INSTITUTUL DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ

AL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A MOLDOVEI

Cu titlu de manuscris

C.Z.U: 510.6+511(043.2)

COVALSCHI Alexandru

IDENTITĂŢILE ŞI CVASIIDENTITĂŢILE A-BUCLEI NILPOTENTE

111.03 – Logică matematică, algebră şi teoria numerelor

Autoreferatul

tezei de doctor în ştiinţe fizico-matematice

CHIŞINĂU, 2013

2

Teza a fost elaborată la catedra „Algebră, Geometrie şi Topologie” a Universităţii de Stat

din Tiraspol

Conducător ştiinţific:

URSU Vasile, doctor habilitat în ştiinţe fizico-matematice, conferenţiar universitar

Referenţi oficiali:

1. SOKHATKY Fedir M., doctor habilitat, profesor universitar, Ucraina

2. CUZNEŢOV Eugeniu, doctor în ştiinţe fizico-matematice, conferenţiar cercetător

Componenţa Consiliului Ştiinţific Specializat:

1. REABUHIN Iurie, preşedinte, dr. hab. în şt. fiz.-mat., profesor universitar, academician

2. IZBAŞ Vladimir, secretar ştiinţific, dr. în şt. fiz.-mat., conferenţiar universitar

3. CIOBAN Mitrofan, dr. hab. în şt. fiz.-mat., profesor universitar, academician

4. ŞCERBACOV Victor, dr. hab. în şt. fiz.-mat., conferenţiar cercetător

5. VALUŢĂ Ion, doctor în şt. fiz.-mat., profesor universitar,

Susţinerea va avea loc la: 21 august 2013, ora 1600

, în şedinţa Consiliului ştiinţific

specializat DH 01.01.01.06 – 03 din cadrul Institutului de Matematică şi Informatică al

Academiei de Ştiinţe a Moldovei, MD-2028, Chişinău, str. Academiei, 5.

Teza de doctor şi autoreferatul ştiinţific pot fi consultate la biblioteca Academiei de Ştiinţe

a Moldovei şi la pagina web a C.N.A.A. (www.cnaa.md).

Autoreferatul a fost expediat la 19 iulie 2013

Secretar ştiinţific

al Consiliului ştiinţific specializat, dr. ___________IZBAŞ Vladimir

Conducător ştiinţific, dr. hab. , conf. univ. ___________URSU Vasile

Autor ___________COVALSCHI Alexandru

© Covalschi Alexandru, 2013

3

Repere conceptuale ale cercetării

Actualitatea temei. După ce A. Tarski şi A. I. Maliţev au construit teoria axiomatizării

claselor de sisteme algebrice, prin metode ale algebrei şi logicii matematice, a început intensiv să

se dezvolte teoria claselor axiomatizate. Dintre acestea un rol important li se atribuie

cvasivarietăţilor şi, respectiv, varietăţilor, adică claselor axiomatizate de cvasiidentităţi şi,

respectiv, identităţi. Acest fenomen are mai multe explicaţii.

În primul rând, limbajul identităţilor şi cvasiidentităţilor este unul vechi, simplu şi

natural. Spre exemplu, identităţile au apărut în antichitate (identităţile aritmetice de

comutativitate, asociativitate, distributivitate), care mai apoi sunt folosite, de regulă, în definirea

algebrelor clasice de tipul cvasigrup, buclă, grup, latice, inel ş.a. Cvasiidentităţile au apărut în

rezultatul rezolvării problemei de incluziune a unei clase de algebre în o altă clasă axiomatizată

potrivită (de exemplu, clasa semigrupurilor în clasa grupurilor, clasa inelelor în clasa corpurilor)

şi în rezolvarea diferitor probleme-algoritmice.

În al doilea rând, structurile acestor clase sunt descrise de teorema lui G. Birkhoff [1]

pentru varietăţi şi teorema lui A.I. Maliţev [2] pentru cvasivarietăţi, care au devenit principalele

instrumente de cercetare ale acestor clase.

În al treilea rând, o însemnătate deosebită în formarea conceptului de varietate şi

cvasivarietate îl au raportul lui G. Birkhoff [3] prezentat la Congresul Matematicienilor din

Canada (Montreal, 1945) şi raportul lui A.I. Malicev [4] prezentat la Congresul Internaţional al

Matematicienilor (Moscova, 1966), în care sunt menţionate proiectele de cercetare în continuare

ale varietăţilor şi cvasivarietăţilor.

Menţionăm, totodată, că la baza formării teoriei cvasivarietăţilor sunt lucrările lui A.I.

Maliţev ([2], [4], [5], [6], [7], [8]). O contribuţie esenţială în dezvoltarea acestei teorii au adus-o

V.A. Gorbunov şi elevii săi. O bună parte din rezultatele obţinute de ei sunt reflectate în

monografia lui V.A. Gorbunov [9].

În continuare vom expune direcţiile de cercetare cărora le este dedicată această teză,

indicând, totodată, şi unele rezultate obţinute care reflectă actualitatea tematicii tezei.

Problema existenţei bazei finite de identităţi. Această problemă are o însemnătate

deosebită în cercetarea teoriei ecvaţionale a unei clase de algebre concrete. Teoria ecvaţională

(cvasiecvaţională) a unei clase de algebre de aceeaşi signatură se numeşte mulţimea tuturor

identităţilor (cvasiidentităţilor) adevărate în orice algebră din clasa dată. Dacă în teoria

ecvaţională (cvasiecvaţională) există o submulţime de identităţi (cvasiidentităţi) încât ea implică

celelalte identităţi (cvasiidentităţi) din teorie, atunci această submulţime se numeşte bază. Printre

lucrările dedicate problemei de existenţă a bazei finite de identităţi pentru anumite teorii

4

ecvaţionale putem remarca lucrările lui G. Birkhoff [1] şi R.G. Lyndon [10], Taylor [11], [12],

K.A. Baker [13], R. Mckenzie [14], B. Jonson [15].

Dacă o clasă este formată din o singură algebră A, în loc de bază a teoriei ecvaţionale

(cvasiecvaţionale) a acestei clase vom spune bază a identităţilor (cvasiidentităţilor) algebrei A.

Printre algebre cu bază finită de identităţi menţionăm următoarele:

orice algebră finită de două elemente (R.G. Lyndon [10]);

orice algebră finită cu un număr finit de operaţii unare (G. Birkhoff [3]);

orice grup nilpotent (R.G. Lyndon [16]);

orice grup finit (S. Oates şi M.B. Powell [17]);

orice latice finită (R. McKenzie [18]);

orice inel asociativ finit (L.V. Livov [19], R. Kruse [20]);

orice semigrup comutativ finit (P. Perkins [21]);

orice buclă Moufang comutativă (T. Evans [22]);

orice buclă Moufang nilpotentă (V.I. Ursu [23]).

Problema existenţei bazei finite de cvasiidentităţi. Primele lucrări dedicate studiului

bazei de cvasiidentităţi a anumitor teorii cvasiecvaţionale sunt lucrările menţionate ale lui A.I.

Maliţev [6, 8], în care s-a demonstrat că clasa de semigrupuri care pot fi incluse în grupuri este o

cvasivarietate care nu poate avea o bază finită de cvasiidentităţi. Alte rezultate importante în

această direcţie sunt obţinute de P.M. Cohn [24], A.K Rumeanţev [25], A.N. Feodorov [26],

A.A. Vinogradov [27], A.I Budkin [28] ş.a. La momentul actual problema existenţei bazei finite

de cvasiidentităţi este rezolvată, de exemplu, pentru:

orice algebră finită de două elemente (V.A. Gorbunov [29]);

orice algebră finită cu o operaţie unară (V.K. Kartashov [30]);

orice grup finit (A.Iu. Olişanski [31]);

orice inel asociativ finit (V.P. Belkin [32]);

orice buclă Moufang comutativă finit generată (V. Ursu [33]);

orice buclă Moufang nilpotentă finit generată (V. Ursu [34], [35]).

Demonstraţia necesităţii rezultatului lui V.P. Belkin [32] este generalizată de W.

Dziobiac [36] pentru inelele neasociative finite: dacă inelul neasociativ finit conţine un subinel

nilpotent, atunci el nu are bază finită de cvasiidentităţi. În [29] V.A. Gorbunov a demonstrat că

orice algebră finită de două elemente are bază finită de cvasiidentităţi, iar în [37] a construit o

algebră de trei elemente cu două operaţii unare fără bază finită. D. Pigozzi [38] a arătat că o

algebră finită ce generează o cvasivarietate congruent-modulară are bază finită de cvasiidentităţi.

5

În cercetarea problemei menţionate rezultate ce prezintă interes au fost obţinute şi de I.P.

Besţenîi [39], V.P. Belkin [32], V.I. Tumanov [40].

După cum s-a menţionat mai sus multe algebre clasice (grupul neabelian finit (sau finit

generat) şi nilpotent, inelul finit asociativ sau neasociativ şi nilpotent cu produs nenul, bucla

Moufang finită (sau finit generată) neasociativă sau necomutativă şi nilpotentă, anumite latice

finite) nu au bază finită de cvasiidentităţi. În acest caz în mod natural apare următoarea

problemă.

Problema existenţei bazei independente de cvasiidentităţi. O bază de cvasiidentităţi a

unei teorii cvasiecvaţionale se numeşte independentă în clasa M, dacă ea nu este echivalentă în

M cu nici o submulţime proprie de cvasiidentităţi. Este clar, că dacă o anumită teorie

cvasiecvaţională are bază finită de cvasiidentităţi, atunci ea are şi o bază independentă de

cvasiidentităţi. Pentru prima dată problema bazei independente de cvasiidentităţi a fost formulată

în lucrările lui A.I. Maliţev [41] şi A. Tarski [42]. Sunt obţinute multe rezultate referitor la baza

independentă de identităţi pentru anumite varietăţi. Menţionăm câteva din ele. Existenţa

varietăţilor cu baze independente infinite în clasa de grupuri este demonstrată de Vaughan-Lee

[43], S.I. Adean [44], Ju.G. Kleiman [45], [46], în clasa de TS-bucle de P.V. Gorincioi [47], iar

în clasa de bucle Moufang comutative de N.I. Sandu [48]. Însemnătatea existenţei bazei

independente, în particular finite, de cvasiidentităţi este menţionată în lucrarea de sinteză a lui R.

Mckenzie [49], precum şi în monografia lui V.A. Gorbunov [9]. Rezultate esenţiale în această

direcţie au fost obţinute de A.K. Rumeantsev [25], V.K. Kartashov [30], A.I. Budchin [50], A.N.

Feodorov [26], [51], V.I. Ursu [52], [53].

În prezenta teză problemele menţionate mai sus sunt abordate în clasa de A-bucle, unde

prin A-buclă se subînţelege bucla ale cărei substituţii interne sunt automorfisme. Pentru prima

dată aceste bucle au apărut în lucrarea lui R. Bruck şi L. Paige [54]. Cele mai studiate A-bucle

neasociative sunt buclele Moufang comutative. Buclele Moufang au fost introduse de R.

Moufang din motivaţii geometrice legate de unele probleme din teoria planului proiectiv

nedezarg [55]. Un rezultat de bază din teoria acestor bucle este: dacă trei elemente a, b şi c ale

unei bucle Moufang, sau ale unei A-bucle diasociative (oricare două elemente ale ei generează un

grup), sunt legate prin legea asociativă ( bcacab ), atunci subbucla generată de elementele a,

b şi c este grup (Teorema Moufang, vezi [54], [56]). Un alt rezultat destul de interesant a fost

obţinut de M. Osborn [57]: dacă A-bucla diasociativă este comutativă, atunci ea este buclă

Moufang comutativă. Clasa de bucle Moufang comutative, cum s-a menţionat mai sus, este cea

mai studiată clasă de A-bucle neasociative. Se explică aceasta prin următorul rezultat important

pentru buclele Moufang comutative: (Teorema Bruck-Slaby, vezi [58]) bucla Moufang

6

comutativă generată de n elemente este central nilpotentă de clasa n . Rezultatul acesta s-a

obţinut prin mai multe metode de demonstraţii, ce se deosebesc prin simplitate, tehnici sau în

unele detalii tehnice (vezi J.D. Smit [59], G.P. Malbos [60]). În prezent aceste bucle au o vastă

aplicaţie în studiul diferitor algebre, cum ar fi cvasigrupurile distributive şi CH-cvasigrupurile

(vezi, de exemplu, [61], [62]). Destul de detaliat sunt studiate buclele Moufang în monografiile

[56], [58] şi [63].

În lucrarea comună a lui M.K. Kinyon, K. Kunen şi Philips [64] este obţinut următorul

rezultat. Pentru orice A-buclă L sunt echivalente afirmaţiile:

(i) L este IP-buclă;

(ii) în L sunt adevărate identităţile de alternativitate de stânga şi de dreapta

22 , xyxyxyxxyx ;

(iii) L este diasociativă;

(iv) L este buclă Moufang.

La etapa actuală un rezultat deosebit de important l-au obţinut Grishcov A.N. şi

Zavarnitsine A.V. [65] pentru buclele Moufang finite: dacă H este o subbuclă a buclei Moufang

finite L, atunci |:||||| HLHL (Teorema Lagrange generalizată). Recent, în [66] de către P.

Jedlisca, M. Kinyon şi P. Vejtehovski este demonstrată teorema Lagrange şi pentru A-buclele

comutative finite.

În ultimii ani rezultate interesante în studiul teoriei varietăţilor de cvasigrupuri sunt

obţinute de Şcerbacov V.A. şi Izbas V.I. [67], Şcerbacov V.A. [68], Izbas V.I.[69], Reabuhin

Iu.M. [70], Beliavscaia G.B. şi Tabarov A. Kh., [71], Sandu N.I. [72], [73], Syrbu P. [74],

Cuzneţov E.A. şi Botnari S. [75], [76], Sokhatsky F.M. şi Kraynichuk H.V. [77], Sokhatsky F.M.

şi Fryz I.V. [78].

Studiul efectuat rezidă în rezolvarea următoarei probleme ştiinţifice – problema existenţei

bazelor finite şi independente de cvasiidentităţi pentru A-bucle nilpotente.

Scopul şi obiectivele lucrării:

1. Rezolvarea Problemei 1: are sau nu A-bucla nilpotentă bază finită de identităţi?

2. Rezolvarea Problemei 2 : când o A-buclă nilpotentă finit generată are bază finită de

cvasiidentităţi?

3. Rezolvarea Problemei 3: are sau nu A-bucla n-nilpotentă liberă bază independentă de

cvasiiidentităţi?

4. Elucidarea rolului conceptelor de buclă nilpotentă sau rezolubilă, în contextul

problemelor abordate;

7

Cercetarea unor varietăţi şi cvasivarietăţi de A-bucle cu anumite proprietăţi de

rezidualitate finită, nilpotentă sau rezolubilă.

Metodologia cercetării ştiinţifice.

În lucrare sunt utilizate metode ale teoriei cvasivarietăţilor de cvasigrupuri sau bucle,

teoriei cvasivarietăţilor de grupuri şi teoriei cvasivarietăţilor de algebre universale. Metodele

elaborate în teză sunt bazate pe teoremele lui G. Birghoff şi A.I. Maliţev despre structura

varietăţilor şi cvasivarietăţilor, pe teoremele lui G. McKinsey, V.A. Gorbunov pentru algebre

universale, pe rezultatele importante din teoria buclelor expuse în monografiile lui R.H. Bruck

[58] şi V.D. Belousov [56], precum şi în cartea lui O. Chein, H.O. Pflugfelder şi J.D.H. Smith

[63]. Unele metode de cercetare din prezenta teză sunt inspirate din lucrările lui A.Iu. Olishanski,

A.I. Budkin, A.N. Feodorov şi V.I. Ursu.

Noutatea şi originalitatea ştiinţifică. Pentru prima dată se face un studiu al teoriilor

ecvaţionale şi cvasiecvaţionale pentru A-bucle nilpotente. Este elaborat mai concis conceptul de

bucle nilpotente şi rezolubile. Sunt rezolvate problemele formulate mai sus, iar răspunsurile la

ele se găsesc printre următoarele rezultate:

− subbuclele oricărei A-bucle nilpotente şi finit generată verifică condiţia maximalităţii;

− orice A-buclă nilpotentă şi finit generată este rezidual finită;

− identităţile oricărei A-bucle nilpotente au bază finită (răspunsul la problema 1);

− teoria cvasiecvaţională a oricărei varietăţi generată de o A-buclă este rezolubilă;

− problema egalităţii a două cuvinte în A-bucla nilpotentă şi finit generată este rezolubilă;

− cvasiidentităţile A-buclei nilpotente finit generate au bază finită dacă şi numai dacă ea

este un grup abelian finit (răspunsul la problema 2);

− rangul axiomatic al oricărei cvasivarietăţii generate de o A-buclă nilpotentă şi finit

generată, care este neasociativă sau necomutativă, este infinit;

− cvasiidentităţile adevărate în o A-buclă n-nilpotentă liberă de orice clasă de nilpotenţă n

şi de orice rang, au bază infinită şi independentă de cvasiidentităţi (răspunsul la

problema 3);

− varietatea de A-bucle local nilpotente are toate buclele rezidual finite, dacă şi numai

dacă ea este generată de un grup abelian finit;

− sunt stabilite condiţii necesare şi suficiente pentru ca o cvasivarietate de bucle Moufang

să conţină toate buclele nilpotente sau rezolubile.

Problema ştiinţifică soluţionată este problema existenţei bazelor finite şi independente

de cvasiidentităţi pentru A-bucle nilpotente.

8

Semnificaţia teoretică şi valoarea aplicativă a lucrării. O direcţie importantă de

cercetări, ce ţine de domeniul cvasivarietăţilor sau varietăţilor, este studiul legat de baza teoriei

ecvaţionale sau teoriei cvasiecvaţionale ale claselor concrete de algebre. Acest studiu îşi ia

începutul în lucrările amintite ale lui G. Birghoff şi A.I. Maliţev. Prezenta lucrare este consacrată

studiului bazei teoriilor ecvaţionale şi cvasiecvaţionale ale A-buclelor nilpotente. Rezultatele

obţinute prezintă o contribuţie relevantă în dezvoltarea teoriei A-buclelor; ele pot fi utilizate şi în

cercetările cvasivarietăţilor de bucle şi cvasigrupuri.

Rezultatele ştiinţifice principale înaintate spre susţinere:

1. A-bucla nilpotentă cu un număr finit de generatori verifică condiţia maximalităţii pentru

subbucle şi este rezidual finită, iar identităţile oricărei A-bucle nilpotente au bază finită;

2. Teoria cvasiecvaţională a oricărei varietăţi generată de o A-buclă este rezolubilă;

3. Cvasiidentităţile A-buclei L nilpotente finit generate au bază finită de cvasiidentităţi

numai când L este un grup abelian finit şi nu au bază de cvasiidentităţi de un număr finit

de variabile în cazul când A-bucla L este neasociativă sau necomutativă;

4. Cvasiidentităţile adevărate în o A-buclă nilpotentă, liberă de orice clasă de nilpotenţă şi

de orice rang, au bază infinită şi independentă de cvasiidentităţi;

5. Sunt descrise varietăţile de A-bucle local nilpotente cu toate buclele rezidual finite; sunt

stabilite condiţii necesare şi suficiente pentru ca o cvasivarietate de bucle Moufang să

fie constituită numai din buclele nilpotente sau numai din bucle rezolubile.

Implementarea rezultatelor ştiinţifice: rezultatele ştiinţifice din prezenta teză pot fi

implementate la elaborarea unor cursuri opţionale pentru studenţi şi masteranzi de la

specialităţile matematice şi pot servi drept suport pentru alte lucrări ştiinţifice.

Aprobarea rezultatelor ştiinţifice. Rezultatele tezei au fost expuse în cadrul seminarului

Catedrei Algebră, Geometrie şi Topologie a UST, seminarului de matematică Petru Osmătescu

al Catedrei Matematica a UTM şi în cadrul seminarului ştiinţific V.D. Belousov din IMI al AŞM.

Au fost prezentate comunicări în cadrul conferinţelor internaţionale:

1. The XIV Conference on Applied and Industrial Mathematics, Satellite Conference of

International Congress of Mathematicians 2006, Chişinău, Republic of Moldova,

August 17 – 19, 2006., pp. 334.

2. The International Conference on Algebra, Mathematical Logic, and Applications:

“Mal'tsev Meeting”, August 24 – 28, 2009, Novosibirsk, Russia.

3. The 17th

Conference on Applied and Industrial Mathematics, Constanţa, România,

September 17 – 20, 2009., pp. 32-33.

9

4. Actual Problems of Mathematics and Informatics. Scientific Conference dedicated to

the 80th

anniversary of the foundation of the Tiraspol State University and of the Faculty

of Physics, Mathematics and Information Technologies, Chişinău, September 24 – 25,

2010., pp. 93-94.

5. The 18th

Conference on Applied and Industrial Mathematics, Iaşi, România, October 14

– 17, 2010., pp. 33.

6. Şedinţa specială a Seminarului ştiinţific V.D. Belousov. Institutul de Matematică şi

Informatică al Academiei de Ştiinţe a Moldovei, 22 februarie 2013, Chişinău.

7. The 37th

Annual Congress of the American Romanian Academy of Arts and Sciences

(ARA). The University of European Politica land Economic Studies “Constantin Stere”,

June 04-09, 2013, Chişinău, Republic of Moldova.

8. The 9th

International Algebraic Conference in Ukraine, July 8-13, 2013, L’viv, Ukraine.

Publicaţiile la tema tezei. Rezultatele de bază ale tezei au fost publicate în 5 articole şi 7

rezumate la conferinţe ştiinţifice naţionale şi internaţionale.

Volumul şi structura tezei. Lucrarea constă din introducere, patru capitole, (divizate în

paragrafe), concluzii şi bibliografia ce include 105 de titluri. Volumul total este de 117 pagini.

Cuvinte cheie: A-buclă, centru, asociator-comutator, nilpotenţă, rezolubilitate, identitate,

cvasiidentitate, varietate, cvasivarietate, bază, independenţă, rang.

CONŢINUTUL TEZEI

În introducere se conţine argumentarea actualităţii temei, problemele abordate şi

expunerea pe scurt a tezei.

În continuare vom expune problemele studiate ale tezei, pentru unele din ele, vom

menţiona necesităţile obiective care au dictat apariţia lor precum şi rezultatele principale.

Teza prezentată constă din 4 capitole. Primul capitol are un caracter introductiv. În

paragraful 1.1, în limbajul logicii matematice, sunt expuse noţiunile de identitate şi

cvasiidentitate cu ajutorul cărora sunt definite clasele de bucle – varietăţile şi cvasivarietăţile.

Sunt demonstrate unele proprietăţi generale ale acestor clase (Propoziţiile 1.1.1-1.1.5) şi sunt

prezentate teoremele de structură ale lui G. Birghoff [79] şi A.I. Maliţev [2]. Sunt definite

noţiunile de bază finită sau independentă de cvasiidentităţi (sau identităţi) pentru o anumită clasă

de bucle şi sunt formulate două rezultate de bază legate de ele – teorema lui G.C.C. McKinsey

[80] şi teorema lui V.A. Gorbunov [37]. În paragraful 1.2 sunt expuse unele noţiuni de bază ce

ţin de teoria buclelor: substituţie internă, subbuclă normală, subbuclă maximală, subbuclă

Frattini, centru, buclă nilpotentă (sau central nilpotentă). Sunt formulate teoremele de

10

izomorfism (Teoremele 1.2.1-1.2.3), teorema Remac şi proprietăţile subbuclei Frattini

(Teoremele 1.25, 1.26). Se expune noţiunea de buclă finit reprezentată şi se formulează teorema

lui Dik [2]. În paragraful 1.3 şi 1.4 sunt expuse definiţiile subbuclei caracteristice şi subbuclei pe

deplin invariante ale unei bucle. Sunt date definiţiile comutatorului, asociatorilor de stânga, de

dreapta şi de centru. Prin aceste noţiuni, pentru o anumită buclă, îşi găsesc exprimarea

generatorii grupului substituţiilor interne, nucleele (de stânga, de dreapta şi de centru),

comutatorul şi derivata. De asemenea se arată că toate nucleele şi toţi membrii şirului central

ascendent ale unei bucle sunt subbucle caracteristice (Propoziţiile 1.3.1, 1.3.2), iar termenii

şirului derivat şi termenii şirului descendent sunt subbucle deplin invariante (corolarul 1.4.5 al

Propoziţiei 1.4.4). Analiza efectuată a permis să stabilim formularea problemei şi a obiectivelor

cercetării.

În teoria varietăţilor de bucle este bine cunoscut rezultatul lui T. Evans [22], care afirmă

că identităţile oricărei bucle Moufang comutative finit generate are bază finită. În [23] V.I. Ursu

a extins acest rezultat pentru bucle Moufang nilpotente: identităţile oricărei bucle Moufang

nilpotente are bază finită. Scopul capitolului doi este de a demonstra un rezultat similar pentru

A-bucle nilpotente. Rezultatele principale ale acestui capitol au fost publicate în lucrările: [81],

[82], [83].

Pentru orice submulţime H a buclei L vom nota cu ],[ LH subbucla generată în L de

comutatorii şi asociatorii de dreapta şi stânga de forma

],[ xh , ],,[ yxh , ),,( hyx , unde LyxHh ,,

şi îl vom numi asociatorul-comutatorul mutual al lui H şi L (sau al subbuclei H în L). În

particular, ],[ LL se numeşte asociator-comutator sau subbuclă derivată a lui L şi se mai notează

cu L . În mod inductiv în bucla L definim subbuclele

LL )0( şi iLLL ii ],,[ )()1( .

Dacă L este A-buclă, adică substituţiile interne ale lui L sunt automorfisme, fiecare asociator-

comutator ],[ )()1( LLL ii este subbuclă normală în L. Atunci

...... )()0( nLLL

este şirul central descendent al A-buclei L. A-bucla L este nilpotentă (sau central nilpotentă),

dacă }{)( eL n pentru un careva n ; cel mai mic număr natural cu această proprietate se

numeşte clasa de nilpotenţă a buclei L.

11

În paragraful 2.1 sunt făcute unele observaţii şi sunt demonstrate unele propoziţii ce

reflectă proprietăţi importante ale buclei nilpotente. De exemplu: bucla nilpotentă poate fi

definită cu ajutorul şirului central descendent, dar şi cu ajutorul şirului central ascendent

(Propoziţia 2.1.1, Corolarul 2.1.1); pentru orice subbuclă H a buclei nilpotente L de clasa n între

subbuclele niLHHHH ii .,..,1],,[, 10 există o subbuclă }{eH k ce se conţine în centru

)(LZ , în particular, dacă H este normală în L, atunci }{)( eLZH (Propoziţia 2.1.4); în

orice A-buclă nilpotentă totalitatea tuturor elementelor periodice ale ei constituie o subbuclă

normală (Propoziţia 2.1.5).

În paragraful 2.2 al capitolului doi pentru o A-buclă oarecare L sunt obţinute următoarele

relaţii de congruenţă modulo )2( nL dintre comutatorii şi asociatorii de stânga şi de dreapta

(Lemele 2.2.1 – 2.2.3, Corolarul 2.2.1): dacă este una din operaţiile de înmulţire, împărţire de

stânga sau de dreapta ale buclei L, atunci pentru orice elemente a, b din )(nL şi orice elemente

x, y şi z din L sunt adevărate relaţiile de congruenţă modulo )2( nL :

],,[],[],[],,[],[],[ yaxayxaxbxaxba

],,,[],,[],,[],,,[],,[],,[],,,[],,[],,[ zxayxazyxazyazxazyxayxbyxayxba

).,,(),,(),,(),,,(),,(),,(),,,(),,(),,( azyazxazyxazxayxazyxbyxayxbayx

Aceste relaţii constituie mecanismul principal de cercetare a A-buclelor nilpotente. S-a

arătat că pentru orice număr natural n, bucla-factor )1()( / nn LL este generată de aceleaşi clase

adiacente care conţin asociator-comutatorii de multiplicitatea n de elemente din mulţimea de

generatori ai buclei L (Lema 2.2.4). În finalul paragrafului se demonstrează că subbuclele unei

A-bucle nilpotente finit-generate verifică condiţia maximalităţii, sau, altfel spus, orice subbuclă

a unei A-bucle nilpotente cu un număr finit de generatori este generată de un număr finit de

elemente (Teorema 2.2.1). Conform acestui rezultat se obţine că în clasa de A-bucle orice A-

buclă cu un număr finit de generatori are un număr finit de relaţii de definire (Corolarul 2.2.2).

În paragraful 2.3 sunt cercetate unele proprietăţi ale A-buclei nilpotente L, care sunt

formulate sub formă de leme: (i) subbucla generată de toate elementele, unei subbucle normale

din L, la o anumită putere fixată, generează o subbuclă normală în L (Lema 2.3.1); (ii) dacă A-

bucla L este periodică şi local nilpotentă, atunci ea este şi local finită (Lema 2.3.2); dacă A-

bucla nilpotentă L este finit-generată, atunci bucla-factor )(/ LZL este finită dacă şi numai

dacă asociatorul-comutatorul L este finit (Lema 2.3.3). Conform acestor leme este demonstrat

următorul rezultat: А-bucla nilpotentă şi finit-generată este rezidual finită (Teorema 2.3.1).

12

Amintim că o buclă L este rezidual finită, dacă pentru orice element neunitate Lx există un

omomorfism al buclei L pe o buclă finită astfel încât .1)( x

În paragraful 2.4 se expune rezolvarea problemei existenţei bazei finite pentru A-bucla

nilpotentă – rezultatul principal al capitolului doi. Se demonstrează că identităţile oricărei A-

bucle nilpotente au bază finită de rangul axiomatic 12 n (Teorema 2.4.1, Corolar 2.4.2).

Astfel problema 1, dacă are o A-buclă nilpotentă bază finită de identităţi, este rezolvată. Mai

departe, în paragraful 2.5 se expun unele aplicaţii ale acestui rezultat. Conform teoremei

McKinsey [80], dacă o cvasivarietate Q are bază finită de cvasiidentităţi şi fiecare Q-algebră

finit generată este rezidual finită în Q, atunci teoria cvasiecvaţională a cvasivarietăţii Q este

rezolubilă. Atunci, din teoremele 2.3.1 şi 2.4.1 rezultă următoarea afirmaţie: teoria

cvasiecvaţională, în particular şi teoria ecvaţională, a varietăţii, generate de o А-buclă

nilpotentă este rezolubilă (Teorema 2.5.1). De aici, în particular, obţinem că: problema egalităţii

cuvintelor în А-bucla nilpotentă şi finit generată este rezolubilă (Corolarul 2.5.1).

Fie V o varietate de bucle. După cum se ştie, varietatea V este generată de bucla liberă

)(VF de rang numărabil. Însă se poate întâmpla ca V să fie generată de o anumită buclă liberă

)(VFn a sa de rangul finit n. Cel mai mic r pentru care varietatea V este generată de V-bucla

liberă )(VFr se numeşte rangul de bază al varietăţii V şi se notează prin ).(Vrr bb

Conform definiţiei, asociatorii-comutatorii speciali de multiplicitatea n conţin nu mai

mult de 12 n variabile. De aceea, conform Corolarului 2.4.2 al Teoremei 2.4.1, oricare

varietate V de А-bucle nilpotente de clasa n este generată de toate А-buclele sale cu 12 n

generatori şi, deci, varietatea V este generată de bucla sa liberă ).(12 VF n Prin urmare, orice

varietate V de А-bucle nilpotente de clasa n are rangul de bază 12 nrb (Corolarul 2.5.2).

Ţinând seama de acest Corolar 2.5.2 şi de faptul că orice А-buclă nilpotentă a unei

varietăţi V, cu un număr de k generatori, este imagine omomorfă a А-buclei V-libere )(VFr de

rangul r cu kr , atunci putem formula următoarele afirmaţii: fiecare subvarietate U a oricărei

varietăţi V de А-bucle nilpotente de clasa n este generată de imaginea omomorfă a А-buclei

V-libere )(12 VF n de rangul 12 n şi, prin urmare, rangul 12)()( nVrUr bb (Corolarul

2.5.3); orice varietate, generată de o А-buclă nilpotentă şi finită, conţine un număr finit de

subvarietăţi diferite; fiecare din aceste subvarietăţi are bază finită de identităţi şi este generată

de o A-buclă finită şi nilpotentă (Corolarul 2.5.4).

Una din direcţiile principale ale teoriei cvasivarietăţilor este studiul bazei teoriilor

cvasiecvaţionale. Întrebările clasice studiate în această direcţie sunt legate de problema existenţei

13

bazei independente de cvasiidentităţi şi problema existenţei bazei finite de cvasiidentităţi pentru

anumite clase concrete de algebre.

Scopul capitolului trei este studierea acestor probleme în clasa de A-bucle nilpotente.

Menţionăm, totodată că, multe algebre nu au bază finită de cvasiidentităţi. De aici a apărut

natural problema dacă aceste algebre au sau nu bază independentă de cvasiidentităţi. Problema

existenţei bazei independente de cvasiidentităţi este strâns legată de anumite proprietăţi ale

laticei cvasivarietăţilor. De exemplu, dacă o subcvasivarietate K a cvasivarietăţii M are o bază

infinită şi independentă de cvasiidentităţi în cvasivarietatea M, atunci laticea tuturor

subcvasivarietăţilor cvasivarietăţii M are puterea continuumă. Rezultatele principale ale acestui

capitol au fost publicate în lucrările: [84], [85], [86], [87], [88].

Problema existenţei bazei finite de cvasiidentităţi pentru grupurile finite este rezolvată de

A.Iu. Olishanski [31]: cvasiidentităţile unui grup finit au bază finită dacă şi numai dacă toate

subgrupurile Sylowe ale lui sunt comutative. V.I. Ursu în [33] a arătat că, o buclă Moufang

comutativă finit-generată are bază finită de cvasiidentităţi dacă şi numai dacă este grup abelian

finit, iar în [35] un rezultat similar a fost obţinut şi pentru bucla Moufang nilpotentă finit-

generată. Paragraful 3.1 este dedicat rezolvării acestei probleme pentru A-bucla nilpotentă finit

generată şi, totodată, se clarifică următoarele întrebări: ce putere are laticea subcvasivarietăţilor

unei varietăţi v(L), generate de o A-buclă nilpotentă finit-generată, când varietatea v(L) coincide

cu cvasivarietatea q(L) generată de L, când subcvasivarietăţile acestei varietăţi v(L) sunt

subvarietăţi şi când cvasivarietatea q(L) are o bază finită. Şi anume este demonstrat că

cvasiidentităţile A-buclei nilpotente finite generate au bază finită de cvasiidentităţi dacă şi

numai dacă ea este un grup abelian finit. (Teorema 3.1.1). Astfel a fost rezolvată Problema 2.

Conform demonstraţiei acestei teoreme rezultă următoarele corolaruri: (i) cvasirangul axiomatic

al cvasivarietăţii generate de o A-buclă nilpotentă neasociativă sau necomutativă este infinit

(Corolarul 3.1.2). În particular, cvasirangul axiomatic al cvasivarietăţii )( nFq generate de A-

bucla k-nilpotentă liberă nF de orice rang 2n este infinit (Corolarul 3.1.3).

Fie L o buclă oarecare şi a un element din L. Elementul a îl vom numi periodic (respectiv,

prim-periodic), dacă a înmulţit cu el însuşi într-un mod anumit, de un număr (respectiv, prim

2p ) de ori este egal cu unitatea buclei L. Dacă bucla L aşa elemente periodice nu conţine,

atunci o vom numi fără torsiuni. În paragraful 3.2 al capitolului trei este obţinut criteriul general

de existenţă a bazei independente de cvasiidentităţi pentru bucle: dacă o buclă L conţine grupul

ciclic infinit şi nu conţine o infinitate de elemente prim-periodice, atunci cvasivarietatea qL

generată de bucla L are bază infinită şi independentă de cvasiidentităţi (Teorema 3.2.1).

14

Conform criteriului obţinut se demonstrează următorul rezultat important din acest paragraf:

Bucla liberă a oricărei varietăţi cu exponentul zero de A-bucle nilpotente de clasa n are bază

infinită şi independentă de cvasiidentităţi. În particular, A-bucla n-nilpotentă liberă de orice

rang are bază infinită şi independentă de cvasiidentităţi (Teorema 3.2.2) (răspuns la Problema

3). De unde rezultă (conform Teoremei Gorbunov [37]) că: (i) orice buclă nilpotentă fără

torsiuni are bază infinită şi independentă de cvasiidentităţi (Corolarul 3.2.2); (ii) cvasivarietatea

generată de o buclă nilpotentă fără torsiuni are o infinitate de acoperiri în laticea

cvasivarietăţilor de bucle (Corolarul 3.2.3); (iii) cvasivarietatea generată de o A-buclă n-

nilpotentă liberă de orice rang are o infinitate de acoperiri în laticea cvasivarietăţilor de A-

bucle (Corolarul 3.2.4).

În paragraful 3.3 se arată unele aplicaţii ale rezultatului obţinut în paragraful 3.1. Se

demonstrează că, laticea subcvasivarietăţilor oricărei varietăţii de A-bucle nilpotente este finită

sau continuumă. (Teorema 3.3.1). Iar în finalul acestui paragraf, conform Teoremelor 2.3.1,

3.1.1, 3.3.1 şi 4.1.1, este formulată următoarea propoziţie: pentru o A-buclă L, nilpotentă şi finit-

generată, sunt echivalente următoarele afirmaţii:

(1) cvasiidentităţile buclei L au bază finită;

(2) )()( LvLq ;

(3) L este grup abelian finit;

(4) )(qLra ;

(5) 3)( qLra ;

(6) )()( vLrqLr aa ;

(7) | |))(( LqLq ;

(8) ))(())(( LvLLqL vq . (Corolarul 3.3.1).

Observăm, totodată că, conform condiţiei (7) din Corolarul 3.3.1, laticea de

subcvasivarietăţi a unei varietăţi generată de o A-buclă nilpotentă este continuumă sau finită,

deci nu poate fi numărabilă.

În capitolul patru se expune un concept care arată strânsa legătură dintre omomorfisme

şi noţiunea de rezidualitate. Această noţiune, într-o formă mai generală, pentru grupuri se

defineşte în [89]. Fie K o clasă de bucle. Vom spune că buclă L este aproximată de bucle din K

dacă pentru orice element neunitate Lx există un omomorfism x de la L pe o buclă finită din

K astfel ca .)( exx După cum rezultă din teorema lui Remac pentru bucle, bucla L este

aproximată de bucle din K dacă şi numai dacă L este inclusă izomorfic într-un produs cartezian

15

de bucle din K. Dacă clasa K este formată numai din bucle finite (nilpotente, respectiv

rezolubile) şi bucla L este aproximată de bucle din K, atunci L se numeşte rezidual finită

(rezidual nilpotentă, respectiv, rezidual rezolubilă). Rezultatele principale ale acestui capitol au

fost publicate în lucrările: [90], [91], [92], [93].

În paragraful 4.1 sunt făcute unele observaţii şi sunt demonstrate unele proprietăţi ale

buclelor rezolubile.

Rezultatele de bază ale paragrafului 4.2 sunt următoarele două teoreme: toate buclele

unei cvasivarietăţii M de bucle Moufang comutative sunt rezidual rezolubile dacă şi numai dacă

fiecare buclă neunitate din M este diferită de asociatorul-comutatorul ei (Teorema 4.2.1.); toate

buclele unei cvasivarietăţii M de bucle Moufang comutative sunt rezidual nilpotente dacă şi

numai dacă fiecare subbuclă neunitate a oricărei bucle din M are asociatorul-comutatorul în

această buclă diferit de ea (Teorema 4.2.2.). Întrucât orice varietate este cvasivarietate, aceste

afirmaţii sunt adevărate şi pentru varietăţi.

Conform unor rezultate (de exemplu, J. Smith [59], G. Malbos [60], L. Beneteau

[94], [95] ş. a.) s-a demonstrat că graniţa exactă de sus a clasei de nilpotenţă a buclei Moufang

comutative libere cu n generatori liberi este n-1. De aici, şi din demonstraţia ultimei teoreme,

rezultă că există bucle Moufang comutative care conţin subbucle ce coincid cu asociatorul

lor în bucla dată (Corolarul 4.2.5).

În paragraful 4.3 este demonstrat că toate buclele unei varietăţii M de A-bucle local

nilpotente sunt rezidual finite dacă şi numai dacă M este generată de un grup abelian finit

(Teorema 4.3.1).

În final doresc să adresez cele mai sincere mulţumiri conducătorului ştiinţific, dlui Vasile

Ursu, doctor habilitat, pentru întregul sprijin acordat continuu pe perioada elaborării tezei de

doctorat. Îmi exprim, de asemenea, recunoştinţa mea profundă pentru îndrumarea şi observaţiile

făcute pe parcursul programului de doctorat, pentru sugestiile privind direcţiile de dezvoltare ale

tematicii abordate.

Sincere mulţumiri, domnului conferenţiar universitar, doctor Nicolae Sandu, pentru

susţinerea continuă, pentru observaţiile făcute atât la susţinerea examenelor şi referatelor cât şi

pe parcursul elaborării tezei.

Exprim, de asemenea, mulţumire membrilor catedrei Algebră, geometrie şi topologie, în

special d-lui academician Mitrofan Ciobanu, din Universitatea de Stat din Tiraspol, pentru

interesul manifestat faţă de cercetările legate de rezultatele incluse în prezenta teză.

16

CONCLUZII GENERALE ŞI RECOMANDĂRI

În lucrarea dată s-au demonstrat riguros un şir de propoziţii ce formează în întregime

conceptul tematicii acestei lucrări. Problema 1 este rezolvată pentru orice A-buclă nilpotentă,

problema 2 este rezolvată pentru orice A-buclă nilpotentă şi finit generată, iar problema 3 –

pentru A-buclele nilpotente libere de orice rang. De rând cu aceste probleme, pentru A-bucla

nilpotentă şi finit generată s-a rezolvat problema egalităţii cuvintelor şi s-a calculat cvasirangul

axiomatic al cvasivarietăţii generată de ea.

Problemele menţionate mai sus au fost cercetate în mai multe algebre clasice (algebre

finite cu două sau trei elemente, algebre finite cu operaţii unare, grupuri finite sau nilpotente,

inele asociative sau neasociative finite, bucle Moufang nilpotente ş.a.) şi pentru multe din ele

sunt rezolvate de diferiţi autori. De aici vine şi motivaţia studiului problemelor menţionate în

clasa de A-bucle nilpotente.

Pentru prima dată se face un studiu al teoriilor ecvaţionale şi cvasiecvaţionale pentru A-

bucle nilpotente.

Studiul realizat în domeniul teoriei ecvaţionale şi teoriei cvasiecvaţionale ale A-buclei

nilpotente ne permite de a formula următoarele concluzii generale:

1. S-a demonstrat că identităţile oricărei A-bucle nilpotente au bază finită.

2. S-a demonstrat că cvasiidentităţile A-buclei nilpotente finit generate au bază finită dacă

şi numai dacă ea este un grup abelian finit.

3. S-a demonstrat că cvasiidentităţile adevărate în o A-buclă n-nilpotentă liberă de orice

rang au bază infinită şi independentă de cvasiidentităţi.

4. S-a elucidat rolul conceptelor de buclă nilpotentă sau rezolubilă, în contextul

problemelor abordate.

5. S-au cercetat unele varietăţi şi cvasivarietăţi de A-bucle cu anumite proprietăţi de

rezidualitate finită, nilpotentă sau rezolubilă.

Astfel problema ştiinţifică soluţionată este problema existenţei bazelor finite şi

independente de cvasiidentităţi pentru A-bucle nilpotente.

Recomandări:

1. Putem considera că rezultatele obţinute vor contribui esenţial: în studiul identităţilor şi

cvasiidentităţilor A-buclelor; în studiul proprietăţilor A-buclelor exprimate în limbajul

identităţilor şi cvasiidentităţilor; în studiul A-buclelor cu proprietatea de maximalitate

sau minimalitate pentru subbucle.

17

2. Folosind ideile şi tehnicile elaborate în capitolele doi şi trei s-ar putea extinde unele din

aceste rezultate şi pentru anumite clase de A-bucle, de exemplu, pentru A-buclele finite,

pentru A-bucle libere rezolubile, pentru anumite clase de A-bucle ordonabile şi a altora.

3. O parte din rezultatele obţinute în capitolul patru pot fi extinse şi pentru anumite

cvasigrupuri, de exemplu, CH-cvasgrupuri sau cvasigrupuri distributive.

4. De asemenea această lucrare poate fi pusă la baza elaborării unui curs opţional în

domeniul A-buclelor.

Bibliografie

1. Birkhoff G. On the structure of abstract algebras. Proc. Camb. Philos. Soc., 1935, V. 31,

p. 433-454.

2. Мальцев А.И. Алгебраические системы. Москва. Наука, 1970.

3. Birkhoff G. Universal Algebra. – Proc. Firs Canadian Math. Congress (Montreal, 1945),

1946. The Universs of Toronto Press, p. 310-326.

4. Мальцев А.И. О некоторых пограничных вопросах алгебры и математической

логики. – Тр. Междунар. конгресса математиков (Москва, 1966), М.: Мир, 1968, с.

217-231.

5. Мальцев А.И. Некоторые замечания о квазимногообразиях алгебраических систем.

– Алгебра и логика, 1966, т. 5, с. 3-9.

6. Мальцев А.И. О включение ассоциативных систем в группы, I. – Матем. Сб., 1939,

6, N2, 331-336.

7. Мальцев А.И. Квазипримитивные классы абстрактных алгебр. – Докл. АН СССР,

1956, 108, N2, 187-189.

8. Мальцев А.И. О включение ассоциативных систем в группы, II. – Матем. Сб., 1940,

8, N2, 251-263.

9. Горбунов В.А. Алгебраическая теория квазимногообразий. Новосибирск. Научная

книга. 1999, 189 с.

10. Lyndon R.C. Identities in two-valued calculi. Trans. Amer. Math. Soc., 1951, 71, 457-

465.

11. Taylor W. Characterizing Mal'cev conditions. Algebra Universalis 1973, 3, 351-397.

12. Taylor W. and McNulty G.F. Combinatory interpolation theorems. Discrete Math., 1975,

12, 193-200.

13. Baker K.A. Finite equational bases for finite algebras in a congruence-distributive

equational class. Adv. in Math., 1977, 24, 207-243.

14. McKenzie R. Para-primal varieties: A study of finite axiomatizability and definable

principal congruences in locally finite varieties. Algebra Universalis 8, 1978, 336-348.

18

15. Jonsson B. Congruence varieties. Algebra universalis, Vol.10, N3, 355-394, 1980.

16. Lyndon R.C. Two notes on nilpotent groups. Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952), 579-583.

17. Oates Shtila, Powell M.B. Identical relations in finite groups – J. Algebra, 1964, I, N1,

11-39.

18. McKenzie R. Equational bases for lattice theories. – Math. Scand., 1970, 27, p. 24-28.

19. Lvov I.V. Varieties of associative rings I, II. Algebra and Logic 1973, 12, 150-167, 381-

393.

20. Kruse R.L. Identities satisfield by a finite ring. – J. Algebra, 1979, 29, N2, 298-318.

21. Perkins P. Bases for equational theories of semigroups. J. Algebra 1969, 11, 298-314.

22. Evans T. Identities and relations in commutative Moufang loops. J. Algebra, 1974, 31,

508-513.

23. Ursu V.I. On identities of nilpotent Moufang loops. Revue Roumaine de Mathematiques

Pures et Appliquees 45 (2000), N3, 537-548.

24. Cohn P.M. Free ideal rings and free products of rings. Actes du Congrès International

des Mathématiciens (Nice, 1970), 1, Gauthier-Villars, p. 273-278.

25. Румянцев А.К. Независимый базис для квазитождеств канторовой алгебры. –

Мат. Сб., 1975, 98, N1, с. 130-148.

26. Федоров А.Н. О подквазимногообразиях нильпотентных минимальных неабелевых

многообразий групп. – Сиб. Мат. Ж., 1980, 21, N6, с. 117-131.

27. Виноградов А.А. Квазимногообразия абелевых групп. Algebra i Logika, 1965, 5, вып.

6, с. 15-18.

28. Будкин А.И. Квазитождества нильпотентных групп и групп с одним

определяющим соотношением. Algebra i Logika, 1979, 18, N2, с. 127-136.

29. Горбунов В.А. Квазитождества двух элементных алгебр. Алгебра и Логика, 22.2,

1983, с. 121-127.

30. Карташов В.К. Квазимногообразия унаров с конечным числом циклов. Алгебра и

Логика, 19.2 (1980): 173-193.

31. Olishanski A.Iu. Conditional identities in finite groups. Siberian mathematical journal,

1974, V. 15, N. 76, p. 217-231 (In Russian).

32. Белкин В.П. Квазитождества конечных колец и решёток. – Алгебра и Логика,

1978, 17, N3, c. 247-259.

33. Урсу В.И. О квазитождествах конечно-порожденных коммутативных луп

Муфанг. – Алгебра и логика, 1991, 30, N6, c. 726-734.

34. Ursu V.I. On quasivarieties of nilpotent Moufang loops. I. Commentationes

Mathematicae Universitatis Carolinae 53.3 (2012): 475-489.

19

35. Ursu V.I. On quasivarieties of nilpotent Moufang loops. II. Commentationes

Mathematicae Universitatis Carolinae, 53.3 (2012): 491-499.

36. Dziobiak W. Three questions on finitely based quasivarieties. – Torun, Institute of Math.,

1990 (Preprint. N. 40).

37. Горбунов В.А. Покрытия в решетках квазимногообразий и независимая

аксиоматизируемость. – Алгебра и логика, 1977, 10, N 5, с. 340-369.

38. Pigozzi D. Finite bases theorems for relatively congruence distributive quasivarieties. –

Trans. Amer. Math. Soc., 1988, 310, N2, p. 499-533.

39. Бесценый И.П. Квазитождества конечных унарных алгебр. Алгебра и Логика,

1989, 28, N5, с. 493-512.

40. Туманов В.И. Конечные дистрибутивные решётки квазимногообразий. - Алгебра и

Логика, 1983, 22, N2, с. 168-181.

41. Мальцев А.И. Об умножении классов алгебраических систем. – Сиб. матем. Ж.,

1967, 8, N2, с. 346-365.

42. Tarski A. What Are Logical Notions? History and Philosophy of Logic. (1966), vol. 7

(1986): 143-54.

43. Vaughan-Lee M.R. Uncontably many varietes of groups. – Bull. London, Math. Soc.,

1970, 2, p. 280-286.

44. Адян С.М. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М.: Наука, 1975.

45. Клейман Ю.Г. О тождествах в группах. – Труды Моск. Матем. Об-ва, 1982, 44, с.

37-74.

46. Клейман Ю.Г. О порождаемости многообразий групп некоторыми классами

групп. – Сиб. Мат. Ж., 1982, 23, N6, с. 117-132.

47. Горинчой П.В., О многообразиях нильпотентных TS-луп, Матем. заметки, 29:3

(1981), 321–334.

48. Санду Н.И. Медиально нильпотентные дистрибутивные квазигруппы и CH-

квазигруппы. – Сиб. Мат. Ж., 1987, 28, N2, с. 159-170.

49. McKenzie R. Some interactions between group theory and the general theory of

algebras. – Springer Verlang, 1990 – (Lecture notes in Mathematics, 1456).

50. Будкин А.И. Независимая аксиоматизируемость квазимногообразий групп. Матем.

заметки, 1982, 31, N6, с. 817-826.

51. Феодоров А.Н. Квазитождества 2-нильпотентных групп. Мат. заметки, 40, №5,

590-597, 1987.

52. Ursu Vasile I. On the lattice of quasivarieties of commutative moufang loops with

nilpotency class ≤ 2. I. Rev. Roumaine math. Pures appl., 54 (2009), 1, 33-51.

20

53. Ursu Vasile I. On the lattice of quasivarieties of commutative moufang loops with

nilpotency class ≤ 2. II. Rev. Roumaine math. Pures appl., 54 (2009), 2, 161-169.

54. Bruck R.H., Paige L.J. Loops whose inner mappings are automorphisms. Ann. of Math.,

1956, 63, 308-323.

55. Moufang R. Zur Asruktur von Alternativ Korpen. Math. Ann., 1935, 416-430.

56. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп. М.: Мир, 1967.

57. Osborn J.M. A theorem on A-loops. Proc. Amer. Math. Soc. 9, (1958), 347-349.

58. Bruck R.H. A Survey of Binary Systems. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York,

1958.

59. Smith J.D.H. On the nilpotence class of commutative Moufang loops. – Math. Proc.

Cambridje Phil. Soc., 1978, 84, 3, 387-404.

60. Malbos G.P. Sur la class de nilpotence des bucles commutatives de Moufang et des

espaces mediaux. – C. r. sci., 1978 AB287, 9, A691-A693.

61. Babiy A.D. On CH-quasigroups of finite special rank. Romai Journal (Romanian Society

of Applied and Industrial Mathematics), 4.2(2008), 29-31.

62. Babiy A. On CH-quasigroups with maximum conditions. Scentific papers of UASVM,

Iaşi (Scentific Annals of UASVM, Iaşi), 2008, XLIX, 22, 361-366.

63. Chein O., Pflugfelder H.O., Smith J.D.H. Quasigroups and Loops: Theory and

applications. Berlin: Helderman Verlag, 1990.

64. Kinyon M.K., Kunen K., Phillips J.D. A generalization of Moufang and Steiner loops.

Alg. Univer., 2002, 48, 1, p. 81-101.

65. Grishcov A.N., Zavarnitsine A.V. Lagrange`s theorem for Moufang loops. Math. Proc.

Phil. Soc. (2005), 139, 41-57.

66. Jedliscka P., Kinyon M. and Vojtechovsky P. The structure of commutative automorphic

loops. Trans. Amer. Math. Soc., 2011, 363, no. 1, 365-384.

67. Şcerbacov Victor, Izbaş Vladimir, A quasigroup with any of Moufang identities is a loop.

Bulletin of Academy of Sciences of Moldova, Mathematics, 2 (27) 1998, p. 109-116.

68. Şcerbacov Victor, Identities and the group of isostrophisms. Comment. Math. Univ.

Carolin. 53, number 3, (2012), p. 347-374.

69. Izbaş Vladimir, About quasigroups with the distributive lattice of subquasigroups.

Proceedings of The 34th Anual Congress of the American Romanian Academy of Arts

and Sciences (ARA). Bucharest, Romania, May 18-23, 2010. Presses internationales

Polytechnique, Montreal, Quebec, 2010, p. 571-574.

70. Рябухин Ю., Структурная теория и теория радикалов – фундаментальные

исследования în "Academicianul Vladimir Andrunachievici", Chişinău, IMI AŞM, 2009,

p. 149-177.

21

71. Belyavskaya G. B., Tabarov A. Kh., Groupoids with the identity defining commutative

Moufang loops. Fundam. Prikl. Mat. 14 (2008), no. 6, p. 33–39.

72. Sandu N. I., Free Moufang loops and alternative algebras. Bulletin of Academy of

Sciences of Moldova, Mathematics, 3(61), 2009, p. 96–108.

73. Sandu N. I., On Frattini subloops and normalizers of commutative Moufang loops.

Bulletin of Academy of Sciences of Moldova, Mathematics, 3(70), 2012, p. 16-27.

74. Syrbu Parascovia, On middle Bol loops. ROMAI Journal, Vol.6, No.2, 2010, p. 229-236.

75. Kuznetsov Eugene, Botnari Serghei, Invariant transformations of loop transversals. 1.

The case of isomorphism. Bulletin of Academy of Sciences of Moldova, Mathematics,

1(62), 2010, p. 65–76.

76. Kuznetsov Eugene, Botnari Serghei, Invariant transformations of loop transversals. 2.

The case of isomorphism. Bulletin of Academy of Sciences of Moldova, Mathematics,

3(70), 2012, p. 72–80.

77. Sokhatsky Fedir M., Kraynichuk Halyna V., Solution of distributive-like quasigroup

functional equations. Comment. Math. Univ. Carolin. 53, 3(2012) 447-459.

78. Sokhatsky Fedir M., Fryz Iryna V., Invertibility criterion of composition of two multiary

quasigroups. Comment. Math. Univ. Carolin. 53, 3(2012) 429-445.

79. Birkhoff G. and Lipson J.D. Heterogeneous algebras. J. Combin. Theory, 1970, 8, 115-

133.

80. McKinsey G.C.C. The decesion problem for some classes of sentences without

quantifiers. – J. Symbol Logic, 1943, 8, 61-76.

81. Covalschi A.V., Ursu V.I. Equational theory of nilpotent A-loops. The International

Conference on Algebra, Mathematical Logic, and Applications: “Mal'tsev Meeting”,

August 24 – 28, 2009, Novosibirsk, Russia.

82. Ковальски А.В., Урсу В.И. Эквациональная теория нильпотентной A-лупы.

Алгебра и логика, 49:4 (2010), стр. 479-497.

83. Covalschi A., Ursu V. Teoria ecvaţională a A-buclei nilpotente. Şedinţa specială a

Seminarului ştiinţific V.D. Belousov. Institutul de Matematică şi Informatică al

Academiei de Ştiinţe a Moldovei, 22 februarie 2013, p. 1-12 (publicaţie electronică,

http://www.math.md/files/download/news/2013/Equational_theory_of_nilpotent_A-

loops.pdf) (vizitat 19.04.2013).

84. Covalschi Alexandru, On quasiidenties of torsion free nilpotent loops. Bulletin of

Academy of Sciences of Moldova, Mathematics, 3 (64) 2010, p. 45 – 50.

85. Covalschi Alexandru V., On Independent Basis of some Quasivarieties of Loops. Actual

Problems of Mathematics and Informatics. Scientific Conference dedicated to the 80th

anniversary of the foundation of the Tiraspol State University and of the Faculty of

22

Physics, Mathematics and Information Technologies, Chişinău, September 24 – 25,

2010., p. 93-94.

86. Covalschi Alexandru, Quasiidentities of the Finitely Generated Nilpotent A-Loops. The

18th

Conference on Applied and Industrial Mathematics, Iaşi, România, October 14 – 17,

2010., p. 33.

87. Covalschi Alexandu V., Ursu Vasile I. Quasiidentities of Finitely Generated Nilpotent

A-loop. Preprint Series of the Institute of Mathematics of the Romanian Academy.

Preprint nr. 4/2012, ISSN 0250 3638, p. 1-15.

88. Covalschi A., Ursu V. Quasiidentities of nilpotent free A-loop and nilpotent free

Moufang loop. Book of abstracts of the 9-th International Algebraic Conference in

Ukraine, July 8-13, 2013, L’viv, Ukraine, p. 202.

89. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. Москва, Наука, 1982, 288

стр.

90. Covalschi A.V., Ursu Vasile I. On varieties of locally nilpotent and residually finite

Moufang loops. The XIV Conference on Applied and Industrial Mathematics, Satellite

Conference of International Congress of Mathematicians 2006, Chişinău, Republic of

Moldova, August 17 – 19, 2006., p. 334.

91. Covalschi Alexandru, Ursu Vasile I. Quasivarieties of Commutative Solvable Moufang

loops. Bulletin of Academy of Sciences of Moldova, Mathematics, 2 (54) 2007, p. 118-

124.

92. Covalschi Alexandru V, Asupra structurii buclelor Moufang. The 17th Conference on

Applied and Industrial Mathematics, Constanţa, România, September 17 – 20, 2009., p.

32-33.

93. Covalschi Alexandru V., Varieties of A-loop with finiteness properties. Proceedings of

The 37th Anual Congress of the American Romanian Academy of Arts and Sciences

(ARA). The university of Euopean Political and Economic Studies „Constantin Stere”,

June 04-09, 2013: Presses internationales Polytechnique, Montreal, Quebec, Canada,

Proceedings.-Chişinău. 2013, pp. 504-507.

94. Beneteau L. Free commutative Moufang loops and anticommutative graded

rings. – J. Algebra, 1980,67, p.1-35.

95. Beneteau L. La qiotient de Frattini d’une boucle de Moufang commutative. – C.

r. Acad. sci., 1980, AB290, N10, A443-A446.

23

ADNOTARE

Covalschi Alexandru

Identităţile şi cvasiidentităţile A-buclei nilpotente

Teză de doctor în ştiinţe fizico-matematice, Chişinău, 2013

Structura tezei: introducere, 4 capitole care se încheie cu concluzii, bibliografie cu 105 de titluri

şi cu un volum de 117 pagini. Rezultatele obţinute sunt reflectate în 12 publicaţii, 7 comunicări

la conferinţe de matematică şi 5 articole de matematică.

Cuvinte cheie: A-buclă, centru, asociator-comutator, nilpotenţă, rezolubilitate, identitate,

cvasiidentitate, varietate, cvasivarietate, bază, independenţă, rang.

Domeniul de studiu: teoria cvasivarietăţilor de bucle şi cvasigrupuri.

Scopul şi obiectivele lucrării: rezolvarea Problemei 1: are sau nu A-bucla nilpotentă bază finită

de identităţi?; rezolvarea Problemei 2: când o A-buclă nilpotentă finit generată are bază finită de

cvasiidentităţi?; rezolvarea Problemei 3: are sau nu A-bucla n-nilpotentă liberă bază

independentă de cvasiidentităţi?; elucidarea rolului conceptelor de buclă nilpotentă sau

rezolubilă, în contextul problemelor abordate; cercetarea unor varietăţi şi cvasivarietăţi de A-

bucle cu unele proprietăţi de rezidualitate (finită, nilpotentă sau rezolubilă).

Noutatea şi originalitatea ştiinţifică: pentru prima dată se face un studiu al teoriilor ecvaţionale

şi cvasiecvaţionale pentru A-bucle nilpotente. Este elaborat mai concis conceptul de bucle

nilpotente şi rezolubile. S-a determinat că: 1) identităţile oricărei A-bucle nilpotente au bază

finită; 2) cvasiidentităţile A-buclei nilpotente finit generate au bază finită dacă şi numai dacă ea

este un grup abelian finit; 3) cvasiidentităţile adevărate în careva A-buclă nilpotentă, liberă de

orice clasă de nilpotenţă şi de orice rang, au bază infinită şi independentă de cvasiidentităţi.

Problema ştiinţifică soluţionată este problema existenţei bazelor finite şi independente de

cvasiidentităţi pentru A-bucle nilpotente.

Semnificaţia teoretică şi valoarea aplicativă a lucrării: Prezenta lucrare este consacrată

studiului bazei teoriilor ecvaţionale şi cvasiecvaţionale ale A-buclelor nilpotente. Rezultatele

obţinute prezintă o contribuţie relevantă în dezvoltarea teoriei A-buclelor; ele pot fi utilizate şi în

cercetările cvasivarietăţilor de bucle şi cvasigrupuri.

Implementarea rezultatelor ştiinţifice: rezultatele ştiinţifice din prezenta teză pot fi

implementate la elaborarea unor cursuri opţionale pentru studenţi şi masteranzi de la

specialităţile matematice şi pot servi drept suport pentru alte lucrări ştiinţifice.

24

АННОТАЦИЯ

Ковальский Александр

Тождества и квазитождества нильпотентной А-лупы

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математиких наук, Кишинев, 2013

Структура диссертации: введение, 4 главы, 105 литературных источников, 117 страниц

основного текста. Полученные результаты отображены в 12 публикациях, 7 докладах на

математических конференциях и 5 математических статей.

Ключевые слова: А-лупа, центр, ассоциант-коммутант, нильпотентность, разрешимость,

тождество, квазитождество, многообразие, квазимногообразие, базис, независимость,

ранг.

Область исследования: теория квазимногообразия квазигрупп и луп.

Цель работы: решение Проблемы 1: имеет или нет нильпотентная A-лупа конечный базис

тождеств?; решение Проблемы 2: когда нильпотентная и конечно-порожденная A-лупа

имеет конечный базис квазитождеств?; решение Проблемы 3: имеет или нет n-

нильпотентная свободная А-лупа независимый базис квазитождеств?; выяснение роли

концепции нильпотентной или разрешимой лупы, в контексте рассматриваемых проблем;

исследование некоторых многообразий и квазимногообразий А-лупы с некоторыми

свойствами аппроксимируемости (финитной, нильпотентной, разрешимой).

Новизна и научная оригинальность: впервые проводится изучение эквациональной и

квазиэквациональной теории для нильпотентных A-луп. Разработана более краткая

концепция нильпотентных и разрешимых луп. Было установлено, что: 1) тождества любой

нильпотентной A-лупы имеют конечный базис; 2) квазитождества нильпотентной и

конечно-порожденной A-лупы имеют конечный базис, если и только если она является

абелевой конечной группой; 3) квазитождества n-нильпотентной свободной А-лупы

любого ранга имеют бесконечный и независимый базис квазитождеств.

Решенная научная проблема, это проблема существования конечных и независимых

базисов квазитождеств для нильпотентных A-луп.

Теоретическое значение и практическая применимость работы: данная работа

посвящена изучению базиса эквациональной и квазиэквациональной теории

нильпотентных A-луп. Полученные результаты представляют значимый вклад в развитие

теории A-луп; они могут быть использованы и в исследованиях квазимногообразий

квазигрупп и луп.

Внедрение научных результатов: Научные результаты данной работы могут быть

внедрены для разработки спецкурсов для студентов и аспирантов математических

специальностей и могут послужить источником для других научных работ.

25

ANNOTATION

Covalschi Alexandru

Identities and quasiidentities of nilpotent A-loop

Thesis for the Doctor’s Degree in Physical and Mathematical Sciences, Chisinau, 2013

Thesis structure: an introduction, 4 chapters ending with conclusions, 105 bibliography titles,

the volume of basic text is 117 pages. The results obtained are reflected in 12 publications,

including 7 communications at mathematical conferences and 5 articles.

Key words: A-loop, centre, commutator-associator, nilpotency, solvability, identity,

quasiidentity, variety, quasivariety, basis, independence, rank.

Field of study: quasivarieties theory of quasigroups and loops.

The purpose and the objectives of the research: solving Problems 1: whether nilpotent A-loop

has finite basis of the identities or not?; solving Problems 2: in what case nilpotent finitely

generated A-loop has a finite basis of quasiidentities?; solving Problems 3: whether free n-

nilpotent A-loop has independent basis of quasiidentities or not?; the elucidation of the role of

the concepts of nilpotent or solvable loop, in the context of the approached problems; the

research of varieties and quasivarieties of A-loops with some residuality properties (finite,

nilpotent, solvable).

Scientific novelty and originality: for the first time makes a study of the equational and

quasiequational theories for nilpotent A-loops. It's developed more concise the concept of

nilpotent and solvable loops. It was determined that: 1) the identities of any nilpotent A-loops

have a finite bases; 2) the quasiidentities of the nilpotent finitely generated A-loop have finite

basis if and only if it is a finite abelian group; 3) quasiidentities in some nilpotent A-loop, free of

any class of nilpotency and of any rank, have infinite and independent basis of quasiidentities.

The scientific problem solved is the problem of the existence of the finite and independent bases

of quasiidentities for the nilpotent A-loops.

The theoretical importance and the applicative value of the work: this work is dedicated to

the study of the equational and quasiequational theories of the nilpotent A-loops. The results

obtained provide a relevant contribution to the theory of A-loops; they can also be used in

quasiidentities loops research and quasigroups.

Implementation of the scientific results: the scientific results of this thesis can be implemented

in developing optional courses for students and Masters students from mathematical specialties

and can be serve as a support for other scientific papers.

26

COVALSCHI Alexandru

IDENTITĂŢILE ŞI CVASIIDENTITĂŢILE A-BUCLEI NILPOTENTE

111.03 – Logică matematică, algebră şi teoria numerelor

Autoreferatul

tezei de doctor în ştiinţe fizico-matematice

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Aprobat spre tipar: 16.07.2013 Formatul hârtiei A5

Hârtie – 80 gr/m Imprimare RISO Tirajul 70 ex.

Coli de tipar: 1.3 Comanda nr. 53/19/07/13

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Tipografia Universităţii Pedagogice de Stat „Ion Creangă” din Chişinău

str. Ion Creangă, 1, MD-2069