + b x . Näide

lahendatakse kahe erineva võttega, kuid vastuseks saadakse mõlemal korral üks ja

see sama ruutfunktsioon (valem).

Õpilasel on antud võimalus ka enda mõtteid üles märkida ülesannete näol, mida

saaksid teised hiljem lugeda ja lahendada.

• Ruutfunktsioon y = a x ² + b x + c

Märgitakse ära, et ruutfunktsioonid y = a x ² , y = a x ² + c , y = a x ² + b x on

ruutfunktsiooni y = a x ² + b x + c erijuhud ning tuuakse välja, milliste tingimustega

saadakse ruutfunktsioonist y = a x ² + b x + c tema erijuhud. Taas lähenetakse

ruutfunktsioonile y = a x ² + b x + c läbi näite, et õpilasel tekiks ettekujutus, millised

võiksid olla elulised ülesanded selle funktsiooni kohta.

5

Sisse tuuakse mõisted ruutliige, lineaarliige, vabaliige ning nende abil ka

ruutkolmliikme definitsioon. Korratakse veelkord, mis on ruutfunktsiooni määramis-

piirkond.

Leheküljel on võimalik ka õpilasel lisada enda välja mõteldud elulisi ülesandeid, mida

saavad kõik hiljem lahendada.

Ruutfunktsiooni graafik

Nagu võrdelisel seosel, pöördvõrdelisel seosel ja ka lineaarfunktsioonil, millega on

õpilane juba ammu tuttav, nii on ka ruutfunktsioonil olemas graafiline kuju.

Tuletatakse meelde, kuidas nimetati võrdelise seose ja lineaarfunktsiooni graafikut

ning pöördvõrdelise seose graafikut ning üteldakse, et ruutfunktsiooni graafikut

nimetatakse parabooliks.

• Ruutfunktsiooni y = a x ² graafik

Toimub esimene kokkupuude ruutfunktsiooni graafikuga. Korratakse veelkord, kuidas

nimetatakse ruutfunktsiooni graafikut ning veel ühe erijuhu graafiku nimetust.

Jooniste ning ruutfunktsiooni väärtuste tabeli abil konstrueeritakse ruutfunktsiooni

y = x ² graafik. Antakse õpilasele ülesanne ise valmistada üks ruutfunktsiooni graafik

MS Excelis. Selgitatakse, miks on kasulik ruutfunktsiooni y = x ² graafik.

Õpilasele kinnistatakse mõisteid: parabool, põhiparabool, sümmeetria telg ehk

parabooli telg, haripunkt.

Joonestatakse veel mitu ruutfunktsiooni y = a x ² graafikut ning selgitatakse, millal

avaneb ruutfunktsiooni graafik ülesse ja millal alla. Mida suurem on kordaja a

absoluutvärtus, seda kitsam on parabool. Ja lõpuks paarilauseline kokkuvõte

tulemustest.

6

• Ruutfunktsiooni y = a x ² + c graafik

Ruutfunktsioonidel y = a x ² ja y = a x ² + c on erinevus ainult antud arvu c poolest.

Ehk siis y = a x ² on ruutfunktsiooni y = a x ² + c erijuht, kui c = 0 . Ruutfunktsiooni

graafik joonestatakse ruutfunktsiooni y = a x ² abil, nihutades ruutfunktsiooni

y = a x ² + c graafikut ülesse või allapoole konstandi c võrra mööda y-telge.

Õpilastele on välja toodud ka väärtuste tabel, mille väärtused on märgitud joonisele,

et õpilane saaks ettekujutuse kuidas joonestada ruutfunktsiooni y = a x ² + c

graafikut.

Räägitakse, mis on ruutfunktsiooni nullkohad ja kuidas neid leida ning korratakse,

millal avaneb parabool ülesse ja millal alla.

• Ruutfunktsiooni y = a x ² + b x graafik

Paragrahv algab õpilasele kinnitusega, et ta oskab joonestada parabooli väärtuste

tabeli abli. Ruutfunktsiooni y=ax²+bx parabool joonestatakse näite y = 2 x ² + 4 x abil. Täidetakse väärtuste tabel ning joonestatakse parabool.

Kuna parabooli on liigutatud ka mööda x-telge, siis ei ole enam parabooli telg y-telg.

Läbi graafikult leitud parabooli haripunkti koordinaatide tehakes kindlaks, kus on

sümmeetria telg. Tuuakse välja ka seos sümmeetria telje ja parabooli nullkohtade

vahel.

Lõpuks joonestatakse mitu ruutfunktsiooni y = a x ² + b x parabooli ning tehaks

kindlaks, millised on selle ruutfunktsiooni nullkohad.

Taas korratakse tingimusi, millal avaneb ruutfunktsiooni graafik ülesse ja millal alla.

• Ruutfunktsiooni y = a x ² + b x + c graafik

Ruutfunktsiooni y = a x ² + b x + c graafik joonestatakse funktsiooni y = a x ² + b x

abil, nihutades y = a x ² + b x parabooli c võrra kas ülesse või allapoole mööda y-

telge. Selgitatakse taas, kuidas leida sümmeetria telge. Õpilastele näidatakse

7

visuaalselt, et ruutfunktsiooni y = a x ² + b x + c graafik on parabool, mis lõikab y-

telge punktis ( 0 ; c ) .

• Viete’i teoreem

Meeldetuletus kaheksandas klassis õpitud taandatud ruutvõrrandi lahendamiseks

kasutatud Viete’i teoreemist. Kaheksanda klassi õpikus on teema märgistatud

tärniga, kuid üheksanda klassi õpilane võiks lahendada siiski lihtsamaid

ruutvõrrandeid peast. Kuna õpilastel on selge, mis on ruutfunktsiooni nullkohad, siis

õpetatakse õpilasele, kuidas on võimalik leida ruutfunktsiooni nullkohti Viete’i

teoreemi abil ning kuidas nullkohtade abil Viete’i teoreemi pöördteoreemi abil saada

ruutfunktsiooni. Leheküljel on ülesandeid lahendamiseks, kus tuleb leida Viete’i

teoreemi elemente.

Alguse ülesanne.

Õpilasel tuleb leida nullkohad ning täita nende abil tabel. Ülesande lahendamisega

saab alguse Viete’e teoreemi tuletamine. Nullkohad leitakse kasutades ruutvõrrandi

lahendusvalemit. Täites tabeli, peab õpilane jõudma järeldusele, et x1+x2=–p ja

x1·x2=q.

8

Ülesandes 1 tuleb kasutada Viete’i teoreemi taandatud ruutfunktsioonide nullkohtade

leidmiseks. Ülesanne on jõukohane õpilasele, kes on saanud aru Viete’i teoreemist,

sest lahendid on läbinähtavad ja ei nõua suurt pingutust õigete nullkohtade

leidmiseks.

Ülesanne 2 lahendamiseks peab õpilane kasutama Viete’i teoreemi pöördteoreemi

ning leidma taandatud ruutfunktsiooni kordajad p ja q.

Ülesanded annavad vastajale tagasisidet, kui vastava rea kõik elemendid on leitud.

Kui õpilane lahendas õigesti, ilmub „ÕIGE”, kui rida ei ole täiesti õige, siis ilmub

vastuseks „VALE”. Tagasiside ilmub alles siis, kui kõik rea lahtrid on täidetud.

Ülesanded on koostatud MS Exceli tabelis, mis on ehitatud html lehe sisse. Töötavad

MS Office 2003-ga. Vanemate versioonidega ei pruugi avaneda.

• Joonised

Java rakendus, mis joonestab ruutfunktsioone etteantud kordajate järgi. Graafiku

määramispiirkond on -30 kuni 30 ning väärtuste piirkond -30 kuni 30. Graafik

joonestab punasena parabooli mis on joonestatud viimasena (Nt. y = 2 x ² - 8 ).

Mustaga on joonestatud parabool, mille parameetrid on sisestatud programmi

eelviimasena. Programm jätab meelde kaks viimast graafikut, et õpilane saaks

võrrelda joonestatud paraboole.

9

Ülesanded.

Selle pealkirja all on võimalik leida ülesandeid oma oskuste proovile panemiseks.

Excel - Nende ülesannete lahendamiseks on vajalik, et arvutis oleks olemas MS

Excel. Õpilane leiab hulgaliselt ülesandeid, kus pead murda ning kui kõik on

lahendatud, saada ka kinnitust, kas ta on õigesti ülesanded lahendanud.

Ristsõna - Õiged sõnad õigetesse kohtadesse. Sõnad on seotud võrdelise seose,

pöörvõrdelise seose, lineaarfunktsiooni ning ruutfunktsiooni mõistetega ja ka

graafikutega.

Joonis2 - Selle ülesande lahendamiseks on vajalik JAVA tugi. Ülesandes

joonestatakse õpilasele ette ühe juhusliku ruutfunktsiooni graafik ja õpilane peab

leidma tema nullkohad.

10

Test - Teadmiste proov, mida peaks lahendama, kui kõik on selgeks saadud. Test on

aja peale.

Harjutusülesanded – Õpilaste enda loodud ülesanded.

• Excel

Ülesannete lahendamiseks saab maha laadida või otse internetis avada MS Exceli

tööraamatu. Tööraamat on jagatud kolmeks tööleheks.

Esimene tööleht

Esimese töölehe nimi on „väärtuste tabel”.

Lehel on seitse sarnast ülesannet ruutfunktsiooni graafiku joonestamise jaoks

vajaliku väärtuste tabeli koostamiseks. Iga ülesande juures on ka lünktekst, mis tuleb

ära täita.

Väärtuste tabelis on ette kirjutatud argumendi x väärtused ning ülesande tekstis on

kirjas ruutfunktsioon, mille abil tuleb täita tabel. Täites tabelit joonestatakse õpilasele

11

visuaalseks kontrolliks parabool nendest väärtustest, mida õpilane sisestab. Kui kõik

tabeli lahtrid on täidetud, saab õpilane kirjaliku kinnituse. Kui kõik vastused on õiged,

siis kinnituseks on sõna „ÕIGE”. Kui midagi on valesti on vastuseks „VALE”. Sõnaline

kinnitus on iga ülesande täidetud rea lõpus. Kui kogu ülesanne on õigesti täidetud,

siis vahetub ülesande all vasakus ääres olev tekst „Ülesanne lõpetamata” teksti

„Ülesanne on lõpetatud” vastu.

Ülesanded on mõteldud õpilase teadmiste kinnistamiseks ruutfunktsiooni, selle

joonestusoskuse ning graafiku tundmise kohta.

Teine tööleht

Teise töölehe nimi on „Viete’i”. Õpilasel tuleb kirjutada funktsiooni võrrandid

kasutades Viete’i teoreemi. Graafikule on joonestatud taandatud ruutfunktsioonide

paraboolid. Õpilane peab leidma nullkohad ning nende abil kirjutama, milliste

ruutfunktsioonidega on tegemist, täites vajalikud lahtrid. Õpilane saab tagasisidet, kui

ta on leidnud vastavat värvi ruutfunktsiooni nullkohad. Teine kord saab õpilane

tagasisidet, kui ta on sisestanud leitava funktsiooni kordajad. Õigesti lahendatud

12

ülesande osa korral saab õpilane tagasisidena programmilt sõna „ÕIGE”, eksimuse

korral ilmub vastus „VALE”. Ülesande lõpus on õpilasele antud veel üks tagasiside

vorm. „Ülesanne lõpetamata” on ülesande lõppu kirjutatud nii kaua kuni ülesandes on

õigesti lahendamata osi. Kui kõik vastused on õiged, vahetub kiri „Ülesanne

lõpetamata” kirja „Ülesanne on lahendatud” vastu.

Kolmas tööleht

Kolmanda töölehe nimi on „igasugust”. Esimeses ülesandes tuleb leida Viete’i

teoreemi abil taandatud ruutfunktsiooni nullkohad. Lahendamisele aitab kaasa

tagasiside.

13

Teises ja kolmandas ülesandes tuleb leida ruutfunktsiooni puuduvad kordajad, kui on

antud punkt, mida selle ruutfunktsiooni graafik läbib. Õpilane saab oma vastustele

tagasisidet.

Neljandas ja viiendas ülesandes tuleb õpilasel lahendada eluline ülesanne. Leides

ruutfunktsioon ehk valem, mille abil saab lahendada antud ülesannet. Kui õpilane on

ära kirjutanud õige funktsiooni, siis avaldatakse õpilasele ülejäänud ülesanne.

14

Ülesanne saab lahendatud, kui on täidetud õigesti avaldatud väärtuste tabel. Õpilane

saab ülesande lahendamisel vastuste kohta tagasisidet.

MS Exceli ülesanded on ülesse ehitatud kasutades tabelarvutus valemeid ning

graafikuid, kirjeldamaks ruutfunktsiooni ning andmaks tagasisidet. Ülesannetes, kus

tuleb sisestada nullkohad, ei ole oluline millises järjekorras neid sisestatakse.

• Ristsõna

Koostatud Hot Potatoes 6 abil. Ristsõnas on 20 funktsioonidega seotud sõna, mis

tuleb õpilasel ära arvata. Lahendamiseks on antud ajalimiit 15.00 minutit. Kui

ülesanne on lahendatud, saab õpilane vajutades nuppu „Kontrolli” abil teada, mitu

protsenti lahendatud ülesandest on õige. Pärast kontrollimist kustutatakse ristsõnast

kõik valed tähed, jättes alles õigetesse kohtadesse pandud tähed. Ristsõna

lahendamise aeg peatub, kui kõikidesse lahtritesse on märgitud õige sõna.

• Joonis2

Java rakendus, mis joonestab ruutfunktsioone etteantud kordajate järgi. Graafiku

määramispiirkond on -30 kuni 30 ning väärtuste piirkond -30 kuni 30. Õpilane peab

lahtritesse sisestama nullkohtade väärtused, järjekord ei ole oluline. Vastuste

kontrollimiseks tuleb vajutada „Kontrolli” nuppu. Ülesande taasalustamiseks tuleb

vajutada nupule „Uuesti”, mille peale genereerib ja joonestab programm uue

parabooli.

15

• Test

Iga õppematerjali peale koostatakse töö. Sellel lehel on koostatud Hot Potatoesega

test õpilase teadmiste kontrolliks. Testis on 15 küsimust, mis on juhuslikus

järjekorras. Küsimusi on valikvastustega, mitmevalikuga ning lühivastustega. Testi

täitmine peab mahtuma ajalimiiti 20 minutit. Õpilasel on võimalus vaadata küsimusi

ühekaupa või kõiki korraga.

16

• Harjutusülesanded

Lehekülg on loodud külaliste raamatu põhimõttel, kuhu õpilastel on võimalik

sisestada enda poolt välja mõteldud ülesandeid.

Ülesandeid saab sisestada õppematerjali juures ruutfunktsioonide lehekülgedelt.

Harjutusülesannete lehekülje loomisel on kasutatud PHP ja HTML-i ning MYSQL-i

andmebaasi. Harjutusülesannete lehele kuvatakse kuni sada õpilaste või õpetajate

poolt sisestatud ülesannet koos sisestaja nimega.

17

Õppematerjali analüüs

Loodud õppekeskkond sobib kokku üheksanda klassi ruutfunktsiooni teemaga. Antud

õppematerjal aitab teadmisi kinnistada ja kontrollida ning samuti ka hiljem antud

teemat meelde tuletada. Õppematerjal aitab arendada õpilase loogilist mõtlemist.

Õppematerjal muudab tavalised matemaatika tunnid huvitavamaks ja

vaheldusrikkamaks. Loodud töö aitab sisustada matemaatikatunde, mis toimuvad

arvutiklassis või matemaatika klassis. Õpilasel on võimalus õppematerjaliga tutvuda

ka kodus.

Töö aluseks on matemaatikaõpikud, kust on saadud idee harjutusülesannete ja

graafikute jaoks. Õppematerjal on abiks õpikutes olevale teooria õpetamisele ja

ülesannete lahendamiseks. Samas on õppekeskonda võimalik lisada hulgaliselt

ülesandeid, mis on õpilaste enda välja mõeldud või õpetaja poolt lisatud.

Ülesande programmid küll kontrollivad sisestatud vastust, kuid õpilane peab ise

ülesse leidma oma vead. Kõik ülesannete programmid peale „Testi” ei piira valesti

vastamiste korda. Õiget vastust näeb siis, kui lahendaja on korrektselt ülesande

sisestanud vormiväljale. Samuti võib ülesande hoopiski lahendamata jätta ja endale

uue ülesande valida. Vastuste sisestamise järjekord ei ole tähtis, kuid ülesande

lahendamiseks vajalik. Ülesanne loeb end lõpetatuks, kui kõikidele vastustele on

vastatud õigesti.

Kuna õppematerjal on valminud arvestades Tallinna 32. Keskkooli võimalusi, siis

teistel kasutajatel võib tulla probleeme õppekeskkonna avamisel. Õppekeskkond

vajab korrektseks töötamiseks programmeerimiskeele Java tuge, mille saab alla

laadida klikates õppematerjali sissejuhatuses oleval Java lingil või Java

koduleheküljelt. Samuti on vajalik Microsoft Office 2003 olemasolu. Nende

programmide puudumisel esinevad tõrked õppekeskkonna täielikul avanemisel.

18

Mõningaid internetis leiduvaid õppematerjale

Internetist võib leida võrdlemisi mitmekülgset infot erinevate teemade kohta. Samuti

on võimalik leida erinevaid töid ja programme matemaatika või teiste ainete

õppimiseks arvuti abil.

Ruutfunktsiooni kohta materjalid on enamuses loodud esitlusena või töölehtedena,

kasutades ülesannetega töölehtede valmistamiseks HTML-i ,MS Wordi, StudyWorksi

ning vähemal määral ka MS Exceli abi. Esitlused on loodud HTML-i ,MS Wordi ja

StudyWorksiga ning teadmiste kontrollimiseks valmistatud testide jaoks on kasutatud

kahte programmi: APSTest ning Hot Potatoes.

Paljud ruutfunktsioonidega seonduvad töölehed, õppematerjalid ja esitused ning

testid on kogutud kokku kahele lehele:

http://www.miksike.ee/docs/elehed/9klm2tssisu.htm

http://www.koolielu.ee/pages.php/03020302.

Näited Miksikese ülesannetest

Miksikeses on kogutud kokku palju HTML töölehti, mis on mõeldud õpilastele

lahendamiseks tunnis töölehtedena. Töölehtedele on jäetud piisavalt ruumi, et

õpilane saaks mahutada samale lehele ka ülesande lahenduse, mitte ei pea

ülesande lahendust kirjutama vihikusse.

Ruutfunktsiooni ja ruutfunktsiooni graafiku joonestamise kohta on loodud 24 töölehte.

Nendes on loodud ruutfunktsiooni y=ax²+bx+c ning tema erijuhtude y=ax², y=ax²+c ja

y=ax²+bx ning nende graafikute loomise koha mitmeid ülesandeid.

N1. Kas järgmised punktid asuvad funktsiooni y = -0,5x2 graafikul: A(-8;4) ja B(20;-6).

N2. Millise k väärtuse puhul läbib funktsiooni y = kx2 graafik punkte K(8;2) ja L(-5;-2).

N3. Teatud palli pindala valem on S = 4p r2. Leia palli raadius, kui pindala on 9p dm².

Millise spordialaga saaks sellise palliga tegeleda?

19

N4. Kas funktsiooni y = 4x2 - 5x + 1 graafik läbib punkte A(1;0), B(-2;27), C(-7;5) ja

D(10;25).

N5. Leia funktsiooni nullkohad: y = x2 - 5x + 3.

N6. Joonesta ühte teljestikku funktsioonide y = 3x2, y = 3x2 - 5 ja y = 3x2 + 4

graafikud. Leia jooniselt paraboolide haripunktide koordinaadid ja funktsioonide

nullkohad.

N7. Ruutfunktsiooni y = x2 - 6x + 8 haripunkti x-koordinaat on 3. Leia y-koordinaat.

Tee joonis.

Tavaliste töölehtede kõrvalt leiab ka huvitava ülesannete kogu Evi Oru poolt

lisamaterjali alt.

http://www.miksike.ee/docs/lisa/9klass/2teema/matemaatika/9klmatem_ruutvorrand_

eviorg.doc

Kahjuks ei ole koostatud tööleht loodud ruutfunktsiooni vaid ruutvõrrandi jaoks, kuid

ruutfunktsiooni õppimiseks on koostatud MS Wordi dokument väga vajalik, sest

ülesannete kõrval on toodud välja ka nende ülesannete lahendused.

20

Koolielu materjalid

Koolielus kogutud ruutfunktsiooni materjalide hulgas on palju esitlusi ja

õppematerjale, ülesannetega töölehti ning teste. Erinevalt Miksikesest on Koolielu

õppematerjal pandud paremini kategooriatesse.

Koolielu keskkond on mõeldud rohkem ruutfunktsiooni õpetamiseks. Ülesandeid on

vähem. Parimad õppematerjalid on loodud MS Wordi ja StudyWorksi abil.

Studyworksi kohta saab eestikeelset informatsiooni aadressilt

http://www.ise.ee/telemaatika98/kogumik98/studyworks.htm.

MS PowerPointi abil loodud esitlused on tagasihoidlikumad. Arvatavasti on

PowerPointi esitluste mõtteks näidata õpilastele mõisteid samal ajal kui õpetaja

selgitab, mida üks või teine mõiste tähendab. Väga palju on ka teste, mis on loodud

APSTesti abil, mis on mõeldud õpilasele teadmiste kontrollimiseks.

21

Hea matemaatika ja informaatika vahelise integreerimisega on hakkama saanud

Ethel Koit. Tiigrihüppe SA tunnikavade konkursile laekunud töö pakub välja ühe

võimaluse 10 (järjestikuse) ainetunni läbiviimiseks ruutfunktsiooni teemal. Seal

kirjeldatud tundides kasutatakse V. Saddolini programmi Function, MS Excelis tehtud

töölehti ja StudyWorksis valmistatud töölehti. Vastavad failid on esitatud

kokkupakituna (.zip), kasutamiseks on need seega eelnevalt tarvis lahti pakkida.

Eraldi on lisatud konkursitöö kohta koostatud programmi PowerPoint esitlus.

http://www.koolielu.ee/pages.php/03020302?txtid=2110

Teised ruutfunktsiooni leheküljed

Veel leidub Hot Potatosega loodud teste ruutfunktsioonide kohta. Allar Veelmaa,

Tiigrihüppe Sihtasutus ja Loo Keskkooli poolt loodud testid ruutfunktsioonide kohta

on leheküljel:

http://www.mathema.ee/testid/testiloend.html

Sellel leheküljel on kaks põnevat testi ruutfunktsiooni kohta, millest ühele on lisatud

ka ajamõõtur. Kahekümnest küsimusest koosnevad testid ruutfunktsioonide kohta

katavad suure osa ruutfunktsioonidega seotud mõistete ning graafikutega seotud

teadmistest. Omavahel on segamini testides esindatud ühe valikuga kui ka mitme

õige vastusega ülesanded. Need testid on võetud ka eeskujuks antud töös loodud

Testi loomisel.

Allar Veelma on valmistanud veel ruutfunktsioonide graafikute erinevate näidete

kohta lehekülje:

http://www.hot.ee/allarveelmaa/ruutfunktsioon.htm

Tartu Ülikoolis 1996 aasta kevadsemestril loetud kursuse Programeerimine 2

praktikum käigus kirjutas Argo Vilberg programmi ruutfunktsiooni graafiku

joonestamiseks. Programm kuvab ruutfunktsioon graafiku sõltuvalt kasutaja antud

kordajatest.

22

Interneti lehekülgedel leiduvate tööde ja käesoleva õppematerjali võrdlus Eelnevalt nimetatud interneti lehekülgedelt võib leida väga häid õppematerjale

õpetaja abistamiseks tunni läbiviimisel. Selle proseminaritöö käigus valminud

õppematerjalis on ühiseid jooni juba olemasolevate õppematerjalidega, kuid on ka

palju ideid, mis teevad antud töö eriliseks.

Suurimaks plussiks proseminaritöö juures on loodud harjutusülesannete lehekülg,

mille eesmärgiks on rakendada õpilase teadmisi ja loovust mõtlemaks välja ise

ülesandeid ning nende lahendusi.

Proseminaritöö abil on kokku liidetud õppematerjal ja väga palju erinevaid

ülesandeid, mille lahendamiseks on kasutatud erinevaid programme. Võrreldes teiste

õppematerjalidega internetis on proseminaritöö eeliseks veel õppematerjali

terviklikkus. Õpilane saab õppida ja ka kohe kasutada saadud teadmisi ülesannete

lahendamiseks, mida tavalistel internetis leiduvate ruutfunktsioonide materjali juures

nii suurel määral ei leidu.

Graafikute joonestamiseks on loodud programmeerimiskeelega Java vajalik

programm, mille abil saab joonestada paljude erinevate ruutfunktsioonide paraboole,

vahetades kordajate väärtusi. Vaadeldud interneti õppematrjalides oli graafikute

joonistamiseks kasutatud programmi StudyWorks, Pascal ja harjutusülesannetes

olevate tabelite jaoks programmi MS Excel. Antud proseminari graafiku

joonestusprogrammiga suudab võistelda ainult Pascaliga valminud programm.

Graafikuid saab kasutada erinevate ülesannete lahendamiseks ning katsetuste

tegemiseks. Internetis olevates töödes loodud graafikud on pigem konkreetsete

ülesannete lahendamiseks.

Olles tutvunud varem loodud õppematerjalidega, võin öelda, et minu poolt loodud

õppematerjal on omanäoline ning sobib hästi matemaatika tundide läbiviimiseks.

23

Kokkuvõte Loodud õppekeskkond on õpetajale suureks abiks ruutfunktsiooni ja tema graafiku

õpetamisel, muutes matemaatikatunnid mitmekesisemaks ja huvitavamaks. Lehekülg

on loodud õpitud ruutfunktsiooni kinnistamiseks ning on soovitatav kasutada

lisamaterjalina matemaatika õpiku tekstidele. Loodud ülesanded peale õpilaste endi

poolt loodud ülesannete on lahendatavad õppekeskonnas. Õpilaste enda poolt

loodud ülesannete jaoks võib minna vaja teisi lahendamise kohti, kas mõnda teist

programmi või vihikut.

24

Kasutatud kirjandus 1. http://www.koolielu.ee/pages.php/03020302 (05.03.2006 seisuga)

2. http://www.miksike.ee/docs/elehed/9klm2tssisu.htm (05.03.2006 seisuga)

3. http://www.mathema.ee/testid/testiloend.html (05.03.2006 seisuga)

4. http://www.math.ut.ee/ktv/1996/pro2/ (05.03.2006 seisuga)

5. http://www.koolielu.ee/files/Viete.ppt (05.03.2006 seisuga)

6. http://www.hot.ee/allarveelmaa/ruutfunktsioon.htm (05.03.2006 seisuga)

7. E. Abel, M. Abel, Ü. Kaasik Kooli matemaatika entsüklopeedia, Ilmamaa,

2001.

8. T. Lepmann, A. Telgmaa, A. Undusk, K. Velsker Matemaatika IX klassile,

Koolibri, 2002.

9. E. Pais Matemaatika õpik 9. klassile. I osa, Avita, 2002.

10. T. Tõnso Matemaatika 9. klassile, Mathema, 1998.

25