Algebra 3

Unidade II

ÁLGEBRA

Profa. Isabel Espinosa

O ã l i d i ã i t

Operações

Operação ou lei de composição interna

A: conjunto não vazio

* : A x A A

f(x,y) = x * y

(x,y) x * y

Operações

Exemplo 1:

Operação aditiva em IN

+ : IN x IN IN(x,y) x + y

Exemplo 2:

Operação multiplicativa em IN

• : IN x IN IN : IN x IN IN(x,y) x • y

Operações

Exemplo 3:

Operação potenciação em Z

f : Z x Z Z(x,y) f(x,y) = xy

Exemplo 4:

Operação divisão em IR

f : IR x IR* IR(x y) f(x y) =

x(x,y) f(x,y) = y

Propriedade associativa

*“*” lei de composição interna em A

Exemplo 1:

* associativa a * (b * c) = (a * b) * c a, b, c A

Exemplo 1:

IN com a operação aditiva, é associativa

x + (y + z) = (x + y) + z x y z IN

+ : IN x IN IN(x,y) x + y

x + (y + z) = (x + y) + z , x, y, z IN


E l 2Exemplo 2:A multiplicação em IN é associativa

• : IN x IN IN(x,y) x • y

( ) ( ) IN

Exemplo 3:

x • (y • z) = (x • y) • z , x, y, z IN

Z, IR, C, Mmxn (IR) com a operação

aditiva usual associativa.


E l 4Exemplo 4:Operação divisão em IR

f : IR x IR* IR(x,y) f(x,y) =

xy

Não é associativa, pois, por exemplof(50,f(10,5)) = f(50, 2) = 25

≠105

f(f(50,10),5) = f(5, 5) = 1


Exemplo 5:Operação * em IR, dada por

é associativa devemos mostrar que:

* : IR x IR IR(x,y) x * y = x + y + x y

é associativa, devemos mostrar que:

(x * y) * z = x * ( y * z)


* IR IR IR

(x * y) * z = = (x + y + x y) * z = = (x + y + x y) + z + (x + y + x y) z =


= (x + y + x y) + z + (x + y + x y) z == x + y + x y + z + x z + y z + x y z

x *( y * z) = = x * (y + z + y z) = = x + (y + z + y z ) + x (y + z + y z) = x (y z y z ) x (y z y z) = x + y + z + y z + x y + x z + x y z

Propriedade comutativa


* comutativa a * b = b * a, a, b A


E l 1Exemplo 1:Operação divisão em IR

f : IR x IR* IR(x,y) f(x,y) =

xy

Não é comutativa, pois, por exemplo

f(10,5) = = 2≠

f(5 10) 0 5

105

5f(5,10) = = 0,5510


Exemplo 2:Operação * em IR, dada por

é comutativa devemos mostrar que:


é comutativa, devemos mostrar que:

(x * y) = ( y * x)



(x * y) = x + y + x y =

( y * x) = y + x + y x


Exemplo 3:Multiplicação de matrizes

não é comutativa pois por exemplo:

* : Mmxn (IR) x M mxn(IR) M mxn (IR)(A, B) A * B

não é comutativa, pois, por exemplo:

(A * B) = =

( B * A) = =

1 2-1 0

1 02 1

5 2-1 0

1 0 1 2 1 21 4

( B A) 2 1 -1 0 1 4

Interatividade

Sabendo que uma operação é associativa se vale: a * (b * c) = (a * b) * c, a informação correta sobre as operações a seguir é:

a) Adição usual em Z não é associativa.

b) Divisão em IR é associativa.)

c) Potenciação em IN é associativa.

d) Adição em IR é associativa.

e) Subtração em Z é associativa.

Elemento neutro

“*” lei de composição interna em A

elemento neutro à direita, a*e = a, a A

elemento neutro à esquerda, e*a = a,aA

elemento neutro, e * a = a * e = a,aA

Elemento neutro

Se a operação * sobre A tem um elemento

neutro e, então ele é único.

Demonstração:

S *Sejam e,k elementos neutros da operação *,

provemos que e = k, isto é, o elemento

neutro é único.

é t tã * k ke é o neutro, então, e * k = k

k é neutro, então, e * k = e

Logo, e = k.

Elemento neutro

Exemplo 1:

O elemento neutro da adição em N, Z, Q,

IR e C é o número 0,

0 + a = a = a + 0, a.

Exemplo 2:

O l t t d lti li õO elemento neutro das multiplicações em

IN, Z, Q, IR ou C é o número 1,

1 . a = a = a . 1, a.

Elemento neutro

Exemplo 3:

O elemento neutro da adição em Mmxn(IR) é

0mxn (matriz nula do tipo mxn)

0mxn + Amxn = Amxn = Amxn + 0mxn , Amxn(IR)

Elemento neutro

Exemplo 4:

Operação subtração em Z

a 0 = a a Za – 0 = a, a Z

Não existe e, tal que e – a = a, a Z

Só admite elemento neutro à direita.

Elementos simetrizáveis

“*” lei de composição interna em A

a é simetrizável a’ A, a’ * a = e = a * a’

a’ é simétrico de a


Observações:

deve existir elemento neutro em A.

adição usual

é ésimétrico de a é - a

Multiplicação usual

simétrico de a = inverso de a

’ 1a’ = a-1


Exemplo 1:

O número 7 é um elemento simetrizável

para a adição usual em Z, e seu simétrico é

o - 7, pois:

(- 7) + 7 = 7 + (- 7) = 0


Exemplo 2:

O número 10 é um elemento simetrizável

para a multiplicação em Q, e seu simétrico

( ) é1

(inverso) é , pois 110

110

. 10 = 1 = 10 . 110

não existe a’, tal que a’. 0 = 1 = 0 . a’

“0” não é simetrizável


Exemplo 3:

A matriz é simetrizável com a

21

40

adição em M2(R),

e seu simétrico é

21

40


Exemplo 4:

Z com a multiplicação usual só tem inverso

para a = 1 e a = -1

Se a ≠ 1 e a ≠ -1, não existe b, tal que

b 1a . b = 1

Unicidade do simétrico

Seja “*” uma operação sobre A, associativa e com elemento neutro. Se a A é simetrizável, então, o simétrico de a é único.

Sejam a’ e b simétricos de a, provemos que são iguais.


Se a’ e b simétricos de a, temos:

a * a’ = e = a’ * a

a * b = e = b * a

Como e é elemento neutro, temos:

a * e = a

b * bb * e = b


Assim:

a’ = a’ * e = a’ * (a * b), como a operação é associativa, temos

a’ = a’ * e = a’ * (a * b) = (a’ * a) * b =

= e * b = b

Logo:

a’ = b, isto é, o simétrico de a é único.

Interatividade

Dizemos que a operação * goza da

propriedade comutativa quando

a * b = b * a, a, b A.

Das operações a seguir, a única que não é comutativa é:comutativa é:

a) Operação de adição em IR.

b) Operação de multiplicação em Z.

c) Operação de adição em Z.

d) Operação de adição em M (IR)d) Operação de adição em M mxn(IR).

e) Operação de multiplicação em M mxn(IR).

Elementos regulares


a é regular à esquerda(a * c = a * d c = d)

a é regular à direita (c * a = d * a c = d)

a é regular se for à esquerda e à direita.

a é regular à direita (c a = d a c = d)

(Lei do cancelamento)

Elementos regulares

Exemplo 1:

O número 6 é regular para a adição em N, pois:

6 + c = 6 + d c = d c d N6 + c = 6 + d c = d, c, d N

c + 6 = d + 6 c = d

Elementos regulares

Exemplo 2:

Em Z, com a multiplicação, temos, por exemplo, o número 2 é regular, pois:

2 c = 2 d c = d c d Z2 . c = 2 . d c = d, c, d Z

O número 0 não é regular para amultiplicação em Z, pois: p ç , p

0 . 5 = 0 . 4, mas 5 4

Distributiva

S *Sejam * e duas operações sobre A.

distributiva à esquerda a (b * c) = (a b) * (a c), a,b,cA

di t ib ti à di it

Distributiva = direita e esquerda

distributiva à direita (b * c) a = (b a) * (c a), a,b,cA

Distributiva

Exemplo 1: a multiplicação é distributivaem relação à adição em Z, pois:

a . (b + c) = a . b + a . c, a, b, c Z

(b + c) . a = b . a + c . a, a, b, c Z

“ . ” é comutativa em Z, logo:

a . (b + c) = (b + c) . a

Distributiva

Exemplo 2:

A união e a intersecção são operações sobre conjuntos. Verificar se essas operações têm elemento neutro, simétrico e se são distributivas.

Sejam A, B, C U, com as operações “ ” e “”

Distributiva

Elemento neutro (E) para união é o conjunto vazio, pois para E = temos:

A E = A = A

E A = A = A

Logo, A = A , A U

Distributiva

Elemento neutro (F) para intersecção é o conjunto U, pois para F = U temos:

A F = A U = A

F A = U A = A

Logo A U = A A ULogo, A U = A , A U

Distributiva

A é simetrizável em relação a e a se existir B, tal que:

A B = U (neutro da intersecção)

e se existir C, tal que:

A C = (neutro da união)

Os únicos elementos simetrizáveis de Usão A = U em relação à intersecção e A = em relação à união.

Distributiva

Valem as distributivas:

Intersecção em relação à união

A ( B C) = (A B) (A C)

União em relação à intersecção

A ( B C) (A B) (A C)A ( B C) = (A B) (A C)

Interatividade

Das afirmações a seguir, a única correta é:

a) Todo elemento de Q com a multiplicação é simetrizável.

b) Todo elemento de IN com a adição é simetrizável.

c) Todo elemento de IR* com a multiplicação tem inverso.

d) A distributiva não vale em Z com a adição.

) A di ã IN ã é t tie) A adição em IN não é comutativa.

Números naturais

Conjunto dos números naturais (IN)

Axiomas de Peano

Conceitos primitivos: O zero O zero. Número natural. Relação de sucessor.

A i d P

Números naturais

Axiomas de Peano

1. Zero é um número natural, 0 IN

2. Todo número natural tem sucessor,a IN a+ IN

3. Zero não é sucessor de nenhum outro número natural,a, a IN a+ ≠ 0

Números naturais

4. Dois números naturais possuem osmesmos sucessores, então eles sãoiguais,a+ = b+ a = b

5 (axioma de indução finita)5. (axioma de indução finita)Se uma coleção de R números naturais contém o zero e também contém o sucessor de todos os elementos naturais de R, então R é o conjunto dos naturais,

R IN, 0R e aR a+R , então R=IN

Números naturais

Além dos axiomas de Peano, temos as definições:

a) a + 0 = a, a IN

b) a + b+ = (a + b)+b) a + b = (a + b)

Por convenção, temos:0+ = 10 + 0 = 0a + 1 = a+a + 1 = a

Números naturais

Utilizando os axiomas de Peano e as definições, podemos demonstrar as propriedades dos naturais.

Geralmente, utilizando o axioma de indução.

P i d d A

Números naturais

Propriedade A1:a, b, c IN, (a + b) + c = a + (b + c)

Demonstração:Para todo par de naturais a, b; tomemoso conjunto S dos naturais m tais que:o conjunto S dos naturais m, tais que:(a + b) + m = a + (b + m).

Devemos mostrar que S = IN, utilizando o axioma de indução.

Números naturais

0 S ?

a + (b + 0) = a + b = (a + b) + 0

definição

logo, 0 S

Números naturais

n S n+ S ?queremos provar que:

(a+b)+n = a+(b+n) (a+b)+n+ = a+(b+n+)

def=

defa + (b + n+) a + (b + n)+ =

=hip(a + (b + n))+ ((a + b) + n)+ ==

def

=def

(a + b) + n+

Logo, n+ S

= (a + b) + n

Números naturais

Temos então que: i) 0 S

ii) n S n+ S

Logo pelo axioma de indução temosLogo, pelo axioma de indução, temos que S = IN.

Números complexos

Números complexos (C)

z C z = a + b i

Parte real P t i i á i

Re(z) = aIm(z) = b

Parte real Parte imaginária

Números complexos

Números complexos

Números complexos

Interatividade

Sabendo que uma operação é comutativa se vale: (a * b) = (b * a), a alternativa que indica a afirmação correta é:

a) Adição usual em IN não é comutativa.

b) Multiplicação em IN não é comutativa.) p ç

c) Multiplicação em Z é comutativa.

d) Adição em C é comutativa.

e) Adição em C não é comutativa.

ATÉ A PRÓXIMA!

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