Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PRIMJENA NUMERIČKIH METODA U INŽENJERSTVU
Aleksandar Karač
Rektorat, kancelarija 31 (drugi sprat)
tel: 44 44 20
http://ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php
Denis Spahić
Kancelarija 1214
tel: 44 91 20, lok 119
www.ptf.unze.ba
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 2
Izvođenje nastave• predavanja: 2 časa sedmično
• vježbe (auditorne) : 2 časa sedmično
Obaveze studenata• redovno prisustvo na predavanjima i vježbama
• urađene zadaće (ukupno 2 zadaće) – PREDATE U ZADANOM ROKU!!!
Cilj predmeta • Prepoznati probleme koji se mogu/moraju rješavati numeričkim metodama,• Primijeniti principe modeliranja za sistematsko rješavanje inženjerskih problema,• Steći praktična znanja u korištenju numeričkih metoda i odgovarajućih softvera pri rješavanju
inžnjerskih problema.
Kompetencije (Ishodi učenja)
Po završetku kursa studenti će biti u stanju:• Napisati i koristiti programe pri rješavanju inženjerskih problema u nekom softverskom paketu• Primijeniti tehnike traženja korijena nelinearnih jednačina pri rješavanju inženjerskih problema• Postaviti sistem linearnih jednačina za određeni inženjerski problem i riješiti ga numerički• Interpolorati i aproksimirati podatke• Numerički integrirati i diferencirati podatke• Riješiti obične diferencijalne jednačine korištenjem numeričkih metoda
O kursu Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 3
O kursu Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu
Provjera znanja
Konačna ocjena
• dvije zadaće u toku semestra (zadaci)
• dva testa/kolokvija u toku semestra (teorija, kviz pitanja)
• pismeni ispit (zadaci)
• prisustvo nastavi: 0 %
• zadaća: 30 %
• testovi/seminarski: 20 %
• pismeni ispit: 50 % (na ispitu se koristi lista formula/tabela dostupna na stranici kursa)!!!
Napomena: Svaka od stavki mora biti ispunjena minimalno 51%!!!
Ocjena 6 55-65%
Ocjena 7 65-75%
Ocjena 8 75-85%
Ocjena 9 85-95%
Ocjena 10 95-100%
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 4
Sadržaj kursa
1. Osnovne ideje i koncepti u numeričkoj analizi 1 sedmica
2. Rješavanje nelinearnih jednačina 2 sedmice
3. Rješavanje sistema linearnih jednačina 3 sedmice
T E S T I
4. Interpolacija i aproksimacija funkcija 2 sedmice
5. Numeričko diferenciranje i integriranje 2 sedmice
6. Rješavanje običnih diferencijalnih jednačina 3 sedmice
T E S T II / Integralni test
O kursu Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 5
LITERATURA
• I. Demirdžić, Numerička matematika, IP Svjetlost, D.D., Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, 1997.• M. Bertolino, Numerička analiza, Naučna knjiga, Beograd, 1981.• Z. Drmač i dr., Numerička analiza, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb 2003.,
http://web.math.hr/~rogina/2001096/num_anal.pdf• M. Marić-Dedijer, Zbirka rješenih zadataka iz numeričke analize, Naučna knjiga, Građevinski fakultet, Beograd,
1992.• S.C. Chapra, R.P. Canale, Numerical Methods for Engineers, McGraw-Hill Education, Seventh Edition, 2015. • J. Hoffman, Numerical Methods for engineers and Scientists, Marcel Dekker, Inc., New York 1992• A. Querteroni et.al., Numerical mathematics, Springer, 2000
dodatna
osnovna
• Predavanja, vježbe, skripta (sve dostupno na web stranici)
O kursu Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 6
ZADAĆA 1: (2) + (3)
Zadata: Rok za predaju:
ZADAĆA 2: (4) + (5) + (6)
Zadata: Rok za predaju:
Obaveze studenata
Provjera znanja
TEST 1: (1) + (2) + (3) ???TEST 2: (4) + (5) + (6) ???
O kursu Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 7
Korisne web stranice
• Numerical Methods from Eric Weisstein's World of Mathematics
http://mathworld.wolfram.com/topics/NumericalMethods.html
• Video of Gilbert Strang's Linear Algebra Lectures
http://web.mit.edu/18.06/www/Video/video-fall-99.html
• http://numericalmethods.eng.usf.edu/
• http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NumericalUndergradMod.html
• Doug Arnold's Page on Disasters due to Numerical Errors
http://www.math.psu.edu/dna/disasters/
• Numerical Methods — Online Course – Slides
http://math.jct.ac.il/~naiman/nm/
• Numerical Methods Lecture Notes: introduction
http://www.damtp.cam.ac.uk/lab/people/sd/lectures/nummeth98/introduction.htm
O kursu Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 8
UvodOsnovne ideje i koncepti u numeričkoj analizi
Iteracija – ponavljanje niza radnji ili postupaka s ciljem poboljšanja prethodno dobivenih rezultata
1 0
2 1
1
( )( )
( )................
( ) - rekurzivna formulan n
x g xx g x
x g x
x g x
1
Ako niz konvergira ka graničnoj vrijednosti , imamo
lim lim ( ) ( )
pa zadovoljava jednačinu ( ).
n
n nx x
x
x g x g
x x g x
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 9
x
f(x)
A0
x0 x1
M
x2 x3
A1
g(x0)
B1
x
f(x)
x0 x2 x4 x3 x1
M
A0
A1
A2
A3
A4
x
f(x)
x0=x2 x1=x3
M
x
f(x)
B0
x3 x2
M
x1 x0
B1
B2
B3
A0
A1
A2
A3
a) b)
c) d)
Uvod
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 10
Aproksimacija – približno predstavljanje funkcija
Linearizacija – aproksimacija linearnom funkcijom
Ekstrapolacija – procjena nepoznatih veličina na proširenjem trenda dobijenog poznatim podacima
Predstavljanje brojeva
• brojni sistemi (decimalni, binarni, ...)
Uvod
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 11
• pri unosu podataka
• pri zaokruživanju u toku računanja
• usljed prekidanja (zanemarivanja članova višeg reda)
• usljed pojednostavljenja matematičkog modela
• ljudske greške i greške računara
Greške
• apsolutna greška
• relativna greška
x x x
x x xx x
Uvod
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 12
Osnovni zadatak: Za datu neprekidnu funkciju f (x), treba naći vrijednost x = takvu da je
f () = 0
x
f(x)
f(1)=0 f(2)=0 1 2
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 13
Osnovni koraci u pronalaženju korijena
• Lokalizacija nula
- crtanje grafika funkcije (ručno, Excel, MathCAD, Matematica, web, ...)
- inkrementalno pretraživanje
- prethodna iskustva, ...
• Poboljšanje rješenja
- rješenje se nalazi u zadatom intervalu: metoda polovljenja, regula
falsi
- rješenje nije ograničeno u nekom intervalu: prosta interacija, Newtonova
metoda, modifikovana Newtonova metoda, metoda sječice
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 14
Ponašanje nelinearnih jednačina u blizini korijena
x
f(x)
2
a)
x
f(x)
b)
x
f(x)
c)
1 x
f(x)
d)
2 1 3
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 15
x
f(x)
e)
1=2 x
f(x)
f)
1=2=3
x
f(x)
g)
2=3 1 x
f(x)
h)
Ponašanje nelinearnih jednačina u blizini korijena
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 16
Metoda polovljenja intervala - bisekcija
x
f(x)
b=b0
f(b)
f(c)
f(a)
a=a0
a1
a2
c=b1 c=b2
c=a3
Ako je f(a)f(c)<0: a=a, b=c
Ako je f(c)f(b)<0: a=c, b=b
Ako je f(a)f(c) = 0: dobiva se rješenje
= cili dok se ne postigne željena tačnost, tj.
2a bc
( , )a b
1 2| | i/ili ( )i i ib a f c
Ideja: prepoloviti početni interval, u kojem se nalazi korijen, na dva podintervala, provjeriti u kojem podintervalu se nalazi korijen, i postupak nastaviti do željene tačnosti ili pronalaska rješenja.
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 17
Primjer
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
fx=x-
Naći pozitivni korijen jednačine f (x) = x 2 – 2. Postupak rješavanja zaustaviti kada vrijednostrazlike između dvije uzastopne iteracije bude manja od 10-4, tj. |xi+1 – xi |
1. Lokalizacija nula
2 [a,b]=[1,2]
f (1)= –1<0 i f (2)=2>0
2. Primjena algoritma
1 2 1.52 2
( ) (1.5) 0.25 0, ( ) (1) 1 0 1, 1.5
1,1.5
a bc
f c ff a f a a b c
Metoda polovljenja intervala - bisekcija
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 18
1 1.5 1.252 2
( ) (1.25) 0.4375 0, ( ) (1.5) 0.25 0 1.25, 1.5
1.25,1.5
1.25 1.5 1.3752 2
( ) (1.375) 0.109375 0, (1.5) 0.25 0 1.375, 1.5
1.3
a bc
f c ff b f a c b b
a bc
f c ff a c b b
75,1.5
1.41425
itd., itd., itd., ............. 14. iteracija
Metoda polovljenja intervala - bisekcija
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 19
Prednosti:
• Korijen jednačine se nalazi unutar granica nekog intervala, tako da je konvergencija zagarantovana.
• Maksimalna greška metode je |bn-an|.
• S obzirom da se svakom iteracijom interval polovi, broj iteracija n, a time i broj računanja funkcije, koji je potreban da se prvobitni interval (bn,an) smanji na određeni interval (bn,an), dobiva se iz
0 0
0 0
1( ) ( )2
pa je1 log( )
log(2)
n n n
n n
b a b a
b anb a
Osnovni nedostatak ove metode je spora konvergencija, odnosno veliki broj iteracija radi postizanja željene tačnosti.
Metoda polovljenja intervala - bisekcija
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 20
Metoda regula falsi
x
f(x)
b
f(b)
f(c)
f(a)
ac=x1
c=x2
( , )a b
Ideja: aproksimirati funkciju pravom linijom između krajnjih tačaka početnog intervala, i naći tačku x1, koja predstavlja prvu aproksimaciju rješenja. Postupak ponavljati do željene tačnosti ili pronalaska rješenja.
1 ( )( ) ( )
b ax b f bf b f a
Ako je f(a)f(xi)<0: a =a, b =xi
Ako je f(xi)f(b)<0: a =xi, b =b
Ako je f(a)f(xi)=0: dobiva se rješenje
=xi
ili dok se ne postigne željena tačnost, tj.
1 2| | i/ili ( )ib a f x
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 21
Primjer
Naći pozitivni korijen jednačine f (x) = x 2 – 2. Postupak rješavanja zaustaviti kada vrijednostrazlike između dvije uzastopne iteracije bude manja od 10-4, tj. |xi+1 – xi |
1. Lokalizacija nula
2 [a,b]=[1,2]
f (1)= –1<0 i f (2)=2>0
2. Primjena algoritma
1
1
1
2 1( ) 2 2 1.333333( ) ( ) 2 ( 1)
( ) (1.3333333) 0.222222 0, ( ) (2) 2 0 1.333333, 2
1.333333, 2
b ax b f bf b f a
f x ff b f a x b b
Metoda regula falsi
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 22
2
2
2
3
3
2 1.333333( ) 2 2 1.4( ) ( ) 2 ( 0.222222)
( ) (1.4) 0.04 0, ( ) (2) 2 0 1.4, 2
1.4, 2
2 1.4( ) 2 2 1.41176( ) ( ) 2 ( 0.04)
( ) (1.41176) 0.00692 0,
b ax b f bf b f a
f x ff b f a x b b
b ax b f bf b f a
f x f
3
( ) (2) 2 0 1.41176, 2
1.41176, 2
f b f a x b b
1.4142 itd., itd., itd., ............. 6. iteracija
Metoda regula falsi
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 23
x
y
xi xi+1
1 ( )i ix g x
1 1 1 2| | i/ili ( )i i ix x f x
Metoda proste iteracije
Ideja: Napisati jednačinu oblika f(x)=0 u obliku x=g(x) i iterativno je riješiti.
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 24
Uslov konvergencije:
1 1
1 1
1 1
1
( ) ( )
( ) ( ) '( )( ) ... ( )
'( )( )
'( )
'( ) 1
i i i
i i i
i i i
i i i
i
i
x e g x g
g g x g x x
x e g x
x e g e
e ge
Metoda proste iteracije
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 25
Primjer
Na primjeru rješavanja jednačine f (x) = x 2 – x – 2 pokazati upotrebu metode proste iteracije.
2
2
( ) ( )
(a) 2
(b) 22(c) 1
2(d) 2
f x x g x
x x
x x
xxx xx x
x
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
g(x=x+x-x-/x-f(x=x
g(x= x+g(x=+/x
g(x=x-
Metoda proste iteracije
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 26
2
0
21 0
22 1
23 2
(a) g(x) 2
3
( ) 3 2 7
( ) 7 2 47
( ) 47 2 2207itd.
1g (x) 2 1 za 2
x
x
x g x
x g x
x g x
x x
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
f(x=xg(x=x-
Uslov konvergencije:
Metoda proste iteracije
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 27
0
1 0
2 1
3 2
4 3
(b) g(x) 2
3
( ) 3 2 2.236
( ) 2.236 2 2.058
( ) 2.058 2 2.0014
( ) 2.0014 2 2.0004itd.
1 7g (x) 1 za x42 2
x
x
x g x
x g x
x g x
x g x
x
x
y
0 1 2 3 4-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
f(x=xg(x= x+
Uslov konvergencije:
Metoda proste iteracije
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 28
0
1 0
2 1
3 2
4 3
2
(c) g(x) 1 2 /
3( ) 1 2 / 3 1.6666( ) 1 2 /1.6666 2.2( ) 1 2 / 2.2 1.9091( ) 1 2 /1.9091 2.0476
itd.
1g (x) 1 za x 1
x
xx g xx g xx g xx g x
x
x
y
0 1 2 3 4 5-1
0
1
2
3
4
5
f(x=xg(x=+/x
Uslov konvergencije:
Metoda proste iteracije
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 29
x
f(x) M0
x0
x1
M1
M2
x2
Ideja: aproksimirati funkciju tangentom u početnoj aproksimaciji, i naći tačku x1, koja predstavlja sljedeću aproksimaciju rješenja. Postupak ponavljati (traženje tangente u novoj aproksimaciji) do željene tačnosti ili pronalaska rješenja.
1
1
1 1
1
( ) ( )iz '( )
ili ( ) ( ) '( )( ) ...
( )'( )
i i
i i
i i i i i
ii i
i
f x f xf xx x
f x f x f x x x
f xx xf x
1 1 1 2| | i/ili ( )i i ix x f x
dok se ne postigne željena tačnost, tj.
Newtonova metoda
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 30
Primjer
Naći pozitivni korijen jednačine f (x) = x 2 – 2. Postupak rješavanja zaustaviti kada vrijednostrazlike između dvije uzastopne iteracije bude manja od 10-4, tj. |xi+1 – xi |
2
1
1
0
1
2
( ) 2'( ) 2
1 22
31 23 1.8333332 31 21.833333 1.4622122 1.833333
i ii i i
i i
i ii
f x xx x xf x x
x xx
x
x
x
x
y
0 1 2 3 4-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fx=x-
x2
x0x1
Newtonova metoda
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 31
3
4
5
1 21.462212 1.4152 1.4622121 21.415 1.414212 1.4151 21.41421 1.414212 1.41421
x
x
x
1.41421 x
y
0 1 2 3 4-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fx=x-
x2
x0x1
Newtonova metoda
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 32
Prednosti:
• Tačnost metode je drugog reda, pa se svakom iteracijom udvostručava broj značajnih cifara
• Odlične osobine lokalne konvergencije.
Nedostaci:
• Problem određivanja prvog izvoda
Newtonova metoda
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 33
Ideja: aproksimirati funkciju tangentom u početnoj aproksimaciji, i naći tačku x1, koja predstavlja sljedeću aproksimaciju rješenja. Postupak ponavljati, korištenjem vrijednosti prvog izvoda za početnu aproksimaciju, do željene tačnosti ili pronalaska rješenja.
1
0
10
( )'( )
'( ) '( )
( )'( )
ii i
i
ii i
f xx xf x
f x f x
f xx xf x
1 1 1 2| | i/ili ( )i i ix x f x
dok se ne postigne željena tačnost, tj. x
f(x) M0
x0
x1
M1 M2
x2
M2
x3 x3
Modifikovana Newtonova metoda
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 34
Primjer
Naći pozitivni korijen jednačine f (x) = x 2 – 2. Postupak rješavanja zaustaviti kada vrijednostrazlike između dvije uzastopne iteracije bude manja od 10-4, tj. |xi+1 – xi |
2
10 0
02
1
2
2
2
13
( ) 2'( ) 2
3
3 23 1.8333332 3
1.833333 21.833333 1.606482 3
...1.41437 21.41437 1.41429
2 3
i ii i i
f x xx x xf x x
x
x
x
x
x
y
0 1 2 3 4-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fx=x-
x2
x0x1
1.41429
Modifikovana Newtonova metoda
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 35
x
f(x) M0
x0
x1
M1
M2
x2
M3
x3
Ideja: nelinearna funkcija f(x) se lokalno aproksimira linearnom funkcijom g(x) (sječica). Korijen funkcije g(x) je sljedeća aproksimacija.
1
1
1
11
1
( )'( )
( ) ( )'( ) ( )
( )( ) ( )
ii i
i
i i
i i
i ii i i
i i
f xx xf x
f x f xf x g xx x
x xx x f xf x f x
1 1 1 2| | i/ili ( )i i ix x f x
dok se ne postigne željena tačnost, tj.
Metoda sječice (sekante)
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 36
Primjer
Naći pozitivni korijen jednačine f (x) = x 2 – 2. Postupak rješavanja zaustaviti kada vrijednostrazlike između dvije uzastopne iteracije bude manja od 10-4, tj. |xi+1 – xi |
11
1
0 1
2
3
7
( )( ) ( )
4, 33 43 7 27 142 32 2 1.62 7
......1.41423 1.416061.41423 0.000055
0.000055 0.005221 1.41421
i ii i i
i i
x xx x f xf x f x
x x
x
x
x
x
y
0 1 2 3 4 5-10123456789
101112131415
fx=x-
x3
x0x1x2
1.41421
Metoda sječice (sekante)
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 37
Prednosti:
• Tačnost metode je reda 1.62, pa je metoda znatno brža od proste iteracije. U slučaju kada je brzina izračunavanja vrijednosti funkcije povoljna u odnosu na izračunavanje prvog izvoda funkcije (tačnije, do 43% brža), metoda je brža i od Newtonove metode.
Metoda sječice (sekante)
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 38
Problemi u numeričkom rješavanju jednačina
• nedovoljno dobra početna aproksimacija
• konvergencija prema pogrešnom korijenu
• korijeni koji su blizu jedan drugom
• mnogostruki korijeni
• tačke infleksije
• kompleksni korijeni
• loše postavljena nelinearna jednačina
• spora konvergencija
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 39
Smjernice u traženju korijena
• Proces lokalizacije bi trebao ograničiti korijen.
• Dobra početna aproksimacija je veoma važna.
• Metode sa korijenom koji je ograničen u nekom intervalu su sigurnije nego one kojima korijen nije ograničen, jer zadržavaju rješenje u tom zatvorenom intervalu.
• Metode kojima korijen nije ograničen u nekom konačnom intervalu, kada konvergiraju, općenito konvergiraju brže od metoda s korijenom ograničenom u nekom konačnom intervalu.
• Za funkcije bez naglih promjena u ponašanju, većina algoritama uvijek konvergira ako je početna aproksimacija dovoljno blizu. Za ove slučajeve unaprijed je moguće procijeniti brzinu konvergencije.
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 40
• Mnogi, ako ne i većina, inženjerskih problema su jednostavni i dobro se ´ponašaju´. U takvim slučajevima, jednostavne metode, kao što je Newtonova metoda, mogu se primijeniti bez bojazni da se radi o nekom specijalnom slučaju.
•Ako se neki problem treba riješiti samo jednom, ili mali broj puta, efikasnost nije u prvom planu. Nasuprot tome, ako se rješavanje neke jednačine obavlja veliki broj puta, veoma važno je koristiti efikasnije metode.
Smjernice u traženju korijenaRješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 41
• Treba biti poznat maksimalan broj iteracija.
• U slučaju da metoda koristi prvi izvod funkcije, f ’ (x), mora se paziti da ovavrijednost u toku proračuna ne bude jednaka nuli.
• Test konvergencije oblika |xi+1-xi |, te vrijednost funkcije |f (xi+1 )| se moraju uzeti u obzir.
• Kada se dostigne konvergencija, konačna procjena korijena bi se trebala uvrstiti u funkciju f (x), kako bi se zagarantovalo da je f (x)=0 u granicama željenekonvergencije.
Željene osobine metoda za rješavanje nelinearnih jednačina
Rješavanje nelinearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 42
Rješavanje sistema linearnih jednačina
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
...............................................
......
2211
22222121
11212111
Problem rješavanja sistema jednačina (lienarnih i nelinearnih) javlja se u gotovo svim segmentima inženjerstva i nauke. U ovom kursu pažnja je posvećena rješavanju sistema od nlinearnih jednačina sa n nepoznatih oblika:
xi – nepoznate promjenljive
Aij – koeficijenti nepoznatih promjenljivih
bi – nehomogeni članovi
i,j=1,2,...,n
Ax=b
A – matrica sistema
x – kolona vektor rješenja
b – kolona vektor nehomogenih članova
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
, ,
n
n
n n nn n n
a a a x ba a a x b
a a a x b
Α x b
U matričnom obliku:
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 43
Rješenje sistema
Ax=b
može biti:
• jedinstveno – sistem je određen.
• bez rješenja – sistem je protivrječan.
• beskonačno mnogo rješenja – sistem ima nedovoljan broj jednačina.
• trivijalno (xi = 0)– sistem je homogen ( bi = 0 za i = 1,2,...,n )
1 ( 1, 2,..., )
n
ij j ij
a x b i n
Rješavanje sistema linearnih jednačina
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
...............................................
......
2211
22222121
11212111
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 44
Metode za rješavanje sistema linearnih jednačina
• Direktne metode – zasnivaju se na principu eliminacije. Dovode do rješenja nakon KONAČNOG broja računskih operacija.
- Cramerovo pravilo (direktna metoda, ne zasniva se na eliminaciji)
- Metode eliminacije – Gaussova metoda, Gauss-Jordanova
metoda, matrična metoda, metode faktorizacije
• Iterativne metode – asimptotski dovode do rješenja pomoću neke iterativne procedure, tj. dovode do tačnog rješenja nakon BESKONAČNOG broja računskih operacija
- Jacobijeva metoda
- Gauss-Seidelova metoda
- Metode relaksacije
Rješavanje sistema linearnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 45
Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metodeCramerovo pravilo (reda radi!!!)
Rješenje sistema dato je sa:
det( ) ( 1, 2,..., )det( )
j
jx j n AA
Aj – matrica nn, koja se dobija zamjenom kolone j matrice A sa kolonom vektora b.
Za sistem sa dvije jednačine:11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
a x a x ba x a x b
1 12 11 1
2 22 21 21 2
11 12 11 12
21 22 21 22
i
b a a bb a a b
x xa a a aa a a a
rješenje je:
Metoda je gotovo neupotrebljiva kada se determinante izračunavaju metodom kofaktora – broj množenja i djeljenja je (n – 1)(n + 1)! Za n=10 broj operacija je 360 000 000, za n =100 reda 10157!!!
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 46
Metode eliminacije (Gaussova metoda)
1. Riješi se jedna od jednačina za neku nepoznatu u odnosu na druge nepoznate, i ta vrijednost se uvrsti u ostale jednačine sistema. Postupak se ponavlja dok se ne dođe do jednačine koja sadrži samo jednu nepoznatu. ( proces eliminacije )
1 12 2 11
11
( ... )n nb a x a xxa
22 2 2 2
2 2
....................................
...
n n
n nn n n
A x A x B
A x A x B
2 22
22
( ... )n nB A xxA
itd........
Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
...............................................
......
2211
22222121
11212111
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 47
2. Riješi se nepozanta promjenljiva iz posljednje jednačine, njena vrijednost uvrsti u prethodnu jednačinu, pa se riješi sljedeća nepoznata, itd. ( zamjena unazad )
Primjer 1.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(1) 80 20 20 20(2) 20 40 20 20(3) 20 20 130 20
x x xx x xx x x
Metodom eliminacije riješiti sistem jednačina:
2 31
20 20 20iz (1) (*)
80x x
x
2 32 3
2 3
2 32 32 3
20 20 2020 40 20 20 (4) 35 25 2580(*) u (2) i (3)
(5) 25 125 2520 20 2020 20 130 20
80
x xx x x x
x xx xx x
Rješenje 1:
Metode eliminacije (Gaussova metoda)Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 48
2 3
2 3
(4) 35 25 25(5) 25 125 25
x xx x
32
25 25iz (4) (**)
35x
x
33 3
25 25 750 300(**) u (5) 25 125 25 35 7 7
xx x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
80 20 20 20 20 40 20 20 20 20 130 20
x x xx x xx x x
1 2 3
2 3
3
(6) 80 20 20 20(7) 35 25 25
750 300(8) 7 7
x x xx x
x
3
32
2 33
iz (8) 0.4
25 25iz (7), tj. (**) 1.0
3520 20 20
iz (6), tj. (*) x 0.680
x
xx
x x
Metode eliminacije (Gaussova metoda)Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 49
Rješenje 2:
80 20 20 20 20 40 20 20
20 20 130 20
Ax = b A b1 2 3
1 2 3
1 2 3
80 20 20 2020 40 20 2020 20 130 20
x x xx x xx x x
80 20 20 20 20 40 20 20
20 20 130 20
A b
(a) 80 20 20 20 ( 20 / 80) (b), ( 20 / 80) (c)(b) 20 40 20 20(c) 20 20 130 20
(a) 80 20 20 20(b) 0 35 25 25 ( 25 / 35) (c)(c) 0 25 125 25
Metode eliminacije (Gaussova metoda)Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 50
1
2
3
(a) 80 20 20 20 0.6(b) 0 35 25 25 1.0(c) 750 300 0.40 0
7 7
xxx
(a) 80 20 20 20(b) 0 35 25 25 ( 25 / 35) (c)(c) 0 25 125 25
Metode eliminacije (Gaussova metoda)Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 51
Problemi
• Prilikom izvođenja metode eliminacije može se desiti da je elemenat na glavnoj dijagonali modifikovane matrice A jednak nuli.
• U slučaju da su elementi po dijagonalama mnogo manji od ostalih elemenata u jednačinama koje sadrže glavni elemenat, može doći do značajne greške zaokruživanja, što, pak, može dovesti do pogrešnih rješenja.
Korisni alati:
• bilo koji red (jednačina) se može pomnožiti konstantom. Ova operacija se najčešće koristi za skaliranje jednačina, ako je to neophodno.
• redovi (jednačine) mogu zamijeniti mjesta. Operacija se koristi kako bi se izbjeglo dijeljenje sa nulom i smanjile greške zaokruživanja.
• bilo koji red (jednačina) može se zamijeniti linearnom kombinacijom tog reda (jednačine) i bilo kojeg drugog reda (jednačine). Ova operacija se najčešće koristi kako bi se implementirao proces sistematske eliminacije.
Metode eliminacije (Gaussova metoda)Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 52
Primjer 2.
Metodom eliminacije riješiti sistem jednačina:
1
2
3
0 2 1 54 1 1 32 3 3 5
xxx
0 2 1 5 4 1 1 34 1 1 3 0 2 1 52 3 3 5 2 3 3 5
a) 4 1 1 3 ( 0 / 4) (b), ( 2 / 4) (c)b) 0 2 1 5c) 2 3 3 5
4 1 1 3 4 1 1 30 2 1 5 0 7 / 2 7 / 2 7 / 20 7 / 2 7 / 2 7 / 2 0 2 1 5
Metode eliminacije (Gaussova metoda)Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 53
a) 4 1 1 3b) 0 7 / 2 7 / 2 7 / 2 (4 / 7) (c)c) 0 2 1 5
3
2
3
4 1 1 3 10 7 / 2 7 / 2 7 / 2 20 0 3 3 1
xxx
Primjer 3.
Provjeriti prednosti procesa skaliranja na sistemu jednačina:
1
2
3
3 2 105 1042 3 103 981 1 3 3
xxx
pri čemu proračun izvršiti na tri značajne cifre. Rješenje sistema je x1 = – 1, x2 = 1 i x3 = 1
Metode eliminacije (Gaussova metoda)Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 54
a) 3 2 105 104 (0.667) (b), (0.333) (c)b) 2 3 103 98c) 1 1 3 3
1
2
3
3 2 105 1042 3 103 981 1 3 3
xxx
a) 3 2 105 104b) 0 4.334 33 28.6 (0.077) (c)c) 0 0.334 32 31.6
3
2
1
a) 3 2 105 104 0.884b) 0 4.334 33 28.9 0.924c) 0 0 29.5 29.4 0.997
xxx
x1 = – 1, x2 = 1, x3 = 1
Metode eliminacije (Gaussova metoda)Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 55
1
2
3
3 2 105 1042 3 103 981 1 3 3
xxx
x1= – 1, x2=1, x3=1
3 2 105 1 1 3 32 3 103 2 3 103 981 1 3 3 2 105 104
1
3 /105 0.02862 /103 0.01941/ 3 0.3333
a
a) 1 1 3 3 (2) (b), (3) (c)b) 2 3 103 98c) 3 2 105 104
1 1 3 30 5 97 920 1 96 95
2 5 / 97 0.05161/ 96 0.0104
a
1
2
3
a) 1 1 3 3 1 1 3 3 1b) 0 5 97 92 (1/ 5) (c) 0 5 97 92 1c) 0 1 96 95 0 0 76.6 76.6 1
xxx
Metode eliminacije (Gaussova metoda)Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 56
Gaussova metoda
Opšti algoritam rješavanja:
1. Definisati koeficijente matrice A, vektora b(, i pomoćnog vektora o.)
2. Počevši od prve kolone, treba normalizovati kolone k (k=1,2,..., n-1) i tražiti po veličini najveći elemenat u koloni k te izmijeniti redove kako bi se taj koeficijent postavio u poziciju glavnog elementa akk.
3. Za kolonu k (k=1,2,...,n-1) se primijeni procedura eliminacije na redove i (i=k+1,k+2,...,n) kako bi se stvorile nule ispod glavnog elementa, akk. Na taj način se dobija:
Nakon što se primijeni ovaj korak na svih k kolona, originalna matrica A postaje gornja trougaona.
)...,2,1(
)...,2,1,(
nkkiaaabb
nkkjiaaaaa
kjkk
ikii
kjkk
ikijij
Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 57
4. Riješiti nepoznanice x koristeći zamjenu unazad, tako da je:
ii
n
ijjiji
i
nn
nn
a
xabx
abx
1
Broj množenja i dijeljenja približno je jednak n3/3 – n/3 + n2 – za sistem od 10 jednačina to je 430, a sistem od 100 jednačina 343 000.
Gaussova metodaRješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 58
• Varijacija Gaussove metode, pri čemu se i elementi iznad glavne dijagonale izjednačavaju sa nulom. Matrica A se, na taj način, transformiše u dijagonalnu matricu.
• Skaliranjem matrica A se pretvara u jediničnu matricu.
• Pogodna za simultano rješavanje sistema jednačina sa više vrijednosti vektora b.
• Broj množenja i dijeljenja je približno jednak n3/2 – n/2 + n2 – 50% više od Gaussovemetode.
Primjer
1
2
3
80 20 20 2020 40 20 2020 20 130 20
xxx
Riješiti sistem jednačina koristeći Gauss-Jordanovom metodom:
Gauss-Jordanova metodaRješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 59
(a) 80 20 20 20 / 80(b) 20 40 20 20(c) 20 20 130 20
1
2
3
80 20 20 2020 40 20 2020 20 130 20
xxx
(a) 1 0.25 0.25 0.25 ( 20) (b), ( 20) (c)(b) 20 40 20 20(c) 20 20 130 20
(a) 1 0.25 0.25 0.25(b) 0 1 5 / 7 5 / 7 ( 0.25) (a), ( 25) (c)(c) 0 25 125 25
(a) 1 0.25 0.25 0.25(b) 0 35 25 25 / 35(c) 0 25 125 25
Gauss-Jordanova metodaRješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 60
1
2
3
80 20 20 2020 40 20 2020 20 130 20
xxx
(a) 1 0.25 0.25 0.25(b) 0 1 5 / 7 5 / 7 ( 0.25) (a), ( 25) (c)(c) 0 25 125 25
(a) 1 0 3/ 7 3/ 7(b) 0 1 5 / 7 5 / 7(c) 0 0 750 / 7 300 / 7 /(750 / 7)
(a) 1 0 3/ 7 3/ 7(b) 0 1 5 / 7 5 / 7(c) 0 0 1 2 / 5 ( 3 / 7) (a), ( 5 / 7) (b)
1
2
3
(a) 1 0 0 3/ 5 0.6(b) 0 1 0 1.0 1.0(c) 0 0 1 2 / 5 0.4
xxx
Gauss-Jordanova metodaRješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 61
[A|I][I|A-1]Primjer
80 20 2020 40 2020 20 130
Koristeći Gauss-Jordanovu metodu, naći inverznu matricu matrice:
80 20 20 1 0 0 / 80 1 0.25 0.25 1/ 80 0 0 ( 20) (b), ( 20) (c)20 40 20 0 1 0 20 40 20 0 1 020 20 130 0 0 1 20 20 130 0 0 1
1 0.25 0.25 1/ 80 0 0 1 0.25 0.25 1/ 80 0 00 35 25 0.25 1 0 / 35 0 1 5 / 7 0 1/ 35 0 ( 0.25) (a), ( 25) (c)0 25 125 0.25 0 1 0 25 125 0 0 1
Ideja: Matricu A proširiti jediničnom matricom, te slično prethodnom postupku, lijevi dio transformisati u jediničnu matricu. Desni dio, onda, predstavlja inverznu matricu, tj.
Inverzija matrice Gauss-Jordanovom metodomRješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 62
1 0.25 0.25 1/ 80 0 0 1 0.25 0.25 1/ 80 0 00 35 25 0.25 1 0 / 35 0 1 5 / 7 1/140 1/ 35 0 ( 0.25) (a), ( 25) (c)0 25 125 0.25 0 1 0 25 125 0.25 0 1
1 0 3/ 7 1/ 70 1/140 00 1 5 / 7 1/140 1/ 35 00 0 750 / 7 3/ 7 5 / 7 1 /(750 / 7)
1 0 3/ 7 1/ 70 1/140 00 1 5 / 7 1/140 1/ 35 00 0 1 1/ 250 1/150 7 / 750 ( 3 / 7) (a), ( 5 / 7) (b)
1
1 0 0 2 /125 1/100 1/ 250 2 /125 1/100 1/ 2500 1 0 1/100 1/ 30 1/150 1/100 1/ 30 1/1500 0 1 1/ 250 1/150 7 / 750 1/ 250 1/150 7 / 750
A
Inverzija matrice Gauss-Jordanovom metodomRješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 63
Matrična metoda
-1 -1
-1
Ax = b
A Ax = 1x = x = A b
x = A b
Primjer
1
2
3
80 20 20 2020 40 20 2020 20 130 20
xxx
1
80 20 20 20 20 40 20 20
20 20 130 20
Ax = b A b x A b
Riješiti sistem jednačina koristeći matričnu metodu:
Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 64
1
2
3
80 20 20 2020 40 20 2020 20 130 20
xxx
1
2 /125 1/100 1/ 2501/100 1/ 30 1/1501/ 250 1/150 7 / 750
A
1
2 /125 1/100 1/ 250 20 0.61/100 1/ 30 1/150 20 1.01/ 250 1/150 7 / 750 20 0.4
x A b
Matrična metoda
Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 65
Ideja: Faktorizirati (razložiti) na neke dvije matrice u povoljnom obliku
Na primjer,
L – donja trougaona matrica
U – gornja trougaona matrica
Metoda Doolitle
Metoda Crouta
A = LU
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
1 0 01 0 0
1 0 0
n n
n n
n n nn n n nn
a a a u u ua a a l u u
a a a l l u
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
0 0 10 0 1
0 0 1
n n
n n
n n nn n n nn
a a a l u ua a a l l u
a a a l l l
Metode faktorizacije
Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 66
Metoda Doolitle
Matrica U dobija se Gaussovom metodom eliminacije, a matrica L predstavlja zapis množitelja u procesu eliminacije. Sa poznatim U i L sistem se rješava prema:
A = LU
Lb' b b'
Ux b' x
Primjer
1
2
3
80 20 20 2020 40 20 2020 20 130 20
xxx
Riješiti sistem jednačina koristeći matričnu metodu:
Metode faktorizacije
Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 67
1
2
3
(a) 80 20 20 20 0.6(b) 0 35 25 25 1.0(c) 750 300 0.40 0
7 7
xxx
(a) 80 20 20 20(b) 0 35 25 25 ( 25 / 35) (c)(c) 0 25 125 25
(a) 80 20 20 20 ( 20 / 80) (b), ( 20 / 80) (c)(b) 20 40 20 20(c) 20 20 130 20
1
2
3
80 20 20 2020 40 20 2020 20 130 20
xxx
80 20 200 35 25
7500 07
U
1 0 00.25 1 00.25 5 / 7 1
L
Metode faktorizacije
Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Unaprijed poznato!!!
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 68
80 20 200 35 250 0 750 / 7
U1 0 0
0.25 1 00.25 5 / 7 1
L
1
2
3
80 20 20 2020 40 20 2020 20 130 20
xxx
•Pogodna za simultano rješavanje sistema jednačina sa više vrijednosti vektora b.
•Broj množenja i dijeljenja je približno jednak n3/2 – n/2 + n2 što je 50% više od Gaussovemetode.
Lb' b b'Ux b' x
1 1
2 2
3 3
1 0 0 ' 20 ' 200.25 1 0 ' 20 ' 250.25 5 / 7 1 ' 20 ' 300 / 7
b bb bb b
1 1
2 2
3 3
80 20 20 20 0.40 35 25 25 1.00 0 750 / 7 300 / 7 0.4
x xx xx x
Metode faktorizacije
Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 69
Nedostaci metoda eliminacije
• Prisustvo grešaka zaokruživanja
- usljed aproksimacije brojevima konačne tačnosti
- moguće ih je smanjiti pogodnim razmještajem jednačina ili pomoću posebnog iterativnog postupka
• Podešenost sistema
1 2
1 2
1
2
21.0001 2.0001
(a) 1 1 2 ( 1) (b)(b) 1 1.0001 2.0001
1 1 2 11 0.0001 0.0001 1
x xx x
xx
1 2
1 2
1
2
20.9999 2.0001
(a) 1 1 2 ( 1) (b)(b) 1 0.9999 2.0001
1 1 2 31 0.0001 0.0001 1
x xx x
xx
Primjer
Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 70
- korištenje beskonačnih brojeva
- skaliranje i zamjena redova
1 1 1
1 1
2
2
1 1
max
max
min
n
ijj n in
ijj n j
i
n n
ijei j
a
a
a
A
A
A
A
maksimalan zbir kolone
Norma i broj podešenosti sistema
maksimalan zbir reda
spektralna norma
Euklidska norma
Nedostaci metoda eliminacije
Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 71
Primjer
1 11 1.0001
A
Procijeniti podešenost sistema sa matricom (matrica koeficijenata iz prethodnog primjera):
2 2 2 2 2
1 11 1 1 1.0001 2.0005
n n
ijei j
a
A
Euklidska norma za A
Inverzna matrica i Euklidska norma za A-1
1 10001 1000010000 10000
A 1 2 2 2 2 2
1 110001 ( 10000) ( 10000) 10000 20000.5
n n
ijei j
a
A
1( ) 40002 1e e
C A A A
Nedostaci metoda eliminacije
Rješavanje sistema linearnih jednačina – direktne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 72
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
n n nn n n
a a a x ba a a x b
a a a x b
S obzirom da je u većini velikih sistema linearnih jednačina matrica koeficijenata A rijetka, tj. većina elemenata jednaka nuli, mnogo je efikasnije koristiti iterativne metode.
Opšti algoritam iterativnih metoda:
1.Pretpostavi se početno rješenje x(0)
2.Rješenje x(0) se koristi za dobivanje novog, boljeg, rješenja x(1)
pomoću neke strategije smanjenja razlike između rješenja x(0) i stvarnog rješenja x
3.Postupak se ponavlja do postizanja željene tačnosti
Dovoljan uslov za konvergenciju iterativnih metoda je dijagonalna dominantnost.
1 ( 1,2,..., )
n
ii ijjj i
a a i n
Iterativne metodeRješavanje sistema linearnih jednačina – iterativne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 73
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
n n nn n n
a a a x ba a a x b
a a a x b
Jacobijeva metoda
1
1
1 1
1(1) (0) (0)
1 1
1( 1) ( ) ( )
1 1
( 1, 2,..., )
1
1
1
n
ij j ij
i n
i i ij j ij jj j iii
i n
i i ij i ij ij j iii
i nk k k
i i ij i ij ij j iii
a x b i n
x b a x a xa
x b a x a xa
x b a x a xa
( 1) ( ) ( )
1
( )( 1) ( )
( ) ( )
1
1 nk k k
i i i ij ijii
kk k i
i iii
nk k
i i ij ij
x x b a xa
Rx xa
R b a x
Rješavanje sistema linearnih jednačina – iterativne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 74
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
n n nn n n
a a a x ba a a x b
a a a x b
Primjer
Jacobijevom metodom riješiti sljedeći sistem jednačina:
1
2
3
4
5
4 1 0 1 0 1001 4 1 0 1 100
0 1 4 1 0 1001 0 1 4 1 1000 1 0 1 4 100
xxxxx
1 2 4
1 2 3 5
2 3 4
1 3 4 5
2 4 5
4 1004 100
4 1004 100
4 100
x x xx x x x
x x xx x x x
x x x
1 2 4
2 1 3 5
3 2 4
4 1 3 5
5 2 4
25 0.25 0.2525 0.25 0.25 0.2525 0.25 0.2525 0.25 0.25 0.2525 0.25 0.25
x x xx x x xx x xx x x xx x x
Jacobijeva metoda
Rješavanje sistema linearnih jednačina – iterativne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 75
1 2 4
2 1 3 5
3 2 4
4 1 3 5
5 2 4
25 0.25 0.2525 0.25 0.25 0.2525 0.25 0.2525 0.25 0.25 0.2525 0.25 0.25
x x xx x x xx x xx x x xx x x
(0) (1) (2) (18)
0.0 25.0 25.00 25.0000000.0 25.0 31.25 35.714285
(*) (*) (*) ......0.0 25.0 37.50 42.8571430.0 25.0 31.25 35.7142850.0 25.0 25.00 25.000000
x x x x
(*)
Jacobijeva metoda
Rješavanje sistema linearnih jednačina – iterativne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 76
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
n n nn n n
a a a x ba a a x b
a a a x b
Gauss-Seidelova metoda
1
1( 1) ( 1) ( )
1 1
( )( 1) ( )
1( ) ( 1) ( )
1
( 1, 2,..., )
1
n
ij j ij
i nk k k
i i ij i ij ij j iii
kk k i
i iii
i nk k k
i i ij i ij ij j i
a x b i n
x b a x a xa
Rx xa
R b a x a x
Rješavanje sistema linearnih jednačina – iterativne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 77
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
n n nn n n
a a a x ba a a x b
a a a x b
Primjer
Gauss-Seidelovom metodom riješiti sljedeći sistem jednačina:
1
2
3
4
5
4 1 0 1 0 1001 4 1 0 1 100
0 1 4 1 0 1001 0 1 4 1 1000 1 0 1 4 100
xxxxx
1 2 4
1 2 3 5
2 3 4
1 3 4 5
2 4 5
4 1004 100
4 1004 100
4 100
x x xx x x x
x x xx x x x
x x x
( 1) ( ) ( )1 2 4( 1) ( 1) ( ) ( )2 1 3 5( 1) ( 1) ( )3 2 4( 1) ( 1) ( 1) ( )4 1 3 5( 1) ( 1) ( 1)5 2 4
25 0.25 0.25
25 0.25 0.25 0.25
25 0.25 0.25
25 0.25 0.25 0.25
25 0.25 0.25
k k k
k k k k
k k k
k k k k
k k k
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
Gauss-Seidelova metoda
Rješavanje sistema linearnih jednačina – iterativne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 78
( 1) ( ) ( )1 2 4( 1) ( 1) ( ) ( )2 1 3 5( 1) ( 1) ( )3 2 4( 1) ( 1) ( 1) ( )4 1 3 5( 1) ( 1) ( 1)5 2 4
25 0.25 0.25
25 0.25 0.25 0.25
25 0.25 0.25
25 0.25 0.25 0.25
25 0.25 0.25
k k k
k k k k
k k k
k k k k
k k k
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
(0)
0.00.00.00.00.0
x
(1)1(1)2(1)3(1)4(1)5
25
25 31.25
31.25 32.81
25 0.25 0.25
25 0.25 0.25 0.25
25 0.25 0.25
25 0.25 0
25
25 32.8125 26.953125
31.25 2
.25 0.25
25 0.25 0.2
0 0
6.953125 23.925781
0 0
0
5
0
x
x
x
x
x
(1)1(1)2(1)3(1)4
26.074219
26.074219 33.740234
33.740
31.25 26.
234 40.173340
26.074219 40.173340
953125
32.8125 23.925781
26.95
25 0.25 0.25
25
3125
2
0.25 0.25 0.25
25 0.25 0.25
25 0.25 0.25 0 3.2 .5
x
x
x
x
(1)5
1 34.506225
33.25 0.25 0.25740234 34.506225 25.191498
92578
x
(15)
25.00000035.714286
... 42.85714335.71428625.000000
x
Gauss-Seidelova metoda
(1)
25.000031.250032.812526.953123.9258
x
Rješavanje sistema linearnih jednačina – iterativne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 79
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
n n nn n n
a a a x ba a a x b
a a a x b
Metode relaksacije – SOR metoda
( )( 1) ( )
( ) ( )
1
1( ) ( 1) ( )
1
0 2 sistem konvergira0 1 podrelaksacija1 2 nadrelaksacija
kk k i
i iii
nk k
i i ij jj
i nk k k
i i ij j ij jj j i
Rx xa
R b a x
R b a x a x
Gauss-Seidel
Jacobi
Rješavanje sistema linearnih jednačina – iterativne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 80
Primjer
SOR metodom (za Jacobijevu metodu) riješiti sljedeći sistem jednačina:
1
2
3
4
5
4 1 0 1 0 1001 4 1 0 1 100
0 1 4 1 0 1001 0 1 4 1 1000 1 0 1 4 100
xxxxx
1 2 4
1 2 3 5
2 3 4
1 3 4 5
2 4 5
4 1004 100
4 1004 100
4 100
x x xx x x x
x x xx x x x
x x x
1 1 2 4
2 1 2 3 5
3 2 3 4
4 1 3 4 5
5 2 4 5
100 4100 4100 4100 4100 4
R x x xR x x x xR x x xR x x x xR x x x
Uzeti =1.1.
Metode relaksacije – SOR metodaRješavanje sistema linearnih jednačina – iterativne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 81
(0) (0) (1)
0.0 100.00 27.50.0 100.00 27.5
(*) (**)0.0 100.00 27.50.0 100.00 27.50.0 100.00 27.5
R
x x
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 3 5( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 1 3 4 5( ) ( ) ( ) ( )5 2 4 5
100 4
100 4
100 4
100 4
100 4
k k k k
k k k k k
k k k k
k k k k k
k k k k
R x x x
R x x x x
R x x x
R x x x x
R x x x
(*)
( )( 1) ( ) 11 1
( )( 1) ( ) 22 2
( )( 1) ( ) 33 3
( )( 1) ( ) 44 4
( )( 1) ( ) 55 5
4
4
4
4
4
kk k
kk k
kk k
kk k
kk k
Rx x
Rx x
Rx x
Rx x
Rx x
(**)
Metode relaksacije – SOR metodaRješavanje sistema linearnih jednačina – iterativne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 82
(1) (1) (2)
27.5 10.00 24.7527.5 17.50 32.3125
(*) (**)27.5 45.00 39.87527.5 17.50 32.312527.5 10.00 24.75
R
x x
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 3 5( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 1 3 4 5( ) ( ) ( ) ( )5 2 4 5
100 4
100 4
100 4
100 4
100 4
k k k k
k k k k k
k k k k
k k k k k
k k k k
R x x x
R x x x x
R x x x
R x x x x
R x x x
(*)
( )( 1) ( ) 11 1
( )( 1) ( ) 22 2
( )( 1) ( ) 33 3
( )( 1) ( ) 44 4
( )( 1) ( ) 55 5
4
4
4
4
4
kk k
kk k
kk k
kk k
kk k
Rx x
Rx x
Rx x
Rx x
Rx x
(**)(2) (2) (3)
24.75 1 25.02532.3125 10.625 35.2344
(*) (**)39.875 5.125 41.284432.3125 10.625 35.2344
24.75 1 25.025
R
x x
(23)
2535.714342.857135.7143
25
x
Metode relaksacije – SOR metodaRješavanje sistema linearnih jednačina – iterativne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 83
Problem optimiranja vrijednosti !!!
(13)
2535.714342.857135.7143
25
xSOR metodom (za Gauss-Seidelovu metodu)
0.6 0.8 1 1.2 1.40
10
20
30
40
50
0.6 0.8 1 1.2 1.410
20
30
40
50
Metode relaksacije – SOR metodaRješavanje sistema linearnih jednačina – iterativne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 84
Ostale metode
• Nestacionarne metode
- metoda konjugovanih gradijenata (za sisteme sa simetričnom matricom sistema)
- metoda bikonjugovanih gradijenata (za sisteme sa asimetričnom matricom sistema)
Rješavanje sistema linearnih jednačina – iterativne metode
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 85
Interpolacija i aproksimacija funkcija
U mnogim inženjerskim problemima, podaci koji se posmatraju su poznati samo za niz diskretnih taèaka, a ne kao kontinuirana funkcija, tj.
( )i iy f x
•Interpolacija
•Diferenciranje
•Integriranje
Vrste približnih funkcija
•Polinomi
•Trigonometrijske funkcije
•Eksponencijalne funkcije
Željene karakteristike
•Lako određivanje
•Lako izračunavanje
•Lako diferenciranje
•Lako integriranje
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 86
x
y
Diskretne tačke
x
y
Diskretne tačke
Pristupi u određivanju približnih funkcija
• Interpolacija – tačno poklapanje
• Aproksimacija – približno poklapanje
Interpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 87
Interpolacija polinomima
21 2( ) ... n
n o nP x a a x a x a x
• Weierstrassov aproksimacioni polinom: Ako je funkcija f (x) neprekidna na intervalu [a,b], tada za svako proizvoljno malo > 0 postoji polinom Pn(x), kod kojeg vrijednost n zavisi od vrijednosti , tako da za svako x u intervalu [a,b] vrijedi
| Pn(x) – f (x) | <
• Teorem o jedinstvenosti rješenja: Polinom n-tog stepena koji prolazi kroz tacno n + 1 diskretnih tačaka je jedinstven.
Interpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 88
20 1 0 2 0 0
21 1 1 2 1 1
22 1 2 2 2 2
21 2
...
...
............................................
...
no n
no n
no n
nn o n n n n
y a a x a x a x
y a a x a x a x
y a a x a x a x
y a a x a x a x
Problem: Naći interpolacioni polinom n-tog reda koji prolazi kroz n +1 tačaka [xi ,yi] (i = 0,1,...,n)
20 0 0
21 1 1
22 2 2
2
1 ...1 ...
01 ...
1 ...
n
n
n
nn n n
x x xx x x
D x x x
x x x
21 2( ) ... n
n o nP x a a x a x a x
Interpolacija polinomima
Direktna metoda
Interpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 89
Primjer
Interpolirati vrijednost za x = 3.44, koristeći linearnu, kvadratnu i kubnu interpolaciju, za podatke
x f(x)
3.35 0.298507
3.40 0.294118
3.50 0.285714
3.60 0.277778
Napomena: Podaci predstavljaju vrijednosti funkcije f (x)=1/x
f (3.44)=1/3.44=0.290698
•Linearni polinom (dva podatka) – yi = a0 + a1xi
1
1
0.294118 3.400.285714 3.50
o
o
a aa a
1( ) 0.579854 0.08404P x x
Interpolacija polinomimaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 90
•Kvadratni polinom (tri podatka) – yi = a0 + a1xi + a2xi2
21 2
21 2
21 2
0.298507 3.35 3.35
0.294118 3.40 3.40
0.285714 3.50 3.50
o
o
o
a a a
a a a
a a a
22 ( ) 0.876561 0.256080 0.0249333P x x x
1(3.44) 0.579854 0.08404 3.44 0.290756P
Greška: f (3.44) – P1(3.44) = 0.000058
22 (3.44) 0.876561 0.256080 3.44 0.0249333 3.44 0.290697P
Greška: f (3.44) – P2(3.44) = –0.000001
x f(x)
3.35 0.298507
3.40 0.294118
3.50 0.285714
3.60 0.277778
f (3.44)=1/3.44=0.290698
Interpolacija i aproksimacija funkcijaInterpolacija polinomima
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 91
Primjer
•Kubni polinom (četiri podatka) – yi = a0 + a1xi + a2xi2+ a3xi
3
2 31 2 3
2 31 2 3
2 31 2 3
2 31 2 3
0.298507 3.35 3.35 3.35
0.294118 3.40 3.40 3.40
0.285714 3.50 3.50 3.50
0.277778 3.60 3.60 3.60
o
o
o
o
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
2 33 ( ) 1.121066 0.470839 0.0878 0.00613333P x x x x
Greška: f (3.44) – P3(3.44) = 0
2 33 (3.44) 1.121066 0.470839 3.44 0.0878 3.44 0.00613333 3.44 0.290698P
x f(x)
3.35 0.298507
3.40 0.294118
3.50 0.285714
3.60 0.277778
f (3.44)=1/3.44=0.290698
Interpolacija i aproksimacija funkcijaInterpolacija polinomima
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 92
Lagrangeov interpolacioni polinom
1( ) ( ) ( )x b x aP x f a f ba b b a
2( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )x b x c x a x c x a x bP x f a f b f ca b a c b a b c c a c b
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
nx b x c x k x a x c x kP x f a f ba b a c a k b a b c b k
x a x b x j f kk a k b k j
x f(x)
3.35 0.298507
3.40 0.294118
3.50 0.285714
3.60 0.277778
f (3.44)=1/3.44=0.290698
Interpolacija i aproksimacija funkcijaInterpolacija polinomima
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 93
0 0 1 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( )n
n n n k kk
P x L x f x L x f x L x f x L x f x
0 1 1
00 1 1
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
nk k n i
kik k k k k k n k ii k
x x x x x x x x x xL xx x x x x x x x x x
Primjer
Interpolirati vrijednost za x = 3.44, koristeći linearnu, kvadratnu i kubnu interpolaciju, za podatke
x f(x)
3.35 0.298507
3.40 0.294118
3.50 0.285714
3.60 0.277778
Napomena: Podaci predstavljaju vrijednosti funkcije f (x)=1/x
f (3.44)=1/3.44=0.290698
Interpolacija i aproksimacija funkcijaInterpolacija polinomima
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 94
•Linearni polinom (dva podatka) – yi = a0 + a1xi
1
1
3.50 3.40( ) 0.294118 0.2857143.40 3.50 3.50 3.40
( ) 0.579854 0.0840
x xP x
P x x
•Kvadratni polinom (tri podatka) – yi = a0 + a1xi + a2xi2
2
2
( 3.40)( 3.50) ( 3.35)( 3.50)( ) 0.298507 0.294118(3.35 3.40)(3.35 3.50) (3.40 3.35)(3.40 3.50)
( 3.35)( 3.40) 0.285714(3.50 3.35)(3.50 3.40)
( ) 2
=0.876561-0.256080x+0.0249333x
x x x xP x
x x
P x
x f(x)
3.35 0.298507
3.40 0.294118
3.50 0.285714
3.60 0.277778
f (3.44)=1/3.44=0.290698
Interpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 95
Newtonovi interpolacioni polinomi
20 0 0 0 0
0
00
0 1 02
0 1 0 2 1 0
1 10 1 0
( )1 2
2..............................................
( 1)
nn k
nk
n n n i
s s s sP x f f f f f
n kx xs x x sh
hf f f
f f f f f f
nf f f
i
0
n
ii
f
xi fi(0) fi
(1) fi(2) fi
(3)
x1 f1(0)
f1(1)
x2 f2(0) f1
(2)
f2(1) f1
(3)
x3 f3(0) f2
(2)
f3(1)
x4 f4(0)
Prvi Newtonov interpolacioni polinom (za diferenciranje unaprijed)
Tabela podijeljenih razlika
Interpolacija polinomimaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 96
Primjer (prvi Newtnonov interpolacioni polinom)
Interpolirati vrijednost za x = 3.44, koristeći linearnu, kvadratnu
i kubnu interpolaciju, za podatke
Interpolacija polinomimaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 97
f (3.44)=1/3.44=0.290698
20 0 2 0 0
0
00
( )1 2
nn k
nk
s s s sP x f f f f f
n kx xs x x sh
h
2 3( 1) ( 1)( 2)(3.44) (3.4) (3.4) (3.4) (3.4)2 3!
s s s s sP f s f f f
Interpolacija polinomimaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 98
f (3.44)=1/3.44=0.290698
2 3( 1) ( 1)( 2)(3.44) (3.4) (3.4) (3.4) (3.4)2 3!
s s s s sP f s f f f
0.4 (0.4 1)(3.44) 0.294118 0.4 ( 0.008404) (0.000468)2
0.4(0.4 1)(0.4 2) ( 0.0004)3!
P
Interpolacija polinomimaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 99
f (3.44)=1/3.44=0.290698
20 0 2 0 0
0( )
1 2
( 1)( 2) [ ( 1)]!
nn k
nk
s s s sP x f f f f f
n k
s s s s s iii
Drugi Newtonov interpolacioni polinom (za diferenciranje unazad)
Interpolacija polinomimaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 100
Primjer (drugi Newtnonov interpolacioni polinom)
Interpolirati vrijednost za x = 3.44, koristeći linearnu, kvadratnu
i kubnu interpolaciju, za podatke
i x0=3.5
Interpolacija polinomimaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 101
0x xsh
Interpolacija polinomimaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 102
Greška interpolacije
Interpolacija polinomimaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 103
Aproksimacija funkcija
x
y(x)Yi(xi)
Diskretne tačke
y(x)Yi
xi
ei
i i ie Y y
Metoda najmanjih kvadrata
min( )S
Interpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 104
21 2 ... n
o ny a a x a x a x
2 2 20 1 2 0 1 2
1 1( , , , , ) ( ) ( )
N Nn
n i i i i n ii i
S a a a a e Y a a x a x a x
i i ie Y y
min( )S
20 1 2 0 1 2
1( , , , , ) 2( )( ) 0
Nn k
n i i i n i iik
S S a a a a Y a a x a x a x xa
Aproksimacija funkcijaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 105
20 1 2 0 1 2
1( , , , , ) 2( )( ) 0
Nn k
n i i i n i iik
S S a a a a Y a a x a x a x xa
Aproksimacija funkcijaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 106
20 1 2 0 1 2
1( , , , , ) 2( )( ) 0
Nn k
n i i i n i iik
S S a a a a Y a a x a x a x xa
Aproksimacija funkcijaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 107
Primjer 1.
Za podatke u tabeli potrebno je odrediti aproksimacioni polinom prvog reda koristeći metodu najmanjih kvadrata u obliku:
Cp=a +bT
Aproksimacija funkcijaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 108
Aproksimacija funkcijaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 109
Primjer 2.
Za podatke u tabeli potrebno je odrediti aproksimacioni polinom drugog reda koristeći metodu najmanjih kvadrata u obliku:
Cp = a + bT + cT 2
Interpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 110
Aproksimacija funkcijaInterpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 111
Nelinearna aproksimacija
Stepena funkcija
ln( ) ln( ) ln( )
ln( ), ln( ), ln( )
/ln
i
b
b
y ax
y ax
y a b x
Y y A a X x B b
Y A BX
Interpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 112
Eksponencijalna funkcija
ln( ) ln( )
ln( ), ln( ),
/ln
i
bx
bx
y a e
y a e
y a bx
Y y A a X x B b
Y A BX
Nelinearna aproksimacija
Interpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 113
Za podatke u tabeli potrebno je odrediti nelinearni aproksimacioni polinom oblika
y = ae b x
Primjer
/ln
bx
bx
y a e
y a e
Nelinearna aproksimacija
Interpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 114
ln( ) ln( )
ln( ), ln( ),
/ln
i
bx
bx
y a e
y a e
y a bx
Y y A a X x B b
Y A BX
Nelinearna aproksimacija
Interpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 115
1.09861
ln( ), ln( ),
30.69315
i
A
Y y A a X x B b
a e eb B
0.69315 0.693153 3 ( ) 3 2
3 2
bx x x x
x
y ae e e
y
Nelinearna aproksimacija
Interpolacija i aproksimacija funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 116
Numeričko diferenciranje i integriranje funkcijaNumeričko diferenciranje
•Diferenciranje približnim funkcijama
•Formule za diferenciranje
Diferenciranje približnim funkcijama
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 117
Numeričko diferenciranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 118
Za podatke u tabeli potrebno je odrediti vrijednost prvog izvoda u tački x = 3.5
Primjer
Napomena: Podaci predstavljaju vrijednosti funkcije f (x)=1/x
f ‘ (3.5)= -1/3.52 = -0.081633...
Numeričko diferenciranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 119
Formule za diferenciranje
x
f (x)
x x1 x2
f (xi-h) f (xi)
A
f (xi+h)
B
C t
tc
t-
t+
Numeričko diferenciranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 120
Numeričko diferenciranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 121
Za podatke u tabeli potrebno je odrediti vrijednost prvog izvoda u tački x = 3.5
Primjer
Napomena: Podaci predstavljaju vrijednosti funkcije f (x)=1/x
f ‘ (3.5)= -1/3.52 = -0.081633...
Diferenciranje unaprijed
Diferenciranje unazad
Numeričko diferenciranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 122
Centralno diferenciranje
f ‘ (3.44)= -1/3.442 = -0.081633...Numeričko diferenciranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 123
•Integriranje približnim funkcijama
•Newton-Cotesove formule
•Gaussove kvadraturne formule
Integriranje približnim funkcijama x
f (x)
a b
b
a
f(x)dxI
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 124
Izračunati vrijednost integrala:
Primjer
koristeći podatke iz tabele.
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 125
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 126
Newton-Cotesove formule
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 127
Newton-Cotesove formule – trapezno pravilo
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 128
Newton-Cotesove formule – trapezno pravilo
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 129
Izračunati vrijednost integrala:
Primjer – trapezno pravilo
koristeći podatke iz tabele.
Za jedan interval:
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 130
Za dva intervala:
Za četiri intervala:
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 131
Newton-Cotesove formule – Simpsonovo 1/3 pravilo
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 132
Izračunati vrijednost integrala:
Primjer
koristeći podatke iz tabele.
Primjer – Simpsonovo 1/3 pravilo
Za jedan interval:
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 133
Za dva intervala:
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 134
Gaussove kvadraturne formule
n = 2
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 135
1 1
1 1
2 2
( ) ( ) [ ]2
b
a
x mt cb a b am c
b aI f x dx f mt c m dt F t dt
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 136
1 1( )2 3 3
b
a
b aI f x dx F F
1 1
1 1( ) ( ) [ ]
2b
a
b aI f x dx f mt c m dt F t dt
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 137
Izračunati vrijednost integrala:
koristeći podatke iz tabele.
Primjer – Gaussove kvadraturne formule
3.52 2
10.4 3.5 ( )0.4 3.5
=0.4
x mt cb a b am c
x t F tt
1 1 1( ) ( )2 3 3
b
a
b aI f x dx F F f xx
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 138
1
1
1 1 1( )2 3 3
0.22957092
b
a
b aI dx F t dt F Fx
I
Za dva intervala:
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 139
3.32 2
10.2 3.3 ( )0.2 3.3
=0.2
b a b am c
x t F tt
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 140
3.72 2
10.2 3.7 ( )0.2 3.7
=0.2
b a b am c
x t F tt
Numeričko integriranjeNumeričko diferenciranje i integriranje funkcija
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 141
Rješavanje običnih diferencijalnih jednačinaO običnim diferencijalnim jednačinama (ODJ)
ODJ daju zavisnost između funkcije sa jednom nezavisnom promjenljivom i njenih totalnih izvoda u odnosu na tu nezavisnu promjenljivu
• ODJ sa početnim vrijednostima – Cauchijev problem
• ODJ sa graničnim vrijednostima
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 142
Podjela fizičkih problema
• problemi širenja (ODJ sa početnim vrijednostima)
• problemi ravnoteže (ODJ sa graničnim vrijednostima)
• problemi sopstvenih vrijednosti (rješenje postoji samo za određene parametre)
O običnim diferencijalnim jednačinama (ODJ)Rješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 143
• jednokoračne metode – koriste podatke samo jedne tačke (koraka)
• višekoračne metode – koriste podatke više tačaka (koraka)
• ekstrapolacione metode
O običnim diferencijalnim jednačinama (ODJ)Rješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 144
Rješavanje problema sa početnim vrijednostima
Taylorova metoda
Rješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 145
Primjer – Taylorova metoda
Prenos toplote zračenjem sa tijela mase m u okolinu se može opisati jednačinom
Riješiti datu jednačinu za t = 0 do 10 s ako je = 410-12, Ta = 250 K, T (0) = 2500 K
Tačno rješenje
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 146
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 147
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 148
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 149
Metoda konačnih razlika
Transformacija problema rješavanja diferencijalnih jednačina na algebarski problem.
1. Neprekidna oblast (domena rješavanja) se prekrije numeričkom mrežom
2. Tačni izvodi diferencijalne jednačine se aproksimiraju algebarskim aproksimacijama konačnih razlika
3. Algebarske aproksimacije konačnih razlika se smjenom uvrste u diferencijalnu jednačinu
4. Rješava se rezultujuća jednačina konačnih razlika
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 150
Eulerova metoda
• eksplicitna
• implicitna
Eksplicitna Eulerova metoda
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 151
Karakteristike eksplicitna Eulerova metode
• Metoda je eksplicitna, tj. funkcija f (x) ne zavisi od yn+1
• Potrebna je jedna čvorna tačka
• Samo jedno izračunavanje izvoda funkcije po iteraciji
• Lokalna greška je drugog, a globalna prvog reda
• Metoda je uslovno stabilna, tj. stabilnost zavisi od koraka h
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 152
Primjer – Eulerova eksplicitna metoda
Prenos toplote zračenjem sa tijela mase m u okolinu se može opisati jednačinom
Riješiti datu jednačinu za t = 0 do 10 s ako je = 410-12, Ta = 250 K, T (0) = 2500 K
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 153
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 154
Implicitna Eulerova metoda
Karakteristike implicitne Eulerova metode
• Metoda je implicitna, tj. funkcija f (x) zavisi od yn+1
• Potrebna je jedna čvorna tačka
• Samo jedno izračunavanje izvoda funkcije po iteraciji
• Lokalna greška je drugog, a globalna prvog reda
• Metoda je stabilna, tj. stabilnost ne zavisi od koraka h
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 155
Primjer – Eulerova implicitna metoda
Prenos toplote zračenjem sa tijela mase m u okolinu se može opisati jednačinom
Riješiti datu jednačinu za t = 0 do 10 s ako je = 410-12, Ta = 250 K, T (0) = 2500 K
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 156
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 157
O stabilnosti Eulerovih metoda
• eksplicitna
• implicitna
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 158
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 159
Runge-Kutta metode
Runge-Kutta metode drugog reda
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 160
Modifikovana Eulerova metoda
C1=C2=1/2 = =1
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 161
Primjer – modifikovana Eulerova metoda
Prenos toplote zračenjem sa tijela mase m u okolinu se može opisati jednačinom
Riješiti datu jednačinu za t = 0 do 10 s ako je = 410-12, Ta = 250 K, T (0) = 2500 K
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 162
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 163
Modifikovana metoda srednje vrijednosti
C1= 0, C2=1 = =1/2
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 164
Primjer – modifikovana metoda srednje vrijednosti
Prenos toplote zračenjem sa tijela mase m u okolinu se može opisati jednačinom
Riješiti datu jednačinu za t = 0 do 10 s ako je = 410-12, Ta = 250 K, T (0) = 2500 K
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 165
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 166
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 167
Runge-Kutta metode četvrtog reda (standardna)
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 168
• Aproksimirane jednačine su eksplicitne i zahtijevaju četiri izračunavanja izvoda funkcije u jednom koraku (iteraciji)
• Jednačine su konzistentne, sa lokalnom greškom petog i globalnom četvrtog reda
• Jednačine su uslovno stabilne (npr. za y’+ y = 0,t 2.785)
• S obzirom da su jednačine konzistentne i uslovno stabilne, one su i konvergentne.
Karakteristike Runge-Kutta metode četvrtog reda
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 169
Primjer – Runge-Kutta 4. reda
Prenos toplote zračenjem sa tijela mase m u okolinu se može opisati jednačinom
Riješiti datu jednačinu za t = 0 do 10 s ako je = 410-12, Ta = 250 K, T (0) = 2500 K
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 170
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 171
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 172
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 173
Ostale metode
• višekoračne (Adamsova i njene varijacije, ...)
• ekstrapolacione
Rješavanje problema sa početnim vrijednostimaRješavanje običnih diferencijalnih jednačina
Primjena numeričkih metoda u inženjerstvu 16/17 www.ptf.unze.ba/nastava/NM/nm.php 174
S R E T N O !!!