MÉTODOS NUMÉRICOS

MÓDULO 4AJUSTE DE CURVAS

1. INTRODUCCIÓN

Es común que los datos se den como valores discretos, y es posible que se requiera estimar el valor de un punto entre estos valores, realizar predicciones o probar hipótesis. Además, se puede necesitar una versión simplificada de una función complicada. Las aplicaciones para esto se conocen como ajuste de curvas, porque en general no se conoce la curva exacta y tan solo se halla una curva aproximada.

La forma más común de resolver este tipo de problemas es mediante la aproximación polinomial por mínimos cuadrados la cual es una forma de aproximar una función g(x) a diferente f(x), este método nos proporciona información acerca de las relaciones existentes entre las variables x, y. Básicamente lo que se logra con los mínimos cuadrados es causar una suavización de la curva formada por un conjunto de datos y elimina los diferentes errores que se puedan presentar.

En la práctica, puede resultar un poco difícil e incluso tedioso calcular la función que represente al conjunto de datos disponible y, por tanto, puede ser útil programar algoritmos que permitan obtenerla para grados relativamente grandes, por medio de un software de computador (Scilab), que permita obtener resultados confiables y de manera más práctica.

2. OBJETIVOS

Utilizando la aproximación lineal por mínimos cuadrados encontrar la ecuación que mejor

se ajuste al conjunto de datos (x, f(x)) y así mismo calcular su error cuadrático medio.

Calcular el coeficiente de correlación una vez obtenida la ecuación y de esta forma

verificar la confiabilidad de los resultados obtenidos.

Por medio del método de liberalización de datos y utilizando los mínimos cuadrados

obtener la ecuación de la curva que represente de la mejor forma al conjunto de datos.

Realizar las gráficas de las ecuaciones obtenidas por los diferentes métodos ya

mencionados.

Comprender como se desarrolla el programa Scilab a través de los códigos creados para

obtener una respuesta óptima.

Vincular la actividad teórica con la práctica para generar un conocimiento integral que

pueda ser implementado como una herramienta en la solución de problemas que estén

vinculados a la ingeniería.

3. MARCO TEÓRICO

AJUSTE DE CURVAS:

El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. En el problema de ajuste de curvas se desea que dada una tabla de valores, encontrar una curva que se ajuste de la mejor manera a los datos; la curva está definida en forma paramétrica y se deben encontrar los valores de sus parámetros para hacer que alguna medida de error se minimice. Dos de los métodos más utilizados son la interpolación y la regresión.

- REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS

Regresión Lineal

Es un técnica para determinar la mejor línea recta que pasa entre un conjunto de observaciones definidas por puntos (x1, y1), (x2, y2),.... (xn, yn) La ecuación puede expresarse como

y=a0+a1 x+e

Coeficiente de Correlación

La desviación estándar (S) es la medida más y común del espaciamiento de una muestra alrededor de la media: si las mediciones están muy espaciadas alrededor de la media, la desviación estándar será grande; si están agrupadas cerca de ella, será pequeña.

Donde St es la suma total de los cuadrados de los residuos entre los datos y una sola estimación de la medida de tendencia central (la media).

El Coeficiente de correlación (r) cuantifica la mejora o reducción del error originado por la representación de los datos por medio de una línea recta en vez de como un valor promedio.

Método de Mínimos Cuadrados para el Caso Polinomial

En la ingeniería, aunque algunos datos exhiben un patrón marcado, son pobremente representados por una línea recta, entonces una curva será la más adecuada para

ajustarse a los datos; una alternativa es ajustar polinomios a los datos mediante regresión polinomial. La ecuación de un polinomio de grado n es:

y=a0+a1 x+a2 x2+…+an x

n=∑i=0

n

ai xi

Aplicando el método de mínimos cuadrados, la curva propuesta es:

y=a0+a1 x+a2 x2+…+an x

n+e

Donde ai son coeficientes y e es el error. Una estrategia es minimizar la suma de los cuadrados de los residuos (Sr), entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal, está dada por:

Sr=∑ e i2

Omitiendo los pasos siguientes, reordenando, para desarrollar el siguiente sistema de ecuaciones normales:

Todas las sumatorias son desde i = 1 hasta m (donde m es el número de puntos). Los coeficientes de las incógnitas se pueden evaluar de manera directa a partir de los datos observados. El sistema es lineal y puede resolverse por los métodos conocidos. El error estándar del estimado se formula como:

- AJUSTE FUJCIONES NO LINEALES (LINEALIZACIÓN)

Es posible ajustar a otras curvas que no son polinomios convirtiendo el problema en uno de ajuste a un polinomio.

4. RESULTADOS

Dados los siguientes archivos:

1)function [A,B]=lsline(X,Y)xmean=mean(X);ymean=mean(Y);sumx2=(X-xmean)*(X-xmean)';sumxy=(Y-ymean)*(X-xmean)';A=sumxy/sumx2;B=ymean-A*xmean;endfunction

2)X = [0.15 0.45 0.55 0.75 0.75 0.95]Y = [0.612 0.922 0.992 1.522 1.472 2.032][A,B]=lsline(X,Y)

Comente y explique los resultados que se obtienen y además adiciónele al programa las instrucciones que permitan mostrar la gráfica de los datos suministrados.

Código:

function [A, B]=lsline(X, Y)xmean=mean(X);ymean=mean(Y);sumx2=(X-xmean)*(X-xmean)';sumxy=(Y-ymean)*(X-xmean)';A=sumxy/sumx2;B=ymean-A*xmean;endfunction

X = [0.15 0.45 0.55 0.75 0.75 0.95]Y = [0.612 0.922 0.992 1.522 1.472 2.032][A,B]=lsline(X,Y)

y=[A,B]Y=poly(y,"x","coeff")

x=[0:1];plot2d (x,horner(Y,x))

Usando SCILAB elabore un programa que obtenga la ecuación de la parábola de mínimos cuadrados dados 8 (ocho) datos.

Además el programa debe calcular el coeficiente de correlación, dicho coeficiente debe estar en el rango 0,6 – 0,86.

Código:

clcX=[0 1 2 3 4 5 6 7];Y=[2.2 3.8 3.1 6.5 7.7 8.1 8.4 4.1];n=length(X);A=[n sum(X) sum(X^2) ; sum(X) sum(X^2) sum(X^3);sum(X^2) sum(X^3) sum(X^4)]B=[sum(Y);sum(X.*Y);sum((X^2).*Y)]C=A\B;parabola=poly(C,"x","coeff")Covarianza=n*sum(X.*Y)-(sum(X)*sum(Y))Sx=sqrt(n*sum(X^2)-(sum(X)^2))Sy=sqrt(n*sum(Y^2)-(sum(Y)^2))Coeficiente=Covarianza/(Sx*Sy)

Indicar que hacen cada una de las siguientes instrucciones:

Length(x).

X=[2 5 7 9 11]n=length(X)

Sum(x^2)

X=[2 5 7 9 11]sum(X^2)

Sum(x*y)

X=[0 1 2 3]Y=[5 6 7 8]sum(X.*Y)

Sum ((x^2)*y)

X=[0 1 2 3]Y=[5 6 7 8]sum((X^2).*Y)

Sum(y-mean(y)^2)

Y=[1 2 3 4]sum(Y-mean(Y^2))

Sum(x)

X=[2 4 6 8 10]sum(X)

X*Y

X=[0 1 2 3]Y=[3 2 1 0]

(X.*Y)

(x^2)*y

X=[2 4 6 8 10]Y=[1 3 5 7 9]((X^2).*Y)

Mean(x)

X=[2 4 6 8 10]mean(X)

5. ANALISIS DE RESULTADOS

5.1

X 0.15 0.45 0.55 0.75 0.75 0.95Y 0.612 0.922 0.992 1.522 1.472 2.032

Para la anterior tabla de valores se obtuvieron por medio del código en Scilab los coeficientes A y B correspondientes a la ecuación de la recta:

Y=AX+B

Los cuales son 0.1999325 y 1.764557 respectivamente.

Una vez se obtienen estos valores, el programa permite observar la ecuación de la recta la cual es:

Y=0.1999325 X+1.764557

Igualmente se graficó dicha función lineal obteniendo una recta de pendiente positiva en la cual Y está representada en el eje vertical y X en el eje horizontal de acuerdo al sistema coordenado, representada a continuación:

5.2

Para obtener la ecuación de la parabola se suministraron al programa los siguientes datos:

X 0 1 2 3 4 5 6 7Y 2.2 3.8 3.1 6.5 7.7 8.1 8.4 4.1

Haciendo uso del sistema de ecuaciones para resolver ecuaciones cuadraticas por medio de mínimos cuadrados

Y teniendo en cuenta la ecuación general de una parabola

y=A X2+BX+C

Se obtuvieron las siguientes ecuaciones representadas en forma matricial:

8 28 14028 140 784140 784 4676

∗a0a1a2

=43.9179.9903.7

Como resultado hallando cada una de las incognitas a0, a1 y a2 se determina que la ecuacion que mejor se ajusta a la curva a los datos anteriormente dados es

y=0.2875 X2+2.6375 X+1.2875

Para verificar la confiabilidad de esta ecuación se halla el coeficiente de correlación el cual es de 0.6212487 permitiendo analizar que al estar este resultado mas cercano al 1 los datos ofrecen un buen ajuste a la curva.

5.3

Al observar cada uno de los ejemplos adjuntados en resultados, es posible deducir el uso de cada una de las instrucciones obteniendo asi las siguientes definiciones:

COMANDO FUNCIÓNLength(x) Calcula el tamaño de un vectorSum(x^2) Toma cada valor de x y lo eleva al cuadrado para luego sumar los

valores obtenidosSum(x*y) Toma cada valor Xi y lo multiplica con su correspondiente Yi, luego

realiza la sumatoria de los resultados obtenidosSum ((x^2)*y) Eleva cada valor Xi al cuadrado y luego lo multiplica con su

correspondiente Yi para finalmente realizar la sumatoria de todos los resultados

Sum(y-mean(y)^2) Toma cada valor Yi y lo resta al promedio de las y elevadas al cuadrado para luego realizar la sumatoria de los resultados obtenidos

Sum(x) Suma todos los valores de xX*Y Multiplica cada valor Xi con su correspondiente Yi

(x^2)*y Eleva cada valor Xi al cuadrado y luego lo multiplica con su correspondiente Yi

Mean(x) Es el promedio de los x que conforman el vector

6. CONCLUSIONES

El método de aproximación lineal por mínimos cuadrados permite obtener un ajuste a la curva representada por una tabla de valores dados de forma óptima. Al realizar este proceso con la ayuda de la programación se hace incluso más práctico hallar la ecuación requerida, sin importar si los datos pueden llegar a ser de dimensiones grandes o se cuenta con una gran cantidad de ellos, y desarrollar este tipo de problemas manualmente.

Al observar la gráfica obtenida en el ajuste de los datos a la ecuación de la recta se puede identificar que su pendiente es positiva y de acuerdo al intervalo escogido (0≤ x ≤1) para graficarla se adapta correctamente a la tabla de datos dado que estos se encuentran en rangos positivos tanto en x como en y.

Cuando se obtiene la ecuación cuadrática que se ajusta mejor a la tabla de datos que se suministraron arbitrariamente permite obtener un coeficiente de correlación

r= 0.6212 el cual nos permite deducir que el ajuste realizado es confiable debido a que su cercanía al 1.

Con la ayuda de la programación es posible deducir la función que cumplen algunos comandos dados. En el caso de este laboratorio, las instrucciones dadas simplifican el cálculo de algunas operaciones, especialmente sumatorias, que en el momento de realizarlas con grandes cantidades de datos o con dimensiones demasiado grandes permiten que el trabajo sea más fácil y práctico de realizar.