Ajustes de Curvas de Permeabilidad Relativa

AJUSTES DE CURVAS EXPERIMENTALES PARA LA DETERMINACIÓN DE PERMEABILIDADES RELATIVAS EN SISTEMAS AGUA-PETRÓLEO

POR EL MÉTODO NO ESTACIONARIO, A PRESIÓN DE FLUJO CONSTANTE

Esteban L. González1, Ricardo A. Prado1

1: Ftad. de Ingeniería, Universidad Nacional del Comahue, Calle Buenos Aires Nº 1400, Q8300IBX Neuquén Capital.

[email protected], [email protected]

Palabras clave: Ajustes analíticos, ecuaciones simples, permeabilidades relativas, sistemas agua-petróleo

ABSTRACT

Curve fitting for determining the relative permeability in water-oil systems at a constant flow pressure by the unsteady methodIn the present work, the experimental curves for the water injected and the produced oil are fitted by means of simple analytical functions in order to determine the relative permeabilities under unsteady conditions at a constant flow pressure.The results obtained from this technique are compared with those from other methodologies, in order to highlight the advantages of the present method, namely its simplicity and the speed of calculation.

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo trata sobre la obtención de curvas de permeabilidad relativa agua petróleo,

conocida su importancia en la Ingeniería de Reservorios. Estas curvas se obtienen a partir de

ensayos de laboratorio realizados en muestras de corona de pequeño diámetro. Esta determinación

se puede realizar por distintos métodos, los cuales pueden agruparse en métodos estacionarios o

no estacionarios. En general, estos últimos son simples de llevar a la práctica y consumen menor

tiempo de estudio, razón por la cual este trabajo se basa en un método no estacionario.

Una vez obtenidos los datos experimentales y planteadas las hipótesis establecidas por Buckley

y Leverett (1942) y por Welge (1952) pueden obtenerse las curvas de permeabilidad relativa. En

general las curvas de permeabilidad relativa se determinan en forma analítica o gráfica. El desarrollo

analítico requiere del ajuste de las curvas experimentales y sus derivadas, lo que en muchas ocasiones

resulta muy laborioso, teniendo en cuenta que no solo se debe tener un ajuste matemático sino que

también este ajuste debe representar lo que ocurre verdaderamente en el estudio.

325

IX Congreso de Exploración y Desarrollo de HidrocarburosSimposio Evaluación de Formaciones: De Archie a los No Convencionales

IAPG • Instituto Argentino del Petróleo y el Gas


326 Simposio Evaluación de Formaciones: De Archie a los No Convencionales

Generalmente las curvas de ajuste son polinomios de grado 5 o superior, en las cuales para estos ca-

sos deben determinarse al menos 8 constantes, lo que requiere normalmente de correcciones manuales.

En este trabajo se proponen nuevas funciones de ajuste, las cuales fueron probadas en varios

ensayos llevando a resultados concordantes con los métodos empleados actualmente, pero con

menor tiempo de trabajo.

DESARROLLO

El ajuste de las curvas de producción para este trabajo, se basa en curvas experimentales

obtenidas por el desplazamiento de petróleo por agua en muestras de areniscas de pequeño

diámetro (cilindros de 38 mm de diámetro y longitudes entre 6 y 20 cm), a presión de flujo

constante y en forma no estacionaria.

Por su parte, los datos experimentales para la obtención de las curvas de permeabilidad relativa

son pocos y sencillos de obtener; ya que sólo se necesita disponer de algunos datos de la muestra

como su longitud y su área, algunos datos de los fluidos, sus densidades y viscosidades en las

condiciones del ensayo (a la presión y temperatura del estudio) y los valores medidos durante el

barrido de volúmenes inyectados de agua y producidos de petróleo en función del tiempo.

Las ecuaciones necesarias para la determinación de las permeabilidades relativas teniendo en

cuenta los trabajos de Buckley y Leverett (1942) y Welge (1952) son:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

donde:

Sws: saturación de agua en la cara de salida [fracción]

Swi: saturación de agua irreductible [fracción]

Vo: volumen producido de petróleo [cm3]

Vt: volumen inyectado de agua [cm3]

IAPG • Instituto Argentino del Petróleo y el Gas 327

Ajuste de curvas experimentales para la determinación de permeabilidades relativas en sistemas agua-petróleo por el método no estacionario, a presión de flujo constante

VP: volumen poral de la muestra ensayada [cm3]

qo: caudal de petróleo producido [cm3/s]

q: caudal de agua inyectada [cm3/s]

kro(SwS:): permeabilidad relativa al petróleo en la cara de salida

krw(SwS:): permeabilidad relativa al agua en la cara de salida

k: permeabilidad absoluta [mD]

L: longitud de la muestra [cm]

A: área de la sección transversal de la muestra [cm2]

mw: viscosidad del agua en condiciones del ensayo [cP]

mo: viscosidad del petróleo en condiciones del ensayo [cP]

DP: diferencia de presión [atm]

fw(Sws): flujo fraccional en la cara de salida

Como puede apreciarse en las ecuaciones (2 y 3), son necesarios los volúmenes del agua

inyectada, su caudal (la derivada del volumen inyectado respecto del tiempo) y la variación del

caudal con respecto al tiempo (la derivada segunda del agua inyectada con respecto al tiempo).

También es necesario conocer el volumen del petróleo producido en función del tiempo y su

caudal, esto es la derivada del volumen del petróleo producido respecto del tiempo.

En muestras homogéneas, sin producirse movimiento de finos y con la relación de

movilidades favorable, las curvas obtenidas son curvas suaves y monótonas hasta llegar al punto

extremo, donde el caudal de agua debe hacerse constante y el de petróleo producido se hace

cero.

En general los ajustes de las curvas de inyección de agua y producción de petróleo se realizan

con polinomios de la forma dada por la ecuación (6), lo cual se ajusta en forma analítica. En

ocasiones esto produce curvas no monótonas, por lo cual en estas situaciones es necesario realizar

reajustes manualmente, que resultan laboriosos y consumen mucho tiempo.

Una posible curva de ajuste polinómico tendría la forma general de la ecuación (6)

(6)

donde a, b, c,…,h, k representan constantes a determinar.

METODOLOGÍA

En el presente trabajo, los ajustes propuestos para las curvas experimentales de inyección de

agua y producción de petróleo son funciones lineales y exponenciales, con derivadas de primer y

segundo orden conocidas y de decrecimiento o crecimiento monótono.



Ajuste de la Curva Experimental para el Agua Inyectada

Las curvas de inyección de agua presentan una forma general como la mostrada en la Figura 1

Figura 1

La propuesta de este trabajo es obtener los datos para el ajuste como la diferencia entre los

valores experimentales y los valores correspondientes a la recta obtenida con pendiente “m” igual

al caudal constante cuando se ha llegado al punto extremo (saturación residual de petróleo, Sor)

expresado en cm3/s y ordenada al origen “-b”, determinada por la recta de pendiente m que pasa

por el último valor experimental del agua inyectada. Se define así la recta R1 representada por

la línea roja en la Figura 2. La diferencia entre los valores experimentales con la recta R1 da por

resultado el conjunto de los valores a ajustar con una función exponencial, representada en la

Figura 2 por la curva azul.

Figura 2



El ajuste a los resultados experimentales, línea verde, es obtenida como la suma de la recta y

la función exponencial, tal como se desarrolla en la ecuación (7)

(7)

En la ecuación (7) Vini es el primer volumen de agua inyectada medido, al tiempo Tini. El

coeficiente A es el único valor necesario para ajustar los valores de la discrepancia entre los valores

experimentales y la recta R1.

Con estos ajustes el caudal de agua y su variación con respecto al tiempo produce curvas

suaves y monótonas como lo muestran las Figuras 3 y 4, donde se observan, respectivamente, la

derivada primera (caudal, Qt) y la derivada segunda del volumen de agua inyectada con respecto

al tiempo. La ecuación (7) es fácilmente derivable, quedando entonces el caudal y su derivada

determinados por las ecuaciones (8 y 9).

Figura 3 Figura 4

(8)

(9)



Ajuste de la Curva Experimental para el Petróleo Producido

Por su parte las curvas de producción de petróleo presentan una forma general como la

mostrada en la Figura 5.

Figura 5

En este caso, se propone que los datos para el ajuste se obtengan como la diferencia entre

el valor del petróleo barrido final (recta R2 (azul) en la Figura 6 y los valores experimentales

representados por la curva verde en la Figura 6. La curva de ajuste es la curva fucsia de la misma

figura.

Figura 6



El ajuste a los resultados experimentales, línea verde, es obtenida como la diferencia del

petróleo barrido final y la función exponencial, tal como se desarrolla en la ecuación (10). Este

ajuste es válido a partir del tiempo de ruptura Tpr, tiempo cuando rompe el frente de agua en la

cara de salida de la muestra.

(10)

En la ecuación (10) la constante “c” representa el volumen total de petróleo producido, VPR

es el volumen de petróleo producido en el tiempo de ruptura (TPR), tiempo cuando rompe

el frente de agua en la cara de salida de la muestra. El coeficiente B y el exponente N son los

únicos valores necesarios para ajustar los valores de la discrepancia entre la recta R2 y los valores

experimentales.

Con este ajuste el caudal de petróleo, determinado por la derivada del volumen con respecto

al tiempo, se representa con una curva suave y monótona como lo muestra la Figura 7. La ecuación

de dicha curva es sencilla de obtener y está dada por la ecuación (11)

Figura 7

(11)



En adición, la Figura 8 muestra los caudales de agua inyectada y de petróleo producido y

el tiempo de ruptura a partir de donde se puede calcular la curva de permeabilidades relativas.

En la misma puede observarse que en el tiempo de ruptura los valores de los caudales de

agua y petróleo son iguales; a partir de ese punto el caudal de agua aumenta y el de petróleo

disminuye.

RESULTADOS

A continuación se presentan los resultados de los cálculos para seis muestras distintas,

incluyendo como caso 1 el ejemplo incluido en el paper de Jones y Roszelle (1978).

Datos de las Muestras Empleadas

En la Tabla 1 se presentan los valores de los datos necesarios para la determinación de las

permeabilidades relativas y los valores de las permeabilidades efectivas calculados en los puntos

extremos

Procedimiento de Ajuste

En la Tabla 2 se presentan los valores de los datos necesarios para la determinación de los

ajustes para las curvas de inyección de agua, producción de petróleo y sus derivadas. En azul están

presentadas las constantes de ajuste.

Figura 8



Tabla 1

Tabla 2

En los gráficos de las Figuras 9 a 14, representativas de cada uno de los casos estudiados,

se muestran los diagramas de los valores experimentales, del volumen de agua inyectada y del

volumen del petróleo producido. A continuación se muestra el proceso de ajuste para ambos casos

(agua y petróleo) y seguidamente la representación de los respectivos caudales. Los últimos gráficos

de cada caso presentan la variación del caudal del agua inyectada en el tiempo y la representación

del fenómeno de ruptura, donde puede observarse que para el TPR los caudales de agua inyectada

y petróleo producido coinciden.



Caso 1: paper Jones Roszelle SPE 6045 (1978)

Figuras 9. Caso 1



Caso 2: 8-20-6S

Figuras 10. Caso 2



Caso 3: 1-3-3

Figuras 11. Caso 3



Caso 4: 1-2-4b

Figuras 12. Caso 4



Caso 5: 30-3

Figuras 13. Caso 5



Caso 6: 4-10-18

Figuras 14. Caso 6



Determinación de las Permeabilidades Relativas

Empleando las ecuaciones 7 y 10 con las constantes indicadas en la Tabla 2 se obtienen

los ajustes de los volúmenes del agua inyectada y del petróleo producido. Determinadas estas

expresiones para cada caso analizado, se encuentran los respectivos caudales empleando las

ecuaciones 8 y 11 y con la ecuación 9 se encuentra la derivada del caudal del agua inyectada.

Utilizando estas expresiones en las ecuaciones 1 a 5 se calculan las permeabilidades relativas al

agua y al petróleo en función de la saturación de agua y la curva de flujo fraccional. El proceso

descripto se presenta en la Tabla 3.

Las curvas resultantes de este procedimiento se presentan, para cada caso estudiado, en las

Figuras 15 a 20 en dos escalas diferentes, a la izquierda en escala lineal y a la derecha en escala

logarítmica.

Tabla 3. Exp. = Valor experimental - Cal. = Valor calculado.

En cada una de las Figuras 15, 16, 18 y 20 se comparan las curvas calculadas para cada caso

con las curvas obtenidas por otros métodos. En la Figura 15 la comparación se realiza con las

curvas del paper de Jones y Roszelle (1978). En las restantes figuras la comparación tiene lugar

con curvas calculadas con el método propuesto por Jones y Roszelle (1978) y determinadas en el

laboratorio CEPCom de la Universidad Nacional del Comahue.

Como puede observarse en dichas figuras, la concordancia entre las curvas obtenidas

por las distintas metodologías es muy buena. Adicionalmente, con el método propuesto

de ajustes simples, para estos casos estudiados, el cálculo de las permeabilidades relativas

resultó mucho más sencillo y rápido que con la metodología empleada anteriormente en el

laboratorio.

CONCLUSIONES

En este trabajo se presenta una nueva metodología para el cálculo de las permeabilidades

relativas agua petróleo por un método no estacionario a presión de flujo constante.

Las ecuaciones a emplear para los ajustes de los datos experimentales, volumen de agua



inyectada y volumen de petróleo producido en función del tiempo, son ecuaciones sencillas con

derivadas analíticas conocidas.

Las constantes a determinar para los ajustes son solamente tres, de fácil obtención en forma

manual o por el método de mínimos cuadrados.

Las derivadas de las funciones de ajuste son monótonas, por lo cual no trae aparejado el

inconveniente de tener que hacer reajustes manuales.

Los resultados conseguidos mediante esta metodología son similares a los obtenidos por otros

métodos analíticos y/o gráficos mucho más laboriosos.

Figuras 15. Caso 1

Figuras 16. Caso 2



Figuras 17. Caso 3

Figuras 18. Caso 4

Figuras 19. Caso 5



REFERENCIAS CITADAS

Figuras 20. Caso 6

Crotti, M. A. and Cobeñas, R. H. (2001), “Scaling

Up of Laboratory Relative Permeability Curves.

An Advantageous Approach Based on Realistic

Average Water Saturations”, SPE 69394, 1-7.

Dake, L. (2001), “The Practice of Reservoir

Engineering”, Ed. Elsevier.

Johnson, E.F., Bossler, D.P. and Naumann, V.O. (1959)

“Calculation of Relative Permeability from Displace-

ment Experiments,” Trans. AIME 216, 370-372.

Osoba, J. S., Richardson, J. G., Kerver, J. K., Hafford

J. A. and Blair P. M. (1951) Laboratory Measure-

ments of Relative Permeability. pp 3020.

Buckley, S.E. and Leverett, M.C. (1942), “Mechanism

of Fluid Displacement in Sands”, Trans. AIME,

146, 107-116.

Jones, S.C. and Roszelle, W.O. (May 1978), “Graphical

Techniques for Determining Relative Permeability

from Displacement Experiments”, J. Pet Tech.,

807-817.

Welge, H.J. (1952), “A Simplified Method for

Computing Oil Recovery by Gas or Water Drive”,

Trans. AIME, 195, 91.

Documents

Ajustes de Curvas de Permeabilidad Relativa