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CLASE: Nro. 15

NOMBRE: Carmen Esparza Villalba

CLASE: Ajuste de curvas – Método de Jacobi

CÁLCULO AVANZADO

ESCUELA: INGENIERÍA CIVIL

SEMESTRE: ABRIL 2013 – AGOSTO 2013

Contenidos

• Ajuste de curvas– Método mínimos cuadrados

• Regresión Lineal• Regresión Polinomial

• Método de Jacobi– Matriz ortogonal P

Ajuste de CurvasCuando los datos obtenidos de manera experimentalfluctúan o tienen un error, es necesario encontrar valoresintermedios que puedan predecirse a partir de los valoresobtenidos

– Método mínimos cuadrados• Regresión Lineal• Regresión Polinomial

• La mejor estrategia es encontrar unalínea que se ajuste a los datos.

• Si E = y –a0-a1x, básicamente estamosdiciendo que el error E es igual alvalor real “y” menos el valoraproximado a0+a1x, por lo tantonecesitamos encontrar el valor a0 y a1.

Lo podemos hacer a través de lassiguientes fórmulas

Ajuste – Regresión Lineal

Valor observadoDato (y)

Recta deregresiónestimada

FÓRMULAS Ajuste – Regresión Lineala1 = Pendiente•a1 = nxiyi-xiyi

nxi2-(xi)2

a0 = ordenada en el origen•a0 = ỹ – a1(xi/n)

Además podemos saber sila aproximación esaceptable y qué tan buenasi

•sy/x < sy (ajuste aceptable)

Sy = ((yi – ỹ)2 / (n-1)

Sy/x Desviación estándar

Sy/x = (yi–a0– a1xi)2/(n-2)

Sy/x Error estándar del estimado(dispersión alrededor de línea deregresión)

r2 = ((St – Sr) / St) * 100%

r2 = Coeficiente de determinación

r = Coeficiente de correlación

St = (yi – ỹ)2

Sr = (yi–a0– a1xi)2

• Conservando la mismaestrategia podemos agregarmás términos para tener unmejor ajuste.

• El sistema de ecuacionessiguientes permitirá encontrarlos valores de a0, a1 , a2 , …

• Fórmulas:

Ajuste – Regresión Polinomial

a0n + a1xi + a2xi2 + ... + amxi

m = yi

a0xi + a1xi2 + a2xi

3 + ... + amxim+1 = xiyi

a0xi2 + a1xi

3 + a2xi4 + ... + amxi

m+2 = xi2yia0xi

3+ a1xi4 + a2xi

5 + ... + amxi2m = ximyi

El sistema de ecuaciones puede resolverse por cualquiermétodo dependiendo de la cantidad de ecuaciones a utilizarpara un mejor ajuste. sy/x < sy (ajuste aceptable)

• Sy = ((yi – ỹ)2 / (n-1)

• Sy/x = (yi–a0– a1xi – …)2/(n-(m+1))

r2 = (St – Sr / St) * 100%

Dónde St = (yi – ỹ)2 y Sr = (yi–a0– a1xi – …)2

Si es Ajuste Cuadrático m = 2, porque se trunca en x2 en la 1eraecuación.

FÓRMULAS Ajuste – Regresión Polinomial

Ejemplo: a partir de los datos de la tabla que se presenta a continuación,ajuste un polinomio de segundo grado, utilizando regresión polinomial.

Xi Yi0 2,11 7,72 13,63 27,24 40,95 61,1

Para el caso que nos ocupa,

m = 2 (el grado del polinomio que necesitamos)n = 6 (la cantidad de datos)

Y el conjunto general de ecuaciones queda instanciado de la siguiente manera:

Xi Yi Xi2 Xi3 Xi4 XiYi Xi2 Yi0 2,1 0 0 0 0 01 7,7 1 1 1 7,7 7,72 13,6 4 8 16 27,2 54,43 27,2 9 27 81 81,6 244,84 40,9 16 64 256 163,6 654,45 61,1 25 125 625 305,5 1527,5

∑Xi ∑Yi ∑Xi2 ∑Xi3 ∑Xi4 ∑XiYi ∑Xi2Yi15 152,6 55 225 979 585,6 2488,8

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Por lo tanto, las ecuaciones lineales simultáneas son:

O en un “formato” más familiar:

Resolviendo ese sistema con alguna técnica como la eliminación gaussiana,se obtiene:

ao = 2.47857 a1 = 2.35929 a2 = 1.86071

El polinomio es: 1.86071x2 + 2.35929x + 2.47857

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Debemos calcular Sr y StSr nos servirá para calcular el error estándar de aproximación basado en la

regresión polinomial.St nos servirá para calcular el coeficiente de determinación.

Xi Yi Xi2 Xi3 Xi4 XiYi Xi2 Yi ( Yi – Ytrazo )2 ( Yi - ao - a1xi - a2xi2 )2

0 2,1 0 0 0 0 0 544,4444 0,143321 7,7 1 1 1 7,7 7,7 314,4711 1,002862 13,6 4 8 16 27,2 54,4 140,0278 1,081583 27,2 9 27 81 81,6 244,8 3,1211 0,804914 40,9 16 64 256 163,6 654,4 239,2178 0,619515 61,1 25 125 625 305,5 1527,5 1272,1111 0,09439

∑Xi ∑Yi ∑Xi2 ∑Xi3 ∑Xi4 ∑XiYi ∑Xi2Yi St Sr15 152,6 55 225 979 585,6 2488,8 2513,3933 3,74657

Xtrazo 2,5000Ytrazo 25,4333

ao = 2.47857 a1 = 2.35929 a2 = 1.86071

Sy/x =Sr

n – (m+1)Sy/x =

3.746576 – 3 = 1.1175

Sy =St

n - 12513.3933

5= = 22.4205

r =St - Sr

St2 2513.3933 - 3.74657

2513.3933 = 0.99851=El resultado indica que el 99.851%de la incertidumbre original se haexplicado mediante el modelo.

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El método de Jacobi se basa en la transformación de unamatriz A en otra semejante, A1, mediante una matrizortogonal de paso P.El objetivo es convertir en ceros (o valores semejantes acero) todos los valores de la matriz triangular superior, o dela matriz triangular inferior, de una matriz cuadrad A.

Método de Jacobi

A

0

1A

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

A

0

2

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Desarrollo de el método de Jacobi1.- Se construye la matriz A1, semejante a AA1 = P1’A P1Para ello se determina el elemento Apq (elemento de mayor valorabsoluto) de la fila p y la columna q que se hará cero ( p ≠ q) de lamatriz triangular inferior, de la matriz Ak.

Método de Jacobi

01

1

1

p

q

k

a

a

A

pqp

q

aa

a

PAk

1

1

13

Desarrollo de el método de JacobiLa matriz P que es la matriz de transformación tiene lasiguiente forma:

( p, p ) = cos ө(q, q ) = cos ө(q , p ) = -sen ө( p , q ) = sen ө

Método de Jacobi

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Desarrollo de el método de JacobiLa base del método consiste en obtener Ө de tal manera que el elemento apqcorrespondiente a la matriz Ak+1 sea nula. El valor de ( Ө) se obtiene de lasiguiente ecuación.

2).- Se construye A2 semejante a A1Se determina el elemento apq de la nueva matriz A1 y la nueva matriz detransformación P2

A2 = P2’ A1 P2

3).- Se construye A3; A4;..............Ak+1

Método de Jacobi

appaqq

apqarctag

221

15

Desarrollo de el método de Jacobi

3).- Se construye A3; A4;..............Ak+1A3 = P3’ A2 P3A4 = P4’ A3 P4

‘’ ‘’ ‘’‘’ ‘’ ‘’‘’ ‘’ ‘’

Ak+1 = Pk+1’*Ak*Pk+1

Ak+1 = Dk+1 + Ek+1; donde

Dk+1 = es la matriz que contiene a los elementos de la diagonal de Ak+1

Ek+1 = Matriz que contiene a los elementos que no están en la diagonal deAk+1

Método de Jacobi

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Calculo de valores propios

El proceso se resume en lo siguiente:Se determinan

Ak+1 = P’ x A x PP = P1 x P2 x P3 x P4 x P5..................Pk+1

Los elementos de las columnas de P son los vectores propios de A

Método de Jacobi

14321123411

3211233211233233

211221122122

111

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kkkkk PPPPPAPPPPPPPA

PPAPPPPPPAPPPPPAPA

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APPA

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Calculo de valores propios

El proceso se resume en lo siguiente:Se determinan

Ak+1 = P’ x A x PP = P1 x P2 x P3 x P4 x P5..................Pk+1

Los elementos de las columnas de P son los vectores propios de A

Método de Jacobi

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