MATHMATIQUESAlgbre et gomtrie

Sous la direction de GUY AULIACGUY AULIAC - JEAN DELCOURT - RMY GOBLOT

3eanne

www.ediscience.netISBN 2 10 048335 8

MATHM

ATIQUESAlgbre et gomtrie

GUY AULIAC - JEAN DELCOURT RMY GOBLOT

Guy Auliac est professeur agrg luniversit de Marne-la-Valle

Jean Delcourt est professeur luniversit de Cergy-Pontoise

Rmy Goblot est professeur luniversit de Lille

MATHMATIQUESAlgbre et gomtrieCours et exercices corrigs

GUY AULIAC - JEAN DELCOURT - RMY GOBLOT

Ce cours en trois tomes (Algbre et gomtrie, Intgration etprobabilits, et Topologie et analyse) est destin aux tudiants enLicence 3 de mathmatiques. Il fait suite au cours en quatre volumesde lie Azoulay, Jean Avignat et Guy Auliac destin aux tudiantsde Licences 1 et 2.La comprhension du sujet est facilite par de nombreux exemples.Afin daider ltudiant bien assimiler les notions, plus de 200 exercices rsolus sont proposs en complment au cours. Unetrentaine de problmes dont la solution dtaille est disponible surle WEB sont galement proposs. Ces exercices et ces problmessont aussi bien des applications immdiates du cours quunapprofondissement et une synthse des nouvelles notions abordesau niveau 3.

Mathmatiques

L1 Tome 1 E. Azoulay, J. Avignant, G. Auliac

Tome 2 E. Azoulay, J. Avignant, G. Auliac

L2 Tome 1 E. Azoulay, J. Avignant, G. Auliac

Tome 2 E. Azoulay, J. Avignant, G. Auliac

L3 Intgration G. Auliac, Ch. Cocozza-Thivent,et probabilits S. Mercier, M. Roussignol

Algbre et gomtrie G. Auliac, J. Delcourt, R. Goblot

Topologie et analyse G. Auliac, J.-Y. Caby

MATHMATIQUES

A

LGBRE

ET

GOMTRIE

Sous la direction de

Guy Auliac

Professeur agrg luniversit de Marne-la-Valle

Jean Delcourt

Professeur agrg luniversit de Cergy-Pontoise

Rmy Goblot

Professeur luniversit de Lille

MATHMATIQUES

Algbre et gomtrie

50 % Cours + 50 % exos

Couverture : Claude Lieber

Dunod, Paris, 2005ISBN 2 10 048335 8

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Table des matires

AVANT-PROPOS IX

CHAPITRE 1 THORIE DES ENSEMBLES

1.1 Ensembles, applications 1

1.2 Cardinal dun ensemble 5

1.3 Ensembles ordonns, bon ordre 8

1.4 Relation dquivalence, ensembles quotients 11

1.5 Rappels darithmtique lmentaire 13

Exercices 14

CHAPITRE 2 ANNEAUX ET CORPS

2.1 Anneaux, sous-anneaux, idaux 25

2.2 Divisibilit 36

2.3 Anneaux principaux, euclidiens et factoriels 39

Exercices 46

CHAPITRE 3 POLYNMES

3.1 Lanneau des polynmes A[X] 59

3.2 Polynmes irrductibles 62

3.3 Polynmes plusieurs indtermines 68

Exercices 72

VI Mathmatiques pour la licence : Algbre et gomtrie 3e anne

CHAPITRE 4 ALGBRE LINAIRE

4.1 Diagonalisation et trigonalisation 85

4.2 Dcomposition de Dunford et rduction de Jordan 94

4.3 Rduction de Frobenius 102

Exercices 108

CHAPITRE 5 GROUPES

5.1 Sous-groupes, morphismes 119

5.2 Groupe quotient et groupe produit 123

5.3 Groupes commutatifs finis 126

5.4 Actions de groupes 130

5.5 Thormes de Sylow 134

Exercices 136

CHAPITRE 6 ALGBRE BILINAIRE

6.1 Formes bilinaires 147

6.2 Formes bilinaires symtriques et antisymtriques 150

6.3 Formes quadratiques 155

6.4 Espaces vectoriels euclidiens et hermitiens 159

6.5 Adjoints 164

Exercices 169

CHAPITRE 7 GROUPES CLASSIQUES

7.1 Les groupes linaires et spcial linaires 179

7.2 Le groupe orthogonal 183

7.3 La dimension deux 187

7.4 Dcomposition des transformations orthogonales 193

Exercices 194

CHAPITRE 8 ESPACES AFFINES EUCLIDIENS

8.1 Notions affines 203

8.2 Gomtrie euclidienne 222

Exercices 233

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Table des matires VII

CHAPITRE 9 CALCULS BARYCENTRIQUES

9.1 Espace vectoriel des points pondrs 243

9.2 Application en gomtrie plane 248

9.3 Application en gomtrie du triangle 254

9.4 Fonction de Leibnitz 255

Exercices 256

CHAPITRE 10 TTRADRES ET PARALLLPIPDES

10.1 Produit mixte, produit vectoriel 267

10.2 Applications des configurations 272

Exercices 277

CHAPITRE 11 GOMTRIE DES CERCLES

11.1 Positions relatives de cercles et de droites 283

11.2 Puissance dun point 287

11.3 Proprit angulaire du cercle 292

11.4 Faisceaux de cercles 294

11.5 Lespace des cercles du plan 296

11.6 Projection strographique 304

Exercices 308

CHAPITRE 12 CONIQUES

12.1 Coniques dans un plan affine 315

12.2 Coniques dans un plan affine euclidien 325

Exercices 338

CHAPITRE 13 NOMBRES COMPLEXES ET GOMTRIE

13.1 Le corps C comme plan gomtrique 349

13.2 Utilisation de C en gomtrie affine plane 351

13.3 La gomtrie des cercles et C 355

13.4 Groupe circulaire 362

Exercices 367

INDEX 382

RFRENCES BIBLIOGRAPHIQUES 386

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Avant-propos

La prsente srie est destine aux tudiants de troisime anne de Licence qui suiventun parcours de mathmatiques. Elle est compose de trois volumes, Intgration etprobabilits, Algbre et gomtrie, Topologie et analyse, et elle couvre les notionsgnralement enseignes sur ces thmes ce niveau dtudes.

Cest en troisime anne de licence que se constituent les bases partir desquellesun tudiant pourra, soit aborder un master de mathmatiques appliques ou de math-matiques pures, soit prparer le CAPES de mathmatiques. De nombreuses notionsnouvelles sont abordes et il est indispensable que ltudiant les fasse siennes, se lesapproprie.

Cette appropriation ncessite dans un premier temps une lecture attentive et unebonne comprhension des rsultats du cours, ainsi que des dmonstrations qui lesjustifient, des motivations et heuristiques qui les sous-tendent. Lacquisition de nou-velles notions mathmatiques ne saurait par ailleurs tre complte sans une rellemanipulation de ces nouveaux concepts de la part de ltudiant. Cest pourquoi cettesrie a le parti pris de proposer, outre un cours complet, une quantit importantedexercices corrigs. Ces exercices vont dune application immdiate du cours unapprofondissement de certains rsultats. Ils sont un lment fondamental dassimi-lation et dappropriation du contenu du cours. Rappelons ce propos que chercherun exercice est en soit trs formateur et que cest justement cette recherche qui faitprogresser. En dautres termes, il nest gure souhaitable de se prcipiter sur la solution la premire difficult...

X Mathmatiques pour la licence : Algbre et gomtrie 3e anne

Dans ce tome consacr lalgbre et la gomtrie, on sest efforc de prsentertoutes les connaissances et tous les outils qui constituent le socle de lalgbre et de lagomtrie.

Parlons dabord de la forme : il sagit pour nous, tout en vitant les gnrali-ts excessives, dutiliser les notions abstraites comme par exemple les quotients, quipermettent darriver plus vite lessentiel. Les dmonstrations sont dtailles, lesexemples nombreux. Quelques exercices sont insrs dans le fil du cours, ils lillustrentou le prolongent. Dautres exercices parfois un peu plus longs sont placs en fin de cha-pitre. Tous les exercices sont corrigs. De courts problmes permettent dapprofondir,douvrir dautres portes. Les corrigs des problmes sont disponibles sur le site deDunod : www.dunod.com.

On trouve une bonne partie de ce que doit connatre un tudiant en mathmatiques,quil se destine lenseignement, la recherche ou aux applications. Les chapitresdalgbre concernent beaucoup lalgbre gnrale (anneaux, groupes) mais aussi descomplments dalgbre linaire et bilinaire. Pour les chapitres de gomtrie, on achoisi une approche et un clairage qui utilisent toutes les ressources de la premirepartie du livre ; cest ainsi, par exemple, que la thorie des formes quadratiques estconstamment sollicite pour une tude prcise des faisceaux de cercles, des coniques.

Nous souhaitons enfin rappeler que cette srie a vu le jour grce notre ami GuyAuliac. Il en a conu le projet et il est co-auteur des volumes dIntgration et pro-babilits, ainsi que dAnalyse. Malgr sa maladie, il a travaill ces ouvrages aveclenthousiasme, lnergie et la comptence qui le caractrisaient. Il nous a maintenantquitt et nous lui ddions ces livres.

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Chapitre 1

Thorie des ensembles :rappels et complments

Nous navons pas lintention de prsenter ici une thorie mathmatique rigoureuseet complte. Il faudrait pour cela des prrequis de logique, un appareillage com-plexe, choisir entre diffrentes axiomatiques... Nous nous bornerons une partie dela thorie nave des ensembles , selon lexpression de Paul Halms (voir [18]).

1.1 ENSEMBLES, APPLICATIONS

1.1.1. Ensembles

Acceptons la notion intuitive densemble : un ensembleE est un objet mathmatique ;si x est un objet mathmatique, la relation dappartenance x E est soit vraie, soitfausse, et les x pour lesquels elle est vraie sont appels les lments de E. Deuxensembles sont gaux sils ont exactement les mmes lments.Un ensemble est dfini en extension si on en donne la liste des lments, liste miseentre des accolades. Cas particulier : = {} est lensemble qui na aucun lment, onlappelle ensemble vide ; {} est un ensemble qui a un lment : {}.Il est dfini en comprhension lorsquon dfinit ses lments par une proprit, ex-prime sous forme dune proposition mathmatique. Cest dans ce second cas quilpourra tre utile de se poser la question : mon ensemble peut-il tre vide ? Admettons

2 1 Thorie des ensembles

quon connaisse lensemble des nombres entiers naturels N. On peut alors dfinir lesensembles :

P = {n N | k N, n = 2k} A = {n N | n | 60} Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} P = {p N | (n N, n | p n = 1 ou n = p) et (p = 1)} I = {a N | b N, a2 1973b2 = 1}

Il est facile de voir que lensemble P est form des nombres pairs, lensemble Pest form des nombres premiers, les deux ensembles A et Q sont gaux, et quant lensemble I , il nest pas du tout immdiat de dcider sil est ou non vide1. Mais tantdonn un nombre a, on peut dcider rapidement sil est, ou non, dans lensemble I .

On appelle sous-ensemble dun ensembleE, un ensembleF tel que : xF, xE,et on crit F E. Lensemble vide et E lui-mme sont des sous-ensembles de E.

Remarques

Un ensemble est dfini en comprhension de la faon suivante

A = {x E | p(x)}et ses lments sont a priori choisis dans un ensemble E, p tant une pro-prit qui a un sens pour les lments deE. Si on ne fait pas cette restriction,on pourrait crire :

A = {x | x / x}et la proposition A A risque de donner des maux de ttes : est-elle vraie,mais alors elle est fausse ?...

Autre remarque : un vrai logicien ne fait pas la diffrence entre des tresmathmatiques qui seraient des ensembles, dautres qui nauraient vocationqu tre des lments. Dans la vraie thorie des ensembles, tout estensemble.

1.1.2. Union et intersection de deux ensembles, produit cartsien

SiA et B sont deux ensembles, on dfinit leur unionAB et leur intersectionABpar :

A B = {x | x A ou x B} A B = {x | x A et x B}

Ce sont deux ensembles (et cela ncessite un axiome pour lunion, en vertude la remarque prcdente, alors que lintersection peut tre dfinie comme{x A | x B}). Les oprations ainsi dfinies ont des proprits bien connues

1. Il est non vide : essayer avec a = 88526 et b = 1993.

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1.1 Ensembles, applications 3

que nous ne dtaillerons pas. Signalons galement la dfinition de la diffrenceensembliste

A \B = {x A | x / B}et rappelons que la propositionA B est une abrviation de A B = A. Si A B,lensemble B \A sappelle le complmentaire de A dans B.

On va maintenant dfinir le couple (a, b) : cest lensemble

(a, b) = {a, {a, b}}

Cela permet dobtenir lquivalence :

(a, b) = (a, b) (a = a et b = b)

Ne pas confondre le couple (a, b) avec lensemble (la paire) {a, b} ; avec notredfinition, le couple (a, a) dsigne lensemble {a, {a}}. Cette dfinition des couplespeut paratre inutilement abstraite, et elle masque la symtrie quil y a entre (a, b)et (b, a).

Le produit cartsien2 de deux ensembles est alors lensemble des couples :

AB = {(a, b) | a A et b B}

Enfin rappelons galement que P(E) est lensemble de tous les sous-ensembles deE. Il contient en particulier lensemble vide et E lui-mme.

1.1.3. Relations, Applications

Des dfinitions :

Une relation binaire R est un sous-ensemble de A B ; on crit aR b plutt que(a, b) R.

Une application de A dans B est une relation f qui vrifie :

a A, b B, a f bet

a A, (b, b) B B, (a f b et a f b) (b = b)Cela signifie quil y a toujours un b tel que tel que a f b et quil y a unicit de b. Oncrit :

f : A Ba b = f(a)

On peut composer des relations, R AB et S B C en posant pour x dansA et z dans C :

(x, z) R S y B (x, y) R et (y, z) S

2. En lhonneur de Ren Descartes, qui a utilis les couples de coordonnes pour reprer des points.

4 1 Thorie des ensembles

Dans le cas o R et S sont des applications, R S est une application et :z = R S(x) y B y = R(x) et z = S(y)

et donc R S sera une application telle que R S(x) = S(R(x)). On prfre en cecas noter z = R S(x) = S R(x), cest ce quon appelle la loi rond .

Lensemble des applications dun ensemble A dans un ensemble B est not BA

(chercher une justification de cette notation...). On peut alors dfinir les applicationsinjectives, surjectives et bijectives.

1.1.4. Familles, produit

On appelle famille indexe par un ensemble I , une application de I dans un ensembleA. On note ai limage de i I et (ai)iI la famille. Il est possible bien sr que les aisoient eux-mmes des ensembles. Si (Ai)iI est une famille densembles, il existe unensemble qui est la runion des ensembles Ai ; on le note

A =iI

Ai

et il est caractris par :

a A i I, a AiSi I est de la forme I = {i1, i2}, on retrouve la runion traditionnelle de deuxensembles. Si I est vide, la runion est vide. Et si I est non vide, on peut dfinirlintersection de la famille :

B =iI

Ai

caractrise par :a B i I, a Ai

Il y a un peu de subtilit dans ces dfinitions : lintersection dune famille videI = ne peut tre dfinie sans contradiction, (cest li limpossibilit daccepterlexistence de lensemble de tous les ensembles) ; bien sr, lintersection peut trevide, par exemple quand lun des Ai est vide, mais pas seulement dans ce cas...

De mme quon a dfini le produit cartsien de deux ensembles, dfinissons leproduit dune famille par :

iIAi = {f : I

iI

Ai | f(i) Ai}

Se donner un lment de ce produit, cest finalement se donner une famille, indexepar I , de la forme (ai)iI o ai Ai pour tout i I , et si I a deux lments, onretrouve (moyennant une identification : laquelle ?), le produit cartsien habituel.

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1.2 Cardinal dun ensemble 5

Exercice 1.1. Examiner le rle que joue vis--vis des oprations dunion, intersec-tion, produit cartsien. Dterminer

A, A,

Exercice 1.2. Dterminer P(), P (P()), etc.

1.2 CARDINAL DUN ENSEMBLE

On ne peut se contenter dune dfinition circulaire comme le cardinal dun ensembleest son nombre dlments . Depuis Cantor, on procde en gros de la faon suivante :on dit que deux ensembles sont quipotents sil existe une bijection de lun verslautre, et on conviendra que le cardinal dun ensemble est la classe de tous lesensembles qui sont en bijection avec lui.

Attention, on ne peut parler d ensemble de tous les ensembles sans contradic-tion. Cest pour cela quon a employ le terme un peu vague de classe.

1.2.1. Ensembles finis, infinis, dnombrables

Commenons par admettre quon a dfini lensemble des nombres entiers N : cetensemble contient un lment not 0 et tout lment n a un successeur, not n + 1 ;deux lments qui ont mme successeur sont gaux, et 0 nest pas un successeur. Deplus, N a la proprit de rcurrence, que lon peut noncer ainsi : pour tout F N,on a {

0 Fn N, (n F n+ 1 F ) F = N

On peut alors dfinir dans N laddition, la multiplication et la relation dordrehabituelle, que lon appelle ordre naturel et que lon note . Nous ne dtailleronspas ces constructions. En suivant la dmarche propose dans le cas gnral, on vadfinir les ensembles finis, infinis, dnombrables :

On dit quun ensemble A est fini sil existe un entier n tel que A soit en bijectionavec {1, . . . , n}3.

Un ensemble est infini sil nest pas fini, et dnombrable sil est en bijection avecN.

3. Notation qui reprsente bien sr lensemble {k N | 1 k n}

6 1 Thorie des ensembles

Dans le cas dun ensemble fini E, lentier n est appel cardinal de E et est notCard(E).

Remarque : Cette dfinition a un sens, car on peut dmontrer (par rcurrence)que si n = p, lensemble {1, . . . , n} et lensemble {1, . . . , p} ne sont pas enbijection. On dit galement que le cardinal de lensemble vide est 0.On peut vrifier (voir par exemple la section suivante) queQ est dnombrable,mais un thorme clbre attribu Cantor affirme que R nest pas dnom-brable.

Il est alors possible dnoncer le thorme suivant :

Thorme 1.1. SiE et F sont deux ensembles finis de mme cardinal, toute injection(resp. surjection) de lun dans lautre, est bijective.

Avant de faire la dmonstration, remarquons lanalogie avec le thorme quiconcerne les applications linaires entre espaces vectoriels de mme dimension finie.

Dmonstration. Il convient dabord de montrer que si F est un sous-ensemble de F ,alors F est fini, de cardinal infrieur celui de F . De plus, linclusion est stricte siet seulement si Card(F ) < Card(F ). Ce lemme se dmontre par rcurrence sur lecardinal de F : si Card(F ) = 1, il est facile de dterminer tous les sous-ensemblesde F et de vrifier le lemme. Supposons la proposition vraie pour tous les ensemblesde cardinal n, et prenons F de cardinal n + 1, une bijection permet de supposer queF = {1, . . . , n+ 1}. Soit F un sous-ensemble strict de F . On peut supposer, quitte composer par une bijection, queF ne contient pas n+1, ainsiF est un sous-ensemblede {1, . . . , n}. Si cette inclusion est stricte, lhypothse de rcurrence sapplique, F est fini de cardinal strictement infrieur n donc n + 1. Sinon, F concide avec{1, . . . , n}, il est de cardinal n, strictement infrieur n+ 1.Passons la dmonstration du thorme, et soit f injective de E dans F . Alors f(E)est un sous-ensemble de F , qui est en bijection avecE, donc de mme cardinal que Edonc que F . On en dduit que f(E) = F et que f est surjective. Le lecteur terminerala dmonstration.

1.2.2. Thorme de Cantor-Bernstein

Il nest pas toujours facile de dfinir une bijection entre deux ensembles. Le thormesuivant, qui nest pas compltement banal, permet de prouver que deux ensembles ontmme cardinal.

Thorme 1.2. Thorme de Cantor-Bernstein. Soit A et B deux ensembles. Onsuppose quil existe une application f injective de A vers B, et une application ginjective de B vers A. Alors A et B ont mme cardinal.

Dmonstration. Commenons par observer que tout lment de A a au maximumun antcdent par g. Et tout lment de B a au maximum un antcdent par f . Partant

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1.2 Cardinal dun ensemble 7

dun lment a deA, on peut construire une suite, ventuellement finie des antcdentssuccessifs, par g puis par f , etc.

Si cette suite est infinie, on dit que a est dans A. Si elle est finie, mais sarrte en un lment de B, on dit que a est dans A1.

Sinon, elle est finie et sarrte en A, ou elle est vide, (cas o a na pas dantcdentpar g), on dit que a est dans A0.

On a ainsi dfini une partition de A et on va en dduire une bijection de A dans B.Si a A0 ou a A, on pose (a) = f(a). Si a A1, il a un antcdent par g, eton pose (a) = g1(a), notation un peu abusive pour dsigner cet antcdent unique.On peut dfinir de mme dans B trois ensembles B, B1 et B0. Limage deA par est alors incluse dansB, puisque si a a une infinit dantc-

dents successifs, f(a) aussi, et tout lment de B est limage par dun lmentqui a une infinit dantcdents successifs : restreint A est donc bijective surB.

Limage deA0 est forme de f(a), o a a un nombre pair dantcdents successifs ;les f(a) ont donc un nombre impair dantcdents successifs, donc f(a) est dansB1, et tout lment de B1 est limage par dun lment de A0, pour les mmesraisons ; est bijective de A0 sur B1.

De mme, ralise une bijection de A1 sur B0.

En conclusion, est bien bijective de A sur B.

1.2.3. Le thorme de Cantor

Il sagit de montrer que E et P(E) nont pas le mme cardinal.

Thorme 1.3. Thorme de Cantor. Il nexiste pas de surjection dun ensemble Edans lensemble de ses sous-ensembles P(E)

Dmonstration. Supposons que f : E P(E) soit surjective. Limage dun lmentde E est un sous-ensemble de E, et on peut donc considrer

F = {x E | x / f(x)}Mais comme f est surjective, il existe y E tel que F = f(y). Si y F , cestdonc que y / f(y) soit y / F , contradiction. Lalternative y / F conduit la mmeimpasse, car y doit vrifier y f(y) = F , encore une contradiction4.

Il existe bien sr une application injective de E dans P(E), et on peut donc direque le cardinal de P(E) est strictement plus grand que le cardinal de E.

4. On pourra rflchir la phrase : le barbier de cette ville rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mmes, et ceux-l seulement.

8 1 Thorie des ensembles

Exercice 1.3. Montrer que P(E) est en bijection avec {0, 1}E . En dduire le cardinalde P(E) lorsque E est fini.

Exercice 1.4. Soit f lapplication de N dans lui-mme dfinie par f(n) = 2n, et glapplication deN dans lui-mme dfinie par g(n) = 3n. Dcrire la bijection donnepar le thorme de Cantor-Bernstein. Si on change les rles de f et de g, que dire desbijections correspondantes ?

Exercice 1.5. En utilisant le thorme de Cantor-Bernstein, montrer que N est enbijection avec N N, puis que N est en bijection avecQ.

1.3 ENSEMBLES ORDONNS, BON ORDRE

1.3.1. Relations dordre

Parmi les relations, on va privilgier maintenant des relations binaires dfinies dansE E, et pour commencer, consacrons-nous aux relations dordre.

Dfinition 1.4. Une relation binaire, note dans E est une relation dordresi elle a les trois proprits :(1) x E, x x (rflexivit)(2) (x, y) E E, (x y et y x) (x = y) (antisymtrie)(3) (x, y, z) E E E, (x y et y z) (x z) (transitivit)

Avant de donner des exemples, donnons quelques dfinitions supplmentaires.

Une relation dordre dans E permet parfois dordonner les lments comme lespoints dune droite. On dit quun ordre est total si

(x, y) E E, (x y ou y x)cest--dire si deux lments quelconques sont toujours comparables. Une relationdordre qui nest pas totale est dite partielle.

Un lment M de E est un majorant de A E sia A, a M

est le plus grand lment de A lorsque

A et a A, a Et bien sr, on dfinit de mme minorant et plus petit lment. Deux notions un peu

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1.3 Ensembles ordonns, bon ordre 9

plus difficiles :

s est borne suprieure de A si cest le plus petit lment de lensemble des majo-rants de A.

un lment de A est maximal si

a A, ( a) (a = )

Des exemples de relations dordre, de recherche de majorants, borne suprieures...sont donns en exercice.

1.3.2. Bon ordre

Autre vocabulaire, une relation dordre dans E est un bon ordre si on a la proprit :Toute partie non vide de E admet un plus petit lment. Cest le cas de N, qui sert unpeu de modle, et de ses sous-ensembles. Une premire remarque

Proposition 1.5. Un bon ordre est un ordre total.

Dmonstration. Il suffit de dire que toute partie de la forme {a, b} admet un plus petitlment.

En revanche, lexemple de Z avec lordre naturel montre quun ordre total nestpas forcment un bon ordre. Cest galement le cas de R+, avec lordre naturel : lesintervalles ouverts gauche, par exemple, nont pas de plus petit lment.

Passons maintenant des considrations un peu plus dlicates. Un thorme af-firme :

Thorme 1.6. Thorme de Zermelo.Tout ensemble peut tre muni dune relation de bon ordre.

Ce thorme est un peu surprenant, si on pense des ensembles grands commeR, pour lequel lordre naturel nest certes pas un bon ordre. En fait, ce thorme rsultedun axiome que nous navons pas encore nonc, et qui est nomm laxiome duchoix.

Axiome 1.7. Axiome du choixTout produit

iI Ai densembles non vides est non vide

Cet axiome est ainsi nomm car il signifie quil existe f dans ce produit, cest--dire une application de I dans la runion de Ai, telle que f(i) Ai pour tout i ; ondit que cest une fonction de choix. Lorsque la famille est infinie, lexistence dunetelle fonction nest pas vidente : il sagit de choisir dun seul coup une infinitdlments, sans forcment avoir un algorithme.

10 1 Thorie des ensembles

Terminons avec un troisime thorme, encore quivalent aux deux noncs prc-dents :

Thorme 1.8. Thorme de ZornSoitE un ensemble tel que toute partieP de P(E) qui est totalement ordonne admetun majorant : on dit parfois que E est inductif.

Alors E admet (au moins) un lment maximal.

On peut dduire les thormes de laxiome du choix, mais laxiome est aussi impli-qu par chacun des thormes. On va ladmettre, mais donnons nanmoins un exemplede dmonstration : le thorme de Zorn implique le thorme de Zermelo.

Dmonstration. Soit X un ensemble. On considre lensemble des parties de X quipeuvent tre munies dun bon ordre ; si A est une telle partie, on notera (A,) lecouple form de cette partie et dun bon ordre. Soit X lensemble de tous les couplespossibles. Cet ensemble est non vide (il contient lensemble vide et lordre vide, et,si X est non vide, il contient les singletons), et il est muni dun ordre partiel, leprolongement : on dira que A et B deux parties bien ordonnes de X vrifientA BsiA B et si lordre de B prolonge celui de A, les lments de B \A tant tous plusgrands que ceux de A. Soit alors P une partie totalement ordonne de X . La runiondes lments de P est bien ordonne et cest donc un majorant des lments de P .On en dduit que X contient un lment maximal M . Mais cet lment maximal estX lui-mme, muni dun bon ordre. En effet, si x X \M , lensemble {x} M peuttre muni dun bon ordre (en prenant x suprieur tous les autres lments de M ),contredisant ainsi la maximalit de M .

Reconnaissons quon nutilise pas trs souvent ces noncs. Donnons un desexemples pour lesquels le thorme de Zorn est incontournable.

Thorme 1.9. Tout espace vectoriel sur un corps K admet une base.

Dmonstration. E est un espace vectoriel et V lensemble des systmes libres. Onpeut ordonner V par linclusion, et si C est un sous-ensemble totalement ordonn deV , il admet un majorant, qui est la runion des ensembles de C : cette runion U estun systme libre (car si un sous-ensemble fini de U donnait une relation de liaison,ce sous-ensemble serait inclus dans un des lments de C, contradiction) et cest unmajorant de C. On en dduit que lensemble des systmes libres admet un lmentmaximal : un tel lment B est une base ; si en effet un vecteur x ntait pas dansvect(B), lensemble B {x} serait libre, contradiction avec la maximalit de B.

Exercice 1.6. Justifier : lunicit du plus grand lment, de la borne suprieure, (sousrserve dexistence). Montrer que si A admet un plus grand lment, cest galementsa borne suprieure. Donner un exemple o la borne suprieure deA existe, mais nestpas plus grand lment de A.

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1.4 Relation dquivalence, ensembles quotients 11

Exercice 1.7. Soit = A R, o R est muni de la relation dordre . Montrer que sest la borne suprieure de A si s vrifie :{

a A, a s > 0,a A, s < a s

Exercice 1.8. Montrer que tout ordre dans E est isomorphe (en un sens prciser) linclusion entre des sous-ensembles de E.

1.4 RELATION DQUIVALENCE, ENSEMBLES QUOTIENTS

Une relation dordre introduit un ordonnancement, une hirarchie, entre les lmentsde E. Au contraire, une relation dquivalence est associe un regroupement en classes .

Dfinition 1.10. Une relation binaire dansE est une relation dquivalence sielle a les trois proprits :(1) x E, xRx (rflexivit)(2) (x, y) E E, (xRy) (yRx) (symtrie)(3) (x, y, z) E E E, (xRy et yRz) (xRz) (transitivit)

La notion de relation dquivalence est troitement associe la notion de partition :une famille (Ei)iI de sous-ensembles de E est une partition de E si :iI Ei = E.

i, j I, (i = j) (Ei Ej = )

On obtient alors la partition associe une relation dquivalence par :

Dfinition 1.11. tout a E, on associe sa classe dquivalence :a = {b E | bRa}

et les classes dquivalence forment une partition de E.

La dmonstration est immdiate, et le lecteur vrifiera sans peine qu toute partitionde E, on peut associer une relation dquivalence. Lensemble form par les classesdquivalence sappelle le quotient de E par R, il est not E/R. Ce vocabulairesexplique aisment : on a divis lensemble E en faisant des regroupements, dans lequotient, des lments quivalents sont considrs comme identiques. Ce passage au

12 1 Thorie des ensembles

quotient est extrmement frquent en algbre, nous en verrons des exemples dans leschapitres suivants. Commenons par un exemple gnral, avec E un ensemble munidune relation dquivalenceR.

Dfinition 1.12. Soit f : E F une application. On dit quelle estcompatible avec R si

(a, b) E2, (aRb) (f(a) = f(b))

Si une application est compatible avec R, elle passe au quotient :

Proposition 1.13. Si f : E F est une application compatible avec une rela-tion dquivalence R, il existe une unique application f : E/R F telle quef(a) = f(a).

La vrification est directe : limportant est que f est bien dfinie par la relation ci-dessus, par dfinition dune application compatible. Si on appelle p lapplication qui a associe a (p est la projection), on a f = f p.

Enfin, supposons que E soit muni dune loi de composition, cest--dire duneapplication :

E E E(x, y) x y

alors on dit que la loi est compatible avec la relation ds que :

(a, a, b, b) E4,{aR abR b (a b)R (a

b)

On en dduit alors, comme ci-dessus, une loi de composition dans lensemble quo-tient E/R, dfinie par :

a b = a b

On vrifie que cette dfinition a un sens.

Exercice 1.9. Que dire dune relation qui est la fois dordre et dquivalence ?

Exercice 1.10. Soit T strictement positif. On suppose queR est la relation dfinie surR par

aRb a b ZTQue signifie quune application de R dans R est compatible avec R ? Caractriser dela mme faon les fonctions paires.

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1.5 Rappels darithmtique lmentaire 13

Exercice 1.11. Soit E lensemble des relations dfinies sur E. On dfinit dans E unerelation par :

R S ((a, b) E2, (aR b) (aS b))

Montrer que cest une relation dordre, et que E possde un plus petit lment et unplus grand lment que lon prcisera.

1.5 RAPPELS DARITHMTIQUE LMENTAIRE

Donnons sans dmonstration quelques notations et rsultats darithmtique dans len-semble Z des entiers relatifs.

1.5.1. Divisibilit, congruence

Si a et b sont des lments de Z, on dit que a divise b, ou que b est un multiple de asil existe k dans Z tel que b = ak. Cela scrit a | b. Restreinte N, cest une relationdordre et alors :

a | b bZ aZOn dit que a et b sont congrus modulo n lorsque a b est divisible par n. Cela scrita b (mod n). La congruence modulo n est une relation dquivalence et lensembledes classes dquivalence est not Z/nZ. Cette relation de congruence est compatibleavec les oprations + et de Z :{

a a (mod n)b b (mod n) a+ b a

+ b (mod n) et ab ab (mod n)

1.5.2. Bzout et Gauss

Deux entiers de Z sont premiers entre eux sils nont dautres diviseurs communs que1 et1. On crit alors ab = 1. Il est quivalent de dire (cest le thorme de Bzout),que lquation ax+ by = 1 admet au moins une solution (x, y) dans Z2. Le thormede Gauss relie divisibilit et nombres premiers entre eux :{

a | bca b = 1 a | c

14 1 Thorie des ensembles

1.5.3. p.g.c.d. et p.p.c.m.

Si a et b sont dans Z, leur p.g.c.d. est lentier naturel d dfini par aZ + bZ = dZ, etleur p.p.c.m. est lentier naturel m dfini par aZ bZ = mZ. Le p.g.c.d. est le plusgrand diviseur commun en ce sens que si d divise la fois a et b alors d divise d. Dela mme faon, m est le plus petit commun multiple. On crit a b = d pour dsignerle p.g.c.d. et deux nombres sont premiers entre eux si leur p.g.c.d. est gal 1. On crita b = m pour dsigner le p.p.c.m. Rsultats utiles :

a b = d

a Z, a = adb Z, b = bda b = 1

(a b)(a b) = |ab|

1.5.4. Nombres premiers

Un entier naturel p est premier sil na pas dautres diviseurs dans N que 1 et lui-mme. Lensemble P des nombres premiers est assez mystrieux, sujet de nom-breuses conjectures ; il y a une infinit de nombres premiers (rsultat du Euclide),ils se rarfient mais on ignore par exemple sil existe une infinit de nombres premiersjumeaux, cest--dire de la forme n, n+ 2 comme 11 et 13. Une autre proprit.

Proposition 1.14. Lemme dEuclide.Si p est premier, alors p | ab p | a ou p | b.

Dmonstration. Si p est premier et si a est dans Z, alors p a = 1 ou p a = p, carp na que 1 et p comme diviseur dans N. Si donc p divise ab et ne divise pas a, il estpremier a et, par le thorme de Gauss, il divise b.

EXERCICES

Exercice 1.12. Dans lensemble E des relations binaires sur E, on dfinit la composi-tion par :

aR S b c E, aSc et cRbCest alors une opration toujours dfinie. Examiner ses proprits : est elle asso-ciative, commutative ? Le compos de deux relations rflexives lest-il ? Et de deuxrelations symtriques ? Transitives ?

Exercice 1.13. Si on note AB lensemble (A \ B) (B \ A), vrifier que(P(E),,) est un anneau commutatif, (avec dans le rle de laddition et dansle rle de la multiplication).

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Problme 15

Exercice 1.14. La relation dite quivalent entre deux suites est-elle une relationdquivalence ? Que dire des suites qui sont quivalentes une suite stationnaire ?

Exercice 1.15. Soit R une relation rflexive sur E. On note R1 la relation dfiniepar xR1y yRx. On note S la relation dfinie par :

xSy n N, x0, x1, . . . , xn | x = x0R1x1R2x2 . . .Rnxn = yavec Ri = R ou R1. Montrer que S est la plus petite relation dquivalence quicontienne R. Comment interprter S lorsque R reprsente est lenfant de ?

Exercice 1.16. f et g sont deux applications de A dans B (resp. de B dans A). Onsuppose que f g est injective : peut-on affirmer que f ou que g est injective ? Mmequestion avec surjective. On suppose maintenant que f g = idB et g f = idA.Montrer que f et g sont bijectives et rciproques lune de lautre.

Exercice 1.17. Examiner les relations suivantes : sont-elles des relations dordre total,partiel, y-a-t-il des plus petits ou plus grands lments, majorants, bornes suprieurespour E, pour une partie de E, des lments maximaux ou minimaux ?

Les ensembles de nombresN, Z,Q, C pour lordre naturel (cest--dire habituel...).

N pour la relation divise .

Lensemble P(E) des parties dun ensemble pour la relation dinclusion. N N pour la relation dordre produit

(a, b) (a, b) a a et b b

puis pour lordre lexicographique :

(a, b) (a, b) a < a ou a = a et b b

PROBLME

Le corrig de ce problme est disponible sur le site de Dunod : www.dunod.com.

1.1. MATRICE DINCIDENCE, MATRICE DE MBIUS

On considre un ensemble ordonn fini P , la relation dordre sera note . Soit n lecardinal de P , on notera a1, . . . an ses lments. On appelle matrice dincidence deP toute matrice M de Mn(C) ayant la proprit :

i, j, ai aj mi,j = 0

16 1 Thorie des ensembles

(1) Dans cette question, on suppose que n = 3. Dcrire lensemble des matricesdincidence lorsque lordre est dfini par

a1 a2 a3, puis par a2 a1 et a2 a3On suppose implicitement quil ny a pas dautre relations ( part bien sr a i aipour tout i).

(2) Montrer que lensemble E des matrices dincidence est un sous-espace vectorielde Mn(C) et quil est stable pour le produit. La matrice de lidentit est-elle unematrice dincidence ?

(3) On veut montrer que si une matrice dincidence est inversible, alors son inverse estaussi une matrice dincidence. Cette question est plus difficile :

(a) On commence par supposer que lon a :

(i, j) {1, . . . , n}2, ai aj i jDmontrer qualors les matrices dincidence sont triangulaires suprieures.

(b) Montrer que si une matrice dincidence est inversible, alors son inverse est aussiune matrice dincidence. On pourra raisonner par labsurde.

(c) Montrer que si P = {a1, a2, . . . , an} est muni dune relation dordre, il existeune permutation de Sn telle que :

(i, j) {1, . . . , n}2, a(i) a(j) i jEn dduire le rsultat dans le cas gnral.

(4) Soit Z = (zi,j)i,j la matrice dfinie par :

(i, j) {1, . . . , n}2, ai aj zi,j = 0, ai aj zi,j = 1Cest donc une matrice dincidence. Montrer quelle est inversible. On appellematrice de Mbius la matrice inverse Z1. On notera mi,j llment dindice(i, j) de cette matrice.

(5) On suppose que P est lensemble {1, 2, . . . , n}muni de lordre naturel, et on noteai = i. Dcrire la matrice Z associe ainsi que la matrice de Mbius Z1.

(6) On suppose que P est lensemble {1, 2, . . . , n} muni de lordre divise , et onprend encore ai = i. Dcrire la matrice Z associe. Montrer que les coefficientsde la forme m(k, ) vrifient : m(k, k) = 1 (k, ) {1, 2, . . . , n}, k m(k, ) = 0 (k, ) {1, 2, . . . , n}, (k | , k = )

k|d|m(k, d) = 0, la somme

portant donc sur les tous les d qui sont multiples de k et qui divisent .

Vrifiez que ces relations suffisent dterminer les coefficients (k, ).(7) On dfinit la fonction de Mbius sur N par :

(1) = 1, (p1p2 . . . pk) = (1)k, si les pi sont des premiers distincts

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Solutions des exercices 17

et est nul dans tous les autres cas. Montrer que|

() = 0

lorsque > 1. On utilisera la dcomposition en facteurs premiers de et oncherchera ses diviseurs. En dduire que, lorsque k | on a m(k, ) =

(k

)(8) Dmontrer la formule dinversion de Mbius , lorsque (un) et (vn) sont deux

suites numriques :

un =d|n

vd vn =d|n

(nd

)ud

(9) Si on note (n) le cardinal des entiers k de {1, 2, . . . , n} qui sont premiers avec n( est lindicateur dEuler), montrer que :

(n) =d|n

d(nd

)puis

(n) = n

pP,p|n

(1 1

p

)o P dsigne lensemble des nombres premiers.

(10) Quel est lanalogue de la formule dinversion de Mbius lorsquon prend lordrenaturel au lieu de lordre divise ?

SOLUTIONS DES EXERCICES

Solution 1.1. On a facilement A = A, A = . De mme, A = .A = {}. En effet, A est un sous-ensemble de

P(A ) = P() = {}la seule relation dfinie dans A est . Le rsultat est le mme que A soit vide ounon. Reste savoir si cette relation est fonctionnelle : la phrase

x A, y B, xRyest vraie siA est vide, siA etB sont vides, mais pas siA est non vide etB vide. Ainsi,si A est non vide,

A = {}, = {}, A =

18 1 Thorie des ensembles

Solution 1.2.

P() = {}, P({}) = {, {}} P({, {}}) = {, {}, {{}}, {, {}}}

et on pourra continuer si on supporte ses innombrables accolades...

Solution 1.3. une partie A de E on associe lapplication de E dans {0, 1} appelefonction caractristique, note 1A et dfinie par :{

1A(x) = 1 si x A1A(x) = 0 si x / A

LapplicationA 1A de P(E) dans {0, 1}E est bijective car toute application f deE dans {0, 1} correspond une seule partie de E, celle dfinie par A = f 1(1). On endduit donc que, si E est fini, P(E) est de cardinal 2Card(E). On prolonge ce rsultatau cas infini : si 0 (lire aleph zro) est le cardinal de N, alors le cardinal de P(N) est20 , que lon note 1.

Solution 1.4. Notons A = N, B = N. Pour quun entier ait un antcdent par f ildoit tre pair, pour quun entier ait un antcdent par g il doit tre multiple de trois.Ainsi, A0 est form des entiers de la forme 2k3k

m o k k, (avec m premier 2 et

3) tandis que A1 est form des entiers de la forme 2k3km o k < k. Lensemble

A est rduit 0. Ainsi est dfinie par :0 02k3k

m 2k+13km si k k

2k3km 2k3k1m si k < k

avec toujoursm premier 2 et 3. On peut vrifier que est bijective, en se contentantpar exemple de visualiser le passage de (k, k ) (k + 1, k) ou (k, k 1) sur unquadrillage. Lapplication rciproque est obtenue en changeant les rles de A et B,donc de 2 et 3.

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Solutions des exercices 19

Solution 1.5. Il suffit de trouver une injection f de N dans N N et une injection gde N N dans N. On peut prendre f(n) = (n, 0) et, par exemple, g(n, n) = 2n3n .Il est moins immdiat (et cest inutile par le thorme de Cantor-Bernstein) de dcrireune bijection : en utilisant que tout entier scrit de faon unique comme une puissancede 2 fois un entier impair : (n,m) 2n(2m + 1) 1 (le 1 pour ne pas oublier 0).Il existe de mme une injection de N dans Q, donne par n n1 et une injection deQ dans N N, donne par pq (2p, q) si p est positif,

pq (2p + 1, q) si p est

strictement ngatif (en prenant lcriture irrductible dun rationnel).

Solution 1.6. Si est le plus grand lment de A E et aussi. Alors et sont dans A et , puisque est plus grand lment, de mme et parantisymtrie, = . Si A admet une borne suprieure, elle est donc unique puisquecest le plus petit lment de lensemble des majorants.Soit maintenant A un sous-ensemble de E qui admet un plus grand lment . Pardfinition du plus grand lment, est un majorant de A. Si m est un majorant de A,il est plus grand que tous les lments de A, donc de : est le plus petit lmentde lensemble des majorants de A, cest la borne suprieure de A. Lexemple danslensemble R des intervalles de la forme [a, b[ montre que la borne suprieure peutexister sans quil y ait de plus grand lment.

Solution 1.7. {a A, a s > 0,a A, s < a s

Supposons que s vrifie ces proprits : la premire indique que s est un majorant deA. Soit M un majorant quelconque de A, alors s M , sinon, en notant = s M ,la seconde proprit impliquerait quil existe a A vrifiant s = M < a s,contradiction. On a montr que s est le plus petit des majorants. La rciproque se traitede la mme faon. Cette proprit de la borne suprieure sutilise constamment enanalyse.

Solution 1.8. Si E est un ensemble ordonn, on peut commencer par dfinir lessegments initiaux par :

x E, (x) = {y E | y x}On a ainsi dfini une application de E dans P(E), et cette application est injective :si I est un segment initial, il est gal (x) o x est lunique plus grand lment de I .Enfin,

x y (z E, z x z y)donc x y (x) (y). On a ainsi un isomorphisme densemble ordonns,cest--dire une bijection qui conserve lordre.

20 1 Thorie des ensembles

Solution 1.9. Une relation qui est la fois dordre et dquivalence est la foissymtrique et antisymtrique : ds que xRy, on a yRx donc x = y. Comme la relationest non vide (rflexivit), cest lgalit.

Solution 1.10. Une fonction f est compatible avec la relationR lorsque f(a) = f(b)ds que k Z, a = b + kT . Cela signifie que f est priodique, T est une priode.En particulier, f passe au quotient , cest--dire que lon peut dfinir f de R/TZdans R par f(a) = f(a). Une fonction paire est une application compatible avec larelation xRy x = y.

Solution 1.11. Cette relation est en fait linclusion dans lensemble P(E E). Ellea donc un plus petit lment qui est la relation vide (jamais vraie) et un plus grandlment qui est E E, la relation toujours vraie.

Solution 1.12. Montrons que la composition est associative :

a((S R) T )b c E, a(S R)c et cT b c E,d E, aSd et dRc et cT b

et la traduction de a(S (RT )b est identique. Cette opration nest pas commutativeds que E est assez grand : prendre E = {a, b}, R la relation rduite (a, b) et S larelation rduite (b, a). Alors R S et S R diffrent.Le compos de deux relations rflexives lest car

a, c, aRc et cSail suffit de prendre c = a. Si deux relations sont symtriques, leur compos ne lestpas forcment mais :

aR Sb c E, aRc et cSb c E, cRa et bSc bS Ra

Enfin, le compos de deux relations transitives ne lest pas forcment, il suffit de btirun contre-exemple. On pourra prolonger cet exercice en cherchant un lment neutre,en dfinissant la relation rciproque dune relation...

Solution 1.13. Pour vrifier les proprits de ces oprations, il est pratique de se servirdes fonctions caractristiques vues dans lexercice 1.3 page 18. On a en effet :

1AB = 1A1B et 1AB = 1A + 1B 2 1AB

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Solutions des exercices 21

formules que lon vrifie en examinant tous les cas possibles. Il est alors plusagrable de dcider que les fonctions caractristiques sont valeur dans Z/2Z, do1AB = 1A + 1B . On montre alors par exemple la distributivit par

1A(BC) = 1A1BC = 1A(1B + 1C)1(AB)(AC) = 1A1B + 1A1C

Lassociativit de la diffrence symtrique rsulte alors du calcul :

1(AB)C = 1AB + 1C= 1A + 1B + 1C

et le calcul de 1A(BC) donne le mme rsultat. Llment neutre pour laddition est (dont la fonction caractristique est constante nulle), llment neutre pour leproduit est lensemble E tout entier. Loppos de A est lui-mme.

Solution 1.14. Soit E lensemble des suites valeurs relles. Deux suites (un) et(vn) sont quivalentes lorsquil existe une suite (n) tendant vers 0 telle que :

n N vn = (1 + n)unAvec cette dfinition, lquivalence nest pas une relation dquivalence... Il n y a passymtrie dans le cas o vn est nulle pour certaines valeurs de n sans que un le soit.Mais il suffit de remplacer la dfinition par :

n0 N, n n0 N vn = (1 + n)unpour avoir la symtrie, n0 dpend des deux suites. Alors

vn = (1 + n)un un =1

1 + nvn =

(1 n

1 + n

)vn

pour n suffisamment grand (car n tendant vers 0 sera diffrent de 1 pour tous les nsuffisamment grands). La rflexivit est immdiate, on prend pour n la suite constantenulle. Pour la transitivit :{

vn = (1 + n)unwn = (1 + n)vn

wn = (1 + n + n + nn)un

Si une suite est quivalente une suite stationnaire de limite non nulle , alorselle converge vers . Rciproquement, si une suite converge vers non nul, alorsun = + n = (1 + n ), et (un) est donc quivalente la suite constante . Parcontre, une suite est quivalente la suite constante nulle si et seulement si elle eststationnaire nulle.

Solution 1.15. La relation S contient la relation R, avec ce quil faut pour tre unerelation dquivalence. Il faut comprendre que x1Rx2Rx3 abrge x1Rx2 et x2Rx3.La relation S est bien dquivalence : elle est rflexive : on prend n = 1, R1 = R.Elle est symtrique : si xSy, on a galement ySx, on reprend la mme successiondans lordre inverse, en changeant R en R1. Enfin, S est transitive : si xSy et ySz,

22 1 Thorie des ensembles

il suffit de faire se succder les deux suites pour relier x z. Une relation dquivalencecontenant R doit contenir tous les lments de S : on peut formaliser davantage, enfaisant une rcurrence sur la longueur des suites. Pour lexemple propos (en ajoutantla rflexivit), on pourra interprter S par est de la mme famille que .

Solution 1.16. Supposons f g injective, et prenons a et a dans A. Si g(a) = g(a)alors f g(a) = f g(a) do a = a. On a montr que g est injective. Supposonsmaintenant f g surjective. Alors un lment quelconque b de B a un antcdent b par f g, b = f g(b), et b admet g(b) comme antcdent par f , f est surjective.Prenons A = B = N, g(n) = 2n et f(n) =

[n2

](o [x] dsigne la partie entire de

x). Alors, f g = idN, g est injective, f est surjective, aucune des deux nest bijective.Par contre, si f g = idB et g f = idA, f et g sont bijectives. Si b B, il

a un antcdent unique par f , et comme b = f g(b), cet antcdent est g(b) doncg = f1.

Solution 1.17.

Pour lordre naturel, qui est total, une partie de N a toujours un plus petit lment,elle admet un plus grand lment si elle est majore. Toute partie de Z admet unplus petit lment si elle est minore, un plus grand si elle est majore. Par contre,il existe des parties de Q qui nont pas de plus grand lment ni mme de bornesuprieure bien quelles soient majores ; lexemple le plus simple est celui de

A = {x Q | x2 < 2}Cest ce dfaut qui conduit la construction des nombres rels. Dans R, toutepartie non vide et majore admet une borne suprieure.

Pour lordre divise, une partie comme {2, 3} na ni plus petit, ni plus grand lment.Par contre, toute partie finie admet une borne suprieure, son p.p.c.m., et une borneinfrieure, son p.g.c.d. Attention, avec notre dfinition de la relation dordre divise,N admet un plus petit lment 1 et un plus grand lment...0. On na donc pastoujours a | b a b.

P(E) muni de linclusion a un plus petit lment et un plus grand lment E.Lordre nest pas total (sauf si E est de cardinal 0 ou 1), et toute partie non vide deP(E) a une borne suprieure qui est la runion de ses lments, une borne infrieurequi est leur intersection.

Lordre produit est de faon immdiate une relation dordre, il nest pas total, car(1, 2) et (2, 1) par exemple ne sont pas comparables. Il est instructif de visualiser cetordre : on reprsente les points coordonnes entires dans le plan, et les couplessuprieurs au couple (a, b) sont dans un quart de plan limit par les droites x = a ety = b, (en haut droite) les lments infrieurs sont dans un rectangle limit par lesmmes droites et les axes. On pourra facilement utiliser cette reprsentation pourexaminer les parties qui ont un plus grand lment, et pour justifier que toute partiemajore admet une borne suprieure, que toute partie admet une borne infrieure.

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Solutions des exercices 23

Parties non vides bien sr.En ce qui concerne lordre lexicographique, commenons par dire quil sinspire delordre alphabtique : un mot commenant parA se place avant un mot commenantparB, C ,..., et si deux mots commencent parA, on compare les secondes lettres. Lefait que lordre lexicographique est un ordre demande des vrifications. Montronspar exemple la transitivit. On suppose que

(a, b) (c, d) (a < c) (1) ou (a = c et b d) (2)

(c, d) (e, f) (c < e) (3) ou (c = e et d f) (4)Comme, dans chacune des hypothses, les possibilits 1 et 2 (resp. 3 et 4) sex-cluent, il suffit dobserver que ((1) et (3) ou (1)) et (4) ou ((2) et (3)) impliquenta < e, puis que ((2) et (4)) impliquent a = e et b f pour tablir la transitivit.Lordre lexicographique est total, et une preuve gomtrique apparat si on utiliseune reprsentation graphique comme pour lordre produit. Cette fois, lensembledes couples plus grands que (a, b) et lensemble des couples plus petits constituentune partition de N N. Pour conclure, cest aussi un bon ordre, mais diffrent decelui de N : il existe des sous-ensembles infinis qui ont un plus grand lment,comme {0} N (1, 0).

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Chapitre 2

Anneaux et corps

Lensemble Z des entiers relatifs, muni de laddition et de la multiplication estle prototype des anneaux. Le but de ce chapitre est de chercher comment on peutgnraliser un anneau quelconque les proprits de divisibilit de Z.

2.1 ANNEAUX, SOUS-ANNEAUX, IDAUX

2.1.1. Dfinitions et exemples

Dfinition 2.1. Un anneau (A,+,) est un ensemble non vide dans lequel ona dfini une addition + et une multiplication telles que : (A,+) est un groupe commutatif dlment neutre 0A. la multiplication est associative, distributive gauche et droite sur

laddition, et possde un lment neutre 1A.

Si la multiplication est commutative, on dit que A est un anneau commutatif.

Les ensembles de nombres

Z D Q R C H(entiers relatifs, dcimaux, rationnels, rels, complexes, quaternions) sont des anneauxpour les oprations habituelles. Il existe beaucoup danneaux entre Z et Q, construits

26 2 Anneaux et corps

comme lanneau des dcimaux ou autrement, et beaucoup entre Z et C, comme lan-neau des entiers de Gauss Z[i] que nous tudions dans un problme en fin de chapitre.Comme dhabitude, le produit a b sera souvent not par juxtaposition ab, aa scriraa2, etc.

Un autre exemple danneau est lanneau nul, qui ne contient que 0, les oprationstant 0 + 0 = 0 et 0 0 = 0. Montrons le petit thorme suivant :

Proposition 2.2. Dans un anneau, 0A a = a 0A = 0A et si A nest pas lanneaunul, 0A = 1A,

Dmonstration.

0Aa = (0A + 0A)a = 0Aa+ 0Aa donc 0Aa = 0A

en ajoutant loppos de 0Aa. Par ailleurs, si 1A = 0A, alors pour tout a de lanneau,a = 1Aa = 0Aa donc a = 0A, et lanneau A ne contient que 0A.

Beaucoup dnoncs ne seront vrais que pour les anneaux non nuls. Autresexemples danneaux :

les anneaux rsiduels de la forme Z/nZ, anneaux finis de cardinal n.

les anneaux de matrices Mn(K) ou Mn(A), coefficients dans un corps ou dansun anneau commutatif, les anneaux dendomorphismes dun espace vectoriel.

les anneaux dapplications dun ensembleE dans un corps (ou un anneau), pour lesoprations dfinies par :

f + g : x f(x) + g(x) et f g : x f(x)g(x) les anneaux de polynmes, coefficients dans un anneau ou dans un corps commu-

tatifs.

Ces anneaux partagent beaucoup de proprits avec lanneau des entiers, mais... pastoutes. Un des objectifs de ce chapitre est de comprendre les proprits arithm-tiques de Z, et de chercher comment et quel point elles peuvent se gnraliser.

2.1.2. Inversibles et diviseurs de zro

Un lment a dun anneau est inversible sil existe a1 dans lanneau tel queaa1 = a1a = 1. On dit galement que cest une unit. Dans un anneau noncommutatif, un lment peut ntre inversible que gauche ou que droite : voirdes exemples en exercice. Rappelons galement que le produit de deux lmentsinversibles a et b est inversible, dinverse b1a1. Il est donc immdiat que :

Proposition 2.3. Lensemble A des lments dun anneau qui sont inversibles estun groupe pour la multiplication.

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2.1 Anneaux, sous-anneaux, idaux 27

Une proprit utile pour les calculs :

Dfinition 2.4. a A est rgulier gauche si(x, y) A2, (ax = ay) (x = y)

Cette proprit est moins forte que linversibilit car

Proposition 2.5. Si a A est inversible gauche, alors a est rgulier gauche.

Dmonstration.

(ax = ax) (a1(ax) = a1(ax)) x = x

On peut galement dfinir les lments rguliers droite, rguliers des deux cts(on dira simplement rguliers).

La notion contraire est galement utile.

Dfinition 2.6. Un lment a dun anneauA est un diviseur de zro gauche,sil est non nul, et sil existe b non nul tel que ab = 0.

Proposition 2.7. a A est non nul et non diviseur de zro gauche si et seulementsi il est rgulier gauche.

Dmonstration. Supposons a non nul et non diviseur de zro gauche

(b, b) A2, ab = ab a(b b) = 0 b = b

et dans lautre sens, si ab = 0, on a ab = a0, donc si a est rgulier gauche, b = 0 eta nest pas diviseur de zro gauche.

Les mmes noncs stendent au cas droite.

Lensemble des rguliers peut contenir strictement lensemble des inversibles, cestpar exemple le cas dans Z. Parmi les anneaux connus :

(1) Les inversibles de Z sont 1 et 1. Les lments rguliers sont tous les lmentsnon nuls.

(2) Les inversibles et les rguliers de Z/nZ sont les k o k est premier n.

(3) Les inversibles et les rguliers de Mn(K) sont les matrices de dterminant nonnul.

La recherche des rguliers deMn(K) est propose en exercice. Pour les inversiblesde Z/nZ, rappelons lquivalence qui fait tout fonctionner :

k, k k = 1 (mod n) k Z, Z, kk n = 1 k n = 1

28 2 Anneaux et corps

daprs le thorme de Bezout. Lalgorithme dEuclide permet de trouver une solutionexplicite rapidement. Par ailleurs, si k n = d avec d diffrent de 1 et de n, alors kest diviseur de zro. En effet,

k = kd, n = nd donc kn = kn soit k n = 0avec n = 0. On peut aussi utiliser lexercice 2.1.

Terminons ces gnralits par deux dfinitions :

Dfinition 2.8.

Un anneau non nul est intgre sil na pas de diviseur de zro.

Un anneau non nul est un corps si tous ses lments non nuls sont inversibles.

Comme un inversible nest jamais diviseur de zro, un corps est intgre. Rappelonsle cas bien connu :

Proposition 2.9. Lanneau Z/nZ est un corps si et seulement si n est un nombrepremier p, on le note alors Fp

qui rsulte de lexamen des inversibles de Z/nZ voqus ci-dessus.

2.1.3. Sous-anneaux, idaux

Si A est un anneau, un sous-ensemble non vide B est un sous-anneau de A sil est unsous-anneau pour les mmes oprations, et avec le mme lment neutre 1A = 1B1.On vrifie facilement que :

Proposition 2.10. B est un sous-anneau de A si et seulement si

(x, y) B2, x+ y B, xy B.x B, x B.1A B.

Lintersection dune famille non vide (Bi)iI de sous-anneaux de A est un sous-anneau de A, ce qui permet de donner la dfinition :

Dfinition 2.11. Si A est un anneau et X un sous-ensemble non vide de A,le sous-anneau de A engendr par X est lintersection des sous-anneaux de Aqui le contiennent. Cest aussi le plus petit anneau de A qui contient X .

Par exemple, siA est lanneau des fonctions dfinies surR valeurs dansR, le sous-anneau des fonctions polynmes est le sous-anneau engendr par la fonction x x,

1. Si A nest pas lanneau nul, {0A} nest donc pas un sous-anneau de A.

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2.1 Anneaux, sous-anneaux, idaux 29

le sous-anneau des polynmes trigonomtriques est le sous-anneau engendr par lesfonctions x sinx et x cos x.

2.1.4. Morphismes

Comme on dfinit des applications linaires, on peut dfinir des applications entreanneaux qui prservent les oprations.

Dfinition 2.12. SoitA etB deux anneaux. Un morphisme danneaux est uneapplication f : A B telle que, pour tout (a, b) de A2 :

f(a+ b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b), f(1A) = 1B

On vrifie facilement quon a galement : f(0A) = 0B en calculant f(0A + 0A).Un exemple de morphisme de C[X] dans lui-mme : P (X) P (X + a). Par contreP (X) P (X)2 ne dfinit pas un morphisme danneaux. Remarquons quon ne peutdduire f(1A) = 1B de f(ab) = f(a)f(b).

Proposition 2.13. Soit f un morphisme danneaux de A dans B. Alors :

Si C est un sous-anneau de A, f(C) est un sous-anneau de B.

Si D est un sous-anneau de B, f1(D) est un sous-anneau de A.

Deux cas particuliers, avec les mmes notations :

Dfinition 2.14. Le noyau dun morphisme est Ker(f) = f1(0) ; son imageest Im(f) = f(A).

Limage est un sous-anneau mais pas le noyau car il ne contient pas 1A (sauf le casexceptionnel du morphisme nul dans lanneau nul). De plus :

Proposition 2.15. Un morphisme danneaux f deA versB est injectif si et seulementsi Ker f est rduit {0}. Il est surjectif si et seulement si Im f = B.

2.1.5. Idaux

Il se trouve que la notion de sous-anneau nest pas la plus riche. La relation dquiva-lence a b a b B nest en gnral pas compatible avec le produit lorsqueB est un sous-anneau de A. Pour dfinir des quotients, il faut utiliser des idaux etmme des idaux bilatres.

30 2 Anneaux et corps

Dfinition 2.16. Si A est un anneau, un sous-ensemble non vide I sappelle unidal gauche (resp. droite) si :

x I, y I, x+ y I et x I a A, x I, ax I (resp.a A, x I, xa I)

Dfinition 2.17. I A est un idal bilatre si cest la fois un idal gaucheet un idal droite de A.

Bien sr, dans le cas o la multiplication est commutative, ces trois notions con-cident. Notons que {0A} et A lui-mme sont des idaux bilatres. On les appelleparfois idaux triviaux.

Remarque : Un idal est forcment un sous-groupe pour laddition. En cequi concerne la multiplication, la contrainte est diffrente que pour un sous-anneau, mais on ne demande pas que 1A soit dans lidal. Dailleurs, si unidal gauche I contient un inversible a, la seconde proprit impose quilcontienne a1a = 1A, et en rappliquant cette mme proprit, il doit contenirtout b1A o b A, I concide avec A.

Pour prolonger la fin de la remarque :

Proposition 2.18. Un anneau A = {0} est un corps si et seulement si il ne contientaucun idal gauche autre que 0 et lui-mme.

Dmonstration. Si A est un corps, tout idal non nul contient un inversible, doncconcide avec A, par la remarque. Rciproquement, soit a un lment non nul de A.Alors Aa est un idal gauche, non nul donc concidant avec A. Comme A contient1A, il existe a tel que aa = 1A, a admet un inverse gauche. Comme a est non nul,il existe a tel que aa = 1A. Do

a = a(aa) = (aa)a = a

a est aussi linverse droite de a. On montre de mme quun anneau qui na aucunidal droite non trivial est un corps. Par contre, il existe des anneaux qui nont aucunidal bilatre, mais qui ne sont pas des corps ; cest par exemple le cas de lanneau desmatrices carres (n 2) coefficients dans un corps : voir lexercice 2.4.

Les sous-ensembles de la forme nZ sont des idaux de Z, la vrification est imm-diate. Mais il y a plus :

Proposition 2.19. Les seuls idaux de Z sont de la forme nZ.

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2.1 Anneaux, sous-anneaux, idaux 31

Dmonstration. Nous avons dj not que ce sont bien des idaux (regarder en passantles cas particuliers n = 0 et n = 1). La rciproque utilise la division euclidienne :soit I un idal de Z, quon suppose non rduit {0}. Alors I contient des lmentspositifs (car sil contient x, il contient aussi (1)x), et comme N est bien ordonn, ilcontient un plus petit lment strictement positif, not n. Alors I contient alors nZ,par dfinition dun idal. Et si m I , on peut le diviser par n do m = nq + r avec0 r < n, et alors r = m nq I , donc r = 0 par le caractre minimal de n.

2.1.6. Anneaux quotients

Dans ce paragraphe, nous allons gnraliser dans un anneau quelconque la construc-tion faite pour lanneau Z/nZ. tout idal I bilatre on peut associer une relationdfinie par :

x y x y I

Proposition 2.20. est une relation dquivalence, compatible avec les oprations.

Dmonstration.

(1) 0 I , do la rflexivit. Si on suppose x y, alors xy I donc(xy) Iet y x, la relation est symtrique. Enfin,

x yy z

}{x y Iy z I

} (x y) + (y z) I

et x z, la relation est transitive.(2) Si x x alors xy xy et si y y alors xy xy puisque lidal est bilatre.

Et doncx x et y y xy xy xy

On vrifie de mme que :

x x et y y x+ y x + y

Il est alors possible de considrer lensemble des classes dquivalence, cest cequon appelle lanneau quotient, not A/I , et de le munir dune structure danneau :

Thorme 2.21.

Les classes dquivalence sont de la forme a + I , abrg en a sil ny a pasdambigut.

Si on pose a+ b = a+ b et a b = ab, ces oprations sont bien dfinies. A/I est alors un anneau dlments neutres 0 et 1. Lapplication : A A/I dfinie par a a est appele projection. Cest un

morphisme surjectif dont le noyau est I .

32 2 Anneaux et corps

Dmonstration.

Si b a alors il existe i I tel que b a = i do b a+ I , et rciproquement. La proposition prcdente montre que :

a = a et b = b a+ b = a + b

ce qui montre bien la cohrence de la dfinition de la somme de deux classes. Il enva de mme pour la dfinition du produit.

Cest une simple criture : les proprits dassociativit, de distributivit, etc. delanneau A sont transmises au quotient.

La surjectivit dcoule de la dfinition du quotient. De plus, limage rciproque de0 est lensemble des a tels que a 0, cest I .

On vient de voir que le noyau de cette projection est lidal bilatre I ; cest un faitbeaucoup plus gnral, le thorme suivant fait le lien entre morphismes et idaux.

Thorme 2.22. Soit f : A B un morphisme danneaux. Alors, et les deuxpremiers noncs concernent soit les idaux droite, soit les idaux gauche, soitles idaux bilatres :

Si I A est un idal de A, alors f(I) est un idal de lanneau f(A). Si J B est un idal de B, alors f1(I) est un idal de A. En particulier, le noyau dun morphisme danneaux est toujours un idal bilatre.

Dmonstration. Attention la diffrence entre les deux cas, image directe et imagerciproque. Regardons le premier cas : Si j et j sont dans f(I), b dans f(A), alors ilexiste i et i dans I et a dans A tels que :

j = f(i), j = f(i), b = f(a)Comme f est un morphisme et I un idal, on a :

j j = f(i i) f(I), bj = f(ai) f(I)pour le cas idal gauche. Remarquer pourquoi limage de I nest pas forcment unidal deB. La suite de la dmonstration est immdiate. Enfin, le dernier point dcoulede ce que {0} est manifestement un idal bilatre.

Nous allons terminer cette tude des anneaux quotients par deux thormes impor-tants. Le premier appel thorme de correspondance permet de dcrire les idauxdun quotient.

Thorme 2.23. Thorme de correspondance. Soit A/I un anneau quotient, oI est bilatre. Alors, si on note la projection, les idaux ( gauche, droite, bila-tres) de A/I sont les (J ), J dcrivant lensemble des idaux ( gauche, droite,bilatres) de A contenant I .

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2.1 Anneaux, sous-anneaux, idaux 33

Dmonstration. Ce sont des idaux, car est un morphisme surjectif. Si maintenantK est un idal de lanneau quotient, alors 1(K) est un idal deA ; il contient I carKcontient 0. De plus, comme est surjective,K = (1(K)). Enfin, si J est un idalde A contenant I , on a 1((J )) = J : si a 1((J )), alors (a) (J ),donc il existe j J tel que a j, soit a j I , mais on en dduit que a est sommede deux lments de J puisque J contient I . On a donc 1((J )) J , lautreinclusion est immdiate. En dfinitive, la correspondance dcrite est bijective.

Et le second thorme :

Thorme 2.24. Thorme disomorphisme. Si f : A B est un morphismedanneau, alors :

A/Ker(f) Im(f)( dsigne un isomorphisme danneaux).

Dmonstration. Dcrivons cet isomorphisme, not f : on pose f(a) = f(a). Il fautvrifier que cela de dpend pas du reprsentant choisi pour la classe de a :

a = b a b Ker(f) f(a b) = 0 f(a) = f(b)

f(a+ b) = f(a+ b) = f(a) + f(b) = f(a) + f(b)

idem pour le produit et pour limage de 1A/Ker f : cest bien un morphisme dan-neaux. Il est surjectif par choix de lensemble darrive, et injectif car son noyau estlensemble des a pour tous les a Ker f , cest donc {0}.

Donnons un exemple. Lapplication P P (i) de R[X] dans C est un morphismedanneaux ; il est surjectif (prendre un polynme P du premier degr). Un polynmeP est dans le noyau si P (i) = 0. Mais comme P est coefficients rels, sil admet icomme racine, il admet aussii, conjugu de i comme racine. Il est donc divisible par(X i)(X + i) = X2 + 1, et rciproquement tout polynme multiple de X 2 + 1 estdans le noyau. Lensemble des multiples deX 2 +1 est tout simplement not (X2 +1).On en dduit que :

R[X]/(X2 + 1) C

Cet exemple est trs important, il est la base de ltude des corps, et nous auronsloccasion dy revenir dans le chapitre suivant.

2.1.7. Caractristique dun anneau

Puisque 1A est un lment de lanneauA, celui-ci contient aussi 1A+1A, 1A+1A+1A,..., et leurs opposs. Ces lments sont nots 2.1A, 3.1A ou par abus 2, 3,..., mais ilsne sont pas forcment distincts. Plus prcisment :

34 2 Anneaux et corps

Dfinition 2.25. Si A est un anneau, lapplication k k.1A de Z dans Aest un morphisme danneaux. Son noyau est de la forme nZ et n sappelle lacaractristique de A.

Lapplication est un morphisme,

k.1A + k.1A = (k + k).1A et (k.1A)(k.1A) = (kk).1Aet ce morphisme est rarement surjectif (quand lest-il ?). On peut dmontrer les pro-prits suivantes :

Proposition 2.26. Soit A un anneau de caractristique n. Alors,

(i) si n = 0, alors A est infini,(ii) si A est intgre alors n = 0 ou n = p nombre premier.(iii) si A est commutatif et n = p premier, alors :

f : A Aa ap

est un morphisme danneaux (appel morphisme de Frobenius ).

Dmonstration.

(i) Le thorme disomorphisme dit que notre morphisme a une image isomorphe Z, qui est infini ; on dit que Z sinjecte dans A.

(ii) Cette fois, en raisonnant par labsurde, on voit que si A est de caractristiquenon nulle et non premire, il contient un sous-anneau isomorphe Z/nZ, qui nestintgre que si n est premier.

(iii) On commence par le lemme :

0 < k < p p divise(pk

)=p(p 1) . . . (p k + 1)

k!

En effet, dans lgalit k!(pk

)= p(p 1) . . . (p k + 1), le nombre p divise le

second membre, et il est premier k! lorsque k < p. On applique alors le lemme deGauss.Si maintenant on considre lapplication a ap, on a

(a+ b)p =pk=0

(pk

)apkbk = ap + bp

tandis que (ab)p = apbp. Remarquons que pour ces deux proprits on utilise lacommutativit de lanneau.

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2.1 Anneaux, sous-anneaux, idaux 35

2.1.8. Anneaux produits

Dfinition 2.27. Si A et B sont deux anneaux, on appelle anneau produit leproduit cartsien AB muni des oprations :

(a, b) + (a, b) = (a+ a, b+ b) et (a, b)(a, b) = (aa, bb)

Il faut bien sr vrifier que cest un anneau. Cela noffre pas de difficult, et onpeut dfinir de mme le produit dune famille danneaux. Attention, le produit de deuxcorps nest pas un corps : chercher les inversibles du produit R R. Dans le mmeordre dides, A {0B} est un idal bilatre de A B, a une structure danneau(isomorphe A), mais nest pas un sous-anneau de A B, car il na pas le mmelment neutre pour le produit.

Exercice 2.1. Soit A un anneau et a A. Montrer que a est rgulier gauche siet seulement si lapplication x ax est injective. En dduire que, dans les anneauxfinis, la notion dlment rgulier concide avec la notion dlment inversible.

Exercice 2.2. Dterminer dans lanneau Mn(K) les diviseurs de zro, gauche ou droite. On pourra utiliser des endomorphismes associs. Comparer lensemble desinversibles et lensemble des rguliers.

Exercice 2.3. SoitA un anneau et a un de ses lments. On appelle annulateur droitede a lensemble des lments x de A tels que ax = 0. Montrer que cest un idal droite de A. Dcrire lannulateur dun lment k de Z/nZ, puis lannulateur droitedune matrice M Mn(K), dcrire galement lannulateur gauche.

Exercice 2.4. Dans lanneau Mn(K), montrer que les seuls idaux bilatres sontlidal nul et lanneau tout entier. On pourra utiliser les matrices de base E ij .

Exercice 2.5. Dcrire les idaux de Z/nZ.

Exercice 2.6. Dans lanneau Z/nZ, rechercher sil existe des lments nilpotents,cest--dire dont une puissance est nulle.

36 2 Anneaux et corps

2.2 DIVISIBILIT

2.2.1. Vocabulaire

Examinons maintenant la relation de divisibilit dans un anneau commutatif ; partirde maintenant, on prfrera se limiter un anneau commutatif intgre A : certainesnotions pourront tre dfinies dans des anneaux plus gnraux, mais elles ont moinsdintrt et des proprits diffrentes.

Dfinition 2.28.

On dit que a et b sont associs sil existe une unit u telle que a = bu. Cetterelation est une relation dquivalence.

On dit que a | b (a divise b) sil existe c tel que b = ac. Ce nest pas unerelation dordre : si a | b et b | a, alors a et b sont associs.

On dit que a A \ (A {0}) est irrductible si :(b, c) A2, (a = bc)

(b A ou c A

) On dit que a A \ (A {0}) est premier si :

(b, c) A2, (a | bc) (a | b ou a | c)

Une affirmation vrifier dans cette dfinition : si a | b et b | a, alors a et b sontassocis. En effet, il existe alors c et c tels que b = ca et a = bc. On en dduita = acc. Si a est nul, b aussi, et a et b sont associs, sinon, par intgrit, cc = 1 et aet b sont associs. Dans Z un nombre premier est irrductible (cest la dfinition) maisaussi premier dans le sens que nous venons de dfinir : cest le lemme dEuclide, voir1.14 p. 14. Cest heureux.

Remarque : Dans le cas gnral, les deux notions sont diffrentes (voir parexemple lexercice 2.9. Cependant, un lment premier est toujours irr-ductible : si a est premier et a = bc, alors a | bc. Donc, a | b (par exemple) etb = ad. On en dduit : a = adc et lintgrit prouve que 1 = dc, donc c estune unit, et a est irrductible.

La relation de divisibilit peut aussi sexprimer laide des idaux.

2.2.2. Idaux principaux

Dans un anneau commutatifA tous les idaux sont bilatres : on pourra se contenter deparler didaux, sans plus de prcision. Comme lintersection dune famille didauxest un idal, on peut dfinir lidal engendr par une partie S non vide de A : cestle plus petit idal contenant les lments de S, intersection de tous les idaux quicontiennent S. On peut le dcrire explicitement :

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2.2 Divisibilit 37

Proposition 2.29. Lidal engendr par S est lensemble des b =k

i=1 aisi o (si)et (ai) sont des suites finies quelconques dlments de S et de A. On le note souvent(S).

Dmonstration. Indiquons seulement les tapes : on vrifie que (S) ainsi dfiniest bien un idal de A, quil contient S, et que tout idal contenant S contient (S).Remarquer lanalogie avec les sous-espaces vectoriels et les combinaisons linaires.

En particulier, si S est rduit un lment s, lidal quil engendre sera appel idalprincipal. On le notera (s) ou plus explicitement sA. On retrouve ainsi la notation djrencontre dans Z, par exemple 2Z est lidal principal engendr par 2.

Proposition 2.30. Si A est un anneau commutatif intgre,

a | b (b) (a). a et b sont associs si et seulement si (a) = (b). a A \ (A {0}) est irrductible si et seulement si (a) est maximal dans

lensemble des idaux principaux diffrents de A.

a A \ (A {0}) est premier si et seulement si :(b, c) A2, (bc (a)) (b (a) ou c (a))

Dmonstration.

b = ac bA = acA aA et rciproquement, si (b) (a), b (a) donc il existec dans A tel que b = ac.

On a dj vu que a et b associs quivaut a | b et b | a simultanment, doncquivaut (a) = (b) par ce qui prcde.

Soit (b) tel que (a) (b). Alors b | a. Comme a est irrductible, soit b est uneunit, soit b est associ a. Dans le premier cas (b) = A, dans le second (b) = (a).La rciproque se traite de la mme manire.

Supposons donc a premier. Alors, si bc (a), il existem dansA tel que bc = am eta | bc. Comme a est premier, a | b, par exemple, et donc b (a). La dmonstrationde la rciproque est analogue, cest un simple jeu de traduction.

La proposition prcdente amne naturellement deux dfinitions :

Dfinition 2.31. Un idal I deA est dit premier sil est diffrent deA et vrifiela proprit :

(b, c) A2, bc I (b I ou c I)

Dfinition 2.32. Un idal I de A est dit maximal sil est maximal danslensemble des idaux stricts de A.

38 2 Anneaux et corps

Ainsi, si a est premier, lidal (a) est un idal premier. Un idal (a) maximal estforcment celui dun irrductible. On peut alors noncer le thorme :

Thorme 2.33.

Un idal I est maximal si et seulement si A/I est un corps. Un idal I est premier si et seulement si A/I est intgre. Tout idal maximal est aussi un idal premier.

Dmonstration. Dans le premier cas, on se sert du thorme de correspondance(thorme 2.23, page 32) : comme I est maximal, il ny a pas didal strictemententre I et A, donc A/I ne contient pas didal non trivial, cest un corps.Dans le second cas, on fait un petit travail de traduction. Lintgrit dans le quotient,qui scrit

(a, b) (A/I)2, (a b = 0) (a = 0 ou b = 0)est quivalente

(a, b) A2, (ab I) (a I ou b I)Il faut remarquer quun corps et un anneau intgre sont par dfinition non rduits {0}, dans les deux cas I est diffrent de A.La troisime assertion du thorme dcoule de ce quun corps est ncessairementintgre.

2.2.3. Le thorme chinois

Voici un exemple important dutilisation des quotients ; on commence par dfinir uneopration dans lensemble des idaux.

Dfinition 2.34. Si A est un anneau commutatif, I et J deux idaux, leursomme I+J est lensemble des sommes dun lment quelconque de I et dunlment quelconque de J .

Cette somme, analogue la somme de sous-espaces vectoriels, est de faon imm-diate un idal.

Thorme 2.35. Thorme chinois. Soit A un anneau commutatif, I et J deuxidaux tels que I + J = A. On a alors un isomorphisme danneaux

A/(I J ) A/I A/J

Dmonstration. On part de lapplication a (a+I, a+J ) deA dansA/I A/Jqui est un morphisme danneaux car obtenue laide des projections. Son noyau estform des lments de A qui se projettent en (0, 0), cest--dire qui sont dans I et

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2.3 Anneaux principaux, euclidiens et factoriels 39

dans J . Cest donc lidal I J . Reste montrer la surjectivit. Soit (+I, +J ),on cherche a de A tel que a vrifie{

a (mod I)a (mod J )

On utilise I + J = A pour crire 1 = x + y o x I et y J ; on a donc y 1(mod I) et x 1 (mod J ) il suffit alors de prendre a = x + y.

Remarque : La condition I + J = A sexprime en disant que les idauxsont trangers. Par analogie avec le cas de Z, les relations dquivalencemodulo un idal sappellent des congruences. Le thorme chinois revientdonc rsoudre un systme de congruences simultanes, cest effectivementce quon trouve dans les mathmatiques chinoises. Nous verrons une versionparticulire de ce thorme dans le cas o A est un anneau principal.

Exercice 2.7. Oprations dans lensemble des idaux. On suppose queA est un anneaucommutatif. Si I et J sont deux idaux de A, montrer que :

I = {x A | n N, xn I}

I : J = {x A | xJ I}

dfinissent des idaux. Comment dfinir le produit IJ de deux idaux ? Examiner lecas particulier des idaux principaux. Montrer que si I + J = A, on a

IJ = I J

Donner des exemples, par exemple dans Z.

Exercice 2.8. Montrer, laide du thorme de Zorn, que dans un anneau non nul,tout idal est inclus dans un idal maximal. Ce rsultat est parfois appel thorme deKrull.

2.3 ANNEAUX PRINCIPAUX, EUCLIDIENS ET FACTORIELS

Continuons tudier des cas particuliers danneaux, toujours en rapport avec la notionde divisibilit.

40 2 Anneaux et corps

2.3.1. Anneaux euclidiens

Les anneaux euclidiens sont ceux pour lesquels il existe une division semblable ladivision euclidienne des entiers.

Dfinition 2.36. Un anneau A est euclidien sil est commutatif, intgre et silexiste : A \ {0} N telle que :

(1) b | a (b) (a)(2) a A, b A \ {0}, q, r A{

a = bq + rr = 0 ou (r) < (b)

Remarque : Lapplication porte le nom de stathme (du mot grec signifiantmesure) : on prend la valeur absolue pour Z, le degr pour K[X]. Notons quela dfinition de la division euclidienne ne demande pas forcment lunicit ducouple (q, r) (que lon appelle quotient et reste). Avec notre dfinition, il nya pas unicit dans le cas de Z. 17 = 3 5+ 2 = 3 6 1 sont deux divisionseuclidiennes de 17 par 3. Il y aura unicit si on impose au reste dtre positif.

Outre Z, un exemple danneau euclidien est fourni par K[X] lanneau des poly-nmes sur un corps commutatif, nous aurons loccasion dy revenir dans le chapitresuivant.

Proposition 2.37. Dans un anneau euclidien, tous les idaux sont principaux.

Dmonstration. On mime la dmonstration que lon fait pour Z (cf. 2.19). Soit I unidal, diffrent de lidal nul, et x0 un lment non nul de I de stathme minimal (nepas oublier que les stathmes sont valeurs entires). Si maintenant x est un lmentquelconque de I , on peut crire x = x0q + r avec r = 0 ou (r) < (x0) ; commer = xx0q I , le choix de x0 impose que r = 0. En dfinitive x = x0q et I = (x0).

Cette proprit des anneaux euclidiens est essentielle, et conduit la dfinition quisuit.

2.3.2. Anneaux principaux

Dfinition 2.38. Un anneau (qui nest pas un corps) est principal sil estintgre, commutatif, et si tout idal est principal, cest--dire engendr par unlment.

Les idaux triviaux {0} = (0) et A = (1) sont en particuliers principaux, et nousvenons de voir que tout anneau euclidien est ncessairement principal. Il nest pasfacile de trouver des exemples danneaux principaux qui ne sont pas euclidiens : voirnanmoins lexercice 2.17.

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2.3 Anneaux principaux, euclidiens et factoriels 41

Un premier rsultat qui concerne les anneaux principaux.

Thorme 2.39. Dans un anneau principal, un lment est irrductible si et seulementsi il est premier.

Dmonstration. On sait dj quun lment premier est toujours irrductible. Soit Aun anneau principal, et p irrductible. Supposons que p | ab et soit I lidal engendrpar p et a. On peut crire :

I = {z A | x A,y A, z = xp+ ya}Comme lanneau est principal, I est principal, et il existe d tel que I = dA. Donc pet a qui sont dans I sont des multiples de d. Comme p est irrductible, d est soit uneunit, soit un associ de p. Si cest un associ de p, p divise a et cest termin ; si cestune unit, alors I = A et 1 = xp + ya pour un x et un y de A. En multipliant par bon voit que p divise b. Remarquer la ressemblance de la dmonstration avec celle dulemme de Gauss dans Z.

Dans les anneaux principaux, les notions de premier et dirrductible concident.Nous allons voir que cest encore vrai dans la catgorie suivante danneaux, encoreplus gnrale.

2.3.3. Anneaux factoriels

Rappelons que dans lensemble des entiers, tout nombre se dcompose de faon uniqueen produit de nombres premiers. Cest ce quon appelle parfois le thorme fonda-mental de larithmtique . Les anneaux qui ont cette proprit sappellent anneauxfactoriels. Plus prcisment :

Dfinition 2.40. Un anneau commutatif intgre est factoriel si tout lment nonnul et non inversible se dcompose de faon unique en produit dirrductibles.

Lunicit sentend lordre prs et aux units prs : par exemple dans Z, on nedistingue pas 2 3 3 et 3 2 (3). Commenons par remarquer :

Proposition 2.41. Dans un anneau factoriel, un lment est irrductible si et seule-ment si il est premier.

Dmonstration. On sait dj que tout premier est un irrductible ; soit A un anneaufactoriel et a A un lment irrductible. Supposons que a | bc ; cela signifie quedans la dcomposition en irrductibles de bc, il y a lirrductible a ( une unit prs)et donc que la dcomposition en irrductibles de b ou de c contient a, et donc a diviseb ou c.

Nous terminons par le thorme principal de cette section : on sait dj que toutanneau euclidien est principal, nous allons dmontrer que tout anneau principal estfactoriel, ce qui montre la hirarchie entre les trois notions.

42 2 Anneaux et corps

Thorme 2.42. Tout anneau principal A est factoriel.

Dmonstration. La dmonstration est un peu dlicate. Faisons un raisonnementpar labsurde : soit E lensemble des lments x de A, non nuls ni inversibles, quine se dcomposent pas en irrductibles, et supposons que E soit non vide. Alors,F = {(x) | x E} est un ensemble non vide. Montrons que cet ensemble, munide la relation dinclusion, admet (au moins un) lment maximal. En effet, (nouveauraisonnement par labsurde), si ce ntait pas vrai, on pourrait construire une chaneinfinie :

(x1) (x2) . . . (xn) . . .

o les xi sont dans E . Alors lensemble U =n1(xn) est un idal : si a et b sont

dans U , il existe un certain n tel que a et b soient tous les deux dans (xn), donca+ b (xn) U , mme raisonnement pour lautre proprit. U est donc principal,cest--dire quil existe x A tel que U =

n1(xn) = (x).

Mais alors, x est dansn1(xn), donc x (xn0) pour un n0, et donc alors

(x) = (xn0) etn1(xn) = (xn0), ce qui est absurde au vu des hypothses.

Soit donc (x0) maximal dans F. Alors x0 nest pas inversible, ni irrductible (sinonil se dcomposerait en produit dirrductibles) dont il peut scrire x0 = ab et donc(x0) (a), (x0) (b). Les inclusions sont strictes puisque ni a ni b ne sont associs x0. Par maximalit, a et b ne sont pas dans E , donc se dcomposent en irrductibles,mais alors x0 aussi se dcompose en irrductibles, il y a contradiction.Il faut maintenant montrer lunicit. Commenons par remarquer que si p estirrductible et si u est une unit, alors pu est irrductible. Supposons maintenantque :

p1p2 . . . ps = q1q2 . . . qr

Notre objectif est de montrer que r = s et que les pi sont gaux, lordre et des units prs aux qj . Pour cela nous allons utiliser le thorme qui dit que dansun anneau principal, tout irrductible est premier. On peut alors en effet dire que q1divisant le produit p1 . . . ps, divise un des pi, et, par irrductibilit des pi, on peutcrire que q1 = piu o u est une unit. On peut alors simplifier et reprendre le mmeraisonnement. la fin, on aura r = s car un irrductible nest pas un produit dunits.

Nous sommes maintenant au sommet de la hirarchie : les anneaux pour lesquels lethorme fondamental de larithmtique est vrai sont les anneaux factoriels. Dans lechapitre suivant, on rencontrera des anneaux qui sont factoriels sans tre principaux ;ainsi les trois notions anneaux euclidiens, anneaux principaux, anneaux factoriels sontbien distinctes.

Venons-en maintenant aux proprits arithmtiques des anneaux principaux et fac-toriels.

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2.3 Anneaux principaux, euclidiens et factoriels 43

2.3.4. P.g.c.d, p.p.c.m., relation de B